Preveden delovni zvezek (pdf format)

Fizika s fizleti
Interaktivne predstavitve, raziskave in
problemi za uvod v fiziko
Wolfgang Christian, Mario Belloni
Uredil Saša Divjak
Kazalo
UVOD ......................................................................................................................................10
Predgovor .........................................................................................................................10
Napotki študentom............................................................................................................13
Preizkus brkljalnika in sistemske zahteve ..........................................................................14
Avtorji..............................................................................................................................17
Avtorske pravice...............................................................................................................17
Pogoji za uporabo fizletov.................................................................................................17
DEL 1: MEHANIKA ................................................................................................................19
Poglavje 1: Uvod v fizlete .....................................................................................................19
Predstavitev 1.1: Primerjava stati nih slik in animacij s fizleti...........................................19
Predstavitev 1.2: Animacije, enote, meritve.......................................................................20
Predstavitev 1.3: Kako beremo podatke.............................................................................22
Raziskava 1.1: Ugotovi položaj s klikom in vle enjem miške ............................................23
Raziskava 1.2: Vnos podatkov, števila ..............................................................................23
Raziskava 1.3: Vnos podatkov, izrazi................................................................................24
Problem 1.1 ......................................................................................................................25
Problem 1.2 ......................................................................................................................25
Problem 1.3 ......................................................................................................................26
Poglavje 2: Kinematika v eni dimenziji .................................................................................26
Predstavitev 2.1: Položaj in premik ...................................................................................26
Predstavitev 2.2: Povpre na hitrost ...................................................................................27
Predstavitev 2.3: Povpre na in trenutna hitrost. .................................................................28
Predstavitev 2.4: Merjenje pospeška..................................................................................29
Predstavitev 2.5: Gibanje po klancu .................................................................................30
Predstavitev 2.6: Prosti pad ...............................................................................................31
Raziskava 2.1: Primerjaj asovni odvisnosti poti in hitrosti ...............................................32
Raziskava 2.2: Dolo i pravi graf. ......................................................................................32
Raziskava 2.3: Zastor prepre uje pogled na žogico za golf. ...............................................33
Raziskava 2.4: Nastavi x(t) tovornjaka. .............................................................................33
Raziskava 2.5: Dolo i x(t) in v(t) Lamborghinija...............................................................34
Raziskava 2.6: Vrzi žogico tako, da se bo ravno dotaknila zgornje meje ............................34
Raziskava 2.7: Vrzi dve žogici; eno z zakasnitvijo ............................................................35
Raziskava 2.8: Dolo i ploš ino pod a(t) in v(t)..................................................................35
1
Poglavje 3: Kinematika v dveh dimenzijah............................................................................36
Predstavitev 3.1: Analiza vektorja.....................................................................................36
Predstavitev 3.2: Gibanje na klancu...................................................................................37
Predstavitev 3.3: Prikaz smeri vektorjev hitrosti in pospeška .............................................38
Predstavitev 3.4: Gibanje izstrelka ....................................................................................39
Predstavitev 3.5: Enakomerno kroženje in pospešek..........................................................39
Predstavitev 3.6: Kroženje in gibanje, ki ni kroženje .........................................................40
Raziskava 3.1: Seštevanje vektorjev poti...........................................................................41
Raziskava 3.2: Igra Tek skozi šibe: upravljanje položaja, hitrosti in pospeška....................42
Raziskava 3.3: Pospeševanje žogice za golf, ki zavije ob robu luknje ................................42
Raziskava 3.4: Vesoljska ladja, ki se giblje s konstantnim pospeškom ...............................43
Raziskava 3.5: Poševni met izstrelka - gibanje izstrelka navzgor in navzdol ......................43
Raziskava 3.6: Enakomerno kroženje................................................................................44
Poglavje 4: Newtonovi zakoni...............................................................................................45
Predstavitev 4.1: Prvi Newtonov zakon in opazovalni sistemi............................................45
Predstavitev 4.2: Diagrami sil ...........................................................................................46
Predstavitev 4.3: Drugi Newtonov zakon in sila ................................................................47
Predstavitev 4.4: Klada na klancu......................................................................................48
Predstavitev 4.5: Vleka vagon kov ...................................................................................48
Predstavitev 4.6: Tretji Newtonov zakon, kontaktne sile....................................................49
Raziskava 4.1: Vektorji sil za klado na klancu...................................................................50
Raziskava 4.2: Spremeni dve uporabljeni sili ....................................................................51
Raziskava 4.3: Uporabi silo in doseži cilj ..........................................................................51
Raziskava 4.4: Nastavi silo na hokejski ploš ek ................................................................51
Raziskava 4.5: Vesoljska sonda z ve motorji ...................................................................52
Raziskava 4.6: Vržena žogica za golf pada proti luknji......................................................53
Raziskava 4.7: Atwoodovo padalo ....................................................................................53
Raziskava 4.8: Vnesi izraz za uporabljeno silo ..................................................................54
Poglavje 5: Newtonovi zakoni 2............................................................................................55
Predstavitev 5.1: Lepljenje in trenje ..................................................................................55
Predstavitev 5.2: Enakomerno kroženje: Fc in ac ................................................................55
Predstavitev 5.3: Ferrisov vrtiljak......................................................................................56
Predstavitev 5.4: Vzmeti in Hookov zakon........................................................................57
Predstavitev 5.5: Zra ni upor ............................................................................................58
Raziskava 5.1: Kroženje ...................................................................................................58
Raziskava 5.2: Delovanje sile na telo na krožnici ..............................................................59
Raziskava 5.3: Sila vzmeti ................................................................................................59
Raziskava 5.4: Kroženje in sila vzmeti ..............................................................................60
Raziskava 5.5: Vpiši ena bo za silo...................................................................................60
Raziskava 5.6: Zra ni upor................................................................................................61
Raziskava 5.7: Vpiši izraza za komponenti sile Fx in Fy .....................................................61
Poglavje 6: Delo ...................................................................................................................62
Predstavitev 6.1: Skalarni produkti....................................................................................62
Predstavitev 6.2: Konstantne sile in trenje .........................................................................63
Predstavitev 6.3: Sila in pot...............................................................................................64
Predstavitev 6.4: Vzmeti ...................................................................................................65
Predstavitev 6.5: Kroženje ................................................................................................65
Raziskava 6.1: Funkcionalna definicija dela ......................................................................66
Raziskava 6.2: Potiskanje dveh klad..................................................................................67
Raziskava 6.3: Sila gravitacije in delo ...............................................................................67
Raziskava 6.4: Spreminjanje smeri delujo e sile................................................................68
2
Raziskava 6.5: Kroženje in delo ........................................................................................68
Raziskava 6.6: Sile, Integrali poti in delo ..........................................................................69
Poglavje 7: Energija ..............................................................................................................70
Predstavitev 7.1: Dolo itev sistema...................................................................................70
Predstavitev 7.2: Predstavitev energije ..............................................................................70
Predstavitev 7.3: Graf potencialne energije .......................................................................71
Predstavitev 7.4: Zunanje sile in energija ..........................................................................72
Predstavitev 7.5: Klada na klancu......................................................................................72
Raziskava 7.1: Potiskanje vozi ka naokrog .......................................................................73
Raziskava 7.2: Vpliv višine tal na potencialno energijo .....................................................74
Raziskava 7.3: Elasti ni trki..............................................................................................74
Raziskava 7.4: Žoga tr i v telo, pripeto na vzmet..............................................................75
Raziskava 7.5: Dolo i Wk(x) pri vle enju žoge..................................................................75
Raziskava 7.6: Razli ne oblike vzajemnega delovanja.......................................................76
Raziskava 7.7: Raziskovanje funkcije potencialne energije................................................77
Poglavje 8: Gibalna koli ina .................................................................................................78
Predstavitev 8.1: Sunek sile...............................................................................................78
Predstavitev 8.2: Razlika med sunkom sile in delom .........................................................79
Predstavitev 8.3: Trdi in mehki trki ter 3. Newtonov zakon ...............................................80
Predstavitev 8.4: Relativna hitrost in trki...........................................................................80
Predstavitev 8.5: Opazovalni sistem, v katerem je gibalna koli ina enaka ni . ...................82
Predstavitev 8.6: Mikroskopski pogled na trk....................................................................83
Predstavitev 8.7: Masno središ e in težnost .......................................................................83
Predstavitev 8.8: Premikanje teles in masno središ e.........................................................84
Raziskava 8.1: Razumevanje zakonov o ohranitvi .............................................................84
Raziskava 8.2: Elasti ni trk ...............................................................................................85
Raziskava 8.3: Neelasti ni trk teles z neznanimi masami...................................................86
Raziskava 8.4: Elasti ni in neelasti ni trki in G...............................................................86
Raziskava 8.5: Trki dveh in treh kroglic............................................................................87
Raziskava 8.6: Eksplozivni trk ..........................................................................................87
Raziskava 8.7: Odskakujo a žogica...................................................................................88
Poglavje 9: Opazovalni sistemi .............................................................................................88
Predstavitev 9.1: Prvi Newtonov zakon in opazovalni sistemi............................................88
Predstavitev 9.2: Opazovalni sistemi .................................................................................89
Predstavitev 9.3: Težiš ni opazovalni sistem .....................................................................90
Predstavitev 9.4: Vrte i se opazovalni sistem ....................................................................91
Raziskava 9.1: Primerjava gibalne koli ine v razli nih opazovalnih sistemih.....................91
Raziskava 9.2: Energija v razli nih opazovalnih sistemih ..................................................92
Raziskava 9.3: Relativno gibanje v razli nih opazovalnih sistemih ....................................93
Raziskava 9.4: Primerjava gibanja v pospešenih opazovalnih sistemih ..............................94
Raziskava 9.5: Letali z razli nima hitrostma glede na zemljo ............................................94
Poglavje 10: Vrtenje okoli stalne osi .....................................................................................95
Predstavitev 10.1: Koordinate za kroženje.........................................................................95
Predstavitev 10.2: Vrtenje okoli stalne osi.........................................................................96
Predstavitev 10.3: Vztrajnostni moment, vrtilna energija, vrtilna koli ina..........................97
Raziskava 10.1: Ena ba za konstantno kotno hitrost ..........................................................97
Raziskava 10.2: Ena ba za konstanten kotni pospešek.......................................................98
Raziskava 10.3: Navor in vztrajnostni moment..................................................................98
Raziskava 10.4: Navor na škripcu, povzro en z napetostjo dveh žic ..................................99
Poglavje 11: Splošna vrtenja ...............................................................................................100
Predstavitev 11.1: Vektorski produkt ..............................................................................100
3
Predstavitev 11.2: Kotaljenje ..........................................................................................100
Predstavitev 11.3: Translacijska in vrtilna kineti na energija ...........................................101
Predstavitev 11.4: Vrtilna koli ina in površina ................................................................102
Predstavitev 11.5: Ohranjanje vrtilne koli ine .................................................................103
Raziskava 11.1: Navor. ...................................................................................................104
Raziskava 11.2: Neenakomerno kroženje ........................................................................104
Raziskava 11.3: Kotaljenje po klancu..............................................................................105
Raziskava 11.4: Vztrajnostni moment in vrtilna koli ina .................................................105
Raziskava 11.5: Ohranitev vrtilne koli ine ......................................................................106
Poglavje 12: Težnost...........................................................................................................106
Predstavitev 12.1: Izstrelki in tiri satelitov.......................................................................106
Predstavitev 12.2: Tiri in masa planeta ............................................................................107
Predstavitev 12.3: Kroženje in nekrožno gibanje .............................................................108
Predstavitev 12.4: Vrtilna koli ina in ploš ina.................................................................109
Predstavitev 12.5: Drugi Keplerjev zakon .......................................................................109
Predstavitev 12.6: Heliocentri en napram geocentri en ...................................................110
Raziskava 12.1: Razli na xo ali vo za tire planetov...........................................................111
Raziskava 12.2: Nastavi xo in vo za tire planetov .............................................................111
Raziskava 12.3: Lastnosti elipti nih tirov. .......................................................................112
Raziskava 12.4: Vrtilna koli ina in energija ....................................................................113
Poglavje 13: Statika ............................................................................................................113
Predstavitev 13.1: Ravnovesje na klancu.........................................................................114
Predstavitev 13.2: Masno središ e in gravitacija..............................................................115
Predstavitev 13.3: Sila in navor v ravnovesju ..................................................................115
Predstavitev 13.4: Problem skakalne deske.....................................................................116
Raziskava 13.1: Ravnovesje vise e skulpture s premi nimi deli. .....................................117
Raziskava 13.2: Lepljenje pri vodoravni palici ................................................................119
Raziskava 13.3: Porazdeljeno breme ...............................................................................119
Raziskava 13.4: Zlaganje opek........................................................................................120
DEL 2: TEKO INE................................................................................................................121
Poglavje 14: Mirujo e teko ine ...........................................................................................121
Predstavitev 14.1: Tlak v mirujo i teko ini .....................................................................121
Predstavitev 14.2: Hidravli no dvigalo............................................................................122
Predstavitev 14.3: Vzgon ................................................................................................122
Predstavitev 14.4: rpanje vode iz posode ......................................................................123
Raziskava 14.1: Plavanje in gostota.................................................................................124
Raziskava 14.2: Vzgon ...................................................................................................124
Raziskava 14.3: Vzgon v olju in vodi ..............................................................................125
Poglavje 15: Dinamika teko in............................................................................................126
Predstavitev 15.1: Kontinuitetna ena ba..........................................................................126
Predstavitev 15.2: Bernoullijeva ena ba ..........................................................................127
Predstavitev 15.3: Pretok idealne in viskozne teko ine ...................................................127
Predstavitev 15.4: Vzgon letala .......................................................................................128
Raziskava 15.1: Pretok krvi in kontinuitetna ena ba ........................................................128
Raziskava 15.2: Bernoullijeva ena ba .............................................................................129
Raziskava 15.3: Uporaba Bernoullijeve ena be ...............................................................131
DEL 3: NIHANJA IN VALOVANJA .....................................................................................132
Poglavje 16: Periodi no gibanje ..........................................................................................132
Predstavitev 16.1: Predstavitve harmoni nega gibanja.....................................................132
Predstavitev 16.2: Nihanje matemati nega nihala in vzmeti.............................................133
Predstavitev 16.3: Energija in harmoni no nihanje ..........................................................134
4
Predstavitev 16.4: Vsiljeno in dušeno nihanje..................................................................135
Predstavitev 16.5: Fourierjeva vrsta, kvalitativne zna ilnosti ...........................................136
Predstavitev 16.6: Fourierjeva vrsta, kvantitativne zna ilnosti .........................................137
Raziskava 16.1: Gibanje vzmeti in nihala ........................................................................138
Raziskava 16.2: Gibanje nihala in energija ......................................................................138
Raziskava 16.3: Harmoni no nihanje z in brez dušenja....................................................139
Raziskava 16.4: Gibanje nihala, sile, fazni prostor...........................................................139
Raziskava 16.5: Vzbujano nihanje in resonanca ..............................................................140
Raziskava 16.6: Dušeno in vzbujano nihanje...................................................................141
Raziskava 16.7: Veriga nihal...........................................................................................142
Poglavje 17: Valovanja .......................................................................................................143
Predstavitev 17.1: Vrste valov.........................................................................................143
Predstavitev 17.2: Valovne funkcije ................................................................................144
Predstavitev 17.3: Superpozicija pulzov ..........................................................................144
Predstavitev 17.4: Vsota potujo ih valov.........................................................................145
Predstavitev 17.5: Resonan ni pojavi na vrvi ..................................................................146
Predstavitev 17.6: Napeta vrv..........................................................................................146
Predstavitev 17.7: Skupinska in fazna hitrost...................................................................147
Raziskava 17.1: Seštevanje dveh pulzov..........................................................................148
Raziskava 17.2: Dolo itev lastnosti valovanja .................................................................148
Raziskava 17.3: Potujo i pulzi in pregrade ......................................................................148
Raziskava 17.4: Vsota dveh valov...................................................................................149
Raziskava 17.5: Vsota dveh valov...................................................................................149
Raziskava 17.6: Ustvari stoje e valovanje .......................................................................150
Poglavje 18: Zvok...............................................................................................................151
Predstavitev 18.1: Predstavitve valovanja na površini......................................................151
Predstavitev 18.2: Molekularni pogled na zvo no valovanje............................................151
Predstavitev 18.3: Interferenca v asu in utripi ................................................................152
Predstavitev 18.4: Dopplerjev pojav................................................................................152
Predstavitev 18.5: Položaj nadzvo nega letala.................................................................153
Raziskava 18.1: Tvorba zvoka z dodajanjem harmonskih komponent..............................155
Raziskava 18.2: Tvorba zvoka z dodajanjem harmonskih komponent..............................156
Raziskava 18.3: Mikrofon med dvema zvo nikoma.........................................................157
Raziskava 18.4: Dopplerjev pojav in hitrost izvora..........................................................158
Raziskava 18.5: Reševalni avto vozi z vklju eno sireno ..................................................158
DEL 4: TERMODINAMIKA..................................................................................................159
Poglavje 19: Toplota in temperatura ....................................................................................159
Predstavitev 19.1: Specifi na toplota...............................................................................159
Predstavitev 19.2: Prenos toplote, prevajanje toplote .......................................................159
Predstavitev 19.3: Prenos toplote, sevanje .......................................................................160
Raziskava 19.1: Mehanski ekvivalent toplote ..................................................................161
Raziskava 19.2: Temperaturno raztezanje snovi ..............................................................161
Raziskava 19.3: Kalorimetrija .........................................................................................162
Raziskava 19.4: Ravnovesje toplote ................................................................................163
Poglavje 20: Kineti na teorija in zakon o idealnem plinu.....................................................164
Predstavitev 20.1: Maxwell-Boltzmannova porazdelitev .................................................164
Predstavitev 20.2: Kineti na teorija, temperatura in tlak ..................................................164
Predstavitev 20.3: Termodinamski procesi ......................................................................165
Predstavitev 20.4: Ohlajanje pri izparevanju....................................................................166
Raziskava 20.1: Kineti na teorija, povezave med mikroskopskim in makroskopskim ......167
Raziskava 20.2: Parcialni tlak plinov...............................................................................168
5
Raziskava 20.3: Idealni plinski zakon..............................................................................170
Raziskava 20.4: Ekviparcialni teorem .............................................................................171
Raziskava 20.5: PV diagrami in delo...............................................................................172
Raziskava 20.6: Specifi na toplota pri konstantnem tlaku in konstantni prostornini .........173
Poglavje 21: Toplotni stroji in entropija...............................................................................174
Predstavitev 21.1: Carnotov stroj ....................................................................................175
Predstavitev 21.2: Entropija in reverzibilni/ireverzibilni procesi ......................................175
Predstavitev 21.3: Entropija in izmenjava toplote ............................................................176
Predstavitev 21.4: Toplotni stroji in entropija ..................................................................177
Raziskava 21.1: Izkoristek toplotnega stroja....................................................................178
Raziskava 21.2: Motor z notranjim izgorevanjem............................................................179
Raziskava 21.3: Entropija, verjetnost in mikro stanja.......................................................180
Raziskava 21.3: Entropija, verjetnost in mikro stanja.......................................................181
DEL 5: ELEKTROMAGNETIZEM........................................................................................184
Poglavje 22: Elektrostatika..................................................................................................184
Predstavitev 22.1: Naboj in Coulombov zakon ................................................................184
Predstavitev 22.2: Naboj in masa ....................................................................................185
Predstavitev 22.3: Monopol, Dipol, Kvadropol...............................................................186
Predstavitev 22.4: Naelektritev teles in stati no lepljenje.................................................186
Raziskava 22.1: Ravnovesje............................................................................................187
Raziskava 22.2: Prou i u inek ve nabojev .....................................................................188
Raziskava 22.3: Elektrostati no razvrš anje ....................................................................188
Raziskava 22.4: Simetrija dipola .....................................................................................189
Raziskava 22.5: Elektroskopsko nihalo ...........................................................................189
Raziskava 22.6: Coulombov izziv ...................................................................................190
Poglavje 23: Elektri na polja...............................................................................................190
Predstavitev 23.1: Kaj je elektri no polje?.......................................................................190
Predstavitev 23.2: Elektri na polja zaradi to kastih nabojev ............................................191
Predstavitev 23.3: Predstavitev vektorskih polj s krivuljami ............................................192
Predstavitev 23.4: Prakti na uporaba nabojev in elektri nih polj......................................192
Raziskava 23.1: Polja in preskusni naboji........................................................................193
Raziskava 23.2: Silnice in trajektorije .............................................................................195
Raziskava 23.3: Seštevanje polj ......................................................................................195
Poglavje 24: Gaussov zakon................................................................................................196
Predstavitev 24.1: Elektri ni pretok in Gaussove ploskve ................................................196
Predstavitev 24.2: Bližnji in oddaljeni pogled na žico......................................................197
Predstavitev 24.3: Naelektren valj ...................................................................................198
Raziskava 24.1: Elektri ni pretok in Gaussov zakon........................................................198
Raziskava 24.2: Simetrija in uporaba Gaussovega zakona ...............................................199
Raziskava 24.3: Prevodna in neprevodna krogla..............................................................201
Raziskava 24.4: Uporaba Gaussovega zakona .................................................................202
Poglavje 25: Elektri ni potencial .........................................................................................202
Predstavitev 25.1: Energija in potencial...........................................................................203
Predstavitev 25.2: Delo in ekvipotencialne ploskve ........................................................203
Predstavitev 25.3: Elektri ni potencial in naelektreni krogli ............................................204
Predstavitev 25.4: Konservativne sile..............................................................................205
Raziskava 25.1: Prou evanje ekvipotencialnih krivulj .....................................................206
Raziskava 25.2: Silnice elektri nega polja in ekvipotencialne krivulje.............................206
Raziskava 25.3: Elektri ni potencial okrog prevodnikov .................................................207
Raziskava 25.4: as preleta in masni spektrometer..........................................................207
Raziskava 25.5: Krogla iz prevodnika in iz izolatorja. .....................................................208
6
Poglavje 26: Kapaciteta in dielektriki ..................................................................................209
Predstavitev 26.1: Mikroskopski pogled na kondenzator .................................................209
Predstavitev 26.2: Kondenzator, povezan z baterijo.........................................................210
Predstavitev 26.3: Kondenzator z dielektrikom................................................................210
Predstavitev 26.4: Mikroskopski pogled na serijsko in vzporedno vezane kondenzatorje .211
Raziskava 26.1: Energija.................................................................................................212
Raziskava 26.2: Kondenzatorji, naboj in elektri ni potencial ...........................................213
Raziskava 26.3: Prevodniki in dielektriki ........................................................................214
Raziskava 26.4: Ekvivalentna kapaciteta .........................................................................214
Raziskava 26.5: Kapaciteta koncentri nih valjev .............................................................215
Poglavje 27: Magnetno polje in sile.....................................................................................216
Predstavitev 27.1: Magneti in magnetne igle ...................................................................216
Predstavitev 27.2: Zemljino magnetno polje....................................................................217
Predstavitev 27.3: Masni spektrometer ............................................................................217
Predstavitev 27.4: Magnetne sile na tokove .....................................................................218
Predstavitev 27.5: Trajni magneti in feromagnetizem ......................................................219
Raziskava 27.1: Dolo anje sil in risanje silnic .................................................................220
Raziskava 27.2: Hitrostni filter:.......................................................................................220
Raziskava 27.3: Masni spektrometer ...............................................................................221
Poglavje 28: Amperov zakon ..............................................................................................222
Predstavitev 28.1: Polja zaradi tokov v žicah in zankah ...................................................222
Predstavitev 28.2: Sile med žicami..................................................................................223
Predstavitev 28.3: Amperov zakon in simetrija................................................................223
Predstavitev 28.4: Integral poti........................................................................................224
Raziskava 28.1: Dolg vodnik z enakomerno porazdeljenim tokom ..................................225
Raziskava 28.2: Tok po ploš i.........................................................................................226
Raziskava 28.3: Konfiguracije žic za silo enako ni ........................................................227
Poglavje 29: Faradayev zakon .............................................................................................228
Predstavitev 29.1: Spremenljivo polje in spremenljiva površina ......................................228
Predstavitev 29.2: Zanka v spreminjajo em se magnetnem polju .....................................229
Predstavitev 29.3: Elektri ni generator ............................................................................230
Raziskava 29.1: Lenzov zakon ........................................................................................231
Raziskava 29.2: Sila na premikajo o se žico v enakomernem polju .................................232
Raziskava 29.3: Zanka v bližini žice ...............................................................................233
DEL 6: VEZJA .......................................................................................................................234
Poglavje 30: DC Tokokrog - Enosmerni tok ........................................................................234
Predstavitev 30.1: Zaklju eni tokokrogi ..........................................................................234
Predstavitev 30.2: Stikala, napetosti, zaklju eni tokokrogi...............................................235
Predstavitev 30.3: Delilniki toka in napetosti...................................................................235
Predstavitev 30.4: Baterije in stikala ...............................................................................236
Predstavitev 30.5: Ohmov zakon ....................................................................................236
Predstavitev 30.6: RC vezje ............................................................................................237
Predstavitev 30.7: Kirchoffov zakon o zanki ...................................................................237
Raziskava 30.1: Analiza vezij .........................................................................................238
Raziskava 30.2: Žarnice ..................................................................................................239
Raziskava 30.3: Na rtajmo delilnik napetosti ..................................................................240
Raziskava 30.4: Galvanometri in ampermetri ..................................................................241
Raziskava 30.5: Voltmetri...............................................................................................242
Raziskava 30.6: asovna konstanta RC..........................................................................243
Poglavje 31: AC Vezja........................................................................................................244
Predstavitev 31.1: Gradnik tokokrogov ...........................................................................244
7
Predstavitev 31.2: Izmeni ni napetostni in tokovni vir.....................................................246
Predstavitev 31.3: Transformator ....................................................................................247
Predstavitev 31.4: Fazni zamik........................................................................................248
Predstavitev 31.5: Mo ...................................................................................................249
Predstavitev 31.6: Kazal ni diagram napetosti in tokov ...................................................250
Predstavitev 31.7: RC vezja in kazal ni diagrami ............................................................251
Predstavitev 31.8: Impedanca in resonanca, RLC tokokroga............................................251
Raziskava 31.1: Amplituda, Frekvenca in fazni zamik.....................................................252
Raziskava 31.2: Upornost ...............................................................................................253
Raziskava 31.3: Filtri ......................................................................................................254
Raziskava 31.4: Fazni zamik in mo ...............................................................................254
Raziskava 31.5: RL vezja in kazal ni diagrami................................................................255
Raziskava 31.6: RLC vezja in kazal ni diagrami ............................................................256
Raziskava 31.7: RLC vezje .............................................................................................257
Raziskava 31.8: Dušeno RLC vezje.................................................................................257
DEL 7: OPTIKA .....................................................................................................................258
Poglavje 32: Elektromagnetni (EM) valovi..........................................................................258
Predstavitev 32.1: Izvori elektromagnetnih valov ............................................................258
Predstavitev 32.2: Valovni hribi in doline.......................................................................259
Predstavitev 32.3: Ravni elektromagnetni valovi .............................................................259
Raziskava 32.1: Predstavitev ravnega valovanja..............................................................261
Raziskava 32.2: Ravni valovi in ena ba elektri nega polja ..............................................262
Poglavje 33: Zrcala .............................................................................................................263
Predstavitev 33.1: Zrcala in približki pri majhnih kotih ...................................................263
Predstavitev 33.2: Ravna zrcala.......................................................................................264
Raziskava 33.1: Slika v ravnem zrcalu ............................................................................265
Raziskava 33.2: Pogled v ukrivljena zrcala......................................................................265
Raziskava 33.3: Diagram žarkov.....................................................................................266
Raziskava 33.4: Goriš e in to ka slike ............................................................................266
Raziskava 33.5: Konveksna zrcala, goriš e, krivinski polmer ..........................................267
Poglavje 34: Lom svetlobe ..................................................................................................267
Predstavitev 34.1: Huygensov princip in lom svetlobe.....................................................268
Predstavitev 34.2: Opti na vlakna ...................................................................................269
Predstavitev 34.3: Prizme in disperzija............................................................................269
Raziskava 34.1: Le a in spreminjanje lomnega koli nika ................................................270
Raziskava 34.2: Snellov lomni zakon in totalni odboj......................................................270
Raziskava 34.3: Prvi korak k le i ....................................................................................271
Raziskava 34.4: Fermatov princip in Snellov zakon.........................................................271
Raziskava 34.5: Lomni koli nik in valovna dolžina.........................................................272
Poglavje 35: Le e................................................................................................................273
Predstavitev 35.1: Le a in približek tanke le e ................................................................273
Predstavitev 35.2: Lastnosti razpršilnih le ......................................................................274
Raziskava 35.1: Slika skozi le o .....................................................................................275
Raziskava 35.2: Diagram z žarki .....................................................................................275
Raziskava 35.3: Premikanje le e. ....................................................................................276
Raziskava 35.4: Kaj se skriva za zaveso? ........................................................................276
Raziskava 35.5: Ena ba izdelovalcev le .........................................................................277
Poglavje 36: Opti ne aplikacije ...........................................................................................277
Predstavitev 36.1: Oko....................................................................................................277
Predstavitev 36.2: Fotoaparat ..........................................................................................279
Predstavitev 36.3: Laserska votlina .................................................................................279
8
Raziskava 36.1: Fotoaparat .............................................................................................280
Raziskava 36.2: Daljnogled.............................................................................................280
Poglavje 37: Interferenca.....................................................................................................281
Predstavitev 37.1: Valovna posoda..................................................................................281
Predstavitev 37.2: Dielektri na zrcala .............................................................................283
Raziskava 37.1: Spreminjanje števila in usmeritev izvorov..............................................283
Raziskava 37.2: Spreminjanje razdalje med izvori...........................................................284
Poglavje 38: Uklon .............................................................................................................284
Predstavitev 38.1: Uklon na eni reži ................................................................................285
Predstavitev 38.2: Uporaba uklonske mrežice .................................................................285
Raziskava 38.1: Modeliranje uklona skozi režo ...............................................................286
Raziskava 38.2: Uklonska mrežica..................................................................................287
Poglavje 39: Polarizacija .....................................................................................................288
Predstavitev 39.1: Polarizacija ........................................................................................288
Predstavitev 39.2: Polarizirano elektromagnetno valovanje .............................................289
Raziskava 39.1: Še k polarizaciji.....................................................................................289
Raziskava 39.2: Polarizatorji...........................................................................................290
9
Uvod
Predgovor
Danes si težko predstavljamo u itelja, ki še ni slišal za potrebo po “pou evanju s pomo jo
tehnologije”, saj se je v preteklih letih o tem govorilo tako v izobraževalnih ustanovah kot v
vladnih uradih. Toda pou evanje s pomo jo tehnologije v praksi pogosto pomeni uporabo
tehnologije zaradi tehnologije same in razvijanje pedagoških pripomo kov, ki nimajo pravega
u inka. Pomislite samo na vsa predavanja s programom PowerPoint, ki so postala priljubljena
zaradi doktrine, da je treba “pou evati s pomo jo tehnologije”. eprav so predavanja s
PowerPointom res bolj slikovita, po navadi niso ni bolj interaktivna kot predavanja pred tablo.
Res pa je, da je fizikom pogosto uspelo uporabiti tehnologijo na interaktiven in nadvse u inkovit
na in; sistem brezži ne povezave s študenti na primer omogo a spraševanje v predavalnici, v
laboratorijih, ki so opremljeni z mikrora unalniki, pa se študentom ni ve treba mu iti z
zapisovanjem podatkov, zaradi esar se lahko osredoto ijo na vsebino predavanj. Tem orodjem
dodajava Fiziko fizletov, zbirko uporabnih interaktivnih ra unalniških simulacij za pedagoške
namene. Fizika fizletov je pedagoški pripomo ek, s katerim želiva spodbuditi sodelovanje
u encev pri interaktivnem pouku. Poleg tega je Fizika fizletov dovolj prilagodljiv pripomo ek, da
ga lahko uporabljamo ob razli nih pedagoških metodah in v razli nih okoljih.
Vsebina
Fizika fizletov vsebuje zbirko vaj za pouk fizike na za etni stopnji. V teh vajah je u na snov
prikazana s pomo jo animacij, ki delujejo na podlagi Java apletov. Tem Java apletom pravimo
fizleti, saj gre za pouk fizike s pomo jo Java apletov. V vsakem poglavju Fizike fizletov so tri
razli ne vaje, ki temeljijo na fizletih: predstavitve, raziskave in problemi.
Na predstavitvah so prikazani fizikalni koncepti. U enci komunicirajo s fizleti in tako na
nazoren na in pridejo do odgovorov na zastavljena vprašanja v predstavitvah. Mnoge
predstavitve prikazujejo prakti ne fizikalne primere. Druge predstavitve prikazujejo dolo ene
koncepte ali analiti na orodja. Obi ajno u itelj pred prikazovanjem predstavitev u encem dodeli
uvodne naloge.
Namen raziskav je pedagoški. U encem ponujajo namige in strategije za reševanje problemov in
razumevanje fizikalnih konceptov. Nekatere raziskave od u encev zahtevajo, da predvidijo
rezultate in nato razložijo razlike med predvidevanji in opažanji. V drugih raziskavah morajo
u enci spreminjati parametre in opazovati u inek, saj se tako razvija njihov ob utek za fizikalna
razmerja in ena be. Raziskave so primerne za skupinsko reševanje problemov, doma e naloge in
pripravo na delu v laboratoriju. Koristne so tudi kot razvedrilo pri pouku. Kot dopolnitev k
reševanju nalog v raziskavah so na zgoš enki Fizika fizletov dodane še raziskovalne delovne
pole. Delovne pole so dodaten pripomo ek, ki u encem omogo a lažje raziskovanje, u iteljem pa
lažje razdeljevanje nalog.
Problemi so interaktivna verzija vaj primernih za doma e naloge. U enci pri reševanju
problemov lahko pokažejo svoje znanje brez neposrednega u iteljevega vodstva. Po zahtevnostni
stopnji so zelo razli ni, od vaj namenjenih u encem fizike na srednjih šolah do vaj za študente na
10
univerzi. V nekaterih problemih je treba odgovarjati na konceptualna vprašanja, za reševanje
drugih pa so potrebni natan ni fizikalni izra uni. Problemi so primerni za doma e naloge,
reševanje konceptualnih vprašanj v razredu in skupinsko reševanje problemov.
Pogoji uporabe
U itelji vaj iz Fizike fizletov ne smejo objaviti na internetu brez pisnega privoljenja založnika
izdaje v angleškem jeziku oziroma Wolfganga Christiana in Maria Bellonija, e gre za izdaje v
drugih jezikih. Kot piše tudi na spletni strani, je dovoljena nekomercialna uporaba fizletov
oziroma apletov. U itelje pozivamo, naj objavijo vaje, ki so jih sami naredili s pomo jo fizletov.
Besedila za vaje, ki se rešujejo s pomo jo fizletov, morajo biti dostopna javnosti za
nekomercialno uporabo. Pozivamo vas, da svoje izkušnje delite z drugimi.
Avtorje, ki na internetu objavijo svoje vaje, pri katerih se uporabljajo fizleti, prosimo, da nam po
elektronski pošti pošljejo povezave s svojimi spletnimi stranmi. Objavili jih bomo na spletni
strani http://webphysics.davidson.edu/applets/Applets.html.
Ve podrobnosti lahko najdete na zgoš enki na spletni strani "pogoji uporabe".
Spletni viri
Poleg interaktivnega u nega gradiva v tej knjigi in na zgoš enki bo u itelje morda zanimal tudi
Priro nik za u itelje fizike fizletov Anne J. Cox in Melisse H. Dancy. Priro nik za u itelje fizike
fizletov in raziskovalne delovne pole Thomasa M. Colberta lahko naložite s spletne strani
Prenticea Halla Teaching Innovations in Physics, TiP.
U itelji lahko pridejo na uradno spletno stran Fizike fizletov Prenticea Halla prek spletne strani
TiP na naslovu http://www.prenhall.com/tiponline, kjer poiš ejo povezavo s Fiziko fizletov.
Pred za etkom
Uporaba Fizike fizletov brez vnaprejšnje priprave razreda lahko pripelje do razo aranja. eprav
se vaje v Fiziki fizletov pogosto zdijo lahke, so obi ajno zahtevnejše od tradicionalnih, saj so
za etniške strategije reševanja pogosto neu inkovite. Poleg tega je zelo verjetno, da se bodo, e
sistema najprej ne preizkusimo, pojavile manjše tehni ne težave. Fizlete v uvodnih te ajih na
Kolidžu Davidson pogosto uporabljamo, a semester vedno za nemo z delavnicami, kjer vaje iz
Fizike fizletov rešujemo s fizikalno metodo; problem konceptualno preu imo, odlo imo se,
katero metodo bomo uporabili, katere podatke bomo zbrali, in ga nazadnje rešimo. Šele nato
študentom dodelimo preproste naloge na podlagi fizletov, ki jih morajo rešiti na ra unalniških
omrežjih kolidža. S takšno minimalno pripravo lahko rešimo nekatere težave še preden za nemo
redno uporabljati u no gradivo na podlagi fizletov.
Da bi se izognili za etnim težavam, sva napisala poglavje Uvod v fizlete. To poglavje u ence in
u itelje popelje skozi temeljne principe delovanja fizletov. Ko rešijo naloge v prvem poglavju, so
u enci in u itelji pripravljeni na reševanje nalog v ostalih poglavjih. Pred za etkom in dodelitvijo
nalog u encem preberite tudi poglavji "Preizkus brkljalnika" in "Potrebe operacijskega sistema".
11
Zahvala avtorjev
Pri najinem projektu je pomagalo veliko posameznikov in ustanov, ki se jim iskreno zahvaljujeva
za podporo.
Zahvaljujeva se kolegu Larryju Cainu, ki je presedel dolge ure ob prebiranju besedila in prispeval
mnogo pomembnih predlogov. Zahvaljujeva se tudi kolegom in študentom na kolidžu Davidson,
ki so u no gradivo na podlagi fizletov preizkusili v predavalnicah in laboratorijih. Tehni no
podporo so nudili Mur Muchane in osebje Kolidža Davidson. Rada bi se zahvalila tudi
raziskovalni komisiji kolidža Davidson in dekanu Clarku Rossu, ki je zagotovil osnovna sredstva
za razvoj u nega gradiva na podlagi fizletov. Zahvaljujeva se Nancy Maydole in Beverlyju
Winecoffu, ki sta nam pomagala pri izpolnjevanju obrazcev za denarno podporo.
Za razvoj projekta fizletov je bilo zelo pomembno tudi sodelovanje z neameriškimi univerzami.
Posebej se zahvaljujeva Franciscu Esquembru in Ernestu Martinu z Univerze v Murciji (Španija),
Saši Divjaku z Univerze v Ljubljani (Slovenija) ter Franku Schweickertu z Univerze v
Kaiserslauternu (Nem ija), ki so gradivo na podlagi fizletov prevedli v svoje jezike in v teh
jezikih pripravili tudi spletne strani fizletov.
W.C. se zahvaljuje številnim študentom, ki so mu v preteklih letih pomagali pri razvijanju
programov za pou evanje fizike na univerzi. Nekateri izmed najboljših fizletov so nastali v
sodelovanju s študenti. Posebej bi se rad zahvalil Miku Leeju, Cabelu Fisherju in Jimu Nolenu.
M.B. se zahvaljuje Mariu Capitolu, Anne J. Cox, Edwardu Deveneyju, Harryju Ellisu, Kurtu
Hallerju, Billu Junkinsu, Kenu Krebsu in Stevu Weppnerju za številne koristne in spodbudne
razprave o metodah pou evanja in vklju itvi fizletov v u ni program.
Nekateri so tako pogosto prispevali svoje zamisli in projektu posvetili toliko asa, da sva jih
prišteli med avtorje te knjige. Zahvaljujeva se Anne J. Cox, Melissi Dancy in Aaronu Titusu (ki
ga je podpiral NSF DUE-9952323) za njihove lanke in številne koristne zamisli, ki so nastale kot
plod našega sodelovanja. Zahvaljujeva se tudi Thomasu M. Colbertu, ki je pripravil raziskovalne
delovne pole za knjigo.
Posebej se zahvaljujeva Chucku Bennettu, Scottu Bonhamu, Mortenu Brydensholtu, Anne J. Cox,
Melissi Dancy, Dwainu Damianu, Andrewu Duffyju, Fuju Kwunu Hwangu, Williamu Junkinu,
Stevu Mellemi, Chucku Niederriterju, Evelynu Pattersonu, Petru Sheldonu, Aaronu Titusu in
Toonu Van Hoeckeju, ki so prispevali u no gradivo za knjigo. Zahvaljujeva se tudi Harryju
Broedersu, konzorciju CoLoS, Fuju Kwunu Hwangu, Ernestu Martinu, Toonu Van Hoeckeju in
Vojku Valen i u, ki so za knjigo prispevali svoje aplete.
Zahvaljujeva se vsem,ki so pregledali gradivo za knjigo. Med pisanjem knjige so nama z
opombami pomagali Rhett Allain (Univerza jugovzhodne Louisiane), Cornelius Bennhold
(Univerza Georgea Washingtona), Thomas. M. Colbert (Državna univerza v Augusti), Edward F.
Deveney (Državni kolidž Bridgewater), Kevin M Lee (Univerza v Nebraski) in Steve Mellema
(Kolidž Gustava Adolphusa). Zahvaljujeva se tudi Harryju Ellisu, Eduardu Fernandezu in Stevu
Weppnerju s Kolidža Eckerd za pripombe, ki so jih imeli pri poskusnem pou evanju z vajami iz
te knjige.
12
Ocenjevalne naloge v tej knjigi so navdihnile vaje iz knjige Ocenjevalne fizikalne naloge T.O’
Kuma, D. Maloneyja in C. Hieggelkeja. Njihove dvoletne univerzitetne delavnice so bile izredno
koristne za izmenjavo zamisli. Brez njihove pomo i in zamisli ne bi mogla izboljšati in
izpopolniti sistema fizletov.
Oba se zahvaljujeva Eriku Fahlgrenu, Christianu Bottingu, Marku Pfaltzgraffu in njihovim
sodelavcem na Prentice Hallu za podporo pri razvoju projekta Fizike fizletov in trud, ki so ga
vložili v to. Zahvaljujeva se tudi Ruth Saavedra za urejanje rokopisa in Michaelu Drewu ter
njegovim sodelavcem za oblikovanje knjige. Poleg tega se zahvaljujeva vsem, ki so naju
spodbujali, ženama Barbari in Nancy ter otrokom Beth, Charlieju, Rudyju in Emmy.
Knjigo je delno podprla Nacionalna znanstvena fundacija s pogodbama DUE-9752365 in DUE0126439.
Napotki študentom
Spoznala sva, da se študentom fizike na za etni stopnji uporaba ra unalnikov pri pouku
ne zdi niti nepotrebna niti samoumevna. Sistem fizike fizletov sva razvila na podlagi
izobraževalnih potreb najinih študentov. Najin cilj je bil razvoj ra unalniškega u nega
gradiva, ki se ga da prilagajati razli nim metodam u enja, ki se ga da uporabljati s
standardnimi in preprostimi orodji in ki zajema širok spekter fizikalnih podro ij.
Zanimanje študentov želiva pritegniti z metodo pou evanja, ki se temeljito razlikuje od
tradicionalnega reševanja problemov in pri reševanju problemov terja uporabo
multimedijskih elementov. Ko študente sprašujeva, kaj menijo o fizletih, ali ko
pregledujeva ankete ob koncu semestra, je osupljivo, kako pogosto omenijo, da jim vaje
na podlagi fizletov pomagajo pri predstavljanju fizikalnih pojavov.
“Fizleti mi pomagajo, da si probleme predstavljam, in so precej bolj zanimivi kot
besedilo.”
“Predstavitev problemov s fizleti omogo a, da vidiš, kaj se dejansko dogaja in ti ni treba
ugibati, kaj bi se lahko dogajalo.”
“Fizleti pripomorejo pri spoznavanju prakti ne uporabnosti fizike in posnemajo resni ne
situacije.”
“Interaktivno u no gradivo predstavlja ve ji izziv, saj se zdi, da je probleme tako lažje
rešiti. Koristno je, e nek problem lahko vidiš.”
“Uporaba fizletov na ra unalniku je spodbuda za eksperimentiranje in opazovanje.”
“Z uporabo fizletov kot dodatku k demonstracijam v razredu sterilne matemati ne ena be
oživijo.”
”Ker se posamezniki u ijo na razli ne na ine, ne more škoditi, e profesorji predstavijo
fizikalne probleme z druga ne perspektive.”
13
To so najpogostejše prednosti, ki jih navajajo študentje.
eprav se vaje v Fiziki fizletov pogosto zdijo lahke, so obi ajno zahtevnejše od tradicionalnih, saj
je najprej treba razviti strategijo reševanja problema in šele nato dolo iti, kakšne meritve je treba
napraviti. Poleg tega boste zelo verjetno imeli manjše tehni ne težave, e sistema fizletov ne
poznate.
Da bi se študentje izognili za etnim težavam, sva napisala poglavje Uvod v fizlete. To poglavje
študente popelje skozi temeljne principe delovanja fizletov. Ko rešijo naloge v prvem poglavju, bi
študentje morali biti pripravljeni na reševanje nalog v ostalih poglavjih brez tehni nih zapletov.
Preden za nete, preberite razdelek o preizkusu brkljalnika in sistemskih potrebah.
Preizkus brkljalnika in sistemske zahteve
Preizkus brkljalnika
Fizika fizletov ponuja u iteljem fizike prijazno interaktivno ra unalniško gradivo za celotno
podro je pou evanja fizike na za etni stopnji. U itelji potrebujejo le zgoš enko Fizika fizletov in
brkljalnik, ki omogo a uporabo Java apletov. Uporabljati se ju da na zadnjih verzijah sistemov
Microsoft Windows in Unix. eprav fizlete v asih preizkušamo tudi v povezavi z drugimi orodji,
se sklicujemo predvsem na preizkuse s sistemoma Microsoft Windows 2000 in Windows XP ter
brkljalnikoma IE in Open Source Mozilla. (Fizlete smo preizkusili v Linuxu in razli nih verzijah
Unixa. Med operacijskimi sistemi ve jih podjetij le Applov ne omogo a uporabe fizletov, saj
standardni Macintoshev brkljalnik in brkljalnik Power PC v povezavi z Javo ne delujeta.)
Microsoftova Java
Ve ina verzij Windowsov, eprav ne vse, vsebuje program Microsoft Java Virtual Machine
(JVM). Za preizkus, e je program JVM nameš en na vašem ra unalniku, v DOS-u vtipkajte ukaz
jview. e se program zažene, potem je vse v redu, v nasprotnem primeru pa vas bo ra unalnik
obvestil, da tega programa nima.
Program Microsoft JVM je nameš en skupaj s programom Windows Update. V asih se ga je dalo
naložiti posebej, zdaj pa Microsoft uporablja le program Windows Update. Glavno Microsoftovo
spletno stran o Javi najdete na naslovu http://www.microsoft.com/java.
Sun Microsystems Java
Sun JVM poiš ite na spletni strani http://java.sun.com. Ko datoteko posnamete na trdi disk,
dvakrat pritisnite na ikono za namestitev. Sledite navodilom za namestitev.
S pritiskanjem na ikono za priklju itev Jave na Microsoftovi nadzorni ploš i lahko preverite, e je
sistem Sun JVM dobro nameš en ali spremenite nastavitve.
14
Slika 1: nadzorna ploš a z ikono za priklju itev Jave.
Odprlo se bo naslednje pogovorno okno.
Slika 2: Pogovorno okno za priklju itev Jave odprete na Windovsovi nadzorni ploš adi
eprav lahko hkrati namestite tako Microsoftov kot Sunov program Java VM, brkljalnik lahko
uporablja le enega naenkrat. Z Internet Exlprorerjem lahko prehajate iz enega v drug program.
Odprite IE in v meniju pritisnite na tipko Advanced. Odprlo se bo pogovorno okno, prikazano na
sliki
3.
15
Slika 3: V Internet Explorerju odpremo pogovorno okno Advanced.
Slika 3 prikazuje ra unalnik, na katerem sta nameš ena dva programa Java VM. Trenutno je
odprt Microsoftov VM. Sunov VM lahko odpremo šele po namestitvi programa Java Run-Time
Environment. e želite zamenjati program VM, morate zapreti vsa okna brkljalnika, a
ra unalnika ni treba ponovno zagnati.
Drugi brkljalniki
Operacijski sistem Windows poleg Internet Explorerja omogo a tudi uporabo brkljalnikov
Netscape, Opera in Mozilla. Z Mozilline spletne strani na naslovu http://www.mozilla.org lahko
naložite brkljalnik.
Ko naložite datoteko na trdi disk, dvakrat pritisnite na ikono za namestitev. Sledite navodilom za
namestitev. Mozillin brkljalnik deluje s programom Sun JVM.
16
Avtorji
Pri vsaki vaji v Fiziki fizletov® je naveden avtor besedila in Java apletov. Kjer avtor ni naveden,
pomeni, da sta u no gradivo, ilustracije, raziskave in vaje prispevala Wolfgang Christian in Mario
Belloni in da je aplete naredil Wolfgang Christian s pomo jo svojih študentov na kolidžu
Davidson.
U no gradivo so prispevali naslednji avtorji (kjer ni navedeno druga e, pomeni, da je avtor
ilustracij, raziskave in vaje obenem tudi avtor besedila): Chuck Bennett, Scott Bonham, Morten
Brydensholt, Anne J. Cox, Melissa Dancy, Dwain Damian, Andrew Duffy, Fu-Kwun Hwang,
William Junkin, Steve Mellema, Chuck Niederriter, Evelyn Patterson, Peter Sheldon, Aaron
Titus, and Toon Van Hoecke.
Java aplete so prispevali naslednji avtorji: Harry Broeders, Konzorcij CoLoS, Fu-Kwun Hwang,
Ernesto Martin, Toon Van Hoecke in Vojko Valen i .
Avtorske pravice za angleško izdajo Fizike fizletov in za besedilo ob ilustracijah, raziskavah in
vajah ima Prentice Hall, za izdaje v drugih jezikih pa Wolfgang Christian in Mario Belloni. K
temu niso prištete vaje za splošno uporabo. Naslove spletnih strani z vajami iz fizike fizletov
lahko dobite na zgoš enki Fizika fizletov.
Pri prevodu v slovenš ino so sodelovali: Saša Divjak, Alenka Kav i , Matija Marolt, Marko
Privošnik, Milan Gaberš ek, Marko Simsi , Krste Jovanoski, Ivan Drnovšek, Simon Muha, Jurij
Knez, Krešimir Tomas, Luka ehovin, Anton Vah i , Matjaž Perpar, Ciril, Andrej Kašnik, Sašp
Zagoranski, Rok Kaver, Filip Boži .
Sistem fizletov oziroma apletov je razvil Wolfgang Christian s pomo jo svojih študentov na
kolidžu Davidson. Physlet® je registrirana blagovna znamka Wolfganga Christiana. Dovoljena
je nekomercialna uporaba fizletov oziroma Java apletov v skladu s Pogoji uporabe, ni pa
dovoljeno brez privoljenja objaviti besedila knjige Fizika fizletov.
Avtorske pravice
Avtorske pravice za angleško izdajo Fizike fizletov in za besedilo ob ilustracijah, raziskavah in
vajah ima Prentice Hall, za izdaje v drugih jezikih pa Wolfgang Christian in Mario Belloni. K
temu niso prištete vaje za splošno uporabo. Naslove spletnih strani z vajami iz fizike fizletov
lahko dobite na zgoš enki Fizika fizletov.
Nekomercialna uporaba fizletov oziroma apletov v Javi je dovoljena pod spodaj navedenimi
pogoji.
Pogoji za uporabo fizletov
U itelji vaj iz Fizike fizletov ne smejo objaviti na internetu brez pisnega privoljenja založnika
angleške izdaje ali Wolfganga Christiana in Maria Bellonija, e gre za izdaje v drugih jezikih.
Kot piše tudi na spletni strani, je dovoljena nekomercialna uporaba fizletov oziroma apletov.
U itelje pozivamo, naj objavijo vaje, ki so jih sami naredili s pomo jo fizletov. Besedila za vaje,
ki se rešujejo s pomo jo fizletov, morajo biti dostopna javnosti za nekomercialno uporabo.
17
Pozivamo vas, da svoje izkušnje delite z drugimi.
Avtorje, ki na internetu objavijo svoje vaje, pri katerih se uporabljajo fizleti, prosimo, da nam po
elektronski pošti pošljejo povezave s svojimi spletnimi stranmi. Objavili jih bomo na spletni
strani http://webphysics.davidson.edu/applets/Applets.html.
Pod naslednjimi pogoji je dovoljena uporaba fizletov za neprofitne in vzgojne dejavnosti brez
privoljenja Wolfganga Christiana in kolidža Davidson:
•
Vaje, pri katerih se uporabljajo fizleti, torej obravnavani problemi, animacija in drugo
izobraževalno gradivo, morajo biti dostopne javnosti za nekomercialno uporabo.
•
Vsaj na eni spletni strani osebe ali izobraževalne ustanove, ki uporablja aplete, mora biti
navedeno, da so sistem fizletov razvili na kolidžu Davidson. Zadostuje objava logotipa
kolidža Davidson ali preprosto njegova omemba in objava povezave z arhivom fizletov
kolidža Davidson.
•
Kolidža Davidson ni potrebno omenjati pri vsaki vaji ali na vsaki spletni strani, kjer se
uporabljajo fizleti. Želimo si, da bi u itelji fizlete imbolj smiselno vklju evali v u ni
program.
•
V publikacijah, kjer bodo objavljeni dosežki pri uporabi fizletov, mora biti naveden naslov
spletne strani fizletov. Pozivamo vas, da svoje izkušnje delite z drugimi. Avtorje, ki na
internetu objavijo svoje vaje, pri katerih se uporabljajo fizleti, prosimo, da nam po elektronski
pošti pošljejo povezave s svojimi spletnimi stranmi. Objavili jih bomo na naši spletni strani.
Sistem fizletov oziroma apletov je razvil Wolfgang Christian s pomo jo svojih študentov
na kolidžu Davidson. Physlet® je registrirana blagovna znamka Wolfganga Christiana.
Komercialna uporaba
Za komercialno uporabo fizletov oziroma Java apletov je potrebna pisna privolitev Wolfganga
Christiana.
18
Del 1: Mehanika
Poglavje 1: Uvod v fizlete
To poglavje je uvod v razli ne tipe interaktivega u nega gradiva, ki ga boš našel v Fiziki
fizletov®. Poleg tega daje to poglavje kratko lekcijo o osnovnih ra unalniških veš inah, ki jih boš
potreboval za izvajanje, interakcijo in zaklju ek nalog.
Predstavitev 1.1: Primerjava stati nih slik in animacij s fizleti
Predstavitev 1.1 opisuje, kako naj uporabljamo fizlete. Fizlet
(angleško Physlet ) je fizikalni aplet. S fizleti animiramo fizikalne
pojave in z njimi odgovarjamo na vprašanja, vezana na te pojave.
V asih moramo iz fizletskih animacij zbrati podatke in za odgovor
kaj izra unati. V asih je dovolj le opazovanje animacij. Fizletske
animacije, ki so predstavljene v Fiziki fizletov®, so podobne
stati nim slikam v u benikih. Vendar je ve razlik, ki jih moramo
prou iti, saj bomo to vrsto animacij v tem delu intenzivno
uporabljali. Najprej si oglejmo sliko, ki smo jo vzeli iz dela
Principia avtorja Isaaca Newtona. To je stati na slika, ki
ponazoruje možne tire teles okrog Zemlje. Predstavljamo si telesa,
ki jih z razli nimi za etnimi hitrostmi vržemo z vrha gore in ugibamo, kje bodo pristala. (Morali
bi si tudi predstavljati, da bi lahko telesa pri primernih pogojih krožila okrog Zemlje.)
Sedaj si poglejmo podoben primer z animacijo s fizleti.
Animacija kaže 10 enakih žog, ki jih vržemo z vrha
gore. Za etni položaji žog so enaki, imajo pa razli ne
za etne hitrosti. Ponovni zagon.
S klikom na gumb "predvajaj" sprožimo animacijo.
Opazimo, da animacijo krmilimo s podobnimi gumbi,
kot jih imamo pri predvajalnikih videotrakov, CDjev in
podobnih napravah. Gumbi imajo naslednji pomen:
• predvajaj sproži animacijo in jo izvaja do njenega
konca ali prekinitve.
• prekini prekine animacijo. Animacijo nadaljujemo
s ponovnim klikom na gumb "predvajaj".
• <<korak v animaciji naredimo en
asovni korak nazaj (velikost asovnih korakov je v
animacijah razli na). V tej animaciji gumba "<<korak" nimamo.
• korak>> v animaciji naredimo en asovni korak naprej.
• reset postavi as v animaciji na za etni as. S klikom na gumb "predvajaj" nato animacijo
ponovno zaženemo.
19
Pomen teh gumbov moramo poznati, ker jih bomo v naslednjih animacijah s fizleti pogosto
zasledili.
Poleg teh gumbov imamo tudi hipertekstne povezave, s katerimi krmilimo, katera animacija se
naj sploh izvaja. Tako imamo na tej strani povezavo Ponovni zagon, s katero obnovimo aplet
tako, kot je bil ob prvotnem nalaganju strani. Na drugih straneh bomo tako pogosto izbirali,
katero animacijo želimo, Ponovni zagon pa nas vedno vrne na za etno situacijo, kot je bila pri
vstopu v stran.
Kaj je torej boljšega pri tej animaciji v primeri s stati no sliko? Marsikaj. Ve ina primerov v
fiziki se nanaša na telesa v gibanju. Težko razumemo podrobnosti gibanja nekega telesa, e to
opisujemo s stati no sliko. Primeri, ki jih bomo uporabljali, so interaktivne animacije, zato bomo
podrobnosti gibanja teles opazovali med njihovim gibanjem.
Ponovi zagon animacije (ali jo resetiraj). Kaj opaziš pri gibanju žog? Na primer, kaj lahko poveš
o gibanju žog, ki imajo tire znotraj poti rde e žoge? Kaj lahko poveš o gibanju žog, ki imajo tire
izven poti rde e krogle? Predvsem ugotovimo, da so vse poti v bistvu elipse (sploš eni krogi), kar
pa ne velja za rde o žogo, ki se giblje po krožnici. Poleg tega se hitrost vseh žog, razen rde e,
med potovanjem po tirih spreminja. Notranje žoge potujejo hitreje blizu dna zaslona in po asneje
na vrhu. Zunanje žoge pa so po asnejše na dnu in hitrejše na vrhu. (Opomba: namenoma so
prikazani celotni tiri žog, tudi tistih, ki bi sicer tr ile v Zemljo. Tak prikaz je pa zato, da lahko
vse tire primerjamo.)
Tako obnašanje ni nekaj, kar je povsem jasno iz Newtonove skice v delu Principia, v animaciji pa
je to jasno. Ta pojav je še bolj nazoren, e vidimo le tri žoge. Slike "silhuet" žog so risane v
enakih asovnih presledkih, kar še dodatno ponazoruje ta pojav, ko kliknemo na animacijo s tremi
žogami. Ne pozabi: po izbiri animacije spet klikniti na gumb "predvajaj"!
V naravoslovnih znanostih so simulacije vedno deterministi ne. Determinizem pomeni, da se
med potekom asa simulacije ravnajo v skladu z vnaprej dolo enim matemati nim modelom.
Modeli, ki jih zgradimo, lahko predstavljajo fizikalno resni nost, ali pa tudi ne. Pravzaprav bomo
pogosto pokazali ve modelov in vprašali, kateri model se sklada z nekim poskusom. Ne
predpostavljaj, da prav vsaka simulacija uboga zakone fizike.
Ne smemo mešati pojma deterministi en in napovedljiv. Simulacije, ki so odvisne od naklju nih
števil, vsebujejo veliko število parametrov ali oponašajo kaos, so pogosto nenapovedljive, ker je
lahko to no obnašanje odvisno od izredno majhnih sprememb za etnih pogojev. Vendar pa lahko
model še vedno daje koristne informacije o tipih obnašanja, etudi podrobnosti dinamike ne
moremo dolo iti.
Predstavitev 1.2: Animacije, enote, meritve
Ve ina fizikalnih problemov je idealizacija resni nih
fizikalnih primerov. V marsikaterem primeru se za no telesa
premikati, še preden lahko spregovorimo o pojavu. To
dopuš a, da se posvetimo posameznim pojmom. Tudi
animacije s fizleti se od tega ne razlikujejo. Animacije
ponazarjajo kratek asovni interval "življenja" telesa. V asih
telesa v za etku mirujejo, ko pa kliknemo na gumb
20
"predvajaj", se za no premikati. V drugih primerih se telo giblje, še preden kliknemo na gumb
"predvajaj", klik na ta gumb pa le sproži animacijo. Oglej si, ali se telo za ne gibati šele ob
za etku animacije, ali pa se je gibalo že prej. Obe animaciji na tej strani (Animacija 1 in
Animacija 2; ne pozabiti klikniti na gumb za predvajanje) ponazarjata telesa, ki se ob za etku
animacije (v asu t = 0) že premikajo. (Podobno se v nekaterih primerih tudi po koncu animacije,
ko opazimo napis "Konec animacije", telo še lahko giblje. To stalno gibanje le ni narisano.)
Enote so za fizike pomembne. Vendar pa ra unalniki pomnijo števila, ta pa nimajo enot.
Ra unanje poteka tako kot na kalkulatorju. Ponovni zagon. To lahko povzro a zmedo, saj as in
razdalje, prikazane na zaslonu nimajo že vnaprej dolo enih povezav z resni nim svetom. Z
drugimi besedami, sami lahko dolo imo, kakšna je ta povezava. V Animaciji 1 na primer lahko
del animacije,ki predstavlja model gibanja elektrona, dolo a za enoto razdalje 10-9 m oziroma 1
nm, asovna enota pa je lahko 10-6 s,torej 1 s. Drug del animacije lahko ponazarja osebo, ki hodi
ter dolo i enoto za razdalje 1 m, as pa bi lahko bil dolo en v sekundah. Tretji del animacije
morda ponazarja zvezdo in dolo a, da je enota za razdaljo 108 metrov, as pa bi lahko merili v
Zemljinih letih. V splošnem moramo pogledati, o kakšnih asovnih enotah govori primer s fizleti:
Na zgoš enki Fizika fizletov so vse enote pri vsakem primeru podane poudarjeno. Enote za
animacijo 2 so podane v naslednjem odstavku.
Ra unalniške simulacije sicer omogo ajo natan no definiranje parametrov, vendar resolucija teh
parametrov ni neskon na. Števila, s katerimi ra unamo položaj in hitrost delca, imajo kon no
natan nost, algoritem pa osvežuje te vrednosti v diskretnih asih. Zato so tudi podatki, ki jih
lahko dobimo na zaslonu, na voljo le v dolo enih asovnih intervalih. Kadarkoli vidimo tak
podatek na zaslonu v števil ni obliki, je to en do zadnje prikazane številke. Poženi Animacijo 2
in nadaljuj spodnje postopke za izmero položajev (položaj je podan v metrih, as je v
sekundah).
Nekateri primeri zahtevajo, da meritve izvedemo tako, da z miško kliknemo v animacijo in miško
vle emo. Poskusi. Kurzor postavi v animacijo, klikni z levim miškinim gumbom ter premikaj
miško, medtem, ko pritiskaš na ta gumb. Med vle enjem miške opazuj v levem spodnjem okencu
animacije spreminjanje vrednosti koordinat x in y. Opazuj, kako se te vrednosti spreminjajo. Ali
lahko med vle enjem miške ugotoviš, kje je izhodiš e koordinatnega sistema? V tej animaciji je
to lahko vprašanje, saj sta koordinatni osi prikazani. Vendar ni vedno tako. Lahko pa z vle enjem
miške vedno najdeš izhodiš e koordinatnega sistema.
Poleg tega velja, da te meritve ne morejo biti bolj natan ne od ene grafi ne to ke (piksla) na
zaslonu. Zato se lahko odgovori med razli nimi uporabniki fizletov delno razlikujejo.
Kje je na primer mož v Animaciji 2 ob asu t = 10 s? Lahko bi dobili odgovore med 19.4 metri in
20.3 metri, pa glede na to, kje sploh merimo moložaj moža, na njegovem hrbtu, v sredini ali
spredaj. Za dobro opravljene meritve moramo biti predvsem konsistentni.
Pazljivi moramo biti tudi pri izbiri postopkov za reševanje problemov, ki naj ne temeljijo na
ra unanju z razlikami med števili, ki so približno enaka. e so spremembe pomembnih
parametrov premajhne, ne moremo iz animacij izluš iti dolo enih pravilnih ugotovitev.
21
Predstavitev 1.3: Kako beremo podatke
V predstavitvi 1.2 smo obravnavali enote, spoznali smo tudi
kako odbiramo z animacije položaj teles oziroma razdalje s
klikom in vle enjem miške. V tej predstavitvi bomo spoznali
še nekaj drugih na inov, kako razbiramo podatke iz
animacij. Ponovni zagon.
Najprej izberi Animacijo 1 (položaj je podan v metrih, as
je v sekundah). V animaciji vidimo rde o žogo, ki se bo po
kliku na gumb "predvajaj" za ela premikati po zaslonu. Ob
rde i žogi so ponazoritve njenega položaja: Števil ni zapis
položaja, podatkovna tabela, diagram, puš ica in slike
vmesnih položajev telesa. Seveda pa lahko izmeriš položaj
tudi z vle enjem miške.
Zakaj imamo te razli ne predstavitve? Izberi Animacijo 1 ali resetiraj animacijo in jo spet
predvajaj. Opazuj, kako se te razli ne predstavitve gibanja spreminjajo med gibanjem žoge. Fiziki
z veliko izkušnjami lahko gledajo gibanje teles in povedo marsikaj o lastnostih gibanja. Kako to
naredimo? Miselno imamo v naših glavah razli ne predstavitve. In sicer:
•
•
•
•
•
Števil ni podatki na zaslonu lajšajo meritve, saj imamo vrednosti stalno na voljo. Tako
lahko podajamo kakršnokoli spremenljivko, ne le položaj.
Tabele podatkov so uporabne za primerjanje dveh ali ve vrednosti, ki se spreminjajo v
animacijah, tako kot v zgornji animaciji, kjer se spreminjata as in položaj.
Diagrami oziroma grafi so uporabni za skupno predstavitev na primer podatkov o gibanju
teles v odvisnosti od asa. Ko dobimo diagram primernega videza, lahko v fizletih vedno
kliknemo nanj z desnim miškinim gumbom, dobimo tako njegovo kopijo, ki jo lahko nato
primerno pove amo. Poskusi!
Puš ice kažejo vektorske koli ine. V zgornji animaciji kaže puš ica vektor položaja. Za
razliko od števil nih podatkov ali tabel ponazarja puš ica tako velikost kot smer (takim
koli inam pravimo vektorji).
Slike vmesnih položajev: Uporabljamo jih za prikaz gibanja in jim pravimo tudi diagram
gibanja. Z diagramom gibanja lajšamo miselno predstavo o gibanju. V zgornjem primeru so
slike vmesnih položajev prikazane v enakih asovnih presledkih.
V primerih s fizleti ne bodo nikoli uporabljene vse te predstavitve hkrati. Obi ajno uporabimo
eno ali dve predstavitvi, ki najbolje oslikujeta nek pojav. Izberi Animacijo 2 (položaj je podan v
metrih, as je v sekundah) in opazuj ponazoritev hitrosti.
Opomba: tako najve krat ponazorujemo gibanje, ki naj bi se za elo še pred proženjem animacije
in ki naj bi se nadaljevalo tudi po koncu animacije. V animacijah na tej strani naj bi se žoga
vedno gibala, tako pred za etkom animacije, med njenim potekom in po njenen koncu s hitrostjo
3 m/s.
Ko dobiš diagram primernega videza, klikni nanj z desnim miškinim gumbom in kopijo diagrama
primerno pove aj.
22
Raziskava 1.1: Ugotovi položaj s klikom in vle enjem miške
Nekateri primeri zahtevajo, da v animaciji izvajamo meritve tako, da v okno kliknemo z miško in
jo nato premikamo oziroma "vle emo". Take meritve so lahko to ne le do resolucije ene
grafi ne to ke. To pomeni, da lahko pri meritvah dobimo delno razli ne rezultate. Ponovni
zagon.
S pomo jo postopka, ki sledi, izmeri asovni potek položaja moža v smeri x (položaj je podan v
metrih, as je v sekundah):
a. Prekini animacijo v asu t = 0 s (morda boš moral narediti korak nazaj oziroma resetirati
animacijo).
b. S kurzorjem znotraj okna z animacijo pritisni levi miškin gumb in povle i kurzor na središ e
moža ter izmeri njegov položaj v smeri x.
c. Korakoma se premakni za 2 s in si zapiši nov položaj moža v smeri x.
d. Ponavljaj te meritve v asih t = 4, 6, 8, 10, in 12 s.
Ko kon aš nalogo (v postavki "d") si oglej podatke v tabeli.
e. Ali se tvoji tabelirani podatki ujemajo s podatki v tej tabeli? Zakaj da, oziroma zakaj ne?
Raziskava 1.2: Vnos podatkov, števila
Raziskava 1.2 prikazuje 10 enakih žog, ki jih vržemo z vrha
gore (položaj je podan v poljubnih enotah, tudi as je v
poljubnih enotah). Za etni položaji žog so enaki, imajo pa
razli ne za etne hitrosti. Razlika v poteh oziroma orbitah zato
nastane zaradi razli nih za etnih hitrosti. Ponovni zagon.
Raziskati ho emo, kako vnašamo v animacijo razli ne
numeri ne podatke in tako spreminjamo prikazano animacijo.
Klikni na gumb "Nastavi vrednost in predvajaj". Zatem
spremeni za etno vrednost y0 tako, da vtipkaš v okence novo
23
vrednost in spet klikneš na gumb "Nastavi vrednost in predvajaj".
a. Poiš i meje vrednosti, ki jih lahko vtipkaš v okence.
b. Zakaj sta bili izbrani prav ti mejni vrednosti?
c. Sedaj vtipkaj "abcd". Kaj se zgodi?
Raziskava 1.3: Vnos podatkov, izrazi
V nekaterih animacijah moramo za nadzor
animacije vnesti kakšno funkcijo oziroma izraz
(položaj je podan v centimetrih, as je v
sekundah). Ponovni zagon. V Raziskavi 1.3
moraš vnesti funkcijo(t), s katero krmilimo položaj
rumenega Lamborghinija. Pri vnosu funkcij
moramo upoštevati nekaj pravil. Opazimo, da je
privzeta funkcija, vpisana v okencu 3*t in NE 3t.
Tako obi ajno v ra unalništvi zapišemo produkt.
Kot znak za množenje uporabimo med faktorjema
zvezdico (*). Odstrani jo in poglej, kaj se bo
zgodilo. Dobil bi opozorilo, da je to napaka.
Deljenje zapišemo kot t/2 in NE t\2. Poleg tega razumejo fizleti še naslednje funkcije:
sin(a)
asin(a)
step(a)
abs(a)
cos(a)
acos(a)
sqrt(a)
ceil(a)
tan(a)
atan(a)
sqr(a)
floor(a)
sinh(a)
asinh (a)
exp(a)
round(a)
cosh(a)
tanh(a)
acosh(a) atanh(a)
ln(a)
log(a)
sign(a)
int(a)
frac(a)
pri emer "a" predstavlja spremenljivko funkcije (v našem primeru bi to bil lahko t).
Poskusi krmiliti Lamborghinija z naslednjimi funkcijami (v bistvu krmilimo x(t) rde e krogle, ki
je prilepljena na Lamborghinija):
a.
b.
c.
d.
e.
0.3*t*t
-20*t+3*t^2 (opomba t^2 je ekvivalent za t*t)
int(t)
10*sin(pi*t/2)
step(t-2)*3*(t-2)
Poigraj se še s kakšnim drugim izrazom, da dobiš izkušnje. Poskušaj obdržati Lamborghinija v
oknu!
Ko dobiš primeren diagram, lahko z desnim klikom na miško dobiš njegovo kopijo in jo primerno
pove aš.
24
Problem 1.1
Med laboratorijskimi vajamo je zelo verjetno, da bomo morali
zelo natan no meriti dimenzije teles. Za natan no merjenje
dolžine majhnih predmetov (na primer manjših od 20 cm)
lahko uporabljamo kljunasto merilo ( merska enota na
kljunastem merilu so lahko centimetri). Predmet damo v
kljunasto merilo, le-to stisnemo ob predmet in odberemo
vrednost. Ponovni zagon.
V animaciji premikamo rde o piko na kljunastem merilu in ga
tako premikamo. Kurzor se bo pri vstopu v rde o piko spremenil v majhno rokico. Kliknemo z
levim miškinim gumbom in z vle enjem miške merilo premaknemo.
Zareza 0 na premakljivem delu merila kaže na izmerjene centimetre in milimetre (desetinke
centimetra). Obi ajno bo ta zareza kazala med dve zaporedni milimetrski zarezi. Z merilom lahko
izmerimo tudi desetinke milimetra tako, da pogledamo, katera rtica na premakljivem delu se bo
poravnala z neko zarezo na fiksnem delu merila. Številka na premakljivi lestvici pove desetinke
milimetra. Po kliku na Ponovni zagon je privzeti položaj kljunastega merila 1.64 cm.
Preskusi merilo še sam s pomo jo animacij od 1 do 4. Kakšne so dimenzije predmetov v
animacijah? Opomba: V animaciji 4 moramo najprej prestaviti predmet, ki ga nato lahko
izmerimo.
Problem 1.2
Animacija kaže premikanje avtomobil ka - igra e (položaj je podan v centimetrih, as je v
sekundah).
Odbiraj podatke iz animacije in nariši asovni potek položaja
avtomobil ka. Podatke dodajaš v diagram tako, da vtipkaš
vrednosti (t,x) v okenci in nato še klikneš na gumb "vpis
podatka". Nov diagram narediš tako, da najprej po istiš stari
diagram s klikom na gumb "briši graf" in vnašanje podatkov
ponoviš.
Ko vneseš dovolj podatkov (potrebuješ ve kot pet to k), klikni
na gumb "linearna regresija" in tako izra unaj linearno
regresijo, nakar se nariše premica pod primernim naklonom. e
kasneje dodaš podatke, se regresijska premica zbriše in moraš
regresijo ponoviti. Ponovni zagon.
a. Odberi naklon in presešiš e premice.
b. Kaj ti dve vrednosti pomenita glede na gibanje igra ke Lamborghini?
Ko dobiš diagram s primernim izgledom, lahko z desnim klikom nanj dobiš njegovo kopijo in to
primerno pove aš.
25
Problem 1.3
Z miško porivaj zadnji odbija traktor ka (rde a pika). Cilj
te naloge je ujemanje asovnega poteka
položaja/hitrosti/pospeška z narisanimi poteki (položaj je v
centimetrih, as je v sekundah). Poteka hitrosti in pospeška
sta nekoliko izglajena. Ponovni zagon.
Poskusi uskladiti gibanje traktor ka s krivuljami in nato
odgovori na naslednji vprašanji:
a. Kateri diagram najlažje uskladimo, katerega pa najtežje?
b. Zakaj? Svoj odgovor nasloni na fiziko in matematiko.
Ko dobiš diagram s primernim videzom, ga z desnim klikom kopiraj in kopijo ustrezno pove aj.
Poglavje 2: Kinematika v eni dimenziji
Gibanje vzdolž premice, imenovano tudi enodimenzionalno gibanje, lahko prikažemo na mnogo
na inov: kot ena bo, graf, podatki v tabeli ali kot animacijo. Vse štiri predstavitve so koristne pri
reševanju nalog.
Prou evanje gibanja v eni, dveh ali treh dimenzijah se imenuje kinematika. Kar razlikuje
kinematiko od tehnik, ki jih bomo prou evali kasneje, je to, da se zaenkrat ne sprašujemo, zakaj
se telo giblje v dani smeri. Kar nas zanima, je le opis gibanja. Ne misli, da to zmanjšuje vrednost
prou evanja kinematike. Ravno nasprotno. Kinematika je uporabna ravno zato, ker je neodvisna
od povzro itelja gibanja. Nau ili se bomo s skupnim jezikom opisovati gibanje, in to neodvisno
od povzro itelja.
Predstavitev 2.1: Položaj in premik
V fiziki pogosto govorimo o prepotovani razdalji
in o premiku, s katerim opisujemo spremembo
lege opazovanega telesa. V asih se nam zdi, da
izraza zamenjujemo med seboj. Vendar ni nujno,
da sta res enaka. Prepotovana razdalja je razdalja,
ki jo je telo prepotovalo. Premik pa je primerjava
med kon no in za etno lego: x = x - x0, razdalja
opravljena med gibanjem telesa. Ali veš za primer,
ko sta prepotovana razdalja in premik enaka ali
razli na? Ponovni zagon.
Prikazani sta animaciji, v katerih je prikazan graf
odvisnosti poti od asa za tri tovornjake (pot je
podana v centimetrih, as pa v sekundah).
26
Puš ica v animaciji nakazuje, kje je izhodiš e koordinatnega sistema. Vse meritve poti so
izvedene glede na to izhodiš e. Animacija 1 prikazuje tri tovornjake, ki štartajo iz razli nih
položajev pri asu t = 0 s. V tej animaciji je prepotovana razdalja za vse tovornjake enaka
premiku.
Ves as se moramo zavedati, da vsakega izmed tovornjakov za zdaj obravnavamo kot idealno
telo. Vedno namre upoštevamo položaj primernega dela tovornaka in nato opisujemo gibanje le
za ta del. Tako pri tej animaciji opazujemo prednje odbija e tovornjakov, lahko pa bi tudi zadnje
odbija e ali sredine tovornjakov. Kar je pomembno, je, da smo natan ni pri merjenju. Položaj se
bo sicer v odvisnosti od mesta meritve spreminjal (prednji odbija , sredina, zadnji odbija ),
vendar bo vektor premika vedno ostal enak. Torej v fiziki položaj ni pomemben, pomebna pa je
spremeba položaja ali premika.
Ko boš dobil lep graf, pritisni nad njim desni miškin gumb, s imer se bo ta prikazal v novem
oknu in s pove avo postal bolj pregleden.
Kaj so povpre ne hitrosti tovornjakov v Animaciji 1? eprav tovornjaki štartajo iz razli nih
položajev, imajo vsi trije enako povpre no hitrost. To je razvidno iz naklonov v diagramu
(opomba: prepotovana razdalja in premiki so za posamezne tovornjake enaki). V Animaciji 2 so
za etni položaji treh tovornjakov enaki, vendar posamezni tovornjaki prepotujejo razli ne
razdalje in imajo razli ne premike. Tovornjak z najve jo povpre no hitrostjo je tisti z najve jim
naklonom v diagramu s asovnim potekom premika.
Predstavitev 2.2: Povpre na hitrost
Ko je hitrost telesa stalna, je povpre na hitrost enaka
trenuti hitrosti, obe pa v asu ostaneta stalni (lega je
podana v centimetrih, as pa v sekundah). To je
razlog zakaj zapišemo naslednjo definicijo za
povpre no hitrost,
vpovpre na = x / t .
Ena bo uporabimo za opis gibanja pri konstantni
hitrosti. Ena bo lahko zapišemo tudi kot x = x0 + v (t
- t0). Toda kaj se zgodi, ko se objekt ne giblje s
konstantno hitrostjo?
Ponovni zagon.
Dokler ne bomo v poglavju 4 in 5 spoznali, zakaj se stvari gibljejo (Newtonovi zakoni), lahko za
opis gibanja telesa še vedno uporabljamo koncept povpre ne hitrosti. Animacija prikazuje igra o
Lamborghini, ki potuje pri nekonstantni hitrosti.
Kakšna je povpre na hitrost Lamborghinija, vpovpre na, v asovnem intervalu med t = 5 s in t = 10
s? Je to še vedno odmik ulomljeno z asovnim intervalom? Toda kako lahko to vidimo na grafu?
27
Pritisni gumb "prikaži pove anje in zaženi" in gumb "prikaži naklon". Med tem asovnim
intervalom (med 5 in 10 sekundo) predstavlja pove anje odmik, interval pa asovni interval. Telo
se bo iz za etne to ke [x(5), 5] premaknilo v to ko [x(10), 10], e se bo gibalo z konstantno
hitrostjo, ki jo predstavlja naklon premice med to kama. Zapis [x(5), 5] opisuje to ko na grafu v
asu t = 5 s.
Ko boš dobil lep graf, pritisni nad njim desni miškin gumb, s imer se bo ta prikazal v novem
oknu in s pove avo postal bolj pregleden.
Predstavitev 2.3: Povpre na in trenutna hitrost.
Ko se hitrost telesa pove uje, pravimo da pospešuje. V
tem primeru povpre na hitrost v asovnem intervalu (v
splošnem) ni enaka trenutni hitrosti. Kako bi torej
dolo ili trenutno hitrost? Preizkusi prvo animacijo,
kjer se igra i Lamborghini v asu hitrost spreminja
(naraš a) (lega je podana v centimetrih, as pa v
sekundah). Ponovni zagon.
Klikni na gumb "prikaži prirastek, interval in naklon".
Naklon modre premice predstavlja povpre no hitrost
Lamborghinija, vpovpre na, v asovnem intervalu (5 s, 10
s). Kakšna je hitrost v asovnem intervalu (6 s, 9 s)?
To je naklon premice, ki se prikaže ob vnosu 6 s za
za etno in 9 s za kon no to ko in pritisku na gumb "prikaži prirastek, interval in naklon".
Ko boš dobil lep graf, pritisni nad njim desni miškin gumb, s imer se bo ta prikazal v novem
oknu in s pove avo postal bolj pregleden.
Kaj se v intervalu (7 s, 8 s) dogaja s povpre no hitrostjo, vpovpre na. Kaj pa v asovnem intervalu
(7.4 s, 7.6 s)? Ko postaja asovni interval manjši in manjši, se povpre na hitrost pribižuje trenutni
hitrosti, kar je razvidno v animaciji Animacija trenutne hitrosti.
Trenutna hitrost je torej v vsakem trenutku naklon
premice grafa lege v odvisnosti od asa. Pri
matematiki ste morda že obravnali, da lahko naklon
dobimo kot odvod prikazane funkcije x(t). Ker se
Lamborghini giba v smislu funkcije x(t) = 1*t2, je
torej v(t) = 2*t, kar predstavlja prikazani naklon v
Animacija trenutne hitrosti.
28
Predstavitev 2.4: Merjenje pospeška.
V animacijah je prikazan 1.0-kg vozi ek pri
razli nih konstantnih pospeških (lega je
podana v metrih, as pa v sekundah).
Rde a pika prikazuje, v kateri to ki se izvaja
meritev. Toda kako lahko podamo, kakšen je
pospešek vozi ka? Obstaja nekaj možnosti,
ki jih bomo obravnavali v tej razlagi. Preden za nemo, si predvajaj vsako od animacij, ne da bi
imel vklju en prikaz prera una hitrosti. Kako bi opisal gibanje vsakega od vozi kov? Kako bi
opisal posamezne pospeške vozi kov? Kako bi dokazal, da so tvoja predvidevanja pravilna?
Ponovni zagon.
Upam, da si ob predvajanju animacij 1 in 2 opazil, da se vozi ka gibata z konstantno hitrostjo (v
animaciji 1 z pozitivno in v animaciji 2 z negativno hitrostjo). Gibanje vozi kov je v obeh
animacijah enakomerno, in že samo z opazovanjem lahko re emo (z nekaj prakse), da vsak
vozi ek v istem asovnem intervalu opravi enako pot. To lahko preprosto preverimo. V animaciji
1 je vozi ek na x = 0 m pri t = 0 s, na x = 0.5 m pri t = 0.25 s, na x = 1.0 m pri t = 0.5 s, na x = 1.5
m pri t = 0.75 s, in kon no na x = 2.0 m pri t = 1.0 s. Gibanje vozi ka je enakomerno (v = 2 m/s).
Vozi ek v animaciji 2 ima v = -2 m/s, kar lahko preveriš s podatki in prera unom hitrosti v
animaciji.
Kaj pa animacije 3, 4, in 5? Upam, da si opazil, da tu gibanje ni enakomerno in da vozi ki
pospešujejo. Kako lahko dokažemo in izra unamo pospeške? Odvisno je od stanja in danih
podatkov. Spodaj so tri najpogostejše ena be za enakomerno pospešeno gibanje:
v = v0 + at,
x = x0 + v0t + at2/2,
in
v2 = v02 + 2a(x - x0).
Katero od teh bomo uporabili v animacijah 3, 4 in 5? Prvo ena bo lahko izlo imo (razen e ne
goljufamo in smo vklopili prera un hitrosti), ker zahteva za etno hitrost, ki pa je nimamo. Položaj
in as v animacijah lahko izmerimo, kar pomeni, da lahko uporabimo drugo ena bo. V
animacijah 3 in 4 je vozi ek v za etku v mirovanju, tako da lahko zapišemo
x = x0 + 0.5at2, oziroma a = 2(x - x0)/t2.
Vozi ek ima v animaciji 3 v 1 s odmik 2 m, v animaciji 4 pa -2 m.
Torej sta pospeška 4 m/s2 oziroma -4 m/s2.
Kaj pa animacija 5? Vozi ek ima najprej za etno hitrost, nato pa se ustavi (ima pozitivno hitrost
in negativen pospešek). Kako lahko izra unamo pospešek tega vozi ka? To ne moremo narediti iz
podanih podatkov (razen e ponovno ne goljufamo s podatki o hitrosti). Zakaj? eprav je res, da
lahko ocenimo za etno hitrost z x/ t, s to metodo ne bomo mogli vedno dobiti zadovoljive
29
rezultate, ker je to povpre na hitrost v asovnem intervalu in ne trenutna hitrost ob t = 0 s.
Najboljši na in za izra un pospeška tega vozi ka je vklop prera una hitrosti in uporaba ena be v
= v0 + at ali v2 = v02 + 2a(x - x0). Tako dobimo pospešek približno 3,7 m/s2. Bodi pozoren na to,
da si ob uporabi ena be x/ t za za etno hitrost dobil rezultat 3 m/s, ki pa se razlikuje od
dejanskih 3,7 m/s.
e vklopiš prera un hitrosti pri vseh animacijah, lahko za prera un pospeška uporabiš kar ena bo
v = v0 + at.
Predstavitev 2.5: Gibanje po klancu
Žogica za golf se po udarcu giblje po klancu
gor in nato dol (lega je podana v metrih, as
pa v sekundah). Ponovni zagon. Ko telo (kot
je žogica za golf) potuje gor ali dol po nagibu
ali klancu, je njegovo gibanje pogosto opisano
z konstantnim, neni elnim pospeškom. e je
naklon klanca stalen, potem lahko gibanje
telesa obravnavamo kot premo rtno gibanje
(oziroma kot enodimenzionalno gibanje).
Ugodno je, e prou ujemo gibanje žogice za
golf tako, da je +x os vzporedna s klancem in
usmerjena ali navzdol ali navzgor Animacija
1.
V nadaljevanju je naštetih nekaj lastnosti gibanja, o katerih se lahko sam prepri aš:
•
V animaciji 1 je smer +x usmerjena navzdol glede na klanec. Torej se ob gibanju žogice
navzdol ta giblje v +x smeri, s imer je vx pozitivna. Ko se žogica giblje navzgor v smeri
-x, je vx negativna.
•
Kako je to možno, e je vx stalno naraš a? Kakšno je gibanje žogice, ko se ta giblje
navzgor in kasneje navzdol; pojemajo e ali pospešeno? Odgovor je odvisen od tega, kaj
misliš z pojemanjem in pospeševanjem. Ko se žogica kotali navzgor po klancu, je v
našem primeru njena hitrost negativna (ker je tako definirana x os) in se absolutno
zmanjšuje, relativno pa se pove uje (postaja manj negativna). Na vrhu klanca je njena
hitrost enaka ni , ko pa se kotali navzdol, pospešuje in postaja edalje bolj pozitivna. Ko
žogica potuje navzgor po klancu, se vx pove uje od -5 m/s na ni ; absolutna vrednost
hitrosti seveda pri tem pada od 5 m/s do ni . Ko potuje navzdol, pa njena hitrost naraš a
tako absolutno kot relativno.
•
Je pospešek žogice za golf naraš ujo , padajo ali konstanten? Da odgovorimo na to
vprašanje, moramo v vsakem trenutku pregledati naklon premice v grafu hitrosti v
odvisnosti od asa, ki predstavlja pospešek (v smeri osi x). Se pospešek spreminja, ali je
ves as enak? Opazimo, da je povsod konstanten in da je pozitiven glede na smer osi x.
30
•
Poleg uporabe grafa lahko za izra un pospeška uporabimo tudi tabelo s podatki za hitrost.
Ker je povpre ni pospešek sprememba hitrosti v asovnem intervalu, lahko izberemo
katerikoli interval, izmerimo vx_za etni in vx_kon ni, ter izra unamo ax_ povpre ni. Ker je
pospešek konstanten, sta povpre ni in trenutni pospešek enaka.
•
Smer pospeška lahko dobimo tudi z razliko vektorjev hitrosti. Animacija 2 prikazuje v
rni barvi vektorja hitrosti v asih t = 0.2 s in t = 1.0 s. Da boš odštel oba vektorja, primi
vektor vi (mali krogec ob za etku vektorja) in ga premakni iz originalne lege, nato pa
premakni rde i vektor -vi na za etek vektorja vf. Smer pospeška je enaka smeri
spremembe vektorja hitrosti. Sedaj preizkusi animacijo 3, ki prikazuje vektorja hitrosti v
asu t = 1.2 s in t = 2.0 s. Primerjaj spremembo vektorja hitrosti za oba asovna intervala.
Ugotovil boš, da sta enaka. Ker je pospešek konstanten, je tudi sprememba hitrosti v
kateremkoli asovnem intervalu konstantna.
•
Obmo je pod grafom vx v odvisnosti od asa vedno predstavlja odmik, tj. x. Za
dolo itev x v intervalu od t = 0 do t = 3 s lahko torej uporabiš graf. Uporabi tabelo
podatkov, da boš preveril svoj odgovor z dolo itvijo odmika iz x - x0. Kakšen je odmik
med t = 0 do t = 6 s? e je tvoj odgovor karkoli drugega kot 0 m, bi bilo dobro, e še
enkrat osvežiš definicijo odmika.
Poglej poglavje 3.2 za ve podrobnosti o tem, kaj se zgodi z pospeškom, e se spreminja naklon
klanca.
Predstavitev 2.6: Prosti pad
V animaciji 1 je prikazan padec žoge nekje blizu
površja Zemlje. Njeno gibanje omenjamo kot prosti
pad (lega je podana v metrih, as pa v sekundah).
e je smer +y definirana navzgor, potem je pospešek
konstanten in ima vrednost -9.8 m/s2. e je smer +y
definirana navzdol, potem znaša pospešek +9.8
m/s2. Ponovno.
maksimalna?
Animacija 2 prikazuje žogo, ki smo jo vrgli navzgor,
kjer je dosegla maksimalno višino, nato pa ponovno
padla nazaj v našo roko na enako višino kot na
za etku. Gibanje žoge obravnavajmo le v asu, ko je
v zraku, in ne takrat, ko je v naši roki (tedaj ne
moremo govoriti o prostem padu). Vektor vy
predstavlja hitrost žoge. Kakšen je vy , ko je višina
Oglej si grafe. V maksimalni legi gre žoga iz gibanja navzgor (pozitivna hitrost) v gibanje
navzdol (negativna hitrost). Hitrost se spreminja gladko, poleg tega pa mora iti skozi vrednost
ni , kjer obrne smer. Pospešek je sprememba hitrosti, ki ima med celotnim gibanjem konstantno
vrednost -9.8 m/s2. Lahko izmeriš hitrost v dveh razli nih asih (s klikom na graf hitrosti v
odvisnosti od asa) in boš videl, da je v/ t konstanten.
31
Animacija 3 prikazuje met žoge navzdol. Bodi pozoren na to, da se žogica oddaljuje (ve ino
gibanja je izven zaslona) precej hitreje, kot e je samo spuš ena iz mirovanja. Kljub temu znaša
naklon grafa hitrosti v odvisnosti od asa še vedno konstantno -9.8 m/s2, kar je razvidno v grafu
pospeška v odvisnosti od asa.
Ko boš dobil lep graf, pritisni nad njim na desni miškin gumb, s imer se bo ta prikazal v novem
oknu in s tem postal bolj pregleden.
Raziskava 2.1: Primerjaj asovni odvisnosti poti in hitrosti
Prikazane so tri razli ne animacije, vsaka s tremi
tovornjaki-igra ami, ki se premikajo proti desni. Dva
na ina opisa gibanja tovornjakov sta pot v odvisnosti od
asa in hitrost v odvisnosti od asa (pot je podana v
centimetrih, as pa v sekundah). Ponovi.
Odgovori na naslednja vprašanja o hitrosti in pospešku
tovornjakov.
a. Kako vpliva za etna lega na razli ne grafe?
b. Opiši gibanje tovornjakov s prou evanjem grafa poti v odvisnosti od asa.
c. Ko boš kon al nalogi (a) in (b), preveri rezultate s prou evanjem grafa hitrosti v odvisnosti
od asa.
Ko boš dobil lep graf, pritisni nad njim desni miškin gumb, s imer se bo ta prikazal v novem
oknu in s tem postal bolj pregleden. To je še posebej pomembno pri opazovanju to k blizu
izhodiš a.
Raziskava 2.2: Dolo i pravi graf.
a. Oglej si animacijo rde e žogice z izbiro Samo žogica in z
besedami opiši njeno gibanje (pot je podana v metrih,
as pa v sekundah). Ponovi.
b. Sedaj si oglej tri možne grafe A, B in C poti v odvisnosti
od asa, ter s klikom na povezave v tabeli. Kateri graf je
pravi? Poiš i vsaj en razlog, zakaj sta ostala grafa napa na.
c. Sedaj si oglej tri možne grafe D, E in F hitrosti v
odvisnosti od asa, ter s klikom na povezave v tabeli.
Kateri graf je pravi? Poiš i vsaj en razlog, zakaj sta ostala
grafa napa na.
32
Raziskava 2.3: Zastor prepre uje pogled na žogico za golf.
Žogico za golf udarimo in pri ne se kotaliti po trati. rni
zastor sicer prepre uje pogled na žogico, vendar druga e
ne vpliva na gibanje žogice (pot je podana v metrih, as
pa v sekundah). Animacija je stranski pogled na
kotaljenje žogice po trati.
Za žogico prou i graf hitrosti v odvisnosti od asa in opiši
teren za zastorom, ki ga ne moreš videti. Podaj primeren
razlog za tvoj odgovor. Ponovi.
Ko boš odgovoril na to vprašanje, si oglej pravilni
odgovor.
Raziskava 2.4: Nastavi x(t) tovornjaka.
Do sedaj si spoznal ena bo x = x0+ v0*t +
1/2*a*t2. Morda si jo celo sam izpeljal. Toda kaj v
resnici pomeni pri gibanju telesa? Ponovni zagon.
Animacija omogo a raziskovanje vpliva vseh treh
spremenljivk v ena bi: za etne lege x0 od -50 cm
do 50 cm, hitrosti v0 v mejah od -15 cm/s do 15
cm/s in pospeška a v mejah od -5 cm/s2 do 5
cm/s2.
Uporabi animacijo pri odgovarjanju na naslednja vprašanja (pot je podana v centimetrih, as pa
v sekundah).
a.
b.
c.
d.
Kako vpliva spreminjanje za etne lege na graf poti v odvisnosti od asa?
Kako vpliva spreminjanje za etne lege na graf hitrosti v odvisnosti od asa?
Kako vpliva spreminjanje za etne hitrosti na graf hitrosti v odvisnosti od asa?
Kako se pozna vpliv pozitivne za etne hitrosti v primerjavi z negativno na graf hitrosti v
odvisnosti od asa?
Ko boš dobil lep graf, pritisni nad njim desni miškin gumb, s imer se bo ta prikazal v novem
oknu in s pove avo postal bolj pregleden.
33
Raziskava 2.5: Dolo i x(t) in v(t) Lamborghinija
a. Poiš i lego igra e Lamborghini kot funkcijo asa x(t)
za vsako od animacij (lega je podana v centimetrih,
as pa v sekundah). Ponovni zagon. Graf prikazuje lego
kot funkcijo asa. Uporabi gumb “preveri funkcijo”, e
želiš v svojih analizah uporabiti dejanski graf lege v
odvisnosti od asa.
Pazi, da boš uporabil pravilno sintakso, npr. : -10+0.5*t,
-10+0.5*t*t, ali -10+0.5*t^2. Za osvežitev spomina si oglej
Raziskavo 1.3.
b. Dolo i hitrost igra e kot funkcijo asa v(t) za vsako
od animacij (lega je podana v centimetrih, as pa v
sekundah). Uporabi gumb "Preveri funkcijo", e želiš v
svojih analizah uporabiti dejanski graf hitrosti v
odvisnosti od asa. ( e ste že obravnavali diferencialni
ra un, ti bo ta vaja še posebej koristna.)
Raziskava 2.6: Vrzi žogico tako, da se bo ravno dotaknila
zgornje meje
Za ponazoritev koordinacije skušaj vre i žogo naravnost navzgor tako,
da se bo komaj dotaknila meje. (lega je podana v metrih, as pa v
sekundah). Kakšna je potrebna za etna hitrost? V tej animaciji je
pospešek žoge -9.8 m/s2. Izra unaj za etno hitrost in preveri svoj
odgovor z vpisom v vnosno polje in klikom na gumb "Nastavi za etno
hitrost in poženi". Ponovni zagon.
34
Raziskava 2.7: Vrzi dve žogici; eno z zakasnitvijo
Dve veliki teniški žogici sta spuš eni iz dolo ene višine. Desna žogica
je spuš ena šele po spustu leve žogice. To asovno zakasnitev lahko
nastaviš v mejah med 0 do 2.5 s (v okence vnesi zakasnitev in pritisni
gumb "Nastavi zakasnitev in zaženi"). Silhueta žogice ozna uje lego
žogice na vsakih 0.5 s (lega je dana v metrih, as pa v sekundah).
Ponovni zagon.
Nastavi zakasnitev 1 s in odgovori na naslednja vprašanja.
a. Ko je spuš ena druga žogica (tista na desni), ali se razlika v
hitrostih pove uje, zmanjšuje ali ostane enaka?
b. Ko je spuš ena druga žogica (tista na desni), ali se njuna
oddaljenost pove uje, pomanjšuje ali ostane enaka?
c. Ali je asovni interval med tem, ko se dotakneta tal, manjši,
enak ali ve ji kot asovni interval ob spustu?
Raziskava 2.8: Dolo i ploš ino pod a(t) in v(t)
1.0-kg avtomobil ek na progi nam prikazuje
nekaj razli nih konstantnih pospeškov, kot je
prikazano v animaciji. (lega je dana v metrih,
as pa v sekundah). Rde a pika vam prikazuje
mesto meritve. Hkrati z prikazom podatkov v
tabeli je lahko prikazan tudi graf pospeška v
odvisnosti od asa oziroma hitrosti v odvisnosti
od asa. (uporabi kljukico v malem kvadratku)
Eno polje tabele prikazuje izra un ploš ine pod
krivuljo (integral a dt ali v dt), ki je izrisan v
grafu. Ponovni zagon.
