1. logiikka

Tietojenkäsittelyn matematiikka,
K1090TK
OAMK/Liike
Tietojenkäsittelyn koulutusohjelma
1.
LOGIIKKA................................................................................................................. 3
1.1 Logiikka ja formaalit kielet .................................................................................. 3
1.2 Klassinen lauselogiikka ...................................................................................... 4
1.3 Loogiset operaatiot ............................................................................................. 4
1.3.1 NOT-operaatio, negaatio, EI–operaatio ....................................................... 4
1.3.2 AND -operaatio, konjuktio, JA -operaatio ..................................................... 5
1.3.3 OR -operaatio, disjunktio, TAI –operaatio .................................................... 5
1.3.4 XOR -operaatio, eksklusiivinen eli poissulkeva tai -operaatio ...................... 6
1.3.5 IMPLIKAATIO (”jos…niin” -operaatio) .......................................................... 6
1.3.6 EKVIVALENSSI (”jos ja vain jos”-operaatio, "joss") ..................................... 7
1.4 Lauseiden sieventäminen ................................................................................... 9
1.5 Laskulakeja ...................................................................................................... 10
1.5.1 Kaksoisnegaation laki ................................................................................ 10
1.5.2 Vaihdanta- eli kommutatiivilait.................................................................... 10
1.5.3 Liitäntä- eli assosiatiivilait ........................................................................... 10
1.5.4 Osittelu- eli distributiivilait ........................................................................... 10
1.5.5 De Morganin lait ......................................................................................... 10
1.6 Boolen algebra ................................................................................................. 12
1.6.1 Loogiset portit ............................................................................................ 13
2 LUKUJÄRJESTELMÄT .......................................................................................... 18
2.1 Desimaalijärjestelmä (10-järjestelmä)............................................................... 18
2.2 Binäärijärjestelmä ............................................................................................. 18
2.3 Oktaalijärjestelmä ............................................................................................. 19
2.4 Heksadesimaalijärjestelmä ............................................................................... 19
2.5 10-järjestelmän luvun muuntaminen toiseen lukujärjestelmään ....................... 21
2.5.1 10-järjestelmän kokonaisluvun muuntaminen BINÄÄRILUVUKSI.............. 21
2.5.2 10-järjestelmän kokonaisluvun muuntaminen OKTAALILUVUKSI ............. 22
2.5.3 10-järjestelmän kokonaisluvun muuntaminen HEKSADESIMAALILUVUKSI
22
2.5.4 10-järjestelmän desimaaliosan muuntaminen ............................................ 23
2.5.5 10-järjestelmän desimaaliosan muuntaminen BINÄÄRILUVUKSI ............. 23
2.5.6 10-järjestelmän desimaaliosan muuntaminen OKTAALILUVUKSI............. 23
2.5.7 10-järjestelmän desimaaliosan muuntaminen HEKSADESIMAALILUVUKSI
23
2.6 Binääri-, oktaali- ja heksadesimaalilukujen muuntaminen keskenään .............. 24
2.6.1 Binääriluvusta oktaaliluku .......................................................................... 24
2.6.2 Binääriluvusta heksadesimaaliluku ............................................................ 24
2.6.3 Oktaaliluvusta binääriluku .......................................................................... 24
2.6.4 Heksadesimaaliluvusta binääriluku ............................................................ 25
2.6.5 Oktaaliluvusta heksadesimaaliluku ............................................................ 25
2.6.6 Heksadesimaaliluvusta oktaaliluku ............................................................ 25
2.7 Peruslaskutoimitukset binäärijärjestelmässä .................................................... 28
2.7.1 Yhteenlasku ............................................................................................... 28
2.7.2 Vähennyslasku........................................................................................... 28
2.7.3 Kertolasku .................................................................................................. 29
2.7.4 Jakolasku ................................................................................................... 30
2.8 Komplementointi ............................................................................................... 32
2.8.1 2-komplementti .......................................................................................... 32
2.8.2 1-komplementti .......................................................................................... 32
2.8.3 Vähennyslasku komplementeilla ................................................................ 33
2.8.4 Negatiivisten lukujen esitystapoja binäärijärjestelmässä ............................ 34
1
3
Tiedon esitystapoja tietokoneessa ......................................................................... 36
3.1 Etumerkittömät kokonaisluvut ........................................................................... 36
3.2 Etumerkilliset kokonaisluvut ............................................................................. 36
3.3 Liukuluvut (desimaaliluvut) ............................................................................... 37
3.4 Koodijärjestelmiä .............................................................................................. 38
3.4.1 BCD-koodi (Binary Coded Decimal)........................................................... 38
4
2...................................................................................................................... 38
3.4.2 ASCII-koodi (American Standard Code for Information Interchange) ........ 39
3.4.3 Laajennettu ASCII-koodi eli EBCDIC-koodi (Extended Binary Coded
Decimal Interchange Code) .................................................................................... 40
4 JOUKKO-OPPIA .................................................................................................... 42
4.1 Venn-diagrammi ............................................................................................... 42
4.1.1 Peruskäsitteitä ........................................................................................... 43
4.1.2 Joukkojen määritelmiä ............................................................................... 44
4.2 Joukkojen perusoperaatioita ............................................................................. 45
4.3 Joukko-operaatioiden laskusääntöjä ................................................................ 50
5 KOMBINATORIIKKA .............................................................................................. 56
5.1 Summaperiaate ("tai") ...................................................................................... 56
5.2 Tuloperiaate (”ja”) ............................................................................................. 56
5.3 Permutaatio ...................................................................................................... 57
5.4 Binomikerroin ................................................................................................... 57
5.5 Osajoukkojen lukumäärä .................................................................................. 58
2
1. LOGIIKKA
1.1 Logiikka ja formaalit kielet
Kielet
Luonnolliset
Keinotekoiset
suomi
ruotsi
englanti
jne.
Formaalit
kielet
Syntaksilta
täsmällistä
spesifioitua
symbolikieltä
(perussymbolit,
lauseenmuodostussäännöt
Matematiikka
sekakieli
luonnollisesta
ja
formaalista
kielestä
Keinotekoiset
puhekielet
Esperanto
kaavat
lauseet)
Logiikka
"=Oppi
muodollisesti
oikeasta
päättelystä"
lausekalkyyli
predikaattikalkyyli
modaalilogiikka
aikalogiikka
…
sumea logiikka
"= logiikkaa
luonnollisten
kielten
kera"
Ohjelmointikielet
java
C
C++
jne.
3
1.2 Klassinen lauselogiikka
Atomilause:
Lause, joka ei sisällä loogisia operaattoreita (NOT, AND, OR).
Merkitään pienillä kirjaimilla p, q, r, s, …
Esim. p = henkilö on oululainen.
