RT 42 Gylden Århus belægningsklinke

Transcription

1
NY SKRIFTLIGHED I MATEMATIK DEL II Matematiklærerforeningenforgymnasiethariforlængelseafudviklingsprojektfraskoleåret
2009/2010iskoleåret2010/2011haftendnuetudviklingsprojektinyskriftlighed.Formålet
har her været at følge op på sidste års udviklingsprojekt. Dette er sket ved både at
konkretisere og eksemplificere nogle af anbefalingerne fra sidste år, men også ved at få sat
fokus på specielt temaopgaver. Som tilfældet var sidste år, har også dette projekt haft til
formål at indsamle og dele erfaringer med at undervise i de mange nye typer af skriftlig
matematisk fremstilling og at få diskuteret evalueringskriterier og ‐metoder i forhold til de
skriftlige produkter. Desuden har projektet været en del af et større arbejde om ny
skriftlighedidegymnasialeuddannelsersomafsluttesoktober2011.
Arbejdsgruppen har arbejdet med den nye skriftlighed i tre undergrupper. Emnerne for disse er:



Temaopgaver
Rettestrategier og progression
SRP
Deltagendelærer
DorteAgerkvist,HerlevGymnasiumogHF
UllaStampeJakobsen,HerlevGymnasiumogHF
LouiseJensen,HerlevGymnasiumogHF
LarsBoKristensen,EgåGymnasium
IbMichelsen,VUCSkive
MortenOvergaard,KøbenhavnsVUC
PeterPedersen,AvedøreGymnasium
KatjaKofodSvan,RysensteenGymnasium
TorbenSvendsen,HaderslevKatedralskole
CamillaZacho,RoskildeGymnasium
RasmusØstergaard,NykøbingKatedralskole
JanusLylloff,Mulerneslegatskole(projektetstovholderformatematiklærerforeningen)
Dennerapporterensammenfatningafprojektetswebsite
http://uvmat.dk/skrift/materialer.htm
2
Indholdsfortegnelse DEL 1: MATEMATIK, TEMAOPGAVER OG DEN NY SKRIFTLIGHED__________________________________ 4 HVAD ER EN TEMAOPGAVE? ___________________________________________________________________ 5 SKRIFTLIGE PRODUKTER I TEMAOPGAVER __________________________________________________________ 6 SAMMENHÆNGEN MELLEM TEMAOPGAVER OG EKSAMEN ______________________________________________ 6 GEOMETRI SOM EKSEMPEL ___________________________________________________________________ 7 TEMAOPGAVE: N‐KANTER ____________________________________________________________________ 8 TEMAOPGAVE: LANDMÅLING _________________________________________________________________ 11 TEMAOPGAVE: KLASSISK GEOMETRI_____________________________________________________________ 14 TEMAOPGAVE: COSINUS‐ OG SINUSRELATIONER ____________________________________________________ 15 TEMAOPGAVE: AFSTANDE I PLAN OG RUM ________________________________________________________ 16 EKSEMPLER PÅ EKSAMENSSPØRGSMÅL TIL GEOMETRI UD FRA TEMAOPGAVER _______________________________ 17 DEL 2: VARIATION I DET SKRIFTLIGE ARBEJDE, RETTESTRATEGIER OG PROGRESSION ________________ 18 VARIATION I DET SKRIFTLIGE ARBEJDE ___________________________________________________________ 18 PROCESSKRIVNING OG RETTESTRATEGIER ________________________________________________________ 30 FRA OPGAVEFORMULERING TIL EVALUERING _______________________________________________________ 30 TRIN 1: EKSPLICITTE KRAV TIL DET SKRIFTLIGE PRODUKT _______________________________________________ 30 TRIN 2: SKRIVEPROCESSEN OG LØBENDE VEJLEDNING AF ELEVERNE _______________________________________ 30 TRIN 3: SLUTEVALUERING ___________________________________________________________________ 31 DEL 3: SRP I MATEMATIK ________________________________________________________________ 33 DET GYLDNE SNIT I 1. G _____________________________________________________________________ 33 DET GYLDNE SNIT I 2. G _____________________________________________________________________ 34 DET GYLDNE SNIT I 3. G _____________________________________________________________________ 37 KRYPTOLOGI I 1.G: FORMIDLING AF KRYPTOLOGISKE GRUNDBEGREBER ____________________________________ 38 KRYPTOLOGI I 2.G: BASAL TALTEORI OG RESTKLASSEREGNING __________________________________________ 40 KRYPTOLOGI I 3.G: ENIGMA OG ANDRE KRYPTOSYSTEMER _____________________________________________ 41 RADIOAKTIVITET OG SANDSYNLIGHED I 1G ________________________________________________________ 42 RADIOAKTIVITET OG SANDSYNLIGHED I 2G ________________________________________________________ 44 RADIOAKTIVITET OG SANDSYNLIGHED I 3G ________________________________________________________ 46 REFLEKSIONER OG SRP _____________________________________________________________________ 47 TYPER AF SRP‐OPGAVER ____________________________________________________________________ 47 I. BRUG AF MATEMATIK I LITTERÆR SAMMENHÆNG __________________________________________________ 47 II. BRUG AF SIMULERING ELLER EKSPERIMENTEL MATEMATIK ____________________________________________ 48 III. BRUG AF MATEMATISKE MODELLER __________________________________________________________ 48 IV. FAGLIG FORMIDLING MED DANSK. ___________________________________________________________ 48 V. MATEMATIK I KULTUREL ELLER HISTORISK SAMMENHÆNG. ___________________________________________ 49 AFSLUTTENDE KOMMENTAR: MATEMATIK OG SRP _________________________________________________ 50 TILEGNELSE AF NYT STOF ____________________________________________________________________ 50 ANDRE FORMER FOR SKRIFTLIGHED I FORBINDELSE MED SRP: __________________________________________ 51 VURDERING AF SRP: SOLO‐TAKSONOMI OG KOMPETENCER ___________________________________________ 52 3
DE 10 BUD TIL SRP: _______________________________________________________________________ 52 VIDERE HENVISNINGER: _____________________________________________________________________ 53 BILAG 1: EKSEMPLER PÅ OPGAVEFORMULERING TIL DEL 2 _____________________________________ 54 BILAG 2: EVALUERINGSARK TIL BEDØMMELSEN AF SKRIFTLIGE PRODUKTER TIL DEL 2 _______________ 59 4
Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed Forfattere til del 1: Morten Overgård Nielsen, Katja Kofod Svan, Janus Lylloff, Peter
PedersenogLarsBoKristensen
Omgruppensarbejde:Iforbindelsemedindførelsenafprøveformc)tilmundtligeksameni
matematik kom der i læreplanerne krav om, at "en betydelig del af eksamensspørgsmålene
skalværeudformetsåledes,atdetermuligtatinddragegennemførteemne‐ogprojektforløb
medtilhørendeelevrapporter".
Hvor udviklingsprojektet sidste år gav en række forskellige eksempler på temaopgaver, har
fokus i denne gruppes arbejde været at få præciseret hvad begrebet helt dækker over.
Desuden er udarbejdet eksempler på temaopgaver og tilhørende eksamensspørgsmål inden
foremnetGeometriogpåalleniveauerfraCtilA.
Den ny skriftlighed sætter fokus på dels udvikling af elevernes skrivekompetencer og dels
anvendelsen af skriftlighed som led i tilegnelsen af faglig viden og kompetence (jf. alle fire
gymnasiale uddannelsesbekendtgørelser). Det er med den ny skriftlighed blevet alle fags
ansvar at bidrage til den studieforberedende skrivekompetence og ikke kun fagets egen
skriftligeeksamen.
Iuddannelsesbekendtgørelsenbeskrivesstudieforberedendeskrivekompetencesomfølgende:
-
Eleverneskalkunnefindeogudvælgerelevantstofsamtbehandleogskriftligtformidlecentrale
enkelt‐ogflerfagligeemner.
Eleverne skal under anvendelse af faglig viden, grundlæggende metoder i faget/fagene og
relevantdokumentationkunnegiveenklar,sammenhængendeognuanceretskriftligfremstilling,
derbyggerpåfølgendestudieforberedendeskrivekompetencer:
genrebevidsthed
sprogligkorrekthed
disposition
argumentation
anvendelseafcitater,figurer,illustrationerm.v.
præsentation(f.eks.talepapirtilmundtligfremlæggelseogpowerpointpræsentation)
relevantehenvisninger,noteapparatoglitteraturliste.
Meddennyskriftlighederdertilligekommetetbredereregisterafskriftligegenrerifagene,
og i matematik er temaopgaverne en af nyskabelserne. Vi ser brugen af temaopgaverne i
matematiksomenmådeatimødekommevæsentligeelementerafnyskriftlighedpå.
Temaopgaverne kan anvendes som en måde at få matematikfagets alsidighed frem på.
Arbejdet med dem kan gøre faget mere almentdannende, end når man kun arbejder med
traditionellematematikopgaver.Vitror,atelevernelærermereogforstårtemaetdybere,når
manarbejdermedforskelligemåderatskrivepå. Temaopgaver er samtidig nyttige i forhold til fagets egne eksamener. Temaopgaver er i
læreplanenformatematikblevetencentraldelafundervisningenogkanopfattessomenny
Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed
5
måde at strukturere stoffet på. I de første års arbejde med temaopgaverne harder primært
væretfokuspåderesanvendelighediforbindelsemeddenmundtligeeksamen(fremtil2012
prøveform c). Imidlertid kan temaopgaverne også spille en betydelig og vigtig rolle som
forberedelsetildenskriftligeeksamen,hvordergives2pointtil”helhedsindtrykket”forhver
opgave. Derudover kan temaopgaverne naturligt indgå som et centralt redskab til at lære
matematikogmatematiskekompetencer.
Ved at konkretisere fokus og krav for de enkelte dele af temaopgaverne vil temaopgaverne
være med til at give et bedre overblik over matematiske emner, træne forskellige
skrivekompetencer samtidig med at problembehandlingskompetencen kan bringes i spil på
entilfredsstillendemåde.
Hvaderentemaopgave?
I alle vejledningerne til læreplanerne for matematik fra 2010 omhandler afsnit 2.7
temaopgaver.
Entemaopgavedefineresinærværendematerialesomensamlingskriftligeprodukterinden
forsammeoverordnedetema.Ettemakanentenværeetemneellerenkompetence,fxvækst,
geometri, funktioner, differentialregning, infinitesimalregning, matematiske modeller,
differentialligninger, statistik, optimering, matematisk ræsonnement eller matematiske
repræsentationer. Temaopgaven skal i udgangspunktet ikke dække et helt emne eller
kompetence i sig selv, men blot dele heraf og kan således supplere behandlingen af en
kompetenceelleremnepåpassendevis.
En temaopgave sættes sammen af flere forskellige typer af skriftlige produkter, dvs. det er
ikke blot et nyt ord for fx projektrapporter. Temaopgaven kan knyttes til et konkret
undervisningsforløbellertemaopgavenkansættessammenafskriftligtarbejdefraforskellige
undervisningsforløb inden for samme tema. Temaopgaven kan derfor udvikle sig over de
forskellige årstrin i matematikundervisningen og dermed komme til at indeholde flere og
flereelementerindenfordetaktuelletema.
Formåletmedentemaopgaveer,atelevenbehandlerogdermedindlærertemaetviaenstribeforskellige
ogforskelligartedeopgaverpåforskelligeniveauer.Denfærdigetemaopgaveskulledervedgiveelevenet
bedreoverblikovertemaet.
Temaopgavensdelopgaverkanfxværerapporteringafeksperimenteltarbejde,formidlingaf
teoretisk stof, løsning af træningsopgaver, skriftlige eksamensopgaver, eksempler på
anvendelser m.m. Delopgaverne kan være mere eller mindre stilladserede. Dele kan være
meget selvstændige, måske som projektrapporter, og andre kan være ret lukkede.
Progressionenilæringenbørfremståaftemaopgaven.
De forskellige delopgaver i en temaopgave har forskellige mål. Nogle delopgavers mål kan
være at træne matematisk kommunikationskompetence, herunder sproglig præcision (fx
gennem formidling af teoretisk stof), andre delopgavers mål kan være at træne løsning af
opgaver til skriftlig eksamen (fx løsning af tidligere eksamensopgaver, udarbejdelse af egne
eksamenslignende opgaver), målet med andre igen kan være at øge den matematiske
forståelseforstoffetgennemskriftligformuleringogformidling.Detvilværehensigtsmæssigt
atformulereklaremålforhverafdelopgaverne.
Entemaopgaveafleveresikkenødvendigvissométfærdigtprodukt,derskalrettesaflæreren.
Dele af temaopgaven laves måske i grupper, andre individuelt. Læreren må overveje, hvilke
deleafdelopgavernederskalrettesaflæreren,hvilkederskalrettesafandreelever,hvilke
6
derskalgenafleveres,oghvilkedersletikkeskalrettes(iforholdtilkonkreterettestrategier,
henvisestildokumentet”rettestrategierogprogression”,somerlavetiforbindelsemeddette
arbejde).
Skriftligeprodukteritemaopgaver
Matematikopgaver med forskellig grad af kompleksitet inden for temaet. Opgaverne kan være stillet
af læreren eller af andre elever. Der skelnes mellem følgende opgavetyper:
-
Mindretræningsopgaver,dertræneretemneellerenmetode.
Tidligerestilledeeksamensopgaverellervejledendeeksamensopgaver,derhartilformålatvise
kravenetileksamen.
Mere krævende matematikopgaver (der ikke kan kategoriseres under en af de øvrige) og som
indeholderstørregradafkompleksitetendtræningsopgaverogeksamensopgaver.
Formidlingsopgaver, hvor temaet (eller dele heraf) formidles på forskellig måde afhængig af