Oglej si vseh pet animacij in odgovori na
naslednja vprašanja o pospešku v odvisnosti od asa.
a.
b.
c.
d.
e.
Kakšna je za etna hitrost v vsaki od animacij?
Kakšna je kon na hitrost v vsaki od animacij?
Kakšna je razlika med kon no in za etno hitrostjo v vsaki od animacij?
Kakšna je skupna ploš ina pod krivuljo v vsaki od animacij?
Kako so povezani odgovori na vprašanja (c) in (d)? Je to smiselno? Zakaj?
Oglej si vseh pet animacij in odgovori na vprašanja o grafu hitrosti v odvisnosti od asa (za ogled
grafa obkljukaj kvadratek pri animaciji).
f. Kakšna je za etna lega v vsaki od animacij?
g. Kakšna je kon na lega v vsaki od animacij?
h. Kakšen je odmik avtomobil ka (x-x0) v vsaki od animacij?
35
i.
j.
Kakšna je skupna ploš ina pod krivuljo v vsaki od animacij?
Kako so povezani vaši odgovori na vprašanja (f) in (g)? Je to smiselno? Zakaj?
Poglavje 3: Kinematika v dveh dimenzijah
V tem poglavju bomo posplošili prou evanje gibanja v eni dimenziji na gibanje teles v dveh
dimenzijah. Pri tem bomo obravnavali dve izmed najvažnejših oblik dvo dimenzionalnega
gibanja, gibanje izstrelka in krožno gibanje.
Predstavitev 3.1: Analiza vektorja
V koordinatni mreži je s puš ico rde e barve ponazorjen
vektor. V tabeli s podatki je prikazanih ve podatkov za ta
vektor. (položaj je podan v metrih). Kako lahko predstavimo
ta vektor? Obstajata dva na ina:
•
•
predstavitev vektorja s komponentama vektorja v x smeri
in v y smeri;
predstavitev vektorja z njegovo velikostjo in s kotom.
Oba na ina predstavitve vektorja sta pravilna. Glede na
okoliš ine je pogosto en na in prikaza vektorja primernejši od
drugega. Predstavitev z velikostjo in kotom.
Konec vektorja lahko premikaš s postavitvijo kurzorja na to ko na koncu vektorja; skupaj z miško
se premika tudi vrh (konec) vektorja.
Dolo itev vektorja z velikostjo in smerjo: Vektor, kakršen je na primer ta na sliki, si
predstavljamo z velikostjo in smerjo. Velikost vektorja opišemo z absolutno dolžino vektorja (v
tabeli je ozna en s rko r in ni nikoli negativno število) in s smerjo. Smer opišemo s kotom (tudi
ta je prikazan v tabeli; podan je v kotnih stopinjah). Kot merimo od pozitvne x osi do smeri, v
katero je usmerjen vektor.
Predstavitev vektorja s komponentama x in y: V primeru reševanja problemov v ravnini
(dvodimenzionalni problemi) pogosto predstavimo vektor z dvema komponentama. In kako to
storimo? Ta na in prikazuje animacija prikaži komponente. Ko z miško premikamo konec (vrh)
vektorja rde e barve, vektorja rjave barve prikazujeta x in y komponento rde ega vektorja (v
tabeli sta ta dva vektorja ozna ena kot x in y); Poskusi ohraniti dolžino vektorja nespremenjeno in
spreminjaj kot. Kako se komponenti x in y spreminjata s spreminjanjem kota? Ko se kot manjša,
se x komponenta vektorja pove uje (in na osi x doseže dolžino vektorja); y komponenta vektorja
pa se manjša (doseže vrednost 0). Ko kot naraš a proti 90°, se x komponenta vektorja manjša (in
na osi y doseže vrednost 0); y komponenta vektorja pa se pove uje (in doseže velikost vektorja).
Matemati no opišemo komponenti vektorja na naslednji na in:
36
x = r . cos( ) in
y = r . sin( ).
e je vektor podan s komponentama, dobimo velikost in kot (smer) vektorja na naslednji na in:
r = (x2 + y2)1/2
in
= tan-1(y/x).
Velikost vektorja (ozna ena z r) mora biti vedno nenegativno število.
Predstavitev 3.2: Gibanje na klancu
Galileo je bil prvi lovek, ki je ugtovil, da
bi dobro zglajeno (zelo spolzko ali brez
trenja) nagnjeno ravnino lahko uporabili
za zmanjšanje efekta zemeljske težnosti.
Ugotovil je, da je pri navpi ni strmini (kot
90°) stanje enako prostemu padu. e je
ravnina horizontalna (kot je 0°), se telo ne
bo premikalo. Zaradi tega je sklepal, da se
z zmanjševanjem kota od 90° navzdol
pospešek zmanjšuje. Meril je pospešek. Z
merjenjem pospeškov je ugotovil povezavo med pospeškom in zemeljsko težnostjo. Matemati no
izrazimo pospešek na strmini kot funkcijo kota strmine ( ):
geff = g . sin( ),
kjer je: geff . . . pospešek na strmini. Glej Predstavitev 2.5 in poglavje 4 za ve podrobnosti.
Poskuse z drsenjem po zelo spolzki strmini (gibanje brez trenja) je delal s telesi razli nih oblik.
Ugotovil je, da za vse vrste teles velja enaka odvisnost. Sami preverite trditve ( as je podan v
sekundah, razdalja je podana v metrih) z zgornjimi tremi predstavitvami.
Galileo je pri izvajanju poskusov telesa spuš al iz stanja mirovanja. Kaj je ugotovil na osnovi teh
poskusov? Galileo je prišel do ugotovitve, da se med enakovrednimi asovnimi intervali
zaporedni premiki teles pove ujejo kot liha cela števila: 1, 3, 5, 7, .... Kaj to v resnici pomeni? V
spodnji tabeli so podatki, ki jih je dobil Galileo, preoblikovani v lažje razumljivo obliko (podatki
so podani za strmino, katere kot omogo a pospešek 2m/s2). Preu i spodnjo tabelo:
prete en as premik (opravljena pot) v
(s)
asovnem intervalu (m)
1
2
3
4
skupno opravljena pot
(m)
1
1
3
4
5
9
7
16
Podatki v tretjem stolpcu so dobljeni s seštevanjem vseh dotedanjih premikov, ki so nastali pri
vsakem asovnem intervalu. Vsota delnih premikov v posameznih asovnih intervalih nam da
37
skupno pot, ki jo je opravilo telo. Kakšna je zveza med opravljeno potjo in asom? Opravljena
pot je premosorazmerna s kvadratom prete enega asa. Ali izgleda povezava znana? Morala bi
biti. V Poglavju 1 lahko najdemo, da je x = x0 + v0 * t + 1/2 * a * t2. e telo nima za etne
hitrosti, se ta ena ba spremeni v x = x0 + 1/2 * a * t2. Torej velja x je sorazmeren t2.
Predstavitev 3.3: Prikaz smeri vektorjev hitrosti in pospeška
Žogica za golf se kotali po zelenem polju, kot
prikazuje animacija (položaj je podan v metrih,
as pa v sekundah). Animacija predstavlja
pogled od zgoraj na gibanje žogice za golf.
Ponovni zagon.
Kakšna je smer vektorja hitrosti žogice za golf v
posameznih trenutkih? Poglej vektor hitrosti in
preveri svoj odgovor. (Pri tem boš opazil rto
rne barve. Ta rta je v vsakem primeru tangenta
na pot žogice.) Smer vektorja hitrosti je
dolo ena zelo preprosto: Vedno je usmerjena tangencialno na pot in v smeri gibanja. "Smer
premikanja" je v osnovi smer poti objekta v obdobju zelo majhnega asovnega intervala. Ker se
premik v zelo majhnem asovnem intrervalu približuje trenutni hitrosti (glej Predstavitev 2.3), je
trenutna hitrost usmerjena v smer gibanja. Ta trditev sledi definiciji, da je trenutna hitrost odvod
vektorja poti po asu.
Kako pa je z vektorjem pospeška? Vektor pospeška je usmerjen v smer spremembe hitrosti
znotraj vsakega majhnega asovnega intervala. Tudi to sledi iz definicije pospeška. Ti dve
dognanji lahko zapišemo v obliki zanimivega pravila.
Vektor pospeška lahko razstavimo v dve komponenti:
•
•
ena komponenta vektorja je usmerjena tangencialno glede na pot (imenovana je tangencialni
pospešek);
druga komponenta je usmerjena pravokotno na pot (imenjujemo jo radialni pospešek)
Poglej vektor hitrosti in vektor pospeška. Radialna komponenta pospeška se nanaša na
spremembo smeri vektorja hitrosti in je usmerjena v smeri polmera krivulje. Tangencialna
komponenta pospeška se nanaša na spremembo velikosti vektorja hitrosti. Z drugimi besedami:
nanaša se na spremembo hitrosti. e se hitrost telesa zmanjšuje, je tangencialna komponenta
pospeška usmerjena nasprotno od smeri hitrosti. e pa se hitrost telesa pove uje, je tangencialna
komponenta pospeška usmerjena v isto smer kot hitrost.
Pritisni tukaj, e želiš videti vektor hitrosti (modre barve), vektor pospeška (oranžne barve) in obe
komponenti pospeška (rumena barva prikazuje tangencialno komponento, rde a pa radialno
komponento).
38
Predstavitev 3.4: Gibanje izstrelka
Gibanje vijoli aste žoge, ki ga prikazuje
predstavitev, je podobno gibanju izstrelka (položaj
je podan v metrih, as pa v sekundah). Moder in
rde krog predstavljata x in y komponento
gibanja žoge. Slike senc se rišejo na zaslon vsako
sekundo. Da bi razumeli gibanje izstrelka, morate
najprej razumeti gibanje žoge lo eno v x in lo eno
v y smeri (vsako gibanje v ravnini ali v prostoru
lahko razstavimo v dve ali ve komponent v smeri
koordinatnih osi). Ponovni zagon.
Preu imo najprej x smer. X koordinata izstrelka
(vijoli aste žoge) je v vsakem trenutku identi na x
koordinati modrega telesa. Kaj opaziš v zvezi s presledki med slikami modrih krogov? Gotovo si
opazil, da so razdalje med zaporednimi slikami krogov enake - konstantne. Kaj ti to pove o
pospešku izstrelka v x smeri? To ti pove, da se modro telo giblje v tej smeri s konstantno
hitrostjo. To ugotovitev prikazuje tudi levi graf.
Sedaj preu imo y smer. Y koordinata izstrelka (vijoli aste žoge) je v vsakem trenutku identi na y
koordinati rde ega telesa. Kaj opaziš v zvezi z razdaljami med zaporednimi slikami rde ega
telesa? Razdalje med zaporednimi slikami rde ega telesa se zmanjšujejo v obdobju dviganja
rde ega telesa. Razdalje med zaporednimi slikami rde ega telesa se pove ujejo, ko telo pada. To
pomeni, da ima telo navzdol usmerjen pospešek. Z opazovanjem desnega grafa ugotovimo tudi
to, da je y pospešek konstanten.
Posebno pomembno za razumevanje gibanja izstrelka je razumevanje dogajanja v najvišji to ki
izstrelka. Kakšna je hitrost izstrelka v najvišji to ki? To je zvito vprašanje. Vemo, da je y hitrost
enaka 0. Ali to pomeni, da je hitrost izstrelka enaka 0? Upoštevati moraš, da ima hitrost dve
komponenti, vx in vy. V najvišji to ki hitrost vx ni 0. Iz tega sledi, da hitrost izstrelka v najvišji
to ki ni 0. Klikni tukaj, e si želiš ogledati vektorja hitrosti in pospeška.
Predstavitev 3.5: Enakomerno kroženje in pospešek
Enakomerno kroženje, kot gibanje v ravnini, lahko dobimo s
kombinacijo dveh premih gibanj. Ponovni zagon. Pri
enakomernem kroženju je hitrost gibanja objekta konstantna.
To je definicija enakomernega kroženja. Poglejmo kroglo, ki je
podvržena enakomernemu kroženju. Ali se to telo giblje po
krožnici s konstantnim pospeševanjem hitrosti? Da! Zakaj?
Hitrost se spreminja s asom. Opazuj animacijo (položaj je
podan v metrih, as pa v sekundah). Animacija upodablja
telo, ki se giblje v krogu s konstantno hitrostjo. e ho emo
dolo iti pospešek, moramo preu iti spremembo hitrosti glede
na as.
39
Hitrost se po definiciji enakomernega kroženja s asom ne spreminja. Kaj se torej s asom
spreminja? Smer hitrosti je tista, ki se spreminja s asom. Nariši dva vektorja hitrosti, ki pripadata
telesu v dveh razli nih trenutkih. Prepri al se boš, da se smer hitrosti s asom spreminja.
Spomnimo se, da hitrost opišemo z dvema podatkoma: s smerjo (ki vedno kaže v smeri tangente
na pot, takoimenovana tangencialna smer) in z velikostjo in vsak od teh dveh podatkov se lahko s
asom spreminja. Kje se kaže sprememba hitrosti? Izra unaj pospešek. Vektor pospeška je
usmerjen proti središ u kroga. To smer - proti središ u krožnice - imenjujemo centripetalna smer
oziroma proti središ u usmerjena komponenta. Pogosto jo imenjujejo tudi radialna smer, ker radij
kaže v smeri od središ a v smer proti telesu (dejanski pospešek je pa usmerjen ravno v nasprotno
smer - proti središ u krožnice).
Za enakomerno kroženje je torej po definiciji zna ilno, da je pospešek vedno usmerjen proti
središ u krožnice. To velja navkljub dejstvu, da se smer vektorjev hitrosti in pospeška s asom
spreminja. To navidezno ali resni no težavo glede dolo itve usmerjenosti vektorja pospeška
obidemo z definiranjem centripetalne ali radialne smeri in tangencialne smeri (smer tangente na
krožnico). Ti smeri se spreminjata. Toda hitrost je vedno usmerjena v smeri tangente na krog.
Pospešek pa ima vedno smer proti središ u krožnice. Naslednja animacija prikazuje hitrost in
pospešek, ko objekt enakomerno kroži.
Predstavitev 3.6: Kroženje in gibanje, ki ni kroženje
Dve animaciji prikazujeta planet (zelene barve), ki kroži
okoli zvezde (rumene barve). Ponovni zagon. Prva
animacija upodablja enakomerno kroženje planeta okoli
zvezde. Druga animacija pa ponazarja gibanje planeta, ki
ni krožno. (Položaj je podan v 103 km, as pa v letih).
Ta predstavitev je namenjena primerjavi dveh vrst
gibanj. Zanimata nas predvsem hitrosti in pospeški
planeta v obeh primerih.
Poženi animacijo, ki predstavlja enakomerno kroženje
planeta in opazujte gibanje planeta. Kako bi opisali
gibanje planeta (s poudarkom na hitrosti in pospešku)?
Hitrost planeta je brez dvoma konstanta, ker je gibanje planeta enakomerno kroženje. Ob uporabi
obi ajnih x in y koordinate se hitrost spreminja s asom. Ponovimo, da se pojem hitrost nanaša na
velikost in na smer. Za opis gibanja planeta bomo uporabili izraze tangencialna smer in radialna
smer. Hitrost je usmerjena v tangencialni smeri. Smer pospeška pa je vzporedna z radijem (in
usmerjena v nasprotno smer kot radij). Klikni tukaj, e si želiš ogledati vektor hitrosti (modre
barve). rta rne barve pa v vsakem trenutku predstavlja tangento na pot. Klikni tukaj, e si želiš
ogledati poleg vektorja hitrosti še vektor pospeška (rde e barve). Vektor pospeška je usmerjen
proti zvezdi v središ u krožnice.
40
Zaženi animacijo, ki prikazuje gibanje planeta, ki ne
poteka po krožnici. Opazujt gibanje planeta. Kako bi v
tem primeru opisali gibanje planeta (s poudarkom na
hitrosti in pospešku)? Hitrost premikanja planeta ni ve
konstantna, ker gibanje ni ve enakomerno. Ponovno
bomo uporabili koordinatni sistem z x in y
koordinatama. Hitrost se nedvomno spreminja s asom,
ker se oboje - tako smer kot velikost - spreminjata. Spet
lahko uporabimo pojma radialna in tangencialna smer na
gibanje planeta. Hitrost je usmerjena tangencialno na
pot. Pospešek pa je usmerjen vzporedno s polmerom,
vendar v nasprotni smeri.
Klikni tukaj za prikaz
vektorja hitrosti (modre barve). Klikni tukaj, e si želiš ogledati še vektor pospeška (rde e barve).
Opaziš lahko, da hitrost in pospešek razen v nekaterih to kah nista ve medsebojno pravokotno
usmerjena.
Med to kama A in C se hitrost planeta pove uje. Med to kama C in A pa se hitrost planeta
zmanjšuje. To pomeni, da je v to kah A in C tangencialna komponenta pospeška enaka 0. Za
planet, ki se vrti okoli zvezde, ( e v bližini ni drugih zvezd ali planetov) velja, da je njegov
pospešek usmerjen to no proti zvezdi, ne glede na to, ali je gibanje planeta enakomerno ali ne.
Raziskava 3.1: Seštevanje vektorjev poti
Predstavljaj si, da uporabljaš radarski sistem za sledenje letalu (rde krog). Animacija predstavlja
potovanje letala. Ponovni zagon.
a. Nariši vektor, ki predstavlja premik letala v
asu od t = 0 s do t = 8 s. To lahko storiš s
klikom na gumb "Draw Vector". Ko se
vektor pojavi, ga povle emo na mesto, kjer
je bilo letalo v asu t = 0 s. Potem zaženi
animacijo in jo ustavi po asu t = 8 s. Nato
vrh vektorja povleci do mesta, kjer si ustavil
letalo.
b. Sedaj nariši vektor poti za letalo za obdobje
od t = 8 s do t = 16 s. Uporabi isti postopek
kot prej. Ne pozabi klikniti na gumb "Draw vector", da boš dobil nov vektor, s katerim boš
delal. Po opravljenem delu bi moral imeti dva vektorja: vektor prvega premika in vektor
drugega premika.
c. Sedaj nariši vektor premika za letalo za obdobje od t = 0 s do t = 16 s. Uporabi isti postopek
kot prej. Kaj si opazil? Vektorje seštevamo tako, da povežemo za etek prvega vektorja z
vrhom (koncem) zadnjega vektorja. Rezultat seštevanja je vektor, imenovan rezultanta
(vsota) vektorjev. Vektor vsote je narisan od za etka prvega vektorja do konca (vrha)
zadnjega vektorja.
d. Klikni tukaj, e želiš videti pravilno rešitev naloge. Kakšna je primerjava tvojega rezultata s
pravilno rešitvijo?
41
Raziskava 3.2: Igra Tek skozi šibe: upravljanje položaja,
hitrosti in pospeška
Povleci vrh puš ice nad ustrezen gumb in pritisni gumb miške. za izbiro upravljanja položaja,
hitrosti ali pospeška. S pritiskom na gumb boš izbral vrsto animacije.
S pomo jo animacije odgovori na naslednja vprašanja. (položaj je podan v metrih, as pa v
sekundah). Ponovni zagon.
a. Ali lahko vodiš rni krog do cilja na desni? Igra se imenjuje Tek skozi šibe.
b. Katero upravljanje (položaj, hitrost ali pospešek) je težje uporabljati? Zakaj?
Raziskava 3.3: Pospeševanje žogice za golf, ki zavije ob robu
luknje
Žogica za golf ob robu luknje zavije, kot je prikazano v
animaciji. (položaj je podan v metrih, as pa v
sekundah). Vektorja hitrosti za žogico v trenutku,
preden se dotakne roba luknje, in v trenutku, ko že
zapusti rob luknje, sta prikazana na sliki. Ponovni zagon.
Opozoriti velja, da se hitrost žogice v naši raziskavi ne
spremeni v asu, ko se žogica dotika roba luknje. To ne
velja vedno v resni nem svetu.
Naš cilj je ugotoviti povpre ni pospešek žogice za golf v obdobju, ko se žogica dotika roba
luknje.
a. Nariši vektor spremembe hitrosti z uporabo že narisanih vektorjev. Pritisni "Draw Vector", da
dodaš nov vektor na animacijo. Pritisni "Clear Screen", da zbrišeš vse dodane vektorje.
b. Kakšni sta velikost in smer vektorja spremembe hitrosti v obmo ju gibanja žogice ob robu
luknje?
c. Kakšen je povpre ni pospešek v tem obmo ju?
d. Naslednje vprašanje se nanaša na zgornjo animacijo. V katerem trenutku je trenutni pospešek
žogice za golf enak povpre nemu pospešku žogice v obdobju od 0,9 s do 1,2 s?
42
e. Klikni tukaj, e si želiš ogledati vektor pospeška. e je vektor spremembe hitrosti, ki si ga
narisal, še vedno narisan na zaslonu, lahko ustaviš animacijo v to ki, kjer se vektor pospeška
in vektor spremembe hitrosti ujemata. Ali je ta to ka na mestu, ki si ga predvidel?
Raziskava 3.4: Vesoljska ladja, ki se giblje s konstantnim
pospeškom
Ko si obravnaval gibanje izstrelka, si se u il, da
ima izstrelek pospešek v x smeri konstanten in
enak 0. (Posledica tega je konstantna hitrost
izstrelka v x smeri.) Pospešek izstrelka v y smeri
je konstanten, usmerjen je navpi no navzdol
proti Zemlji in ima vrednost 9,8 m/s2. Katera
matemati na krivulja opisuje obliko poti
izstrelka? Obliko poti izstrelka opisuje krivulja z
imenom parabola. Izkaže se, da je oblika poti za
kakršenkoli objekt, ki ima konstanten pospešek
in neko za etno hitrost, ki je usmerjena v drugo
smer kot pospešek, vedno parabola.
V prikazani animaciji (položaj je podan v metrih, as pa v sekundah) ima vesoljska ladja
motorje, ki lahko potiskajo ladjo na vse štiri strani. Dva od motorjev se vklopita v trenutku t = 2 s
od za etka animacije. Ponovni zagon. Pred vklopom motorjev je pospešek konstanten in enak 0.
Po vklopu obeh motorjev je pospešek še vedno konstanten (vendar ni ni ve enak 0).
a.
b.
c.
d.
Kako je usmerjena x komponenta pospeška po zagonu motorjev?
Kakšna je komponenta hitrosti v y smeri pred vklopom motorjev?
Kako se spremeni komponenta hitrosti v y smeri po vklopu motorjev?
Sedaj klikni tukaj, e si želiš ogledati vektorja hitrosti in pospeška. Ali se ujemata s tistima
vektorjema, kot si si ju predstavljal?
Raziskava 3.5: Poševni met izstrelka - gibanje izstrelka
navzgor in navzdol
Izstrelek starta v trenutku t = 0 s (položaj je podan
v metrih, as pa v sekundah). Sam lahko nastaviš
za etni kot izstrelka, za etno hitrost in višino
izstreliš a z vnašanjem ustreznih vrednosti v vnosna
polja. Nato kliknemo na gumb "Nastavi vrednosti in
zaženi" Ponovni zagon.
Pri višini h = 0 m spreminjaj za etni kot in za etno
hitrost gibanja izstrelka in preu i naslednja vprašanja:
43
a. Kateri za etni kot bo omogo il pri podani za etni hitrosti maksimalni domet izstrelka?
b. Za etni kot nastavimo tako, kot smo ugotovili v to ki (a). Pri kateri za etni hitrosti bo
izstrelek zadel cilj?
c. Pri kateri drugi vrednosti za etnega kota in za etne hitrosti izstrelek tudi zadene tar o?
d. Ali pri konstantni za etni višini in pri neki za etni hitrosti izstrelek zadene cilj samo pri enem
za etnem kotu?
e. Kakšna je v splošnem povezava med za etnim kotom (kotom izstrelitve) in za etno hitrostjo?
Pri za etni višini h = 10 m spreminjaj za etni kot gibanja izstrelka in za etno hitrost gibanja
izstrelka in preu i naslednja vprašanja:
f.
Kateri kot izstrelitve bo pri dani za etni hitrosti zagotovil najdaljši horizontalni doseg
izstrelka?
g. Katera vrednost ali vrednosti za etnega kota in za etne hitrosti izstrelka bodo omogo ile, da
bo izstrelek zadel tar o?
h. Ali so v prejšnji to ki ugotovljene vrednosti edine, ki pri danih pogojih omogo ajo, da bo
izstrelek zadel tar o?
i. Ali so v prejšnji to ki dobljeni rezultati isti kot v to ki (c)?
Pri za etni višini h = -10 m spreminjaj za etni kot gibanja izstrelka in za etno hitrost gibanja
izstrelka in preu i naslednja vprašanja:
j.
Kateri kot izstrelitve bo pri dani za etni hitrosti zagotovil najdaljši horizontalni doseg
izstrelka?
k. Katera vrednost ali vrednosti za etnega kota in za etne hitrosti izstrelka bodo omogo ile, da
bo izstrelek zadel tar o?
l. Ali so v prejšnji to ki ugotovljene vrednosti edine, ki pri danih pogojih omogo ajo, da bo
izstrelek zadel tar o?
m. Ali so v prejšnji to ki dobljeni rezultati isti kot v to kah (c) in (g)?
Raziskava 3.6: Enakomerno kroženje
V tej animaciji bomo opazovali to ko (rde o) na vrte em se
kolesu (položaj je podan v metrih, as pa v sekundah).
Ponovni zagon.
Hitrost vrtenja (kroženja) rde e to ke na kolesu je
konstantna. Ali je vektor hitrosti v tej to ki konstanten?
a. Klikni tukaj, e želiš videti vektor hitrosti. Ko si videl
vektor hitrosti, ponovno premisli svoj odgovor na
vprašanje: ali je hitrost rde e to ke konstantna?
b. Kakšna je smer vektorja pospeška v rde i to ki? Klikni
tukaj, e želiš videti vektorja pospeška in hitrosti.
c. Kakšna je hitrost premikanja rde e to ke v primerjavi s hitrostjo premikanja neke druge
to ke, na primer zelene? Pri tem moramo upoštevati, da je razdalja zelene to ke od središ a
44
enaka polovi ni oddaljenosti rde e to ke od središ a vrtenja (vrtiš a). Klikni tukaj, e želiš
videti obe to ki. Zaradi preglednosti zelena to ka leži na nasprotni strani kolesa kot rde a.
d. Zakaj je hitrost premikanja zelene to ke manjša od hitrosti premikanja rde e to ke?
e. Kakšna je velikost pospeška v rde i to ki v primerjavi z velikostjo pospeška v zeleni to ki?
Klikni tukaj, e si želiš ogledati vektorje hitrosti in pospeška v obeh to kah.
Poglavje 4: Newtonovi zakoni
Kon ali smo prou evanje kinematike, pri kateri se ne sprašujemo, zakaj se telo giblje. Sedaj
bomo pojasnili, zakaj se telesa giblejo ali mirujejo. Pri tem bomo uporabljali pojem sile.
Obravnavali bomo osnovne tehnike diagramov sil, normalne sile, sile teže in napetosti.
Predstavitev 4.1: Prvi Newtonov zakon in opazovalni sistemi
Na prvi pogled izgleda, da je prvi Newtonov
zakon (mirujo e telo ostane mirujo e, telo v
gibanju pa ostane v gibanju, e je vsota vseh sil, ki
nanj delujejo, enaka ni ) že vklju en v drugi
Newtronov zakon. Vendar ni tako. Prvi zakon je
vezan tudi na opazovalni sistem. Te informacije pa
NI v drugem Newtonovem zakonu. Prvemu
zakonu v asih pravimo tudi zakon o vztrajnosti.
Dolo a množico opazovalnih sistemov, v katerih
prvi zakon velja, tem sistemom pravimo tudi vztrajnostni opazovalni sistemi. Druga e gledano,
prvi Newtonov zakon pravi, da v primeru, ko je skupna sila na telo enaka ni , lahko najdemo vsaj
en opazovalni sistem, v katerem je telo nepremi no. Imamo pa veliko sistemov, v katerih se telo
giblje s konstantno hitrostjo.
V treh razli nih animacijah je prikazan top na vozi ku, ki se giblje po tra nici (položaj je podan
v metrih, as je v sekundah). V vsaki animaciji je krogla v asu t = 1s izstreljena navpi no
navzgor. Ponovni zagon.
Poglejmo Animacijo 1. V tej animaciji vozi ek miruje. Toda ali je to res? Ne moremo povedati,
ali mirujemo ali se gibljemo s konstantno hitrostjo ( e smo torej v vztrajnostnem opazovalnem
sistemu). Pomislimo na to, e se premikamo na Zemlji, ki ima konstantno hitrost, smo v
vztrajnostnem opazovalnem sistemu. Kako lahko torej vemo, e se premikamo? Kaj pa je z
vozi kom? Dokler ima naše gibanje glede na zemljo relativno konstantno hitrost, ne vemo, e se
premikamo. V Animaciji 1 se morda vozi ek ne premika. V takem primeru pri akujemo in tudi
vidimo, da krogla spet pristane v možnarju. Vendar, e bi se vozi ek premikal relativno na
Zemljo in bi se mi premikali z vozi kom, bi bil pogled na gibanje vozi ka in krogle povsem
enak!
Kaj pa v primeru, e se vozi ek relativno na naš opazovalni sistem premika (ali pa se mi
premikamo relativno na njegov opazovalni sistem)? Animaciji 2 in 3 prikazujeta pogled na
gibanje iz razli nih opazovalnih sistemov. emu sta ti animaciji podobni? Obe ponazarjata
gibanje izstrelka. Gibanje krogle je gibanje v ravnini namesto kot prej v ravni rti. Pa bo krogla
45
spet padla v možnar? Bi to pri akovali? Seveda. Ni nenavadnega se ne dogaja. Ker ni sil v smeri
x, lahko opisujemo v tej smeri gibanje tako krogle kot vozi ka kot gibanje s konstantno hitrostjo.
Zato imata tako krogla kot vozi ek konstantno vodoravno hitrost.
Ve o opazovalnih sistemih in relativnem gibanju je v poglavju 9.
Predstavitev 4.2: Diagrami sil
V predstavitvi 4.2 potiskamo po tleh
klado z maso 8kg (položaj je podan v
centimetrih in as v sekundah). Med
premikanjem prikazujemo ve možnih
diagramov s komponentami sil x in y.
Za vsako komponento je to en le eden
od treh diagramov. Ponovni zagon.
Poglejmo na gibanje klade po kliku na
gumb "predvajaj". Kako s pomo jo sil analiziramo premikanje klade? No, najprej narišemo telo
in smeri sil. Taki sliki pravimo diagram sil. Najprej analiziramo sile v smeri x in nato še sile v
smeri y.
Poglejmo sile v smeri x (Diagram x). Katere sile delujejo? Kako so velike? Kako to vemo? Klikni
na posamezne diagrame za smer x. Kateri je pravilen? Pogosto poznamo vse sile, ki delujejo, tu
pa poznamo le potiskanje, prikazano v Diagramu 1x. Je to edina sila, ki deluje v smeri x? Drugi
Newtonov zakon pravi, da sila na telo pomeni, da se njegovo gibanje pospešuje (hitrost telesa se
spreminja). Se hitrost klade spreminja? Ne (To lahko ugotovimo bodisi z opazovanjem gibanja
klade bodisi z ra unanjem hitrosti in spoznanjem, da se ta ne spreminja.); torej mora delovati še
ena sila, to je sila trenja, ki se gibanju upira. To spoznanje izlo i primera Diagram 1x in Diagram
3x, saj kažeta le eno silo. Druga sila ne le da nasprotuje gibanju, biti mora povsem enaka sili, ki
klado potiska. Zato je nepravilen tudi primer Diagram 2x. Zato Diagram 4x ponazarja pravilen
diagram za sile, ki delujejo v smeri x. (Obliko sile trenja bomo obravnavali v poglavju 5)
Poglejmo sedaj sile v smeri y (Diagram y). Katere sile delujejo? Kako so velike? Kako to vemo?
Klikni na posamezne diagrame za smer y. Kateri je pravilen? Pogosto poznamo vse sile, ki
delujejo, tu pa poznamo le silo teže, kar je prikazano v primeru Diagram 1y. Ali je to edina sila,
ki deluje v smeri y? Ker klada v smeri y nima pospeška, mora delovati še kakšna druga sila. To
izlo i primera Diagram 1y in Diagram 2y, saj
kažetal e eno silo. Sila, ki manjka, je
takoimenovana normalna sila (sila mize, ki
deluje na klado), ki se upira sili teže.
Normalna sile se ne le upira gibanju v smeri y,
pa pa je povsem enaka sili teže, teži telesa.
To izlo i še primer Diagram 3y. Primer
Diagram 4y ponazarja pravilni diagram za
sile, ki delujejo v smeri y. Normalna sila ni
vedno enaka teži. e bi imeli pospešek v smeri y ali pa bi bila klada na klancu, se normalna sila
ne bi ujemala s silo teže.
46
e bi hoteli rešiti celoten problem, bi morali narisati v diagram za vse sile. Analizo smo opravili
tako, da smo gibanje razdelili v komponente. Kako bi torej moral izgledati popoln diagram sil?
Animacija s popolnim diagramom sil kaže kombinacijo vseh sil tako v smeri x kot y.
Predstavitev 4.3: Drugi Newtonov zakon in sila
Ve ina fizikov sicer meni, da je pojem sile
manj osnoven od zakona o ohranitvi energije,
venda je sila še vedno središ e študija fizike.
Sila lahko potiska ali vle e ali izvaja kakšno
drugo obliko vpliva enega telesa na drugega.
Iz izkušenj vemo, da potiskanje ali vle enje
pogosto povzro i premikanje telesa. To
omogo a oceno definicije sile v lu i tega, kar
smo že spoznali - pospeška. Ponovni zagon.
e se masa telesa ne spreminja, je velikost
sile, ki vpliva na telo, sorazmerna spremembi
hitrosti v danem asu (torej pospešku). Velja
F = ma.
Uporabi to definicijo pri obravnavi rezultatov Predstavitve 4.3 (položaj je podan v metrih, as
je v sekundah). V okencu nastavi maso še preden izbereš tip grafa: hitrost ali pospešek.
Dvoroka ikona interaktira z vozi kom z maso 1 kg, e ikono premaknemo ob levi ali desni rob
vozi ka. Puš ica pod vozi kom kaže smer in jakost sile na vozi ek. Ikono roke moramo držati za
vozi kom, ker interakcija spremeni smer, ko pride ikona na drugo stran. Sproži animacijo in jo
nekaj asa prou uj. e vozi ek uide iz zaslona, resetiraj animacijo.
Izberi najprej hitrost (in kasneje pospešek). Premakni roko levo od vozi ka in ga za hip poskusi
potisniti. Tako bi sila delovala na vozi ek le za kratek as. Kako bosta izgledala diagrama hitrosti
in pospeška? Diagram hitrosti bi moral za as delovanja sile na vozi ek kazati naraš anje hitrosti,
zatem pa bo imela krivulja hitrosti naklon ni . Hitrost se spreminja le, ko na telo deluje sila.
Diagram pospeška pa bo v asu delovanja sile kazal konico, sicer pa bo pospešek enak ni .
Ponovi enak postopek s potiskom vozi ka z desne strani. Kaj se spremeni? Ker je sila vektor,
kaže sedaj sila v negativni smeri na osi x. Zato sta sedaj tako hitrost kot pospešek tudi negativna.
Sedaj izberi hitrost (in nato pospešek). Premakni ikono z roko na levo stran vozi ka in ga
potiskaj, tudi ko se vozi ek premika. Vozi ek bo tako pod konstantno silo. Kako sedaj izgledata
diagrama hitrosti in pospeška? Krivulja hitrosti bi morala imeti konstanten naklon navzgor,
krivulja pospeška pa bi morala kazati konstanten pospešek, dokler sila deluje na vozi ek. Ponovi
poskus s potiskom vozi ka z desne strani. Kaj se zgodi? Ker je sila vektor, je sila sedaj negativno
usmerjena glede na os x. Zato bosta tudi hitrost in pospešek negativna.
Kako se diagrama hitrosti in pospeška spremenita, e maso vozi ka podvojimo ali razpolovimo?
Poskusi in ugotovi. Ker je pospešek enak kvocientu med silo in maso, pomeni pove anje mase
zmanjšanje pospeška, zmanjšanje mase pa pove anje pospeška.
47
Predstavitev 4.4: Klada na klancu
Animacija kaže klado na klancu brez trenja
(položaj je podan v metrih, as v sekundah).
Nastaviš lahko m - maso klade (100 g < m < 500
g) in - kot klanca (10° < < 45° ) ter opazuješ
vpliv teh sprememb na gibanje klade. Ponovni
zagon.
Najprej moramo poudariti, da je pri primerni
izbiri koordinat, aprav je to dvo dimenzionalni
problem, gibanje klade eno dimenzionalno. Ker
je gibanje klade po klan ini navzdol, naj bo to
smer osi x. Ker so koordinatne osi pravokotne,
imenujmo smer normale na naklon za os y. S
tem dosežemo dve stvari: Rezultanta sil (in zato
pospešek) je sedaj na osi (osi x) in ni potrebna dekompozicija normalne sile. Odkljukaj kvadratek
in klikni na gumb "vpiši vrednosti in predvajaj" in glej diagram sil za klado in rezultanto sil, ki
deluje na klado.
Kakšna sila dolo a pospešek klade? To je del gravitacijske sile, ki kaže vzdolž naklona (mg sin
). Zato mora biti druga komponenta gravitacijske sile (mg cos ) enaka normalni sili, saj klada
ne odleti s klanca. Pospešek klade po klancu je g sin .
Poskusi spremeniti maso klade. Kako se bo ob spremembi mase spremenil pospešek klade?
Spremeni naklon klanca. Kako vpliva naklon klanca na pospešek klade? Pri animaciji smo
omejeni na 10°< < 45°. Ali lahko napoveš bodisi iz formule bodisi z animacijo, kaj se zgodi z
normalno silo in pospeškom pri = 0° in = 90°?
Predstavitev 4.5: Vleka vagon kov
Dva vagon ka sta povezana z vrvjo (z
zanemarljivo maso), vle emo z drugo
vrvjo (prav tako zanemarljive mase) kot
kaže animacija (položaj je v
centimetrih, as je v sekundah).
Ponovni zagon. Rde i vagon ima maso
2.0 kg, masa modrega vagon ka pa je
1.2 kg. Kakšna je sila v roki in kakšna je
napetost v vrvi med vagonoma? Za
odgovor na ti vprašanji moramo
uporabiti drugi Newtonov zakon.
Vendar moramo pri uporabi drugega Nerwtonovega zakona najprej definirati sistem, ki ga
obravnavamo. Odgovorimo na vsako vprašanje posebej.
48
Kakšna je sila v roki na vrvici? Definirajmo sistem, na katerem omo uporabili drugi Newtonov
zakon. Ker ho emo dolo iti silo roke na vrvici, izberemo za sistem kar vrv. Katere sile delujejo
na vrv? Pomagal bi nam diagram sil. Poglej diagram sil na vrvi v animaciji.
Na vrvi imamo dve sili, silo roke v smeri +x in silo rde ega vagon ka na vrv v smeri -x. Ti dve
sili sta enako veliki,zato je rezultanta sil na vrvi enaka ni . Toda kako je lahko enaka ni , e pa
pospešek na vrvi NI enak ni ? Ker je masa vrvi zanemarljiva, jo imejmo za enako ni ; zaradi
drugega Newtonovega zakona je rezultanta sil enaka ni . V resnici je masa vrvi le zanemarljivo
majhna, skoraj enaka ni . Kon no to pomeni, da je napetost v vrvi konstantna.
Kakšna pa je sila rde ega vagon ka na vrv? Kateri sistem moramo sedaj upoštevati? Imamo dve
možnosti: (1) Kot sistem obravnavamo rde i vagon, (2) kot sistem obravnavamo modri in rde i
vagon ter vrv med njima. Katerakoli izbira bi vodila k odgovoru, vendar je možnost (2) najbolj
neposredna in z njo rešimo problem najbolj hitro.
Obravnavajmo torej kot sistem oba vagona in vrv, kakor to ponazarja ta animacija. Sivi
pravokotnik predstavlja sistem. Sedaj narišimo diagram sil za ta sistem in si za preverjanje
odgovora spet oglejmo animacijo. Ko narišemo diagram sil in razpoznamo sile, lahko uporabimo
drugi Newtonov zakon, dolo imo silo s strani vrvi na rde i vagon in ugotovimo silo roke na vrv.
Tako dobimo odgovor na prvo vprašanje. Pojdimo k drugemu vprašanju: kakšna je napetost v
vrvi med vagon koma? Odgovorimo lahko s ponovitvijo podobnega postopka. Razpoznamo
sistem, zanj narišemo diagram sil in uporabimo drugi Newtonov zakon.
Predstavitev 4.6: Tretji Newtonov zakon, kontaktne sile
Predstavitev 4.6 kaže
asovne
poteke položaja, hitrosti in pospeška
rde e klade z maso 2 kg (ni narisan
v merilu), ki ga po vodoravni
površini brez trenja poriva sila 12 N
(položaj je podan v metrih, as je
v sekundah). Ponovni zagon. Rde a
klada je v stiku z zeleno klado (ki
tudi ni prikazana v merilu) z maso 1
kg (in jo zato potiska. Klikni tu za
prikaz in predvajanje fizikalnega
primera. asovna poteka položaja
obeh klad sta podana v ustreznih barvah kot funkciji x(t), za asovna poteka hitrosti in pospeška
pa je podana le po ena krivulja v(t) oziroma a(t) (kladi se gibljeta skupaj in morata zato imeti isto
hitrost in pospešek). Kladi se pri nastavitvi sti nih sil tudi ne premikata skupaj.
Tvoja naloga je, da dolo iš sti ni sili, ki sta potrebni, da bi bilo gibanje klad fizikalno. Ko si
pripravljen, klikni na gumb "nastavi vrednosti in predvajaj" s privzetimi vrednostmi sil. Kaj se
zgodi? Rde a klada "gre skozi" zeleno, ker sili nista pravi. Na rde o klado deluje sila 12 N, na
zeleno klado pa ne deluje nobena sila. Seveda delujejo teža posameznih teles in normalne sile v
navpi ni smeri, vendar se pri obeh telesih izni ijo. V tem primeru obravnavamo v rezultanti sil le
vodoravne sile.
49
Preiskusi nekaj vrednosti sil in preveri, e lahko dosežeš enak na in gibanja blokov in enake
asovne diagrame kot pri fizikalnem primeru.
Si lahko dobil pravilno gibanje? Lotimo se tega sistemati no, ne pa z ugibanjem. Prikaži in
predvajaj fizikalni primer z obema telesoma kot enotnim sistemom. e gledamo na stvar tako,
imemo eno telo z maso 3kg in rezultanto sil 12 N, kar pomeni pospešek 4 m/s2 (to je razvidno iz
diagrama pospeška).
Kaj sedaj? Lahko analiziramo sile, ki delujejo na prvo telo, vendar analizirajmo raje drugo telo,
saj nanj pririska le prvo telo. Ker ima pospešek 4 m/s2 in maso 1 kg, mora utiti silo 4 N, ki jo
povzro a pritisk rde ega telesa. Kaj pa vemo o rde em telesu? Tretji Newtonov zakon pravi, da
mora utiti enako silo v obratni smeri, torej silo -4 N. Poskusi s temi vrednostmi (-4 N za silo na
rde e telo in silo 4 N, ki jo uti zelena klada) in poglej, e verjameš, kar pravi tretji Newtonov
zakon o silah.
Raziskava 4.1: Vektorji sil za klado na klancu
konico. Ponovni zagon.
Raziskava 4.1 predstavlja diagram sile za klado z
maso 20kg na klancu brez trenja in z naklonom
30o (Dolžina vektorjev je podana v Newtonih).
Svetlo sive rte predstavljajo tradicionalne osi xy,
rne rte pa predstavljajo koordinate vzdolž
klanca. Modri vektor predstavlja normalno silo,
zeleni vektor predstavlja težo. Z vle enjem repov
modrega in zelenega vektorja lahko le-ta
premikamo, kar omogo a njihovo seštevanje, rde i
vektor pa bo predstavil rezultantno silo, ko bomo
primerno povlekli oziroma premaknili njegovo
a. Iz diagrama dolo i rezultantno silo.
b. Dolo i pospešek klade.
50
Raziskava 4.2: Spremeni dve uporabljeni sili
Premakni katerega od obeh križcev ali kroglo (položaj je
podan v centimetrih, as je v sekundah). Križca delujeta s
konstantno silo na rno kroglo (lahko jo privla ita ali
odbijata), e sta v razdalji 10 cm od krogle. Ko krogla zadene
steno, deluje stena na kroglo s silo, ki povzro i njen odboj.
Zelena in rde a puš ica ponazarjata sili, povzro eni z obema
križcema, modra puš ica pa predstavlja rezultanto sil.
Ponovni zagon.
Za primer privla nosti ali odbojnosti premikaj kroglo in
opazuj rezultanto sil. Ko se ti zdi krogla v "zanimivem"
položajo, klikni na gumb "predvajaj" in opazuj vpliv sil na
kroglo. Kratko pojasni, zakaj se krogla giblje v skladu s
silami, ki nanjo delujejo.
Raziskava 4.3: Uporabi silo in doseži cilj
Vleci križec v bližini rne krogle (položaj je podan v metrih,
as je v sekundah). Opaziš, da križec vpliva s silo na kroglo,
jo torej privla i ali odbija glede na tvoj izbor. Krogla se bo
odbijala od violi astih krogel in od mehkih sten, prikazanih v
animaciji. Animacija se ustavi, ko krogla zadene enega od
pravokotnikov. Modra puš ica kaže rezultanto sil. Ponovni
zagon.
a. Skušaj dose i, da krogla tr i v zeleni pravokotnik in ne
v rde ega.
b. Kako se giblje krogla ob uporabljeni sili?
c. Ali se krogla vedno giblje tako, kot pri akuješ? Zakaj
da oziroma zakaj ne?
Raziskava 4.4: Nastavi silo na hokejski ploš ek
Na hokejski ploš ek z maso 250 gramov deluje
sila. Po ledu lahko drsi v katerikoli smeri
(položaj je podan v metrih, as je v
sekundah). Vektor sile lahko nastaviš s
spreminjanjem velikosti sile (0 N < F < 10 N) in
smeri. Vektor sile je v animaciji prikazan z
rde o puš ico. Nastaviš lahko tudi komponente
51
za etne hitrosti (-15 m/s < v < 15 m/s). Ponovni zagon.
a.
b.
e je za etna hitrost enaka ni ,v kateri smeri bo ploš ek potoval pri dani sili?
e za etna hitrost ni enaka ni ,v kateri smeri bo ploš ek potoval pri dani sili? Namig: To
najlažje ugotoviš, e nastaviš le eno komponento hitrosti razli no od ni , v0x ali v0y, ne
obe. Vklju i tudi "sledi" ploš ka.
c. Poskusi s F = 5 N, = 270°, v0x = 7 m/s, in v0y = 15 m/s. Ali ti je to gibanje kaj znano?
Pri iskanju odgovora si lahko pomagaš z vklopom "sledi" ploš ka.
Raziskava 4.5: Vesoljska sonda z ve motorji
Vesoljska sonda ima štiri motorje, ki lahko izgorevajo v
smereh +x, -x, +y in -y (položaj je podan v metrih, as
je v sekundah). Za vsakega od spodnjih primerov najprej
napovej gibanje vesoljske sonde. Tvoja napoved naj bo v
obliki podrobnega opisa gibanja sonde. Šele po podani
napovedi jo preveri s pomo jo animacije. Primer take
napovedi vidiš v prvi vrstici naslednje tabele. Ponoven
zagon.
Primer
Tvoja napoved
Animacija
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko Sonda bo imela pospešek v smeri +x. Ker ob zagonu
nenadoma eden od motorjev za ne potiskati motorja že potuje v tej smeri, bo pospešila in se gibala Animacija 1
sondo v smeri +x.
še naprej v smeri +x .
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko
se nenadoma vžge motor, ki potiska sondo v
smeri -x.
Animacija 2
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko
se nenadoma vžge motor, ki potiska sondo v
smeri +y.
Animacija 3
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko
se nenadoma vžge motor, ki potiska sondo v
smeri -y.
Animacija 4
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko
se nenadoma vžge motor, ki potiska sondo v
smeri -y, drug motor pa za ne potiskati sondo
v smeri -x.
Animacija 5
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko
se nenadoma vžge motor, ki potiska sondo v
smeri +y , drug motor pa jo za ne potiskati v
smeri +x.
Animacija 6
Sonda ima konstantno hitrost v smeri +x, ko
se nenadoma so asno vžgejo vsi štirije
motorji .
Animacija 7
52
Raziskava 4.6: Vržena žogica za golf pada proti luknji
Žogica za golf se kotali proti luknji na
zelenici. Animacija kaže pogled od zgoraj na
žogico na travi. V animaciji vidimo vektor
pospeška (oranžne barve), komponente
pospeška žogice so prikazane v tabeli.
Rezultanta sil na žogico kaže v skladu z
drugin Newtonovim zakonom v isto smer, kot
pospešek žogice. To pomeni, da lahko, e
poznaš maso žogice in njen pospešek,
izra unaš rezultanto sil, ki delujejo na žogico.
a. Ali je rezultanta sil na žogico med intervalom od t = 0 do t = 4.8 s konstantna?
b.
e ni, ali se spreminja njena magnituda oziroma smer?
c. Kakšna je rezultanta sil pri asu t = 1.0 s, e je masa žogice 0.046 kg?
d. Za vajo izra unaj še rezultanto sil na žogico pri asih t = 2.0 s, t = 3.0 s in t = 4.0 s.
Raziskava 4.7: Atwoodovo padalo
Telo z maso M = 10 kg je preko škripca (zanemarljive
mase) pritrjeno na drugo telo s spremenljivo maso m
(položaj je podan v metrih, as je v sekundah). S
spreminjanjem razmerja med masama lahko preveriš
omejitve formule za pospešek Atwoodovega padala (ki ni
prikazan v merilu). Ponovni zagon.
a. Nariši diagram sil za posamezno telo.
b. Razvij formulo za pospešek telesa z maso m v
odvisnosti od g, M in m.
c. Katera, e sploh katera od naslednjih trditev o
gibanju teles drži?
•
•
•
•
•
•
•
e je
e je
e je
e je
e je
e je
e je
M=m
M=m
M >> m
M >> m
M<m
M<m
M<m
tedaj:
tedaj:
tedaj:
tedaj:
tedaj:
tedaj:
tedaj:
a = g.
a = 0.
a = g.
a = 0.
a = 0.
a = g.
a < 0.
Svoje odgovore na vprašanja "c" preveri s pomo jo animacije in odgovora na vprašanje "b".
53
Raziskava 4.8: Vnesi izraz za uporabljeno silo
Raziskava omogo a izbiro za etnih pogojev in sil,
nato pa opazovanje vpliva sile na rde o žogico.
Kadarkoli lahko z desnim klikom na diagram
narediš njegovo kopijo. e odkljukaš "delni
diagram", bo diagram kazal podatke le za asovni
interval, ki si ga izbral. Animacija se bo sicer
kon ala, ko bo žoga oddaljena ve kot +/-100 m
od izhodiš a. Ponovni zagon.
Pazi na pravilno sintakso, na primer: -10+0.5*t, 10+0.5*t*t, in
-10+0.5*t^2. Za osvežitev
spomina si še enkrat oglej Raziskavo 1.3.
Analiti no reševanje diferencialnih ena b je lahko
težko. Eden od na inov je uporaba numeri nih metod za tvorbo rešitve v diskretnih asovnih
korakih. Zgornja animacija dela prav to s premikanjem rde e žogice od njenega za etnega
položaja v asu to do nove vrednosti v asu t1 = to + dt. S ponavljanjem tega procesa lahko
dobimo približno rešitev kot funkcijo asa.
Seveda ima ta postopek svoje pasti. e so asovni koraki preveliki (na primer eno leto), lahko
spregledamo zanimive pojave. e se kaj zanimivega zgodi v takem asovnem intervalu, so taki
podatki pomanjkljivi. Po drugi strani, e je asovni korak premajhen (na primer 1 nanosekundo),
bi lahko ra unalnik potreboval zelo veliko asa za narisanje zna ilne množice to k, po kateri
spoznamo gibanje žoge.
Za vsako od naslednjih sil najprej opiši silo (magnitudo in smer), nato napovej gibanje žogice.
Kako dobro si napovedal? Ne pozabi dolo iti, kako vplivata na gibanje žoge pri posameznih silah
za etni položaj in hitrost.
a. Fx(x, t) = 1
b. Fx(x, t) = -1
c. Fx(x, t) = 1*step(3-t) Ta funkcija je konstantna, dokler ne dosežemo t = 3 s, nato se
izklopi.
d. Fx(x, t) = x
e. Fx(x, t) = -x
f. Fx(x, t) = cos(x)
g. Fx(x, t) = cos(t)
54
Poglavje 5: Newtonovi zakoni 2
Do sedaj smo spoznali osnovne Newtonove zakone in primere. Poglejmo si še dodatne primere
kot so trenje (z zra nim uporom), krožno gibanje in vzmeti.
Predstavitev 5.1: Lepljenje in trenje
Kako trenje vpliva na naš primer?
Površina teles, tudi tistih z najbolj
gladko površino, je namre precej
neravna na mikroskopski ravni. Zaradi
tega so atomi obeh površin tako blizu
skupaj, da se med njimi tvorijo kemi ne
vezi. Da bi telo premaknili, moramo te
vezi pretrgati. Ponovni zagon.
Smer sile trenja je nasprotna smeri gibanja, velikost sile trenja pa je premosorazmerna s silo
normale Fg. Poznamo dve vrsti sile: silo lepenja (stati no) in silo trenja (dinami no).
Lepljenje je sila, ki nastane, ko ni relativnega gibanja med dvema površinama, trenje pa, ko to
gibanje obstaja. Koeficient trenja predstavljamo z grško rko , z indeksom pa ozna imo, ali gre
za lepljenje ali trenje, l in t. Vedno pa velja l > t.
Pomislimo, kaj se zgodi, ko pri nemo vle i kocko, dokler se še ne premika. Nastavi maso na 100
kg in spreminjaj silo F. Sila lepljenja je nasprotno enaka sili F, in naraš a do najve je sile fl max =
l * Fg = 392 N. Ko sila vle enja F preseže fl max, se sila trenja naenkrat zmanjša, kocka pri ne
pospeševati, sila lepljenja pa postane sila trenja ft = t * Fg.
Kakšna sta torej l and t? e pri sili Fvle enja = 392 N, še ni gibanja, je fl max približno 392 N. Pri
danem Fg = 980 N velja l = 0.4. Pri premikajo i se kocki in sili Fvle enja = 392 N ugotovimo
spremembo hitrosti v = 9.8 m/s v 5 sekundah, pospešek a = 1.96 m/s2. Zato velja m*a = Fvle enja ft = Fvle enja - t * Fg. Z nekaj ra unanja ugotovimo, t = 0.2.
Predstavitev 5.2: Enakomerno kroženje: Fc in ac
Enakomerno kroženje je zanimiva mešanica eno in dvo
dimenzionalnih pojmov. Med enakomernim kroženjem mora biti
hitrost telesa konstantna. To je tisto, kar je enakomerno pri
enakomernem kroženju. Ali telo, ki se giblje v krogu s
konstantno hitrostjo, pospešuje? Da! Zakaj? Smer hitrosti se s
asom spreminja. Opazuj animacijo (položaj je podan v metrih,
as je v sekundah). Animacija ponazarja gibanje telesa v krogu
s konstantno magnitudo hitrosti. Za dolo anje pospeška moramo
upoštevati asovno spreminjanje smeri hitrosti. Ponovni zagon.
55
Spreminja se torej smer hitrosti. Nariši dva vektorja hitrosti in se prepri aj, da se smer hitrosti s
asom spreminja. Spomnimo se, da ima hitrost smer (ki vedno kaže v smeri tangente na pot,
lahko re emo v tangencialni smeri) in magnitudo, oboje pa se lahko s asom spreminja. V kateri
smeri se spremeni hitrost? Izra unaj pospešek. Usmerjen je proti središ u kroga. Ker telo
pospešuje, mora biti to gibanje posledica neke sile (ali skupine sil, torej rezultante sil), ki kaže
izklju no proti središ u kroga. (Opomba: e bi imeli neenakomerno kroženje, bi rezultanta sil
lahko kazala v kakšno drugo smer.) Tej smeri - proti središ u kroga - pravimo centripetalna smer,
smer, ki iš e središ e. Pogosto ji re emo tudi radialna smer, ker radij kaže iz središ a kroga proti
telesu (razultanta sil pa kaže v nasprotno smer).
Zato pri enakomernem kroženju pospešek vedno kaže proti središ u kroga. In to ne glede na to,
da se s asom spreminjata tako smer hitrosti, kot smer pospeška. To navidezno težavnost obidemo
z opisom smeri z definicijo centripetalne in tangencialne smeri (smeri tangente na krožnico). Te
smeri se spreminjajo, vendar ostaja hitrost vedno tangencialna na krožnico, rezultanta sil pa
vedno kaže proti središ u kroga. Naslednja animacija kaže hitrost in pospešek med enakomernim
kroženjem telesa.
Predstavitev 5.3: Ferrisov vrtiljak
Kako se bo spremenila naša analiza Newtonovih zakonov
pri telesih, ki enakomerno krožijo? Zapomniti si moramo
le dve stvari.
Prvi , rezultanta sil kaže vedno proti središ u kroga
enakomernega kroženja. Ta rezultanta je odgovorna za
pospešek, usmerjen proti središ u, centripetalni pospešek,
ki smo ga videli v Predstavitvi 5.2.
Drugi , ker je centripetalni pospešek pozitivno število, v2/r, ne more biti nikoli negativen. Pri
linearnem gibanju smo imeli možnost izbire, kam postaviti koordinatne osi (da bi si olajšali
življenje), tu pa je izbira kriti na. Koordinate moramo izbrati tako, da bo ena os s svojo pozitivno
smerjo usmerjena v središ e kroga.
Ferrisov vrtiljak v animaciji se vrti s konstantno hitrostjo (položaj je podan v metrih, as v
minutah). Vsak pravokotnik predstavlja sedež na vrtiljaku.Ponovni zagon.
Opazuj sedež v to ki (a). Kako naj bi izgledal diagram sil za sedež v tej to ki? Za ta odgovor
moramo dolo iti uporabljene sile, ki delujejo na sedež, ko je ta v to ki (a). V tej to ki imamo
normalno silo in silo teže, ki delujeta v nasprotnih smereh. Ali imata sili enako velikost ali
razli no? Biti morata razli ni in normalna sila mora biti ve ja. Zakaj? Vemo, da mora rezultanta
sil kazati proti središ u kroga in da ima pri enakomernem kroženju velikost m a = m v2/r.
Kakšen je pospešek sedeža v to ki (a)? Kot smo prej ugotovili, mora biti v2/r, pri emer je v =
2 r/T, T pa je perioda kroženja.
56
Kako pa bi odgovoril na ta vprašanja za sedež v to kah (b), (c) in (d)? Sile so lahko razli ne
oziroma kažejo v drugo smer, vendar je rezultat enak. Rezultanta sil mora kazati v smeri središ a
in mora biti enaka m v2/r.
Predstavitev 5.4: Vzmeti in Hookov zakon
Vzmeti so zanimiva telesa, ki od raztezanja do
stiskanja sledijo Hookovemu zakonu. Ta pravi,
da je sila, ki jo vzbuja vzmet, enaka F = -k x,
pri emer je k konstanta vzmeti, x (raztezek)
pa je odmik vzmeti od njene ravnovesne lege.
V predstavitvi lahko vzmet raztegnemo z
vle enjem modre krogle (položaj je podan v
centimetrih, sila je podana v Newtonih).
Po asi razteguj in kr i vzmet in opazuj
diagram. Ponovni zagon.
Kje je ravnovesni položaj vzmeti? Ob
predpostavki, da x merimo od ravnovesja
vzmeti, poglejmo, kje je F = 0 N. To je pri x =
30 cm. To je ravnovesni položaj.
Kakšna je konstanta vzmeti? To ni razmerje
med silo, prikazano v tabeli in pozicijo, dano v
tabeli. Zakaj ne? Spomnimo se, da " x" v
ena bi za silo vzmeti merimo od ravnovesne
lege. Torej je pri najve jem raztegu x = 20 cm
in sila je -160 N. Zato velja k = 80 N/m. Ker lahko negativni naklon rte v diagramu pomeni k,
lahko merimo konstanto vzmeti z ugotavljanjem naklona; dobili bi enak rezultat.
Ker se sila vzmeti spreminja z raztegom, lahko sicer dolo imo silo, ne moremo pa (po tem, kar
trenutno poznamo) dolo iti asovni potek hitrosti in položaja telesa, ki je pritrjeno na raztegnjeno
vzmet. Zakaj? Sila ni konstantna (spreminja se s položajem konca vzmeti) in zato ni konstanten
tudi pospešek. To pomeni, da ne moremo uporabiti kinematskih ena b za konstanten pospešek.
Kaj lahko storimo? Uporabimo lahko pojme, ki jih bomo spoznali v poglavjih 6 in 7.
57
Predstavitev 5.5: Zra ni upor
V tej predstavitvi bomo primerjali
gibanje rde ega izstrelka, izstreljenega
navpi no navzgor, z enakim zelenim
izstrelkom, tudi izstreljenim navzgor,
vendar pod vplivom sile zra nega
upora. Da bi obe gibanji lažje
opazovali, bosta oba izstrelka imela
rahlo vodoravno hitrost, vendar v tej
smeri ne bomo upoštevali trenja.
Poleg tega bomo prikazali diagrama
sil za oba izstrelka (zaradi ve je
jasnosti je sila teže narisana z debelo
puš ico). Ponovni zagon.
Opazujmo animacijo Graf položaja in glejmo diagram sil. Najprej, kakšna je smer sile zra nega
upora? Upira se gibanju, tako kot to velja za stati no in kineti no trenje. Poglejmo animacijo Graf
hitrosti. e gledamo gibanje navzgor, je hitrost pozitivna in je zato sila upora, ki se upira gibanju,
usmerjena navzdol, torej velja na poti navzgor |a| >g. Na vrhu loka je hitrost enaka ni , torej
velja |a| = g. Med padanjem je hitrost usmerjena navzdol in sila upora je usmerjena navzgor, torej
|a| < g. Torej je a ve ji na poti navzgor! To je razvidno iz animacije Graf pospeška. V dolo eni
to ki ima sila upora enako velikost kot sila težnosti. V tem trenutku je rezultanta sil enaka ni in
pospešek izstrelka je enak ni . Hitrosti v tem trenutku recimo kon na hitrost.
Te animacije so veljavne pri majhnih hitrostih. S poskusi lahko ugotovfimo, da je sila upora
sorazmerna hitrosti (pri majhnih vrednostih hitrosti). R = -b v, pri emer je R sila upora in b je
konstanta, ki je odvisna od lastnosti zraka in velikosti ter oblike telesa. Ugodnost tega modela je v
lažji matematiki, kar pa ne velja za velike hitrosti.
Za majhna telesa z veliko maso pri velikih hitrostih (tega nismo ponazorili, lahko pa si ta model
ogledamo v Raziskavi 5.6) lahko s poskusi ugotovimo, da je sila zra nega upora saorazmerna
kvadratu hitrosti. Sila upora je enaka R = 1/2 D Av2, pri emer je gostota zraka
(masa/prostornina), A je presek telesa, v je hitrost in D je uporovni koeficient (0.2–2.0). V asih
zapišemo uporovno silo kot bv2 z dodelitvijo b = 1/2D A. Razvijemo lahko izraz za hitrost v
asovni odvisnosti, kar pa je težko. S takim modelom moramo biti previdni, e imamo dvo
dimenzijsko gibanje, saj v tem primeru gibanji v smeri x in y nista ve neodvisni.
Raziskava 5.1: Kroženje
Ploš ek, vezan s struno na sredino mize, potuje po krožnici po mizi
brez trenja (položaj je podan v metrih, as je v sekundah).
Nastaviš lahko maso (10 g < m < 500 g), thitrost (1 m/s < v < 50
m/s) oziroma polmer (0.5 m < r < 3.5 m). Na zaslonu vidimo
napetost strune. Ponovni zagon.
Kako je napetost strune odvisna od mase in hitrosti ploš ka ter
polmera kroga?
58
a. Ali se napetost spreminja, e spreminjaš le maso?
b. Ali se napetost spreminja, e spreminjaš le hitrost?
c. Ali se napetost spreminja, e spreminjaš le polmer?
Raziskava 5.2: Delovanje sile na telo na krožnici
V tej raziskavi opazujemo rno kroglo na mizi (pogled od
zgoraj). Premakni kurzor s križcem (položaj je podan v
metrih, as je v sekundah) na manj kot 5 m od krogle z maso
0.2-kg. Kurzor bo na rno kroglo vplival s konstantno silo.
Izbereš lahko med privla no in odbojno silo. Poleg tega je
gibanje krogle z dolgo žico omejeno na krožnico. Modra
puš ica predstavlja rezultanto sil, ki delujejo na telo, pali ni
diagram pa prikazuje hitrost krogle v metrih na sekundo.
Ponovni zagon.
Pri obeh vrstah sile, privla ni in odbojni, premikaj kurzor in
opazuj spreminjanje rezultante sil.
a. V katero smer je usmerjena rezultantra sil na za etku animacije (preden premaknemo
kurzor)?
b. Se s to silo krogla premika?
c. S kakšnim tipom sile dobi krogla tangencialno hitrost?
d. Opiši smer sile, ki povzro i, da krogla doseže maksimalno tangencialno hitrost ob dani
sili.
e. V katero smer kaže sila , povzro ena z bližnjim kurzorjem, ko ima krogla tangencialno
hitrost? V katero smer kaže pospešek?
f. S telesom v gibanju povleci kurzor vstran od krogle. Kam kaže sedaj rezultanta sil?
Kam je usmerjen pospešek? Zakaj?
Raziskava 5.3: Sila vzmeti
Animacija kaže sistem vzmet-krogla, ki ga lahko
raztegujemo tako, da z miško vle emo temnomodro
kroglo (položaj je podan v metrih, as je v
sekundah). rna puš ica, izhajajo a iz krogle, kaže
rezultanto sil. Svetlomodra krogla na levi predstavlja
diagram sil za temnomodro kroglo. Rde a in zelena
puš ica, izhajajo i iz svetlomodre krogle,
predstavljata silo vzmeti in silo gravitacije. Pospešek
zaradi gravitacije je 9.8 m/s2. Ponovni zagon.
59
a. Ugotovi mehansko ravnovesje sistema, ko je konstanta vzmeti 1.0 N/m, 2.0 N/m, 3.0 N/m,
and 4.0 N/m.
b. S pomo jo meritev ravnovesja ugotovi maso krogle. Namig: Kakšne sile delujejo na kroglo?
c. S pomo jo meritev ravnovesja ugotovi naravno dolžino vzmeti, to je dolžino vzmeti brez
pritrjene krogle.
Raziskava 5.4: Kroženje in sila vzmeti
Krogla z maso 1 kg je pritrjena na vzmet s konstanto k = 10 N/m in
naravno dolžino l0 = 5 m (položaj je podan v metrih in as v
sekundah). Sistem lahko poženeš v gibanje tako, da nastaviš
za etni položaj krogle (x0, 0) in njeno za etno hitrost (0, v0y).
Ponovni zagon.
a. Ugotovi v0y, ki je potrebna za kroženje s polmerom 10 m
(rde i krog).
b. Ugotovi periodo tega gibanja.
Raziskava 5.5: Vpiši ena bo za silo
V raziskavi lahko izbereš za etne pogoje in sile z
dušenjem in nato opazuješ, kako taka sila vpliva na rde o
kroglo. Z desnim klikom na diagram lahko kadarkoli dobiš
njegovo kopijo. e odkljukaš "izrez diagrama", bo
diagram kazal podatke le za nastavljeni asovni interval.
Animacija se kon a, ko krogla doseže oddaljenost +/-100
m od izhodiš a. Ponovni zagon.
Uporabljaj pravilno sintakso, kot na primer -10+0.5*t, 10+0.5*t*t, in -10+0.5*t^2. Osveži si spomin s ponovnim
ogledom Raziskave1.3 .
Za vsako od naslednjih sil najprej opiši silo (velikost in smer) in nato napovej gibanje krogle.
Kako si uganil? Ne pozabi ugotoviti, kako za etni položaj in hitrost vplivata na gibanjer krogle
pri vsaki obravnavani sili.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Fx(x, vx, t) = 1-0.05*vx
Fx(x, vx, t) = 1-0.5*vx
Fx(x, vx, t) = 1-vx
Fx(x, vx, t) = -9.8-vx
Fx(x, vx, t) = x-vx
Fx(x, vx, t) = cos(x)-vx
Fx(x, vx, t) = cos(t)-vx
60
Raziskava 5.6: Zra ni upor
Opazujemo padanje dveh enakih
krogel. Krogla na levi je v snovi
modre barve, katere upornost je
ponazorjena z nastavljivim odtenkom
modre barve. Sila upora je
predstavljena kot b vn, pri emer je b
konstanta med 0 in 2, n pa je celo
število med 0 in 2 (opomba: ko
spreminjamo n, se tudi enote b
spreminjajo). Ponovni zagon.
Izberi vrednosti za b in n in nato izberi
primeren graf, s tem hkrati sproži animacijo in opazuj gibanje ter izbrani graf. Ko dobiš graf
primernega videza, ga z desnim klikom kopiraš in primerno pove aš.
a.
b.
c.
d.
e.
Kako tvoja izbira n(0, 1, 2) vpliva na enote b?
Za b = 1, kako tvoja izbira n (0, 1, 2) vpliva na asovni potek položaja?
Za b = 1, kako tvoja izbira (0, 1, 2) vpliva na asovni potek hitrosti?
Za b = 1, kako tvoja izbira n (0, 1, 2) vpliva na asovni potek pospeška?
Za b = 1, kako tvoja izbira n (0, 1, 2) vpliva na kon no hitrost?
Raziskava 5.7: Vpiši izraza za komponenti sile Fx in Fy
Raziskava omogo a izbor za etnih pogojev in sil ter
nato opazovanje vpliva sile na rde o kroglo. Z desnim
klikom lahko kadarkoli naredimo kopijo grafa. e
odkljukamo "izsek diagrama", bodo v diagramu le
podatki za izbrani asovni interval. Animacija se kon a,
ko se krogla oddalji za ve kot +/-100 m od svojega
izhodiš a. Ponovni zagon.
Uporabljaj pravilno sintakso, kot na primer 10+0.5*t, -10+0.5*t*t, in -10+0.5*t^2. Osveži si
spomin s ponovnim ogledom Raziskave 1.3.
Za vsako od naslednjih sil najprej opiši silo (velikost in
smer) ter napovej gibanje krogle. Kako dobro si
napovedal? Ne pozabi ugtotoviti, kako pri izbrani sili
vplivata na njeno gibanje njen za etni položaj in hitrost.
Fx
Fy
x0 x0 v0x v0x
1
1
0
0 0
0
1
-1
0
0 0
0
-x
-2*y
10 10 0
0
-0.5*vx -9.8-0.5*vy -20 0 20 20
61
Poglavje 6: Delo
V tem poglavju bomo govorili o delu. Pojem delo ima za fizike zelo poseben pomen, ki se
razlikuje od vsakodnevnega na ina uporabe te besede. Delo je povezano z potjo po kateri delujejo
sile. Pogledali bomo kako je, e sta sila in pot v isti smeri in tudi kaj se zgodi, e nista.
Predstavitev 6.1: Skalarni produkti
O delu govorimo kot o sili v smeri premikanja telesa
pomnoženi s premikom ( x). Brez premika ni dela. Delo je
pozitivno, e sila F in premik x kažeta v isto smer in
negativno, e sila F in premik x kažeta v nasprotni smeri. Ta
izjava je pravilna, e sila in premik ležita na isti premici. Kaj
pa se zgodi e ne? Pri obravnavi v dveh dimenzijah lahko sila
in premik kažeta v poljubno smer. Koliko sile torej deluje v
smeri premika? (Lahko pogledamo tudi iz druge strani:
kolikšen je premik v smeri v kateri deluje sila?)
e ho emo odgovoriti na to vprašanje moramo uporabiti
matemati ni
konstrukt,
ki
mu
pravimo
skalarni
produkt. Skalarni produkt je defineran kot produkt dveh
vektorjev: A skalarno B = A • B = |A| |B| cos( ), kjer je kot
med A in B, |A| in |B| pa sta dolžini vektorjev. Ponovni zagon.
Povleci konico katerega izmed dveh vektorjev (pozicija je podana v metrih). Rde a puš ica je
A, zelena je B. Prikazana je dolžina obeh vektorjev in izra unani skalarni produkt. Kdaj je
skalarni produkt 0? Skalarni produkt je ni ko sta vektorja pravokotna. Za katerega koli izmed
dveh vektorjev velja, da je vektorski produkt najve ji, ko ležita sili na isti premici in najmanjši ko
sta pravokotni. Vrstni red vektorjev A in B ni pomemben.
Skalarni produkt ima torej ustrezne lastnosti, ki nam pomagajo matemati no opisati DELO. Za
konstantno silo velja:
A = F • x = F x cos( ),
kjer je F konstantna sila in x premik (iz tega sledi, da sta F in x velikosti koli in). Ena ba "A =
F x", ki jo lahko kdaj opazimo, ni vedno pravilna. Ta ena ba namre ne upošteva vektorskih
lastnosti sile in premika in lahko vodi v sklepanje da je DELO produkt SILE in RAZDALJE, kar
pa ni res.
62
Predstavitev 6.2: Konstantne sile in trenje
Ta ponazoritev prikazuje klado na
mizi, ki je pod vplivom sile F in sile
trenja. Parametre: masa klade, sila F
in koeficient trenja, se lahko dolo i z
vnosom vrednosti v ustrezna okenca
in pritiskom na gumb "nastavi
vrednosti
in
poženi" Koeficient
lepenja je stalen: s = 0.4. Ponovni
zagon.
Oglej si animacijo s 100 kilogramsko klado in silo nekje med 0 in 39 N (izvedi ve animacij). Kaj
se dogaja v posameznih animacijah? Klada se ne premakne. Kolikšno delo je opravila sila F glede
na premik klade? Kolikšno je delo sile trenja glede na premik klade? Kolikšno je delo sile
normale glede na premik klade? Kolikšno je delo gravitacijske sile glede na premik klade? Delo
vsake posamezne sile je ni . Kako to veš? Prvi : klada se ne premakne. e ni premika ni dela.
Drugi : normalna sila in sila lepenja nikoli ne opravita dela. Normalna sila ne opravi dela, ker je
premik lahko samo pravokoten na le-to. Tudi sila lepenja ne opravi dela. Ko deluje lepenje ni
premika. Lepenje pogojuje da se klada ne premika. Ker torej ni opravljenega dela, tudi ni
spremembe kineti ne energije.
Sedaj poglej animacijo s 100 kilogramsko klado in s silo F = 446 N. Kaj se zgodi? Klada se
premakne in v bistvu pospeši. Kolikšno delo je opravila sila F glede na premik klade? Kolikšno je
delo sile trenja glede na premik klade? Kolikšno je delo normalne sile glede na premik klade?
Kolikšno je delo gravitacijske sile glede na premik klade? Skupno delo vseh sil sedaj ni ni .Kako
to veš? Pojavi se sprememba kineti ne energije. To se lahko zgodi samo ko je opravljeno delo.
Gravitacijska sila ne opravi dela, ker je pravokotna na smer gibanja klade. Kot smo že povedali,
normalna sila ne more opraviti dela. Delo, ki ga opravi sila F je pozitivno.
x |, ker sta gibanje klade in sila trenja
Sila trenja zmanjšuje kineti no energijo klade za | Ft
usmerjeni v nasprotni smeri. Trenje bo vedno nasprotovalo gibanju, torej bo vedno zmanjševalo
kineti no energijo. Vendar ne re emo da sila trenja opravi delo glede na klado. Ta trditev ni
pravilna. Delo opravljeno s strni sile trenja je energija, ki jo klada izgubi in ni enaka - Ft
x.
Nekaj kineti ne energije klade, odvzete zaradi trenja, se prenese v notranjo energijo mize (miza
se segreje), nekaj pa jo ostane kot notranja energija klade (klada se segreje). Zato -Ft • x ni delo,
ki ga je opravila sila trenja: - Ft •
razliki kineti ne energije.
x je skupno delo sile trenja (na klado in na mizo) in je enako
Spremeba kineti ne energije klade je razlika sil: Fr = F - Ft pomnožena s potjo (Zato, ker razlika
kaže v smer poti). Zato v tabeli velja: Fr • x = Wk ( x je pot - za etna pozicija klade je x = 0;
kon na kineti na energija je enaka spremebi kineti ne energije - klada na za etku nima kineti ne
energije).
63
Predstavitev 6.3: Sila in pot
Dve sili, ki ju pogosto uporabljamo kot
primera, ko govorimo o delu in silah, sta
sila gravitacije in sila vzmeti. Iz prejšnih
poglavij vemo da je narava teh dveh sil
razli na. Silo gravitacije na telo vedno
ra unamo kot mg, medtem ko je sila
vzmeti ovisna od tega koliko je vzmet
raztegnjena (ali skr ena) glede na
ravnovesni položaj. Kot posledica bo delo,
ki ga opravita obe sili na isto telo razli no.
Ponovni zagon.
V splošnem velja za konstantno silo: A =
F • x = F x cos( ), kjer je F konstantna
sila, x pa vektor poti. F in x sta velikosti teh dveh vektorjev.
Graf kaže Fcos( ) glede na razdaljo za telo z maso 1-kg blizu površja Zemlje (položaj je podan v
metrih). Z ozna itvijo kvadratka pod slikami graf predstavlja Fcos( ) v odvisnosti od položaja
telesa na vmeti s k = 2 N/m (ravnotežni položaj vzmeti je postavljen na x = 0 m). Lahko vneseš
vrednosti za za etek in konec merjenja dela in potem pritisneš na gumb "oceni ploš ino
(integral)" za izra un dela.
Za ni z ogledom grafa Fcos( ) v odvisnosti od razdalje za gravitacijo (Fg / y). Gravitacija je
konstantna sila (blizu površja Zemlje). Zato bo delo, opravljeno s strani gravitacije | mg y |.
Torej vzemi premet na višini y = 0 m, ki se spusti na višino y = -2 m. Je delo gravitacije pozitivno
ali negativno? Uporabi graf za izra un dela. Delo je pozitivno (negativna sila v smeri y osi in
negativen premik vzdolž te osi pomeni cos( ) = 1), ker sila deluje v isto smer kot je usmerjen
premik. Kaj se zgodi, e dvignemo telo na y = 0 (namesto y = -2 m)? Delo je negativno ker je
smer sile nasprotna smeri premika (cos( ) = -1). Lahko uporabimo | F y |, ker se sila ne
spreminja gleda na pot. Amapak kaj pa, e se sila s potjo spreminja, kot pri vzmeti?
Ozna i kvadratek pod slikami za prikaz
sile vzmeti. Vstavi vrednosti za za etno
in kon no to ko izra una dela in potem
pritisni
gumb
"oceni
ploš ino
(integral)". Vstavi x = 0 m za za etno in
x = 4 m za kon no to ko, ki predstavlja
razteg vzmeti. Je delo enako | F x |?
Zakaj da ali zakaj ne? Delo ni enako | F
x |. V primeru vzmeti je delo enako
0.5*k x2, kar je površina lika pod
funkcijo sile (ozirma integral F
dx). Delo je negativno: Sila in pot sta si
po smereh nasprotna (cos( ) = -1).
Vstavi x = 4 m za za etno in x = 0 m za kon no to ko. Kaj se zgodi s predznakom dela sile
vzmeti?
64
Predstavitev 6.4: Vzmeti
Dejstvo, da se sila vzmeti spreminja s
položajem telesa, pomeni, da lahko sicer
dolo imo silo, vendar pa z uporabo
kinemati nih ena b ne moremo dolo iti
hitrosti telesa, ki je pritrjeno na konec
vzmeti. Zakaj? Sila ni konstantna (se
spreminja s položajem), zato tudi
pospešek ni konstanten. Kaj lahko
storimo? Lahko uporabimo povezavo
med energijo in delom.
Sistem krogle in vzmeti, ki je prikazan v
animaciji, lahko raztegnemo s premikom
temnomodre krogle (1 kg) (položaj je
podan v metrih, as v sekundah). rna
puš ica, ki je pritrjena na kroglo, kaže
vsoto vektorjev sil na kroglo. Svetlomodra krogla na levi je diagram sil za temnomodro kroglo.
Rde a in zelena puš ica, ki sta pritrjeni na svetlomodro kroglo, prikazujeta sili vzmeti in
gravitacije. Gravitacijski pospešek je 9.8 m/s2. Ponovni zagon.
Hookov zakon u i, da je sila vzmeti F = -k x, kjer je k konstanta vzmeti, raztezek x pa je merjen
od ravnovesne lege vzmeti. V tem primeru je za etni položaj vzmeti konstanta ki jo lahko
vnesemo v vnosno polje.
Kako potem dolo imo delo ki ga opravi vzmet? Izra unati moramo integral Fcos( ) x, kjer sta F
and x velikosti vektorjev sile in odmika. Integral moramo ra unati ker sila ni konstantna.
Vzemi k = 2 N/m, y = 5 m in poženi animacijo. Na za etku je vzmet stisnjena - vsota vektorjev
sil kaže navzdol; tudi infinitezimalni premik kaže navzdol - torej je cos( ) = 1. Ugotovimo da je
delo sile na za etku pozitivno, kineti na energija se pove uje. Po prehodu skozi ravnovesno
stanje (y = 0.1 m za navedeni k) pa je vsota sil usmerjena navzgor, med tem ko je infinitezimalni
premik še zmerom kaže navzdol. Iz tega sledi cos( ) = -1: delo je negativno. Kineti na energija se
zmanjšuje, dokler vzmet ne pride v položaj maksimalnega raztega in je hitrost v = 0 m/s. Proces
se zatem obrne s pozitivnim delom dokler masa spet ne gre skozi raznovesno lego in vzmet spet
opravlja negativno delo do za etnega položaja y = 5 m. e ni zaviralnih sil se to ponavlja v
neskon nost.
Predstavitev 6.5: Kroženje
rna krogla s težo 1 kg se giblje po krožnici, kot je to prikazano v animaciji (položaj je podan v
metrih, as v sekundah in energija v joulih). Ponovni zagon. V animaciji brez zunanje sile je
vrv vodoravna na površino (brez trenja) - tako je sila vrvi edina delujo a sila. V animaciji
gravitacija vrtimo kroglo tako, da je os vrtenja vzporedna na površje Zemlje; tako delujeta na
kroglo gravitacija (ki je obrnjena navzdol, kot je to obi ajno) in sila vrvice. Modra puš ica
65
predstavlja rezultanto sil, ki delujejo na kroglo; graf predstavlja kineti no energijo krogle v
Joulih.
Za animacijo brez zunanje sile izberi razli ne za etne
hitrosti potem natavi in poženi: brez zunanje sile. V katero
smer kaže vsota sil? V tem primeru je edina delujo a sila
sila vrvice, ki vle e kroglo in jo usmerja v gibanje po
krožnici. Smer sile je zmerom proti središ u kroga
(centripetalna sila). Ali ta sila spreminja hitrost krogle?
Ne. Vektor hitrosti se sicer spreminja, vendar ohranja
dolžino (spreminja se samo smer). Povezava med delom in
energijo nam pove, da ker sila vrvi ne opravi nobenega
dela (ker je pravokotna na smer gibanja krogle), ne more
biti spremembe v kineti ni energiji krogle. V splošnem
nobena centripetalna sila ne opravi dela.
Za gravitacijo, izberi razli ne za etne hitrosti in potem nastavi in poženi: gravitacija. V katero
smer kaže zdaj vsota vseh sil? To je malo bolj zapleteno. Tudi tu nastopa sila, ki je usmerjena v
center kroga (zaradi vrvi), amak sedaj je tu tudi sila gravitacije. Zato rezultanta ne kaže ve v
center kroga. Ali se s silo gravitacije spremeni tudi hitrost rne krogle? Da. Medtem ko sila vrvi
ne opravi nobenega dela, ga sila gravitacije opravi.
Raziskava 6.1: Funkcionalna definicija dela
Ta vaja ti omogo a odkriti, kako delo vpliva na
spremembe v kineti ni energiji. Ponovni zagon.
Povleci "ro ico" pred in/ali za vozi ek, da posreduješ
silo (položaj je podan v metrih, as v sekundah).
Opazuj graf "sila cos( ) v odvisnosti od položaja" in
tudi kon no hitrost.
a. Kaj lahko re eš o odvisnosti med silo in
delom?
b. Kako delovanje sile spremeni kineti no
energijo?
c. Kaj se zgodi, ko se spremeni masa?
Ne pozabi poriniti v obe smeri in obeh primerih: ko je vozi ek v mirujo em in gibajo em stanju.
66
Raziskava 6.2: Potiskanje dveh klad
Dve kladi potiskamo z enako silo (položaj je podan v
metrih, as v sekundah), vsaka klada na za etku miruje pred
prvo rto (za etek). Zgornja klada ima dvakrat ve jo maso kot
spodnja klada, m1 = 2m2. Ponovno zaženi. Grafi in tabele so
na za etku prazni. Animacija brez grafov in tabel.
a. Katera klada ima ve jo kineti no energijo, ko
pride do druge rte (konca)? Zakaj?
b. Ko si odgovoril na zgornje uprašanje, klikni
animacija z grafi in tabelami, da vidiš, e si imel
prav. Poglej oboje: grafe in tabele.
c.
e nisi imel prav, ali lahko ugotoviš zakaj ne?
Kakšno je pravilno razmišljanje, ki pripelje do
pravega rezultata? Kjer je primerno, uporabi grafe in tabele.
Raziskava 6.3: Sila gravitacije in delo
Na kroglo z maso 1-kg deluje sila
gravitacije, kot je to prikazano v
animaciji (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Za etni
položaj krogle je x = 0 m in y = 0 m.
Lahko spreminjaš za etno hitrost
krogle in opazuješ kako ta vpliva na
gibanje krogle in njeno kineti no
energijo. Prikazana sta tudi grafa
sila cos( ) / položajem krogle in
kineti na energija / položaj krogle.
Ponovno zaženi.
Za v0x = 0 m/s in v0y = 0 m/s:
a. V katero smer kaže vsota sil na kroglo?
b. Kako bi opisal graf kineti na energija / položaj krogle?
Za v0x = 10 m/s in v0y = 0 m/s:
c. Kolikšna je najmanjša kineti na energija krogle?
67
Za v0x = 10 m/s in v0y = 10 m/s:
d. Kako bi opisal graf kineti na energija / položaj krogle? Kaj se dogaja s kineti no energijo?
e. Kakšen je pogoj, da sila gravitacije ne opravi nobenega dela?
f. Kolikšna je najmanjša kineti na energija krogle?
Za v0x = -10 m/s in v0y = 10 m/s:
g. Kako bi opisal graf kineti na energija / položaj krogle? Kaj se dogaja s kineti no energijo?
h. Kakšen je pogoj, da sila gravitacije ne opravi nobenega dela?
i. Kolikšna je najmanjša kineti na energija krogle?
Raziskava 6.4: Spreminjanje smeri delujo e sile
Skozi kroglo z maso 20-kg poteka palica.
Palica deluje na kroglo s silo, ki krogli
omejuje gibanje, tako da se ta lahko giblje le v
smeri palice. Dodamo vle no silo tako, kot je
to prikazano v animaciji (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Vektor vle ne sile
je prikazan kot rde a puš ica in oklepa s
horizontalo kot . Hitrost je podana v metrih
na sekundo. Lahko spreminjaš kot in/ali
velikost vle ne sile (F < 7 N). Ponovni zagon.
a. Kako se spreminja delo, ki ga opravi vle na sila v odvisnosti od konstantnega kota ?
b. Kako se spreminja delo, ki ga opravi vle na sila v odvisnosti od spremenljivega kota
(velikost sile je konstantna)?
c. Združi odgovora v splošno matemati no formulo za delo ki ga opravi poljubna sila, ki
deluje na kroglo.
d. Dolo i splošno matemati no formulo za delo, ki ga opravi sila palice glede na kroglo, ko
je krogla izpostavljena poljubni sili.
Raziskava 6.5: Kroženje in delo
rna krogla z maso 1 kilogram je pritrjena tako, da se giblje v
krogu, kot je to prikazano na animaciji (položaj je podan v
metrih, as v sekundah in energija v joulih). V animaciji je os
vzporedno glede na površje Zemlje, zato je krogla podvržena
gravitaciji (kot obi ajno navzdol) in sili vrvice. Lahko nastaviš
za etno hitrost in nato poženeš animacijo. Modra puš ica
predstavlja vsoto sil, ki delujejo na kroglo, stranski diagram pa
predstavlja kineti no energijo krogle. Ponovni zagon.
68
a. Nastavi dovolj veliko hitrost, da se krogla zavrti okoli osi. Potem zaženi še enkrat in
opazuj sile pri kotih -45o in 45o (naravnost navzdol je –90o). Ozna i sile kot Fg
(gravitacija), Fvrvica in Frezultanta.
b. Glede na diagram kineti ne energije obstajajo mesta kjer se hitrost krogle spreminja
hitreje kot drugje. Vzemi take položaje in jih razvrsti od najvišjega tangentnega pospeška
do najnižjega.
c. Predvidevaj da lahko krogla pride do y = 10 m. Koliko kineti ne energije izgubi na poti
od y = -10 m do y = 10 m? Ali je ta neodvisna od za etne v0x?
d. Kolikšno delo opravi gravitacija na poti krogle od y = -10 m do y = 10 m?
e. Dolo i najmanjšo hitrost ki jo mora imeti krogla da se zavrti okoli osi. Odgovor preveri z
animacijo.
Raziskava 6.6: Sile, Integrali poti in delo
Premakni kurzor v animacijsko okno, potem klikni in vle i.
Diagram na desni prikazuje delo ki ga opravi sila na tej
poti. Za lažjo predstavo so na vsakih 10 m narisani krogi
(položaj je podan v metrih, rezultat integrala pa v
joulih). Uporabi gumb "ponastavi integral" da se izra un
dela postavi na 0. Ponovni zagon.
Za vsako silo odgovori na naslednja vprašanja:
a. Za ni v izhodiš u ( x = 0 m in y = 0 m) in se
premakni na x = 0 m in y = 10 m. Kolikšno je delo,
ki ga opravi sila?
b. Za ni v x = 0 m in y = 10 m in se premakni na x =
0 m in y = 0 m. Kolikšno je delo, ki ga opravi sila?
c. Za ni v izhodiš u ( x = 0 m in y = 0 m) in se
premakni na x = 0 m in y = -10 m. Kolikšno je
delo, ki ga opravi sila?
d. Za ni v izhodiš u ( x = 0 m in y = 0 m) in se premakni na x = 10 m in y = 0 m. Kolikšno
je delo, ki ga opravi sila?
e. Za ni v izhodiš u ( x = 0 m in y = 0 m) in se premakni na x = -10 m in y = 0 m. Kolikšno
je delo, ki ga opravi sila?
f. Za ni v izhodiš u ( x = 0 m in y = 0 m) in se premakni po poljubni poti, ki se zaklju i
nazaj v izhodiš u. Kolikšno je delo, ki ga opravi sila?
Ko kon aš z vprašanji, lahko eksperimentiraš še po svojih lastnih željah.
69
Poglavje 7: Energija
Kineti na energija ( Wk, v apletih zaradi tehni nih omejitev v asih ozna ena tudi s KE) je premo
sorazmerna kvadratu hitrosti objekta; je torej vrednost in ne vektor. Da bi pravilno razumeli
delovanje kineti ne energije, moramo raziskati izolirane sisteme, potencialno energijo in notranjo
energijo.
Predstavitev 7.1: Dolo itev sistema
Animacija prikazuje žogo, ki drsi po po
ukrivljeni žici (položaj je podan v metrih,
as v sekundah, energija pa v joulih); je
pod vplivom gravitacijske sile, normalne
sile, in upora. Opomba: žica, po kateri se
giblje žoga, ne zmanjšuje potencialne
energije žoge (glej 7.3. ilustracijo za
ilustracijo diagrama potencialne energije).
Imamo tudi tri histograme ali stolpi ne
diagrame,
ki
spremljajo
animacijo.
Kineti no energijo predstavlja oranžen histogram, potencialno energijo plavi in izgubo energije
zaradi trenja rde i. Animaciji predstavljata razli na sistema, s katerima analiziramo gibanje in
energijo. Ponovni zagon.
Poženi 1. animacijo. Opomba: v tej animaciji ni potencialne energije zaradi gravitacije in prav
tako se ni energije ne zgubi zaradi trenja. Zakaj je to tako? V našem primeru predstavlja sistem
samo krogla. 1. animacija pokaže sistem. Sistem ni izoliran, ker na žogo vpliva sila gravitacije in
zunanja sila trenja, ki povzro a izgube. Gravitacija povzro a pozitivno in negativno delo na žogi
in s tem spreminja njeno kineti no energijo. Zaradi sile trenja se energija izgublja in se kaže kot
negativno delo žoge.
Sedaj poženi 2. animacijo. Kaj se zgodi? Kaj je sistem sedaj? Sedaj imamo zaradi gravitacije
potencialno energijo in izgubo energije zaradi trenja. Ker sistem vklju uje tudi vplive gravitacije,
mora zato celotna energija vsebovati tudi potencialno enerigjo in energijo trenja. 2. animacija:
pokaže sistem. Glede na to, da smo dolo ili, da celoten sistem vklju uje silo gravitacije, mora
celotna energija (prikazana s tremi stolpi i) ostali stalna.
Predstavitev 7.2: Predstavitev energije
Kot si že dosedaj videl, se da gibanje predstaviti
na veliko razli nih na inov. Enako velja tudi za
energijo. Primer: za prikaz kineti ne energije
nekega objekta lahko uporabimo graf - kineti na
energija v odvisnosti od asa, histogram katerega
velikost se spreminja s asom ali pa vrednost v
tabeli, ki se pravtako spreminja s asom (položaj
je podan v metrih, as v sekundah, energija na
grafih pa v joulih). Vse tri predstavitve nam dajo
enako informacijo vendar v razli ni obliki. Torej
zakaj bi se trudili z razli nimi prikazi? Odvisno je
70
od tega, kakšno zamisel bi želeli predstaviti in kateri prikaz bi to najbolje naredil. Trk vozi kov se
zgodi brez dotika zaradi magnetov. Ponovni zagon.
Graf nam prikaže takojšnjo spremembo kineti ne energije dveh vozi kov. To je važno, e želimo
opazovati tudi vsako najmanjšo spremembo kineti ne energije pri trku. Ponavadi nas zanima, ali
se energija pri trku ohrani ali ne. V tem primeru nam graf da želeno informacijo, vendar nam nudi
še ve . Opazuj. Med trkom se zdi, kot da kineti ne energije ni. To energijo moramo tudi
upoštevati. Torej kje je? Ali se mogo e za asno shrani v magnetih, ki sta pritrjena na vozi ka?
Ali je vzmet med vozi koma, kjer naj bi se energija za asno shranila? Po koncu trka se energija
prenese nazaj v vozi ka. To je razlog, zakaj primerjamo kineti no energijo pred in po trku in
pogosto nas sam trk ne zanima.
Še en na in, kako odgovoriti na vprašanje ohranjanja energije, je z opazovanjem histograma
(razli ne barve) ali pa tabele (kjer so vrednosti ozna ene). Enostavno primerjamo vrednosti
(velikost stolpcev ali vrednosti v tabeli) po in pred trkom. Ali so iste? e da, potem se je
kineti na energija ohranila pri trku dveh vozi kov.
Predstavitev 7.3: Graf potencialne energije
Rde a žoga z maso 1kg je pritrjena na veliko 2 N/m
vzmet. Vzmet je raztegnjena za 5 metrov (položaj je
podan v metrih, as v sekundah, energija na grafih
pa v joulih). Graf prikazuje celotno in potencialno
energijo. Prav tako stolpi na grafa prikazujeta kineti no
in potencialno energijo. Vse vrednosti posameznih
energij so prikazani tudi v tabeli. Ponovni zagon.
Diagram potencialne energije je pomemben, ker nam
prikaže funkcijo potencialne energije. Pogosto re emo
potencialni energiji kar potencial. Takšno izrazoslovje je
lahko problemati no, ker lahko vodi do zmede z
elektri nim potencialom. Navpi na os diagrama nam
predstavlja energijo, vodoravna pa položaj. Tako lahko
iz grafa preberemo potencialno energijo, e vemo položaj. Funkcija potencialne energije za maso
na vzmeti je Wk(x) = 1/2*k*x2. Pri emer je Wk(x) = x2. V nekaterih besedilih uporabljajo za
ozna evanje funkcije potencialne energije V(x) ali U(x). Uporabili bomo kar neodvisno verzijo
Wk(x). Svetlo plava rta v diagramu predstavlja celotno energijo sistema.
Zaradi izgleda funkcije potencialne energije se lahko vprašamo, kaj dejansko se prikazuje na
diagramu. e še nisi predvajal simulacije, je as, da to narediš sedaj. Rde a rta NE predstavlja
dejanskega gibanja delca. Z drugimi besedami NE predstavlja dvo dimenzionalnega gibanja
objekta. Predstavlja eno dimenzionalno gibanje objekta - v našem primeru gibanja žoge, pritrjene
na vzmet. Žoga se giblje med dvema mejnima to kama, kjer je celotna energija enaka potencialni
energiji.
Prikaži tudi kineti no energijo na grafu. Opazuj, kako se spreminjata kineti na in potencialna
energijo med gibanjem vzmeti in še posebno, ko je vzmet isto stisnjena ali pa isto raztegnjena.
Pozor: e seštejemo potencialno in kineti no energijo, dobimo celotno energijo. Se pravi, e
vemo celotno in potencialno energijo, lahko vedno izra unamo kineti no energijo v katerikoli
to ki gibanja.
71
O itno je, da rišemo silo vzmeti. Ampak kako se lahko prepri amo? Obstaja povezava med silo
in potencialno energijo. Povezavo lepo opišemo z ena bo Fx = - d( Wp)/dx. Ker Wp(x) = x2, sledi
Fx = - 2 x, kar nam pove, da je k = 2 N/m (Kot smo omenili v prvem stavku).
Predstavitev 7.4: Zunanje sile in energija
Ko se ponavadi pogovarjamo o energiji, se ve inoma
osredoto imo na spremembno kineti ne in
potencialne energije, pri emer je potencialna
energija obratna glede na delo konservativnih sil.
Ampak kaj se zgodi z zunanjimi konservativnimi
silami? (Opomba: nekatere knjige združijo zunanje
sile s konservativnimi silami). To so sile, ki
povzro ijo, da se celotna energija sistema spremeni.