Molekyylilause:
Muodostuu atomilauseista ja loogisista operaattoreista
Esim. SUKUPUOLI=’NAINEN’ AND ’IKA’<20
Totuusarvo:
”tosi” merkitään
”epätosi” merkitään
Esim.
1
0
tai
tai
T(RUE)
F(ALSE)
5 = 7 on epätosi aina
7 = 7 on tosi aina
Lauseen x - 3 = 4 totuusarvo riippuu muuttujasta x:
jos x = 7, niin lause on tosi
jos x ≠ 7, niin lause on epätosi
1.3 Loogiset operaatiot
1.3.1 NOT-operaatio, negaatio, EI–operaatio
symboli
p = NOT p
Totuustaulu
p
NOT p
1
0
Atomilauseiden p ja NOTp totuusarvo on päinvastainen.
Ohjelmointikielissä:
C, C++ ja Java: !
Access ja SQL: NOT
Esim. Jos lause p määritellään
p: henkilö opiskelee OAMK:ssa, niin
NOT p tarkoittaa, että ……………………………………………………………………………
4
1.3.2 AND -operaatio, konjuktio, JA -operaatio
symboli Λ eli p Λ q = p AND q
p AND q on tosi, joss sekä p että q ovat tosia.
Totuustaulu
p
q
1
1
1
0
0
1
0
0
pΛq
Ohjelmointikielissä:
C, C++ ja Java: &&
Access ja SQL: AND
Esim. C-kielessä (x<10) && (y>15)
Esim. Jos lauseet p ja q määritellään
p: henkilö opiskelee OAMK:ssa ja
q: henkilö asuu Oulussa, niin
p AND q: ………………………………………………………………………………….
1.3.3 OR -operaatio, disjunktio, TAI –operaatio
Symboli V eli p V q = p OR q
p OR q on tosi, jos vähintään toinen on tosi.
Totuustaulu
p
q
1
1
1
0
0
1
0
0
pVq
Ohjelmointikielissä:
C, C++ ja Java ||
Access ja SQL: OR
Esim. Jos lauseet p ja q määritellään
p: henkilö opiskelee OAMK:ssa ja
q: henkilö asuu Oulussa,
niin p OR q
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
5
1.3.4 XOR -operaatio, eksklusiivinen eli poissulkeva tai -operaatio
”Onko tosiarvo eri?”
Symboli XOR
Jos molemmat ovat tosia tai epätosia, niin lauseke epätosi, muutoin tosi.
Totuustaulu
p
q
1
1
1
0
0
1
0
0
p XOR q
Ohjelmointikielissä:
Ei kaikissa, toisissa XOR, EOR, ei C- kielessä
Esim. Jos lauseet p ja q määritellään
p: henkilö opiskelee OAMK:ssa ja
q: henkilö asuu Oulussa,
niin p XOR q
…………………………………………………………………………………………
1.3.5 IMPLIKAATIO (”jos…niin” -operaatio)
Vaihdannaisuus ei toimi.
Lause p  q on epätosi jos ja vain jos (joss), p on tosi ja q on epätosi.
symboli  eli p  q
Totuustaulu
p
q
1
1
1
0
0
1
0
0
pq
Ohjelmointikielissä ei vastaavaa rakennetta. Ei vastaa ohjelmointikielen IF- THEN
rakennetta!
Esim. Jos p ja q kuten edellä, niin
p  q : ……………………………………………………………………………………….
q  p : ……………………………………………………………………………………….
6
1.3.6 EKVIVALENSSI (”jos ja vain jos”-operaatio, "joss")
On tosi, jos totuusarvo on sama.
Symboli ↔ eli p ↔ q
Totuustaulu
p
q
p ↔q
1
1
1
0
0
1
0
0
Ohjelmointikielissä:
Fortran EQ, ei C-kielessä
Esim. Jos p ja q kuten edellä, niin
p ↔ q : …………………………………………………………………………………………..
Esim. Minkälaisen henkilön määrittelee lause NOT r AND (s OR t), kun
r: henkilö opiskelee ranskaa
s: henkilö opiskelee logiikkaa
t: henkilö opiskelee ohjelmointia
Sulkeilla voidaan muuttaa operaattoreiden hierarkian mukaista suoritusjärjestystä.
Esim. Jos p: henkilö opiskelee OAMK:ssa
q: henkilö asuu Oulussa
r: henkilö on ylioppilas, niin
NOT r AND q :
_________________________________________________________________
NOT (r AND q) :
_________________________________________________________________
p OR (q AND r) :
_________________________________________________________________
(p OR q) AND r :
_________________________________________________________________
7
Harjoitustehtäviä:
1. Mitkä seuraavista symbolijonoista ovat logiikan lauseita?
a)
p OR NOT q
b)
OR (p AND q)
c)
NOT p
d)
p AND NOT (AND q)
e)
p AND (q OR NOT r OR s)
f)
p NOT q OR r
2. Mitkä sulut voidaan jättää pois?
a)
(p AND q)
b)
(NOT (p OR q))
c)
(NOT p) AND q
d)
p AND (q OR s)
e)
p OR ((NOT q) AND (NOT p))
f)
p OR (NOT (p AND q))
g)
p OR (q OR r)
h)
p AND (q AND r)
i)
(p OR r) AND (NOT q)
j)
p AND (NOT (q OR NOT r))
3. Käytetään seuraavia atomilauseiden lyhennysmerkintöjä:
p: opiskelija opiskelee matematiikkaa
q: opiskelija opiskelee ohjelmointia
r: opiskelija opiskelee englantia
s: opiskelija opiskelee suunnittelua
t: opiskelija on suomalainen
u: opiskelija on alle 23-vuotias
a)
b)
c)
d)
Suomalainen opiskelija opiskelee ohjelmointia, mutta ei englantia.
Ulkomaalainen opiskelija opiskelee matematiikkaa tai ohjelmointia tai
englantia tai kaikkia em. aineita.
25-vuotias suomalainen opiskelija opiskelee sekä englantia että
suunnittelua.
22-vuotias ulkomaalainen opiskelija opiskelee ohjelmointia ja
suunnittelua, mutta ei englantia.
8
1.4 Lauseiden sieventäminen
Tarkastellaan lauseiden (molekyylilause) totuusarvoja.
Esimerkki: Mikä on lauseen NOT(p OR q) OR (NOT p AND q) totuusarvo, kun p on
epätosi ja q on tosi.
Esimerkki: Laadi lauseen (p AND q) OR NOT p totuustaulu kaikilla p:n ja q:n arvoilla.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p AND q
NOT p
(p AND q) OR NOT p
Kun atomilauseita p, q, … on n kpl, niin totuustaulussa on 2n riviä. Tässä 22 = 4 riviä.
Esim. Molekyylilause sisältää atomilauseet p, q ja r. Tällöin vastaavassa totuustaulussa
on 23 = 8 riviä.
