Lataa omaksi! - students.tut.fi

LTP++
Virtausopin perusteet
Pauli Jaakkola
12. toukokuuta 2014
Sis¨
alt¨
o lyhyesti
Johdanto
1
0
5
Suureita
1 Perussuureita
9
2 Yksinkertaisia johdannaissuureita
15
3 Monimutkaisempia johdannaissuureita
19
1
23
Virtausoppi
4 Virtausoppi mekaniikan alana
25
5 Virtaustyypit
27
6 K¨
asittelytavat
31
7 S¨
ailymislait
33
8 Pintavoimat ja tilavuusvoimat
35
9 Kontrollitilavuus
37
10 Kentt¨
ateoria
41
11 Dimensioanalyysi
43
I
II
¨ O
¨ LYHYESTI
SISALT
Sis¨
alt¨
o
Johdanto
1
L¨amp¨otieteet ja l¨amp¨otekniikka . . . . .
2
Suureet, luonnonlait ja kaavat; ymm¨arrys
3
Miksi n¨am¨a tieteet? . . . . . . . . . . . .
4
Merkinn¨oist¨a . . . . . . . . . . . . . . .
0
. . . . . . .
ja tulokset
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Suureita
1
1
2
3
4
5
1 Perussuureita
1.1 Avaruus ja aika . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Avaruus . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.1 Pituus L . . . . . . . . . .
1.1.1.2 Pinta-ala A . . . . . . . .
1.1.1.3 Tilavuus V . . . . . . . .
1.1.1.4 Yksiulotteinen sijainti s .
1.1.1.5 Kolmiulotteinen sijainti ¯r
1.1.2 Aika t . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Aineen m¨a¨ar¨a . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Ainem¨a¨ar¨a n . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Massa m . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Moolimassa M . . . . . . . . . . . .
2 Yksinkertaisia johdannaissuureita
2.1 Aikaderivaattasuureet . . . . . . .
2.1.1 Nopeus v
¯ . . . . . . . . .
2.1.2 Kiihtyvyys a¯ . . . . . . . .
˙ . . . . . .
2.1.3 Tilavuusvirta V
2.1.4 Moolivirta n˙ . . . . . . . .
2.1.5 Massavirta m
˙ . . . . . . .
2.2 Ekstensiivi- ja intensiivisuureet .
III
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
9
9
10
10
10
11
11
11
11
12
.
.
.
.
.
.
.
15
15
15
16
16
17
17
17
¨ O
¨
SISALT
IV
2.2.1
2.2.2
Ominaissuureet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Molaariset ominaissuureet . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Monimutkaisempia johdannaissuureita
¯ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Voima F
3.2 Paine p . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ty¨o W . . . . . . . . . . . . . . . . . .
˙ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Teho W
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Virtausoppi
23
4 Virtausoppi mekaniikan alana
4.1 Virtausaine . . . . . . . . . . . . .
4.2 Partikkeli- ja kontinuumimekaniikka
4.3 Statiikka ja dynamiikka . . . . . . .
4.3.1 Nopeuskent¨an keskeisyys . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Virtaustyypit
5.1 Kitkallinen ja kitkaton . . . . . . . . . .
5.2 Laminaari ja turbulentti . . . . . . . . .
5.3 Kokoonpuristuva ja kokoonpuristumaton
5.4 Sis¨apuolinen ja ulkopuolinen . . . . . . .
6 K¨
asittelytavat
6.1 Kontrollitilavuus . . . . . . . . .
6.2 Kentt¨ateoria . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Nopeuskent¨an keskeisyys .
6.3 Dimensioanalyysi . . . . . . . . .
6.4 Teoria, kokeellisuus ja tietokoneet
7 S¨
ailymislait
7.1 Noetherin teoreema . . . . . .
7.2 Massan s¨ailyminen . . . . . .
7.3 Liikem¨a¨ar¨an s¨ailyminen . . . .
7.4 Kulmaliikem¨aa¨r¨an s¨ailyminen
7.5 Energian s¨ailyminen . . . . .
19
19
20
20
21
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
25
25
26
26
.
.
.
.
27
27
28
28
29
.
.
.
.
.
31
31
31
31
31
31
.
.
.
.
.
33
33
33
33
33
33
8 Pintavoimat ja tilavuusvoimat
35
8.1 Pintavoimat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.1.1 Kitka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.1.1.1 Leikkausj¨annitys . . . . . . . . . . . . . . . . 35
¨ O
¨
SISALT
8.2
V
8.1.1.2 Nopeuden reunaehto
8.1.1.3 Viskositeetti . . . . .
Tilavuusvoimat . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Painovoima . . . . . . . . . .
8.2.2 S¨ahk¨oiset voimat . . . . . . .
9 Kontrollitilavuus
9.0.3 Reynoldsin siirtoteoreema
9.1 S¨ailymislait kontrollitilavuudelle .
9.2 Nopeita vastauksia . . . . . . . .
9.3 CFD . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Kentt¨
ateoria
10.1 S¨ailymislait . . . . . . . . . .
10.1.1 Navier-Stokesin yht¨al¨ot
10.2 Kitkaton virtaus . . . . . . . .
10.2.1 Potentiaalivirtaus . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
35
35
35
35
.
.
.
.
37
38
38
40
40
.
.
.
.
41
41
41
41
41
11 Dimensioanalyysi
43
11.1 Suhteelliset suureet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
11.2 Dimensiottomat luvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Johdanto
1
L¨
amp¨
otieteet ja l¨
amp¨
otekniikka
On helppo ajatella suoraviivaisesti, ett¨a tieteet l¨ahtev¨at liikkeelle kiinnoso¨
on. Sitten tehd¨a¨an perustuksesta johonkin luonnossa tapahtuvaan ilmi¨
tutkimusta – laaditaan teorioita ja testataan niit¨
a kokeellisesti. Lopulta kun teoria on riitt¨av¨an yleisp¨
atev¨
a, joku k¨aytt¨a¨a sit¨a ja luovuuttaan
teknisen tai muun k¨
ayt¨
ann¨
on sovelluksen luomiseen. Ollaan edetty soveltavaan tutkimukseen.
L¨
ampo
¨tieteet, kuten t¨ass¨a kirjassa k¨asitelt¨av¨at
• Termodynamiikka
• Virtausoppi
• L¨amm¨onsiirto
ovat kuitenkin suurelta osin ns. teknisi¨
a tieteit¨
a eli insin¨o¨orien ty¨okaluja. Ne ovat syntyneet pikemminkin tutkittaessa, miten l¨
amp¨
oteknisi¨
a
sovelluksia, kuten
• L¨amp¨ovoimakoneita (voimalaitokset)
• L¨amp¨opumppuja (j¨aa¨hdytys ja l¨ammitys)
• Virtauskoneita (pumppuja, puhaltimia, kompressoreja ja turbiineja)
• L¨amm¨onsiirtimi¨a (monien prosessien osana)
voitaisiin parantaa. Vaikka l¨amp¨otieteet ovat sittemmin monin osin kehittyneet maailmaa syleilev¨an yleisp¨ateviksi, niiden keskeisin tai ainakin hyv¨odyllisin sovellusalue on edelleen juuri l¨amp¨otekniikka.