modtager. Dette kan både være formidling af et emne (fx et referat af et forløb) og formidling af
teori eller beviser.
Projektrapporter. Disse vil tage udgangspunkt i en problemformulering, som læreren eller eleven
udformer. Projekter er af undersøgende karakter og arbejdet vil være mindre lærerstyret end i de
øvrige opgavetyper. Projektet kan fx omhandle matematiske ræsonnementer. Projektrapporten bør i
sin endelige udformning være en sammenhængende tekst og kan bruges som træning i at skrive
matematikholdige tekster, herunder SRO, SRP, AT-synopsis og SSO. Projektrapporten vil
indeholde følgende dele:
-
Problemfelt Redegørelseformetode(numerisk,formelellersyntetisk)
Behandlingafproblem
Konklusion
Temaopgaversættessammenafovenståendedelelementerpåenmåde,sådenkanbrugestil
at strukturere stoffet for eleven og give overblik. Ikke alle tre af ovenstående skriftlige
produkter skal nødvendigvis altid være til stede i en temaopgave, men for at tilgodese ny
skriftlighedbørentemaopgaveindeholdeflereforskelligetyperafskriftligtarbejde.Desuden
børder(ifølgeundervisningsvejledningen)altidværeelementerafmatematiskræsonnement,
anvendelse i form af opgaveregning og behandling af mere komplekse problemer til stede.
Med matematisk ræsonnement tænkes både teori og beviser. Dette kan indtænkes på flere
måder, fx i formidlingsopgaver eller i en projektrapport. Man kan ligeledes indlægge
indledendeskriveøvelser(fxtænkeskrivning,mindmapping,hurtigskrivningmv.)iforbindelse
med en temaopgave, hvor eleverne skydes ind på opgaven/emnet. Denne del bedømmes
derforsomoftestikke.
Dermed er det målet, at temaopgaver kan være med til at udvikle elevers generelle
skrivekompetence i højere grad end de traditionelle matematikopgaver, fordi der i
temaopgaverogsåerfokuspåmatematikholdigtekstfremstillingogformidlingafmatematik.
Samtidig trænes nogle af de studieforberedende skrivekompetencer, som også anvendes i
størreskriftligeopgaver.
Sammenhængen mellem temaopgaver og eksamen Skriftligeksamentilgodesesved,atdertrænesskriftligmatematikpåenmerevarieretmåde,
såflerelæringsstiletilgodeses,ogsådeforskelligeemnerogopgavetyper,derforekommertil
skriftligeksamen,erbehandletpåenmåde,dergiveretforelevenmerehelstøbtbillede.Det
7
ervoresbagvedliggendeerfaringogopfattelse,atetforsnævertfokuspåeksamensopgaver
ikkeerdenbedstmuligeforberedelsetilskriftligeksamenforeleverne.
Mundtligeksamentilgodeses,vedatdertilenbetydeligdelafeksamensspørgsmåleneifølge
bekendtgørelsen skal tilknyttes temaopgaver eller projektrapporter. Et struktureret arbejde
med temaopgaverne kan derfor sikre eleverne et bedre udgangspunkt til disse dele af
eksamensspørgsmålene, ligesom der i arbejdet med temaopgaverne naturligt er fokus på
formidling af stof. Dette giver eleverne et bredt erfaringsgrundlag hen mod en eventuelt
mundtligeksamen.
Eteksamensspørgsmål,dertagerudgangspunktientemaopgavelæggeroptil,atelevenselv
kanvælgeniveauetfordenmundtligefremlæggelse.
Geometri som eksempel Med udgangspunkt i begrebsafklaringen fra dokumentet ”Matematik og den ny skriftlighed”
gives her fem eksempler på, hvordan de forskellige opgavetyper, der indgår i en samlet
temaopgave,kanseudindenforetkonkretemneområde:Geometri.
Der fokuseres i det følgende på nedenstående typer af opgaver (citat fra dokumentet
”Matematikogdennyskriftlighed”):
Matematikopgaver med forskellig grad af kompleksitet inden for temaet. Opgaverne kan være
stillet af læreren eller af andre elever. Der skelnes mellem følgende opgavetyper:
- Mindre træningsopgaver, der træner et emne eller en metode.
- Tidligere stillede eksamensopgaver eller vejledende eksamensopgaver, der har til formål at
vise kravene til eksamen.
- Mere krævende matematikopgaver (der ikke kan kategoriseres under en af de øvrige) og
som indeholder større grad af kompleksitet end træningsopgaver og eksamensopgaver.
Formidlingsopgaver, hvor temaet (eller dele heraf) formidles på forskellig måde afhængig af
modtager. Dette kan både være formidling af et emne (fx et referat af et forløb) og formidling af
teori eller beviser.
Projektrapporter. Disse vil tage udgangspunkt i en problemformulering, som læreren eller eleven
udformer. Projekter er af undersøgende karakter og arbejdet vil være mindre lærerstyret end i de
øvrige opgavetyper. Projektet kan fx omhandle matematiske ræsonnementer. Projektrapporten bør i
sin endelige udformning være en sammenhængende tekst og kan bruges som træning i at skrive
matematikholdige tekster, herunder SRO, SRP, AT-synopsis og SSO. Projektrapporten vil
indeholde følgende dele:
- Problemfelt
- Redegørelseformetode(numerisk,formelellersyntetisk)
- Behandlingafproblem
- Konklusion
Iforlængelseafpræsentationenafopgavernefindeskommentarertilderesindholdm.m.
Defemeksemplerkanentenbrugessomselvstændigetemaopgaverellersættessammentil
enstørretemaopgave.Dettekantilrettelæggespåfleremåder.Elevernekanpåforhåndfåen
opgavebeskrivelseafdensamledetemaopgave,ellerdekanfådeenkeltedeleefterhånden.Et
hold vil nok ikke vælge at lave alle fem eksempler om geometri, men kun et udvalg af dem.
8
Hvorvidttemaopgavenopbevaresienelektroniskellerfysiskmappe,måligeledesværeoptil
denenkeltelærerogelev.
Temaopgave:n‐kanter
Formål:Atudvikleogtrænelogiske,matematiskeræsonnementer.
Arbejdsform:Individueltarbejde–medmulighedforsamarbejdeundervejs.
Produkt:Etresumémedformidlingsamtbesvarelseafopgaver.
Duskalsvarepåspørgsmåleneidettedokument.Skrivbesvarelserneindidokumentetefter
spørgsmålene–oggemdokumentetpådinegencomputer.Imågernearbejdesammen,men
duskalskriveselv.
Det er vigtigt, at du ikke blot skriver i stikord, men i hele sætninger, når du svarer på
spørgsmålene.Duskalaltsåikkebareskrivesvaret,menhuskeargumenterforditsvar.Tænk
på, at en klassekammerat skal kunne læse svaret, uden at have været igennem det samme
forløbsomdig.
Brugsåkorrektmatematisknotation,somdukan.
Opgaverne skal ikke afleveres samlet, men du skal specielt vise din lærer dine svar på
spørgsmål 4, 10 og 12. Og du skal til slut skrive et kort resume af dine spørgsmål (se
spørgsmål16)–detskalafleveres.
IentrekantervinkelA=29ogvinkelB=58
1. Bestemstørrelsenafdensidstevinkel,dvs.vinkelC
Tegn en sekskant – enten på et stykke papir eller i et geometriprogram. Del den ind ud fra
skitsennedenfor:
2. Hvadervinkelsummenisekskanten?Husk,duskal(stadig)argumentereforditsvar.
3. Gørnogetlignendemedenotte‐kant–hvadervinkelsummenher?
Duskalnuforsøgeatkombineredetoopgaverovenfor–kanduseensammenhængmellem
dineargumenter?
4. Opstilpåbaggrundafseks‐ogotte‐kantenenformelforvinkelsummenienn‐kant.Det
vilsige,atduangiveenformel,somkanbrugestilatudregnevinkelsummenienfigur
mednkanter.
5. Brugdinformeltilatregnevinkelsummenien24‐kant.
Engeometriskfigurkaldesregulær,hvisallevinklerogsidererligestore.
6. Hvordanserenregulærtrekantud–oghvadkaldesdenogså?
7. Hvorstoreervinklerneienregulærtrekant?
8. Hvorstoreervinklerneienregulærsekskant?
9. …Hvadmedenregulærotte‐kant?
10. Opstil en formel for den enkelte vinkel i en regulær n‐kant. Forsøg at bruge en
matematiskformel.
Duskalnubetragtedineregulærefigurersomfliser,derkanlæggesienindgangtilethus.
9
Det viser sig nemlig, at man skal tænke lidt over, hvilke regulære fliser man køber ind, hvis
mangernevilhaveenindkørseludenmellemrummellemfliserne!
11. Kigpåbilledetovenfor,ogbeskrivmedord,hvadskerdesteder,hvorflisernemødesmed
andrefliser.Hvilkekraverdertilflisernesvinkleridisse”møder”?
Duskullenugernehavenåetfremtil,atdetikkeerligegyldigt,hvilkenformderegulærefliser
har.
12. Hvilkeformerafregulæren‐kanterkanflisernehave,foratdukanlykkesmedatdække
enindgangmedensfliser,udenatderopstårmellemrummellemfliserne?
13. Kandubruge12‐kantertildenneopgave?Hvorfor/hvorforikke?
14. Kanduudelukkenogenflisetyper?
Somenafsluttendedelafopgavenskaldunuprøveatlaveetmønsteraffliser,somikkekun
består af ens regulære fliser. Men kravet er igen: Der må ikke være mellemrum mellem
fliserne.
15. Fliselæg en indkørsel med regulære n‐kant fliser.Argumenterfor, hvilkekombinationer
affliser,dubrugerundervejs.
16. Skrivetkortresume(ca.20linjer)afdinearbejdsgange,ogsvarpåspørgsmålene1‐14.
Resuméetskalskrives,sådetkanlæsesafenklassekammerat,somikkehararbejdetmed
spørgsmålene.Huskdevigtigstepunkter.
10
Kommentarertiltemaopgavenn‐kanter
Denne temaopgave består primært af små træningsopgaver med en indlagt
formidlingsopgave(opgave16).Temaopgavenharfokuspåatredegøreforteoriogimindre
gradpåatregnematematikopgaver.
Temaopgavenindeholderligeledesetelementafundersøgendekarakter(spørgsmål15).
Afleveringsdelen er resuméet og understreger dermed temaopgavens placering som en
formidlingsopgave.Mendererindlagt”kontrolfaser”iforbindelsemedopgave4,10og14.
OpgavenerprimærthenvendttilmatematikCeller1.g.
11
Temaopgave:Landmåling
Formål:Formåletmeddennetemaopgaveeratskabeindsigti,hvordantrigonometribliver
anvendtipraksis.
Arbejdsform:Gruppearbejde.
Produkt: Opgaven består af tre dele med hver sit problem med tilhørende underpunkter.
Besvarelserne til hver af de tre dele samles i en projektrapport. Husk at gøre rede for
metoderneideforskelligedelevedbrugafetpassendeantalmellemregninger,enforklarende
tekstsamtenskitseogevt.etbilledeafsituationen.
Ideopgaver,hvorIselvskalbestemmelængderellerhøjder,kanImedfordeltagebilleder(fx
medjeresmobiltelefon)oginkludereirapporten.Billedetkanikkeerstatteenskitse.
Materiale:GyldendalsGymnasiematematikgrundbogB1side34til46samtudleveredenoter
fraKnudErikNielsenogEsperFogh,Naturfagfor1.g(HAX‐data2000)skalliggetilgrundfor
opgavensbesvarelse.
Bemærk: Træningsopgaver skal ikke med i den endelige temaopgave, men er lektier til den
pågældendedag.
Afstandsmålingmedensvinkledetrekanter
Litteratur:Nielsen&Fogh:side188og189Grundbogen:s.34‐39(seovenfor)
Problemfelt:Hvordanmålermanenhøjdevedbrugafensvinkledetrekanter?
Træningsopgaver:
EfterNielsen&Foghopgave175side198.Gengivetmedtilladelsefraforlaget.
Underpunkter
a) Redegørfor,hvilkenmatematikdeternødvendigtathavekendskabtilforatbesvare
problemfeltet?Opskrivnødvendigebegreber,formlerdefinitioner,sætningerosv.
b) Kom med to eksempler på hvordan man bestemmer en højde. Husk en præcis og
uddybendeforklaringafmetoden,hvorIbrugerbegreberogsætningerfradela).
c) Hvilkestyrkerogsvaghedererdervedmetoden?
Konklusion: Skriv en sammenhængende konklusion, der indeholder, hvad I er
kommetfremtil.Husk,atkonklusionenskalbesvareproblemfeltet.
Afstandsmålingvha.vinkelmåling.
Litteratur:Nielsen&Fogh:side188og189Grundbogen:s.34‐39(seovenfor)
Problemfelt: Hvordan bestemmer man afstande mellem to punkter og højder af genstande
vedatmålevinkler?
12
Træningsopgaver:192side199iNielsen&Fogh.(seovenfor)
EfterNielsen&Foghopgave190og192side199.Gengivetmedtilladelsefraforlaget
Underpunkter
a) Redegørfor,hvilkenmatematikdeternødvendigtathavekendskabforatkunneløse
detteproblem?Opskrivnødvendigebegreber,formlerdefinitioner,sætningerosv.
b) Beskriv, hvordan man gør, når man skal bestemme en længde og en højde. Brug en
teodolit til at måle vinkler med, og husk en præcis og uddybende forklaring af
metoden,hvorIbrugerbegreberogsætningerfradela).
c) Hvilke styrker og svagheder er der ved metoden? Sammenlign denne metode med
metodeniførstedel.
Konklusion: Skriv en sammenhængende konklusion om, hvad I er kommet frem til.
Husk,atkonklusionenskalsvarepåproblemstillingen.
Tegningafkortvedtriangulering
Litteratur:Nielsen&Fogh:side196og197Grundbogen:s.40‐46(seovenfor).
Træningsopgaver:Opgave196og200side200iNielsen&Fogh(seovenfor).
Problemfelt:Hvordanlavermanetpræcistkortoveretområde?
EfterNielsen&Foghopgave196og200side200‐
201.Gengivetmedtilladelsefraforlaget.
13
Underpunkter
a) Redegørfor,hvadtrianguleringer.Hvilkematematiskebegreber,formler,definitioner
osv.ernødvendigeathavekendskabtilforatforstå,hvadtrianguleringer?
b) Beskriv,hvordanmangørvedattegneetkort.Huskenpræcisoguddybende
forklaringafmetoden,hvorvigtigebegreberfremhæves.
c) Hvilkestyrkerogsvaghedererdervedmetoden?Sammenligndennemetodemed
metoderneidetoførstedele.
Konklusion:Skrivensammenhængendekonklusionom,hvadIerkommetfremtil.Husk,at
konklusionenskalsvarepåproblemstillingen.
Kommentarertiltemaopgavenlandmåling
Denne temaopgave består af tre dele, som tilsammen udgør en projektrapport – den følger
megetstringentovervejelseromproblemfelt,redegørelseformetoder,behandlingafproblem
ogkonklusion.Formidlingsdelene/ræsonnementeterbundetoptildetgivneproblemfeltog
