Brøk FRA A TIL Å - matematikk fra a til å

Transcription

Brøk FRA A TIL Å
VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. – 7. KLASSE
EMNER
1
2
Innledning til brøk
Grunnleggende om brøk
2.1 Teller, nevner og brøkstrek
2.2 Brøk som divisjon
2.3 Likeverdige brøker
2.4 Utvide brøker
2.5 Forkorte brøker
2.6 Ekte og uekte brøker
3 Å legge sammen brøker
3.1 Brøker med samme nevner
3.2 Hvis nevnerne ikke er like.
3.2.1 Å finne en felles nevner
3.3 Legge sammen en brøk med et blandet tall
3.4 Legge sammen blandede tall.
4 Å trekke en brøk fra et annet tall
4.1 Å trekke en brøk fra et helt tall
4.2 Å trekke en brøk fra et blandet tall
4.3 Når begge tallene er blandet tall
5 Ganging med brøk
5.1 Gange et helt tall med en brøk
5.2 Gange en brøk med en brøk
5.3 Gange en brøk med et blandet tall
5.4 Gange et blandet tall med et blandet tall
6. Deling med brøk
6.1 Dele et helt tall på en brøk
6.2 Dele en brøk på en brøk
6.3 Dele et blandet tall på en brøk
6.4 Dele et blandet tall på et blandet tall
7 Sammensatte operasjoner
7.1 Formler
8 Sammenhengen mellom brøk og desimaltall
8.1 ..og sammenhengen mellom brøk, desimaltall og prosent
Side
B-2
B-2
B-6
B-8
B–8
B – 11
B - 11
B – 12
B – 16
B – 17
B – 21
B – 22
B - 30
B - 33
B - 34
B - 35
B - 35
B - 38
B - 39
B - 40
B - 42
B - 44
B - 46
B - 47
B - 49
B - 52
B - 53
B - 55
B - 56
B - 61
B - 61
B - 64
Matematikk FRA A TIL Å
Innledning
til brøk
1
INNLEDNING TIL BRØK
Ved siden av å beherske de fire regneartene (pluss, minus, ganging og deling)
er kanskje det å kunne forstå brøk det aller viktigste innenfor matematikken.
Særlig når man kommer høyere opp i skolesystemet, og man lærer å sette
ganske vanskelige regneoperasjoner opp på en brøkstrek, er det viktig å kunne
det grunnleggende om brøk.
Men brøk er ikke bare viktig for matematikkens skyld. I ganske mange
dagligdagse forhold vil forståelse av brøk komme godt med. Alltid når vi
snakker om halvparten, tredjedelen, fjerdedelen o.s.v., anvender vi brøk. Tenk
gjennom hvor ofte vi i grunnen bruker slike uttrykk.
Kapitlet om brøk er et stort kapittel. Ikke fordi det er spesielt vanskelig, men
fordi det er veldig omfattende. Så selv om dette kan se voldsomt ut, så skal du
ikke være bekymret. Vi skal gå gjennom dette stoffet sakte og forsiktig, og
begynne helt på begynnelse…
I skolen vil elevene ofte lære om desimaltall og brøk samtidig. Det går som
regel greit, men mange elever sliter med å se sammenhengen mellom
desimatall og brøk samtidig som de skal skille de to fra hverandre.
I denne boka har jeg derfor valgt å gi de to områdene hvert sitt kapittel. Men
for å også vise at det er en sammnheng avsluttes begge kapitlene temmelig likt,
med et kapittel som heter ”Sammenhengen mellom brøk og desimaltall”. I
kapitlet om desimaltall heter det ”Sammenhengen mellom desimaltall og brøk”
men ellers er de to avsnittene helt like.
Grunnleggende
om brøk
2
GRUNNLEGGENDE OM BRØK
I utgangspunktet er en brøk en del av en hel. Vi er vant til å dele ulike mengder
i deler. Helt fra vi var små har vi snakket om halvparten av noe. Og de fleste
kjenner uttrykk som en halv og en kvart. Da snakker vi egentlig alltid om
brøker.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B-2
Når to skal dele en ting, tar de halvparten hver. Vi kan utvide dette til en
tredjedel, en firedel, en femdel o.s.v.
Med andre ord: Vi kan dele en ting i alle slags deler, på denne måten:
Når 2 skal dele en ting…
o.s.v.
---får de halvparten hver.
---får de tredelen hver.
---får de firedelen hver.
---får de femdelen hver.
---får de seksdelen hver.
---får de sjudelen hver.
---får de åttedelen hver.
o.s.v.
Dette er selve utgangspunktet for å forstå hva brøk handler om.
Men så kommer dette med å forstå hvordan en brøk skrives.
Vi snakker altså om at 1 ting skal deles på 2. Skulle vi lage et regnestykke av
det, ville det bli
1:2=
Hvis vil skal dele på 3, vil delestykket bli:
1:3=
Men, altså, sier du kanskje, Det går jo ikke! Fra det vi så langt har lært om
deling, kan det gi mening å si 3 : 1, men ikke 1 : 3!
Helt riktig. Det er fordi vi så langt har lært om de hele tallene. Tall som 1, 2, 3,
4…..
Så er det altså enda en ting som er viktig å
vite for å forstå brøk, nemlig at det er tall
som ikke er hele.
En brøk er et tall som er
mindre enn en hel.
En titt innom tallinjen kan kanskje forklare hva dette betyr:
Tallinjen er nærmere forklart i et eget kapittel.
B-3
Her er tallinjen fra 0 til 10.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Som du ser, er det en avstand mellom tallene. Hvis jeg lar tallinjen gtå fra 0 til
5, så blir dette tydeligere:
0
1
2
3
4
5
Tenk deg at 1 ikke betyr det punktet som 1 står på, men hele mellomrommet
fra 0 til 1. La oss kalle dette mellomrommet for en ener.
0
1
2
3
4
5
1
Og at 2 betyr en ener fra 1, 3 betyr en ener fra 2 o.s.v. Slik:
0
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
Altså: For hver ener vi legger til på tallinjen, vil vi få et nytt tall. Det er jo slik
vi teller oss fremover på tallinjen, ikke sant, ved å øke med 1 for hvert tall?
En slik ener kan jo bety 1 av hva som helst. Det kan bety en sjokoladeplate, en
treplanke eller en firkant. Eller det kan bety en meter.
B-4
Vi skal se litt nærmere på denne eneren. Vi har sett at en ting, for eksempel en
firkant som denne eneren jo er, kan deles. Hvis 2 skal dele denne firkanten, får
de halvparten hver.
1
Her er hele firkanten:
Og her er den delt i 2 halvparter:
Og nå ser vi at det faktisk er mulig å dele en ting på 2, altså 1 : 2 =
En halv er halvparten av en hel. Når vi skal skrive dette som en brøk, må vi
skrive det slik:
1
2
Og vi leser det som ”en halv” eller ”en todel”. Det betyr ”en av to deler”.
Men hvor på tallinjen er plassen til en halv? Jo, det må bli halvveis fra 0 til 1:
0
1
2
1
Og da ser man at
2
1
4
5
1
er halvparten av 1.
2
Går vi et lite skritt videre vil vi se at 1
0
3
1
2
2
1
plasserer seg slik på tallinjen:
2
3
4
5
B-5
Brøk
som
divisjon
2.1
Teller, nevner og brøkstrek
Dersom vi deler firkanten (den hele) i 3, snakker vi altså om delestykket:
1:3=
Eller om brøken:
1
3
Vi må altså dele hele firkanten i tre like store deler:
Her er hele firkanten:
1
Og her er den delt i 3 tredeler:
Vi kan altså dele en hel i akkurat så mange
deler som vi vil, eller som vi trenger. Når
vi skriver en brøk, vil det nederste tallet
fortelle om hvor mange deler vi har delt
den hele i. Vi kaller det tallet for en
nevner.
Nevner: Det nederste tallet i
en brøk.
Forteller hvor mange deler en
hel er delt i.
Men vi må se litt på det tallet som står øverst, også. Da kan vi jo for eksempel
si at vi skal dele en hel på 8. La oss videre si at denne hele er en pizza, altså en
ting som har en rund form (Det kan like gjerne være en kake eller hva som
helst annet som har en rund form). Det kan se slik ut:
B-6
La oss nå si at vi spiser 5 av disse pizzabitene.
Dette kan vi skrive som en brøk:
5
av pizzaen. Det betyr at pizzaen er delt i åtte biter, og
8
vi har spist 5 av disse åtte bitene.
Vi sier at vi har spist
Mens 8-tallet altså forteller hvor mange
deler den hele (i dette tilfellet: hele
pizzaen) er delt i, forteller 5-tallet hvor
mange deler vi har spist. Vi kan godt si at
det øverste tallet forteller noe om antall
deler vi bruker av hele tallet. Vi kaller
derfor det øverste tallet for en teller.
De to tallene i en brøk, telleren og
nevneren, skiller vi ved hjelp av en strek.
Denne streken kaller vi rett og slett for en
brøkstrek. Den er som regel vannrett, men
ofte kan den også være en skråstrek. For
eksempel: 5/8.
Teller: Det øverste tallet i en
brøk.
Forteller hvor mange deler av
en hel som brøken gir uttrykk
for.
Brøkstrek: En strek som skiller
telleren og nevneren. Som
regel en vannrett strek, men
kan også være en skråstrek.
B-7
Brøk
som
divisjon
2.2
Brøk som divisjon
En brøk kan betraktes som et divisjonstykke, der brøkstreken erstatter
deletegnet.
Du vil lett kunne oppdage dette, dersom du lager en divisjon av en brøk, altså
deler teller på nevner:
Her er noen eksempler:
1
= 1 : 2 = 0,5
2
3
= 3 : 4 = 0,75
4
1
= 1 : 10 = 0,1
10
Dersom man deler telleren på nevneren, vil svaret bli et desimaltall. Fra
desimaltallene kjenner vi igjen for eksempel 0,5. Det er jo det samme som en
halv.
En sammenligning mellom brøk og desimaltall finner du i kapittel 7
Sammenhengen mellom brøk og desimaltall.
Det er både nyttig og viktig å vite at brøkstreken er et deletegn. Både når det
gjelder å forstå hva brøk er, og når det gjelder å handtere litt vanskeligere
regnestykker som man møter høyere oppe i skolesystemet. Allerede i 7. skoleår
kommer det til nytte, men det blir for alvor et viktig verktøy på ungdomsskolen
og videre.
Likeverdige
brøker
2.3
Likeverdige brøker
I det praktiske livet snakker vi ganske ofte om halve og kvarte som om det var
en egen enhet. For eksempel er det vanlig å dele frukt, la oss ta epler, i to eller
fire før de legges på fat og serveres.
Sett nå at du har delt et eple i 2. Det betyr at du har 2 halve epler. Hele eplet
2
kan dermed skrives som en brøk, nemlig . Nevneren forteller at du har delt
2
eplet i 2, og telleren forteller at hele eplet består av 2 deler. Vi kan vise det ved
en tegning:
B-8
Et helt eple som
er delt i 2 deler.
Et helt eple.
Teller, nevner og
brøk-strek
Teller, nevner og
brøk-strek
Her ser vi ganske tydelig at 1 hel er det samme som 2 halve.
Forholdet blir det samme om vi deler eplet i 4:
Et helt eple som
er delt i 4 deler.
Et helt eple som
er delt i 8 deler.
Teller, nevner og
brøk-strek
Teller, nevner og
brøk-strek
Av dette kan vi se at 1 hel er det samme som
2 4
8
,
eller .
2 4
8
Vi kan si at en brøk der teller og nevner er like store er alltid det samme som en
hel.
REGEL