Z drugimi besedami, brez nekonservativnih sil ali
zunanjih sil se celotna energija ne bi nikoli
spremenila. Kar pomeni, da je zakon o ohranitvi
energije enak Wk + Wp = 0.
e obstajajo zunanje ali nekonservativne sile, se bo
celotna energija spremenila. Pod nekonservativnimi
silami obi ajno razumemo kineti no trenje. Kineti no trenje je posebna sila, ki vedno zmanjša
celotno energijo sistema (celotno delo, ki ga naredi na objekt, je vedno negativno). e trenje
obstaja v sistemu in e po akaš dovolj dolgo, se bo vsa energija porabila. Kaj pa zunanje sile? Ali
vedno dodajo oziroma odvzamejo energijo iz sistema? Odvisno od primera.
Poglej na primer vozi ek v animaciji. Na vozi ek lahko vplivamo s kazalcem "dveh rok", e je
kazalec blizu levega in desnega roba vozi ka (položaj je podan v metrih in as v sekundah).
Puš ica pod vozi kom kaže smer in mo vpliva zunanje sile. e gre vozi ek iz slike, pritisni
gumb za ponovitev. Ponovni zagon.
Premikaj vozi ek in si pozorno oglej grafe. Sedaj se osredoto i na graf |F| cos( ) / x, ki pove,
koliko dela je opravila zunanja sila (roka). Je vedno pozitivna ali negativna? Lahko je pozitivna
ali pa negativna. Odvisno od okoliš in. e je delo zunanjih sil pozitivno, energija sistema
(vozi ek in Zemlja) naraste. e je potencialna energija vozi ka ostaja ista (ker se višina vozi ka
ne spreminja), je vsa energija kineti na energija. e je delo zunanjih sil negativno, energija
sistema pada. Skratka - vsa energija je kineti na energija.
Predstavitev 7.5: Klada na klancu
Imamo kvader na klancu, ki je brez trenja. Na poti navzdol tr i ob
vzmet, kot kaže animacija (položaj je podan v metrih, as v
sekundah in v histogramih energija v joulih). Kotomer lahko
dodaš, e klikneš na okence. Vsaka sila je tudi prikazana z rde e
barvo, skupna sila pa s plavo. Kineti no energijo predstavlja
oranžen stolpi , potencialno plavi in prožnostno energijo zelen.
Ponovni zagon.
72
Poskusimo analizirati stanje, kot bi ga imeli v poglavjih 3 in 4. Najprej moramo dolo iti priro ni
osi. Prva bi bila primerna ob klancu, druga pa pravokotna nanj. To nam omogo a, da ima eno
smer, kjer ni pospeškov (smer pravokotna na klanec). in eno, ki je vzporedna pospeševanju
(vzporedna na klanec). Obstaja pa še en razlog za takšno izbiro osi. To nam omogo a, da
razstavimo samo eno silo namesto dveh. Gravitacijsko silo moramo razstaviti na dve - na silo, ki
te e ob klancu in drugo, ki je pravokotna na klanec. Kako potem obravnavamo silo vzmeti? No odkrit odgovor bi bil, da sicer lahko raz lenjujemo sile, da bi ugotovili pospešek, vendar ni
pretirano smiselno, ker sila vzmeti ni stalna.
Poženi animacijo in primerjaj normalno silo oziroma silo gravitacije z silo vzmeti. Na za etku je
vzmet raztegnjena, nato stisnena in nato ponovno raztegnjena. V tem asu se skupna sila na
vozi ek spreminja. Poglej si silo, ozna eno s plavim vektorjem. Zato se tudi pospešek kvadra zelo
spreminja. (Opomba: skupna sila še vedno kaže vzporedno na klanec; tisto kar se spreminja je
njena velikost).
Ker se sile spreminjajo med tem, ko se giblje kvader, tudi pospešek kvadra ni stalen. Newtonovi
zakoni in zakoni kimenatike o itno niso v veliko pomo pri ugotovaljanju, kaj se dogaja med
gibanjem. Kaj narediti? Uporabimo energijo! Na za etku gibanja kvader nima kineti ne energije,
ima pa potencialno. Ko se premika kvader po klancu navzdol, se nekaj potencialne energije
pretvori v kineti no. Ko kvader zadene vzmet, se kineti na in potencialna energija pretvorita v
prožnostno energijo vzmeti.
Opazuj animacijo in povej, kako se vsa potencialna energija, ko se vzmet stisne, spremeni v
ostale vrste energij.
Raziskava 7.1: Potiskanje vozi ka naokrog
Poglej vozi ek v animaciji. Na vozi ek lahko vplivamo z
dvorokim kazalcem, e je kazalec blizu levega in desnega
roba vozi ka (položaj je podan v metrih in as v
sekundah). Premikaj vozi ek in opazuj dogajanje na
grafu. Puš ica pod vozi kom kaže smer in jakost sile. e
gre vozi ek iz zaslona, ponovno zaženi animacijo. Ponovni
zagon.
Naj se sistem sestoji samo iz vozi ka; odgovori na
vprašanji, pri emer privzameš, da pomikaš vozi ek
naokrog z dvorokim kazalcem .
a. Ali je energija sistema stalna? e ne, od kod prihaja?
b. Ali se energija vedno zmanjša, e je dvoroki kazalec desno od vozi ka? Ali se pove a, e
je kazalec levo od vozi ka?
73
Raziskava 7.2: Vpliv višine tal na potencialno energijo
Animacija prikazuje padec krogle iz 15
metrov (y = 15) na tla (y = 0m) (položaj
je podan v metrih in
as v
sekundah). Privzamemo, da je trk žoge
tako zelo trd, da se ohrani energija.
Vidtmo tudi dva para grafov, ki
predstavljata razli na tipa energij.
Kineti no energijo predstavlja oranžen
stolpi , potencialno pa plavi. Graf na levi
predstavlja kineti no in potencialno energijo pri referen ni višini tal yref = 0 m. Graf na desni pa
kaže kineti no in potencialno energijo pri razli nih višinah tal. Višino tal lahko nastavljaš med 15 m < yref < 15 m s spremembo vrednosti v vnosnem polju in s klikom na gumb "Nastavi
vrednosti in predvajaj". Ponovni zagon.
Spreminjaj vrednosti višine tal za potencialno energijo - od negativnih do pozitivnih vrednosti.
Odgovori na naslednja vprašanja o animaciji:
a.
e je višina tal enaka ni ali manj, se potencialna energija pove a ali zmanjša?
b. Ali je vsa ta energija na voljo krogli? Z drugimi besedami - ali se lahko vsa pretvori v
kineti no energijo?
e je višina tal enaka ni ali ve ja, se potencialna energija pove a ali zmanjša?
c.
d.
e je yref = -15 m, kolikšno potencialno energijo ima krogla? Koliko je ima, ko pade na tla?
Kakšna je sprememba potencialne energije?
e.
e je yref = 15 m, koliko potencialne energije ima krogla? Koliko je ima, ko pade na tla?
Kakšna je sprememba potencialne energije?
f. Primerjaj odgovora (d) in (e)? Pojasni?
Raziskava 7.3: Elasti ni trki
Za etno hitrost vozi kov v animaciji je možno
spremeniti z vpisom novih vrednosti v vpisna
polja (položaj je podan v metrih, as v
sekundah in v stolpcih energija v joulih). Ko
se vozi ka približujeta, se za neta zaradi
magnetov odbijati in zato se jima spreminja
hitrost. Dvobarvna stolpi a na desni kažeta
trenutno kineti no energijo vozi kov. Ponovni
zagon.
e se ti zdi, da graf dobro izgleda, klikni nanj,
da se podvoji; nato njegovo kopijo poljubno
pove aj.
74
a. Poženi animacijo in nastavi hitrost levega vozi ka na 2 m/s in -2 m/s za desnega. Kakšna je
sprememba kineti ne energije levega vozi ka? Desnega? Kakšna je celotna sprememba
energije?
b. Simuliraj trke z uporabo drugih enakih vrednosti vendar nasprotnega predznaka. Kako to
vpliva na kineti no energijo posameznih vozi kov? Kakšna je celotna sprememba energije?
c. Prekini animacijo v trenutku pred trkom in po asi predvajaj naprej korak po korak tako, da
animacija med trkom stoji. Kaj se zgodi med trkom s celotno energijo?
d. Ali zadnji rezultat pomeni, da sistem vozi kov ni izoliran?
e. Poženi animacijo in nastavi hitrost levega vozi ka na 1 m/s in - 2 m/s za desnega. Kakšna je
sprememba celotne kineti ne energije med trkom?
Raziskava 7.4: Žoga tr i v telo, pripeto na vzmet
Kadar telesa s silo delujejo drugo na drugega, je verjetno, da
energija preide iz enega na drugo telo (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Poglej in pretehtaj model žoge, ki
tr i ob telo pravokotne oblike z maso 0.4 kg pripeto na lahko
vzmet. Po trku se telesi zlepita in ostaneta skupaj ter nihata.
1. Animacija predstavlja idealno vzmet in okolje brez trenja,
med tem ko 2. animacija predstavlja bolj stvarno vzmet, kjer
se energija izgublja zaradi trenja v sistemu (na grafu je
prikazana samo kineti na energija žoge). Privzemi, da je
sistem sestavljen iz mase pravokotnika in brezmasne vzmeti
in odgovori na vprašanja. Ko je vzmet raztegnjena, je
potencialna energija vzmeti enaka ni , in ker je njena masa
enaka ni nima kineti ne energije. Ponovni zagon.
a. Kolikšna je masa rne žoge
b. Kolikšna je za etna energija sistema?
Za obe animaciji odgovori na vprašanja:
c. Kolikšna je energija sistema po trku?
d. Nariši tri diagrame energije za tri objekte ki sestavljajo sistem z naslednjimi vrednostmi: t
= 0 s, t = 1.90 s, t = 4.10 s, t = 6.30 s in t = 8.55 s.
e. Samo za 2. animacijo: Približno koliko asa je potrebno, da se porazgubi 80 odstotkov
energije?
Raziskava 7.5: Dolo i Wk(x) pri vle enju žoge
Potencialna energija je energija, ki je povezana z
nastavitvami in položajem predmetov v našem
sistemu (položaj je podan v metrih, as v
sekundah). Ker se lahko pretvori potencialna
energija v kineti no, lahko na prakti en na in
ugotovimo potencialno energijo tako, da pustimo, da
sistem ste e iz neznanih za etnih nastavitev v znane
nastavitve in izmerimo kineti no energijo. To
tehniko lahko uporabiš za merjenje in risanje
75
funkcije potencialne energije, Wk(x). Ponovni zagon.
Nariši potencialno energijo kot funkcijo glede na položaj za obe animaciji. Opomba: dogajanje je
lahko, ali pa tudi ne, dejanski posnetek resni nega sveta.
Postopek: e pritisneš gumb za Ponovni zagon, se bo potencialna energija nastavila na za etno
(znano) vrednost. Za etno stanje je ozna eno z malimi rde imi to kami. Predpostavi, da ima
za etna nastavitev sistema potencialno energijo ni Wko = 0 in da ima predmet maso 1 kg.
Uporabi miško, da premakneš telo na nov položaj. Ko telo spustiš, bo imelo za etno hitrost enako
ni . e se telo vrne na za etni položaj, lahko posnameš hitrost in izra unaš kineti no energijo. Ta
kineti na energija mora priti iz potencialne energije na novem položaju, e je dogajanje
konservativno.
Pripomba: animacija se bo ustavila po 100 s.
Raziskava 7.6: Razli ne oblike vzajemnega delovanja
Animacija prikazuje rde o žogo, ki jo lahko
premikaš z miško (položaj je podan v metrih, as v
sekundah in energija v stolpcih v joulih). Stolpec
prikazuje tudi negativno silo žoge glede na
spremembno položaja od prvotnega. To je negativno
delo, ki ga prejme žoga, ko jo premakneš na nov
položaj. Ta integral (ko je delo sile konservativno) je
lahko tudi potencialna energija, ki je povezana z
lego žoge. Tabela prikazuje položaj in negativno
delo. Ponovni zagon.
a. Na kratko opiši sile v animacijah.
b. Katera sila je konservativna? Zakaj?
c. Za konservativno silo nariši
potencialne energije.
76
funkcijo
Raziskava 7.7: Raziskovanje funkcije potencialne energije
Izberi eno izmed možnih funkcij potencialne energije.
Nato riši z miškinim kazalcem po mreži (pritisni in drži
levi ali desni miškin gumb in jo premikaj). Stolpec na
desni prikazuje opravljeno delo narisane poti v odvisnosti
od potencialne energije. Na mreži razdalja med dvema
pikama pomeni 10 m (položaj je podan v metrih in
rezultat integrala v stolpcu v joulih). Ponovni zagon.
a. Opiši vsako funkcijo potencialne energijo z
lastnimi besedami.
b. Kako se sprememba dela odraža v potencialni
energiji na dolo eni poti?
c. Kaj se zgodi, e vodiš miško tako, da je pot
zaklju ena (pot se za ne in kon a v isti to ki)?
d. Katera sila ustreza za vsako funkcijo potencialne
energije? Napiši silo v smeri x in y kot funkcijo x in y (Fx(x, y) in Fy(x, y)).
Ko kon aš z vajo, poskusi vnesti svoje funkcije potencialne energije.
77
Poglavje 8: Gibalna koli ina
Izkaže se, da je F = ma poseben primer drugega Newtonovega zakona. Newton je ugotovil, da
je skupna sila nekaj, kaj povzro i spremembo hitrosti spreminjanja gibalne koli ine, G/ t ali
dG/dt, kjer je gibalna koli ina definirana kot G = mv. Oba opisa sta enaka, e se masa telesa ne
spremeni. Iz tega sledi, da e na telo ne deluje nobena skupna sila, se gibalna koli ina ne
spremeni. Ta trditev se imenuje ohranjanje gibalne koli ine. Ohranjanje gibalne koli ine, skupaj z
ohranjanjem energije uporabljamo pri analizi trkov med telesi.
Predstavitev 8.1: Sunek sile
Kaj mislimo s silo? Newton je menil, da je skupna sila nekaj, kaj povzro i asovno spremembno
gibalne koli ine, G/ t ali dG/dt. C.D. Broad (Scientific Thought, 1923) je napisal, "Zdi se mi
jasno, da noben nikoli ne misli, oz. je mislil, da je '
sila'
, hitrost spreminjanja gibalne koli ine."
Torej, e se Newtonova trditev zdi nenavadna, je to zaradi tega, ker ste navajeni na posebnI
primer drugega Newtonovega zakona, t.j. F = ma. Ponovni zagon.
Razmisli o sili roke, v majhnem t (to se
zgodi avtomati no ob t = 1 s). Opaziš
spremembo gibalne koli ine (položaj je
podan v metrih, as v sekundah). Puš ica
predstavlja spremembo gibalne koli ine. Na
za etku je masa vozi ka 1 kg. Spremeni
maso na 2 kg. Je sprememba gibalne
koli ine druga na? Ne! Spremeni se pa
kon na hitrost, ki znaša polovico hitrosti,
kot je bila v primeru mase 1kg. Ista sila ima
za rezultat isto spremembo gibalne koli ine
v istem asovnem intervalu.
To lahko predstavimo tudi druga e
(obmo je pod grafom sila / as). Ozna i
ozna itveno polje za prikaz tega grafa. To
obmo je se imenuje sunek sile, ki je le drugo ime za G. Kaj lahko poveš o sunku sile, ki ga
prejme vozi ek, neodvisno od njegove mase? Odkljukaj drugo polje in boš izvedel.
Razmisli o animaciji, kjer je sila roke nanešena
ez velik t (to se zgodi avtomatsko ob t = 1 s).
Razlika med animacijama je ta, da za velik t
sila deluje dalj asa in zaradi tega povzro i ve jo
spremembo gibalne koli ine.
Puš ica spet
prikazuje spremembo gibalne koli ine, ki je
ve ja od primera, kjer je t majhen.
78
Predstavitev 8.2: Razlika med sunkom sile in delom
V Predstavitvi 8.1 smo se nau ili, da spremembo
gibalne koli ine povzro i skupna sila. Kaj pa
kineti na energija? Tudi ta je odvisna od delujo e
sile, a na druga en na in. Spomni se, da se o delu
pogovarjamo kot o koli ini sile v smeri gibanja,
pomnoženi s premikom. Brez premika ni dela. Delo
je pozitivno, e F in x (oz. dx) kažeta v isto smer,
in negativno, e kažeta v nasprotne smeri. Ponovni
zagon.
Razmisli o sili roke, delujo i v kratkem asu t (to
se zgodi avtomati no v asu t = 1 s). Opaziš
spremembo gibalne koli ine. (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Sprva je masa vozi ka 1
kg. Spremeni maso na 2 kg. Ali se sprememba
gibalne koli ine razlikuje? Ne! Spremeni pa se
kon na hitrost; ta znaša polovico hitrosti, glede na
maso 1 kg. Ista sila povzro i isto spremembo gibalne koli ine v enakem asovnem intervalu.
Kaj se pa zgodi s kineti no energijo? Ali ostane enaka po spremembi mase? Ne. Zakaj? Spomni
se, da je delo, ki je enako spremembi kineti ne energije, povezano s premikom, ko se deluje sila.
Zaradi ve je mase vozi ek ne pospešuje ve tako kot prej in se ne premakne ve tako dale , torej
je njegova kineti na energija manjša.
To lahko predstavimo tudi tako, da delo predstavimo kot integral (obmo je pod grafom) cos( ) /
razdalja. To obmo je se imenuje objektov DKE. Kaj lahko poveš o prejetem delu, ko se masa
spremeni? Odkljukaj ustrezno polje, in boš izvedel Ponovno: mora biti, in je, enako.
Kaj se zgodi, e namesto majhnega t, uporabimo velik t? Impulz je ve ji, ker je t ve ji.
Obenem je tudi sprememba kineti ne energije ve ja, ker je x ve ji.
79
Predstavitev 8.3: Trdi in mehki trki ter 3. Newtonov zakon
Predstavitev prikazuje trk med dvema
delcema (položaj je podan v metrih, as v
sekundah). Ponovni zagon. Obe animaciji
predpostavljata enaka delca z istimi
za etnimi hitrostmi. Animaciji se razlikujeta
v interakciji med delcema. Interakcijo v
Animaciji 1 lahko opredelimo kot trdo, saj je
pospešek zelo velik, interakcija pa kratka.
V Animaciji 2 lahko interakcijo opredelimo
kot mehko. Spreminjaj masi obeh delcev in
spremljaj graf pospeška v obeh animacijah.
Spremljaj tudi relativne pospeške delcev, ko
spremeniš mase. Opaziš, da so pospeški
razli ni, ko so mase razli ne.
Kaj lahko poveš o sili, ki deluje na delca v obeh animacijah? Karakter sile je druga en: ena je
"mehka", druga je "trda". Ne glede na to sta sili vedno nasprotno enaki. Da bi to videli, vzemi
pospešek vsakega od objektov in ga pomnoži z njegovo maso. To je pa natanko to, kar trdi 3.
Newtonov zakon, zakon o recipro nosti sil. V tem primeru ni nobenih skupnih zunanjih sil, ki bi
delovale na oba delca, zaradi tega je sprememba gibalne koli ine tega sistema enaka ni . Z
drugimi besedami, gibalna koli ina se ohranja. Z uporabo ena b bi rekli, da e j F = G/ t ali
F = dG/dt, v primeru, da je skupna sila na sistem 0, potem je
G/ t = 0 ali dG/dt = 0, kar pomeni, da mora biti sprememba gibalne koli ine ez as enaka
ni . Iz tega sledi, da mora biti vsota sunkov sil na obe kroglici enaka ni . V primeru, da se gibalna
koli ina enega delca pove a, se gibalna koli ina drugega delca zmanjša za natan no enako
koli ino. Preveri to trditev v tabelah.
2D modeli kažejo veliko razliko med trdimi in mehkimi trki. (Preveri Problem 8.12 za
dvodimenzionalne trke.) Trdi trki nimajo takega vpliva na ve jo koli ino delcev, le na tiste, kii
elno tr ijo. Mehki trki povzro ijo manjšo spremembo smeri na ve jem številu delcev.
Eksperimentalno opazovanje alfa delcev, odbitih od zlate folije je privedlo Ernesta Rutherforda
do tega, da je napovedal, da imajo atomi majhno, trdo jedro.
Predstavitev 8.4: Relativna hitrost in trki
V tem sklopu trkov na oba vozicka ne deluje nobena zunanja sila. Ponovni zagon. Vnesi nove
vrednosti za hitrosti obeh vozi kov in novo maso desno premikajo ega se (oranžnega) vozi ka.
Nato pritisni na "Nastavi vrednosti in predvajaj". Tako vneseš svoje vrednosti in zaženeš
animacijo (položaj je podan v metrih, as v sekundah)). Nastavili smo omejitve na vrednostih,
ki jih lahko izbereš:
0.5 kg < m1 < 4 kg,
0 m/s < v1 < 4 m/s,
and
80
-4 m/s < v2 < 0 m/s.
Tabela prikazuje trenutno gibalno
koli ino vsakega od vozi kov, kot tudi
skupno gibalno koli ino sistema. e
odkljukaš kvadratek, bodo prikazane
tudi puš ice, ki prikazujejo relativne
hitrosti pred in po trku.
Ker je skupna sila, ki deluje na sistem,
enaka ni , je tudi sprememba gibalne
koli ine enaka ni . Z drugimi besedami,
gibalna koli ina se ohranja. Z uporabo
ena b bi rekli, da, ker F = G/ t ali
F = dG/dt, e je skupna sila na sistem
enaka ni , potem velja G/ t = 0 ali
dG/dt = 0, kar pomeni, da mora biti
sprememba gibalne koli ine ez as
enaka ni . Torej mora biti vsota obeh sunkov sil, ki ju ob utita oba vozi ka, enaka ni . e se
gibalna koli ina enega delca pove a, se mora gibalna koli ina drugega delca zmanjšati za enako
koli ino.
Pri elasti nih trkih je koncept relativne hitrosti pomemben pri analizi trkov. Relativna hitrost je
definirana kot v1 - v2 (lahko bi bila tudi definirana kot v2 - v1 saj izbira med 1 in 2 ni pomembna).
Vklopi puš ice relativne hitrosti in spreminjaj hitrost obeh vozi kov in maso desno
premikajo ega se (oranžnega) vozi ka. Dolo i razmerje med relativno hitrostjo pred in po trku.
Kaj si ugotovil? Izkaže se, da je absolutna vrednost relativne hitrosti pred in po elasti nem trku
enaka. Spremeni pa se predznak relativne hitrosti pred in po trku: (v1 - v2)i = - (v1 - v2)f. To
povezavo je možno preveriti, e uporabimo ena be za ohranitev energije in ohranitev gibalne
koli ine ter nekaj ra unanja.
Razmisli o elasti nem trku, kjer je v1 = 1 m/s in v2 = -4 m/s. O itno je relativna hitrost pred trkom
enaka 5 m/s. Kolikšna mora biti po trku? -5 m/s. Poizkusi in ugotovi, e to drži. Ali sprememba
mase oranžnega vozi ka vpliva na rezultat?
81
Predstavitev 8.5: Opazovalni sistem, v katerem je gibalna
koli ina enaka ni .
Je fizika druga na, e jo gledamo v
druga nih
opazovalnih
sistemih?
Vsekakor lahko izgleda druga e. Razmisli
o trku v animaciji v opazovalnem sistemu
Zemlje (relativna hitrost med tem
sistemom in stacionarnim sistemom
Zemlje je ni ). Tukaj imata obe kroglici,
rde a in modra, enako maso = 1 kg.
Opaziš, da se energija in gibalna koli ina
ohranjata pri trku z Wk = 2 J in Gx= 2 kg
m/s pred in po trku. Ponovni zagon.
Spremeni hitrost od ni na 2 m/s (položaj
je podan v metrih, as v sekundah).
Kako se trk spremeni? Rde a kroglica
sedaj miruje, modra kroglica pa se
premika v levo z 2 m/s. V prvotnem trku je rde a kroglica mirovala, modra pa se je premikala v
levo z 2 m/s. V novem opazovalnem sistemu je gibalna koli ina sistema razli na. Vendar pa je
kineti na energija enaka, kakor tudi gibalna koli ina.
Sedaj preizkusi v = -2 m/s. Se energija in gibalna koli ina še vedno ohranita? Kljub temu, da se
vrednosti za kineti no energijo in gibalno koli ino spremenita, zakoni o ohranitvi energije in
gibalne koli ine še vedno držijo.
Sedaj preizkusi v = 1 m/s. Kakšna je nova gibalna koli ina sistema? Ta opazovalni sistem je
opazovalni sistem, v katerem je gibalna koli ina enaka ni . V tem sistemu je vsota vseh gibalnih
koli in enaka ni . Ta sistem se imenuje tudi masno središ e. Masno središ e je to ka, kjer se
navidezno nahaja združena masa vseh teles v sistemu. V sistemu z dvema telesoma je središ e
nekje vmes med obema. Ker je središ e mas masno povpre je, bo središ e mas vedno bližje
telesu, ki je najtežje. V primeru animacije, ko imata obe žogici enako maso, bo središ e vedno na
sredini obeh mas. Ta to ka se v opazovalnem sistemu, v katerem je gibalna koli ina enaka ni , ne
premika, se pa premika v drugih opazovalnih sistemih.
82
Predstavitev 8.6: Mikroskopski pogled na trk
V animaciji je rde a žoga z
maso 80 kg z za etno
kineti no energijo 360 J,
zaprta v škatli s togimi
stenami, ki vsebuje cilinder,
sestavljen iz 80 majhnih
krogel z maso 1 kg (položaj
je podan v metrih, as v
sekundah, energija v grafu
pa v joulih). Žogica tr i v
cilinder in ga razbije. Graf
prikazuje kineti no energijo
kroglice.
Tabela
rde e
prikazuje as, gibalno koli ino in kineti no enerijo rde e kroglice. Ponovni zagon.
Namen te animacije je simulirati trk med dvema trdima telesoma, od katerih je eden stacionaren.
Telo, ki miruje, je zbirka manjših teles in aproksimira ve je telo. To je le približek, saj naj bi to
telo ostalo skupaj in se naj ne bi razletelo. Kadar preizkušamo trke v laboratoriju, se telesa
ponavadi ne deformirajo tako mo no. Vseeno pa se lahko iz te animacije veliko nau imo. Ko
rde a žogica udari ob modro telo, se modro telo deformira in absorbira del kineti ne energije ter
gibalne koli ine rde e žoge. e bi bilo modro telo resni no trdo, bi se deformirano telo (celotno
telo) premaknilo v desno. Predstavljajmo si povpre no gibanje modrih kroglic, ki sestavljajo
ve je trdo telo. Opazimo, da je skupno gibanje teh kroglic v desno. Kam gre vsa za etna kineti na
energija? Gre v kineti no energijo manjših modrih kroglic.
Predstavitev 8.7: Masno središ e in težnost
Prva slika prikazuje dve
enaki masi (položaj je
podan v metrih). Središ e
mas sistema je prikazano
kot rde a pika, njen položaj
pa je že izra unan. Prenesi zeleno klado na desno. Kaj opaziš glede lokacije središ a mas, ko
spremeniš položaj desne klade? Ponovni zagon.
Sedaj predpostavi, da imata obe kladi razli ni masi, kot prikazuje Animacija 2. Je središ e mas v
središ u sistema? Iz opazovanja lokacije središ a izveš, katera klada ima ve jo maso. Katera?
Kako izra unamo razmerje med maso obeh klad? Kadar imamo samo dve telesi, je razmerje
razdalje telesa do središ a povezano z razmerjem mas. Torej, e izmerimo razdaljo od vsake
klade do središ a mas, lahko izra unamo razmerje mas. Lokacija središ a je podana kot Xcm =
(x1m1 + x2m2)/(m1 + m2) za enodimenzionalni sistem z dvema telesoma.
Podoben koncept uporabimo tudi pri središ u težnosti. V bistvu sta oba pojma (središ e mas,
središ e težnost) velikokrat brez težav zamenljiva. Središ e mas je definirano zgoraj; središce
težnosti pa je definirano kot to ka v sistemu, kjer deluje težnost. Središce težnosti upošteva
dejstvo, da sta sila težnosti ter zaradi tega tudi pospeševanje zaradi težnosti druga na na razli nih
83
višinah nad Zemljo. V tej predstavitvi središ e mas in središ e težnosti sovpadata. Samo v
primeru zelo velikega sistema bi lahko bilo pospeševanje zaradi težnosti v razli nih delih sistema
razlicno. To bi pomeni, da je središce težnosti druga no od središ a mas.
Predstavitev 8.8: Premikanje teles in masno središ e
Zelena klada z maso1.00 kg leži na rde i
kladi z maso 4.46 kg, kot prikazuje
animacija (položaj je podan v metrih, as v
sekundah). Ponovni zagon. Vse površine so
brez trenja, razen sive površine na rde i
kladi. Ali se gibalna koli ina in energija
ohranjata, e se zelena klada poganja sama v
Animaciji 1? e ne, zakaj ne?
Gibalna koli ina se ohranja, ker ni zunanjih
sil. Gibalna koli ina sistema je bila pred premikom zelene klade enaka ni , je ni med
premikanjem in je ni po premikanju. S stališ a središ a mas, Vcm = 0 m/s in zaradi tega Pcm = 0
kg m/s.
To lahko vidimo, e razmislimo o tem, kar se zgodi s središ em mas v Animaciji 2. Središ e mas
sistema je Xcm = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2) in je predstavljeno kot rna pika. Opazimo, da se
središ e mas sistema ne premika relativno glede na tla ampak relativno glede na desni rob rde e
klade, ko se klada premika desno. Lahko pogledamo tudi središ e mase za vsako telo posebej, e
telesa nadomestimo s piko, kot prikazuje Animacija 3.
Kaj pa energija? Kot ponavadi je to, ali se energija ohranja, odvisno od tega, kako definiramo
sistem. e gledamo samo središ e mas, ker je Vcm = 0 m/s, se energija ohranja. e pa pogledamo
vsako klado posebej, se energija (v smislu mehanske energije) ne ohranja. Energija, shranjena v
posameznih elementih sistema (potencialna energija zelene klade) se spremeni v kineti no
energijo obeh klad, ki se izgubi s trenjem.
Raziskava 8.1: Razumevanje zakonov o ohranitvi
Glej animacijo in opazuj, ali lahko
opaziš kakšnega o zakonov o
ohranitvi. Ugotoviti moraš, ali ti
zakoni držijo za levi del animacije,
desni del animacije ali za celotno
animacijo. Lastnosti, ki jih med
drugimi lahko upoštevaš, so:
število delcev, barva in vsota
hitrosti vseh delcev. Ponovni
zagon.
Animacija bo tekla 100 sekund.
84
Raziskava 8.2: Elasti ni trk
Animacija prikazuje elasti ni trk dveh
teles (položaj je podan v centimetrih,
as pa v sekundah). Ponovni zagon.
a. Nastavi za etno hitrost modre kroglice na 0. Za tri možnosti mase za obe kroglici
(prikazane v tabeli) napovej, katera vrednost (ali vrednosti) za etne hitrosti rde e kroglice
bo povzro ila naslednje:
•
•
•
Obe kroglici se bosta po trku gibali v desno.
Rde a kroglica se bo ustavila po trku z modro.
Rde a se bo po trku gibala v levo, modra pa v desno.
Vnesi interval
...se bo rde a kroglica po
...se bosta obe kroglici ...se bo rde a kroglica,
za etne hitrosti za
trku gibala v levo, modra
po trku gibali v desno. po trku z modro
rde o kroglico, ki
pa v desno.
ustavila.
bo povrocila, da...
mrde a = mmodra
mrde a = 2*mmodra
mrde a = 0.5*mmodra
Potem, ko si napovedal rezultate, poskusi z animacijo. So bile tvoje napovedi pravilne?
razloži zakaj.
e ne,
b. Nastavi za etno hitrost modre kroglice na -20 cm/s, za etno hitrost rde e kroglice na 5
cm/s in izena i velikost obeh mas. Napovej smer obeh kroglic po trku. Potem, ko si
napovedal rezultate, poizkusi z animacijo. Si imel prav? e ne, razloži zakaj.
c. Nastavi za etno hitrost modre kroglice na -10 cm/s, maso rde e kroglice pa nastavi na
polovico mase modre kroglice. Napovej hitrost, ki jo mora imeti rde a kroglica, da bo ob
trku popolnoma ustavila modro kroglico. Sedaj to preizkusi. So bile tvoje napovedi
pravilne? e ne, razloži zakaj.
d. Nastavi za etno hitrost modre kroglice na -10 cm/s, masa rde e kroglice pa naj bo
dvakrat ve ja od mase modre kroglice. Napovej hitrost, ki jo mora imeti rde a kroglica,
da bo ob trku popolnoma ustavila modro kroglico. Sedaj to preizkusi. So bile tvoje
napovedi pravilne? e ne, razloži zakaj.
85
Raziskava 8.3: Neelasti ni trk teles z neznanimi masami
Za etno hitrost obeh vozi kov v animaciji lahko
spreminjamo z vnašanjem novih vrednosti v tekstovna
polja (položaj je podan v metrih, as v sekundah) .
Ko se vozi ka približata eden drugemu, se prilepita
skupaj. Ponovno zaženi.
Ponavljaj animacijo in uporabi razli ne hitrosti,
medtem ko odgovarjaš na spodnja vprašanja. S
klikom z desnim miškinim gumbom na graf dobiš
njegovo kopijo, ki se jo da pove ati za boljšo
lo ljivost.
a)
b)
c)
d)
e)
Poženi animacijo in uporabi 2 m/s and -2 m/s za hitrosti levega oz. desnega vozi ka. Kakšna
je sprememba hitrosti za levi vozi ek? Kaj pa za desni? Kakšno je razmerje teh sprememb?
Simuliraj trke in uporabi druge, enake a nasprotne hitrosti. Kako se to pozna na hitrostih?
Kakšno je razmerje sprememb?
Poženi animacijo in uporabi 1 m/s and -2 m/s za hitrosti levega oz. desnega vozi ka. Kakšna
je sprememba hitrosti levega vozi ka? Kaj pa desnega? Kakšno je razmerje sprememb?
Ali je razmerje med spremembami hitrosti vedno enako?
Kolikšno je masno razmerje obeh vozi kov?
Raziskava 8.4: Elasti ni in neelasti ni trki in G
Vnesi novo vrednost in klikni na
gumb"Nastavi vrednosti in predvajaj" za
zagon animacije z novimi vrednostmi
(položaj je podan v metrih, as v
sekundah). Meje za vrednosti, ki jih lahko
izbereš, so naslednje:
0.5 kg < m1 < 2 kg,
0 m/s < v1 < 4
m/s,
in
-4 m/s < v2< 0 m/s.
Graf prikazuje trenutno energijo obeh
vozi kov, potrditveno polje pa spremeni trk iz povsem elasti nega v povsem neelasti nega.
Ponovni zagon.
Odgovori na naslednja vprašanja, tako za elasti ne kot neelasti ne trke.
a. Spreminjaj maso in hitrosti. Ali je G1 = - G2?
b. Zakaj je tako?
c. Ali je energija sistema konstantna? e ne, kje se je izgubila?
86
Raziskava 8.5: Trki dveh in treh kroglic
e spustiš gumijasto kroglico in ta udari ob tla
s hitrostjo 5 m/s, se le-ta odbije nazaj s skoraj
enako hitrostjo (položaj je podan v metrih,
as v sekundah). Kaj pa se zgodi, e spustiš
dve žogici, eno nad drugo? Pogosta
predstavitev na predavanjih je, da profesor
spusti lahko in težko žogo ob istem casu.
Lažja žoga je to no nad težko žogo, tako da se težja žoga prva dotakne tal, odsko i in zadane ob
lažjo žogo, ki je še vedno na poti navzdol. Ponovni zagon.
Animacija uporablja dve žogici z razmerjem mas 1:10. Žogici se bosta gibali po horizontalni rti,
tako da lahko zanemarimo u inke težnosti. Žogici se gibata s konstantno hitrostjo v levo, dokler
ne udarita ob steno. Privzemimo, da so vsi trki elasti ni.
a. Napovej hitrosti žogic po prvih trkih, t.j. ko se bosta obe kroglici gibali v desno.
b. Napovej hitrosti, e uporabimo tri kroglice z razmerjem mas 1:10:100.
c. Sedaj poženi animacijo. So bila tvoja predvidevanja pravilna? e ne, razloži zakaj.
Opozorilo: Animacija poteka 100 sekund.
Raziskava 8.6: Eksplozivni trk
Skupna kineti na energija je pove ana v 1200-J
eksploziji v animaciji (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Ponovni zagon.
Uporabi razmerje mas 1:2 za naslednje naloge.
a. Nariši energijske diagrame za sistem
pred in po eksploziji.
b. Kakšen odstotek od energije eksplozije
se pretvori v kineti no energijo?
c. Kakšen odstotek od energije eksplozije
je uporaben kot kineti na energija?
d. Ali je proces, prikazan v animaciji,
reverzibilen?
Spreminjaj maso levega vozi ka od 0.1 kg do 1.0 kg in odgovori na naslednja vprašanja.
e.
f.
g.
h.
Ali dobi ve ino energije telo z ve jo ali manjšo maso?
Ali dobi ve ino gibalne koli ine telo z ve jo ali manjšo maso?
Ali razmerje obeh mas vpliva na skupno kineti no energijo?
Ali razmerje obeh mas vpliva na koli ino energije, ki se ohranja?
87
Raziskava 8.7: Odskakujo a žogica
Animacija
predstavlja
navidez
enostaven primer žogice, ki pade na
tla in se odbije nazaj (položaj je
podav v metrih, as v sekundah).
Graf prikazuje hitrost v odvisnosti od
asa ali pospešek v odvisnosti od asa.
Graf lahko približamo, tako da vidimo
trk s tlemi. Prav tako je prikazan graf s
tremi stolpci, ki prikazuje razli ne tipe
energije, povezane z žogico: kineti no
energijo
(oranžna),
potencialno
energijo (modra) in prožnostno
energijo (zelena). Ponovni zagon.
a. Med animacijo so trije pomembni asovni intervali. Kateri so to? Na kratko opiši, kaj se
dogaja znotraj teh asovnih intervalov.
b. Nariši energijske diagrame, t.j. poiš i vrednosti in nariši graf za kineti no energijo
kroglice.
c. Nariši graf gibalne koli ine v odvisnosti od asa. Opiši, kaj se dogaja z gibalno koli ino
med tremi pomembnimi asovnimi intervali. e se gibalna koli ina žogice spreminja,
razloži zakaj.
d. Nariši graf skupne sile v odvisnosti od asa. Opiši, kaj se dogaja s vsoto vseh sil na
žogico med tremi pomembnimi asovnimi intervali. e se skupna sila spreminja, razloži
zakaj.
Poglavje 9: Opazovalni sistemi
Opazovalni sistemi so pomembni pri prou evanju sil, energije in gibalne koli ine (poglavja 4-8).
Ker sta kineti na energija in gibalna koli ina nekega objekta odvisni od njegove hitrosti, bosta
opazovalca, ki izmerita razli ne hitrosti opazovanega objekta, temu objektu pripisala razli no
kineti no energijo in gibalno koli ino. Pravimo, da ta dva opazovalca opazujeta objekt iz
razli nih opazovalnih sistemov. Kdo od njiju je torej izmeril pravilni vrednosti kineti ne
energije in gibalne koli ine?
Predstavitev 9.1: Prvi Newtonov zakon in opazovalni sistemi
Prvi Newtonov zakon pravi, da mirujo e telo
ostane v mirovanju, gibajo e pa v gibanju, e
nanju ne deluje nobena sila. Na prvi pogled se zdi,
da je ta zakon vsebovan v drugem Newtonovem
zakonu. Vendar pa govori prvi zakon še o ne em
drugem, namre o opazovalnih sistemih. Tega
drugi zakon NE vsebuje. Prvemu zakonu pravimo
88
tudi zakon vztrajnosti (inercije). Opredeluje namre množico opazovalnih sistemov, v katerih
zakon velja. To so tako imenovalni inercialni sistemi. Povejmo še druga e. Prvi Newtonov zakon
pravi, da je v primeru, ko je rezultanta vseh sil, ki delujejo na dano telo, enaka ni , mogo e najti
vsaj en opazovalni sistem, v katerem to telo nima pospeška.
Pet animacij prikazuje napravo za izstreljevanje žogic (ni v merilu) na vozi ku, ki se premika po
progi. ( as je podan v sekundah). Na vseh animacijah je žogica izstreljena navpi no navzgor pri
t = 1 s. Ponovni zagon.
Poglej najprej animacijo 1. Naprava miruje. Si prepri an? Kot vemo, ne moremo lo iti primera,
ko mirujemo, in primera, ko se gibljemo s konstantno hitrostjo, ko gre torej za inercialni
opazovalni sistem. e se glede na Zemljo gibljemo s konstantno hitrostjo, smo, kot vemo, v
inercialnem opazovalnem sistemu. Kako lahko potem ugotovimo, da se gibljemo? Kaj pa
vozi ek? Gibanja ne moremo zaznati, dokler se glede na Zemljo gibljemo s konstantno hitrostjo.
V animaciji 1 vozi ek lahko miruje. V tem primeru pri akujemo—in to tudi vidimo— da bo
žogica padla nazaj v cev. Popolnoma isto pa bi videli, e bi se vozi ek gibal glede na Zemljo s
konstantno hitrostjo, mi pa z njim.
Kakšno pa bi bilo videti gibanje žogice, e bi se vozi ek premikal glede na naš opazovalni sistem,
oziroma bi se naš opazovalni sistem premikal glede na vozi ek? Ostale animacije prikazujejo
takšne možnosti.
Oglej si najprej animaciji 2 in 3. Kaj vidiš? Gibanje žogice nas spominja na poševni met. Žogica
se sedaj giblje po ravnini in ne ve po premici. Ali tudi sedaj pristane nazaj v cevi? Si to
pri akoval? Seveda. Tu res ni ni esar neobi ajnega. Ker v smeri x ne deluje nobena sila, se hitrost
žogice (vozi ka) v tej smeri ne more spreminjati. Žogica in vozi ek imata torej enako konstantno
hitrost v vodoravni smeri.
Oglej si še animaciji 4 in 5. Te to na kaj spominja? O itno je, da ne gre za poševni met. Izgleda,
da imata žogica in vozi ek pospešek v desno ali levo smer (odvisno od animacije). Opaziš pa, da
žogica zopet pristane nazaj v cevi. Zakaj žogica in vozi ek pospešujeta? Za to ni nobenega
vidnega vzroka. Ker pa morajo tudi v tem primeru veljati Newtonovi zakoni, moramo v sistem
vpeljati silo, ki je povzro ila nastali pospešek. Gre za izmišljeno silo, ki v resnici ne obstaja.
Animaciji 4 in 5 nam prikazujeta pogled iz neinercialnih opazovalnih sistemov.
Predstavitev 9.2: Opazovalni sistemi
Obe animaciji prikazujeta opazovalni sistem, ki se giblje glede
na zemeljski (mirujo i) opazovalni sistem. Gibanje oranžne
kroglice, kot bi ga videl opazovalec v zemeljskem opazovalnem
sistemu, je opisano s asom, odmikom in hitrostjo: t, x1 in v1
(odmik je podan v metrih, as pa v sekundah). Opazovalec v
drugem opazovalnem sistemu se glede na površino Zemlje giblje
s konstantno hitrostjo. Tudi ta meri in si v tabelo vpisuje as,
odmik in hitrost z oznakami t, x2 in v2. Animacija 1 kaže odmik,
animacija 2 pa hitrost. Ponovni zagon.
Kako vemo, da se opazovalec v drugem opazovalnem sistemu
giblje glede na zemeljski opazovalni sistem? V asu t = -2 s,
89
vidi opazovalec v zemeljskem opazovalnem sistemu oranžno kroglico pri -4, kako se s konstantno
hitrostjo 2 m/s giblje v desno. Kaj vidi v tem trenutku opazovalec v drugem opazovalnem
sistemu? Kroglico vidi seveda na istem mestu, toda hitrost je druga na. Opazovalec izmeri hitrost
kroglice 3 m/s v desno. Kaj lahko sklepamo? To, da se opazovalec v drugem opazovalnem
sistemu glede na zemeljski opazovalni sistem giblje s hitrostjo 1 m/s.
V katero smer? Premisli najprej o naslednjem vprašanju. Kaj bi lahko sklepal, e bi opazovalec (v
svojem opazovalnem sistemu) videl, da kroglica miruje? Sklepaš lahko, da ima opazovalec isto
hitrost kot kroglica, e ju opazujemo iz zemeljskega opazovalnega sistema. Ko se gibljemo v isto
smer, kot kroglica, se relativna hitrost kroglica zmanjša. e pa se gibljemo v nasprotni smeri, se
relativna hitrost kroglice pove a. Opazovalec se torej giblje s hitrostjo 1 m/s v levo glede na
zemeljski opazovalni sistem!
Vsak opazovalni sistem, ki se giblje s konstantno hitrostjo glede na nepospešeni (inercialni)
sistem, je tudi inercialni sistem.
Predstavitev 9.3: Težiš ni opazovalni sistem
Ali je fizika razli na, e dogodke opazujemo
v razli nih opazovalnih sistemih? Gotovo je
res, da lahko izgledajo razli no. Poglejmo si
najprej animacijo trka, kot bi jo videli v
opazovalnem sistemu Zemlje ( oz. v sistemu
z relativno hitrostjo 0 glede na zemeljski
stacionarni opazovalni sistem). Obe krogli,
rde a in modra imata masi enaki 1 kg.
Gibalna koli ina in kineti na energija se pri
trku ohranita. Kineti na energija (sistema
obeh krogel) je pred trkom in po njem
enaka = 2 J, gibalna koli ina pa Gx = 2 kg
m/s. Ponovni zagon.
Spremeni hitrost opazovalnega sistema z 0
na 2 m/s (razdalje so v metrih, as pa v sekundah). Kaj se spremeni? Na za etku rde a krogla
miruje, modra pa se s hitrostjo 2 m/s premika v levo. V prejšnjem primeru z v = 0 m/s, se je
rde a krogla na za etku gibala v desno, modra pa je mirovala. V novem opazovalnem sistemu je
gibalna koli ina sistema obeh krogel druga na. Kineti na energija je ista kot prej. Zopet pa se pri
trku kineti na energija in gibalna koli ina ohranita.
Poskusi sedaj z v = -2 m/s. Se enegija in gibalna koli ina ohranita? eprav sta se vrednosti obeh
koli in spremenili, se pri trku še vedno ohranita.
Oglej si še primer, ko je v = 1 m/s. Kakšna je sedaj gibalna koli ina sistema dveh krogel? Naš
opazovalni sistem se upravi eno imenuje opazovalni sistem z ni elno gibalno koli ino: gibalna
koli ina sistema dveh krogel je namre enaka 0. Takemu opazovalnemu sistemu pravimo tudi
težiš ni opazovalni sistem. Sistem krogel opazujemo iz njegovega težiš a. e gre za dve krogli,
je težiš e vedno nekje na daljici, ki povezuje obe telesi. Težiš e je vedno bližje težji krogli. V
našem primeru, ko imata obe krogli enako maso, je težiš e na razpoloviš u daljice, ki ju
povezuje. Ta to ka v težiš nem opazovalnem sistemu miruje, v drugih opazovalnih sistemih pa
se premika.
90
Predstavitev 9.4: Vrte i se opazovalni sistem
Opazovalci v razli nih inercialnih opazovalnih sistemih lahko izmerijo
razli ne velikosti gibalne koli ine in kineti ne energije. Vsi se pa
strinjajo s tem, da se celotna gibalna koli in in celotna energija
ohranjata. Posledica tega je, da opazovalca v razli nih opazovalnih
sistemih izmerita enake sile. Ponovni zagon.
Poglejmo si zeleno kroglo na koncu vzmeti (razdalje so v metrih, as
pa v sekundah). e krogle miruje, je rezultanta vseh sil, ki nanjo
delujejo, enaka 0. Siva rta ponazarja tak ravnotežni položaj vzmeti.
Denimo, da je nekdo sunil kroglo tako, da kroži z enakomerno hitrostjo, kot to vidimo v
laboratorijskem opazovalnem sistemu. Vemo, da se mora pri tem vzmet raztegniti. Zakaj? Zato,
ker je za enakomerno kroženje potrebna sila, ki kaže proti središ u. V našem primeru je to sila
vzmeti.
Predstavljaj si, da sediš (ženska v animaciji) na zeleni krogli. Kakšno je s tvojega stališ a (kroglin
opazovalni sistem) gibanje zelene krogle? V tem opazovalnem sistemu krogla miruje. Ne gre pa
za inercialni opazovalni sistem, saj je pospešen. Kakšna je videti v tem opazovalnem sistemu
vzmet? Vzmet je seveda raztegnjena. Kako bi lahko to pojasnil? S tvojega stališ a, ko sediš na
"mirujo i" krogli, mora biti rezultanta vseh sil, ki na kroglo delujejo, enaka 0. Vseeno pa je nekaj
raztegnilo vzmet. Ta sila je lahko le plod naše domišlije. To izmišljeno silo (centrifugalna sila)
mora opazovalka na zeleni krogli tvoriti, e ho e, da še vedno veljajo Newtonovi zakoni.
Kadarkoli si v rotirajo em opazovalnem sistemu (npr, na vrtiljaku), si v pospešenem
opazovalnem sistemu. V tvoj svet moraš vpeljati izmišljeno silo, e ho eš, da tudi v njem veljajo
Newtonovi zakoni.
Raziskava 9.1: Primerjava gibalne koli ine v razli nih
opazovalnih sistemih
Kako se spreminja gibalna koli ina delca, e
ga opazujemo v razli nih opazovalnih
sistemih? Gibalni koli ini obeh krogel sta
vpisani v tabeli (razdalje so v metrih, as
pa v sekundah). Barvni graf prikazuje
hitrosti obeh delcev. Ponovni zagon.
Trk lahko opazuješ v razli nih opazovalnih
sistemih s tem, da spremeniš hitrost
opazovalnega sistema (-10 m/s < v < 10
m/s), preden poženeš animacijo. Imej obe
kroglici za izoliran sistem. Odgovori na
naslednja vprašanja tako, da ga opazuješ
vsaj v dveh razli nih inercialnih opazovalnih
sistemih za vsako animacijo.
a. Ali je skupna gibalna koli ina odvisna od opazovalnega sistema?
b. Ali je sprememba gibalne koli ine odvisna od opazovalnega sistema?
91
c. Se skupna gibalna koli ina v razli nih opazovalnih sistemih ohranja?
d. Poiš i masi in razmerje mas obeh krogel. So te koli ine odvisne od opazovalnega
sistema?
e. Ali obstaja opazovalni sistem, v katerem je skupna gibalna koli ina enaka 0? e je to res,
opazuj spremembe hitrosti v tem opazovalnem sistemu. Pojasni, zakaj je analiza trka v
tem opazovalnem sistemu še posebej preprosta.
Raziskava 9.2: Energija v razli nih opazovalnih sistemih
Kako se spreminja energija delca, e ga
opazujemo
v
razli nih
opazovalnih
sistemih? Energiji obeh krogel sta podani v
tabeli in na histogramu na desni strani. Graf
prikazuje hitrosti (razdalje so v metrih, as
pa v sekundah). Ponovni zagon.
Trk lahko opazuješ v razli nih opazovalnih
sistemih s tem, da spremeniš hitrost
opazovalnega sistema (-10 m/s < v < 10
m/s), preden poženeš animacijo. Imej obe
kroglici za izoliran sistem. Odgovori na
naslednja vprašanja tako, da ga opazuješ
vsaj v dveh razli nih
inercialnih
opazovalnih sistemih za vsako animacijo.
a. Ali je kineti na energija posamezne krogle odvisna od opazovalnega sistema?
b. Ali je sprememba kineti ne energije pri trku odvisna od opazovalnega sistema?
c. Ali je skupna kineti na energija konstantna v vseh opazovalnih sistemih? (Ne pozabite
odgovoriti za obe animaciji.)
d. Poiš i masi in razmerje mas obeh krogel. So te koli ine odvisne od opazovalnega
sistema?
e. Kako se odlikuje opazovalni sistem, v katerem je skupna gibalna koli ina enaka 0? Je v
njem tudi skupna kineti na energija enaka 0?
92
Raziskava 9.3: Relativno gibanje v razli nih opazovalnih
sistemih
Opazovalci
v
opazovalnih
sistemih, ki se gibljejo relativno
drug glede na drugega, lahko
dobijo razli no sliko o gibanju
istega objekta. Ta raziskava ti bo
omogo ila opazovanje iz razli nih
opazovalnih sistemov.
Na sredi slike je reka, ki je
predstavljena z zeleno barvo
(rumene to ke mirujejo glede na
vodo). Dva rde a olna plujeta po
reki. Narisan je še pravokoten
splav, ki miruje glede na reko in spreminja barvo v odvisnosti od tvojega opazovalnega sistema.
Po bregu reke hodi sprehajalec, prikazan z modro barvo. Breg je prikazan v sivi barvi s rnimi
mirujo imi to kami.
Opazovalne sisteme spreminjamo tako, da z miško pokažemo dolo en objekt ali podro je na sliki.
e npr. postaviš kazalec miške na reko, postaneš opazovalec v opazovalnem sistemu, ki se giblje
skupaj z vodo. Ozek pravokotnik (splav) se premika skupaj z vodo in spreminja barvo glede na
tvoj izbrani opazovalni sistem.
•
•
•
•
•
•
e odkljukaš "prikaz informacij", se prikažejo tudi vektorji hitrosti z napisanimi
velikostmi (odmiki so v metrih, hitrosti v m/s). Barve vektorjev so enake barvi
izbranega opazovalnega sistema.
e izbereš "prikaži kroglo", vidiš kroglo, ki so jo navpi no navzgor vrgli s splava.
Tirnico krogle lahko opazuješ v razli nih opazovalnih sistemih. Tirnico pobrišemo, e
razveljavimo izbiro "prikaži kroglo".
S klikom na levi gumb miške se animacija ustavi, dokler gumba ne spustimo. Zaustavimo
jo lahko tudi z desnim gumbom. V tem primeru se animacija nadaljuje po ponovnem
kliku na desni gumb.
e želimo spremeniti vektorje hitrosti, je bolje prej animacijo zaustaviti. Po tem
kliknemo kjerkoli na sliki, da se prikažejo vektorji. Kliknemo kon no to ko izbranega
vektorja in jo povle emo v levo ali desno.
Ob sprehajalcu sta zapisani njegova navpi na in vodoravna hitrost v tvojem opazovalnem
sistemu.
Pri zaustavljeni animaciji (in izbranem "prikaz informacij") kliknemo levo nogo
sprehajalca. S premikanjem miške v navpi ni smeri spreminjamo sprehajal evo hitrost v
navpi ni smeri. Ko z desnim gumbom poženemo animacijo, sprehajalec pride do reke in
jo preplava (njegova vodoravna hitrost se spremeni zaradi re nega toka).
a. Zaustavi animacijo in izberi "prikaz informacij". Spremeni sprehajal evo vodoravno in
navpi no hitrost tako, da bo reko preplaval pravokotno v ravni rti (gledano z brega). Ko
si z izbiro hitrosti zadovoljen, razveljavi "prikaz informacij" in s klikom na animacijo
pobriši vektorje (tako bo stvari lažje opazovati). Ponovno poženi animacijo.
b. Kakšno hitrost glede na kopno si moral izbrati, da bi rešil nalogo?
93
c. Premikaj miško in izbiraj razli ne opazovalne sisteme. Ali tudi v drugih opazovalnih
sistemih sprehajalec preplava reko pravokotno v ravni rti? e ne, kakšno hitrost (glede
na kopno) mu moraš dolo iti, da bo videti s olna, da je reko preplaval pravokotno - v
ravni rti? Kakšno hitrost (glede na kopno) mu moraš dolo iti, da bo tako videti iz reke?
Raziskava 9.4: Primerjava gibanja v pospešenih opazovalnih
sistemih
Je fizika druga na, e stvari
opazujemo iz razli nih
opazovalnih sistemov? Gibalna
koli ina vsake krogle je zapisana
v tabeli, kineti na energija v
joulih pa je predstavljena s
histogramom. (razdalje so v
metrih, as pa v
sekundah). Opazovalni sistem
spremenimo z vpisom druga nega
pospeška (-2 m/s2 < a < 2 m/s2).
Ponovni zagon. Odgovori na
naslednja vprašanja:
a.
b.
c.
d.
e.
Ali je skupna gibalna koli ina odvisna od opazovalnega sistema?
Ali je sprememba gibalne koli ina odvisna od opazovalnega sistema?
Ali se skupna gibalna koli ina v vseh opazovalnih sistemih ohranja?
Poiš i razmerje obeh mas. Je to razmerje v vseh opazovalnih sistemih enako?
Ali obstaja opazovalni sistem, v katerem je skupna gibalna koli ina 0?
Raziskava 9.5: Letali z razli nima hitrostma glede na zemljo
Dve letali (nista prikazani v merilu) letita na
krožnem poletu med dvema mestoma
(razdalje so v kilometrih, as pa v urah).
Obe letali imata isto hitrost glede na zrak (200
km/h). Na zgornje letalo (z modrima
konicama kril) pa vpliva veter, ki lahko piha v
smeri leta (v rep) ali v nasprotni smeri (v nos).
Zaradi tega se hitrost tega letala glede na
zemljo spreminja. Pozitivna hitrost pomeni pri
poletu veter v rep, pri povratku pa nasprotni
veter v nos. Hitrost vetra lahko spreminjamo (199 < vveter < 199) z vpisom v ustrezno okno.
Ponovni zagon.
94
a. Preden vpišeš dolo eno hitrost, premisli, katero letalo se bo prvo vrnilo na izhodiš e, e
(le) na letalo z modrima konicama kril vpliva veter.
b. Z uporabo animacije preveri, e tvoja napoved drži.
c. Si se zmotil? Ali sedaj veš, kje si naredil napako? Razloži.
Poglavje 10: Vrtenje okoli stalne osi
Precej vsakdanjih teles ima krožno gibanje, na primer zgoš enke, kolesa (in mnoge druge
komponente) avtomobila, ventilatorji itd.
eprav poteka krožno gibanje v dveh dimenzijah, ima marsikaj skupnega s premo rtnim
gibanjem. Tako gibanje bomo analizirali s pomo jo metod, ki smo jih razvili za eno
dimenzionalno in dvo dimenzionalno gibanje.
Predstavitev 10.1: Koordinate za kroženje
Kako bi opisal gibanje prikazanega telesa (položaj je podan v metrih, as je v sekundah)?
Ponovni zagon. Telo se giblje v krogu okrog x = 0 m in y = 0 m, pri tem se koordinati x in y
telesa s asom spreminjata. Spreminjata se na poseben na in, tako da sta x in y vedno v obmo ju
med -1 m in 1 m. To kaže Animacija 2, v kateri opazuj
spremembe vrednosti x in y v tabeli. Temu lahko
re emo oblika s komponentami. Gibanje lahko opišemo
tudi s pomo jo vektorske oblike. V tem primeru imamo
vektor r, ki predstavlja polmer in ima velikost 1 m.
Spreminja pa se njegova smer. Poglej si Animacijo 3.
Smer vektorja opišemo s kotom, ki ga ta oklepa glede na
pozitivno os x. Zato se kot - e ga merimo v stopinjah spreminja med 0 in 360. V asih podajamo kot v
druga nih enotah - radianih. Enota radian je definirana
kot 2 radianov = 360°. Obe enoti sta definirani glede
na en poln obrat. Kote v radianih kaže animacija
Animacija 4.
Zakaj naj bi uporabljali radiane? Zato, ker obstaja
zanimivo razmerje med kotom v radianih ( ), polmerom
(radij) (r) in lokom na krožnici (s). To geometrijsko
razmerje pravi: = s/r. Zakaj je to uporabno? Dovoljuje,
da lahko krožno gibanje obravnavamo enako kot eno dimenzionalno. Lok je linearna
prepotovana razdalja in pri enakomernem gibanju velja velja s = vt. To pomeni, da velja =
(v/r) t, saj je s = r . Razmerje v/r ozna ujemo z omega ( ), kar je kotna hitrost. Zato je pri
gibanju s konstantno kotno hitrostjo = t. e imamo konstantni kotni pospešek - imenujmo ga
alfa ( ), je ta povezan s tangencialnim pospeškom kot at/r. e torej uporabljamo radiane, lahko
uporabljamo prirejene formule za eno dimenzijsko kinematiko z x
,v
, a
.
95
Predstavitev 10.2: Vrtenje okoli stalne osi.
Veliko teles se vrti okoli stalne osi. Prikazano je kolo s
polmerom 5 cm, ki se vrti s konstantno hitrostjo okrog
fiksne osi (položaj je v centimetrih, as je v
sekundah). Ponovni zagon.
Opazujmo razli ne to ke na površini vrte ega se
kolesa. Ko gledamo vrte o se rto, ugotovimo, da se
kolo vrti s konstantno hitrostjo. To ugotovimo na
primer za to ko na robu kolesa s polmerom 5 cm.
Kako pa je s to ko na polovi ni razdalji (torej na polmeru 2,5 cm)? Tudi ta se vrti s konstantno
hitrostjo. Kakšno pa je razmerje med hitrostima obeh to k?
To lahko dolo imo tako, da najprej obravnavamo veli ino, ki ni povezana s polmerom, to je s
kotno hitrostjo . Kotna hitrost je kvocient med kotnim odmikom in asovnim intervalom (v tej
predstavitvi je pospešek enak ni in sta povpre na ter trenutna kotna hitrost enaki). Kakšna je
torej kotna hitrost kolesa? Za en obrat kolesa imamo kotni odmik 2 , asovni interval (pravimo
mu perioda, T) pa je 5 sekund. Torej je kotna hitrost kvocient med kotnim odmikom in asovnim
intervalom ( = 2 /T) 0.4 radianov/s = 1.256 radianov/s.
Kako lahko povežemo kotno hitrost z linearno (tangencialno) hitrostjo to ke na kolesu? Najprej
poglejmo hitrost to ke na robu kolesa. Spet je najlažje, e merimo hitrost z upoštevanjem vrtenja
kolesa. V tem primeru je prepotovana razdalja to ke enaka 2 r, zato je povpre na (in v tem
primeru tudi trenutna) tangencialna hitrost enaka 2 r/T = 2 cm/s = 6.28 cm/s. Razmerje med
kotno in tangencialno hitrostjo mora biti = v/r. (Spomnimo se, da smo prej ugotovili = 2 /T.)
To velja, ker je razmerje med kotnim odmikom in tangencialnim odmikom (lokom dolžine s),
= s/r. To mora veljati tudi za primer kotnega odmika pri polnem obratu: 2 = 2 r/r.
namre
Ker je linearna hitrost vektor (ima smer), lahko pri akujemo, da je vektor tudi kotna hitrost. In res
je tako. V katero smer torej kaže kotna hitrost na vrte em se kolesu? Za dolo itev smeri kotne
hitrosti uporabimo pravilo desne roke. e z desno dlanjo ukrivimo v smeri vrtenja kolesa palec
kaže v smer kotne hitrosti kolesa. V našem primeru je
usmerjena v zaslon ra unalnika. To
izgleda udno. Navsezadnje lahko re emo, da se kolo vrti v smeri urinega kazalca. Tak opis ni
dober, saj ne vklju uje vektorske veli ine in opis ni enoumen. Kaj pomeni, da ni enoumen? e bi
bili na drugi strani zaslona, bi namre reki, da je vrtenje v nasprotni smeri od vrtenja urinega
kazalca!
Ali lahko uganeš razmerje med kotnim pospeškom in tangencialnim pospeškom? No, pospešek je
sprememba hitrosti v danem asu, v/ t. Verjetno si uganil, da je kotni pospešek, ki mu pravimo
, sprememba kotne hitrosti v danem asu,
/ t. Ker poznamo odvisnost med v in , mora
veljati a = r.
96
Predstavitev 10.3: Vztrajnostni moment, vrtilna energija,
vrtilna koli ina
Precej teles se vrti okoli stalne osi. Prikazano je kolo
(disk) s polmerom 5 cm in maso 200 gramov, ki se s
konstantno hitrostjo vrti okoli stalne osi (položaj je
podan v centimetrih in as je v sekundah). Ponovni
zagon.
hitrostjo ( =
vrtilni moment L.
V Predstavitvi 10.2 smo obravnavali, kakšna je
odvisnost med linearno hitrostjo in kotno hitrostjo ter
kakšna je odvisnost med kotnim pospeškom in kotno
/ t). V tej predstavitvi bomo obravnavali kineti no energijo vrtenja, Wk rot in
Obliko kineti ne energije za vrtenje in vrtilne koli ine si lahko najlažje zapomnimo z analogijo s
kineti no energijo premikanja in gibalno koli ino. Spomnimo se, da velja Wk = 1/2 m v2 in G = m
v. Ali lahko uganeš, kako izgleda vrtilna kineti na energija in vrtilna koli ina?
Najprej, kaj bo pri pojmih o rotaciji igralo vlogo v in v? Pravilen odgovor je in . e še
ugotovimo, kaj igra vlogo m, dobimo vse. Lastnost mase je upiranje teles pri linearnem gibanju.
Torej iš emo lastnost teles, ki opisuje njihovo upiranje pri rotaciji. Temu pravimo vztrajnostni
moment. Vztrajnostni moment je odvisen od mase telesa, njegove velikosti in porazdelitve mase.
Za najbolj preprosta telesa je vztrajnostni moment I = C m R2, pri emer je m masa telesa, R je
njegova velikost (obi ajno polmer ali dolžina), C pa je brezdimenzijska konstanta, ki predstavlja
porazdelitev mase.
Zato velja Wk rot = 1/2 I 2 in L = I . Kakšna sta Wk rot in L pri našem kolesu oziroma disku?
No, iz Predstavitve 10.2 vemo, da velja = 1.256 radianov/s. Ker je naše kolo pravzaprav disk, je
C = 2. Tako lahko izra unamo vztrajnostni moment kot: 2.5 x 10-4 kg m2. Kon no imamo Wk rot =
1.97 x 10-4 J in L = 3.14 x 10-4 Js (usmerjeno v zaslon ra unalnika). V našem primeru so te
vrednosti majhne, saj je tudi I diska majhen. Disk s polmerom 1m in maso 2kg bi imel
vztrajnostni moment enak 1.0 kg m2.
Raziskava 10.1: Ena ba za konstantno kotno hitrost
Doslej smo spoznali ena bo: = 0+ 0*t. Morda si jo razvil že
sam. Toda kaj to v resnici pomeni za gibanje teles? Ta raziskava ti
omogo a raziskovati oba lena ena be: za etni kotni položaj 0, ki
ga lahko spreminjamo med 0 radiani in 6.28 radiani, ter kotno
hitrost 0, ki jo lahko nastavljamo med -15 rad/s in 15 rad/s.
Ponovni zagon.
Odgovori na naslednji vprašanji (položaj je podan v metrih, as
je v sekundah).
97
a. Kako sprememba za etnga kotnega položaja vpliva na gibanje?
b. Kako sprememba za etne kotne hitrosti vpliva na gibanje?
Raziskava 10.2: Ena ba za konstanten kotni pospešek
Doslej smo spoznali ena bo: = 0+ 0*t + 1/2* *t2. Morda si jo
medtem že sam razvil. Kaj ta v resnici pomeni za gibanje teles? Ta
raziskava ti bo omogo ila raziskati vse tri lene ena be: za etni
kotni položaj 0 , ki ga lahko nastavljaš v obmo ju med 0 radiani in
6.28 radiani, za etno kotno hitrost 0, ki jo lahko nastavljaš med 15 rad/s in 15 rad/s, ter kotni pospešek , ki ga lahko nastavljaš
med -5 rad/s2 in 5 rad/s2. Ponovni zagon.
Odgovori na naslednja vprašanja (položaj je podan v metrih, as
je v sekundah).
a.
b.
c.
d.
Kako vpliva sprememba za etnega kotnega položaja na gibanje telesa?
Kako vpliva sprememba za etne kotne hitrosti na gibanje telesa?
Kako vpliva sprememba kotnega pospeška na gibanje telesa?
Ali lahko telesu spremeniš smer gibanja?
Raziskava 10.3: Navor in vztrajnostni moment
Utež (med 0.01 kg in 1 kg) visi na žici, obešeni preko škripca z maso
med 0 kg in 2 kg in polmerom med 0.1 in 4 metri (položaj je podan v
metrih, as je v sekundah, kotna hitrost je v radianih/sekundo).
Ponovni zagon.
Nastavi maso uteži na 0.25 kg ter polmer škripca na 2 m in spreminjaj
maso škripca.
a. Kako je kotni pospešek škripca odvisnen od mase škripca (in
zato od njegovega vztrajnostnega momenta)?
b. Kako je pospešek obešene uteži odvisen od mase (in torej
vztrajnostnega momenta) škripca?
c. V kakšni zvezi sta odgovora na (a) in (b)?
Nastavi maso škripca na 0.5 kg ter polmer škripca na 2 m in spreminjaj maso uteži.
d. Kako je kotni pospešek škripca odvisen od mase obešene uteži?
e. Kako je pospešek obešene uteži odvisen od mase te uteži?
f. V kakšni zvezi sta odgovora na (d) in (e)?
Nastavi maso uteži na 0.25 kg in maso škripca na 0.5 kg, nato pa spreminjaj polmer škripca.
98
g. Kako je kotni pospešek škripca odvisen od polmera škripca?
h. Kako je pospešek obešene uteži odvisen od polmera škripca?
i. V kakšni zvezi sta odgovora na (g) in (h)?
Nastavi maso škripca na 0.5 kg, maso uteži na 0.25 kg, polmer škripca pa na 2 m.
j. Ugotovi pospešek obešene uteži in kotni pospešek škripca.
k. S pomo jo drugega Newtonovega zakona ugotovi napetost v žici.
l. Kakšen navor povzro a ta napetost na škripcu?
Raziskava 10.4: Navor na škripcu, povzro en z napetostjo dveh
žic
Z vrha gledamo na škripec na vodoravni ploš i. Masivno
kolo se lahko vrti okoli stalne osi, ki poteka skozi
izhodiš e. Na škripec delujeta dve sili v ravnini ploš e.
Sili povzro ata napetosti v vsaki žici (vsaka med 0 N in
10 N), ki lahko tvorita vrtilni moment in povzro ita
vrtenje škripca (položaj je podan v metrih, as je v
sekundah, kotna hitrost je v radianih na sekundo).
Ponovni zagon. Prikazan je tudi "razširjeni diagram sil"
škripca. V tem diagramu so prikazane sile v ravnini
ploš e, kot delujejo na škripec, vklju no s silo osi
škripca.
Nastavi maso škripca na 1 kg, polmer škripca na 2 m,
nato spreminjaj sili in opazuj "razširjeni" diagram sil.
a. V kakšni odvisnosti je sila osi od sil, ki jih povzro ata obe napetosti?
b. Kako lahko to pojasniš?
Nastavi maso škripca na 1 kg, polmer škripca na 2 m, nato spreminjaj sili.
c.
d.
e.
f.
Kakšna je odvisnost med F1 in F2 , ki zagotavlja, da se škripec ne bo vrtel?
Ali se bo pri F1 > F2 škripec vrtel? V kateri smeri?
Ali se bo pri F1 < F2 škripec vrtel? V kateri smeri?
Kakšna je splošna oblika za skupen navor v odvisnosti od F1, F2 in rškripca?
Nastavi maso škripca na 1 kg, F1 na 10 N, F2 na 5 N in spreminjaj polmer škripca.
g. Kako je kotni pospešek škripca odvisen od polmera škripca?
Nastavi polmer škripca na 2 m, F1 na 10 N, F2 na 5 N in spreminjaj maso škripca.
h. Kako je kotni pospešek škripca odvisen od mase škripca?
99
i.
e je škripec v obliki diska, poiš i splošen izraz za kotni pospešek v odvisnosti od F1, F2,
mškripca in rškripca.
Poglavje 11: Splošna vrtenja
V zadnjem poglavju smo prou evali vrtilno kinematiko, vrtilno energijo in vztrajnostni moment
za telesa, ki so krožila okrog stalne osi. V tem poglavju bomo za eli obravnavo matemati nega
opisa navora kot vektorja oziroma vektorskega produkta. Posvetili se bomo tudi splošnim
vrtenjem, kot je kotaljenje predmetov (vrtenje in translacija).
Predstavitev 11.1: Vektorski produkt
Ko govorimo o velikosti vrtilnega momenta, mislimo na velikost
sile, pravokotne na ro ico z danim polmerom, na katero ta sila
deluje. e ni ro ice, tudi vrtilnega momenta ni. Vrtilni moment je
pozitiven (izven zaslona), e sila F poskuša zavrteti telo v obratni
smeri od urinega kazalca v skladu s pravilom desne roke (PDR),
e pa ga poskuša zavrteti v smeri urinega kazalca (spet v skladu s
PDR), je vrtilni moment negativen. Ponovni zagon.
e želimo vrtilni moment opisati z matematiko, moramo
uporabljati takoimenovani vektorski produkt. Vrtilni moment je
vektorski produkt vektorja "radius" in vektorja sile, r × F.
Magnituda vrtilnega momenta je r F sin( ), smer vrtilnega
momenta pa dolo a PDR. je kot med obema vektorjema, A in B
sta magnitudi vektorjev r in F. Z miško vle i vrh katere od obeh
puš ic (položaj je podan v metrih). Rde a puš ica je r, zelena
puš ica predstavlja F. Izra unava se magnituda obeh puš ic in vektorski produkt.
Smer vrtilnega momenta r × F je dolo ena s pravilom desne roke (PDR) (usmeri prste proti r,
ukrivi jih v smeri F, smer, ki jo sedaj kaže palec, je smer vrtilnega momenta. Zato,
= r × F = r F sin( ) s smerjo, ki jo predpisuje PDR,
pri tem je r ro ica, na katero deluje sila F.
Predstavitev 11.2: Kotaljenje
Veliko vsakodnevnih teles se kotali
brez spodrsavanja (položaj je podan
v centimetrih, as je podan v
sekundah). Ponovni zagon. Tako
gibanje je mešanica istega vrtenja in
iste translacije. isto vrtenje kaže
100
Animacija 1, isto translacijo pa vidimo v Animaciji 2. Kako lahko ti dve gibanji združimo tako,
da se bo kolo kotalilo brez spodrsavanja?
Najprej opazujmo razli ne to ke na obodu vrte ega se kolesa. Ker ima konstantno kotno hitrost,
ima vsaka to ka na obodu enako hitrost, ki pa je druga e usmerjena. Opazujmo tri posebne to ke:
vrh kolesa, središ e kolesa in dno kolesa. Vrh kolesa ima hitrost v = R, hitrost je usmerjena v
desno. Središ e ali os kolesa ima hitrost enako ni . Spodnja to ka kolesa ima hitrost v = R, ki je
usmerjena v levo.
Sedaj opazujmo translacijo. Vsaka to ka na kolesu ima hitrost v, ki kaže v desno.
Kako torej sestavimo ti dve gibanji v kotaljenje brez spodrsavanja? e imamo na dnu kolesa, v
to ki, ki se dotika tal, hitrost enako ni , kolo ne bo spodrsavalo.
Spet opazujmo tri posebne to ke: vrh kolesa, središ e kolesa in dno kolesa. Dodajmo
translacijsko hitrost hitrosti vrtenja in poglejmo, kaj dobimo. Vrh kolesa ima hitrost vrtenja v =
R, usmerjeno v desno, kar, združeno s hitrostjo translacije v, usmerjeno v desno, da skupaj 2v,
usmerjeno v desno. Središ e (os) kolesa ima hitrost vrtenja enako ni , kar skupaj s hitrostjo
translacije v, usmerjeno v desno, da v, usmerjeno v desno. In kon no, dno kolesa ima hitrost
vrtenja v = R, usmerjeno v levo, kar skupaj s translacijko hitrostjo v, usmerjeno v desno, da
hitrost enako ni !
Zato, dokler nam da kotna hitrost vrednost v, ki je enaka translacijski hitrosti v, dobimo kotaljenje
brez spodrsavanja, kot kaže Animacija 3.
Predstavitev 11.3: Translacijska in vrtilna kineti na energija
Kako lahko opišemo kotaljenje brez
spodrsavanja s stališ a energije? Vemo že,
kako predstaviti kineti no energijo
translacije: (1/2) mv2. Znamo tudi
predstaviti kineti no energijo vrtenja:
(1/2) I 2. Kaj pa e imamo obe? Ponovni
zagon.
Med kotaljenjem krogle navzdol se
potencialna energija zaradi težnosti
spreminja v kineti no energijo, vendar
koliko v katero? Pri kotaljenju brez
spodrsavanja velja zveza med linearno
hitrostjo in kotno hitrostjo: v = R. Ker
velja ta relacija vemo, da je Wk trans = (1/2)
mv2, medtem ko je Wk rot = (1/2) I (v2/R2).
Vztrajnostni moment ima obliko CmR2,
zato je Wk rot = (1/2) C mv2. Iz tega sledi
Wk skupna = (1+C) ( 1/2) mv2. Gravitacijska
101
potencialna energija se preoblikuje v skupno kineti no energijo, koliki del se je spremeni v Wk
Wk rot , dolo a konstanta C. Bolj podrobno:
trans oziroma
Wk trans / Wk skupna = 1/(1+C)
in
Wk rot / Wk skupna = C/(1+C).
Po klancu se kotali krogla s premerom 1 m in maso 0.25 kg (položaj je v metrih, as je v
sekundah). Klanec je pod kotom = 20°. Opazuj diagram s potekom gravitacijske potencialne
energije ter vrtilne in translacijske kineti ne energije v odvisnosti od asa oziroma položaja.
Zakaj predstavljajo asovni potek energij krivulje, potek energij v odvisnosti od položaja oziroma
odmika pa so ravne rte?
Predstavitev 11.4: Vrtilna koli ina in površina
Med najbolj udnimi mislimi o kotnem momentu je,
da bi lahko telo, ki se giblje po premi rti, imelo
vrtilno koli ino. Vrtilna koli ina za delec je podana z
vektorskim produktom L = r × G. Iz tega izhaja, da je
za izra un vrtilne koli ine za delec pomembno
izhodiš e.
e na sistem ne deluje zunanji navor, je vrtilna
koli ina delca konstantna. V naši razpravi je delec prost, torej se vrtilna koli ina ohranja. Ali je
kakšen drug na in, da ugotovimo ohranitev vrtilne koli ine? Lahko. Pomislimo, e delec prekrije
(glede na poljubno izhodiš e) enako površino v enakih asovnih razmakih?
Ali v naši predstavitvi prekriva delec, ki se giblje po premi rti, enake površine v enakih asovnih
razmikih?
Sproži animacijo in opazuj: rna pika se prosto giblje od leve proti desni. Podro ja, ki jih prekrije
delec glede na neko fiksno to ko (izhodiš e), so prikazana z razli nimi barvami. Ali so vsa
podro ja enako velika? Klikni na vsako podro je in opazuj, kaj se dogaja. Iz matematike vemo,
da je površina trikotnika enaka produktu dolžine stranice in polovi ne višine na to stranico. Vsa
podro ja imajo enako višino in dolžino stranice (= vx*dt).
Opomba: Keplerjev drugi zakon (glej poglavje 12 o podrobnostih o gravitaciji) pravi, da v enakih
asovnih korakih vektor, ki izhaja iz sonca proti nekemu planetu prekrije enaka podro ja. Kaj
nam to pove o vrtilni koli ini planetov?
102
Predstavitev 11.5: Ohranjanje vrtilne koli ine
Rde a krogla z maso 1 kg tr i v rno kroglo z
enako maso (1 kg), ki je privezana na žico (z
zanemarljivo maso) tako, da se lahko vrti okrog
izhodiš a (položaj je podan v metrih, as je v
sekundah). V asu t = 2.6 s pride do popolnega
elasti nega trka med obema kroglama. Ponovni
zagon.
Opazujmo za etni del animacije, ko rde a krogla
tr i ob rno, ki se lahko giblje le v krogu. Od
katere to ke moramo meriti vrtilno koli ino rde e
krogle? Najbolj primerna lokacija, glede na to, da
je prišlo do trka z nihalom, je to ka (0, 0), torej
te aj. Z lahkoto merimo vrtilno koli ino nihala
okrog te to ke. Kakšna je torej vrtilna koli ina rde e krogle pred trkom? Nedvomno se mora
spreminjati, saj se r spreminja. Ne! Vrtilna koli ina za delec je dana z vektorskim produktom:
L = r × G, kar pomeni, da moramo upoštevati tisti del r, ki je pravokoten na G (rG sin , kjer je
kot med r in G). Ker je G v negativni smeri x, je del r, ki je pravokoten na G kar y. Zato, |L| = 50
kg m2/s. Opazimo, da se r spreminja, y pa se ne. Smer vrtilne koli ine najdemo s pravilom desne
roke (DPR) in kaže v zaslon (kar je negativna smer z).
Kaj se zgodi z vrtilno koli ino po prvem trku? Glede na to, da se giblje le rna krogla, velja |L| =
mvr = I = 50 kg m2/s (spet usmerjen v zaslon). Vrtilna koli ina je enaka kot pred trkom. Ker ni
zunanjih navorov (Žica nihala ne povzro a navora. Zakaj?), se vrtilna koli ina ohranja.
Kaj pa po drugem trku? No, to je malo težje. Vektor r se spreminja (pred prvim trkom se je radij
sicer spreminjal, vendar je bila komponenta radija, pravokotna na moment, konstantna).
Potrebujemo boljšo definicijo magnitude r × G kot je naslednja: rp sin . V splošnem dobimo za
komponento z kotnega momenta:
Lz = (xpy - ypx). V asu t = 16 sekund imamo (-5.06) (-1.73) - (-12.51) (-4.69) = -50 = 50 kg
m2/s (spet usmerjeno v zaslon).
V splošnem velja, A × B = (AyBz - AzBy) i + (AzBx - AxBz) j + (AxBy - AyBx) k.
103
Raziskava 11.1: Navor.
Premikaj vrh puš ice, ki predstavlja silo (položaj je
podan v metrih, sila je v newtonih). Rde a puš ica
je radij, na katerega deluje sila, zelena puš ica
predstavlja silo. Tudi svetlo zelena puš ica
predstavlja silo, je pa narisana zato, da lažje razberemo
kot med r in F. Ponovni zagon.
a. Kdaj je vektorski produkt enak ni ?
b. Kaj je kot med r in F, ki ga uporabljamo v
izrazu r F sin( )?
c. Ali kaj manjka v tej predstavitvi vrtilnega
momenta?
d. Ali je dodelitev r in F pomembna? Druga e
povedano, e bi r bil F in bi F bil r, ali bi bil
navor enak?
Raziskava 11.2: Neenakomerno kroženje
V tej raziskavi bomo od zgoraj opazovali rno kroglo na
mizi. Premikaj kurzor (v obliki križca) v bližino najve
5 m od rne krogle, ki ima maso 0.2 kg (položaj je
podan v metrih, as je v sekundah). Kurzor bo deloval
na kroglo s konstantno silo. Izbiraš med silo privla nosti
ali odbojnosti. Poleg tega je krogla z dolgo žico omejena
na gibanje v krogu. Z modro puš ico je ponazorjena
rezultanta sil, ki deluje na kroglo, stolpi ni graf pa
prikazuje kineti no energijo v joulih. Ponovni zagon.
Po izbiri privla nosti ali odbojnosti premikaj kurzor in
opazuj rezultanto sil na kroglo.
a) V katero smer kaže rezultanta sil na za etku animacije (po kliku na gumb "predvajaj", vendar
pred premikanjem kurzorja)?
b) Ali se s tako silo krogla premika? Zakaj da ali zakaj ne?
c) Kje moramo uporabiti silo, da bo krogla pridobila tangencialno hitrost?
d) Opiši smer sile, ki povzro a, da krogla pridobiva najve jo tangencialno hitrost.
e) Kakšna je povezava med velikostjo navora in uporabljeno silo?
f) Kakšna je povezava med smerjo navora in uporabljeno silo?
104
Raziskava 11.3: Kotaljenje po klancu
Krogla s polmerom 1 m se kotali po klancu
(položaj je podan v metrih, as je v
sekundah). Klanec tvori z vodoravno rto
kot . Nastavi maso (100 g < m < 500 g)
oziroma kot (10° < < 40°) in opazuj potek
gravitacijske potencialne energije in vrtilne
ter translacijske kineti ne energije v
odvisnosti od asa ali razdalje. Ponovni
zagon.
Spremeni kot in maso krogle tako, da
ugotoviš odgovore na naslednja vprašanja:
a. Kakšen
odstotek
za etne
potencialne energije se je spremenil
v translacijsko kineti no energijo na
vznožju klanca?
b. Kakšen procent za etne potencialne energije se je spremenil v vrtilno kineti no energijo
na vznožju klanca?
c. Kakšno je razmerje Wk rot / Wk trans? emu ustreza to število?
d. Kako je razmerje Wk rot / Wk trans odvisno od mase krogle? Kako od kota klanca?
e. Ali bi se animacija spremenila, e bi kroglo nadomestili z diskom z enakim polmerom?
Raziskava 11.4: Vztrajnostni moment in vrtilna koli ina
Rde a krogla z maso 1kg tr i v rno kroglo z enako
maso, ki je privezana na peresnolahko trdno žico tako,
da se lahko le vrti okoli te aja (položaj je podan v
metrih, as je v sekundah). V asu t = 2.6 s pride do
popolnega elasti nega trka rde e krogle s rno.
Ponovni zagon.
Opazuj animacijo. Spreminjaš lahko polmer nihala v
obmo ju med 2 in10 m. Najprej odgovori na prva tri
vprašanja in šele nato odkljukaj izbiro prikaza
spremenljivk.
a. Ali se kotna hitrost nihala pove a ali zmanjša, e zmanjšaš dolžino nihala?
b. Iz poznavanja zakonov o ohranitvi povej, e se med animacijo ohranjajo gibalna koli ina,
vrtilna koli ina in kineti na energija. Zakaj?
105
c. Nastavi R = 5 m. Izra unaj gibalno koli ino, kotni moment (okoli te aja) in kineti no
energijo sistema pri asih t = 1, 2, 4 in 5 s.
Sedaj lahko odkljukaš prikaz spremenljivk.
d.
e se tvoji odgovori ne ujemajo, povej zakaj.
Raziskava 11.5: Ohranitev vrtilne koli ine
Mož stoji ob vrtiljaku z maso 150 kg in nenadoma vrže rde
predmet na vrtiljak (položaj je podan v metrih, as je v
sekundah). Maso rde ega predmeta lahko spreminjaš.
Predpostavimo, da je vrtiljak trden disk z enakomerno razporejeno
maso. Ponovni zagon.
a. Kaj se zgodi s kon no kotno hitrostjo vrtiljaka, e vržemo
nanj težji predmet?
b. Ali obstaja masa, ki bi jo lahko dodali tako, da bi bila
kon na kotna hitrost enaka to no polovici za etne kotne
hitrosti? e da, kakšna je ta masa?
c. Kako sta odgovora na (a) in (b) povezana z ohranitvijo vrtilne koli ine?
Poglavje 12: Težnost
Gravitacijske sile opisujejo, kako se masivni objekti medsebojno privla ijo. Zaradi posledic
svojega obsega je gravitacijska sila izredno pomembna sila za masivna telesa. Vendar, ali je sila,
ki povzro a gibanje planetov (nebesna gravitacijska sila), tudi tista sila, ki povzro a gibanje
objektov blizu zemljinega površja (zemeljska gravitacijska sila)? Ja! Leta 1685 je Newton
predlagal idejo o univerzalni gravitaciji, ki združuje nebesno in zemeljsko gravitacijo.
Predstavitev 12.1: Izstrelki in tiri satelitov
Newton je pri svojem premišljevanju o težnosti spoznal,
da je vsak izstrelek, ki ga izstrelimo s površja Zemlje, v
nekem pogledu Zemljin satelit (pa eprav le za kratek
as). Primer takega satelita v naši animaciji je kamen, ki
ga vržemo z visoke zgradbe. Kamen leti po preprostem
tiru, ki kmalu preseka Zemljo nedale od to ke, iz katere
smo kamen vrgli.
e bi kroglo izstrelili z ve jo za etno hitrostjo, bi letela
dlje. Nadaljnje pove evanje hitrosti bi vodilo v še ve je
106
in bolj zaokrožene elipti ne poti (poti bi bile elipti ne, e Zemlja ne bi bila v napoto) ter bolj
oddaljene to ke tr enja. Kon no bi krogla pri neki dolo eni hitrosti izstrelitve odletela tik nad
Zemljinim površjem naokoli, ne da bi kdajkoli padla na tla. Pri ve ji hitrosti bi pot kamna imela
obliko kroga.
Pri zaporedoma ve jih izstrelitvenih hitrostih bi se krogla gibala po vedno ve ji elipti ni poti,
dokler se ne bi gibala tako hitro, da bi odletela v odprt paraboli en ali (pri še ve ji izstrelitveni
hitrosti) v še bolj sploš en hiperboli en tir, ter se nikoli ve ne bi vrnila nazaj v svojo izhodiš no
to ko.
Ta predstavitev omogo a spreminjanje izstrelitvene hitrosti (a ohranja smer izstrelitve) s pomo jo
miške. Klikni "+" za pove anje izstrelitvene hitrosti in "-" za njeno zmanjšanje. S pritiskom na
gumb "Start" boš izstrelil kroglo. Gumb "Reset" ti omogo a ponastavitev parametrov nazaj na
njihove privzete vrednosti. Rde e puš ice predstavljajo vektor hitrosti. Z levim miškinim
gumbom klikni blizu vrha puš ice ter povleci miško; s tem boš spremenil tako za etno hitrost
krogle kot tudi njeno smer. S klikom na desno tipko miške lahko zaustaviš animacijo, s ponovnim
klikom pa animacijo nadaljuješ. Kdaj bo krogla za ela leteti ne da bi udarila na tla? Kdaj bo
gibanje postalo krožno gibanje? Poskusi ozna iti izbiro "full" in ugotovite, kaj se bo zgodilo.
Predstavitev 12.2: Tiri in masa planeta
Pri preu evanju elipti nih tirov planetov (prvi Keplerjev zakon) predpostavimo, da je Sonce
nepremi no v enem fokusu elipse. Zakaj se to zgodi? Masa Sonca mora biti veliko ve ja kot mase
planetov, da lahko zanemarimo gibanje Sonca. Kako velika mora biti masa Sonca, da dobimo
tako idealizirano gibanje planetov? Napotek: Sonce je približno 1000 krat težje od Jupitra (ki je
najtežji planet) in okoli 100 milijonov (108) krat težji od najlažjega planeta Plutona. Ponovni
zagon.
Ko spreminjaš razmerje mas v animaciji, se masa sistema spremeni tako, da produkt mas m1*m2
ostane enak. Zato bo ob spreminjanju razmerja mas sila ostala enaka za enak razmik med obema
masama.
107
Animacija Masa 1000:1 je zelo podobna sistemu Sonca in Jupitra (razdalja je podana v
astronomskih enotah (AE), as pa je podan v 108 sekundah). Zelen krog je kot Sonce, medtem
ko je rde krog kot Jupiter. Privla na sila, ki izvira iz gravitacije, je prikazana z modrimi
puš icami (ni prikazana v merilu), relativne kineti ne energije pa so prikazane kot funkcije asa
na grafu (pri tej animaciji ni podane enote za kineti no energijo, ker primerjamo relativne
vrednosti za vsak objekt). Ekscentri nost tira e = 0.048, razdalja perihelija (prison ja) in afelija
(odson ja) ter perioda planeta se ujemajo z Jupitrovimi.
Ali v animaciji Masa 100:1 "Sonce" ostane nepremi no? Kaj pa pri animaciji Masa 10:1?
Animaciji Masa 2:1? Animaciji Masa 1:1? Kaj misliš, da to pomeni za planetno dinamiko v
našem son nem sistemu?
Pri elipti nih tirih sila, ki izvira iz gravitacije, spreminja velikost, ker se spreminja oddaljenost.
Vendar so v vsakem trenutku sile gravitacijske privla nosti (sila zelenega kroga zaradi rde ega
kroga in sila rde ega kroga zaradi zelenega kroga) vedno enake. To je tretji Newtonov zakon. Ni
preve presenetljivo, da zakon univerzalne gravitacije (ki ga je opisal Newton) vsebuje tretji
zakon (ki ga je tudi opisal Newton).
Kaj pa se dogaja s kineti no energijo sistema kot funkcijo asa? Prav tako se spreminja. Vendar,
zakaj? Ko se oddaljenost med "Soncem" in "planetom" spreminja, se spreminja tudi gravitacijska
potencialna energija sistema. eprav se kineti na energija sistema spreminja, vsota kineti ne
energije in potencialne energije sistema mora ostati (in tudi ostane) konstantna skozi vse gibanje
teles.
Predstavitev 12.3: Kroženje in nekrožno gibanje
Planet (zelen) kroži okoli zvezde (oranžna),
kot prikazujeta obe animaciji. Ponovni zagon.
Prva animacija opisuje Enakomerno krožnenje
planeta, druga pa Nekrožno gibanje planeta
(lega je podana v 103 km, as pa v letih). V
tej predstavitvi bomo primerjali obe vrsti
gibanja. Osredoto ili se bomo predvsem na
hitrost in pospešek planeta v vsaki od
animacij.
Poženi animacijo Enakomerno kroženje
planeta in opazuj njegovo gibanje. Kako bi
opisal gibanje planeta (upoštevaj njegovo
hitrost in pospešek)? Hitrost planeta je gotovo
konstantna, saj je gibanje planeta enakomerno. e uporabljamo naše obi ajne xy koordinate, se
hitrost zagotovo spreminja s asom. Spomni se, da se izraz hitrost nanaša tako na velikost kot tudi
na smer. Vendar e za opis gibanja planeta uporabljamo radialno in tangencionalno smer, lahko
hitrost opišemo kot tangencialno, pospešek pa je usmerjen vzdolž radija (nasprotno od radialne
smeri). Klikni tu za prikaz vektorja hitrosti (moder) in rne tangente na pot. Klikni tu za prikaz
vektorja pospeška (rde ). Opaziš lahko, da vektor pospeška kaže proti srednji zvezdi.
Poženi animacijo Nekrožno gibanje planeta in opazuj njegovo gibanje. Kako bi opisal gibanje?
Kako bi sedaj opisal gibanje planeta (upoštevaj njegovo hitrost in pospešek)? Hitrost planeta
gotovo ni ve konstantna, saj gibanje planeta ni enakomerno. e ponovno uporabimo naše
108
obi ajne xy koordinate, se hitrost zagotovo spreminja s asom. Sedaj se spreminjata tako smer kot
velikost. Vendar e uporabljamo radialno in tangencialno smer glede na pot planeta, lahko hitrost
opišemo kot tangencialno, pospešek pa je usmerjen vzdolž radija. Klikni tu za prikaz vektorja
hitrost (moder) in tukaj za prikaz vektorja pospeška (rde ). Opaziš lahko, da hitrost in pospešek
nista ve pravokotna na ve jem delu poti planeta.
Opaziš lahko, da med to kama A in C planet pospešuje, med to kama C in A pa planet
upo asnjuje. To pomeni, da je v to kah A in C tangencialna komponenta pospeška enaka ni . Za
planet, ki kroži okoli zvezde, se izkaže, da je pospešek planeta usmerjen natanko proti zvezdi, e
v bližini ni drugih planetov ali zvezd, ne glede na to, ali je gibanje planeta enakomerno ali ne.
Predstavitev 12.4: Vrtilna koli ina in ploš ina
ravni rti, popiše enake ploš ine v enakih asih?
e na sistem ne deluje isti zunanji navor,
ostane vrtilna koli ina delca konstantna. V tej
predstavitvi je delec prost, zato se mora vrtilna
koli ina ohranjati. Ali obstaja druga en na in
za izražanje koncepta ohranitve vrtilne
koli ine? Morda. Preu i naslednji stavek: ali
delec opiše enake ploš ine v enakih asih (z
ozirom na katerokoli izhodiš e)? Posebej v
naši predstavitvi, ali prosti delec, ki se giblje v
S klikom na gumb "start" poženi animacijo in se prepusti predstavitvi: rna to ka se bo prosto
gibala od leve proti desni. Razli ne barve prikazujejo ploš ine, ki jih delec opiše z ozirom na
neko stalno to ko (izhodiš e). Ali so vse ploš ine enako velike? Klikni znotraj vsake ploš ine in
videl boš, kaj se bo zgodilo. Seveda iz matemati nih ena b poznamo ploš ino trikotnika, ki je
enaka osnovnica * višina / 2. Vse ploš ine imajo enako višino in tudi enako širino.
Drugi Keplerjev zakon pravi, da v enakih asovnih intervalih opiše radij vektorja od sonca proti
planetom enake ploš ine. Kaj ti to pove o vrtilni koli ini planetov? Kaj ti to pove o gibanju
planetov?
Predstavitev 12.5: Drugi Keplerjev zakon
Planet kroži okoli zvezde na osnovi gravitacije (razdalja
je podana v astronomskih enotah (AE) in as v letih;
skupna ploš ina, ki jo opiše tir planeta, je podana v
AE2). Animacija se za ne v to ki afelija, ki je to ka
najve je oddaljenosti planeta od zvezde. Planetov tir je
elipti en, prikazana je njegova sled pri kroženju okoli
zvezde. Drugi Keplerjev zakon pravi, da v enakih asih
planeti opišejo enake ploš ine v svojih tirih. Kaj to
pomeni za tir planeta? e bi planet imel krožen tir, bi bil
planet podvržen enakomernemu kroženju in drugi
Keplerjev zakon je le potrditev enake hitrosti. To
109
potrjuje trditev o enakomernem kroženju. Torej pri elipti nih tirih gibanje planeta ne more biti
enakomerno. Ponovni zagon.
Za ni pri t = 0 in izvajaj animacijo 3 leta (ne pravega asa, ampak asa animacije!). Koliko
ploš ine popiše planet v tem asovnem intervalu? Ta ploš ina je 28.431 AE2. Kaj pa od 3 do 6
let? Ploš ina je ponovno 28.431 AE2. Ali je pomembno, kje na tiru se nahajaš? Ne. Poskusit sam.
Kadar je planet bližje zvezdi, se njegova hitrost ve a. Kadar je planet bolj oddaljen od zvezde, se
njegova hitrost manjša.
Kaj nam torej drugi Keplerjev zakon v resnici pove? Opisovanje enakih ploš in pomeni, da se
vrtilna koli ina ohranja! Vemo tudi, da e se vrtilna koli ina ohranja (glej Poglavje 11), ni
nobenega istega navora. Tu je gravitacija edina sila, ki deluje med planetom in soncem, in
gravitacija ne more ustvariti navora, ker sila ter radij- vektor med planetom in soncem ležita na
isti premici.
Predstavitev 12.6: Heliocentri en napram geocentri en
Se Zemlja vrti okoli Sonca ali
se vrti Sonce okoli Zemlje?
Dolgo asa so ljudje mislili,
da je Zemlja nepremi na (ali
kot pravi dokaz, sicer bi ptice
odneslo z vej!) in da Sonce
kroži okoli Zemlje. Iz tega
prepri anja
izhajata
tudi
izraza son ni vzhod in son ni
zahod. Vendar pa Sonce ne
kroži okoli Zemlje; je ravno
nasprotno. Poleg tega je
gibanje planetov, kot ga vidimo iz referen nega sestava Sonca (heliocentri ni referen ni sestav),
precej preprosto. Vendar pa je gibanje ostalih planetov iz glediš a vsakega posameznega planeta
(geocentri ni referen ni sestav Notranjega planeta in Zunanjega planeta) precej zapleteno.
