M5 - Jyväskylän yliopiston Koppa

M5
0.0. M5: Lineaarialgebra
1/76
M5
M5: Lineaarialgebra
Lineaarisella yht¨al¨
oryhm¨all¨a joko ei ole yht¨a¨an ratkaisua, on
t¨asm¨alleen yksi ratkaisu tai on ¨a¨arett¨
om¨an monta ratkaisua.
Luennot Juha Merikoski 8.9.–29.10.2014 ma&ke 12-14 (FYS3)
Laskuharjoitukset 7 kertaa, ke, max 12 p (voimassa vuoden)
1. tentti Perjantaina 31.10.2014, max 48 p
2. tentti Perjantaina 21.11.2014
Yleinen tenttip¨aiv¨a 30.1.2015
Pieni¨a yht¨al¨
oryhmi¨a olemme koulussa oppineet ratkaisemaan
eliminointimentelm¨all¨a. Se helpottuu huomattavasti (paperilla
ja tietokoneessa, kts. §2) ottamalla k¨aytt¨
o¨
on matriisit.
Esimerkiksi yht¨al¨
oryhm¨a


x1 − 2x2 + x3 = 0
(3)
2x2 − 8x3 = 8


−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
Oletetut esitiedot Fysp111 ja Fysp112
Avuksi my¨os Lineaarinen algebra ja geometria (matem)
Kirjallisuutta Adams&Essex: Calculus s. 600-609 (ei kattava)
Fysiikan matemaattisten menetelmien kirjat,
esim. Arfken, Boas, Lay, Riley&Hobson&Bence
Taulukkokirjat Alan Jeffrey s. 50-66
voidaan esitt¨a¨a t¨aydent¨am¨all¨a yht¨al¨
oryhm¨an kerroinmatriisi A
ns. t¨aydennetyksi matriisiksi B




0
1 −2 1
1 −2 1
2 −8 8 
2 −8
A= 0
B= 0
(4)
−4 5
9 −9
−4 5
9
P¨aivitetty luentorunko ja uusimmat teht¨av¨at suoraan Kopasta:
https://koppa.jyu.fi/kurssit/168997/materiaali/Luennot.pdf
https://koppa.jyu.fi/kurssit/168997/harjoitukset/Tehtavat.pdf
Muu materiaali (malliratkaisuja yms) Kopassa salasanan takana.
0.1. Kurssin tavoitteet
2/76
M5
0.1. Kurssin tavoitteet
5/76
Yleisesti m×n–matriisilla A tarkoitetaan kaari- tai hakasulkujen
sis¨all¨a olevaa lukukaaviota, jossa on
m rivi¨a (vaakarivi¨a) ja n saraketta (pystyrivi¨a)
alkiot (matriisielementit) aij , i = 1, ..., m ja j = 1, ...n
eli


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


A= .
(5)
..
..  ,
 ..
.
. 
am1 am2 · · ·
amn
miss¨a alkiot aij ∈ R tai aij ∈ C. K¨ayt¨amme my¨
os merkint¨oj¨a
A = (aij )
Kurssin asiat k¨asitell¨a¨an p¨a¨aosin (ja tarkoin todistuksin) my¨
os
matematiikan kursseilla Lineaarinen algebra ja geometria 1&2.
N¨am¨a luentokalvot ovat verrattain tiiviit ja rakentuvat p¨a¨aosin
Jouni Suhosen tekem¨an luentomonisteen (2012) mukaisesti.
Aihetta k¨asitell¨a¨an my¨os Markku Lehdon monisteessa (2001).
[A]ij = aij .
(6)
Sanomme, ett¨a
n×n–matriisi = neli¨
omatriisi (jolle siis m = n)
1×n–matriisi = vaakavektori = rivivektori = rivimatriisi
m×1–matriisi = pystyvektori = sarakevektori = sarakematriisi
1.1. Lineaariset yht¨
al¨
oryhm¨
at ja matriisit
3/76
1. Matriisit ja matriisioperaatiot
1.1. Lineaariset yht¨al¨oryhm¨at ja matriisit
M5
1.1. Lineaariset yht¨
al¨
oryhm¨
at ja matriisit
m×n–matriisin A = (aij ) transpoosi
AT
(1)
olevaa yht¨al¨o¨a muuttujille x1 , . . . , xn , miss¨a ai ja b ovat vakioita.
Lineaarinen yht¨al¨oryhm¨a on useamman sellaisen lineaarisen yht¨al¨
on
ryhm¨a, joissa on samat tuntemattomat muuttujat xi , i = 1, . . . , n.
Esimerkiksi kahden muuttujan (n = 2) yht¨al¨oryhm¨a on
(
a11 x1 + a12 x2 = b1
(2)
a21 x1 + a22 x2 = b2
ja vakioista aij ja bi riippuen t¨all¨a yht¨al¨oryhm¨all¨a joko ei ole yht¨a¨an
ratkaisua, on t¨asm¨alleen yksi ratkaisu (yksi piste) tai ¨a¨arett¨
om¨an
monta ratkaisua (suora).
Esim Esimerkit kustakin em. tapauksesta kahden yht¨al¨on ryhm¨alle.
eli matriisin (5) transpoosi (transponoitu matriisi) on


a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2 


AT =  .
..
..  .
 ..
.
. 
a1n a2n · · · amn
Esim Vaakavektorin transpoosi on pystyvektori:
 
a
!
T  b 

a b c d =
c 
d
Huom (x1 , x2 , x3 ) ∈
R3
6/76
on n×m-matriisi, jolle
[AT ]ij = [A]ji ∀i, j
Lineaariseksi yht¨al¨oksi kutsumme muotoa
a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n xn = b
1.1. Lineaariset yht¨
al¨
oryhm¨
at ja matriisit
M¨a¨aritelm¨a
Kurssi sis¨alt¨a¨a seuraavia asioita:
◦ lineaariset yht¨al¨oryhm¨at
◦ matriisit ja matriisioperaatiot
◦ determinantti ja k¨a¨anteismatriisi
◦ vektoriavaruudet ja lineaarikuvaukset
◦ matriisin ominaisarvot ja -vektorit
◦ diagonalisointi ja neli¨
omuodot
◦ kompleksiset vektoriavaruudet
Kurssin vaativuustaso on asetettu siten, ett¨a kurssin antamilla
tiedoilla (n¨ailt¨a osin) voi esim. suorittaa Mekaniikan kurssin ja
aloittaa Kvanttimekaniikan kurssin.
M5
4/76
Useammankin kuin kahden muuttujan yht¨al¨
oryhm¨alle p¨atee Lause:
Fysa115 (3 op) Syksy 2014, Fysiikan laitos, Jyv¨askyl¨an yliopisto
M5
1.1. Lineaariset yht¨
al¨
oryhm¨
at ja matriisit
 
x1
tarkoittaa joskus pystyvektoria x2 .
x3
(7)
(8)
M5
1.1. Lineaariset yht¨
al¨
oryhm¨
at ja matriisit
7/76
Neli¨omatriisi A = (aij ) on symmetrinen, jos
eli aij = aji ∀i, j.
δij =
1, kun i = j
0, kun i 6= j
Olkoon annetut m×p−matriisi A = (aij ) ja p×n−matriisi B = (bij ).
Niiden tulomatriisi on m×n−matriisi C = (cij ), jonka alkiot ovat
(9)
C = AB ⇔ cij =
on Kroneckerin delta. Diagonaalimatriisille k¨aytet¨a¨an merkint¨a¨a


a11 0 · · ·
0
 0 a22 · · ·
0 


(10)
A= .
..  = diag(a11 , a22 , . . . , ann ).
.
.
..
..
 ..
. 
0
0 · · · ann
1.2. Matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen
8/76
M5
1.3. Matriisikertolasku
(11)
(24)
Jos [A, B] = 0, niin sanomme, ett¨a A ja B kommutoivat.
Yleens¨a BA 6= AB eli A ja B eiv¨at kommutoi, jolloin niiden
kommutaattori on nollasta poikkeava (kiinnostavakin) matriisi.
Erityisen hy¨
odyllinen on n×n−yksikk¨
omatriisi

1 0 ···
0 1 · · ·

I = diag(1, 1, ..., 1) =  . . .
..
 .. ..
(13)
Merkinn¨all¨a −A tarkoitamme matriisia, joka saadaan kun c = −1:
0 0 ···
−A = (−1)A ⇔ [−A]ij = −[A]ij ∀i = 1, ..., m, j = 1, ..., n. (14)