Esimerkki: Laadi lauseen (p OR q) AND NOT q totuustaulu.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p OR q
NOT q
lause
Molekyylilause, joka on tosi kaikilla atomilauseiden totuusarvoilla, on tautologia.
Esimerkki: Onko lause NOT (p OR NOT q) tautologia? Perustele.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
NOT q
p OR NOT q
lause= NOT (p OR NOT q)
Oletetaan, että p ja q ovat molekyylilauseita. Tällöin p ja q ovat ekvivalentit (merk. p ↔
q), jos niiden totuustaulut ovat samat.
Esimerkki: Osoita totuustaulun avulla, että seuraava ekvivalenssi pitää paikkansa:
p OR (p AND q) ↔ p
9
1.5 Laskulakeja
Seuraavat ekvivalenssit voidaan todistaa totuustauluilla; p, q ja r ovat atomi- tai
molekyylilauseita.
1.5.1 Kaksoisnegaation laki
NOT NOT p ↔
1.5.2 Vaihdanta- eli kommutatiivilait
p AND q ↔
p OR q ↔
1.5.3 Liitäntä- eli assosiatiivilait
(p AND q) AND r ↔
(p OR q) OR r ↔
1.5.4 Osittelu- eli distributiivilait
p AND (q OR r) ↔
p OR (q AND r) ↔
1.5.5 De Morganin lait
NOT (p AND q) ↔
NOT (p OR q) ↔
Laajemmin:
NOT (p1 AND p2 AND … AND pn) ↔
NOT (p1 OR p2 OR … OR pn) ↔
10
Harjoitustehtäviä:
1. Laadi seuraavien lauseiden totuustaulut.
a. p AND NOT q
b. NOT p AND q
c. (p AND q) OR NOT q
d. (p OR q) AND NOT p
2. Osoita totuustaulujen avulla, että seuraavat ekvivalenssit pitävät paikkansa.
a. p AND (p OR q) ↔ p
b. NOT(p OR q) ↔ NOT p AND NOT q
c. NOT (p AND q) ↔ NOT p OR NOT q
3. Tutki, onko lause NOT p OR q OR p tautologia.
4. Sievennä laskulakien mukaan.
a. NOT q AND NOT s AND NOT r
b. NOT p OR NOT s OR NOT t
c. (p AND q) OR (p AND s)
11
1.6 Boolen algebra
George Boole (1815-64) oli englantilainen itseoppinut
matemaatikko ja loogikko.
Boole matematisoi logiikan operaattorit. Ennen Boolea ei osattu ajatella, että muillakin
kuin 10-järjestelmän luvuilla voitiin laskea. Boolen algebra on teoreettinen pohja
tietokoneille. Sitä käytetään mm. kytkentäkaavioiden tutkimisessa ja mallintamisessa.
AND- ja OR- operaatioiden yhteys virtapiireihin nähdään havainnollisesti alla olevan
kuvan yksinkertaisten sarjaan kytkentöjen ja rinnan kytkentöjen avulla. Kuvassa a) virta
kulkee piirissä ja lamppu palaa, jos kytkin A ja kytkin B on suljettu (AND). Kuvan b)
piirissä lamppu palaa, jos kytkin A tai kytkin B tai molemmat on suljettu (OR).
Binääristä logiikkaa esittäviä virtapiirejä:
a) Sarjakytkentä (lamput sarjassa)
b) Rinnankytkentä (lamput rinnan)
A
A
B
B
Kytkimen ei tarvitse olla käsikäyttöinen eikä mekaaninen, se voidaan toteuttaa
puolijohdekomponenteilla, esimerkiksi transistoreilla, diodeilla ja vastuksilla. Myös NOT
-operaatio voidaan toteuttaa vastaavilla komponenteilla: kun syöttöjännite (tai –virta)
vastaa signaalia 1, vastaa tulojännite (tai –virta) signaalia 0 ja päinvastoin.
Signaaleita eli numeroita on voitava tallettaa ja niillä on voitava operoida, esimerkiksi
laskea. Sitä varten määrittelemme ykköselle ja nollalle a.o. taulukon mukaisen
yksinkertaisen aritmetiikan, joka poikkeaa vähän, mutta ratkaisevasti esimerkiksi
kokonaislukuaritmetiikkaa. Seuraavassa taulukossa esitetään binääristen muuttujien
tulo, summa ja negaatio.
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
AND
X*Y
OR
X+Y
NOT
X’
AND -operaatiota asetetaan vastaamaan tulo ja OR –operaatioita summa. Tulon
määrittely tapahtuu ykkösen ja nollan ”tavallisen” kertotaulun mukaisesti, mutta summa
määritellyssä on erikoista, että 1+1=1. NOT taas on tavallinen vastalukuoperaatio.
12
Esimerkki: Määritä lauseen NOT ((x OR y) AND NOT y) totuusarvo, kun x on tosi ja y
on epätosi.
Esimerkki: Määritä lauseen (x AND y) OR NOT y totuusarvo, kun x on tosi ja y on
epätosi.
1.6.1 Loogiset portit
Yllä määriteltyjen operaatioiden mukaiset komponentit ovat nimeltään loogisia portteja
eli veräjiä. Niiden tavalliset piirrossymbolit esitetään alla. Nämä ovat fyysisiä
komponentteja, joiden sisäiseen rakenteeseen emme tässä lähemmin puutu. Oleellista
on se, että ne käsittelevät loogisia arvoja 1 ja 0 AND-, OR- ja NOT -operaatioiden
mukaisesti. AND- ja OR –porteilla voi olla useita syöttösignaaleja (input), mutta vain
yksi tulosignaali (output). NOT-porttia kutsutaan myös invertteriksi.
1.6.1.1 NOT-portti
Amerikassa:
x
1
0
NOT x
x
v
NOT x
Euroopassa:
x
1
v
NOT x
13
1.6.1.2 AND-portti
Amerikassa:
x
1
1
0
0
y
1
0
1
0
xy
x
xy
x AND y
y
Euroopassa:
x
&
y
xy
x AND y
1.6.1.3 OR-portti
Amerikassa:
x
1
1
0
0
y
1
0
1
0
x+y
x
x+y
x OR y
y
Euroopassa:
x
y
1
x+y
x OR y
14
Esimerkki: Mitä Boolen lausetta seuraavat loogiset piirit vastaavat? Määritä totuusarvo,
kun x=1, y=0 ja z=1.
a)
x
y
z
b)
x
y
z
v
Esimerkki: Piirrä Boolen lauseketta x OR (NOT y AND NOT z) vastaava piiri. Laske
myös totuusarvo, kun x, y ja z ovat tosia.