1
¨ O
¨
SISALT
2
2
Suureet, luonnonlait ja kaavat; ymm¨
arrys
ja tulokset
Mielikuvamme luonnontieteist¨a ja teknisist¨a tieteist¨a on usein sellainen, ett¨a
ne koostuvat p¨a¨aosin kaavoista. Itse asiassa kaavat ovat kuitenkin vain korkealle abstraktiotasolle jalostettuja yhteenvetoja siit¨a ymm¨arryksest¨a, joka
on saavutettu teoreettisten mallien ja kokeellisen tutkimuksen vuorovaikutuksessa. Kaavoja suositaan luonnontieteiss¨a my¨os sen takia, ett¨a ne
ovat kvantitatiivisia tieteit¨a, jotka pyrkiv¨at tarkkuuteen ja yksiselitteisyyteen eli eksaktiuteen1
Useimmiten kaavat kertovat joidenkin suureiden v¨alisen yhteyden matemaattisessa muodossa. Yhteys sin¨ans¨a saattaa olla syv¨allinen ajatus, jopa
luonnonlaki – monet kaavat kuvaavat esimerkiksi energian s¨ailymist¨a:
˙
1~ 2
Q˙ + W
= ∆ h + V + gz
m
˙
2
dT
= k∇2 T + Q˙
ρcv
dt
(1)
(2)
Kuitenkin ehk¨a suurempi osa luonnontieteen oivalluksista on k¨asitteellistetty itse suureisiin. Monet kaavatkin ovat itse asiassa vain suureiden m¨a¨aritelmi¨a:
H = U + pV
G = H − T ∆S
(3)
(4)
Niinp¨a jos t¨am¨an kirjan “punainen lanka” ovat luonnonlait, niin ehk¨a suureet ovat toinen yht¨alailla t¨arke¨a “vihre¨a lanka”2 . Kaavat ovat toki t¨arkeit¨a,
sill¨a niill¨a saadaan tuloksia, mutta vasta niiden taustalla vaikuttavien suureiden ja luonnonlakien ymm¨art¨aminen mahdollistaa luovuuden. Tai edes
oikeiden kaavojen k¨ayt¨on oikeassa tilanteessa ja siten tulosten oikeellisuuden.
1
Luonnontieteilij¨
at pit¨
av¨
at joskus – tai useinkin – itse¨a¨an jotenkin ihmistieteilij¨oit¨
a
parempina t¨
all¨
a perusteella. T¨am¨a n¨akyy teekkarien ja humanistien v¨alisess¨a vastakkainasettelussa mutta my¨
os siin¨
a, ett¨a englannin kielen tiedett¨a tarkoittava sana science voi
yksin¨
a¨
an tarkoittaa nimenomaan luonnontiedett¨a, jopa erotuksena ihmistieteist¨a. Todellisuudessa luonnontieteiden kvantitatiivisuus ja eksaktius johtuu kuitenkin siit¨a, ett¨a tarkasteltavat ilmi¨
ot ovat oikeastaan hyvin yksinkertaisia verrattuna vaikkapa ihmisen k¨aytt¨aytymiseen.
2
My¨
os er¨
a¨
an puolueen lehti. T¨am¨an alaviitteen tarkoitus on kuitenkin huomauttaa,
ettei t¨
ass¨
a ole kyse tuotesijoittelusta tai poliittisesta propagandasta.
¨ A
¨ TIETEET?
3. MIKSI NAM
3
3
Miksi n¨
am¨
a tieteet?
L¨amp¨otieteellisten ilmi¨oiden ja -teknisten laitteiden analyysi on k¨ayt¨ann¨oss¨a useimmiten monitieteellist¨a. Mietit¨a¨anp¨a vaikkapa l¨
amm¨
onsiirrint¨
a, jo˙
ka siirt¨a¨a l¨
amp¨
otehoa Q vesivirtauksesta a vesivirtaukseen b. Seuraavassa
esiintyvi¨a kaavoja ei tietenk¨a¨an tarvitse t¨ass¨a vaiheessa viel¨a ymm¨art¨a¨a.
Ensinn¨akin meit¨a tietenkin kiinnostaa l¨amm¨onsiirron suunta. Termodynamiikan toisen p¨
a¨
as¨
a¨
ann¨
on mukaan l¨amp¨o siirtyy spontaanisti3 korkeammasta l¨amp¨otilasta matalampaan. T¨am¨a on kokeellinen havainto, mutta
klassinen termodynamiikka selitt¨a¨a sen niin, ett¨a entropian t¨aytyy kasvaa.
Tilastollinen termodynamiikka selitt¨a¨a, miksi n¨ain on. Matemaattisesti:
Ta > Tb
⇒ Q˙ a < 0
(5)
(6)
⇒ Q˙ b > 0
(7)
Kun l¨amm¨onsiirron suunta on nyt selvill¨a, meit¨a tietenkin kiinnostaa
kummankin vesivirran l¨amp¨otilan muutos. Termodynamiikan ensimm¨
aisen p¨
a¨
as¨
a¨
ann¨
on mukaan energia s¨ailyy eli virtausten entalpiat muuttuvat
l¨amm¨on verran. Oletetaan ett¨a kaikki l¨amp¨o siirtyy a:sta b:hen (eik¨a esim.
l¨amm¨onsiirtimen rakenteisiin):
Q˙ b = −Q˙ a
∆H˙ a = Q˙ a
(8)
∆H˙ b = Q˙ b
(10)
(9)
K¨aytt¨am¨all¨a entalpiavirran ja ominaisentalpian (H˙ = mh)
˙
sek¨a ominaisentalpian ja l¨amp¨otilan (∆h = cp ∆T ) v¨alisi¨a yhteyksi¨a saadaan virtausten
l¨amp¨otilojen muutoksen l¨amm¨onsiirtimess¨a:
∆Ta =
∆Tb =
Q˙ a
cp m
˙a
˙
Qb
cp m
˙b
(11)
(12)
T¨ass¨a vaiheessa ongelmaksi tulee tietenkin sen m¨a¨aritt¨aminen, miten suuri siirtyv¨a l¨amp¨oteho on. T¨ah¨an tarvitaan l¨
ammo
¨nsiirtoa. L¨amp¨o siirtyy
3
“itsest¨
a¨
an, luonnostaan”
¨ O
¨
SISALT
4
virtauksissa konvektiolla ja johtumalla ja putkien l¨api johtumalla. L¨amm¨on johtumisen teoria on melko yksinkertainen ja tarkka. Konvektiivisesta
l¨amm¨onsiirrosta saadaan kohtuullinen arvio dimensiottomien lukujen avulla
ilmaistuilla kokeellisilla korrelaatioilla.
Konvektiivisen l¨amm¨onsiirron tarkempi m¨a¨aritt¨aminen vaatisi virtausopin tuntemusta. Sit¨a tarvitaan my¨os sen m¨a¨aritt¨amiseen, miten suuren me˙ virtauksen pumppaaminen l¨amm¨onsiirtimen l¨api vaatisi.
kaanisen tehon W
N¨am¨a kolme ovat siis keskeisimm¨at l¨amp¨otekniikassa tarvittavat tieteet.
Tietenk¨a¨an poikkitieteellisyys ei v¨altt¨am¨att¨a lopu viel¨a t¨ah¨an. Esimerkiksi
l¨amm¨onsiirtimen rakenteiden mitoittamiseen l¨amp¨otilaeroista johtuvat mekaaniset rasitukset kest¨aviksi tarvittaisiin lujuuslaskentaa. Usein voimalaitoksissa l¨amp¨o saadaan joko polttoprosessista tai ydinreaktiosta, joiden analysoimiseen tarvitaan fysikaalista kemiaa tai ydinfysiikkaa jne.
4
Merkinno
a
¨ist¨
L¨amp¨otieteiden kirjallinen perinne on vanha ja julkaisujen m¨a¨ar¨a valtava. T¨am¨an seikan valossa on t¨aysin ymm¨arrett¨av¨aa¨, ett¨a k¨
aytetyt merkinn¨
atkin
vaihtelevat melkoisesti:
• Esimerkiksi q:lla voidaan merkit¨a ominaisl¨amp¨o¨a (J/kg), l¨amp¨ovirran
tiheytt¨a (W/m2 ) tai jopa tilavuusvirtaa (m3 /s).