0
0

..  .
.
(25)
1
Neli¨
omatriisille A m¨a¨aritell¨a¨an my¨
os sen k:s potenssi (k ≥ 0)
Huom N¨am¨a m¨a¨arittelyt yleistyv¨at sellaisinaan my¨os kompleksiseen
tapaukseen, jossa matriisien alkiot tai skalaari ovat kompleksisia.
A0 = I
9/76
M¨a¨aritelm¨at edell¨a tuottavat matriisien yhteenlaskulle ja skalaarilla
kertomiselle laskus¨a¨ann¨ot1
11/76
[A, B] = AB − BA.
(12)
1.2. Matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen
(23)
Neli¨
omatriiseista
Jos A ja B ovat kumpikin n×n−matriiseja, niin sek¨a AB ett¨a BA
ovat n×n−matriiseja. Fysiikassa on k¨aytt¨
o¨a kommutaattorille
Skalaarilla kertominen Kertomalla m×n–matriisi A = (aij ) vakiolla
c ∈ R (tai c ∈ C) saadaan m×n–matriisi B = (bij )
M5
k=1
Jos m 6= n, niin k¨a¨anteinen tulo BA ei ole m¨a¨aritelty.
Yhteenlasku m×n–matriisien A = (aij ) ja B = (bij ) summa on
m×n–matriisi C = (cij ) , jolle
B = cA = Ac ⇔ bij = caij ∀i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.
j = 1, . . . , n
Jos yll¨a m = n, voidaan laskea my¨
os BA, joka on p×p−matriisi.
Yht¨asuuruus m×n–matriisit A = (aij ) ja B = (bij ) ovat samat,jos
C = A + B ⇔ cij = aij + bij ∀i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.
i = 1, . . . , m
aik bkj
Oleellista: A:ssa yht¨a monta saraketta kuin rivej¨a B:ssa (p kpl).
1.2. Matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen
A = B ⇔ aij = bij ∀i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.
p
X
Siis C:n alkio cij on A:n i:nnen rivin ja B:n j:nnen sarakkeen
vastinalkioiden tulojen summa.
Huom Matriisin diagonaalisuus viittaa nimenomaan vasemmasta
yl¨akulmasta oikeaan alakulmaan kulkevaan diagonaaliin ja sen
symmetrisyys peilisymmetrisyyteen kyseisen diagonaalin suhteen.
M5
10/76
Matriiseille voi m¨a¨aritell¨a useammankinlaisia tuloja; nyt k¨asitell¨a¨an
niist¨a sit¨a, jota tavallisimmin kutsutaan matriisikertolaskuksi.
Neli¨omatriisi A = (aij ) on diagonaalinen, jos aij = aij δij , miss¨a
(
1.3. Matriisikertolasku
1.3. Matriisikertolasku
Neli¨omatriisin (n×n) transpoosi on neli¨omatriisi (n×n).
A = AT
M5
M5
A1 = A
A2 = AA
Ak = AA · · · A.
(26)
1.4. Matriisikertolaskun ja transpoosin ominaisuuksia
12/76
1.4. Matriisikertolaskun ja transpoosin ominaisuuksia
Olettaen matriisien dimensiot ja luvut j, k sellaisiksi, ett¨a kaikki
tulot ja summat ovat m¨a¨ariteltyj¨a (c on mv. skalaari), p¨atee
A+B = B+A
(15)
(A + B) + C = A + (B + C)
(16)
A(BC) = (AB)C
(27)
(17)
A(B + C) = AB + AC
(28)
(18)
(A + B)C = AC + BC
(29)
(19)
c(AB) = A(cB)
(30)
∃ 0, jolle A + 0 = A ∀ A
∀ A ∃ − A siten, ett¨a A + (−A) = 0
(c1 c2 )A = c1 (c2 A)
1A = A
(20)
AI = A = IA
(31)
c(A + B) = cA + cB
(21)
A0 = 0 = 0A
(32)
(c1 + c2 )A = c1 A + c2 A,
(22)
miss¨a esiintyv¨at c, c1 , c2 ovat skalaareja ja kaikki matriisit ovat
m×n−matriiseja, mukaanlukien nollamatriisi: [0]ij = 0 ∀i, j.
1
Todistukset menev¨
at alkioittain ja huomaten, ett¨
a alkioille p¨
atev¨
at samat
ass¨
a muodossaan
laskus¨
a¨
ann¨
ot kuin muillekin skalaareille eli c:lle ja ci :lle. T¨
’laskus¨
a¨
ann¨
ot’ vastaavat vektoriavaruudelle (kts. my¨
oh.) annettuja ehtoja.
ja erityisesti neli¨
omatriiseille
Aj Ak = Aj+k
(33)
(Aj )k = Ajk .
(34)
Huom Matriisin potenssin kautta voidaan m¨a¨aritell¨a esimerkiksi
e A = I + A + 12 A2 + 16 A3 + . . .
M5
1.4. Matriisikertolaskun ja transpoosin ominaisuuksia
13/76
M5
(AB)T = BT AT
(35)
(A + B)T = AT + BT
(36)
(cA)T = cAT
(37)
(AT )T = A
(38)
IT = I.
(39)
Ratkaistessamme yht¨al¨
oryhm¨a¨a sellaisenaan olemme tottuneet
k¨aytt¨am¨a¨an seuraavia operaatioita: yht¨al¨
on kertominen vakiolla,
yht¨al¨
on lis¨a¨aminen toiseen, yht¨al¨
oiden j¨arjestyksen vaihtaminen.3
N¨aiden operaatioiden tarkoituksena on saattaa yht¨al¨oryhm¨a
yksinkertaisemmaksi, ratkaisultaan ekvivalentiksi yht¨al¨oryhm¨aksi,
kunnes ratkaisu lopulta l¨
oytyy.
N¨am¨a operaatiot ovat suoraan siirrett¨aviss¨a t¨aydennetyn matriisin
k¨asittelyyn – kutsumme seuraavia alkeisrivitoimituksiksi:
Viel¨a m¨a¨aritell¨a¨an n×n−neli¨omatriisin A = (aij ) j¨alki (trace) sen
diagonaalialkioiden summana
n
X
aii ,
16/76
2.2. Alkeisrivitoimitukset
Matriisin transpoosille p¨atee asianmukaisin oletuksin:
Tr(A) =
2.2. Alkeisrivitoimitukset
1) Lis¨a¨a riviin VAKIO × jokin toinen rivi
2) Vaihda kaksi rivi¨a kesken¨a¨an
3) Kerro rivi nollasta poikkeavalla vakiolla
(40)
i=1
jolle p¨atee matriisitulon tapauksessa syklinen permutaatio
Tr(AB) = Tr(BA)
Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA),
(41)
3
Lis¨
aksi olemme ehk¨
a k¨
aytt¨
aneet yhdest¨
a yht¨
al¨
ost¨
a ratkaistun muuttujan
sijoittamista toiseen yht¨
al¨
o¨
on silloin kun se on n¨
aytt¨
anyt toimivan. Pyrimme
nyt kuitenkin algoritmiin, joka on helposti toteutettavissa matriisien avulla.
kunhan kaikki matriisitulot ovat neli¨omatriiseja.
M5
2.1. Yht¨
al¨
oryhm¨
an matriisiesitys
14/76
M5
2. Yht¨al¨oryhmien ratkaiseminen eliminointimenetelm¨all¨a
2.1. Yht¨al¨oryhm¨an matriisiesitys
Pyrit¨a¨an ensin ratkaisemaan x3 ja sit¨a k¨aytt¨aen sitten x2 jne.
Lis¨at¨a¨an Y3:een 4·Y1 (Ym = m:s yht¨al¨
o) eli Y3→Y3+4·Y1:




0
1 −2 1
x1 − 2x2 + x3 = 0

0 2 −8 8 
⇔
2x2 − 8x3 = 8


0 −3 13 −9
−3x2 + 13x3 = −9
Se voidaan esitt¨a¨a (m×n)−kerroinmatriisin A = (aij ) sek¨a
sarakevektoreiden x = (x1 x2 . . . xn )T ja b = (b1 b2 . . . bm )T avulla
kompaktisti:
Ax = b,
(43)
Seuraavaksi Y2→ 12 Y2 ja Y3→Y3+3·Y2 (j¨arjestys oleellinen):




1 −2 1 0
x1 − 2x2 + x3 = 0
⇔  0 1 −4 4 
x2 − 4x3 = 4


0 0
1 3
x3 = 3
miss¨a x on ratkaistava tuntematon vektori ja A ja b tunnetaan.
Yht¨al¨oryhm¨a on homogeeninen, jos b = 0.
2.1. Yht¨
al¨
oryhm¨
an matriisiesitys
Auki kirjoitettuna (43) on

a11 a12 · · ·
 a21 a22 · · ·

 ..
..
 .
.
am1 am2 · · ·
15/76
   
a1n
b1
x1
   
a12 
  x2   b 2 
..   ..  =  .. 
.  .   . 
xn
amn
ja vastaava t¨aydennetty matriisi

a11 a12
 a21 a22

(A|b) =  .
..
 ..
.
···
···
am1 am2 · · ·
a1n
a12
..
.
(44)
bm
b1
b2
..
.
amn bm



.

(45)
Yht¨al¨oryhm¨a¨a vastaava t¨aydennetty matriisi (A|b) sis¨alt¨a¨a kaiken
informaation ratkaistavasta ongelmasta ja pyrimmekin seuraavassa
k¨aytt¨am¨a¨an sit¨a yht¨al¨oryhm¨an ratkaisemiseen.2
2
T¨
aydennetty matriisi voidaan esitt¨
a¨
a my¨
os muodossa (A b).
17/76
Esim Vasemmalla on matriisi (3) yht¨al¨
oryhm¨an muodossa, oikealla
t¨aydennettyn¨a matriisina B = (A|b).




1 −2 1
0
x1 − 2x2 + x3 = 0
2 −8 8 
⇔  0
2x2 − 8x3 = 8


−4 5
9 −9
−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
Yleinen m lineaarisen n tuntemattoman yht¨al¨on ryhm¨a on muotoa


a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1



a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
(42)
..
..
..
..


.
.
.
.



am1 x1 +am2 x2 +. . .+ amn xn = bm
M5
2.2. Alkeisrivitoimitukset
M5
2.2. Alkeisrivitoimitukset
N¨ain saatiin kerroinmatriisi A on yl¨akolmiomuotoon eli muotoon




⋆ ⋆ ⋆ ⋆
⋆ ⋆ ⋆



0 ⋆ ⋆ ⋆ ,
B=
A= 0 ⋆ ⋆
0 0 ⋆
0 0 ⋆ ⋆
miss¨a ⋆ on mik¨a tahansa luku, oli v¨alitavoitteemme.
Palaten esimerkkiin, seuraavaksi Y2→Y2+4·Y3 ja Y1→Y1−1·Y3:




1 −2 0 −3
x1 − 2x2 = −3
⇔  0 1 0 16 
x2 = 16


0 0 1 3
x3 = 3
Viel¨a kerroinmatriisi yksikk¨
omatriisiksi operaatiolla Y1→Y1+2·Y2:




1 0 0 29
x1 = 29
⇔  0 1 0 16  ,
x2 = 16


0 0 1 3
x3 = 3
jolloin A = diag(1,1,1) ja esimerkkiyht¨al¨
oryhm¨a on ratkaistu.
18/76
M5
2.2. Alkeisrivitoimitukset
19/76
M5
22/76
2.4. Yht¨al¨oryhm¨an ratkaiseminen porrasmatriiseilla
M¨a¨aritelm¨a
Matriisit B ja B′ ovat riviekvivalentit, mik¨ali ne saadaan
toisistaan alkeisrivitoimituksin. T¨all¨oin merkit¨a¨an B ∼ B′ .
Seuraavassa esitet¨a¨an kaksi algoritmia lineaarisen yht¨al¨oryhm¨an
Ax = b ratkaisemiseksi. T¨aydennetty matriisi olkoon B = (A|b).
Lause
Gaussin eliminointi
1) Etsit¨a¨an B:n kanssa riviekvivalentti porrasmatriisi B′ = (A′ |b′ ).
2) Ratkaistaan yht¨al¨
oryhm¨a A′ x = b′ takaisinsjoituksin.
Jos kahden yht¨al¨oryhm¨an t¨aydennetyt matriisit ovat
riviekvivalentit, niin yht¨al¨oryhmill¨a on samat ratkaisut.
Gaussin-Jordanin eliminointi
Huom Alkeisrivitoimitusten kannalta t¨aydennetty¨a matriisia (A|b)
kirjoittettaessa edell¨a k¨aytetty pystyviiva on ep¨aoleellinen, se vain
muistuttaa viimeisen sarakkeen erityismerkityksest¨a yht¨al¨oryhmi¨a
ratkaistaessa. Tarvittavat alkeisrivitoimitukset m¨a¨ar¨a¨a matriisi A.
1) Etsit¨a¨an B:n kanssa riviekvivalentti redusoitu porrasmatriisi
B′′ = (A′′ |b′′ ).
2) Luetaan suoraan yht¨al¨
oryhm¨an A′′ x = b′′ ratkaisut.
Huom Edellisten sivujen esimerkiss¨a yht¨al¨oit¨a oli yht¨a monta kuin
tuntemattomia. T¨all¨oin kerroinmatriisi A on neli¨omatriisi ja se on
mahdollista saattaa yl¨akolmiomuotoon ja lopulta diagonaaliseksi.
Huom Kummassakin algoritmissa vaihe 2) edellytt¨a¨a, ett¨a
ratkaisuja on. Niiden olemassaoloon palataan tuotapikaa.
Huom Mik¨ali yht¨al¨
oryhm¨all¨a on t¨asm¨alleen yksi ratkaisu, vaihe 2)
on helppo. Jos ratkaisuja on ¨a¨arett¨
om¨an paljon, esimerkiksi jos ne
muodostavat suoran tai tason, saadaan parametrisoitu ratkaisu.
Yleisess¨a tapauksessa yht¨al¨oiden ja tuntemattomien m¨a¨ar¨a ei
v¨altt¨am¨att¨a ole sama, jolloin kannattaa m¨a¨aritell¨a...
M5
2.3. Porrasmatriisit
20/76
2.3. Porrasmatriisit
M5
2.5. Lineaarinen riippumattomuus ja matriisin ranki
23/76
2.5. Lineaarinen riippumattomuus ja matriisin ranki
Vektoreiden a1 , a2 , . . . , am lineaarikombinaatio on
M¨a¨aritelm¨a
m×n−matriisi B porrasmatriisi, jos
1) matriisin mahdolliset nollarivit ovat alimpana,
2) jokaisen nollasta eroavan rivin ensimm¨ainen
eli johtava alkio on 1 ja
3) alemman rivin johtava alkio sijaitsee aina ylemm¨an rivin
johtavan alkion oikealla puolella
c1 a1 + c2 a2 + . . . + cm am ,
c1 a1 + c2 a2 + . . . + cm am = 0
Lineaarisen yht¨al¨
oryhm¨an tapauksessa sen rivivektorien lineaarinen
riippuvuus tarkoittaa sit¨a, ett¨a yht¨al¨
oit¨a on tarpeettoman monta.
Yksinkertaisimmillaan n¨ain k¨ay, jos kaksi yht¨al¨
o¨a ovat samat.
Jokainen m×n−matriisi on riviekvivalentti jonkin
(yksik¨asitteisen) redusoidun porrasmatriisin kanssa.
Esim Porrasmatriisi (⋆ mik¨a tahansa