En brøk der teller er like stor som nevner, er alltid en hel.
B-9
Av eksemplet med eplene kan vi også se et annet forhold. Vi delte først eplet i
2
4
2 deler. Da fikk vi . Deretter delte vi det i 4 deler. Da fikk vi .
2
4
Hvis du ser nøye etter, vil du se at siden det går 4 firedeler på en hel, så går det
2 firedeler på en halv!
Vi ser altså at
2
1
er det samme som .
4
2
Hvis vi går videre til eplet som er delt i 8, kan vi se at
Dette er jo naturlig, siden både
1
4
er like mye som .
2
8
1 2
4
,
og
er brøker der telleren er halvparten
2 4
8
av nevneren. Vi sier at disse tre brøkene er
Likeverdige brøker: Brøker
som har samme verdi.
likeverdige. De har samme verdi. Det
finnes mange slike likeverdige brøker.
Oversikten nedenfor viser bare noe få eksempler:
1
2
1
3
1
4
1
5
=
=
=
=
2
4
2
6
2
8
2
10
=
=
=
=
3
6
3
9
3
12
3
15
=
=
=
=
4
8
4
12
4
16
4
20
=
=
=
=
5
10
5
15
5
20
5
25
REGEL

To brøker er like store når forholdet mellom teller og nevner er det samme i
begge brøker.
B - 10
2.4
Utvide brøker
Utvide
og
forkorte
brøker
At brøker kan være likeverdige kan vi bruke til vår fordel i mange
sammenhenger.
Hvis du ser nøye etter på tabellen på side B – 10, vil du se at telleren og
1
nevneren er ganget med det samme tallet. Ta brøken som eksempel. I
5
tabellen ser det slik ut:
1
5
=
2
10
=
3
15
=
4
20
=
5
25
1
med 2, får du 2. Hvis du ganger nevneren (5)
5
med 2, får du 10. Vi skriver det slik:
Hvis du ganger telleren (1) i
1 2
2
=
5  2 10
Hvis du ganger både telleren og nevneren med 5, får du:
1 5
5
=
55
25
Dette handler om at du kan forandre en
brøk ved å gange både teller og nevner
med det samme tallet, uten at verdien av
brøken endres. Vi kaller det å utvide
brøken.
2.5
Utvide en brøk: Å gange både
teller og nevner med det
samme tallet.
Forkorte brøker
På samme måte kan vi forkorte en brøk ved
å dele teller og nevner med det samme
tallet. Vi skal se på hvordan det gjøres.
Forkorte en brøk: Å dele både
teller og nevner med det
samme tallet.
B - 11
Utvide
og
forkorte
brøker
2
som utgangspunkt. Ser vi på 2-tallet og 4-tallet, vil vi se at
4
begge tallene kan deles på 2. Da kan brøken forkortes. Forkorting handler
nemlig om å dele teller og nevner med det samme tallet.
La oss ta brøken
Vi ser at 2 : 2 = 1 og 4 : 2 = 2.
2:2
1
=
2
4:2
Dette har vi jo sett før, at to firedeler er like mye som en halv.
Men, altså: Hvis vi kan dele både telleren og
nevneren med det samme tallet, så kan vi
forkorte brøken. Som du skjønner handler både
utviding av en brøk og forkorting av en brøk
mye om å lære seg gangetabellen!
Det er lettere å se om en brøk
kan utvides eller forkortes
hvis du lærer deg
gangetabellen.
Både forkorting og utviding av brøker kan vi gjøre fordi brøken har den
samme verdien når vi deler eller ganger telleren og nevneren med det
samme tallet. Vi kan ikke på samme måte addere eller subtrahere teller og
nevner med det samme tallet.
Ekte og
uekte
brøker
2.6
Ekte og uekte brøker
La oss se på eksemplet med eplet som er delt en gang til. Tenk deg at du har 2
epler som du deler i to. Da får du dette bildet:
B - 12
Her ser du at vi har 4 halve epler. Hvis vi skriver brøken på hver av halvdelene
får vi:
1
2
1
2
1
2
1
2
Nå må vi være veldige presise. Hele mengden vi snakker om er 2 epler. Men et
halvt eple blir likevel bare halvdelen av
ett eple. Det er altså slik at vi har 4 halve
Enheter og mengder er to
epler. Vi kan si at enheten vår er eple, og
forskjellige ting.
mengden vår er to epler. Det blir viktig å
skille mellom enheter og mengder på
denne måten. Når vi deler enheten i to, får vi to halve. Men når mengden vår
består av to enheter, får vi fire halve.
Dette har stor betydning når det gjelder brøk. Tenker vi teller og nevner i dette
4
tilfellet, vil vi få , altså fire halve epler.
2
Akkurat her skal vi gå tilbake til hvordan vi forstår en brøk. En brøk er et tall
som er mindre enn en hel, sa vi på side 3 i dette kapitlet. Men her har vi jo en
4
brøk som er større enn en hel!
er jo 2 hele!
2
Før vi forklarer dette nærmere, skal vi ta en titt på tallinjen igjen.
B - 13
0
1
2
1
2
På denne tallinjen har vi merket av
3
4
5
1
. Vi har jo tidligere sett at to slike halve
2
er det samme som 1.
0
1
2
1
2
3
4
Og til og med har vi sett at tre slike halve blir det samme som 1
5
1
.
2
1
2
0
1
2
3
4
Vi kan se at dette blir 3 halve. Som brøk kan vi skrive det som
5
3
.
2
Vi tar et eksempel til:
0
1
2
3
1
2
4
5
Her kan vi se at vi har 3 hele og en halv. De tre hele er delt i halve. Altså har vi
7
7 halve. Som brøk kan vi skrive det som .
2
B - 14
Faktisk er det jo slik at alle tall kan deles:
0
1
2
1
11
22
2
1
2
3
1
2
4
1
2
5
Her ser vi en tallinje der fem hele er delt opp i ti halve. Som brøk kan vi skrive
10
det som
.
2
Tallet er altså større enn en hel, men vi kan likevel skrive det som en brøk.
Hvis du ser nærmere på denne tallinjen vil du oppdage dette:
2 halve
4 halve
6 halve
8 halve
10 halve
er det samme som
er det samme som
er det samme som
er det samme som
er det samme som
1 hel.
2 hele
3 hele
4 hele
5 hele
Skal vi skrive dette i et mer matematisk språk, blir det:
2
2
4
2
6
2
8
2
10
2
=
1
=
2
=
3
=
4
=
5
Men hvor ble det av dette med at en brøk er et tall som er mindre enn 1?
Vel, det holdt som en forklaring innledningsvis, men nå trenger vi en litt mer
nøyaktige bruk av ord:
B - 15
Vi sa jo tidligere at en brøk der teller er like stor som nevner er det samme som
en hel.
Nå kan vi gå litt videre og si at vi kan snakke om to forskjellige brøker: Ekte
og uekte brøker.
I en ekte brøk er telleren mindre enn
3
nevneren. Som for eksempel .
4
Ekte brøk: Teller er mindre
enn nevner
I en uekte brøk er telleren større enn
nevneren. Da ser vi at tallinjen at tallet er
større enn en hel.
Uekte brøk: Teller er større
enn nevner
Og når vi først er kommet så langt, er det
ett uttrykk til som vi trenger å nevne:
Blandet tall. Et blandet tall består av både
hele og en ekte brøk.
Blandet tall: Et heltall og en
ekte brøk.
Vi så jo tidligere at 3 hele og en halv kunne skrives som en uekte brøk
7
1
( ), men det er jo ofte mer hensiktsmessig å skrive det som 3 . Dette leses
2
2
”Tre og en halv”.
Å legge
sammen
brøker
3
Å LEGGE SAMMEN BRØKER
Vi vet at to halve epler til sammen blir et helt eple. Når vi skal skrive dette som
et regnestykke, blir det:
1
1
+ =1
2
2
B - 16
Dette vet vi jo er riktig. Samtidig vet vi at en hel er det samme som 2 halve.
Det skriver vi slik:
2
1=
2
Når vi legger sammen 2 halve får vi altså…2 halve:
1
1
2
+ =
2
2
2
Dette er greit å forstå. Vi skal se på litt andre brøker for å gjøre det tydeligere
hva som skjer når vi legger sammen brøker. For oversiktens skyld deler jeg det
opp i 3 avsnitt: Brøker med samme nevner, brøker med forskjellige nevnere og
blandede tall.
3.1
Brøker med samme nevner
Addisjon med 2 halve er oversiktelig og greit. Men la oss nå se på litt andre
brøker. Som første eksempel bruker jeg firedeler – altså brøker der en hel er
delt i 4:
Eksempel:
1
2
+
=
4
4
Eksempel 1: Trinn a
Vi kan gjøre regnestykket tydelig ved å tegne det:
+
1
4
+
=
2
4
=
B - 17
Brøker
med
samme
nevner
Svaret er lett å se:
Eksempel 1: Trinn b
+
1
4
+
=
2
4
=
3
4
Når vi ikke tar med tegningene ser vi regnestykket:
1
2
3
+ =
4
4
4
Fra før vet vi at 1 + 2 = 3. Vi vet også at 1 eple + 2 epler = 3 epler.
Nå ser vi at 1 firedel + 2 firedeler = 3 firedeler.
Vi kan på en måte si at nevneren i en brøk ligner mye på en benevning. De to
ordene er jo ganske like også.
Men er det så enkelt å legge sammen brøker? La oss sjekke med et annet
eksempel, der vi bruker litt større brøker:
B - 18
Eksempel 2: Trinn a
+
4
9
=
3
9
+
=
Vi kan bruke flere metoder for å legge sammen 4 nideler og 3 nideler. En
sikker metode når det gjelder så små tall er å telle. Da ser vi at svaret blir 7
nideler.
Eksempel 2: Trinn b
+
4
9
+
=
3
9
=
7
9
Disse to enkle eksemplene viser altså at man kan betrakte nevneren som en
form for benevning, og at man i grunnen bare trenger å tenke på tellerne. Av
dette kan man lage en enkel regel:
B - 19
REGEL