Geocentri ni pogled je natanko to, kar vidimo na Zemlji, ko opazujemo Sonce in ostale planete
Son nega sistema.
V tej predstavitvi imamo dva planeta (rde krog predstavlja notranji planet, zelen krog pa je
zunanji planet), ki krožita okoli središ ne zvezde (oranžen krog), kot prikazuje animacija. Poleg
animacije iz referen nega sestava zvezde (heliocentri ni pogled) prikazujeta drugi dve animaciji
gibanje, kot ga lahko vidimo iz vsakega od referen nih sestavov planeta (geocentri ni pogled).
Pri ogledu animacij upoštevajte, da se pri animaciji Notranji planet, e je rde i planet Zemlja,
zeleni planet obnaša kot Mars, ki ga opazujemo z Zemlje. Pri animaciji Zunanji planet pa se, e je
zeleni planet Zemlja, rde i planet obnaša kot Venera, kot jo lahko opazujemo z Zemlje.
110
Raziskava 12.1: Razli na xo ali vo za tire planetov
Ta raziskava prikazuje 10 enakih planetov, ki krožijo
okoli zvezde. Za etne pozicije planetov lahko nastaviš
pri t = 0 asovnih enot, ko se planeti nahajajo na osi x.
Razlika v orbitah planetov torej izhaja iz za etnih
hitrosti planetov (v tej animaciji je GM = 1000).
Ponovni zagon.
a. Kako se spreminjajo orbite planetov, ko
spreminjaš za etne pozicije planetov?
b. Poiš i planet, ki se giblje krožno. Kakšna je
perioda tega gibanja?
c. Kaj se zgodi s tirom, ko x postane zelo majhen?
d. Kaj se zgodi s tirom, ko x postane zelo velik?
Ta del raziskave prikazuje 10 enakih planetov, ki krožijo
okoli zvezde. Za etne hitrosti planetov lahko nastaviš pri
t = 0 asovnih enot, ko se planeti nahajajo na osi x.
e. Kako se spreminjajo orbite planetov, ko
spreminjš za etne hitrosti planetov?
f. Poiš i planet, ki se giblje krožno. Kakšna je
perioda tega gibanja?
g. Kaj se zgodi s tirom, ko "v" postane zelo
majhen?
h. Kaj se zgodi s tirom, ko "v" postane zelo velik?
Raziskava 12.2: Nastavi xo in vo za tire planetov
Ta raziskava prikazuje planet,
ki kroži okoli zvezde. Za etno
pozicijo planeta v smeri x in
za etno hitrost planeta v smeri
y lahko nastaviš pri t = 0
asovnih enot, ko se planet
nahaja na osi x. Razlika v
orbitah planeta torej izhaja iz
za etne pozicije in hitrosti
planeta (v tej animaciji je
GM = 1000). Ponovni zagon.
111
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
Kako se spreminjajo tiri planeta, ko spreminjaš za etno hitrost planeta?
Kaj se zgodi s tirom, ko x0 postane zelo majhen (nastavite v0y = 10)?
Kaj se zgodi s tirom, ko x0 postane zelo velik (nastavite v0y = 10)?
Kaj se zgodi s tirom, ko v0y postane zelo majhen (nastavite x0 = 5)?
Kaj se zgodi s tirom, ko v0y postane zelo velik (nastavite x0 = 5)?
Poiš i pogoj za kroženje.
Kakšna je perioda pri kroženju?
Kaj se je dogajalo z vrtilno koli ino med vsako od raziskav tekom asa? Zakaj?
Nastavi x0 = 10. Kakšen tip orbite potem dobimo za majhne v0?
Kakšen mora biti v0, da dobimo pri x0 = 10 krožno pot?
Z ve anjem v0 (x0 = 10) pot spreminja obliko. Kakšna je njena oblika, ko ravno
prekora imo hitrost, ki jo potrebujemo za krožno pot?
l.
e še bolj pove ujemo v0 (x0 = 10), na koncu dosežemo stanje “pobega”. S premislekom
o energiji predvidi, kakšna naj bi bila ta hitrost za pobeg.
m. Za katerokoli krožno pot predvidi (in potem tudi preveri na grafih), kako se lahko
veli ina potencialne energije primerja s kineti no. Podobno naredi tudi za hitrost pri
pobegu.
n. Opaziš lahko, da za podano pot ostane vrtilna koli ina nespremenjena. Kako je to
povezano z drugimi koli inami iz tabele (v simulacijskem oknu)? Kaj pomeni kot
“theta”?
Ko dobiš lep graf, ga klikni z desno miškino tipko, da ga podvoji (odpreš v novem oknu), nato pa
ga lahko pove aš, da bo bolje viden.
Raziskava 12.3: Lastnosti elipti nih tirov.
Planet (zelen) kroži okoli zvezde (rumena), kot prikazuje
animacija. Ponovni zagon.
Na kos papirja skiciraj vektorje za hitrost, radialno
komponento pospeška in tangencialno komponento pospeška.
Dolžine vektorjev naj nakazujejo njihove jakosti.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Razvrsti to ke A do E po hitrosti planeta v tej to ki.
Razvrsti to ke A do E po potencialni energiji planeta.
Razvrsti to ke A do E po kineti ni energiji planeta.
Razvrsti to ke A do E po skupni energiji planeta.
V kateri od to k A do E je pospešek planeta enako usmerjen kot njegova hitrost?
Kaj lahko poveš o smeri pospeška planeta v katerikoli to ki na njegovi poti? Ali bi ta
pospešek imenovali tangencialni pospešek ali radialni pospešek?
Klikni tu za prikaz vektorja hitrosti (moder) in vektorja pospeška (rde ). Kar vidiš, primerjaj s
tvojimi odgovori na vprašanja a do f.
112
Raziskava 12.4: Vrtilna koli ina in energija
Planet (z maso enako masi Zemlje)
kroži okoli zvezde, kot prikazuje
animacija (lega je podana v
astronomskih enotah (AE) in as v
letih). Poleg animacije je tudi
grafi ni prikaz energije planeta.
Prikazane so tri krivulje: skupna
efektivna potencialna energija v
rni,
gravitacijska
potencialna
energija v modri ter v rde i
efektivna rotacijska potencialna
energija, predstavljena z izrazom:
L2/2mR2. Svetlejša modra rta predstavlja skupno energijo planeta kot funkcijo razdalje do
osrednje zvezde R. Ponovni zagon.
a. Kaj se zgodi z rde o krivuljo, e spremenimo za etno hitrost planeta?
b. Kaj se zgodi z modro krivuljo (potencialna energija), e spremenimo za etno hitrost
planeta?
c. Kaj se zgodi z svetlo modro krivuljo (skupna energija), e spremenimo za etno hitrost
planeta?
Sedaj pretehtaj skupno energijo in vrtilno koli ino, ki sta izra unana v tabeli. Preglej primere
krožnega, omejenega in neomejenega tira.
d. Kako se spreminjajo vrednosti za skupno energijo in kotni moment, ko spremenimo tip
orbite?
e. Ali lahko poiš eš splošno pravilo, ki pove, ali je tir omejen?
f. Poskusi raziskati razli ne vrednosti za etne hitrosti.
Ko dobiš lep graf, ga klikni z desno miškino tipko, da ga podvoji (odpreš v novem oknu), nato pa
ga lahko pove aš, da bo bolje viden.
Poglavje 13: Statika
Statika je v osnovi preu evanje teles v stati nem ravnovesju. Za stati no ravnovesje morata biti
zadovoljena dva pogoja: skupna sila, ki deluje na telo mora biti enaka ni in skupni navor, ki
deluje na telo mora biti enak ni . Preden smo prešli na statiko smo zato najprej obdelali vrtenje. V
splošnem velja, da je vsako telo, ki se giblje s konstantno hitrostjo (mišljeno je gibanje masnega
središ a) in s konstantno kotno hitrostjo v stati nem ravnovesju. Kljub temu pa se pogoji za
stati no ravnovesje najve krat nanašajo na telesa, ki so primiru in se ne vrtijo. V mnogih
disciplinah, še posebej v strojništvu, je razumevanje na el statike bistvenega pomena. Ne
nazadnje upamo, da bodo naše zgradbe, mostovi, žerjavi in druge konstrukcije ohranili stati no
ravnovesje.
113
Predstavitev 13.1: Ravnovesje na klancu
Lesena klada leži na klancu tako kot je prikazano
v animaciji (položaj je podan v metrih). Drsnik
omogo a nadzor nad strmino klanca. Rde i vektor
predstavlja težo klade, modri vektor pa
predstavlja normalno komponento sile klanca na
klado. eprav je sila lepenja pri obravnavi tega
primera prav tako pomebna kot prikazani sili,
njen vektor v animaciji ni prikazan. Tako se lažje
osredoto imo na težo in normalno komponento
sile klanca. Ponovni zagon.
Preu i klanec, ko ta ni nagnjen. Animacija 1.
Celotna spodnja ploskev klade se dotika klanca.
To pomeni, da normalna komponenta sile klanca
na klado ne deluje le v eni to ki, temve je
porazdeljena po celotni spodnji ploskvi klade.
Temu pravimo porazdeljena obremenitev. Kljub
temu smo normalno komponento sile klanca na
spodnjo ploskev klade predstavili le z enim vektorjem. Kam pa je potrebno postaviti vektor, ki
predstavlja normalno komponento sile klanca? Normalno komponento sile klanca smo postavili
na tako mesto, da je navor zaradi te sile enak skupnemu navoru porazdeljene obremenitve klanca
na klado. Ko klanec ni nagnjen, smo potemtakem postavili normalno komponento sile klanca
tako, kakor da bi delovala na sredini spodnje ploskve klade.
Preden pove aš višino klanca, poskušaj napovedati kaj se bo zgodilo z normalno komponento sile
klanca na klado. Bo ostala na istem mestu, ali se bo premaknila? e se bo premaknila, v katero
smer se bo premaknila? Sedaj pove aj višino klanca na 0,35 m. Bodi pozoren na položaj
normalne komponente sile. Ali si napovedal pravilno?
Nagib klanca je lahko tudi prestrm, da bi klada ostala v ravnovesju. e je sila lepenja dovolj
velika, da ne dopusti kladi zdrseti, potem se pri takem nagibu klada prevrne. Vzrok temu
je neuravnovešen navor, ki povzro i "vrtenje" klade. Kje bo delovala normalna komponenta sile
klanca na klado, ko se bo klanec nahajal v opisanem položaju? Sedaj pove aj višino klanca na
najve jo vrednost. Ali so tvoje napovedi izkazale za pravilne?
Pri tem nagibu bi se klada prevrnila. Pri animaciji 2 pa lahko pove aš višino klanca preko to ke,
pri kateri se klada prevrne. Animacija bo v tem primeru prikazala normalno komponento sile, ki
je potrebna, da se klada ne prevrne. Opaziš lahko, da je prikazana animacija nenaravna.
Kaj opaziš, e si pozoren na to ko, v kateri se sekata vektorja teže klade in normalne komponente
sile klanca na klado. Poskušaj dokazati, da je to ka, v kateri vektor teže klade seka spodnjo
ploskev klade, ista kot to ka, v kateri deluje normalna komponenta sile klanca na klado. Pri tem
upoštevaj pogoje stati nega ravnovesja.
114
Predstavitev 13.2: Masno središ e in gravitacija
Prva animacija prikazuje dve kladi z isto
maso (položaj je podan v metrih). Masno
središ e celotnega sistema je prikazano z
rde o piko. Povleci desno klado na desno ali
levo. Kaj lahko opaziš, e opazuješ položaj težiš a sistema, medtem ko premikaš klado. Ponovni
zagon.
Sedaj predpostavljaj, da imata kladi
razli no maso, kakor je prikazano v
animaciji 2. Ali je sedaj masno središ e v
središ u sistema? Z opazovanjem položaja
težiš a lahko ugotoviš katera od obeh klad ima ve jo maso. Katera je torej bolj masivna?
Kako lahko izra unamo razmerje med masama rde e in modre klade? e sestavljata sistem le dve
kladi, potem je razmerje oddaljenosti prve in druge klade od težiš a enako razmerju njunih mas.
e potemtakem izmerimo razdaljo obeh klad do skupnega težiš a, lahko izra unamo razmerje
med njunima masama.
Na podlagi položaja in mase enodimenzionalnega sistema dveh predmetov lahko izrazimo njuno
skupno masno središ e na naslednji na in:
Xmasno središ e = (x1m1 + x2m2)/(m1 + m2).
Pojem, ki je soroden masnemu središ u, je težiš e. Pogosto se njuna uporaba prepleta in
zamenjuje. Težiš e je definirano kot to ka sistema, glede na katero je navor teže enak ni in za
katero lahko smatramo, da v njej deluje teža. Težiš e upošteva dejstvo, da sta teža in gravitacijski
pospešek razli na na razli nih višinah od površine zemlje. V naše primeru sta masno središ e in
težiš e ena in ista to ka. Le v primeru, ko je sistem zelo velik, je lahko gravitacijski pospešek v
razli nih delih sistema razli en, kar lahko povzro i, da se masno središ e in težiš e razlikujeta.
Predstavitev 13.3: Sila in navor v ravnovesju
Animacija 1 prikazuje tog drog z enakomerno
maso, ki leži na mizi brez trenja. Animacija je
prikazana iz pti je perspektive.
rn krog
predstavlja položaj masnega središ a. (položaj je
podan v metrih, navor pa je podan v newton
metrih). Ponovni zagon.
Animacija 2 prikazuje sile, ki delujejo na drog
(teža in normalna komponenta podlage se izni ita
in nista prikazani, delujeta pa v smeri, ki je
pravokotna na mizo. Predpostavljaj, da so dolžine prikazanih vektorjev sil premosorazmerne
velikosti teh sil, ki so izražene v merskih enotah newton. Ali je drog v ravnovesju, e so
prikazane sile edine sile, ki delujejo na drog.
115
e so prikazane sile edine sile, ki delujejo na drog, potem ta ni v ravnovesju, saj nam seštevanje
vektorjev sile pokaže, da skupna sila, ki deluje na drog ni enaka ni . Ker je skupna sila razli na
od ni , ima masno središ e pospešek in zato se njegova hitrost spreminja. Poleg tega nam
seštevanje navorov, ki delujejo na drog glede na njegovo masno središ e pokaže, da je skupni
navor okoli masnega središ a razli en od ni . Drog bo imel zato spremenljivo kotno hitrost v
smeri iz zaslona.
Predpostavljaj, da želimo, da bi bil drog v ravnovesju. Kakšno dodatno silo na drog moramo
dodati obstoje im?
Upoštevaj pogoje stati nega ravnovesja. Skupna sila na drog mora biti enaka ni .
e sešteješ
vse prikazane sile, ki delujejo na drog (kot je prikazano v animaciji 2), lahko ugotoviš, da vsota ni
enaka ni . Na drog je potrebno torej delovati z dodatno silo, ki je enaka negativni vsoti vseh
ostalih sil na drog.
Na katerem mestu mora delovati dodatna sila?
Za stati no ravnovesje mora biti tudi skupen navor, ki deluje na drog, enak ni . Navor zaradi
dodatne sile, ki deluje na drog, mora biti torej enak negativni vsoti navorov vseh ostalih sil na
drog. S tem ko poznaš navor in silo, ki sta potrebni za ravnovesje droga, lahko izra unaš to ko v
katerem mora sila delovati na drog.
V animaciji 3 dodaj ustrezno dodatno silo, da bo po novem drog v ravnovesju. Prilagodi velikost
in smer modrega vektorja sile ter ga postavi na pravo mesto. Nato preveri svojo rešitev. Videl boš
rde vektor, ki predstavlja novo skupno silo, in izra un novega skupnega navora v zeleni barvi
(navor je podan v smeri koordinate z in je pozitiven v smeri iz zaslona). e je nova skupna sila
enaka ni , potem bo dolžina rde ega vektorja enaka ni in ta ne bo viden. Ko bo drog v
ravnovesju bo rde vektor, ki predstavlja skupno silo, izginil, izra un skupnega navora pa bo ni .
V takem primeru je tvoja rešitev pravilna. e tvoja rešitev ni pravilna, ponovi svoj izra un,
prilagodi velikost, smer in položaj modrega vektorja dodatne sile in ponovno preveri rešitev.
Predstavitev 13.4: Problem skakalne deske
Animacija 1 prikazuje 2 kilogramski zaboj, ki leži
0,3 metra od desnega roba deske z zanemarljivo
maso, animacija 2 pa 2 kilogramski zaboj, ki leži
prav tako 0,3 metra od desnega roba deske z maso
10 kg. Dve podpori (podpora 1 in podpora 2)
podpirata desko na levi in desni strani, kot je
prikazano z dvema vektorjema sile (položaj je
podan v metrih). Puš ici predstavljata relativno
velikost vektorjev sile, natan no velikost sile in
razdaljo med prijemališ i sil pa je mo razbrati iz
tabele. Deska je dolga 6 metrov, podpora 1 pa se nahaja 0,3 metra od njenega levega roba.
Ponovni zagon.
116
Preu i razmere v animaciji 1, v kateri ima deska zanemarljivo maso. Kakšna je odvisnost
velikosti sil, ki ju izvajata podpori na desko od položaja desne podpore? To podporo lahko
premikaš ter opazuješ velikosti sil obeh podpor na desko. Ko ima deska zanemarljivo maso,
obstajajo tri sile, ki delujejo na desko: teža zaboja in sili obeh podpor. Kaj opaziš, ko premikaš
podporo 2 levo in desno? Ko je premi na podpora v skrajno desnem položaju, je sila nepremi ne
podpore enaka ni , sila premi ne podpore pa nevtralizira silo (težo) zaboja. To se zdi logi no.
Vendar pa se lahko vprašamo, zakaj sta sili obeh podpor ravno takšni. Na prvi pogled se zdi, da bi
bila tudi druga na porazdelitev podpornih sil, na primer F1 = 10 N in F2 = 9,6 N v redu, ali ne?
To bi zagotovo pomenilo, da je vsota vseh sile enaka ni . Kaj pa bi bilo z vsoto navorov? Vsota
navorov, bi bila razli na od ni ne glede na to, od kod bi merili navore. Deska bo v ravnovesju le
v primeru, e bo sili teže zaboja na istem mestu nasprotovala njej enaka vendar nasprotno
usmerjena sila. Medtem ko premikaš premi no podporo proti levi, lahko opaziš, da obe podporni
sili naraš ata in da je sila, ki jo izvaja nepremi na podpora negativna. Tak rezultat lahko
razumemo, e izmerimo navore na deski glede na prvo podporo. Ker sile delujejo v smeri y in ker
so ro ice navorov postavljena v smeri x, so velikosti navorov enake rF. Dožina ro ice pri navoru
teže zaboja je vedno enaka 5,4. Dolžina ro ice pri navoru premi ne podpore se spreminja s tem
ko podporo premikamo. e torej premi no podporo premaknemo proti levi, se mora sila, ki jo
izvaja ta podpora na desko pove ati, da ostane navor podpore enak (in nasproten) navoru teže
zaboja. Ko na podlagi potrebnega navora dolo imo silo premi ne podpore, lahko dolo imo tudi
silo nepremi ne podlage na desko, saj velja, da mora biti vsota vseh sil enaka ni .
Sedaj preu i razmere v animaciji 2, kjer ima deska
maso 10 kilogramov. Kakšna je sila, s katero
delujeta obe podpori na desko, v odvisnosti od
položaja zaboja? Tudi sedaj lahko desno podporo
premikaš in opazuješ spremembe podpornih sil.
Sedaj, ko ima deska nezanemarljivo maso, imamo
opravka s štirimi silami: teža zaboja, teža deske in
sili obeh podpor. Za zgornji primer opisana analiza
velja tudi v tem primeru s tem, da je potrebno
upoštevati eno dodatno silo in s tem tudi en
dodaten navor. Ponovno poskusi premikati premi no podporo in opazuj sile. Kaj se zgodi s
silami, ko je razdalja med podporami enaka 3,15 metra? Kaj pa ko je razdalja enaka 2,7 metra?
Raziskava 13.1: Ravnovesje vise e skulpture s premi nimi deli.
V sistemih, kjer je gravitacijski pospešek prakti no enak v vseh njegovih to kah, se težiš e
sistema nahaja v isti to ki kot masno središ e sistema. V tej raziskavi bomo torej govorili in
ra unali masno središ e. Ponovni zagon.
Pri vise i skulpturi se njeno masno središ e nahaja
natan no pod nitko, s katero je skulptura pritrjena na
strop. e ne bi bilo tako, bi bila vsota vseh navorov
razli na od ni in bi povzro ila premik skulpture, vse
dokler ne bi bil dosežen ta pogoj. Preu i skulpturo,
izdelano iz dveh klad, tako kot je prikazano v
animaciji (položaj je podan v metrih). Masa modre
117
klade je 0,050 kg. Predpostavljaj, da sta palica in vrvica s katero sta kladi povezani, zanemarljivo
lahki.
a. Kolikšna mora biti masa zelene klade, e želimo, da bo celotna skulptura iz animacije 1 v
ravnovesju?
Pri odgovoru na to vprašanje, moraš upoštevati pogoje za ravnovesje. Skupni navor na vodoravni
palici okoli to ke pri kateri je z vrvico palica pritrjena na strop, mora biti enak ni . Potemtakem
mora biti velikost navora zaradi napetosti leve vrvice enaka velikosti navora zaradi napetosti
desne vrvice.
b. Predpostavljaj, da želiš nadomestiti zeleno klado s sistemom dveh teles, kakršna je
prvotna skulptura, le da bi ga sestavljala telesa z manjšo maso, kakor je to prikazano v
animaciji 2. Kakšni sta masi rde e in oranžne klade?
To vprašanje je podobno prejšnjemu, le da nas tokrat
zanima ravnovesje palice, ki povezuje rde o in oranžno
klado. Ko pa želimo rešiti ena bo, v kateri mora biti
skupen navor enak ni , se pojavi problem. Masi obeh
klad, rd e in oranžne, sta neznani. V prejšnjem problemu
smo poznali maso ene klade in na tej podlagi izra unali
maso druge.
c. Za rešitev problema moramo poznati nekaj ve o razmerju med rde o in oranžno klado.
Zeleno klado iz prvotne skulpture smo nadomestili z rde o in oranžno klado. Kakšno je
torej razmerje med masami teh treh teles?
d. To postaja zanimivo. Predpostavljaj, da želiš sedaj zamenjati oranžno klado z novim
sistemov dveh klad, kakor je to prikazano v animaciji 3. Kakšni sta masi rumene in
vijoli aste klade?
e. Kje se nahaja masni center sistema štirih klad?
Ker sedaj poznaš mase klad, izmeri koordinati x in y za vsako klado in izra unaj koordinato
masnega središ a.
f.
Sedaj v animaciji poiš i to ko, ki predstavlja
pravkar izra unano masno središ e. Ugotoviš
lahko, da se nahaja neposredno pod vrvico s
katero je celotna skulptura pritrjena na strop.
In tako je tudi prav!
Opaziš lahko, da z dodajanjem novih sistemov na levo stran skulpture nismo spremenili
koordinate x masnega središ a. Spremenila pa se je koordinata y, saj se je vsak na novo dodani
sistem dveh teles nahajal nekoliko nižje. Zato se je zmanjšala tudi koordinata y masnega središ a.
Tovrstno premikanje masnega središ a v navpi ni smeri pa ni vplivalo na ravnovesje celotne
vise e skulpture.
118
Raziskava 13.2: Lepljenje pri vodoravni palici
Leseno palico pritiskaš vodoravno proti zidu, kakor to prikazuje animacija (položaj je podan v
metrih). Ponovni zagon.
a. Kakšne sile delujejo na leseno
palico? Nariši skico, ki prikazuje
leseno palico in nanjo delujo e sile
ter njihove položaje. Svojo skico
primerjaj s skico prikazano v
animaciji 2.
b. Katera sila v smeri +y nasprotuje
teži lesene palice? Ta sila je
vzporedna s površino zidu in tistega
dela palice, kjer se zid in palica
dotikata.
c. Ali v tem primeru veš, e je sila lepljenja zidu na palico enaka svoji najve ji možni
velikosti?
V animaciji 3 lahko spreminjaš velikost sile pritiskanja palice proti zidu tako, da klikneš in
premikaš beli krog na koncu vektorja, ki predstavlja silo pritiskanja. Pri tem se najve ja sila
lepljenja (prikazana z rde im vetorjem) sproti ustrezno prilagaja. V primeru, ko je dejanska sila
lepljenja ( rni vektor) enaka najve ji možni sili lepenja (rde i vektor), je palica še vedno v
ravnovesju. V takem primeru je sila s katero pritiskamo palico proti zidu najmanjša tovrstna sila,
ki ohranja palico v ravnovesju. e bi palico potiskal s še manjšo silo, bi palica padla.
V animaciji 4 lahko spreminjaš velikost sile pritiskanja palice proti zidu tudi tako, da je ta manjša
od mejne velikosti, ki je še potrebna, da ostane palica v ravnovesju in ne pade. e je najve ja
možna sila lepljenja manjša od te mejne sile lepljenja, bo palica padla. Animacija je glede te
situacije nedosledna, saj bo tudi v primeru, ko velja fs max < fs, palica v animaciji še vedno ostala
na mestu.
Raziskava 13.3: Porazdeljeno breme
Zaboj leži na deski z zanemarljivo težo. Dve
podpori delujeta na desko s silo na levi in
desni strani (položaj je podan v metrih).
Puš ici predstavljata relativni velikosti
vektorjev obeh sil. Ponovni zagon.
a. Kako vpliva položaj zaboja na deski na sili, ki jih izvajata obe podpori? Zaboj lahko
premikaš v levo in desno in opazuješ spreminjanje sil s katerima delujeta podpori na
desko.
Predpostavi, da se zaboj nahaja natanko na pol poti med sredino deske in desno podporo.
b. Kakšno je razmerje med velikostmi sil, s katerima delujeta podpori na desko?
119
Preu i situacijo, v kateri ima deska nezanemarljivo težo.
c. Kakšne so v takem primeru sili obeh podpor, e se zaboj nahaja neposredno iznad ene
izmed podpor (na primer iznad leve podpore). Odgovor preveri z anmacijo 2.
d. Kakšno je v tem primeru razmerje med težo deske in težo zaboja?
Raziskava 13.4: Zlaganje opek
Kako lahko zložiš štiri polne opeke, eno navrh
druge, tako da bodo segale ez rob mize, kolikor se
da, in v takem položaju še vedno ostale stabilne?
Pravila: Opeke lahko premikaš vodoravno s
pomo jo miške (položaj je podan v desetinkah
palca; vsaka opeka je torej dolga en evelj).
Stabilnost vsake opeke je prikazana s pomo jo
barve:
•
•
•
zelena: opeka je v stabilnem ravnovesju
rumena: težiš e opeke ali skupine opek se nahaja natanko nad robom podporne opeke.
rde a: opeka je nestabilna; v pravem okolju bi padla.
Težiš e vsake izmed opek je prikazano z majhno modro piko. Trenutnen položaj miške (relativno
glede na zgornji levi kot mize) je prikazan v zgornjem delu animacije. e pritisneš gumb "prikaži
težiš e", se bodo v animaciji prikazala težiš a podsistemov opek, in sicer za podsisteme: zgornja
opeka, zgornji dve opeki, zgornje tri opeke in vse štiri opeke. Težiš a podistemov se bodo
prikazala z majhnim krogom in puš ico. Dolžina puš ice je sorazmerna s težnostno silo vsakega
izmed podsistemov. e povzamemo:
Položaj levega roba vsake opeke je izpisan v rde i barvi.
Položaj težiš a vsake opeke je prikazan v modri barvi.
Položaj težiš a podsistemov opek je prikazan v rni barvi.
a. Kakšen je pogoj za stabilnost predmeta, ki sega preko roba mize?
b. Kako mora biti postavljena vsaka opeka glede na opeko na kateri leži? Pri razlagi uporabi
pojem težiš a. Namig: Za ni na vrhu kupa, nato pa se premikaj navzdol.
c. Ali lahko vrhnja opeka v celoti sega preko roba mize?
d. Izziv: Poskušaj najti matemati ni opis ležanja preko roba za posamezne opeke in za
celoten sistem.
120
Del 2: Teko ine
Poglavje 14: Mirujo e teko ine
Poglavje o teko inah nam prinaša uporabo Newtonovih zakonov in zakona o ohranitvi energije.
Namesto o masi in sili govorimo o gostoti in tlaku, kar pa ne spremeni zakonov. Le uporabimo jih
pri drugih vsebinah. To poglavje se osredoto a na mirujo e, t. i. stati ne teko ine. Teorija nam
omogo a razumevanje sprememb tlaka v teko inah in plavanje (oziroma potapljanje) teles v njih.
Predstavitev 14.1: Tlak v mirujo i teko ini
Pri teko inah, namesto o silah, obi ajno govorimo o tlaku, ki je
koli nik sile, ki deluje na dolo eno ploskev, torej: p= F/S.
Smer sile v teko ini je namre odvisna od oblike posode, v
kateri je, in od velikosti posode. Sila teko ine na steno posode
je pravokotna. Tlak ni vektorska koli ina in nima smeri.
(položaj merilnika je na animaciji je zapisan v metrih, tlak
pa v paskalih). Ponovni zagon.
Premikaj merilnik tlaka v cevi in si zapisuj meritve ( tlak je
edina merljiva koli ina kot je opisano spodaj). Pa poglejmo
zakaj tlak naraš a z globino. Vzemimo, da je modra teko ina
voda (gostota 1000 kg/m3). Vzemimo to ko nekje v zgornjem
delu posode. e je posoda valj s premerom 1 m, kolikšna je torej prostornina vode nad to to ko?
Kolikšna je masa vode in kolikšna je torej njena teža? Vzemimo primer, da je globina 3 m. Tlak
je tedaj 29,400 N/m2. Prostornina vode v posodi nad to to ko je 9.4 m3. Masa vode je produkt
prostornine in gostote vode, torej 9,400 kg in tako je teža vode 92,120 N.
Kolikšno silo povzro a voda na tej globini? Težo delimo s ploš ino preseka, ki je v tej to ki 3.14
m2. Ta tlak je enak od itku na animaciji. Enota za tlak je N/m2 = paskal (ozna imo Pa).
e smo natan ni, moramo re i, da je to sprememba tlaka in ne tlak. Privzeli smo, da je tlak na
gladini ni p = 0, kar pa ni res, saj je na površini zra ni tlak, ki je okoli 1 x 105 Pa. Tlak je torej
seštevek zra nega tlaka in tlaka zaradi teže teko ine. Tako lahko zapišemo ena bo:
p = p0 + gh
kjer je p0 tlak na gladini,
je gostota teko ine, g je težni pospešek in h je globina teko ine.
Kolikšen je tlak v to ki A? Dodaj drugi merilnik in ga izmeri.
121
Predstavitev 14.2: Hidravli no dvigalo
Animacija prikazuje model hidravli nega dvigala
(položaj bata je podan v centimetrih, sila v Newtonih
in as v sekundah). S plinom ali teko ino (na animaciji
je obarvana rumeno) napolnimo posodo in jo zapremo z
bati. Ponovni zagon.
Spomnimo se, da je tlak v teko ini na enaki globini
enak, sila roke, ki pritiska bat pa je veliko manjša od sile
telesa na drugi bat (10 krat manjša). To pa zaradi tega,
ker je površina batov, ki zapira teko ino v razmerju 1 :
10. Izra unajmo sedaj tlak, ki ga povzro a telo in tlak, ki
ga povzro a roka. Biti morata enaka. Razmerje sile in ploskve je na obeh straneh enako. Vstavi
novo vrednost za maso (med 100 in 300 kg) in poskusi.
Sedaj poženi animacijo. Roka se pomika navzdol, telo pa navzgor (premik telesa je zaradi
velikosti ploskve zelo majhen in ga ne opazimo). Kako visoko se lahko dvigne telo in zakaj?
Teko ina se iz leve posode preto i v desno.
Kolikšno je delo sile roke? Kolikšno je delo sile telesa? Delo sile roke je enako delu sile telesa. V
em je torej prednost hidravli nega dvigala? Prednost je, da lahko z majhno silo dvignemo nekaj
zelo težkega (npr. dvignemo avto v mehani ni delavnici). Napa no bi bilo misliti, da majhna sila
na dolgi poti vedno opravi enako dela kot velika sila na kratki poti. Toda roka v našem primeru
ne dviguje telesa direktno, tako je le pri hidravli ni dvigalki.
V našem primeru smo zanemarili tlak kot funkcijo globine. Privzamemo, da je tlak v posodi na
za etku in na koncu enak. Na animaciji je sila roke vendarle lahko ve ja kot je napisana, saj je
gladina teko ine na levi niže kot na desni.
Predstavitev 14.3: Vzgon
Vzgon je sila na telo v teko ini ( e je potopljeno
ali e plava) in je posledica razlike tlaka na
zgornjo in spodnjo ploskev. e telo splava, je
tlak ob spodnji ploskvi ve ji kot ob zgornji.
Spomni se, da je tlak koli nik sile in ploskve in,
e je tlak spodaj (ploskev v teko ini) ve ji kot
zgoraj (zgornja ploskev je v zraku), kaže
rezultanta sil navzgor.
Ta animacija prikazuje klado, ki jo položimo v
teko ino in v njej plava. Gostoto klade lahko
spremnijaš, e klikneš in povle eš klado zgoraj
levo na animaciji (klikni in povleci belo siv
vmesnik v pravokotniku). Graf desno spodaj
prikazuje, kako se spreminja tlak (p) v
122
odvisnosti od globine. e je rezultanta sil na telo, vzgon, enaka teži telesa (belo sivo rtast
kvader), le-ta plava v sivo obarvani teko ini. Posoda na levi spodaj prikazuje koliko teko ine
izpodrine potopljena klada.
Na primer, da je siva teko ina voda (gostota 1000 kg/m3). Gostota klade je manjša od gostote
vode in je izražena kot del gostote vode. Za nimo z gosototo klade 0.4 x 1000 kg/m3 = 400 kg/m3.
Približno 40% klade je potopljene, ko plava na vodi. Na primer, da je klada kocka s stranico 1 m.
Najprej poiš imo rezultanto sil na kocko, ko plava s tem, da bomo izra unali tlak ob spodnji
ploskvi.
Tlak je odvisen od globine in gostote teko ine teko inegh (kjer je gostota teko ine, g težni
pospešek, in h globina teko ine), kolikšen je torej tlak ob spodnji ploskvi? Je pzra ni + teko inegh ,
e vzameno h = 0.4 m. Kolikšen je tlak ob zgornji ploskvi? Je le patm. Torej je vsota sil na telo F =
p S = teko inegh S = 400 N, kar mora biti enako teži kocke, saj je ta v ravnovesju. Zakaj lahko
zanemarimo sile na stranske ploskve?
Animacija prikazuje tudi koli ino teko ine, ki jo je klada izpodrinila (na levi). Kolikšna je njena
prostornina? e upoštevamo gostoto vode, kolikšna je njena teža? Ta teža je enaka sili vzgona.
e vzamemo klado iz vode, lahko izpodrinjeno teko ino zlijemo nazaj v posodo in teža vode
nadomesti težo klade. To pomeni, da je vzgon posledica razlike tlakov na razli nih globinah in je
tudi enak teži izpodrinjene vode, kar kaže tudi spodnja ena ba
Fvz =
teko inegVizpodrinjene teko ine=
teko inegVpotopljeni del telesa
e je vzgon enak teži telesa, telo plava. Spremeni gostoto klade tako, da klikneš in potegneš na
za etek rde e puš ice v zgornji levi kot in pusti animacijo te i. Ponovi izra une in videl boš, da je
vzgon spet enak teži telesa.
Kaj se zgodi, e telo potopimo v vodo (ni v ravnovesju)? Poskusi s potegom miške potisniti klado
globlje. Kako je gibanje klade? Zakaj? Premisli katere sile delujejo na klado.
Predstavitev 14.4: rpanje vode iz posode
Zakaj ne moremo na rpati vode višje kot 10.3 m?
Mogo e za to omejitev nisi niti vedel! Na to lahko
odgovorimo, e vemo, kako se spreminja tlak teko ine z
globino (položaj je zapisan v metrih). Ponovni zagon.
Najprej, kolikšen je tlak na višini, ki je enaka gladini
vode v posodi (temno modra rta)? To je zra ni tlak.
Izmeri tlak vode v cevi, tako da pomikaš merilnik.
Spremeni višino vode v posodi, tako da potegneš temno
modro rto. S spreminjanjem višine gladine vode v
posodi spreminjaš višino, do katere mora rpalka rpati
vodo. Ko je globina ve ja od 10.3 m (pomeni, da je
stolpec vode višji od 10.3 m), se ustavi. V em je težava?
Ali lahko rpalka ustvari tlak manjši od ni ? Ne.
123
Najboljša rpalka lahko ustvari tlak enak ni (p = 0 Pa). V resnici rpalka še zdale ne more
ustvariti tlaka ni paskalov (p = 0 Pa) sicer bi bil na vrhu cevi prazen prostor.
Animacija prikazuje, kako izsesaš teko ino iz posode. Tako tudi ti zmanjšaš tlak v ustih (na
za etku je enak zunanjemu zra nemu tlak) in posesaš teko ino v usta.
Kaj bi se zgodilo, e bi želel rpati teko ino z manjšo gostoto (na primer olje)? (Spomni se, da je
p = p0+ gh). Ali bi lahko imel globljo ali plitvejšo posodo? Poskusi.
Raziskava 14.1: Plavanje in gostota
Zakaj oln, ki je narejen iz snovi, ki je gostejša kot voda, plava? Klada z maso 0,185 kg (položaj
je zapisan v centimetrih). e je klada kocka, kolikšna je njena gostota? e je gostota klade ve ja
kot je gostota vode (1000 kg/m3) klada potone, kot ta na animaciji. Ponovni zagon.
Sedaj preoblikujmo klado tako, da bo imela kvadratno dno, bo pa veliko višja, s stenami debelimi
0,21 cm.
a. Animacijo poženemo, kolikšna je prostornina
izpodrinjene vode (razsežnost posode, ki se na
sliki ne vidi je velika 10 cm)?
b. Uporabi podatek za gostoto (1000 kg/m3), in
izra unaj maso izpodrinjene vode. Pokaže se, da je
enaka teži klade. Zato klada plava.
c. Druga možnost za premislek je, da je gostota
preoblikovane
klade
(masa
klade/nova
prostornina) manjša od gostote vode. Deli maso
(0,185 kg) z novo prostornino in izra unaj njeno
gostoto.
d. Primerjaj gostoto preoblikovane klade z gostoto
vode?
Teža (gravitacijski pospešek je 9,8 m/s2) izpodrinjene vode (tudi, e izpodrinjena voda ostane v
prvotni posodi, ne izte e) je enaka sili vzgona klade. e telo plava, je vzgon enak teži
plavajo ega telesa.
Raziskava 14.2: Vzgon
Za potapljanje teles v teko ino velja, da je sila vzgona
enaka teži izpodrinjene teko ine. Sila vrvice se spreminja,
ko se klada po asi spuš a v teko ino (položaj je dan v
centimetrih in sila v njutnih). Maso klade lahko
spreminjaš od 0,125 kg in 0,375 kg in gostoto teko ine od
500 kg/m3 do 1000 kg/m3. Ko se ura ustavi, je klada v
ravnovesju. Ponovni zagon.
a. Kolikšna je teža in kolikšna je sila vrvice na
klado? Torej, kolikšna sila vzgona? Vzgon in
124
vle na sila (sila vrvice) delujeta navzgor, teža pa navzdol.
b. Kolikšna je prostornina klade v teko ini—ne glede na to ali je potopljen del klade ali pa
cela (klada ima stranico 5 cm)?
c. Kolikšna je prostornina vode, ki jo je klada izpodrinila (posoda, v katero potapljamo
klada ima stranico 10 cm)? Prepri aj se, da je rezultat enak odgovoru pri (b).
d. Kolikšna je masa izpodrinjene teko ine? Kolikšna je njena teža? Preveri ali je naka
vzgonu.
e. Izberi dve razli ni masi in gostoti teko ine in preveri ali je vzgon enak teži izpodrinjene
teko ine.
Raziskava 14.3: Vzgon v olju in vodi
Z raziskavo bomo natan neje spoznali plavanje teles
v teko inah. Posebej nas bo zanimalo, kaj se zgodi,
ko potopimo telo v posodo, kjer je teko ina v dveh
"plasteh" ? Recimo, da je rjava klada kocka (položaj
je v metrih in tlak v paskalih). Ponovni zagon.
Pozor: Vrednost tlaka je zapisana v eksponentni
obliki. Na primer zra ni tlak, 1,01x105 Pa, kot
1,01e+005.
Premakni merilnik tlaka in izmeri tlak pod spodnjo in nad zgornjo ploskvijo klade.
a. Klado spustimo v vodo; zanima nas kolikšna je sila na na njo v vodi (sila vzgona)?
b. Kolikšna je teža klade? Kolikšna je gostota klade?
c. Na drug na in: kolikšen del (kolikšen procent) klade je potopljen? Preveri ali je procent
gostote klade glede na gostoto teko ine enak (1000 kg/m3).
Sedaj premisli kaj bi se zgodilo, e bi klado potopili v olje, ki ima druga no gostoto.
d. Povej kaj pri akuješ, ko spustiš klado v olje z gostoto 700 kg/m3.
e. Poskusi. Je bila tvoja napoved prava? Pojasni.
f. Kolikšen je tlak ob spodnji in kolikšen ob zgornji ploskvi klade? Kolikšna je sila vzgona
na klado v olju?
Sedaj pa spustimo klado v posodo z vodo in oljem (olje plava na vodi in se z njo ne meša).
g. Kaj se bo zgodilo? Zakaj?
h. Poskusi. Ali se klada bolj ali manj potopi v vodo, e primerjaš plavanje v vodi (brez
olja)? Zakaj?
125
i.
Poskusimo rešiti nalogo z merjenjem tlaka. Izmeri tlak ob spodnji in zgornji ploskvi
klade.
j. Kolikšna je razlika v tlaku in s tem povezana sila vzgona?
k. V primeru, ko je klada le v vodi (nad vodo je zrak), dobiš enako razliko v tlaku, ki
povzro a silo na klado. Zakaj se torej klada potopi globlje v vodo? (Pomisli kolikšna je
razlika v gostoti olja in zraka in s tem povezana razlika v tlaku zaradi razli ne globine.)
Druga možnost je, da primerjamo silo vzgona.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
V primerjavi s plavanjem v vodi, razmisli ali se je vzgon sedaj, ko je klada delno v vodi,
delno pa v olju, pove al, zmanjšal ali je ostal enak?
Kolikšna je prostornina izpodrinjene vode?
Kolikšna je teža te vode?
Kolikšna je prostornina izpodrinjenega olja?
Kolikšna je teža tega olja?
Primerjaj težo obeh s težo klade.
Poglavje 15: Dinamika teko in
Dinamika teko in je bogato in kompleksno študijske podro je študija, ki govori tudi o
turbulencah in kaosu. Za naše namene pa se bomo usmerili predvsem na idealne teko ine
(teko ine brez trenja (brez viskoznosti) in teko in, ki se ne vrte, tako, kot smo se pri uvedbi
Newtonovih zakonov omejili na opisovanje gibanja na površinah "brez trenja". Dve glavni
ena bi, ki jih bomo uporabljali, sta kontinuitetna ena ba (kar prite e, mora tudi odte i) in
Bernoullijeva ena ba (ohranitev energije). Posledi no bomo lahko razumeli povezavo med
gibanjem teko in in tlakom.
Predstavitev 15.1: Kontinuitetna ena ba
Ena ba zveznosti preprosto pove, da "kar
gre noter, mora iti tudi ven." To preprosto
pomeni, da ko teko ina te e po cevi, kjer
se premer spremeni, se mora tudi pretok
teko ine spremeniti. Ponovni zagon.
Predpostavimo idealno teko ino (položaj
je podan v metrih, tlak v pascalih).
Temnomodro podro je v animaciji je odsek z vodo, ki te e po cevi od leve proti desni
(predpostavimo valjasto cev, kar pomeni, da navpi na razdalja ustreza polmeru krožnega
preseka). Opazimo, da te e voda hitreje, ko vstopi v ožji del cevi. Koliko asa potrebuje
temnomodro podro je, da pre ka rto v širokem delu cevi, in koliko, da pre ka rto v ožjem delu
cevi? Prostornina temnomodrega podro ja, deljena s tem asom je pretok za vsako od teh
podro ij. Za obe podro ji bi moral biti enak, saj, kar prite e notri (na sekundo), mora prite i tudi
ven (na sekundo). To zapišemo ena bo zveznosti Sv = konstanta, pri emer je S ploš ina preseka
in v je hitrost pretoka teko ine (Kakšne enote ima Sv? To bi moralo biti enako prostornina/ as).
Ko to povežemo z Bernoullijevo ena bo (ohranitev energije),
126
p + 1/2 v2 + gh = konstanta
pri emer je p tlak, je gostota teko ine, v je hitrost pretoka teko ine in h je višina teko ine
(seveda lahko vzamemo katerokoli to ko za h = 0 m), najdemo tudi spremembo tlaka. V tem
primeru, ker je cev vodoravna, je h enak. Zato preprosto vzamemo p + 1/2 v2 = konstanta. Tako
se tlak znižuje, ko hitrost naraš a. V sredini cevi opazimo merilnik tlaka, ki ga lahko premikamo
z miško.
Opomba: Format tlaka je zapisan eksponentno. Tako na primer zapišemo atmosferski tlak 1,01 x
105 Pa v obliki 1,01e+005.
Predstavitev 15.2: Bernoullijeva ena ba
Posoda z vodo ima luknjo na višini, ki jo lahko
nastavljamo (položaj je podan v metrih).
Opazujmo, kaj se dogaja vodi, ki izteka iz odprtine.
Ponovni zagon. Predpostavimo idealno teko ino.
Kako bi opisal dogajanja z za etno hitrostjo vode v
odvisnosti od višine luknje? Hitrost vode ob iztoku
lahko dolo imo v skladu z Bernoullijem v teko ini:
p1 + 1/2 v12 + gh1 = p2 + 1/2 v22 + gh2 =
konstanta,
pri emer je p tlak, je gostota teko ine, v je hitrost pretoka teko ine in h je višinska razlika
glede na h = 0 m (seveda lahko katerikoli to ko izberemo za
h = 0 m, to je ekvivalentno temu, da katerikoli to ki re emo, da ima potencialno energijo enako
ni , ko pa dolo imo ni elno to ko, v našem primeru h = 0 m, moramo biti v nadaljevanju
konsistentni).
Vzemimo, da je to ka 1 na vrhu posode, to ka 2 pa tam, kjer teko ina skozi luknjo zapuš a
posodo. Ob tej predpostavki lahko zlahka vidimo, da velja
p1 = p2 = patm. Na vrhu posode je voda prakti no mirujo a, torej je tam v1 = 0 m/s. To poenostavlja
Bernoullijevo ena bo v
gh1 = 1/2 v22 + gh2
pri emer je
ali
v22 = 2 g (h1 - h2) = 2g h,
h višina vode nad odprtino (ne višina luknje).
Predstavitev 15.3: Pretok idealne in viskozne teko ine
Bernoullijeva ena ba opisuje ohranitev
energije v sistemu z idealno teko ino,
kakršnega kaže tudi animacija (položaj je
podan v decimetrih, tlak v pascalih).
Ponovni zagon. Navpi ne cevi so odprte
za zrak. Opazimo, da je nivo vode nižji na
desni, kar kaže na nižji tlak. Zakaj je tlak
nižji v ožji cevi? Opazimo še, da se tlak
127
spremeni le, ko preidemo iz širše cevi na ožjo. Indikator tlaka meri relativni tlak v primerjavi z
atmosferskim tlakom, ne absolutnega tlaka. e imamo viskoznost (to je, da se teko ina malo "lepi
skupaj", kar povzro a nekaj trenja), pa vendar še gladek (laminaren) pretok, pada tlak vzdolž
cevi. Poskusi. Za viskozen pretok opazimo, da pri isti prostornini na asovno enoto (Sv =
prostornina/ as, kjer je S ploš ina preseka cevi in v je hitrost pretoka) pada tlak bolj v tanjši cevi
kot v debelejši. Ena ba, ki upravlja pretok, je Poiseulle-ova ena ba, Sv = R4 p/8 L, pri emer je
R polmer cevi, L je dolžina cevi, p je razlika v tlaku in je viskoznost teko ine.
Opomba: Tlak je zapisan v eksponentni obliki. Tako bi atmosferski tlak 1,01 x 105 Pa zapisali kot
1,01e+005.
Predstavitev 15.4: Vzgon letala
Animacija kaže stranski prerez letalskega krila
in zrak, ki te e mimo njega (položaj je podan
v centimetrih in as v sekundah). Ponovni
zagon. Kje je hitrost zraka najve ja? Kje bo
tlak najve ji? Kako to pojasnjuje vzgon letala?
S pomo jo Bernoullijevega zakona lahko
ugotovimo razliko v pritisku med zgornjo in spodnjo stranjo krila. Ta je
p = (vzgoraj2 - vspodaj2)/2.
Najprej poiš imo hitrost zraka nad krilom (Ko smo enkrat nad krilom, je tu hitrost zraka
konstantna) in pod njim. Zlahka dobimo povpre no hitrost kot odmik v asovnem intervalu in
sicer vspodaj = 950 cm/s = 9,5 m/s in vzgoraj = 990 cm/s = 9,9 m/s.
Sedaj lahko s pomo jo teh hitrosti in gostote zraka, = 1.3 kg/m3 izra unamo razliko v tlaku. Za
naš primer dobimo p = 5 Pa. e je ploš ina krila enaka 0,1 m2, kolikšna je sila vzgona na to
krilo? Ker je p = F/S, dobimo za silo vzgona produkt razlike tlaka in ploš ine, oziroma 0,5 N.
Razlog, da pride do razli nih hitrosti zraka nad in pod krilom je v tem, ker zrak nad krilom nima
idealnega pretoka. V za etku ima zrak nad krilom daljšo pot, zato zrak s spodnje strani krila
"napolni" ta prostor. Vendar ta nestabilnost povzro i turbulenco, ki zagotavlja bolj stabilen
pretok, pri katerem zra ni delci nad krilom potujejo hitreje. Za ve jo razliko v tlaku je krilo
dvignjeno navzgor, kar pove a vzgon.
Opomba: as je zapisan v krajšem formatu. Tako je na primer
6.00e-003.
as 6.00 x 10-3 s zapisan kot
Raziskava 15.1: Pretok krvi in kontinuitetna ena ba
Kri te e z leve proti desni po žili, ki je
delno zožena. Vidimo potovanje
krvnega telesca skozi žilo. Kako
debelina zožitve (Debelina stene je
nastavljiva med 1 mm do 8 mm) vpliva
na hitrost pretoka krvi? Ponovni zagon.
128
Predpostavimo idealno teko ino (položaj je podan v milimetrih, tlak v milimetrih živega
srebra). Za razumevanje gibanja lahko uporabimo kontinuitetno ena bo in Bernoullijevo ena bo:
Kontinuiteta: Sv = konstantna
Bernoulli: p + (1/2) v2 + gh = konstanta.
Za primer zožitve 2,0 mm:
a. Kolikšna je hitrost telesca pred in po prehodu zožitve?
b. Kolikšna je hitrost telesca med prehodom skozi zožitev?
Nastavi zožitev na 8,0 mm.
c. Ali se je hitrost telesca pred zožitvijo pove ala, pomanjšala ali je ostala nespremenjena?
d. Ali je pri zožitvi 8 mm hitrost telesca v zožitvi ve ja, manjša ali enaka kot pri zožitvi 2
mm?
e. Predpostavimo, da je žila in tudi sama zožitev valjaste oblike (Obe imaka krožni presek).
Izmerimo polmer žile in polmer preto ne sekcije na mestu zožitve. Preveri kontinuitetno
ena bo s primerjavo primerov z 2 oziroma 8 mm zožitvijo.
Sedaj primerjaj primera 2 mm in 8 mm.
f. Kolikšen je tlak v in izven zožitve (Merilnik tlaka je beli kvadratek)?
g. Ali se tlak na podro ju zožitve zmanjša ali pove a?
h. Odgovor (g), je za marsikoga presenetljiv, zato ga razložimo: Kakšna je smer pospeška
na mestu prehoda telesca iz širše žile v zoženo podro je?
i. Kakšna je tedaj smer sile, ki jo ob uti telesce?
j. Katero podro je mora imeti ve ji tlak?
k. Napravi enako analizo za telesce, ki zapuš a zoženo podro je in se vra a v široki del žile
(naredi skico za prikaz smeri pospeška in sile).
l. Preveri, da Bernoullijeva ena ba velja znotraj in izven zožitve pri zgledih z 2 mm in 8
mm (760 Torr = 760 mm živega srebra = 1,01 x 105 Pa). Gostota krvi je 1050 kg/m3.
Raziskava 15.2: Bernoullijeva ena ba
Bernoullijeva ena ba opisuje ohranitev energije v
sistemu z idealno teko ino. Predpostavimo idealno
teko ino (položaj je podan v metrih, tlak je dan v
pascalih). Levo spodaj je temnomodro pobarvana
sekcija vode, ki te e v cev, desno zgoraj pa je
ekvivalentna koli ina vode, ki te e iz sistema.
Prou ili bomo povezavo med Bernoullijevo ena bo
in ohranitvijo energije. Ponovni zagon.
Opomba: Tlak je zapisan v eksponentni obliki. Tako
na primer atmosferski tlak 1,01 x 105 Pa zapišemo
kot 1,01e+005.
Odvisnost med hitrostjo in dimenzijami vode, ki priteka v primerjavi z vodo, ki izteka dolo a
ena ba zveznosti (Kar priteka, mora tudi odtekati, v kolikor kje cev ne puš a!): Sv = konstanta,
129
pri emer je S ploš ina preseka cevi in v je hitrost teko ine. Predpostavimo, da so cevi valjaste
oblike.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Kolikšna je prostornina temnomodrih predelov (morali bi biti enaki)?
Kolikšna je hitrost v levi cevi?
Kolikšna je ploš ina preseka leve cevi?
Kolikšna je hitrost vode, ki sistem zapuš a (iz desne cevi)?
Kolikšna je ploš ina preseka desne cevi?
Ali drži kontinuitetna ena ba?
Ko voda potuje po cevovodu, mora biti opravljeno delo, da se teko ina dvigne in da se pove a
njena hitrost. Delo mora biti enako spremembi kineti ne in potencialne energije.
g. Ob danem tlaku (premikamo lahko rde e merilnike pritiska) ugotovi silo (zaradi vode za
njo) na spodnji levi temnomodri predel.
h. Kakšno delo opravlja ta sila med potekom animacije?
i. Podobno ugotovi silo na desni zgornji temnomodri predel, to je silo, ki se upira
pomikanju tega dela.
j. Kolikšno je delo, ki ga opravlja ta sila med potekom animacije (opazimo, da sta odmik in
sila usmerjena nasprotno, zato je delo negativno)?
k. Kolikšno je potem celotno opravljeno delo na vodi v srednjem podro ju?
l. Izra unaj razliko v kineti ni energiji temnomodrih podro ij. Ker je prostornina enaka, je
tudi masa obeh podro ij enaka. (Gostota vode je 1000 kg/m3.)
m. Izra unaj razliko v potencialni energiji središ mase temnomodrih podro ij. Ali je
opravljeno delo enako vsoti razlike v kineti ni energiji in razlike v potencialni energiji?
Vse to opisuje Bernoullijeva ena ba.
n. Pokaži, da je celotno delo enako (plevi - pdesni) Svt.
o. Pokaži, da je sprememba v kineti ni energiji enaka (1/2) Svt (vdesni2 - vlevi2).
p. Pokaži, da je razlika v potencialni energiji enaka gSvt (hdesni - hlevi).
p je pritisk, je gostota teko ine, v je hitrost pretoka teko ine, S je ploš ina preseka, t je as, h je
višina teko ine. e sestavimo vse te tri izraze, dobimo
plevi - pdesni) = (1/2) (vdesni2 - vlevi2) + g(hdesni - hlevi),
oziroma Bernoullijevo ena bo p + 1/2 v2 + gh = konstanta, torej je Bernoullijeva ena ba
preprosto druga oblika izražanja ohranitve energije.
130
Raziskava 15.3: Uporaba Bernoullijeve ena be
Nastavi višino vode v posodi in opazuj, kaj se
dogaja z vodo, ki izteka iz odprtine. Predpostavimo
idealno teko ino (položaj je podan v metrih). Za
razumevanje, kaj se dogaja, lahko uporabimo
Bernoullijevo ena bo (torej ohranitev energije pri
teko inah), p + 1/2 v2 + gh = konstanta, pri emer
je p je tlak, je gostota teko ine, v je hitrost pretoka
teko ine, h je višina teko ine (seveda lahko
katerikoli to ko dolo imo za h = 0 m). Ponovni
zagon.
Koli ina vode, ki med animacijo izte e, je majhna.
Tako je v bistvu višina med potekom animacije konstantna (kar dober približek).
a. S pomo jo Bernoullijeve ena be poiš i tlak na dnu posode. Izberi neko višino za vodo v
posodi. Nad vodo imamo atmosferski tlak (1,0 x 105 Pa). Kolikšen je tlak vode na dnu
posode? (Opomba: v obeh primerih je v = 0 m/s).
b. S pomo jo Bernoullijeve ena be poiš i hitrost vode, ki izteka na dnu posode. Izena i
Bernoullijevo ena bo za razmere nekje na sredi dna posode (kjer je v = 0 m/s) z vodo, ki
izteka iz odprtine (kjer je p tlak atmosfere) in upoštevaj, da je h v obeh primerih enak.
c. Z uporabo te vrednosti z za etno hitrost vode v smeri x izra unaj, kje bo voda padla na tla
in preveri, e tako pade tudi v animaciji. Ponovi ta postopek za neko drugo višino vode v
posodi.
131
Del 3: Nihanja in valovanja
Poglavje 16: Periodi no gibanje
Vsako gibanje, ki se ponavlja (pomislimo na asovni diagram položaja), ne glede na to, kako je
komplicirano, imenujemo periodi no gibanje. Pomembno je, da prou imo ta tip gibanja, saj so
periodi ni razli ni naravni sistemi.
Ko gibanje povzro a linearna, obnavljajo a se sila, je periodi no gibanje še posebej preprosto in
mu pravimo harmoni no gibanje. Tako gibanje ima pomembno lastnost, da je perioda nihanj
neodvisna od amplitude gibanja.
Zapletena periodi na gibanja so tudi pomembna, vendar zaradi drugega razloga. Koplicirana
periodi na gibanja lahko vedno opišemo z vsoto sinusov oziroma cosinusov. To je Fourrierjev
teorem.
Predstavitev 16.1: Predstavitve harmoni nega gibanja
Leta 1610 je Galileo odkril štiri
Jupitrove lune. Izgledalo je, kot
da se vsaka luna giblje naprej in
nazaj, kar bi lahko imenovali
preprosto harmoni no gibanje.
Kaj je v resnici videl Galileo? V
bistvu je gledal enakomerno
kroženje
posameznih
lun,
vendar je na to gledal s strani.
Galileovo
izkušnjo
lahko
uporabimo pri spoznavanju
lastnosti harmoni nega gibanja
ob uporabi analogije z enakomernim kroženjem. Poglejmo si zgornjo animacijo (položaj je
podan v metrih, as v sekundah). Ponovni zagon.
Najprej si poglejmo asovni potek položaja. Na krožnici imamo z rde o kroglo ozna eno to ko,
ki je vedno na razdalji polmera R. e pogledamo položaj y v asovni odvisnosti, dobimo y = R
cos( t); podobno dobimo za asovno odvisnost položaja x izraz x = R sin( t). Kako to vemo?
Polmer smo razstavili na njegovi komponenti.
Kaj lahko re emo o hitrosti? Vemo, da je tangencialna na pot to ke in da ima, ker je gibanje
enakomerno, konstantno vrednost, enako R. Tudi vektor hitrosti lahko razstavimo v
komponente in dobimo vy = R sin( t) in vx = - R cos( t). Obe komponenti sta odvisni od asa.
Pogled na animacijo nas prepri a, da je tako razstavljanje pravilno. e znamo dovolj matematike,
bi lahko izra unali odvod položaja v asovni odvisnosti in dobili spet vy = - R sin( t) in vx = R
cos( t).
Vemo tudi, da je pospešek konstanten, v2/R in da kaže proti središ u kroga. Tudi pospešek bi
lahko razstavili na njegovi komponenti in dobili ay = - 2R cos( t) in ax = - 2R sin( t). Spet velja
132
da bi ob primernem poznavanju matematike lahko odvedli hitrost v asovni odvisnosti. Spet bi
dobili ay = - 2R cos( t) in ax = - 2R sin( t). Ker je to harmoni no gibanje, mora biti neka
povezava med položajem in silo. Za silo še velja, da je "linerna sila, ki vzpostavlja prejšnje
stanje", hkrati pa tudi produkt mase in pospeška. Tako dobimo ma = - k x, oziroma a(t) = - (k/m)
x(t) = - 2 x(t). To dobimo s primerjavo funkcij za y(t) in x(t) z ay(t) in ax(t).
Za harmoni no gibanje spreminjamo dve stvari, R a pri emer je a amplituda, opazujemo pa le
eno smer, v našem primeru smer y. To nam da:
y = a cos( t), v = - a sin( t), in a = - 2a cos( t). Harmoni no gibanje zahteva linearno
restavratorsko silo, ravnovesno stanje in odmik od tega ravnovesja.
Predstavitev 16.2: Nihanje matemati nega nihala in vzmeti
Ko pomislimo na preprosto
harmoni no gibanje, mislimo
na telo z dano maso na
vzmeti. Tak primer gibanja
najlažje obravnavamo, ker je
konstanta
vzmeti
k
sorazmernostni faktor med F
in -x. Vendar se pogosto
sre amo
še
z
enim
standardnim
primerom
harmoni nega gibanja, to je
Ponovni
gibanje
nihala.
zagon. Nihalo ni ni drugega, kot težko telo, vise e na zelo lahki vrvici ( e bi bila masa vrvice
dovolj velika, bi jo morali upoštevati in bi imeli sestavljeno nihalo). Vzemimo Animacijo 1. Tu je
dolžina vrvice 15 m, masa uteži pa 1 kg (položaj je podan v metrih, kot v radianih, as v
sekundah). Pri analizi sil, ki delujejo na utež (povlecimo utež nihala iz ravnovesne lega in
kliknimo na gumb "predvajaj"), ugotovimo, da delujeta sila težnosti in sila napetosti. Ker se
vrvica ne more raztegniti, mora del težnostne sile, nasprotne napetosti (komponenti teže sta
prikazani svetlozeleno) izni iti silo napetosti v vrvici. Tako nam ostane sila, ki je pravokotna na
napetost in vzporedna s potjo gibanja nihala. Poglejmo Animacijo 1 s sledjo gibanja uteži. Z
ra unanjem lahko za rezultantno silo na utež dobimo
Frez = - mg sin( ),
Kar na prvi pogled ne izgleda kot isto harmoni no gibanje. Vendar, kaj se zgodi, e je kot
majhen? Za dovolj majhne kote velja sin( )
in zato:
Frez majhni koti = - mg .
Povleci nihalo visoko in opazuj, kako se obe rezultantni sili (za poljuben kot v primerjavi s
približkom za majhne kote) pri velikih kotih razlikujeta. Gibanje nihala je prikazano v skladu z
resni no silo, Fnet = - mg sin( ), ne pa za približke, ki veljajo za majhne kote, Frez = - mg , v
diagramu pa vidimo oboje. Perioda nihala je aktualna perioda. Diagram lahko z desnim klikom
kopiramo in ga pove amo.
133
Ker uporabljamo radiane, x = L, and lahko za majhne kote isto silo zapišemo kot Frez majhni koti =
- (mg /L) x, pri emer je sorazmernostni faktor med F in -x sedaj mg /L. Za majhne kote (ko
velja sin( )
) imamo harmoni no gibanje.
Sedaj opazuj gibanje nihala z gibanjem uteži, pritrjene na vzmet, kot kaže Animacija 2. Nihalo je
enako, kot v animaciji 1(rezultanta sile na utež je prikazana z zeleno puš ico), vzmet ima
konstanto vzmeti 1,30666 N/m, masa rde e krogle, pritrjene na vzmet, je 2 kg (rezultantna sila na
rde o kroglo je prikazana z modro puš ico). Izgleda udno, zakaj smo za konstanto vzmeti izbrali
tako natan no, nezaokroženo vrednost. Povleci nihalo za prbližno 0,15 radianov in povleci utež
na vzmeti na neko za etno amplitudo (vseeno je, kakšno vrednost izbereš, naj bo to na primer 2,3
m) in sproži animacijo. Kaj opaziš v istem diagramu? Ali je jasno, zakaj smo konstanto vzmeti
izbrali tako skrbno? S temi izbranimi vrednostmi smo oba sistema uglasili:
utez_vzmet
= (k/m)0,5 =
nihala
= (keffective/m)0,5 = (g/L)0,5.
Resetiraj animacijo in povleci nihalo na 0,75 radianov in utež na vzmeti na 10,3 m ter sproži
animacijo. Kaj se zgodi? Kaj lahko re eš o tem, e pogledaš Animacijo 1? Opaziš, da se s
potekom asa obe gibanji za neta razhajati. Gibanje nihala z velikimi amplitudami ni ve
preprosto harmoni no gibanje.
Predstavitev 16.3: Energija in harmoni no nihanje
V tej predstavitvi bomo opazovali
energijo in harmoni no gibanje tako
pri matemati nem nihalu, kot pri uteži
na vzmeti. Obravnavali bomo gibanje
nihala z majhnimi amplitudami, kar
nam da harmoni no gibanje (za
podrobnosti glej Predstavitev 16.2).
Poleg tega smo, kot v Predstavitvi
16.2, uporabili utež nihala z maso1 kg
in dolžino nihala 15 m, medtem, ko
naj ima utež na vzmeti maso 2 kg,
konstanta vzmeti pa naj bo 1,30666 N/m (položaj je podan v metrih, kot v radianih, as v
sekundah). Ponovni zagon. S temi vrednostmi uglasimo gibanja obeh sistemov tako, da sta
enaki:
vzmet-utez
= (k/m)1/2 =
nihala
= (kefekt/m)1/2 = (g/L)1/2.
V naslednjih animacijah bomo prikazali diagrame kineti ne in potencialne energije sistema
vzmet-utež, ne bomo pa prikazali kineti ne in potencialne energije nihala. Vendar pa bosta
izgledali kineti na in potencialna energija nihala enaki natan no polovici kineti ne in potencialne
energije (torej polovici celotne energije) sistema vzmet-utež. Zakaj polovici? Za sistem z vzmetjo
ima kineti no energijo (1/2 mv2) in potencialno energijo (1/2 kx2), pri nihalu pa je kineti na
energija uteži (1/2 mv2) ter potencialna energija (1/2 kefektx2). Ker ima v tej predstavitvi utež na
vzmeti dvakrat ve jo maso od tiste na nihalu, bo sistem z vzmetjo vedno imel dvakrat ve jo
kineti no energijo od tiste pri nihalu. Ker je konstanta vzmeti pri sistemu vzmet-utež dvakrat
ve ja od efektivne konstante vzmeti nihala
134
(kefekt = mnihalag/L = 0.6533 N/m), bo sistem vzmet - utež vedno imel dvakrat ve jo potencialno
energijo od tiste pri nihalu.
Ko dobimo diagram s primernim videzom, ga z desnim klikom podvojimo in pove amo, da si ga
lahko bolje ogledamo.
Poglejmo Animacijo 1, ki kaže diagram kineti ne in potencialne energije glede na položaj. Kaj
lahko povemo o celotni energiji sistema? Je konstantna in ima približno 1,89 J. Energija je v
za etku v celoti potencialna, v ravnovesnem položaju pa je isto kineti na. Pri maksimalni
kompresiji je spet isto potencialna. Ob tem, da je celotna energija enaka vsoti kineti ne in
potencialne, imamo
W = mv 2/2 + k x2 /2 = k xmax2/2= m vmax2/2.
Poglejmo Animacijo 2, ki kaže diagrama kineti ne in potencialne energije v asovni odvisnosti.
Funkcijsko sta oba diagrama razli na.
Diagrama v Animaciji 1 imata obliko k x2/2 (potencialna energija) in obliko A = k x2/2 (kineti na
energija), pri emer je A konstanta, celotna energija. V tej animaciji je celotna energija enaka
1,89 J. Obliko kineti ne energije lahko razumemo iz zgornje energijske funkcije. Potencialna
energija je k x2/2, torej sorazmerna x2. Kineti no energijo lahko zapišemo s pomo jo izrazov za
celotno in potencialno energijo kot W = k x2/2.
Diagrama v Animaciji 2 imata obliko cos2 (potencialna energija) oziroma sin2 (kineti na
energija), obe trigonometri ni funkciji sta funkciji asa. Zakaj? Iz harmoni nega gibanja vemo,
da v primeru, ko telo odmaknemo iz ravnovesja in mu ne damo za etne hitrosti, velja
x = x0 cos ( t)
in
v = - x0sin ( t).
Za kineti no in potencialno energijo imamo
Wk(t) = (1/2) k x02 sin2( t)
in
Wp(t) = (1/2) k x02 cos2( t),
pri emer smo za poenostavitev kineti ne energije uporabili
se bo zato vedno seštela v k x02/2 = 1,89 J.
2
= k/m. Celotna kineti na energija
Predstavitev 16.4: Vsiljeno in dušeno nihanje
Na vzmeti imamo maso 1-kg (položaj je podan v
metrih, as v sekundah), sprva v ravnovesnem
položaju. Podanih je tudi ve parametrov,
povezanih z vzmetjo in za etnimi pogoji gibanja.
Ponovni zagon. Po vsaki spremembi kakšne
spremenljivke ali po odkljukanju prikaza hitrosti
moramo spet klikniti na gumb "nastavi vrednosti
in povleci kroglo". Po kliku na gumb, povleci
kroglo na želeni za etni položaj (privzeto je krogla
v ravnovesnem položaju) in klikni na "predvajaj."
135
Ko dobiš dober diagram, klikni nanj z desnim klikom, tako dobiš kopijo diagrama in jo primerno
pove aš.
Doslej smo obravnavali idealno gibanje uteži na idealni vzmeti v skladu s Hookovim zakonom
brez dodatnega spreminjanja sil ali dušenja. V tej predstavitvi bomo obravnavali, kaj se zgodi
masi na vzmeti, na katero deluje dodatna sila ali dušenje. Bolj podrobno velja v našem primeru za
silo dušenja -b v, za silo vzbujanja pa F0 cos( t).
Najprej poglejmo, kakšna je naravna frekvenca nihanja uteži? Poglejmo animacijo brez dodatnih
sil vzbujanja ali dušenja. Povlecimo kroglo na 3 m in jo sprostimo. Prekinimo animacijo in
izmerimo periodo (približno 4,45 sekund od vrha do vrha). Frekvenco dobimmo kot koli nik ena
deljeno s periodo oziroma 0,225 Hz. Kotna frekvenca je 2 f oziroma 1,41 rad/sec. Ker je kvadrat
kotne frekvence (v našem primeru 2) enak razmerju k/m, vemo, da je k = 2 N/m.
Kaj se zgodi, e vklju imo silo vzbujanja? Poskusi in ugotovi. Spreminjaj kotno hitrost sile
vzbujanja. Kaj se zgodi, ko je kotna hitrost nihanja blizu ali pa zelo razli na od frekvence sile
vzbujanja? Kako je gibanje ob utljivo na ta parameter? Ko sta naravna frekvenca in frekvenca
sile vzbujanja enaki, imamo takoimenovano resonanco.
Prou iti moramo tri tipe dušenega gibanja:
•
•
•
•
Poddušeno: dušenje je tako slabotno,
da imamo pred umiritvijo gibanja ve
nihajev.
Predušeno: dušenje je zelo mo no.
Gibanje potrebuje precej asa, da
sploh doseže ravnovesni položaj.
Kriti no dušeno: poseben primer, kjer
je as, da dosežemo ravnovesje,
minimiziran.
Predstavitev 16.5: Fourierjeva vrsta, kvalitativne zna ilnosti
Doslej smo opazovali le harmoni no gibanje, ki ga lahko opišemo z enim sinusom ali cosinusom.
To lahko izgleda kot velika napaka. Ve ina periodi nih funkcij je precej bolj zapletenih. Ali smo
ravnali napa no, ko smo se usmerili le na sinuse in cosinuse? Pravzaprav ne. KATEROKOLI
periodi no funkcijo lahko predstavimo kot vsoto sinusov ali cosinusov! Ugotovimo sicer, da jih
v asih potrebujemo neskon no, vendar lahko na ta na in opišemo še tako kompliciran periodi en
pojav. Ponovni zagon.
Poglejmo žagasto funkcijo (položaj je podan
v metrih), ki ima periodo L = 1 (zaradi
lažjega vpogleda sta prikazani dve periodi). V
tej animaciji je amplituda sicer funkcija x,
lahko pa bi bila tudi funkcija asa. Izberi
"izvajaj Fourierjevo vrsto za žago". Siva
funkcija je prava žaga, rde a funkcija pa je
približek žage s Fourierjevo vrsto ( e še nismo
136
spremenili n, prikaže animacija le len n = 1). Spremenimo n, to je število sinusnih funkcij, ki se
prištevajo v približek žagaste funkcije, in opazujmo, kako se spreminja rde a funkcija. Zelena
sinusna funkcija je tista, ki je bila pravkar prišteta tako, da dobivamo rde o funkcijo. Na desni je
predstavitev relativnega prispevka posameznih sinusnih funkcij, ki so dodane v skupno vsoto.
Dodamo lahko do 35 lenov. Opazimo še, da pride v to ki, kjer se žaga prelomi, vedno do
prenihaja (temu pravimo Gibbsov pojav).
Poglejmo si še pravokotno periodi no funkcijo. Izkaže se, da leni n = 2, 4, 6, ... ne prispevajo k
vsoti. Preverimo to z opazovanjem animacije za n = 35.
Ko dobiš diagrem primernega videza, z desnim klikom dobiš njegov dvojnik, ki ga lahko
primerno pove aš.
Predstavitev 16.6: Fourierjeva vrsta, kvantitativne zna ilnosti
Fourierjev teorem pravi, da lahko katerikoli periodi no funkcijo predstavimo kot vsoto sinusnih
valov. V asih sicer ugotovimo, da potrebujemo neskon no sinusov, vendar lahko tako opišemo
katerikoli periodi ni pojav. V tej animaciji bomo prou evali neparne periodi ne funkcije v lu i
Fourierjevega teorema. Ponovni zagon.
VSAKO neparno periodi no funkcijo od x (perioda od L med 0 in L namesto -L/2 do L/2) lahko
opišemo s leni Fourierjeve vrste kot:
f(x) =
An sin (n*2* *x/L),
V naši animaciji je L = 1. An je
rezultat integrala, ki predstavlja
prekrivanje med originalno funkcijo in
dolo eno Fourierjevo komponento
( len v Fourierjevi vrsti, predstavljen s
celim številom n). Za natan en
izra un bi morali v integral vklju iti
2/L (v našem primeru kar faktor 2, ker
je L = 1). Ugotovimo, da je to
potrebno z napovedjo A3 za funkcijo
sin(3*2*pi*x) in nato to preverimo z
animacijo.
Ne pozabi uporabljati pravilno
sintakso, kot na primer -10+0.5*t, 10+0.5*t*t in -10+0.5*t^2. Za
osvežitev spomina si spet oglej
Raziskavo 1.3.
137
Preskusi razli ne neparne funkcije in opazuj rezultat integrala, An. Poglej naslednji funkciji (ki jih
lahko kopiraš in prepišeš neposredno):
Žagasti val iz predstavitve 16.5
(1-2*x)*step(1-x)+(1-2*(x-1))*step(x-1)
Pravokotni val iz predstavitve 16.5
step(0.5-x)-step(x-0.5)*step(1-x)+step(x-1)
Raziskava 16.1: Gibanje vzmeti in nihala
Animacija ponazarja gibanji uteži na vzmeti in nihala. Ponovni zagon.
a. Za animacijo 1 nariši diagram
periode gibanja proti amplitudi.
Kroglo premakni iz ravnovesja
in spreminjaj amplitudo od 1 m
do 10 m v korakih po 1m.
b. Za animacijo 2 nariši diagram
periode gibanja proti amplitudi.
Premakni utež iz ravnovesja in
spreminjaj amplitudo od 0.1
radiana do 1.0 radiana v
korakih po 0.1-radiana.
c. Kaj lahko ugotoviš o odvisnosti periode od amplitude pri obeh animacijah?
Raziskava 16.2: Gibanje nihala in energija
Nihalo z maso 4-kg ima periodi no gibanje
(položaj je podan v metrih, as v sekundah). S
pali nima grafoma sta prikazani kineti na in
potencialna energija, obe v joulih. Ponovni
zagon.
S pomo jo animacije in grafov odgovori na naslednja vprašanja:
a.
b.
c.
d.
Kolikšna je perioda gibanja?
Kolikšna je amplituda gibanja (v radianih)?
Kako lahko ugotoviš iz gibanja in grafa, da prihaja do ohranitve energije?
Ali je to harmoni no gibanje?
138
Raziskava 16.3: Harmoni no nihanje z in brez dušenja
Vnesi vrednost za koeficient dušenja,
konstanto vzmeti za vra alno silo (ki
vra a kroglo v ravnovesni položaj),
morda odkljukaj "prikaz hitrosti", nato
pritisni na gumb "nastavi parametre,
nato premakni kroglo". Zatem
premakni kroglo iz ravnovesja in s
klikom na gumb "predvajaj" - sproži
animacijo (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Ponovni
zagon. Ko dobiš diagram primernega videza, z desnim klikom nanj naredi njegovo kopijo in jo
primerno pove aj.
a. S pomo jo znanja o harmoni nem gibanju ugotovi maso krogle.
b. Omogo i prikaz hitrosti. Ali hitrost med harmoni nim gibanjem zaostaja ali prehiteva
graf položaja?
c. Kako lahko primerjamo frekvence pri vra alnih silah -2*y, -4*y, and -8*y N/m?
Kadarkoli lahko z desnim klikom na diagram napraviš kopijo diagrama.
Sedaj se usmerimo na koeficient dušenja in na to, kako ta vpliva na gibanje.
d. Nastavi vra alno silo na -2*y, za etni odmik od ravnovesja pa na 5 m. Spreminjaj b od 0
do 2 Ns/m v korakih po 0.25 Ns/m. Kaj lahko re eš o frekvenci gibanja kot funkciji b?
Raziskava 16.4: Gibanje nihala, sile, fazni prostor
Nihalo sestavljata utež 1-kg in vrvica brez
mase z dolžino 9,8 m (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Prikazan je tudi
graf kotne hitrosti (rad/s) v odvisnosti od
kota (rad). Temu grafu v asih pravimo
predstavitev gibanja s "faznim prostorom".
Ponovni zagon.
Poleg tega:
•
•
•
rde a puš ica predstavlja celotno silo,
modra puš ica predstavlja silo težnosti,
zelena puš ica predstavlja hitrost.
Predstavitev gibanja s faznim prostorom je le druga na oblika opisovanja gibanja teles (tako kot
je to tudi graf s asovnim potekom položaja). Kdaj bo na primer predstavitev gibanja s faznim
prostorom krožna? No, x in v bi morala imeti enako frekvenco, morala bi biti med seboj fazno
139
zamaknjena za /2 radianov (oziroma 90o) in xmax ter vmax bi morala imeti enako velikost. To se
pri preprostem harmoni nem nihanju zgodi, ko je = 1rad/s.
Najprej moraš klikniti na gumb "povleci nihalo", premakniti utež nihala in klikniti na gumb
"predvajaj" ter tako sprožiti animacijo za razli en za etni kot.
a. Ob zgornjih podatkih in s podatki iz animacije ugotovi, kdaj bo gibanje nihala približno
enako preprostemu harmoni nemu gibanju?
b. S pomo jo animacije dolo i maksimalni kot za približek preprostega harmoni nega
gibanja.
c. Obravnavali smo poseben primer preprostega harmoni nega gibanja, = 1rad/s. Kakšen
bi bil diagram faznega prostora za preprosto harmoni no gibanje s poljubnim ?
Raziskava 16.5: Vzbujano nihanje in resonanca
Vnesi vrednost za velikost vzbujane
sile in njene frekvence, konstanto
vzmeti vra alne sile (ki vra a kroglo
v ravnovesni položaj), morda
odkljukaj "prikaz hitrosti", nato
klikni na gumb "nastavi parametre
in premakni kroglo". Zatem povleci
kroglo iz mirovnega položaja in
klikni na gumb "predvajaj" za zagon
animacije (položaj je podan v
metrih, as v sekundah). Ponovni zagon. Ko dobiš primeren diagram, z desnim klikom dobiš
njegov dvojnik, ki ga lahko poljubno pove aš.
a. Na osnovi znanja o harmoni nem gibanju ugotovi maso krogle.
b. Vklju i prikaz hitrosti. Ali hitrost prehiteva ali zaostaja sliko položaja med preprostim
harmoni nim gibanjem?
Nastavi vra alno silo na -2*y, za etni odmik od ravnovesja pa na 0 m. Magnitudo sile vzbujanja
nastavi na -1 N. Spreminjaj frekvenco vzbujanja od 0.10 Hz do 0.20 Hz v korakih po 0.01-Hz.
Preden dolo iš maksimalno amplitudo, pusti, da vsaka animacija nekaj asa te e.
c. Nariši diagram maksimalne amplitude gibanja v odvisnosti od frekvence.
d. Katera frekvenca da najve jo amplitudo?
Upoštevaj, da utež ne sme nihati ve kot za 22 m.
140
Raziskava 16.6: Dušeno in vzbujano nihanje
Kroglo lahko vzbujamo z zunanjo
silo, obstoja pa notranja vra alna sila
(ki želi ohranjati telo v ravnovesnem
položaju) in trenje. Ponovni zagon.
Zato
imamo:
Fskupna = Fvrac + Ftrenja + Fvzbujanja, pri
tem so privzete vrednosti
Fvrac = -2*y,
Fvzbujanja= sin(t).
Ftrenja = -0.2*vy,
in
Te privzete vrednosti lahko spreminjamo in opazujemo rezultat. Pozor, uporabljati moramo
pravilno sintakso, kot na primer -10+0.5*t, -10+0.5*t*t in -10+0.5*t^2. Za osvežitev spomina si
spet oglej Raziskavo 1.3.
a. Ugotovi maso. Namig: upoštevaj linearno vra alno silo.
b. Spremeni vra alno silo na -y-0.1*y*y. Je gibanje periodi no? Je harmoni no? Kaj je pri y-2.0?
c. Na rtaj lastno silo, ki proizvaja periodi no, ne nujno tudi harmoni no gibanje.
d. Vzbujaj kroglo v resonanci in razloži obnašanje v grafu s asovnim potekom položaja.
Kako se to obnašanje spreminja brez dušenja ali z dušenjem?
Vzbujaj sistem (uporabi linearno vra alno silo -1*y, na za etku brez trenja) s funkcijo, ki vklaplja
in izklaplja konstantno silo. To lahko narediš s stopni asto funkcijo: step(sin(t/4)). Stopni asta
funkcija ("step") je ni za negativne argumente in ena za pozitivne. Dana funkcija, step(sin(t/4))
bo zato proizvajala pravokotni val z amplitudo enako 1 in s kotno frekvenco enako eni etrtini.
Opazimo, da je celotna sila, ki jo uporabimo, enaka -1*y+step(sin(t/4)). Kroglo imej na za etku
kar v mirovnem položaju, ni je treba premakniti.
e. Nariši diagram sile v asovni odvisnosti, superponiranega na diagram asovnega poteka
položaja.
f. Zakaj sistem zaniha, se ustavi in spet zaniha?
g. Ali pride do takega obnašanja pri kateri od drugih frekvenc? Za primer opazimo, da
funkcija step(sin(t/4.5)) proizvede kvalitativno druga no obnašanje. Zakaj?
Pozor, krogla ne sme zanihati ve kot za približno 22 m.
141
Raziskava 16.7: Veriga nihal
Devetindvajset dušenih nihal vzbuja zunanja
sila, sin(t). Vsako nihalo si lahko zamislimo
kot utež, pritrjeno na pod preko vzmeti.
Uteži med seboj niso povezane. Zaradi
predstavitve vidimo le eno vzmet. Ponovni
zagon.
Srednje nihalo, prikazano v rde em, je v
resonanci z zunanjo silo. Ima naravno
frekvenco nihanja = 1 rad/s. Nihala na levi
imajo vzmeti z manjšo konstanto vzmeti,
tista na desni imajo ve jo konstanto vzmeti. Animacija kaže, kako se ta skupina nihal odziva na
silo vzbujanja.
Animacija za enja z vsemi nihali v mirovanju. Nihala se za nejo pomikati gor in dol, v prvih
nihajih sofazno s silo vzbujanja. Tako gibanje pa je le prehodno; kmalu pride do razlik v
magnitudah in fazah. Ker imajo nihala desno od središ a višjo resonan no frekvenco, za enjajo
prehitevati silo vzbujanja. Tista na levi za enjajo zaostajati. eprav ta nihala niso med seboj
povezana, daje fazni odmik vtis potujo ega valu. Po nekaj sto nihajih to prehodno obnašanje
izgine. Pojavi se resonan na krivulja, saj se apmlitude in faze posameznih nihal približajo
stacionarnemu obnašanju.
a. V u beniku poiš i primer resonan ne krivulje (amplituda v odvisnosti od frekvence).
Kakšna je primerjava gibanja uteži v naši animaciji z resonan no krivuljo v u beniku?
Namig: glej tako amplitudo, kot fazo.
b. Kakšen u inek ima koeficient dušenja na gibanje uteži?
c. Predpostavljaj, da ima vsaka krogla maso 1 kg in da je konstanta vzmeti na sredini enaka
1 N/m. Koliko se razlikujejo konstante vzmeti v soseš ini?
142
Poglavje 17: Valovanja
Ravnokar smo si ogledali obnašanja nihanj. Opazili smo, da je njihova skupna lastnost
periodi nost. Upoštevali bomo razli ne vrste periodi nosti nihalnega gibanja (nihanja) in ga
poimenovali valovno gibanje (valovanje). Za eli bomo z enodimenzionalnimi potujo imi valovi,
potem se bomo ukvarjali z valovi v dveh in treh dimenzijah, kot je na primer zvok, opisan v
naslednjem poglavju.
Predstavitev 17.1: Vrste valov
Prve tri animacije opisujejo valove
povezanega niza delcev,
etrta pa
valovanje vzmeti (pozicija je dana v
metrih in as v sekundah). Pri valovih
niza delcev je pozicija rde ega delca
funkcija asa. Ponovni zagon.
Animacija 1 in Animacija 2 prikazujeta
potovalna valovanja (Animacija 1
prikazuje impulzni val, Animacija 2 pa
prikazuje potujo i sinusni val). Valovi so
prikazani v smeri y, razširitev valov (smer hitrosti vala) v smeri x. Pri nogometu ali košarki smo
del tako imenovanega transverzalnega vala ("impulzni val" je poseben primer potujo ega vala,
kjer posamezni del medija, ki podpira val, ni nujno, da niha). Omenimo, da posamezni del vzmeti
niha gor in dol, toda se ne premika v smeri x. Oglejmo si rde i del vzmeti v vsaki od animacij in
njegovega gibanja v smeri y.
Animacija 3 predstavlja longitudinalni val (v smeri x). Primer takega vala je zvok. Pri
longitudinalnem valu je valovanje medija (deli vzmeti) v smeri razširitve vala. Opazujmo rde i
del vzmeti v tej animaciji in hkrati opazujmo graf njegovega gibanja v smeri x. Opazimo, da se
nihanje prenaša od za etka do konca in ne gor in dol. Animacija 4 predstavlja valovanje vzmeti.
Ali je transverzalno ali longitudinalno valovanje? To je oboje! Lahko pojasniš, zakaj je tako?
Pri Animaciji 5 so valovi vode opisani s prikazom
gibanja vodnih molekul (pozicija je dana v metrih
in as v sekundah). Katero vrsto valovanja opisuje
ta animacija?
143
Predstavitev 17.2: Valovne funkcije
Potujo i val je prikazan s rno barvo pri asu t = 0
sekund (pozicija je podana v metrih). Lastnosti
vala spreminjamo s pomo jo treh drsnikov. Ponovni
zagon. V splošnem zapišemo funkcijo za val, ki
potuje v desno, kot:
y(x,t) = A cos (k x /f) t+ ).
t + ) = A cos ( (2 / ) x - (2
e si ogledamo val v asu t = 0, ne moremo dolo iti
hitrosti ali frekvence vala (kjer v = in f = /k)
tako, da imamo:
y(x,t) = A cos (k x + ) = A cos ((2 / ) x + ).
Kateri parameter vala spreminjamo s katerim drsnikom? Imamo tri drsnike in tri parametre
valovne funkcije. Poskusi vsakega od drsnikov in poglej, kaj se dogaja. Drsnik A dolo a fazni
premik , torej premakne funkcijo levo ali desno. Drsnik B dolo a valovno dolžino in je zato
število k = 2 / . Drsnik C pa dolo a amplitudo A valovne funkcije.
Na osnovi že povedanega lahko s pomo jo drsnikov dolo iš valovne parametre (dolo iš vrednost
faznega premika, valovno dolžino in amplitudo) za funkcijo valovanja (prikazano z rde o barvo).
Predstavitev 17.3: Superpozicija pulzov
Eden najbolj zanimivih pojavov, ki ga lahko
raziš emo, je superpozicija valov. V tej predstavitvi si
bomo ogledali vsoto dveh potujo ih pulznih valov, v
predstavitvi 17.4 in predstavitvi17.7 vsoto dveh
potujo ih valov in v predstavitvi 16.5 in predstavitvi
16.6 pa vsoto dveh periodi nih funkcij, znanih iz
Fourijeve vrste. Ponovni zagon.
Vsota dveh valov ni ni drugega kot aritmeti na vsota
amplitud ustreznih valov. Amplitude transverzalnega
vala lahko predstavimo z valovno funkcijo y(x, t).
Vemo, da je amplituda vrednost y kot funkcija pozicije
x in asa t. Vzemimo dva vala, ki se premikata po
istem sredstvu, poimenovana z y1(x, t) in y2(x, t),
oziroma f(x, t) in g(x, t) v našem primeru. Vsoto
(aritmeti no vsoto) zapišimo kot f(x, t) + g(x, t).
144
To se zdi zapleteno, zato se osredoto imo na amplitudo ene to ke na x osi, recimo to ke x = 0 m
(pozicija dana v metrih in as dan v sekundah). Oglejmo si Animacijo 1, ki predstavlja
potujo i val na vrvi. Zgornji okvir ek predstavlja desno-potujo i Gaussov pulz f(x, t), srednji
okvir ek g(x, t), levo-potujo i Gaussov pulz in spodnji okvir ek predstavlja to, kar dejansko
želimo videti; vsoto f(x, t) in g(x, t). Pri predvajanju animacije se osredoto imo na x = 0 m. Na
koncu (repu) vsakega od valov pri x = 0 m je amplituda enaka ni . Poglej, kaj se zgodi, ko se
vala prekrivata. Oba vala se seštejeta v val, ki smo ga pri akovali. S asoma se vala "razdružita"
in premikata po vzmeti, dokler se spet ne združita.
Kako izgleda vsota v Animaciji 2 pri t = 10 s? Oba vala se seštejeta in tu "zlijeta". S asoma se
vala "ponovno prikažeta" (saj sta prisotna ves as) in premikata vzdolž vzmeti dokler se ponovno
ne "zlijeta" drug v drugega.
Predstavitev 17.4: Vsota potujo ih valov
Predstavitev 17.3 podaja vsoto dveh
potujo ih pulzov. V tej predstavitvi imamo
vsoto dveh potujo ih sinusnih valov. V
Predstavitvi 16.5 in Predstavitvi 16.6 smo
podali periodi ne funkcije, nam znane iz
Fourierjeve vrste. Ponovni zagon.
Za nimo z Animacijo 1, ki podaja dve potujo i valovanji na vrvi (pozicija je dana v metrih in
as v sekundah). Ko predvajaš animacijo, bodi pozoren na x = 0 m. Ko pride val pri x = 0 m, je
amplituda enaka ni . Poglej, kaj se dogaja, ko se dva vala prekrivata, t 8 s. Združita se v val
tako, kot si pri akoval. To pomeni, da imata vala amplitudo z nasprotnim predznakom pri x = 0
m, vsota dveh potujo ih valov pri x = 0 m bo zmeraj enaka ni . To ka, ki se nikoli ne premakne,
se imenuje vozel. Takemu valu pravimo stacionarni val. Ta nastane, kadar imamo dva identi na
vala, ki potujeta v nasprotni smeri v danem mediju (v našem primeru je medij vrv, toda stoje i val
lahko ustvarimo tudi, e je medij zrak).
Kako izgleda vsota valov pri Animaciji 2 za t 8 s? Oba vala se seštejeta in izni ita pri x = 0
m. S asoma se vala ponovno pojavita (v resnici sta bila ves as tam) in se premikata vzdolž vrvi,
kot da ne vstopita drug v drugega. e vzamemo, da imata oba vala vedno enako amplitudo pri x
= 0 m, se bo vsota dveh potujo ih valov pri x = 0 m vedno spreminjala. To to ko imenujemo
anti-vozel. Kon ni val je še vedno stoje i val. To lahko primerjamo z Animacijo 1.
V Animaciji 3 imamo potujo i val, ki zadene steno pri x = 15 m. Val potuje in se zatem odbije
od stene. Z odbitim valovanjem mislimo, da se smer širjenja valovanja spremeni (desno-potujo e
je sedaj levo-potujo e valovanje) in tudi njegova amplituda je negativna glede na to, kar je bila
prej. Torej imamo sedaj desno-potujo i val in levo-potujo i val z vsoto, prikazano z Animacijo 1.
V tej animaciji je bil vozel pri x = 0 m; v Animaciji 3 pa pri x = 15 m.
145
Predstavitev 17.5: Resonan ni pojavi na vrvi
Doslej smo obravnavali bodisi potujo e
valovanje, bodisi potujo i pulz. Val je neoviran
potoval v neskon nost. Sedaj si bomo ogledali
ve kratno vzbujanje pulza na dveh vrveh. Da bo
bolj zapleteno, naj imata oba pulza razli no
frekvenco. Poženi animacijo in si oglej rezultate
(pozicija je dana v metrih in as v sekundah).
Ponovni zagon.
Kako razumeš dogajanje? Najprej ugotovimo, da se pulz odbija od stene. Katera animacija ima
dobro in katera slabo asovno razvrstitev?
V spodnji animaciji je asovni razpored grozen! Dodani valovi ne omogo ijo maksimuma
amplitude. Vse kar smo naredili, je nered.
Zgornja animacija prikazuje primer dobre asovne razvrstitve. Vsi dodani pulzi povrnejo odbite
valove z najve jo možno amplitudo. Kadarkoli dobimo val na ta na in, imenujemo to
resonanca. To je podobno nihanju. e povzro iš nihanje s pravo frekvenco (dober asovni
razpored), boš dobil gibanje z najve jo amplitudo. e uporabiš enako silo toda z razli no
frekvenco (slab asovni razpored), se ne zgodi ni posebnega. Da dobimo najve jo amplitudo,
moramo porivati z isto frekvenco, kot je naravna frekvenca nihanja.
Predstavitev 17.6: Napeta vrv
Imamo vrv dolžine L = 28 cm (pozicija je dana
v centimetrih), ki jo napnemo v to ko x = 6 cm
in y = 3 cm. S sivo barvo je prikazana nenapeta
vrv. Z drsnikom lahko spreminjamo to ko
napenjanja v smeri x ( y to ka napenjanja je
enaka). Lahko si ogledamo komponente
Fourijerjeve vrste, ki tvorijo obliko napete vrvi,
tako da izberemo vrednost n. Relativna velikost
sinusnih komponent je prikazana z grafom na
desni strani. Ponovni zagon.
S pomo jo Fourijeve vrste lahko opišemo
poljubno periodi no valovanje (oglej si
Predstavitev 16.5 in Predstavitev 16.6). Za tak
prelom vrvi moramo upoštevati druga en na in
seštevanja valov, da dobimo Fourierjevo vrsto.
Upoštevati moramo vse valove, ki so na konceh vrvi enaki ni (saj ima tako napeta oziroma
prelomnjena vrv konce, ki so zvezani). Tako ugotovimo, da se prelomljena vrv da opisati s
pomo jo Fourierjeve vrste kot
f(x) =
An sin (n* *x/L),
146
pri emer je v naši animaciji L = 28 cm (poglej Predstavitev 16.5 in Predstavitev 16.6 za ve
podrobnosti v primeru periodi nosti).
Ko dobiš lepo oblikovan graf, klikni nanj z desno tipko miške, e ga želiš podvojiti in mu
spremeniti velikost zaradi boljšega prikaza.
Predstavitev 17.7: Skupinska in fazna hitrost
Kaj mislimo, ko govorimo o hitrosti valovanja? To lahko zgleda
kot lahko vprašanje. Ko govorimo o valovanju vrvi (ali
valovanju zvoka), lahko govorimo o hitrosti kot v = f. Ta izraz
lahko prepišemo v smislu valovnega števila k valovanja, kotne
frekvence
, pri emer je
= 2 /k in f = 2 / . Zato
ugotovimo, da je t v = /k. Velja, da je hitrost valovanja
odvisna od medija, v katerem se valovanje širi.
Toda kaj se zgodi, ko seštejemo nekaj potujo ih
valovanj skupaj? V našem primeru nas zanimajo
valovanja, ki potujejo v isti smeri. Lahko spremenimo
valovno število in kotno frekvenco za vsako valovanje,
toda prepri ani moramo biti, da sta hitrosti valovanj
enaki. V naši animaciji smo dodali rde e valovanje zelenemu valovanju, tako da skupaj tvorita
modro valovanje (dolžina je podana v metrih in as v sekundah). Ponovni zagon.
Poglejmo, kaj se zgodi, ko spremenimo k1 na 8 rad/m in 1 na 8 rad/s. Omenimo zanimivi vzorec,
ki se zgradi pri seštevanju valovanj. Opraviti imamo z bolj finim (podrobnim) vzorcem valovanja.
Celoten vzorec je definiran s širjenjem lupine valovanja. Hitrost takemu valovanju pravimo
skupinska hitrost. Lupina valovanja ima znotraj sebe valovanje, ki ima mnogo krajšo valovno
dolžino in se širi s fazno hitrostjo. Za dane vrednosti (za k in ), sta fazna in skupinska hitrost
enaki.
Naj bo k1 = 8 rad/m in 1 = 8.4 rad/s. Kaj se sedaj zgodi z ovojnico valovanja? Ta se ne premika.
To se odseva v izra unu za skupinsko hitrost. Fino valovanje ima fazno hitrost 1.02 m/s. Naj bo
sedaj k1 = 8 rad/m in 1 = 8.2 rad/s. Skupinska hitrost je sedaj približno polovica od fazne hitrosti
(vodni val ima to lastnost). Naj bo sedaj k1 = 8 rad/m in 1 = 7.6 rad/s. Skupinska hitrost je sedaj
približno dvakrat ve ja od fazne hitrosti.