0 1 ⋆ ⋆
0 0 0 1

0 0 0 0
0 0 0 0
Esim Redusoitu porrasmatriisi:

0
0

0
0
1
0
0
0
⋆
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Esim Alkeisrivitoimituksin n¨ahd¨a¨an, ett¨a

⋆
⋆

⋆
0


1 0 −2 3 0 −24
0 3 −6 6 4 −5
3 −7 8 −5 8 9  ∼ 0 1 −2 2 0 −7 
0 0 0 0 1
4
3 −9 12 −9 6 15

Yht¨al¨
oryhm¨ass¨a voi olla my¨
os kesken¨a¨an ristiriitaan johtavia rivej¨a.
21/76
luku):

⋆ ⋆
⋆ ⋆

1 ⋆
0 0
(47)
Jos (47) toteutuu siten, ett¨a kaikki ci :t eiv¨at ole nollia, sanomme
vektoreiden a1 , a2 , . . . , am olevan lineaarisesti riippuvia (LD) ja
ainakin yksi niist¨a voidaan esitt¨a¨a muiden lineaarikombinaationa.
Lause
2.3. Porrasmatriisit
(46)
vain kun c1 = c2 = · · · = cm = 0.
Porrasmatriisi B on redusoitu, jos lis¨aksi
4) jokaisen rivin johtava alkio on sarakkeensa ainoa nollasta
poikkeava alkio.
M5
ci ∈ R.
Vektorit a1 , a2 , . . . , am ovat lineaarisesti riippumattomia (LI), jos
M¨a¨aritelm¨a

2.4. Yht¨
al¨
oryhm¨
an ratkaiseminen porrasmatriiseilla
M5
2.5. Lineaarinen riippumattomuus ja matriisin ranki
M¨a¨aritelm¨a
Matriisin A ranki r(A) on sen LI rivivektoreiden maksimilukum¨a¨ar¨a.
Lause Riviekvivalenteille matriiseille A ∼ B on r(A) = r(B).
Seuraus
Ranki r(A) on A:ta vastaavan porrasmatriisin nollasta
poikkeavien rivien lukum¨a¨ar¨a.
Otetaan m kappaletta n-komponenttisia vektoreita ja muoLause dostetaan niit¨a rivivektoreina k¨aytt¨aen m ×n−matriisi A.
Vektorit ovat LI, jos r(A) = m, ja LD, jos r(A) < m.
Lause r(A) on A:n LI sarakevektoreiden maksimilukum¨a¨ar¨a.
Seuraus Transpoosille p¨atee r(AT ) = r(A).
Lause
Olkoon annettu m kappaletta n-komponenttisia vektoreita.
Jos m > n, niin vektorit ovat LD.
24/76
M5
2.6. Yht¨
al¨
oryhm¨
an ratkaisujen olemassaolo
25/76
2.6. Yht¨al¨oryhm¨an ratkaisujen olemassaolo
M5
Tutkitaan n tuntemattoman, m yht¨al¨on lineaarista yht¨al¨oryhm¨a¨a
Ax = b, miss¨a A on m×n−matriisi ja yht¨al¨oryhm¨a¨a vastaava
t¨aydennetty matriisi B = (A|b) on m×(n+1)−matriisi.
Tapauksessa n = 1 determinantti on triviaalisti
Lause: ratkaisujen olemassaolo
miss¨a pystyviivat eiv¨at ole itseisarvomerkkej¨a vaan determinantin
merkint¨atapa. Determinantin ominaisuuksiin alamme p¨a¨ast¨a kiinni
tapauksessa n = 2, jossa m¨a¨arittelemme:
a
a D (2) = 11 12 = a11 a22 − a12 a21 .
(53)
a21 a22
D (1) = |a11 | = a11 ,
Lause: ratkaisujen yksik¨asitteisyys
Yht¨al¨
oryhm¨all¨a on t¨asm¨alleen yksi ratkaisu ⇔ r(A) = r(B) = n.
Jos r(A) = r(B) = r < n, on yht¨al¨oryhm¨all¨a ¨a¨arett¨om¨an monta
ratkaisua. T¨all¨oin voidaan l¨oyt¨a¨a r kappaletta riippumattomia
tuntemattomia xi , jotka voidaan ilmaista j¨aljelle j¨a¨avien n − r
tuntemattoman xj = tj avulla (tj ∈ R) → parametrisointi.
D (2) = (−1)1+1 a11 |a22 | + (−1)1+2 a12 |a21 |
eli kuljetaan pitkin ylemp¨a¨a vaakarivi¨a ja kerrotaan sen kullakin
alkiolla vastaava alideterminantti4 ja summataan etumerkki¨a
vuorotellen. T¨ast¨a p¨a¨asemme eteenp¨ain:
Mik¨ali yht¨al¨oryhm¨all¨a on ratkaisuja, saadaan ne kaikki Gaussin tai
Gaussin-Jordanin eliminoinnilla.
3.1. Lineaarinen yht¨
al¨
oryhm¨
a ja determinantit
26/76
M5
3. Determinantit
3.1. Lineaarinen yht¨al¨oryhm¨a ja determinantit
a
= (−1)1+1 a11 22
a32
a21
a23 1+2
+
(−1)
a
12 a33 a31
4
Poistettu alkuper¨
aisest¨
a determinantista rivi i ja sarake j.
Seuraa Cramerin s¨
a¨
ant¨
o ja paljon muuta hyv¨
a¨
a (fysiikkaankin).
6
Kuin ven¨
al¨
aiset sis¨
akk¨
aiset maatuska-puunuket avataan isoimmasta alkaen
paitsi ett¨
a nyt n-nuken sis¨
all¨
a on n sit¨
a v¨
alitt¨
om¨
asti pienemp¨
a¨
a nukkea.
5
27/76
M5
3.2. Determinanttien laskeminen
30/76
Saamme aiheen m¨a¨aritell¨a kutakin (n+1)×(n+1)−determinantin
alkiota aij vastaavan kofaktorin
cofn (aij ) = (−1)i+j D (n) (aij ).
(55)
Sen avulla voimme kirjoittaa suhteellisen kompaktisti yleisen
kaavan (kehityss¨a¨ann¨
on) n×n−determinantille
D1)
Jos D 6= 0, niin yht¨al¨oryhm¨an Ax = b yksik¨asitteinen ratkaisu on
x1 = D1 /D, x2 = D2 /D, . . . , xn = Dn /D.
(51)
Esim Yll¨aolevat tulokset on helppo todistaa entuudestaan tutuille
2×2-determinanteille eli tapaukselle n = 2. Lasketaan...
a22 a32 Osoittautuu, ett¨a juuri t¨am¨a on oikea5 tapa m¨a¨aritell¨a isommat
determinantit pienempien determinanttien kautta.6
Lause: Cramerin s¨a¨ant¨o
Lis¨aksi:
Homogeeniselle yht¨al¨oryhm¨alle Ax = 0 (ja siis b = 0) p¨atee:
D 6= 0 ⇒ triviaaliratkaisu x = 0
D = 0 ⇒ ¨a¨arett¨om¨an monta ratkaisua
a21
a23 1+3
+
(−1)
a
13 a33 a31
miss¨a D (2) (aij ) on alkiota aij vastaava 2×2−alideterminantti.4
Yll¨a 3×3−determinantti on ’kehitetty 1. rivins¨a suhteen’.
joka on yksi reaaliluku (reaaliselle A eli kun aij ∈ R).
joissa Di saatiin D:st¨a korvaamalla sarake i luvuilla b1 , . . . , bn .
29/76
= (−1)1+1 a11 D (2) (a11 ) + (−1)1+2 a12 D (2) (a12 ) + (−1)1+3 a13 D (2) (a13 ),
matriisein ilmaistuna Ax = b, miss¨a kerroinmatriisi A = (aij ) on
(n×n)−neli¨omatriisi. Sit¨a vastaa (kerroin)determinantti
a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n (49)
D = det(A) = .
..
.. ,
..
.
.
an1 an2 · · · ann Yht¨al¨oryhm¨a¨an Ax = b liittyen m¨a¨arittelemme my¨os determinantit
a11 a12 · · · b1 b1 a12 · · · a1n a21 a22 · · · b2 b2 a22 · · · a2n D1 = .
..
..
.. , . . . , Dn = ..
.. , (50)
..
.
.
. . .
bn an2 · · · ann an1 an2 · · · bn 3.2. Determinanttien laskeminen
Kun n = 3, otamme (nyt aluksi) l¨aht¨
okohdaksi ylimm¨an rivin:
a11 a12 a13 D (3) = a21 a22 a23 (54)
a31 a32 a33 Determinanteille kuten matriiseillekin on monenmoista k¨aytt¨
o¨a,
mutta haetaan motivaatiota edelleen yht¨al¨oryhmist¨a, nyt n×n:


a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1



a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
,
(48)
..
..
..
..


