Université de Bordeaux

Université de Bordeaux
U.F. Mathématiques et Interactions
Année 2015-2016
Master de Mathématiques Approfondies
Parcours Spécialisé
Programme de Cours
Semestre d’automne:
-
Fall Term:
K. Belabas: Algorithmique arithmétique
L. Bessières: Géométrie riemannienne
E.M. Ouhabaz: Analyse harmonique et équations d’évolution
D. Tossici: Cohomologie des groupes
Semestre de printemps:
Algorithmic number theory
Riemannian Geometry
Harmonic analysis and evolution equations
Cohomology of groups
Spring Term:
- M. Arnaudon: Calcul stochastique sur les variétés
- B. Morin: Introduction à la cohomologie étale
- A. Sebbar: Géométrie Finslèrienne et applications
Stochastic calculs on manifolds
Introduction to étale cohomology
Finslerian Geometry and Applications
N.B.: Les étudiants peuvent compléter leur choix par des cours du Master Mundus ALGANT ou par des cours
du Master MIMSE (voir pages 9 à 13)
Renseignement/Information:
Responsable/Coordinator: E.M. Ouhabaz: [email protected]. Tel: (33) 05.40.00.69.43
Sécrétariat/Secretary: N. Bergerot: [email protected]. Tel: (33) 05.40.00.89.63.
http : //isocrate.nub.u−bordeaux.f r/f ormation/P RM AM A− 111/master−recherche−specialite−mathematiques−
approf ondies
1
Algorithmique arithmétique
Cours du premier semestre
Algorithmic number theory
K. Belabas
Resumé. Le cours utilisera comme fil rouge les algorithmes classiques et modernes de factorisation pour présenter
des problèmes, idées et techniques importantes en théorie algorithmique des nombres. On discutera des points
suivants :
• transformée de Fourier rapide,
• réduction des Z-modules et des réseaux,
• factorisation des polynômes sur Fq , Q ou C,
• preuve de primalité et factorisation des entiers,
• théorie algébrique des nombres effective : ordres maximaux, groupes de classes et unités des corps de
nombres.
Pendant tout le cours, l’accent sera mis sur les algorithmes asymptotiquement rapides et les idées importantes,
par opposition aux détails techniques nécessaires aux implantations efficaces.
Prérequis. Les trois premières parties sont élémentaires. Dans les deux dernières, on admettra des propriétés
des courbes elliptiques sur C et les corps finis, et des notions de théorie algébrique des nombres.
Abstract. The course uses classical and modern factorization algorithms to present important ideas and techniques in computational number theory. We will cover
• the ubiquitous Fast Fourier Transform,
• the reduction of Z-modules and lattices,
• factorization of univariate polynomials over Fq , Q and C,
• primality testing and integer factorization,
• computational algebraic number theory: maximal orders, class groups and units of number fields.
The emphasis is on important ideas throughout and asymptotically fast algorithms, as opposed to technical details
necessary for efficient implementations.
Prerequisites. The first three parts are elementary. In the last two, we will sketch then use basic properties of
elliptic curves over C and over finite fields, and standard algebraic number theory.
Reférences / Bibliography
K. Belabas: course notes, http://www.math.u-bordeaux1.fr/~kbelabas/teach/N1MA9W11/book.pdf
J. von zur Gathen and J. Gerhard: Modern computer algebra, Cambridge University Press, New York,
1999.
H. Cohen: A course in computational algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 138,
Springer-Verlag, Berlin, 1993.
R. Crandall and C. Pomerance: Prime numbers, second ed., Springer, New York, 2005, A computational perspective.
2
Géométrie Riemannienne
Cours du premier semestre
Riemannian Geometry
L. Bessières
Résumé. Ce cours est une introduction à la géométrie riemannienne et à ses outils, notamment la géométrie de
comparaison (Rauch, Toponogov, Bishop-Gromov). On introduira les objets de base (métriques Riemannienne,
connexion de Levi-Civita, courbure, géodésiques) et les théorèmes de comparaison plus avancés avant de montrer
quelques résultats classiques.
Programme.