Pri vsoti dveh valovanj je skupinska hitrost definirana kot vs =
/ k in fazna hitrost kot vf =
/ k in fazna hitrost kot vf = /k.
pov/kpov. V splošnem je skupinska hitrost definirana kot vs =
Kakšno hitrost si želimo? Fizikalna hitrost je hitrost ovojnice valovanja; skupinska hitrost. Z
valovi na vzmeti smo imeli sre o, saj sta fazna in skupinska hitrost enaki (to so harmoni na
valovanja).
147
Raziskava 17.1: Seštevanje dveh pulzov
Zanimiv pojav, ki ga bomo raziskali, je seštevanje
valovanj. Vsak okvir ek prikazuje posamezen val, ki
potuje po vrvi. Ponovni zagon.
Za primer dveh valov, potujo ih po isti vrvi, nariši
vsoto dveh impulzov med t = 0 in t = 20 s v
intervalih 2 sekund za vsako animacijo (položaj je
podan v metrih in as v sekundah).
Ko boš kon al vaje, preveri svoje odgovore s
pomo jo animacij.
Raziskava 17.2: Dolo itev lastnosti valovanja
Potujo i val je prikazan v rni barvi (pozicija je
podana v centimetrih in as je dan v sekundah).
Dolo i pomembne lastnosti valovanja in funkcije
valovanja. Ko kon aš, preveri svoj odgovor z
vnosom f(x, t) in poglej, e se ujema z rde im
valom. Ponovni zagon.
Raziskava 17.3: Potujo i pulzi in pregrade
Vrv
lahko
aproksimiramo
s
povezanimi deli, kot je prikazano z
animacijami (pozicija dana v metrih
in as v sekundah). Ponovni zagon.
Raziskava prikazuje impulz na vzmeti,
zato si oglejmo gibanje posameznih
delov. Impulz 1 prikazuje Gaussov
impulz, ki prihaja z leve strani, Impulz
2 pa prikazuje Gaussov impulz, ki
prihaja z desne. Opozarjamo, da delci
nikoli ne potujejo v smeri x.
V preostalih dveh animacijah impulzi prihajajo z leve strani in zadenejo trdo ali mehko pregrado.
Trda pregrada je ponazorjena z roko, ki drži konec vrvi; primer z mehko pregrado predstavlja vrv
z enim prostim koncem.
148
a. Kakšna je smer sile, ki deluje v roki v primeru s trdo pregrado?
b. Kakšna je smer sile, ki deluje na vrv v primeru s trdo pregrado?
c. Opiši razliko med odbitimi valovi v obeh ovirah (trda ali mehka ). Pojasni razlike.
Raziskava 17.4: Vsota dveh valov
Zgornji dve okni prikazujeta dva so asno
potujo a vala v istem nedispersivnem mediju:
vrv, vzmet, zra ni stolp, itd. (položaj je podan v
metrih in as je podan v sekundah). Val v
spodnjem oknu je vsota (algebrai na vsota) dveh
valovnih komponent iz zgornjih oken. Vsota je
to, kar dejansko vidimo. Posamezna valovanja
ne vidiš. Ponovni zagon. Lahko spremeniš
amplitudo, dolžino in hitrost valovanja za g (x, t)
(srednje okno). Oba vala (potujo a v istem
mediju) imata lahko razli ni amplitudi in
valovni dolžini, toda imeti morata enako hitrost
(nastaviti moraš ustrezne hitrosti vala g (x, t)).
a. Zakaj morata imeti oba vala enake hitrosti? (razmišljaj, kakšen je vpliv hitrosti vala v
mediju).
b. Za vsak f (x, t) dolo i amplitudo, dolžino, frekvenco in hitrost vala. Preveri svoj odgovor
z izena evanjem g (x, t) z f (x, t).
c. Dolo i amplitudo, dolžino in hitrost vala g (x, t), tako da bo f + g stoje i val.
Raziskava 17.5: Vsota dveh valov
Zgornji dve okni prikazujeta potujo e valovanje v istem
nedispersnem sredstvu: vrv, vzmet, zra ni tunel itd
(dolžina je podana v metrih in as v sekundah).
Ponovni zagon. Omenimo, da obe valovanji potujeta z
enako hitrostjo, toda v nasprotno smer in da imata enako
amplitudo in valovno dolžino. Seveda, mogo e je tudi, da
imata vala razli ni amplitudi in razli ni frekvenci.
Kakorkoli že, valovanji imata v našem primeru enako
hitrost.
Valovanje, prikazano v spodnjem oknu je vsota
(algebrai na vsota dveh valovnih komponent iz zgornjih
oken). Vsota je to kar dejansko vidiš. Valovnih
komponent ne vidiš.
149
a. Zakaj morata imeti obe valovanji enako hitrost? (razmisli, kako u inkuje hitrost v
mediju).
b. Ustavi valovanje in dolo i valovno dolžino zgornjega vala v enotah delcev na vodoravni
osi. Skiciraj val in nariši to ki, med katerima si meril valovno dolžino ( je razdalja med
tema to kama).
c. Sedaj izmeri periodo zgornjega vala v asovnih enotah. Opiši svoj postopek.
d. Izra unaj hitrost zgornjega vala. Prikaži izra un.
e. Predpostavi, da spodnji val predstavlja odmik strune. Kakšna je longitudinalna hitrost
neke to ke na struni?
f. Predpostavi, da spodnji val predstavlja odmik strune. Ali obstaja as, ko je transverzalna
hitrost strune enaka ni ?
g. Kakšna je povezava ( e obstaja) med hitrostima v (d), (e) in (f)?
Raziskava 17.6: Ustvari stoje e valovanje
Poiš i valovno funkcijo g(x, t), ki ustvari stoje i val z
vozlom pri x = 0 m, torej v centru (položaj je dan v
metrih in as v sekundah). e želiš prebrati pozicijo
koordinat, zadrži pritisnjen levi gumb miške. Ponovni
zagon.
150
Poglavje 18: Zvok
Doslej smo obravnavali obnašanje valov v eni dimenziji. Ve ina valov pa se širi v dveh ali treh
dimenzijah. Pove ana kompleksnost prinaša tudi ve je bogastvo pojavov, ki jih lahko opišemo.
Sem štejemo zvo no valovanje in pojave interference, utripov in Dopplerjev pojav.
Predstavitev 18.1: Predstavitve valovanja na površini
Ko imamo izvor oscilacij na površini vode, tvorimo valovanje, ki potuje navzven v obliki krožnih
front v dveh dimenzijah. Amplituda valovanja (trenjutna smer valovanja) je v smeri, pravokotni
na vodno površino. Kako lahko predstavimo tako valovanje?
En na in prikazovanja je dvo dimenzionalen, pri emer prikazujemo
amplitudo valu s sivim odtenkom. Pri valu s pozitivno amplitudo je barva
bela, amplitudo ni ozna imo svetlosivo, negativno amplitudo pa ozna imo
s rno barvo. Tak prikaz vidimo v naši animaciji (položaj je podan v
centimetrih, as je v sekundah). Ponovni zagon.
Drug na in prikazovanja potovanja valov je tro dimenzionalni.
Navsezadnje moramo upoštevati tri dimenzije: razširjanje valovanja (ki je
površinsko) in smer valovanja. Za tro dimenzionalno predstavitev
odkljukaj 3D prikaz, nato klikni na gumb "nastavi vrednosti in predvajaj".
Katera predstavitev ti je bolj vše ? V kateri lažje vidiš gibanje valovanja?
Tro dimenzionalna predstavitev je bolj realisti na, ista dvo dimenzionalna predstavitev, ki
uporablja sive odtenke, pa lajša dolo anje lastnosti valovanja.
Predstavitev 18.2: Molekularni pogled na zvo no valovanje
Zvo no valovanje je longitudinalno valovanje. Ponovni zagon. Pri longitudinalnem valovanju
poteka valovanje medija (v našem primeru zra nih molekul) v smeri širjenja valovanja. V režimu
prikaži valovanje/skrij molekule vidimo zvo nik, ki je izvor zvo nega valovanja, in valovne
fronte, ki se širijo proti prejemniku ( loveškemu ušesu). Tako si obi ajno predstavljamo zvo no
valovanje: nastaja pri izvoru in se širi proti prejemniku. Toda kaj se v resnici dogaja v mediju,
skozi katerega se širi zvok?
V na inu prikaži valovanje/prikaži molekule
vidimo posamezne zra ne molekule, ki so v
bistvu medij, po katerem potuje zvo no
valovanje; prikazano je tudi valovanje tega
medija. Opazujmo gibanje rde e zra ne
molekule. Molekula niha nazaj in naprej okrog
ravnovesnega položaja.
e bi zvo no
valovanje opisovali s pomo jo posameznih
151
molekul, bi govorili o valovanju odmika. Ugotovimo lahko, da je amplituda odmikov le reda 10-6
m! Drug na in opisovanja zvo nega valovanja bi bil z valovanjem tlaka, kakršno potuje proti
desni. To valovanje rahlo niha okoli atmosferskega tlaka.
Predstavitev 18.3: Interferenca v asu in utripi
Animacija ponazarja sestavljanje dveh zvo nih valov.
Rde i val z = 3.43 m in frekvenco f = 100 Hz se
prišteva zelenemu valu, rezultirajo i val je prikazan
modro (položaj je podan v metrih,
as v
sekundah). Ponovni zagon.
Sedaj spremenimo frekvenco zelenega vala na 120 Hz.
Kakšna je nova valovna dolžina zelenega vala? Z desnim
klikom na graf dobimo njegovo kopijo, ki jo lahko za
lažje merjenje primerno pove amo. Rezultat je 2.86 m.
Ali smo res morali meriti, da smo dobili valovno
dolžino? Ker je hitrost zvoka konstanta in velja v = f,
vemo še da velja = 343/f. Animacija se vedno prav
obnaša: e spremenimo frekvenco zelenega valovanja,
se spremeni tudi valovna dolžina tako, da bo hitrost zvoka 343 m/s.
Opazujmo, kaj se zgodi po seštevanju obeh valov tako, da dobimo modri val. Vpišimo ve
razli nih frekvenc za zeleni val in opazujmo rezultirajo i modri val. Kaj opazimo? Ko sta obe
frekvenci enaki je rezultirajo i val enak originalnim valovom, le amplitudo ima dvakrat ve jo. Je
pa ta val bolj zanimiv, ko imata originalna vala razli ne frekvence (in zato valovne dolžine).
Opazujmo rezultirajo i val, ko ima zeleni val frekvenco 120 Hz. e bi bili na x = 20 m, bi
poslušali zvok, ki bi s asom postajal zdaj bolj hrupen, zdaj bolj tih. Tak vzorec se sliši kot
utripanje. as med glasnejšimi zvoki (ali obratno med tišjimi) lahko izmerimo in je 0.05 sekund.
To ustreza frekvenci utripanja 20 Hz. To je natan no razlika med frekvencama! Kaj se zgodi, e
postavimio frekvenco zelenega vala na 80 Hz? Dobimo enako periodo in torej enako frekvenco
utripanja 20 Hz. Tako ugotovimo, da velja za frekvenco utripanja futr = | f1 - f2 |.
Kaj se torej dogaja? Poglejmo si osnovna valova. Fazna razlika med njima se spreminja s asom.
V dolo enem trenutku se natan no seštevata (konstruktivno interferirata), v nekem drugem
trenutku se odštevata (destruktivno interferirata). Zato lahko re emo, da je pojav utripanja
posledica interference v asu.
Preskusi to še sam. Frekvenco lahko spreminjaš med 50 in 150 Hz.
Predstavitev 18.4: Dopplerjev pojav
V tej predstavitvi bomo opazovali, kaj se dogaja, e se
izvor zvoka približuje ali oddaljuje od mirujo ega
opazovalca(položaj je podan v metrih, as v
milisekundah). So asno lahko obravnavamo, kaj se
dogaja, e se opazovalec približuje ali oddaljuje od
zvo nega izvora. Ponovni zagon.
152
Kar opazimo iz vsakodnevnih izkušenj je, da se, e se nam zvok približuje, frekvenca, ki jo
slišimo, pove uje. Ko se oddaljuje, frekvenca, ki jo slišimo, pada. e se približujemo zvo nemu
viru, frekvenca, ki jo slišimo, naraš a. e se oddaljujemo, ta frekvenca pada. Razlika med
primeroma, ali se giblje opazovalec ali se giblje izvor, je v tem kako zaznamo zvo ne valove v
posameznih primerih.
Animacija 1 ponazarja, kaj se dogaja, e sta tako izvor zvoka, kot njegov opazovalec mirujo a.
Opazimo, da je valovna dolžina zvoka 1.7 m in da ima periodo 0.5 ms, kar ustreza frekvenci 200
Hz.
e se giblje opazovalec, tako kot v Animaciji 2, so oddajani zvo ni valovi nemoteni. Valovna
dolžina se med gibanjem opazovalca ne spreminja. Opazovalec v danem asu le preide ve
oziroma manj valovnih front ([vt ± vDt]/ t) , ko se približuje oziroma oddaljuje od izvora.
Posledi no doživlja spremembo v frekvenci.
V primeru, ko se premika izvor, kot vidimo v Animaciji 3, se spreminjata tako frekvenca ( as
med valovnimi frontami) kot valovna dolžina. Valovne fronte so oddajane bolj skupaj oziroma
narazen ( '= vT -/+ vST = [v -/+ vS]/f) pri približevanju ozoroma oddaljevanju izvora od nas.
Animacija 4 predstavlja zvo no valovanje izvora, ki se giblje pod vpljivom linearne vra alne sile
(harmoni no gibanje).
Oba primera lahko zapišemo skupaj, pri emer naj bo vS hitrost izvora in vD hitrost opazovalca
oziroma prejemnika:
f '= f [v ± vD]/[v -/+ vS].
Ko je izvor nepremi en, giblje pa se opazovalec oziroma prejemnik, velja f'= f [v ± vD]/v, ko pa
je opazovalec nepremi en in se giblje izvor, velja f'= f v/[v -/+ vS]. Zgornja predznaka pomenita
hitrost približevanja, spodnja pa hitrost oddaljevanja.
Ko se izvor giblje s hitrostjo zvoka, potuje oddajani val z enako hitrostjo kot izvor. Tvori se
zvo ni val, ki povzro i pok, kakor to prikazuje Animacija 5. Pri nadzvo nih letalih in podobnih
primerih dobimo dvojni pok - pok fronte pred letalom in pok za njim. Valovi, ki se seštevajo,
tvorijo najprej velik prirastek tlaka in nato velik padec tlaka pred povratkom na normalni
atmosferski tlak.
Predstavitev 18.5: Položaj nadzvo nega letala.
Letalo potuje z nadzvo no hitrostjo in
povzro i zvo ni pok. V animaciji potuje
letalo od to ke A k to ki B. Poslušalec,
prikazan kot uho, je na to ki C.
Opazujmo, kako hitrost letala in položaj
poslušalca vplivata na zvok letalskih
motorjev, kot ga sliši poslušalec.
153
V animaciji lahko nastavljamo hitrost letala, ozna eno z v. Hitrost zvoka je konstantna in je 343
m ter jo ozna imo z vs (v animaciji je ozna ena kot v_s). S klikom na gumb "predvajaj"
sprožimo animacijo. Poleg tega
•
•
•
•
•
Z vle enjem lahko spreminjamo položaj ušesa.
Program kaže poti zvoka do poslušalca.
Animacija se ustavi, ko zvo ni udar pride do poslušalca; nadaljujemo jo lahko z desnim
klikom.
Barva zvo nih valov se spremeni na modro, ko le-ti dosežejo poslušalca. Vrstni red, ko
posamezne poti dosežejo poslušalca, je podan s števili na mestu, kjer je bil zvok
proizveden.
Klikni na "zacetno stanje" za privzete vrednosti.
Opazujmo zvok, ki ga proizvaja letalo, ki iz neke to ke
A potuje naravnost k to ki B po poti AB. Poslušalec
sliši letalo na njegovi poti proti B (AB > AC). DC je
pot zvoka, ki je nastal v neki to ki D in potoval k
poslušalcu na to ki C.
Poglejmo nekaj asovnih intervalov ( t = | x|/v). as,
ki ga zvok potrebuje za pot od A do C, je AC/vs, as,
ki ga letalo potrebuje za premik od A do D, je AD/v,
as, ki ga zvok potrebuje za pot od D do C, je DC/vs.
Kakšen je asovni interval AC/vs v primerjavi z intervalom AD/v + DC/vs? Druga e re eno, kaj
se bo prej zgodilo: zvok, oddajan v to ki A bo dosegel C ali zvok, oddajan v to ki D bo dosegel
C?
Najprej poglejmo letalo, ki potuje po asneje ali kve jemu enako hitrosti zvoka. AD/v + DC/vs >
AC/vs ker je pot ADC daljša od poti AC. Najve , kar zmoremo, je, da je interval AD kar
najmanjši, kar je pri v = vs. V tem primeru je primerjava asovnih intervalov ekvivalentna
primerjavi obeh poti. Jasno je, da velja ADC > AC. Pri v << vs je situacija še slabša in interval za
pot ADC je še daljši. Zato bomo prej slišali zvok letala, ko je le-to bilo v to ki A, pred zvokom,
ko je bilo letalo v to ki D.
Sedaj obravnavajmo slišanje letala, ki potuje nad nami s hitrostjo (v > vs). Kar slišimo, je spet
odvisno od tega, ali je AD/v + DC/vs ve je, manjše ali enako AC/vs. e je v dovolj velika, pomeni
dodatna razlika v poti AD edalje manjši asovni interval, in ker je DC < AC, lahko slišimo zvok,
oddan v to ki D pred zvokom, oddanim v to ki A. Preveri to s pomo jo animacije. Nastavi v in
prestavljaj uho. Kdaj "slišimo" zvok letala, je razvidno iz števil, ki kažejo vrstni red dogodkov.
154
Raziskava 18.1: Tvorba zvoka z dodajanjem harmonskih
komponent
Za ni z izbiro prve harmonske komponente
(predstavljene s H#, pri emer je H1 osnovna ali
prva harmonska komponenta) in s pomo jo
drsnika
dodaš
harmonsko
komponento
skupnemu valu. Pri tem ostaja frekvenca
nespremenjena, spreminja pa se amplituda.
Nastavi vrednost H1 tako, da bo negativna.
Opazimo, da negativni predznak preprosto
invertira obliko zvo nega vala. Z drsnikom
lahko torej vplivamo na amplitudo in na fazo (le
vrednosti 0 ali ) harmonske komponente
zvo nega vala. Poleg splošne oblike vala vidimo
na desni relativno velikost komponent vala.
Ponovni zagon.
a. Izmeri osnovno periodo.
b. Kolikšna je osnovna frekvenca?
Upoštevaj naslednje harmonske komponente:
H
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Primer A Primer B Primer C
1.000
1.000
0.500
-0.111 0.333
0.250
0.040
0.20
0.166
-0.020 0.142
0.125
0.0123 0.111
0.100
Primer D
1.000
0.500
0.333
0.250
0.20
0.166
0.142
0.125
0.111
0.100
c. Kakšne oblike valov dobimo pri teh vrednostih?
d. Napiši matemati no formulo, ki opisuje te primere? (Namig: to je vsota.)
155
Raziskava 18.2: Tvorba zvoka z dodajanjem harmonskih
komponent
Nastavi drsnik za H5 (harmonska
komponenta 5) na vrednost 1. Slišati bi moral
ist ton. Ponovni zagon.
a. Kakšna je frekvenca pete harmonske
komponente?
Po asi zmanjšaj vrednost H5 na ni . Opaziš,
da pri tem frekvenca ostaja ista, aplituda pa se
po asi manjša. Nadaljuj z manjšanjem
vrednosti H5 tako, da postane negativna.
Opazimo, da negativni predznak preprosto
invertira obliko zvo nega vala. Tako lahko s
posameznimi drsniki nastavljamo tako
amplitudo kot fazo (le vrednosti 0 ali )
harmonikov zvo nega valovanja.
b. Kaj se dogaja z zvokom, ki ga slišimo, ko drsnik premikamo od vrednosti +1 proti ni ?
c. Kaj se dogaja z zvokom, ki ga slišimo, ko drsnik premikamo od vrednosti 0 do -1?
d. Ali slišiš razliko v zvoku pri +1 in -1?
Doslej smo že lahko ugotovili odvisnost med glasnostjo in amplitudo. Poglejmo, kaj dolo a
višino tona (glasbeno noto). Nastavi H5 na ni . (To lahko naredimo z dirsnikom ali z vtipkanjem
vrednosti ni v okno ob drsniku) Uporabi drsnike in vklopi nekaj drugih harmonskih komponent.
Zvok, ki ga slišimo, je vsota vseh vklju enih komponent. e bi hotel slišati posamezne
harmonske komponente, bi moral ostalim nastaviti vrednost na ni .
e. Kaj dolo a višino tona, e upoštevaš svoje preskuse? Bolj podrobno, je ta vrednost ve ja ali
manjša pri visokih oziroma nizkih tonih?
Sedaj pride najbolj zanimivo. Kako lahko z elektronsko klaviaturo oponašamo zvok posameznih
instrumentov? Da to razumemo, moramo najprej vedeti, zakaj (matemati no) trobenta zveni
druga e od klarineta. e imamo le eno harmonsko komponento, slišimo ist ton. Pri igranju s
trobento ne tvorimo istega tona. V trobenti vzpostavimo vibracije oziroma resonan ne stojne
valove ( iste tone). So asno imamo ve resonan nih stojnih valov. Vsi ti resonan ni stojni valovi
(harmoniki) se seštevajo in mi slišimo vsoto teh posameznih istih tonov. Relativne magnitude
posameznih harmonskih komponent so za klarinet oziroma trobento razli ne, zato ista nota na
obeh instrumentih zveni druga e.
156
Preskusi naslednje vrednosti harmonskih komponent.
Ali rezultirajo i toni spominjajo na klarinet
oziroma trobento? No, približno. Nekaj
podobnosti s tema instrumentoma lahko
opazimo in lahko ugotovimo, da se oba tona
razlikujeta,
eprav se ne ujemata z
resni nima instrumentoma.
Klarinet Trobenta
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f.
0.91
0.51
0.71
0.86
1
0.71
0.54
0.2
0.18
0.53
1
0.94
0.95
0.66
0.58
Ali lahko pomisliš na nekaj razlogov, zakaj se proizvedeni zvok ne ujema povsem s
pravim instrumentom?
Raziskava 18.3: Mikrofon med dvema zvo nikoma
Mikrofon postavimo med dva zvo nika (položaj je podan v centimetrih, as je v sekundah).
Zvo nika povežemo z dvema izvoroma, ki imata spremenljivi frekvenci, f1 in f2. Graf kaže
asovni potek zvo nih valov, ki prihajata do mikrofona, tako od posameznih zvo nikov kot njuno
vsoto. Spreminjaj frekvenco posameznih zvo nih izvorov (25 Hz < f1, f2 < 30 Hz) in opazuj
spremembo interference obeh zvo nih valov. Preu uj pojav utripanja in preveri, e je frekvenca
utripanja pravilna. Ponovni zagon.
a. Kaj se zgodi, ko postajata frekvenci skoraj
enaki?
b. Kaj se zgodi,
e se razlika med
frekvencama zelo pove a?
c. Ali je pomembno, kateri zvo nik ima višjo
frekvenco?
d. Kaj se zgodi, ko sta frekvenci povsem
enaki?
Spomni se, da razlika med obema zvo nima
frekvencama dolo a frekvenco utripa.
157
Raziskava 18.4: Dopplerjev pojav in hitrost izvora
Primer kaže Dopplerjev pojav. rna pika predstavlja
izvor zvoka, ki potuje s hitrostjo, nastavljivo z drsnikom.
Hitrost je podana glede na hitrost zvoka: zato v = 1
ustreza hitrosti zvoka. Ponovni zagon.
Spreminjaj hitrost izvora od ni do hitrosti zvoka, nato
pa do maksimalne, ki jo dopuš a drsnik. Opazuj
animacijo in odgovori na spodnja vprašanja.
a. Kako se vzorec valovnih front spreminja glede na hitrost vizvora?
b. Za vizvora > vzvoka (vrednosti drsnika > 1) kako se spreminja udarni val oblike V glede na
vizvora?
Raziskava 18.5: Reševalni avto vozi z vklju eno sireno
Pri gibanju reševalnega vozila (položaj je
podan v metrih, as je v sekundah), si
pomagaj z animacijo za iskanje odgovorov na
naslednja vprašanja. Ponovni zagon.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Kako se spreminja valovna dolžina zvoka glede na žensko na desni?
Kako se spreminja frekvenca zvoka glede na žensko na desni?
Kako se spreminja valovna dolžina zvoka glede na moža na levi?
Kako se spreminja frekvenca zvoka glede na moža na levi?
Kako se spreminja valovna dolžina zvoka glede na pacienta v vozilu?
Kako se spreminja frekvenca zvoka glede na pacienta v vozilu?
158
Del 4: Termodinamika
Poglavje 19: Toplota in temperatura
Termodinamika govori o prou evanju relacij med toploto, delom, notranjo energijo,
makroskopsko opisanih s temperaturo. Toplota je energija, ki se prenaša zaradi temperaturne
razlike med telesi oziroma energija, posredovana pri opravljanju dela, ki spreminja notranjo
energijo telesa. Drugi zakon termodinamike pravi, da toplota te e od teles z višjo temperaturo k
telesom z nižjo temperaturo. Mehanizem prenosa toplote ozna imo s pojmi prevodnosti,
konvekcije in sevanja. Pri prou evanju dogajanja pri dodajanju toplote snovi raziskujemo
spremembe stanj (topljenje-zmrzovanje, uparjevanje - kondenzacija) in naraš anje temperature v
trdnih telesih in teko inah. Pri naraš anju temperature tudi kvantitativno opisujemo širjenje snovi.
Predstavitev 19.1: Specifi na toplota
Specifi na toplota (v asih ji pravimo specifi na
toplotna kapaciteta) opisuje, koliko toplote je
potrebno za dolo en prirastek temperature dane
koli ine snovi. V naši predstavitvi imamo klado iz
modre snovi v izolirani pe i ( as je podan v
minutah in temperatura v stopinjah Celzija).
Ponovni zagon. Predpostavimo, da klada vsrka
vso toploto iz grelnika. Zaradi grelnika (ki
posreduje toliko in toliko toplote na sekundo) se
bo temperatura v modri kladi s asom pove evala.
e bi spremenili maso klade, bi bil prirastek
temperature druga en (ob podani mo i grelnika). To kvantitativno opisuje naslednja ena ba
Q = mc (Tk - Tz),
Pri tem je Q toplota, m je masa, c je specifi na toplota, T je temperatura (indeksi ozna ujejo
kon no in za etno temperaturo). Opazimo da se, e podvojimo maso, za enako koli ino
posredovane toplote sprememba temperature razpolovi. Razli ne snovi imajo razli ne vrednosti
specifi ne toplote (oziroma specifi ne toplotne kapacitete). Voda ima na primer precej višjo
specifi no toploto od bakra. Zato se bakreni lonec na štedilniku hitreje segreje od vode, ki je v
njem. In še, poln lonec vode, ker je vodne mase ve , potrebuje ve asa, da doseže kon no
temperaturo (obi ajno je to temperatura vretja približno 100oC).
Specifi no toploto obi ajno merimo v joulih/(kg st), pri
temperature.
emer predstavlja st spremembo
Predstavitev 19.2: Prenos toplote, prevajanje toplote
Toplota se prenaša preko treh mehanizmov: prevajanjem, konvekcijo in sevanjem. Ta
predstavitev kratko opisuje te mehanizme, sama animacija pa je usmerjena v prevajanje
(temperatura je podana v stopinjah Celzija). Ponovni zagon.
159
Konvekcija je prenos toplotne energije preko gibanja plina (ali teko ine): Segrevan zrak se širi in
dviguje in tako odmika hladen zrak, ki se spuš a, se tu ogreje in spet dviguje. Tako nastanejo
"konvekcijski tokovi".
Do prenosa toplote s sevanjem pride, ko telo vsrkava ali oddaja elektromagnetno sevanje in
pridobiva oziroma izgublja energijo (glej Predstavitev 19.3).
Kot kaže animacija, je prevajanje prenos
toplote v snovi zaradi temperaturne razlike
v telesu (pomislimo na žli ko v vro i
kavi). O snoveh, ki zlahka posredujejo
toploto (ve toplote v danem asu),
pravimo, da imajo visoko prevodnost (na
primer kovinska žlica), tiste pa, ki ne (na
primer obleka), pa imajo nizko
prevodnost. Razlog za izolacijo hiše je na
primer v tem, da zmanjšamo prevodnost
zidov, tako da potrebujemo manj energije
za to, da bo notranjost hiše imela dano
temperaturo, eprav je zunaj precej bolj
toplo ali hladno. V animaciji lahko
zmanjšaš
prevodnost,
"zunanjo"
temperaturo oziroma debelino zida in
opazuješ izgubo energije. Ta izguba je v bistvu energija, ki je potrebna za segrevanje ali hlajenje
notranjosti hiše.
Predstavitev 19.3: Prenos toplote, sevanje
Toplota se s Sonca prenaša na planete s sevanjem.
Planet nato seva energijo nazaj v vesolje. Planet
doseže ravnovesno stanje, ko se izena ita energija,
ki jo dobiva od Sonca, in energija, ki jo seva
planet. Za sevano energijo velja:
P=
S T4,
Pri tem je Stefan-Boltzmannova konstanta (5.67
x 10-8 W/m2*K4), je emisivnost (1 za " rno telo"
(ki vse vsrka); 0 za popolno zrcalo), S je ploš ina površine (4 R2) in T je temperatura. Kvocient
energije, ki jo prejema planet s ploš ino (energija/ploš ina) se spreminja v obratnem sorazmerju s
kvadratom oddaljenosti od Sonca. Efektivna površina, ki jo zadene sevanje s Sonca, meri R2,
pri emer je R polmer planeta. Vendar pa je celotna površina, iz katere seva planet, enaka
površini krogle (4 R2) s polmerom R. Ponovni zagon.
e zanemarimo atmosfero planeta (ki odbije del Son ne svetlobe in prestreze nekaj sevanja s
površine planeta), lahko napovemo temperaturo planeta. Povleci rde i planet v animaciji na
razli ne razdalje od Sonca in si oglej razli ne temperature na površini. Ko je rde i planet na
položaju Zemlje, je temperatura pod resni no povpre no temperaturo Zemlje 287 K. e
upoštevamo u inek atmosfere, je energija, posredovana površini Zemlje še zmanjšana (saj
atmosfera nekaj svetlobe odbija). Zakaj Zemlja ne postane zmrznjen planet? To je zaradi u inka
160
rastlinjaka, pri katerem plini v atmosferi ne dovolijo (infrarde emu) delu sevanja z Zemlje, da bi
ušlo iz atmosfere. To sevanje se ujame v Zemljino atmosfero in segreva Zemljo na njeno trenutno
povpre no temperaturo. Ker plini "rastlinjaka" v atmosferi naraš ajo, se bo povpre na
temperatura Zemlje dvigovala.
Raziskava 19.1: Mehanski ekvivalent toplote
Med spuš anjem rde e uteži z maso 100kg se v teko ini vrti
lopatica in teko ina se segreva. Joule je s podobno napravo dolo il
ekvivalenco med toploto in delom. Animacija bo izvajala enak
poskus (položaj je v metrih, as je v sekundah, temperatura je
v stopinjah Celzija). Temperaturo teko ine kaže termometer.
Ponovni zagon.
Dimenzija posode, v kateri je teko ina in ki je ne vidimo (ker je
pravokotna na zaslon), je 0.1 m. Gostota teko ine je 13,600 kg/m3.
a. Kolikšna je prostornina teko ine?
b. Kolikšna je masa teko ine?
c. Kolikšna je sprememba temperature teko ine med animacijo?
d.
e potrebujemo 33 kalorij za dvig temperature 1 kg teko ine za 1oC, koliko toplote
potrebujemo za teko ino?
e. Kolikšna je sprememba kineti ne energije padajo e rde e uteži?
f. Kolikšno delo opravi gravitacija na uteži (v joulih)?
g. Delo v (f) se spreminja v gretje teko ine s trenjem (ko se lopatica vrti v teko ini). Koliko
kalorij ustreza 1 Joulu?
Raziskava 19.2: Temperaturno raztezanje snovi
Palico pritrdimo na enem koncu. Animacija kaže celotno
palico in pove an pogled desnega konca (položaj je
podan v metrih, as je v minutah, temperatura v
kelvinih). Pri pove evanju temperature opazimo
raztezanje palice. Raziskava nam bo pomagala razviti
kvantitativno odvisnost prirastka dolžine palice kot
funkcijo za etne dolžine in spremembe temperature, kar
naj velja za vse snovi. Ponovni zagon.
Opomba: zapis x10 pomeni, da odbiranje (v metrih) v
resnici pomeni desetinke metrov.
a. Kaj se zgodi s spremembo dolžine pri animaciji 1, e za etno dolžino podvojimo?
b. Ponovi (a) za snov v Animciji 2. Kakšna je primerjava rezultatov?
c. Kako lahko sprememba kon ne temperature vpliva na spremembo raztezka? (Kaj se
zgodi s spremembo dolžine, e podvojimo spremembo temperature?)
161
d. Kakšen splošni izraz lahko zapišeš za spremembo dolžine kot funkcijo spremembe
temperature in za etne dolžine?
Razliko med obema snovema opisujejo razli ni koli niki linearnega raztezanja ( ). Za snov v
animaciji 1 je 30 x 10-6/K, pri snovi v animaciji 2 pa je 20 x 10-6/K.
Pri segrevanju trdnih teles (celo pri tankih palicah kot v našem primeru), imamo raztezanje v vseh
treh dimenzijah. Ena ba za prostorninsko raztezanje je enaka kot pri linearnih raztezkih, pri
emer je razteznostni koeficient približno enak 3 .
e. Zakaj ne vidimo raztezanja palice v drugih dveh dimenzijah?
Raziskava 19.3: Kalorimetrija
Ko sta dve telesi z razli nima
temperaturama v medsebojnem
termi nem stiku, lahko dosežeta
enako temperaturo. Toplota bo tekla
od toplejšega telesa na bolj
hladnega, dokler oba ne dosežeta
enake temperature (temperatura je
podana v kelvinih, toplota v
joulih). Uporabimo ena bo za
vsrkano ali sproš ano toploto pri
spremembi temperature, Q = mc (Tk
- Tz), pri emer je Q toplota, m je
masa, c je specifi na toplota, T je temperatura (indeksi nakazujejo kon no in za etno
temperaturo) in tako dolo imo specifi no toploto telesa. Ponovni zagon.
V animaciji vstavimo kos segrete kovine v hladno vodo. e je voda dobro izolirana, lahko
predpostavimo, da v bistvu ne bo izgube toplote v okolje. Kon na temperatura kombinacije
kovina/voda je odvisna od mase vode, mase kovine in specifi ne toplote obeh. Spreminjaj
za etno temperaturo kovine in maso kovine. Z izena enjem izgube toplote telesa s pridobitvijo
toplote v vodi lahko izra unamo specifi no toploto neznanega telesa ali kon no temperaturo
sistema. Imamo 10 kg vode, specifi na toplota vode je 4.186 kJ/kg*K. Specifi na toplota telesa je
0.39 kJ/kg*K.
a. Za telo z maso 1kg in za etno temperaturo 800 K uporabi zgornjo ena bo za toploto, ki
jo vsrka voda in toploto, ki jo sprosti telo, ko dosežeta kon ne temperature.
b. Kakšno je merilo za toploto na pali nih grafih? Druga e povedano, katerim toplotnim
enotam ustreza posamezna oznaka (10 kJ, 100 kJ, 200 kJ, itd.)?
c.
e je m = 3 kg in za etna temperatura telesa 1000 K, izena i sproš eno toploto z vsrkano
toploto in napovej kon no temperaturo. Sproži animacijo in preveri svojo napoved tako
kon ne temperature kot sproš ene oziroma vsrkane toplote.
162
Raziskava 19.4: Ravnovesje toplote
Animacija kaže inkubator za piš ance. V zaboju je grelec s
spremenljivim napajanjem. Inkubator ima termi no prevodnost
0.15 W/m*K in debelino 2 cm. Dimenzija inkubatorja, ki je ne
vidimo (globina pravokotno na zaslon) je 0.3 m (položaj je
podan v desetinkah metra, temperatura v stopinjah
Celzija). Po spreminjanju napajanja grelnika opazujmo
spremembo notranje ravnovesne temperature, pri emer
prihaja do izgube energije skozi stene proti zunanjosti.
Ponovni zagon.
Zaboj mora biti oble en s svetlo odbojno snovjo (folijo), tako
da ni bistvenih prispevkov s sevanjem toplote. Edini bistven
proces izmenjave energije je prevajanje.
a. Animacija kaže pri spremembah napajanja grelnika takojšno spremembo temperature.
Pojasni, zakaj to ni v skladu s fiziko (temperatura se v resnici ne spremeni takoj). Kaj
dolo a, kako dolgo bo trajalo, da sistem doseže ravnovesje?
b. Ko uporabljamo grelec 50 W, izra unaj izgubo energije s prevajanjem z uporabo P =
(kS/x) T, pri emer je k termi na prevodnost (v našem primeru 0.15 W/m*K), S je
površina zaboja, x je debelina sten zaboja, T je temperaturna razlika med notranjostjo
inkubatorja in njegovo zunanjo okolico. To naj bi bilo enako energiji, ki jo posreduje
grelnik (50 W).
c. Z izena enjem energije na asovno enoto v zaboju (od grelnika) z izgubo energije iz
zaboja (s prevodnostjo skozi steno) napovej potrebno mo grelnika, da bi držal zaboj na
temperaturi 27oC.
d. Preveri svojo napoved s spreminjanjem mo i grelnika. Pomislimo, da bi v primeru, ko bi
bili v zaboju piš anci, tudi ti sevali toploto in bi morali toploto grelnika zmanjšati.
163
Poglavje 20: Kineti na teorija in zakon o
idealnem plinu
Pri kineti ni teoriji plinov obravnavamo povezavo med makroskopskimi veli inami - temperaturi
in pritisku, ter mikroskopskimi veli inami - notranji energiji in momentu. Kot model sistema za
raziskovanje povezav med makroskopskimi in mikroskopskimi veli inami uporabljamo idealni
plin. Pogosto bomo za opisovanje termodinami nih procesov oziroma za prikaz opravljenega dela
in spremembe notranje energije, vezane na vnos energije, uporabljali diagrame tlak - prostornina
(pV diagrame).
Predstavitev 20.1: Maxwell-Boltzmannova porazdelitev
V tej animaciji velja, da je N = nR (i.e., kB =
1). Iz tega sledi idealni plinski zakon v obliki
pV = NT. Prikazane povpre ne vrednosti, < >,
so izra unane preko intervalov ene asovne
enote. Ponovni zagon.
Vsi delci v plinu nimajo enake hitrosti.
Temperatura plina je povezana s povpre no
hitrostjo delcev, hitrosti delcev pa opišemo z
Maxwell-Boltzmannovo porazdelitvijo. Gladka
rna krivulja na grafu prikazuje MaxwellBoltzmannovo porazdelitev pri dani temperaturi. Kaj se zgodi s porazdelitvijo, ko povišamo
temperaturo? Porazdelitev se razširi in premakne proti desni (k ve ji povpre ni hitrosti). Pri
dolo eni temperaturi pa je porazdelitev hitrosti enoli no dolo ena. Zato, kadar govorimo o
karakteristi ni hitrosti delca pri dolo eni temperaturi uporabimo enega od naslednjih izrazov (M
je molarna masa, m pa masa atoma):
•
•
•
Povpre na hitrost: (8RT/ M)1/2 = (8kBT/ m)1/2
Najbolj verjetna hitrost: (2RT/M)1/2 = (2kBT/m)1/2
povpre na hitrost po metodi najmanjših kvadratov: (3RT/M)1/2 = (3kBT/m)1/2
Ne obstaja enostaven na in za opis hitrosti, ker imamo porazdelitev hitrosti. To pomeni, da dokler
veš, katero od karakteristi nih hitrosti uporabljaš, lahko opišeš plin s katerokoli od navedenih.
Razli ne karakteristi ne hitrosti so ozna ene na grafu.
Predstavitev 20.2: Kineti na teorija, temperatura in tlak
V tej animaciji velja, da je N = nR (i.e., kB = 1). Iz tega sledi idealni plinski zakon v obliki pV =
NT. Prikazane povpre ne vrednosti, < >, so izra unane preko intervalov ene asovne enote.
Ponovni zagon.
Ekviparticijski teorem pravi, da je temperatura plina odvisna od notranje energije delcev. Pri
monoatomarnih delcih je notranja energija danega delca enaka njegovi kineti ni energiji (vsaka
prostostna stopnja prispeva 1/2 kBT in monoatomarni plin ima 3 prostostne stopnje). Zato ima
idealen plin iz delcev z razli nimi masami enako povpre no energijo za vse delce.V tej animaciji
164
imajo rumeni delci 10×ve jo maso kot svetlo modri. Kakšna je primerjava med kineti no energijo
modrega delca (ki je predstavnik manjših delcev) in kineti no energijo oranžnega delca (ki je
predstavnik ve jih delcev)? Kaj pri akuješ pri primerjavi hitrosti obeh delcev? Medtem, ko naj bi
bila povpre na kineti na energija identi na, bi se morali povpre ni hitrosti delcev razlikovati, ker
imata razli ni masi.
Zdaj potroji temperaturo. Kaj se zgodi s
kineti no energijo obeh: modrega delca (ki
je predstavnik manjših delcev) in kineti no
energijo oranžnega delca (ki je predstavnik
veè ih delcev)? e potrojiš temperaturo, kaj
se zgodi s kineti no energijo? Kaj se zgodi s
hitrostjo delcev? Povpre na kineti na
energija bi se morala pove ati za trikrat,
medtem ko se povpre na hitrost obeh vrst
delcev pove a za 1.73-krat, kar je kvadratni
koren od 3.
Kon no, opazimo lahko, da je <dp/dt>,
povpre na gibalna koli ina, ki jo prejmejo
stene, nekaj ve ja od vrednosti tlaka,
izra unanega iz idealnega plinskega zakona (p = NT/V). Do razlike pride zaradi predpostavke za
idealne plin, ki pravi, da so delci "to kasti", medtem ko v animaciji nastopajo delci z dolo enim
polmerom. Zato s steno interagirajo prej (z robom delca namesto s središ em), med seboj pa bolj
pogosto. Zato je povpre ni as med trki s steno ( t) manjši, in < p/ t> = <dp/dt> ve ji, kot
predvideva idealni plinski zakon. Realno, seveda, delci niso to kasti, vendar so velikosti delcev
tipi no veliko manjše glede na velikosti posode, zato "to kasta" aproksimacija deluje dobro. Zdaj
pa pove aj velikost delcev, da vidiš, kaj se zgodi, e so delci veliki.
Predstavitev 20.3: Termodinamski procesi
V tej animaciji velja, da je N = nR (i.e., kB
= 1). Iz tega sledi idealni plinski zakon v
obliki pV = NT. Ponovni zagon.
Obstaja ve na inov, preko katerih lahko
plin preide iz enega stanja (ki ga opišemo s
tlakom, volumnom, številom atomov in
temperaturo) v drugega. Toplota lahko
prehaja iz okolice v plin, ali pa plin greje
okolico. Ravno tako lahko plin opravlja
delo, ali pa delo prejme. Kako plin preide iz
enega stanja v drugo, je dolo eno s
toplotnim tokom in opravljenim delom.
Vendar pa se notranja energija spremeni
samo, e se spremeni temperatura sistema
(ne glede na na in spremembe temperature). Z drugimi besedami, sprememba notranje energije je
neodvisna od procesa, medtem ko sta delo in toplota odvisna od vrste procesa
165
Da poenostavimo, poimenujemo procese z imeni, ki opisujejo tipe procesov. V naši ponazoritvi je
število atomov v plinu konstantno (sicer ni posebne zahteve, da bi število atomov ostalo
konstantno, vendar za namen naše ponazoritve predpostavimo zaprto posodo).
•
•
•
•
Izobarni: Tlak v plinu ostane v toku procesa konstanten. To pomeni, da e se spremni
temperatura plina, se bo tudi prostornina. Primer: balon damo v hladilnik, kjer se skr i.
Izohorni: Volumen plina ostane konstanten. To pomeni, da vsako temperaturno
spremembo spremlja sprememba tlaka. Primer: vodni pari v "ekonom loncu" naraste tlak,
ko se temperatura poviša.
Izotermni: Temperatura plina ostane konstantna. Ko volumen naraste, tlak pade. Primer:
Volumen balona v vakumski posodi naraste, ko znižamo tlak v posodi.
Adiabatni: Volumen, temperatura in tlak se spreminjajo. Pri adiabatnem procesu sistem
ne izmenja toplote z okolico, ker proces poteka zalo hitro. Primer: stiskanje zraka v
komori ro ne tla ilke pri polnejnju kolesarske pnevmatike, ali hitro stiskanje brizgalke.
Eden od na inov opisa stanja plina je pV diagram. Prav tako bi lahko uporabili pT ali VT
diagram, vendar uporabljamo pV diagram, ker na njem lažje vidimo opravljeno delo. Delo je kar
ploš ina lika pod krivuljo (do ordinatne osi, ki je na naših grafih ozna ena z rde im poljem). e
že znaš kaj o infinitezimalnem ra unu, boš to lahko razbral iz ena be za delo W = p dV (integral
je namre ploš ina lika pod krivuljo).
Spremembe stanja v plinu pa niso vedno opisane z zgoraj navedenimi procesi (Neznan proces). V
idealnem plinu lahko te e poljuben proces, dokler velja zveza pV = NT. Preprosto gre za to, da je
v tekem primeru težje matemati no opisati proces, zato je težje izra unati delo in toploto.
Ko dobiš primeren graf, uporabi desni klik, da ga podvojiš v novo okno, ki ga lahko potem
raztegneš za boljši ogled.
Predstavitev 20.4: Ohlajanje pri izparevanju
V plinu pri dani temperaturi imajo delci plina razli ne hitrosti, ki so porazdeljene po MaxwellBoltzmannovi porazdelitvi. V tej animaciji imamo dve posodi, ki ju lo i membrana. V za etku
noben delec ne more preiti skozi membrano. Ko pa so delci enkrat enakomerno porazdeljeni po
levi posodi, lahko dovoliš izparevanje-kar pomeni, da bodo najhitrejši delci iz leve posode
166
pobegnili v desno. Kakšna je na za etku približna temperatura na vsaki strani? Svetlo modra
stena v desni posodi ima konstantno temperaturo 20 K, tako da se delci, ko tr ijo vanjo, ohladijo
(se upo asnijo). Ponovni zagon.
Poskusi spustiti delce skozi membrano. V tej animaciji lahko membrano pre kajo samo delci s
hitrostjo 25 ali ve . Ta prag je prikazan tudi na histogramu hitrosti. ez nekaj asa postanejo
prehodi delcev skozi membrano vse bolj redki. Poglej, kaj se je zgodilo s porazdelitvijo hitrosti v
levi posodi (Lahko da tam še vedno obstajajo delci z ve jo hitrostjo, kot je hitrost praga, ker je
porazdelitev hitrosti še vedno Maxwell-Boltzmannova.). Kaj se je zgodilo s temperaturo v levi
posodi? To se zgodi pri izhlapevanju: najhitreši delci zapustijo sistem, zato se preostanek ohladi.
Zato nas znojenje ohladi-ko znoj izhlapeva z naše kože, se mi ohladimo. Torej, izhlapevanje je
ohlajevalni proces.
Raziskava 20.1: Kineti na teorija, povezave med
mikroskopskim in makroskopskim
V tej animaciji velja, da je N = nR (i.e., kB = 1). Iz tega sledi zakon za idealni plin v obliki pV =
NT. Prikazane povpre ne vrednosti, < >, so izra unane preko intervalov ene asovne enotet. Z
uporabo Zakona idealnega plina, lahko povežamo makroskopske koli ine temeprature (T) in tlaka
(p) in individualne mikroskopske lastnosti delca z gibalno koli ino (G = mv) in kineti no
energijo (1/2 mv2). Ponovni zagon.
Za nimo z enim delcem v zaprti škatli, kjer se odbija med stenami.
a. Kolikšna je sprememba
gibalne koli ine delca
(uporabi graf hitrosti v
odv. od asa), ko zadane
steno?
b. Kakšna je povpre na sila
po asu na desno steno?
Namig: Fpov = G/ t, zato
izberi
asovni
okvir
(kakih 20 enot), vsaki
pomnoži
spremembo
gibalne
koli ine
s
številom trkov z desno steno in nato deli s skupnim asom za to število trkov.
c. Kakšna je povpre na sila na levo steno? Kaj pa na strop in tla?
d. Izra unaj tlak na površino škatle, sila/(površina sten). Velikost stene gledano v zaslon je
1.
e. Primerjaj tlak izra unan pri (d) s tlakom na škatlo, ki je izra unan iz idealnega plinskega
zakona in zapisanega v tabeli.
Pove aj hitrost delca. Gibalna koli ina, ki jo prejme stena, se s tem pove a, s imer se pove a
tlak. e tlak v plinu naraste (volumen pa ostane konstanten), bo temperatura v plinu prav tako
narasla.
167
f. Kolikšna je nova hitrost delca?
g. Kolikšen je nov tlak?
h. Kakšna je nova temperatura?
Prav tako bo tudi pove anje mase delca pove alo tlak, torej bi morala biti temperatura prav tako
povezana z maso delca. Pove aj maso delca.
i. Kolikšna je nova masa?
j. Kolikšen je nov tlak?
k. Kolikšna je nova temperatura? Povezava med spremembo temperature in pove anjem
hitrosti in mase delca je, da je sprememba temperature sorazmerna spremembi kineti ne
energije.
Ker en delec v zaprti škatli ni zelo realisti en, dodajmo še en delec (z enako maso) z druga no
hitrostjo. Tokrat pa bomo risali kineti no energijo vsakega delca kot funkcijo asa in spremembe
gibalne koli ine na poljubno steno ( asovno povpre je tega nam bo dalo tlak v sistemu). Tabela
nam tokrat prikazuje povpre no spremembo gibalne koli ine na stenah. Ali se to ujema s tlakom,
ki ga izra unaš z uporabo idealnega plinskega zakona?
l. Trk med delci je elasti en. Kako to vemo?
m. Kakšna je zveza med temperaturo in skupno kineti no energijo?
Dodajmo sedaj še nekaj delcev z
enako maso in razli nimi hitrostmi.
Tabela podaja gibalno koli ino, ki jo
delci predajajo steni pri trkih
(<dG/dt>), kot tudi tlak, izra unan
iz zakona za idealni plin. Tokrat
rišemo histogram hitrosti za delce.
V nekem trenutku ustavi animacijo
in izra unaj skupno kineti no
energijo vseh delcev. e to delimo s
številom vseh delcev, bi morali
dobiti temperaturo sistema. To je
ekviparticijski teorem za energijo. Notranja energija plina (vsota energij vseh delcev) je enaka
(f/2)kBNT, kjer je f število prostostnih stopenj za atome oz. molekule v plinu. V našem primeru
imajo delci 2 prostostni stopnji, saj se lahko gibajo v x in y smeri, torej f = 2. Ker delce v plinu
obravnavamo kot trde kroglice (ena od predpostavk modela idealnega plina), je notranja energija
plina enaka kineti ni energiji delcev in je enaka kBNT, pri emer je v tej animaciji kB = 1.
Raziskava 20.2: Parcialni tlak plinov
V tej animaciji velja, da je N = nR
(i.e., kB = 1). Iz tega sledi idealni plinski
zakon v obliki pV = NT. Dva tipa
delcev z razli nima masama sta v isti
posodi. Skupen tlak na posodo nastane
zaradi trkov obeh tipov delcev s
stenami. Modri delci so masivnejši od
rde ih (10×bolj masivni). Kako to
168
ugotovimo pri opazovanju animacije? (Namig: Temperatura je sorazmerna s povpre no kineti no
energijo) Ponovni zagon.
a. Kakšen je povpre en tlak na stenah? Opozorilo: Opazovati je potrebno <p> število in
po akati, da se umiri (da ne naraš a ali pada, temve niha okrog nekega števila) in oceniti
približno vrednost. Iz tega tlaka in temperature izra unaj z uporabo idealnega plinskega
zakona v obliki pV=NT volumen posode, v katerih so delci. e je globina (dimenzija v
zaslon) enaka 1, kolikšna je dolžina ene stene.
Poženi isto animacijo s samimi rde imi delci.
b. Kolikšen je tlak na stenah? To je parcialni tlak rde ih delcev.
Ponovno poženi animacijo, tokrat s samimi modrimi delci.
c. Kolikšen je tlak na stenah? To je parcialni tlak modrih delcev.
d. Primerjaj skupni tlak (a) z vsoto parcialnih tlakov.
e. Vsota parcialnih tlakov in skupni tlak bi morala biti enaka. Zakaj?
Zdaj poženi drugo animacijo, v kateri rde e in modre delce v
posodi lo uje premi ni bat. Bat v splošnem ostane v poziciji,
kjer se tlaka z obeh strani izena ita.
f. Kje je ostal bat (desno, levo ali na sredini)?
g. Zakaj?
h. Glede na to, da imajo modri delci 10-kratno maso
rde ih, predvidi parcialni tlak za oba tipa delcev, e
imamo v eni posodi (kot v prvi animaciji) enako
število rde ih in modrih (po 25 vsakih, skupaj 50).
Poskusi pognati prvo animacijo z enakim številom rde ih in modrih delcev. Poženi s samimi
rde imi delci. Poženi s samimi modrimi delci.
i. Je bila tvoja napoved pravilna? Pojasni.
j. Predvidi položaj bata v drugi animaciji, e imamo po 25 delcev na vsaki strani.
k. Poskusi drugo animacijo z 25 delci na vsaki strani bata. Je bila tvoja napoved pravilna?
e imamo enako temperaturo na obeh straneh, kje bo bat?
169
Raziskava 20.3: Idealni plinski zakon
Zveza med številom delcev v plinu,
volumnom posode, tlakom in teperaturo
plina je opisana z idealnim plinskim
zakonom: pV = nRT. V tej animaciji
velja, da je N = nR (i.e., kB = 1). Iz tega
sledi idealni plinski zakon v obliki pV =
NT. Ponovni zagon.
Opiši, kaj se zgodi, ko spremeniš število
delcev, temperaturo in volumen.Tlak
nastane zaradi trkov s stenami posode.
Graf
prikazuje
trenuten
"tlak"
(sprememba gibalne koli ine delcev pri
trku s steno pomeni silo na steno) kot
funkcijo
asa, medtem ko tabela
prikazuje tako NT/V (kar je enako tlaku za idealen plin) in povpre je trenutnega tlaka.
a. Naj bo število delcev in volumen konstanten. Kaj se zgodi s hitrostjo delcev, ko se
temperatura spremeni? Kaj se zgodi s tlakom (N*T/V), e temperatura naraste? (To
poznamo kot Gay-Lussacov zakon: p/T = konstanta).
b.
e podvojimo volumen (medtem ko obdržimo konstantno število delcev in temperaturo),
kaj se zgodi s tlakom (in silo na steno)? Zakaj? (To je znano kot Boylov zakon: pV =
konstanta).
c. Kaj se zgodi s tlakom (ter silo na steno), e pove amo število delcev (in temperatura in
volumen ostaneta konstantna)? Zakaj?
e podvojimo volumen in razpolovimo temperaturo (št. delcev pa ostane enako), kaj se
d.
zgodi s tlakom? (To poznamo kot Charlesov zakon: V/T=konstanta).
Opazimo lahko, da so vsi navedeni plinski zakoni vklju eni v idealni plinski zakon: pV=nRT.
e želiš spreminjati volumen, lahko z miško vle eš zgornjo steno posode. Pri tem procesu se
spremenita tako temperatura kot tlak.
e. Za ni z volumnom 100. Povleci steno navzgor. Kaj se spremeni in zakaj?
f. Ko se delci raporedijo po vsem razpoložljivem volumnu, povleci steno spet navzdol.
Opaziš lahko, da se zdaj delci gibljejo hitro in da sta se tempertura in pritisk drmati no
spremenila. To se zgodi, ker pri gibanju stene navzdol, delci ki se zaletavajo v gibajo o
se steno prejmejo dodatno gibalno koli ino in torej pospešijo. Hitrejši delci pomenijo
ve jo temperaturo. V realnem sistemu, takega u inka ne bi mogli opaziti, ker se delci v
realnem plinu gibljejo precej hitreje kot katerikoli bat (stena), vendar e bi se tako hitro
gibali tudi v naši animaciji, ne bi mogli videti posameznih delcev.
g. Na kakšen na in bi bilo potrebno vle i steno, da bi bila sprememba v temperaturi
najmanjša? Ponovno za ni z volumnom 100 in temperaturo100 in poskusi minimizirati
pove anje temperature pri stiskanju plina.
Ko dobiš primeren graf, uporabi desni klik miške, da ga podvojiš v novo okno, ki ga lahko potem
pove aš za boljši ogled.
170
Raziskava 20.4: Ekviparcialni teorem
Kineti no energijo ima delec lahko zaradi gibanja v x, y in z smereh, prav tako pa tudi zaradi
rotacij. Ekviparcijalni teorem za energijo pravi, da je kineti na energija za atom ali delec v
povpre ju enakomerno porazdeljena med razli ne razpoložljive na ine gibanja (razli ne
prostostne stopnje). V monoatomarnem plinu ima posamezen atom tri prostostne stopnje, ker se
lahko giblje v smereh x, y in z. Povpre na energija delca je enaka (f/2)kBT, kjer je f število
prostostnih stopenj, kB Boltzmannova konstanta in T temperatura. Ponovni zagon.
a. Zakaj imajo v tej animaciji monoatomarnega plina v škatli delci samo 2 prostostni
stopnji? Tabela prikazuje skupno kineti no energijo vseh delcev v škatli, prav tako pa
tudi povpre ne kineti ne energije delcev v škatli (animacija poteka po 10 s korakih, tako
da je potrebno po akati 10 s, preden dobimo povpre ja).
b. Zabeleži skupno energijo.
c. Kolikšna je energija na delec?
d.
e podamo energijo v joulih/kB, kolikšna je temperatura v škatli?
Poskusi animacijo diatomarnega plina z 20-imi delci. Opaziš lahko, da graf prikazuje skupno
kineti no energijo diatomarnih delcev, kineti ne energije pri translaciji (gibanje v x in y smereh)
in rotaciji.
e. Zakaj je v povpre ju translacijska kineti na energija približno dvakrat ve ja od rotacijske
kineti ne energije? (Animacija poteka po 10 s korakih, zato je potrebno po akati vsaj 10
s, da bi dobili povpre ne vrednosti za kineti no energijo.)
f. Kolikšna je energija na delec, e jo izra unamo iz skupne energije?
g.
e energijo izrazimo v joulih/kB, kolikšna je temperatura v škatli? (Spomni se, da je
<energija>/delec = (f/2)kBT in v tem primeru je f = 3. Zakaj?)
171
Zdaj pa poskusimo z mešanico 20-ih monoatomarnih in 20 diatomarnih delcev.
h. Zakaj je temperatura plina v škatli ena sama (ne pa ena vrednost za atome in ena za
molekule)? Namig: Razmisli o zraku, ki te obdaja pri v glavnem konstantni temperaturi,
razen e smo ravno prižgali grelec ali klimatsko napravo in spremenili temperaturo v
enem delu zraka v prostoru. Zrak sestavljajo enoatomarni plin helij in diatomarni delci
(kisik, dušik).
i. Po akaj vsaj 10 s in primerjaj povpre ne vrednosti za kineti ne energije. Kateri vrednosti
se približuje povpre je monoatomarne kineti ne energije?
j. Zakaj bi bili povpre ni energiji iz (i.), povpre ni za dolge asovne periode enaki in ve ji
od rotacijske kineti ne energije diatomarnih delcev?
k. Razloži, zakaj naj bi bila skupna energija enaka (2/2)20kBT + (3/2)20kBT.
l. Iz skupne energije (izražene v joulih/kB) izra unaj temperaturo.
m. Koliko dvoatomarnih delcev bi moral imeti, da bodo povpre ne kineti ne energije za obe
vrsti delcev enake, e imamo v mešanici 15 atomov? Preveri svoj odgovor tako, da
dolo iš število mono- in diatomarnih delcev in ponovno poženeš animacijo.
Raziskava 20.5: PV diagrami in delo
Idealni plinski zakon: pV = nRT. V tej animaciji
velja, da je N = nR (i.e., kB = 1). Iz tega sledi
idealni plinski zakon v obliki pV = NT. Opravljeno
delo med termodinami nim procesom je odvisno od
vrste procesa (lahko je pozitivno, negativno ali
enako ni ). Ponovni zagon. Delo izra unamo iz
ena be:
A = p dV,
tako da je na pV diagramu ploš ina pod krivuljo enaka delu, ki ga opravi plin pri raztezanju. e
želiš analiti no izra unati delo, moraš poznati odvisnost tlaka od volumna (je tlak konstanten, se
spreminja linearno v odvisnosti od volumna, ipd.). Na kakšen na in se tlak spreminja v odvisnosti
od volumna, je odvisno od vrste procesa (izotermni, izobarni, izohorni, adiabatni).
Tri animacije prikazujejo tri razli ne procese, ki se vsi za nejo pri enaki za etni in kon ajo vsi pri
enaki kon ni temperaturi.
a. Kolikšna je sprememba notranje energije ( W) za te procese (spomnimo se , da je W =
(3/2)nR T = (3/2)N T za idealni monoatomarni plin)?
b. Oceni ploš ino lika pod krivuljo (preštej kvadratke na grafu), ko temperatura sistema
prehaja iz za etne v kon no temperaturo (od za etne do kon ne izoterme). To je potem
velikost opravljenega dela, saj je A = pdV. Kateri procesi dajo pozitivno delo? kateri
procesi dajo negativno delo? Pri katerih procesih ni opravljenega dela?
c. Prvi zakon termodinamike (sprememba notranje energije je enaka razliki dovedene
toplote in opravljenega dela) W = Q - A v obliki Q = A + W, pravi, da lahko z
172
dovajanjem toplote v sistem pove amo notranjo energijo in/ali opravimo delo. Torej,
kateri procesi zahtevajo najve toplote?
d. Primerjaj ploš ini likov pod krivuljami, ki si jih ocenil v (b.) z vrednostmi, ki jih
izra unaš z uporabo spodnjih izrazov za delo (ki jih dobiš z rešitvijo integralov):
o Konstanten tlak: A = p(Wk - Wz)
o Adiabatni proces: A = (pkWk - pzWz)/(1 - ), kjer je (razmerje CP/CV, specifi na
toplota pri konstantnem tlaku deljena s specifi no toploto pri konstantnem
volumnu) za idealen monoatomaren plin enak 5/3.
Ko dobiš primeren graf, uporabi desni klik miške, da ga podvojiš v novo okno, ki ga lahko potem
pove aš za boljši ogled.
Raziskava 20.6: Specifi na toplota pri konstantnem tlaku in
konstantni prostornini
V tej animaciji velja, da je N = nR (i.e., kB = 1). Iz
tega sledi idealni plinski zakon v obliki pV = NT.
Ponovni zagon.
Za idealen monoatomaren plin je sprememba notranje
energije odvisna samo od temperature,
W =
(3/2)nR T = (3/2)N T
a. Izra unaj spremembo notranje energije za vse tri primere.
b. Kolikšno je opravljeno delo pri vsakem primeru? Naj vas spomnim, A = p dV, in tlak je
lahko (in v ve ini primerov tudi je) odvisen od volumna. Izra unaj opravljeno delo v vsakem
primeru z uporabo naslednjih dveh metod, nato pa primerjaj rezultate.
•
•
Grafi no: e želiš ugotoviti, kolikšno je opravljeno delo, izmeri ploš ino lika pod
krivuljo na grafu (ploš ino rde ega polja na grafu). Ko oceniš ploš ino s preštevanjem
kvadratkov na grafu, ozna i potrditvno polje, da se prikaže rezultat numeri ne integracije
- površina rde ega polja na simulaciji. e je prišlo do bistvenih (ve jih od napake
metode) razlik med tvojo oceno in numeri no integracijo, pojasni zakaj.
Analiti no: e dovajamo toploto pri konstantnem tlaku (izobarni proces), potem je p,
tlak, v zgornji ena bi za delo zgolj integracijska konstanta. e toploto dovajamo pri
konstantnem volumnu (izohorni proces), je opravljeno delo enako ni . Zakaj? e
dovajamo toploto pri konstantni temperaturi (izotermno), uporabi idelani plinski zakon v
obliki pV = NT in izrazi tlak kot funkcijo volumna: NT/V (kjer sta N in T konstanti) ter
nato integriraj (rezultat vsebuje naravni logaritem).
c. Z uporabo prvega zakona termodinamike Q = A + W, izra unaj vstopno toploto in pokaži,
da je enaka za vse tri primere.
Specifi na toplota je koli ina, ki pove, koliko toplote je potrebno, da dolo eno maso (1 kg)
nekega materiala segrejemo za 1 K. Pri plinih potrebujemo razli no koli ino toplote, da
173
segrejemo enako koli ino plina glede na okoliš ine, pri katerih dovajamo toploto. Pri enaki
koli ini dovedene toplote dobimo precej razli ne kon ne temperature kadar se plin širi pri
konstantnem tlaku, ali pa segreva pri konstantnem volumnu. Pri izotermni spremembi pa se
temperatura seveda sploh ne spremeni, ne glede na koli ino dovedene toplote (sistem oddaja
toliko dela, kolikor prejme toplote).
d. V katerem primeru vložek toplote najbolj segreje plin? Zakaj?
Zato, e želimo, da ima toplotna kapaciteta idelanega plina sploh kakšen pomen, jo moramo
definirati glede na proces: specifi na toplota pri konstantnem volumnu ali specifi na toplota pri
konstantnem tlaku.
e. Poglej nazaj tvojo kalkulacijo toplote pri (c.). Izra unaj sorazmernostno konstanto med
dovedeno toploto in spremembo temperature pri konstantnem tlaku in pri konstantnem
volumnu: Q=(konstanta)N T.
f. Kolikšna je konstanta za vsakega od primerov? Zakaj je konstanta za ekspanzijo plina pri
konstantnem tlaku ve ja? (Namig: Razmisli, ali se toplota porablja le za spremembo
temperature, ali tudi za opravljenje dela?)
V splošnem zapišemo toplotno kapaciteto kot molarno toplotno kapaciteto (kjer je n število
molov) in ugotovimo, da je pri konstantnem tlaku Q = CPn T in CP = (5/2)R, pri konstantnem
volumnu pa Q = CVn T in CV = (3/2)R.
Na za etku te diskusije smo opazili, da za monoatomarni plin velja, da je povpre na notranja
energija enaka (sorazmerna) (3/2)T. To dobimo iz kineti ne teorije plinov in ekviparticijskega
teorema za energijo in 3 v izrazu nastopi zaradi treh prostostnih stopenj. Pri diatomarnem plinu je
povpre na notranja energija sorazmerna (5/2)T, ker imamo zaradi rotacij dve dodatni prostostni
stopnji.
g. Koliko se toplotni kapaciteti pri konstantnem tlaku in konstantnem volumnu razlikujeta pri
diatomarnem plinu?
Ko dobiš primeren graf, uporabi desni klik miške, da ga podvojiš v novo okno, ki ga lahko potem
pove aš za boljši ogled.
Poglavje 21: Toplotni stroji in entropija
Ena od uporab termodinamike je prenos toplotne energije v delo na primernem stroju. V
splošnem vklju uje tak cikli ni proces izmenjavo toplote med dvema rezervoarjema
(skladiš ema) toplote pri visoki in pri nizki temperaturi, celoten proces pa opravlja pozitivno
delo. Za opis opravljenega dela in izmenjavo toplote v vsakem koraku cikla uporabljamo pV
diagrame. Koli ina dela, ki ga lahko opravimo, je omejena glede na termi no energijo, ki jo lahko
vnesemo v stroj. Zakon o ohranitvi energije (prvi zakon termodinamike) pravi, da ne moremo
dobitio ve energije, kot jo vnesemo, kve jemu dobimo enako. Toda drugi zakon termodinamike
pove, da ne moremo dobiti enake koli ine energije, lahko le izgubljamo. Drugi zakon
174
termodinamike pravi, da s asom entropija (neurejenost) naraš a. Za zmanjšanje entropije pa
potrebujemo energijo. V tem poglavju bomo povezali koncepte dela, toplote in entropije in tako
prikazali, kako to vse sovpada v poenostavljenih strojih.
Predstavitev 21.1: Carnotov stroj
V tej animaciji velja N = nR (torej., kB = 1). To nam da idealni plinski zakon kot pV = NT.
Ponovni zagon.
Imamo štiri korake Carnotovega
cikla: kombinacijo izotermalne in
adiabatne širitve in kr enja. Kateri
koraki so izotermalni in kateri so
adiabatni? Pazi, da izvajaš korake v
pravem zaporedju. V prvem koraku
opravlja plin pozitivno delo. Drugi
korak je adiabaten - plin opravlja
pozitivno delo. V koraku 3 opravlja
plin negativno delo. Korak 4 je
adiabaten, plin opravlja negativno
delo. Opazimo, da je celotno
opravljeno delo (preostala površina)
pozitivno, ker je pozitivno delo opravljeno pri višjih temperaturah, negativno pa pri nižjih. Med
korakom 1 je toplota absorbirana (Q > 0), med korakom 3 pa se toplota sproš a (Q < 0). V
celotnem ciklu je ve toplote vsrkane kot pa sproš ane. To je temelj delovanja strojev: Toplota (iz
shrambe) se pretvarja v mehansko delo (premikanje bata).
Predstavitev 21.2: Entropija in reverzibilni/ireverzibilni
procesi
V tej animaciji velja N = nR (torej, kB = 1). To nam
da idealni plinski zakon kot pV = NT.
Animacija 1 kaže množico delcev, ki potem, ko se
razpršijo po škatli, izgledajo "naravno". Ne
pri akujemo, da bi lahko bil ta proces obrnjen.
Zakaj? Vzemimo Animacijo 2. Ta izgleda ves as
enaka, e jo vrtimo naprej ali nazaj. Prva animacija
je primer nereverzibilnega procesa, druga pa je
primer reverzibilnega procesa. Kaj dela oba procesa
razli na? Koncept entropije. Ponovni zagon.
Spet si oglej obe animaciji. V obeh primerih glej
celotno energijo (kineti no energijo). Se energija
spreminja? Ne. Ohranitev energije (dolo ena v
termodinamiki kot prvi zakon termodinamike) nam
ne pomaga ugotoviti ni esar (v obeh primerih se
energija ohranja).
175
Da bi ugotovili, katera animacija bolj realisti no ponazoruje plinske delce v škatli, moramo
uporabiti drugi zakon termodinamike in njemu pridružen koncept entropije. Entropija je merilo za
nered v nekem sistemu. Katera animacija ima ve jo entropijo (neurejenost)? Zakaj? Nedvomno je
Animacija 2 precej bolj urejen sistem. Animacija 1 za ne urejeno in se zaklju i neurejeno.
Ko gledamo prvo animacijo, opazimo tudi, da so možne razli ne porazdelitve hitrosti, pa bomo še
vedno mimeli enako celotno energijo (temperaturo) in tlak. Statisti no gledano je precej bolj
verjetno, da bodo hitrosti množice delcev porazdeljene v skladu z Maxwell-Boltzmannovo
porazdelitvijo, kot pa, da bi vsi imeli enako hitrost.
Entropija in drugi zakon termodinamike opisujeta, kaj je bolj verjetno, da se zgodi. Bolj verjetno
je, da bodo delci zavzeli stanja ve je neurejenosti, ker je "neurejenih" stanj ve kot urejenih (in
število možnih stanj je v relaciji z entropijo). Tako na primer imamo precej ve na inov, da
skupina delcev sledi Maxwell-Boltzmannovi porazdelitvi, kot pa da bi imeli enake hitrosti za vse
delce. Drugi zakon pravi, da entropija ali naraš a ali kve jemu ostaja enaka. Ireverzibilni procesi
povzro ajo pove anje entropije. Po tem vemo, da ne gledamo filma, ki ga vrtimo naprej in nazaj:
Ko se as pove uje, tudi entropija naraš a. e se ponekod entropija zmanjšuje (ko na primer
elektrone uredimo za osvetljevanje ra unalniškega zaslona), potrebujemo energijo, potrebna
energija pa pomeni, da se nekje drugje entropija pove uje. Zato globalno entropija samo naraš a.
Predstavitev 21.3: Entropija in izmenjava toplote
Animacija 1 kaže dve telesi enake
velikosti, enake mase in z enako
specifi no toploto (oba mc = 2 ), v
za etku z razli nima temperaturama,
vendar v medsebojnem termi nem stiku
(temperatura je podana v kelvinih,
izmenjana toplota je v joulih). Barvna
histograma kažeta izmenjano toploto
med rde im in modrim telesom.
Ponovni zagon.
Ko sta dve telesi v termi nem stiku, pri akujemo, da bosta dosegli enako temperaturo. Vendar
prvi zakon termodinamike tega ne zahteva. Edina zahteva prvega zakona je, da se energija
ohranja, da torej toplota iz enega predmeta prehaja v drugega.
Poskusi Animacijo 2. Se energija ohranja? Ali gre toplota iz enega telesa v drugega? Kaj lahko
ugotovimo o izmenjavi toplote v primerjavi z animacijo 1? Kar vidimo v animaciji 2, se seveda
ne zgodi, eprav se energija ohranja. Odlo ilen je drugi zakon termodinamike, ki pravi, da se
entropija (v izoliranem sistemu) ali pove uje, ali ostaja ista. Sprememba v entropiji, S, je dana z
S = Q/T (za reverzibilne procese pri konstantni temperaturi) in, ker velja Q = mc T, lahko
izra unamo
S = mc ln (Tf/Ti),
Pri tem je c specifi na toplota snovi in m je masa snovi. Kakšna je sprememba v entropiji obeh
posameznih teles pri prvi animaciji? Kakšna je celotna sprememba entropije? Kaj pa pri drugi
animaciji? Opazimo, da je celotna sprememba entropije pri Animaciji 1 pozitivna, pri Animaciji 2
176
pa je manjša od ni . V skladu z drugim zakonom procesi sami po sebi ne znižujejo entropije
(potrebujemo dodatek energije), zato se dogajanja v Animaciji 2 ne morejo zgoditi v izoliranem
sistemu, saj bi kršili drugi zakon termodinamike.
Predstavitev 21.4: Toplotni stroji in entropija
V tej animaciji je N = nR (torej, kB = 1). To da idealni plinski zakon, kot pV = NT. Ponovni
zagon.
Ta strojni cikel - Carnotov cikel
je obravnavan kot reverzibilni
proces, ker ga lahko izvajamo
naprej
ali
vzvratno.
Za
reverzibilni proces definiramo
spremembo v entropiji kot dS =
dQ/T ali S = Q/T. (Opomba:
e se spremeni T, potrebujemo
nekaj ra unanja, tako da velja
S = dQ/T.)
Za Carnotov cikel ra unamo
entropijo preko cikla tako, da
ugotovimo
spremembo
v
entropiji v vsakem koraku. Kakšen je kvocient dodane ali sproš ene toplote in temperature v
vsakem koraku? Opazimo, da je pri obeh adiabatnih procesih, eprav se temperatura spreminja,
vnos toplote enak ni in proces je reverzibilen. Tako ra unanje ni potrebno in velja Q = 0. Ko
seštejemo oba neni elna lena, ugotovimo, da je sprememba entropije v tem ciklu enaka ni .
Drugi zakon termodinamike pravi, da je to, da obdržimo spremembo entropije na ni li, najve ,
kar lahko dosežemo (entropija v cikli nem procesu bodisi naraš a, bodisi se ne spreminja).
Entropija je pri obravnavanju strojev pomembna, ker pokaže, koliko je stroj lahko u inkovit.
U inkovitost oziroma izkoristek vsakega stroja je definiran kot
(izvajano delo)/(dovajana toplota) = |A|/|QH| , pri emer je QH toplota, dovajana iz skladiš a z
visoko temperaturo (karkoli pa segreva plin: gore i plin, vro a voda itd.). Za izra un izkoristka
tega stroja vzemimo delo, ki ga opravi plin (za vse korake skupno 698 ) in to delimo s toploto, ki
jo absorbira stroj (2079 v prvem koraku) in tako dobimo 0.33.
Pri idealnem stroju (nobenih izgub zaradi trenja, reverzibilni procesi) velja |A| = |Qvisoka| -|Qnizka|,
izkoristek pa je |A|/|Qvisoka | = 1 - |Qvisoka|/|Qnizka|, pri emer je Qnizka toplota, izpuš ena v skladiš e z
nizko temperaturo. Ker je sprememba entropije pri tem ciklu enaka ni , pomeni to, da velja
Qvisoka/Tvisoka + Qnizka/Tnizka = 0. Zato je za stroj, ki deluje med dvema temperaturnima skladiš ema,
maksimalni izkoristek 1 - |Tvisoka|/|Tnizka|.
Entropija S, je spremenljivka stanja (neodvisna od procesa) tako kot tlak, prostornina in
temperatura in ne tako, kot delo ali toplota, ki sta odvisna od procesa. Termodinami ni proces
lahko zato opišemo z vklju enjem entropije v graf. Nek proces pogosto opišemo z diagramom
TS, ker je ploš ina pod krivuljo v diagramu TS toplota. S tem klikom spremenimo graf iz
diagrama pV v diagram TS. (Opazimo, da je za etna entropija poljubna - zanima nas le
sprememba entropije.)
177
Raziskava 21.1: Izkoristek toplotnega stroja
V animaciji je N = nR (torej, kB = 1). To da idealni plinski zakon kot pV = NT. Predpostavimo
idealen monoatomarni plin. Izkoristek stroja je definiran kot
= (opravljeno delo)/(dobavljena toplota) = |A|/|Q|. Ponovni zagon.
a. Nastavi
temperaturo
vro ega skladiš a (med 200
K in 150 K) in temperaturo
hladnega skladiš a (med
150 K in 100 K). (Opazimo,
da se zapišejo nove
temperature skladiš šele na
za etku strojnega cikla in
moraš
izvajati
korake
strojnega cikla, e naj bi
animacija imela smisel.)
Ugotovi delo, opravljeno v
vsakem
koraku
in
absorbirano ali sproš eno
temperaturo (spomni se, da
velja W = (3/2)nR T =
(3/2)N T).
b. Izra unaj izkoristek stroja za te temperature.
c. Izberi drug par temperatur za skladiš i. Je ta stroj bolj ali manj u inkovit? (Izra unaj
izkoristek za ta, novi stroj.)
d. Zakaj ima stroj v (c.) ve ji ali manjši izkoristek?
e. Kako bi naredil stroj še bolj u inkovit? Preskusi in pojasni.
f. Izra unaj razliko med temperaturama skladiš a in to deli s temperaturo vro ega
skladiš a: (Tv - Tn)/Tv = 1 - Tn/Tv. Primerjaj to vrednost z izkoristkom pri obeh prejšnjih
primerih. Pri Carnotovem stroju da katerikoli od teh ra unov izkoristek, ker velja
naslednje:
g. V koraku 1, A = QH = nRTHln(V1/V0) = NTHln(V1/V0), pri emer je V0 prostornina na
za etku koraka 1 in V1 prostornina na koncu koraka 1. Razloži zakaj (malo ra unaj!) in
preveri to z animacijo.
h. Podobno v koraku 3, W = QL = nRTLln(V3/V2) = NTLln(V3/V2), tako je |QL| =
NTLln(V2/V3), pri emer je V2 prostornina na za etku koraka 3 inV3 je prostornina na
koncu koraka 3. Pojasni zakaj (malo ra unaj!) in preveri z animacijo.
i. Koraka 2 in 4 sta adiabatna, zato Q = 0. Iz korakov 2 in 4 sledi P1V1 = P2V2 in P3V3 =
P0V0 , pri emer je
adiabatni koeficient (razmerje med specifi no toploto pri
konstantnem tlaku in specifi no toploto pri konstantni prostornini). Z uporabo teh relacij
in idealnega plinskega zakona pokaži (še nekaj ra unanja), da velja (V1/V0) = (V2/V3).
j. Zato pokaži, da velja za Carnotov stroj |W|/|QH| = 1 - |QL|/|QH| = 1 - TL/TH.
Izkoristek Carnotovega stroja 1- Tn/Tv je idealen izkoristek za katerikoli stroj, ki deluje med
dvema skladiš ema Tv in Tn, ker je celotna sprememba entropije za Carnotov cikel enaka ni
(glej Predstavitev 21.4). Pogosto primerjajo izkoristek drugih strojev, |A|/|Qv| z idealnim
izkoristkom Carnotovega stroja. Pripomnimo, da ne moremo dose i 100% izkoristka stroja, ker bi
to zahtevalo Tn = 0 (kar prepoveduje tretji zakon termodinamike). Drug na in razmišljanja je, da
bi potrebovali za 100% izkoristek to, da bi se toplota, sproš ana v hladno skladiš e, moral vra ati
178
nazaj v stroj. Vendar bi tedaj moral stroj te i med Tn in neko nižjo temperaturo, pa spet ne
moremo dose i Tn = 0.
Raziskava 21.2: Motor z notranjim izgorevanjem
V animaciji je N = nR (torej, kB
= 1). To da idealni plinski zakon
kot pV = NT. V motorju
predvidevamo
idealen
plin.
Ponovni zagon.
Cikel Ottovega motorja je
podoben ciklu motorja z notranjim
izgorevanjem (in bolj blizu
resni nim motorjem kot Carnotov
stroj). Ta cikel ima adiabatni in
izohorni proces in cikel izpuš anja
dima ter vnosa svežega plina.
Ugotovi, kateri deli cikla motorja
ustrezajo posameznim procesom. Nobeno delo ni opravljeno med procesom izpuš anja dima ali
vsrkavanja svežega plina. Pojasni zakaj. Opazimo, da se med prvim delom cikla število delcev
spremeni, ker se odpro rde e zaklopke zgoraj in omogo ijo pretok plina. Zato prihaja med
sproš anjem vro ih delcev in sprejemanjem hladnih delcev do izmenjave toplote (sproš ana je v
okolje).
a. Kakšna sta za etni tlak in prostornina med adiabatnim razširjanjem? Kakšna sta kon ni
tlak in temperatura? (Spomni se, da lahko s klikom na graf bereš to ke na njem.) S
pomo jo teh vrednosti ugotovi adiabatno konstanto (ker je pri adiabatnem razširjanju
pV = konstanta).
b. Ali je plin monoatomaren ( = 1.67), diatomaren ( = 1.4) ali poliatomaren ( = 1.33)?
c. Kakšno je opravljeno delo med ciklom?
d.
e zanemarimo dele cikla, ko plin vsrkavamo oziroma izpuš amo, v katerih delih cikla
prihaja do absorbcije toplote? V katerih delih cikla se toplota sproš a?
e. Izra unaj absorbirano toploto. Spomni se, da veljat Q = W + A in da je W = f/2N T,
pri emer je f = 3 za monoatomaren plin, 5 za diatomarne pline in 6 za poliatomarne
pline.
f. Kakšen je izkoristek tega stroja? Izkoristek stroja je = (opravljeno delot)/(vnešena
toplota) = |A|/|Qv|.
g. Preveri, e je tvoj odgovor enak 1 - (Vmin/Vmax)1- in je torej odvisen od razmerja med
maksimalno in minimalno prostornino (znano kot kompresijsko razmerje).
179
Raziskava 21.3: Entropija, verjetnost in mikro stanja.
V animaciji imamo dve posodi, lo eni z
"membrano". V za etku noben delec ne pre ka
membrane. Rde i in modri delci so enaki,
pobarvani so le zato, da jim lažje sledimo. Ko se
delci enakomerno porazdelijo po levi posodi, je
as, da jim dovolimo prehod ez membrano.
Dovolimo jim torej prehod ez membrano. V
animaciji bo približno vsak drugi delec prešel
membrano (enako v obeh smereh). Ko bo na levi
in desni strani približno enako število delcev,
ustavi animacijo in preštej število rde ih in število
modrih delcev na obeh straneh. Nato nadaljuj
animacijo za nekaj sekund ter spet preštej rde e in
modre delce na obeh straneh. Ponovni zagon.
a. Predpostavimo, da imamo skupno 30 modrih in 10 rde ih delcev in da opravimo ve
takih meritev, kakšno povpre no število modrih in rde ih delcev pri akujemo na obeh
straneh (ko je na vsaki strani po 20 delcev)?
b. Sedaj ponovimo animacijo od za etka. Ko se delci enakomerno porazdelijo po levi
posodi, odpremo prepustnost membrane za delce na druga en na in. Animacija spet
dovoli vsakemu drugemu delcu, ki zadene membrano, prehod na drugo stran.
c. Ko bo na obeh straneh približno enako število delcev, preštej rde e in modre delce na
obeh straneh. Kaj je druga nega pri tej nastavitvi membrane?
d. Bi lahko dobili tak izid tudi pri prvi vrsti membrane?
e. Je ta izid možen?
Razlog, da druga membrana ne deluje "naravno", je drugi zakon termodinamike. Ena verzija
drugega zakona pravi, da entropija izoliranega sistema ostaja enaka ali se pove uje (pri tem je
entropija definirana kot merilo nereda v sistemu). Z drugimi besedami, "naravni" sistemi gredo v
smeri ve jega nereda. Membrana v prvi animaciji deluje bolj "naravno", ker dopuš a ve ji nered naklju no porazdelitev rde ih in modrih delcev na obeh straneh. V primerjavi s tem druga
membrana prepuš a le modre delce in bodo zato na desni strani vedno le modri delci.
Drug na in interpretacije drugega zakona je s pomo jo verjetnosti. Pri prvi animaciji je možno, da
ne bo v desni posodi nobenega rde ega delca, je pa malo verjetno (kot je možno, da zadeneš na
loteriji, je pa malo verjetno). Tudi za drugo animacijo je možno, da se tako obnaša, je pa malo
verjetno. Imejmo zgornjo animacijo z le šestimi delci: štirimi modrimi in dvama rde ima. Da bi
stvarem lažje sledili, so rde i in modri delci pobarvani z razli nimi barvnimi odtenki. Sproži
animacijo in glej, kako pogosto so trije modri delci na desni, ko so na vsaki strani po trije delci.
Kar sledi, omogo a ra un verjetnosti takega dogajanja in ugotovitev, da je v primeru, ko so po
trije delci na obeh straneh, 20% verjetnost, da bodo na desni trije modri.
f.
Ob upoštevanju razli nih razporeditev treh delcev na obeh straneh opazimo, da imamo
štiri razli ne na ine, kako imeti tri modre na desni in enega modrega ter dva rde a na levi
strani( naštej te na ine in za njihov prikaz klikni tu). Podobno imamo enake štiri na ine,
da dobimo tri modre delce v levi posodi.
180
g. Imamo šest na inov, kako dobimo svetlo rde i delec na levi in temno rde i delec na
desni, na vsaki strani pa še po dva modra. (klikni in si oglej te na ine ). Spet imamo istih
šest na inov, da dobimo temno rde i delec na levi in svetlo rde i na desni.
h. Koliko razli nih razporeditev dobimo tako (s tremi delci na vsaki strani)? Ker so vsa ta
stanja enako verjetna, imamo samo 20% verjetnosti, da bodo trije modri delci v desni
posodi.
e dodamo še ve delcev, postaja še manj
verjetno, da bi na eni strani dobili le eno
barvo. S 40 delci, 30 modrimi in 10 rde imi
je verjetnost le 0.02% verjetnosti, da bo 20
modrih na levi ter 10 rde ih in 10 modrih na
desni. To ni nemogo e, pa pa zelo malo
verjetno. Bolj urejeno stanje (20 modrih na
desni) je statisti no manj verjetno od
kakšnega manj urejenega stanja (rde i na obeh straneh membrane, kar je bolj enakomerno
mešanje). Entropija je vezana na število možnih stanj, ki ustrezajo dani razporeditvi (matemati no
S = kBlnW, pri emer je S entropija, W je število ekvivalentnih razporeditev ali mikro stanj, kB je
Boltzmannova konstanta).
e se vrnemo na primer s šestimi delci, imamo ve stanj, ki ustrezajo enemu rde emu delcu v
vsaki posodi, kot pa tistih, ko imamo oba rde a delca na isti strani, zato je stanje s po enim rde im
delcem na vsaki strani bolj verjetno. Ve inoma pa imamo opravka z ve kot šestimi delci
(obi ajno okrog Avogadrovega števila), zato je zelo urejeno stanje še manj verjetno. e
povežemo entropijo in verjetnost, dobimo verzijo drugega zakona termodinamike, ki ne
prepoveduje sistemu, da bi bil v zelo urejenem stanju, preprosto pove le, da je to zelo malo
verjetno.
Raziskava 21.3: Entropija, verjetnost in mikro stanja
V animaciji imamo dve posodi, lo eni z
"membrano". V za etku noben delec ne
pre ka membrane. Rde i in modri delci
so enaki, pobarvani so le zato, da jim
lažje sledimo. Ko se delci enakomerno
porazdelijo po levi posodi, je as, da jim
dovolimo prehod
ez membrano.
Dovolimo jim torej prehod
ez
membrano. V animaciji bo približno
vsak drugi delec prešel membrano
(enako v obeh smereh). Ko bo na levi in
desni strani približno enako število
delcev, ustavi animacijo in preštej
število rde ih in število modrih delcev
na obeh straneh. Nato nadaljuj
animacijo za nekaj sekund ter spet
preštej rde e in modre delce na obeh
straneh. Ponovni zagon.
181
a. Predpostavimo, da imamo skupno 30 modrih in 10 rde ih delcev in da opravimo ve
takih meritev, kakšno povpre no število modrih in rde ih delcev pri akujemo na obeh
straneh (ko je na vsaki strani po 20 delcev)?
b. Sedaj ponovimo animacijo od za etka. Ko se delci enakomerno porazdelijo po levi
posodi, odpremo prepustnost membrane za delce na druga en na in. Animacija spet
dovoli vsakemu drugemu delcu, ki zadene membrano, prehod na drugo stran.
c. Ko bo na obeh straneh približno enako število delcev, preštej rde e in modre delce na
obeh straneh. Kaj je druga nega pri tej nastavitvi membrane?
d. Bi lahko dobili tak izid tudi pri prvi vrsti membrane?
e. Je ta izid možen?
Razlog, da druga membrana ne deluje "naravno", je drugi zakon termodinamike. Ena verzija
drugega zakona pravi, da entropija izoliranega sistema ostaja enaka ali se pove uje (pri tem je
entropija definirana kot merilo nereda v sistemu). Z drugimi besedami, "naravni" sistemi gredo v
smeri ve jega nereda. Membrana v prvi animaciji deluje bolj "naravno", ker dopuš a ve ji nered naklju no porazdelitev rde ih in modrih delcev na obeh straneh. V primerjavi s tem druga
membrana prepuš a le modre delce in bodo zato na desni strani vedno le modri delci.
Drug na in interpretacije drugega zakona je s pomo jo verjetnosti. Pri prvi animaciji je možno, da
ne bo v desni posodi nobenega rde ega delca, je pa malo verjetno (kot je možno, da zadeneš na
loteriji, je pa malo verjetno). Tudi za drugo animacijo je možno, da se tako obnaša, je pa malo
verjetno. Imejmo zgornjo animacijo z le šestimi delci: štirimi modrimi in dvama rde ima. Da bi
stvarem lažje sledili, so rde i in modri delci pobarvani z razli nimi barvnimi odtenki. Sproži
animacijo in glej, kako pogosto so trije modri delci na desni, ko so na vsaki strani po trije delci.
Kar sledi, omogo a ra un verjetnosti takega dogajanja in ugotovitev, da je v primeru, ko so po
trije delci na obeh straneh, 20% verjetnost, da bodo na desni trije modri.
Ob upoštevanju razli nih razporeditev treh delcev na obeh straneh opazimo, da imamo
štiri razli ne na ine, kako imeti tri modre na desni in enega modrega ter dva rde a na levi
strani( naštej te na ine in za njihov prikaz klikni tu). Podobno imamo enake štiri na ine,
da dobimo tri modre delce v levi posodi.
g. Imamo šest na inov, kako dobimo svetlo rde i delec na levi in temno rde i delec na
desni, na vsaki strani pa še po dva modra. (klikni in si oglej te na ine ). Spet imamo istih
šest na inov, da dobimo temno rde i delec na levi in svetlo rde i na desni.
h. Koliko razli nih razporeditev dobimo tako (s tremi delci na vsaki strani)? Ker so vsa ta
stanja enako verjetna, imamo samo 20% verjetnosti, da bodo trije modri delci v desni
posodi.
f.
e dodamo še ve delcev, postaja še manj verjetno, da bi na eni strani dobili le eno barvo. S 40
delci, 30 modrimi in 10 rde imi je verjetnost le 0.02% verjetnosti, da bo 20 modrih na levi ter 10
rde ih in 10 modrih na desni. To ni nemogo e, pa pa zelo malo verjetno. Bolj urejeno stanje (20
modrih na desni) je statisti no manj verjetno od kakšnega manj urejenega stanja (rde i na obeh
straneh membrane, kar je bolj enakomerno mešanje). Entropija je vezana na število možnih stanj,
ki ustrezajo dani razporeditvi (matemati no S = kBlnW, pri emer je S entropija, W je število
ekvivalentnih razporeditev ali mikro stanj, kB je Boltzmannova konstanta).
e se vrnemo na primer s šestimi delci, imamo ve stanj, ki ustrezajo enemu rde emu delcu v
vsaki posodi, kot pa tistih, ko imamo oba rde a delca na isti strani, zato je stanje s po enim rde im
delcem na vsaki strani bolj verjetno. Ve inoma pa imamo opravka z ve kot šestimi delci
(obi ajno okrog Avogadrovega števila), zato je zelo urejeno stanje še manj verjetno. e
182
povežemo entropijo in verjetnost, dobimo verzijo drugega zakona termodinamike, ki ne
prepoveduje sistemu, da bi bil v zelo urejenem stanju, preprosto pove le, da je to zelo malo
verjetno.
183
Del 5: Elektromagnetizem
Poglavje 22: Elektrostatika
Naboj, ki ga nosi neko telo, je prav tako pomemben, kot masa tega telesa. Pravzaprav je lahko še
bolj pomemben. eprav je Albert Einstein napovedal, kasneje pa je to poskus tudi potrdil, da
lahko maso pretvorimo v energijo in je torej ne moremo strogo ohraniti, niso fiziki nikoli opazili
dogodka, pri katerem se naboj ne bi ohranil. Teorija, ki napoveduje elektrostati ne (in
elektrodinami ne) interakcije, sodi med najbolj natan ne in uspešne, kar so jih doslej razvili.
eprav izgleda, da se pri vsakdanjih poskusih lahko naboj pojavlja in izginja, opazujemo
pravzaprav le prerazporejanje obstoje ih nabojev (elektrin). Kadarkoli se neko telo nabije, dobi
neko drugo telo naboj nasprotnega predznaka. Kadarkoli naboj izgine, ga pravzaprav
rekombiniramo z nabojem nasprotnega predznaka..
Predstavitev 22.1: Naboj in Coulombov zakon
Kaj je naboj? Naboj je lastnost nekaterih delcev v atomu in ni snov, ki bi se lahko selila z delca
na delec. Delci lahko imajo naboj ali ga pa nimajo. Ko re emo, da naelektrujemo neko telo,
ho emo povedati, da prenašamo delce z nabojem iz enega makroskopskega telesa na drugo
makroskopsko telo.
Poskusi, ki so jih pred 200 leti izvajali Benjamin Franklin in drugi, so vodili k poimenovanju
"negativen" lastnosti delcev, ki so bili prenešeni na gumo, ki smo jo drgnili z volno. Franklin
seveda ni poznal osnovnih delcev. Sedaj vemo, da so delci, ki jih z drgnjenjem prenašamo,
elektroni. Tudi vemo, da elektroni niso edini delci z lastnostjo naboja. Poznamo protone, so pa še
drugi delci z nabojem, razli nim od ni . Ko nabijamo telo, bi lahko rekli, da nanj "nanesemo
elektrone", namesto, da ga naelektrujemo. Ponovni zagon.
Uporabi animacijo za tvorbo treh enakih nabojev pri x =
-1 m, x = 0 m in x = 1 m. To lahko narediš z vpisom
pozicije v okno s tekstom in s klikom na gumb dodaj
(položaj je podan v metrih). Kolikšna je sila na srednji
delec? Enaka je ni , ker se sili, povzro eni z drugima
dvema nabojema, izni ita. Sedaj premakni enega od
zunanjih nabojev. Je sila na srednji delec še vedno enaka
ni ? Ne. Sila med dvema delcema vedno leži na rti med
dvema delcema in je privla na ali odbojna odvosno od
predznaka obeh nabojev, z razdaljo pa se spreminja po zakonu (1/r2), pri emer je r razdalja med
delcema.
Dodaj še nekaj delcev, naboja enake velikosti, vendar z enakimi ali razli nimi predznaki, in jih z
vle enjem premikaj. Uporabi tekstovno okno za dolo anje teh nabojev. Puš ice na zaslonu kažejo
medsebojno interakcijo delcev. Relativna dolžina puš ic kaže velikost in smer elektrostati nih
sil.
184
Sedaj resetiraj animacijo in tvori dva razli na naboja. Opazuj razlike in podobnosti med vektorji
sile pri delcih. Opazuj tudi primere, ko imata delca enako polariteto (enak predznak) ali razli no
polariteto (eden pozitiven, drugi negativen). e imamo le dva nabita delca, sta sili, ki delujeta na
dva delca, vedno enaki ali nasprotni.
Animacija omogo a tvorbo delcev poljubne polaritete in s poljubnim nabojem. Po drugi strani pa
v naravi veljajo omejitve. Kot vemo, lahko delce v naravi tvorimo le tako, da se celotni naboj ne
spreminja. To pomeni, da, e tvorimo en pozitiven delec, mora nastati tudi en negativen delec.
Poleg tega mora biti velikost tvorjenega naboja celoštevil ni mnogokratnik osnovnega naboja. Te
omejitve so sicer najbolj jasne v mikroskopskem svetu, vendar se odražajo tudi v makroskopskem
svetu. Tako na primer baterija terja, da vstopa oziroma zapuš a oba vodnika enako število delcev
(sicer bi baterija proizvajala en tip nabojev). Kon no je vse, kar lahko re emo, to, da imajo
dolo eni delci lastnost, ki ji pravimo naboj, ki povzro a, da se dolo eni delci med seboj privla ijo
ali odbijajo.
Predstavitev 22.2: Naboj in masa
Ta predstavitev prikazuje fiksen naboj v središ u in
enega ali ve preskusnih nabojev (glede na to, ali
izberemo Animacijo 1 ali Animacijo 2), ki se gibljejo
pod vplivom fiksnega naboja. Sproži animacijo in opazuj
gibanje preskusnih nabojev. Animacije lahko resetiraš
in z vle enjem premikaš preskusne naboje. Ali lahko
dolo iš predznak fiksnega naboja? Z drugimi besedami,
ali je fiksni naboj pozitiven ali negativen? Ali lahko
dolo iš maso preskusnega naboja? Kaj lahko poveš o sili
med fiksnim in preskusnim nabojem? V em je
interakcija podobna in v em se razlikuje od splošnega
Newtonovega zakona o gravitaciji? To so osnovna
vprašanja za fizike, ki poskušajo dolo iti naboj, maso in druge fizikalne lastnosti osnovnih delcev
s pomo jo poti, ki jih tvorijo pri poskusih v visoko energetskih pospeševalnih laboratorijih po
svetu. Ponovni zagon.