15
Harjoitustehtäviä:
1. Määritä seuraavien lauseiden totuusarvo, kun x on tosi ja y on epätosi.
a. (x OR y) AND (x OR NOT y)
b. (x AND NOT (x OR y)) OR (x AND NOT y)
c. NOT (x OR y) OR NOT x
2. Kirjoita kuvissa esitetyt Boolen funktiot F1, F2 ja F3. Laske myös totuusarvot, kun
x, y ja z ovat tosia.
a.
x
y
z
F1
v
b.
x
z
y
F2
v
16
c.
x
F3
y
v
v
z
3. Piirrä Boolen lauseketta (NOT a AND NOT b) AND (NOT c OR d) vastaava piiri.
Laske myös totuusarvo, kun a ja b ovat tosia c ja d epätosia.
17
2 LUKUJÄRJESTELMÄT
2.1 Desimaalijärjestelmä (10-järjestelmä)
Kantaluku (base, radix) on 10
 numerosymboleita 10 kpl:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Polynomiesitys:
Esim.
2375 =
Esim.
425,312 =
2.2 Binäärijärjestelmä
Kantaluku (base, radix) on 2
 numerosymboleita 2 kpl:
0, 1 (bittejä)
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 …
Binääriluvun muuntaminen desimaaliluvuksi (polynomiesitys):
Esim. Muunna binääriluku 10110101 kymmenjärjestelmän luvuksi.
101101012 =
Siis binääriluku 10110101 on kymmenjärjestelmän luku _____.
Esim. Muunna binääriluku 11010111 kymmenjärjestelmän luvuksi.
110101112 =
18
2.3 Oktaalijärjestelmä
Kantaluku (base, radix) on 8
 numerosymboleita 8 kpl:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, …
Oktaaliluvun muuntaminen desimaaliluvuksi (polynomiesitys):
Esim. Muunna oktaaliluku 237 kymmenjärjestelmän luvuksi.
2378 =
Siis oktaaliluku 237 on kymmenjärjestelmän luku ____.
Esim. Muunna oktaaliluku 123 kymmenjärjestelmän luvuksi.
1238 =
2.4 Heksadesimaalijärjestelmä
Kantaluku (base, radix) on 16
 numerosymboleita 16 kpl:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B,
…
Esim. Muunna heksadesimaaliluku 219 kymmenjärjestelmän luvuksi.
21916 =
Siis heksadesimaaliluku 219 on kymmenjärjestelmän luku ____.
Esim. Muunna heksadesimaaliluku 2AC kymmenjärjestelmän luvuksi.
2AC16 =
19
Harjoitustehtäviä:
1. Muunna 10-järjestelmään seuraavat binääriluvut
a. 1011 0110
b. 1110 1011
c. 1010 1101
2. Muunna 10-järjestelmään seuraavat oktaaliluvut
a. 1027
b. 2365
c. 1236
3. Muunna 10-järjestelmään seuraavat heksadesimaaliluvut
a. 1A0F
b. 10B9
c. 12CC
20
2.5 10-järjestelmän luvun muuntaminen toiseen lukujärjestelmään
1. JAA 10-järjestelmän luku muunnettavan lukujärjestelmän KANTALUVULLA
2. Tulokseksi saatu JAKOJÄÄNNÖS on muunnettavan lukujärjestelmän luvun
ensimmäinen luku OIKEALTA (desimaalipilkun edessä, ensimmäinen
kokonaisosan luku)
3. JAA edelleen ensimmäisessä kohdassa saamasi osamäärän
KOKONAISOSA muunnettavan lukujärjestelmän KANTALUVULLA
4. Tulokseksi saatu JAKOJÄÄNNÖS on muunnettavan lukujärjestelmän luvun
toinen luku OIKEALTA
5. Näin jatketaan, kunnes jaon tuloksena osamäärän kokonaisosa on
pienempi kuin kyseinen kantaluku, jolloin tämä kokonaisosa on
muunnettavan lukujärjestelmän luvun viimeinen luku.
2.5.1 10-järjestelmän kokonaisluvun muuntaminen BINÄÄRILUVUKSI
Esim.1. Muunna desimaaliluku 181 binääriluvuksi:
21
2.5.2 10-järjestelmän kokonaisluvun muuntaminen OKTAALILUVUKSI
Esim.1. Muunna desimaaliluku 236 oktaaliluvuksi.
Esim. 2. Muunna desimaaliluku 752 oktaaliluvuksi.
2.5.3 10-järjestelmän kokonaisluvun muuntaminen
HEKSADESIMAALILUVUKSI
Esim.1. Muunna desimaaliluku 339 heksadesimaaliluvuksi.
Esim.1. Muunna desimaaliluku 9325 heksadesimaaliluvuksi.
22
2.5.4
10-järjestelmän desimaaliosan muuntaminen
Muunnetaan ensin kokonaisosa. Desimaaliosan muuntaminen: Kerrotaan
desimaaliosa muunnettavan lukujärjestelmän kantaluvulla. Tulon kokonaisosa on
k.o. luvun ensimmäinen luku desimaalipilkun jälkeen. Tulon desimaaliosa kerrotaan
edelleen muunnettavan lukujärjestelmän kantaluvulla ja tästä saadun tulon kokonaisosa
on k.o. luvun toinen luku desimaalipilkun jälkeen. Tulon desimaaliosa kerrotaan
edelleen muunnettavan lukujärjestelmän kantaluvulla jne. Desimaaliosan lukuja
lasketaan 3-4 kpl, ellei toisin mainita.
2.5.5 10-järjestelmän desimaaliosan muuntaminen BINÄÄRILUVUKSI
Esim.1. Muunna desimaaliluku 181,31 binääriluvuksi:
2.5.6 10-järjestelmän desimaaliosan muuntaminen OKTAALILUVUKSI
Esim.1. Muunna desimaaliluku 236,6 oktaaliluvuksi.
2.5.7 10-järjestelmän desimaaliosan muuntaminen
HEKSADESIMAALILUVUKSI
Esim.1. Muunna desimaaliluku 339,2 heksadesimaaliluvuksi.
23
Harjoitustehtäviä:
1. Muunna binääriluvuksi
a) 47,1210 b) 78,2310
2. Muunna oktaaliluvuksi
a) 123,710 b) 137,510
3. Muunna heksadesimaaliluvuksi
a) 358,310 b) 459,410
2.6 Binääri-, oktaali- ja heksadesimaalilukujen muuntaminen
keskenään
2.6.1 Binääriluvusta oktaaliluku
Esim. Muunna oktaaliluvuksi binääriluku 101 0111 1100.0011.
Jaotellaan binääriluku kolmen ryhmiin (8 = 23). Jaottelun jälkeen katsotaan sivun 26
taulukosta, mitä oktaalilukua mikin binääriluvun kolmen ryhmä vastaa.
2.6.2 Binääriluvusta heksadesimaaliluku
Esim. Muunna heksadesimaaliluvuksi binääriluku 1 111 011 111 100.01.