Når vi adderer brøker, legger vi sammen tellerne og
beholder nevnerne.
Men da må vi samtidig huske på at vi i begge de to eksemplene har lagt
sammen brøker som har hatt den samme nevneren.
Henter vi frem sammenhengen mellom nevner og benevning, kan vi utdype
dette litt:
Vi hadde ikke klart å legge sammen 2 tall dersom de hadde ulike benevninger.
Hvor mye er 2 kg + 3 meter? Eller Hvor mye er 7 baller + 6 hoppetau? Ser du
at det blir umulige regnestykker?
Det er på samme måte med brøk. Vi kan ikke legge sammen 2 firedeler + 6
nideler!
Altså kan vi lage enda en viktig regel:
REGEL

Man kan bare addere brøker med like nevnere.
B - 20
Hvis
nevnerne
ikke er
like
3.2
Hvis nevnerne ikke er like
Men hva gjør vi da hvis vi skal legge sammen to brøker som ikke har den
sammen nevneren?
Da må vi gjøre om en eller begge av de to brøkene slik at nevnerne blir like.
Før jeg viser eksempler på hvordan det gjøres, må jeg minne om det som er
sagt tidligere. Det finnes noe som heter ensartede brøker. Altså brøker som er
forskjellige fordi de har ulike nevnere, men som har like stor verdi. (Se tabell
på side B – 10).
Hvis du studerer tabellen på side B – 10, vil du blant annet se dette:
1
2
1
4
2
4
2
8
=
=
=
=
3
6
3
12
=
=
4
8
4
16
=
=
5
10
5
20
La oss nå si at vi skal legge sammen to brøker der den ene brøken er todeler og
den andre brøken er firedeler. La oss ta
I tabellen ser vi at
1
1
+
.
4
2
1
2
= .
2
4
Dette kan vi benytte oss av. Vi kan bytte ut
1
2
med . Det kaller vi altså å
2
4
utvide brøken. Da får vi dette regnestykket:
2
3
1
+ =
4
4
4
Det er altså likevel mulig å legge sammen brøker med forskjellige nevnere.
Men bare dersom vi klarer å gjøre om brøkene slik at de har en felles nevner.
Vi kaller det å finne fellesnevneren.
B - 21
3.2.1
Å finne en felles nevner
Regelen om at vi bare kan legge sammen brøker der nevneren er like holder
fortsatt. Så hvis vi har brøker som ikke har samme nevner, må vi gjøre noe med
dem, slik at de får like nevnere før vi kan legge dem sammen.
REGEL

For å legge sammen to brøker som ikke har samme
nevner, må du finne fellesnevneren.
Vi trenger en metode for å gjøre om brøkene slik at nevnerne blir like. Den
metoden kaller vi å finne fellesnevneren. Vel, det er ikke bare en, men flere
metoder vi kan bruke. La oss se på tre av dem:
Metode 1:
Vi har sett at vi kan forandre nevneren i den ene brøken slik at den får den
samme nevneren som den andre. Eksemplet vi brukte for å se at det kunne
1
2
3
1
1
være mulig var
+
, som ble til
+ = . Her har vi altså utvidet den
4
4
4
2
4
første brøken med 2, slik at todeler ble til firedeler.
Nå skal vi se på hvordan denne utvidelsen av den ene brøken utføres i et
regnestykke. Vi skal bruke et annet eksempel, nemlig
2
3
+
=
5
15
Når vi ser på de to nevnerne, ser vi at den ene er tre ganger den andre (15 er tre
ganger 5). Altså må vi utvide brøken med 5 i nevneren med 3. Det gjør vi slik:
B - 22
Å finne
en
felles
nevner
Vi ganger både teller og nevner med 3:
Eksempel 3
23
2
3
3
+
=
+
=
53
5
15
15
Deretter regner vi ut den nye telleren og den nye nevneren:
6
2
3
23
3
3
+
=
+
=
+
=
5
15
53
15 15
15
Nå har vi fått en addisjon med to brøker med samme nevner, nemlig 15:
9
2
3
23
3
6
3
+
=
+
=
+
=
5
15
53
15 15
15 15
REGEL

Å finne fellesnevner 1: Gange (eller dele) både teller
og nevner i den ene brøken med det samme tallet.
Metode 2:
Metode 1 kan vi bare bruke dersom forholdet mellom de to nevnerne gir
mulighet for det. Vanligvis vil dette bety at de to nevnerne befinner seg i den
samme gangetabellen. For eksempel: 2 -4 – 6 – 8 – 10 o.s.v. finner vi i 2gangen. 3 – 6 – 9 – 12 o.s.v. finner vi i 3-gangen. Men mange tall gjør jo ikke
det. Ta for eksempel 3 og 7. De to tallene finner vi jo ikke i den samme
gangen. Da må vi ha en annen metode. Da tenker vi slik:
Det er fortsatt mulig å utvide brøkene. Vi vet jo at 3  7 = 21. Samtidig vet vi at
7  3 = 21. Med andre ord: Hvis vi kan utvide begge brøkene slik at begge
nevnerne blir 21, så har vi oppfylt regelen om at bare brøker med samme
nevner kan legges sammen. La oss prøve:
B - 23
Eksempel 4
1
3
+
=
3
7
Det første vi gjør er altså å utvide brøkene. Den første brøken med 7, fordi det
er nevneren i den andre brøken:
1 7
1
3
3
+
=
+
=
37
3
7
7
Og så den andre brøken. Den utvider vi med 3, fordi nevneren i den første
brøken er 3:
33
1
3
1 7
+
=
+
=
7 3
3
7
37
Sånn. Nå kan vi regne ut de to nye brøkene:
7
9
1
3
1 7
33
+
=
+
=
+
=
21
21
3
7
37
7 3
Og nå skal det gå ganske greit å legge sammen de to brøkene:
16
1
3
1 7
33
7
9
+
=
+
=
+
=
21
3
7
37
7 3
21
21
Og dermed har vi skaffet oss en regel for metode 2, også:
REGEL