Preskusni naboj je pozitivno nabit delec, katerega naboj je tako majhen, da ne vpliva na druga
telesa, vklju no na druge preskusne naboje. Zato v teh animacijah predvidevamo, da ima fiksno
telo precej ve ji naboj od preskusnih tako, da je gibanje preskusnih delcev dolo eno s
Coulombovo interakcijo s fiksnim, nabitim delcem. To je podobno primeru s številnimi sateliti, ki
krožijo okoli Zemlje in pri ra unanju satelitskih trajektorij upoštevamo le, da satelite privla i
Zemlja in morda še Luna in Sonce, zanemarjamo pa privla nost med sateliti. Kakšne so smeri sil
na rde e in zelene preskusne naboje v Animaciji 2? Smeri so radialno navzven tako, kot to velja
za edini preskusni naboj v Animaciji 1. Spomnimo se, da zanemarjamo medsebojni u inek
preskusnih nabojev.
e imajo v Animaciji 2 preskusni delci vsi enako maso, ali lahko dolo imo, kateri preskusni
delec, rde i ali zeleni, ima ve ji naboj? e je masa enaka, lahko primerjamo pospeške in tako
sklepamo o silah ter posledi no o nabojih preskusnih delcev. Kaj pa, e imajo preskusni delci
razli ne mase in razli ne naboje? Bi to spremenilo naš odgovor? Razmerje med nabojem in maso
je sedaj sorazmerno pospešku in vpliva na opazovano gibanje. V splošnem ni lahko razvozlati
kombinacijo naboja in mase iz gibanja nabitih delcev. Zgodnje poskuse s trajektorijami delcev je
leta 1887 opravljal Joseph J. Thompson, kar je vodilo k ugotovitvi, da so elektroni naelektreni
185
delci. Preteklo je nadaljnih 24 let, preden je Robert A. Millikan lahko lo il u inek naboja od
mase.
Predstavitev 22.3: Monopol, Dipol, Kvadropol
Coulombov zakon napoveduje da privla na (ali
odbojna) sila pada v razmerju 1/r2, medtem ko
naraš a razdalja med dvema nabojema. Vendar v
naravi redko sre amo to kaste naboje. Molekule,
na primer vsebujejo pozitivne in negativne
naboje, ki jih vežejo sile, ki jih lahko razlagamo
le s kvantno mehaniko. Prisotne so tudi
elektri ne sile, eprav so pozitivni in negativni
naboji vezani. Razvijamo lahko uporabne zakone
o silah, ki obravnavajo približke splošnih
porazdelitev nabojev. Ponovni zagon.
Ta predstavitev nam omogo a študij sile med
gibljivim preskusnim delcem in usmeritvami
enega, dveh ali štirih fiksnih delcev. Sila med
preskusnim nabojem in fiksnim to kastim
nabojem, ki mu pravimo tudi monopol, sledi
Coulombovemu zakonu o sili. Sistemu, ki ga predstavljata dva bližnja delca nasprotne polaritete,
pravimo dipol. Dva dipola v neposredni bližini tvorita kvadropol. Kaj lahko re emo o razlikah v
diagramih odvisnosti sile od razdalje za te tri primere? Ali kaže kakšen od teh diagramov, da pada
sila z razdaljo v druga nem razmerju, kot je 1/r2? e je tako, zakaj ni to v nasprotju s
Coulombovim zakonom? Zakaj pada sila hitreje, e dodamo ve nabojev?
Ko seštevamo sile, povzro ene z ve nabojii, je lahko skupna sila, ki jo povzro ajo drugi delci,
razli na od 1/r2 odvisno od usmeritve, velikosti in predznaka nabojev. Za dipol velja, da razdalja
med pozitivnim nabojem in preskusnim nabojem prakti no enaka razdalji med negativnim
nabojem (dipola) in preskusnim nabojem. e bi bila ta razdalja povsem enaka, bi se oba naboja
dipola prekrivala in bi bila skupna sila na preskusni delec enaka ni . Vendar ti razdalji nista
povsem enaki. Ko seštevamo te sile, dobimo za dipol skupno silo, ki je sorazmerna 1/r3, pri
kvadropolu pa bi dobili razmerje 1/r4.
Ko dobiš primeren diagram, lahko z desnim klikom dobiš njegovo kopijo, da ga primerjaš z
drugimi animacijami.
Predstavitev 22.4: Naelektritev teles in stati no lepljenje
S slede imi animacijami lahko z naelektrenimi
delci (rde i = pozitivni, modri = negativni)
modeliramo naelektreno snov. Puš ice kažejo sile
med delci. Ponovni zagon.
Imamo ve na inov, kako naelektrimo telesa.
Znano je, kaj se zgodi, e drgnemo balon ob
pulover. Zaradi drgnenja se balon negativno
186
naelektri. Prilepil se bo na steno ali strop, eprav sta tako stena kot strop nenaelektrena. Kaj ga
lepi na nevtralna telesa? Poglej si to s simulacijo balona. Model kaže negativno naelektren balon
v bližini nevtralnega stropa. eprav je strop nevtralen, vsebuje naboje, le da je število negativnih
in pozitivnih delcev enako. Kaj se zgodi z nevtralnim stropom? Temu pojavu pravimo influenca
(ko položaj nabojev v atomu delno popa i zaradi sosednjih nabojev).
Drug na in naelektritve telesa je z indukcijo. Najprej si poglejmo primer, ko je leva ploš a
pozitivno naelektrena, desna pa je nevtralna (ima enako število pozitivnih in negativnih delcev).
Primer kaže animacija. Zakaj se delci razhajajo tako, kot se to dogaja v desni ploš i? Naboji se
gibljejo v skladu s silami, ki delujejo nanje (Privla ijo se naboji nasprotnega predznaka, tisti z
istim predznakom pa se odbijajo). Predpostavimo, da omogo imo nabojem na desni ploš i, da
nekam odte ejo (na primer v zemljo) tako kot kaže animacija? Kaj se dogaja? Zakaj? Nevtralni
pari negativnih in pozitivnih nabojev gredo narazen zaradi bližine pozitivnega naboja. Nato
pozitivni delci na desni ploš i odte ejo v ozemljeno ploš o.
Ko je neko telo naelektreno (kot na primer ra unalniški zaslon), se nanj lepijo druga telesa. Temu
pravimo "stati no lepljenje." Vzemimo naelektrene delce v bližini naelektrenega zaslona, kot to
kaže naslednja animacija. Kaj se dogaja s pozitivno naelektrenimi delci? Kaj pa z negativno
naelektrenimi? Sedaj vzemimo nevtralne delce v naslednji animaciji. Kaj se dogaja z nevtralnimi
delci med dvema naelektrenima zaslonoma? Postanejo polarizirani, nakar jih zaslon privla i.
Opazimo, da lahko naelektreni zaslon privla i tako naelektrene kot nevtralne delce. Tako
razložimo, zakaj naš ra unalniški ali televizijski zaslon (ki sta naelektrena) tako rada nabirata
prah.
Raziskava 22.1: Ravnovesje
Imamo dva fiksna naelektrena delca in en premakljiv,
preskusni delec (položaj je podan v metrih, sila v newtonih).
Modra puš ica predstavlja silo na rde i preskusni delec. Sili na
fiksna delca nista prikazani. Opazujemo lahko sile s prvim
fiksnim delcem, z drugim fiksnim delcem ali z obema
fiksnima naelektrenima delcema. V primeru, ko imamo le en
delec, vidimo v rumenem okencu skupno silo na preskusni
delec, ni pa prikazana, e sta prisotna oba fiksna delca.
Ponovni zagon.
Odgovori na naslednja vprašanja za primer z obema fiksnima nabojema.
a. Dolo i skupno silo na preskusni delec v to ki (3 m,4 m).
b. Dolo i skupno silo na preskusni delec na sredini med obema fiksnima delcema.
c. Ali obstaja to ka (ali ve to k), kjer je skupna sila na preskusni delec enaka ni ? e je to
tako, poiš i te to ke.
d. Kolikšno je razmerje med naboji delcev?
187
Raziskava 22.2: Prou i u inek ve nabojev
Animacija kaže pozitivni preskusni naboj. Dodajaš lahko
pozitivne oziroma negativne delce. Vse delce dodajaš v
sredino animacije in vsak novo dodani delec moraš
povle i na nov položaj. Ko pritisneš "predvajaj", se bo
preskusni delec pomikal pod vplivom sil, ki jih
povzro ajo drugi delci. Ponovni zagon.
a. Dodaj pozitivni delec. Opiši in razloži gibanje
preskusnega delca.
b. Kako lahko gibanja delca ugotoviš, da je delec
pod vplivom sile, ki pa se zmanjšuje z
oddaljevanjem preskusnega delca vstran od
pozitivnega delca?
e pozitivno naelektreni delec nadomestiš z negativno
c. Kaj napoveduješ za primer,
naelektrenim?
d. Po isti zaslon in poskusi. Je bila tvoja napoved to na?
e. Kako lahko konfiguriraš dva naboja z enakim predznakom in obdržiš preskusni delec v
stacionarnem položaju? Opiši svojo konfiguracijo.
f. Kaj se zgodi, e enega od naelektrenih delcev rahlo premaknemo? To je prikaz nestabilne
ravnovesne to ke (podobno kot pri telovadcu na drogu: malo ga potisni in prevrnil se bo).
g. Na rtaj in opiši konfiguracijo, pri kateri bo preskusni delec osciliral naprej in nazaj.
h. Razloži (s pomo jo sil), zakaj preskusni delec niha.
i. Zbriši vse delce in dodaj negativno naelektrenega. Preskusni delec naj se giblje (njegova
za etna hitrost naj ne bo ni ), nato premikaj negativni delec tako, da bo preskusni delec
krožil okoli njega. Opiši (s pomo jo sil), zakaj kroži.
Raziskava 22.3: Elektrostati no razvrš anje
Preu uj gibanje pozitivnega preskusnega delca pod
vplivom petih fiksiranih nabojev. Animacijo sproži
ve krat tako, da postaviš preskusni delec vsakokrat v
drug položaj. Preden premakneš delec, moraš klikniti
na "za etno stanje" (sicer bo delec kar nadaljeval svojo
pot kot prej). Opazimo, da je lahko gibanje delca kar
zapleteno, odvisno od za etnega položaja (položaj je
podan v metrih, as v sekundah). Razvrsti fiksne
delce od najbolj negativnega do najbolj pozitivnega.
Ponovni zagon.
a. Tako, da postaviš preskusni naboj blizu posameznih delcev in tako ugotoviš predznak
posameznih nabojev. Kateri delci so pozitivni, negativni ali nevtralni?
Pri razvrš anju negativnih in pozitivnih delcev moraš biti sistemati en. Tako lahko za pozitivne
delce postavljaš preskusni naboj blizu delcev in opazuješ gibanje (oziroma sled).
b. Kateri pozitivni delec deluje na preskusni delec z ve jo silo?
188
Za negativne delce postavi preskusni naboj malo nad neznani negativni delec in opazuj njegovo
približevanje.
c. Kateri negativni delec deluje na preskusni delec z ve jo silo?
d. Kako to veš?
e. S pomo jo tega pristopa razvrsti naboje.
Raziskava 22.4: Simetrija dipola
Vsaka animacija kaže rde , pozitiven naboj skupaj z
dvema neznanima nabojema (modre barve). Elektri na
sila na pozitivni delec je prikazana z vektorjem sile.
Rde i delec lahko deloma vle emo vzdolž osi x (položaj
je podan v metrih, sila je podana v (newton/k), pri
emer je k konstanta v Coulombovem zakonu).
Ponovni zagon.
a. V kateri animaciji imata neznana delca naboja z pozitivnim in negativnim predznakom,
vendar enake velikosti?
b. Kvalitativno re eno, katera konfiguracija nabojev bi povzro ila rezultat, ki ga vidimo v
drugih dveh animacijah?
c. Za animacijo s pozitivnim in negativnim nabojem enake velikosti dolo i, kolikšna je
velikost naboja modrih delcev, e ima rde i delec naboj 2.5 coulomba?
Raziskava 22.5: Elektroskopsko nihalo
Dve enaki krogli visita kot nihalo (položaj je v
metrih, as v sekundah). Naboj vsake krogle,
podan v mC, lahko spreminjamo z drsnikom.
Položaj lahko merimo s klikom in vle enjem
miške. Ponovni zagon.
a. Se krogli obnašata druga e, e naboj na
obeh kroglah spreminjamo od negativnega
k pozitivnemu?
b. Hitrost lahko postavite na 0. Ali lahko
ugotovite, kdaj sta krogli v ravnovesju?
(Hitrost lahko izni imo ve krat, da bi
kon no dobili ravnovesje krogel.)
c. Kakšna
je
masa
vsake
krogle?
(Predpostavimo, da je naboj po obeh
kroglah enakomerno porazdeljen.)
d. Kako velik naboj potrebujemo, da bo kot (merjeno pri te aju) med dvema kroglama v
ravnovesju enak 90 stopinj? Kakšen naboj za kot 180 stopinj?
189
Raziskava 22.6: Coulombov izziv
Animacija kaže pozitivni preskusni naboj. Dodajamo lahko
pozitivne in negativne delce. Vse delce dodajamo v sredino
animacije in moramo zato vsak novo dodani delec povle i na
nov položaj. Ko kliknemo na "predvajaj" se bo preskusni
delec premikal pod vplivom sil, povzro enih z drugimi
naboji. Ponovni zagon.
Premakni delce tako, da bo potoval delec od za etnega
položaja do kon ne rte, ne da bi zadel v steno.
a. Opiši svojo postavitev delcev.
b. Kaj nam dela težave pri uporabi Coulombove sile?
Razloži.
Poglavje 23: Elektri na polja
V prejšnjem poglavju smo obravnavali Coulombov zakon, ki opisuje sile med naboji. V tem
poglavju bomo spoznali, kaj se dogaja v prostoru okoli elektri nega naboja, v kateren nastane
elektri no polje. S pomo jo polja bomo lahko opisali silo, kateri je podvržen naelektren delec pod
vplivom elektri nega polja, ki ga povzro ajo sosednji naboji. Slikovito si lahko zamislimo polje
kot razmerje med silo (dane velikosti in smeri), ki bi jo util pozitivno naelektren delec, in
njegovim elektri nim nabojem (E = F/q). Pri prikazovanju elektri nega polja bomo uporabljali
vektorsko polje, silnice in "preskusne naboje" (naelektrene delce, ki le utijo silo, povzro eno z
drugimi enaboji, sami pa (bistveno) ne morejo spremeniti zunanjega elektri nega polja).
Predstavitev 23.1: Kaj je elektri no polje?
Ko vpišemo vrednosti za x in y komponento polja, nariše animacija
vektorsko polje. Poskusiti moramo z ve razli nimi vrednostmi, da
dobimo ob utek, kaj pomeni dolo eno vektorsko polje. Ponovni
zagon.
Za nimo najprej s tvorbo preprostega enakomernega vektorskega
polja z vpisom 5 N/C za Ex in s klikom na "Osveži elektri no
polje". Opazimo, da animacija izriše mrežo puš ic, usmerjenih v
desno. e vpišemo -5 N/C za Ex, bodo puš ice usmerjene v
nasprotno smer. Vpišimo 3 N/C za Ex in 4 N/C za Ey in osvežimo
izris polja. Puš ice so sedaj usmerjene pod kotom 37 stopinj glede
na os x. Kaj vidimo, e sedaj za Ex vnesemo 2 N/C? V em se slika razlikuje od primera za Ex = 5
N/C? Kaj predstavlja barva vektorjev? Zakaj ne ponazorimo jakosti vektorskega polja kar z
dolžino vektorjev?
190
Sedaj pa tvorimo polje, ki nam je doma e ( eprav tega morda še ne vemo) tako, da postavimo za
Ex vrednost 0 N/C in za Ey vrednost -4.9 N/C. To je pravzaprav predstavitev vektorja sile na telo
z maso 0.5-kg blizu zemeljske površine. Zakaj? Kakšno pa bi bilo to vektorsko polje za telesa z
maso 3-kg mass blizu zemeljske površine? ( e bi govorili o telesih dale od zemeljske površine,
tako kot so to sateliti v svojih orbitah, bi morali upoštevati zmanjševanje privla nosti Zemlje kot
funkcijo kvadrata oddaljenosti predmeta od Zemlje).
Vrednosti komponent polja niso nujno konstantne. Poskusimo z vpisom 2*x za Ex in 2*y za Ey.
Kaj opazimo? V tem primeru kažejo vektorji polje, ki se s položajem spreminja tako po jakosti,
kot po usmeritvi. Kakšne so vrednosti za Ex in Ey pri x = 0 m, y = 2 m? Ali kaže puš ica v tej
to ki v pravo smer? Ponovi to vajo za Ex = 2*y in Ey = 2*x.
Poskusi še s kakšnimi drugimi (spremenljivimi) vrednostmi za Ex in Ey. Kot primer poskusi z Ex
= x/(x*x + y*y)^3/2 in Ey = y/(x*x + y*y)^3/2. Kako sedaj izgleda vektorsko polje?
Predstavitev 23.2: Elektri na polja zaradi to kastih nabojev
Predstavitev omogo a dodajanje nabojev s klikom na ustrezno povezavo. Vse naboje dodajamo v
središ e animacije in jih nato z miško povle emo drugam, da lahko vidimo u inek naslednjih
nabojev. Ponovni zagon.
Najprej si oglejmo polje okrog enega naboja. Kako izgleda
polje v primeru naboja 1C? Zbrišimo ta naboj in dodajmo
naboj velikosti 2C. Kako se sedaj polje razlikuje od
prejšnjega? Spet zbrišemo naboje in dodamo naboj -2C. Je
kakšna razlika? Opazimo, da je jakost polja ponazorjena z
barvo vektorjev polja. Najmanjša jakost (0) je ponazorjena z
belo barvo, rna barva je uporabljena za najve jo jakost,
modra, zelena in rde a so vmesne stopnje. e je naboj
negativen, se puš ice oziroma poljski vektorji preusmerijo v
nasprotno smer. Pozitivni naboji imajo poljske vektorje, ki
kažejo radialno navzven, torej vstran od njih, negativni naboji imajo poljske vektorje, ki kažejo
radialno navznoter, torej proti njim.
Pobrišimo vse naboje in dodajmo dva pozitivna naboja enake velikosti. Ker naboje dodajamo v
središ e, jih moramo povle i vstran, da se ne prekrivajo. V em se polje z dvema nabojema
razlikuje od polja z enim? Premikaj enega od obeh nabojev bližje k drugemu ali vstan od njega.
Kakšno je polje, ko se oba naboja prekrivata? Kako izgleda polje, ko sta naboja med seboj zelo
oddaljena? Opazimo, da se polji seštevata (To ni ni drugega, kot vektorsko seštevanje). Dejstvo,
da je polje v katerikoli to ki vektorska vsota elektri nih polj, povzro enih s posameznimi naboji,
je preprost princip superpozicije. To smo spoznali že v prejšnjem poglavju: Sila na naelektren
delec je vsota Coulombovih sil sosednjih nabojev. Opazimo, da vektor sile na posamezen
naelektren delec kaže v smer elektri nega polja, povzro enega z drugim delcem. Vsekakor ne
kaže v smer elektri nega polja, povzro enega od obeh nabojev. Prikazana konfiguracija polja bi
bilo polje, ki bi ga util tretji delec (in ne sila, ki jo povzro a posamezni od obeh delcev).
Ali lahko napoveduješ, kakšno bi bilo elektri no polje z dvema negativnima nabojema (enake
velikosti)? Poskusi. Kaj je skupnega in v em se razlikujeta sliki v primeru dveh pozitivnih
oziroma dveh negativnih nabojev? Vektorsko polje kaže v nasprotne smeri.
191
Kaj pa e imamo dipol, oziroma en pozitiven in en negativen naboj? V em je slika enaka ali
razli na od primera z naboji enakega predznaka? Kakšna je smer polja v sredini med obema
nabojema? Vektorsko polje lahko opišemo kot vektorsko vsoto polj obeh nabojev.
Poskusi z dvema nabojema razli nih velikosti. Kako sedaj
izgleda polje? Opazimo, da imamo to ko nekje med obema
nabojema, kjer je polje enako ni . e postavimo na to to ko tretji
naelektren delec, kakšna sila bo delovala nanj? Opazimo, da je
sila na tretji delec odvisna od elektri nega polja, ki ga
povzro ata preostala dva delca in naboja tretjega delca.
Dodaj tri ali štiri naboje in opazuj polje. Izberi eno to ko v
elektri nem polju in razloži, zakaj polje kaže v dani smeri. Kako
lahko poveš, le z opazovanjem polja in ne z gledanjem oznak ob
nabojih, kateri so pozitivni in kateri negativni? Kako lahko veš, kateri delec ima ve ji naboj?
Predstavitev 23.3: Predstavitev vektorskih polj s krivuljami
Imamo ve na inov predstavitev elektri nega polja, ki ga
ustvarjajo naboji. En na in, s pomo jo vektorskega polja, smo že
spoznali, je pa lahko v primeru risanja na papir zelo zahteven (in
težaven, e nimamo na voljo zbirke barvnih svin nikov). Precej
knjig uporablja za prikazovanje elektri nih polj druga en pristop.
V primeru konfiguracije A preklapljaj med predstavitvijo polja z
vektorji in s krivuljami. Kakšna je razlika med obema
predstavitvama? Pri risanju s krivuljami kaže gostota krivulj,
vsaj kvalitativno, jakost polja (ve krivulj v podro ju kaže
mo nejše elektri no polje). Puš ice predstavljajo smer
elektri nega polja. Sedaj premakni naboje v konfiguraciji A. Kako se sprememba odraža v
silnicah elektri nega polja? Izberi to ko na silnici. Preklopi na prikaz z vektorji. Kako izgleda
poljski vektor v tej to ki? Opazimo, da je v vsaki to ki vektorsko polje usmerjeno tangencialno
na silnice elektri nega polja.
Sedaj izberi konfiguracijo B in si oglej obe predstavitvi. Ali lahko poveš, ali je skupen naboj
delcev pozitiven, negativen ali enak ni ? S premikanjem delcev preveri svoj odgovor (vse delce
lahko prekriješ med seboj).
Predstavitev 23.4: Prakti na uporaba nabojev in elektri nih
polj
Pri predstavitvi animacije na za etku
nimamo nobenega elektri nega polja.
Vnesimo sedaj vrednost za elektri no polje v
smeri y (položaj je podan v centimetrih,
as v sekundah) in sprožimo animacijo.
Opazimo, da se naelektreni delec ukloni s
prvotne preme poti. Ponovni zagon.
192
Kaj se zgodi, e
•
•
•
delcu pove amo naboj,
pove amo ali zmanjšamo za etno hitrost delca,
spremenimo predznak elektri nega polja.
Ali lahko z naelektrenim delcem zadenete želeni cilj? Kaj se zgodi, e nenaelektren delec
izstrelimo v podro je z elektri nim poljem? Te preproste zamisli, predstavljene s to animacijo, so
vodile k rezli nim uporabam.
Ali si se kdaj spraševal, kako deluje zaslon tvojega ra unalnika ali televizorja (ne mislimo na tiste
z LCD ali plazma zaslonom)? Sliko, ki jo vidimo, tvori katodna cev (cathode ray tube, CRT).
Katodna cev ima žare o nitko, podobno kot v žarnicah, iz katere se sproš ajo elektroni, ki jih
pospešimo, da potujejo z veliko hitrostjo. Elektroni potujejo skozi podro je s konstantnim
elektri nim poljem. To polje vpliva na elektrone, ki se uklonijo v odvisnosti od jakosti
elektri nega polja in njihove hitrosti pri vstopu v polje. S krmiljenjem bodisi jakosti elektri nega
polja bodisi za etne hitrosti elektronov lahko vplivamo na to, kje bodo elektroni zadeli zaslon. Pri
katodnih ceveh govorimo o toku ali snopu elektronov, ki zadevajo zaslon, premazan s fosforno
snovjo, ki ob tku elektronov vanjo, na danem mestu zasveti. Ker vse poteka zelo hitro, imamo
ob utek, prakti no so asnega prikaza slike na zaslonu. Aplet prikazuje elektrone, ki se ukrivljajo
navzdol ali navzgor. Potrebovali bi dve dodatni ploš i za krmiljenje uklona elektronov v levo ali
desno. Ve ina novih katodnih cevi sicer uporablja magnetna polja za krmiljenje elektronov,
vendar je osnovna zamisel enaka. Ker je lokacija trka elektrona z zaslonom direktno odvisna od
jakosti elektri nega polja, lahko katodno cev uporabljamo tudi za merjenje elektri nega polja.
Osciloskopi uporabljajo ta koncept za merjenje napetosti (z merjenjem tvorjenega elektri nega
polja) in na zaslonu prikazujejo asovno odvisne diagrame.
Ena od tehnologij ra unalniških tiskalnikov temelji na brizganju rnila (ink-jet). Kapljice rnila,
ki jih takšni tiskalniki brizgajo, so zelo majhne, manjše od debeline loveškega lasu. Pred
brizgom so kaplice naelektrene, nato pa potujejo skozi elektri no polje. Lokacija, kjer kapljica
pade na papir, je odvisna od naelektritve kapljice. Isto osnovno zamisel najdemo tudi pri starejših
ra unalniških zaslonih in pri ve ini televizorjev.
Raziskava 23.1: Polja in preskusni naboji
e lahko interakcije med naelektrenimi delci opišemo s silami
med njimi in, e velja zveza med elektri nim poljem in
elektri nimi silami, zakaj bi sploh govorili o elektri nih poljih?
To bomo obravnavali v naslednji raziskavi.
Animacija kaže pozitiven naboj velikosti 4 C, postavljen na (0
m, 0 m), in preskusni naboj velikosti 1 C, postavljen na (1 m, 1
m). Ob preskusnem naboju je izpisana njegova oddaljenost od
naboja, iz enaboja pa kaže puš ica, ki predstavlja silo na
preskusni naboj (položaj je v metrih, naboj je podan v
coulombih). Z drsnikom lahko spreminjamo velikost
preskusnega naboja. Ponovni zagon.
193
a. Premakni preskusni naboj na x = 2 m in y = 2 m. Kolikšna je sedaj sila na naboj,
relativno na silo v za etnem položaju: ve ja, manjša ali enaka? Kakšna je sila na
preskusni naboj v primerjavi s silo na za etni lokaciji, e naboj postavimo na (-1 m, 1
m)? Kaj pa, e delec prestavimo na (0.5 m, -1 m)? Kaj dolo a relativno velikost sile na
preskusni naboj?
b. Sedaj pustimo preskusni naboj v njegovem za etnem položaju, pove amo pa njegovo
velikost na 2 C. Kako se spremeni sila na preskusni naboj? Kako se bo sila spremenila
relativno na za etno silo, e naboj spremenimo na 0.5 C? In kako je pri naboju -1 C? Kaj
dolo a relativno velikost sile na preskusni naboj?
Sedaj predpostavimo, da želimo opisati silo, ki jo uti naelektreni delec v središ u. Ali lahko silo
opišeš na splošno, brez konkretne vrednosti naboja, ki deluje na delec? Tvoji odgovori na (a) in
(b) so pokazali, da moramo upoštevati tako lokacijo naelektrenega delca kot velikost njegovega
naboja. e bi lahko govoril o sili na delec s pomo jo pojma sile na preskusni naboj, bi se lahko
znašel v težavah. Sila je povsem odvisna od preskusnega naboja! e spremeniš velikost
preskusnega naboja, bo sila druga na. Potrebujemo opis polja, ki je neodvisen od naše napravice
za detekcijo polja.
c. Bi lahko kvantitativno opisal podro je okrog središ nega naboja, neodvisno od lastnosti
preskusnega naboja? Zapiši vsaj en predlog PREDEN greš na (d).
d. Odgovor fizika na to dilemo je tvorba koncepta elektri nega polja. Elektri no polje je
definirano kot razmerje med silo na preskusni naboj in velikostjo tega preskusnega
naboja, E = F/q. Za primer enega samega naboja, kot je tisti v središ u animacije, velja F
= (k*Q*q)/r2, zato dobimo za jakost elektri nega polja E = k*Q/r2.
e. Ponovi to ke (a), (b) in (c) z upoštevanjem elektri nega polja namesto sile.
f. Ali je sila odvisna od velikosti preskusnega naboja? Ali je jakost elektri nega polja
odvisna od velikosti preskusnega naboja? Preveri tvojo napoved s spreminjanjem
velikosti preskusnega naboja in z opazovanjem u inka na vektor sile in na vektorje
elektri nega polja. (S klikom na povezavo vklju i prikaz vektorjev elektri nega polja.)
g. Povej s svojimi besedami, zakaj je smiselno definirati elektri no polje na tak na in?
Zakaj ne bi govorili kar o silah?
194
Raziskava 23.2: Silnice in trajektorije
Animacija kaže dva fiksna naboja in en preskusni naboj (položaj je podan v metrih, as v
sekundah). Vidimo še elektri no polje, ki ga povzro ata oba fiksna naboja, in vektor sile, ki
deluje na preskusni naboj. Ko sprožimo animacijo, se bo preskusni delec gibal pod vplivom
elektri nega polja. Ponovni zagon.
a) Uporabi konfiguracijo A, premakni preskusni delec
približno na položaj (-0.8 m, 0 m). Napovej, kakšna naj
bi bila pot naelektrenega delca, ko bo zapustil to to ko.
Potem, ko si zapisal svojo napoved, sproži animacijo.
Je bila tvoja napoved pravilna? e ne, povej, zakaj si se
zmotil?
b) Resetiraj aplet in premakni preskusni delec približno na
položaj (1 m, 0.35 m). Tako kot prej zapiši napoved poti
preskusnega naboja. Pojasni svoje razmišljanje, e si se
v napovedi zmotil.
c) Poskus ponovi s konfiguracijo B in s preskusnim
delcem, premaknjenim in sproš enim na položaju (-0.5
m, 0.5 m).
d) Ponovi poskus s konfiguracijo B s preskusnim delcem
sproš enim na položaju (0 m, 1.3 m).
Raziskava 23.3: Seštevanje polj
Na krožni ži ni okvir je nataknjena naelektrena koralda.
Središ e kroga je v to ki (0 m, 1 m). Poleg gravitacije
lahko dodamo enakomerno elektri no polje v smeri x
(položaj je podan v metrih, as v sekundah, jakost
elektri nega polja v N/C). Ponovni zagon. Polje sile je
prikazano s puš icami, kot v Predstavitvi 23.1.
Vnesi vrednost za jakost elektri nega polja in sproži
animacijo s klikom na gumb "Nastavi vrednost in
predvajaj". Koralda se bo premikala, v kolikor ni v
ravnovesnem položaju. Za etno hitrost lahko nastaviš na
ni , vendar se bo koralda spet za ela premikati, dokler je
ne bomo zadušili v ravnovesnem položaju. Prekini
animacijo, izni i hitrost, premakni kroglico in nadaljuj
animacijo, kolikokrat to želiš. e je elektri no polje dovolj šibko oziroma po velikosti primerljivo
s težnostnim poljem, opazujemo poljske vektorje, ki so vektorska vsota sile teže (mg) in
elektri ne sile (qE). Dolo i naboj koralde, e ima ta maso 10 gramov.
195
a. Opazimo, da koralda niha okoli ravnovesne to ke. Poiš i vrednost elektri nega polja, ki
da ravnovesno to ko nekje na žici. Z izni enjem hitrosti ustavi kroglico v tej ravnovesni
to ki.
b. Nariši diagram sile in pokaži, da mora biti komponenta y sile na kroglico, pravokotna na
žico, enaka teži kroglice, komponenta x te sile pa mora biti enaka sili, povzro eni z
elektri nim poljem (qE).
c. Ker je normalna sila pravokotna na žico (in zato kaže v središ e kroga z žico), poiš i kot,
ki ga normala tvori bodisi s horizontalo bodisi z vertikalo, in pokaži, da je razmerje med
silo težnosti in elektri no silo enako tangenti kota, ki ga normalna sila tvori s horizontalo.
Zato lahko najdeš elektri no silo (qE), ki je potrebna za držanje krogloce v ravnovesnem
položaju.
Poglavje 24: Gaussov zakon
Jakost elektri nega polja upada z oddaljenostjo od vira v razmerju 1/r2. Primerjaj površino kocke
s stranicami dolžine r s površino krogle z radijem r. Velikost površin je 6r2 oziroma 4 r2. eprav
sta konstanti razli ni, naraš ata obe površini z med ve anjem obeh teles z r2. Ugotovitev, da se
jakost elektri nega polja zmanjšuje v enakem razmerju, kot se pove uje površina, vodi h
Gaussovemu zakonu. Fiziki devetnajstega stoletja so iskali analogije med polji in pretokom
teko in. e te e teko ina od nekega izvora, je koli ina teko ine skozi katerokoli površino, ki
oklepa izvor, konstantna ne glede na obliko te površine. Koli ini teko ine, ki prehaja tako
površino, pravimo pretok ali pretok. Sicer ni prav, da razmišljamo o elektri nih ali gravitacijskih
poljih kot o teko inah, je pa matemati ni pristop enak in ra unati moramo veli ino, ki ji pravimo
elektri ni pretok, kar je zmnožek jakosti elektri nega polja in površine neke ploskve. ..
Predstavitev 24.1: Elektri ni pretok in Gaussove ploskve
Stolpi ni graf na levi kaže elektri ni pretok, skozi štiri
Gaussove ploskve: zeleno, rde o, oranžno in modro
(položaj je podan v metrih, jakost elektri nega polja
v N/C, pretok je podan v N m2/C). Ponovni zagon.
Animacija prikazuje le dve dimenziji. Krogi, ki jih
vidimo, so v bitstvu preseki krogel, kvadrati pa preseki
kock. Elektri ni pretok, je mera koli ine elektri nega
polja na ploskvi. Gaussov zakon povezuje elektri ni
pretok z nabojem, ki ga obkroža (q) Gaussova ploskev:
= q/
0
in
= E • dA = E cos dA
Pri tem je 0 permeabilnost prostora (8.85 x 10-12
je kot med
C /Nm ), E je elektri no polje, dA je delec površine, normalen na ploskev,
vektorjem elektri nega polja in normalo na ploskev.
2
2
Premikajmo Gaussovo ploskev. Kolikšen je elektri ni pretok, ko ploskev obkroža to kasti naboj?
Kolikšen je elektri ni pretok, ko to kasti naboj ni znotraj Gaussove ploskve? Kako je to pri rde i
ploskvi? Glede na to, da je elektri ni pretok zmnožek elektri nega polja s površino ploskve, zakaj
196
nanj ne vpliva velikost ploskve? Dokler je to kasti naboj znotraj ploskve, je elektri ni pretok
vedno enak in je q/ 0. Ko pa je to kasti naboj izven ploskve, je elektri ni pretok vedno enak ni .
Opazimo, da lahko tako zeleno kot rde o Gaussovo ploskev premikamo tako, da je naboj bodisi
znotraj, bodisi izven njih. Zato sta elektri na pretoka v pri obeh tipih ploskev v ekvivalentnih
primerih enaka. Elektri no polje pa lahko v obeh primerih ugotovimo le, e je naboj znotraj
ploskve.
Oranžna ploskev ima druga no simetrijo glede na to kasti naboj (in njeno elektri no polje). Zakaj
pri oranžni ploskvi vidimo, da oblika ploskve ne vpliva na ugotovljen elektri ni pretok? Zakaj pa
je pomembno, ali smo naboj zajeli ali ne? Premaknimo ploskev v lego, ko je elektri ni pretok
enak ni . Ali je elektri no polje na površju kocke enako ni ? e ni ni , zakaj je potem elektri ni
pretok enak ni ? e pomislimo na elektri ni pretok kot na tok elektri nega polja skozi neko
ploskev (podobno, kot bi tekla teko ina), Kar je bila v asih analogija za elektri no polje in
pretok, potem mora v primeru, ko v kocki ni naboja, elektri no polje vanjo priti in jo tudi
zapustiti. V kocki tedaj ni nobenega vira elektri nega polja. Seveda pa kocka nima ve krogelne
simetrije glede na to kasti naboj. Ko je po tem scenariju pretok enak ni , z njegovo vrednostjo ne
moremo ve ugotavljati elektri nega polja. Integral E cos dA ni enak integralu E cos dA,
ker E ni enakomeren vzdolž Gaussove ploskve.
Kon no si poglejmo dva naboja z modro ploskvijo. Kaj se zgodi, e modra ploskev obkroža
natan no en naboj? In kaj se zgodi, e obkroža oba naboja?
Predstavitev 24.2: Bližnji in oddaljeni pogled na žico
Razli ne animacije kažejo razli ne poglede na
isto naelektreno žico: Pogled s srednje
oddaljenosti, pogled od blizu in pogled od
dale (položaj je podan v metrih, jakost
elektri nega polja v N/C, pretok je podan v
N m2/C). Stolpi ni graf predstavlja elektri ni
pretok skozi premi no Gaussovo "ploskev"
(vse tri si moramo zamišljati tro
dimenzionalno, kvadrati so v bistvu preseki
kock, krogi so preseki krogel). Ponovni zagon.
Primerjajmo
elektri ne
pretoke
skozi
Gaussove ploskve tako v pogledih srednje kot
z velike oddaljenosti tako, da Gaussova
ploskev v celoti obkroža žico. Zakaj so enaki? Zakaj je v primeru pogleda od dale elektri ni
pretok enak, eprav detektor elektri nega pretoka ni povsem centriran glede na naboj? V obeh
primerih je z Gaussovo ploskvijo obkrožena ista koli ina naboja, zato je elektri ni pretok enak.
Kako naj izgledajo silnice elektri nega polja pri posameznih pogledih? Preveri svoje odgovore s
klikom na povezave "Prikaz E-polja". Zakaj smo za bližnji in oddaljeni pogled izbrali razli ne
oblike Gaussovih ploskev? Pri srednjem pogledu elektri no polje ne kaže simetrije, medtem, ko
pri bližnjem pogledu opazimo približno pravokotno simetrijo ( e smo dovolj blizu naboja), pri
oddaljenem pogledu pa opazimo približno sferi no simetrijo ( e smo dovolj dale od naboja). To
pomeni, da lahko uporabljamo Gaussov zakon le pri pogledihe od blizu ali od dale . Ker sta to
dve razli ni simetriji, bo elektri no polje, ki ga dobimo po Gaussovem zakonu, v obeh primerih
197
druga no. To je v redu, saj Gaussov zakon omogo a ra unanje elektri nega polja na Gaussovi
ploskvi (in ne kje drugje).
V primerih, ko vidimo vektorje elektri nega polja, premikajmo ploskve tako, da bodo vektorji
elektri nega polja pravokotni ali vzporedni s ploskvami. Ali lahko narediš isto pri srednjem
pogledu? Ne. Iz tega sledi, da si v tem primeru ne moremo pomagati z Gaussovim zakonom za
izra un elektri nega polja na ploskvi, eprav še vedno velja za vse tri konfiguracije. Elektri ni
pretok skozi ploskev še vedno lahko izra unamo, saj je sorazmeren obkroženemu naboju. Vendar
pri srednjem pogledu, ker se elektri no polje spreminja na razli nih del kih ploskve, ne moremo
uporabiti Gaussovega zakona, pomagati si moramo s Coulombovim zakonom). Gaussov zakon je
uporaben le za ra unanje elektri nih polj pri dolo enih simetri nih porazdelitvah nabojev
(sferi ne, valjaste, planarne).
Predstavitev 24.3: Naelektren valj
Animacija na koncu pokaže naelektren valj, ki poteka pravokotno na
zaslon. Porazdelitev naboja tvorimo sami in opazujemo nastajajo e
elektri no polje (položaj je podan v metrih, jakost elektri nega
polja v N/C). Ponovni zagon.
cilindri no simetrijo.
Za nimo z dodajanjem enega dolgega naboja (v obliki rte ali žice).
Opazujmo silnice elektri nega polja. Spomnimo se, da naboj poteka
v obe smeri zaslona, noter in navzven. O itno imamo opravka s
Dodajmo še en tak naboj. Kaj se zgodi s simetrijo? Zelo dale od obeh nabojev bomo še vedno
imeli cilindri no simetrijo. Zakaj? Gledano od dale vse še vedno (približno) izgleda kot ena
sama žica. Poglejmo, kaj se zgodi s poljem, e dodamo še 10 nabojev in nato zgradimo polovico
valja. Kakšna je simetrija, ko zgradimo cel valj? Polje znotraj valja je enako ni . Kakšno
Gaussovo ploskev bi uporabili za ugotavljanje elektri nega polja znotraj valja in izven njega?
Celoten valj ima cilindri no simetrijo in lahko za ra unanje elektri nega polja uporabljamo
Gaussov zakon. Ker notranjosti valja Gaussova ploskev s polmerom 1.65 m ne obkroža nobenega
naboja, je pretok tu enak ni in lahko zaradi simetrije re emo, da je znotraj valjaste lupine
elektri no polje E enako ni . Cilindri no Gausovo ploskev lahko uporabimo tudi za ra unanje
elektri nega polja izven naelektrene valjaste lupine.
Ko pri obravnavi problemov uporabljamo Gaussov zakon, moramo razpoznati simetrijo (iš emo
simetrijo porazdelitve naboja), pa tudi smer polja in kje to izginja. Prepri aj se, ali lahko to
po enjaš pri tej konfiguraciji.
Raziskava 24.1: Elektri ni pretok in Gaussov zakon
V tej raziskavi bomo ra unali elektri ni pretok
in si pri tem
pomagali z Gaussovimi ploskvami: zeleno, rde o in modro (položaj
je podan v metrih, jakost elektri nega polja je podana v N/C).
Ne smemo pozabiti, da animacija kaže le dve dimenziji. Krogi so le
preseki krogel. Ponovni zagon.
198
Elektri ni pretok je merilo elektri nega polja preko neke ploskve. Podan je z naslednjo ena bo:
=
A
E • dA =
A
E cos dA,
pri tem je E elektri no polje, dA je enota površine, normalne na ploskev,
elektri nega polja in normalo na ploskev.
je kot med vektorjem
Premikajmo preskusni naboj po Gaussovi ploskvi (Pomislimo, da je to krogla, eprav vidimo le
njen presek).
a. Kolikšna je velikost elektri nega polja na njeni površini?
b. V katero smer kaže?
c. Katera smer je normalna na Gaussovo ploskev?
e elektri no polje E in normala na Gaussovo ploskev, A vedno kažeta v isto smer, relativno
druga na drugo, in e je elektri no polje konstantno, tedaj postane ena ba za pretok enaka: =
Ecos dA = EAcos .
d.
e imamo v primerih (a)--(c) to kast naboj, kakšen je kot med elektri nim poljem in
normalo na ploskev?
To pomeni, da je cos = 1. Zato velja v tem primeru,
= EA.
e. Za izbrano ploskev ra unaj elektri ni pretok (Spomni se, da je površina krogle enaka
4 R2).
f. Ra unaj elektri ni pretok za preostali dve površini.
Ker se elektri no polje zmanjšuje z 1/r2, površina pa raste z r2, je elektri ni pretok v vseh treh
primerih enak. To je temelj Gaussovega zakona: Elektri ni pretok skozi Gaussovo ploskev je
sorazmeren naboju znotrj te ploskve. e je naboj dvakrat ve ji, je tudi pretok dvakrat ve ji.
Gaussov zakon pravi, da velja = q/ 0.
g. Kakšna je velikost naboja in kakšen predznak ima?
Raziskava 24.2: Simetrija in uporaba Gaussovega zakona
Gaussov zakon vedno velja: = E • dA = q/ 0, ni pa vedno
prikladen za ra unanje elektri nega polja, kar bi obi ajno radi.
To ni presentljivo, ker bi za iskanje E z uporabo ena be tipa
E • dA = q/ 0 morali imeti možnost izpostaviti iz integrala E,
za kaj takega pa bi moral biti E konstanten na ploskvi. Tu nam
lahko pomaga simetrija. Gaussov zakon je uporaben pri
ra unanju elektri nega polja, ko imamo tako simetrijo, da
lahko tvorimo tako Gaussovo ploskev, pri kateri je elektri no
polje na površini konstantno in se pri tem kot med smerjo polja
in normalo na ploskev ne spreminja (položaj je podan v
metrih, jakost elektri nega polja v N/C). V praksi to
pomeni, da izberemo Gaussovo ploskev take simetrije, kot jo
ima sama porazdelitev naboja. Ponovni zagon.
199
Vzemimo kroglo okrog to kastega naboja. Modri preskusni naboj kaže smer elektri nega polja.
Imamo tudi vektor, ki kaže v smer normale na površino krogle.
a. S premikanjem vektorja normale na površino krogle in s postavitvijo preskusnega naboja
v tri razli ne to ke na površini poiš i v teh treh to kah vrednost E • dA = E dA cos
(postavi dA = 1) (Jakost elektri nega polja bereš v rumenem polju). Ali so enaka?
Sedaj postavi kocko, ki obkroža to kasti naboj. Preskusni naboj kaže smer elektri nega polja in
kot med vektorskim poljem in navpi no osjo (kot je v stopinjah).
Vektorja v rde ih to kah kažeta smer normale na površino kocke
(za prikazani dve stranski ploskvi).
b. Premikaj vektorje normale na ploskev kocke in
prestavljaj preskusno v tri razli ne to ke na površini
kocke ter v teh treh to kah ugotovi vrednost E • dA = E
dA cos (postavi dA = 1). So vrednosti enake?
c. V kontekstu teh odgovorov povej, zakaj je bila izbira
krogle za uporabo Gaussovega zakona bolj primerna od
izbire kocke!
Poskusi sedaj drugo konfiguracijo. Postavi kroglo okrog
naelektrene ploš e (predpostavimo, da so sivi krogci dolge žice,
ki potekajo pravokotno na zaslon in tvorijo naelektreno ploš o,
ki jo vidimo v prerezu).
d. Ali bo vrednost E • dA = E dA cos enaka v vseh treh
to kah na Gaussovi ploskvi?
e. Razloži, zakaj pri tej konfiguraciji ne želiš oporabiti
krogle.
Sedaj uporabi kocko na naelektreni ploš i (predpostavljamo, da
so to ke naelektrene dolge žice ali palice, ki potekajo pravokontno na zaslon in tvorijo
naelektreno ploš o, ki jo vidimo v prerezu).
f. Poiš i vrednosti fE • dA = E dA cos v treh to kah na vrhu. Ali so vrednosti enake?
g. Kolikšna bi bila E • dA = E dA cos na robovih?
V primeru ploš e uporabimo kot Gaussovo poloskev kocko. Izraz E • dA = E dA cos je
konstanten na vseh segmentih (spodaj, zgoraj in ob straneh) in s tem je elektri no polje na
površini konstantno. Zato lahko zapišemo:
A
E • dA = E
A
dA = EA (za površine kjer elektri ni pretok ni enak ni ).
h. Ker vemo, da je naboj na površinsko enoto na veliki ploš i enak , uporabimo Gaussov
zakon in pokažemo, da velja E = /2 0 za elektri no polje nad ali pod naelektreno ploš o
in da je v primeru pozitivno naelektrene ploš e smer elektri nega polja vstran od ploš e.
V u beniku verjetno zasledimo izraz, ki pove, da je nad ali pod naelektreno ploš o polje
enako / 0. To drži v primeru prevodnih ploš , kjer je na površju ploš e, tako na
spodnji, kot na zgornji strani,
razmerje naboj/površina (znotraj prevodnika pa ni
naboja).
200
Raziskava 24.3: Prevodna in neprevodna krogla
Kakšna je razlika med elektri nim
poljem znotraj in izven polne krogle iz
izolacijske
snovi
(z
nabojem,
porazdeljenim po celotni prostornini
krogle) ter poljem znotraj in izven
krogle iz prevodne snovi? Premikajmo
preskusni naboj in ugotavljajmo sliko
jakosti elektri nega polja kot funkcijo
oddaljenosti od središ a (položaj je podan v centimetrih, jakost elektri nega polja je dana v
N/C, elektri ni pretok je podan v N cm2/C). Ponovni zagon.
a. Primerjaj elektri no polje znotraj in izven obeh krogel. Kaj je enakega in v em so razlike
(celoten naboj je pri obeh kroglah enak)?
b. Primerjaj elektri na pretoka, e obe krogli obkrožimo z ve jo Gaussovo kroglo! Zakaj je
tako?
Postavi ve jo Gaussovo ploskev okrog izolatorja. Stolpi ni graf kaže izmerjen elektri ni pretok.
Poskusi sedaj to še s ploskvijo okrog prevodne krogle.
c. Zakaj je elektri ni pretok enak?
d. Kolikšen je naboj na vsaki krogli? Kako to veš?
e. Kakšen elektri ni pretok pri akuješ skozi Gaussovo ploskev znotraj prevodnika? Zakaj?
Poskusi in razloži rezultat.
Poskusi sedaj vstaviti Gaussovo kroglo enake velikosti v kroglo iz izolatorja.
f. Kakšno vrednost elektri nega pretoka dobiš?
g. Kolikšen je naboj, ki ga obkroža mala ploskev?
h. Kolikšno je razmerje med nabojem, obkroženim z malo ploskvijo in celotnim nabojem
krogle iz izolatorja?
i. Kolikšno je razmerje med prostornino male krogle v primerjavi s celotno prostornino
krogle iz izolatorja? Razloži, zakaj sta obe razmerji pri (h) in (i) enaki.
j. Uporabi Gaussov zakon za malo kroglo za izra un polja v tej to ki znotraj krogle.
Preveri, e se to ujema z vrednostjo v diagramu.
Spomni se, da se Gaussov zakon nanaša na elektri ni pretok zaradi naboja, obkroženega z (q)
Gaussovo ploskvijo v skladu z naslednjo ena bo:
= q/
0
(in elektri ni pretok =
= E • dA= E cos dA),
pri tem je 0 permeabilnost prostora (8.85 x 10-12 C2/Nm2), E je elektri no polje, dA je enota
ploskve na površini, je kot med vektorjem elektri nega polja in normalo na površino. Površina
krogle je 4 r2.
201
Raziskava 24.4: Uporaba Gaussovega zakona
To kast naboj ima radialno (sferi no) simetrijo okrog svojega
središ a, naelektrena žica pa ima valjasto simetrijo okrog svoje osi
(položaj je podan v metrih, jakost elektri nega polja v N/C).
Vendar pa je dvo dimenzionalni pogled na oboje enak. Ponovni zagon.
Imejmo dve konfiguraciji. Ena predstavlja to kast naboj, druga
naelektreno žico (pravokotno na zaslon). Kaj je kaj? Elektri no polje
je v obeh primerih razli no (in uporabljamo razli ni Gaussovi
ploskvi).
a) Kolikšno je elektri no polje to kastega naboja kot funkcija oddaljenosti od naboja (torej v
odvisnosti od r)?
b) Za koliko bo oslabelo elektri no polje, e merimo elektri no polje na neki to ki, takoj zatem
pa na dvakratni oddaljenosti?
c) Katera konfiguracija predstavlja to kast naboj?
d) S pomo jo Gaussovega zakona poiš i analiti ni izraz za el ektri no polje okoli naelektrene
žice. Pomagaš si lahko z naslednjo sliko:
e)
e merimo elektri no polje v neki to ki, zatem pa ponovimo meritev na dvakratni
oddaljenosti od naelektrene žice, koliko naj bi pri tem polje oslabelo?
f) Ali se s tem ujema elektri no polje pri drugi konfiguraciji?
Poglavje 25: Elektri ni potencial
V mehaniki poznamo dva pristopa k reševanju problemov: s stališ a sil ali s stališ a energije. Isto
velja tudi za elektrostatiko, vendar namesto sil in potencialne energije v splošnem uporabljamo
elektri na polja (sila zaradi nabojev) in elektri ne potenciale (potencialna energija zaradi
nabojev). Sprememba v potencialni energiji je enaka spremembi dela, potrebnega za premik
predmeta (ki je v našem primeru naelektren). Namesto o elektri nem polju (vektorju), govorimo o
elektri nem potencialu (skalar). Elektri ni potencial merimo v voltih, pri emer je, podobno kot
pri potencialni energiji, to ka z elektri nim potencialom ni poljubna. Splošen dogovor je, da
razumemo Zemljo (in veliko prevodnikov je povezanih z Zemljo) kot potencial 0 voltov, v asih
pa postavljamo elektri ni potencial ni zelo dale , pravzaprav neskon no od porazdelitev
nabojev..
202
Predstavitev 25.1: Energija in potencial
Animacija kaže pozitivni preskusni naboj v
enakomernem elektri nem polju, ki ga tvorita
dve vzporedni ploš i, naelektreni s
konstantnim nabojem. Preskusni naboj lahko
premaknemo v poljubno lokacijo med
ploš ami in po kliku na "nastavi vrednost in
predvajaj" opazujemo njegovo gibanje.
Beremo lahko položaj, potencial in jakost
elektri nega polja. Diagram kaže odvisnost
kineti ne in potencialne energije v odvisnosti od višine nad spodnjo ploš o. Ponovni zagon.
•
•
•
•
Ali na naboj deluje konstantna sila? Razloži!
Med gibanjem delca, je delo, ki ga na njem opravlja elektri na sila, pozitivno ali
negativno? Razloži!
Kako se spreminja celotna energija, ko premikamo delec na razli ne za etne položaje?
Na katere položaje moramo premikati delec, da bi bila celotna energija delca manjša,
ve ja, ali da bi ostala enaka?
Delec uti konstantno silo, saj je krivulja za potencialno energijo linearna (kot bi bilo to pri
težnosti). Ker se kineti na energija pove uje, je delo, ki ga povzro a elektrostati na sila,
pozitivno (negativna pa je sprememba v potencialni energiji). Ker je delo F • x, je z ve jim
odmikom tudi opravljeno delo ve je in tudi sprememba kineti ne energije je ve ja.
Razmerje med potencialno energijo in nabojem delca je elektri ni potencial (merjen v voltih).
Potroji naboj naelektrenega delca. V tej novi konfiguraciji se potencialna energija pove a, vendar
pri tem ostaja elektri ni potencial enak (za delec v istem položaju). Zakaj? Kaj moramo narediti,
da bi se spremenil elektri ni potencial?
Predstavitev 25.2: Delo in ekvipotencialne ploskve
Animacija kaže ekvipotencialne ploskve okrog porazdelitve
nabojev. Stolpi ni graf kaže delo, opravljeno med premikanjem
rde ega preskusnega naboja (položaj je podan v metrih,
elektri ni potencial v voltih, delo v mikrojoulih).
Ekvipotencialne ploskve so preprosto povedano ploskve s
konstantnim elektri nim potencialom (v tej dvo dimenzionalni
predstavitvi vidimo le njihove prereze oziroma ustrezne
krivulje). Ponovni zagon.
Ekvipotencialne krivulje so analogne topogramskim krivuljam, s
katerimi ponazarjamo hribovje (kot kaže spodnja slika). Krivulje so enakomerno razporejene
tako, da vsaka krivulja predstavlja dano spremembo v napetosti (topograpski zemljevidi pa imajo
krivulje, ki so enakomerno razporejene glede na višinsko razliko). Kakšna je razlika v potencialih
med obrisi ekvipotencialnih ploskev na naši animaciji?
203
Hribovito podro je (levo) in njegov zemljevid s konturami (desno).
Izvor slik: United States Geological Survey:
http://interactive2.usgs.gov/learningweb/teachers/mapsshow_act4.htm
•
•
•
Kolikšno delo je opravljeno na preskusnem delcu, ko ga premikaš vzdolž ekvipotencialne
krivulje?
Kakšno delo opravljaš na preskusnem delcu, ko ga premikaš proti nekem drugem
naboju?
Preskusni delec je pozitivno naelektren. , pozitivno, Kakšen predznak ima naboj tega
naboja, e je delo, ki ga opravljaš med premikanjem delca proti nekem naboju?
Sprememba v potencialni energiji je sorazmerna spremembi v elektri nem potencialu ( e je naboj
konstanten). e je sprememba v elektri nem potencialu enaka ni , je enaka ni tudi sprememba v
potencialni energiji in je zato tudi opravljeno delo enako ni . Ko premikamo pozitivni naboj proti
drugemu pozitivnemu delcu, opravljamo pozitivno delo (delca se namre odbijata in temu se
moramo upirati). e pa premikamo pozitivni delec proti nekemu negativnemu delcu, opravljamo
negativno delo (delca se že sama privla ita, in temu se upiramo).
Elektri no polje je v poljubni to ki pravokotno na ekvipotencialno konturo. To vidimo tudi z
opazovanjem vektorja sile na preskusni delec med premikanjem delca po potencialnem polju.
Smer elektri nega polja ustreza smeri najbolj strmega naklona na topografskem zemljevidu. e bi
naša slika predstavljala topografski zemplevid, bi imeli tri hribe in eno dolino. Koliko pozitivnih
in negativnih nabojev imamo na tem elektrostati nem zemljevidu? Opazimo da, glede na to, da je
elektri no polje pravokotno usmerjeno na ekvipotencialne krivulje, pri premiku vzdolž le-teh ne
opravljamo nobenega dela (elektri na sila in odmik sta med seboj pravokotna).
Predstavitev 25.3: Elektri ni potencial in naelektreni krogli
Animacija kaže ekvipotencialne krivulje okrog dveh naelektrenih
krogel. Ponovni zagon. Z vpisom nove vrednosti lahko
spreminjamo naboj krogle A. S klikom in premikanjem miške po
zaslonu lahko izbiramo velikost elektri nega polja in
elektri nega potenciala (položaj je podan v metrih, elektri ni
potencial v voltih, jakost elektri nega polja v N/C). Elektri ni
potencial ima vrednost ni v neskon nosti (zelo dale od obeh
naelektrenih predmetov).
Spremeni velikost naboja krogle A tako, da bosta naboja enaka.
Kje (na zaslonu) je elektri no polje enako ni ? Kje je elektri ni
potencial enak ni ? Kaj se zgodi, e sta oba naboja enaka
204
oziroma nasprotnega predznaka? Kje je v tem primeru elektri no polje enako ni ? Kje je
elektri ni potencial enak ni ?
Kaj se zgodi z ekvipotencialnimi krivuljami, e postane A bolj pozitiven? Kaj se zgodi, z
ekvipotencialnimi krivuljami, e postane A bolj negativen?
Elektri ni potencial, povzro en z enim to kastim nabojem, je sorazmeren razmerju naboja in
razdalje od naboja (V = k q/r). e je naboj A enak naboju B (tako po velikosti kot po predznaku),
kam naj bi postavili tretji naboj, negativnega, vendar enake velikosti, da bi bil potencial ne sredini
med A in B [v to ki (0, 0)] enak ni ? Dodaj naboj in ga premakni na pravo mesto ter preveri svoj
odgovor. Ali je ve takih mest, kamor bi lahko odložil ta naboj? Elektri ni potencial zaradi obeh
prvotnih nabojev, merjen v središ u, je V = k(2Q), ker je r = 1 m. Za brisanje tega potenciala v
središ u mora biti elektri ni potencial tretjega naboja V = -k(2Q) . Zato moramo tretji naboj
postaviti kjerkoli v razdalji r = 0.5 m od središ a.
Predstavitev 25.4: Konservativne sile
Animacija kaže delo, ki ga opravimo pri premikanju delca v dveh
razli nih poljih sile. Pri premikanju delca kaže vektor smer sile, ki
deluje na delec, stolpi ni graf in tabela pa kažeta opravljeno delo
(pložaj je podan v metrih, delo v joulih). V katerikoli to ki
lahko delo izni imo s klikom na gumb "set Delo = 0". Ponovni
zagon.
Sklepajmo iz smeri sile ( e predpostavimo pozitivno naelektren
preskusni delec in e sta obe polji elektrostati ni), kje bi lahko bili
locirani naboji, da bi dobili tak tip sile! Pri premikanju
preskusnega naboja opazimo, da je sila najve ja pri y = 0, na
desnem robu, kaže pa na levo. e odmikamo naboj vstran od
desnega roba, opazimo, da sila naglo upada in kaže radialno vstran
od to ke pri x = 10 m, y = 0 m. To kaže, da bi dobili približno tako polje, e bi postavili pozitiven
naboj blizu to ke x = 10 m in y = 0 m.
Vendar pa eno od obeh polj ne more biti elektrostati no, ker ni konzervativno. Z drugimi
besedami, koli ina opravljenega dela je odvisna od ubrane poti. e premaknemo delec v neko
dolo eno to ko, ni vseeno, ali uberemo ravno rto ali pa malo zakrožimo. Katero polje sile je
konservativno in katero ni? Za etno in kon no to ko na mreži lahko ozna imo, da si zapomnimo
premik delca in nato primerjamo opravljeno delo vzdolž razli nih poti med istima dvema
to kama.
Premakni delec vstran od za etne to ke in ga nato spet pripelji nanjo. Kolikšno delo je opravljeno
v konzervativnem polju sile? Kolikšno delo opravimo v primeru nekonzervativnega polja sile?
Katera od obeh sil lahko da druga en odgovor pri druga nem premikanju delca? Ali lahko
enoli no dolo iš funkcijo za potencialno energijo?
Ne, ne moreš. Samo pri konzervativnih silah imamo funkcije za enoli no dolo anje potencialne
energije. Elektrostati na sila je konzervativna in lahko razvijemo elektri ni potencial, ki pogosto
lajša obravnavo problemov.
205
Raziskava 25.1: Prou evanje ekvipotencialnih krivulj
V oknu na levi je z vektorji prikazano
elektri no polje. Puš ice v polju
kažejo smer, njihova barva pa jakost
elektri nega polja. Ponovni zagon.
a. Kaj je ekvipotencialna
krivulja?
b. Kako lahko tako krivuljo
ugotovimo iz predstavitve
elektri nega polja, kot jo
vidimo na levi?
c. Po kliku na gumb "Svin nik dol" s premikom svin nika (njegove konice) nariši
ekvipotencialne krivulje za to polje. Shrani sliko zaslona z uporabo ra unalnikove
funkcije "print screen".
d. Potem, ko si kon al risanje krivulj, dolo i, kateri izris potenciala (1, 2, 3, ali 4) najbolj
ustreza temu polju. Obrazloži svoj izbor.
e. Ali je bila tvoja skica ekvipotencialnih krivulj dobra? Si kaj narobe razumel? Razloži.
Potrebuješ pomo ? S to povezavo omogo iš funkcijo dvoklika v levem polju. Zatem vsak dvoklik
v tem polju izriše resni no ekvipotencialno konturo skozi dano to ko.
Raziskava 25.2: Silnice elektri nega polja in ekvipotencialne
krivulje
Okno na levi prikazuje izris ekvipotencialnih krivulj. Ponovni zagon.
a. Kaj je ekvipotencialna
krivulja?
b. Kakšna je relacija med
silnicami elektri nega polja in
ekvipotencialnimi krivuljami?
c. Po kliku na gumb "Svin nik
dol" in s premikanjem konice
svin nika
nariši
silnice
elektri nega polja za dani
potencial.
S
pomo jo
ra unalnikove funkcije "print screen" natisni svojo skico.
d. Potem, ko si kon al svojo skico, dolo i, katero od elektri nih polj (1, 2, 3, ali 4) najbolje
predstavlja naše podro je. Pojasni svojo izbiro. Spomnimo se, da puš ice v polju kažejo v
smer polja, barva puš ic pa predstavlja jakost elektri nega polja.
e. Je bila tvoja skica polja dovolj dobra? Si stvar slabo razumel? Razloži.
Potrebuješ pomo ? S to povezavo omogo iš funkcijo dvoklika v levem polju, kar sproži izris
silnice elektri nega polja skozi dano to ko. Opomba: Med klikom in izrisom silnice mine nekaj
asa.
206
Raziskava 25.3: Elektri ni potencial okrog prevodnikov
V tej animaciji lahko merimo elektri ni potencial s
pomo jo sonde. Premikamo jo lahko s pomo jo miške
(položaj je podan v metrih, elektri ni potencial v
voltih). Trenutni položaj sonde lahko zaznamujemo s
klikom za dodajanje markerja. V animaciji imamo dva
skrita vodnika. Ponovni zagon.
c.
d.
e.
f.
g.
a. Po em veš, da kurzor pomikamo po vodniku?
b. Skiciraj animacijo. Za ni z ozna evanjem skritih
prevodnikov. Ko najdeš robove prevodnikov, jih
ozna i z markerji. (prvi prevodnik, ki ga najdeš, ozna i z rde imi pikami, drugega z
modrimi).
Kako bi moral priklju iti baterijo na oba prevodnika, da bi dobil tak sistem? Kolikšno
napetost baterije bi potreboval? (Namig: Spomni se, da je ni elna to ka potencialne
energije poljubna.) Ali mora biti kateri od polov baterije na 0 V? Zakaj da ali zakaj ne?
Nariši v svoji skici k vodniku še baterijo.
Vodnik je v bistvu ekvipotencialna ploskev. Zakaj?
Skiciraj primerno število ekvipotencialnih krivulj za sistem. Izberi primeren potencial in
nato iš i s kurzorjem to ke, s konstantnim potencialom. Tako dobimo sliko
ekvipotencialne krivulje. Pri risanju ekvipotencialnih krivulj upoštevaj, da naj bo
sprememba potenciala med sosednjimi krivuljami enaka. Te vrednosti izberi smiselno.
Verjetno se ne boš odlo il za risanje ekvipotencialnih krivulj z razliko 0.1 V.
Kje je elektri no polje najmo nejše? Kje je najbolj šibko?
Raziskava 25.4: as preleta in masni spektrometer
Pozitivno naelektreni delci za nejo
svojo pot v središ u enakomernega
elektri nega polja (ki ga ustvarjata
naelektreni sivi pološ i; Prikazano je
polje brez podrobnosti na robovih). Ko
pritisnemo na "predvajaj", štirije delci
zapustijo ploš i in potujejo proti
detektorju. Diagram riše signal na
detektorju
in
prikazuje
konico
vsakokrat, ko delec zadene detektor (položaj je podan v centimetrih, as v mikrosekundah).
To je masni spektrometor na osnovi asa preleta in ga uporabljamo za dolo anje tipov delcev v
atomskem snopu. Ponovni zagon
a. Elektri no polje je enakomerno in potencial na levi ploš i je 2000 V, na desni pa 0 V,
razloži, kako veš, da je potencial v sredini med ploš ama (kjer imamo delce) enak 1000
V.
b. Kolikšno potencialno energijo ima vsak naelektreni delec, e je njegov naboj enak 1.6 x
10-19 C? (Vsak potrebuje en elektron, da bi bil spet nevtralen.)
c. Kolikšna je potencialna energija delca, ko zapusti podro je s konstantnim elektri nim
poljem in vstopi v podro je brez elektri nega polja?
d. Kolikšna je tedaj njegova kineti na energija?
207
e. Ker delci nimajo enakih hitrosti, jih razvrsti glede na mase od tistega z najmanjšo do
tistega z najve jo.
f. Z merjenjem asa, ki je potreben, da delec pride do detektorja, in razdalje, ki jo delci
prepotujejo skozi podro je brez polja, ugotovi hitrost vsakega delca.
g. Iz tvojega izra una kineti ne energije ugotovi maso posameznega delca v kilogramih in v
enotah atomske mase (1 amu = 1.67 x 10-27 kg).
h. Poglej v periodi no tabelo elementov, kakšno maso ima aluminij? V bistvu ima enako,
kot je masa našega najmanjšega delca, enaka pa naj bi bila tudi razlika v masi med
naslednjimi ve jimi delci. Zato kaže animacija snop delcev, kjer je prvi delec naelektreni
atom aluminija, drugi delec sestavljata dva povezana atoma aluminija itd. To je eden od
na inov ugotavljanja neznane snovi in sodi v takoimenovano masno spektrometrijo.
(Predstavitev 27.3 in Raziskava 27.2 prikazujeta druge tipe masne spektrometrije.)
Raziskava 25.5: Krogla iz prevodnika in iz izolatorja.
Kako lahko primerjamo elektri ni potencial
okrog naelektrene krogle iz izolacijske snovi
(pri kateri je naboj porazdeljen po
prostornini
krogle)
z
elektri nim
potencialom okrog naelektrene prevodne
krogle? S premikanjem preskusnega naboja
dobimo sliko elektri nega potenciala v
odvisnosti od razdalje od središ a krogle
(položaj je podan v centimetrih, elektri ni potencial v voltih). Ponovni zagon.
a. Zakaj je potencial konstanten znotraj prevodne krogle?
b. Zakaj ni elektri nega polja in ne sile na preskusni naboj znotraj prevodne krogle?
c. Poglejmo na diagram odvisnosti potenciala od radialne razdalje (ki smo ga naredili s
premikanjem preskusnega naboja). Kaj je enakega in v em so razlike v obeh primerih?
Ob predpostavki, da sta obe krogli naelektreni z enakim nabojem, razloži podobnosti in
razlike med diagramoma.
d. Elektri no polje je izven obeh krogel enako Q/4 0r2. Vzemimo, da je referen na to ka s
potencialom V = 0 voltov v neskon nosti, poiš imo izraz za elektri ni potencial v
poljubni to ki izven krogle na razdalji r od središ a krogle. V = - E • dr in integrirajmo
od r = neskon no (kjer je V = 0 voltov) do to ke r.
e. Izmeri potencial v neki to ki izven krogle in poiš i naboj na obeh kroglah. Preveri, e je
naboj v obeh primerih enak.
Poglejmo sedaj potencial znotraj enakomerno naelektrenega izolatorja. Tu je elektri no polje
enako Qr/(4 0R3), pri tem je R polmer krogle. e v tem primeru iš emo potencial v odvisnosti
od r, moramo spet integrirati V = - E • dr, vendar moramo sedaj integral razdeliti in integrirati
od neskon nosti do R z uporabo E = Q/4 0r2 (da najdemo potencial, nastal zaradi vseh nabojev
na površini krogle) in še integrirati od R do r (izbrana to ka znotraj krogle) z uporabo izraza za
elektri no polje znotraj krogle iz izolacijske snovi.
f.
Preveri, ali tvoji izra uni dajejo enake rezultate kot jih vidimo na diagramu.
208
Poglavje 26: Kapaciteta in dielektriki
Sedaj, ko razumemo elektri na polja in elektri ne potenciale, s tem razumemo tudi
kondenzatorje. Kondenzator je v bistvu sestavljen iz dveh vzporednih ploš , ki sta si dovolj blizu,
da lahko shranita enaka naboja nasprotnega predznaka s potencialno razliko med njima. Koli ina
naboja, ki jih kondenzator z vzporednima ploš ama lahko shrani pri dolo eni napetosti, je
odvisna od njegove geometrije in ji pravimo kapaciteta (merimo jo v faradih, 1 farad = 1
coulomb/volt). Tipi en na in pove anja kapacitete kondenzatorja je z vstavljenjem dielektrika
(izolatorja) med obe prevodni ploš i. Naboji v dielektriku so v primerjavi s prostimi elektroni v
prevodnikih (ki se pod vplivom elektri nega polja lahko premikajo) vezani (se ne morejo
premikati po dielektriku).
Predstavitev 26.1: Mikroskopski pogled na kondenzator
Animacija kaže kondenzator iz dveh vzporednih ploš (na vrhu),
povezan z baterijo (na dnu). Predstavitev kaže, kaj se zgodi, e
povežemo baterijo in se modri elektroni lo ijo od pozitivno
naelektrenih atomov. V animaciji vidimo le 10 parov naelektrenih
delcev. Ponovni zagon.
Kakšna je smer elektri nega polja med ploš ama, ko se elektroni
nakopi ijo na levi ploš i? Elektri no polje vedno kaže od
pozitivnih delcev k negativnim; zato polje kaže na levo. Naboji potujejo, dokler se elektri ni
potencial med ploš ama ne ujema z elektri nim potencialom baterije.
Sedaj spremenimo konfiguracijo in dodajmo med ploš i
kondenzatorja dielektrik. Kaj se zgodi z atomi v dielektriku med
obema ploš ama (predstavljeni so s krogci)? Zaradi elektri nega
polja, ki si ga ustvarjajo naboji na ploš ah kondenzatorja, so
naboji v dielektriku polarizirani. Ker utijo pozitivni in negativni
delci sile v nasprotnih smereh, ho ejo elektroni v desno,
pozitivno naelektreni atomi pa v levo. Vendar pa se ti delci ne
morejo povsem lo iti in premikati, kot to sicer velja za naboje v
prevodnikih. Se lahko le polarizirajo. Ker so med seboj še vedno
povezani, jim pravimo vezani naboji.
Kakšna je smer elektri nega polja, ki ga povzro a polarizacija (vezanih) nabojev v dielektriku?
Ima nasprotno smer od za etnega elektri nega polja. Zato je celotno elektri no polje med
ploš ama (ob istem številu nabojev) manjše. Ali je sedaj baterija ve ja ali manjša od prejšnje,
glede na to, da je potencialna razlika med ploš ama enaka napetosti baterije? e je naboj na
kondenzatorju enak v obeh animacijah, kapaciteta pa je zaradi vnešenega dielektrika ve ja (C = k
0A/d), potem V = Q/C kaže, da je zmanjšana razlika v elektri nih potencialih. Poleg tega, ker je
zmanjšano elektri no polje, je enako zmanjšana tudi potencialna razlika (za konstantno elektri no
polje V = -Ed).
e bi bila v obeh animacijah baterija enaka ( V med ploš ama bi bil enak), bi bili ploš i skupaj z
dielektrikom zmožni hraniti ve ji naboj. Zaradi V = -Ed bi bilo v obeh animacijah elektri no
polje med ploš ama enako. Ker vezani naboji v dielektriku zmanjšajo elektri no polje med
209
ploš ama, bi potrebovali na ploš ah ve nabojev. To pojasnjuje, zakaj ima kondenzator z
dielektrikom ve jo kapaciteto od kondenzatorja brez njega.
Predstavitev 26.2: Kondenzator, povezan z baterijo
Animacija predstavlja kondenzator z dvema
vzporednima ploš ama. Baterije ne vidimo.
Rde i in modri krogci na ploš ah predstavljajo
naboj na ploš ah (položaj je podan v metrih,
jakost elektri nega polja v N/C, elektri ni
potencial v voltih). Ploš i sta povezani z
baterijo, ki vzdržuje konstantno napetost med
ploš ama. Ponovni zagon.
Kako sta lahko koli ina nakopi enega naboja
in velikost elektri nega polja med ploš ama odvisni od razdalje med ploš ama? Povej svojo
napoved in jo preveri s premikanjem spodnje (rde e) ploš e bližje ali bolj vstran od zgornje
ploš e (spodnjo ploš o moramo prijeti v sredini).
Baterija vzdržuje potencialno razliko med ploš ama. e ignoriramo posebnosti elektri nega polja
na robovih ploš kondenzatorja, je med ploš ama elektri no polje konstantno (to vemo iz
Gaussovega zakona). Potencialna razlika med ploš ama je povezana z elektri nim poljem z
izrazom V = -Ed, pri emer je d razdalja med ploš ama. Zaradi te odvisnosti velja, da je ob
ve ji oddaljenosti med ploš ama ob enaki napetosti (oziroma potencialni razliki) elektri no polje
med ploš ama manjše.
Kako sta lahko koli ina nakopi enega naboja in velikost elektri nega polja odvisna od nepetosti
med ploš ama? Podaj svojo napoved in jo preveri s spreminjanjem napetosti. Kot smo prej
ugotovili, je ob ve ji napetosti pri enaki oddaljenosti med ploš ama elektri no polje mo nejše in s
tem tudi ve je kopi enje nabojev na ploš ah.
Predstavitev 26.3: Kondenzator z dielektrikom
Animacija predstavlja kondenzator z vzporednima
ploš ama, povezan z baterijo (ki ni na sliki). Baterija
vzdržuje konstanto napetost oziroma potencialno razliko
med ploš ama, etudi dielektrik premikamo. Rde i in
modri krogci na ploš ah in v dielektriku predstavljajo
naboje na ploš ah in dielektriku (položaj je podan v
metrih, jakost elektri nega polja v N/C, elektri ni
potencial v voltih). Dielektrik, ki ga lahko premikamo,
je izven ploš (Pri premikanju kliknemo na sredo
dielektrika). Ponovni zagon.
Kakšen u inek ima dielektrik na elektri no polje med ploš ama kondenzatorja in na nakopi ene
naboje na ploš ah? Podaj napoved in jo preveri s premikom dielektrika v podro je med
ploš ama.
210
Kaj si ugotovil? Verjetno to, da med premikanjem dielektrika med ploš i elektri no polje med
ploš ama slabi. Zakaj slabi? Pomisli na to vprašanje, ko boš odgovarjal na naslednjega. Prepri aj
se, e je dielektrik v kondenzatorju. Kako se spremeni elektri no polje med ploš ama in koli ina
nakopi enih nabojev pri zmanjševanju ali pove evanju dielektri ne konstante snovi? Podaj
napoved in jo preveri s spreminjanjem dielektri ne konstante.
Kaj si ugotovil? Verjetno to, da se pri pove evanju dielektri ne konstante dielektrika koli ina
induciranega naboja na ploš ah in v dielektriku pove uje. Kot odgovor na za etno elektri no
polje med ploš ama se v dielektriku tvorijo vezani naboji. Ker se po dielektriku ne morejo prosto
pomikati, kot bi se po prevodniku, se polarizirajo. To pomeni, da se nevtralni atomi pod vplivom
elektri nega polja spremenijo v dipole: Elektroni postanejo en pol, jedro pa drugi pol dipola. Do
te polarizacije pride zaradi elektri nega polja med ploš ama, ki kaže navzgor. Posledi no so
pozitivni naboji v dielektriku pod vplivom sile, ki jih vle e navzgor, elektrone v dielektriku pa
vle e navzdol. Ko so naboji v dielektriku polarizirani, opazimo na dnu in na vrhu dielektrika
polariziranost, ne pa v njegovi sredini, saj se u inek sosednjih dipolov med seboj kompenzira
oziroma izni i. Povezani naboji tako tvorijo lastno elektri no polje, ki oslabi za etno elektri no
polje med ploš ama, saj kaže v nasprotno smer. Ve ja kot je dielektri na konstanta, ve ji je
vezani naboj in bolj bo zmanjšano elektri no polje med ploš ama.
Kaj se zgodi, e postane dielektri na konstanta resni no zelo zelo velika? Vezani naboj bo postal
vse ve ji, dokler med ploš ama ne bo ve elektri nega polja. Taka snov pa je prevodnik.
Predstavitev 26.4: Mikroskopski pogled na serijsko in
vzporedno vezane kondenzatorje
Animacije kažejo model naelektritve kondenzatorjev z
vzporednimi ploš ami v razli nih konfiguracijah, pri
emer se modri elektroni lo ujejo od pozitivno
naelektrenih atomov zaradi razlike v elektri nem
potencialu (napetosti). Ponovni zagon.
Vzemimo dva kondenzatorja, vzporedno vezana na
baterijo. Ko kliknemo na gumb "predvajaj", povežemo
baterijo s kondenzatorjemain elektroni po asi za no
zapuš ati bližino pozitivnih delcev. Naboji se lo ijo in
za nejo kopi iti na ploš ah, dokler se ne izena i elektri no
polje med ploš ami z napetostjo baterije. Opazimo, da je
število nabojev na zgornjih ploš ah obeh kondenzatorjev prakti no enako, lahko je razlike le za
nekaj delcev. To je zato, ker sta oba kondenzatorja enaka in imata torej enako kapaciteto Ker sta
vezana vzporedno, imata enako potencialno razliko (napetost) med svojima ploš ama. Zato mora
biti na obeh parih ploš enako število pozitivnih oziroma negativnih delcev, saj je kapaciteta
definirana kot C = Q/ V. e kondenzatorja ne bi bila enaka, bi še vedno imela med ploš ama
enako potencialno razliko, vendar bi se med njima število naelektrenih delcev razlikovalo.
Nasprotje tega sta dva kondenzatorja, zaporedno povezana z baterijo. Spet s klikom na gumb
"predvajaj" povežemo na kondenzatorja baterijo. Opazimo, da elektroni, ki kon ajo na levem
kondenzatorju, prihajajo z desnega kondenzatorja. in elektroni, ki kon ajo na desnem
kondenzatorju, prihajajo z levega. Zato je naboj na ploš ah enega kondenzatorja enak kot naboj
211
na ploš ah drugega kondenzatorja. V tem primeru, ko
imamo zaporedno povezavo, je vsota potencialnih razlik
na obeh posameznih kondenzatorjih enaka napetosti
baterije.
Namesto, da kondenzatorje povežemo z baterijo,
predpostavimo, da imamo na voljo rezervoar (zalogo)
pozitivnih delcev na eni strani konfiguracije, druga stran
pa je povezana z zemljo (rezervoarjem negativnih delcev). Poglejmo dva kondenzatorja z
razli nima kapacitetata, ki ju vežemo vzporedno. Kaj se zgodi? Kateri kondenzator prejme ve ji
naboj? Zakaj? Ker sta konenzatorja vezana vzporedno, je potencialna razlika na obeh enaka.
Posledi no, ker morata imeti razli no kapaciteto, mora biti tudi velikost naboja na obeh
kondenzatorjih razli na. Kondenzator na desni ima ve jo kapaciteto (C = 0A/d) in zato ve ji
naboj.
Kon no si poglejmo dva razli na kondenzatorja, vezana zaporedno. Kot v primeru z baterijo
imata oba kondenzatorja enak naboj. Kateri od obeh ima ve jo potencialno razliko med
ploš ama? Ker velja V = Q/C, ima kondenzator na levi (tisti z ve jo kapaciteto) ve jo
potencialno razliko.
Raziskava 26.1: Energija
Ko
premaknemo
spodnjo
ploš o
kondenzatorja (in po akamo, da aplet po
vsakem premiku kon a ra unanje), izriše
diagram shranjeno energijo kot funkcijo
razdalje med ploš ama (položaj je podan
v milimetrih, naboj je v nanocoulombih,
energija v nanojoulih). Ponovni zagon.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
e vemo, da je shranjena energija (potencialna energija) enaka QV/2, kakšna je napetost
med ploš ama?
Se napetost med ploš ama spreminja?
Kako se med premikanjem ploš spreminja kapaciteta?
Kakšno površino imata ploš i kondenzatorja?
Zakaj se spreminja naboj, e spreminjamo razdaljo med ploš ami?
Ali se shranjena energija pove a ali se zmanjša pri premikanju ploš ?
Ali to pomeni, da potrebujemo za stiskanje ploš skupaj oziroma za njihovo razmikanje
pozitivno delo? Razloži!
Ker velja, da je potencialna energija U = QV/2, kakšna je U (potencialna energija) v
odvisnosti od razdalje med ploš ama pri konstantni V? Preveri, e diagram kaže to
relacijo.
212
Raziskava 26.2: Kondenzatorji, naboj in elektri ni potencial
Animacija kaže kondenzator z naelektrenima
vzporednima ploš ama, celotni naboj in elektri no
napetost med ploš ama. Levo ploš o lahko
premikamo (z miško jo primemo v sredini, pri
oznaki "Povleci me"). Grafa kažeta elektri ni
potencial v odvisnosti od položaja (x, y) (položaj
je podan v centimetrih, naboj v coulombih,
jakost elektri nega polja je podana v N/C,
elektri ni potencial je podan v voltih). Na grafa
lahko kliknemo in ju obra amo, ter si ju tako
ogledujemo iz razli nih zornih kotov. Ponovni
zagon.
a. Kateri graf ustreza prikazu elektri nega potenciala v odvisnosti od položaja? Kateri kaže
naboj kot funkcijo položaja? Razloži, zakaj to veš.
b. Poglej graf porazdelitve naboja in povej, kje na ploš ah imamo najve nabojev? Zakaj?
Vzemimo konfiguracijo s konstantno potencialno razliko med ploš ama.
c. Kako se spreminja naboj, e premikamo levo ploš o kondenzatorja? Razloži!
d. Ali ta rezultat ustreza primeru kondenzatorja, priklju enega na baterijo, ali pa
naelektrenemu kondenzatorju, ki ni priklju en na baterijo? Razloži!
Sedaj vzemimo konfiguracijo s konstantnim nabojem na ploš ah.
e. Kako se spreminja napetost med ploš ama, e premikamo levo ploš o kondenzatorja?
Razloži! (Opomba: e animacija po premiku ploš pove "Failed to converge", preprosto
še enkrat klikni na ploš o za ponoven izra un. Naboj bo še vedno približno istega ranga.)
f. Ali to ustreza kondenzatorju, priklju enemu na baterijo ali naelektrenemu kondenzatorju,
lo enem od baterije? Razloži!
213
Raziskava 26.3: Prevodniki in dielektriki
V animaciji imamo skrite prevodnike in
dielektrike. Svetlo rde i krogci predstavljajo
pozitivne naboje, svetlo modri negativne naboje.
Ti naboji so lahko vezani ali prosti. Z drugimi
besedami, lahko so naboji v dielektriku ali v
prevodniku. Z miško premikamo sondo in z njo
lahko merimo elektri ni potencial ter položaj
sonde (položaj je podan v metrih, elektri ni
potencial v voltih). S klikom na "Dodaj marker"
ozna ujemo trenuten položaj sonde. Ponovni
zagon.
a. Skiciraj in ozna i tvoja ugibanja o konfiguraciji skritih prevodnikov in
dielektrikov. Z markerji lahko ozna iš prevodnike in dielektrike.
b. Kakšno je minimalno število zunanjih baterij, ki tvorijo tak sistem? Prikaži
napetosti baterij in kako morajo biti povezane na sistem.
c. Kje je elektri no polje najmo nejše? Kje je najbolj šibko?
d. Skiciraj elektri no polje s pomo jo elektri nih silnic; nariši seveda le primerno
število teh silnic.
e. Skiciraj ekvipotencialne krivulje.
Raziskava 26.4: Ekvivalentna kapaciteta
Animacija prikazuje dve razli ni konfiguraciji kondenzatorjev in
baterijo (kapaciteta je podana v faradih). Tabela prikazuje napetost
na bateriji in na posameznih kondenzatorjih. Ponovni zagon.
Poglejmo najprej zaporedno vezane kondenzatorje. Izberi eno vrednost
za kondenzator A, ki je ve ja od kapacitete kondenzatorja B.
a. Kolikšen je naboj na obeh kondenzatorjih (uporabi Q = CV)?
b. Zakaj sta naboja enaka (Pri razlagi izhajaj iz tega, odkod
izvirajo naboji, ki naelektrujejo ploš e)?
To je celotni naboj, shranjen v tem vezju. e odstranimo baterijo in skušamo s shranjenim
nabojem naelektriti neko napravo, opazimo, da naboji, ki so shranjeni na ploš ah obeh
kondenzatorjev, ki sta povezani skupaj (spodnja ploš a A in zgornja ploš a B), niso na voljo
drugemu vezju. Skupen shranjen naboj je tisti z obeh kondenzatorjev.
c.
e želimo oba kondenzatorja nadomestiti z enim samim, ki bi hranil enak naboj pri enaki
napetosti, kakšno kapaciteto bi moral imeti tak kondenzator?
d. Preveri, da je ta, ekvivalentna kapaciteta enaka (1/CA + 1/CB)-1.
214
Vzemimo sedaj vzporedno vezane kondenzatorje. Za kondenzator A izberi vrednost kapacitete,
ki je razli na od kapacitete kondenzatorja B.
e. Kaj je enako pri obeh kondenzatorjih? Kaj je razli no?
Sedaj bo po odlkopu baterije na voljo zunanji napravi celoten naboj, shranjen na obeh
kondenzatorjih. Celotni naboj je torej vsota posameznih nabojev, hranjenih na posameznih
ploš ah.
f.
Kolikšna je ekvivalentna kapaciteta za ta dva kondenzatorja? (To pomeni, kako velik
kondenzator bi pomnil enak naboj pri tej napetosti?)
g. Pokaži, da je to enako (CA + CB).
Raziskava 26.5: Kapaciteta koncentri nih valjev
Animacija kaže koaksialni kondenzator z valjasto geometrijo:
V sredini imamo zelo dolg valj (ki poteka pravokotno na
zaslon), obkrožen z zelo dolgo valjasto lupino (položaj je
podan v centimetrih, jakost elektri nega polja v N/C,
elektri ni potencial v voltih). Zunanja lupina je ozemljena,
notranji valj je na potencialu 10 V. Z miško lahko merimo
potencial v poljubnem položaju. Ponovni zagon.
b.
c.
d.
e.
f.
a. Gaussov zakon za prikaz jakosti radialnega
elektri nega polja med dvema prevodnikoma
valjastega koaksialnega kondenzatorja dolžine L pravi
E = Q/2 rL 0 = 2kQ/(rL), pri tem je Q celoten naboj na
zunanjem (ali notranjem) vodniku, r je razdalja od središ a.
e je L = 1 m, izmeri elektri no polje med obema vodnikoma in dolo i naboj na
notranjem (in zunanjem) prevodniku.
Uporabi V = - E • dr za prikaz, da je potencial v katerikoli to ki med vodnikoma enak
V = (Q/2 L 0) ln(b/r) = (2kQ/L) ln(b/r), pri emer je b polmer zunanjega vodnika.
e je potencialna razlika med obema prevodnima valjema 10 V, preveri svoj odgovor na
(b) in poiš i naboj na posameznem prevodniku.
e velja, da je potencialna razlika med vodnikoma V = (Q/2 L 0) ln(b/a) = (2Qk/L)
ln(b/a) (b je polmer zunanje lupine in a je polmer notranjega valja), pokaži, da je
kapaciteta tega kondenzatorja enaka (2 L 0)/ln(b/a) = (L/2k)/ln(b/a).
Kolikšna je kapaciteta (števil na vrednost) tega kondenzatorja?
215
Poglavje 27: Magnetno polje in sile
Tokovi (potujo i naelektreni delci) ustvarjajo magnetna polja. Znan magnet na hladilniku ima
potujo e naboje, ki ustvarjajo magnetno polje (elektroni, ki krožijo okoli atomskega jedra),
vendar še dandanes ne vemo, zakaj imajo razli ne snovi razli ne magnetne lastnosti. V tem
poglavju se ne bomo ukvarjali s tem, kaj ustvarja magnetno polje, ampak se bomo osredoto ili
na: i.) opis magnetnega polja (z vektorji in silnicami magnetnega polja ter kompasom) in ii.) vpliv
magnetnega polja na nabite delce (Lorentzova sila). Skicirali bomo magnetna polja s silnicami,
ker bomo tako ugotavljali sile med magneti (npr. odboj med poli). Nadalje bomo raziskovali sile,
ki jih uti nabit delec v magnetnem polju. Ta sila ni odvisna samo od mo i magneta, ampak tudi
od hitrosti delca in njegovega položaja v magnetnem polju.
Predstavitev 27.1: Magneti in magnetne igle
Ta
predstavitev
ti
omogo a
prou evanje magnetnega polja okoli
pali astega magneta. Privzeto se bo
stran naložila z magnetom v sredini
animacije. Uporabi kompas za
prou evanje magnetnega polja okoli
pali astega magneta tako, da ga
pomikaš okoli magneta. Kompas je
majhen trajen magnet in njegova
puš ica kaže v smeri severnega magnetnega pola. Naredi diagram, ki prikazuje smer magnetne
igle v razli nih to kah prostora. Vklju i dovolj to k, da boš lahko razbral vzorec. Ponovni zagon.
Zdaj, ko si kon al diagram, vklju i vektorje magnetnega polja, da vidiš, kako je predstavljeno to
magnetno pole. Ali je tvoj diagram podoben temu, ki je predstavljen v animaciji? Moral bi biti.
Vektorji magnetnega polja so kot majhne magnetne igle, postavljene na razli ne lokacije v
prostoru. Barva puš ice vektorja magnetnega polja predstavlja velikost polja v to ki, medtem ko
puš ica nakazuje smer polja.
Prav tako lahko dvoklikneš na poljubno to ko v animaciji in izrisala se bo silnica magnetnega
polja, ki poteka skozi to to ko. S tem dobimo še eno predstavo magnetnega polja. rta se bo
izrisala s krajšo zakasnitvijo, saj se mora izra unati. Dvoklikni na dovolj to k, da dobiš dobro
predstavo slike silnic, ki potekajo okoli magneta. Kakšna je razlika med vektorji in silnicami
magnetnega polja? Preveri, da so vektorji in tudi magnetna igla v vsaki to ki tangentni na silnice.
Silnice so povsod enake barve, vektorji pa so vzdolž silnic razli no obarvani. Kako torej
predstavimo velikost magnetnega polja s silnicami? Gostota silnic (število silnic na površino) je
ve ja, kjer je polje mo nejše.
O isti zaslon. Postavi dva magneta enega poleg drugega, tako da se severni pol enega stika z
južnim polom drugega magneta:
Prikaži vektorje magnetnega polja oziroma dvoklikni za prikaz silnic. Kako se magnetno polje
dveh magnetov primerja z magnetnim poljem enega samega magneta. Kako misliš, da bi se na
216
podlagi opaženega obnašal magnet, prelomljen na pol? Vektorji in silnice magnetnega polja
zgornje postavitve izgledajo natanko tako, kot vektorji in silnice enega velikega magneta.
Pravzaprav, e bi pali asti magnet prelomil na pol bi dobil dva pali asta magneta, vsakega s
svojim severnim in južnim polom. Do tega pride, ker v klasi nem magnetizmu ne poznamo
enopolnih magnetov (ni monopolov). Pri elektriki pa monopole imamo in jih imenujemo
elektri ni naboji.
Sklepaj, kakšno bi bilo magnetno polje, e položiš sever-jug magnet natan no nad jug-sever
magnet. Poizkusi!
Predstavitev 27.2: Zemljino magnetno polje
Ta predstavitev prikazuje Zemljino magnetno polje. Magnetno polje
opišemo s prikazom vektorjev in/ali silnic magnetnega polja. V tej
predstavitvi lahko preverite obe predstavitvi. Kakšna je razlika med
predstavitvama? Ponovni zagon.
Preden dodaš vektorje ali silnice, dodaj kompas in ga premikaj naokoli.
Kompas je majhen trajen magnet s puš ico na severnem polu. Zdaj
prikaži vektorje magnetnega polja. Opazil boš, da se se puš ica kompasa
poravna z vektorji. Vektorji magnetnega polja ti povedo kam bi kazale
majhne magnetne igle v razli nih položajih. Sedaj prikaži še silnice magnetnega polja. Pri tem
prikazu boš opazil, da je igla kompasa vedno tangentna na silnico.
Sedaj prikaži še geografska pola Zemlje. Premikaj kompas naokoli
(ponovno je kompas majhen magnet s puš ico na severnem polu). Ali je
geografski sever prav tako tudi magnetni sever? Preveri odgovor s
prikazom magnetnih polov .
Zakaj misliš, da imenujemo pol na Arktiki severni pol? Tako ga
imenujemo zato, ker tja kaže severni pol kompasa (kljub vsemu je po tej
definiciji severni pol v resnici južni pol). Prav tako vemo, kje sta pola na
Zemlji sedaj; preko tiso letij sta se severni in južni magnetni pol
prestavljala in še vedno nimamo zadovoljive teorije, ki bi pojasnila kaj povzro a Zemljino
magnetno polje.
Predstavitev 27.3: Masni spektrometer
Zaženi to animacijo s klikom na Prikaz z ve
masnimi delci. Ta prikazuje, kako pet delcev
potuje skozi model masnega spektrometra. Delci
imajo razli ne mase druga e pa so identi ni.
Opazuj, kako se delci lo ijo po njihovi masi.
Ponovni zagon.
Vneseš lahko vrednosti za za etne pogoje in
nato klikneš na gumb "vnesii vrednosti in
poženi" ter opazuješ, kako posamezni delec
potuje skozi masni spektrometer. Delec doseže
217
podro je z elektri nim poljem, ki kaže navzdol, in magnetnim poljem, ki je usmerjeno v zaslon.
Ker je delec negativno nabit, elektri no polje ustvari silo v smeri navzgor (F = q E; poglej primer
Predstavitev 23.4) in magnetno polje ustvari silo usmerjeno navzdol (F = q v x B). Poizkusi
nastaviti magnetno ali elektri no polje na ni , da vidiš vpliv posameznega polja na delec. Za
to no dolo ene vrednosti magnetnega in elektri nega polja se bodo elektri ne in magnetne sile
ravno odštele in takrat bo delec prišel skozi prvo obmo je. To obmo je je imenovano hitrostni
selektor, saj pridejo skozenj le delci z zadostno za etno hitrostjo za dolo ene vrednosti
elektri nega in magnetnega polja. Ostale raziskave in problemi iz tega poglavja bodo od tebe
zahtevali, da formuliraš osnovne matemati ne zveze med za etnimi vrednostmi za delce, ki
pridejo skozi hitrostni selektor.
e je delec zmožen priti skozi prvo obmo je, vstopi v drugo kjer je prisotno samo magnetno
polje. Ker magnetno polje ustvarja silo, ki je pravokotna na smer hitrosti (F = q v x B), sledi
delec krožni smeri (ker sta v in B konstantni in pravokotni). Polmer te poti je odvisen od mase. Iz
drugega Newtonovega zakona za krivo gibanje lahko zapišemo |F| = mv2/R = q |v x B| = qvB, ker
sta v in B pravokotna. Z merjenjem, kje delec udari v eno izmed sten, lahko dolo imo maso
delca.
Predstavitev 27.4: Magnetne sile na tokove
Ta predstavitev prikazuje elektri ni tok
skozi vodnik. Tok sestavljajo naboji, ki se
premikajo po prevodni žici (vodniku) (1
coulomb naboja na sekundo = 1 amper). To
se lahko dogaja v prevodniku, saj so naboji
v njem prosti in se lahko premikajo in
odzivajo na sile. Ponovni zagon.
V animaciji ni na za etku prikazanih nobenih magnetnih sil. Elektroni (nosilci naboja, ki se lahko
prosto gibljejo po prevodnikih) potujejo v eni smeri, ampak smer toka je ravno obratna smer (to
je smer, v katero bi se premikali pozitivni naboji). S tem ni ni narobe; to je samo dogovor.
Pozitiven tok v dolo eni smeri pomeni, da bi se v tej smeri gibali pozitivni naboji (to je isto, kot
da se negativno nabiti elektroni gibljejo v nasprotni smeri). Kakšna je smer toka v animaciji? Ker
se negativni delci premikajo na levo, te e pozitiven tok na desno.
Vklju i enotno magnetno polje tako, da kaže v zaslon. Polje smo predstavili z krogi z "x" v
notranjosti. Ker vektorje predstavljamo s puš icami, "x" prikazuje, kako bi izgledala puš ica, ki
kaže pro od nas. Izgleda, kot, da vidimo puš ico od zadaj in "x" predstavlja peresa na repu.