udgørsåledesendelafdenundersøgendekarakteriprojektdelen.
Projektrapporten kan sammen med træningsopgaverne udgøre en temaopgave eller indgå
medandreopgaveienstørretemaopgavederogsåkanpegemereellermindrefremmodden
skriftlige eksamen. Temaopgaven består altså for eleven af træningsopgaverne samt
projektrapporten, mens det kun projektrapporten der afleveres og rettes af læreren.
Træningsopgaverne kan evt. rettes af andre elever i gruppen eller gennemgås i løbet af
timerne.
14
Temaopgave:Klassiskgeometri
Formål
Idetteforløbskalduforsøgeatbrugematematiskemetodertilatnåfremtilsammenhænge
for geometriske figurer. Disse skal formuleres som matematiske sætninger som du skal
argumenterefor.
Produkt
I skal i grupper aflevere en temaopgave på ca. 3 sider bestående af svar på
arbejdsspørgsmålenenedenfor.Temaopgavenskaldannebaggrundforenfremlæggelse,hvor
Iskal”overbevise”jeresklassekammerateromdesammenhænge,sætningerogargumenterI
harfundet.
Arbejdsspørgsmål
Konstruer en tilfældig trekant vha. jeres CAS‐værktøj, og tegn de tre vinkelhalveringslinjer.
Deformer trekanten (ved at flytte rundt på dens hjørner), og undersøg, om I kan afsløre en
egenskabveddetrevinkelhalveringslinjerogderesskæringspunkt.
 Formulerresultatetsomensætning,ogovervej,hvorfordetkanpasse.
Tegn en cirkel med centrum i vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt, og juster cirklens
radius, så den netop rammer alle tre sider i trekanten (dvs. cirklen tangerer siderne i
trekanten).Lavsåompåtrekantensform(vedattrækkeiethjørne),ogse,omIkanjustere
cirklen,sådenstadigtangereralletresider.
 Formulerresultatetsomensætning,ogovervej,hvorfordetkanpasse.
(Tilsvarende spørgsmål om midtnormaler og omskreven cirkel, medianer og højder kan
tilføjes,hvisdetønskes–eventueltdelesudpåforskelligegrupper.)
Konstruerenfirkant,ogforbinddefiresidersmidtpunkter,såderdannesennyfirkantinden
idenførste.Deformerdenstorefirkant,ogholdøjemeddenlille.
 Hvad ser der ud til at gælde for den? Prøv at formulere en sætning, der omhandler
denneopdagelse,ogovervej,hvorfordenkanpasse.
Arbejdsform:pararbejde
Materialer:Noteromklassiskgeometri.
Kommentarertiltemaopgavenklassiskgeometri
Denne temaopgave er i udgangspunktet en formidlingsopgave, men har ikke en klassisk
opbygning.Denindeholderdogbådeproblemfelt,metoderedegørelse,behandlingafproblem
og konklusioner. Og der er eksperimenterende/undersøgende dele, samt krav til
ræsonnement.
Desudenindeholdertemaopgavenenformidlingsopgave,fordisammenhængeogargumenter
skalfremlæggesforrestenafklassen–gennemdetnedskrevne.
Der kan yderligere indlægges kortere skriveøvelser i den indledende del, f.eks.
hurtigskrivning om alt hvad eleverne på forhånd ved om trekanter, og differentiering, hvis
detteønskes.
Forud for arbejdet med temaopgaven ligger et kort forløb om klassisk geometri, herunder
matematikkensopbygning.
15
Temaopgave:Cosinus‐ogsinusrelationer
Formål
Atarbejdemedogforståetgeometriskbevis.Atskrivenoterforatskabeoverblikoverbevis.
Træningafmundtligogskriftligdimension.
Materiale
Kopieret materiale fra tre forskellige matematikbøger med de to beviser, samt ti udvalgte
eksamensopgaverindenforemnet.
Arbejdsform
Gruppearbejde.
Produkt
Mundtlige fremlæggelser for resten af klassen med baggrund i en ”drejebog”, som ikke skal
afleveres.
Besvarelseafudvalgteeksamensopgaver(somuploadestilklassenselektroniskeplatform).
Retning og kommentering af en anden gruppes opgavebesvarelser (som sendes tilbage til
gruppen,derharudarbejdetden).
Arbejdsgang
Studielæsdetrebeviser,samtidigtmedatItagernoterpåetstykkepapir.Hvilketafdetre
beviserforetrækkerI?Redegørfor,hvorforIforetrækkerdettebevis(denneforklaringskal
medijeresmundtligefremlæggelse).
Gennemarbejdnujeresudvalgtebeviser,såIkanfremlæggedet(laven”drejebog”).
Udvælgfemopgaverframaterialet,somIønskeratløse.Klargørargumenternefor,hvorforI
vælger netop disse opgaver. Forklaringen skal stå som indledning på jeres besvarelse.
Udarbejdbesvarelsen,oguploaddentilklassenskonference.
Hent en anden gruppes besvarelse af fem opgaver ned fra konferencen. Ret og kommenter
disseopgaver.Gennemlæskommenteringenafjeresegnebesvarelser
Kommentarertiltemaopgavencosinusogsinusrelationer
Denne temaopgave indeholder mange forskellige dele. Der indgår skriveøvelser (i den
indledende del af bevisførelsen), matematikopgaver (tidligere stillede eksamensopgaver),
formidlingsopgaver(”drejebogen”tilfremlæggelsen,redegørelserundervejs).
Retning og kommentering af andre gruppers opgaver inddrager forskellige dele af
ovenstående.
Alt efter hvordan man ønsker aflevering og fremlæggelse, kan der skrues på de forskellige
dele.Herunderhvormeget,derskalrettesaflærerenogafelever.
16
Temaopgave:Afstandeiplanogrum
Formål
Atskabeoverblikoverafstandsberegningiplanogrum–bådemedhensyntilberegningerog
medhensyntilbeviser.
Materiale
Grundbogensindholdomafstandeogafstandsberegning(Jensen,JessenogOvergårdNielsen:
Matema10kA‐niveau).
Iskaligruppenudvælgecentraleafstandsberegninger[herkanmansomlærerjustere,hvad
manønskerskalmed].DesudenskalIvælgeensætningforenafstandsformel,somIønskerat
bevise.
ArbejdsformGruppearbejde.
Produkt
Skriv en temaopgave, der indeholder oversigt over, hvad I vurderer, der er centrale
afstandsberegninger i plan og rum. Rapporten skal indeholde eksempler på
afstandsberegninger (enten som opgaver fra bog eller andet eller selvproducerede), og den
skalindeholdemindsteteksempelpåbevisforsætningforenafstandsformel.
Målgruppenforopgavenskalværeeleverpåsammeniveausomjer.
Rapportenskalværeielektroniskform,sådenkanformidlestilrestenafklassen.
KommentarertiltemaopgavenAfstandeiplanogrum
Denne temaopgave indeholder eksempler på formidlingsopgaver, idet målet er at formidle
beviserne.Materialetkanjusteresefterønske.Elevernekanselvfindeeksemplerpåopgaver,
ellerdekanfåsomopgaveatkonstruereopgaver.Detkangøremereellermindrefritforden
enkeltegruppeatvælgesætning,derskalbevises.
Dennetemaopgavegørdetnemtatniveaudifferentiere,daeleverneselvskalvælge,hvilken
sætning der skal bevises, og de lægger dermed selv niveauet for temaopgaven og det
tilhørende mundtlig eksamensspørgsmål. Det er afgørende, at eleverne får dette at vide på
forhånd.
17
Eksempler på eksamensspørgsmål til geometri ud fra temaopgaver Følgendeeksamensspørgsmålerformuleretudfraeksemplernepåtemaopgaverigeometri.
C‐niveau
Geometri
Redegørforn‐kanterpåbaggrundafdintemaopgave’n‐kanter’.
B‐niveau
Geometri
Redegørforlandmålingpåbaggrundafdintemaopgave’landmåling’.
B‐ellerA‐niveau
Geometri
Redegørforlandmålingpåbaggrundafdintemaopgave’landmåling’.
Fremlægogbeviscosinusrelationen.
A‐niveau
Geometriogvektorer
Redegør for klassisk geometri på baggrund af din temaopgave ’klassisk
geometri’.
Udvælgeksemplerpåsætninger,ogfremlægmindstétbevis1.
A‐niveau
Geometriogvektorer
På baggrund af din temaopgave ’afstande i plan og rum’ skal du redegøre for
beregningafafstandeiplanogrum.
Vælgselvénellerfleresætningeromafstande1,ogbevisdenvalgtesætningeller
devalgtesætninger.
1
Vi har diskuteret, om kravet i formuleringerne er klare nok. Det er naturligvis afgørende, at læreren grundigt orienterer om, hvordan valg har betydning for karakteren. Desuden er spørgsmålet et eksamensspørgsmål på A‐
niveau. Den enkelte elever skal hjælpes til at vælge et eller flere beviser, som vedkommende magter at fremlægge. Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed
18
Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression Forfatteretildel2:UllaJakobsen,LouiseJensen,IbMichelsenogCamillaZacho
Omgruppensarbejde: Idennegruppeerarbejdetmed,hvordanmankanarbejde
medskriftligmatematikpåflereforskelligemåder.Dettebetyderatdeforslagogideersomer
blevet udarbejdet her, kan finde anvendelse indenfor hele spektret af skriftligt arbejde på
ungdomsuddannelserne.
Hvor den forrige gruppe havde 16 forskellige temaopgaver er resultatet af anstrengelserne
denne gang 16 forskellige former for skriftligt arbejde. Dette kan forhåbentligt give
inspirationtilattræneeleverneialtfraskriftligeksamenovertemaopgavertilSRP.:
Variation i det skriftlige arbejde I det følgende gives en række eksempler på elementer til variation af det skriftlige arbejde.
Eksemplerneersomfølger:
1.Vurderingafautentiskeelevbesvarelser.
2.Teorikoblettilopgaver.
3.Opgavermedindbyggedefejl. 4.Opgavermedgoderådogvink. 5."Stilladseringsopgaver"
6.Mindmaps
7.”Findender….”(CooperativeLearning)
8.”Hvadharjeghaftom?”
9.Konstruktionafspil 10.BrugafClickers
11.Konstruktionafopgaverr
12.Manuskripttilmundtligeksamen
Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression
19
1.Vurderingafautentiskeelevbesvarelser.
Skriftligafleveringover2omgange.
Løs nedenstående opgave og lav din besvarelse, som du ville gøre til en
eksamen.
Opgave.
Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9.klasse på efterskole i perioden
2000‐2003,kantilnærmelsesvisbeskrivesvedmodellen
y=6410 1,06x,
hvoryerantaleleveri9.klassepåefterskoleogxerantalårefter2000
a) Hvadfortællertallene6410og1,06omantaleleveri9.klassepå
efterskolen?
b) Hvormangeelevervarderi9.klassepåefterskolei2004ifølgemodellen?
Kommentermodellen,nårdetoplyses,atantalletafeleveri2004var
8118.
Angiv hvor mange point ud af 10, der skal gives til hvert spørgsmål i
følgendebesvarelserogbegrundditvalg.
Eksemplerpåautentiskeelevbesvarelserafspørgsmåla):
Eksempel1:
Deterkonstanterieneksponentieludvikling
Eksempel2:
Deternogentalienformelderbrugestilatberegnehvormangeeleverdergik
påefterskoleefteretvistantalårefter2000.
Eksempel3:
Derertaleomeneksponentielfunktion.Tallet6410fortæller,hvormangeelever
dervari9.klasseiår2000,mens1,06fortæller,hvormegetelevtalletvokserpr.
år.
Eksempel4:
berudgangspunktet(værdienafyvedx‐aksens0)
6410stårpåb’spladsogeraltsåantalletafeleveriår2000
1,06stårpåa’spladsogerfremskrivningsfaktor.1,06svarertilenårligvæksti
elevtalletpå1,06‐1=0.06=6%
Eksempel5:
6410=antaleleveri2000
1,06=erhvormegetdetstigermedpr.år.
20
Eksempel6:
Tallet6410betyder,atderiperiodensstart,iår2000,var6410eleveri9.klasse
påefterskole.
Tallet1,06betyderatantalletafeleveri9.Klassepåefterskoleerstegetmed6%
omåretiperioden2000‐03.
Eksemplerpåautentiskeelevbesvarelserafspørgsmålb):
Eksempel1:
6410 1,064=8092,48
Ifølgemodellenvarelevtalletstegettil8092i2004
Modellenertætpåatværeheltpræcis.Afvigelsenpå26erganskelidtudafdet
samledeelevtalogmåsigesatværeplot,nårmantageribetragtninghvormange
forholdomkringvalgafefterskole,sommodellenikkekantagehøjdefor.
Eksempel2:
y=6410 1,064=8092elever
Iår2004varderaltsåifølgemodellen8092eleveri9.klassepåefterskole.
Når det oplyses, at der i virkeligheden var 8118 elever, må vi konstatere at
24
modellenvurderer24elevereller0,3%(
=0,003=0,3%)forlavt.Dermed
8118
måmodellensigesatrammemegetpræcist.
Måske også mere præcist end man kan forvente fordi det er tale om en
eksponentielmodel.Stigningenafantaleleverpåefterskolenmåkunforventesat
vokseeksponentieltienperiodefordiderikkeiændringeniantalletafeleveri
9.klasseefterskoleikkeisigselvliggereneksponentielvækst.Detmåvurderes
atværeettilfældeatmankananvendedennemodel–ogmodellenmåforventes
kunatværekorrektienkortereperiode.
Eksempel3:
Antaleleveri2004:
y=6410 1,064=8092,48
Dererca.8092eleveri2004.
Detoplysesatantalletafeleveri2004var8118.Detfortælleratelevtalletvokser
merenogleårendandre.Modellenersåledesikkeheltentydig.
Angiv hvor mange point ud af 10, der skal gives til din sidemands
besvarelse.
Lavdinbesvarelse(om),sådufårflestmuligepoint.
21
2.Teorikoblettilopgaver.
Afleveringieksponentiellesammenhænge
a)
Beskriv3metodertilatfindefremskrivningsfaktoren,nårman
1. kender2punkter
2. kendervækstraten
3. kenderfordoblings‐ellerhalveringskonstanten
b)
Enrækkeopgaverderbenytterde3ovenståendemetoder.
a)kanevt.diskuteresislutningenaftimenparvis/gruppevismv.
3.Opgavermedindbyggedefejl.
Læreren udarbejder et antal opgaver med indbyggede fejl. Det kan være manglende
indledende tekst, konklusioner, enheder, figurer, definition af ukendte størrelser og
forskelligeformerforregnefejlmm.
Eleverneretteropgaverne(finderfejlene)entensomenafleveringelleritimerne.
Opgave1.
Figuren viser en gavlkonstruktion i et sommerhus. Nogle af konstruktionens mål ses på
figuren.
a) BestemlængdenafbjælkerneAB
ogBD.
b) Bestem længden af bjælken BC
samt
BCD
Besvarelseafopgave1(medfejl):
Figuren(seopgaven)viserengavlkonstruktionietsommerhus.
Udsnitaffiguren:
22
B=180°‐36°‐25° B=119°
Finderd:
d
5