Å finne fellesnevner 2: Gange både teller og nevner
med nevneren i den andre brøken.
B - 24
Metode 3:
Metode 2 kan vi alltid bruke. Men er du god på gangetabellen, vil det jo lønne
seg å bruke metode 1 der den kan passe.
Men så hender det når du bruker metode 2 at fellesnevneren blir veldig stor, og
utregningen av den grunn blir lite oversiktelig. Særlig skjer dette hvis du skal
legge sammen 3 eller flere brøker. Se på dette eksemplet:
1
3
2
+
+
=
8
6
9
Her må du gange inn alle de tre nevnerne.
Fellesnevneren blir derfor 8  6  9 = 432. Og det er jo ganske vanskelig å regne
med en slik nevner.
Da bruker vi metode 3. Da trenger du å forstå faktorisering.
Faktorisering er nøye forklart i et eget kapittel.
Hele metoden går ut på å finne frem til de faktorene som trengs for å finne
igjen alle tre nevnerne i en fellesnevner. Vi kaller det ”minste felles
multiplum”. Det betyr det minste tallet som alle de tre nevnerne går opp i.
For å forstå dette trenger vi et eksempel før vi går videre:
Se på tallet 12. Deler vi 12 opp i sine faktorer får vi:
12 = 2  2  3
Når vi ser på disse faktorene, vil vi se at det er flere tall som kan ha disse
faktorene:
4 = 2 2
6 = 2 3
I tillegg har vi de primtallene som inngår i faktoriseringen.
Dette betyr igjen at alle disse tallene – 2, 3, 4 og 6 kan inngå i fellesnevneren
12.
B - 25
La oss nå si at vi har 4 brøker som har hver sin nevner. Disse nevnerne er 2, 3,
4 og 6.
Skulle vi finne fellesnevneren etter metode 2, ville det altså blitt:
2  3  4  6 = 144
I stedet kan vi altså klare oss med 12 som fellesnevneren, fordi alle de fire
nevnerne finner sine faktorer i tallet 12.
Metode 3 går altså ut på å finne det minste tallet som alle de aktuelle nevnerne
går opp i. Det finner vi ved å være sikre på at nevnernes faktorer finnes i
fellesnevneren.
Fremgangsmåten blir slik:
Vi begynner med å faktorisere de tre nevnerne:
8 = 2 2 2
6 = 3 2
9 = 3 3
Så setter vi inn de faktorene som trengs for å finne igjen 8. Det er 3 totall:
8 = 2 2 2
6 = 3 2
9 = 3 3
FN: 2  2  2
Deretter setter vi inn de faktorene som mangler for å finne igjen 6. 6 er jo 3  2,
men siden vi allerede har faktoren 2, trenger vi bare et 3-tall:
8 = 2 2 2
6 = 3 2
9 = 3 3
FN: 2  2  2  3
Nå mangler vi bare 9. 9 faktoriseres i 3  3. Siden vi allerede har ett 3-tall,
trenger vi bare ett 3-tall til:
B - 26
8 = 2 2 2
6 = 3 2
9 = 3 3
FN: 2  2  2  3  3
Før vi regner ut fellesnevneren skal vi se litt nøyere på de faktorene som
fellesnevneren består av.
8-tallet, som er faktorisert i 2  2  2 kan vi finne igjen.
6-tallet, som er faktorisert i 2  3 kan vi finne igjen.
9-tallet, som er faktorisert i 3  3 kan vi finne igjen.
Altså kan vi finne igjen alle de tre nevnerne. Da kan vi regne ut
fellesnevneren:
8 = 2 2 2
6 = 3 2
9 = 3 3
FN: 2  2  2  3  3 = 72
Dermed fikk vi en fellesnevner som er mye enklere å handtere enn 432.
Men så skal dette brukes i brøkstykket vårt.
1
3
2
+
+
=
8
6
9
Eksempel 5 trinn a
Da ser vi først på
1
8
Hvis vi ser på faktorene i fellesnevneren, dekker vi 8-tallet med de tre
totallene. For å få 72, må vi altså gange 8 med resten – de to 3-tallene.
FN: 2  2  2  3  3 = 72
B - 27
Eksempel 5 trinn a forts.
Vi må altså gange 8-tallet med 3  3. 9  8 = 72
Eksempel 5 trinn b
Så ser vi på
3
. 6 tallet dekkes av 2  3. Altså står vi igjen med to 2-tall og et 36
tall.
FN: 2  2  2  3  3 = 72
Derfor må vi gange 6-tallet med 2  2  3. 12  6 = 72
Eksempel 5 trinn c
Til slutt ser vi på
2
. 9-tallet dekkes av 3  3. Dermed står vi igjen med de tre 29
tallene.
FN: 2  2  2  3  3 = 72
Derfor må vi gange 9-tallet med 2  2  2. 8  9 = 72
Nå vet vi hva hver enkelt nevner må ganges med for å få fellesnevneren 72. Da
er det bare å sette i gang.
Først utvider vi de tre brøkene:
B - 28
Eksempel 5 trinn d
1 9
3 12
2 8
1
3
2
+
+
=
+
+
=
89
9 8
6 12
8
6
9
Så regner vi ut de tre nye brøkene:
Eksempel 5 trinn e
9
36
16
1
3
2
1 9
3 12
2 8
+
+
=
+
+
=
+
+
=
72
72
72
8
6
9
89
9 8
6 12
Og til slutt regner vi ut svaret:
Eksempel 5 trinn f
61
1
3
2
1 9
3 12
2 8
9
36
16
+
+
=
+
+
=
+
+
=
72
8
6
9
89
9 8
72
72
72
6 12
Den tredje metoden kan vi også lage en regel for:
REGEL