Enako velja za magnetno polje, ki kaže ven iz strani. Prikažemo ga tako, da uporabimo kroge s
pikami v sredini. (pogled na puš ico, ki kaže to no proti tebi). Kakšna je sila na elektrone na
mestih, kjer se nahajajo? Preklopi smer magnetnega polja (ven iz strani). Kakšna je smer sile na
elektrone? Kot vidiš, se zdaj elektroni premikajo na levo. Uporabimo lahko F = q v x B da
dolo imo sile. Za enotno magnetno polje, usmerjeno v zaslon je q negativen, v pa kaže v desno in
B ven iz strani. Ker sta v in B pravokotna, dobimo, da je F = |F| = |q|vB. Po pravilu desnosu nega
vijaka (usmeri prste proti v, zasu i jih proti smeri B in tvoj palec kaže v smeri v x B), dobimo, da
kaže vektorski produkt v x B navzdol, vendar moramo upoštevati, da imamo negativni naboj.
Zaradi tega kaže sila na elektrone v tem primeru navzgor. Ko opravimo isti postopek za magnetno
polje (usmerjeno iz strani), dobimo, da je sila na elektrone usmerjena navzdol.
218
Spremeni smer, v kateri se premikajo elektroni. Vklju i magnetno polje tako, da kaže v stran
(zaslon). Kako je sedaj usmerjena sila? e slediš navodilom iz prejšnjega odstavka, potem mora
biti to preprosto.
Naj se elektroni premikajo v prvotno smer in poskusi magnetno polje usmeriti v desno. Kakšna
je smer sile? Kaj pri akuješ, e kaže magnetno polje v levo? Poskusi. Kaj lahko povzameš o
silah na premikajo naboj (in s tem sile na vodnik) v magnetnem polju?
Sila na gibajo nabit delec je pravokotna tako na smer hitrosti kot na magnetno polje (hitrost in
magnetno polje pa ne morata kazati v isto smer) in jo opišemo z vektorskim produktom F = qv x
B. Pomni, da je naboj na elektronih negativen in kaže sila nanj v nasprotni smeri kot v x B.
Predstavitev 27.5: Trajni magneti in feromagnetizem
To je poenostavljen model trajnega
magneta, imenovan Isingov model.
V tej predstavitvi lahko spreminjaš
temperaturo in magnetno polje v
ozadju, da vidiš, kako ti dve
spremenljivki vplivata na nastanek
trajnih magnetov. Ponovni zagon.
Da spremenimo navaden žebelj v
magnet, ga lahko enostavno postavimo v magnetno polje. Železo se bo namagnetilo in bo ostalo
namagneteno tudi, ko odstranimo magnetno polje. Ta model prikazuje, kako je to možno. Rde a
in zelena prikazujeta podro ja znotraj snovi, kjer so magnetni momenti poravnani v eno smer
(rde e) in v drugo smer (zeleno). Po pritisku na gumb "predvajaj" opazuj, da je na za etku
približno enako rde ih in zelenih podro ij. To je ozna eno na grafu kot namagnetenost okoli 0.
To pomeni, da ni znotraj našega železa ni urejenih magnetnih momentov. Termi na energija, ki
je na voljo v snovi, dopuš a spreminjanje med rde o in zeleno, ki ga lahko opaziš.
Postavi snov v magnetno polje (pritisni gumb "B > 0" ). Kaj se zgodi? Zdaj so magnetni
momenti (majhni magnetki znotraj snovi) poravnani z zunanjim poljem. Kaj pri akuješ, da se bo
zgodilo, e pritisneš gumb "B < 0"? Zakaj? Poskusi!
Kaj pri akuješ, da se bo zgodilo, e pritisneš na gumb "B = 0"? Poskusi! Kaj se zgodi? Ali se
namagnetenost zmanjša na ni kar takoj? Tudi, ko magnetno polje ni ve prisotno, želijo
magnetki ostati poravnani. Potrebna je energija, da jih ponovno pomešamo. Po daljšem asovnem
obdobju lahko postanejo ponovno naklju no orientirani, vendar se bodo z zunanjim magnetnim
poljem spet hitro poravnali. Preveri!
Druga pot, da magnete ponovno naklju no usmerimo, je, da zvišamo temperaturo (damo jim
dovolj termi ne energije, da uni ijo red). To simuliraš tako, da najprej namagnetiš material (rde e
ali zeleno), postaviš polje nazaj na 0 in nato pritisneš gumb "zvišaj temperaturo".
219
Raziskava 27.1: Dolo anje sil in risanje silnic
V animaciji je pod sivim krogom telo, ki ustvarja magnetno polje.
Ponovni zagon.
a. S kompasom ugotovi smer magnetnega polja. Skiciraj
vektorsko polje in silnice za posamezno postavitev.
b. Preveri svoje skice silnic tako, da dvoklikneš na animacijo, ki
ti izriše silnico, ki poteka skozi položaj miške.
Dodaj vodnik s tokom usmerjenim ven iz zaslona (elektroni se pomikajo v smeri v zaslon). Klikni
in potegni, e želiš premikati vodnik naokoli. Puš ica prikazuje smer sile na vodnik.
c. Pojasni, zakaj kaže sila v dolo eno smer v dveh razli nih položajih vodnika za vsako
postavitev.
d.
e bi bil tok usmerjen v drugo smer, v katero smer bi kazala sila v dveh položajih, ki si si
ju izbral? Pojasni!
e. Preveri svoj odgovor tako, da dodaš vodnik s tokom, usmerjenim v zaslon.
Raziskava 27.2: Hitrostni filter:
Masni spektrometer meri mase delcev. Prvi
korak pri delovanju masnega spektrometra
je, da izbere delce z dolo eno hitrostjo. Ko
se boš prebil skozi to raziskavo, boš videl,
kako kako deluje hitrostni filter. Animacija
prikazuje pozitivno nabit delec, ki vstopa v
konstantno magnetno polje, usmerjeno v zaslon. Ponovni zagon.
a. PREDEN poženeš animacijo, NAPOVEJ pot, po kateri bo potoval naboj. Sem si že
ustvaril predstavo, pokaži mi pot. Si imel prav? e ne, zakaj si se zmotil?
Domnevajmo, da je obmo ju z magnetnim poljem dodano konstantno elektri no polje.
b. V katero smer (desno, levo, gor, dol, ven, notri) bi moralo kazati elektri no polje, da bi
lahko izni ilo silo, ki jo povzro i magnetno polje?
c. Z namenom, da ustvarimo elektri no polje, smo uporabili dve nabiti ploš i. Katera bi
morala biti pozitivno in katera negativno nabita za želeno polje?
d. Ustvaril sem si predstavo, naj preverim svoje razmišljanje. Si imel prav? e ne, esa nisi
doumel?
e. Izpelji matemati no povezavo med elektri nim in magnetnim poljem ter hitrostjo delca,
da pride skozi neodklonjen.
f. V animaciji je elektri no polje, ki ga ustvarita ploš i 6000 N/C in magnetno polje je 0.3
T. Uporabi svoje matemati ne izpeljave, da izra unaš hitrost, ki jo ima delec, ki pride
naravnost skozi obe polji. Ko si izra unal rezultat, ga vnesi v okvir ek in pritisni
"predvajaj", da preveriš, e si pravilno izra unal.
220
Raziskava 27.3: Masni spektrometer
Negativno nabit delec vstopi v obmo je s
konstantnim magnetnim poljem, usmerjenim v
zaslon, in konstantnim elektri nim poljem, ki ga
ustvarjata nabiti ploš i. e delcu uspe preiti prvo
obmo je, vstopi v obmo je, kjer je prisotno samo
magnetno polje. Ponovni zagon.
Raziskava prikazuje, kako deluje masni
spektrometer (Glej Predatavitev 23.4 in Raziskavo
25.4 za primere povezane s tem). Mnogo delcev
lahko vstopi v prvo obmo je. Za dolo ene
vrednosti elektri nega in magnetnega polja pa pridejo skozi neodklonjeni samo delci s to no
dolo eno hitrostjo. S tem, ko pošljemo delce skozi hitrostni selektor, vemo to no, kakšno hitrost
imajo delci, ko vstopijo v drugo obmo je.
e je za etna hitrost 50 m/s, magnetno polje 0.5 T, masa 0.3 g in naboj -1 x 10-3 C,
kolikšno mora biti elektri no polje da bo "izbran" delec s hitrostjo 50 m/s? Najprej pridi
do odgovora z izra unom, potem pa ga preveri s pomo jo animacije.
e spremeniš vrednost magnetnega polja, ali je potem še zmeraj "izbran" delec s hitrostjo
b.
50 m/s?
c. Kaj pa, e spremeniš maso ali naboj? Razloži!
d. Ko je enkrat izbran delec s hitrostjo 50 m/s in preide v drugo obmo je, kjer je prisotno
samo magnetno polje, za ne delec potovati po krivulji. Zakaj?
a.
Nastavi zdaj maso iz 0.3 grama na 0.1 gram. Preveri, da se krivulja, po kateri se premika nabiti
delec, spremeni. Za vsako maso se krivulja nekoliko spremeni. To nam omogo a, da izmerimo
maso vsakega posameznega delca. To je zelo uporabno, še posebej ko je masa delca premajhna,
da bi jo izmerili z drugimi metodami.
e. Z upoštevanjem magnetne sile v drugem obmo ju razvij matemati ni izraz, ki povezuje
maso delca z ostalimi spremenljivkami. V izraz ne vpletaj hitrosti. Uporabiš lahko pogoj,
da pride delec skozi obmo je elektri nega in magnetnega polja neodklonjen. Tvoj izraz
bo prav tako vseboval polmer krivujle, po kateri se giblje delec.
Ta polmer lahko izmeriš v apletu s pritiskom na miško (položaj je podan v metrih, as pa v
sekundah). V pravem masnem spektrometru je polmer pogosto merjen s pomo jo fotografske
ploš e, ki je pritrjena na prostor, kamor prileti delec. Ko delec zadane ploš o, pusti za sabo sled.
Tako lahko izmerimo polmer.
f.
Preveri izraz, ki si ga izpeljal.
gram?
e vstaviš zgornje vrednosti, bi moral dobiti maso 0.1
221
Poglavje 28: Amperov zakon
V prejšnem poglavju smo obravnavali magnetna polja in raziskovali sile zaradi magnetnih polj na
potujo e naboje in tokove. V tem poglavju se bomo posvetili vzrokom magnetnih polj (potujo im
nabojem) in izra unavanju polj, ki so posledica tokov v žicah. Za izra un magnetnega polja bomo
uporabljali Amperov zakon, s pravilom desne roke pa bomo napovedovali smer magnetnega polja
zaradi toka v žicah. Kot pri Gaussovem pravilu je tudi uporaba Amperovega zakona odvisna od
simetrije konfiguracije, kar lahko poenostavi ra unanje. Ko dobimo izraz odvisnosti polja od
tokov, lahko prou ujemo interakcije med žicami. Ker tvori tok po žici magnetno polje, lahko
povzro a silo (Lorentzova sila: F = q v x B = I L x B) na naboje v sosednjih žicah.
Predstavitev 28.1: Polja zaradi tokov v žicah in zankah
Magnetno polje okrog dolge, ravne žice, po kateri te e tok v
smeri pravokotno iz zaslona, ima krožno smer okrog žice
(položaj je podan v metrih, jakost magnetnega polja je
podana v teslih). Za dolo anje smeri magnetnega polja lahko
uporabimo pravilo desne roke. e usmerimo palec desne roke
iz zaslona ven (torej v smeri toka) in sklenemo preostale prste
v pest, bodo ti prsti kazali v smeri magnetnega polja okrog
vodnika. Namesto ene žice lahko dodamo štiri (spet take, po
katerih te e tok v smeri iz zaslona). Opazujmo vektorje polja,
ki jih doda vsaka od teh žic. Z dvoklikom na animacijo
povzro imo izris silnice skozi dano to ko.
Kakšno smer polja oziroma silnic magnetnega polja lahko pri akujemo, e bi dodali veliko žic, ki
bi bile poravnane v vodoravni vrsti? Najprej skiciraj svojo napoved. Nato klikni na gumb
"ploš a". Pojasni izgled magnetnega polja.
Za primer s ploš o lahko napoveš, da se polja od posameznih žic v smeri y med seboj
kompenzirajo oziroma izni ijo. Tako ostane le polje v smeri x. Ker potekajo tokovi vseh žic iz
ekrana, kaže polje nad ploš o na levo, pod ploš o pa na desno.
Sedaj postavimo ži no zanko pravokotno na zaslon. V naši predstavitvi gledamo rob ži ne zanke:
Žica te e v zaslon, zakroži in se vrne nazaj iz zaslona. Modra in rde a to ka predstavljata presek
žice, rde a naj kaže tok, ki te e iz ekrana, modra pa tok, ki te e v ekran. Opiši za ta primer, kako
te e tok (Ali te e tok v ekran na vrhu ali na dnu zanke?). Polje kaže vzdolž centralne osi zanke na
desno in se od tu razprši (divergira). S klikom in premikom rde e ali modre to ke spreminjamo
velikost zanke. Opazimo, da z ve anjem zanke postaja polje v središ u zanke edalje bolj
enakomerno.
Kaj lahko pri akujemo, e postavimo ve zank eno ob drugi? Poskusi s klikom na gumb
"solenoid". Kakšne so podobnosti in kakšne razlike med poljem v solenoidu in poljem nad
ploš o? Spet se polja v smeri y kompenzirajo, tako da ostane le polje v smeri x. e vemo, da
Amperova pot v ravnini s stranmi izven solenoida ne obkroža nobenega toka, je tam magnetno
polje enako ni . Znotraj solenoida pa imamo enakomerno magnetno polje, ki kaže v desno.
Za uporabo Amperovega zakona potrebujemo ob utek za smer magnetnih polj za eno žico ali
skupino žic, nakar moramo tvoriti Ampersko zanko, ki se ujema s simetrijo teh magnetnih polj.
222
Predstavitev 28.2: Sile med žicami
Po žici v sredini te e konstanten tok. Z drsnikom lahko
spreminjamo tok v modri žici (položaj je v metrih, jakost
toka v amperih, jakost magnetnega toka v teslih).
Animacija kaže vektorje magnetnega polja (z dvoklikom
dobimo magnetno silnico skozi dano to ko). Ponovni zagon.
Nastavi vrednost toka skozi modro žico na ni . V kakšno
smer kaže magnetno polje v to ki, skozi katero te e morda
žica? Ko poženemo tok skozi modro žico, bo ta tekel bodisi
v smeri iz ekrana (pozitivna smer) ali v ekran (negativna
smer). V kakšno smer bo delovala sila na potujo e naboje
(tok po žici), e te e skozi modro žico pozitiven tok? To je
Lorentzova sila na nosilce naboja, zato potrebujemo pravilo desne roke, ki smo ga spoznali v
prejšnjem poglavju. Z drsnikom spremenimo smer toka skozi modro žico v pozitivno. Prikazana
puš ica ponazarja silo na žico. Po pravilu desne roke velja za smer sile q v x B. Pozitivni naboji
potujejo iz zaslona in smer magnetnega polja je v ravnini zaslona in pravokotna na rto, ki
predstavlja daljico med obema vodnikoma. S pravilom desne roke dobimo za silo smer proti rde i
žici.
Prestavimo modro žico v novo lokacijo. Sila sedaj kaže drugam, vendar še vedno proti drugi žici.
Kaj se zgodi, e jakost toka pove amo? Sila se pove a. Kaj se zgodi, e spremenimo tok v
negativno? Smer toka se bo spremenila, prav tako pa tudi smer sile v skladu s pravilom desne
roke. Vodnika se bosta odbijala, namesto, da bi se privla ila.
Zakaj kaže vektor sile iz rde e žice? Tudi ta žica uti magnetno polje, in to od toka skozi modro
žico. Sila na rde o žico je enake velikosti, vendar nasprotno usmerjena kot sila na modro žico, kar
je spet v skladu s pravilom desne roke, vendar bi to lahko zlahka napovedali, e upoštevamo tretji
Newtonov zakon.
Predstavitev 28.3: Amperov zakon in simetrija
Ena žica, po kateri te e tok v smeri z (iz ekrana) ima radialno
simetrijo okrog svojega središ a. Dva sistema, ki se
razlikujeta zgolj po rotaciji okrog osi žice, sta si povsem
enaka. To simetrijo pa razbijemo, e dodamo še eno žico.
Izra uni jakosti magnetnega polja, ki temeljijo na sledenju
zaprte Amperove poti, so tedaj bolj zapleteni, saj ne moremo
zapisati preprostega analiti nega izraza za pot, vzdolž katere
je |B| konstanten.
Poglejmo vektorje magnetnega polja za konfiguracijo z eno
žico. Opazimo krožno simetrijo okrog osi žice. Ta simetrija
omogo a uporabo Amperovega zakona za dolo itev
magnetnega polja. Poglejmo sedaj konfiguracijo z dvema žicama. Žici lahko približujemo ali
razmikamo s pomo jo miške. Opazimo, da z dvema žicama magnetno polje nima ve krožne
simetrije. Amperovega zakona za dolo anje magnetnega polja ne moremo ve uporabiti, eprav je
še vedno veljaven. Problem je, da je izra un preve zapleten.
223
Kakšen analiti ni izraz za magnetno polje uporabimo na poti s konstantnim |B| za primer ene
same žice? Približuj in odmikaj žici. Pod kakšnimi pogoji lahko v primerih z dvema žicama ta
izraz uporabimo za približek? Okrog ene žice velja |B| = 0 I / 2 r in kaže v smeri tangencialno
na krog okrog žice. e imamo dve žici, lahko seštevamo polji, ki jih prispevata tokova po obeh
posameznih žicah. Vendar pozor: polji moramo seštevati vektorsko.
Magnetno polje, ki ga povzro ata dva dolga, ravna vodnika, še zdale ni neregularno. Kakšno
simetrijo še opazimo pri takem sistemu? Še vedno imamo simetrijo v smeri z, vendar ta ni
primerna za izra une s pomo jo Amperovega zakona. Zakaj? Kako uporabljamo Amperovo
zanko za izra un magnetnega polja? Za uporabo simetrije bi morala biti zanka ali pravokotnik
centrirana na vodnik in imeti eno stranico vzdolž osi x, drugo pa v ravnini xy. e bi uporabljali
takšen pravokotnik, kolikšen tok bi obkrožal? Ker je zanka neskon no tanka, ne more obsegati
nobenega toka in je zato rezultirajo e magnetno polje enako ni . Že vemo, da je magnetno polje v
smeri z in v radialni smeri enako ni . Taka simetrija nam torej nekaj že pove o magnetnem polju.
Predstavitev 28.4: Integral poti
Amperov zakon pravi, da je B • dl = oI, pri emer
integral poteka preko sklenjene poti (zanke), dl je
del ek na poti v smeri poti, o je permeabilnost
prostora (4 x 10-7 Tm/A), I je celoten tok, zajet s
potjo. Ko kliknemo na "vklop integrala", kaže
animacija (med premikanjem svin nika) integral poti
(rezultat integrala poti je podan v 10-7 Tm). Ponovni
zagon.
Za nimo z enim vodnikom. Glejmo vektorje
magnetnega polja. Izberimo za etno to ko, kliknimo
na "vklop integrala", premikajmo svin nik okrog
vodnika v obratni smeri urinega kazalca nazaj do
za etne to ke. Kolikšna je vrednost integrala poti?
Izni imo integral s klikom na "set integral = 0".
Integriranje izklopimo in izberemo neko drugo za etno
to ko. Spet vklopimo integriranje in uberemo drugo krožno pot (vendar v isti smeri, obratno od
urinega kazalca). Kakšen je sedaj integral poti? Opazimo, da sta pri druga nih poteh tako
magnetno polje (B) vzdolž poti kot smer dl razli na, vendar je v trenutku, ko se povrnemo na
izhodiš no to ko vsota (integral) B • dl enaka. To pravi Amperov zakon: integral vzdolž poti je
odvisen le od koli ine obsegajo ega elektri nega toka (krat 0).
Kaj pri akujemo pri poti v nasprotni smeri (v smeri urinega kazalca)? Poskusi (vsakokrat prej
izni i integral). Opazimo, da sedaj kaže dl v nasprotno smer. Zato je sedaj vrednost integrala
negativna. Tok skozi to zanko je negativen glede na normalo na zanko (ker sedaj normala te
zanke kaže v zaslon). To ustreza smeri toka iz zaslona ven. In to se ujema z rezultati poti po
prejšnji zanki (v obratni smeri od urinega kazalca).
Poskusimo sedaj z dvema vodnikoma. Spet opazimo vektorje magnetnega polja. Izberemo
izhodiš no to ko in jo ozna imo. S svin nikom zaokrožimo okrog rde ega vodnika. Zakaj je
integral enak kot prej? Izni imo integral in obkrožimo oba vodnika. Kakšen je integral? Kakšen
je sedaj celotni tok, ki smo ga s potjo pravkar zaobjeli? Kolikšen je tok v modrem vodniku v
224
primerjavi s tokom v rde em vodniku? Ker je integral sedaj enak ni , vemo, da morata biti oba
tokova enako velika, vendar nasprotne smeri.
Ali pomeni, da je v primeru, da je integral poti enak ni , tudi manetno polje vzdolž te poti enako
ni ? Zakaj da ali zakaj ne? Ko je integral poti enak ni , je celoten zaobsežen tok enak ni , ni pa
nujno, da je tudi magnetno polje enako ni . Za uporabo Amperovega zakona za dolo anje
magnetnega polja potrebujemo simetrijo.
Raziskava 28.1: Dolg vodnik z enakomerno porazdeljenim
tokom
Sivi krog v središ u predstavlja presek
vodnika, po katerem te e tok v smeri
iz zaslona. Tok skozi žico je
porazdeljen enakomerno (položaj je
podan
v
centimetrih,
jakost
magnetnega polja v militeslih). rni
krog je Amperova zanka s polmerom,
ki ga lahko spreminjamo z drsnikom.
Ponovni zagon.
Za nimo z Amperovo zanko z ve jim polmerom, kot je polmer žice.
a. Kolikšen je polmer Amperove zanke?
b. Kolikšno je magnetno polje pri tem polmeru?
Z Amperovim zakonom dobimo za celoten tok v žici:
B • dl =
0I,
0=
4 x 10-7 Tm/A,
Pri tem integriramo vzdolž sklenjene zanke, dl je del ek poti v smeri poti, Ije celoten tok, zajet z
zanko. Izberimo to ko na Amperovi zanki in narišimo tako smer magnetnega polja v tej to ki kot
smer dl (tangente na pot).
c. Magnetno polje in dl morata biti med seboj vzporedna. Kolikšen je B • dl?
Izberimo neko drugo to ko na Amperovi zanki.
d. Kolikšna je velikost magnetnega polja v tej to ki? V katerikoli to ki na zanki?
e. To pomeni, da lahko zapišemo B • dl = B dl. Zakaj?
dl je preprosto kar dolžina Amperove zanke (v našem primeru je to obseg kroga). Zato velja
izven žice B = 0I/2 r.
f.
Iz meritve magnetnega polja izra unajmo jakost toka po vodniku.
225
g. Spremenimo polmer zanke (ki pa naj bo še vedno ve ji od polmera žice) in napovejmo
magnetno polje na tej zanki. Preverimo rezultat z merjenjem.
Zmanjšajmo Amperovo zanko tako, da bo manjša od preseka žice. Sedaj tok znotraj zanke ni ve
enak celotnemu toku, pa pa je sorazmeren del ku površine znotraj zanke, Ir2/a2, pri emer je a
polmer žice.
h.
i.
j.
k.
Zakaj?
Uporabi to rorazmerje in Amperov zakon za napoved magnetnega polja znotraj zanke.
Rezultat preveri z meritvijo.
Pokaži, da je v splošnem jakost magnetnega polja znotraj vodnika enaka 0I r/2 a2.
Raziskava 28.2: Tok po ploš i
Amperov zakon pravi, da velja B • dl = oI, pri
tem integriramo vzdolž sklenjene zanke, dl je
del ek poti v smeri te poti, o je permeabilnost
prostora (4 x 10-7 Tm/A), I je celoten tok, zajet s
to zanko (položaj je podan v milimetrih, jakost
magnetnega polja v militeslih 10-3 T, zato je
integral podan v mT). Amperov zakon lahko
uporabimo za izra un magnetnega polja, e
Amperova zanka oponaša simetrijo polja, tako da
je B • dl vzdolž zanke (ali dela te zanke)
konstanten.Ponovni zagon.
Modre to ke predstavljajo žice, po katerih te e tok
iz ali v ra unalniški ekran. V kateri smeri te e tok
po žicah? Pojasni.
Animacija kaže integral poti (tabelari no in s stolpi nim grafom) medtem, ko pomikamo kurzor
(krogec s križcem), izpisan je tudi položej kurzorja. Premikajmo kurzor po del kih zanke.
b. Je integral pozitiven ali negativen? Zakaj? (Namig: dl kaže v smeri poti po zanki, kot
pomikamo kurzor.)
Premaknimo kurzor v vogal in izni imo integral (kliknimo na "set integral = 0"). Sedaj
premikajmo kurzor vzdolž vertikale zanke.
c. Kako lahko velikost te vrednosti integrala primerjamo z integralom po zgornji stranici
zanke? Zakaj? (Namig: Kakšna je smer B vzdolž stranice in kakšna je smer dl. Kolikšen
je torej B • dl?)
d. Izvedi integral celotne poti (zapelji kurzor vzdolž cele zanke). Kolikšna je vrednost?
e. Glede na to vrednost, e vemo, da te e po vseh žicah enak tok, kolikšen tok te e po vsaki
od teh žic?
f. Izra unaj s pomo jo integrala poti, kolikšno je magnetno polje nad žicami? (Namig: e
zanemarimo pojave na robovih, velja na vrhu in na dnu zanke B • dl = BL , na
vertikalah pa B • dl = 0.)
226
g. Primerjaj vrednost, izra unano s pomo jo integrala poti, z vrednostjo, ki jo izmerimo s
klikom in vle enjem miške. Pojasni morebitne razlike.
h. Pokaži, da v splošnem velja za jakost magnetnega polja nad in pod "ži no ploš o" B =
( 0/2)(tok/dolžina) pri emer jemljemo kot dolžino dolžino preseka ploš e v smeri x naše
animacije).
i. Preveri ta izraz s to animacijo.
Raziskava 28.3: Konfiguracije žic za silo enako ni
Škrlatna in zelena žica sta nepremi ni in imata fiksne tokove. Sivo
žico lahhko z miško premikamo, z drsnikom lahko spreminjamo tudi
jakost elektri nega toka po njej. Animacija kaže vektorje
magnetnega polja in sile na žice. Z dvoklikom lahko tudi sprožimo
risanje silnic magnetnega polja. Ponovni zagon.
a. Kakšna je smer tokov v zeleni in škrlatni žici?
b. Po kateri te e ve ji tok? Razloži!
Nastavi tok po sivi žici na ni (to lahko storiš tudi s klikom na gumb "I = 0" ). Premakni sivo žico
v to ko, kjer je jakost magnetnega polja enaka ni . Sedaj pove aj tok v sivi žici.
c. Zakaj je sila na sivo žico enaka ni ?
d. Zakaj ni sila na drugi dve žici enaka ni ?
e. Ali se sila na ti dve žici razlikuje od sile, preden smo sprožili tok skozi sivo žico?
Razloži!
S tokom skozi sivo žico le-to prestavi v neko to ko, kjer sila ne bo enaka ni . Sila na žico je
posledica toka skozi sivo žico in magnetnega polja, v katerem se nahaja (ki ga povzro ata drugi
dve žici), F = q v x B = I L x B, pri tem je L dolžina žice in je usmerjena v smeri toka po žici.
Smer sile tedaj lahko dolo imo s pravilom desne roke. Sedaj izklopimo tok v sivi žici.
f. Skiciraj mrežo smeri magnetnega polja.
g. Pozitivni tok naj bo tisti, usmerjen iz zaslona, negativen te e v zaslon. V kateri smeri je
torej I L x B za negativni tok (podaj v svoji skici). Preskusi in preveri svoj odgovor.
e imamo negativni tok, kam moramo postaviti sivo žico, da bo sila na škrlatno žico
h.
enaka ni ? Tako, da je sila na zeleno žico enaka ni ? Razloži!
i. Kako se spremeni odgovor na (h), e spremenimo tok skozi sivo žico? Pojasni!
Preskusi druga no konfiguracijo.
j. Kje bo sila na sivo žico enaka ni , medtem, ko po žici te e tok?
k.
e ima siva žica tok približno -1 A, kam jo moramo postaviti, da bo sila na zeleno žico
enaka ni ? Kam jo moramo postaviti, da bo sila na škrlatno žico enaka ni ? Kam jo
moramo postaviti, da bo sila na rumeno žico enaka ni ? Razloži!
227
Poglavje 29: Faradayev zakon
Potujo i naboji tvorijo magnetno polje (pomislimo na tok po žicah). Ali spreminjanje magnetnih
polj povzro a elektri ni tok? Odgovor na to je pritrdilen, Faradayev zakon pa opisuje ta pojav.
Spremenljivo magnetno polje inducira v vodnikih tok. V bistvu enak pojav imamo, pri premiku
vodnika v polje in iz njega. Spremenjljiv magnetni pretok (magnetno polje, pomnoženo s
površino preseka) inducira elektromagnetno silo (posledi no napetost), ki povzro i tok v
sklenjeni zanki. Lenzov zakon (ki je del Faradayevega zakona) pravi, da te e inducirani tok v taki
smeri, da se upira spremembam magnetnega pretoka.
Predstavitev 29.1: Spremenljivo polje in spremenljiva površina
V tem poglavju obravnavamo Faradayev zakon, ki pravi, kako spremenljiv magnetni pretok
inducira napetost U = -d /dt. Magnetni pretok, je merilo koli ine magnetnega polja, ki te e
pravokotno skozi neko površino. Za primer enakomernega magnetnega polja in konstantne
površine je podan z B • A (položaj je podan v metrih, jakost magnetnega polja v militeslih,
as je podan v sekundah). Ponovno naloži.
Poglejmo animacijo s spremenljivim
magnetnim poljem. Imamo zanko v
polju, kjer se magnetno polje spreminja
najprej sinusno, nato je nekaj asa
konstantno, nato se spet spreminja po
sinusni zakonitosti. Diagrama na desni
kažeta v zanki inducirano napetost in
magnetni pretok skozi zanko v asovni
odvisnosti. Nad zanko je puš ica, ki
kaže smer toka. Modra barva kaže polje
usmerjeno v ekran, rde a kaže polje, usmerjeno iz ekrana. Intenziteta barve je sorazmerna jakosti
magnetnega polja.
Opazimo, da v prvih 1.5 s animacije pretok skozi zanko naraš a, ker se ve a jakost magnetnega
polja v smeri iz zaslona. Opazimo še napetost, inducirano v ži ni zanki in induciran tok v smeri
urinega kazalca. Je inducurani tok v zanki v skladu z našimi pri akovanji? Lahko bi bil v
nasprotni smeri od pri akovane. Zaradi negativnega predznaka v Faradayevem zakonu
(Lenzovem zakonu) je napetost negativ spremembe magnetnega pretoka v asovni odvisnosti.
Med t = 0 s in t = 1.5 s magnetno polje naraš a in je zato napetost negativna. Poglejmo animacijo
do konca in glejmo, kaj se dogaja s asovnimi spremembami napetosti.
Poglejmo animacijo s spremenljivo površino. Zanka s spremenljivo površino se nahaja v podro ju
s konstantnim magnetnim poljem (za razliko od prejšnjega primera, ko se je polje spreminjalo).
Polje je usmerjeno iz zaslona. Diagrama na desni spet kažeta inducirano napetost v zanki in
magnetni pretok skozi zanko v asovni odvisnosti. Puš ica nad zanko kaže smer toka. Modra
barva kaže, da poteka polje v zaslon, rde a je za primer, ko polje kaže iz zaslona.
Spet opazimo naraš anje magnetnega pretoka prvih 1.5 s animacije. Spet vidimo, da je v tem asu
napetost negativna. Primerjajmo diagrama iz prve animacije z diagramoma v tej, drugi animaciji.
Kaj opazimo? Ker je napetost odvisna od spremembe magnetnega pretoka, je vseeno, ali se
228
pretok spreminja zaradi spremembe magnetnega polja ali zaradi spremembe površine oziroma
obeh.
Predstavitev 29.2: Zanka v spreminjajo em se magnetnem
polju
V ži ni zanki v zunanjem magnetnem
polju se lahko inducira napetost in
posledi no inducira tok, e se magnetno
polje s asom spreminja. Ker je
magnetni pretok vektorski produkt
jakosti magnetnega polja in pravokotne
površine
zanke
(za
primer
enakomernega magnetnega polja
velja B • A), se lahko pretok spreminja s
spreminjanjem jakosti magnetnega polja
ali
s
spreminjanjem
usmeritve
magnetnega polja glede na pravokotno
površino zanke (položaj merimo v
metrih, jakost magnetnega polja v
militeslih, napetost v milivoltih, as v
sekundah). Barva vektorjev kaže jakost
polja, diagrama na desni kažeta asovni potek magnetnega polja v smeri x in inducirano napetost.
Ponovno naloži.
V animaciji 1 je ži na zanka prvokotna na zaslon, magnetno polje pa kaže v desno. Usmeritev
zanke in polja se s asom ne spreminja. Spreminja pa se jakost magnetnega polja v skladu z
vrednostmi, ki jih nastavljamo z drsnikoma. Tako lahko nastavljamo amplitudo magnetnega polja
in frekvenco oscilacij polja.
V animaciji 2 je ži na zanka spet pravokotna na zaslon, magnetno polje pa se sedaj vrti v ravnini
ekrana. Usmeritev med zanko in poljem se asovno ne spreminja. Jakost magnetnega polja se ne
spreminja. Magnitudo polja in frekvenco vrtenja polja lahko nastavljamo z drsnikoma.
Kakšne so razlike med obema animacijama? Katere so podobnosti?
V Animaciji 1 se jakost magnetnega polja spreminja s asom. V Animaciji 2 je jakost
magnetnega polja konstantna, spreminja pa se njegova smer. Kljub tem razlikam bomo za iste
vrednosti max |B| in frekvence dobili enak asovni potek magnetnega polja v smeri osi x in enako
inducirano napetost. Pri Animaciji 1 spreminja magnetno polje svojo jakost v skladu s funkcijo
sin(2 f t). V Animaciji 2 ima magnetno polje konstantno magnitudo, vendar s asom spreminja
svojo smer. Komponenta polja, ki je usmerjena normalno na zanko oziroma v os x, se spreminja v
skladu s funkcijo sin(2 f t). Posledi no je B • A v asovni odvisnosti pri obeh animacijah enak,
e le ohranjamo iste vrednosti za max |B| in frekvenco.
Medtem ko se pri eni animaciji spreminja B, pri drugi pa smer, lahko še vedno uporabljamo B •
A, saj je magnetno polje v vsakem trenutku enakomerno po površini zanke. e ne bi bilo
enakomerno, bi morali magnetni pretok dolo ati z integriranjem.
229
Predstavitev 29.3: Elektri ni generator
Zunanji motor (ali turbina) vrti ži no zanko. Ta je v konstantnem magnetnem polju (ki ga tvorijo
magneti, ki niso prikazani). V zanki se inducira napetost, ki povzro a tok. Med vrtenjem zanke
vidimo v rde i barvi pogled na njeno prednjo stran, zatem v rni barvi pogled na njeno zadnjo
stran (položaj je podan v centimetrih, jakost magnetnega polja v teslih, napetost je podana v
milivoltih, as v sekundah). Zelena puš ica kaže smer in velikost induciranega toka. Ponovno
naloži.
Vzemimo normalen pogled. Zgornji diagram prikazuje asovni potek A cos( ), to je površino
zanke, pomnoženo s cos( ), pri tem je kot med površino zanke in magnetnim poljem. Spodnji
diagram prikazuje asovni potek v zanki inducirane napetosti.
Kakšen je položaj zanke, ko je vrednost A cos( ) maksimalna? Kako je to pri minimumu?
Kolikšna je v zanki inducirana napetost? Opazimo, da ima A cos( ) maksimum, ko je zanka
pravokotna na zaslon (in vidimo le zelo ozek pravokotnik). Ko kaže zanka v levo, velja cos( ) =
1, ko kaže zanka v desno, velja cos( ) = - 1. Ko je zanka povsem pravokotno na zaslon, je cos( )
= 0. Opazimo, da je inducirana napetost sorazmerna negativu naklona A cos( ) v asovni
odvisnosti. Zakaj?
Vzemimo sedaj Pogled na pretok, pri katerem diagrama na desni kažeta asovni potek pretoka
skozi zanko in inducirane napetosti. Kakšen je položaj zanke, ko je magnetni pretok maksimalen?
Kdaj je magnetni pretok minimalen?
Opazimo, da je pretok vektorski produkt med B in A oziroma za primer enakomernih magnetnih
polj BA cos( ) (Magnetna polja, ki imajo enakomerno porazdelitev znotraj zanke). e magnetno
polje ne bi bilo enakomerno, bi morali integrirati. Zato velja, da ko je A cos( ) maksimalen
[cos( ) = 1] ali minimalen [cos( ) = -1], je tolikšen tudi pretok. Podobno velja, da je pretok enak
ni , ko je A cos( ) enak ni . Ustrezna inducirana napetost je sorazmerna negativu spremembe
magnetnega pretoka v asovni odvisnosti. Ker je asovni potek A cos( ) sorazmeren asovnemu
poteku magnetnega pretoka, sorazmernostni faktor pa je jakost magnetnega polja, pojasnjuje to v
normalnem pogledu odvisnost med A cos( ) in inducirano napetostjo.
230
Po tem principu se proizvaja elektri ni tok v elektrarnah. Lahko se vrtijo navoji v magnetnem
polju (kot kaže naša predstavitev) bolj pogosto pa vrtijo magnet v bližini stacionarnih ži nih
navitij. V Evropi se turbine vrtijo s frekvenco 50 obratov na sekundo (in proizvajajo tok s
frekvenco 50 Hz).
Raziskava 29.1: Lenzov zakon
Lenzov zakon je del Faradayevega
zakona, ki pove, v katero smer po zanki bo
tekel tok. Tok te e tako, da se upira
spremembam pretoka. Magnetno polje, ki
ga tvori tok v zanki, se upira spremembam
magnetnega pretoka v zanki (položaj je
dan v metrih, as v sekundah, jakost
magnetnega polja v teslih). Ponovni
zagon.
Vzemimo za etno konfiguracijo. V sredi
je podro je brez polja, na straneh pa polje
linearno naraš a in je usmerjeno v ekran (modro) ali iz ekrana (rde e). Ve jo intenzivnost barve
ima polje z ve jo jakostjo. Zanko premaknemo iz belega podro ja (kjer ni polja) v modro
podro je.
a. Med vle enjem zanke glejmo, v kakšno smer te e tok po zanki. (Desna puš ica pomeni
tok v smeri urinega kazalca, leva puš ica pomeni tok v obratni smeri.)
b. Skiciraj polje, ki ga ustvari tok v zanki.
c. Ali polje v sredini zanke (ustvarjeno z induciranim tokom) kaže v ekran ali iz njega?
d. V kateri smeri naraš a zunanje polje, ko premikamo zanko v desno? V katero smer kaže
polje, ustvarjeno s tokom po zanki? V skladu z Lenzovim zakonom si morata ti dve smeri
nasprotovati.
Sedaj postavimo zanko skrajno v desno in jo po asi pomikajmo proti belemu podro ju.
e. Pojasni zakaj je smer toka sedaj takšna, kot je.
f. Kaj bo, e premikamo zanko iz belega podro ja na levo (v rde e podro je)? Pojasni, kaj
pri akuješ in nato poskusi.
g. Ali lahko pojasniš razliko med pomikanjem zanke iz modrega v belo podro je in
pomikanjem iz belega v rde e? Zakaj da ali zakaj ne?
h. Poskusi drugi dve konfiguraciji, konfiguracijo A in B (pri katerih je magnetno polje
zakrito). imbolj popolno opiši magnetno polje.
i. Ko kon aš svoje opisovanje, se odlo i, katero od magnetnih polj (Polje 1, 2 ali 3) ustreza
konfiguraciji A oziroma konfiguraciji B.
Preveri svoje odgovore (i) tako, da dodaš v animacijo zanko
231
Raziskava 29.2: Sila na premikajo o se žico v enakomernem
polju
Faradayev zakon predstavlja zvezo med asovno spremenljivim magnetnim pretokom ( ) in
inducirano napetostjo U = - d /dt (položaj je podan v metrih, tok v amperih, napetost v
voltih, magnetni pretok v teslih na meter2). V animaciiji imamo žico, ki jo s silo potiskamo v
konstantno magnetno polje. Ponovni zagon.
a. Kakšna sta pretoka pri t = 1 s in t = 3 s (preberemo iz diagrama)?
b. Kakšna je sprememba pretoka v sekundi? ( / t).
Po Faradayevem zakonu bi to moralo biti enako inducirani napetosti.
c. Ali se naša izra unana napetost ujema z napetostjo, ki jo preberemo z merilnika, ki je
priklju en na žice?
d. Kakšna je hitrost drse ega vodnika?
e. Kakšna je sprememba površine na sekundo?
= B • dA zapišemo kot
= BA (zakaj?).
f. Za naš primer lahko magnetni pretok
Kolikšna je vrednost magnetnega polja znotraj zanke?
Po drse em vodniku te e tok.
g. V kateri smeri te e in kolikšno jakost ima v danem trenutku (velikost toka razberemo iz
diagrama)?
h. Kakšna je smer magnetne sile, ki deluje na ta vodnik, ki se giblje v zunanjem magnetnem
polju [ki smo ga ugotovili v to ki (f)]? Spomnimo se, da velja F = IL x B.
i. Kakšna je velikost sile?
j. Žica se giblje s konstantno hitrostjo, kakšna je torej smer in kolikšna velikost uporabljene
sile? Preveri svoj odgovor s prikazom sile na vodnik.
232
Mo , rabljena v elektri nem vezju, je enaka produktu elektri nega toka in napetosti. V našem
primeru produktu I in U na vodniku.
k. Kolikšna je rabljena mo ?
Mo , ki jo posreduje zunanja sila, je W/ t, pri tem je W = F • s delo, opravljeno z uporabljeno
silo F, s je odmik.
l.
m.
n.
o.
Pokaži, da je posredovana mo tudi F • v.
Kolikšno mo posreduje zunanja sila?
Zakaj mora biti ta mo enaka mo i, ki jo troši vezje?
Izberi razli ne hitrosti in ra unaj trošeno mo vezja in mo , ki jo posreduje sila.
Raziskava 29.3: Zanka v bližini žice
V bližini žice, po kateri te e tok v smeri navzgor, postavimo
zanko. Zanko lahko premikamo (položaj je podan v metrih,
jakost magnetnega polja v militeslih, napetost je podana v
milivoltih, as v sekundah). Diagram kaže asovni potek
pretoka skozi zanko in inducirano napetost. Animacija se ustavi
po 30 s. Ponovni Zagon.
a. Kako se pretok skozi zanko in napetost spreminjata pri
premikanu zanke proti ali vstran od žice?
b. Kako se pretok skozi zanko in napetost spreminjata pri
premikanju zanke vzporedno z žico?
c. Ali sta pretok in napetost druga na, e postavimo
zanko na levo stran, namesto na desno stran žice, po
kateri te e tok? Pojasni!
233
Del 6: Vezja
Poglavje 30: DC Tokokrog - Enosmerni tok
Enosmerni tokokrog (DC) je tokokrog kjer se tok ne spreminja s asom (razen pri odpiranju in
zapiranju stikal). Zanj so zna ilne baterije, žarnice, uporniki, stikala in ob asno kondenzatorji. Z
uporabo U = IR (Ohmov zakon) ter zakona o ohranjanju energije in naboja boš lahko razumel
enosmerni tokogrog ustvarjen iz teh elementov, ter tudi sestavil enostavne tokokroge.
Razumevanje enosmernega tokokroga je osnova za razumevanje elektri nih in elektronskih
naprav, ki nas okrožajo..
Predstavitev 30.1: Zaklju eni tokokrogi
Predstavitev razlaga odpiranje in zapiranje tokokroga z
uporabo treh žarnic. Žarnice so po lastnostih zelo podobne
upornikom in se velikokrat tudi predstavljajo v tokokrogih z
enakim simbolom,
. Ponovni zagon.
Kljub temu, da so žarnice identi ne, se njihova svetilnost
lahko spreminja. Povezava med napetostjo, tokom in
svetilnostjo je razložena kasneje v poglavju, toda morate
razumeti, da je svetilnost žarnice odvisna od napetosti na sami
žarnici.
Pregorena žarnica povzro a odprti tokokrog v tej veji, kar je
ekvivalentno zelo velikemu uporu v veji. Prvo razmisli, kaj se bo zgodilo, e pregorita ena ali dve
žarnici, si zapomni odgovor, nato klikni na odgovor in poglej ali si pravilno razmišljal. Animacija
ti bo pokazala obe žarnici (tako delujo o kot pregoreno) (napetost je dana v voltih).
Žarnica 1 pregorena Žarnica 2 pregorena Žarnica 3 pregorena Vse žarnice pregorene
Zapomni si, da "cela" žarnica sveti, e je priklju ena na napetost. e pregori žarnica 1 nobena
žarnica ne sveti. e pregori žarnica 2 ali 3 ostale svetijo normalno. e pregorita tako žarnica 2
kot 3 ne sveti niti žarnica 1. Prepri aj se, da znaš razložiti ta dogajanja, kot tudi zna ilnosti
napetostnih zank.
S spremljavo napetosti okoli žarnice / upornika lahko analiziraš tokokrog. Prepri aj se, da ne
moreš preprosto s pogledom dolo iti katera žarnica je pokvarjena, ker lahko razli ne kombinacije
povzro ijo delovanje ali nedelovanje vsake posamezne žarnice.
234
Predstavitev 30.2: Stikala, napetosti, zaklju eni tokokrogi
Predstavitev dovoljuje, da nadziramo napetost v
tokokrogu z uporabo stikal (napetost je dana v voltih).
Ponovni zagon.
Z odpiranjem ali zapiranjem stikal lahko izklapljamo ali
vklapljamo posamezne žarnice. (Kakšna je podobnost s
predstavitvijo 30.1?) Ko je žarnica 1 temna (stikalo
S1izklopljeno, ostala stikala vklopljena), ni sklenjene
poti, zato ne gori nobena žarnica. Na žarnicah 2 in 3 je
napetost 0 V ter 10 V na stikalu S1. Analogno temu, ko
je žarnica 2 temna (stikalo S2 izklopljeno, ostala stikala
vklopljena), obstaja sklenjen krog do žarnic 1 in 3 (zato
je napetost na vsaki 5 V). Enako velja za žarnico 3, ko je
izklopljeno stikalo S3.
Predstavitev 30.3: Delilniki toka in napetosti
Predstavitev kaže dve razli ni konfiguraciji uporov priklju enih na baterijo (napetost je podana
v voltih, tok v amperih in upornost v ohmih). Ponovni zagon.
Za ni z animacijo delilnika napetosti: Shema kaže idealno
baterijo, ki napaja 100 upornik, serijsko vezan na drsni upor
(vrednost na
RA. Ko je upornost drsnega upora enaka 100
vrhu drsnika upora) pride do izena itve napetosti na obeh
uporih (delinik napetosti). Kaj se zgodi, e pove uješ ali
zmanjšuješ upor RA? Tok iz baterije se v tem procesu ravno
tako menja. Vendar vedi, da je vedno enak na obeh uporih.
Razlog za to ti i v tem, da tok, ki te e skozi zgornji upor te e
tudi skozi RA.
Sedaj preizkusi animacijo delilnika toka: 100 upor je sedaj
paralelen z RA. Ko je upornost RA enaka 100
(vrednosti
nespremenljivega upora), se tok enakomerno razdeli na dve
veji vezja. Kaj se zgodi, e pove uješ ali zmanjšuješ upor RA?
Tok baterije se v tej vezavi ravno tako menja, vendar napetost
ostaja enaka na vseh pararalelno vezanih uporih. e dodamo
tretji upor paralelno v to vezje, se bo tok iz baterije porazdelil
na tri enake dele, pri enaki napetosti na vseh uporih.
235
Predstavitev 30.4: Baterije in stikala
Pri tej predstavitvi lahko odpiramo in zapiramo stikala in
opazujemo, kaj se zgodi z dvema identi nima žarnicama.
Vezje daje napetost žarnicam in žarenje le-teh pove, da
skoznje te e tok (napetost je podana v voltih). Vse baterije
so identi ne. Ponovni zagon.
Vedi, da stikali S1 in S2 ne moreta biti isto asno vklopljeni
ali izklopljeni. Kaj bi se zgodilo, e bi bili obe stikali (S1 in
S2) isto asno izklopljeni ali vklopljeni? (Katera situacija je
slabša za baterijo B1 in zakaj?) e sta stikali S1 in S2
izklopljeni, tok ne te e, pri vklopljenih obeh stikalih (S1 in
S2) pa pride do kratkega stika. Tedaj ni upornosti v krogu
med poli baterije in se le ta hitro prazni.
Kaj se zgodi z žarnicama, e hkrati preklapljamo stikali S1 in S2 (eno stikalo vklopljeno drugo
izklopljeno)? Zakaj? (Kakšna je razlika med tokokrogi, ki tako nastanejo?) Opazuj, kaj se zgodi,
ko dodaš v tokokrog še eno baterijo.
Kaj se zgodi, e je stikalo S1 vklopljeno in S2 izklopljeno ter sedaj vklopimo stikalo S3? Kakšna
je napetost na vsaki posamezni žarnici? Zakaj se spreminja? Dodal si baterijo v tokokrog, vendar
se ni ni spremenilo! Zakaj? Kaj se zgodi, e vklopiš stikalo S1 in izklopiš S2? Zakaj?
Opazuj, kaj se zgodi z napetostjo na žarnici B? Ko je S1 vklopljeno in S2 izklopljeno ter S3
izklopjeno, je napetost na žarnici 9 V. Ne glede na to, kaj se dogaja s stikali S1, S2 in S3, je na
žarnici B vedno napetost. Ko vežeš baterije v vzporedno vezavo, ne seštevaš skupne napetosti. V
resnici moraš biti zelo pozoren pri vzporedni vezavi baterij. Kajti, e imajo te razli no napetost,
lahko povzro iš zelo velik tok. Zato moraš paziti pri uporabi povezovalnih kablov, ki imajo zelo
majhno notranjo upornost. Nepazljivost lahko hitro povzro i mo an tok v smeri tokovno slabše bolj prazne baterije. Na ta na in lahko na hitro obudimo prazno baterijo.
Predstavitev 30.5: Ohmov zakon
Ohmov zakon ni zakon kot ostali zakoni fizike (npr.
Newtonovi zakoni, zakon o ohranjanju energije, itd.)
Zakon razlaga linearno vez med tokom in napetostjo, ki
te e skozi posamezne elemente, poimenovane uporniki.
Obstajajo seveda tudi drugi elementi, ki ne sledijo
Ohmovemu zakonu. Spreminjaj napetost v Voltih na
posameznih linearnih elementih ter spremljaj odvisnost
na uporniku. Primerjaj to z nelinearnim odzivom diode
in žarnice (napetost je dana v voltih in tok v
amperih). Ponovni zagon.
•
•
•
Upornik
Dioda
Realna/Dejanska žarnica
236
Predstavitev 30.6: RC vezje
V animaciji lahko odpiraš ali
zapiraš stikala in opazuješ, kaj se
dogaja z žarnico. Ponovni zagon.
Ko se animacija za ne, je
kondenzator v za etku nabit.
Klikni na gumb "predvajaj" in
nato preklapljaj stikala. Opazuj,
kaj se dogaja z žarnico. Ko
žarnica ugasne (postane temna), spet preklopi stikala. Kaj se zgodi? Opaziti bi moral, da žarnica
najprej zasveti, nato pa s asoma vedno ugasne ( eprav imamo v vezju baterijo). Opaziš še lahko,
da je žarnica najbolj svetla takoj po preklopu stikal. To pomeni, da je takrat tok najve ji. Ko pa
žarnica popolnoma ugasne, je tok enak ni . V skladu s temi opazovanji povej, kakšen je asovni
potek napetosti na žarnici po preklopu stikal?
Prikaži diagram asovnega poteka napetosti. Prikazane so napetost na žarnici (zeleno), napetost
na kondenzatorju (rde e) in skupna napetost na obeh (modro). Kako izgleda diagram v primeru,
ko se kondenzator naelektruje (kondenzator in upor, ki ga predstavlja žarnica sta takrat zaporedno
vezana na baterijo) Opomba: napetost na žarnici in napetost na kondenzatorju sta enaka celotni
napetosti, tok pa te e (in zato žarnica sveti), dokler se napetost na kondenzatorju ne izena i z
napetostjo baterije. Kako izgleda diagram, ko se kondenzator prazni (baterija ni povezana v vezju
s kondenzatorjem in uporom)? Opomba: takrat sta napetost na kondenzatorju in uporu enaki,
vendar nasprotnega predznaka, tako je njuna vsota enaka ni . Negativna napetost na žarnici
preprosto pomeni, da tok med praznjenjem napetosti kondenzatorja proti 0 V te e v nasprotni
smeri. Tako te e tok med polnjenjem kondenzatorja od baterije skozi upor (žarnico) in na
kondenzatorju se tvori naboj. Ko pa se kondenzator prazni, te e tok iz kondenzatorja skozi upor,
dokler ne bosta ploš i kondenzatorja povsem brez naboja.
Predstavitev 30.7: Kirchoffov zakon o zanki
Kirchhoffov zakon o zanki pravi, da je vsota
vseh napetosti v sklenjeni zanki enaka ni . Z
V = 0 za sklenjeno zanko.
drugimi besedami,
Ponovni zagon.
V prikazanem vezju te e tok iz baterije skozi
upore in se vra a v baterijo. V predstavitvi
sledimo hipoteti nemu naboju, ko te e ta ez
zgornjega izmed obeh vzporednih uporov. To je
seveda le simulacija. Tok te e tudi ez spodnji
upor in tok ez oba upora ni enak. V bistvu bi
natan na mikroskopska simulacija potrebovala
~1020 elektronov, ki bi se gibali skozi vezje v
obratni smeri od urinega kazalca. Ker bi bila
predstavitev toka s pomo jo pretoka elektronov nerodna, uporabljamo standardno definicijo toka
in kažemo hipoteti no enoto pozitivnega naboja, ki te e od pozitivnega pola baterije skozi upore
v negativni pol.
237
V vezju so naboji, ki potujejo skozi potencialne razlike od baterije in vzdolž uporov. Tako je drug
na in, da postavimo zakon o zanki. Ko naboj opravi celotno zanko in se povrne na izhodiš no
to ko, mora biti njegova potencialna energija enaka. Pozitivni naboji pridobijo energijo, ko gredo
skozi baterijo od negativnega (-) pola na pozitivni (+) pol, in predajajo energijo uporom, ko
potekajo skoznje.
S pomo jo zakona o zanki ugotovi jakost toka skozi baterijo v vezju, ki ima baterijo z napetostjo
16V, na katero je navezana skupina uporov: en upor ima velikost 2 in je zaporedno povezan z
vzporedno kombinacijo upora 2 in upora 3 .
Sedaj obravnavajmo Kirchhoffovo zanko, v kateri imamo baterijo in dva upora z vrednostjo 2 .
Vseeno je, kje za nemo, e se le vrnemo v isto to ko. Pojdimo skozi zanko v smeri urinega
kazalca tako, da za nemo v spodnjem levem kotu.
+16 V - (2 )*I - (2 )*3I/5 = 0
+16 V = (10 )*I/5 + (6 )*I/5
+16 V = (16 )*I/5.
To nam da I = 5 A.
Sproži animacijo in sledi energiji enote naboja, ko ta poteka skozi posamezne elemente vezja.
Vsak padec napetosti predstavlja koli ino energije, ki je izgubljena ali pridobljena pri prehodu
naboja skozi nek element vezja. To nam kaže, da se pri prehodu naboja ez celotno zanko izgube
energije vedno izena ijo s pridobitvami energije. Celotna sprememba energije je enaka ni .
Raziskava 30.1: Analiza vezij
Raziskavo za nemo s štirimi enakimi žarnicami, ki so
povezane na baterijo (napetost je podana v voltih, tok je v
amperih). Pogosto vprašanje bo, kolikšen tok te e skozi
dolo en upor oziroma žarnico, kolikšna je napetost na njej,
kolikšno mo porablja žarnica (ali skupina žarnic). Pri
reševanju vprašanj bomo uporabljali Ohmov zakon, V = IR
in ena bo za mo , P = VI = I2R = V2/R, pri emer je V
napetost, I je tok, R je upornost, P je mo . Potreboval boš še
dve pravili, ki temeljita na zakonu o ohranitvi:
1. tok ven = tok noter. Ker se naboji ne tvorijo niti jih ne moremo uni iti (ohranjanje
naboja), mora naboj, ki te e v neko to ko, od tu tudi odte i, razen e tu nimamo kakšnega
elementa vezja, ki lahko naboj shrani (kondenzator).
2.
V skozi celotno zanko = 0. Elektri na napetost je konzervativna (zato lahko dolo imo
elektrostati ni potencial). To pomeni da, e za nemo v neki to ki vezja in med sledenjem
poti po vezju seštevamo vse padce in prirastke napetosti, moramo, ko se vrnemo na
izhodiš no to ko, priti na enak potencial, kot je bil na za etku.
Uporabimo ta pravila za za etno vezje. Svetlost žarnic nakazuje jakost toka skozi žarnica (v
resnici naraš a svetlost z I2). Ponovni zagon.
238
a. Razvrsti žarnice glede na njihovo svetlost (in torej glede na tok, ki te e skoznje), od tiste
z najve jo do tiste z najmanjšo.
b. Prikaži tokove (v podatkovni tabeli) skozi žarnice in preveri svoj odgovor. Puš ice kažejo
smer toka skozi vezje.
c. Ugotovi jakost toka skozi žarnico D tako, da ugotoviš, koliko toka mora te i v vozliš e
(pika, kjer se žice stikajo) nad žarnico D. Ta tok prihaja iz žarnic A in B.
d. Preveri svoj odgovor z ugotovitvijo, da je tok, ki te e v vozliš e pod žarnico D (iz žarnic
C in D), enak toku, ki te e iz tega vozliš a v baterijo.
Sedaj obravnavajmo napetosti na elementih. V tabeli prikažimo napetosti na posameznih
žarnicah.
e. Zakaj je napetost na žarnici C enaka napetosti baterije (pomisli na sledenje poti po
"zunanji" zanki vezja)?
f. Zakaj je napetost na žarnici A enaka napetosti na žarnici B?
g. Dolo ii napetost na žarnici D s sledenjem poti po zanki (baterija
žarnica A
žarnica
D
baterija) ALI (baterija
žarnica B
žarnica D
baterija) ALI (žarnica C
žarnica D
žarnica A) ALI (žarnica C
žarnica D
žarnica B) in z ugotovitvijo
vrednosti napetosti za žarnico D, ki omogo i spremembo potenciala na ni .
h. S pomo jo zakona V = IR ugotovi, kakšno upornost ima žarnica D! (Isto preveri za
žarnice A, B in C.)
i. Kakšno mo porablja žarnica D?
Raziskava 30.2: Žarnice
V tej animaciji boš lahko izklapljal in vklapljal stikala in
tako dolo il upornost posameznih žarnic. Izpisane
vrednosti toka in napetosti veljajo za baterijo (napetost na
njej in tok skoznjo) (napetost je podana v voltih, tok je v
amperih). Pri reševanju takšnih problemom lahko vedno
uporabljaš Kirchhoffove ena be za zanke. e je možno, je
hitrejši pristop z izražanjem efektivne upornosti mreže
uporov. Obravnavamo vzporedno in zaporedno vezane
upore. Dobro je, e si vezje bolj podrobno ogledamo,
preden za nemo reševati ena be, in tako ugotovimo, ali
obstaja na in, da bi problem razumeli konceptualno in ga
rešili hitreje. Ponovni zagon.
Opazimo lahko, da sta, ko so stikala sklenjena, žarnici A in
B temnejši od žarnice C. To ni presenetljivo, saj je tok skozi žarnico C enak vsoti tokov skozi A
in B. Eno stikalo izklopi, drugo pusti sklenjeno. Sedaj je žarnica C zaporedno povezana z eno od
žarnic (katero?). Opazimo, da je tok skozi baterijo sedaj manjši, vendar ena od žarnic A ali B
sedaj sveti bolj kot prej.
a. Zakaj?
Povrni se na primer, ko sta bili obe stikali sklenjeni. Tedaj sta obe žarnici, A in B, enako svetli.
e bi bili povsem enako svetli, bi pomenilo, da imata enako upornost.
239
b. Kakšen je tok, e je stikalo 1 izklopljeno, stikalo 2 pa vklopljeno?
c. Kaj pa, ko je stikalo 1 vklopljeno, stikalo 2 pa izklopljeno?
d. Kako to "dokazuje", da sta žarnici A in B enaki?
e sklenemo le eno od stikal, kakšna je primerjava svetlosti žarnice C s svetlostjo
e.
žarnice, ki je zaporedno povezana z njo?
f. Kaj to pomeni?
Sedaj pa malo matematike.
g. Ker je RA = RB, pojasni zakaj je, pri obeh sklenjenih stikalih efektivna upornost vezja
1/2RA + RC. (Namig: ko sta obe stikali sklenjeni, sta A in B med seboj vzporedno vezani.)
h. Ko sta obe stikali sklenjeni, uporabi napetost na bateriji in tok skozi baterijo za izra un
efektivne upornosti.
i. Z enim stikalom sklenjenim, drugim pa izklopljenim uporabi napetost na bateriji in tok
skozi baterijo za izra un efektivne upornosti. Efektivna upornost je enaka RA + RC (RB +
RC).
j. Z rešitvijo teh ena b bi moral ugotoviti, da so vse žarnice res enake (nekaj, kar bi lahko
spregledal le z opazovanjem svetlosti žarnic).
Opomba: v tem problemu smo poskušali dogajanja razumeti konceptualno, kar je olajšalo proces
reševanja problema. eprav Kirchhoffovi zakoni za zanko veljajo, niso nujno najlažji na in za
reševanje problemov.
Raziskava 30.3: Na rtajmo delilnik napetosti
Pri vezjih pogosto ne želimo le analizirati nekega že narejenega
vezja, pa pa želimo vezje za kakšno nalogo sami na rtati. V
tem primeru želimo narediti vezje, ki bo delilnik napetosti z
dolo eno izhodno napetostjo (napetost je podana v voltih,
upornost je v ohmih). Imamo 12 voltno napajanje, ki nudi 1
W mo i, potrebujemo pa napetost 4 V in imve mo i. Upori,
ki jih bomo uporabili, lahko trošijo 1 W mo i. Ponovni zagon.
Napetost delimo tako, da na izvor navežemo zaporedno
povezana dva upora in kot 4 volten izhod uporabljamo padec
napetosti na enem od njih.
a. Kakšno mora biti razmerje med uporoma, e ho emo napetost deliti v razmerju 1/3?
Druga e re eno, kolikokrat mora biti upor A ve ji (ali manjši) od upora B, da dobimo
izhodno napetost 4 V? Poskusi!
b. Ko ugotoviš razmerje, ali imaš najve jo razpoložljivo mo ? Da lahko to dolo iš, najprej
ugotovi mo , ki jo dobivamo iz izvora napetosti (P = V I). Ali moraš zato, da bi lahko
dobil najve jo mo (pri fiksni napetosti), pove ati ali zmanjšati upornost vezja?
c. Kakšna je omejitev celotne upornosti (RA + RB) in s tem omejitev za vsak upor? Poskusi!
d. Poskusi uporabiti manjše vrednosti uporov. Ali bo napajalnik pregorel? (K sre i zadoš a,
da animacijo ponovno zaženeš in spet poskusiš.) Podvoji vrednosti RA in RB. Koliko mo i
vle e vezje sedaj iz baterije?
240
Ko si tako ugotovil primerne vrednosti RA in RB, s katerimi dobimo izhod 4V, nadomesti
voltmeter z žarnico. (Elementu vezja, ki troši mo , pravimo v asih tudi "breme".)
f. Kakšna je napetost na žarnici, ko jo dodamo v vezje?
g. Zakaj je manjša od 4 V?
h.
e še pove aš RA in RB, kaj se zgodi z napetostjo na žarnici? Zakaj? To je razlog, zaradi
katerega uporabljamo v takšnih delilnikih napetosti im manjše upore.
Raziskava 30.4: Galvanometri in ampermetri
Ampermeter meri jakost toka skozi neko napravo in ga
moramo zato vezati zaporedno z elementom, skozi
katerega merimo tok. V tej animaciji bomo ugotavljali
razliko v obnašanju med idealnim in realnim
ampermetrom tako, da bomo raziskovali, kako deluje
osnovni galvanometer, in ugotavljali, kako lahko s
pomo jo
galvanometra
naredimo
ampermeter
(napetost je podana v voltih, tok je v amperih).
Ponovni zagon.
Galvanometer je zelo ob utljiv instrument, ki odkriva
zelo šibke tokove, ki potekajo skozenj. (Tok pogosto
te e skozi tuljavo, ki inducira magnetno polje, to pa
povzro a odklon igle. Namesto igle bomo uporabili rde indikator.) V animaciji z galvanometrom
lahko vpišeš tok izvora in klikneš na gumb "galvanometer". Tokovni izvor je prikazan z dvema
prepletajo ima se krogcema,
. Stolpi ni graf na desni kaže maksimalni tok, ki ga lahko
pošljemo skozi galvanometer, ne da bi instrument pokvarili.
a. Spremeni tok napajanja tako, da bo indikator kazal 50%. Kolikšen je tok skozi
galvanometer in kolikšen je padec napetosti na njem? (Do padca napetosti pride zato, ker
ima tuljava galvanometra neko notranjo upornost.)
b. Kakšen je torej maksimalni tok, ki lahko gre skozi galvanometer (rde i pali ni graf naj bi
kazal tedaj 100%)?
c. Kaj se zgodi, e ta maksimalni tok prekora imo?
Vidimo, da je galvanometer zelo ob utljiv merilnik toka. Pogosto pri teh napravah ne govorimo o
maksimalnem toku, pa pa o notranji upornosti in padcu napetosti pri maksimalnem toku.
d. Pokaži, da je notranja upornost tega galvanometra 0.2
maksimalnem toku enak 0.2 V.
241
in da je padec napetosti pri
Predpostavimo, da želimo uporabiti galvanometer za
merjenje tokov do 1 mA. Vemo, da želimo poln
odklon (stolpi ni graf na 100%) pri toku 1 mA in pol
odklona pri 0.5 mA, torej moramo izdelati merilnik
tako, da povežemo galvanometer vzporedno z nekim
uporom. Taki konfiguraciji pravimo ampermeter. e
naj bi galvanometer kazal poln odklon pri 1 mA,
mora iti skozenj le tok 1 A, preostalih 999 A pa
mora iti ez vzporedno vezani upor.
e.
e je padec napetosti 0.2 V, kakšno
vrednost mora imeti vzporedni upor?
f. Poskusi vrednost (za Rx), nato poskusi nastaviti porabo mo i tako, da dobimo primerno
indikacijo v obmo ju vrednosti (na primer polovi ni odklon za tokovni vir 0.5 mA, 80%
indikacijo za tokovni izvor 0.8 mA, itd.). Uporabi gumb "ampermeter".
g. Kolikšna bi bila idealna vrednost notranje upornosti ampermetra in zakaj?
Raziskava 30.5: Voltmetri
Voltmeter meri napetost na elementu vezja in ga
zato vežemo vzporedno s tem elementom. Voltmeter
lahko naredimo tako, da zaporedno povežemo velik
upor in galvanometer, ki je v našem vezju ozna en z
(simbol
za
ampermeter),
saj
sta
galvanometer in ampermeter v bistvu enaka (glej
Raziskavo 30.4). V našem primeru kaže
galvanometer poln odklon pri toku 1 A, notranja
upornost galvanometra pa je enaka 0.2 .
a. Katera napetost na galvanometru povzro i
njegov poln odklon?
e ho emo meriti napetost baterije do 2 V, bi si želeli, da bi imel galvanometer poln odklon pri
tej napetosti. To pomeni, da moramo napetost na galvanometru zmanjšati na 0.2 V (pri toku 1
A), preostalih 1.9999998 V napetosti mora prevzeti zaporedno povezani upor. Ponovni zagon.
b. Izra unaj vrednost zaporedno vezanega upora, ki ga potrebujemo za poln odklon
instrumenta pri napetosti 2 V. Z animacijo preveri, e dobiš pravilno od itavanje
baterijske napetosti (namesto odklona kazalca imamo stolpi ni graf). Uporabljaj gumb
"nastavi vrednost". Preveri še, e pri baterijski napetosti 1 V dobiš polovi no vrednost na
stolpi nem grafu.
c. Kakšna bi bila idealna velikost notranje upornosti voltmetra in zakaj?
242
Raziskava 30.6:
asovna konstanta RC
V tej animaciji preklapljamo
stikala in opazujemo, kaj se
dogaja
z
napetostjo
na
kondenzatorju (rde a), uporu
(zelena) in s skupno napetostjo na
obeh teh elementih (modra).
Kondenzator je v za etku
naelektren. Po kliku na gumb
"predvajaj" lahko preklapljaš
stikala (napetost je podana v
voltih, as je v sekundah). Ponovni zagon.
Nastavi stikala tako, da lahko dobiš primeren diagram praznjenja oziroma polnjenja
kondenzatorja.
a.
b.
c.
d.
Koliko asa (približno) potrebuje kondenzator za praznjenje oziroma polnjenje?
Podvoji napetost baterije. Koliko asa traja polnjenje oziroma praznjenje kondenzatorja?
Podvoji kapaciteto kondenzatorja in meri as polnjenja oziroma praznjenja.
Podvoji upornost in meri as polnjenja in praznjenja.
Vrednost RC (upornost krat kapaciteta) je asovna konstanta RC, ki jo ima vezje in predstavlja
zna ilen as. Nastavi napetost baterije na 1 V.
e. Kakšna je napetost kondenzatorja pri njegovem praznjenju, ko as po preklopu doseže
vrednost R*C? Kako je pri polnjenju?
f. Primerjaj svoje meritve z vrednostmi, ki jih dobiš iz spodnjih ena b za polnjenje oziroma
praznjenje kondenzatorja:
Polnjenje: V = V0 (1 - e -t/RC)
Praznjenje: V = V0 e -t/RC
243
Poglavje 31: AC Vezja
AC vezja (Alternating Current, izmeni ni tok) so vezja, v katerih imata asovni potek toka in
napoetosti sinusno obliko (pri DC vezjih pa sta tok in napetost konstantna). Izmeni no napetost
imamo v hišnih napeljavah, smer toka oziroma napetosti se spreminjata 50 krat v sekundi
(govorimo o frekvenci 50Hz). V tem poglavju bomo prou evali komponente, kot so kondezatorji,
tuljave, transformatorji, ki so osnova analogne in mo nostne elektronike.
Predstavitev 31.1: Gradnik tokokrogov
S pomo jo gradnika tokokrogov lahko zgradimo izmeni ne (AC) ali enosmerne (DC) elektri ne
tokokroge. Poglavje o gradniku tokokrogov je napisal Toon Van Hoecke z Univerze Gent.
e želimo poljubno nastaviti velikost mreže tokokroga, moramo spremeniti število vrstic in
stolpcev ter pritisniti gumb za nastavitev mreže "Set grid". Pri tem bodo izgubljeni vsi elementi
tokokroga. S pritiskom na gumb "Show ->" lahko prikažemo spremenjeno mrežo, ki smo jo
spremenili s pomo jo izbirnih puš ic. Nove elemente lahko dodamo v tokokrog s pomo jo miške
po sistemu "povleci in spusti". Na mestu, kjer želimo element dodati, pritisnemo gumbek na
miški in ga odložimo med dvema mrežnima to kama v horizontalni ali vertikalni smeri. Pri tem
lahko elementom nastavimo tudi ustrezne parametre.
Navodila za posamezne komponente (neodvisne od pozitivne ali negativne smeri), so naslednja:
244
•
•
•
•
•
•
Upor: vrednost izražena v Ohmih.
Kondenzator: vrednost izražena v Faradih.
Tuljava: vrednost izražena v Henrijih.
Žarnica: ozna ena z napetostjo v (V) and mo jo v (W). Barvo spreminja od rne
(ni toka) do bele (maksimalen tok).
Žica: zaklju uje povezave spojev.
Stikalo: lahko je odprto ali zaprto.
Nekatere komponente so lahko polarizirane v pozitivni ali negativni smeri. Navodila za
posamezne komponente so naslednja:
•
•
•
•
•
•
Baterija: vrednost izražena v V.
Galvanski napetostni len: Navodilo je naslednje: vrednost enosmerne napetosti
je izražena v V. Pri naslednjem gumbku pa je vrednost izmeni ne napetosti izražena kot
"sin(t*2*pi*f)". Pri tem izrazu so uporabljene naslednje spremenljivke "t" je as, "f" je
frekvenca.
Tokovni izvor: vrednost je izražena v A.
Osciloskop: simulira enožarkovni osiloskop. Dodatna okna s pogledom na delne
osciloskope lahko odpremo s pomo jo ukaza "Display Oscilloscope" ki ga dobimo s
pomo jo desnega klika na miško v izbranem tokokrogu.
Voltmeter: predstavlja digitalni voltmeter. Z uporabo desnega gumbka na miški
dobimo ukaz "Display Voltmeter.", kjer lahko izberemo ustrezno nastavitev V-metra.
Ampermeter: predstavlja digitalni ampermeter. Z uporabo desnega gumbka na
miški dobimo ukaz "Display Ampermeter." kjer lahko izberemo ustrezno nastavitev Ametra.
Z gumbom "Calculate" lahko prera unamo vse nove podatke, ki so spremenjeni. Številka v
vpisnem okencu # pomeni število ponovitev v dolo enem asovnem intervalu. Korak v (s)
pomeni privzeto število v sekundah, ki znaša (1e-6 s).
Gumbi "Start/Pause" in "Reset" predstavljajo realni as odvijanja simulacije. To je primer, ko se
spremenljivi izvori po asi menjajo na napetostnem ali tokovnem grafikonu. Izbrana številka je
okvirna in predstavlja 1/(10*koraka). To pomeni realni as velikostnega razreda 0.01 s.
V primeru spremembe položaja dolo enih komponent z uporabo sistema "povleci in spusti" so
ostale nastavitve razpoložljive v na inu okenskega menija z uporabo desnega gumba na miški. Te
možnosti so opisane v naslednjem nadaljevanju:
•
•
•
•
•
•
•
•
Brisanje komponent: briše izbrane komponenete.
Sprememba vrednosti: spremeni vrednost ali funkcijo izbrane komponente.
Zaslonska vrednost gumba: odpre manjše okno z nastavitvijo dinami nih vrednosti
spremenljivk s pomo jo drsnika (linearno ali logaritemsko merilo).
Zaslonski frekven ni gumb: odpre manjše okno z nastavitvijo dinami nih vrednosti
spremenljivk frekvence s pomo jo drsnika za izmeni ni izvor. Možnost je izbrana v
primeru uporabe frekven ne spremenljivke -f.
Prikaži/Skrij vrednosti ali funkcije: prikaže/skrije zaslonske mrežne to ke.
Nastavitev oznak: prikaže ime ozna ene komponenete.
Zaslonski Osciloskop: prikaže okenski meni izbranega osciloskopa.
Zaslonski Voltmeter: prikaže okenski meni izbranega digitalnega voltmetra. Na in
omogo a preklope med enosmerno -DC in izmeni no AC (efektivno vrednostjo).
245
•
•
•
•
•
Zaslonski Ampermeter: prikaže okenski meni izbranega digitalnega ampermetra. Na in
omogo a preklope med enosmerno -DC in izmeni no AC (efektivno vrednostjo).
Zaslonski napetosti grafikon: prikaže okenski meni napetostnega grafa za izbiro
posameznih komponent. (Uporabi gumb "Start").
Zaslonski tokovni grafikon: prikaže okenski meni izbranega tokovnega grafa za izbiro
posameznih komponent. (Uporabi gumb "Start").
Spremeni stikalo: Spremeni položaj izbranega stikala, vklopi ali izklopi stikalo.
Zamenja polariteto: stikala + in - predstavljajo znak posamezne polarizirane komponente.
Predstavitev 31.2: Izmeni ni napetostni in tokovni vir
Privzemimo idealni napajalnik.
Grafikon prikazuje napetost
(rde e) in tok (modro) kot
funkcijo
asa
napajalnika.
Opomba: Na abscisni osi je as
podan v milisekundah (ms) =
10-3 s. Pri startu animacije je
(napetost podana v voltih (V),
tok v stotinkah ampera (A) in
as v sekundah (s)). Ponovni
zagon.
Za etek animacije z nizko napetostjo. Za primer spremembe frekvence opišimo, kaj se dogaja z
žarnico in grafikonom. Ob zagonu animacije je as podan v mili sekundah - faktor 10-3. V
primeru, da stikalo sklenemo, se napetost ne spremeni, tok pa za ne naraš ati. To se zgodi zato,
ker sta ob sklenitvi stikala žarnici (upor) vezani vzporedno k napajalniku.
Napetost se spreminja od pozitivne k negativni vrednosti, zato ne bomo govorili o povpre ni
vrednosti (le-ta je vedno ni V), temve nas zanima zgornja vrednost amplitude napetosti (peak
voltage). Kaj je v tem primeru z efektivno vrednostjo napetosti - rms (root-mean-square)(= V/ 2).
Za naš napajalnik je zgornja amplituda vrednosti napetosti 5 V in efektivna vrednost napetosti 3.5
V.
Omrežna napetost je v Ameriki 120 V efektivne napetosti. Kaj je z vrhnjo vrednostjo napetosti?
V primeru, da narišemo tok v dani grafikon, se ta prikaže 100 krat v sekundi. Kaj je s povpre no
mo jo žarnice? (P = IefVef = V I / 2 - neupoštevamo ohmski zna aj žarnic). Ne pozabimo, da so
žarnice v tokokrogu 60 W.
Z izmeni nim tokom (AC) fluorescentna žarnica v vaši sobi utripa (se prižge in ugasne) 120 krat
v sekundi (frekvenca v ZDA je 60 Hz), toda tega ne zaznamo (podobno je pri filmu, kjer se slike
prav tako hitro menjajo, vendar mi še vedno nadaljujemo z gledanjem). V Evropi je standardna
frekvenca 50 Hz, tako da fluorescentne žarnice utripajo v Evropi 100 krat v sekundi.
246
Predstavitev 31.3: Transformator
Transformator priklju imo na izhodne
sponke. Grafikon prikazuje vhodno
napetost (napetost na primarni strani)
in izhodno napetost (napetost na
sekundarni strani) kot funkcijo asa.
Ponovni zagon.
Transformator deluje na principu
indukcije. Sprememba napetosti na
primarnem navitju (priklju en izhod
transformatorja) povzro i spremembo
toka
na
primarnem
navitju.
Spremenjen magnetni pretok na
primarnem navitju inducira efektivno vrednost (napetosti) na sekundarno navitje. e si zamislimo
navitje iz žice, je inducirana efektivna vrednost napetosti odvisna od razmerja sprememb
magnetnega pretoka skozi navitje in števila ovojev tuljave. Poskusi spreminjati število ovojev na
primarni in sekundarni strani transformatorja. Kako se razmerje ovojev odraža na zgornjo
vrednost napetosti? Poskusi ugotoviti, ali je razmerje napetosti enako razmerju ovojev? V
primeru, da je število ovojev na primarni strani ve je kot na sekundarni strani, se na sekundarni
strani transformatorja transformira nižja napetost kot je primarna. V primeru, da je število ovojev
na primarni strani manjše kot na sekundarni, se na sekundarni strani transformira višja napetost.
S spreminjanjem števila ovojev na primarni in sekundarni strani, se energija transformatorja
ohranja. Idealni transformator (brez izgub), energijo ohranja. To pomeni, da je povpre na mo
transformatoja P=(IefVef) na primarni in sekundarni strani enaka. Razmerje števila ovojev na
primarni in sekundarni strani je enako razmerju napetosti na primarni in sekundarni strani
Np/Ns=Up/Us. Kot primer si oglejmo transformator, ki ima na primarni strani Np= 200 ovojev in
na sekundarni strani Ns=20 ovojev. Tok na primarni strani transformatorja je 2 A, tok na
sekundarni strani je 20 A. Višja pretvorba na primarni strani pomeni manjšo pretvorbo na
sekundarni strani in obratno. Iz zgleda lahko izpeljemo naslednjo ena bo: Ip*Np=Is*Ns.
Dejstvo, da izkoriš amo indukcijo med primarno in sekundarno stranjo transformatorja in jih
enostavno zgradimo (navitje navijemo okrog železnega jedra), je razlog, da se pri distribuciji
elektri ne energije uporablja izmeni ni tok - AC, namesto enosmernega - DC. Tovarne, ki gradijo
transformatorje, se morajo odlo iti za naslednji kompromis. V primeru visoke napetosti imajo
nizke tokove in obratno v primeru nizke napetosti imajo visoke tokove. Najve krat prevlada
razmerje visoke napetosti in nizkih tokov, vendar moramo pri tem upoštevati tudi toplotne
izgube, ki nastanejo zaradi upornosti daljnovodov. Pri distribuciji elektri ne energije imamo na
voljo naslednja primera ob predpostavki, da so izgube na daljnovodih okrog 10- .
1. V = 10000 V je napetost v elektri ni centrali in 2 A je tok po daljnovodih.
Skupna mo , ki se izgubi po daljnovodu, je izražena s pomo jo naslednje
ena be I2R = 40 W. Pri tem napetost med elektrarno in kon nim
uporabnikom upade za približno 20 V.
2. V = 1000 V je napetost v elektri ni centrali in 20 A je tok po daljnovodih.
Skupna mo , ki se izgubi po daljnovodu znaša 4000 W. Upad napetosti v
tem primeru znaša 200 V.
247
Iz zgornjega primera je popolnoma jasno, zakaj se v distribuciji elektri ne energije odlo amo za
visoke napetosti in majhne tokove. Elektrarne praviloma proizvajajo elektriko visoke napetosti
(približno 20 kV). Ta napetost se kasneje transformira na nekaj tiso kV (na primer 300,000 V) in
kasneje ponovno transformira nazaj na nižjo napetost, ki jo potrebuje kon ni uporabnik. To ni
tako preprosto kot izgleda, je pa zelo u inkovito z uporabo takoimenovanih AC razdelilnih postaj
med daljnovodi.
Predstavitev 31.4: Fazni zamik
Predpostavimo idealni napajalnik. Grafikon prikazuje napetost (rde a barva) in tok (modra
barva) napajalnika kot funkcijo asa (napetost je podana v voltih, tok v miliamperih in as v
sekundah). Ponovni zagon.
Poženimo aplikacijo in
poglejmo, kaj se dogaja z
razmerjem med tokom in
napetostjo pri isti ohmski
obremenitvi. S spreminjanjem
frekvence v animaciji
opazujmo kaj se dogaja s
tokom in napetostjo in njunim
razmerjem? Opazimo, da sta v
primeru iste ohmske
obremenitve napetost in tok v fazi.
Poskusimo s kapacitivno
obremenitvijo. Kaj se dogaja
v tem primeru z amplitudo
toka, e frekvenca naraš a?
Razmerje med napetostjo in
tokom V/I ni ohmska
upornost, kot bi pri akovali,
temve se to imenuje
kapacitivna upornost (s
faznim zamikom med
napetostjo in tokom). To pomeni, da se kapacitivna upornost s kapacitivno obremenitvijo
spreminja s frekvenco. V primeru, da frekvenca naraste, naraste tudi tok in kapacitivna upornost
se pri pove ani frekvenci zmanjša.
Opazujmo fazni zamik med tokom in napetostjo. Pritisni gumb "Prekini". Katera krivulja, ki se
izrisuje (napetost ali tok) je "vodilna"? V naslednjem primeru opazuj as, v katerem tok naraste
na maksimalno vrednost. Ali je tudi napetost narastla na maksimalno vrednost? Ali je napetost
dosegla to vrednost nekoliko kasneje? V primeru, da tok prvi doseže maksimalno vrednost,
pravimo, da "tok prehiteva napetost". V primeru, da napetost prva doseže maksimalno vrednost,
pravimo "tok zaostaja za napetostjo." To je primer kapacitivne obremenitve.
248
Poskusimo še z induktivno
obremenitvijo. Kaj se zgodi z
amplitudo toka pri naraš ajo i
frekvenci? Ali tok v tem
primeru prehiteva ali zaostaja
za napetostjo? V primeru
kapacitivne obremenitve je
tok prehiteval napetost, v
primeru
induktivne
obremenitve pa tok zaostaja
za napetostjo.
Zato pravimo, da tok in napetost nista v fazi pri kapacitivni ali induktivni obremenitvi, in
kapacitivna oziroma induktivna upornost postane funkcija frekvence. Z matematiko lahko tok in
napetost tudi izra unamo, vendar je izra un nekoliko bolj zapleten, zato v tem trenutku raje
ostanimo kar pri Kirchoffovih zakonih.
Predstavitev 31.5: Mo
Privzemimo idealni napajalnik. Grafikon prikazuje napetost (rde e) kot izvor in tok ( rno) v
tokokrogu kot funkcijo asa (napetost je podana v voltih, tok je podan v miliamperih, as je
izražen v sekundah). Ponovni zagon.
Ohmski tokokrog: Opazujmo risanje
napetosti in toka. Mo je podatna z
ena bo P = VI, toda tok in napetost se
tudi asovno spreminjata. Da bo lažje
razumljivo, je povpre na mo izražena z
naslednjo ena bo: P = VefIef = Ief2R =
Vef2/R. Opazimo, da sta tok in napetost
vedno v fazi, zato je njun produkt tudi
vedno pozitiven.
Kapacitivni tokokrog: Opazujmo risanje
napetosti in toka. Opazimo, da v
primeru, ko napetost naraš a od vrednsti
0 v pozitivno smer, tok ravno nasprotno,
iz maksimalne vrednosti se poda proti
vrednsti 0. V primeru, ko napetost
doseže maksimalno vrednost, se za ne
približevati vrednosti 0, tok v danem
trenutku spremeni smer in se spreminja od vrednosti 0 v negativno smer. To se ve krat ponovi.
Tok in napetost sta fazno zamaknjena za /2 = 90o. Ko je napetost pozitivna, je tok negativen in
obratno. V primeru, da je tok pozitiven, je napetost negativna. To pomeni, da je povpre na mo v
danem asovnem intervalu 0. Primerjajmo to z ohmsko upornostjo. Ko je bila napetost pozitivna,
je bil tudi tok pozitiven in ko je bila napetost negativna, je bil tudi tok negativen. Povzemimo, da
se v ohmskem tokokrogu energija vedno porablja, medtem ko se v kapacitivnem ohranja.
249
Induktivni tokokrog: Opazujmo risanje
napetosti in toka pri popolni induktivni
obremenitvi. Veljajo podobne razmere kot pri
kapacitivni obremenitvi. Tudi v tem primeru
imamo povpre no mo enako 0.
V praksi imamo vedno primere, da imamo tokokroge, ki predstavljajo kombinacijo upornosti,
kapacitivnosti in induktivnosti. Povpre no mo v tem primeru izra unamo s pomo jo naslednje
ena be: VefIef cos , kjer kot pomeni fazni zamik med tokom in napetostjo. (glej Predstavitev
31.4).
Predstavitev 31.6: Kazal ni diagram napetosti in tokov
Predpostavimo idealne komponente. Spodnji
diagram kaže asovni potek napetosti na izvoru
(rde e), na uporu (modro) in na kondenzatorju
(zeleno). Potek toka je podan s rno (napetost je
podana v voltih, tok v miliamperih, as v
sekundah). Ponovni zagon.
Ko delamo z izmeni nim tokom, ne moremo kar
preprosto uporabljati izraza V = I R, ker moramo
upoštevati fazni zamik med napetostmi in tokovi.
e gledamo samo napetosti, opazimo, da so
napetosti na napajanju, na uporu in na
kondenzatorju fazno zamaknjene. Eden od na inov
upoštevanja faznega zamika je z uporabo
kazal nih diagramov, kakršnega vidimo desno
zgoraj. Napetost na vsaki komponenti je
predstavljena z vektorjem, ki se vrti z dano frekvenco, v našem primeru s frekvenco vira
izmeni nega toka. Kot med vektorji predstavlja fazni zamik med napetostmi, dolžina vektorjev pa
pove najvišjo napetost na posameznem elementu vezja. Predstavitev 31.7 in raziskavi 31.5 ter
31.6 dodatno razvijajo to zamisel. S takim kazal nim diagramom lahko opišemo tudi tok.
Poglejmo primer napetost in tok in opazimo, da sta
fazno zamaknjena tok in napetost na samem
izvoru. Zato moramo v Ohmovem zakonu izraz V
= I R zamenjati z izrazom V = I Z, pri emer je Z
impedanca (upornost), ki vklju uje frekven ni
odziv in asovni odmik, povezan z razli nimi
komponentami vezja.
250
Predstavitev 31.7: RC vezja in kazal ni diagrami
Predpostavimo idealno napajanje. Zgornji
diagram kaže asovni potek napetosti na
izvoru (rde e), na uporu (modro), in na
kondenzatorju (zeleno) (napetost je podana v
voltih, as v sekundah). Ponovni zagon.
Za analizo vezij, pri katerih se impedanca
spreminja s frekvenco, lahko uporabljamo
kazal no predstavitev napetosti na raznih
elementih vezja in tokov skoznje. To omogo a
upoštevanje fazne razlike med napetostmi na
kondenzatorju, uporu in izvoru napajanja.
Ob za etku analize vezja v animaciji najprej
ugotovimo, da v vsakem trenutku veljajo Kirchhoffovi zakoni. Ustavimo animacijo, odberimo as
in napetosti na izvoru, uporu in kondenzatorju. Prepri ajmo se, da v vsakem trenutku velja, da je
vsota padcev napetosti na uporu in kondenzatorju enaka napetosti na izvoru. Opazimo še, da
seštevek maksimalnih napetosti na uporu in kondenzatorju ni enak maksimalni napetosti izvora.
Upoštevati moramo fazno razliko med napetostmi. Eden od na inov upoštevanja faznih razlik je
opisovanje napetosti in tokov s kazal nimi diagrami. Pod sliko vezja imamo animiran kazal ni
diagram z napetostmi oziroma tokovi na elementih vezja (kar omogo a prikaz faznih razlik), pri
emer napetost na kondenzatorju zaostaja za /2 za napetostjo na uporu, saj ta napetost zaostaja
za tokom. Opazimo, da se kazalci vrtijo s kotno hitrostjo = 2 f. Projekcijo kazalcev na os y
vidimo v spodnjem desnem diagramu. Ustavimo animacijo. Opazimo, da se ta projekcija ujema z
diagramom s asovnim potekomnapetosti v vezju. Poskusimo še z drugo frekvenco in se
prepri ajmo, da sta diagtrama spet enaka (razen pri t = 0 zaradi za etnega pogoja na
kondenzatorju). Torej lahko uporabimo kazal ne diagrame za prikaz faznih kotov med napetostmi
izvora, na uporu in na kondenzatorju. Ve o kazal nih diagramih vidimo v Predstavitvi 31.6 in
Raziskavi 31.5 ter 31.6.
Predstavitev 31.8: Impedanca in resonanca, RLC tokokroga
Impedanca v tokokrogu predstavlja
razmerje med napetostjo in tokom, V = I
Z, kjer predstavlja Z impedanco. V isto
ohmskih tokokrogih velja Z = R in
takrat sta napetost in tok v fazi. V
primeru, da imamo v tokokrog
vklju eno
tudi
kapacitivnost
in
induktivnost, je razmerje med napetostjo
in tokom bolj kompleksno. Pri
impedanci govorimo o takoimenovanem
faznem zamiku med napetostjo in
tokom. V serijskem RLC tokokrogu je
impedanca podana z naslednjim
251
izrazom:
Z = (R2 + ( L - 1/ C)2)1/2.
Opomba: impedanca bo najmanjša v primeru, da je L = 1/ C. V primeru, da je impedanca
majhna, kako to vpliva na tok in napetost? Frekvenca, ki nastopa pri danih pogojih, se imenuje
resonan na frekvenca. Iz grafikona je razvidno dogajanje s spreminjanjem impedance kot
funkcija frekvence pri razli nih vrednostih. Impedanca je lahko v danih primerih predstavljena
kot upornost, kapacitivnost in induktivnost. Poskušajmo odgovoriti na nekatera vprašanja, ki se
nam pri tem zastavljajo. Kako sprememba upornosti vpliva na resonan no frekvenco? Kako je z
naraš anjem kapacitivnosti C? Kako je z naraš anjem induktivnosti L? Kaj lahko povemo o
primeru, e sta kapacitivnost in induktivnost enaki? Kako je s spreminjanjem posameznih
vrednosti? V resonanci velja, da je mo najve ja in takrat je impedanca popolnoma enaka ohmski,
zato velja naslednja ena ba Z = R ( L = 1/ C). Ponovni zagon.
Raziskava 31.1: Amplituda, Frekvenca in fazni zamik
Pri
izmeni ni
obravnavi
vezij
ozna ujemo napetost (ali tok) s pomo jo
aplitude, frekvence (periode) in faze.
Sinusno napetost iz funkcijskega
generatorja podaja naslednja ena ba
V (t) = V0 sin( t - ) = V0 sin(2 ƒt - ),
( = 2 ƒ je kotna frekvenca),
Ponovni zagon.
pri tem je V0 amplituda, ƒ je frekvenca
je fazni kot (napetost je podana v voltih in as v sekundah).
Za za etek obdržimo upornost spremenljivega upora enako ni . Izberi vrednost amplitude
napetosti (med 0 in 20 V), frekvence (med 100 in 2000 Hz) ter fazni kot (med -2 in 2 ).
a.
emu ustreza aplituda na diagramu?
b. Kaj se bo zgodilo, e pove amo apmlitudo? Poskusi!
c. Na diagramu izmeri as med dvema vrhovoma (ali dolinama). To je perioda (T). Koliko
je 1/T?
d. Kako lahko pove aš as med dvema vrhovoma? Poskusi!
e. Primerjaj diagrama pri = 0 in = 0.5* . (S klikom na desni gumb miške na diagram
narediš njegovo kopijo.)
f. Kaj se zgodi pri = ?
g. Izberi vrednost razli no od 0. Izmeri as t (merjeno od t = 0), do to ke, ko krivulja
pre ka os x s pozitiovnim naklonom (se dviga).
mora biti enak 2 ƒt. Torej faza
(oziroma fazni odmik) pove, koliko je krivulja pomaknjena glede na krivuljo sin2 ƒt.
h. Opazimo, da pri = 0.5* krivulja postane cosinusna krivulja. Zakaj?
Sedaj spreminjajmo upor. Diagram kaže napetost na uporu 1000
izvoru (rde e). Kirchhoffovi zakoni veljajo v vsakem trenutku.
252
(modra) in na napetostnem
i.
Za izra un tokov v razli nih to kah vezja uporabi tehniko, ki smo se jo nau ili pri analizi
vezij.
j. Preveri, da je to vezje navaden delilnik napetosti.
k. Kolikšno upornost naj ima spremenljivi upor, da bo maksimalna napetost na uporu 1000enaka1/3 vrednosti izvorne napetosti?
Raziskava 31.2: Upornost
Predpostavimo
idelano
napajanje.
Upornost X nekega elementa vezja je
razmerje med maksimlno napetostjo in
tokom tako da velja V = I X. Za navaden
upor je XR = R. Ta raziskava bo pokazala,
da je pri aktivnem bremenu, kot je
kondenzator ali tuljava, upornost odvisna
tudi od frekvence (napetost je podana v
voltih, tok v miliamperih (glej oznake v diagramih), kapaciteta v faradih, induktivnost v
henrijih in as v sekundah). Ponovni zagon.
a. Za kapacitivno breme spreminjaj frekvenco in opazuj, kaj se dogaja s tokom. Kako se ta
rezultat ujema s formulo za kapacitivno upornost? Diagram kaže asovni potek napetosti
(rde e) in toka ( rno) iz napajalnika. Opazimo, da moramo po akati na konec prehodnih
pojavov, e spremenimo frekvenco.
b. Podvojimo kapacitivnost in poskusimo znova. Kaj se zgodi? Pojasni opazovanja v
funkciji kapacitivne upornosti.
c. Ponovi (a) in (b) z induktivnim
bremenom. Kaj se zgodi, e
podvojimo induktivnost? Pojasni
opazovanja v funkciji induktivne
upornosti.
e limitiramo ƒ
0 (DC vezja), postanejo kondenzatorji odprte sponke. Pri visokih frekvencah
pa kondenzator predstavlja v bistvu kratek stik (deluje kot žica z majhno upornostjo, enako skoraj
ni ).
d. Obrazloži te limite z vidika delovanja kondenzatorja (shranjuje naboje).
e. Ali pri zelo nizkih frekvencah predstavlja induktivnost v bistvu odprte sponke ali kratek
stik? Kaj pa pri visokih frekvencah?
f. Z vidika induciranega toka povej, kaj se dogaja v tuljavi.
253
Raziskava 31.3: Filtri
Ker se upornost s frekvenco spreminja,
lahko uporabljamo kondenzatorje (ali
tuljave) za filtriranje razli nih frekvenc. Na
diagramu je napetost na izvoru rde a,
napetost na osciloskopu je modra (napetost
je podana v voltih, as v sekundah).
a. Ali ima pri zelo nizkih frekvencah
kondenzator visoko ali nizko
upornost?
b. Torej bo tok skozi kondenzator pri nizkih frekvencah velik ali majhen?
Kondenzatorski filter: Poskusi filter 1.
c. Ali bo to vezje dopustilo visokim ali
nizkim frekvencam, da dosežejo
osciloskop? Razloži!
d. Poskusi!
e. Je amplituda napetosti, merjena z
osciloskopom, višja pri nizkih ali
visokih frekvencah?
e je ve ja pri visokih frekvencah, to "dopuš a" lažje prehajanje visokih frekvenc v primerjavi z
nizkimi in temu pravimo visokopasovni filter. e "prepuš a" nizke frekvence, je to nizkopasovni
filter. Poglej vezje filtra 2.
f. Ali je to nizkopasovni ali visokopasovni filter? Zakaj?
g. Poskusi in dolo i, kakšna vrsta filtra je to.
Precej signalov ne vsebuje le ene same frekvence. So kombinacije frekvenc in tu so filtri
uporabni. Uporabi valovno funkcijo, sestavljeno iz dveh razli nih frekvenc in uporabi
nizkopasovni filter. Poskusi to valovno funkcijo z visokopasovnim filtrom. (Opomba: Z drsnikom
lahko spreminjamo frekvenco te valovne funkcije.)
h. Kako se razlikujeta signala na osciloskopu v obeh primerih?
i. Pojasni!
Raziskava 31.4: Fazni zamik in mo
Predpostavimo idealni vir napajanja.
Diagram kaže asovni potek napetosti
izvora (rde e) ter tok ( rno) skozi
vezje (napetost je podana v voltih,
tok v miliamperih, as v sekundah).
(Opomba: V za etku potek toka ni
poravnan okoli 0, ker je odvisen od
254
za etnega stanja na kondenzatorju in tuljavi.) Ponovni zagon.