sin(25 ) sin(119 )
5 sin(119o)
sin(25o) d

d 10,34
Findera:
5
a
o
o
sin(36 ) sin(119 )
5 sin(36o)
sin(119o)
a

a=3,36
dvs.bjælkenBDerca.3,36mlang
23
Nytudsnitaffiguren:
Finderx:
x2=62+3,362‐2 6 3,36 cos(65°)
x= 36 3, 36 2 12 3, 36 cos(65 o) x 5,5m
(
BCD=
C)
FindervinkelC:
cos(C )
62
5, 5 2 3, 36 2
2 6 5, 5
C=33,6
Opgave2.
Påeturhardenstoreviserogdenlilleviserlængderpåhenholdsvis6cmog4cm.Hvorstor
erafstandenmellemvisernesspidserkl.14.00?
Besvarelseafopgave2(medfejl):
24
12
x
6cm
14
60°
4cm
x2=62+42‐2 6 4 cos(60°) x2=36+16‐48 cos(60°) x2=28) x= 28
x 5,29
dvs.afstandenmellemdenstoreviserogdenlillevisererca.5,3cm
4.Opgavermedgoderådogvink.
Løsnedenståendeopgaveoglavdinbesvarelse,
somduvillegøretileneksamen.
Opgave.
Enkasseskallavesafenrektangulærmetalplade.
25
Pladenslængdeer60cmogpladensbreddeer40cm
I hvert hjørne af pladen fjernes et kvadrat med sidelængde x, og siderne foldes op langs de
stipledelinjerogsvejsessammentilenkasse.
Kassenskallaves,sådenfårdetstørstmuligerumfang.
a)Finddenværdiafx,dergiverdetmaksimalerumfang.
Goderådogvink:
1. Findenformelforlængde,breddeoghøjdevedhjælpafx,
2. Lavenformelforkassensrumfang.KaldrumfangetforV(x).
3. Angivdetmindsteogdethøjestetal,somxkanvære.
4. Lavenmonotonilinjefordinrumfangsfunktion,V(x).
5. Bestemudframonotonilinjen,hvadxskalværefor,atrumfangeterstørstmuligt.
6. Huskenhedikonklusionen.
5. Stilladseringsopgaver (temaopgaver og almindelige
opgaver)
a)Beregningerneergivet,ogelevenskallavedenforklarendetekst.
b)Denforklarendetekstergivet,ogelevenskallaveberegningerne.
c)Udfyldningsopgaver.
6.Mindmaps
Detoeksemplernedenforerautentiskeelev‐produceredemindmaps
26
27
Mindmapskanbådelavesitimerneogsomaflevering.
28
7.”Findender….”(CL)
Findender…..
kansigePythagorassætningmedord
Skrivdenher:_____________________________________________
________________________________________________________
kanformlenforailineærvækst
Skrivformlenher:_________________________________________
________________________________________________________
kanformlenforaieksponentielvækst
________________________________________________________
ved,hvadaiforskriftenforet2.gradspolynomiumsigerom
parablen
Skrivsvarether:___________________________________________
________________________________________________________
kanformlenforparablenstoppunkt
________________________________________________________
kanfortælle,hvornårmanskalbrugecosinusrelationernetil
atbestemmeenvinkel
Skrivsvarether:___________________________________________
findeenandenbetegnelsefor”denafledede”
Skrivbetegnelsenher:______________________________________
________________________________________________________
kanfortælle,hvadailineærvækstermedetord
Skrivsvarether:___________________________________________
_________________________________________________________
kanfortælle,hvadaieksponentielvækstermedetord
Skrivsvarether:___________________________________________
________________________________________________________
kanfortælle,hvadintegralregningf.eks.kanbrugestil
Skrivsvarether:___________________________________________
________________________________________________________
kanforklare,hvadenligebenettrekanter
Skrivsvarether:__________________________________________
_______________________________________________________
Underskrifter
29
8.”Hvadharjeghaftom?”
Skriv½‐1sideomdetemne,duligeharhaftom‐afleveresevt.ogsåtildindansklærer.
9.Konstruktionafspil
Vendespil(f.eks.medformlermanskalkunneudenhjælpemidler).
Brætspil(f.eks.medformlermanskalkunneudenhjælpemidler).
Kortspil(somdemfraTrip).
Bankospil.
Puslespil (eksamensopgaver og/eller beviser klippes i stykker; eleverne samler dem i den
rigtigerækkefølge).
10.BrugafClickers
Alleeleverertvungettilatskrivenoget.
11.Konstruktionafopgaver
Elevernekonstruererselvopgaver,somløsesafandreeleveriklassen.(evt.trækenopgave
frahattenogregndenpåtavlen).
12.Manuskripttilmundligeksamen
Da eksamensspørgsmålene er kendt på forhånd, kan man lade eleverne lave en skriftlig
præsentationafétellerflereeksamensspørgsmålsomaflevering.
Fokusskalsåbl.a.værepå,omeleven
‐ redegørforcentraledeleindenforemnet.
‐ haroverblik.
‐ kan gøre rede for begreber og definitioner (og evt. sætninger og beviser afhængig af
niveauet).
‐ Kantolkeogopstillemodeller.
30
Processkrivning og rettestrategier Fraopgaveformuleringtilevaluering
I det følgende behandles det skriftlige arbejde som evalueres og kommenteres af
underviseren.
Det skriftlige arbejde har til formål at udvikle elevernes matematiske kompetencer og
studieforberedende skrivekompetencer samtidig med, at eleverne tilegner sig faglig viden.
Arbejdet med at udvikle elevernes kompetencer gennem det skriftlige arbejde kan
tilrettelæggesinogletrinfraudarbejdelseafselveopgaveformuleringentilevalueringafdet
skriftligeprodukt:
1. Udarbejdelseafopgaveformuleringmedeksplicittekravtilelevensskriftligeprodukt.
2. Vejledningogcoachingundervejsiskriveprocessenogløbendevejledningafeleverne.
3. Evalueringmedspecifiktfokus
Nedenforernogleforslagtil,hvordanmankantilrettelæggedeenkeltetriniforløbet,oghvad
manbørhaveitankerne,nåropgavenformuleres;skriveprocessenerigang,ogdetendelige
produktevalueres.
Trin1:Eksplicittekravtildetskriftligeprodukt
Som underviser skal man gøre sig klart, hvad der er opgavens formål, mål og genstandsfelt
samt, hvilke formalia og kompetencer der i særlig grad evalueres. For at tydeliggøre de
eksplicittekravtilelevensskriftligeproduktbørenopgaveformuleringindeholdefølgende
 Beskrivelseafformål,måloggenstandsfelt.
 Angivelseafspecifikkekravogformatsamtgenre.
 Informationomhvilkekompetencerdertrænesogevalueres.
 Beskrivelseafevalueringskriterier.
Formål,mål,genstandsfelt,formaliaogkompetencervilvarieremellemdeforskelligetyperaf
opgaver og inden for en enkelt type af opgaver. Forudsætningen for at eleven kan arbejde
målrettetiforholdtilevalueringskriterierneer,atelevenved,hvaddeenkeltekompetencer
dækkerover.
Eksemplerpåopgaveformuleringerkansesibilag1.
Trin2:Skriveprocessenogløbendevejledningafeleverne
Som hjælp til at komme i gang med et skriftligt produkt kan eleverne bruge forskellige
tænkeskrivningsteknikker som eks. mindmapping, hurtigskrivning, brainstorming m.v. som
udgangspunktfordetendeligeprodukt.
En anden mulighed er, at eleverne individuelt eller i mindre grupper arbejder med deres
skriftlige produkt i den skemalagte undervisning. Her kan de arbejde med beregninger,
bevisførelse,formuleringerogpræcisionitekstafsnit,fortolkninger,analyserellerandetkan
indgåidenprocesorienteredeskrivning.
For at bevidstgøre eleverne om hvad de forskellige studieforberedende skrivekompetencer
dækkerover,kaneleverneanalyseretekstermedhenblikpåatafdække,hvordanforskellige
skrivekompetencerbrugesiteksterne,somevt.kanværeudarbejdetafeleverneselv.
Afhængig af omfang, krav og indhold i det skriftlige produkt har eleverne løbende brug for
vejledning fra underviseren. Vejledningen kan være kollektiv eller individuel afhængig af,
31
hvad elevernes behov er. Hvis eleverne arbejder med den samme opgaveformulering, kan
kollektivvejledninggivedemfagligeogstrukturelleinput,menderkanogsåværebehovfor
individuelvejledningellervejledningimindregruppermedforskelligtfokus.
I de situationer, hvor eleverne arbejder med forskellige opgaver (differentierede krav), kan
den kollektive vejledning især være centreret omkring formalia, mens individuel eller
gruppevejledningkanfokuserepådetfagligeindhold.
Responsogcoaching
Coachingogresponskanudformespåforskelligemåder–individueltellerigruppe–ogmed
evaluering fra både underviser og elever. Som eksempel kan eleven/gruppen aflevere et
delvist færdigt produkt, en udvalgt del af det endelige produkt eller en genaflevering af et
tidligere produkt. Underviseren, en elev eller en gruppe giver mundtlig og/eller skriftlig
respons på det afleverede produkt. Respons kan evt. være fra både underviser og elever og
havesomsigte,atelevernegennemcoachingfralærerenbliveristandtilatgivekonstruktiv
kritik på det faglige indhold, valg af metoder, disposition, notation, om teksten er sproglig
korrekt, om tankegangen fremgår klar mm. Gennem coaching og respons vil eleverne blive
bevidste om, hvad der karakteriserer et godt og et dårligt skriftligt produkt og kan bruge
deresvidentilatkvalificerederesegneskriftligefremstillinger.
Ved procesorienteret feedback er det vigtigt, at der er fokus på styrker og svagheder i det
produkt,derevalueres,ogateleverneerinstrueretiatcoacheoggivehinandenkonstruktiv
respons.
Trin3:Slutevaluering
Evalueringafdetskriftligearbejdeskalskeioverensstemmelsemeddeevalueringskriterier,
der er udstukket i opgaveformuleringen og handler både om at evaluere kompetencerne og
givekonstruktivkritik,somelevernekanbrugetilatudvikledereskompetencer.
Fokus:Bedømmelseskriteriervedskriftligeksamen
Evalueringskriterierne ved bedømmelse af det skriftlige eksamenssæt er almengyldige
uanset, hvilken type skriftligt produkt eleverne arbejder med, og derfor skal de have disse
kriterierforøje,nårdeudarbejderderesskriftligeprodukter.Foratbevidstgøreeleverneom
hvorvidt deres tankegang fremgår klart af det skriftlige produkt, kan man benytte et
evalueringsark (se bilag 2.) som følger den enkelte elevs besvarelser, og som udfyldes af
underviseren ved bedømmelsen af det skriftlige produkt. Arket skal bruges som et
supplementtildekommentarer,dertilføjesidetskriftligeprodukt.Evalueringsarketvilover
tid give både lærer og elev et indblik i, om eleven er i stand til at lave skriftlige produkter,
hvorbl.a.tankegangenfremgårklart.Evalueringsarketvilogsåtydeliggøre,omderernogle
generelle mangler, som går igen i de skriftlige produkter, hvilket giver eleven mulighed for
merebevidstatarbejdepåatforbedresineskriftligeprodukter.
Fokus:AnvendelseafIT‐værktøj
Et mere specifikt fokus for evalueringen kan være elevens anvendelse af IT‐værktøjer som
eksempelvis CAS, dergiver mulighed for at bruge et interaktivt redskab, hvor forskrifter og
variable defineres, kommandoer anvendes, delresultater genbruges, simuleringer foretages,
dataanalyseresosv.
32
Evalueringenskalvurdereihvilketomfang,elevenudnytterIT‐værktøjet,oghvilkestyrkerog
svagheder der er i elevens brug af IT‐værktøjet. Man kan give forslag og eksempler på,