.
.
.
.



an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
3.1. Lineaarinen yht¨
al¨
oryhm¨
a ja determinantit
(52)
T¨am¨an lausekkeen voi ajatella muodostuvan seuraavasti:
Lause: ratkaisujen l¨oyt¨aminen
M5
28/76
3.2. Determinanttien laskeminen
Yht¨al¨
oryhm¨all¨a on ratkaisuja ⇔ r(A) = r(B).
M5
3.2. Determinanttien laskeminen
D (n) =
n
X
j=1
akj cofn−1 (akj ) =
n
X
ail cofn−1 (ail ),
(56)
i=1
miss¨a ensimm¨aisess¨a summassa on kehitetty determinantti k:nnen
rivin ja j¨alkimm¨aisess¨a l:nnen sarakkeen suhteen. K¨ayt¨ann¨oss¨a se
kannattaa tehd¨a sen rivin/sarakkeen suhteen, jossa on eniten nollia.
Huom Muistutetaan itse¨amme viel¨a siit¨a, ett¨a D (n) on jokin luku,7
joka nyt on laskettavissa8 kaavoista (55-56).
7
8
Determinantin voi ajatella kuvauksena matriisien avaruudelta reaaliluvuille.
Mutta laskutoimitusten m¨
a¨
ar¨
a kasvaa nopeasti n:n kasvaessa.
M5
3.2. Determinanttien laskeminen
31/76
M5
D2) D (n) vaihtaa merkki¨a, kun sen kaksi rivi¨a tai kaksi saraketta
vaihdetaan kesken¨a¨an.
Olkoot A ja C n×n–neli¨
omatriiseja ja I n×n–yksikk¨omatriisi.
D3) Kertomalla D (n) :n mik¨a tahansa rivi tai sarake vakiolla c
saadaan determinantti, jonka arvo on cD (n) .
VAKIO× toinen
M¨a¨aritelm¨a
Jos on olemassa n×n–neli¨
omatriisi B, jolle AB = I,
niin B on A:n k¨a¨anteismatriisi, merkit¨a¨an B = A−1 .
rivi/sarake,
D5) D (n) :n arvo ei muutu jos sen jollekin riville/sarakkeelle
lis¨at¨a¨an muiden rivien/sarakkeiden lineaarikombinaatio.
Determinanteille p¨atee:
D6) Kaksi determinanttia, joilla vain yksi rivi/sarake ovat
erilaiset, voidaan laskea yhteen. N¨ain saadaan determinantti,
joka on muuten sama kuin alkuper¨aiset, mutta sanottu
rivi/sarake on alkuper¨aisten rivien/sarakkeiden summa.
Lause
D7) Transpoosille p¨atee det(AT ) = det(A).
Lause
3.3. Determinantit ja matriisiranki
det(AC) = det(A)det(C).
det(A) 6= 0 ⇔ ∃ yksik¨asitteinen A−1 .
32/76
M5
4.1. K¨
a¨
anteismatriisin ominaisuuksia
35/76
Edelleen (57) ja (59) ⇒
Olkoon A m×n−matriisi. Silloin voidaan osoittaa seuraavat:
r(A) = n ⇔ ∃ A−1 .
Lause
Lause
(60)
Olkoon B = A−1 olemassa. T¨all¨
oin det(B) = 1/det(A) 6= 0 ja on
olemassa B−1 ja BA = BABB−1 = BIB−1 = BB−1 = I, joten
r(A) = r0 ≥ 1 ⇔ A:n suurin alimatriisi, jota vastaava determinantti
on nollasta poikkeava, on r0 ×r0 −matriisi.
AA−1 = A−1 A = I.
Lause
Lause
(61)
Olettaen A ja C s¨a¨ann¨
ollisiksi n×n−matriiseiksi (c 6= 0 skalaari) on
Jos r(A) = r0 ≥ 1, niin A:n kaikkien sellaisten alimatriisien, joiden
ranki > r0 , determinantit ovat nollia.
(AC)−1 = C−1 A−1
(cA)
Lis¨aksi n×n−neli¨omatriisille A p¨atee:
−1
= c
−1
A
(62)
−1
(63)
(A−1 )−1 = A
Lause
3.4. Determinanteista viel¨
a
3.4. Determinanteista viel¨a
Johdattelimme n×n−determinanttiin formaalia ja j¨alkiviisasta
reitti¨a. Yleisesti determinantti on sarakkeidensa n-lineaarikuvaus
(tarkastelemme tavallisia lineaarikuvauksia my¨ohemmin). T¨am¨a
ominaisuus takaa sen geometrisen tulkinnan, ett¨a useammassakin
kuin kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa determinantilla on
tulkinta sarakkeidensa m¨a¨ar¨a¨amien vektoreiden viritt¨am¨an
suunnikkaan/s¨armi¨on ’tilavuutena’.
T¨all¨a geometrisella tulkinnalla on ilmeist¨a, miksi determinantti
tulee kerrotuksi samalla luvulla kuin mill¨a yksi sen sarake
kerrotaan, kts. luvun §3.2 kolmas laskus¨a¨ant¨o. Samaten on
ilmeist¨a, ett¨a kuudes laskus¨a¨ant¨o p¨atee. Jos determinantin kaksi
saraketta ovat samat, niin mainittu tilavuus on nolla, kuten
determinanttikin, kts. nelj¨as s¨a¨ant¨o.
Determinantin alternoivuus eli kertoimet (−1)i+j seuraa kolmesta
mainitusta s¨a¨ann¨ost¨a. T¨aten tapamme m¨a¨aritell¨a determinanti ei
ole suinkaan mielivaltainen, vaan lopulta ainoa mahdollinen.
(64)
(A−1 )T = (AT )−1
(57)
(65)
ja merkitsemme
Huom Tuloksista yll¨a heijastuu lineaarisen riippumattomuuden
yhteys lineaarisen yht¨al¨oryhm¨an ratkaisuihin ja determinantin
nollasta poikkeavuuteen. Todistusten ideaa kannattaa mietti¨a.
M5
(59)
Jos ∃ A−1 , niin A on s¨a¨ann¨
ollinen eli ei-singulaarinen matriisi.
Jos det(A) = 0, niin A on singulaarinen.
3.3. Determinantit ja matriisiranki
r(A) = n ⇔ det(A) 6= 0.
(58)
Jos nyt on AB = I, niin det(AB) = det(A)det(B) = det(I) = 1,
joten det(B) = 1/det(A). T¨aten olletinkin
Huom Operaatioilla (2,5) voidaan determinantti saattaa yl¨a- tai
alakolmiomuotoon, joilloin sen arvo on diagonaalielementtien tulo.
M5
34/76
4. Neli¨omatriisin k¨a¨anteismatriisi
4.1. K¨a¨anteismatriisin ominaisuuksia
Determinanttien k¨asittelyss¨a ovat avuksi my¨os seuraavat:
D4) Jos D (n) :n jokin rivi/sarake on
niin D (n) = 0.
4.1. K¨
a¨
anteismatriisin ominaisuuksia
A−p = (A−1 )p
p = 1, 2, 3, ....
(66)
N¨aill¨a ev¨aill¨a kertolaskut k¨a¨anteismatriisilla sujuvat.
33/76
M5
4.2. K¨
a¨
anteismatriisi ja yht¨
al¨
oryhm¨
a
36/76
4.2. K¨a¨anteismatriisi ja yht¨al¨oryhm¨a
Tarkastellaan yht¨al¨
oryhm¨a¨a


a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1



a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
Ax = b ⇔
.
..
..
..

 ..
.
.
.



an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
.
(67)
Jos ∃ A−1 ja b tunnetaan, (67):n muodollinen ratkaisu saadaan
kertomalla puolittain A−1 :ll¨a eli A−1 Ax = A−1 b ⇒
x = A−1 b.
(68)
A−1
saadaan (67):st¨a ratkaisemalla
Toisaalta yll¨aoleva kertoo, ett¨a
xi :t tuntemattomien bj :den lineaarikombinaationa, jolloin A−1 on
n¨ain saatava b:n kerroinmatriisi.
Huom K¨a¨anteismatriisin A−1 laskeminen on yleisesti ty¨ol¨ast¨a,
mutta kun se on kerran laskettu, yht¨al¨
oryhm¨an Ax = b ratkaisu
kaikilla annetuilla b saadaan matriisitulona x = A−1 b.
M5
4.3. K¨
a¨
anteismatriisi adjungoidun matriisin kautta
37/76
4.3. K¨a¨anteismatriisi adjungoidun matriisin kautta
5.1. Vektoriavaruus
Joukko olioita (esimerkiksi tavalliset Rn :n vektorit) v1 , v2 , v3 , ...
muodostaa vektoriavaruuden V, jos niiden joukossa on m¨a¨aritelty
yhteenlasku ja skalaarilla kertominen (skalaarit c, c1 , c2 ), joille
(69)
miss¨a cof(A) on A:n kofaktorimatriisi
v1 + v2 = v ∈ V

cofn−1 (a11 ) cofn−1 (a12 ) · · · cofn−1 (a1n )
cofn−1 (a21 ) cofn−1 (a22 ) · · · cofn−1 (a12 )


cof(A) = 
,
..
..
..


.
.
.

cv1 = v ∈ V
(70)
cofn−1 (an1 ) cofn−1 (an2 ) · · · cofn−1 (ann )
A
9
= adj(A)/det(A).
(71)
Varo: T¨
all¨
a termill¨
a on lineaarialgebrassa muutakin k¨
aytt¨
o¨
a.
M5
4.4. K¨
a¨
anteismatriisi alkeisrivitoimitusten kautta
38/76
M5
4.4. K¨a¨anteismatriisi alkeisrivitoimitusten kautta

0
0
1
0 1
R(1, 2) = 1 0
0 0
(81)
c(v1 + v2 ) = cv1 + cv2
(82)
(c1 + c2 )v = c1 v + c2 v
(83)
5.1. Vektoriavaruus
41/76
(84)
c1 v1 + c2 v2 + . . . + cm vm = 0 ⇔ ci = 0 ∀ i
(85)
M¨a¨aritelm¨a
Vektoriavaruus V on n-ulotteinen, jos siit¨a l¨
oytyy korkeintaan n kpl
LI vektoreita. T¨am¨a n vektorin joukko viritt¨a¨a V:n ja on V:n kanta.
Joukon vektorit ovat kantavektoreita.

