Sigma 2 Tehtävien ratkaisut

Transcription

Monikulmiot
1.2 Kulmia
1.
2.
a) Kulman ovat vieruskulmia, joten
α = 180° – 25° = 155°.
b) Kulmat ovat ristikulmia, joten
α = 38°.
Kulma α ja 47° kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t
ovat yhdensuuntaisia, α = 47°.
Kulma β on 47° kulman vieruskulma, joten β = 180° – 47° = 133°
3.
Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat m ja n
ovat yhdensuuntaisia, niin samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuria eli
206  3x  2x  15
 3x  2x  15  206
 5x  191 |:  5 
x  38, 2
1
Monikulmiot
4.
Merkitään α = 3x ja β = 8x. Tällöin kulmien suhde on 3 : 8.
Koska kulmat ovat vieruskulmia, niin niiden summa on 180° eli
α + β = 180° eli
3x  8x  180
11x  180 |: 11
x  16,3636...
Näin ollen saadaan
α = 3x = 3·16,3636…° = 49,0909..° ≈ 49°
β = 8x = 8·16,3636…° = 130,909…° ≈ 131°
5.
Merkitään 82° kulman vieruskulmaa kirjaimella α.
102°
Tällöin α = 180° – 82° = 98°
82°
α
s
t
Kulmat α ja 102° ovat samankohtaisia kulmia. Jos suorat s ja t ovat
yhdensuuntaisia, α = 102°.
Koska α = 98° ≠ 102°, niin suorat s ja t eivät ole yhdensuuntaisia.
2
Monikulmiot
6.
Merkitään 20° kulman kanssa samankohtaista kulmaa kirjaimella β.
20°
s
β
t
α
88°
Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, β = 20°.
    88
  20  88
  88  20
  68
7.
Merkitään 105° kulman kanssa samankohtaista kulmaa kirjaimella β.
200°
α
s
β
t
105°
Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaiset, β = 105°.
3
Monikulmiot
Kuvasta saadaan
    200  360
  105  200  360
  360  200  105
  55
8.
Merkitään kuvaan kulma δ.
68°
β
m
α
γ
97°
δ
n
Kulmat δ ja 68° ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat m ja n ovat
yhdensuuntaisia, δ = 68°. Lisäksi kuvasta saadaan
β= 68° (kulman δ ristikulmana)
  97  180 (vieruskulmat)
  180  97
  83
4
Monikulmiot
Kolmion kulmien summa on 180°, joten
      180
  68  83  180
  151  180
  180  151
  29
Vastaus: α = 29°, β= 68° ja   83
9.
Merkitään kuvioon apukulma α.
β
165°
α
Kuviosta saadaan
  165  180
  180  165
  15
5
Monikulmiot
Koska kolmio on suorakulmainen, niin
    90
15    90
  75
Vastaus:   75
10. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Merkitään
kantakulmaa kirjaimella α.
Huippukulma on 33° pienempi eli α – 33°.
Kolmion kulmien summa on 180°, joten saadaan yhtälö
      33  180
3  33  180
3  213
  71
|: 3
Huippukulman suuruus on siis 71  33  38 .
Vastaus: Kantakulmat 71°, huippukulma 38°
6
Monikulmiot
11. Merkitään pienintä kulmaa kirjaimella x. Tällöin muut kulmat ovat 3x ja
5x.
x  3x  5x  180
9x  180 |: 9
x  20
Muut kulmat ovat
3x  3  20  60
5x  5  20  100
Vastaus: Kulmien suuruudet ovat 20°, 60° ja 100°.
12. Värilliset (siniset) kolmiot ovat tasakylkisiä. Kummassakin tasakylkisessä
kolmiossa huippukulma on 90°. Merkitään kantakulmia kirjaimella x.
x
x
x
120°
α
x

