PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 0.1 Feuille n°10 : PFS

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE
0.1 Feuille n°10 : PFS
Exercice 1- Palan
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Une poutre horizontale AB est articulée en A sur
un mur vertical et retenue par un câble BC. Une
charge m=1 tonne est suspendue en un point M,
variable entre A et B. Toutes les articulations sont
supposées sans frottement.
Q1. Déterminer les caractéristiques des actions de
contact aux liaisons A, B et C ainsi que leurs valeurs
maximales.
Exercice 2- Pince de levage
Corrigé page 5
Une pince « à écrevisse » est suspendue en A au
câble d’une grue. Elle est destinée à soulever des
blocs de pierre. Elle comprend deux sabots (3) et (4)
articulés sur deux leviers coudés identiques (2) et
(5). L’écartement des leviers est assuré par la barre
(7), articulée en C et C ?. Deux barres (1) et (6) articulées en A, B, et B ? sont reliées en A au câble de la
#»
grue dont la tension est T
#»
#»
Le poids de la pierre est noté P avec P =
2 × 104 N.
Les poids propres de barres et des sabots seront
négligés devant les autres efforts. Toutes les articulations sont supposées parfaites.
Le coefficient de frottement au contact
pierre/sabot est μ = 0,58
1
2
Q1. Quelles hypothèses peut-on faire pour l’étude statique de ce mécanisme ?
Pour la suite on suppose ces hypothèses valides.
Q2. Tracer le graphe de structure, préciser sur ce graphe, les torseurs cinématique et statique t les actions
mécaniques extérieures
#»
Q3. Que faut-il isoler pour déterminer T ?
Q4. En isolant, la barre articulée (1) que peut-on dire de la direction de résultante l’action mécanique
# »
R1→2 de (1) sur (2).
# »
Q5. Déterminer R1→2 en fonction de P.
# »
Q6. Que peut-on dire de la résultante de l’action en C R7→2 de (7) sur (2).
Q7. On isole maintenant (2), déterminer l’action en D de (3) sur (2)
Q8. La pierre peut-elle être soulevée ?
Exercice 3- Safran de voilier
Le texte du TD est sur le poly de cours !
Exercice 4- Arc-boutement
Corrigé page 5
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extrait de ESIM 2001
A. Données
Une colonne de décoration supporte plusieurs consoles. Ces consoles peuvent être déplacées à volonté
le long de la colonne et on peut placer sur celle-ci des objets dont la masse ne dépasse pas 20kg.
Le coefficient de frottement entre la colonne et la console est f = 0,3.
Un objet de masse M est placé en C sur la console.
La masse de la console est négligée.
On se propose d’établir à quelle condition la console ne glisse pas.
A.1. Modèle de contact ponctuel
On considère dans un premier temps que le jeu entre la colonne et la console est tel que l’action
mécanique entre les deux solides est limité aux deux points A et B (figure 0.1(a)).
On se place à la limite du glissement.
Q1. Préciser les actions mécaniques en A et B de la colonne (1) sur la console (2) , préciser vos hypothèses.
Représenter ces actions mécaniques sur le schéma.
Q2. À quelle condition la console reste-t-elle immobile ? Représenter graphiquement cette condition.
Q3. Déterminer la condition sur la distance xlim en fonction de H et f pour que la console soit immobile.
# » #»
On note RA et RB la résultante de l’action mécanique respectivement en A et B
# » #»
Q4. Déterminer RA et RB en fonction de F, xlim et H.
A.2. Modèlisation linéïque
Le modèle précédent, n’est pas très réaliste, le contact est probablement réparti le long des génératrices
passant par A et B.
Le modèle choisit, est décrit sur la figure 0.1(b). On suppose une répartition linéaire de la pression de
contact de chaque coté entre Pmax au deux extrémités et 0 au milieu.
Q5. Calculer la répartition de pression P(z) en fonction de H, PMax et z .
Q6. Déterminer la norme de la résultante de l’action mécanique équivalente Re à cette répartition de
pression en fonction de H, PMax .
Q7. . Déterminer les points d’application Id (coté droit) et Ig (coté gauche) de l’action mécanique équivalente.
Q8. On note xlim2 la distance limite, la distance xlim calculée pour l’étude du premier modèle, est-elle
modifiée ? Conclure.
Q9. Déterminer Re en fonction de F, xlim2 et H.
Q10. Déterminer PM ax en fonction de F, xlim2 et H.
Q11. Faire l’application numérique en prenant L = 1, 5·xlim . Pour des raisons de déformation locale, cette
pression maximale ne doit pas dépasser 270N/mm. Conclure.
0.1 Feuille n°10 : PFS
3
x
#»
F
A
C
H
L
B
R
(a) Modèle contact ponctuel
x
#»
F
H
2
C
(b) Modèle contact linéïque
Figure 0.1: Arc-boutement
Exercice 5- frein à disques
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La pression hydraulique qui agit sur les pistons (4) plaque les deux plaquettes sur les faces opposées
du disque pour freiner.
On se propose de déterminer le torseur d’action d’une plaquette (3a) sur le disque (2).
# »
On réalise l’étude juste avant l’arrêt du disque : Ω 2/3a = α˙ · z#»0 et α˙ >.
(a) frein à disques
(b) schéma
Figure 0.2: frein à disques
4
Nomenclature
On pose :
# »
#» avec (x#», u
#») = θ,
– Oa Q = r · u
0# »
# »
– 1 Flasque
– Oa Ob = −e · z#»0 = 2 · Oa O avec e l’épaisseur du
– 2 Disque
disque.
– 3 plaquettes
La plaquette est modélisée par un secteur de cou– 4 Étrier
ronne.
– 5 Flexible du liquide de freins
– rayon maxi : Rmax ,
La pression de contact (p) est supposée unifor– rayon mini : Rmin
– angle du secteur : 2 · β.
mément répartie.
#
»
Q1. Préciser dFQ,3a→2 , l’action mécanique élémentaire au point Q. Préciser la relation entre les composantes normales et tangentielles.
# »
Q2. Déterminer, F3a→2 , la résultante de l’action mécanique de la plaquette 3a sur le disque 2 en fonction
de p et des dimensions.
#
»
Q3. Déterminer MOa ,3a→2 , le moment de cette action mécanique en Oa centre de la plaquette 3a (Ob
centre de la plaquette 3b).
Q4. En déduire le torseur de cette action mécanique.
Q5. Puis le torseur de l’action mécanique des plaquettes 3a et 3b sur 2 en O (milieu de Oa Ob ).