• Samaten u, v ja h voivat merkit¨a sis¨aenergiaa, ominaistilavuutta ja
entalpiaa – tai sitten nopeusvektorin x- ja y-komponentteja sek¨a l¨amm¨onsiirtokerrointa.
T¨am¨an tilanteen synty¨a on edesauttanut my¨os se, ett¨a jo l¨amp¨otieteiden
sis¨all¨a – saati sitten fysiikassa yleens¨a – on k¨ayt¨oss¨a niin monta suuretta,
ett¨a latinalaiset tai kreikkalaisetkaan aakkoset eiv¨at tahdo riitt¨a¨a.
Kun teoria on hyvin hallussa, suureet menev¨at harvoin sekaisin sekalaisista merkinn¨oist¨a huolimatta. Laskentatilanteesta, kaavojen muodosta ja yksik¨oist¨a n¨akee, mist¨a suureista on kyse. Mutta t¨at¨a kirjaa lukevat ainakin
toivottavasti ne, joilla teoria ei ole viel¨a juuri ollenkaan hallussa.
Niinp¨a olen pyrkinyt yksiselitteiseen merkint¨
atapaan, jossa eri suureita ei merkit¨a samalla merkinn¨all¨a. Mik¨ali eri kirjaimen k¨aytt¨aminen olisi
t¨aysin yleisen k¨ayt¨ann¨on vastaista k¨ayt¨an vektorimerkkej¨a tai aikaderivaattoja suureiden erottelemiseksi:
• ominaistilavuus v, vauhti eli nopeusvektorin pituus |~v |
• tilavuus V , tilavuusvirta V˙
Osa 0
Suureita
5
7
Ennen kuin alamme varsinaisesti k¨asitell¨a termodynamiikkaa tai muitakaan l¨amp¨otieteit¨a on syyt¨a palauttaa mieleen muutama perussuure yksik¨oineen ja m¨a¨aritelmineen. Luultavasti suureet ovat ennest¨a¨an tuttuja etk¨a
halua k¨aytt¨a¨a niihin juurikaan aikaa mutta perusteelliseen ymm¨arrykseen on
hyv¨a pyrki¨a – pidemm¨all¨a t¨aht¨aimell¨a sit¨a kautta p¨a¨asee v¨ahemm¨all¨a. Ja
mist¨ap¨a muualta perusteellinen ymm¨arrys l¨ahtisi kuin perusteista, perusasoista.
8
Luku 1
Perussuureita
1.1
Avaruus ja aika
L¨amp¨otieteiss¨a ulottuvuuksia k¨asitell¨a¨an klassisen fysiikan tapaan eli avaruusulottuvuuksia on kolme ja ne ovat toisistaan sek¨a ajan yhdest¨a ulottuvuudesta erillisi¨a. Syit¨a t¨ah¨an on pohjimmiltaan kaksi:
1. L¨amp¨otieteet syntyiv¨at ennen suhteellisuusteoriaa ja muuta modernia
fysiikkaa.
2. K¨ayt¨ann¨on sovelluksissa on harvinaista joutua k¨asittelem¨a¨an tilanteita
joissa tarvittaisiin suhteellisuusteorian aika-avaruutta1 tai ylim¨a¨ar¨aisi¨a
avaruusulottuvuuksia.
1.1.1
Avaruus
1.1.1.1
Pituus L
Pituuden (usein L) yksikk¨on¨a k¨aytet¨a¨an SI-perusyksikk¨o metri¨
a:
[L] = m
(1.1)
(“Metri on sellaisen matkan pituus, jonka valo kulkee tyhji¨oss¨a aikav¨aliss¨a
1/299 792 458 sekuntia (17. CGPM, 1983).”)
1.1.1.2
Pinta-ala A
Pinta-alan (usein A) yksikk¨on¨a k¨aytet¨a¨an neli¨
ometri¨
a:
1
Miksi t¨
am¨
a on englanniksi “spacetime” ja suomeksi “aika-avaruus”?
9
10
LUKU 1. PERUSSUUREITA
[A] = m2
(1.2)
(Suorakaiteen pinta-alaa voi kuvata kertomalla sen sivujen pituudet toisillaan. Koska mink¨a muotoisen tasokuvion tahansa voi ajatella muodostuvan
esimerkiksi mielivaltaisen pienist¨a neli¨oist¨a, on neli¨ometri p¨atev¨a mittaamaan
mielivaltaisen muotoisia pinta-aloja).
1.1.1.3
Tilavuus V
Tilavuuden (usein V) yksikk¨on¨a k¨aytet¨a¨an kuutiometri¨
a:
[V ] = m3
(1.3)
(Suorakulmaisen s¨armi¨on tilavuutta voi kuvata kertomalla sen sivujen
pituudet toisillaan. Koska mink¨a muotoisen avaruuskappaleen tahansa voi
ajatella muodostuvan esimerkiksi mielivaltaisen pienist¨a kuutioista, on kuutiometri p¨atev¨a mittaamaan mielivaltaisen muotoisia tilavuuksia).
1.1.1.4
Yksiulotteinen sijainti s
Ensimm¨aisen¨a on syyt¨a mainita, ett¨a jos tilannetta voidaan kuvata yksiulotteisena2 , k¨aytet¨a¨an joskus ainoana avaruuskoordinaattina sijaintia s.
1.1.1.5
Kolmiulotteinen sijainti ¯
r
Avaruuden ulottuvuuksia on siis kolme ja ne muodostavan kolmiulotteisen
avaruuden.
Mik¨a tahansa piste t¨ass¨a avaruudessa voidaan m¨a¨aritt¨a¨a kolmen koordinaatin avulla. Ensin koordinaatit t¨aytyy kalibroida m¨a¨aritt¨am¨all¨a niille nollakohdat sek¨a yksik¨ot. “Kartesiolainen” eli suorakulmainen (x, y, z)koordinaatisto on yleisin, mutta l¨amp¨otieteiss¨a eiv¨at ole erityisen harvinaisia
tilanteet joissa esimerkiksi sylinterikoordinaatisto (z, r, θ) tai pallokoordinaatisto (r, θ, φ) on k¨atev¨ampi.
Origo sijaitsee koordinaattien nollakohtien leikkauspisteess¨a (0, 0, 0). Mink¨a tahansa pisteen sijainti voidaan ilmoittaa paikkavektorilla ~r origosta
kyseiseen pisteeseen. Kartesiolaisessa koordinaatistossa
 
x
~r = y 
(1.4)
z
2
ajattele vaikkapa raiteillaan pysyv¨aa¨ junaa
¨ AR
¨ A
¨
1.2. AINEEN MA
1.1.2
11
Aika t
Ajan t yksikk¨on¨a k¨aytet¨a¨an SI-perusyksikk¨o sekuntia:
[t] = s
(1.5)
(“Sekunti on 9 192 631 770 kertaa sellaisen s¨ateilyn jaksonaika, joka vastaa
cesium 133 -atomin siirtym¨aa¨ perustilan ylihienorakenteen kahden energiatason v¨alill¨a (13. CGPM, 1967).”)