• Variétés, fibré tangent,
• Métrique riemannienne, dérivée covariante, géodèsique,
• Courbures, variation de la longueur, champ de Jacobi,
• Espaces de courbure constante, théorème de Cartan,
• Théorème de Hadamard, de Bonnet-Myers,
• Volume, théorème de comparaison de Bishop-Gromov,
• Théorème de comparaison de Rauch, de Toponogov
• ...
Abstract. This lecture is an introduction to Riemannian Geometry and its tools, in particular comparison
geometry (Rauch, Toponogov, Bishop-Gromov). We will define basics notions (Riemannian metrics, Levi-Civita
connexion, curvature, geodesics) and more advanced comparison tools before proving some classic theorems.
Program.
• Manifold, tangent bundle,
• Riemannian metric, covariant derivative, geodesic,
• Curvatures, variation of arclength, Jacobi field,
• Spaces with constant curvature, Cartan theorem,
• Hadamard theorem, Bonnet-Myers theorem,
• Volume, Bishop-Gromov comparison theorem,
• Rauch comparison theorem, Toponogov theorem,
• ...
Reférences / Bibliography
J. Cheeger, D. Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry, North-Holland mathematical library 9, North-Holland Publishing Comp., 1975.
M. Do Carmo: Riemannian Geometry, Mathematics : theory and applications, Birkhäuser, 1992
S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine: Riemannian Geometry, Springer-Verlag, Second edition, 1993.
3
Analyse harmonique et équations d’évolution
Cours du premier semestre
Harmonic analysis and evolution equations
E.M. Ouhabaz
Resumé. L’analyse harmonique est un ensemble de techniques d’analyse mathématiques centrées sur la théorie
des fonctions, théorie des opérateurs, analyse de Fourier en lien avec les équations aux dérivées partielles. Ce cours
a pour objectifs de présenter deux thématiques en apparence différentes mais très liées : les équations dévolution
(noyaux de la chaleur) et opérateurs d’intégrales singulières. Il s’agit de présenter des techniques fondamentales
dans ces deux domaines et donner quelques applications par exemple à la transformée de Riesz sur Lp .
Parmi les thèmes que nous aborderons, citons :
(1) Opérateurs non bornés, semi-groupes d’opérateurs, équations d’évolution.
(2) Formes de Dirichlet, semi-groupe de Markov.
(3) Fonction maximale de Hardy-Littlewood (interpolation des espaces Lp , Lp faibles, lemme de recouvrement), application au théorème de différentiation de Lebesgue.
(4) Introduction aux opérateurs d’intégrale singulière : transformée de Hilbert et de Riesz, décomposition de
Calderón-Zygmund.
(5) Estimées de type gaussienne des noyaux de la chaleur associés aux semi-groupes, bornétude Lp des
transformées de Riesz, calcul fonctionnel H ∞ .
Abstract. Harmonic analysis is a set of mathematical analysis techniques the theory of functions, operator theory,
Fourier analysis and links to partial differential equations. The aim of this course is to present two apparently
different but related fields: evolution equations (heat kernels) and singular integral operators. We will present
some fundamental technics for these two subjects and give applications, for example for the boundedness of the
Riesz transform on Lp .
Among the themes we aim to present, let us mention:
(1) Unbounded operators, operator semi-groups, evolution equations.
(2) Dirichlet forms, Markov semigroups.
(3) Hardy-Littlewood’s maximal function (interpolation of Lp spaces, of weak Lp spaces, covering lemma)
and application to Lebesgue’s differentiation theorem.
(4) Introduction to singular integral operators: Hilbert and Riesz transforms, Calderón-Zygmund decomposition.
(5) Gaussian estimates of heat kernels associated to semi-groups, Lp bounds of Riesz transforms and H ∞
functional calculus.
Reférences / Bibliography
E.B. Davies: Heat kernels and spectral theory. Cambridge tracts in Math.
P. Mattila: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 44, Cambridge University Press, 1995.
E.M. Ouhabaz: Analysis of heat equations on domains. Princeton University Press.
E.M. Stein: Singular integrals and differentiability of functions. Princeton University Press.