Å finne fellesnevner 3: Finne felles faktorer i de to
nevnerne.
B - 29
Legge
sammen
en brøk
med et
blandet
tall
3.3
Legge sammen en brøk med et blandet tall
Det går greit for de fleste å legge sammen et helt tall med en brøk. Det blir på
en måte å lage et blandet tall. For eksempel:
3
3
+4=4
5
5
Litt annerledes blir det dersom du skal legge sammen et blandet tall og en brøk.
Det skal vi se på nå.
Vi kan ta som eksempel:
2
1
+4 =
6
6
Eksempel 6 trinn a
Her har de to brøkene den samme nevneren. Da kan vi kort og godt legge
sammen de to brøkene og beholde det hele tallet:
2
1
3
+4 =4
6
6
6
Dersom det skulle vise seg at brøken blir en uekte brøk, gjør vi denne om til
blandet tall, og legger de to heltallene sammen. Her er et eksempel på det:
5
3
+4 =
6
6
Legger sammen brøkene:
Eksempel 7 trinn a
5
3
8
+4 =4
6
6
6
B - 30
Gjør brøken om til blandet tall:
Eksempel 7 trinn b
5
3
8
2
+4 =4 =4+1
6
6
6
6
Legger sammen heltallene:
Eksempel 7 trinn c
5
3
8
2
2
+4 =4 =4+1 =5
6
6
6
6
6
I dette svaret ser vi at brøken kan forkortes, fordi både teller og nevner kan
deles på 2. Altså blir svaret:
Eksempel 7 trinn d
5
2
2:2
1
=5
=5
6
3
6:2
Dersom brøken og det blandede tallet har forskjellige nevnere, må vi finne
fellesnevneren. Vi tar med et eksempel på hvordan det kan gjøres:
B - 31
Eksempel: 4
2
2
+
=
3
5
Her ser vi at fellesnevneren blir 15. Da må vi regne om brøkene:
Eksempel 8 trinn a
4
2
2
25
23
+ =4
+
=
3
5
35
53
Så må vi regne ut de nye brøkene:
Eksempel 8 trinn b
4
2
2
25
23
10
6
+ =4
+
= 4
+
=
3
5
35
53
15 15
Og nå kan vi legge sammen de to tallene:
Eksempel 8 trinn c
4
2
2
25
23
10
6
16
+ =4
+
=4
+
= 4
=
3
5
35
53
15 15
15
Vi ser at brøken i svaret blir en uekte brøk. Altså gjør vi den om til blandet tall:
Eksempel 8 trinn d
4
2
2
25
23
10
6
16
1
+ =4
+
=4
+
= 4 = 4+1
=
3
5
35
53
15 15
15
15
B - 32
Og til slutt legger vi sammen de hele tallene:
Eksempel 8 trinn e
4
Å legge
sammen
blandede
tall
3.4
2
2
25
23
10
6
16
1
1
+ =4
+
=4
+
= 4 =4+1
=5
3
5
35
53
15 15
15
15
15
Legge sammen blandede tall
Hvis du vet hvordan du skal legge sammen en brøk med et blandet tall, er det
ingen stor kunst å legge sammen to eller flere blandede tall. Fremgangsmåten
blir akkurat den samme:
1.
2.
3.
4.
Dersom brøkene har ulike nevnere finner du fellesnevneren
Du regner ut de nye brøkene
Du legger sammen heltallene hver for seg
Dersom brøken i svaret blir en uekte brøk gjør du denne om til et blandet
tall og legger heltallet til de andre hele i svaret.
5. Dersom brøken i svaret kan forkortes gjør du det.
I eksemplet velger jeg to blandede tall med forskjellige nevnere: 3
4
2
+5 =
6
5
Eksempel 9
1. Jeg ser at fellesnevneren blir 30:
3
4
2
45
26
+5 = 3
+5
=
6
5
65
56
2. Jeg regner ut de nye brøkene
3
4
2
45
26
20
12
+5 =3
+5
=3
+5
=
6
5
65
30
56
30
3. Jeg regner ut heltallene og brøkene hver for seg:
B - 33
Eksempel 9 forts.
3
4
2
45
26
20
12
32
+5 =3
+5
=3
+5
=8
=
6
5
65
30
56
30
30
4. Jeg gjør den uekte brøken i svaret om til blandet tall
3
4
2
45
26
20
12
32
2
+5 =3
+5
=3
+5
=8
=8+1
=
6
5
65
30
56
30
30
30
Og legger de hele tallene sammen:
3
4
2
45
26
20
12
32
2
2
+5 =3
+5
=3
+5
=8
=8+1
=9
=
6
5
65
30
56
30
30
30
30
5. Brøken kan forkortes ved å dele teller og nevner på 2:
3
Å
trekke
en brøk
fra et
annet
tall
4
1
4
2
45
26
20
12
32
2
2
+5 =3
+5
=3
+5
=8
=8+1
=9
=9
6
5
65
30
56
30
30
30
30
15
Å TREKKE EN BRØK FRA ET ANNET
TALL
Hvis du vet hvordan du skal legge sammen to brøker, har du også grunnlaget
for å kunne trekke en brøk fra en annen brøk. Hovedregelen er den samme:
Brøkene må ha samme nevner.
Det blir også den samme fremgangsmåten dersom brøkene i et minusstykke har
ulike nevnere: Du må finne fellesnevneren.
Du finner en liten utfordring når vi snakker om hele tall og blandede tall. Vi
skal derfor se på disse to nye utfordringene.
B - 34
4.1
Å trekke en brøk fra et helt tall
Se på dette regnestykket: 4 -
3
=
7
Det er ikke uten videre greit å se hvordan dette kan regnes ut. Vel – i et slikt
tilfelle er det greit å huske på at 4 = 3 + 1.
Å
trekke
en brøk
fra et
helt tall
For å regne ut eksemplet kan du derfor gjøre den ene av de fire om til brøk. Når
du gjør det vil det være klokt å bruke den samme nevneren som du allerede har.
I dette tilfelle er det sjudeler. Da får du:
4-
3
7
3
=3
- =
7
7
7
Nå har du et heltall, nemlig 3, som du kan føre direkte over til svaret, fordi det
ikke er noe annet heltall som skal trekkes fra. Og så har du 7 sjudeler – 3
sjudeler. Altså:
4-
3
7 3
4
=3 - = 3
7
7 7
7
Og mer er det i grunnen ikke….
4.2
Å trekke en brøk fra et blandet tall
Her kan det dukke opp ulike utfordringer:
1. Tallene kan ha ulike nevnere
2. Brøken i det blandede tallet kan være mindre enn den andre brøken.
Her skal jeg gi eksempler på begge disse utfordringene. Først: Brøkene har
ulike nevnere.
B - 35
Å
trekke
en brøk
fra et
blandet
tall
Vi bruker små og oversiktelige tall i det første eksemplet:
1 1
4 - =
3 4
Her ser vi at fellesnevneren blir 12:
Eksempel 10 trinn a
4
1 1
1 4 1 3
- = 4
=
3 4
3 4 4 3
Når vi regner ut, får vi:
Eksempel 10 trinn b
4
1 1
1 4 1 3
4
3
- =4
= 4
=
3 4
3 4 4 3
12 12
Og svaret blir:
Eksempel 10 trinn c
4
1 1
1 4 1 3
4
3
1
- =4
=4
= 4
3 4
3 4 4 3
12 12
12
I utfordring nr. 2, der den første brøken viser seg å være mindre enn den andre,
må vi legge inn den samme teknikken som vi brukte i kap. 4.1, nemlig å gjøre
en del av heltallet om til brøk.
Eksempel: 5
1 3
- =
4 4
B - 36
Vi tar den ene av de 5 hele og gjør om til en brøk:
5 hele = 4
4
4
4
1
i tillegg til brøken .
4
4
5
Det blir til sammen .
4
1
5
Altså er 5 = 4 .
4
4
Nå har vi brøken
Dette kan vi sette inn i regneeksemplet vårt.
Eksempel 11 trinn a
5
1 3
5 3
- = 4 - =
4 4
4 4
Og nå kan det regnes ut på vanlig måte:
Eksempel 11 trinn b
5
1 3
5 3
2
- =4 - = 4
4 4
4 4
4
I dette svaret har vi fått en brøk der teller og nevner kan deles på 2. Altså
forkorter vi:
Eksempel 11 trinn c
5
1 3
5 3
2:2
1
- =4 - = 4
=4
4 4
4 4
2
4:2
B - 37
Når
begge
tallene
er
blandet
tall
4.3
Når begge tallene er blandet tall
Det siste forholdet jeg skal vise når det gjelder subtraksjon og brøk er når
begge tallene er blandede tall. Det blir for så vidt en kombinasjon av hva som
tidligere er vist, så i dette eksemplet setter jeg opp et regnestykke der vi tar
med så mange utfordringer som mulig. Det betyr:
1. Ulike nevnere
2. Den første brøken er mindre enn den andre
3. Svaret må forkortes.
Eksemplet jeg vil bruke er dette: 5
2
2
-2 =
4
3
Vi ser at fellesnevneren må bli 12. Altså gjør vi først om de to brøkene. Legg
merke til at jeg hele tiden beholder de hele tallene:
Eksempel 12 trinn a
5
2
2
23
24
-2 = 5
-2
=
4
3
43
3 4
Så regner jeg ut de nye brøkene:
Eksempel 12 trinn b
5
2
2
23
24
6
8
-2 =5
-2
= 5
-2
=
4
3
43
12
12
3 4
Her ser vi at brøken i det første tallet er mindre enn den andre brøken. Altså må
jeg gjøre om en av de fem hele til brøk og legge denne brøken til:
Eksempel 12 trinn c
5
2
2
23
24
6
8
18
8
-2 =5
-2
=5
-2
= 4
-2
=
4
3
43
12
12
12
12
3 4
B - 38
Og så er det i grunnen bare å regne ut:
Eksempel 12 trinn a
5
2
2
23
24
6
8
18
8
10
-2 =5
-2
=5
-2
= 4
-2
= 4
4
3
43
12
12
12
12
12
3 4
Vi ser at brøken i svaret kan forkortes med 2:
Eksempel 12 trinn a
5
5
2
2
23
24
6
8
18
8
10
5
-2 =5
-2
=5
-2
= 4
-2
= 4
= 4
4
3
43
12
12
12
12
12
6
3 4
GANGING MED BRØK
Når vi kommer til ganging og deling med brøk, nærmer vi oss grensen for hva
elevene lærer på barnetrinnet. De fleste er nok inne på noe ganging, men svært
sjelden blir deling av brøk noe tema før ungdomsskolen.
Når jeg likevel tar det med her, er det av to grunner:
1. Mange elever vil komme så langt, og av hensyn til dem vil det være nyttig
å gå litt lenger enn hva lærebøkene har tatt med.
2. Det er nyttig for den store sammenhengen å se på hvordan man behandler
brøk med alle de fire regneartene (pluss, minus, gange og dele).
Mye av dette stoffet er ganske teoretisk, for ikke å si abstrakt. Mange har for
eksempel den forestilling at når du ganger, så vil svaret bli større, og når du
deler blir svaret mindre. Det er ikke alltid riktig, og det vil være en utfordring
for mange å forstå dette, og følge med på tenkemåten. Jeg forsøker derfor å
bruke praktiske og håndfaste eksempler i starten av hver av disse to kapitlenes
underkapitler.
B - 39
Ganging
med
brøk
Gange et
helt tall
med
brøk
5.1
Gange et helt tall med en brøk
Tenk deg at du har et halvt eple.
Hvor mange epler vil du ha hvis du ganger det med 1?
Svar: Hvis du ganger et halvt eple med 1, vil du fortsatt ha et halvt eple!
Hovedregelen er at å gange et tall med 1 ikke vil gi noen forandring. Tenk litt
på det: Hva skjer med 4  1? Det blir fortsatt 4. Slik er det også når det gjelder
brøk.
Men hva skjer hvis du har et halvt eple og ganger det med 2?
Da vil du ha 2 halve epler, og det er jo 1.
Regneeksemplet blir slik:
Eksempel 13 trinn a
1
 2=1
2
Vel, i virkeligheten vil du vel egentlig ha 2 halve epler, ikke sant? Så
regnestykket vårt vil faktisk se slik ut:
Eksempel 13 trinn b
1
2
 2=
2
2
Men så vet vi jo fra før at en brøk der teller og nevner er like, har verdien 1.
Altså får vi til slutt dette regnestykket:
Eksempel 13 trinn c
1
2
 2= =1
2
2
B - 40
Hva hvis du har et halvt eple og ganger det med 4?
Vel, da har du jo fire halve, og hvor mye er egentlig det?
Nettopp! Da får du 2 hele. Slik blir regnestykket:
Eksempel 14 trinn e
1
4
 4= =2
2
2
Hva er det som skjer, rent teknisk her? Jo hvis du studerer de to eksemplene,
vil du kunne se at vi har ganget telleren med det hele tallet, mens nevneren blir
den samme. Og det er hele teknikken når det gjelder å gange en brøk med et
helt tall. Det er så pass greit at vi kan lage en regel om det:
REGEL

Når vi ganger en brøk med et helt tall, ganger vi
telleren med tallet og beholder nevneren.
Det er en vanlig oppfatning at svaret blir større når vi ganger, og mindre når vi
deler. I de to eksemplene (Eksempel 13 og 14) har vi sett det motsatte: Hvis vi
ganger 4 med en halv, blir svaret 2 – altså mindre!
Men så har vi jo også sett eksempel på at tallet ikke endrer seg! Det er hvis vi
ganger et tall med 1.
Hvis svaret skal blir større må vi gange med et tall som er større enn 1. Men
hva skjer hvis vi ganger med et tall som er mindre enn 1, altså en brøk? Jo, da
blir det som vi så i de to eksemplene: Da blir svaret mindre. Dette kan vi også
lage en huskeregel på:
REGEL