1
R(k3) = 0
0

0 0
1 0
0 k
Vektoriavaruuden kanta ei ole yksik¨asitteinen. My¨
os (¨a¨arett¨om¨an)
moni muu n vektorin joukko voi olla LI ja toimia kantana.
Mik¨a tahansa vektori v ∈ V voidaan ilmaista valitussa kannassa vi ,
i = 1, 2, . . . , n, kantavektoreiden lineaarikombinaationa
v = c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn .
4.4. K¨
a¨
anteismatriisi alkeisrivitoimitusten kautta
39/76
Edellisen perusteella l¨oytyy alkeisrivitoimitukset eli alkeismatriisit
R1 , R2 , . . . , RN , joiden tulo R = RN · · · R2 R1 siten, ett¨a RA = I.
T¨aten A = R−1 ⇒ A−1 = RI. Siis
RN · · · R2 R1 A = RA = I
RN · · · R2 R1 I = RI = A
1v = v
Jos ci ∈ R (C), niin on V reaalinen (kompleksinen) vektoriavaruus.
Oletetaan nyt A s¨a¨ann¨olliseksi n×n–matriisiksi. T¨all¨oin p¨atee:
A ∼ B, miss¨a B on redusoitu porrasmatriisi.
S¨a¨ann¨ollisyys & neli¨omatriisi ⇒ A ∼ I.
M5
(79)
(80)
Vektorijoukko vi ∈ V, i = 1, 2, ..., m, on LI mik¨ali (muutoi LD)
Esimerkiksi 3×3–matriiseille seuraavat alkeisrivitoimitukset R
saadaan kertomalla A vastaavalla R-matriisilla:

(78)
c1 (c2 v) = (c1 c2 )v
c1 v1 + c2 v2 + . . . + cm vm ∈ V ∀ ci .
1) R(i1 + ki2 ) ↔ lis¨a¨a riviin i1 rivi i2 kerrottuna k:lla
2) R(i1 , i2 ) ↔ vaihda rivit i1 ja i2
3) R(ki) ↔ kerro rivi i luvulla k 6= 0.

0 0
1 k
0 1
(76)
(77)
Vektoreiden vi ∈ V mielivaltainen lineaarikombinaatio kuuluu V:hen:
K¨ayt¨ann¨oss¨a (71):ssa pit¨a¨a laskea A:n alideterminantteja kaikissa
kertaluvuissa, joten menetelm¨a ei ole tehokas suurille matriiseille.
Haetaan nyt ratkaisua alkeisrivitoimituksin (vrt. §2.2), jotka
matriisikertolaskuja varten esit¨amme alkeismatriiseina:

1
R(2+k3) = 0
0
(75)
(v1 + v2 ) + v3 = v1 + (v2 + v3 )
∀ v ∈ V ∃ − v ∈ V, jolle v + (−v) = 0
Nyt voidaan kirjoittaa ’k¨a¨anteismatriisin kaava’
(74)
v1 + v2 = v2 + v1
∃ 0 ∈ V siten, ett¨a v + 0 = v ∀ v ∈ V
miss¨a kofaktorit eli luvut cofn−1 (aij ) m¨a¨ariteltiin (55):ssa.
−1
40/76
5. Vektoriavaruudet ja lineaarikuvaukset
5.1. Vektoriavaruus
M¨a¨aritelm¨a S¨a¨ann¨ollisen n×n−matriisin adjungoitu matriisi9 on
adj(A) = [cof(A)]T ,
M5
−1
(72)
(73)
N¨am¨a yht¨al¨ot voidaan tulkita algoritmiksi:
Otetaan l¨aht¨okohdaksi t¨aydennetty matriisi (A|I).
Valitaan R1 , R2 , . . . , RN siten, ett¨a A muuntuu I:ksi.
T¨all¨oin I muuntuu A−1 :ksi.
= Gaussin-Jordanin menetelm¨a k¨a¨anteismatriisin laskemiseksi!
Huom Meill¨a on nyt kaava determinantille (56), sen kautta
k¨a¨anteismatriisille (71), ja edelleen yht¨al¨oryhm¨an ratkaisulle (68).
Kun n on suuri, on silti aihetta turvautua alkeisrivitoimituksiin
perustuviin algoritmeihin. Numeriikkaa varten on kehitetty lis¨aksi
approksimatiivisia menetelmi¨a (kts. M7: Numeeriset menetelm¨at).
M5
(86)
5.2. Sis¨
atuloavaruus
42/76
5.2. Sis¨atuloavaruus
M¨a¨aritelmi¨a Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. T¨all¨oin V on
reaalinen sis¨atuloavaruus, jos kaikilla v1 , v2 ∈ V on olemassa v1 :n
ja v2 :n sis¨atulo (v1 , v2 ) ∈ R, jolle kaikilla v, vi ∈ V ja ci ∈ R on:
(v1 , v2 ) = (v2 , v1 )
(c1 v1 + c2 v2 , v3 ) = c1 (v1 , v3 ) + c2 (v2 , v3 )
(v, v) ≥ 0 ja: (v, v) = 0 ⇔ v = 0.
(87)
(88)
(89)
Vektorit v1 , v2 ∈ V ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli ne ovat
ortogonaaliset, jos (v1 , v2 ) = 0.
Vektorin v ∈ V pituus eli normi on
p
||v|| = (v, v) ≥ 0.
Nollasta poikkeava v ∈ V voidaan normittaa yksikk¨ovektoriksi:
ˆ
v = v/||v|| ⇒ ||ˆ
v|| = 1.
T¨all¨
oin ˆ
v:n sanotaan olevan normitettu.
(90)
(91)
M5
5.2. Sis¨
atuloavaruus
43/76
M5
Lauseita Kaikille v1 , v2 ∈ V p¨atev¨at Cauchyn-Schwartzin ep¨ayht¨al¨
o
|(v1 , v2 )| ≤ ||v1 || ||v2 ||,
(92)
||(v1 + v2 )|| ≤ ||v1 || + ||v2 ||
(93)
5.3. Lineaarikuvaus ja sit¨
a vastaava matriisi
Lineaarikuvauksen matriisiesityksen F (v) = Av saamme
tarkastelemalla kantavektorien10 kuvia:
w(k) = F (ˆik ) = Aˆik
kolmioep¨ayht¨al¨o
||(v1 + v2 )||2 + ||(v1 − v2 )||2 = 2(||v1 ||2 + ||v2 ||2 )
(94)
Huom M¨a¨aritelm¨at ja lauseet yll¨a tuntuvat j¨arkeenk¨ayp¨aisilt¨a, kun
ajatelemme avaruuksia Rn pienill¨a n. Ne p¨atev¨at kuitenkin kaikissa
Rn sek¨a muunkinlaisille vektoriavaruuksille, joita ovat esimerkiksi:
(1)
F = {f | f on funktio R → R}
(k)
(k)
(k)
a1k = w1 , a21 = w2 , . . . , amk = wm
Mn×m = {A | A on n×m–matriisi}
10
Sis¨atulon keksiminen n¨aille avaruuksille saa(ttaa) mietitytt¨a¨a viel¨a.
5.3. Lineaarikuvaus ja sit¨
a vastaava matriisi
44/76
M5
F on lineaarikuvaus, mik¨ali ∀ v, v1 , v2 ∈ V ja ∀ c ∈ R p¨atee
47/76
Rm
Kun vektorit ˆik olivat kantavektoreita ja kun esitimme niiden kuvat
w(k) kannassa ˆjk , on (103) matriisin A esitys kannoissa {ˆik } ja {ˆjl }.
(95)
F (cv) = cF (v)
(96)
N¨ain saamme Lauseen:
Lineaarikuvauksilla on mukavia ominaisuuksia, mm.
F (0V ) = 0W ,
Jokaista lineaarikuvausta F : Rn → Rm vastaa yksik¨asitteinen
muotoa (103) oleva matriisi A siten, ett¨a F (v) = Av ∀ v ∈ Rn .
(97)
miss¨a teemme eron l¨aht¨o- ja maalipuolen nollavektorien v¨alill¨a, ja
F (c1 v1 + c2 v2 ) = c1 F (v1 ) + c2 F (v2 )
T¨am¨a vastaavuus on yksik¨asitteinen niin kauan kun pid¨amme
kannat samoina. Palaamme my¨
ohemmin kantojen vaihtoon
neli¨
omatriisien tapauksessa; todettakoon determinantin ja
j¨aljen sellaisessa toimituksessa tietyin ehdoin s¨ailyv¨an.
(98)
jotka on helppo todistaa lineaarikuvauksen m¨a¨aritelm¨ast¨a l¨ahtien.
5.3. Lineaarikuvaus ja sit¨
a vastaava matriisi
45/76
Rn
5.3. Lineaarikuvaus ja sit¨
a vastaava matriisi
Lineaarikuvausta F :
→
vastaava matriisi A saadaan siis
asettamalla kantavektoreiden ˆik kuvat A:n sarakkeiksi:
 (1)

(2)
(n)
w1
· · · w1
w1
 (1)
(2)
(n) 
w 2
w2
· · · w2 
(103)
A=
..
.. 

 ..
.
. 
 .
(1)
(2)
(n)
wm wm · · · wm
M¨a¨aritelmi¨a
Olkoot V ja W vektoriavaruuksia sek¨a v ∈ V ja w ∈ W.
Kuvauksessa (muunnoksessa) F : V → W l¨aht¨ojoukon vektori v
kuvautuu maalijoukon vektoriksi w, merkit¨a¨an v 7→ w tai w = F (v).
T¨all¨oin sanomme, ett¨a vektori w on vektorin v kuva kuvauksessa F .
F (v1 + v2 ) = F (v1 ) + F (v2 )
(102)
Matriisin A alkiot aij riippuvat valituista kannoista
ja my¨
os kantavektoreiden j¨
arjestyksest¨
a.
Rn
5.3. Lineaarikuvaus ja sit¨a vastaava matriisi
Tarkastellaan seuraavaksi lineaarikuvauksia F :
(1)
Nyt alkiot ai1 ovat ratkaistavissa: a11 = w1 , . . . , am1 = wm ja
samaan tapaan kaikilla k = 1, . . . , n on
Pn = {p | p on polynomi R → R astetta ≤ n}
M5
(101)
Esimerkiksi l¨aht¨
opuolen kantavektorin ˆi1 (tapaus k=1) kuva on
 (1)  
  

w
a11
a11 a12 · · · a1n
1
 1(1)  
  

w2   a21 a22 · · · a12 
  0   a21 

w(1) = 
..   ..  =  .. 
..
..
 ..  = 
.  .   . 
.
 .   .
(1)
a
am1
0
a
·
·
·
a
m1
m2
mn
wm
sek¨a suunnikass¨a¨ant¨o
M5
46/76
→
Rm .
N¨am¨a kannat ovat ortonormitettuja eli kantavektorit ovat
kesken¨a¨an ortogonaaliset ja kunkin kantavektorin pituus on 1,
sis¨atulona tuttu pistetulo (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn .
5.4. Matriisi k¨
a¨
anteiskuvaukselle ja yhdistetylle kuvaukselle
48/76
5.4. Matriisi k¨a¨anteiskuvaukselle ja yhdistetylle kuvaukselle
Lineaarikuvaus voidaan esitt¨a¨a matriisina, kunhan valitsemme
avaruuksille V = Rn ja W = Rm kantavektorit. Valitaan niille
nyt luonnolliset kannat eli standardikannat
 
 
 
1
0
0
0
1
0
 
 
 

 
 
ˆi1 = 
 0  ˆi2 =  0  · · · ˆin =  0 
 .. 
 .. 
 .. 
.
.
.
0
0
1
 
 
 
0
0
1
1
0
0
 
 
 
 
 