1.2
1.2.1
Aineen m¨
a¨
ar¨
a
Ainem¨
a¨
ar¨
an
Ainem¨
a¨
ar¨
a n kertoo kuinka monta kappaletta jotain hiukkasta (yleens¨a
molekyylia) on. Se on siis itse asiassa puhdas luku, mutta koska yleens¨a
k¨asitell¨a¨an niin suuria molekyylim¨a¨ari¨a, on sille m¨a¨aritetty SI-perusyksikk¨o
mooli:
[n] = mol
(1.6)
“Mooli on sellaisen systeemin ainem¨aa¨r¨a, joka sis¨alt¨aa¨ yht¨a monta kesken¨a¨an samanlaista perusosasta kuin 0,012 kilogrammassa hiili 12:ta on atomeja. Perusosaset voivat olla atomeja, molekyylej¨a, ioneja, elektroneja, muita
hiukkasia tai sellaisten hiukkasten m¨a¨ariteltyj¨a ryhmi¨a. (14. CGPM, 1971)”
0,012 kilogrammassa hiili-12:ta eli yhdess¨a moolissa olevien hiukkasten
lukum¨a¨ar¨a on Avogadron luku NA :
[NA ] ≈ (6, 02214129 ± 0, 00000027) · 1023
(1.7)
Ainem¨a¨ar¨a on hy¨odyllinen yleens¨a kemiassa (koska reaktioissa v¨ali¨a on
molekyylien m¨a¨ar¨all¨a) ja kaasuja k¨asitelt¨aess¨a (koska mm. tilavuudet ja paineet riippuvat molekyylien m¨a¨arist¨a).
1.2.2
Massa m
Mekaniikassa meit¨a kiinnostaa kuitenkin yleens¨a pikemminkin se, miten “painava” tai “hidas” k¨asitelt¨av¨a systeemi on. T¨at¨a mitataan massalla m. Klassisessa fysiikassa esiintyy itse asiassa kahdenlaista massaa:
• Hidas massa on Newtonin II laissa esiintyv¨a massa. Se mittaa siis sit¨a
miten suuri voima tarvitaan kappaleen kiihdytt¨amiseen.
12
LUKU 1. PERUSSUUREITA
• Painava massa taas on Newtonin gravitaatiolaissa esiintyv¨a massa.
Se mittaa siis sit¨a miten suuren voiman gravitaatiokentt¨a aiheuttaa
kappaleeseen3 .
Hidas ja painava massa ovat kuitenkin saman suuruiset, mik¨a ei ollut klassisen fysiikan teorioiden perusteella mitenk¨a¨an itsest¨a¨an selv¨a¨a. Kuitenkin jo
Galileo Galilei huomasi kokeellisesti, ett¨a kaikkien kappaleiden kappaleen putoamiskiihtyvyys g on sama. N¨ain voi olla vain, mik¨ali hidas ja painava
massa ovat yht¨a suuret.
Suppea suhteellisuusteoria p¨atee vain vakionopeudella liikkuville koordinaatistoille (arkisemmin “tarkkailijoille”). Se sai alkunsa s¨ahk¨omagneettisten
aaltojen teoriassa tehdyst¨a havainnosta ett¨a valon nopeus tyhji¨oss¨a on koordinaatiston nopeudesta riippumaton vakio.
Yleinen suhteellisuusteoria p¨atee my¨os kiihtyv¨ass¨a liikkeess¨a oleville koordinaatistoille. Sen perustava oivallus oli nimenomaan se, ett¨a hidas ja painava
massa tuskin ovat sattumalta t¨asm¨alleen yht¨a suuret. Putoamiskiihtyvyys on
kiihtyvyys, joka aiheutuu aika-avaruuden kaareutumisesta massan ymp¨arill¨a.
Massan SI-perusyksikk¨o on kilogramma kg:
[m] = kg
(1.8)
“Kilogramma on yht¨a suuri kuin kansainv¨alisen kilogramman prototyypin
massa (1. ja 3. CGPM, 1889 ja 1901).”
Kilogramma on ainoa SI-perusyksikk¨o, joka viel¨a perustuu t¨allaiseen prototyyppiin. T¨am¨a on ongelmallista ensinn¨akin siksi, ett¨a prototyyppi ei ole
toistettavissa ja toisekseen siksi ett¨a - kauhistus sent¨a¨an - prototyypin massa ei mittausten mukaan ole vakio. Alun perin kilogramma piti m¨aa¨ritell¨a “1
litra vett¨a on massaltaan kilogramman 4 ◦ C:n l¨amp¨otilassa”. Vesipohjaiseen
m¨a¨aritelm¨a¨an siirtymist¨a on my¨ohemminkin ehdotettu, joskin niin ett¨a m¨a¨aritelm¨a vastaisi nykyist¨a kilogramman m¨a¨aritelm¨a¨a paremmalla tarkkuudella.
1.2.3
Moolimassa M
Systeemin massa ja ainem¨a¨ar¨a riippuvat toisistaan moolimassan M kautta:
M=
Moolimassan SI-yksik¨oksi tulee
3
Vrt. varaus s¨
ahk¨
omagneettisissa kentiss¨a.
m
n
(1.9)
¨ AR
¨ A
¨
1.2. AINEEN MA
13
[M ] =
hmi
n
=
[m]
kg
=
[n]
mol
(1.10)
T¨am¨a on kuitenkin niin suuri yksikk¨o ett¨a helpommin k¨asitelt¨avi¨a lukuja
saadaan k¨aytt¨am¨all¨a yksikk¨on¨a joko g/mol (yleisin) tai kg/kmol.
14
LUKU 1. PERUSSUUREITA
Luku 2
Yksinkertaisia
johdannaissuureita
2.1
2.1.1
Aikaderivaattasuureet
Nopeus v
¯
Yksiulotteisen sijainnin muutoksen suhde ajan muutokseen on vauhti |~v |:
∆s
(2.1)
∆t
Jos vauhti halutaan hetkellisesti eli mielivaltaisen lyhyen¨a ajanhetken¨a
t¨am¨a l¨ahestyy aikaderivaattaa:
v=
ds
(2.2)
dt
Kun t¨am¨a siirret¨a¨an kolmiulotteiseen avaruuteen paikkavektorin ~r derivaataksi saadaan nopeus ~v joka on siis my¨os vektorisuure:
v=
d~r
dt
Aikaderivaattaa on usein tapana merkit¨a pisteell¨a:
~v =
d~r
= ~r˙
dt
Nopeuden yksik¨oksi tulee sama kuin vauhdinkin eli
h i
ds
s
m
[v] =
=
=
dt
t
s
~v =
15
(2.3)
(2.4)
(2.5)
16
LUKU 2. YKSINKERTAISIA JOHDANNAISSUUREITA
2.1.2
Kiihtyvyys ¯
a
Vauhdin muutos ajan suhteen on kiihtyvyys |~a|:
a=
∆v
∆t
(2.6)
Jos vauhti halutaan hetkellisesti eli mielivaltaisen lyhyen¨a ajanhetken¨a
t¨am¨a l¨ahestyy aikaderivaattaa:
a=
dv
dt
(2.7)
Kolmiulotteisessa avaruudessa nopeusvektorin ~v derivaataksi saadaan kiihtyvyysvektori ~a:
~a =
d~v
= ~v˙ = ~r¨
dt
(2.8)
Kiihtyvyyden yksikk¨o on
2 h i
dv
m
ds
s
[a] =
=
= 2 = 2
2
dt
dt
t
s
2.1.3
(2.9)
˙
Tilavuusvirta V
Kun halutaan tiet¨a¨a, kuinka suuri tilavuus kulkee jonkin pinnan l¨api aikayksik¨oss¨a voidaan se m¨a¨aritt¨a¨a vastaavalla menettelyll¨a kuin nopeus. Keskim¨a¨ar¨ainen tilavuusvirta V˙ on
∆V
V˙ =
∆T
(2.10)
dV
V˙ =
dt
(2.11)
dV
V
m3
˙
=
=
[V ] =
dt
t
s
(2.12)
ja hetkellinen
Tilavuusvirran SI-yksikk¨o on
T¨am¨ankaltaisista aikaderivoiduista suureista, jotka eiv¨at ole nopeutta,
kiihtyvyytt¨a eiv¨atk¨a mekaanista tai l¨amp¨otehoa on tapana k¨aytt¨a¨a virtanimityst¨a.