7
Monikulmiot
Koska kolmion kulmien summa on 180°, niin kuviosta saadaan
2x  90  180
2x  90 |: 2
x  45
Kuviossa on kaksi samanlaista kolmiota, joiden huippukulma on 120°.
x    120
45    120
  75
Viereinen suorakulmainen kolmio on osa tehtävän kuviota.
90      180
90    75  180
  165  180
  15
Vastaus: α = 15°, β = 75°
8
α
β
Monikulmiot
13. Puolisuunnikkaan kaksi kulmaa ovat 90°. Merkitään kolmatta kulmaa
kirjaimella x, jolloin neljäs kulma on x + 35°.
Puolisuunnikas on nelikulmio, joten sen kulmien summa on 360°.
90  90  x  x  35  360
2x  215  360
2x  145 : 2
x  72,5
Tällöin kulma x  35  72,5  35  107,5
Vastaus: 72,5 ja 107,5°
14. a) Merkitään kolmion toista kantakulmaa
kirjaimella γ.
Koska kolmio on tasakylkinen, kantakulmat ovat
yhtä suuret eli γ = 68°.


γ
68
Koska nelikulmio on neliö, sen kaikki kulmat ovat suoria kulmia. Tällöin
α + γ = 90°
α + 68° = 90°
α = 22°
9
Monikulmiot
Viereinen suorakulmainen kolmio on osa kuviota.
Koska kolmion kulmien summa on 180°, niin
β
α
α + β + 90° = 180°
22° + β + 90° = 180°
β + 112° = 180°
β = 68°
b) Merkitään puolisuunnikkaan toista huippukulmaa kirjaimella x.
Koska puolisuunnikas on tasakylkinen,
huippukulmat ovat yhtä suuret eli x = 72°.
x
72°
β
α
Suorakulmion kulmat ovat 90°, joten
x + β = 90°
72° + β = 90°
β = 18°
Kuvio sisältää viereisen suorakulmaisen kolmion.
Kolmion kulmien summa on 180°.
β
    90  180
  18  90  180
  72
Vastaus: a) α = 22°, β = 68°
α
b) α = 72°, β = 18°
10
Monikulmiot
15. Merkitään kuvaan kulmat γ, δ ja δ’.
Vieruskulmina
δ’
β
56°
γ
δ
γ + 56° = 180°
γ = 180° – 56°
γ = 124°
90  56    180
  180  146
  34
Kulmat δ ja δ’ muodostavat suoran kulman.
   '  90
34   '  90
 '  56
Nelikulmion kulmien summa on 360°.
   '  
124  56    3
180  4
4

 360
 360
 360
 180
 45
|: 4
  3  3  45  135
Vastaus: Puolisuunnikkaan kulmat ovat 124°, 56°, 45° ja 135°.
11
α
Monikulmiot
16. Merkitään suunnikaan terävää kulmaa kirjaimella α. Tällöin suunnikaan
tylppä kulma on 2α. Suunnikkaassa vastakkaiset kulmat ovat aina yhtä
suuret, joten kumpiakin kulmia on kaksi kappaletta.
Nelikulmion kulmien summa on 360°, joten saadaan yhtälö
2    2  2  360
6  360 |: 6
  60
2  2  60  120
Vastaus: Kulmat ovat 60°, 60°, 120° ja 120°.
17. a) Kolmion kulmien summa on 180°.
90  39    180
  180  90  39
  51
b) Kolmio on tasakylkinen, joten kantakulmat ovat yhtä suuret. Kolmion
kulmien summa on 180°.
28      180
2  180  28
2  152 |: 2
  76
12
Monikulmiot
c) Puolisuunnikas on tasakylkinen, joten molemmat kantakulmat ovat
118° ja molemmat huippukulmat ovat α.
Nelikulmion kulmien summa 360°.
    118  118  360
2  360  2  118
2  124 |: 2
  62
18. Merkitään toista kulmaa kirjaimella x. Toinen kulma on 28° suurempi
eli x + 28°. Kulmat ovat vieruskulmia, joten niiden summa on 180°.
x  28  x  180
2 x  28  180
2x  152 |: 2
x  76
Toinen kulma on x + 28° = 76° + 28° = 104°.
Vastaus: Kulmat ovat 76° ja 104°
13
Monikulmiot
19. 5    180 (vieruskulmat)
6  180 |: 6
  30
Kulmat α ja β ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat
yhdensuuntaisia, β = α eli β = 30°
20. Merkitään kolmion kantakulmaa kirjaimella x (>0). Toinen kantakulma
on 18° suurempi eli x +18°. Huippukulma on 2· (x + 18°).
Kolmion kulmien summa on 180°, joten saadaan
x  ( x  18 )  2( x  18 )  180
4 x  54  180
4 x  126 : 4
x  31,5
Kolmion kulmat ovat siis
x = 31,5°
x + 18°=31,5° +18°=49,5°
2(x + 18°)=2·49,5°=99°
Vastaus: 31,5°; 49,5°; 99°
14
Monikulmiot
1.3 Yhdenmuotoisuus
21. a) Merkitään linnun takaraivon pituutta pienenöksessä kirjaimella x.
Koska kuviot ovat yhdenmuotoiset saadaan verranto
8, 5 10, 9