ˆj1 = 
 0  ˆj2 =  0  · · · ˆjm =  0 
 .. 
 .. 
 .. 
.
.
.
1
0
0
M5
Jos nyt lineaarikuvausta F : Rn → Rn vastaava neli¨omatriisi A on
s¨a¨ann¨
ollinen, niin on olemassa A−1 , joka vastaa k¨a¨anteiskuvausta
−1
F : Rn → Rn . Siten my¨
os F −1 on lineaarikuvaus ja
(99)
w = Av ⇔ v = A−1 w
(104)
Jos taasen F : Rp → Rm ja G : Rn → Rp , ja n¨ait¨a kuvauksia
vastaavat matriisit ovat A (s.e. Av = w) ja B (s.e. By = v), niin
yhdistetty¨a kuvausta F ◦ G : Rn → Rm vastaa matriisi C siten ett¨a
(100)
w = Av = A(By) = ABy = Cy.
(105)
Siis yhdistetty¨a kuvausta vastaa tulomatriisi C = AB ja t¨aten
kahden lineaarikuvauksen yhdistetty kuvaus on lineaarikuvaus.11
11
T¨
am¨
a p¨
atee yleisemminkin. Oleellista on, ett¨
a ’keskimm¨
aiselle’ avaruudelle
k¨
aytet¨
a¨
an samaa kantaa kummassakin kuvauksessa. Lis¨
aksi olemme jo
oppineet, ett¨
a neli¨
omatriisien tapauksessa p¨
atee det(C) = det(A)det(B).
M5
6.1. Ominaisarvo-ongelma
49/76
M5
Johdannoksi: Ominaisarvo-ongelma12 n¨aytt¨a¨a ¨akkip¨a¨at¨a¨an kaukaa
haetulta mutta – kuten tulemme n¨akem¨a¨an – se antaa avaimen
siihen mit¨a annettu matriisi (tai sit¨a vastaava lineaarikuvaus)
’tekee’. Lis¨aksi sille on monta suoraa k¨aytt¨okohdetta fysiikassa
(mm. ominaistaajuudet, ominaistilat). Kysymyksenasettelu kuuluu:
Annetulle neli¨omatriisille A jossain kannassa mitk¨a vektorit x vain
’venyv¨at’ ja kuinka paljon, kun niihin operoidaan ko. matriisilla?
Osoittautuu, ett¨a jos l¨oyd¨amme kyseiset ns. ominaisvektorit,
saamme niiden kautta vektoriavaruudelle kannan, jossa A on
yksinkertaisimmassa muodossaan.
Pn (λ) = (−1)n (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 · · · (λ − λl )ml ,
on Pn (λ) = 0 erisuuret juuret,
miss¨a λ1 , λ2 , ..., λl ovat yht¨al¨
mi on λi :n (algebrallinen) multiplisiteetti ja m1 + . . . +ml = n.
Ominaisarvo-ongelma ratkeaa siis seuraavin askelin:
1) Muodosta polynomi Pn (λ) = det(A − λI)
2) Hae yht¨al¨
on Pn (λ) = 0 juuret λ1 (m1 ), λ2 (m2 ), . . . , λl (ml )
3) Etsi yht¨al¨
oryhm¨an (A − λi I)x = 0 ratkaisujoukko {x}i
eli ominaisvektorit kullekin i = 1, 2, . . . , l.
M¨a¨aritelm¨a
Olkoon A n×n−matriisi. Vektori x 6= 0 on A:n ominaisvektori,
jos Ax = λx, miss¨a λ on jokin luku (skalaari ∈ R tai ∈ C).
T¨all¨oin x on ominaisarvoon λ kuuluva ominaisvektori.
M5
Huom Karakteristisen yht¨al¨
on ratkaiseminen ei yleisess¨a
tapauksessa ole helppoa; ratkaisukaavatkin ovat olemassa vain
4. asteen yht¨al¨
o¨
on saakka. Fysiikassa voidaan kuitenkin usein
hy¨
odynt¨a¨a symmetrioita ongelman pilkkomisessa paloihin, mink¨a
lis¨aksi monissa tilanteissa A on harva eli sis¨alt¨a¨a paljon nollia.
On muitakin kuin matriisin ominaisarvo-ongelmia...
6.1. Ominaisarvo-ongelma
50/76
Tutkimme siis ominaisarvo-yht¨al¨on
Ax = λx
M5
53/76
Olkoon A edelleen n×n−matriisi. Sen ominaisarvoille p¨atee:
Lause
Jos A on yl¨akolmio- tai alakolmio- tai diagonaalimatriisi,
det(A − λI) = (a11 − λ)(a22 − λ) · · · (ann − λ)
eli t¨all¨
oin ominaisarvot ovat A:n diagonaalialkiot.
Eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat LI. Siis:
Lause Jos λ1 , λ2 , . . . , λp , ovat eri ominaisarvoja ja x1 , x,2 , ..., xp
vastaavat ominaisvektorit, niin x1 , x,2 , ..., xp ovat LI.
Huom Jos xi on ominaisvektori, niin my¨os esim. 5xi on samaan
ominaisarvoon kuuluva ominaisvektori, mutta n¨am¨a ovat LD.
Kirjoitetaanpa (106) toisin k¨aytt¨aen n×n−yksikk¨omatriisia I:
T¨am¨a on n lineaarisen yht¨al¨on homogeeninen yht¨al¨oryhm¨a


(a11 − λ)x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0

a21 x1 + (a22 − λ)x2 + . . . + a2n xn = 0
..
..
..
.. .

.
.
.
.



6.2. Joitakin tuloksia ominaisarvoille
6.2. Joitakin tuloksia ominaisarvoille
(106)
mahdollisia ei-triviaaleja ratkaisuja. Jos esim. on Axi = λi xi
eli on l¨
oydetty ominaisarvo λi ja siihen kuuluva (sit¨a vastaava)
ominaisvektori xi , voi olla muitakin ominaisvektoreita kuin xi , jotka
kuuluvat samaan ominaisarvoon. Jos ominaisarvoon λi kuuluu k
kpl LI ominais- vektoreita, λi on k−kertaisesti degeneroitunut.
(A − λI)x = 0
52/76
Algebran peruslauseen nojalla Pn (λ):lla on (kompleksitasossa)
n nollakohtaa ja se voidaan (periaatteessa) saattaa muotoon
6. Reaalisen neli¨omatriisin ominaisarvo-ongelma
6.1. Ominaisarvo-ongelma
12
6.1. Ominaisarvo-ongelma
Olkoon ominaisarvon λ multiplisiteetti m. Olkoon k kpl
siihen kuuluvia LI ominaisvektoreita, miss¨a 1 ≤ k ≤ m.
Lause T¨aten λ:aa vastaavan kyseisten ominaisvektoreiden viritt¨am¨an ominaisavaruuden dimensio on k. Sanomme, ett¨a
λ:n degeneraatio (geometrinen multiplisiteetti) on k.
(107)
(108)
Lause Matriiseilla A ja AT on samat ominaisarvot.
an1 x1 + an2 x2 + . . . + (ann − λ)xn = 0
M5
6.1. Ominaisarvo-ongelma
51/76
Yht¨al¨oryhm¨an homogeenisuus antaa meille ratkaisevan askeleen:
Muistamme (§3.1), ett¨a homogeenisella yht¨al¨oryhm¨all¨a on
ei-triviaaleja ratkaisuja, jos kerroindeterminantti on nolla.
Vaadimme siis, ett¨a det(A − λI) = 0 eli
a11 −λ
a12
···
a1n a21
a22 −λ · · ·
a12 Pn (λ) = .
.
.. = 0
..
..
. an1
an2
· · · ann −λ
Ratkaistuamme ominaisarvot λi sy¨ot¨amme ne yksi kerrallaan
(108):een ja ratkaisemme niihin kuuluvat ominaisvektorit.
Helppoa siis periaatteessa...
6.2. Joitakin tuloksia ominaisarvoille
Lause
λi ovat A:n ominaisarvot ⇒ cλi ovat cA:n ominaisarvot,
miss¨a c ∈ R. cA:n ominaisvektorit = A:n ominaisvektorit.
Lause
X
λi mi = Tr(A).
Y
i
λm
i = det(A).
i
(109)
Selv¨asti Pn (λ) = det(A − λI) on λ:n n:nnen asteen polynomi,
A:n (ominaisarvo-ongelman) ns. karakteristinen polynomi.
Yht¨al¨o¨a Pn (λ) = 0 kutsumme A:n karakteristiseksi yht¨al¨oksi,
jonka ratkaisuina saamme A:n ominaisarvot λ1 , λ2 , ...
M5
Lause
i
Seuraus
Karakteristisen polynomin Pn (λ) vakiotermi on det(A)
eli edellisess¨a lauseessa oleva ominaisarvojen tulo.
Viimeisi¨a kahta lausetta ja seurausta voi hy¨
odynt¨a¨a esim. saadun
ratkaisun (ominaisarvot) tarkistamisessa.
Esim Luentoesimerkkej¨a:


2 −3 1
1 2
1 −2 1
3 2
1 −3 2

1 −4 −1 −4
2
0
5 −4


−1 1 −2 3 
−1 4 −1 6

54/76
M5
6.3. Kompleksisista ominaisarvoista
55/76
6.3. Kompleksisista ominaisarvoista
λ∗k = a − bi,
a, b ∈ R.
⇒ A∗ x∗k = λ∗k x∗k ,
Neli¨
omatriisit A ja B ovat similaariset, jos on olemassa
neli¨
omatriisi U siten, ett¨a
(110)
B = U−1 AU.
T¨at¨a kutsutaan similariteettimuunnokseksi.
det(B − λI) = det(U−1 AU − λU−1 IU) = det(U−1 (A − λI)U)
= det(U−1 )det(A − λI)det(U) = det(A − λI),
koska det(U−1 ) = 1/det(U). T¨aten similaarisilla matriiseilla on
sama karakteristinen polynomi, joten saadaan
(112)
Lause
joten A:n ominaisarvoa λ∗k vastaa ominaisvektori x∗k .
M5
6.4. Erityisist¨
a reaalisista matriisesista
56/76
6.4. Erityisist¨a reaalisista matriisesista
matriisi A on symmetrinen, jos
59/76
Seuraavassa A, U ja D ovat n×n−matriiseja. M¨a¨aritelm¨a:
Neli¨
omatriisi A on diagonalisoituva, jos on olemassa s¨a¨ann¨ollinen
neli¨
omatriisi U siten, ett¨a
= A.
U−1 AU = diag(d1 , d2 , ..., dn ).
det(D − λI) = 0 ⇔ (d1 − λ)(d2 − λ) · · · (dn − λ) = 0,
Antisymmetrisen matriisin A diagonaalialkioille aii = −aii , joten
aii = 0.
joten (117) ⇒ D:n ja A:n ominaisarvot ovat d1 , d2 , ..., dn .
(113)
Jos nyt B on mielivaltainen n×n−matriisi, niin
B = S + A,
Huom
(114)
Similariteettimuunnoksen matriisi U sis¨alt¨a¨a sarakkeinaan
A:n LI ominaisvektorit (oltava LI jotta det(U) 6= 0).
Lause A on diagonalisoituva ⇔ A:lla on n LI ominaisvektoria.
miss¨a S on symmetrinen ja A on antisymmetrinen ja
A = 12 (B − BT ).
(118)
Diagonaalimatriisille D ≡ diag(d1 , d2 , ..., dn ) p¨atee
matriisi A on ortogonaalinen, jos AT = A−1 .
M5
7.2. Matriisin diagonalisointi
7.2. Matriisin diagonalisointi
matriisi A on antisymmetrinen, jos AT = −A.
S = 21 (B + BT )
Similaarisilla matriiseilla on samat ominaisarvot. (117)
M5
Olkoon lineaarikuvausta F : Rn → Rn vastaava n×n−matriisi
A = (aij ) edelleen reaalinen eli A = A∗ . T¨all¨oin
AT
(116)
Similaaristen matriisien karakteristisille polynomeille p¨atee
(111)
miss¨a matriisin A = (aij ) kompleksikonjugaatti on A∗ = (aij∗ ).
Nyt A oli kuitenkin reaalinen, joten A = A∗ ⇒
Ax∗k = λ∗k x∗k ,
58/76
Seuraavassa A, B ja U ovat n×n−matriiseja. M¨a¨arittelemme:
Siten jos λk on ominaisarvo, jolle b 6= 0, niin my¨os λ∗k on.
T¨all¨oin jos λk on ominaisvektoria xk vastaava ominaisarvo, niin
Axk = λk xk
7.1. Similaariset matriisit
7. Neli¨omatriisin diagonalisointi ja neli¨omuodot
7.1. Similaariset matriisit
Olkoon A = (aij ) n×n−neli¨omatriisi, jossa aij ∈ R ∀ i, j. T¨all¨
oin
karakteristinen polynomi Pn (λ) on reaalilukukertoiminen ja siten
algebran peruslauseen mukaan ominaisarvot λ ovat reaalisia ja/tai
esiintyv¨at kompleksilukupareina
λk = a + bi,
M5
Seuraus A:lla on n eri ominaisarvoa ⇒ A on diagonalisoituva.
(115)
6.4. Erityisist¨
a reaalisista matriisesista
Symmetrisen n × n−matriisin ominaisarvot ovat reaaliset ja sen ominaisvektoreista voidaan muodostaa Rn :n
Lause
ortonormitettu kanta. Eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat ortogonaaliset.
Antisymmetrisen n × n−matriisin ominaisarvot ovat joko
Lause nolla tai t¨aysin imaginaarisia (±bi) ja sen ominaisvektoreista voidaan muodostaa Rn :n ortonormitettu kanta.
Olkoon A sitten ortogonaalinen. T¨all¨oin p¨atev¨at Lauseet:
1) A s¨ailytt¨a¨a sis¨atulon eli u = Aa ja v = Ab ⇒ u · v = a · b,
miss¨a a · b = (a, b) = aT b. A s¨ailytt¨a¨a my¨os normin ||a||.
2) Olkoon a1 , a2 , . . . , an matriisin A sarakevektorit. A on
ortogonaalinen ⇔ (ai , aj ) = δij . Sama p¨atee rivivektoreille.
57/76
M5
7.2. Matriisin diagonalisointi
60/76
Huom Diagonalisoiminen ↔ ominaisarvo-ongelma ratkaiseminen.
Koska oli D = U−1 AU = diag(d1 , d2 , . . . , dn ), saamme my¨os
AU = UD
(119)
mill¨a voi helposti (vain matriisituloja) tarkistaa saamansa tuloksen.
Esim Luvun §6.2 ensimm¨aiselle esimerkkimatriisille on
2 1 1
1 1
U= 3
ja U−1 =
.
3
5 2 −1
2 −1
Reaalisten matriisien teorian keskeinen tulos on spektraalilause:
Lause
A:n diagonalisoi ortogonaalimatriisi U
⇔ A on symmetrinen.
3) A:n determinantti on det(A) = ±1.
Todistus suuntaan ⇒ on helppo, suuntaan ⇐ k¨aytet¨a¨an luvun §6.4
ensimm¨aist¨a lausetta symmetriselle matriiseille.
5) A:n ominaisvektoreista voidaan muodostaa Rn :n
ortonormitettu kanta.
Symmetriset matriisit tulevat fysiikassa vastaan usein; niill¨a oli
sekin t¨arke¨a ominaisuus, ett¨a niiden ominaisarvot ovat reaaliset.
4) A:n ominaisarvot λ ∈ R ja/tai λ = a ± ib. Lis¨aksi |λ| = 1.
M5
7.3. Neli¨
omuodot
61/76
M5
7.3. Neli¨omuodot
7.4. Neli¨
omuodot ja tasok¨
ayr¨
at
T¨am¨an j¨alkeen mahdollinen ratkaisu on (yksi piste, suora tai) yksi
nelj¨ast¨a standardikartioleikkauksesta:
M¨a¨aritelm¨a
Funktio q : Rn → R on neli¨omuoto, jos
q(x1 , x2 , . . . , xn ) = xT A x,
1) Ympyr¨a (s¨ade r ):
y12 + y22 = r 2
 
x1
 x2 
 
x =  . ,
 .. 
2) Ellipsi (puoliakselit a ja b):
(120)
y12 y22
+ 2 =1
a2
b
3) Hyperbeli (puoliakselien pituudet c ja d):
xn
miss¨a kerroinmatriisi A on symmetrinen n×n−neli¨omatriisi.
y2
y22
y2
y12
− 22 = 1 tai
− 12 = 1
2
2
c
d
c
d
4) Paraabeli (et¨aisyys k¨arjest¨a polttopisteeseen e):
Similariteettimuunnoksen (U on ortogonaalimatriisi: U−1 = UT )
D = U−1 AU = diag(d1 , d2 , . . . , dn ),
y12 = ey2
tuottamat uudet koordinaatit ovat
T
y = U x,
joten
T
x = Uy,
T
T
T
7.3. Neli¨
omuodot
62/76
M5
i=1
λi yi2 ≡ Q(y1 , y2 , . . . , yn ).
(121)
Siit¨a saadaan kompleksinen sis¨atuloavaruus, jos on olemassa v1 :n
ja v2 :n sis¨atulo (v1 , v2 ) ∈ C, jolle kaikilla v, vi ∈ V ja ci ∈ C on:
miss¨a λi :t ovat alkuper¨aisen kerroinmatriisin A ominaisarvot.
(v1 , v2 ) = (v2 , v1 )∗
Esim Tarkastellaan funktiota (huomaa A-matriisin symmetrisointi)
4 2
!
x1
q(x1 , x2 ) = 4x12 + 4x1 x2 + 7x22 = x1 x2
.
2 7
x2
1
2 1
Nyt diagonalisoivaksi matriisiksi saadaan U = √
, miss¨a
5 −1 2
etutekij¨a takaa sarakkeiden normituksen, ja p¨a¨aakselimuodoksi
3 0
!
y1
= 3y12 + 8y22 .
Q(y1 , y2 ) = y1 y2
y2
0 8
M5
7.4. Neli¨
omuodot ja tasok¨
ayr¨
at
(123)
(c1 v1 + c2 v2 , v3 ) = c1∗ (v1 , v3 ) + c2∗ (v2 , v3 )
(v, v) ≥ 0 ja: (v, v) = 0 ⇔ v = 0.
(124)
(125)
Nytkin sanotaan v1 :n ja v2 :n olevan ortogonaaliset, jos (v1 , v2 ) = 0.
Lis¨aksi yo. sis¨atulon m¨a¨aritelm¨ast¨a seuraa, ett¨a ∀ c ∈ C
(v1 , cv2 ) = (cv2 , v1 )∗ = [c ∗ (v2 , v1 )]∗ = c(v2 , v1 )∗ = c(v1 , v2 ).
(126)
63/76
M5
8.1. Kompleksinen sis¨
atuloavaruus
66/76
(cv1 , v2 ) = c ∗ (v1 , v2 )
7.4. Neli¨omuodot ja tasok¨ayr¨at
Esim Jatketaan esimerkki¨a edell¨a kirjoittamalla q(x1 , x2 ) = 24,
mik¨a m¨a¨arittelee (x1 , x2 )-tasossa k¨ayr¨an, jonka yht¨al¨o on
4x12 + 4x1 x2 + 7x22 = 24.
Se on 1. argumentin suhteen antilineaarinen:
ja 2. argumentin suhteen lineaarinen: (v1 , cv2 ) = c(v1 , v2 ).
Sis¨atulo kokonaisuutena on seskilineaarinen.
Olkoon A n×n−matriisi. M¨a¨aritelm¨a:
Matriisin A Hermiten konjugaatti13 A† on matriisi
Edellisen esimerkin perusteella t¨am¨an p¨a¨aakselimuoto on
A† = (A∗ )T
y2
y2
√1
+
= 24 ⇔
+ √2 = 1,
(2 2)2 ( 3)2
mink¨a tunnistamme ellipsin yht¨al¨oksi, mik¨a oli vaikea n¨ahd¨a
alkuper¨aisest¨a yht¨al¨ost¨a: (x1 , x2 )-tasossa vinossa oleva ellipsi.
8y22
Yleinen toisen asteen tasok¨ayr¨a (kartioleikkaus) on muotoa
q(x1 , x2 ) = ax12 + bx1 x2 + cx22 + dx1 + ex2 + f = 0.
65/76
Olkoon V vektoriavaruus siten, ett¨a luvun §5.1 ehdot t¨ayttyv¨at,
mutta skalaarilla kertominen tapahtuu kompleksiluvulla.
Kyseess¨a on t¨all¨
oin kompleksinen vektoriavaruus.
i=1 j=1
n
X
8.1. Kompleksinen sis¨
atuloavaruus
8. Kompleksiset vektoriavaruudet
8.1. Kompleksinen sis¨atuloavaruus
T¨aten olemme saaneet neli¨omuodon p¨a¨aakseliesityksen eli
kanonisen muodon
n X
n
X
q(x1 , x2 , . . . , xn ) =
xi aij xj
=
y22 = ey1
Huom Tapauksessa n = 3 neli¨
omuodot viev¨at toisen asteen
pintoihin (joskus yhdeksi pisteeksi, suoraksi tai tasoksi).
= λ1 y12 + λ2 y22 + . . . + λn yn2 .
M5
tai
Huom T¨ass¨a a, b, c, d, e, r eiv¨at ole (122):ss¨a olevia vakiota.
T
q(x1 , x2 , . . . , xn ) = x Ax = (Uy) AUy = y U AUy = y Dy
3y12
64/76
(122)
Kolme ensimm¨aist¨a termi¨a ovat neli¨omuoto, jonka p¨a¨aakseliesitys
on diagonaalinen. Ne m¨a¨ar¨a¨av¨at koordinaatiston kierron. Termit
dx1 ja ex2 muunnetaan uusiin koordinaatteihin samalla kierrolla.
(127)
Olkoon sitten avaruus, jossa liikumme, Cn . Sen mielivaltaisille
vektoreille a, b sis¨atuloksi kelpaa
 
b1
 b2 
!
 
