DESIGUALDAD En matemáticas, una desigualdad es una relación

DESIGUALDAD
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos
valores cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una
igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o
los reales, entonces pueden ser comparados.
 La notación a < b significa a es menor que b;
 La notación a > b significa a es mayor que b;
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser
igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente
mayor que".
 La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no
estrictas).
 La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;
Esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es
mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos,
se deducen algunas consecuencias, a saber:
1. Todo número positivo es mayor que cero. Ejemplo: 5 > 0; porque 5 – 0 = 5
2. Todo número negativo es menor que cero. Ejemplo: –9 < 0; porque –9 –0 = –9
3. Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; Ejemplo:
–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20
Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación. Por ejemplo:
x+3<7
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(La punta del signo < siempre señala el menor) Ejemplos: 3 < 4,
4>3
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:
 a < b | ± c (sumamos o restamos c a ambos lados)
 a±c<b±c
Ejemplo
2 + x > 16
| – 2 (restamos 2 a ambos lados) 2 +
− 2 > 16 − 2 ⇒
> 14
2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:
 a < b | • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
 a•c<b•c
 a > b | • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
 a•c>b•c
Ejemplo: 3 ≤ 5 • x | :5
≤
esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5
3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:
 a < b | • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
 a•c>b•c
 a>b
| • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
 a•c<b•c
Ejemplo: 15 − 3 ∗
≤ 39| − 15 ⇒
ó ⇒ −3 ∗
≤ 39 − 15 ⇒
≤
⇒
≤ −8
x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.
De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse
los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede
haber desigualdades con incógnita negativa.
Ejercicio de aplicación: ¿Cuál es el conjunto solución de la desigualdad
2 +3 ≤3 +7
A. { ∈ ℝ/ ≤ 4}
B.
∈
ℝ
≤ −4
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C. { ∈ ℝ/ ≥ 4}
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D. { ∈ ℝ/ ≥ 4}
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SOLUCIÓN:
2 +3 ≤ 3 +7 ⇒ 2 −3 ≤ 7−3⇒ − ≤ 4 ⇒
4⇒
(−1) ⇒ (−1) −
≤
≥ −4
NOTA: Recordar que ninguna incógnita en las desigualdades puede tener signo
negativo. Por lo tanto se multiplica por (-1) los dos lados de la desigualdad
cambiando
el
signo
de
desigualdad
≤
≥
Ejercicio de aplicación: Para la desigualdad
− 4 − 12 ≥ 0 , su conjunto solución
es:
A) ]−∞. −3] [4, +∞[ B) ]−∞, −4[ ]3, +∞[ C) ]−∞, 3[ ]4, +∞[
D) ]−∞, −2] [6, +∞[
SOLUCIÓN:
⇒ ( − 6)( + 2) ≥ 0 ⇒
− 4 − 12 ≥ 0 ⇒
=6⇒
+2=0⇒
= −2 ⇒
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⇒
−6 =0 ⇒
ó ⇒ ]−∞, − ] [ , +∞[
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