4
Cohomologie de groupes
Cours du premier semestre
Cohomology of groups
D. TOSSICI
Resumé. Le but de ce cours est la définition et l’étude de la cohomologie des groupes. Il s’agit d’un invariant
qu’on associe à un G-module A, i.e. un groupe abélien A muni d’une action d’un groupe G. On commencera
avec la construction générale de la cohomologie dans les catégories abéeliennes. Après on l’appliquera au cas que
nous intéeresse, c’est -à-dire le foncteur dérivé associé au foncteur des points fixés par l’action d’un groupe sur
un groupe abélien. On accordera une attention particulière au cas de la cohomologie de groupes finis.
Selon la disponibilité de temps et l’intêret des étudiants on pourra considérer un ou plusieurs des sujets suivants :
(i) Théorie du corps local
(ii) Groupe de Brauer
(iii) Cohomologie Galoisienne et descente de Galois.
Abstract. The goal of this course is the definition and the study of the cohomology of groups. It is an invariant
which is associated to a G-module A, i.e. an abelian group A equipped with an action of a group G. We will
start with the general construction of the cohomology in the abelian categories. Later we will apply this to the
case we are interested in, i.e. the derived functor associated to the functor of fixed points by an action of a group
over an abelian group. We will pay more attention to the case of finite groups.
Accrding to the disponibilty of the time and the interest of the students we will consider one or more of the
following subjects.
(i) Local class field theory
(ii) Brauer group.
(iii) Galois cohomology and Galois descent.
Reférences / Bibliography
H.Cartan-S.Eilenberg: Homological Algebra Princeton University Press, 1956.
A. Grothendieck: Sur quelques points d’algèbre homologique, I Tohoku Math. J. (2) Volume 9, Number
2 (1957), 119-221.
J.S Milne: Class field Theory, http ://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html
J.P. Serre: Local Fields, Graduate Texts in Mathematics 67, Springer-Verlag, 1979 ; Second edition, 1995.
5
Analyse stochastique dans les variétés
Cours du second semestre
Stochastic analysis on manifolds
M. Arnaudon
Résumé. Ce cours propose de présenter la théorie des processus de diffusion dans les variétés riemanniennes avec
ou sans bord. Le comportement de ces processus sera étudié en lien avec les équations d’évolution qui leur sont
reliées. Les techniques du calcul stochastique telles que les comparaisons de solutions d’équations différentielles
stochastiques, le couplage des processus, les changements de probabilités équivalents, seront utilisées pour obtenir
des résultats sur l’existence et la construction d’applications harmoniques, la convergence d’équations d’évolution,
des estimées du noyau de la chaleur, des inégalités fonctionnelles. On présentera des formules d’intégrations par
parties pour des fonctionnelles définies sur les trajectoires du mouvement brownien, et de nombreuses applications.
Abstract. The theory of diffusion processes on Riemannian manifolds with or without boundary will be developed. The behaviour of these processes will be studied together with the related evolution equations. Technics
of stochastic calculus including comparison for solutions of stochastic differential equations, coupling of processes, equivalent changes of probability, will be used to obtain results on existence and construction of harmonic
functions, convergence of evolution equations, heat kernel estimates, functional inequalities. We will investigate
integration by parts formulas for functionals of Brownian paths and give numerous applications.
Reférences / Bibliography
M. Emery: Stochastic Calculus in Manifolds, Springer (1989)
E. P. Hsu: Stochastic analysis on Manifolds, American Mathematical Society, 2002
N. Ikeda and S. Watanabe: Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes, 2nd edition, NorthHolland, Amsterdam
Feng-Yu Wang: Analysis for Diffusion Processes on Riemannian manifolds, Advanced Series on Statistical
Science and Applied Probability, vol. 18, World Scientific 2014.
6
Introduction à la cohomologie étale
Cours du second semestre
Introduction to étale cohomology
B. Morin
Resumé. La cohomologie étale est un outil puissant et omniprésent en géométrie arithmétique. Ce cours présentera les idées et résultats de base de cette théorie. On étudiera en particulier les topologies de Grothendieck, les
catégories de faisceaux et les théories cohomologiques qui s’en déduisent, la topologie étale, le cas des corps, le
calcul de la cohomologie des courbes et certains théorèmes fondamentaux tels que le théorème de changement de
base propre ou le théorème de comparaison avec la cohomologie classique. Si le temps le permet, on introduira la
cohomologie l-adique et on appliquera ses résultats pour prouver une partie des conjectures de Weil. Prérequis :
les bases de la théorie des schémas.