(a, b) = a† b = a1∗ a2∗ · · · an∗  .  = a1∗ b1 + a2∗ b2 + . . . + an∗ bn ,
 .. 
bn
jolloin vektorin a normi on
q
p
||a|| = (a, a) = |a1 |2 + |a2 |2 + . . . + |an |2 ≥ 0.
13
Terminologiaa: T¨
at¨
a(kin) kutsutaan my¨
os adjungaatiksi.
(128)
(129)
M5
8.2. Kompleksialkioisia matriiseja
67/76
M5
8.2. Kompleksialkioisia matriiseja
8.3. Kompleksialkioisten matriisien ominaisuuksia
Jos B on mielivaltainen n×n−matriisi, niin
Olkoon A = (aij ), aij ∈ C, kompleksialkioinen matriisi. T¨all¨oin
R = (rij ), S = (sij ),
A = R + iS,
B = H + A,
(130)
A∗ = R − iS.
H = 12 (B + B† )
(131)
Kompleksialkioisille matriiseille A ja B p¨atee (c ∈ C)
†
(AB) = B A
†
(134)
(A† )† = A
(135)
Lause
(136)
8.2. Kompleksialkioisia matriiseja
Lause
68/76
M5
matriisi A on unitaarinen, jos A† = A−1 .
Unitaariselle matriisille A on
AA† = I = A† A.
(138)
Hermiten konjugaatin determinantti on
Similariteettimuunnoksen (U on unitaarimatriisi: U−1 = U† )
∗
det(A ) = [det(A)] .
(139)
D = U−1 AU = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ),
Huom Nyt n¨ahd¨a¨an vastaavuudet aiempaan (vrt. §6.4):
Reaalialkioiselle matriisille on A = A∗ , joten reaalinen...
tuottamat uudet koordinaatit ovat
...hermiittinen matriisi on symmetrinen eli AT = A.
joten
...antihermiittinen matriisi on antisymmetrinen eli AT = −A.
8.3. Kompleksialkioisten matriisien ominaisuuksia
8.3. Kompleksialkioisten matriisien ominaisuuksia
Seuraavassa kaikki matriisit ovat n×n−neli¨omatriiseja.
Lause Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaaliset: λi ∈ R.
Antihermiittisen matriisin ominaisarvot ovat joko nolla tai
t¨aysin imaginaarisia: λi = ±bi.
Unitaarisen matriisin ominaisarvot ovat joko reaalisia tai
kompleksisia mutta aina ykk¨osen pituisia: |λi | = 1 ∀ i.
Olkoon A sitten unitaarinen. T¨all¨oin p¨atev¨at Lauseet:
1) A s¨ailytt¨a¨a sis¨atulon eli u = Aa ja v = Ab ⇒
(u, v) = (a, b) ⇔ u† v = a† b.
Siten A s¨ailytt¨a¨a my¨os normin ||a||.
2) Olkoon a1 , a2 , . . . , an matriisin A sarakevektorit. A on
unitaarinen ⇔ (ai , aj ) = δij . Sama p¨atee rivivektoreille.
3) A:n determinantti on det(A) = ±1.
y = U† x,
x = Uy,
q(x1 , x2 , . . . , xn ) = x† Ax = (Uy)† AUy = y† U† AUy = y† Dy
...unitaarinen matriisi on ortogonaalinen AT = A−1 .
Lause
71/76
Funktio q : Cn → C on hermiittinen neli¨
omuoto, jos
 
x1
 x2 
X
 
xi∗ aij xj ,
x =  .  , (142)
q(x1 , x2 , . . . , xn ) = x† A x =
 .. 
ij
xn
miss¨a kerroinmatriisi A on hermiittinen n×n−neli¨omatriisi.
matriisi A on antihermiitttinen, jos A† = −A.
Lause
8.4. Hermiittiset neli¨
omuodot
M¨a¨aritelm¨a
matriisi A on hermiittinen, jos A† = A.
M5
A:n diagonalisoi unitaarinen matriisi U
⇔ A on hermiittinen.
8.4. Hermiittiset neli¨omuodot
Olkoon A n×n−neli¨omatriisi. T¨all¨oin
†
Hermiittisen ja antihermiittisen matriisin eri ominaisarvoihin kuuluvat ominaisvektorit ovat ortogonaaliset.
Spektraalilause saa nyt muodon
Neli¨omatriisille eli n×n−matriisille A, jos sen k¨a¨anteismatriisi on
olemassa, p¨atee
(A−1 )† = (A† )−1
(137)
M5
(141)
Hermiittisen, antihermiittisen ja unitaarisen n×n−matriisin
Lause ominaisvektoreista xi , i = 1, 2, . . . , n voidaan muodostaa
Cn :n ortonormitettu kanta, jolle (xi , xj ) = δij .
(133)
(cA)† = c ∗ A†
I† = I
A = 12 (B − B† ).
Lis¨aksi voidaan osoittaa, ett¨a:
(132)
(A + B)† = A† + B†
(140)
miss¨a H on hermiittinen ja A on antihermiittinen ja
miss¨a rij , sij ∈ R. Matriisin A kompleksikonjugaatti on
†
70/76
= λ1 |y1 |2 + λ2 |y2 |2 + . . . + λn |yn |2 .
69/76
M5
8.4. Hermiittiset neli¨
omuodot
72/76
T¨aten olemme saaneet hermiittisen neli¨
omuodon p¨a¨aakseliesityksen
eli kanonisen muodon
n
n X
X
q(x1 , x2 , . . . , xn ) =
xi∗ aij xj
i=1 j=1
=
n
X
i=1
λi |yi |2 ≡ Q(y1 , y2 , . . . , yn ).
(143)
miss¨a λi :t ovat alkuper¨aisen kerroinmatriisin A ominaisarvot.
P¨a¨aakselimuodosta, muistaen hermiittisen matriisin ominaisarvot
reaalisiksi, seuraa, ett¨a q(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R.
Huom Neli¨
omuodot ovat hyv¨a esimerkki siit¨a, ett¨a ominaisarvot
ja ominaisvektorit tavoittavat jotain A:lle ja sit¨a vastaavalle
lineaarikuvaukselle ominaista/karakteristista.
Huom Hermiittisten matriisien ominaisarvojen reaalisuus on
oleellista kvanttimekaniikassa: Hermiittisi¨a operaattoreita
vastaavat fysikaaliset observaabelit ovat reaalisia.
M5
9.1. Funktioavaruus ja funktioiden sis¨
atulo
73/76
9. Ortogonaalisista funktiojoukoista
9.1. Funktioavaruus ja funktioiden sis¨atulo
n
X
ci ϕi (x),
(144)
N¨am¨a ovat ortonormitettuja:
Z
∗
(θ, φ)Yl ′ m′ (θ, φ)dθdφ = δll ′ δmm′ ,
Ylm
i=1
miss¨a kertoimet ci ∈ C. Selv¨astikin t¨am¨an joukon asukit
f , g , h ∈ V toteuttavat luvun §5.1 vaatimukset, esimerkiksi
f (x) + g (x) ∈ V
f (x) + g (x) = g (x) + f (x)
L2 Ylm = ~2 l(l + 1)Ylm
(f (x) + g (x)) + h(x) = f (x) + (g (x) + h(x))
..
.
74/76
T¨aten V on vektoriavaruus, jonka dimensio on n. T¨all¨oin
Z
b
f ∗ (x)g (x)w (x)dx,
(145)
a
miss¨a w (x) on valittu painofunktio [esim. w (x) = 1], toteuttaa
luvun §8.1 kompleksisen sis¨atulon vaatimukset.
Kantafunktiojoukko {ϕi } on ortogonaalinen, jos
(ϕi , ϕj ) = 0, kun i 6= j.
(146)
p
Jos t¨am¨an lis¨aksi ∀ i ||ϕi || = 1, miss¨a normi ||f || = (f , f ),
on se ortonormitettu:
(147)
(ϕi , ϕj ) = δij .
Huom Sovelluksesta riippuen on tarpeen rajata funktioiden
ominaisuuksia esim. v¨alin [a, b] p¨a¨atepisteiss¨a (tai v¨ali voi olla
my¨os [−∞, ∞]) siten, niill¨a on p¨a¨atepisteiss¨a tietyt arvot
ja/tai varmistaa, ett¨a tarvittavat integraalit suppenevat.
M5
9.2. Joitakin ortogonaalisia funktiojoukkoja
75/76
9.2. Joitakin ortogonaalisia funktiojoukkoja
Suuri harppaus: On uskottavaa (ei triviaalia), ett¨a edell¨aoleva on
yleistett¨aviss¨a ¨a¨aret¨onulotteiseen tapaukseen. Lis¨aksi funktiot ϕi
(ja siten f ) voivat olla kahden tai useamman muuttujan funktioita.
Sen osoittaminen, ett¨a jokin funktiojoukko todella viritt¨a¨a esim.
kaikkien neli¨ointegroituvien funktioiden muodostaman avaruuden
(t¨aydellisyys), j¨a¨a seuraavalle kurssille. T¨all¨a kurssilla kuitenkin
kuuluu esitell¨a joitakin ortogonaalisia funktiojoukkoja:
Trigonometriset funktiot (alla n, m = 1, 2, 3, ...)
Z π
Z π
π
π
cos nx cos mx = δnm
sin nx sin mx = δnm (148)
2
2
0
0
Legendren polynomit
P0 (x) = 1, P1 (x) = x, P2 (x) = 12 (3x 2 − 1)
(149)
Pn+1 (x) = 2xPn (x) − Pn−1 (x) − [xPn (x) − Pn−1 (x)]/(n + 1)
ovat ortogonaalisia, integroimisv¨alin¨a [−1, 1].
(151)
Lz Ylm = ~mYlm ,
(152)
mist¨a ominaisarvot voidaan suoraan lukea (ks. fysa106 ja fysa235).
9.1. Funktioavaruus ja funktioiden sis¨
atulo
(f , g ) =
76/76
miss¨a integroidaan yli t¨ayden avaruuskulman 4π. Funktiot Ylm
ovat py¨
orimism¨a¨ar¨aoperaattorin ominaisfunktioita seuraavasti:
cf (x) ∈ V
M5
9.2. Joitakin ortogonaalisia funktiojoukkoja
Harmoniset pallofunktiot
Py¨
orimism¨a¨ar¨an L kvanttimekaaninen tarkastelu pallokoordinaateissa johtaa funktioihin, joiden yleinen lauseke voitaisiin
kirjoittaa Legendren polynomien Pn (x) avulla; t¨ass¨a niist¨a
muutama (lis¨a¨a taulukkokirjoissa ja ehk¨a harjoituksissa):
p
√
Y10 (θ, φ) = 3/4π cos θ,
(150)
Y00 (θ, φ) = 1/ 4π,
p
±iφ
Y1,±1 (θ, φ) = ∓ 3/8π sin θ e , . . .
Olkoon aluksi annettu n funktiota ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x), joiden
m¨a¨arittelyjoukko on R:n v¨ali, ϕi : [a, b] → C. Oletetaan funktiot
ϕi lineaarisesti riippumattomiksi, jolloin ne muodostavat kannan
joukolle V, jonka ’vektorit’ f (x) ovat lineaarikombinaatioita
f (x) =
M5