5, 5
x
8, 5x  59, 9 5
| : 8, 5
x  7, 0529...
x  7,1
c m 
b) Merkitään kaulan leveyttä suurennoksessa kirjaimella x.
Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan
x
8, 5

5, 5 2, 0
5, 5x  1 7 | : 5, 5
x  3, 0 9 0 . . .
x  3,1
c m 
15
Monikulmiot
Merkitään linnun kaulan pituutta suurennoksessa kirjaimella y.
Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan
y
8,5

5,5 2,7
5,5 y  22,95 |: 5,5
y  4 ,172...
y  4 ,2 cm 
Vastaus: a) 7,1 cm
b) leveys 3,1 cm ja pituus 4,2 cm
C
22. Kulmat D ja A ovat samankohtaisia kulmia. Koska janat
AB ja DE ovat yhdensuuntaisia,  D   A . Lisäksi
kolmioissa ABC ja DEC on molemmissa kulma C. kklauseen mukaan kolmiot ABC ja DEC ovat
yhdenmuotoiset.
D
E
A
B
23. Lasketaan vastinosien suhteet.
21
 4 ,8837...
4 ,3
16
 8,888...  4 ,8837...
1,8
16 cm
Teemu
21 cm
Vastaus: Suorakulmiot eivät ole yhdenmuotoisia.
16
Tiina
4,3 cm
1,8 cm
Monikulmiot
24. Kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset kklauseen mukaan (perustelut tehtävän 22
ratkaisussa). Janan DC pituus on 5a ja janan AC
pituus on 7a, missä a on kerroin (>0).
Yhdenmuotoisilla kuvioilla vastinjanojen suhde on
vakio, joten saadaan
C
(5)
(2)
D
A
x
E
7,8 cm
B
x 5

7,8 7
7x  39 : 7
x  5,571...  5,6 ( cm )
Vastaus: 5,6 cm
25. a) Kolmiot ABE ja CDE ovat yhdenmuotoisia (kk-lause), koska
 molemmissa kulma E
E
 kulmat C ja A samankohtaisina kulmina yhtä
suuuret
4,0 m
3,0
x
3
x
4x
x
4 ,0
2,0  4 ,0
4

6
 18 |: 4
 4 ,5 m 

2,0 m
A
17
3,0 m
C
x
D
B
Monikulmiot
b) Kolmiot ABE ja CDE ovat yhdenmuotoisia (kk-lause), koska
 molemmissa kulma E
 kulmat C ja A samankohtaisina kulmina yhtä suuuret
x
x 7
x
x 7
18 x
5x
x
x
13
13  5
13

18
 13x  91
 91 |: 5
 18,2
 18 m 

E
13,0 m
x
C
5,0 m
A
Vastaus: a) 4,5 m
D
7,0 m
B
b) 18 m
26. Kolmiot ACD ja ABE ovat kk-lauseen nojalla yhdenmuotoisia:


Molemmilla kolmioilla on yhteinen kantakulma A
Molemmissa kolmioissa on suora kulma vastinkulmana.
Tästä seuraa, että vastinsivujen suhteiden täytyy olla samat.
AE EB