Abstract. Étale cohomology is a powerful and ubiquitous tool in arithmetic geometry. In this course we shall
explain the basic ideas and results of this theory. In particular, we will cover Grothendieck topologies, the corresponding sheaf and cohomology theories, the étale topology, the case of fields, the calculation of the cohomology
of curves and some fundamental theorems such as the proper base change and the comparison theorem. If time
permits, we will introduce l-adic cohomology and apply these results to the proof of some of the Weil conjectures.
Prerequisites: the basics of scheme theory.
Reférences / Bibliography
• M. Artin : Grothendieck topologies.
• J. Milne : Etale cohomology. Princeton Mathematical Series, 33. Princeton University Press, Princeton,
N.J., 1980. ISBN : 0-691-08238-3.
• G. Tamme : Introduction to etale cohomology. Springer-Verlag, Berlin, 1994. ISBN : 3-540-57116-7.
• A. Grothendieck, M. Artin, J.L. Verdier : Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA4).
Lecture Notes in Math. 269, 270, 305, Springer, 1072.
7
Géométrie Finslérienne et Applications
Cours du second semestre
Finslerian Geometry and Applications
A. Sebbar
Resumé.
En gros une structure de Finsler sur une variété M est la donnée sur chaque espace tangent Tx M d’une norme
de Minkowski, une norme non forcément induite par un produit scalaire. Le cours se propose de développer les
ressemblances et les différences avec la géométrie riemannienne. On abordera les thèmes suivants :
• Historique : Thèses de Riemann et Finsler, Minkowski.
• Transformation de Legendre
• Connexions de Finsler
• Courbure
• Applications :
L’algèbre R[X]/(X 3 − 1), la géométrie de la cubique x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 1, de l’opérateur
∂3
∂3
∂ ∂ ∂
+ 3 −3
et de la métrique ds3 = dx3 + dy 3 + dz 3 − 3dxdydz.
3
∂y
∂z
∂x ∂y ∂z
∂3
+
∂x3
Abstract. A Finsler manifold M is a manifold where each tangent space Tx M is endowed with a Minkowski
norm, not necessarily induced by an inner product. A primary goal of this course is the study of the similarities
and differences between the geometry of Finsler and Riemannian geometry. We will address the following:
• The theses of Riemann and Finsler, Minkowski.
• Legendre Transformations
• Finsler connections
• Curvature
• Applications:
The algebra R[X]/(X 3 − 1), the geometry of the cubic x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 1, the operator
∂3
∂3
∂ ∂ ∂
+
−3
and the metric ds3 = dx3 + dy 3 + dz 3 − 3dxdydz.
∂y 3
∂z 3
∂x ∂y ∂z
Références / Bibliography
1) H. Rund : The differential geometry of Finsler spaces, Springerverlag, 1959.
2) Z. Shen : Differential geometry of spray and Finsler spaces, Kluwer Academic Publishers, 2001.
3) Z.Shen : Lectures on Finsler geometry, World Scientific, 2001.
8
∂3
+
∂x3
Université de Bordeaux
U.F. Mathématiques et Interactions
Année 2015-2016
Master de Mathématiques Approfondies
Parcours ALGANT deuxième année
Programme de Cours
Semestre d’automne :
Fall Term :
- Q. Liu : Introduction à la géométrie algébrique
Introduction to algebraic geometry
Semestre de printemps :
Spring Term :
- Y. Bilu : Approximations diophantiennes
Diophantine Approximations
- P. Thieullen : Introduction à la théorie de Ramsey ergodique
Introduction to Ergodic Ramsey Theory
N.B. Les étudiants choisissent des cours dans la liste ci-dessus et parmi ceux listés dans le Parcours Spécialisé
(cf. page 1)
The students choose courses from the list above and those listed in Parcours Spécialisé (cf. page 1)
Renseignement/Information :
Responsable/Coordinator : C. Bachoc : [email protected]. Tel : (33) 05 40 00 21 61.
