Kapitel 7 - Sannolikhetslära och inferensteori II

Sannolikhetslära och inferens II
Kapitel 7
Samplingfördelningar
och
Centrala gränsvärdessatsen
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
1
Statistikor och samplingfördelningar
I Kapitel 6 studerades metoder för att bestämma
sannolikhetsfördelningen för funktioner av slumpvariabler.
Nu ska vi studera funktioner
U = h(X1,X2,…,Xn)
där X1,X2,…,Xn utgör ett slumpmässigt stickprov, dvs de är
oberoende och likafördelade slumpvariabler (olfsv).
En sådan funktion av stickprovet kallas för en statistika (plural
statistikor). En statistika är själv en slumpvariabel och dess
sannolikhetsfördelning kallas för en samplingfördelning.
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
2
Statistikor och samplingfördelningar
Statistikor kan användas för att dra slutsatser (inferens) om
populationens parametrar.
De två vanligaste statistikorna är
som ofta används vid inferens angående populationsmedelvärdet μ och populationsvariansen σ2.
Eftersom statistikor används vid inferens är det av stort intresse
att finna deras samplingfördelningar.
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
3
Samplingfördelningar vid
normalfördelad population (X)
Sats. Låt X1,X2,…,Xn vara oberoende och likafördelade N(μ,σ).
Då gäller att
En direkt följd av detta är att
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
4
Samplingfördelningar vid
normalfördelad population (S2)
Sats. Låt X1,X2,…,Xn vara oberoende och likafördelade N(μ,σ).
Då gäller att
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
5
Samplingfördelningar vid
normalfördelad population (S2)
Bevis. Vi accepterar 1. här. (För bevis se uppgift 13.94**.) För att bevisa 2.
behövs följande resultat från Kapitel 6 (se föreläsning Bild 9-11, 35).
Det visar sig att Y uppvisar stora likheter med U.
För att finna sannolikhetsfördelningen för U kan vi alltså utgå från Y och
sedan (på något sätt) ”byta ut” μ mot X.
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
6
Samplingfördelningar vid
normalfördelad population (S2)
Bevis (forts). Det följer därmed att
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
7
Samplingfördelningar vid
normalfördelad population (S2)
Bevis (forts). Av Punkt 1. följer att Z2 och U är oberoende vilket innebär att vi
med momentgenererande funktioner får att
Eftersom Y är χ2(n) och Z2 är χ2(1) följer därmed att
dvs
vilket är momentgenererande funktion för χ2(n-1).
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
8
Samplingfördelningar vid
normalfördelad population (X)
Vi ska i Kapitel 8 se att eftersom
är Z lämplig att använda vid inferens angående μ.
Problemet med Z är att populationsstandardavvikelsen σ ofta är
okänd.
Vi söker därför en möjlighet att i detta uttryck ”byta ut” σ mot
stickprovsstandardavvikelsen S. Frågan är hur detta påverkar
samplingfördelningen?
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
9
t-fördelningen (definition)
Låt Z och W vara oberoende slumpvariabler där Z är N(0,1) och
W är χ2(ν). Då är
t-fördelad med v frihetsgrader. Vi skriver t(v) eller tv.
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
10
t-fördelningen (användning)
Eftersom X och S2 är oberoende samtidigt som att det vid
normalfördelad population gäller
får vi att
Vi har lyckats ersätta σ med S och fått en statistika som följer
en t-fördelning med n-1 frihetsgrader.
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
11
F-fördelningen (definition)
Låt W1 och W2 vara oberoende χ2(ν1) respektive χ2(ν2). Då är
F-fördelad med v1 frihetsgrader i täljaren och v2 frihetsgrader i
nämnaren. Vi skriver F(v1,v2) eller Fv1,v2.
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
12
F-fördelningen (användning)
Betrakta två oberoende stickprov om n1 respektive n2
observationer från två normalfördelade populationer.
W1 och W2 är då oberoende χ2(n1-1) respektive χ2(n2-2).
F följer en F-fördelning med n1-1 frihetsgrader i täljaren och
n2-1 frihetsgrader i nämnaren.
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
13
Centrala gränsvärdessatsen
Sats. Låt X1,X2,…,Xn vara oberoende och likafördelade
slumpvariabler med väntevärde μ och standardavvikelse σ.
Om vi för fixt n låter
följer att
Vi säger att Un konvergerar i fördelning mot Z med innebörden
att fördelningsfunktionen för Un konvergerar mot
fördelningsfunktionen för N(0,1).
Alternativt sägs Un vara asymptotiskt normalfördelad.
14
Uppgift 7.104
Låt Yn vara Bi(n,pn) för n=1,2,3,…, där λ=npn förutsätts vara en
konstant för alla n. Då gäller att
som innebär att
vilket är momentgenererande funktion för Po(λ).
Måns Thulin, Sannolikhetslära och inferens II
15