Kære forældre - matematik.dk

matematikmatematikmatematikmate
matikmatematikmatematikmatemati
kmatematikmatematikmatematikmat
ematikmatematikmatematikmatemat
ikmatematikmatematikmatematikma
Differentialregning
tematikmatematikmatematikmatema
Matematik A
HHX
tikmatematikmatematikmatematikm
atematikmatematikmatematikmatem
atikmatematikmatematikmatematik
matematikmatematikmatematikmate
matikmatematikmatematikmatemati
kmatematikmatematikmatematikmat
ematikmatematikmatematikmatemat
ikmatematikmatematikmatematikma
tematikmatematikmatematikmatema
tikmatematikmatematikmatematikm
atematikmatematikmatematikmatem
Udarbejdet af:
Kristine Rasmussen og Kathrine Pedersen
Vejleder:
Kasper Tofte
Afleveret den:
25/7-11
Mat A
Differentialregning
Kristine og Kathrine
25/7-11
Indholdsfortegnelse
Indledning .......................................................................................................................................................... 3
Differentialregning ............................................................................................................................................ 4
Differentialkvotient ....................................................................................................................................... 4
Tangent og sekant ......................................................................................................................................... 4
Regneregler ....................................................................................................................................................... 5
Grundprincippet ................................................................................................................................................ 6
Bevis................................................................................................................................................................... 6
Differentiering af en Brøkfunktion ................................................................................................................ 6
Differentiering af en Potensfunktion............................................................................................................. 8
Standard funktionsanalyse ................................................................................................................................ 8
Monotoniforhold ........................................................................................................................................... 9
Ekstrema ........................................................................................................................................................ 9
Vendetangent .............................................................................................................................................. 10
Eksempel på en funktionsanalyse ............................................................................................................... 10
Bibliografi......................................................................................................................................................... 12
Side 2 af 12
Mat A
Differentialregning
Kristine og Kathrine
25/7-11
Indledning
Differentialregning anvendes til mange problemstillinger. En funktion, , beskriver en sammensætning –
hvordan en talstørrelse (y) afhænger af en anden talstørrelse (x). Dvs.
Differentialregning anvendes i denne sammenhæng til at beskrive, hvordan små ændringer i den ene
talstørrelse (x) påvirker den anden talstørrelse (y). Dvs.
Differentialregning anvendes til bl.a. bestemmelse af hastighed, acceleration, grænseværdier osv.
Figur 1
Ved hjælp af differentialregning kan man finde hastigheden, som det er tilfældet ved ovenstående figur1.
Differentialkvotienten viser i dette tilfælde hastigheden, altså den afledede funktion af f, afhængig af tid og
tilbagelagt vejlængde.
Dette kan også gøres mht. marginalskatten ved en bestemt indkomst, hvordan høstudbyttet afhænger af
kunstgødningen osv.
1
(Søren Antonius, 2007)
Side 3 af 12
Mat A
Differentialregning
Kristine og Kathrine
25/7-11
Differentialregning
Differentialkvotient
For en funktion
definerer vi en afledt funktion
således:
betegner hældningskoefficienten for tangenten i røringspunktet
Nedenunder, på figur 22, ses, hvordan tangenten går gennem røringspunktet
grafen.
.
og ligger tæt op ad
Figur 2
Tangent og sekant
Når man matematisk skal definere differentialkvotienten, illustreres dette i et koordinatsystem, som det,
der ses nedenunder på figur 33.
Figur 3
2
3
(Søren Antonius, 2007)
(Søren Antonius, 2007)
Side 4 af 12
Mat A
Differentialregning
Vi betragter punkterne:
og
Sekanthældningen (differenskvotienten,
Kristine og Kathrine
25/7-11
. Linjen gennem de to punkter kaldes for en sekant.