Secrétariat/Secretary : N. Bergerot : [email protected]. Tel : (33) 05 40 00 89 63.
http ://www.algant.eu/master.php
9
Introduction à la géométrie algébrique
Cours du 1er semestre
Introduction to algebraic geometry
Q. Liu
Résumé. Il s’agit d’une introduction à la géométrie algébrique dans le langage des schèmas.
(1) Notions prélinminaires en algèbre commutative (produit tensoriel, localisation)
(2) Faisceaux
(3) Schémas, morphismes de schémas, sections
(4) Produit fibré et changement de base
(5) Propriétés topologiques (irréductibilité, connexité, dimension)
(6) Classes de schémas (schéma réduit, intègre, noethériens)
(7) Classes de morphismes (morphisme de type fini, fini, propre, projectif)
(8) Courbes algèbriques (équivalence avec les corps de fonctions ; diviseurs).
Abstract. This course is an introduction to algebraic geometry.
(1) Preliminary on commutative algebra (tensor product, localization)
(2) Sheaves
(3) Schemes, morphisms of schemes
(4) Fiber product, base change
(5) Topological properties (irreducible components, connected components, dimension)
(6) Some classes of schemes (reduced schemes, integral schemes, noetherian schemes)
(7) Some classes of morphisms (morphisms of finite type, proper morphisms, projective morphisms)
(8) Algebraic curves (equivalence with the fonction fields of one variable; divisors)
Références / Bibliography.
[1] Q. Liu : Algebraic Geometry and Arithmetic curves, Oxford Grad. Texts in Math., 6, Oxford Univ. Press,
2006.
[2] R. Hartshorne : Algebraic geometry, Graduate Texts in Math., 52, Springer-Verlag, 1977.
10
Approximations diophantiennes
Cours du second semestre
Diophantine Approximations
Y. Bilu
Resumé. Resumé en francais
C’est un cours introductif d’approximations diophantiennes. Le programme est centré sur des questions très
classiques :
• approximation des nombres réels par les rationnels ; les théorèmes de Dirichlet et de Borel-Khintchine ;
• approximation des nombres algébriques : les théorèmes de Liouville et de Thue-Siegel-Roth ;
• le théorème de sous-espace de Schmidt-Schlickewei ;
• la méthode effective de Baker ;
• applications aux équations diophantiennes et à la transcendance.
Abstract. This is an introductory course in Diophantine approximations. The program is centered around the
very classical questions:
• approximation of real numbers by rationals: the theorems of Dirichlet and of Borel-Khintchine;
• approximation of algebraic numbers: the theorems of Liouville and of Thue-Siegel-Roth;
• the subspace theorem of Schmidt-Schlickewei;
• Baker’s effective method;
• applications to Diophantine equations and to transcendence.
Reférences / Bibliography
W. Schmidt: Diophantine Approximations and Diophantine Equations , Springer Lecture Notes in Mathematics 1467, Springer-Verlag, 1991.
11
Introduction à la théorie de Ramsey ergodique
Cours du second semestre
Introduction to Ergodic Ramsey Theory
Ph. Thieullen
Resumé.
La théorie ergodique de Ramsey peut être vue comme une branche de la théorie ergodique dont l’objectif est
de résoudre certains problèmes combinatoires en utilisant des outils de probabilité et de systèmes dynamiques.