AD DC
60 5,5

120 x
60x  660
x  11
Vastaus: Keskipilarin korkeus on 11 m.
18
Monikulmiot
27. Piirretään mallikuvat.
152 cm =1,52 m
x
1,7 m
Tiina
1,9 m
Teemu
Kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk-lause), koska
 Kummassakin kolmiossa 90°:een kulma.
 Aurinko paistaa samassa kulmassa.
Saadaan verranto
1,52
x
1,7x
x
x
1,7
1,9
 2,888 |: 1,7
 1,698...
 1,70 cm 

Vastaus: Teemun pituus on noin 170 cm.
19
Monikulmiot
28. Auton lamppu (E) on 60 cm korkeudella maan pinnasta. Lampusta
lähtevä valonsäde osuu maahan pisteessä B.
E
5 cm
D
C
500 cm
60 cm
A
B
Valokiila laskee 5 m = 500 cm matkalla 5 cm.
Kolmiot ABE ja CDE ovat yhdenmuotoiset (kk-lause), koska
 kummassakin kolmiossa on suorakulma,
 kummassakin kolmiossa on kulma E.
Saadaan verranto
x
60

5 500
5x  30000
x  6000 cm 
x = 6000 cm = 60 m
Vastaus: Valot valaisevat 60 m päähän.
20
Monikulmiot
29. Merkitään neliön sivua kirjaimella x.
C
300 - x
D
300
E
x
A
B
x
700
Kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset (kk-lause), koska
 molemmissa on suorakulma,
 molemmissa on kulma C.
Saadaan verranto
300
300  x
300x
1000x
x
700
x
 210000  700x
 210000 |: 1000
 210 m 

Tontin pinta-ala
A  x 2  210 m 2  44100 m 2  441 a
Vastaus: Tontin ala on 441 a
21
Monikulmiot
30. Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan verranto
1,3
2,0

5,5 2,0  x
1,32,0  x   2,0  5,5
2,6  1,3x  11
1,3x  8,4 |: 1,3
x  6,461...
x  6,5 dm 
Vastaus: 6,5 dm
31. Kolmiot DAE ja BAC ovat yhdenmuotoisia
(kk-lause), koska
 molemmissa kulma A,
 kulmat C ja E ovat samankohtaisina
kulmina yhtä suuret.
b
F
G
a
D
B
20 cm
15 cm
C
E
15 cm
30 cm
Saadaan verranto
A
30
20

30  15 a
30a  20  45 |: 30
a  30 cm 
22
Monikulmiot
Kolmiot FAG ja BAC ovat yhdenmuotoisia (kk-lause), koska
 molemmissa kulma A,
 kulmat C ja G ovat samankohtaisina kulmina yhtä suuret.
Saadaan verranto
30
30  15  15
30
60
30b
b
20
b
20

b
 1200 |: 30
 40 cm 

Vastaus: a = 30 cm ja b = 40 cm
32. Kolmiot ABE ja CDE ovat yhdenmuotoisia (kk-lause), koska
 kulmat AEB ja CED ovat ristikulmina yhtä suuret,
 kulmat D ja B ovat samankohtaisina kulmina yhtä suuret.
Merkitään kysytyn sivun EC pituutta kirjaimella x.
Saadaan verranto
D
4 ,5
x
8,0 x
x
x
8,0
13,0
 58,5 |: 8,0
 7,31...
 7,3 cm 
23
C
x

Vastaus: 7,3 cm
13,0 cm
4,5 cm
A
E
8,0 cm
B
Monikulmiot
33. Lasketaan, mikä on lähin kohta lipputangon takana, johon Veera näkee.
Merkitään tämän kohdan etäisyyttä lipputangosta kirjaimella x.
E
D
6,5 m
A
25 m
4,5 m
B
x
C
Kolmiot ACE ja BCD ovat yhdenmuotoisia (kk-lause), koska
 kulmat A ja B ovat suoriakulmia,
 kulma C on yhteinen.
Saadaan verranto
6,5
4 ,5
6,5x
6,5x
2x
x
25  x
x
 4 ,525  x 
 112,5  4 ,5x
 112,5 |: 2
 56,25  30