..et tall som er større enn 1, blir svaret større.
..1, blir svaret det samme.
..et tall som er mindre enn1 (en brøk), blir svaret mindre.
Hvis vi ganger med:
B - 41
Gange
en brøk
med
brøk
5.2
Gange en brøk med en brøk
Men ikke før har vi lært en ny regel, så dukker det opp noe som skaper
problemer. La oss først se på et eksempel der vi ganger en brøk med en brøk:
Og vi kan godt holde oss til hele og halve epler:
Hva skjer hvis du ganger et helt eple med en halv?
1 
1
1
=
2
2
Nettopp! Svaret blir en halv. I vanlig norsk er dette greit å forstå. Hvis du
spiser et eple i to omganger – først et halvt og så senere et halvt, så har du i
første omgang spist et helt eple en halv gang. Altså har du spist et halvt eple.
Men hva skjer hvis du også spiser det halve eplet i to omganger – først
halvparten, og senere den andre halvparten?
Da har du faktisk spist det første halve eplet i to omganger, ikke sant?
Når du da har spist den halvparten av det første halve eplet, så har du spist:
1
1
 =
2
2
La oss tegne det før vi går videre:
1
2
1
2
Her er eplet som vi først har delt i to halve.
B - 42
Men så skal vi altså dele den første halvparten i to halve:
1
2
Da er det gjort. Og så spiser vi halvparten av det første halve eplet:
1
2
Sånn! Der er det spist.
Nå er altså spørsmålet: Hvor mye av eplet har vi nå spist. Vi har delt eplet i to
deler, og spist halvparten av den første delen.
Regnestykket vårt var:
1
1
 =
2
2
Og på tegningen kan vi se svaret, nemlig at vi har spist en firedel av eplet.
Så hvordan kommer vi matematisk frem til at svaret skal bli en firedel, altså
1
1
1
 =
2
2
4
Vel, svaret på det spørsmålet blir at vi ganger telleren i den første brøken med
telleren i den andre brøken. Og vi ganger nevnerne med hverandre.
B - 43
Av dette kan vi lage en regel for hvordan vi ganger en brøk med en brøk:
REGEL

Gange
en brøk
med et
blandet
tall
5.3
Når vi ganger en brøk med en brøk, ganger vi
tellerne med teller, og nevnerne med nevner.
Gange en brøk med et blandet tall
Vi vet fra før at et blandet tall består av et heltall og en ekte brøk. Vi vet også
at et heltall kan skrives som en uekte brøk, nemlig slik at telleren er større enn
nevneren.
Det er denne kunnskapen vi benytter oss av når vi skal gange en brøk med et
blandet tall. Se på dette eksemplet:
Eksempel 15 trinn a
2
3 2

=
5 6
Tar vi i bruk det vi vet, forstår vi at 2 hele er det samme som ti femdeler:
Vi gjør altså de hele om til uekte brøk:
Eksempel 15 trinn b
2
3 2
10 3 2
=
+
=


5 6
5
5 6
Og så kan vi legge sammen den ekte og den uekte brøken i det første tallet:
Eksempel 15 trinn c
2
3 2 13
2


=
=
5 6
5
6
B - 44
Og nå har vi jo to brøker som skal ganges med hverandre. Da bruker vi regelen
vi har lært, nemlig å gange tellerne med hverandre og nevnerne med hverandre:
Eksempel 15 trinn d
2
3 2 13
2 13  2
=
=
=


5 6
5
6
56
Og så kan vi regne ut svaret:
Eksempel 15 trinn e
2
3 2 13
2 13  2
26
=
=
=


5 6
5
6
30
56
Vi ser at både teller og nevner i svaret kan deles på 2. Altså forkorter vi:
Eksempel 15 trinn f
2
3 2 13
2 13  2
26
26 : 2 13


=
=
=
=
=
5 6
5
6
30
30 : 2 15
56
Nå er nok dette en litt unødvendig tungvint fremgangsmåte. Jeg har vist den for
å vise frem tenkingen fra trinn til trinn. Men det går altså an å gjøre dette litt
enklere.
Men før jeg viser det, skal vi se litt på hvordan vi gjør om et blandet tall til en
uekte brøk. Det er nemlig her hemmeligheten bak forenklingen ligger!
Et blandet tall består av et heltall og en ekte brøk. Når vi gjør heltallet om til
brøk, ser vi først på nevneren i den ekte brøken. I eksempel 15 er nevneren 5.
Da vet vi at en hel består av 5 femdeler. Dermed vet vi også at 2 hele = 10
femdeler. Og 3 hele = 15 femdeler.
Ser du hva som skjer? Vi ganger rett og slett heltallet med nevneren!!
Når vi gjør heltallet om til en uekte brøk er det altså den ekte brøken som
bestemmer nevneren. Og for å finne telleren, ganger vi nevneren med heltallet!
B - 45
Men så var det den ekte brøken, da. Den må vi også få med.
Hvis du studerer trinn b i eksempel 15, vil du se at vi legger den til den uekte
brøken. Altså får vi et plusstykke av den uekte og den ekte brøken.
Når vi legger sammen to brøker med samme nevner, legger vi sammen tellerne
og beholder nevneren. I eksempel 15 blir tellerne 10 + 3 = 13, og nevneren blir
5.
Alt dette kan vi gjøre i én operasjon:
Gange nevneren med heltallet og legge til telleren.
Gange et
blandet
tall med
et
blandet
tall
5.4
Gange et blandet tall med et blandet tall
Nå skal jeg vise dette i et eksempel, men jeg har lyst til å utvide utfordringen
litt. Jeg vil nemlig vise hvordan man ganger to blandede tall med hverandre!
Det blir nøyaktig den samme fremgangsmåten. Den eneste forskjellen er at vi
må tenke på begge tallene samtidig. Så pass på!
Her er eksemplet: 4
2
3
3 =
3
5
Det første vi gjør er altså å gjøre blandede tall om til uekte brøker:
For den første brøken tenker vi altså: 3  4 = 12, og så legger vi til 2, og for den
andre brøken tenker vi 5  3 = 15, og så legger vi til 3. Slik:
Eksempel 16 trinn a
4
2
3
14 18
=
3 =

3
5
3
5
Og så ganger vi teller med teller og nevner med nevner:
Eksempel 16 trinn b
4
2
3 14 18
252
3 =

=
=
3
5
3
5
15
B - 46
Vi ser at dette er en uekte brøk. Vi må finne ut hvor mange hele dette er. Siden
brøkstreken er et deletegn så regner vi ut brøken:
Men før vi regner ut, er det klokt å se om brøken kan gjøres litt enklere, om
den kan forkortes. Det er flere måter å betrakte tallene på. En måte er å
faktorisere dem. En annen måte er å se om de to tallene kan deles på det
samme primtallet. Akkurat her kan begge tallene deles på 3
Hvordan man kan se det er beskrevet i kapitlet om Hoderegning.
Så vi deler teller og nevner på 3:
Eksempel 16 trinn c
4
2
3 14 18
252
84
=
=
=
3 =

3
5
3
5
15
5
Dermed har vi fått tall som er mye enklere å finne ut av:
Eksempel 16 trinn d
4
2
3 14 18
252
84
4
=
=
= 16
3 =

3
5
3
5
5
15
5
Og der er vi i mål!
6
DELING MED BRØK
På samme måte som når det gjelder å gange med brøk, utfordres vi i forhold til
vante forestillinger når det gjelder deling med brøk. Vi er vant til at et tall blir
mindre når vi deler. Akkurat på samme måte som for ganging vil det handle
om at vi deler på tall som er større enn, er lik eller er mindre enn 1. Husker du
regelen nederst på side 41? Siden ganging og deling er motsatte
regneoperasjoner, vil regelen bli nøyaktig motsatt av den vi hadde for ganging:
B - 47
Deling
med
brøk
REGEL