hvordan eleven kan udnytte værktøjets faciliteter samt give eleven indsigt i fordele og
ulempervedbrugafIT‐værktøjet.
Fokus:Pointogopsamling
I en skriftlig aflevering som indeholder besvarelser af eksamensopgaver kan underviseren i
evaluering nøjes med at angive antal point ud for de enkelte delopgaver i henhold til
bedømmelseskriterierneveddenskriftligeeksamen.Nårbesvarelserneudleverestileleverne,
skal de i par eller mindre grupper gennemgå deres besvarelser og vurdere, hvad der skal
tilføjesforatopnåethøjerepointtalidelopgaverne.
Fokus:Lavenopgave,besvarenopgaveogretenbesvarelse
Eleverne kan selv prøve at formulere opgaver, og for at de kan vurdere kvaliteten af deres
egenopgaveformulering,kanenandenelevbesvareopgaven,somefterfølgendebedømmesaf
den,deroprindeligtstilledeopgaven(sebilag1).Fokuskanværepå,omdenstilledeopgave
ermeningsfuldogkvalitetenibesvarelsenafopgaven.
Som lærer kan man kommentere både opgaveformuleringen, elevbesvarelsen og
elevevalueringen. Det giver eleverne mulighed for at sammenligne deres egen bedømmelse
medlærerensbedømmelse,ogdekanderigennemvurdereihvilketomfang,deeristandtilat
findefejlogmanglersamtstyrkerogsvaghederiengivenopgavebesvarelse.
Bibliografi
Niss, M., Jensen, T. H., Andersen, T. B., Andersen, R. W., Christoffersen, T., Damgaard, S., et al. (2002). Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning. Undervisningsministeriets forlag. Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression
33
Del 3: SRP i matematik Forfatteretildel1:DortheAgerkvist,TorbenSvendsenogRasmusØstergaard.
Om gruppens arbejde: I det forrige udviklingsprojekt var fokus på at nogle generelle
overvejelser over det at skrive SRP i matematik. Dette er nu blevet forsøgt uddybet på to
måder:
For det første er udarbejdet tre forløb om henholdsvis Det Gyldne Snit, Kryptering og
Radiaktivt Henfald, som viser hvordan man gennem de tre år på matematik A kan træne
eleverne i at skrive SRP gennem mindre opgaver Desuden er der blevet udarbejdet nogle
generelleovervejelseroverhvadderkendetegnerengodSRPognoglegoderådtil,hvordan
man gennem læsestrategier andre former for træning iat tilegne sig nyt stof kan forberede
elevernebedstmuligttilatskriveengodSRP.
Det gyldne snit i 1. g Mål
-
Træne at skrive elementære matematiske tekster på computer inkl. billeder, formler
ogtabeller
Brugegeometriprogram
Læseenelementærtekstselvometfagligtemne,herdetgyldnesnit
Rammerogvilkår:6timer
Afslutningsprodukt:Max.2sidertekstderudoverfigurer.Tekstenskalværerettet
modelevpåtilsvarendetrin.Produktetkommenteresafdeandreelever.
Eleverne sætter sig selv ind i det matematikfaglige, men de undervises i brug af
geometriprogram. De undervises også i, hvordan man skriver formler, laver tabeller og
indsætterbilleder.
Aktiviteter
Elevernepræsenteresforproblemformuleringensamtformåletmedforløbet.
Eleverne starter med at læse selv om det gyldne snit, fx kap. 1 i ’Det gyldne snit’ af Jesper
Frandsen,Systime1991.Debesvarersmåspørgsmåltilteksten,herunderskaldelavesimple
konstruktioner med det gyldne snit i hånden samt indtegne det gyldne snit på et eller flere
udvalgtebilleder,fxAlbrechtDurer”TheAdorationoftheMagi”1504(http://www.albrecht‐
durer.org/Adoration‐Of‐The‐Magi.html).
Del3:SRPogmatematik
34
Derefter demonstrerer læreren brugen af et geometriprogram (fx geogebra) eller brug af
lommeregner til geometriske konstruktioner, og eleverne eksperimenterer selv med
størrelsenafdetgyldnesnitsamtatkonstrueredette.
Så introducerer læreren, hvorledes man indsætter formler i et tekstbehandlingsprogram,
kopiererbillederinditeksten,tegnerpåbillederosv.
Problemformulering:
Fortælomdetgyldnesnitoggivendefinitionafdette.Beskrivhvorledesdetgyldnesnitkan
konstrueres, gerne med eksempler. Forklar om sammenhængen mellem det gyldne snit og
kunstog/ellerarkitekturoggiveksemplerpådette.
Teksten skal indeholde formler, billeder, billeder med det gyldne snit indtegnet og tabeller,
samtværeskrevetsåenandenelevi1.gkanlæsedetudenatvidenogetomdetgyldnesnit
påforhånd.
Evaluering
Teksterne læses og kommenteres af en anden gruppe. Teksten rettes til, og det tilrettede
læsesaflæreren.
Dergivesikkekarakterer.
Succeskriterieter,atelevernelavernoglepæneogforståeligetekster.
-
Eleverneskalselvlavesmåbeviserogformidledemskriftligt.
Del3:SRPogmatematik
35
-
Konstrueresmåeksemplerselv.
Eleverne skal bevidstgøres om matematiske metoder, her deduktiv kontra induktiv
metode.
Rammerogvilkår
10 timer herefter aflevering med løsning af 2. gradsligningen, et eller flere beviser og egne
eksempler.
Aktiviteter
Eleverneskalopstilleogløse2.gradsligningerne.Delæserdetteselvf.eks.efterBjørnGrøns
noter
fraemu’en s. 2 ‐ 7. Noterne er bygget op med mange øvelser undervejs, som eleverne laver
selv undervejs. De arbejder selvstændigt og i grupper. Undervejs laver de også selv små
geometriskekonstruktioner,ogsåiandregeometriskefigurer.
Derefterskaleleverneselvprøvesigfremmedatfindedetgyldnesnitigeometriskefigurer
samtihverdagstingog/ellerbilleder.
Eleverne præsenteres for Fibonaccitallene og opskriver de første 12 tal. Derefter udregner
eleverne forholdet mellem de to foregående tal og opdager, at dette nærmer sig det gyldne
snit.
Såintroducererlærerenbegreberneinduktivogdeduktiv,samtdiskutererdissemetoderog
deresbrugmedeleverne.
Elevernearbejdermedderesaflevering.Deudvælgerselvhvilkebeviser,devilhavemedjf.
problemformuleringen,samtkonstruerereksemplerselv.
Problemformulering
Iskalpræsenteredetgyldnesnitoggiveeteksempelpåkonstruktionafdette.SåskalIløsede
gyldne 2. gradsligninger. I skal bevise to selvvalgte egenskaber for Ф og /eller Ф’. Desuden
skalIlavenedenståendeopgave.Iskalogsågivemindsteteksempelfrahverdagenpå,hvor
mankanmødedetgyldnesnit.EksempletskalIselvfinde.
Del3:SRPogmatematik
36
Som opgaver kan man både bruge konstruktionsopgaver og små beviser. Dette giver en
mulighed for at lave undervisningsdifferentiering. Man kan også udlevere et bevis med
’blankepunkter’i,somelevernesåselvskaludfylderesten.
Eksemplerpåbeviser:
1. Visat1+Ф‐3=Ф(1–Ф‐3).
2. Visat(Ф+1)(Ф–1)=Ф.
1
Ф 1
3. Vis at
Ф
4. Denkortesideiengyldentrekantharlængdena.Angiv,udtryktvedФ,længdenafde
tolængstesider.
5. Delangesideriengyldentrekantharlængdena.Angiv,udtryktvedФ,længdenafden
korteside.
6. I den gyldne trekant ∆ABC, hvor siden BC er den korte side, indtegnes
vinkelhalverings‐linienfraB.DenneskærersidenACipunktetD.
Angivforholdetmellemarealerneaf∆ABCog∆BDC.
AndreforslagkanfxfindesiJesperFrandsen,De(t)gyldnesnit.
Evaluering
Produktet er en skriftlig aflevering til læreren på max. 5 sider. Læreren retter og
kommenterer.Dergiveskarakterer.
Del3:SRPogmatematik
37
-
Læseogforståenhistoriskmatematisktekstogoversættedettilnutidensmatematisk
sprog
Styrkeelevernesbevistekniskeevner(induktionsbeviserogrekursionsbeviser)
Øgeelevernesmetodebevidsthed
RammerogvilkårEtforløbmed10modulerá95min.
Aktiviteter: Læreren introducerer Fibonaccitallene og fortæller om sammenhængen
meddetgyldnesnit.Dereftergennemgårlærerensmåbeviserafforskelligetyper,fxdirekte
bevis,induktionsbevisogrekursionsbevis.Elevernelæserbeviserneogtrænerdemmundtligt
vedatfremlæggeforhinandenismågrupper.
Derefterlæsereleverneselvenoriginalmatematisktekstogoversætterdettilnutidigtsprog.
Dette gøres i grupper. Det kunne være kaninproblemet eller hestekøbsopgaverne i Liber
AbaciafFibonacci(sefxKilderogkommentarertilligningerneshistorie,KirstiAndersen,Trip
1986,s.135ff),ellerbevisetforEuklidII,sætning11(sefxJesperFrandsen,De(t)gyldnesnit
s.153).
Nu får grupperne forskellige sætninger, som de selv skal lave et lille induktionsbevis for.
Arbejdetafleveresoglærerenretterdet.Detkunnefxvære:
1. BevisformlenF1+F3+F5+…+F2n–1=F2n
2. BevisformlenF2+F4+F6+…+F2n=F2n+1‐1
3. Bevisformlen12+22+32+42+…+n2=
2
4. BevisformlenFnFn+1–Fn =FnFn‐1
AndreforslagkanfxfindesiJesperFrandsen,De(t)gyldnesnit.
Bageftergennemgårelevernebeviserneimatrixgrupperforhinanden.Samtidigudleveresdet
rettedeskriftligearbejdetildeandreelever.
Succeskriteriet er, at de andre elever kan læse og forstå beviserne.
Evaluering
Skriftlig aflevering til læreren, der kommenterer. Eleverne retter det skriftlige, der derefter
kopieresoggivestildeandreeleveriforbindelsemedgennemgangenafbeviserne.
Litteraturliste:
BjørnGrøn:NotertilDetgyldnesnitogFibonaccitallene,placeretpåwww.emu.dk
Del3:SRPogmatematik
38
JesperFrandsen,De(t)gyldnesnit–ikunst,naturogmatematik,Systime,2.udgave1999.
Kilderogkommentarertilligningerneshistorie,KirstiAndersen,Trip1986.
Kryptologi i 1.g: Formidling af kryptologiske grundbegreber Introduktion: Formålet med forløbet er, at eleverne skal forstå den grundlæggende
tankegang inden for basal kryptologi. Det der således er i fokus er vægten på selvstændig
tilegnelse af nyt matematisk stof, samt formidling af dette. Det der er centralt er derfor at
forstå matematiske begreber og definitioner og selvstændigt formidle disse gennem
selvstændigeeksemplerogforklaredissesåenligemandudensammespecialvidenkanforstå
det.
Planforfemlektioneromemnet.
Lektion1
Emne:Atknækkeenkode
Indhold: Eleverne skal knække kryptotekster – først et cæsar skift – så en almindelig
monoalfabetisk substitution –endelig en monoalfabetisk substitution med blokke af længde
fem.
Nyebegreber:
1)Klartekstogkryptotekst
2)Frekvensanalyse,bigramogtrigram
3)Monoalfabetisksubstitutionogadditivtkryptosystem(skift)
Lektion2 Emne:Transpositionogsteganografi Indhold:Præciseringafbegrebernetransposition,steganografiogsubstitution‐Brugafdisse
begreber omkring det at sikre information på forskellige måder –kryptosystem genereltog
anvendtpåmonoalfabetisksubstitution
Nyebegreber:
1)Transposition(stikord:Anagram)
2)Steganografi(stikord:Pin‐kode,usynligtblækog1‐bit
3)Substitution
4)Kryptosystem
Lektie:3 Emne:Overvejelseromkringkryptosystemer
Indhold:Definitionafdegenerellekategorier,arbejdemedetmonolfabateiskkryptosystem–
truslerne mod monoalfabetisk substitution via frekvensanalyse i islamisk og
europæisk middelader og renæssance (religiøse studier, udbredelse af bøger,
politiskeintriger)
Nyebegreber:
1)Krypteringogdekryptering
Del3:SRPogmatematik
39
2)Nøgleogchiffer
3)Kryptografi
4)Kryptoanalyse(stikord:lingvistik,statistisketest)
5)Matematiskproblemogbit‐størrelse
6)Frekvensanalyse(stikord:bigram,trigram)