Jaotellaan binääriluku neljän ryhmiin (16 = 24). Jaottelun jälkeen katsotaan sivun 26
taulukosta, mitä heksadesimaalilukua mikin binääriluvun neljän ryhmä vastaa.
2.6.3 Oktaaliluvusta binääriluku
Esim. Muunna binääriluvuksi oktaaliluku 7654.23.
Katsotaan sivun 26 taulukosta, mitä binääriluvun kolmen ryhmää mikin oktaaliluvun
numero vastaa.
24
2.6.4 Heksadesimaaliluvusta binääriluku
Esim. Muunna binääriluvuksi heksadesimaaliluku 2375.35.
Katsotaan sivun 26 taulukosta, mitä binääriluvun neljän ryhmää mikin
heksadesimaaliluvun numero vastaa.
2.6.5 Oktaaliluvusta heksadesimaaliluku
Esim. Muunna oktaaliluku 7352 heksadesimaaliluvuksi.
Muunnetaan oktaaliluku ensin binääriluvuksi. Tämän jälkeen binääriluku muunnetaan
heksadesimaaliluvuksi jaottelemalla binääriluku neljän ryhmiin ja katsomalla
vastaavuudet sivun 26 taulukosta.
2.6.6 Heksadesimaaliluvusta oktaaliluku
Esim. Muunna heksadesimaaliluku 13B4.51 oktaaliluvuksi.
Muunnetaan heksadesimaaliluku ensin binääriluvuksi. Tämän jälkeen binääriluku
muunnetaan oktaaliluvuksi jaottelemalla binääriluku kolmen ryhmiin ja katsomalla
vastaavuudet sivun 26 taulukosta.
25
10Binääri Oktaali Heksadesimaali
järjestelmä
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
26
Harjoitustehtäviä:
1. Muunna binääriluku 1100010101.011
a) oktaaliluvuksi.
b) heksadesimaaliluvuksi.
2. Muunna binääriluvuksi
a. oktaaliluku 52471.32
b. oktaaliluku 7653.26
3. Muunna binääriluvuksi.
a. heksadesimaaliluku 459A.72
b. heksadesimaaliluku 3576D.42
4. Muunna heksadesimaaliluvuksi.
a. oktaaliluku 3561.26
b. oktaaliluku 2743.564
5. Muunna oktaaliluvuksi.
a. heksadesimaaliluku 2135.64
b. heksadesimaaliluku 6B106.31
27
2.7 Peruslaskutoimitukset binäärijärjestelmässä
2.7.1 Yhteenlasku
Esim. 1012 + 10 0112
Esim. 101 1012 + 100 1112
2.7.2 Vähennyslasku
Esim. 10 0112 - 1012
28
Esim. 101 1012 – 100 1112
2.7.3 Kertolasku
Esim. 1 0112 * 1012
Esim. 111 0112 * 11012
29
2.7.4 Jakolasku
Esim. 110 1112 : 1012
Esim. 1100 11002 : 1102
30
Harjoitustehtäviä:
1. Yhteenlaskuja binäärijärjestelmässä
a. 10 111 001 + 11 001
b. 100 111 + 1 111
c. 110 110 100 + 100100
2. Vähennyslaskuja binäärijärjestelmässä
a. 110 001 001 – 1 011 111
b. 100 110 100 – 111 111
c. 101 101 100 – 1 011 101
3. Kertolaskuja binäärijärjestelmässä
a. 11 100 * 110
b. 11 011 * 101
c. 10 101 * 111
4. Jakolaskuja binäärijärjestelmässä
a. 11 100 : 100
b. 1 010 101 : 101
31
2.8 Komplementointi
Käytetään tietokoneessa negatiivisten lukujen esityksessä ja vähennyslaskussa.
Kun r on kantaluku, niin komplementteja määritellään r:n komplementtina tai r-1:n
komplementtina.
2.8.1 2-komplementti
Binääriluvun N 2 -komplementti voidaan laskea kaavalla 2n – N, missä n on binääriluvun
N symbolien (1 tai 0) lukumäärä. Luku 2n on 10-järjestelmän luku, joten se pitää
muuntaa binääriluvuksi ennen kuin vähennyslasku voidaan suorittaa.
Esim. Binääriluvun 101 100 2 -komplementti on (2610 = 1 000 000)
Siis binääriluvun 101 100 2 -komplementti on ___________.
Helpompi tapa: Vaihdetaan binääriluvun kaikki bitit (ts. 0  1 ja 1  0) ja lisätään 1:
Siis binääriluvun 101 100 2 -komplementti on ____________.
Esim. Laske binääriluvun 10 001 110 111 2 –komplementti.
2.8.2 1-komplementti
Käytetään binääriluvuille, kuten 2-komplementtiakin. Binääriluvun 1-komplementti
saadaan yksinkertaisesti vaihtamalla bitit.
Esim. Binääriluvun 101 000 111 1-komplementti on ______________.
32
2.8.3 Vähennyslasku komplementeilla
Olkoot binääriluvut M ja N. Erotus M – N lasketaan komplementin avulla muuttamalla
luku N komplementiksi ja lisäämällä se lukuun M. Ts. vähennyslaskusta tehdään
yhteenlasku.
Esim. Kymmenjärjestelmässä voimme laskea seuraavasti:
5 – 3 = 5 + (-3) = 2.
Esim. Laske 2-komplementtia käyttäen vähennyslasku 101 1112 – 101012.
Esim. Laske 2-komplementtia käyttäen 8-bittisellä esityksellä vähennyslasku
1102 – 10112.
33
2.8.4 Negatiivisten lukujen esitystapoja binäärijärjestelmässä
Etumerkki talletetaan binääriesityksessä ensimmäiseen bittiin.
Ensimmäinen bitti on
0, jos luku on positiivinen
ja
1, jos luku on negatiivinen
Negatiivisen luvun esittäminen voidaan tehdä kolmella eri tavalla. Kullakin laitteistolla
käytetään luonnollisesti vain yhtä tapaa. Seuraavissa esimerkeissä binääriluvut on
esitetty 7-bittisinä.
TAPA I
Etumerkki (0 tai 1) ja binääriluvun itseisarvo
Esim.
+6
0 000110
-6
1 000 110
TAPA II
Etumerkki (0 tai 1) ja binääriluvun 1-komplementti
Esim.
+6
0 000110
-6
1 111 001
TAPA III
Etumerkki (0 tai 1) ja binääriluvun 2-komplementti
Esim.