Cette théorie a pour origine un article de H. Furstenberg en 1977 qui démontra le théorème de Szemerédi en
utilisant des méthodes purement ergodiques. Le théorème de Szemerédi affirme que tout ensemble de N de densité
positive contient des suites arithmétiques de longueur arbitrairement grande. La théorie de Ramsey est reliée à
des problèmes combinatoires dans lesquels, dès qu’une structure très organisée telle qu’un semi-groupe, un graphe
complet, . . . est partitionnée en un nombre fini de sous-ensembles, un de ces sous-ensembles contient une sousstructure tout aussi organisée. Par exemple, le théorème de Van der Waerden affirme qu’il existe des progressions
arithmétiques monochromatiques arbitrairement longues pour tout coloriage fini des entiers. De même, le théorème
de Hindman affirme qu’il existe des ensembles IP monochromatiques pour tout coloriage fini des entiers, où un
ensemble IP (inifnite parallelepiped) est un ensemble Γ construit à partir d’une suite génératrice (ni )∞
i=1 de la
forme Γ = {ni1 + ni2 + · · · nik : k ≥ 1, i1 < i2 < · · · < ik }. Le but du cours est de montrer que beaucoup de ces
questions de la théorie de Ramsey peuvent être résolues en utilisant la théorie ergodique.
1) Quelques problèmes dans la théorie de Ramsey
2) Bases en dynamique topologique et théorie ergodique
3) βN, ultra-filtres, et applications
4) Récurrence multiple et théorème de Szemerédi
Abstract.
Ergodic Ramsey Theory is a branch of Ergodic Theory whose objective is to solve some combinatorial problems
using tools in probability theory and dynamical system. This theory was initiated in 1977 when H. Furstenberg
proved Szemerédi’s theorem using purely ergodic methods. Szemerédi’s theorem states that every set of N of positive upper-density contains arbitrarily long arithmetic progressions. Ramsey Theory is related to combinatorial
problems where, as soon as a “highly organized structure” like a semi-group, a complete graphe, . . . is partitioned
into in finite number of subsets, one of these subsets contains a substructure which is as well organized. For
instance Van der Waerden’s theorem states there exist arbitrarily long arithmetic monochromatic progressions in
every finite coloring of the set of integers. Similarly Hindman’s theorem states that there exist monochromatic
IP-sets for any finite coloring of the natural numbers, where an IP-set (inifnite parallelepiped) is a set built on
a generating sequence (ni )∞
i=1 of the form Γ = {ni1 + ni2 + · · · nik : k ≥ 1, i1 < i2 < · · · < ik }. The purpose of
these lectures is to show that a lot of questions in Ramsey Theory can be solved using Ergodic Theory.
1) Some problems in Ramsey Theory
2) Basic topological dynamics and ergodic theory
3) βN, ultra-filters, and applications
4) Multiple recurrence and Szemerédi’s theorem
Reférences / Bibliography
1: V. Bergelson, Ergodic Ramsey Theory - an Update, Ergodic Theory of Zd -actions, London Math. Soc.
Lecture Note Series 228 (1996), 1–61.
2: V. Bergelson, Minimal idempotents and ergodic Ramsey theory, Topics in Dynamics and Ergodic Theory,
London Math. Soc. Lecture Note Series 310 (2003), 8–39.
3: V. Bergelson, Combinatorial and diophantine applications of ergodic theory. Appendix A by A. Leibman
and Appendix B by A. Quas and M.Wierdl. In Handbook of Dynamical Systems (ed. by B. Hasselblatt
andA. Katok),Vol. 1B, Elsevier,Amsterdam 2006, 745–841.
4: H. Furstenberg, Recurrence in Ergodic Theory and Combinatorial Number Theory. Princeton University
Press, Princeton, N.J., 1981.
5: H. Furstenberg, Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions, J. D’Analyse Math. 31 (1977), 204–256.
6: A. Katok, B. Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Ency. Math. and
its App. 54, Cambridge Univ. Press, 1995.
7: K. Petersen, Ergodic Theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1981.
12
8: M. Pollicott, M. Yuri, Dynamical Systems and Ergodic Theory, London Math. Soc. Stud. Texts 40,
Cambridge Univ. Press, 1998.
9: I. G. Sinai, Introduction to Ergodic Theory, Princeton University Press, (1976).
13
Exemples de Cours à choisir dans le Master MIMSE
Comme mentionné en première page de cette plaquette, les étudiants peuvent compléter leur choix parmi les cours
du Master MIMSE. Notamment :
- Outils d’analyse des EDP
- EDP Approfondies
- Contrôle en biomathématique
Pour plus de détails, voir :
http ://www.math.u-bordeaux.fr/DIM/master/mimse/pageweb/pmwiki.php
14