7) Kerchhoff’s princip: Sikkerheden må kun bero på størrelsen af
nøglen
Lektion4 Emne:Hvorforikkebaremonoalfabetisksubstitution
Indhold:Kiggerpåforsøgpåatrepareremonoalfabetisksubstitutionoghvorfordetslogfejl.
Vurderingaftrusler,sårbarhed,risici,anvendelighedogstørrelsevedmonoalfabetisk
substitution
Nyebegreber:
1) Stærk monoalfabetisk substitution (Tomme symboler og
fejlstavning)
2)Trusler,sårbarhedogrisici
3)Anvendelighedogimplementering(stikord:
4)Styrkenafkoden(stikord:Bit‐størrelse,NPPproblem)
5)BrugafROT‐13idag
Lektion5 Emne:Formidlingafmonoalfabetisksubstitution.
Indhold:Introduktiontilskriftligøvelseiatformidlederesviden.Eleverneskalsvareskrive
enbesvarelseaffølgende
Opgaveformulering: Du skal med udgangspunkt i historien om Mary Stuarts cifferskrift
forklare monoalfabetisk substitution. Du skal herunder bruge relevante begreber, samt
herunderkommeindpåhvordandetvirker,samthvorformanholdtopmedatanvendedet
Litteraturliste: PeterLandrock&KnudNissen:Kryptologi–fravidentilvidenskab.Abacus1997,s.7‐35
Simon Singh: Kodebogen. Videnskaben om hemmelige budskaber fra oldtidens Ægypten til
kvantekryptering.OversatafJanTeuber,Gyldendal2001(engelskudgave1999),s.9‐59
Christopher Swenson: Modern Cryptoanalysis. Techniques for Advanced Code Breakting,
Wiley‐Publishing2008,s.xiii‐6
Del3:SRPogmatematik
40
Kryptologi i 2.g: Basal talteori og restklasseregning Introduktion: Formålet med forløbet er, at eleverne skal får kendskab til basale
definitioner og sætninger inden for talteori. Foruden en repetition af begreberne fra 1.g er
fokus på en selvstændig tilegnelse af nyt matematisk stof, men her vil der komme et øget
fokus på at bruge af definitioner og sætninger. Vejen til at gøre dette består i en øvelse
omkringenmatematiskanalyseafaffinesystemer.
Planforfemlektioneromemnet.
Lektion1
Emne:Affinesystemer
Indhold:Beskrivelseafskiftvedaffinafbildning–Bestemmelseafinversafbildningtilskift–
Lineærtransformation–Bestemmelseafinversafbildningtilskift(hvornårkandet
ladesiggøre)
Nyebegreber:Affinafbildning,herunderskiftoglineærtransformation
Lektion2 Emne:Divisionvedrest
Indhold:.Definitionafdivisibilitet‐Sætningomdivisionmedrest–Regningmedrestklasser
(additionogmultiplikation)
Nyebegreber:Divisor,kvotientogmultiplum,Moduloogprincipalrest
Lektion3 Emne:FællesDivisor Indhold:EuklidsAlgoritme
Nyebegreber:Fællesdivisior,størstefællesdivisorogprimisk,linearkombination
Lektion4 Emne:Kongruensregning
Indhold:Regningmedkongruenser–forkortelseikongruenser
Nyebegreber:Kongruentmodulon,indbyrdesprimiskogEulersφ‐funktion
Lektion5 Emne:Inversfunktiontilaffinafbildning
Indhold:Inverstelementogkriterierforinverstelement
Nyebegreber:Inverstelementmodulon,kryptoanalyseafaffineafbildninger
Projektopgave:Somafslutningskrivereleverneenopgaver,hvorfokuserpåkorrektbrugaf
definitionerogsætninger,samtenselvstændigformidlingafmatematiskstof.
Opgaveformulering: Du skal redegøre for, hvilke krav man kan stille til a og b, for at den
affine afbildning f ( x)  ax  b(mod 29) beskrive et kryptosystem. Du skal videre bestemme
Del3:SRPogmatematik
41
den inverse funktion til f, samt redegøre for, hvor mange affine afbildninger der giver et
kryptosystem. Endelig skal du gennem egne eksempler vise, hvordan man laver
kryptoanalyseafaffinesystemer.
Litteraturliste:
Neil Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics
114).Springer19942(1987),s.54‐58.Helekapitel3:Cryptographyerspændende(mensvært
til2.g)
PeterLandrock&KnudNissen:Kryptologi–fravidentilvidenskab.Abacus1997,s.70‐94og
s.134‐135(opgaveromaffinesystemer–anbefales)
Kryptologi i 3.g: Enigma og andre kryptosystemer Introduktion:Formåletmedforløbeter,ateleverneskalhavetræningiatanvendeden
grundlæggendetankegangindenforanvendtkryptologi.Fokussomi2.gerstadigtmereden
selvstændigetilegnelseafnytmatematiskstof,samtformidlingafdette.Detderihøjeregrad
endfør,erdetskriftligearbejdeogmulighedenforatbearbejdematematiskstof.
Projektopgave:SomtræningiatskriveSRP,erfokusherpåselvstændigformidlingog
perspektiveringaflæststof,tildetmateriale,somelevernehararbejdetmedi1.gog2.g.Det
klartbedsteelevmaterialepådanskfindespåhttp://www.matematiksider.dk/enigma.html,
som specielt for dygtige elever er rigtig god. Man bør overveje at lave løbende retning, så
fokuskommerpåelevernesprodukt.Eleverneskaltilsidstbesvarefølgendeopgave:
Problemformulering:
Du skal først med udgangspunkt i kryptologiske
grundbegreber redegøre for, hvordan Enigma fungerer. Du skal dernæst diskutere hvilke
matematiskemulighedermanfraallieretsidehavdeforatbrydekoden.
Del3:SRPogmatematik
42
Radioaktivitet og sandsynlighed i 1g Mål
Eleverneskalefterdetteforløb
a) have fået en introduktion til modellering
b) være i stand til at lave regression med et passende værktøj
c) kunne lave tabeller med data og indsætte grafer i et tekstbehandlingsprogram
d) sortering af information
Aktiviteter
Simuleringmedterninger
Der skal et stort antal terninger, der skal gøre det ud for radioaktive kerner. Terningerne
kastes og de terninger, der viser 6 er henfaldet og lægges bort. Der kastes igen med de
resterende terninger, og igen lægges de henfaldne terninger bort. Således forsættes der et
passendeantalgange.
Tilsidstvurderesdet,hvorlangtidderergåetmedmellemhvertkast.
Del3:SRPogmatematik
43
Påfigurener t tiden, N antaloverlevendekernerog t tidenmellemtokast.Iløbetaftiden
t henfalder1/6afkernerneog5/6overleversvarendetilenfremskrivningsfaktorpå5/6.
Detkananskueliggørespåfølgendemåde:
t  t N 5 6
Der altså tale om eksponentiel vækst. Forsøget kan bruges som en introduktion til
modellering,herunderforskellenmellemdeterministiskeogstokastiskemodeller.
Produktkrav:
Tabelmedresultater
Enfitningmeddeneksponentiellemodelvedhjælpafregression
EnpassendegrafiskfremstillingderkanbrugessombilagtilenSRP‐opgave
Simuleringmedcomputerprogram
Simulering kan udbygges med et passende hjemmelavet computerprogram eller
lommeregnerprogram.
Programmetskalkunnelaveenlodtrækningsprocedureistilmedforsøgetmedterningerne
medforskelligehenfaldssandsynligheder.NedenforervisteteksempellavetiMaple.
Derødekasserhenfaldertilblåkasser.Idetvisteeksempelerhenfaldssandsynligheden10%
ogefter13sekundererder425kernertilbage.
Ved hjælp af programmet kan man for en given henfaldssandsynlighed bestemme antal
overlevende kerner N til forskellige tider t . Det muliggør en eksperimentel tilgang til
begrebethalveringstid.Foreneksponentielmodel
N  N0  at
erhalveringstidenbestemtved
Del3:SRPogmatematik
44
1
log  
2
T1 
log  a 
2
Herer a  1  p ,hvor p erhenfaldssandsynligheden,så
1
log  
2
T1 
log 1  p 
2
(1)
Ved hjælp af simuleringen fås sammenhørende værdier af p og T1 , der kan sammenlignes
2
med(1).
Produktkrav:
Entabelderpræsentererdevæsentligsteafdemangedata
Eneksperimenteleftervisningaf(1) Tidsforbrug
6timer
Formidling af resultater fra simuleringer i dagligdagssprog
Aktiviteter
Forløbeterplanlagttilatfindested,nåreleverneerfortroligemeddifferentialkvotientenog
denstolkningsomenhastighed.
Simpelthenfald
Førstdiskuteresligningen
dN
 k  N
dt
somenmodelforradioaktivthenfald.ModellenkanafprøvesifxModellus:
Del3:SRPogmatematik
(2)
45
Modelluskanhentesgratispåhttp://modellus.fct.unl.pt/
Det vil måske være en fordel hvis læreren indtaster modellen på forhånd, så der ikke skal
brugesformegettidpådetedb‐tekniske.
Modellenafprøvesforforskelligeværdieraf k ogforløbetafgrafenundersøges.
Produktkrav:
Enredegørelseforhvorfor(2)erenrimeligmodelforradioaktivthenfald.
Enforklaringidagligdagssprogpåhvilkenbetydning k harforforløbetafhenfaldet.
Kædehenfald
Simuleringafkædehenfald,hvoretradioaktivtstofA,henfaldertiletandetradioaktivtstofB,
derhenfaldervideretilC,dererstabilt:
Systemetkanmodelleresmed:
Del3:SRPogmatematik
46
dA
 k1  A
dt
dB
  k2  B  k1  A
dt
dC
 k2  B
dt
(3)
Igen kan modellen afprøves i Modellus. Nedenfor er vist to eksempler. I begge tilfælde er
k1  0,1 mens k2  0, 2 idetførstetilfældeog k2  0, 05 idetandettilfælde.
A  B  C
Produktkrav:
Enredegørelseforhvorfor(3)erenrimeligmodelforkædehenfald.
Ensammenlignidagligdagssprogaf2forskelligesimuleringer.
Tidsforbrug
6timer
At kunne formulere beviser.
Aktiviteter
I2.gforløbeterdetbeskrevethvordanmodellen
dN
 k  N
dt
(4)
for radioaktivt henfald kan undersøges eksperimentelt ved hjælp af et simuleringsprogram
sommodellus.Nuerdettidtilmereteoretiskeovervejelser.
Del3:SRPogmatematik
47
Differentialligninger
Begrebetdifferentialligningerindføres.(4)løsesogderføresbevisforentydighed.
Produktkrav
Enredegørelseforhvordan(4)kanløsesogetbevisforeksistensforentydighed.
Neutronaktivering
Dernæstinddragesenmodelforneutronaktivering.Vedbeskydningaf103‐Rbmedneutroner
dannes104‐Rb,dererradioaktivt.Detgivermodellen
dN
 k  N  S
dt
(5)
hvor S erenkonstant,derudtrykkerhvormange104‐Rb,derdannespr.sekund.
Detviseshvordan(5)løses.
Produktkrav
Enredegørelseforhvordan(5)kanløses.
Tidsforbrug
10timer
Refleksioner og SRP DetfølgendepapirertænktsomnoglemereoverordnedeovervejelsertilarbejdetmedSRP.
Detersåledesikkesåkonkret,menkanforhåbentligtbidragetilovervejelserogdiskussioner
om,hvadderkankendetegneengodSRP.
TyperafSRP‐opgaver
Ikkeallestudieretningsprojektererens.Dererflere”genrer”ellermådermatematikkenkan
indgåpå.HerunderfølgerfemtyperSRPsomallestillerforskelligekravtillærereogelever.
Tilhverafdisseerangivettreegnedeemnerogenopgaveformulering.
I.Brugafmatematikilitterærsammenhæng
Emner:Kehlmann:MeasuringtheWorld,Mlodinow:TheDrunkardsWalkogAbbott:Flatland
Opgaveformulering:Flatlands[HI‐MA]
Med udgangspunkt i Abbotts Flatland og den vedlagte tekst, ønskes først en redegørelse for
Victoriatidensdebatteromsocialklasseogkøn.DernæstønskesmedudgangspunktiFlatlanden
Del3:SRPogmatematik
48
matematisk analyse af, hvordan et to‐dimensionelt væsen oplever en kegle, som passerer
Flatland, samt hvordan et tre‐dimensionelt væsen oplever en hyperkube passerer Spaceland.
EndeligønskesenvurderingafbetydningenafAbbottsværkforsinsamtid.
II.Brugafsimuleringellereksperimentelmatematik
Emner:Challenger‐ulykken,MeningsmålingerogVietnamlotteriet
Opgaveformulering:Challengerulykken[HI‐MA]
DuskalførstkortredegørefordetamerikanskerumfartsprogramindtilChallenger‐ulykkenmed
særligthenblikpåforholdetmellemNASAogdetpolitiskesystem.
Dernæst skal du gennem simuleringer i Datameter og brug af statistiske test undersøge