2.2. EKSTENSIIVI- JA INTENSIIVISUUREET
2.1.4
17
Moolivirta n˙
Pinnan l¨api aikayksik¨oss¨a menev¨a ainem¨aa¨r¨a on moolivirta n:
˙
∆n
∆t
dn
n˙ =
dt
h i
dn
n
mol
[n]
˙ =
=
=
dt
t
s
n˙ =
2.1.5
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Massavirta m
˙
Pinnan l¨api aikayksik¨oss¨a menev¨a massa on massavirta m:
˙
∆m
∆t
dm
m
˙ =
dt
h i
dm
kg
m
=
[m]
˙ =
=
dt
t
s
m
˙ =
2.2
(2.16)
(2.17)
(2.18)
Ekstensiivi- ja intensiivisuureet
Ekstensiivisuureet ovat suureita, joiden arvo riippuu systeemin koosta1 eli
massasta tai ainem¨a¨ar¨ast¨a. Tyypillinen ekstensiivisuure on tilavuus V . Intensiivisuureiden arvot taas eiv¨at riipu systeemin koosta. Tyypillisi¨a intensiivisuureita ovat paine p ja l¨amp¨otila T .
2.2.1
Ominaissuureet
Intensiivisuureet ovat siin¨a mieless¨a toivottavampia, ett¨a niiden k¨aytt¨o ei
vaadi systeemin koon selvitt¨amist¨a tai kiinnitt¨amist¨a. Niist¨a saadaan jopa
skalaarikentti¨a (esim. T (~r, t)).
Onneksi ekstensiivisuureet voidaan muuttaa intensiivisuureiksi jakamalla ne systeemin massalla. N¨ain syntyvi¨a intensiivisuureita kutsutaan ominaissuureiksi ja merkit¨a¨an vastaavaa ekstensiivisuureen suurta vastaavalla
pienell¨a kirjaimella. Esimerkiksi ominaistilavuus on
1
“extent”
18
LUKU 2. YKSINKERTAISIA JOHDANNAISSUUREITA
v=
V
m
(2.19)
m3
V
=
[v] =
m
kg
(2.20)
ja ominaissis¨aenergia
u=
U
m
[u] =
2.2.2
(2.21)
U
J
=
m
kg
(2.22)
Molaariset ominaissuureet
Toinen vaihtoehto ekstensiivisuureiden muuntamiseksi intensiivisiksi on niiden jakaminen systeemin ainem¨a¨ar¨all¨a sen massan sijaan. N¨ain saadaan molaarisia ominaissuureita, joita merkit¨a¨an alaindeksill¨a m. Esimerkiksi moolitilavuus on
V
n V
m3
[Vm ] =
=
n
mol
Vm =
(2.23)
(2.24)
ja molaarinen sis¨aenergia
U
n U
J
[Um ] =
=
n
mol
Um =
(2.25)
(2.26)
Luku 3
Monimutkaisempia
johdannaissuureita
3.1
¯
Voima F
Olemme tottuneet ajattelemaan voimaa jonkinlaisena perussuureena, mutta itse asiassa se on vain hyvin k¨atev¨a johdannaissuure, joka on m¨a¨aritelty
Newtonin II lain 1 perusteella:
d~p
d(m~v )
F~ =
=
dt
dt
(3.1)
Niinp¨a sen yksik¨oksi tulee:
h
d(m|~v |)
mL
mv i
kgm
~
[F ] = [|F |] =
=
=
= 2
2
dt
t
t
s
(3.2)
T¨am¨a on edelleen nimetty2 Newtoniksi:
[F ] =
kgm
=N
s2
(3.3)
Voimia ei liene todellisuudessa olemassakaan. Ne ovat vain yksi ihmiskunnan historian hy¨odyllisimmist¨a abstraktioista. T¨am¨a voiman eksakti muoto
kuvaa vain sit¨a mit¨a arkikielen voima-sanakin: “voimaa” tarvitaan sit¨a enemm¨an mit¨a enemm¨an ja mit¨a nopeammin materiaa joudutaan kiihdytt¨am¨aa¨n
(tai hidastamaan, a < 0).
1
2
Newtonin I laki on II lain erikoistapaus.
ilmeisist¨
a syist¨
a
19
20
LUKU 3. MONIMUTKAISEMPIA JOHDANNAISSUUREITA
3.2
Paine p
Paineella p tarkoitetaan yksinkertaisimmillaan voimaa jaettuna pinta-alalle,
jolle se kohdistuu. Paineen SI-yksikk¨o on Pascal P a.
|F~ |
A
"
#
|F~ |
N
[p] =
= 2 = Pa
A
m
p=
(3.4)
(3.5)
Virtausaineissa tilanne ei kuitenkaan ole n¨ain yksinkertainen. Paine voidaan nimitt¨ain m¨a¨aritt¨a¨a mille tahansa virtausaineen reunoilla tai sen sis¨all¨a olevalle todelliselle tai kuvitteelliselle pinnalle. Itse asiassa virtausopissa
paine voidaan (infinitesimaalisten kontrollitilavuuksien dV avulla) m¨a¨aritt¨a¨a
virtausaineen jokaiselle pisteelle eli p = p(~r, t)).
3.3
Ty¨
oW
Mit¨a ty¨o on? Mekaniikassa ty¨
on W yleinen m¨a¨aritelm¨a on
Z
~
W = F~ · ds
(3.6)
S
Mit¨a t¨am¨a sitten tarkoittaa?
Arkisestikin voimme todeta, ett¨a jonkin kappaleen siirt¨amisen “ty¨ol¨ays”
on suoraan verrannollinen
1. Voimaan F , joka tarvitaan kappaleen liikuttamiseksi
2. Matkaan s, joka kappaletta siirret¨aa¨n
Kun voima on vakio ja reitti koko ajan voiman suuntainen, n¨am¨a verrannollisuudet voidaan yhdist¨a¨a tuloksi ja (valitsemalla m¨a¨aritelm¨ass¨a verrannollisuuskertoimeksi 1) m¨a¨aritell¨a ty¨o
W = |F~ |s
(3.7)
Yleisess¨a tapauksessa ei p¨aa¨st¨a n¨ain helpolla, sill¨a kappaleeseen vaikuttavan voiman suuruus ja suunta voivat riippua esimerkiksi ajasta ja kappaleen
paikasta eik¨a reittik¨a¨an ole v¨altt¨am¨att¨a l¨ahell¨ak¨a¨an suoraa.
˙
3.4. TEHO W
21
~ voidaan katOnneksi mik¨a tahansa infinitesimaalisen lyhyt reitin p¨atk¨a ds
soa hyv¨all¨a tarkkuudella suoraksi ja voiman reitin suuntainen komponentti
saadaan pistetulolla eli
~
dW = F~ · ds
(3.8)
Kun n¨am¨a infinitesimaalisen lyhyet reitin p¨atk¨at sitten summataan eli
integroidaan saadaan ty¨on yleinen m¨aa¨ritelm¨a 3.6.
Ty¨on m¨a¨aritelm¨a voitaisiin avata sanallisesti vaikka seuraavasti:
“Kun kappale, johon voima F~ vaikuttaa, kulkee reitin S tekee
voima kaavasta 3.6 laskettavissa olevan m¨a¨ar¨an ty¨ot¨a.”