+6
0 000110
-6
1 111 010
34
Harjoitustehtäviä:
1. Esitä binäärilukuna kymmenjärjestelmän luvut
a) 23
b) 26
c) 210
2. Esitä oktaalilukuna kymmenjärjestelmän luvut
a) 83
b) 86
c) 810
3. Esitä heksadesimaalilukuna kymmenjärjestelmän luvut
a) 163
b) 166
c) 1610
4. Laske binääriluvun 0010 0111 2 –komplementti.
5. Laske binääriluvun 1100 1001 2 –komplementti.
6. Laske 2-komplementtia käyttäen vähennyslasku 1 1112 – 1012.
7. Laske 2-komplementtia käyttäen 8-bittisellä esityksellä vähennyslasku 112 - 1012
35
3 Tiedon esitystapoja tietokoneessa

Perustuu binäärijärjestelmään
3.1 Etumerkittömät kokonaisluvut
TAVU (byte)
 8-bittinen
 kokonaisluvut väliltä 0 – 255
 28 eli 256 kpl
SANA (word)
 16-bittinen
 kokonaisluvut väliltä 0 – 65 535
 216 eli 65 536 kpl
 32-bittinen
 kokonaisluvut väliltä 0 – 4 294 967 295
 232 eli 4 294 967 296
 64-bittinen
 ei yleensä käytetä
 kokonaisluvut väliltä 0 – 18 446 744 073 709 551 615
 264 eli 18 446 744 073 709 551 616 kpl
3.2 Etumerkilliset kokonaisluvut
Etumerkki on 0 (+) tai 1(-). Negatiiviset luvut esitetään usein 2-komplementteina.
TAVU (byte)
 8-bittinen
 kokonaisluvut väliltä -128 – 127
 28 eli 256 kpl
SANA (word)
 16-bittinen
 kokonaisluvut väliltä -32 768 – 32 767
 216 eli 65 536 kpl
 32-bittinen
 kokonaisluvut väliltä -2 147 483 648 – 2 147 483 647
 232 eli 4 294 967 296
HUOM! Jos koneella on käytössä vain esim. 8-bittisiä lukuja ja laskutoimituksen
tuloksena on 9-bittinen luku, niin tapahtuu YLIVUOTO, jonka seurauksena tulee joko
VIRHEILMOITUS tai KONE JATKAA TOIMINTAANSA VIRHEELLISELLÄ ARVOLLA.
36
3.3 Liukuluvut (desimaaliluvut)
Esimerkiksi IEEE-standardin mukainen liukuluku (binäärilukuna)
1 bitti
8 bittiä
23 bittiä
s
e
m
merkkibitti
(sign)
+ (0)
eksponentti
tai - (1)
ilmoittaa
binääripisteen
paikan mantissassa
mantissa
liukuluku (desimaaliluku) binäärimuodossa
ilman binääripistettä
Esim. 1. Esitä desimaaliluku 43,7510 merkkibitin, eksponentin ja mantissan avulla, kun
oletetaan, että eksponenttiin mahtuu 4 bittiä ja mantissaan 8 bittiä.
Merkkibittiin tulee luku ____ (kyseessä on positiivinen luku).
Muunnetaan desimaaliluku binääriluvuksi.
 _______________________
 Mantissaan luku ______________ (8-bittinen)
Eksponenttiin luku, joka ilmoittaa binääripisteen paikan mantissassa:
______________
_____ bittiä oikealle, ___10 = ___2 ja 4-bittisenä ______2
s
e
m
37
3.4 Koodijärjestelmiä
Koodijärjestelmiä on kymmeniä. Tässä esitellään 3 yleisintä.
3.4.1


BCD-koodi (Binary Coded Decimal)
Käytetään esimerkiksi digitaalisen kellon ja laskimen tulosten näyttämiseen
10-järjestelmän luvut koodataan kukin erikseen 4-bittiseksi binääriluvuksi, ks. alla
oleva taulukko
10-järjestelmän
luku
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BCD-koodi
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
Esim.1. Kellonaika 16:45 on BCD-koodina
1
6
________
_______
4
_______
5
_________
Esim.2. Luku 42 on BCD-koodina
4
2
_______
________
HUOM! BCD-koodin luku ________ ei ole sama kuin luku 4210 binäärilukuna, joka on
__________________
38
3.4.2


ASCII-koodi (American Standard Code for Information
Interchange)
Kirjaimet, numerot, erikoismerkkejä
7-bittinen (27 kpl = 128 kpl)
39
3.4.3


Laajennettu ASCII-koodi eli EBCDIC-koodi (Extended Binary
Coded Decimal Interchange Code)
Sisältää mm. kirjaimet ä, ö ja å
8-bittinen (28 kpl = 256 kpl)
40
Harjoitustehtäviä:
1. Muunna binäärijärjestelmän luvuksi desimaaliluku 12,42.
2. Muunna binäärijärjestelmän luvuksi desimaaliluku 8,12.
3. Esitä desimaaliluku (liukuluku) 18,29 merkkibitin, eksponentin ja mantissan
avulla, kun oletetaan, että eksponenttiin mahtuu 4 bittiä ja mantissaan 8 bittiä.
4. Esitä seuraavat kymmenjärjestelmän luvut BCD -koodina
a. 365
b. 4037
c. 54 736
5. Esitä seuraavasta ne luvut, jotka ovat BCD -koodeja, kymmenjärjestelmän
lukuina.
a.
b.
c.
d.
e.
100 100 110 101
100 000 010
1 000 001 100 100 000
100 100 010 010
100 110 000 111
41
4 JOUKKO-OPPIA
4.1 Venn-diagrammi
Venn-diagrammi on joukon esittämiskuva, jossa suljetun viivan rajoittama alue kuvaa
joukon kaikkia alkioita. Diagrammin avulla voidaan helposti esittää erilaisia joukkooperaatioita.
Esim. Joukkojen A ja B leikkaus esitetään Venn-diagrammin avulla seuraavasti:
Venn-diagrammin esitteli v. 1880 englantilainen John Venn (4.8.1834 – 4.4.1923).
42
4.1.1 Peruskäsitteitä
Joukko-opin peruskäsitteet ovat alkio ja joukko sekä niiden välillä vallitseva suhde:
alkion kuuluminen joukkoon. Nämä käsitteet ovat sellaisia peruskäsitteitä, joita ei
määritellä muiden käsitteiden avulla.
Alkio voi olla mikä tahansa "olio". Alkioiksi siis käyvät esimerkiksi luvut, funktiot,
kotieläimet tai vaikkapa toiset joukot. Alkioita merkitään usein pienillä kirjaimilla a, b, c,
… Joukko taas on kokoelma toisistaan erotettavissa olevia alkioita. Joukkoja merkitään
usein isoilla kirjaimilla A, B, C, … Alkio joko kuuluu joukkoon tai ei kuulu joukkoon.
Määritelmä 1. Jos alkio a kuuluu joukkoon A, käytetään merkintää:
a
A
(lue: "alkio a kuuluu joukkoon A").
Määritelmä 2. Jos alkio ei kuulu joukkoon, käytetään merkintää:
a
A
(lue: "a ei kuulu joukkoon A").