grundlagetforatmanvalgteatopsendeChallenger.
EndeligskaldudiskuterekonsekvenserneafChallenger‐ulykkenfordetamerikanskesamfundi
almindelighedogNASAisærdeleshed.
III.Brugafmatematiskemodeller
Emner:Epidemier,Radioaktivthenfaldogøkonomiskpolitik
Opgaveformulering:EpidemierogEpidemimodeller[HI‐MA]
DuskalførstredegøreformediernesforskelligescenarierforH1N1‐influencenfraforåret2010.
Duskaldernæstgøreredeformatematiskemodeller,somkanbrugestilatmodellereH1N1og
densspredning.DuskalherspecieltmedudgangspunktidenvedlagteopgaveudledeSI‐ogSIR‐
modellenogeksaktellernumeriskløsededifferentialligninger,somfremkommerpådenmåde
medforskelligevalgafparametre.
DuskalendeligbrugedissemodellertilatforudsigeudviklingenafH1N1iDanmarkiperioden
2009‐2010ogpåbaggrundherafdiskuteremediernesogdinemodellersforudsigelsesevner.
Bilag:
Opgave: Opstil en differentialligning for I (t ) i en simpel SI‐model, hvor den relative
væksthastighed af smittede er proportional med antallet af raske individer og hvor
N (t )  I (t )  S (t ) .Redegørforkarakteristikaforløsningertildifferentialligningen.
IV.Fagligformidlingmeddansk.
Emner: Artikel til Chili, Hjemmeside til Fuglsang Kunstmuseum, Undervisningsmateriale til
folkeskoleklasse
Opgaveformulering:Formidlingaffagligvidenompoker[DA‐MA]
Du skal udarbejde en skitse til en hjemmeside med tilhørende undersider med gode råd til,
hvordanmansomnybegynderbliver enhabilpokerspiller.Overvejhvordanmanpådenførste
sidekangørelæsereninteresseretiatstuderehjemmesidennærmere.
Del3:SRPogmatematik
49
Hjemmesiden skal rumme elementer, som ville være nyttige at kende for en kommende
pokerspiller. Du skal med løsning af de vedlagte opgaver specielt komme ind på
sandsynlighederne for udvalgte hænder, på hvornår det kan betale sig at folde/calle/raise og
hvordanmanlæserenmodstandervedbrugafBayessætning.
Hjemmesidens målgruppe er den alment interesserede og vidende læser, der gerne vil være en
habil pokerspiller. Besvarelsen skal med inddragelse af retoriske og argumentationsteoretiske
overvejelserbegrundedenvalgteformidlingsformirelationtilmålgruppen.Dubestemmerselv,
ombegrundelsenindlederellerafslutterbesvarelsen.
Bilag:Opgaver
Opgave1: Duhartomuligehænder:a)♠esog♣7b)♦8og♠8.Floppeter♣knight♠7og♥3.
Era)ellerb)denstærkestehånd?
Opgave2:
Dumeneratkunnegennemskue,atenandenspillermed15%sandsynlighederengalning,
somraiser90%afsinehænder.Med85%sandsynlighederhanenmerenormalperson,som
raiser15%afsinehænder.Iførsterundeundladerhanatraise.
Hvadersandsynlighedenforhanerengalningalligevel?
Opgave3:
Duharhånden♣esog♣4.Floppeter♦knægt♣3og♠8.Allechecker.
Detfjerdekorter♣5.Enspillerførdigbetter.Skaldufolde,calleellerraise?
V.Matematikikulturelellerhistorisksammenhæng.
Emne:
Islamiskvidenskab,dennaturvidenskabeligerevolutionogtheCalculusWars
Opgaveformulering:IslamiskMatematik
Derønskesførstenredegørelseforetudvalgafforskelligeteorieromforholdetmellemislam
ogvidenskabmedsærligvægtpåmatematikken.
Dernæst ønskes gennem en redegørelse for arbejder af matematikerne Al‐Khwarizmi,
Khayyamogal‐KashienanalyseafmatematikkensrolleindenforIslam.Duskaliforbindelse
hermedløsedenvedlagteopgave.
Endelig ønskes en diskussion af, hvilke af de førnævnte teorier der i lyset af denne analyse
bedststemmeroverensmeddetteorier,derblevredegjortforistartenafopgaven.
Bilag:
Opgave:
VisatdenprocedureOmarKhayyambeskrivertilatløse”Enterningogsidererligmedettal”
svarertilatløseligningen x 3  p 2 x  p 2 q .
Visogsåatligningenkanløsesvedatbestemmeskæringspunktetmellemenbestemtparabel
ogenbestemtcirkel.
Del3:SRPogmatematik
50
Afsluttende kommentar: Matematik og SRP Matematik i SRP kræver som antydet ovenfor andet end de kompetencer der er i spil til
skriftligeksamen.Blandtdissebørspecieltnævnesdenselvstændigeudvælgelse,tilegningog
formidlingafmatematiskstof.VilmangøreeleverneklartilSRPerdetderfornødvendigtat
arbejdemedandregenrerendtraditionelleskriftligeafleveringeridendagligeundervisning.
Hvordandettekangøresvilkortblivebehandletidetfølgende.
Tilegnelseafnytstof
Foruden et godt emne er det helt centralt at eleverne lærer at læse og forstå matematik på
egenhånd.Skaldelæredet,måmanbrugetidpåatlæredemdet.Eteksempelpåenskabelon
tilbrugitimernekanværefølgendefraEgåGymnasium2010:
Sådanlæsermanenmatematisktekst
Matematisketeksteradskillersigfradeflesteandrefagstekster.Deertitkomprimeredeog
byggetmegetsystematiskop.Manvilofteikkekunneforståetgivetafsnitudenathavelæst
ogforståetdetforegående.Denaturvidenskabeligelærebøgerindeholderfordetmestebåde
teoriafsnit,beviser,eksemplerogøvelser/opgaver.
Hvordanstudielæserdueteksempel?
Eksempler er gennemgåede/gennemregnede problemstillinger i relation til den behandlede
teori. Disse eksempler hjælper dig til at lære at takle opgaver ved at vise dig, hvordan
forskelligeproblemstillingerkanløses.Gennemgåeksemplernegrundigtsåduersikkerpå,at
duharforståetløsningsmetodenfordenpågældendeproblemstilling.Dettegøresvedselvat
regneeksempletigennemogfåstyrpåhvadderskerundervejs.
Hvordanstudielæserduetbevis?
Lavtokolonnerpåditpapir–idenvenstreskriverdubevisetnedlinjeforlinje,idenhøjre
skriver du forklaringer på hvad der sker fra linje til linje i beviset (evt. hvilke
sætninger/regneregler der benyttes). Derefter skal du i kolonnen til højre kolonne markere
hvisderoptrædergodeideer,sombærerhelebevisetognedenunderkanduevt.opsummere
debærendeelementeribevisetito‐tresætninger.
Hvordanbrugerdulærebogennårduskalløseopgaver?
Start med at bruge bogens stikordsregister til at finde den relevante teori. Led efter
eksempler (sandsynligvis i samme afsnit) med problemstillinger, der ligner. Øvelser og
opgaver vil ofte have en problemstilling svarende til de gennemgåede eksempler. Har du
forstået gennemgangen i eksemplet vil du være godt rustet til at løse opgaven. En sværere
opgavekanværeopbyggetsåledes,atduskalkombinereløsningsmetoderfraflereeksempler.
Efterhåndensomdublivermererutineret,kandusikkertnøjesmedformelsamlingen.
Del3:SRPogmatematik
51
Hvordanlæsesbrødtekstenienmatematikbog?
Matematiske tekster skal læses og bearbejdes bid for bid. Ofte må du standse op og arbejde
særligtmedetbestemtafsnit.Indimellemgælderdetmåskeblotenenkelttekstsætning.Lige
somvedalandenstudielæsningkanmanikkenøjesmedbareatlæselektienigennemengang
ellerto.Denskalgennemarbejdes.Havblyantogpapirliggendevedsidenaf,nårdulæser.
Undervejsvildufåbrugforatskrive,regneogtegne.Detkanværenoterdulavertilsenere
brugogforatkunneindlærestoffet,ogdetkanværeskitserogudregninger.
Deterheltafgørende,atduøverdigilektiensteoretiskestofvedf.eksatstillehv‐spørgsmål,på
denmådekanduhøredigselvivigtigebegreber.
Stildigselvfølgendespørgsmålhvergangdulæserlektier:
Hvadhandlertekstenom?
Hvilkevigtigeformler(f.eks.beregningsformler,kemiskestofformler)erderiteksten?
Erdernyebegreber,hvadbetyderbegreberne?
Hvilkeforkortelserogsymbolerbrugesderevt.forbegreberne?
Hvordanhængerbegrebernesammen?
Kørerduheltfast,skaldunoterened,hvadproblemeter,sådukanstillepræcisespørgsmål
tildinlæreridenfølgendetime.
Detbedstedukangøreeratgenlæsetekstensammedag,somduharfåetdengennemgået.
Tænkkritisk–forstoddustoffet?Oghusk–forbereddigogsåligeoptilnæstelektion.
Andre former for skriftlighed i forbindelse med SRP: Dererflereformerforskriftlighed,derkanbrugesiSRP,mensommannormaltikkearbejder
med skriftligt. Som eksempler på, hvordan man enten i timerne eller gennem skriftlige
afleveringerkantrænedissegenrerkannævnesateleverneskalkunne:
1. Opstilleenmatematiskmodeludfraentekst
2. Genskriveetbevismedmanglendeudregningerogforklaringer
3. Omskriveenmatematiskteksttilalmindeligtdansk
4. Oversætteenkildemedmatematiktilmodernenotation
Bemærk at alle disse opgaver er på et højt SOLO-taksonomisk niveau, hvor eleverne
kombinerer deres viden inden for de forskellige emner.
Eksemplerpåhvordandettekantræneskunnevære
1. At opstille SIR-modellen [Baktoft: Matematik i virkeligheden s.47-48]
Del3:SRPogmatematik
52
2. At bestemme løsningsformlen for tredjegradsligningen [Kilder til ligningernes
historie s.175f]
3. At oversætte værdier for middelværdier, som fremkommer ved simulering af en H0hypotese. til normalt dansk
4. Fortolkning af konstanterne i en harmonisk svingning eller en logistisk vækst, hvor
konstanterne er bestemt ved regression.
5. At oversætte uddrag af Omar Khayyams Algebra [Kilder til ligningernes historie
s.118-121]
Vurdering af SRP: SOLO‐taksonomi og Kompetencer SelvomdeterlæreplanensmålderbestemmerkarakterenforenSRP,synesdetnyefokuspå
en SOLO‐taksonomi at have sine fordele – specielt i opgaver hvor den anvendte matematik
fylder meget. For eleverne er det erfaringsmæssigt sværere end man tror, at gennemføre
modelleringsprocesser.HerkanskemaeroverenSOLO‐taksonomihjælpe–seMATHITs.23,
men også graden af beherskelse af de mere generelle matematikkompetencer kan være en
målestok–seNiss:Kompetencerimatematiklærings.45.Foratopsummere–værmerebredi
forståelsen af, hvad der kendetegner god matematik. Det vil gøre det nemmere at finde
samarbejdspartnereoggiveeleverenmerefairbedømmelse.
De10budtilSRP:
1. FornuftigbrugafIT‐værktøjerogCAS‐programmertiltegningerogtilatskrivetekst
ogformler,somserordentligtud.
2. Selvstændigt arbejde med beviser, Vælg beviser med muligheder for selvstændighed
dvs.egnemellemregninger,forklaringerogfigurer.
3. Brugafegneogrelevanteeksempler,dvs.vælgegnetalelleropgaverfrabøgeristedet
foreksemplerfrabøger.
4. Brug af originale matematiske kilder, frem for lærebøgers oversættelse af
matematikeresarbejde,kangøremere”triviel”matematiktilSRP‐stof.
5. Holdefokusiudvælgelsenafstoffet,såderkommerenrødtrådgennemopgavenog
omfangetoverholdes.
6. Korrektbrugafnotationogsymboler,herunderikkekunskrive’jegsolverligningen.’
BrugikkeCASnotationførogefterdeberegninger,somCAS‐programmetlaver.
7. Binde fagene sammen så der både er enkeltfaglige og fællesfaglige spørgsmål. [se de
femeksemplerovenfor]
8. Beherskede forskellige repræsentationsformer i form af tabeller, grafer, ligninger og
tekst.
9. Brugekorrektmatematiskterminologi,herunderforståelseforogformidlingafdisse
udtryk.
10. Brug af modeller og simulering inden for sandsynlighedsregning og
differentialligningertildata‐behandlingogteoretisering/generalisering.
Del3:SRPogmatematik
53
Viderehenvisninger:






Tim Nielsen: Erfaringer med studieretningsprojektet, LMFK‐bladet 4/2010 som bl.a.
diskutererdengodeopgaveformulering.
Kurt Jensen & Mette Nørholm Jessen: Studieretningsprojekt i matematik og dansk,
LMFK‐bladet 6/2009. Om SRP i kombination med dansk med udgangspunkt i
formidlingafmatematiktilengivenmålgruppe
Påhttp://uvmat.dk/skrift/index.htmfindesmaterialeomdegenerelleovervejelsertil
arbejdetmedATogSRP
http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsministeriet/sr‐projekt.html har gode
ideeroghenvisningtilinspirationsmateriale
Jørgen Dejgaard & Jes Sixtus m.fl.: MATHIT. En inspirationsbog til anvendelse af
computerimatematikundervisningen,Matematiklærerforeningen2010
Mogens Niss m.fl. (red.): Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til
matematikundervisning i Danmark (Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie 18), UVM
2002
Del3:SRPogmatematik
54
Bilag 1: Eksempler på opgaveformulering til del 2 Polynomier
I første del af dette opgavesæt skal du arbejde med de forskellige regneregler og sætninger
som vi har arbejdet med i forbindelse med forløbet om polynomier. Du skal kunne
kvadratsætningerne, nulreglen, løse en andengradsligning vha. diskriminanten og
diskriminantformlen, bestemme koordinater til parablens toppunkt samt have viden om
hvordan konstanterne a, b, c og d "styrer" parablens udseende og antal løsninger til
andengradsligningen–altsammenudenbrugafhjælpemidler.
Hvis du har svært ved at bruge kvadratsætningerne, skal du i hver delopgave med
kvadratsætningerlaveenmellemregning,somhjælperdigtilatregnerigtigt,mensomogså
givermulighedforatjegkansehvoreventuellefejlopstår,ogforatjegkankommentereog
hjælpedigtilatkunnebrugekvadratsætningerne.
Andendelafopgavesætteterenformidlingsopgavebaseretpådeteksperimentellearbejdei
TI‐interactive, hvor du har arbejdet med polynomier, parablers udseende, toppunktets
placering,nulpunkterm.m.Formidlingsdelenskalindeholdefølgende
 Opsamling og konklusion på eksperiment 17‐30 i Gyldendals
Gymnasiematematik.
 Diagrammer som illustrerer dine iagttagelser og konklusioner ‐
vælgetpassendeantal.
 Treforskelligemådersometandengradspolynomiumkanskrives
påogudbyttetheraf.
 Tekstpåmellem300og400ordformuleretpåalmindeligtdansk.
Evalueringskriterier:
Ibedømmelsenvilderblivelagtvægtpåomtankegangfremgårklartafbesvarelsen,hvilket
blandtandetvurderesudfrakraveneidefemkategorier
 Tekst
 Notationoglay‐out
 Redegørelseogdokumentation
 Figurer
 Konklusion
Dervilogsåblivelagtvægtpåfølgende
 Sprogligkorrekthed
 Disposition
 Håndtering formler, herunder at kunne oversætte mellem symbolholdigt og
naturligt sprog, og selvstændigt kunne anvende symbolholdigt sprog til at beskrive
variabelsammenhænge og til at løse problemer med matematisk indhold
 Anvendelse af it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer.
Del3:SRPogmatematik
55
Undermotorhjelmenpåenklimamodel
Referat af foredraget Undermotorhjelmen på en klimamodel 30.9.2010 i forbindelse med
Naturvidenskabsfestivalen.
I denne aflevering indgår en formidlingsopgave, hvor I skal demonstrere at I har viden om
anvendelse af matematik inden for klimamodellering, at I har forståelse for
modelleringsprocessenogatIkantalematematik.
Når man arbejder med modellering forsøger man at beskrive virkeligheden – nogen gange
med stor succes og andre gange uden held, og nogen gange i et omfang som til en vis grad
beskriver virkeligheden. I processen med at opstille og anvende en model af virkeligheden
behandlermantypiskfemforskelligeområder:
1. Denmatematiskemodelbeskriverensituationfravirkeligheden
2. Den matematiske model angiver sammenhænge mellem variable størrelser fra
virkeligheden(tid,pris,temperatur,hastighed,befolkningstal…)
3. Den matematiske model indeholder parametre (kilometerpris, startgebyr,
begyndelsestemperatur, årlig rente i procent, …) der er karakteristiske for den
situationfravirkeligheden,derskalbeskrives.
4. Modellenkanhaveetbegrænsetgyldighedsområde
5. En model kan bruges til at give større indsigt i og overblik over den situation fra
virkeligheden,derskalbeskrives,oganvendesfxtilprognoserogandreberegninger.
I grupper skal I lave et referat af foredraget ”Under kølerhjelmen på en klimamodel” og en
analyse af klimamodellen i forhold til de fem områder der behandles ved modellering.
Tekstenskalhaveenlængdepå900‐1000ord,ogskalaflevereselektroniskiLectio.
NyttigelinksfraDMIsomImåskekanbrugetilafleveringen(derernoglefigurer):
http://www.dmi.dk/dmi/index/viden.htmoghttp://www.dmi.dk/dmi/index/klima.htm
Del3:SRPogmatematik
56
DetgyldnesnitogFibonacci‐tallene
VifårbrugforvidenomdetgyldnesnitnårviskalpåstudierejsetilFirenzemeddanskognår
der skal skrives SRO i musik og matematik, og derfor skal I frem til vinterferien arbejde i
gruppermedDetgyldnesnitogFibonacci‐tallene.
Modulplan–gruppearbejdeitimerne
 Mandagden7/2 Gruppearbejde:Side1‐3Definitioner+øvelse1‐3.
 Onsdagden9/2 Gruppearbejde:Side3‐5 Øvelse4‐6.2
 Torsdagden10/2Gruppearbejde:Side6 Øvelse7
 Mandagden14/2Gruppearbejde:Side7‐8Øvelse8‐12 (medbringenpcpergruppe)
 Onsdagden16/2 Gruppearbejde:Side8‐11
Øvelse 13+15 (vi springer
øvelse14over)
Skriftligtarbejde–4elevtimer
Der udarbejdes et gruppe‐produkt som indeholder udvalgte ræsonnementer og beviser fra
undervisningsmaterialet og som afleveres onsdag den 2. marts i første modul. Se boks på
næsteside.
LøbendeevalueringmedfeedbackfraCZ
Undervejs i forløbet skal I aflevere udkast til dele af det endelige produkt, som jeg læser
igennem, retter og kommenterer inden næste modul. Mine rettelser og kommentarer skal
indarbejdesidetendeligeprodukt.
 Onsdagden9/2 Aflevereudkasttilbesvarelseaføvelse1+2
 Torsdagden10/2Aflevereudkasttilbesvarelseaføvelse6.1+6.2
 Mandagden14/2Aflevereudkasttilbesvarelseaføvelse7.1eller7.2
 Onsdagden16/2 Aflevereudkasttilbesvarelseaføvelse13
Fagligemål,kernestofogsupplerendestof
I skal kunne:
– håndtere formler, herunder kunne oversætte mellem symbolholdigt og naturligt sprog,
og
selvstændigt
kunne
anvende
symbolholdigt
sprog til
at beskrive
variabelsammenhænge
– opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer på grundlag af
trekantsberegninger og udnytte dette til at svare på givne teoretiske spørgsmål
– redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt deduktive sider ved
opbygningen af matematisk teori
Kernestoffet er regningsarternes hierarki og forholdsberegninger i ensvinklede
trekanter. Det supplerende stof omfatter et deduktivt forløb om det gyldne snit
og Fibonaccitallene, og en smule matematik-historie.
Del3:SRPogmatematik
57
Kravtilafleveringen
Alletekstafsnitformuleretietkorrekt,klartogtydeligtsprog.
Alle øvelser skal ledsages af indledende og forbindende tekst, læsevenligt layout,
forklaringer og mellemregninger og konklusioner præsenteret i et klart sprog. Der
arbejdessåvidtmuligtieksakteværdier.
Allebeviseropstillesmedtospalter:envenstrespaltemeddematematisketrinogen
højrespaltemedforklaringafdematematisketrin.
Indhold:
 Indledningomdetgyldnesnit,hvordetforklareshvadetgyldentrektangelerog
hvaddetgyldnesniter.
 Øvelse1
 Øvelse2samtensætningknyttettiløvelsen
 Øvelse4
 Øvelse5–inklusivvellignendeskitser.
 Øvelse6–inklusivgeometriskekonstruktionervha.passeroglineal.
 Øvelse7.1eller7.2–inklusivskitse.
 Introduktion af Fibonaccitallene og deres relation til det gyldne snit, herunder
en kort beskrivelse af hvordan Fibonaccitallene fremkommer og eksemper
herpå.
 Øvelse11‐15(ikkeøvelse14)
 Afrundingafprojektet
Udkastafleveresløbende–seplanenpåforrigeside
Detendeligeprojektmeddeindarbejdederettelserogkommentarerafleveres2.marts.
Samspilmedandrefag–Musik(SRO)ogDansk(studierejse)
PåsigterdetmeningenatIskalkunne
– demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder
viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling
– demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den historiske,
videnskabelige og kulturelle udvikling
Desuden skal det supplerende stof og samspillet med andre fag (musik og dansk)
perspektivere og uddybe kernestoffet samt udvide den faglige horisont.
Del3:SRPogmatematik
58
Stilenopgave,fådenløstogbedømden
Opgave1
Du skal selv formulere en opgave inden for integralregning. Opgaven skal indeholde to
delspørgsmålaogbogskalværepåniveaumedeksamensopgaverneindenforemnet.Find
inspirationihæftetmedvejledendeeksamensopgaverelleriB2arbejdsbogensopgaver(side
66til74).
Dinopgaveskaldugiveelektronisktildenelevderstårefterdigpåklasselisten‐oguploade
tilLectio‐senestmandagden12.april.
Opgave2
Duharselvmodtagetenopgaveformuleringafdenelevderstårførdigpåklasselisten.Besvar
opgavenogafleverdenelektronisksenestonsdagden14.apriltildenelevdufikopgavenaf.
Opgave3
Duskalbedømmebesvarelsen,dvs.atduskalkommentereogrettebesvarelsenogvurderei
hvilketomfangbesvarelsenleveroptildefagligemålsomerbeskrevetpånedenfor.
Kommentarerogrettelsernoterespåenpapirversionafbesvarelsen.
Detendeligeproduktderafleverestilmigskalindeholde
 Dinegenopgaveformulering
 Elevbesvarelseafopgaven
 Dinetilføjedekommentarerogrettelser
 Enkortvurderingafihvilketomfangelevensbesvarelseleveroptildefagligemål
Bedømmelseogfagligemål
Bedømmelsenerenvurderingaf,ihvilketomfangelevenspræstationleveroptildefaglige
mål:
Eleverneskalkunne:
 ‐håndtere formler, herunder kunne oversætte mellem symbolholdigt og naturligt
sprog, og selvstændigt kunne anvende symbolholdigt sprog til at beskrive
variabelsammenhængeogtilatløseproblemermedmatematiskindhold
 ‐anvendeforskelligefortolkningerafstamfunktionogforskelligemetodertilløsningaf
differentialligninger
 ‐anvendeit‐værktøjertilløsningafgivnematematiskeproblemer.
Del3:SRPogmatematik
59
Bilag 2: Evalueringsark til bedømmelsen af skriftlige produkter til del 2 Del3:SRPogmatematik
Del3:SRPogmatematik
60

RT 42 Gylden Århus belægningsklinke

Transcription

Similar documents

Refleksionspapir – DHO

UVM_Claus Zedlitz_Afsætning og fremmedsprog i fagligt samspil

Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri

Retningslinjer for større skriftlige opgaver

Læreplan sfo 19-9-11

Sprog- og læsesyn (0 – 18-års området) Vejle Kommune Børn og

Vejledning til dansk-‐/historieopgaven (DHO)

Mundtlighed – skriftlighed.pdf

Høringsskema i pdf-format

Kajan Variyeswaran