MAA6.2 Koe ja ratkaisut välivaiheineen

MAA6.2 Loppukoe 28.11.2012
Jussi Tyni
Valitse kuusi tehtävää – Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle
pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!
1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:
10
9
8
7
6
5
4
6,3 %
15,6 %
21,9 %
28,1 %
12,5 %
12,5 %
3,1 %
Määritä arvosanojen keskiarvo, keskihajonta ja moodi. Vastauksesta tulee selvitä
laskukaavan avulla, miten keskiarvo ja –hajonta on teoriassa laskettu. Muuten
näiden laskemiseen voi käyttää laskinta. Perustele moodin valintasi!
6p
2. Konvehtirasian konvehdit ovat kaikki käärepapereissa. Konvehdeista 7 on
punaisessa, 4 vihreässä ja 3 keltaisessa paperissa. Punaiseen käärityistä
konvehdeista 2 on tummaa suklaata, samoin vihreään ja keltaiseen käärityistä
2 on tummaa suklaata. Loput ovat maitosuklaata. Mikä on todennäköisyys,
että kun otetaan konvehtirasiasta sokkona kaksi konvehtia…
a) …saadaan kaksi vihreään käärepaperiin käärittyä konvehtia?
b) …saadaan vihreään ja keltaiseen käärityt tummaa suklaata sisältävät
konvehdit?
c) …saadaan punaiseen tai keltaiseen käärityt maitosuklaa konvehdit?
6p
3. a) Avainrenkaaseen pujotetaan 9 avainta. Millä todennäköisyydellä kaksi
tiettyä avainta joutuvat vierekkäin?
b) Opiskelijan pitää vastata tentissä kahdeksaan tehtävään 12 tehtävästä.
Seitsemästä ensimmäisestä tehtävästä pitää vastata neljään. Kuinka monella
eri tavalla opiskelija voi valita tehtävät, joihin hän vastaa?
6p
4. Oletetaan, että jatkolennolle menevät matkalaukut asetetaan kuljetushihnalle
satunnaiseen järjestykseen ja Helsinkiin meneviä laukkuja on 12 %. Millä
todennäköisyydellä kymmenestä peräkkäin hihnalla olevasta laukusta on
Helsinkiin meneviä kaksi tai kolme?
6p
Jatkuu
5. Jalkapallojoukkueen maalivahti Pepe onnistuu tilastojen perusteella
rangaistuspotkun torjunnassa 18% todennäköisyydellä. Pepeä kohti ammutaan
kauden aikana 9 rangaistuspotkua. Laske odotusarvo torjuttujen
rangaistuspotkujen lukumäärälle!
6p
6. a) Jussi päätti arvostella matikan kokeen siten, että parhaat 3% oppilaista saisi
arvosanakseen kympin ja huonoimmat 5% saisi nelosen. Kokeen arvosanat
noudattivat normaalijakaumaa. Kokeen maksimipistemäärä oli 30 pistettä,
keskiarvopistemäärä oli 19 pistettä ja keskihajonta oli 4,5. Määritä pistemäärärajat kympille ja neloselle.
b) Valmistaja oli tilastoinut, että Volkswagen Passatin moottori kestää
keskimäärin 240 000 km ennen ensimmäistä moottorivikaa keskihajonnan
ollessa 70000 km. Valmistaja varautuu korjaamaan 1,5 % moottoreista
takuuaikana. Mille kilometrimäärälle valmistaja voi myöntää takuun, kun
auton moottoreiden vikaherkkyys noudattaa normaalijakaumaa?
6p
7. Kolikko heitetään ämpäriin. Millä todennäköisyydellä ämpärin pohjan ja
kolikon keskipisteiden etäisyys pienempi kuin 10 cm, kun ämpärin pohjan
halkaisija on 40 cm ja kolikon halkaisija 24 mm?
6p
8. Tennisseuran kuukausiturnauksessa jokainen pelaaja pelaa kerran jokaista
vastaan. Yksi osallistujista joutui jättämään turnauksen kesken kolmen
pelaamansa ottelun jälkeen. Kuinka monta pelaajaa turnaukseen osallistui
alun perin, kun kaikkiaan pelattiin 39 ottelua?
6p
Bonus: +2 pistettä maksimipisteiden päälle, tee jos ehdit:
Olkoon P( A) 
4
1
4
ja P( B)  , sekä P( A ja B)  .
7
7
49
Määritä P( A tai B) ja P( B | A)
Ratkaisut:
1. Keskiarvo 6,78. Hajonta 1,57 ja Moodi, eli tyyppiluku 7, koska seiska esiintyy otoksessa
useimmiten.
4 3 12
6
 
  0, 066
2. a) P(saadaan vihreä ja vihreä)= 14 13 182 91
b) TS = tummaa suklaata.
P(vihreä TS ja keltainen TS tai keltainen TS ja vihreä TS)
2 2 2 2
8
4
    
  0, 022
14 13 14 13 182 91
c) MS = maitosuklaata. P=punainen ja K=keltainen
P(P MS ja P MS tai P MS ja K MS tai K MS ja P MS tai K MS ja K MS) . Jälkimmäinen
vaihtoehto, eli 2 keltaiseen käärittyä maitosuklaata ei ole mahdollinen, koska keltaisia
on vain 3 ja kaksi niistä on tummaa suklaata, joten:
P(P MS ja P MS tai P MS ja K MS tai K MS ja P MS)
5 4 5 1 1 5
30 15
      
  0, 082
14 13 14 13 14 13 182 91
3. a) Renkaassa 9 avaimella on 8 väliä, joihin tietty avainpari voi sijoittua vierekkäin.
Avainpari voi sijoittua kahdella eri tavalla vierekkäin. Eli käytännössä vain vaihtaa
paikkoja päittäin. 7 muuta avainta voivat olla 7! eri järjestyksessä. Tällöin suotuisten
järjestysten lukumäärä on 2∙8∙7!
Kaikki yhdeksän avainta voidaan sijoittaa avainrenkaaseen 9! eri tavalla.
P=
= =
b) Tehtäväryhmästä A valitaan neljä ja ryhmästä B neljä, jolloin valintatapoja on kaikkiaan
7 5
 4    4   175 .
   