Joukkoja voidaan havainnollistaa piirtämällä siten, että merkitään alkioita sopivilla
tunnuksilla ja joukon sisältävät alkiot rajoitetaan joukkoviivoilla. Matematiikassa
kuitenkin useimmiten käytetään käytännöllisempiä merkintöjä joukoille. Joukko voidaan
määrätä luettelemalla sen alkiot tai ilmoittamalla sen määrittelevä ominaisuus
aaltosulkujen sisällä.
Esimerkki 1. Alkioina ovat luvut 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9.
Joukot voidaan nimetä ja esittää:
A = {1, 2, 3, 5, 8}
B
(lue: "joukkoon A kuuluvat alkiot 1, 2, 3, 5 ja 8"),
A ja
(lue: "Joukko B on joukon A aito osa-joukko ja niiden joukon A
alkioiden joukko, jotka ovat parittomia").
Esimerkki 2. Luonnollisten lukujen joukko:
N = {1, 2, 3, ...}.
43
Eri yhteyksissä luonnollisten lukujen joukko saattaa sisältää myös luvun nolla. Erityisesti
merkinnällä N0 tarkoitetaan luonnollisten lukujen joukkoa, jossa on mukana alkio nolla,
siis
N0 = {0, 1, 2, 3, ...}.
Esimerkki 3. Laajennettaessa luonnollisten lukujen joukkoa negatiivisilla luvuilla {-1, 2, -3, ...} saadaan kokonaislukujen joukko:
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
Esimerkki 4.
a) Positiiviset kokonaisluvut Z+ = {1, 2, 3, ...}.
b) Parilliset kokonaisluvut
.
c) Parittomat kokonaisluvut
.
4.1.2 Joukkojen määritelmiä
Joukko- opissa tarkastelut rajoittuvat aina tietyn tyyppisiin olioihin. Ne muodostavat
tällöin perusjoukon. Perusjoukosta käytetään tässä merkintää E.
Määritelmä 3. Perusjoukko E sisältää kaikki mahdolliset esiin tulevat alkiot.
Erikoistapauksena joukoista mainittakoon tyhjä joukko Ø, jolle toisinaan käytetään myös
merkintää { }.
Määritelmä 4. Tyhjässä joukossa Ø ei ole yhtään alkiota. Joukkoa, jossa on ainakin
yksi alkio, sanotaan ei-tyhjäksi.
Määritelmä 5. Joukko A on joukon B osajoukko täsmälleen silloin, kun jokainen A:n
alkio kuuluu joukkoon B. Silloin merkitään:
A
B
(lue: "joukko A on joukon B osajoukko").
Jos joukko A ei ole joukon B osajoukko, eli A:ssa on joukkoon B kuulumattomia alkioita,
merkitään:
A
B (lue: "A ei ole B:n osajoukko").
Määritelmä 6. Joukko A ja B ovat sama joukko täsmälleen silloin, kun niillä on samat
alkiot. Tällöin merkitään:
A=B
lue: "A on (sama kuin) B".
44
Tämä voidaan ilmaista myös toisin:
jos A
B ja B
A, niin A = B.
Määritelmä 7. Mikäli joukko A ei ole sama kuin joukko B, niin ne ovat eri joukot ja
voidaan merkitä:
A
B
(lue: "A on eri joukko kuin B").
Määritelmä 8. Joukko A on joukon B aito osajoukko, jos A
merkintään:
A
B
B ja A
B. ja tällöin
(lue: "joukko A on joukon B aito osajoukko").
Osajoukon määrittelystä seuraa, että tyhjä joukko on kaikkien ei-tyhjien joukkojen aito
osajoukko. Lisäksi todettakoon, että joukko on aina itsensä osajoukko, mutta se ei
tällöin kuitenkaan ole aito osajoukko.
Esimerkki 5. Esimerkin 1
perusjoukko on {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ja B
A.
Esimerkki 6. Joukot A = {b, a, c} ja B = {a, c, b} ovat samat. Myös joukko
C = {a, b, b, c} on sama kuin A ja B, mutta yleensä alkiot esiintyvät vain kerran.
Esimerkki 7. Joukko C = {1, 2, 3}. Sen kaikki osajoukot ovat: Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2},
{1, 3}, {2, 3} ja {1, 2, 3}. Näistä viimeistä lukuun ottamatta kaikki ovat C:n aitoja
osajoukkoja.
4.2 Joukkojen perusoperaatioita
Venn-diagrammi on joukon esittämiskuva, jossa suljetun viivan rajoittama alue kuvaa
joukon kaikkia alkioita. Alkioiden ominaisuudet ja lukumäärät eivät ilmene Venndiagrammista. Diagrammin avulla voidaan helposti esittää erilaisia joukko-operaatioita.
Tarkastellaan seuraavaksi joukko- operaatioita perusjoukossa E ja havainnollistetaan
niitä Venn-diagrammin avulla. Tässä esityksessä määriteltävän operaation tulosjoukko
on merkitty varjostuksella diagrammiin.
45
Joukon A komplementti -A (lue: "komplementti A") on joukko, joka koostuu niistä E:n
alkioista, jotka eivät kuulu joukkoon A. Komplementtia voidaan merkitä myös Ā, ~A tai
Ac .
.
Esimerkki 8. Esimerkin 1
perusjoukko on {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ja B
-A = {
A.
}
Joukkojen A ja B leikkaus A ∩ B (lue: "A leikkaus B") koostuu niistä E:n alkiosta jotka
kuuluvat sekä joukkoon A että joukkoon B:n.
.
46
Leikkaus on kahden esineen yhteinen tilavuus. Se on helppo tapa yhdistää eri
esineiden ominaisuuksia. (http://cc.joensuu.fi/~tniemi/3d/5.html)
Esimerkki 9. Esimerkin 1
perusjoukko on {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ja B
A∩B={
A.
}
Joukkojen A ja B yhdiste eli unioni A B (lue: ”A yhdiste B” tai ”A unioni B”) koostuu
niistä E:n alkioista, jotka kuuluvat joko joukkoon A tai joukkoon B. Alkiot saavat kuulua
samanaikaisesti molempiin joukkoihin.
.
47
Yhdiste liittää kaksi esinettä toisiinsa, poistaen kaikki piiloon jäävät polygonit. Yhdisteen
avulla saadaan tiiviitä liitoksia esineiden välille. (http://cc.joensuu.fi/~tniemi/3d/5.html)
Esimerkki 10. Esimerkin 1
perusjoukko on {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ja B
A
B={
A.
}
Joukkojen A ja B erotus A - B (lue: "A pois B") koostuu niistä A:n alkioista, jotka eivät
kuulu joukkoon B.
tai A - B = A ∩ ~B
48
Vähentäminen poistaa toisen esineen toisesta. Sen avulla voi tehdä esineisiin reikiä tai
syvennyksiä. (http://cc.joensuu.fi/~tniemi/3d/5.html)
Esimerkki 11. Esimerkin 1
perusjoukko on {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ja B
A–B={
A.