Huomioi, ett¨a t¨am¨a ei vaadi, ett¨a juuri voima F~ aiheuttaisi kappaleen
liikkeen.
3.4
˙
Teho W
˙.
Jossain ajassa tehty ty¨o tai hetkellisen¨a ty¨on aikaderivaatta on teho W
Tehon SI-yksikk¨o on Watti W .
˙ = ∆W
W
∆t
dW
˙ =
W
dt
dW
W
J
˙ ]=
[W
=
= =W
dt
t
s
(3.9)
(3.10)
(3.11)
Tehosta k¨aytet¨a¨an useimmiten merkint¨a¨a P . Itse k¨ayt¨an kuitenkin mer˙ sekaannusten v¨altt¨amiseksi paineen kanssa, jota joskus my¨os merkikint¨aa¨ W
t¨a¨an pienen sijaan isolla p:ll¨a3 . Toisaalta n¨ain korostan my¨os tehon yhteytt¨a
ty¨oh¨on (l¨amm¨on sijasta).
3
Erityisesti paine ei ole ominaisteho p 6=
P
m.
22
LUKU 3. MONIMUTKAISEMPIA JOHDANNAISSUUREITA
Osa 1
Virtausoppi
23
Luku 4
Virtausoppi mekaniikan alana
Virtausoppi (“Fluid Mechanics”) on mekaniikan ala, joka k¨asittelee virtausaineita.
4.1
Virtausaine
Virtausaine (“fluid”) on mik¨a tahansa aine, joka virtaa. Eksaktimmin t¨am¨a voidaan ilmaista niin, ett¨a ’virtausaineet deformoituvat jatkuvasti leikkausj¨annityksen vaikutuksesta’. K¨ayt¨ann¨oss¨a esiintyvist¨a aineen olomuodoista virtausaineita ovat nesteet ja kaasut. Plasmatkin ovat toki virtausaineita
mutta toistaiseksi harvinaisia k¨ayt¨ann¨on sovelluksissa.
4.2
Partikkeli- ja kontinuumimekaniikka
Teknillinen mekaniikka voidaan jakaa partikkeli- ja jatkumomekaniikkaan.
Partikkelimekaniikassa oletetaan, ett¨a massa1 on keskittynyt partikkeleiksi eli pistemassoiksi. N¨am¨a pistemassat voivat sitten muodostaa suurempia systeemej¨a, joista hy¨odyllisin lienee j¨aykk¨a kappale.
Kontinuumimekaniikassa taas ajatellaan, ett¨a massa on jakautunut
avaruuteen jatkuvasti. T¨at¨a voidaan tietenkin kuvata tiheyskent¨all¨a ρ(~r, t).
T¨all¨oin muutkin ominaisuudet kuten esimerkiksi nopeus ~v (~r, t), paine p(~r, t)
tai l¨amp¨otila T (~r, t) ovat jatkuvia vektori- tai skalaarikentti¨a, siis paikan (13 ulottuvuudessa) ja mahdollisesti ajan funktioita. Niinp¨a virtausopin teoria
nojaa vahvasti differentiaali- ja integraalilaskentaan ja vektorianalyysiin.
1
T¨
ass¨
a tarkoitetaan l¨
ahinn¨
a hidasta massaa, ks. Massa m.
25
26
LUKU 4. VIRTAUSOPPI MEKANIIKAN ALANA
Nyky¨aa¨n tied¨amme, ett¨a aine ei ole mikrotasolla jatkuvaa. Virtausopin
teoria on t¨at¨a tietoa vanhempi. Vaikka kontinuumimekaniikka ei nykytiet¨amyksen mukaan olekaan fysikaalisesti oikeellista, sill¨a saadaan hyvi¨a tuloksia.
Aineen ep¨ajatkuvuus nimitt¨ain ilmenee vasta niin pieness¨a mittakaavassa, ett¨a jatkumo-oletus toimii viel¨a makroskooppisesta n¨ak¨okulmasta differentiaalisina n¨aytt¨aytyville tilavuuksille.
4.3
Statiikka ja dynamiikka
Virtausoppi voidaan jakaa hydrostatiikkaan (“Hydrostatics”) ja virtausdynamiikkaan (“Fluid Dynamics”). Koska virtausaineet kuitenkin yleens¨a
virtaavat ja niit¨a k¨aytet¨a¨an ja niist¨a ollaan kiinnostuneita juuri sen takia
on suurin osa virtausopista k¨ayt¨ann¨oss¨a virtausdynamiikkaa. 2 K¨ayt¨ann¨oss¨a
englanniksi k¨aytet¨a¨an yleens¨a termi¨a “Fluid Dynamics” ja suomeksi “virtauslaskenta”. 3
4.3.1
Nopeuskent¨
an keskeisyys
Yleens¨a virtausopissa pyrit¨a¨an ratkaisemaan nopeuskentt¨a ~v (~r, t) eli virtausaineen nopeusvektori jokaisessa tarkasteltavan tilavuuden pisteess¨a ja tarkasteltavan ajanjakson ajanhetken¨a. Nopeuskent¨an avulla on sitten melko suoraviivaista laskea suureita kuten painekentt¨a p(~r, t) tai tilavuus, massa- tai
energiavirta (teho) jonkin pinnan l¨api.
2
“Hydrostatiikka”-termin k¨aytt¨o johtuu varmaankin siit¨a, ett¨a virtausaineiden statiikkaa tarvitaan l¨
ahinn¨
a erilaisten nestealtaiden ja patojen suunnittelussa. Suomeksi “virtausstatiikka” on my¨
os itseristiriita (“oksymoroni”), mutta “Fluid Statics” ei olisi ollenkaan niin
paha.
3
Virtausoppi on k¨
ayt¨
ann¨
oss¨a hyvin laskennallista, kuten tulet huomaamaan.
Luku 5
Virtaustyypit
Virtauksia voidaan jaotella eri tavoin. Kaikki n¨am¨a jaottelut ovat tietenkin
liukuvia (esimerkiksi transitioalue laminaarista turbulenttiin virtaukseen) ja
yhdistett¨aviss¨a (esimerkiksi aluksi on helpointa keskitty¨a sis¨apuolisen laminaarin
kokoonpuristumattoman kitkallisen virtauksen tarkasteluun).
5.1
Kitkallinen ja kitkaton
Kitkallisessa virtauksessa kitka aiheuttaa virtausta vastustavan leikkausvoiman, joka pit¨a¨a ohuen kerroksen virtausainetta kiinni virtausaineen tilavuutta rajoittavissa sein¨amiss¨a. T¨am¨an kerroksen l¨aheisyydess¨a olevaan virtausaineeseen aiheutuu my¨os leikkausvoima, jota vastaan virtaus joutuu tekem¨a¨an ty¨ot¨a.
T¨am¨a kuluttaa virtauskent¨an koordinoitunutta liike-energiaa molekyylien
l¨amp¨oliikkeen liike-energiaksi eli sis¨aenergiaksi jolloin virtausaineen nopeus
pienenee ja entropia kasvaa. Virtauksen sis¨aenergiaksi kuluvaa liike-energiaa
avi¨
oksi. Kitka aiheutuu tietenkin virtausaineen
kutsutaan virtauksen kitkah¨
ja my¨os sen kanssa tekemisiss¨a olevan kiinte¨an aineen molekylien voimavuorovaikutuksista.