A
B
1
0
1
1
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Vastaus: 175 eri tavalla
10
10
4. P( 2 tai 3) =    0,12 2  0,888     0,12 3  0,887  0,2330  0,0847  0,3177
2
3
Vastaus: Todennäköisyys on noin 32 %
5. Todennäköisyysjakauma, todennäköisyydet erillisille torjuntamäärille pitää laskea
toistokokeilla:
X=Torjunnat P(X)
0
0,829  0,1676
1
9
8
1
  0,82  0,18  0,3312
1
 
2
3
4
5
6
7
8
9
9
7
2
  0,82  0,18  0, 2908
2
 
9
6
3
  0,82  0,18  0,1489
3
 
9
5
4
  0,82  0,18  0, 049
 4
9
4
5
  0,82  0,182  0, 0108
5
9
3
6
  0,82  0,18  0, 001575
 6
9
2
7
4
  0,82  0,18  1, 482 10
7
9
1
8
6
  0,82  0,18  8,133 10
8
0,189  1,984 107
Nyt
E ( X )  0  0,1676  1 0,3312  2  0, 2908  3  0,1489  4  0,049
5  0,0108  6  0,001575  7 1, 482 104  8  8,133 106  9 1,984 107  1,62
Eli Pepen torjuntojen odotusarvo on n. 1,6 torjuntaa kauden aikana. Täysissä maaleissa
järkevämmin ilmaistuna Pepe torjuu keskimäärin kaksi yhdeksästä rankkarista.
6.
a) Jos parhaat 3% saavat kympin, niin se tarkoittaa, että 97% jää kympin alle. Määritetään
normaalijakauman tiheysfunktion taulukosta z-arvo, jolle  ( z )  0,97 => z=1,88. Lasketaan
nyt tätä z:n arvoa vastaava pistemäärän arvo, joka siis on sitten se kympin raja:
x  19
1,88 
4,5  8, 46  x  19  27,5  x , eli täytyy saada yli 27,5 pistettä jotta saa
4,5
kympin.
Jos heikoimmat 5% saa nelosen, niin sitä vastaa negatiivinen z:n arvo, joka on peilattava
keskiarvon positiiviselle puolelle. Myös todennäköisyyksiä kuvaava osuma-alue peilautuu
niin, että sama alue löytyy parhaista viidestä prosentista, jonka alle jää 95%. Määritetään
normaalijakauman tiheysfunktion taulukosta z-arvo, jolle  ( z )  0,95 => z=1,645. Oikea,
alkuperäinen keskiarvon vasemmalla puolella oleva z= -1,645. Lasketaan nyt tätä z:n arvoa
vastaava pistemäärän arvo, joka siis on nelosen raja:
x  19
1, 645 
4,5  7, 4025  x  19  11, 6  x Eli täytyy siis saada alle 11,5 pistettä
4,5
jotta saa nelosen. (Opettajat yleensä käyttävät plussia, miinuksia ja puolia pisteitä)
b) Jos 1,5% jää rajan alle, niin tämä tuntematon raja x on keskiarvon vasemmalla puolella ja
pitää peilata keskiarvon oikealle puolelle, siten että tämän rajan –x päälle jää 1,5% => sen
alle jää 98,5%, joten määritetään normaalijakauman tiheysfunktion taulukosta z-arvo, jolle
 ( z)  0,985 => z=2,17. Oikea, alkuperäinen keskiarvon vasemmalla puolella oleva z= -2,17.
Lasketaan nyt tätä z:n arvoa vastaava kilometrimäärä, joka siis takuukorjauskilometrien
raja, tämän alle hajoaa 1,5% volkkareiden moottoreista:
x  240000
70000  151900  x  240000  88100  x
70000
Nyt kannattaa pyöristää alaspäin, koska jos pyöristetään ylös esim. 90 000km, niin
takuukorjaukseen tulee yli 1,5% autoja => Pyöristetään siis 88 000 km!
2,17 
7.
Kolikon suotuisa putoamisalue on ympyrä, jonka säde on 10cm + 12mm (puolet kolikon
halkaisijasta) = 11,2 cm => Suotuisa ala As   11, 22  125, 44 . Koko ämpärin ala, mihin kolikko
125, 44
voi pudota on Ak    202  400 . Joten P(keskipisteiden etäisyys alle 10cm) 
 0,3136
400
=> 31,4%
8. Merkitään pelaajien lukumäärä n ja ratkaistaan se yhtälöstä
(
)
(
(
)(
)
)
√
n = 10
n = –7 (negatiivinen juuri ei käy). Vastaus: 10
Bonus:
P( AjaB)  P( A)  P( B | A) 
 P( B | A) 
4 4
7
  P( B | A) 
49 7
4
7 1
  P( B)
49 7
Eli A ja B ovat toisistaan riippumattomia tapahtumia! Tällöin
4 1 5
P( A tai B)  P( A)  P( B)   
7 7 7
(
)
(
)