}
Esimerkki 12. E = {1, ..., 9}, A = {1, 2, 5, 6, 7}, B = {2, 6, 9}.
a) -A = {3, 4, 8, 9}
b) A ∩ B = {2, 6}
c) A
B = {1, 2, 5, 6, 7, 2, 6, 9} = {1, 2, 5, 6, 7, 9}
d) A - B = {1, 5, 7}
49
Esimerkki 13. Yksinkertaistetaan seuraavia esityksiä:
a) A
E.
Koska perusjoukko E sisältää kaikki osajoukkonsa A alkiot, on tällöin joukkojen
unionissa kaikki E:n alkiot, joten vastaus on E.
b) A ∩ Ø.
Koska tyhjä joukko ei sisällä yhtään alkiota, ei joukolla A voi olla sen kanssa
ainuttakaan yhteistä alkiota, joten vastaus on Ø.
c) A - (-A).
Joukkoon -A kuuluvat kaikki ne perusjoukon E alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A. Joten
kun joukosta A poistetaan alkioita, jotka eivät alun perinkään kuulu siihen, niin tällöin
vastauksena saadaan alkuperäinen joukko, eli A.
4.3 Joukko-operaatioiden laskusääntöjä
Ilman todistusta esitetään joukko- operaatioita koskevia tuloksia. Tulokset on tosin
helppo todentaa Venn-diagrammilla. Joukot A, B, C E.
Määritelmä 9. Leikkauksen ja yhdisteen vaihdantalaki:
A ∩ B = B ∩ A,
A
B=B
A.
Määritelmä 10. Leikkauksen ja yhdisteen liitäntälaki:
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C,
A
(B
C) = (A
B)
C=A
B
C.
Määritelmä 11. Leikkauksen ja yhdisteen osittelulaki:
A
(B ∩ C) = (A
A ∩ (B
B) ∩ (A
C) = (A ∩ B)
C),
(A ∩ C).
Määritelmä 12. Komplementin ominaisuuksia:
-(-A) = A,
-Ø = E,
-E = Ø,
A
(-A) =E,
A ∩ (-A) = Ø.
50
Määritelmä 13. DeMorganin lait:
-(A
B) = (-A) ∩ (-B),
-(A ∩ B) = (-A)
(-B).
51
Harjoitustehtäviä:
1. Olkoon E = Z, A = N0, B = Z-. Määritä
a) A ∩ B
b) A
B
2. Yksinkertaista seuraavia esityksiä:
a) A ∩ E
b) E - A
c) A
Ø
d) A - Ø
3. Havainnollista Venn-diagrammilla seuraavat (muodosta erikseen Venndiagrammi yhtälön vasemmasta ja oikeasta puolesta ja vertaa sitten syntyneitä
alueita keskenään):
a) Osittelulait
b) DeMorganin lait
c) A - B = A ∩ (-B)
4. Piirrä neljälle Venn-diagrammi -tapaukselle 1) A
B, 2) A ∩ B ja 3) A ∩ (-B)
52
53
5. Varjosta seuraaviin Venn-diagrammeihin alueet
a. -A ∩ (B U C)
b. -A ∩ -B
c. A ∩ B ∩ C
d. -(A ∩ B) ∩ C
a.
b.
54
c.
d.
6. Montako alkiota kuuluu joukkoon
a. A U B
b. A ∩ (-B)
c. A U (-B),
kun perusjoukossa E on 30 alkiota. Joukossa A 10 alkiota, joukossa B 15 alkiota
ja joukossa A ∩ B 6 alkiota? Piirrä itsellesi kuva avuksi.
55
5 KOMBINATORIIKKA
Lasketaan vaihtoehtojen lukumäärää.
5.1 Summaperiaate ("tai")


rinnakkaisia valintoja
vaihtoehtojen lukumäärä
= 1. valinnan vaihtoehdot
+ 2. valinnan vaihtoehdot
.
.
.
+ n. valinnan vaihtoehdot
Esim. 1. Montako korkeintaan 4 bitin koodia voidaan muodostaa?
5.2 Tuloperiaate (”ja”)


peräkkäisiä valintoja
vaihtoehtojen lukumäärä
= 1. valinnan vaihtoehdot
* 2. valinnan vaihtoehdot
.
.
.
* n. valinnan vaihtoehdot
Esim.2. Maijalla on 3 puseroa, 4 hametta ja kahdet kengät. Kuinka monta erilaista
asukokonaisuutta hän voi muodostaa?
56
5.3 Permutaatio



n erilaista alkiota, joista jokainen voidaan valita vain kerran
järjestetty n:n alkion jono
saadaan tuloperiaatteella:
n!
(n:n kertoma)
n! = 1 ∙ 2 ∙ ... ∙ (n - 1) ∙ n
0! = 1
(määritelmä)
Esim.1. 7! = ___________________________
Esim. 2. Kuinka monella tavalla 8 hengen seurue voidaan asettaa istumaan 8-hengen
pöydän ääreen?
5.4 Binomikerroin
n
k
=
0! = 1
n
n
n!
k!(n-k)!
(määritelmä)
=
1
Todistus:
57
Esim. 1.
6
3
=
Esim. 2.
11
5
=
5.5 Osajoukkojen lukumäärä
n
k
kappaletta
Ilmoittaa montako erilaista k:n alkion osajoukkoa sisältyy n:n alkion joukkoon.
Osajoukoissa järjestyksellä ei ole väliä.
Esim. 1.
3
2
=
3!
2!·(3-2)!
=
1·2·3
1·2·1
=3
ilmoittaa montako erilaista 2:n alkion osajoukkoa
sisältyy 3:n alkion joukkoon.
1
2
3
58
Esim. 2. Kuinka monella eri tavalla voidaan Viking-lotossa valita luvuista 1 - 48 6 lukua?
Esim.3. Bridge-iltaan on kutsuttu 6 henkilöä. Kerralla peliin voi osallistua 4 henkilöä.
Kuinka monta eri kokoonpanoa peliin saadaan mukaan?
59
Harjoitustehtäviä:
1. Laske
a)
9
4
b)
8
3
c)
12
6
d)
19
7
2. Montako
a. 8 bitin
b. korkeintaan 6 bitin
koodia voidaan muodostaa?
3. Ruokalistaan on merkitty 4 alkuruokaa, 6 pääruokaa ja 3 jälkiruokaa. Montako
erilaista 3 ruokalajin ateriaa niistä voidaan valita? (yksi alku-, pää- ja jälkiruoka)
4. Kuinka monella eri tavalla yksi rivi (13 kohdetta) voidaan täyttää
vakioveikkauksessa?
5. Kuinka monella eri tavalla voidaan lotossa valita luvuista 1 – 39 seitsemän
lukua?
60