) bliver:
Sekanten nærmer sig tangenten, når tilvæksten h går mod nul. Differentialkvotienten
defineres derfor
som den grænseværdi (limes), som differenskvotienten nærmer sig, når h nærmer sig nul. Det skrives
således:
Regneregler
Funktionstype
Funktion f(x)
Lineær
Andengradspolynomium
Potens
Generel eksponential
Naturlig eksponential
Logaritmefunktion
Sum
Differens
Funktion gange med en konstant
Produkt af to funktioner
Sammensat funktion
Brøk
Side 5 af 12
Afledte f’(x)
Mat A
Differentialregning
Kristine og Kathrine
25/7-11
Grundprincippet
Definitionen af differentialkvotienten til funktionen
i punktet
er givet ved:
kaldes også for funktionens afledte. Dette er en skabelon for fremgangsmåde, når man skal
differentiere en forskrift.
Eksempel:
Vi ser på dette andengradspolynomium:
Vi indsætter i vores definition:
Grænseværdien går imod nul, derfor
Vi har nu differentieret vores andengradspolynomium.
Dette gælder også for de markerede funktionstyper i oversigten på forrige side, men det er nemmere, at
udføre det således:
Her anvendes regnereglen:
Bevis
Differentiering af en Brøkfunktion
Sætning:
Funktionen
, har differentialkvotienten
Bevis:
Vi starter med at indsætte vores brøk, i definitionen af en differentialkvotient
Side 6 af 12
Mat A
Differentialregning
Kristine og Kathrine
25/7-11
Vi anvender brøkregneregler; Vi forlænger hver brøk med den anden brøks nævner, og får dermed en
fælles nævner.
Nu forlænger vi brøken med
Nu laver vi et lille trick, vi trækker
Nu sætter vi
og
.
fra, og lægger til igen.
udenfor en parentes. (
, da det gerne skulle ende med et negativt fortegn)
Vi forkorter brøken med h
Da hverken
har noget at gøre med h, sætter vi dem uden for grænseværdierne.
Da funktionen er kontinuert, er grænseværdien veldefineret. Derfor kan vi tillade os, at sætte h lig med nul.
Vi får nu vores endelige udtryk
Side 7 af 12
Mat A
Differentialregning
Kristine og Kathrine
25/7-11
Differentiering af en Potensfunktion
Sætning:
For
er
Bevis:
Observer
Vi betragter det som en sammensat funktion, se illustration på næste side.
Det næste skridt er, at vi ganger de to led sammen
Vi substituerer
med
, da vi har observeret, at de er lig med hinanden.
Vi har nu bevist vores sætning.
Standard funktionsanalyse
Når man får givet en funktion, skal man undersøge forholdene omkring den pågældende funktion. Dette
kunne være dens definitionsforhold, altså hvordan den udstrækker sig mht. x-aksen. Man skal også
undersøge dens skæringspunkter med x-aksen, altså dens nulpunkter, og herefter undersøge det man
kalder fortegnsvariation. Dette gør man for at undersøge, hvordan funktionen opfører sig mht. x-aksen.
Herefter undersøger man funktionens monotoniforhold, her anvender man differentialregning.
Monotoniforholdene angiver, hvorvidt funktionen er voksende eller aftagende i dens intervaller. Ved dette
undersøger man fortegnsvariation for
. Når man har beskrevet monotoniforholdene, kan man bevæge
sig videre til at undersøge funktionens lokale- og globale ekstremapunkter. Her undersøger man, hvor
Side 8 af 12
Mat A
Differentialregning
Kristine og Kathrine
25/7-11
funktionen har sine maks- og/eller minimum. Et af de sidste punkter er vendetangenter, dem skal man
finde for at undersøge funktionens krumningsforhold. Vendetangenterne findes ved at finde den dobbelt
afledte, og finde dens nulpunkter. Herefter undersøger man for evt. asymptoter. Det kan enten være
lodrette, vandrette eller skrå asymptoter. Til sidst, finder man værdimængden, vha. evt. aflæsning af
ekstremapunkterne. Værdimængden beskriver funktionens udstrækning mht. y-aksen.
Monotoniforhold
Når man undersøger en funktions monotoniforhold, undersøger man, hvorvidt den er voksende eller
aftagende.
Definition:
En funktion, , kaldes voksende i intervallet [a;b], hvis der for alle
gælder at,
En funktion, , kaldes aftagende i intervallet [a;b], hvis der for alle
gælder at,
En funktion der enten er aftagende, eller voksende i hele intervallet, [a;b], kaldes monoton i [a;b].