..et tall som er større enn 1, blir svaret mindre.
..1, blir svaret det samme.
..et tall som er mindre enn1 (en brøk), blir svaret større.
Hvis vi deler med:
La oss se på dette ved hjelp av et eksempel:
La os si at du har 3 liter saft. De skal helles over på flasker. Vi har ulike
størrelser av flasker. En flaskestørrelse tar 1 liter, en annen tar 3 liter og en
tredje tar en halv liter. Spørsmålet er hvor mange flasker vi får når vi deler 3
liter saft på de ulike flaskestørrelsene.
3L
…skal deles på flasker som rommer
3L
1
L
1
2
Da får vi tre ulike delestykker:
B - 48
Når vi skal helle saften over på den store 3-liters flasken får vi:
3:3=1
Svar: Vi trenger 1 flaske for å helle 3 liter saft over på en 3liters flaske
Når vi skal helle saften over på litersflasker, blir regnestykket:
3:3=3
Svar: Vi trenger 3 flasker for å helle 3 liter saft over på liters
flasker
Når vi skal helle saften over på halvlitersflasken, blir regnestykket:
3:
1
=6
2
Svar: Vi trenger 6 flasker for å helle 3 liter saft over på
halvliters flasker.
Eksemplet med de tre flaskestørrelsene bekrefter med andre ord regelen.
Også når det gjelder deling med brøk må vi se på tre ulike forhold:
1. Når vi skal dele et helt tall på en brøk
2. Når vi skal dele en brøk på en brøk
3. Når vi skal dele et blandet tall på en brøk.
Vi skal se om det går an å lage regler for alle disse tre forholdene.
6.1
Dele et helt tall på en brøk
Vi har jo gjennom eksempel sett at svaret blir større enn tallet, dersom vi deler
et heltall på en brøk. La oss se litt nærmere på eksemplet vi brukte
Eksempel 17 trinn a
3:
1
=6
2
Se på de ulike sifrene som er med i dette delestykket. Du finner et 3-tall, et 1tall (telleren), et 2-tall (nevneren) og et 6-tall.
B - 49
Dele et
helt tall
på en
brøk
Det er en lang og vanskelig vei å gå for å bevise fremgangsmåte matematisk.
Det ligger langt utenfor barneskolens pensum å forstå dette. Jeg nøyer meg
med å fortelle hva resultatet av beviset er:
Eksempel 17 trinn b
3:
1
2
= 3
=
2
1
Her er deletegnet byttet ut med gangetegn. Samtidig har telleren og nevneren
byttet plass. Vi kaller det ”å gange med den omvendte brøken”. Så bruker vi
regelen midt på side 41: Når vi ganger et helt tall med en brøk, ganger vi tallet
med telleren og beholder nevneren:
Eksempel 17 trinn c
3:
1
2
6
= 3
=
=
2
1
1
6
er en uekte brøk, så vi gjør dette svaret om til et helt tall:
1
Eksempel 17 trinn d
3:
1
2
6
= 3
=
= 6
2
1
1
Av dette eksemplet forstår vi at vi kan lage en regel:
REGEL

Når vi deler et heltall med en brøk, ganger vi tallet
med den omvendte brøken.
B - 50
La oss prøve dette med en brøk der telleren ikke er 1:
Eksempel 18 trinn a
5:
4
=
7
Vi ganger med den omvendte brøken:
Eksempel 18 trinn b
5:
4
7
= 5
7
4
=
Og så kan vi regne ut:
Eksempel 18 trinn c
5:
4
7
35
= 5
=
7
4
4
Dette svaret er en uekte brøk, så vi gjør det om til blandet tall:
Eksempel 18 trinn d
5:
4
7
35
3
= 5
=
=8
7
4
4
4
Når vi skal dele på en brøk, er altså hovedregelen at vi ganger med den
omvendte regelen. Men så må vi se på fremgangsmåten når vi bytter ut heltallet
med en brøk, og når en eller begge tallene er blandet tall:
Men før vi gjør det, vil jeg gjøre det litt enklere å følge med i forklaringene ved
å innføre noen nye ord:
B - 51
Det er nemlig slik at de ulike leddene i et delestykke har ulike navn (i
matematikken er det ofte slik).
Det tallet som skal deles, kalles dividend, mens det tallet vi skal dele på kalles
divisor. Svaret i et delestykke kalles kvotient (uttales: kvosient). Dette kan vi
sette opp slik:
Dividend : divisor = kvotient
Smak på denne setningen: Du tar altså telleren i den første brøken og ganger
med telleren i den andre brøken.
Og så smaker du på denne setningen: Du ganger telleren i dividenden med
telleren i divisoren.
Jeg håper at du synes den siste setningen smakte best. Det er nemlig fort gjort å
gå litt i surr når det blir ”den første brøken” og ”den siste brøken” for mange
ganger.
Så jeg vil bruke ordene dividend og divisor heretter.
Dele en
brøk på
en brøk
6.2
Dele en brøk på en brøk
Nå skal vi bruke divisjonsregelen i en oppgave der heltallet er byttet ut med en
brøk. La oss se gå rett på et eksempel:
Eksempel 19 trinn a
3 2
:
=
4 3
Vi skal altså gange med den omvendte brøken:
Eksempel 19 trinn b
3 2
3
3
:
=
=

4 3
4
2
B - 52
Legg merke til at det er divisoren vi skal snu på. Dividenden gjør vi ingenting
med.
Vi har lært fra regelen øverst på side 44 at vi skal gange tellerne med hverandre
og nevnerne med hverandre. Da får vi
Eksempel 19 trinn c
3 2
3
3
33
:
=
=
=

4 3
4
2
42
Og dette kan vi regne ut:
Eksempel 19 trinn d
3 2
3
3
33
9
:
=
=
=

4 3
4
2
8
42
Vi ser at svaret blir en uekte brøk. Den gjør vi om til blandet tall:
Eksempel 19 trinn e
3 2
3
3
33
9
1

:
=
=
= = 1
4 3
4
2
8
8
42
6.3
Dele et blandet tall på en brøk
Vi bruker den samme regelen, men her må vi først gjøre om dividenden til en
uekte brøk. Her går vi også rett løs på eksemplet:
Eksempel 20 trinn a
4
2 2
:
=
6 5
B - 53
Dele et
blandet
tall på
en brøk
Vi gjør om dividenden til uekte brøk. Fremgangsmåten er beskrevet i eksempel
15 og forklart på side B - 45:
Eksempel 20 trinn b
4
2 2
26 2
:
=
:
=
6 5
6
5
Nå kan vi gange med den omvendte brøken (divisoren):
Eksempel 20 trinn c
4
2 2
26 2
26
5
:
=
:
=
=

6 5
6
5
6
2
…og så regner vi ut:
Eksempel 20 trinn d
4
2 2
26 2
26
5
26  5

:
=
:
=
=
6 5
6
5
6
2
62
4
2 2
26 2
26
5
130
:
=
:
=
=

6 5
6
5
6
2
12
Eksempel 20 trinn e
Svaret er en uekte brøk, så den gjør vi om til blandet tall:
Eksempel 20 trinn f
4
2 2
26 2
26
5
130
10

:
=
:
=
=
= 10
6 5
6
5
6
2
12
12
B - 54
Til slutt forkorter vi svaret, siden både teller og nevner kan deles på 2:
Eksempel 20 trinn g
4
6.4
2 2
26 2
26
5
130
10
5
:
=
:
=
=
= 10
= 10

6 5
6
5
6
2
12
12
6
Dele et blandet tall på et blandet tall
Det er fortsatt den samme regelen som gjelder. Forskjellen er bare at nå må
både dividend og divisor gjøres om til uekte brøker.
Eksempel 21 trinn a
5
2
4
:3 =
7
6
Vi gjør først tallene om til uekte brøker:
Eksempel 21 trinn b
5
2
4
37 22
:3 =
:
=
7
6
7
6
Og så bytter vi til gangetegn og snur på divisor:
Eksempel 21 trinn c
5
2
4
37 22
37
6

:3 =
:
=
=
7
6
7
6
7
22
Nå er vi klar til å regne ut:
Eksempel 21 trinn d
5
2
4
37 22
37
6
37  6
:3 =
:
=
=
=

7
6
7
6
7
22
7  22
B - 55
Dele et
blandet
tall på
en brøk
Eksempel 21 trinn e
5
2
4
37 22
37
6
37  6
222
:3 =
:
=
=
=

7
6
7
6
7
22
7  22
154
Vi gjør den uekte brøken om til blandet tall:
Eksempel 21 trinn f
5
2
4
37 22
37
6
37  6
222
68
:3 =
:
=
=
=
= 1

7
6
7
6
7
22
7  22
154
154
…og til slutt forkorter vi brøken i svaret.
Eksempel 21 trinn g
5
Sammensatte
operasjoner
7
2
4
37 22
37
6
37  6
222
68
34
:3 =
:
=
=
=
=1
= 1