Za izra un mo i, porabljene na serijskem RLC vezju ne moremo preprosto uporabiti produkta
IefVef, ker tok in napetost nista v fazi (druga e, kot je to pri isto uporovnem bremenu). Prihaja
namre do razli nih zamikov med napetostmi in tokovi na kondenzatorjih in tuljavah. Tok skozi
vse elemente je isti, torej so med seboj fazno pomaknjene napetosti na elementih (glej
Predstavitve 31.4 in 31.5). Ena be za izra un mo i so naslednje
P = Ief2R = IefVefcos = Ief2Zcos ,
Pri tem je Z impedanca zaporednega vezja (Vef/Ief) in
definiran kot ( = 2 ƒ):
Z = (R2 + ( L - 1/ C)2)1/2
je fazni pomik med tokom in napetostjo,
in
cos = R/Z.
a.
b.
c.
d.
Izberi neko frekvenco. Poiš i impedanco iz Vef/Ief.
Primerjaj to vrednost z izra unano vrednostjo, ki jo dobimo s pomo jo zgornje ena be.
Izra unaj fazni odmik.
Primerjaj to izra unano v rednost z vrednostjo faznega odmika, ki ga izmeriš neposredno
na diagramu. Ker perioda (1/ƒ) predstavlja fazni odmik 2 , izmeri asovno razliko med
dvema vrhovoma napetosti in toka in to podeli s periodo ( asom med dvema vrhovoma
napetosti ali toka) in tako najdi procent od 2 , za katerega je tok fazno pomaknjen.
e. Kolikšna je porabljena mo ?
Raziskava 31.5: RL vezja in kazal ni diagrami
Predpostavimo idealno napajanje. Diagram kaže asovni potek
napetosti na izvoru (rde e), uporu (modro) in tuljavi (zeleno)
(napetost je podana v voltih, as v sekundah). Ponovni
zagon.
Za analizo tokov in napetosti v tem vezju ne moremo kar
preprosto uporabiti izraza V = I X z uporabo teh maksimalnih
vrednosti. Upoštevati moramo fazne razlike med napetostmi in
tokovi. Eden od na inov za upoštevanje faznih razlik je
opisovanje napetosti, tokov in upornosti s pomo jo kazal nih
diagramov. Ob vezju je animacija, ki kaže kazal no
predstavitev elementov vezja (kar omogo a prikaz faznih
razlik), pri tem napetost na tuljavi (zelena) za /2 prehiteva napetost na uporu (modra).
Magnituda vsakega vektorja predstavlja najvišjo napetost na elementu.
a. Kako izgleda kazalec toka v kazal nem diagramu, kjer ni faznega odmika med tokom
skozi upor in napetostjo na njem?
b. Zakaj kazalec napetosti na tuljavi za /2 prehiteva napetost na uporu (torej tok skozi
vezje)? [Namig: Ali tok skozi tuljavo prehiteva ali zaostaja za napetostjo na njej (glej
Predstavitev 31.4)?]
c. Kako se dolžina kazalca napetosti na tuljavi spremeni, e spreminjamo frekvenco?
d. Zakaj se dolžina spreminja v odvisnosti od frekvence?
255
Opazimo, da se kazalci vrtijo s kotno hitrostjo = 2
os y je napetost na elementu vezja v danem asu.
f. Projekcija katerekoli dane napetosti na
e. Prekini animacijo. Kako bi razložil, da se kazal ni diagram ujema z napetostmi na
posameznih elementih vezja, podanimi v diagramu. Z drugimi besedami, preveri, da se y
komponente vektorjev v kazal nem diagramu ujemajo z vrednostmi napetosti,
prikazanimi v diagramu.
Iz vektorjev v kazal nem diagramu lahko razvijemo povezavo med maksimalnimi (ali
efektivnimi) napetostmi in maksimalnimi (ali efektivnimi) tokovi, pri emer je V0 = I0Z, fazna
razlika med napetostjo in tokom pa je podana s . V kazal nem diagramu je V0 (rde a napetost
na izvoru) vektorska vsota dveh napetostnih vektorjev (upor-modra in tuljava-zelena), je kot
med V0 in tokom (ima isto smersmeri, kot kazalec napetosti na uporu). Raziskava 31.6 razvija
uporabo kazal nih diagramov za RLC vezja.
Raziskava 31.6: RLC vezja in kazal ni diagrami
Predpostavimo idealen vir napajanja. Diagram
podaja asovne poteke napetosti na izvoru
(rde e), uporu (modro), kondenzatorju
(zeleno) in tuljavi (rumeno) ter toku skozi
vezje ( rno) (napetost je podana v voltih,
tok v miliamperih, koti so v stopinjah, as v
sekundah). Ponovno naloži.
Iz vektorjev v kazal nem diagramu lahko
razvijemo povezavo med najvišjimi (ali
efektivnimi) napetostmi in najvišjim (ali
efektivnim) tokom, pri tem je V0 = I0 Z, fazna
razlika med napetostjo in tokom je dana s . V
kazal nem diagramu je V0 (napetost na
izvoru-rde a) vektorska vsota treh vektorjev
napetosti (upor-modro, tuljava-rumeno,
kondenzator-zeleno),
je kot med V0 in
kazalcem upora (saj sta tok skozi upor in
napetost na uporu sofazna). y komponente vektorjev v kazal nem diagramu so napetosti na
razli nih elementih vezja. Glej Predstavitev 31.6 in 31.7 ter Raziskavo 31.5.
a. Pojasni fazne razlike med modrim, rumenim in zelenim vektorjem v animaciji.
b. Izberi frekvenco in prekini animacijo. Preveri, da je rde i vektor vektorska vsota ostalih
treh vektorjev.
c. Izberi frekvenco in s pomo jo violi astega kotomera izmeri v kazal nem diagramu.
d. Kako bi povedal, da se animacija kazal nega diagrama ujema z diagramom s asovnimi
poteki napetosti in toka v vezju.
e. Izmeri fazni kot še v diagramu z napetostmi in tokom. Fazni kot izmerimo tako, da
upoštevamo, da ena perioda, (1/ƒ) predstavlja pomik za 2 , izmerimo v diagramu
asovno razliko med vrhom napetosti in toka in to delimo s periodo.
f. Izmeri Z za to frekvenco (Z = V0 / I0).
g. Preveri svoje odgovore z uporabo ena b za impedanco in fazni pomik med napetostjo in
tokom, Z = (R2 + ( L - 1/ C)2)1/2 in cos = R/Z.
256
Raziskava 31.7: RLC vezje
Predpostavimo
idealne
komponente. Diagram kaže
asovni potek napetosti na
izvoru (rde e) in toka skozi
vezje ( rno) (napetost je
podana v voltih, tok v
miliamperih,
as
v
sekundah). Ponovni zagon.
RLC vezje je na nek na in podobno nihajo i vzmeti ali otroku na gugalnici. e gugalnico
porivamo z isto frekvenco, kot je naravna frekvenca nihanja (to je najbolj obi ajen na in
porivanja gugalnice), bo le-ta nihala vse višje in višje. e pa jo porivamo (ali vle emo) po asneje
ali hitreje, se nihaji ne bodo tako hitro pove evali, lahko pa se celo manjšajo (malce sunkovito).
Ko imamo v našem vezju najve ji tok, pravimo, da smo v resonanci.
a. Kolikšna je resonan na frekvenca tega vezja?
b. Ko frekvenco izvora približujermo naravni frekvenci vezja, kaj se dogaja z napetostjo in
tokom?
c. Izberi vrednost za spremenljiv upor. Kolikšna je resonan na frekvenca tega vezja?
d. Kaj je razli nega med resonancami pri razli nih vrednostih R?
e. Primerjaj resonan no frekvenco s (1/2 )(1/LC)1/2. Morala bi biti enaka.
Raziskava 31.8: Dušeno RLC vezje
Predpostavimo idealne
komponente. Diagram kaže
asovne poteke napetosti na
kondenzatorju (rde e), na
tuljavi (modro) in na uporu
(zeleno) (napetost je
podana v voltih).
Med raziskavo vezja
preklapljaj stikala. Ponovni zagon.
a. Izberi primeren trenutek, izmeri napetosti v diagramu, preveri, da Kirhoffov zakon velja
tako pri sklenjenem kot pri izklopljenem stikalu.
b. Kaj dolo a as med vrhovi napetosti, ko stikalo sklenemo?
c. Spremeni vrednost spremenljivega upora. Kaj se dogaja s asi oscilacij, e je upornost
velika? Kako je pri majhni upornosti? Razloži!
257
Del 7: Optika
Poglavje 32: Elektromagnetni (EM) valovi
Elektromagnetni valovi (imenujemo jih tudi elektromagnetna radiacija) so valovi, ki se obnašajo
po pravilih Maxwellovih ena b. Ena od posledic Maxwellovih ena b je tudi ta, da se
elektromagnetni valovi v vakumu razširjajo s hitrostjo 3 x 108 m/s. To pa je natan no taka hitrost,
kot jo ima svetloba v vakumu! Potemtakem je vsa svetloba – vidna svetloba, ultravioletni žarki,
radijski valovi, mikro valovi, žarki x, žarki gama in infrarde i žaki – elektromagnetno valovanje.
Razlika med temi valovi je le v frekvenci (f ) oziroma valovni dolžini ( ). Ker je zmnožek
frekvence in valovne dolžine (f ) enak hitrosti širjenja valovanja (ta je za svetlobo v vakumu
enaka 3 x 108 m/s), lahko ob poznavanju frekvence izra unamo tudi valovno dolžino. To
poglavje raziskuje širjenje elektri nega in magnetnega polja in jo povezuje z vidnimi lastnostmi
svetlobe.
Predstavitev 32.1: Izvori elektromagnetnih valov
Ta animacija ponazarja silnice elektromagnetnega polja,
ki ga povzro a pozitivni naboj. V za etku se delec ne
giblje. Z drsnikom lahko nastavimo hitrost gibanja
delca. Ko izberemo na in translacija, lahko z drsnikom
nastavimo trenutno hitrost. Ko izberemo na in
oscilacija, pa lahko z drsnikom nastavimo maksimalno
hitrost.
naboja.
Kako se ustvarja spreminjajo e polje elektromagnetnega
valovanja? Elektromagnetni valovi, kot so toplota,
svetloba in radio valovi, se ustvarjajo s pospeševanjem
naboja. Jakost elektri nega polja je odvisna od pospeška
Zaženi animacijo translacija in premakni drsnik hitrosti. Opazuj, kako se ob spremembi hitrosti
naboja ustvarjajo in oddaljujejo motnje v silnicah elektri nega polja. Ker sprememba
elektri nega polja povzro i spremembo magnetnega polja, prav tako pa sprememba magnetnega
polja povzro i spremembo elektri nega polja, se ustvari potujo i elektromagnetni val. Premakni
drsnik v na inu translacija in opazuj, kako sunkovite spremembe hitrosti povzro ajo zelo
kompleksne vzorce valovanja.
Zaženi animacijo v na inu oscilacija in opazuj pojavitev
sinusoidnih elektromagnetnih motenj.
Morda se sprašuješ, od kje izhaja energija, ki gre v
elektromagnetno valovanje. Ali se energija ustvarja iz
ni a? Odovor je seveda ne. Naboj ne bo osciliral sam
po sebi, gnati ga mora neka sila. Tako je lahko naboj na
primer delec v izmeni nem toku, ki se spreminja hkrati s
spreminjanjem (osciliranjem) napetostnega izvora.
258
eprav je del energije izsevan iz naboja, prehaja ostala energija v naboj, s imer se osciliranje
nadaljuje.
Predstavitev 32.2: Valovni hribi in doline
V 19th stoletju so odkrili, da gibajo i naboj povzro a
elektromagnetne valove. Hitri oscilirajo i nabiti delci
(kot so elektroni in atomi) proizvajajo vidno svetlobo,
medtem ko po asi oscilirajo i naboji (kot so tisti v
anteni) proizvajajo radijske valove. eprav se valovi z
razli nimi frekvencami ob stiku s snovjo razli no
odzivajo, je njihovo širjenje po prostoru precej
podobno. S temi podobnosti se bomo ukvarjali.
Ponovi.
Elektromagnetni valovi imajo obmo ja z visoko in nizko
jakostjo polja, podobno kot ima zvo no valovanje
obmo ja visokega in nizkega pritiska. Analogija med
elektromagnetnim in zvo nim valovanjem je sicer
koristna, vendar ne ustreza povsem. Ta animacija prikazuje eno od takih analogij. Oscilirujo i
naboj znotraj rnega kroga ustvarja val, ki se razširja od izvora. Val je sestavljen iz valovnih
hribov in dolin, ki se širijo od izvora in predstavljajo obmo ja mo nega elekti nega polja.
Valovne doline so obmo ja mo nega elektri nega polja, ker so samo usmerjena v nasprotno stran
kot pri valovnih hribih. Pri razširjanju od izvora amplituda valov upada, kar lahko lepo razberemo
iz desnega roba animacije (rde e valovanje).
Elektromagnetno valovanje je druga no kot zvo no, esar pa iz te animacije ne moremo razbrati.
Zvok potrebuje medij, po katerem se bo lahko razširjal, medtem ko ga elektromagnetno valovanje
ne potrebuje: Ta se lahko širi tudi po vakumu. Še ve , elektri no polje ne more razširjati energije
brez komplementarnega magnetnega polja. Magnetno polje, povezano z elektromagnetnim
valom, je pravokotno na elektri no polje in v zgornji animaciji ni prikazano. Valovna dolžina,
frekvenca in amplituda elektri nega polja pa so pravilno prikazani, s imer se nam zastavita
naslednji vprašanji:
a) Ali sta frekvenca in perioda elektromagnetnega vala odvisni od oddaljenosti od izvora?
b) Kako je amplituda elektri nega polja odvisna od oddaljenosti od izvora?
Predstavitev 32.3: Ravni elektromagnetni valovi
e je opazovalec zelo oddaljen od
izvora elektromagnetnega
valovanja, lahko valovanje v asih
poenostavimo v ravninsko
valovanje (npr. pri radijskih
valovih). Kakšno pa je ravno
valovanje? Preden nadaljuješ,
moramo poudariti, da so ravni
valovi (podobno kot masna to ka)
idealizacija. Tipi no
259
elektromagnetno valovanje ni ravno, pa ne zato, ker bi bilo ukrivljeno (obi ajno je ukrivljeno),
temve zato, ker navadno vsebuje veliko frekvenc in ker izvira iz ve kot enega izvora. eprav
lahko radijske valove obravnavamo kot ravne, tega pri vidni svetlobi ne smemo storiti (razen v
primeru, da je ustvarjena z laserjem). Ker lahko ostale valove skonstruiramo s seštevanjem ve ih
ravnih valov razli nih frekvenc, je razumevanje te vsebine zelo uporabno. Ponovi.
Animacija prikazuje elektri no polje ravnega elektromagnetnega valovanja. Magnetno polje v
animaciji ni prikazano. Pred zagonom animacije vle i z miško znotraj levega obmo ja animacije.
Kaj opaziš? rte, ki so usmerjene od osi z, prikazujejo izmerjeno elektri no polje vzdolž te osi.
Premakni drsnik. Ta je povezan z odmikom (podanim v metrih) prosojnega kvadrata. Prosojni
kvadrat predstavlja ravnino (od tod ime ravno valovanje), katere elektri no polje lahko spremljaš
v desnem oknu animacije. Uporabi drsnik za oceno valovne dolžine valovanja. Zaženi animacijo.
V desnem oknu bodi pozoren na as (podan v nanosekundah). Kakšna je frekvenca valovanja?
V katerem delu elektromagnetnega spektra je val? Ker znaša perioda 6.68 x 10-8 s, je frekvenca
enaka ena ulomljeno s tem, torej približno 1.5 x 107 Hz ali krajše 15 MHz. Ker je c = 3 x 108 m/s
= f, je valovna dolžina = c/f = 20 m, torej sodi med radijske valove.
Vektorji vzdolž osi z prikazujejo elektri no polje v tej smeri. Kakšno je videti elektri no polje
ravnine xy za to no dolo eno vrednost z? Spomni se, da je to ravni val. Premakni prosojni
kvadrat in opazil boš, da imajo vse to ke znotraj kvadrata enako elektri no polje (od tod naziv
ravno elektromagnetno valovanje).
Valovno ena bo za tla ni val, p(x, t) = A sin(k x - t), ki potuje v smeri osi x, lahko predelamo
tako, da opisuje gibanje ravnega elektromagnetnega vala v smeri z kot E(z, t) = Emax sin(k x - t)
i. Zakaj ima vektor elektri nega polja kompontento v smeri osi x in ne v smeri osi z?
Maxwellove ena be nam povedo, da je elektromagnetno valovanje transverzalno. Zato
elektromagnetni val za razliko od tla nega vala ne more vsebovati komponente v smeri
razširjanja.
Zapomni si, da je k = 2 / in
valovna dolžina in f frekvenca.
= 2 f, od tod v = /k = f, pri emer je v hitrost valovanja,
Animacija prikazuje enostavni elektromagnetni val, ki je
vzdolž osi z (v smeri potovanja) sestavljen iz elektri nega in
magnetnega polja. Ko val potuje v pozitivni smeri glede na os
z, lahko polji opišemo z ena bama:
Ex = Eo sin (k z Bx = 0,
t),
Ey = 0,
By = Bo sin (k z -
t),
Ez = 0,
and
Bz = 0,
kjer je Eo = c Bo in c hitrost svetlobe (v enotah MKS).
Elektri no polje vzdolž osi z je narisano z rde imi rticami,
medtem ko je magnetno polje obarvano zeleno. Dolžina
vsake od rtic predstavlja velikost (tj. magnitudo) polja.
eprav na rticah niso narisane puš ice, predstavlja vsaka
260
vektor, katere smer kaže od osi z (in to vzdolž celotne osi). Z vle enjem miške levo-desno boš
obra al koordinatni sistem okoli osi z. Z vle enjem miške gor ali dol boš vrtel sistem glede na
ravnino xy.
Mnogi napa no razumejo animacijo in mislijo, da se polje razširja v smeri x in y podobno kot pri
valu na vrvi. Z drugimi besedami, mislijo, da se polje razširja le do kon ne razdalje v ravnini xy
(podobno kot pri valovanju na vrvi). V resnici govorimo le o mo i polja v razli nih to kah osi z.
Pri ravninskem elektromagnetnem valu je pri gibanju v smeri osi z polje enakomerno razširjeno
po celotni ravnini xy. e želiš razjasniti ta pomembni koncept, lahko obnoviš predstavitev polja,
ki ga najdeš v Predstavitvi 32.3.
V animaciji so v to kah vzdolž osi x vektorji elektri nega in magnetnega polja po dolžini enaki.
To je nekoliko popa en prikaz. Elektri no in magnetno polje se namre meri v razli nih enotah
(MKS sistem), s imer pa so resni ne vrednosti razli ne. Vendar pa je energija, ki jo nosi
elektri no polje, enaka energiji, ki jo nosi magnetno polje. Zato so v ve ini u benikov vektorji
narisani tako, da so enakih dolžin.
Ta razlaga prinaša tudi pomembno odvisnost med elektri nim in magnetnim poljem. Polji E in B
elektromagnetnega valovanja sta v fazi. Ker eno polje pogojuje drugo, obravnavamo le eno polje,
obi ajno izberemo E.
In kon no, tu je še povezava med E in B ter smerjo razširjanja. Smer potovanja je dolo ena z
vektorskim produktom E x B. Z drugimi besedami, polji E in B sta med seboj pravokotni, smer
razširjanja pa je podana po pravilu desne roke. S prou evanjem obeh animacij skušaj utrditi to
povezavo.
Raziskava 32.1: Predstavitev ravnega valovanja
Pomakni drsnik in opazuj animacijo v
oknu na levi strani zaslona. Animacija
prikazuje elektri no polje v prostoru.
Puš ice prikazujejo vektorsko polje
elektri nega polja. Amplituda polja je
predstavljena s svetlostjo puš ic. Drsnik
omogo a gibanje vzdolž osi z. Opazimo
lahko, da je elektri no polje v ravnini xy
enotno, medtem ko se vzdolž osi z
spremninja (položaj je podan v metrih, as pa v nanosekundah). Ponovi.
Konstruiraj graf, ki predstavlja elektri no polje vzdolž osi z v asu t = 0 ns.
Sedaj si poglej predstavitev elektri nega polja. Pritisni-spusti ter premikaj miško znotraj okna
animacije, s imer si lahko ogledaš predstavitev elektri nega polja iz razli nih zornih kotov.
Predstavitev naj bi se ujemala z grafom, ki si ga narisal v nalogi (a). Pritisni na “Start”, da boš
videl, kako potuje valovanje glede na os z. Predstavitev v desnem oknu animacije je pogosto
uporabljena za predstavitev polja v levem oknu. Zapomni si, da je predstavitev na desni
pravzaprav graf amplitud v smeri razširjanja (os z).
Z upoštevanjem napisanega skušaj na grafu desnega okna v asu t = 0 razvrstiti amplitude za
naslednje položaje (od manjše do ve je vrednosti):
261
Položaj
koordinata x koordinata y koordinata z
I
1
0
-1.5
II
1
1
-1.5
III
0
0
-1.5
IV
0
1
-1.0
V
1
1
-0.5
Sedaj pritisni “Start”, da bo val pri el potovati. V položaju z = -0.5 m dolo i amplitudo polja za
naslednje ase (od manjše do ve je vrednosti):
koordinata
x
koordinata
y
koordinata
z
t=0
1
1
-0.5
t = 1.7
1
1
-0.5
t = 3.3
1
1
-0.5
t = 5.0
1
1
-0.5
t = 6.7
1
1
-0.5
as (ns)
Kakšna je valovna dolžina valovanja (razdalja med valovnima hriboma)?
Kakšna je frekvenca valovanja (perioda T = 1/f je as, ki je potreben, da se valovanje v
dolo enem položaju ponovi)?
Kakšna je hitrost valovanja?
Raziskava 32.2: Ravni valovi in ena ba elektri nega polja
V animaciji lahko spreminjaš
položaj kvadrata (ki ponazarja
vektorsko polje elektri nega polja),
prav tako pa tudi maksimalno
vrednost elektri nega polja (tj.
amplitudo) in valovno dolžino
(položaj je podan v metrih, as pa
v nanosekundah). Ponovi.
Ravninski elektromagnetni val v zgornji animaciji lahko opišemo z ena bo:
E (z, t) = Emax sin (k z -
t) i,
kjer je k = 2 / ( je valovna dolžina) in
= 2 f (f je frekvenca).
a. Pojasni, zakaj je ena ba vala funkcija spremenljivk z in t.
b. Zakaj je ta ena ba vektorska ena ba s komponento v smeri x?
262
c. Kakšna je privzeta ena ba za magnetno polje ( e je potrebno, preverite v knjigi)?
d. Kaj se bo zgodilo v obeh oknih animacije, e boš pove al amplitudo? Sedaj spremeni
amplitudo in preveri pravilnost napovedi. Ali se je frekvenca spremenila? Zakaj se je
oziroma zakaj se ni?
e. Kaj se bo zgodilo v obeh oknih animacije, e boš pove al valovno dolžino? Preveri. Se je
sedaj spremenila frekvenca? Zakaj se je oziroma zakaj se ni?
f. Z drsnikom izberi vrednost valovne dolžine ( ) in jo nato še izmeri.
g. Pri tej valovni dolžini izmeri še frekvenco (f)
h. Kakšna je vrednost produkta f? (Znašati bi morala 3 x 108 m/s).
Opozorilo: ko spreminjaš valovno dolžino, moraš po akati kakih 100 do 200 ns, preden pri neš z
meritvami. V tem asu bo valovanje s prejšnjo valovno dolžino izginilo iz vidnega polja.
Poglavje 33: Zrcala
Zrcalo je opti ni element, ki odbija svetlobo, ki pada nanj. To poglavje obravnava razli na zrcala
(ravna, konkavna, konveksna) in njihove lastnosti. Poglavje je usmerjeno v razumevanje slik, ki
jih zrcala tvorijo. Uporabljali bomo diagrame z žarki, raziskovali bomo goriš no razdaljo in
žariš a zrcal, u ili se bomo o realnih in navideznih slikah, da bi tako razumeli tvorbo slik, njihovo
lokacijo in lastnosti.
Predstavitev 33.1: Zrcala in približki pri majhnih kotih
Imamo delovno mizo za opti ne
poskuse, ki omogo a dodajanje
razli nih opti nih elementov (le e,
zrcala, zaslonke) in svetlobnih virov
izvor
(snop,
predmet,
to kast
svetlobe) ter opazovanje njihovih
vplivov.
Elemente
in
izvore
dodajamo v opti ni sistem s klikom na
ustrezni gumb in nato s klikom na
ustrezen položaj znotraj apleta. Pri
premikanju miške po apletu vidimo
izpisano njeno lokacijo, s klikom in
vle enjem pa lahko merimo kote
(položaj je podan v centimetrih, koti so podani v stopinjah).
Dodajmo v opti ni sistem zrcalo tako, da kliknemo na gumb "zrcalo" in nato postavimo zrcalo v
aplet s klikom v apletu. Goriš e nastavimo tako, da z miško primerno povle emo belo piko.
Opazimo, da lahko zrcalo preoblikujemo v konkavno ali konveksno. Oblikujmo konkavno zrcalo
z goriš no razdaljo 0.5 cm in prestavimo zrcalo na desno stran apleta. Dodajmo svetlobni izvor
tako, da kliknemo na gumb "predmet" in nato kliknemo še znotraj apleta. Kasneje lahko
dodajamo še druge svetlobne vire.
Opazimo lahko žarke, ki izhajajo iz predmeta, njihov odboj od zrcala in rezultirajo o sliko. S
klikom na glavo puš ice (predmeta) lahko le-to premikamo. Opazujemo tri žarke, ki izhajajo iz
glave puš ice. En žarek te e vzporedno z osnovno osjo (rumena rta) in se zrcali skozi goriš e,
263
drug žarek pada pod takim kotom, da zadene zrcalo na sredi, v osi in se nato odbije. Tretji žarek
pre ka centralno os v goriš u in se odbija od zrcala vzporedno s centralno osjo.
Ali se žarki obnašajo tako, kot to pri akujemo? Verjetno ne. Kaj opazimo pri odbitih žarkih, e z
vle enjem glave puš ice tej spreminjamo položaj in velikost? Žarki se odbijajo od vertikalne
rte, ki je tangencialna na ploskev zrcala. e kliknemo na zrcalo, bomo videli to rto v zeleni
barvi. Ta aplet uporablja približek, ki velja za majhne kote. Ta približek predpostavlja, da je
predmet precej manjši od zrcala. Pri zrcalih z veliko goriš no razdaljo ta približek komaj
opazimo. Pri majhnih goriš nih razdaljah pa je pogrešek že bolj opazen. V tej predstavitvi bi
goriš na razdalja manjša od 1 cm privedla do opaznih razlik med žarki, ki jih pri akujemo in
žarki, ki jih ustvarja tak približek za male kote. Kliknimo na zrcalo, premikajmo goriš no
razdaljo zrcala in opazujmo u inek.
Opti na delovna miza omogo a sestavljanje razli nih konfiguracij in opazovanje, kako svetloba
interaktira z zrcalom. Igraj se malo z apletom. Tudi kasneje, ko bomo globlje spoznavali optiko,
se lahko povrnemo k tej predstavitvi. Še kratek opis treh virov:
•
•
•
Gumb "Snop" doda vir z vzporednimi svetlobnimi žarki. Naklon žarkov lahko
spreminjamo s klikom na belo to ko in z njenim pomikanjem, potem, ko smo s klikom
izbrali snop.
Gumb "Predmet" doda predmet, predstavljen v obliki puš ice. e je prisoten še kakšen
opti ni element, izhaja iz puš ice snop žarkov.
Gumb "Izvor" doda to kast izvor svetlobet. Razpršitev žarkov lahko nastavljamo tako,
da s klikom najprej izberemo izvor, nato pa premikamo belo to ko.
Predstavitev 33.2: Ravna zrcala
Animacija kaže dve ravni zrcali, ki sta med
seboj postavljeni pod kotom. Kot med zrcaloma
lahko spreminjamo s klikom in vle enjem zelene
pike, velikost predmeta pa spreminjamo z
vle enjem rde e pike. Sive pike pripadajo
slikam. Z dvoklikom na aplet sprožimo risanje
nekaterih žarkov, ki izhajajo iz predmeta.
Rumeni žarki kažejo pravo pot svetlobnih
žarkov, sivi "žarki" pa kažejo, odkod izgleda, da
prihajajo odbiti žarki. Ko gledamo na predmete,
predpostavljamo, da svetloba potuje v ravnih
rtah (tako naši možgani interpretirajo to, kar
prihaja iz naših o i). Ko gledamo v ogledalo, so
zato slike, ki jih vidimo, za zrcalom, saj izgleda, kot da žarki prihajajo iz to ke za zrcalom. Ker
svetlobni žarki v resnici ne gredo skozi to ke na sliki, je taka slika v resnici navidezna. Poskusi
nastaviti kot med zrcaloma tako, da dobimo ve kot dve sliki. Zakaj dobimo ve kratne slike? Z
dvoklikom sproži prikaz žarkov in razpoznaj slike, ki so rezultat svetlobnih žarkov, ki se odbijejo
ve kot enkrat. Ugotovi to ke, kjer se križajo ve kratno odbiti žarki. e bi stali v taki to ki, bi
videli ve kratne slike.Sledi posameznim žarkom do navidezne slike. Opomba: prikazano je le
nekaj žarkov. Zakaj dobimo ve slik, e zmanjšamo kot med zrcaloma?
264
Raziskava 33.1: Slika v ravnem zrcalu
Medved stoji pred ravnim zrcalom, ki visi na steni. Blizu zrcala imamo to kast vir svetlobe, ki ga
lahko premikamo, spreminjamo pa lahko tudi kot njegovih žarkov tako, da kliknemo in
povle emo njegovo belo to ko. (položaj je podan v metrih, kot v stopinjah). Restart.
a. V katero to ko na zrcalu
mora gledato medved, da
bo videl svoje tace?
Zaradi
poenostavitve
predpostavimo, da ima
medved o i na vrhu
svojega smr ka.
b. Premakni medveda na
položaj x = 1.0 m.
e
gleda medved v isto to ko
zrcala, kot pri (a), kaj bo
tedaj videl? Ali iz tega
sledi, da pri premiku
vstran od ogledala vidi ve ji, manjši ali enak del svojega telesa?
c. Kako veliko mora biti zrcalu v odvisnosti od višine medveda, da se bo videl cel?
Raziskava 33.2: Pogled v ukrivljena zrcala
Kakšna je razlika med pravo in navidezno sliko? Kaj vidi naše oko, ko gledamo v zrcalo
(položaj je podan v metrih, kot v stopinjah)? Restart.
a. Vleci predmet naprej in nazaj. Ko
je v tej animaciji slika levo od
zrcala, je to prava slika, ko pa je
desno od njega, je navidezna
slika. Zakaj?
b. Postavi predmet tako, da bo slika
desno od zrcala (navidezna slika).
e je tvoje oko kot oko v
diagramu, odkod mislijo tvoji
možgani, da prihajajo žarki? Ker
naj bi žarki potovali v ravnih rtah, ko svetloba divergira iz neke to ke, predpostavljajo
naši možgani, da je to ka, kjer divergirajo (to ka na sliki) tista, iz katere žarki izhajajo.
Zato v primeru take navidezne slike, kot jo imamo sedaj, naše oko oziroma možgani
zaznavajo sliko in mislijo, da je za ogledalom.
c. Kaj pa je z resni no sliko? Postavimo predmet tako, da bo slika tvorjena nekje pred
o esom. Odkod sedaj mislimo, da prihajajo žarki? Kaj vidi naše oko? (ali je slika
pokon na ali obrnjena, je ve ja ali manjša od predmeta?) Kaj, e je slika za o esom?
kako sedaj izgleda? (Opazimo, da v tem primeru ne izgleda, da imajo žarki
konvergen no to ko, zato bi bila slika zamegljena.)
d. V katerem primeru žarki zares potujejo skozi to ko na sliki? To se dogaja pri resni nih
slikah. e bi postavili zaslon v to ko, kjer se žarki križajo, bi se na zaslonu pojavila
265
prava slika, e pa bi zaslon postavili v to ko, kjer imamo navidezno sliko, ne bi videli
ni esar (zaslon bi vendar postavili za zrcalom).
Raziskava 33.3: Diagram žarkov
Za dolo anje, kje bo slika nekega
predmeta (resni na ali navidezna) in ali
bo usmerjena prav ali obrnjeno, si
pogosto pomagamo z diagramom
žarkov. Anikacija kaže predmet v obliki
puš ice, zrcalo in violi asto piko na
položaju goriš a zrcala. Predmet lahko
premikamo z drsnikom (položaj je
podan v metrih). Restart.
a. Na predmet je nalepljen to kast svetlobni vir. Premikaj predmet in opazuj, kam
konvergira svetloba svetlobnega vira. Za narisanje slike predmeta bi morali vedeti,
kam konvergirajo žarki iz vseh to k predmeta. namesto, da poskušamo risati veliko
število žarkov iz razli nih to k na predmetu obi ajno rišemo le tri žarke, ki izhajajo
iz vrha predmeta.
b. Ko (z drsnikom) premikamo predmet ali to kast izvor, bomo vedno imeli en žarek, ki
gre skozi goriš e. Opiši ta žarek. Ta žarek je vedno vklju en v diagram žarkov.
c. Preklopimo na pogled z diagramom žarkov. Opiši preostala dva žarka. Premikaj
predmet in povej, kaj se ne spreminja pri posameznih žarkih, etudi je predmet v
razli nih položajih in tudi slika spreminja svoj položaj in velikost.
d. Premakni predmet nekam med goriš e in zrcalo. Primerjaj pogled Predmet s
to kastim virom in pogled Diagram žarkov.
Raziskava 33.4: Goriš e in to ka slike
V animaciji lahko dodajamo to kaste vire svetlobe ali vire vzporednih žarkov, izberemo pa lahko
tudi tip zrcala (položaj je v metrih). Kadarkoli spremenimo tip zrcala, se zbrišejo z zaslona vsi
svetlobni viri. Restart.
a. Najprej dodaj konkavno zrcalo
in nato še snop vzporednih
žarkov. Kje žarki
konvergirajo? To je goriš e
zrcala.
b. Sedaj dodaj to kast vir svetlobe
(snop
vzporednih
žarkov
umakni desno od ogledala). Kje
sedaj žarki konvergirajo? Je to
goriš na to ka?
c. Premikajmo to kasti vir. Kaj se
dogaja s to ko, kjer žarki
konvergirajo?
266
d. Sedaj dodaj predmet. Predmet in to kasti izvor naj bosta na istem mestu. Kje je sedaj
slika v primeri s to ko, kjer žarki konvergirajo? Kakšna je razlika med goriš no to ko in
to ko slike?
e. Kaj se zgodi, e premaknemo predmet v goriš e zrcala? Zakaj?
f. Kaj se zgodi, e je predmet med goriš em zrcala in samim zrcalom?
g. Kakšna je razlika med slikami, ko je predmet oddaljen od goriš a ali med goriš em in
zrcalom? ( e se ti zdi zaslon preve porisan, zbriši vse in dodaj le konkavno zrcalo in
predmet.)
h. Katere slike so resni ne in katere so navidezne? Kako lahko to poveš?
i. Po isti zaslon in dodaj konveksno zrcalo ter en predmet. Opiši (in razloži) tvorjeno sliko.
Raziskava 33.5: Konveksna zrcala, goriš e, krivinski polmer
Dodajamo lahko izvor vzporednih žarkov, to kas izvor svetlobe ali predmet (položaj je v metrih,
kot v stopinjah). Kako lahko najdemo goriš no to ko konveksnega zrcala? Ponovni zagon.
a. Najprej
izberi
vir
vzporednih
svetlobnih
žarkov. Premakni ga tako,
da bo eden od žarkov, ki se
odbijajo
od
zrcala,
vzporeden z osjo. Ta žarek
deluje, kot da bi prihajal iz
goriš ne to ke. Zakaj?
Torej, da najdemo goriš no
to ko, moramo podaljšati
originalno pot žarka na
desno stran zrcala. Najlažje
to naredimo s pomo jo "kotomera" ki mu primerno povle emo merilni krak. Kotomer
lahko premikamo, lahko pa mu tudi smreminjamo dolžino in naklon enega kraka. e bi
lahko žarek potoval skozi zrcalo, katero to ko bi zadel: zeleno, rde o ali rožnato?
b. Sedaj premakni vzporedni snop žarkov tako, da se eden od žarkov odbije to no v obratni
smeri nazaj. Katero to ko pa bi sedaj zadel podaljšek originalnega žarka: modro, zeleno,
rde o ali oranžno? Tako dobimo polmer krivine zrcala ( e bi bilo to v obliki krogle).
Polmer krivine bi moral biti dvakrat ve ji od goriš ne razdalje.
c. Dodaj to kast vir svetlobe. Izmisli si metodo za dolo anje goriš ne to ke zrcala s
pomo jo to kastega vira? Opiši svojo metodo.
d. Kon no dodaj predmet in razvij metodo za dolo anje goriš a s pomo jo predmeta.
Poglavje 34: Lom svetlobe
Ko svetloba prehaja iz ene snovi v drugo, se lahko njena hitrost pove a ali zmanjša odvisno od
obeh snovi. Zaradi te spremembe hitrosti se spremeni valovna dolžina svetlobe. Lahko se
spremeni tudi smer potovanja svetlobe. Temu "lomu" svetlobe pravimo refrakcija. To poglavje
obravnava razli ne vidike loma, vklju no z zaznavanjem slik, u inki le e, spremembi valovne
dolžine in kriti nim kotom za popolno refrakcijo.
267
Predstavitev 34.1: Huygensov princip in lom svetlobe
Huygensov princip pravi, da vse to ke na valovni fronti delujejo kot izvori sekundarnih sferi nih
valov, ki se širijo navzven. Položaj valovne fronte v nekem kasnejšem trenutku je dolo en z
ovojnico sekundarnih valovnih front. Huygensov princip lahko uporabimo za napovedovanje
opti nih pojavov, kakršen je lom svetlobe.
eprav zgleda ta princip uden in izmišljen, je
neposredna posledica diferencialne valovne ena be. Ta predstavitev kaže uporabo Huygensovega
principa pri svetlobi, ki potuje preko dveh snovi Restart.
Za nemo z animacijo n1 = n2. Kliknemo na
gumb "predvajaj". Opazimo valovno fronto v
obliki bele rte, ki potuje od spodnjega levega
kota zaslona. Huygensov princip velja za vse
to ke na valovni fronti. Da bi stvar
poenostavili, je tvorba sekundarnih valovnih
front prikazana šele od sredine apleta. V
našem primeru je snov na levi in desni strani
enaka. Pazljivo opazujmo, kako se tvorijo
sekundarne valovne fronte na to kah na
sredini apleta. Opazimo lahko, da je valovna
fronta, sedaj dolo ena s tangento na sekundarne valovne fronte, povsem enaka kot prej. Ve krat
si oglej animacijo n1 = n2 , tako da boš dobro vedel, kaj predstavlja.
Sedaj se poigraj z animacijo n2 > n1. Pri tej
animaciji prehaja valovna fronta med dvema
snovema. Ker je n2 > n1, se valovi v drugi
snovi upo asnijo. Opazujmo valovne fronte
pri prehodu iz ene snovi v drugo. Ker potujejo
valovne fronte v drugi fronti po asneje, se
primarna valovna fronta ukloni navzdol.
Posebej to opazimo, e aplet takoj, ko fronta
doseže drugo snov, zaustavimo in nadaljujemo
korakoma, dokler ne preide fronta v drugo
snov.
Kon no se poigrajmo z animacijo n2 < n1. V
tem primeru se v drugi snovi hitrost valov
pove a in valovna fronta se ukloni navzgor.
268
Predstavitev 34.2: Opti na vlakna
Danes se pri telefonskih in televizijskih omrežjih pogosto
uporabljajo kabli iz opti nih vlaknen. Tak kabel omogo a
cenejšo in bolj zmogljivo alternativo kablom iz bakra.
Fizikalno ozadje opti nih vlaken je preprosto. Restart.
Ko pade svetloba na snov z nižjim lomnim koli nikom in
pod kotom, ki je ve ji od kriti nega, se bo odbila vsa
svetloba. V animaciji imamo izvor vzporednih žarkov, ki
je znotraj snovi z višjim lomnim koli nikom kot ga ima
snov v okolici. Na za etku animacije zadenejo žarki stik
med snovema pod kotom, ki je manjši od kriti nega.
Nastavimo kot žarkov s klikom in vle enjem bele pike na
ivoru svetlobe. V nekem trenutku bo kot žarkov narasel
nad kriti nega in žarki se v celoti odbijejo znotraj snovi.
Opti ni kabel je iz tenkega steklenega vlakna, ki ga
obkroža snov z lomnim koli nikom, ki je manjši od tistega
pri steklu. Svetlopa potuje po opti nem kablu tako, kot svetloba, ki se v naši animaciji odbija od
sten med dvema snovema.
Predstavitev 34.3: Prizme in disperzija
Lomni koli nik dane snovi je odvisen od
valovne dolžine (oziroma frekvence)
prihajajo e svetlobe. Torej je tudi
hitrost svetlobe v tej snovi odvisna od
valovne dolžine oziroma frekvence
svetlobe. Restart.
Ko govorimo o lomnem koli niku snovi,
velja v resnici to le za dolo eno valovno
dolžino ali barvo svetlobe. To rahlo
spreminjanje lomnega koli nika vodi k temu, kar imenujemo kromatska aberacija le (kjer je
goriš na razdalja za razli ne barve razli na). Ta pojav tudi omogo a delitev bele svetlobe v
posamezne barve s pomo jo prizme (ali vodnih kapljic). Pojavu pravimo disperzija. e je
hitrost valov v dani snovi odvisna od frekvence, je snov disperzna. V naši predstavitvi sicer
obravnavamo disperzno lastnost stekla (1.6 < n < 1.68), vendar je tudi zrak disperzen (1.45 < n <
1.47).
Spreminjajmo valovno dolžino svetlobe (v zraku) ain tako spreminjajmo barvo svetlobe, ki
vstopa v prizmo. Glejmo kote, pod katerimi razli ne barve izstopajo iz prizme, in razli ne lomne
koli nike, ki ustrezajo posameznim barvam.
Kaj se zgodi, e v prizmo vstopa bela svetloba? To je lep primer disperzije v steklu. Tako v
prizmi kot zunaj nje bi videli mavrico barv, saj se vsak žarek lomi razli no, v odvisnosti od
valovne dolžine (oziroma frekvence). Tudi deževna kapljica lomi son no svetlobo. Posledica
disperzije svetlobe v vodnih kapljicah med nevihto je mavrica.
269
Raziskava 34.1: Le a in spreminjanje lomnega koli nika
Svetlobni žarki iz to kastega vira, ki je v za etku v zraku, padajo na le o. Restart.
a) kako, e sploh, bi se spremenila pot
žarkov, e bi izvor svetlobe in lke o
vtakniki v kakšen drug medij, ki bi imel
lomni koli nik n = 1.2, kar je manj od
lomnega koli nika le e? Podaj napoved in
nato preveri svojo napoved tako, da z
drsnikom pove aš lomni koli nik snovi v
okolici.
b) NKaj se bo sedaj zgodilo, e bi koli nik
pove ali na n = 2.0, tako da presega lomni koli nik le e? Podaj napoved in jo preveri s
pomo jo drsnika.
Raziskava 34.2: Snellov lomni zakon in totalni odboj
Svetlobni žarki iz vira,ki je v za etku v zraku (n = 1), padajo na snov, katere lomni koli nik lahko
z drsnikom spreminjamo (položaj v metrih. kot je podan v stopinjah). Svetlobni vir lahko
premikamo in spreminjamo kot žarkov tako, da vle emo belo to ko. Restart.
a. Preveri, ali Snellov zakon drži.
Izmeri kot vpadajo ih in odbitih
žarkov. Za merjenje kotov uporabi
premi ni kotomer na zaslonu.
Izra unaj lomni koli nik snovi.
Kolikšen je teoreti no maksimalni
vpadni kot (animacija omejuje
vpadni kot na 45o, vendar to ni
maksimum)?
Ob
danem
maksimalnem vpadnem kotu,
kakšen je maksimalni kot odboja?
Temu kotu v asih pravimo kriti ni
kot. Razvij splošni izraz za
izra un kriti nega kota v odvisnosti od lomnih koli nikov obeh snovi.
b. Premakni svetlobni vir v snov in obrni snop tako, da bo usmerjen iz modre snovi proti
zraku ( rna barva). Izmeri vpadni kot in kot lomljenega žarka ter izra unaj lomni
koli nik snovi. Kaj se zgodi, e je vpadni kot (znotraj snovi) ve ji od kriti nega kota, ki
smo ga našli v (a)? Zakaj? Temu pravimo popolni notranji odboj.
c. Spremeni lomni koli nik. Izmeri kriti ni kot in ga primerjaj z vrednostjo, ki si jo
izra unal.
d. Zakaj imamo lahko popolni notranji odboj le, ko svetloba potuje iz snovi z višjim lomnim
koli nikov na snov z nižjim lomnim koli nikom?
270
Raziskava 34.3: Prvi korak k le i
Svetlobni žarki, v za etku v zraku, padajo na snov z
druga nim lomnim koli nikom (položaj je podan v
metrih). Spreminjaš lahko ukrivljenost površine snovi in
lomni koli nik snovi. Restart.
a. Z drsnikom zmanjšaj ukrivljenost modre snovi.
Kaj se zgodi, ko robove bolj ukrivimo (ko polmer
postane manjši)? Ko postane ukrivljenost enaka 1,
kje je to ka, v katero konvergirajo vsi žarki
(goriš na to ka)?
b. Pove aj lomni koli nik. Kam konvergirajo žarki, ko imamo ukrivljenost enako 1? Kaj se
zgodi, ko postane lomni koli nik enak 1? Zakaj?
c. Matemati no je odvisnost med lokacijo goriš ne to ke znotraj ukrivljene snovi,
ukrivljenostjo površine te snovi oziroma polmerom krivine podana z f = nR/(n - 1).
Preveri ta izraz s pomo jo animacije.
Kako površina usmeri svetlobo, je odvisno tako od lomnega koli nika kot od ukrivljenosti snovi.
Raziskava 34.4: Fermatov princip in Snellov zakon
Animacija kaže Fermatovo na elo: Svetloba
potuje tako, da za pot med dvema to kama
prostora porabi najmanj asa. Kliknemo in
vle emo lahko vir (bela to ka) in kon ne to ke
(odbita svetloba, lomnjena svetloba, zelene
barve). Animacija kaže možne poti, po katerih
lahko potuje svetloba. Bela pot je tista, ki je
asovno najkrajša. Kliknemo lahko tudi na
besedici na meji med snovema ("air/water") in
tako preklapljamo vodo iz zrak. Opazimo lahko,
da je odbiti kot svetlobe enak vpadnemu kotu.
Ko je pot zaklju ena, lahko s klikom nanjo prikažemo vpadni kot ter kot lomljene svetlobe.
a. Preveri, ali so koti taki, kot veleva Snellov zakon.
b. S klikom na besedo "Possible paths" v levem zgornjem kotu preklopimo na "Real
paths." (Ponovni klik bi spet preklopil na "Possible paths".) Kaj prikazuje animacija v
tem režimi in v em je razli na od režima "Possible paths"?
(Potreben je izra un): Z uporabo spodnje slike (in namigov, ki
slede), dokaži, da lahko z uporabo Fermatovega na ela izpelješ
Snellov zakon.
v1 = hitrost v snovi 1
v2 = hitrost v snovi 2
271
c. Ker je as za potovanje svetlobe skozi obe snovi (vzdolž poljubne poti) enak t =
s1/v1+s2/v2, pokaži, da lahko za as zapišeš tudi
d. Da najdemo asovno najkrajšo pot med dvema to kama, moramo rešiti za dt/dx = 0.
Zakaj?
e. Ko rešiš za dt/dx = 0, moraš dobiti
f.
Pokaži (izvedi potrebne zamenjave), da je to isto, kot Snellov zakon, n1sin 1 = n2sin 2.
Raziskava 34.5: Lomni koli nik in valovna dolžina
Svetlobni žarki iz vira, ki je v za etku v zraku,
padajo na kroglo iz vode. Z drsnikom lahko
spreminjamo valovno dolžino svetlobe.
Restart.
a. Z drsnikom spreminjaj barvo svetlobe
(s spreminjanjem frekvence). Ali se
frekvenca svetlobe ve a ali manjša, ko
pomikamo drsnik v desno ( e
potrebuješ, poglej v kakšno knjigo o
frekvencah razli nih barv)?
b. Kam konvergira rde a barva? Kam konvergira modra barva?
c.
e je bil lomni koli nik okroglega modrega podro ja enak 1, kje bi bila to ka
konvergence? Zato pojasni zakaj pomeni višji lomni koli nik konvergenco v to ko,
bližjo krogli.
d. Za katero barvo svetlobe je torej lomni koli nik ve ji? Za katero barvo je manjši?
272
Poglavje 35: Le e
Le a je medij z druga nim indeksom odbojnosti, kot sosednji mediji. Oblika in indeks odbojnosti
dolo ajo lastnosti le e. Klju gradnje opti nih sistemov je razumevanje slike, ki jo generira
dolo ena le a ali sistem le . V tem poglavju je mnogo konceptov o sliki podobnih tistim v
poglavju o zrcalih. Problemi, ki jih boste sre evali bodo vsebovali žarke za dolo anje lokacije
slike, goriš a in razvijanje metod za razumevanje sistemov le .
Predstavitev 35.1: Le a in približek tanke le e
Ta animacija omogo a dodajanje
razli nih opti nih elementov (le e,
zrcala, reže), svetlobnih izvorov in
opazujete u inke. Opti ne elemente
in svetlobne vire lahko izbereš s
klikom na primeren gumb in nato
dodaš s klikom znotraj animacije na
mesto, kjer ga želiš odložiti. e
miško premikaš, se izpiše pozicija
miške, e z miško u klikneš in gumb
držiš, dobiš podatke o kotu. (pozicija
je podana v centimetrih, kot v stopinjah).
Le o izbereš s klikom na gumb "Lece" in dodaš s klikom na želeno mesto znotraj animacije.
Razdaljo goriš a lahko spreminjaš z premikanjem goriš a po osi. Le o lahko narediš konkavno
ali konveksno. Naredi konveksno le o z goriš no razdaljo 1cm in jo postavi na sredino animacije
(x=2.5 cm). Sedaj izberi še opazovani objekt s klikom na gumb "Predmet" in ga dodaj v
animacijo na pozicijo x=0.1 cm in višino 0.5 cm. Kasneje lahko dodaš še druge svetlobne vire ali
predmete.
Opazuj svetlobne žarke, ki izvirajo iz opazovanega predmeta, kako se lomijo. Klikni na vrh vira
svetlobe in ga premakni. Zanesljivo si opazil tri žarke, ki izvirajo z vrha predmeta. Prvi žarek gre
vzporedno z osjo, na le i pa se lomi, potuje skozi goriš e le e. Drugi žarek potuje skozi središ e
le e in se pri tem ne lomi. Tretji žarek potuje skozi goriš e in se na le i lomi. Žarek potuje naprej
vzporedno z osjo.
Ali se žarki vedno obnašajo kot si pri akoval? Najbrž ne. Ko vle eš vrh opazovanega predmeta in
spreminjaš njegovo velikost in pozicijo, kaj opaziš, kako se žarki lomijo skozi le o? Žarki se
lomijo na vertikali le e. e klikneš na le o, bosš opazil modro vertikalo. Animacija uporablja
tako imenovan približek tanke le e. Ta približek predvideva, da je le a tanka v primerjavi s
polmerom ukrivljenosti le e. V bistvu v približku tanke le e predpostavimo,da je debelina le e
enaka ni (Zaradi tega se žarek lomi na vertikali le e). V primeru, da bi uporabili pravo le o, bi
žarki z vira svetlobe tvorili realno sliko na desni strani strani le e in navidezno sliko za virom
svetlobe na levi strani le e.
Animacija omogo a, da preizkusiš kako se odzivajo svetlobni žarki na le o. Vzemi si as in si
podrobno oglej razli ne na ine. Animacija ti lahko pride prav tudi kasneje, da si osvežiš znanje.
Kratek opis treh virov:
273
•
•
•
"Snop" - Žarek - Gumb doda žarek, ki poteka vzporedno z osjo. Kot žarka lahko
spremeniš e premikaš to ko na srednjem žarku.
"Predmet" - Opazovani predmet - Gumb doda predmet v obliki puš ice.
"Izvor" - Vir svetlobe - Gumb doda vir svetlobe. Razpršenost žarkov lahko nastaviš z
premikom to ke na zgornem žarku.
Predstavitev 35.2: Lastnosti razpršilnih le
Predmet (navpi na puš ica na levi strani)
je postavljen pred razpršilno le o. Le o
lahko premikamo, predmet pa je fiksno
postavljen. Pri premikanju miške se
izpiše pozicija miške, Pri kliku in držanju
miškinega gumba pa dobimo podatke o
kotu (pozicija je podana v centimetrih,
kot v stopinjah). Podrobneje preglej
animacijo, še posebej se osredoto i na žarke, ki izvirajo iz predmeta, njihov odboj in njihovo
sliko. V tem primeru je slika navidezna. Ponovni zagon.
Da ugotoviš, kje se slika nahaja in e je res navidezna, postavi le o na pozicijo X = 2 cm. Trije
žarki izvirajo iz glave puš ice (predmeta).
•
•
•
Prvi žarek potuje vzporedno z osnovno osjo (rumene barve), skozi le o se prelomi in
potuje proti desni tako, da e pogledamo nazaj proti levi, bi žarek potoval preko to ke
goriš a.
Drugi žarek potuje skozi središ e le e in se ne lomi.
Tretji žarek potuje skozi le o in e se žarek ne bi lomil, bi potoval skozi goriš e na drugi
strani le e. Žarek se lomi in pot na drugi strani le e nadaljuje vzporedno z osnovno osjo.
Ali lahko dolo iš goriš no razdaljo le e? Na eni ali obeh rtah, ki navidezno potujejo skozi
goriš e, klikni in potegni center polkroga, ki predstavlja kompas (zelene barve). Potegni ga na
eno od teh dveh rt. Potegni zeleno rto, dokler ni vzporedna z žarkom in pre ka osnovno os
(rumene barve). Izgledati mora podobno kot na spodnji sliki.
e je le a na x = 2 cm, lahko prebereš, kje
zelena rta pre ka osnovno rto.(x = 1 cm
ali x = 3 cm, odvisno kateri žarek izbereš).
V vsakem primeru, ker je le a na x = 2cm,
je goriš na razdalja 1 cm.
Kako dolo imo, kje nastane slika? Spomni
se, da se žarki razpršijo. Prekinjene rte
nadaljujejo pot treh žarkov na desni strani le e nazaj v obratno smer na levi strani le e, tako da se
vse tri rte sekajo v neki to ki. To je lokacija slike. Slika je navidezna. Zaslon, ki bi ga postavil
na lokacijo slike, ne bi prikazoval slike predmeta.
274
Raziskava 35.1: Slika skozi le o
Predmet je postavljen pred zbiralno
(konveksno)
le o
za goriš no
razdaljo. Ponovni zagon.
a) Nariši potek žarkov in lociraj
sliko. Svojo rešitev lahko preveriš
spodaj s klikom na Odgovor(a).
b) Prikaži predmet in sliko. Sedaj se
osredoto i na to ko na vrhu
predmeta. Svetloba zapusti to
to ko in potuje v vse smeri (sicer predmeta ne bi videli vsi v prostoru). Nariši žarke svetlobe,
ki zapuš ajo vrh predmeta in potujejo skozi le o. Svojo rešitev lahko preveriš s klikom na
spodnjo povezavo. Si naredil pravilno? e ne, zakaj ne?
c) Nastavi animacijo (c). Sedaj premikaj vir svetlobe na razli ne to ke predmeta. Medtem, ko
premikaš vir svetlobe gor in dol, opaziš, da se vsi žarki z ene to ke na predmetu sekajo na eni
to ki na sliki. Ali so vsi žarki z ene to ke na predmetu blokirani, e pol le e zakriješ? Dodaj
zaslon. Kako bi izgledala slika, e blokiraš zgornjo polovico le e?
Raziskava 35.2: Diagram z žarki
Pogosto boš uporabljal diagrame z žarki, da
ugotoviš,kje je slika predmeta, je slika realna
ali navidezna in ali je obrnjena ali ne
(Razdalje so podane v metrih) .
Animacija prilazuje predmet (puš ica), le o in
to ke roza barve, ki ozna ujejo goriš no
razdaljo. Ponovni zagon.
a. Na predmetu opazujemo dve to ki. Premikaj predmet in opazuj, kje se žarki z ene to ke
sekajo. Za skico predmeta, le e in ustrezne lokacije slike, potrebuješ še podatek, kje se
žarki sekajo. Kaj opaziš v zvezi z žarkii, ki so vzporedni na osnovno os (pred ali po
vstopu v le o), ko predmet premikaš? Zakaj seka os vedno na istem mestu?
b. Namesto, da bi risal veliko število žarkov z veliko razli nih to k, raje nariši le tri žarke z
vrha predmeta. Preklopi na pogled diagram z žarki. Opiši te tri žarke. Kateri žarek potuje
od predmeta skozi le o in nato skozi goriš e? Kateri žarek gre skozi le o brez da bi se
lomil. Kateri gre skozi goriš e (na strani objekta) in potem skozi le o?
c. Prikaži razpršilno (konkavno) le o z to kovnim virom svetlobe. Poskusi skicirati diagram
z žarki za ta primer. Rešitev pogledaš s klikom na Diagram z žarki.
275
Raziskava 35.3: Premikanje le e.
Imamo le o, ki jo lahko premikaš in moder zaslon ter predmet. Oba sta fiksno postavljena
(razdalje so podane v metrih). V za etni postavitvi ima le a neznano goriš no razdaljo. Prav
tako je ne moreš spreminjati (s pomo jo drsnika). Ponovni zagon.
a. Ugotovi razdaljo med le o in predmetom ter
le o in sliko. Ugotovi goriš no razdaljo le e.
b. Sliko na isti poziciji (moder zaslon) lahko
dobiš tudi, e le o pomakneš na neko drugo
lokacijo. Poiš i drugo lokacijo. Kakšne so
razdalje sedaj?
c. Za dano razdaljo med predmetom in sliko na
modrem zaslonu razvij ena bo za obe lokaciji,
s katero dobimo isto sliko na zaslonu. Ena bo
preveri za le e s spremenljivo goriš no razdaljo. Uporabi animacijo - klikni na Le o z
nastavljivo goriš no razdaljo (z uporabo drsnika spreminjaj goriš no razdaljo le e). e
le o premikaš, se ob le i izpiše goriš na razdalja.
Raziskava 35.4: Kaj se skriva za zaveso?
Prikazan je vir svetlobe, ki ga lahko premikamo, in neznan opti ni predmet, ki je skrit za zaveso
(razdalje so podane v metrih). Ponovni zagon.
a. Kaj se skriva za zaveso? Ne beri
naprej dokler ne rešiš tega
vprašanja.
b. Ko si ugotovil, kaj se skriva za
zaveso, odkrij zaveso in preveri
svojo rešitev. Si presene en?
c. Ve ina u encev napove, da se
za zaveso skriva konvergentna
le a z goriš no razdaljo 1m. Ali
lahko, ne da bi odkril zaveso, ugotoviš, da je ta trditev napa na?
d. Ugotovi goriš no razdaljo posameznih le . Ne pozabi: e predmet leži na goriš ni
razdalji, potem so žarki na drugi strani le e vzporedni osi in obratno. e so žarki, ki
prihajajo v le o, vzporedni z osjo, se žarki na drugi sekajo v goriš ni razdalji. Zato
premakni predmet v goriš no razdaljo prve le e in žarki se bodo sekali v goriš ni razdalji
druge le e.
276
Raziskava 35.5: Ena ba izdelovalcev le
Žarki svetlobe se odbijejo ali lomijo na snovi, ki
ima druga en lomni koli nik (razdalje so
podane v centimetrih) Spremenite lahko
ukrivljenost površine le e kot tudi lomni
koli nik. Ponovni zagon.
b.
c.
d.
e.
a. Zgradi plano-konveksno le o. Zmanjšaj
polmer ukrivljenosti leve strani, desna
stran pa naj ima polmer 30 cm. Ko
zmanjšuješ ukrivljenost, kaj se dogaja z
žarki? Ko je ukrivljenost le e na levi
strani 1 cm, kje je to ka, ko se vsi žarki
sekajo? Kako dale je to ka, ko se žarki sekajo iz središ a le e? To je goriš na razdalja
le e.
Kaj se zgodi, e pustiš levo stran približno ravno (polmer = 30 cm) in zmanjšaš
ukrivljenost na desni strani? Kaj je goriš e, ko je polmer 1 cm? Kaj se zgodi z goriš em,
e pove aš lomni koli nik? Kaj se zgodi, e ga zmanjšaš?
Zgradi bi-konveksno le o. Zmanjšaj polmer ukrivljenosti na obeh straneh le e. Kje je
goriš e, e je polmer na obeh straneh 1cm? Kako se spremeni goriš e, e spremenimo
lomni koli nik?
Ena ba izdelovalcev le dolo a: 1/f = (n - 1)(1/R1 + 1/R2), kjer sta R1 in R2 polmera
ukrivljenosti, f je goriš na razdalja, in n je lomni koli nik. Preveri, e se tvoje prejšnje
ugotovitve ujemajo s to ena bo.
Za le e iz stekla (n = 1,5) prikaži, da je polmer ukrivljenosti bi-konveksne le e (polmer je
enak na obeh straneh le e) enak goriš ni razdalji.
Poglavje 36: Opti ne aplikacije
V tem poglavju bomo obravnavali optiko, uporabljeno v resni nih sistemih. Seveda
predpostavljamo osnovno poznavanje zamisli iz prejšnjih poglavij, na primer delovanje le .
Govorili bomo o o esu, fotoaparatu, mikroskopu, daljnogledu in laserskih votlinah. Prou evanje
teh aplikacij nudi u vrstitev prej nau enih konceptov, pa tudi demonstracijo prakti ne uporabe
teh konceptov.
Predstavitev 36.1: Oko
Animacija kaže poenostavljen model
o esa. v katerem je spredaj konveksna
le a (položaj merimo v poljubnih
enotah, kot v stopinjah). Restart.
Za ni z zdravim o esom in dodaj
oddaljen
vir
svetlobe.
Opazimo
vzporedne žarkeiz oddaljenega vira, ki
konvergirajo na mrežnici na zadnji strani
277
o esa. Mrežnica pri o esu ima podobno vlogo, kot jo ima film v fotoaparatu. Mrežnico
sestavljajo živci, ki svetlobno energijo pretvorijo v elektri ne signale in te posredujejo
možganom. e torej ho emo nek predmet "videti," mora biti njegova slika IZOSTRENA na
mrežnici.
Odstranimo sedaj ddaljeni vir in dodajmo bližnji vir. Opazimo, da se svetloba izostri za
mrežnico. Tako bi lovek videl zamegleno sliko. Vendar imajo naše o i sposobnost
prilagajanja. Goriš no razdaljo naših o i lahko spreminjamo z mišicami, ki spreminjajo
ukrivljenost le e. Poskusi gledati najprej nek oddaljen predmet, nato nek bližnji, na primer svoj
prst. Za util boš, da o esne mišice reagirajo tako, da se fokus olesa spremeni. V animaciji to
prilagajanje dosežemo s pomo jo drsnika na dnu in z njim spreminjamo goriš no razdaljo le e.
Spreminjaj torej goriš no razdaljo le e, dokler ne poravnaš goriš a z mrežnico.
Ljudje z normalnim vidom gledajo na oddaljene predmete s sproš enimi o mi. Tudi pri naši
animaciji smo pri oddaljenem izvoru svetlobe imeli maksimalno goriš no razdaljo, recimo enako
1 enoto. Ko pa uporabljamo mišice za prilagajanje, v bistvu krajšamo goriš no razdaljo o esa.
Iztegni roko in glej na svoj prst. Videl naj bi jasno sliko prsta. Sedaj prst po asi bližaj svojemu
o esu. V nekem trenutku slike prsta ne boš mogel ve izostriti. To je tvoja bližnja to ka. To je
najmanjša razdalja, ko sliko predmeta še lahko izostriš. e tega še nisi storil, izberi v animaciji
zdravo oko in bližnji izvor. Sedai izvor svetlobe po asi bližaj o esu. V neki to ki ne boš ve
mogel z drsnikom prilagoditi goriš a izvoru. To je bližnja to ka o esa v animaciji. Seveda oko v
animaciji ni sorazmerno resni nemu o esu.. Za pravilna razmerja bi potrebovali ve ji
ra unalniški zaslon.
Za oddaljeno to ka velja nekaj podobnega, kot za bližnjo, le da govorimo o najbolj oddaljeni
to ki, ko lahko oko še izostrimo. Za ljudi z normalnim vidom je oddaljena to ka v neskon nosti.
Nastavi kratkovidno oko in izberi oddaljeni vir. Opazimo, da svetlobe pri sproš enem o esu ne
moremo ve izostriti na mrežnici. Namesto tega se izostri pred samo mrežnico. Poskusi z
drsnikom izostriti sliko. Opazimo, da nam v tem primeru prilagajanje ne pomaga. odstrani sedaj
oddaljeni vir in dodaj bližnji vir. Opazimo, da kratkovidni ljudje nimajo težav izostrenja slike
bližnjih predmetov. Kratkovidna oseba lahko jasno vidi bližnje predmete, ne pa tistih, ki so
dale .
Nastavi daljnovidno oko in ga prou uj, kot si to storil pri kratkovidnem. Opazimo, da daljnovidni
ljudje lahko jasno vidijo oddaljene predmete, imajo pa težave z bližnjimi.
Pri kratkovidnem o esu izberi oddaljen vir. Brez pomo i tako oko ne more izostriti slike
oddaljenega vira. Dodaj o ala. Goriš no razdaljo le e v o alih lahko spreminjaš z vle enjem
belih to k. Le o lahko oblikujemo v konvergentno ali divergentno.
Ker se pri kratkovidnem o esu svetloba izostri pred mrežnico, popravimo kratkovidnost z
divergentno le o. Lahko najdeš pravo goriš no razdaljo za popravek tega o esa? Na enak na in
lahko dalekovidnost popravljamo s konvergentno le o.
278
Predstavitev 36.2: Fotoaparat
Animacijo lahko uporabimo za prikaz
osnovnega delovanja fotoaparata
(položaj je podan v poljubnih
enotah, koti so v stopinjah). S
klikom na ustrezne povezave lahko
dodajamo razli ne le e in svetlobne
vire. Restart.
Vzemi normalno le o in bližnji vir.
Fotoaparat "fokusiramo" s premikanjem le e oziroma spreminjanjem njene oddaljenosti od filma
tako, da žarki iz vira svetlobe konvergirajo na filmu. Slika na filmu bi bila pri taki razdalji med
le o in filmom izostrena. Sedaj dodaj predmet. Opazimo lahko, da, ko smo sliko izostrili
(fokusirali), pade slika to no na film.
Ta predstavitev modelira fotoaparat z eno le o. Obi ajno pa ima fotoaparat ve le , ki skupaj
delujejo kot celota. Ve kratne le e potrebujemo za popravek aberacije. Tako na primer je
ukrivljanje svetlobe z le odvisno od barve svetlobe. Ta lastnost vodi v kromati no aberacijo
(neporavnava barv v sliki), kar lahko popravimo z uporabo skrbno izbranih le .
Predstavitev 36.3: Laserska votlina
V nekaterih okoliš inah lahko atom v vzbujenem
stanju stipuliramo, da pri trku s fotonom (delcem
svetlobe) preide v nižji energetski nivo. Ko atom
preide v nižji energetski nivo, se sprosti foton,
identi en fotonu, ki je tr il. e so tudi sosednji
atomi v vzbujenem stanju, lahko pride do verižne
reakcije, sproš ujo i se fotoni pa stimulirajo
sproš anje še ve fotonov. Vsi fotoni bodo enaki,
kar pomeni, da bodo imeli enako valovno dolžino,
fazo, polarizacijo in smer potovanja. e lahko
verižno reakcijo vzdržujemo, dobimo snop laserske svetlobe. Restart.
Pomembno za delovanje laserja je, da ohranimo sevane fotone za stimulacijo dodatnega sevanja.
Namen laserske votline (ali resonan ne votline) je, da omejimo oddajane fotone. Lasersko
votlino sestavljata dve zrcali. Eno od zrcal je visoko odbojno, drugo pa ima delno odbojnost.
Tisto, ki je delno odbojno, propuš a del proizvedene laserske svetlobe, ki predstavlja vir
laserskega snopa, preostala svetloba pa se odbije nazaj za vzdrževanje verižne reakcije.
Animacija kaže model laserske votline. Svetloba se odbija med dvema zrcaloma. e so
okoliš ine prave, imamo v votlini stabilne razmere. To pomeni, da se bo svetloba tako odbijala
od obeh zrcal, da ostane omejena v votlini. Na za etku animacije imamo stabilne razmere.
•
Kliknimo na zrcalo na desni in ga premaknimo tako, da se razdalja med zrcaloma
pove a. V kateri to ki postane votlina nestabilna?
279
•
S premikanjem izbranega zrcala lahko spreminjamo goriš no razdaljo. Premaknimo
zrcalo tako, da imamo stabilne razmere. Kaj se zgodi s stabilnostjo, e pove amo
goriš no razdaljo enega od zrcal? Kaj, e obe goriš ni razdalji zmanjšamo?
Raziskava 36.1: Fotoaparat
Ta animacija kaže osnovno delovanje
fotoaparata (položaj je v poljubnih
enotah, koti so v stopinjah). S
klikom na ustrezno povezavo lahko
dodajamo razli ne le e in svetlobne
vire.
Fotoaparat
izostrimo
s
oziroma
premikanjem
le e
spreminjamnjem razdalje med le o in
filmom.
a.
Klikni na "Normala le a" in dodaj bližnji vir. Katera je najbližja lega predmeta, ko še
lahko izostrimo njjegovo sliko na filmu?
b. Odstrani bližnji vir svetlobe in dodaj predmet. Kje moramo postaviti normalno le o, da
bo slika izostrena pri predmetu na za etnem položaju (x = 2.3, h = 1.2)? Kam bi morali
postaviti telefoto le o? Kam bi morali postaviti širokokotno le o?
c. Razvrsti višino slik pod (b) od najmanjše do najve je.
d. Glede na tvoj odgovor za (c), katero le o bi uporabil za pripravo slike, kjer naj bi predmet
zavzel najve ji del fotografije (pove ava, zoom in)? Pojasni.
e. Glede na tvoj odgovor za (c), katero le o bi uporabil za pripravo slike, kjer bi na
fotografiji poleg predmeta ve ji del obsegala njegova okolica (zoom out)? Pojasni.
f. Razvrsti od najmanjše do najve je goriš ne razdalje treh le .
Raziskava 36.2: Daljnogled
e ho emo razumeti pove avo daljnogleda, nam
pomaga razumevanje zamisli o kotu, ki leži nasproti
predmetu ali sliki. Torej najprej poglejmo to
zamisel in se šele zatem posvetimo daljnogledu.
Restart.
e imamo oko na mestu, kot to kaže slika (položaj je v centimetrih, kot v radianih), je
predmetu nasprotni kot enak 6o. To lahko preverimo tako, da postavimo raztegljivi
kotomer na opti no os z vrhom poravnanim s prednjim delom o esa in z merjenjem kota,
ki ga svetlobni žarek, ki prihaja z vrha puš ice, tvori z opti no osjo (ne pozabimo, da
kotomer meri v radianih).
b. Sedaj dodajmo pove evalno steklo. Kot nasproti sliki je kot, pri katerem izstopa svetloba
iz le e, ki pre ka opti no os. Kakšen kot imamo sedaj nasproti slike? Pove ava je
razmerje med višino slike in višino predmeta, Pri dovolj majhnih kotih pa je to enako
razmerju med nasprotnim kotom slike in nasprotnim kotom predmeta.
c. Dve le i, ena kot okular (pri o ecu), druga kot objektiv, tvorita daljnogled. Kaj imamo
od tega, e daljnogled prakti no vzporedno svetlobo (v bistvu iz neskon nosti) spremeni
a.
280
spet v prakti no vzporedno svetlobo (za sproš eno oko)? Odgovor je v razliki med
nasprotnima kotoma predmeta in slike. Poglejmo nasprotni kot zelo oddaljenega
predmeta. Izmerimo kot med snopom žarkov, ki prihajajo iz neskon nosti, in opti no
osjo. Kolikšen je ta kot?
d. Sedaj izmerimo kot, ki je med svetlobnimi žarki, ki izhajajo iz okularja proti o esu, in
opti no osjo (to je nasprotni kot slike). Kolikšen je ta kot?
e. Razmerje med tema dvema kotoma je pove ava. Kolikšna je pove ava tega daljnogleda?
f. Spremenimo goriš no razdaljo okularja in ga spet izostrimo (premaknemo ga tako, da bo
iz njega izstopajo a svetloba spet imela vzporedne žarke). Kakšna je sedaj pove ava teh
le ?
g. Preveri, e je pove ava daljnogleda enaka razmerju goriš nih razdalj obeh le .
Poglavje 37: Interferenca
Ker je svetloba valovanje, lahko pride pri svetlobi iz dveh ali ve virov do interference, ki da
posebne vzorce. Primer takega interferen nega pojava so razli ne barve na vodi, na kateri
plavajo oljni madeži. V tem poglavju bomo obravnavali interferenco iz ve virov tako, da bomo
uporabljali navidezno posodo z vzvalovano teko ino. To nam bo omogo ilo vzpostaviti povezavo
med razliko v poteh in interferenco. Raziskali bomo tudi interferenco svetlobe, ki pada na tanek
film.
Predstavitev 37.1: Valovna posoda
Ta aplet ra una sedem sli ic, naprej pa te e zvezno. Pri velikem številu virov ali zelo majhnih
valovnih dolžinah postane ra unanje po asno, zato po akaj na izra un sedmih sli ic.
Animacija ponazarja valovno posodo,
v kateri lahko vidimo interferen ne
pojave z dvema ali ve izvori. Ko se
dva ali ve valov sre a, se medsebojno
prepletajo (interferenca). Prepletanje
valov je lahko konstruktivno, kar
povzro i na posameznih to kah ve jo
amplitudo, lahko pa je prepletanje
destruktivno, kar povzro a manjše
amplitude.
Izvori valov so ozna eni z rde imi pikami. Valovi so ponazorjeni rnobelo. Lego izvorov lahko
z miško spreminjamo. Dodajamo lahko nove izvore tako, da vpišemo njihove podatke in
kliknemo na gumb "Dodaj izvor". Valovno dolžino spreminjamo z vpisom nove vrednosti in
klikom na gumb "set val. dolžino in predvajaj".
281
V pogledu "Prikaz amplitud" (klik na ustrezen gumb) je najvišja amplituda prikazana v belem,
negativne amplitude so rne, podro ja z amplitudo ni so siva. Tak pogled bi imeli v posodi z
vzvalovano teko ino.
Pri pogledu "Prikaz intenzivnosti" je intenzivnost sorazmerna kvadratu amplitude, Najve ja
amplituda (pozitivna ali negativna) je prikazana belo, rno pobarvana pa so podro ja z amplitudo
enako ni . Tako je zato, ker je intenzivnost povezana s kvadratom amplitude. Tak pogled bi
imeli na svetlobne valove na ekranu. Ker je energija vala sorazmerna kvadratu amplitude, lahko
razumemo prikaz intenzivnosti tudi kot prikaz energije.
Za razumevanje te animacije in obeh predstavitev je pomembnih ve stvari. Najprej imejmo le
en vir. Zbrišimo se vire in v izhodiš e dodajmo enega z amplitudo 1 in fazo 0. Valovno dolžino
nastavimo na 1. Izberimo amplitudni pogled in po akajmo, da se naloži sedem sli ic. Izmerimo
valovno dolžino. Seveda moramo dobiti vrednost 1. To je razdalja med sosednjimi rnimi in
belimi podro ji. Sedaj peklopimo na prikaz intenzivnosti. in spet malo po akajmo. Spet izmerimo
valovno dolžino. Spet bi morali dobiti 1. Pa smo res? Morda ne. V tem pogledu valovna dolžina
ne ustreza razdalji med belimi in rnimi podro ji. Valovno dolžino dobimo, e upoštevamo še eno
belo oziroma rno podro je. V amplitudnem prikazu namre bela in rna podro ja predstavljajo
amplitude + - + - + - + -, itd. Pri prikazu intenzivnosti pa bela in rna podro ja
predstavljajo intenzivnost (energijo) + 0 + 0 + 0 + 0, itd. kar ustreza amplitudamf + 0 - 0
+ 0 - 0, itd., saj je intenzivnost povezana s kvadratom amplitude. e te to meša (tudi, e ne),
poglejmo spodnji sliki in opazimo, da dajeta enako valovno dolžino, e le upoštevamo razliko v
interpretaciji.
amplitudni prikaz: + predstavlja amplitudo +1
prikaz intenzivnosti: + predstavlja amplitudo of +1
Sedaj zbrišimo naš izvor in dodajmo dva izvora z enako amplitudo in fazo, razmaknjena za 1
enoto, torej pri y = 0 (x = -0.5 in x = 0.5). Valovno dolžino nastavimo na 2 in sprožimo
animacijo. Opazimo mrtve cone, ki so posledica interference desno in levo od obeh virov. Zakaj
se to zgodi? Ker je razdalja med obema viroma polovica valovne dolžine za kakršenkoli položaj
na osi x, bosta oba vala za 180° fazno zamaknjena in se bosta prepletala destruktivno. Poleg
tega sta na osi y oba vala ekvidistan na od svojih izvorov in se torej prepletata konstruktivno, saj
sta stalno sofazna. Ko torej imamo interferenco, vidimo, da razlika v poti tvori razliko v fazi pri
obeh valovih.
Z animacijo lahko še naprej raziskujemo lastnosti valov.
•
•
•
•
Kaj se zgodi,
Kaj se zgodi,
Kaj se zgodi,
Kaj se zgodi,
e razdaljo med viroma pove amo ali zmanjšamo?
e spremenimo fazo med obema izvoroma?
e pove amo ali zmanjšamo valovno dolžino oddajanih valov?
e dodamo še ve izvorov?
282
Predstavitev 37.2: Dielektri na zrcala
Za aplikacije, kjer potrebujemo zrcala z zelo visoko odbojnostjo (na primer za laserska zrcala),
tvorimo zrcala iz ve dielektri nih plasti. Tipi no zrcalo uporablja izmeni ne lomne koli nike, ki
mu pove ajo odbojnost na ve kot 98%. V naslednjem primeru sestavlja zrcalo ve izmeni nih
plasti filma cinkovega sulfida (n = 2.3) in magnezijevega fluorida (n = 1.35). Tabela kaže
elektri no polje. Intenzivnost valov je n*E*E, kar je sorazmerno kvadratu elektri nega polja (in
energiji valov). Restart.
V za etnem stanju prehaja svetloba le prazen
prostor. Podatkovna tabela kaže da je vpadajo a
svetloba (predstavljena z E), vsa odposlana (Etrans
= E) in se je ne odbije ni (Eref = 0). To je
samoumevmo, saj ni ni esar, od kar naj bi se
odbijala. S klikom na "Dodaj film." dodamo plast
filma Tako dodamo plast cinkovega sulfida in
plast magnezijevega fluorida. Kaj se zgodi z
intenzivnostjo odposlane in odbite svetlobe?
Dodajmo ve plasti. Opazimo, da ve kot doldamo plasti, ve svetlove se odbije in manj je
pobegne. S tvorbo izmeni nih plasti skrbno izbranih snovi smo sestavili zrcalo!
Raziskava 37.1: Spreminjanje števila in usmeritev izvorov
Ta aplet ra una sedem sli ic, naprej pa te e zvezno. Pri velikem
številu virov ali zelo majhnih valovnih dolžinah postane ra unanje
po asno, zato po akaj na izra un sedmih sli ic.
Prikazana sta dva izvora svetlobe z valovi enakih amplitud in
frekvence. IV amplitudnem pogledu je najvišja amplituda
prikazana z belo barvo, najbolj negativna pa s rno. Podro ja z
amplitudo enako ni so sive barve. V prikazu intenzivnosti so
belo pobarvane najve je amplitude (pozitivne ali negativne), rna
podro ja pa imajo amplitudo enako ni (položaj je dan v
nanometrih). Restart.
a. kakšen vzorec dobimo (tako v amplitudnem prikazu kot v prikazu intenzivnosti), e
odstranimo en izvor? Odgovor: Pogled z enim izvorom.
b. Kakšnja je valovna dolžina? (Preveri tako v amplitudnem prikazu kot v prikazu
intenzivnosti.)
c. V katerem pogledu merimo valovno dolžino tako, da merimo razdaljo od sredine belega
pasu do sredine sosednjega belega pasu, v katerem pa moramo meriti razdaljo preko dveh
belih (ali dveh rnih) pasov? Zakaj?
d. Kakšen vzorec dobimo, e imamo dva izvora, ki sta sofazna, vendar zavrtena za 90o, da
ležit na osi x? Odgovorr: Zavrti izvora.
e. Razloži, zakaj dobimo tak vzorec.
283
Raziskava 37.2: Spreminjanje razdalje med izvori
Ta aplet ra una sedem sli ic, naprej pa te e zvezno. Pri velikem številu
virov ali zelo majhnih valovnih dolžinah postane ra unanje po asno, zato
po akaj na izra un sedmih sli ic.
Prikazana sta dva svetlobna izvora z valovi enake frekvence in amplitude.
Magnituda polja je predstavljena s svetlimi in temnimi podro ji. Podro ja z
ve jo magnitudo so svetlejša (položaj je podan v nanometrih).
Za nimo z animacijo z razdaljo med izvori 0.5 valovne dolžine. Izvora sta torej oddaljena za
polovico valovne dolžine svetlobe.
a) Napovej, kakšen vzorec dobimo, e pove amo razdaljo na eno valovno
dolžino. POTEM, ko si podal napoved in zapisal svoje razmišljanje,
preveri, e si prav napovedal.
e nisi imel prav, preveri svoje
razmišljanje tako, da si ogledaš animacijo z razdaljo ene valovne
dolžine.
b) Ko boš zaupal v svoje razumevanje, ga preveri z napovedjo vzorca, e
bi bila razdalja med izvoroma 1.5 valovne dolžine. Preveri svojo
napoved z ogledom animacije z razdaljo 1.5 valovne dolžine.
c) Kot kon ni preskus napovej vzorec pri razdaljah 2 in 2.5 valovne
dolžine. Preveri napoved pri trazdalji 2 valovnih dolžin in 2.5 valovnih dolžin.
d) e postavimo ekran na desni strani okna, kako bi se interferen ni vzorec spreminjal pri
pove evanju razdalje med izvoroma?
Poglavje 38: Uklon
Uklon valov ali difrakcija je posledica interference, ko val prehaja skozi režo ali rob. Uklon težje
ali lažje opazimo odvisno od valovne dolžine in velikosti reže. Fizikalno ozadje pri uklonu
žarkov je enako, kot pri interferenci (glej Poglavje 37): superpozicija valov. Da lahko opazujemo
pojav uklona valov, mora biti velikost rež ali mreže primerljiva z valovno dolžino svetlobe.
284
Predstavitev 38.1: Uklon na eni reži
Ta aplet ra una sedem sli ic, naprej pa te e zvezno. Pri
velikem številu virov ali zelo majhnih valovnih dolžinah
postane ra unanje po asno, zato po akaj na izra un sedmih
sli ic.
Za modeliranje uklona na eni reži lahko pomislimo na
svetlobo, ki vstopa v režo , kot na to kaste izvore za
izstopajo o svetlobo (to je v bistvu Huygenovo na elo, glej
Predstavitev 34.3). Svetloba iz teh to kastih izvorov se
medsebojno prepleta (vzajemna interferenca), uklon pa je
posledica te interference. Restart.
Tako vidimo v animaciji z majhno režo pet to kastih
izvorov, ki sevajo svetlobo skozi režo, ter interferen ni
vzorec iz teh izvorov (uklon je posledica interference valov). Opazimo razpršitev valov, ki
izhajajo iz reže. Širina svetlobe (valov), ki zapuš a režo, je širša od same reže. Izgleda, kot da se
svetloba "upogiba" okrog vogala. Brez uklona bi imel snop svetlobe, ki izhaja iz reže, enako
širino, kot jo ima reža.
•
•
Poglejmo sedaj svetlobo, ki prehaja skozi malo širšo režo. V em je razlika med
pojavoma pri majhni in ve ji reži, skozi kateri prehaja svetloba?
e spremenimo valovno dolžino izvora, se tudi vzorec uklona spremeni. Poglejmo
primer z izvorom z daljšo valovno dolžino (kar ponazoruje rde a barva). Nato poglejmo
še primer s krajšo valovno dolžino (kar ponazoruje modra barva). Kako vpliva daljša
valovna dolžina na širino svetlobe, ki zapuš a režo? Ko valovi prehajajo skozi režo,
velikost reže in valovna dolžina dolo ata, kako se bodo valovi "upognili" okrog reže.
Kot analogijo o u inku valovne dolžine in širine reže na uklon pomislimo na vrata v sobo. e je
valovna dolžina mnogo manjša od režet (podobno svetlobi, ki gre skozi vrata), ni bistvenega
uklona (vidimo gladek rob okvira vrat). e pa je valovna dolžina mrecej ve ja od reže (kot je to
pri zvo nih valovih), je uklon zelo opazen (zvok se širi oziroma krivi po sosednji sobi . Vendar
se po sosednji sobi tudi odbija od sten in zato težko lo imo pojav uklona od pojava odboja.). e
bi imela svetloba valovno širino vrat, bi videli okvir vrat le zamegljeno.
Predstavitev 38.2: Uporaba uklonske mrežice
Animacija modelira uklonsko mrežico, ki jo
predstavlja
skupina
vzporednih
rež.
Spreminjajmo valovno dolžino in glejmo, kje
so osvetljena mesta. To so mesta, kjer ima
svetloba, ki prihaja po razli nih poteh,
konstruktivno interferenco. Uklon svetlobe pri
razli nih režah ustvarja razli ne poti
svetlobe. Restart.
Srednjo rto povzro ajo svetlobni žarki, ki
konstruktivno interferirajo v središ u.
rti
285
nad in pod srednjo rto sta žarka konstruktivne interference, kjer je svetloba, ki prihaja iz neke
reže, prepotovala eno popolno valovno dolžino ve od svetlobe iz sosednje reže. To kam s tako
interferenco pravimo maksimumi prvega reda. Podobno velja za zgornji in spodnji žarek na
zaslonu, pri katerih svetloba prepotuje do zaslona dve valovni dolžini ve , kot svetloba njenih
sosedov. Govorimo o maksimumih drugega reda. Ta model nekoliko zavaja, saj je v resnici
svetlost pri uklonu višjega reda upada, v našem primeru pa imamo za oba prikazana reda enako
svetle to ke.
Uklonske mrežice uporabljamo za prou evanje svetlobnih spektrumov razli nih elementov. Ko
dobi atom dodatno energijo (ga vzbudimo iz osnovnega stanja), sproš a energijo v obliki
elektromagnetnih valov. Valovna dolžina sproš ene svetlobe je odvisna od energetskih nivojev v
atomu. Vsak atom ima svoj lasten svetlobni spekter (razli ne valovne dolžine svetlobe, ki je
oddajana, ko atom sproš a energijo). e tako sproš ena svetloba prehaja ez uklonsko mrežico,
lahko tako vidimo spekter za ta element. Tako lahko spoznamo, iz katerih elementov je neznana
snov. Izvori bele svetlobe imajo zvezen spekter (poglej primer z belo svetlobo). Ko svetloba od
sonca ali zvezd prehaja skozi pline v atmosferi, ti plini absorbirajo svetlobo, ki ustreza njihovim
lastnim spektralnim valovnim dolžinam. Vodik bi na primer absorbiral svetlobo pri valovnih
dolžinah njegovega lastnega spektra (poglej si primer s spektrom vodika). e astronomi gledajo
svetlobo sonca ali drugih zvezd skozi uklonsko mrežico, lahko ocenijo, kateri elementi so na
soncu ali zvezdah po tem, katere spektralne rte manjkajo v spektru bele svetlobe.
Raziskava 38.1: Modeliranje uklona skozi režo
Animacija simulira valove iz to kastega
svetlobnega vira. Izvore lahko
dodajamo z vnosom njihovega položaja
in klikom na "set val.dolzino in
predvajaj." Položaj izvorov v apletu
lahko z miško spreminjamo (položaj je
podan v poljubnih enotah).
a. Uporabi animacijo za modeliranje uklona skozi režo. S pomo jo slike na zaslonu razloži
svoj model in povej njegove omejitve.
b. S širjenjem reže postaja uklonski vzorec ožji. Potrdi pravilnost svojega modela s
preskusom njegovih lastosti. Kot dokaz pokaži sliko animacije.
c. Z zmanjševanjem valovne dolžine svetlobe, ki prehaja skozi režo, se naj bi uklonski
vzorec ožal. Potrdi pravilnost svojega modela s preskusom njegovih lastnosti. Kot dokaz
pokaži sliko animacije.
Ta aplet ra una sedem sli ic, naprej pa te e zvezno. Pri velikem številu virov ali zelo majhnih
valovnih dolžinah postane ra unanje po asno, zato po akaj na izra un sedmih sli ic.
286
Raziskava 38.2: Uklonska mrežica
Animacija modelira uklonsko mrežico z
vrsto vzporednih rež. Spreminjamo lahko
valovno dolžino svetlobe in presledke med
režami ter opazujemo maksimume prvega in
drugega reda (položaj je podan v
centimetrih, kot v stopinjah). Restart.
Najprej glejmo razli ne barve svetlobe, ki
prehaja skozi mrežo.
a. Kaj se zgodi, e pove amo valovno
dolžino?
b. Kaj se zgodi, e zmanjšamo valovno
dolžino?
c. Zakaj vidimo rezultate v (a) in (b)? Razloži to glede na interferenco med valovi, ki
prehajajo skozi mrežo.
Sedaj glejmo u inek razli nih presledkov med režami v mreži.
d. Kaj se zgodi, e pove amo število rež na milimeter (zmanjšamo presledke med režami)?
e. Kaj se zgodi, e pove amo presledke med režami?
f. Zakaj vidimo rezultate v (d) in (e)? Razloži to glede na interferenco med valovi, ki
prehajajo skozi mrežo.
g. S pomo jo premi nega in raztegljivega kotomera preveri odvisnost med lokacijo
maksimumov, valovno dolžino svetlobe in presledki med režami.
287
Poglavje 39: Polarizacija
Stanje polarizacije potujo ega elektromagnetnega vala opisuje asovni potek usmerjenosti
elektri nega polja. V tem poglavju obravnavamo tako linearno kot krožno polarizirano svetlobo.
Poglavje govori o povezavi med posameznimi polji, kar vklju uje potujo i val in rezultirajo e
elektri no polje.
Predstavitev 39.1: Polarizacija
Animacija kaže rezultat seštevanja dveh
pravokotnih elektri nih polj. Vsako
polje
je
del
elektromagnetnega
valovanja, ki potuje vzdolž poti z. Obe
elektri ni polji sta lo eno prikazani v
dveh diagramih na levi. Grafa kažeta
asovni potek velikosti elektri nega
polja v dani to ki na osi z. Animacija
kaže na desni obe elektri ni polji v isti
to ki na osi z in v istem asu, kot diagrama na levi, ter njuno vsoto. Pogled je tak, kot e bi
gledali na elektri no polje v smeri osi. Spreminjamo lahko elektri ni polji in fazno razliko med
njima ter opazimo rezultirajo e valove. Ponovni zagon.
Smer polarizacije elektri nega valovanja je opisana s smerjo, v katero kaže elektri no polje. V
poglavju 32 (Elektromagnetna valovanja) je bilo elektri no polje vedno ali v smeri osi x ali y
(obi ajno osi x). Elektri no valovanje s to vrsto elektri nega polja imenujemo linearno
polarizirana svetloba. Svetloba je linearno polarizirana, e leži elektri no polje v ravnini
(linearno polarizirani svetlobi zato pogosto pravimo ravninsko polarizirana svetloba), dolo eni s
rto, ki je pravokotna na smer širjenja valovanja. Tak val lahko v razli nih to kah vzdolž osi z
ponovno vidiš v predstavitvi 32.3.
Vendar pa ni nujno, da je elektri no polje na na osi. Za valovanje, ki potuje v smeri osi z, ni
elektri no polje, usmerjeno v smeri osi x ali y edina možnost. Elektri no polje bi na primer lahko
ležalo izven osi x zamaknjeno za 45° (oziroma /4 radians). e gledamo le na eno to ko na osi z,
kot je to v naši animaciji, bi videli elektri no polje usmerjeno vzdolž rte pod kotom 45°. Tako
elektri no polje vidimo, e je Ex = 8 N/C, Ey = 8 N/C in je fazna razlika enako 0 radianov.
Opazimo, da je kot glede na os x odvisen od velikosti elektri nih polj v smereh x oziroma y.
Tako na primer dasta elektri ni polji Ex = 8 N/C in Ey = 4 N/C ter s fazno razliko 0 radianov
elektri no polje, ki je polarizirano glede na os x za 26.56° (oziroma 0.464 radiana).
Do krožne ali elipti ne polarizacije pride, ko seštevamo dve ali ve linearno polariziranih
valovanj tako, da se elektri no polje vrti v ravnini, pravokotni na smer širjenja valovanja. Za
krožno polarizirano svetlobo velja vrtenje smeri elektri nega polja v ravnini, magnituda pa ostaja
enaka. Pri elipti no polarizirani svetlobi se spreminjata tako magnituda, kot smer elektri nega
polja. e vstavimo vrednosti Ex = 8 N/C, Ey = 8 N/C in fazno razliko 0.5* radianov, dobimo
kot rezultat desno krožno polarizacijo. Pri spremembi Ey na 4 N/C bi dobili desno elipti no
polarizacijo.
288
Predstavitev 39.2: Polarizirano elektromagnetno valovanje
Svetloba vklju uje potujo e valovanje spremenljivega
elektri nega in magnetnega polja. Klikni na povezavo
linearno valovanje in opazuj primer komponente
elektri nega polja pri elektromagnetnem valovanju.
Pogled na sliko lahko vrtiš okrog osi z z vle enjem z
miško. Z vle enjem miške navzdol ali navzgor lahko
vrtiš tudi pogled na ravnino xy. Valovanje je pri tej
animaciji polarizirano v smeri x, kar pomeni, da v tej
smeri niha elektri no polje.
Nekatere snovi, takoimenovani polarizatorji, dovoljujejo
le prenos svetlobe z njenim elektri nim poljem v dolo eni
smeri. Primer linearnega valovanja s polarizatorjem
vidimo po kliku na linearno valovanje s polarizatorjem.
V tem primeru od svetlobe, ki je polarizirana v smeri xy,
prehaja skozi polarizator le komponenta z elektri nim
poljem v smeri x.
Povezava Krožno valovanje kaže primer krožno
polariziranega valovanja,
Krožno valovanje s
polarizatorjem pa kaže u inek polarizatorja v smeri osi x na krožno valovanje. Raziskava 39.1
obravnava krožno polarizirano svetlobo bolj podrobno, Raziskava 39.2 pa obravnava
polarizatorje.
Raziskava 39.1: Še k polarizaciji
Animacija kaže rezultat seštevanja dveh
pravokotnih elektri nih polj. Vsako od
teh polj je del elektromagnetnega
valovanja, ki potuje v smeri osi z. Obe
elektri ni polji sta lo eno prikazani v
diagramih na levi. Diagrama kažeta
asovni potek elektri nega polja v dani
to ki na osi z. Animacija na desni kaže
elektri ni polji in njuno vsoto v tej to ki
na osi z za isti as, kot velja za diagrama
na levi. Tak pogled bi imeli, e bi gledali na elektri na polja v smeri osi z. Restart.
Spreminjamo lahko elektri ni polji in fazno razliko med njima ter opazujemo rezultirajo e
valovanje.
Vstavi naslednje vrednosti: Ex = 8 N/C, Ey = 0 N/C in fazno razliko = 0* radianov. Tvoril si
tako svetlobno valovanje, ki potuje v smeri osi z in njegovo elektri no polje v smeri osi x.
a. kakšno vrsto polarizirane svetlobe si tvoril?
b. kakšna je vektorsda ena ba pravkar sestavljenega valovanja?
289
c. Valovanje, ki si ga navedel, je polarizirano v smeri osi x. Kakšni ena bi za Ex in Ey bi
potreboval za svetlobo, ki je linearno polarizirana vzdolž ravnine, ki je za 45º obrnjena na
os x?
d. Kakšni ena bi Ex in Ey bi potreboval za svetlobo, ki je linearno polarizirana vzdolž
ravnine , ki je zavrtena za manj kot 45º nad os x?
Svetloba je linearno polarizirana, e leži njeno elektri no polje v ravnini. Do krožne ali elipti ne
polarizacije pride, ko se dve ali ve linearno polaqriziranih valovanj sešteva tako, da se elektri no
polje valovanja vrti v ravnini, ki je pravokotna na smer širjenja valovanja. Za krožno polarizirano
svetlobo se smer elektri nega polja vrti, vendar je njegova magnituda konstantna. Pri elipti no
polarizirani svetlobi se spreminjata tako smer elektri nega polja kot njegova magnituda. e na
primer vneseš naslednje vrednosti: Ex = 8 N/C, Ey = 8 N/C, fazna razlika = 0.5* radianov,
dobiš valovanje, ki je desno krožno polarizirano. Pomisli sedaj na vrednosti, ki so potrebne za
odgovore na naslednja vprašanja.
e. Kakšni ena bi za Ex in Ey povzro ita svetlobo, ki je levo krožno polarizirana?
f. Kakšni ena bi za Ex in Ey povzro ita svetlobo, ki je desno elipti no polarizirana?
Raziskava 39.2: Polarizatorji
Animacija kaže valovanje, ki pada na polarizator. Smer
polarizatorja kaže rna rta. Z miško lahko vrtimo pogled
na animacijo okrog osi z, vrtimo pa lahko tudi pogled na
ravnino xy. Restart.
a. Ker je svetloba polarizirana vzdolž osi x, pojasni
zakaj, e pada svetloba na polarizacijski film, ki
prepuš a le svetlobo, polarizirano v smeri osi y,
svetloba ne more prehajati skozi.
b. Predpostavimo, da ta svetloba pada na
polarizacijski film, polariziran vzdolž ravnine, ki je
za 45o zavrtena od osi x. Napovej, kaj se bo
zgodilo? Po napovedi to še preskusi.
c. Opazimo, da je za (b) amplituda valovanja, ki
prehaja skozi polarizacijski film, zmanjšanja, saj
prehaja le valovanje s komponentami v smeri
polarizacijskega filma. Predpostavimo sedaj, da
vpada svetloba najprej na polarizacijski film iz (b)
zatem pa še na film (a). Napovej, kaj se bo zgodilo? Po napovedi stvar še preskusi.
d. Pojasni, kaj vidiš pri dveh tako nastavljenih polarizacijskih filmih. Pojasni zakaj v asih
dva polarizacijska filma prepuš ata ve svetlobe, kot le eden sam.
290