Svängningar - Solid Mechanics

Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
Mekanik – Dynamik
2014-02-21
Svängningsproblem
Exempel på hur man ställer upp den styrande differentialekvationen.
Betrakta följande system bestående av en partikel med massan m, en fjäder med
naturliga (dvs ospända) längden L0 och fjäderkonstanten k , samt en dämpare med
dämpkonstanten c :
m
c
k , L0
g
Vi vill teckna Newtons II:a i vertikalled och resultatet är en differentialekvation som
beskriver (styr) massan rörelse vid fria svängningar.
Det finns ett antal olika alternativ för val av koordinaten x (t ) för att beskriva
massans läge som funktion av tiden: Man kan t.ex. välja origo för x så att x  0 när
fjädern är obelastad, eller så att x  0 när anordningen befinner sig i sitt statiska
jämviktsläge, som för fallet ovan är när fjädern tryckts ihop sträckan mg k .
Dessutom kan man välja att definiera x positiv uppåt eller nedåt.
Ett annat tänkbart val för origos läge är att låta x  0 vid infästningen i marken.
Låt oss belysa detta med ett antal exempel.
1
Mekanik – Dynamik
Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
2014-02-21
Exempel 1
Vi väljer att låta x  0 när fjädern är obelastad, och väljer att låta x vara positiv
uppåt. Vi frilägger massan och väljer att låta kraften på massan från fjädern vara
positiv nedåt. Vi gör samma val för kraften från dämparen. Så här alltså:
mg
( x, och x
blir positiva
åt samma hall
som x. )
Ffj
Fd
x
Ffj
Fd
(
L0
)
Vi tecknar Newtons II:a i positiv x-led :
:  Ffj  Fd  mg  mx
När vi tecknar uttrycken för fjädern och dämparen måste vi vara väldigt noga,
eftersom uttrycken beror av åt vilket håll förskjutningen är definierad positiv och åt
vilket håll kraften är positiv. Vi ser att om x är positiv drar vi ut fjädern sträckan x
och med vår definition av kraften Ffj ska den vara positiv. Således,
Ffj  kx
Om x är positiv betyder det att partikeln rör sig uppåt ( x är alltid positiv vid en
rörelse då x ökar). Vi drar alltså ut dämparen som bromsar rörelsen, dvs Fd ska vara
positiv:
Fd  cx
(Notera att uttrycken på Ffj och Fd gäller även då x, respektive x är negativa: Om
t.ex. x  0 trycks fjäder ihop och kraften blir negativ, dvs motriktad vår positiva
riktning. Genom att ekvationerna ställs upp med hänsyn tagen till införda defini-
2
Mekanik – Dynamik
Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
2014-02-21
tioner av variablernas positiva riktningar, får vi ekvationer som gäller i alla lägen och
rörelsetillstånd (som t ex när systemet är ihoptryckt och har acceleration nedåt).)
Insättning ger följande differentialekvation:
x
c
k
x xg
m
m
Exempel 2
Vi väljer att låta x  0 när fjädern är obelastad som i Exempel 1, men väljer nu att
låta x vara positiv nedåt. Vi väljer att låta kraften på massan från fjädern vara positiv
nedåt. Vi gör samma val för kraften från dämparen. Så här alltså:
Ffj
mg
x
(
Fd
)
L0
Ffj
Fd
Vi tecknar Newtons II:a i positiv x-led :
: Ffj  Fd  mg  mx
Om x är positiv så är fjädern ihoptryckt sträckan x och kraften Ffj ska vara negativ
med vår definition av positiv riktning av kraften:
Ffj  kx
Om x är positiv betyder det att partikeln rör sig nedåt. Vi trycker alltså ihop
dämparen som bromsar rörelsen, dvs Fd ska då vara negativ:
Fd  cx
Insättning ger följande differentialekvation:
x
c
k
x xg
m
m
3
Mekanik – Dynamik
Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
2014-02-21
Exempel 3
Vi väljer att låta x  0 när fjädern är obelastad, och låter x vara positiv nedåt. Vi
väljer att låta kraften på massan från fjädern vara positiv uppåt. Vi gör samma val för
kraften från dämparen. Så här alltså:
Ffj
mg
Fd
(
x
L0
Fd
Ffj
Vi tecknar Newtons II:a i positiv x-led :
:  Ffj  Fd  mg  mx
Vi ser att om x är positiv så är fjädern ihoptryckt och kraften Ffj ska vara positiv
med vår definition:
Ffj  kx
Om x är positiv betyder det att partikeln rör sig nedåt. Vi trycker alltså ihop
dämparen som bromsar rörelsen, dvs Fd ska då vara positiv:
Fd  cx
Insättning ger följande differentialekvation:
x
c
k
x xg
m
m
4
)
Mekanik – Dynamik
Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
2014-02-21
Exempel 4
Vi väljer att låta x  0 vid fjäderns infästningspunkt i underlaget så att x är positiv
uppåt. Vid friläggningen väljer vi att låta kraften på massan från fjädern vara positiv
nedåt, men vi låter kraften på massan från dämparen vara positiv uppåt. Så här
alltså:
mg
Ffj
Fd
x
Ffj
Fd
(
L0
Vi tecknar Newtons II:a i positiv x-led :
:  Ffj  Fd  mg  mx
Vi ser att om partikeln är i läge x så har fjädern dragits ut sträckan x  L0 och
kraften Ffj ska vara positiv enligt:
Ffj  k ( x  L0 )
Om x är positiv betyder det att partikeln rör sig uppåt. Vi drar alltså ut dämparen
som bromsar rörelsen, dvs Fd ska då vara negativ:
Fd  cx
Insättning ger följande differentialekvation:
x
kL
c
k
x x 0 g
m
m
m
5
)
Mekanik – Dynamik
Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
2014-02-21
Exempel 5
Vi väljer nu att låta x  0 när anordningen befinner sig i sitt statiska jämviktsläge,
mg
dvs utifrån ett läge där fjädern ihoptryckt sträckan  stat 
, och låter x vara positiv
k
nedåt. Vi väljer att låta kraften på massan från fjädern vara positiv uppåt. Vi gör
samma val för kraften från dämparen. Så här alltså:
Ffj
Fd
mg
 stat
(
x
L0
Fd
Ffj
Vi tecknar Newtons II:a i positiv x-led :
:  Ffj  Fd  mg  mx
Vi ser att för ett positivt x så är fjädern ihoptryckt och kraften Ffj ska vara positiv
med vår definition. Eftersom fjäderns totala ihoptryckning är  stat  x får vi:
Ffj  k ( stat  x )
Om x är positiv betyder det att partikeln rör sig nedåt. Vi trycker alltså ihop
dämparen som bromsar rörelsen, dvs Fd ska då vara positiv:
Fd  cx
Med  stat 
x
mg
får vi följande differentialekvation:
k
c
k
x x0
m
m
6
)
Linköpings tekniska högskola
IEI/Mekanik Ulf Edlund
Mekanik – Dynamik
2014-02-21
Jämför vi differentialekvationerna ser vi att det bara är högerledet som skiljer. Det är
ingen tillfällighet. Väljer man att definiera lägeskoordinaten till noll i det statiska
jämviktsläget, som vi gjorde i Exempel 5, så får man alltid en homogen differentialekvation.
För att kunna bestämma konstanterna i de allmänna lösningarna till differentialekvationerna behövs begynnelsevillkor som definierar tillståndet vid t  0 . Eftersom
differentialekvationerna är av ordning två behövs villkor på variabeln själv, samt
förstaderivatan, dvs vi måste veta x(0) och x(0) .
7