7
6
7
6
7
22
7  22
154
77
154
SAMMENSATTE OPERASJONER
Dersom man skal løse oppgaver som krever flere regneoperasjoner, vil der
svært ofte være hensiktsmessig å sette alt opp på en brøkstrek. Det vil si at at
man kan gjøre flere arbeidsoppgaver samtidig. Ofte kan man også forenkle
arbeidet ved hjelp av forkortinger eller forenklinger av et matematisk uttrykk,
og slik gjøre selve utregningen både enklere og raskere.
Dette er hensiktsmessig for eksempel når man kommer til prosentregning,
renteberegninger, funksjoner og formler.
Funksjoner vil falle utenfor rammen av barneskolens matematikkpensum, og
behandles ikke videre i denne boken.
B - 56
Når det gjelder prosentregning og formler, er disse behandlet i særskilte
kapitler.
Formler har også fått en omtale i kapittel 7.1.
Jeg vil derfor vise noe av hensiktsmessigheten ved å regne ut sammensatte
operasjoner, ved å vise to eksempler på hvordan man kan beregne renter ved
hjelp av brøkstrek.
Eksempeloppgavene kan være disse:
1. Hvis du setter inn 4000 kroner i banken og ved starten av året, og banken
gir deg 4% rente. Hvor mye penger vil du da ha i banken ved utgangen av
året?
2. Hva hvis du setter inn de 4000 kronene 1. april? Hvor mye vil du da ha ved
utgangen av året med den samme renten?
Oppgave 1: Først må man regne ut renten (Se kapitlet om prosent for en
grundig innføring i prosentregning). Den er på 4%. Da må man altså først finne
ut hvor mye 1% av 4000 kroner er ved å dele på 100:
1% = 4000 : 100 = 40
Så må man finne ut hvor mye 4% er:
4% = 40  4 = 160
Og til slutt må man legge rentene til innskuddet:
Ny kapital = 4000 + 160 = 4160
B - 57
Vi finner altså ut ved hjelp av 3 regneoperasjoner at du vil ha 4140 kroner i
banken ved utgangen av året.
Vi kan regne ut renten ved hjelp av en brøkstrek. Det gir oss 2 regnestykker i
stedet for 3:
Eksempel 22 trinn a
Renteinntekt i løpet av et år med 4% rente:
4000  4
=
100
Hvis du kikker litt nærmere på tallene i dette regnestykket, vil du se at her er
store muligheter for å forkorte. Vi kan dele både 4000 og 100 på 100. Ofte sier
vi at vi kan stryke like mange nuller over og under brøkstreken:
Eksempel 22 trinn b
4000  4
40  4
=
=
100
1
Dermed står vi igjen med 40  4 som skal deles på 1. Det blir 160
Eksempel 22 trinn c
4000  4
40  4
=
= 160
100
1
Dette er altså renteinntektene, som skal legges sammen med kapitalen på 4000
kroner.
Eksempel 22 trinn d
Kapital ved årets utgang: 4000 kroner + 160 kroner = 4160 kroner
B - 58
Nå har vi altså redusert antall regnestykker fra 3 til 2. Det er mulig å gjøre det
enda enklere, ved å sette opp hele regnestykket i én operasjon. Det kan man
gjøre slik:
Kaptial + renter = ny kapital
Kapitalen er jo på 4000 kroner. Rentene beregner vi ved hjelp av en brøkstrek
som tidligere. Da blir utregningen slik:
Eksempel 23 trinn a
Ny kapital: 4000 +
4000  4
=
100
Og så regner vi ut:
Eksempel 23 trinn b
Ny kapital: 4000 +
4000  4
40  4
= 4000 +
=
100
1
Og finner svaret med det samme:
Eksempel 23 trinn c
Ny kapital: 4000 +
4000  4
40  4
= 4000 +
= 4000 + 160 = 4160
100
1
Denne teknikken skal vi benytte oss av når det gjelder oppgave 2.
Utgangspunktet er det samme, men her står ikke pengene i banken gjennom
hele året. 4% rente gjelder jo hvis pengene står et helt år. Vi må altså ta hensyn
til hvor lenge pengene står i banken.
B - 59
Siden pengene settes inn 1 april får vi bare renter fra april til desember. Det
betyr at pengene står i banken i 9 måneder. Slik vi regnet ut rentene i eksempel
23, fant vi ut hvor mye 4% blir gjennom et helt år, altså 12 måneder. Dersom vi
deler disse rentene på 12, vil vi med andre ord finne ut hvor mye renter man får
i løpet av 1 måned. Ganger vi så med 9 finner vi hvor mye renter man får i 9
måneder.
Vi setter alt dette opp på rentebrøkstreken:
Eksempel 24 trinn a
Ny kapital: 4000 +
4000  4  9
=
100 12
Her ser vi at det er flere tall vi kan forkorte. Vi kan først og fremst stryke 2
nuller. Men vi ser også at både 9 og 12 kan deles på 3. Da blir det slik:
Eksempel 24 trinn b
4000 +
4000  4  9
40  4  3
= 4000 +
=
100 12
1 4
Ved hjelp av denne forkortingen, ser vi at vi kan forkorte enda mer. Det står 4
både over og under brøkstreken. La oss dele begge 4-tallene på 4:
Eksempel 24 trinn c
4000 +
4000  4  9
40  4  3
40 1  3
= 4000 +
= 4000 +
=
100 12
1 4
1 1
Altså får vi til slutt:
Eksempel 24 trinn d
4000 +
4000  4  9
40  4  3
40 1  3
= 4000 +
= 4000 +
= 4000 + 120 = 4120
100 12
1 4
1 1
B - 60
Som du ser er det mye arbeid å spare på å bruke brøkstreken ved slike
anledninger. Ikke minst fordi muligheten for å forkorte sparer oss for mange og
ofte vanskelige utregninger.
Formler
7.1
Formler
Ved eksempel 23 og 24 brukte vi egentlig formler. En formel er en modell for
ulike typer regneoppgaver.
Formler er nærmere forklart i eget kapittel.
Svært ofte vil formler ha brøkstrek som viktig element. Det vil derfor være
klokt å sette seg inn i hvordan vi går frem når vi skal lage en egen formel. Det
er også klokt å lære seg de mest vanlige formlene, og reglene som gjelder for å
bruke en formel.
8
SAMMENHENGEN MELLOM BRØK OG
DESIMALTALL
Både brøk og desimaler er tallsymboler som uttrykker mengder som er mindre
enn 1. Det er den store likheten mellom de to uttrykkene.
Den store forskjellen er at desimaler følger posisjonsystemet, mens brøk gjør
det ikke. Derfor skrives brøk på en helt annen måte enn heltallene, mens
desimaler skrives som en forlengelse av heltallet men adskilt fra dette med et
komma.
Jeg skal vise denne forskjellen litt tydeligere.
I systemet med desimaltall er en hel delt i 10 deler, og desimalen uttrykkes som
et antall 10-deler av en hel. Derfor heter den første desimalposisjonen tideler.
B - 61
Sammenhengen
mellom
brøk og
desimaltall
Dette kan vises ved hjelp av tallinjen:
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Den videre oppbygningen av desimaltall er nærmere forklart i eget kapittel
Når det gjelder brøk blir heltallene delt inn i så mange deler som vi for
anledningen har bruk for. Det er ikke alltid at det er hensiktsmessig å dele en
hel i 10 deler.
Den samme tallinjen vil se slik ut, dersom vi bruker brøk:
0
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
1
Det som er verdt å merke seg er at mange brøkstørrelser har sitt motsvar i et
desimaltall. Sammenligner man brøker og desimaltall vil man kunne se dette.
1
Et tydelig eksempel er desimaltallet 0,5 og brøken , som begge er uttrykk for
2
mengden en halv.
Sammenhengen kommer enda tydeligere frem dersom man bruker brøkstreken
som et deletegn, og regner ut delestykket som brøken uttrykker.
Hvis man for eksempel regner ut
1
, vil delestykket bli: 1 : 2 =
2
B - 62
La oss regne det ut:
1 : 2 = 0,5
0
10
10
0
Hvis man på samme måte regner ut
3
, vil regnestykket bli:
4
3 : 4 = 0,75
0
30
28
20
20
0
Det finnes en lang rekke brøker som har sitt tallpar i et desimaltall. Her er en
oversikt over noen av de mest vanlige:
brøk
1
2
1
4
2
4
3
4
1
10
Des.tall
=
0,5
=
0,25
=
0,5
=
0,75
=
0,1
brøk
1
5
2
5
3
5
4
5
2
10
Des.tall
=
0,2
=
0,4
=
0,6
=
0,8
=
0,2
brøk
1
8
2
8
3
8
4
8
3
10
Des.tall
=
0,125
=
0,25
=
0,375
=
0,5
=
0,3
Du ser at det er enkelte brøker som ikke er med i denne tabellen. De gjelder
brøker med nevnere som 3, 6 og 7. Det kommer av at divisjonen aldri vil gå
opp. Svaret blir en uendelig rekke med desimaler, eller det vil bli en rest.
B - 63
Ta for eksempel
2
. Der vil delestykket bli 2 : 6 =
6
Vi kan prøve å regne det ut:
2 : 6 = 0,333
0
20
18
20
18
20
18
o.s.v.
Dette er en divisjon som aldri går opp. Selv om svaret blir mer og mer nøyaktig
jo flere desimaler vi regner med, blir det aldri helt presist. Av dette kan vi lære
at mens en brøk alltid er nøyaktig og presis, vil et desimaltall ofte kunne være
tilnærmet og upresist.
Sammenhengen
mellom
brøk,
desimaltall og
prosent
8.1
Sammenhengen mellom brøk, desimaltall og
prosent
Prosent er på mange måter det samme som brøk og desimaler. Det som i brøk
og desimaltall kaller en hel, blir kalt 100% når det kommer til prosent.
Prosent betyr ”av 100” eller ”pr 100”. Mens desimalene i et desimaltall står på
tidels- eller hundredelsplassen, blir altså 1% det samme som en hundredel.
1
Som desimaltall: 0,01 og som brøk
.
100
Prosent er nærmere omtalt i eget kapittel
Dermed blir
1
eller 0,5 beskrevet som 50% i prosentregning.
2
B - 64
Noen flere sammenligninger vil få frem sammenhengen:
Brøk
1
2
1
4
2
4
D.mal
%
=
0,5
=
50%
=
0,25
=
25%
=
0,5
=
50%
Brøk
1
5
1
10
1
20
D.mal
%
=
0,2
=
20%
=
0,1
=
10%
=
0,05
=
5%
Det kan være lurt å lære seg slike sammenhenger mellom brøk, desimaltall og
prosent. For det første kan det være nyttig i det daglige. For det andre bidrar
det til å øke og forbedre forståelsen av tall. Dermed blir man også dyktigere til
å handtere tall.
B - 65

Brøk FRA A TIL Å - matematikk fra a til å

Transcription

Similar documents

Skal kunne plassere brøker på tallinjen 1. Skriv hvilken brøk som

Stikkordregister - Matematikkforlaget

faktorisering fra a til å - matematikk fra a til å

macro serien

Eurosoft Eiendom - Eurosoft Norge AS

thesis. - Munin