Kitkattomassa virtauksessa ei nimens¨a mukaisesti ole kitkaa, leikkausvoimaa tai kitkah¨avi¨oit¨a. Varsinkin koska kitka vaikuttaa my¨os nopeuskent¨an
muotoon ja sit¨a kautta suunnilleen kaikkiin tuloksiin, kitkaton virtaus on p¨atev¨a malli l¨ahinn¨a vapaalle virtaukselle, joka tapahtuu kaukana kaikista
pinnoista. T¨ah¨an vaaditaan yleens¨a ulkopuolinen virtaus, mutta rajakerrosten ohuuden ansiosta “kaukana” voi tarkoittaa yl¨ailmakeh¨an lis¨aksi vaikkapa
“huoneessa yli sentin p¨a¨ass¨a kiinteist¨a pinnoista”. Ideaalikaasu olisi m¨a¨aritelm¨allisesti kitkatonta, koska sen molekyylit vuorovaikuttavat vain t¨orm¨a¨a27
28
LUKU 5. VIRTAUSTYYPIT
m¨all¨a kimmoisasti. Sellaista ei kuitenkaan oikeasti ole olemassa.1
5.2
Laminaari ja turbulentti
Laminaarin eli py¨orteett¨om¨an virtauksen nopeuskentt¨a muuttuu loivasti
ja sulavasti ajan ja paikan funktiona2 ja kitkah¨avi¨oit¨a aiheutuu ainoastaan
leikkausvoimasta. Turbulentissa eli py¨orteisess¨a virtauksessa sen sijaan nopeuskentt¨a vaihtelee voimakkaasti ajan ja paikan funktiona moudostaen my¨os
py¨orteit¨a. Tarpeeksi pienten py¨orteiden liike-energian voidaan katsoa muuttuvan sis¨aenergiaksi ja kasvattavan t¨aten entropiaa. Turbulenssi aiheuttaa
siis ylim¨a¨ar¨aisi¨a kitkah¨avi¨oit¨a mutta toisaalta tehostaa virtausaineiden sekoittumista ja l¨amm¨onsiirtoa.
Turbulentin virtauksen nopeuskent¨ast¨a pyrit¨a¨an ratkaisemaan sen aikakeskiarvo. Turbulenssin vaikutusta nopeuskentt¨a¨an ja turbulenssih¨avi¨oit¨a kuvataan usein n¨aenn¨aisen leikkausvoiman avulla. Turbulenssin mallintaminen
eli k¨ayt¨ann¨oss¨a tuon n¨aenn¨aisen leikkausvoiman funktion m¨aa¨ritt¨aminen on
hyvin haastavaa.
Laminaarin virtauksen muuttuminen turbulentiksi eli transitio ei ole ollenkaan suoraviivaista ja t¨at¨a toiminta-aluetta pyrit¨a¨an sen mallinnuksen vaikeuden ja k¨ayt¨ann¨ollisen arvaamattomuuden vuoksi v¨altt¨am¨a¨an suunniteltaessa virtausaineita hy¨odynt¨avi¨a laitteita.
5.3
Kokoonpuristuva ja kokoonpuristumaton
Virtausaineet ovat tietenkin periaatteessa aina kokoonpuristuvia eli niiden
tiheys muuttuu paineen funktiona:
∂ρ
6= 0
(5.1)
∂p
K¨ayt¨ann¨oss¨a kuitenkin nesteiden tiheys muuttuu harvoin merkitt¨av¨asti
paineen funktiona eli
∂ρneste
→0
(5.2)
∂p
Kaasujen tiheys toisaalta muuttuu voimakkaasti paineen funktiona ja t¨am¨a on otettava huomioon:
1
Suprajuoksevat (“superfluid”) virtausaineet, kuten nestem¨ainen helium sen sijaan virtaavat kitkattomasti. Valitettavasti suprajuoksevuuden saavuttamiseen vaaditaan viel¨a
kylmempi¨
a l¨
amp¨
otiloja kuin suprajohtavuuden.
2
Niinp¨
a t¨
am¨
a on mahdollista.
¨
5.4. SISAPUOLINEN
JA ULKOPUOLINEN
29
∂ρkaasu ∂p >> 0
(5.3)
Nesteiden ja kaasujen tyypillisen k¨aytt¨aytymisen johdosta oppia kokoonpuristumattomasta virtauksesta kutsutaan hydrauliikaksi3 (“Hydraulics”)
ja kokoonpuristuvasta kaasudynamiikaksi (“Gas Dynamics”).
5.4
Sis¨
apuolinen ja ulkopuolinen
Sis¨
apuolinen virtaus on virtausaineen liikett¨a jossakin usealta puolelta rajatussa kanavassa. Tyypillisesti n¨am¨a ovat jonkinlaisia putkia. Eksaktimmin
ja matemaattisen k¨asittelyn kannalta sis¨apuolinen virtaus on virtausta, jossa kitkan ja mahdollisesti turbulenssin aiheuttama leikkausvoima vaikuttaa
suurimpaan osaan virtauksen nopeuskent¨ast¨a.
Ulkopuolisessa virtauksessa virtausaine p¨a¨asee liikkumaan enimm¨akseen vapaasti. Mik¨ali sein¨ami¨a esiintyy, ne aiheuttavan leikkausvoiman kautta
vaikutusta virtauksen nopeuskentt¨a¨an vain (yleens¨a hyvin ohuessa) rajakerroksessa.
3
kreikan kielest¨
a “hydor” = vesi
30
LUKU 5. VIRTAUSTYYPIT
Luku 6
K¨
asittelytavat
6.1
Kontrollitilavuus
6.2
Kentt¨
ateoria
6.2.1
Nopeuskent¨
an keskeisyys
6.3
Dimensioanalyysi
6.4
Teoria, kokeellisuus ja tietokoneet
31
32
¨
LUKU 6. KASITTELYTAVAT
Luku 7
S¨
ailymislait
7.1
Noetherin teoreema
7.2
Massan s¨
ailyminen
7.3
Liikem¨
a¨
ar¨
an s¨
ailyminen
7.4
Kulmaliikem¨
a¨
ar¨
an s¨
ailyminen
7.5
Energian s¨
ailyminen
33
34
¨
LUKU 7. SAILYMISLAIT
Luku 8
Pintavoimat ja tilavuusvoimat
8.1
Pintavoimat
8.1.1
Kitka
8.1.1.1
Leikkausj¨
annitys
8.1.1.2
Nopeuden reunaehto
8.1.1.3
Viskositeetti
8.2
Tilavuusvoimat
8.2.1
Painovoima
8.2.2
S¨
ahk¨
oiset voimat
35
36
LUKU 8. PINTAVOIMAT JA TILAVUUSVOIMAT
Luku 9
Kontrollitilavuus
Kontrollitilavuuden menetelmiss¨a tarkastelemme virtauksen suureita a¨a¨rellisen kokoisessa1 kontrollitilavuudessa.