Ekstrema
Funktionen , har ekstremumssted hvis
Dvs.
-
Hvis funktionen, , har lokalt minimum skifter
fortegn således:
-
Det punkt, hvor , opnår sin mindste værdi, kalder vi for det globale minimum
-
Hvis funktionen, , har lokalt maksimum skifter
-
Det punkt, hvor
-
Saddelpunkt hvis
fortegn således
opnår sin største værdi, kalder vi for det globale maksimum
har fortegnsvariationen
Side 9 af 12
eller
.
Mat A
Differentialregning
Kristine og Kathrine
25/7-11
Vendetangent
En funktion har vendetanget i de punkter, hvor den skifter krumning. Krumningerne kaldes for enten
konkav eller konveks.
Konkav
Konveks
Vendetangenten for , findes i
vises grafens krumninger.
, og ved at lave en fortegnsvariation for den dobbelt afledte. Så
Eksempel på en funktionsanalyse
Ø1 c) side 120 i B24.
h(x) = x3 – 9x
, x ϵ [-2; 4]
1) Dm(h) = [-2; 4]
Definitionsmængden findes ud fra det interval x findes i.
2) Nulpunkter for h:
Vi finder nulpunkterne for h ved at finde skæringspunkterne med x-aksen.
h(x) = 0  x3 – 9x = 0
x=0
4
x=3
x(x2 – 9) = 0 Vi sætter x uden for en parentes
x = 0 v x2 – 9 = 0 Her anvendes nulreglen
x2 = 9
x= 3
(ikke -3 pga. Dm(h))
(Søren Antonius, 2007)
Side 10 af 12
Mat A
Differentialregning
Kristine og Kathrine
25/7-11
3) Fortegnsvariation for h:
Nulpunkterne indsættes i en fortegnsvariation for at undersøge, hvordan h(x) befinder sig mht. xaksen.
Vi kan se, at funktionen befinder sig ovenover x-aksen i intervallet [-2;0], og herefter nedenunder xaksen i intervallet [0;3]. I intervallet [3;4] er den igen positiv.
4) Monotoniforhold:
Vi skal finde h’, for at bestemme den differentierede værdi af h, sætte den lig med nul, og herved
finde ekstremapunkter for h.
h’(x) = 3x2 – 9
h’(x) = 0  3x2 – 9 = 0
3x2 = 9
x2 = 3
x=
Fortegnsvariation for h’:
Af fortegnsvariationen for h’(x) ses, at h(x) er voksende i [-2; aftagende i [- ; ].
Side 11 af 12
] og i [
; 4] samt
Mat A
Differentialregning
Kristine og Kathrine
25/7-11
5) Ekstrema for h:
Vi finder ekstremapunkterne tilhørende h(x). Dette gøres ved at sætte de fundne nulpunkter for h’
ind i h(x).
Lokalt minimum i punktet: (-2; h(-2)) = (-2; 10)
Globalt minimum i punktet: ( ; h( )) = ( ; -10,4)
Lokalt maksimum i punktet: (- ; h(- )) = (- ; 10,4)
Globalt maksimum i punktet: (4; h(4)) = (4; 28)
6) Vendetangent for h:
Vi finder nu vendetangenten for h, ved at tage den dobbelt afledte, og sætte den lig med nul.
h’’(x) = 6x
h’’(x) = 0  6x = 0
x=0
Fortegnsvariation for h’’:
h(x) har vendetangent i punktet: (0; h(0)) = (0; 0)
Man finder den tilhørende y-værdi til punktet ved at sætte x-værdien ind i h(x).
7) Værdimængde for h:
Vm(h) = [-10,4; 28]
Vi kan se, at funktionens y-værdier tilknytter sig overstående interval. Man kan aflæse i
ekstremapunkterne, hvor y-værdierne strækker sig over.
Bibliografi
Søren Antonius, R. C. (2007). Differentialregning. I R. C. Søren Antonius, Matematik B (s. 69-109). Århus:
Systime.
Side 12 af 12