Yleisess¨a tapauksessa kontrollitilavuuden koko ja muoto ovat ajasta riippuvia. Eksaktimmin t¨am¨a voidaan sanoa niin, ett¨a kontrollitilavuus V ja sen
kontrollipinta S ovat ajan funktioita:
V = V (t)
S = S(t)
(9.1)
(9.2)
Kontrollitilavuutta voidaan tietenkin ajatella avoimena systeemin¨a, jolla
on erin¨aisi¨a ekstensiivisuureita, esimerkiksi massa m ja entalpia H. Haluamme tietenkin pysy¨a perill¨a siit¨a, mitk¨a n¨aiden ekstensiivisuureiden ja niit¨a
vastaavien intensiivisuureiden arvot ovat mill¨akin ajanhetkell¨a. Olkoon B
mielivaltainen kontrollitilavuuden ekstensiivisuure2 ja b sit¨a vastaava intensiivisuure ja n¨am¨a ajan funktioita:
dB(~r, t) = b(~r, t)dm(~r, t) = b(~r, t)ρ(~r, t)dV (~r, t)
(9.3)
Eli differentiaaliselle tilavuuselementille kohdassa ~r ajanhetkell¨a t ekstensiivisuureen B arvo on intensiivisuureen b arvo tuossa kohdassa tuolloin kerrottuna tuon differentiaalisen tilavuuselementin massalla. Differentiaalinen
massa on vuorostaan tiheys tuossa kohdassa tuolloin kerottuna differentiaalisen tilavuuselementin tilavuudella. Koska meit¨a kuitenkin kiinnostaa koko
kontrollitilavuuden B, laskemme sen integroimalla:
1
siis ei ¨
a¨
arett¨
om¨
an suuressa muttei my¨osk¨a¨an olemattomassa tai diffrentiaalisen pieness¨
a
2
Kuten pian n¨
aemme, B voi olla my¨os vektori.
37
38
LUKU 9. KONTROLLITILAVUUS
Z
ZZZ
B(t) =
dB(~r, t) =
B(t)
b(~r, t)ρ(~r, t)dV (~r, t)
(9.4)
V (t)
Voimme tutkia ekstensiivisuureiden aikariippuvuutta aikaderivoimalla ne:
ZZZ
dB(t)
d
=
b(~r, t)ρ(~r, t)dV (~r, t)
(9.5)
dt
dt
V (t)
T¨ast¨a on ennen kaikkea se hy¨oty, ett¨a erilaiset s¨ailymislait on helppo ilmaista matemaattisesti aikaderivaattojen avulla. Jatkossa kirjoitan selkeyden vuoksi “b(~r, t)”:n sijaan vain b, mutta pid¨a mieless¨asi suureiden paikkaja aikariipppuvuus.
9.0.3
Reynoldsin siirtoteoreema
Nyt meill¨a on en¨a¨a sellainen ongelma, ett¨a sek¨a integroitavat funktiot, ett¨a kontrollitilavuus, jonka yli integroidaan ovat ajan funktioita. Olisi sek¨a
k¨asitteellisesti ett¨a laskennallisesti k¨atev¨a¨a, jos saisimme kontrollitilavuuden
V (t) muodon ja koon sek¨a intensiivisuureen b(~r, t) muutosten vaikutukset
intensiivisuureen B(t) arvoon eriytetty¨a omiksi termeikseen. T¨am¨a onnistuu
Reynoldsin siirtoteoreeman avulla. Sen mukaan:
d
dB(t)
=
dt
dt
ZZZ
ZZZ
bρdV =
V (t)
V (t)
d(bρ)
dV +
dt
ZZ
bρ(~vs · ~n)dA
(9.6)
S(t)
Miss¨a ~vs (~r, t) on kontrollipinnan nopeus ja ~n(~r, t) siit¨a ulosp¨ain osoittava
yksikk¨onormaali.
Reynoldsin siirtoteoreema on tietenkin matemaattisesti todistettu. Toisaalta se on varsin intuitiivinen tulos; B:n muutos on sen muutoksen kontrollitilavuudessa ja kontrollipinnan ylitt¨av¨an B:n summa
9.1
S¨
ailymislait kontrollitilavuudelle
Makroskooppiselle systeemille massan, liikem¨a¨ar¨an, kulmaliikem¨a¨ar¨an ja energian s¨ailymislait ovat
¨
9.1. SAILYMISLAIT
KONTROLLITILAVUUDELLE
dm(t)
=0
dt
d~p(t) X ~
=
F
dt
X
~
dL(t)
~
=
M
dt
dE(t)
˙
= Q˙ + W
dt
39
(9.7)
(9.8)
(9.9)
(9.10)
Massa m ei siis muutu3 . Liikem¨a¨ar¨an p~ muutoksen aiheuttaa voima F~ , joka on itse asiassa m¨aa¨ritelty liikem¨aa¨r¨an aikaderivaatan suuruiseksi. T¨aysin
~ muutos on momentin M
~ suuruinen. Termovastaavasti kulmaliikem¨a¨ar¨an L
dynamiikasta tuttu energian s¨ailyminen, ∆E = Q + W eli systeemin energian muutos on ty¨on ja l¨amm¨on summa, sulautuu joukkoon aikaderivoidussa
muodossaan.
~ ja energia E ovat
Systeemin massa m, liikem¨a¨ar¨a p~, kulmaliikem¨a¨ar¨a L
kaikki ekstensiivisuureita. Niit¨a vastaavat “intensiivisuureet” ovat
m
m
p~
m
~
L
m
E
m
=1
m~v
= ~v
m
~r × m~v
=
= ~r × ~v
m
=
=e
(9.11)
(9.12)
(9.13)
(9.14)
Yll¨a “intensiivisuureet” on heittomerkeiss¨a, koska n¨ain voidaan kyll¨a matemaattisessa mieless¨a sanoa, mutta fysikaalisesti emme miell¨a nopeutta tai
varsinkaan ykk¨ost¨a kovin “intensiivisuuremaisiksi” siin¨a mieless¨a kuin esimerkiksi ominaisenergian e. Joka tapauksessa n¨aiden avulla voimme nyt sijoittaa
kunkin nelj¨ast¨a ekstensiivisuureestamme Reynoldsin siirtoteoreemaan 9.6:
3
Oletamme edelleen ett¨
a ydinreaktioita ei tapahdu.
40
LUKU 9. KONTROLLITILAVUUS
dm(t)
=
dt
ZZZ
V (t)
d~p(t)
=
dt
ZZZ
~
dL(t)
=
dt
ZZZ
dE(t)
=
dt
ZZZ
ZZ
d(ρ)
dV +
dt
ρ(~vs · ~n)dA
(9.15)
~v ρ(~vs · ~n)dA
(9.16)
S(t)
d(~v ρ)
dV +
dt
V (t)
ZZ
S(t)
d(~r × ~v ρ)
dV +
dt
V (t)
ZZ
~r × ~v ρ(~vs · ~n)dA
(9.17)
S(t)
d(eρ)
dV +
dt
V (t)
ZZ
eρ(~vs · ~n)dA
(9.18)
S(t)
Kun sijoitamme n¨am¨a s¨ailymislakeihin 9.7-9.10, saamme s¨ailymislaeiksi
dm(t)
=
dt
ZZZ
d(ρ)
dV +
dt
V (t)
d~p(t)
=
dt
ZZZ
~
dL(t)
=
dt
ZZZ
dE(t)
=
dt
ZZZ
V (t)
ZZ
ρ(~vs · ~n)dA = 0
S(t)
d(~v ρ)
dV +
dt
ZZ
~v ρ(~vs · ~n)dA =
X
F~
(9.20)
S(t)
d(~r × ~v ρ)
dV +
dt
V (t)
V (t)
(9.19)
ZZ
~r × ~v ρ(~vs · ~n)dA =
X
~
M
(9.21)
S(t)
d(eρ)
dV +
dt
ZZ
˙
eρ(~vs · ~n)dA = Q˙ + W
S(t)
9.2
Nopeita vastauksia
9.3
CFD
(9.22)
Luku 10
Kentt¨
ateoria
10.1
S¨
ailymislait
10.1.1
Navier-Stokesin yht¨
alo
¨t
10.2
Kitkaton virtaus
10.2.1
Potentiaalivirtaus
41
42
¨
LUKU 10. KENTTATEORIA
Luku 11
Dimensioanalyysi
11.1
Suhteelliset suureet
11.2
Dimensiottomat luvut
43
44
LUKU 11. DIMENSIOANALYYSI
Liitteet
45