Vastaus: Veera ei näe lammikkoa.
24
Monikulmiot
1.4 Yhdenmuotoisuussuhde
34. Koska mittakaava on 1: 50, niin huoneen mitat ovat
7,6  50 cm  380 cm  3,8 m
5,8  50 cm  290 cm  2,9 m
Vastaus: Mitat ovat 3,8 m ja 2,9 m
35. Merkitään kysyttyä pituutta kirjaimella x.
MalliLuonnossa
piirustuksessa
(m)
4
6,0
7
x
Saadaan yhtälö
4x  6  7
4 x  42 : 4
x  10,5  11 ( m )
Vastaus: Pituus on 11 m
25
Monikulmiot
Kartalla
(m)
1
x
Luonnossa
(m)
25000
500
2 5 0 0 0x  5 0 0
: 25000
x
500
 0, 0 2
25000
Polun pituus kartalla on 0,02 m = 2 cm
Vastaus: 2 cm
Kartalla
(cm)
4,0
6,8
Saadaan yhtälö
4, 0 x  1 1 5 6
: 4,0
x  289
Patsaan pituus on 289 cm ≈ 290 cm
Vastaus: 290 cm
26
Luonnossa
(cm)
170
x
Monikulmiot
38. Lasketaan ensin suurennoksen mittakaava.
5,0 km=500 000 cm (vastaa suurennoksessa 25 cm pituutta)
Mittakaavaksi saadaan
25 cm ( 25
1

5000 00 cm
20000
Tämä oli siis suurennettu alkuperäisestä 1,6 –kertaiseksi. Merkitään
alkuperäisen kartan mittakaavaa kirjaimella k.
1
: 1,6
20000
1
1

k
20000  1,6 32000
k  1,6 
Vastaus: Mittakaava on
1
32000
27
Monikulmiot
39. Lasketaan matkan pituus luonnossa.
Pituus
kartalla
(cm)
1
5,0
Luonnossa
(cm)
400000
x
Saadaan yhtälö
x  5, 0  4 0 0 0 0 0
: 5, 0
x  2000000
Matka on siis luonnossa 2 000 000 cm (= 20 km)
a)
Pituus
kartalla
(cm)
1
x
Luonnossa
(cm)
150000
2000000
Saadaan yhtälö
1 5 0 0 0 0x  2 0 0 0 0 0 0
x
: 150000
1 5 0 0 0 0
 1 3, 3 3 3 . . .
2 0 0 0 0 0 0
Pituus kartalla on siis 13,333… cm ≈ 13 cm
28
Monikulmiot
b) Matka on 20 km ja auton nopeus 100 km/h.
Merkitään kysyttyä aikaa kirjaimella t.
20
t
100t  20
100 
 t
: 100
20 ( 20 1
t

100
5
Aika on siis
1
1
h   60 min  12 min .
5
5
Vastaus: a) 13 cm
b) 12 min
40. Merkitään suuremman kolmion alaa kirjaimella A.
Pintasuhteella saadaan
2, 5 c m 2  2, 0 


A
 1 0, 0 
2, 5 c m 2
4, 0

A
100, 0
2
4, 0 A  2 5 0, 0 c m 2
: 4, 0
250, 0 c m 2
A
4, 0
 62, 5 c m 2  6 3 c m 2
Vastaus: 63 cm2
29
Monikulmiot
41. Merkitään litran mehupullon alaa kirjaimella A1 ja kolmen litran
kirjaimella A2.
2
2
A1  25 
25
5
    
A 2  40 
64
8
Vastaus:
25
64
42. Merkitään suurennoksen leveyttä kirjaimella x.
24 mm
36 mm
x
15 cm
Vastinsivujen suhteella saadaan yhtälö
3, 6 c m 2, 4 c m

15 c m
x
3, 6x  36 c m
: 3, 6
x  10 c m
Suurennoksen ala on siis A  10 cm  15 cm  150 cm 2 .
Vastaus: 150 cm2
30
Monikulmiot
43. Merkitään kysyttyä korkeutta kirjaimella x.
Pintasuhteella saadaan yhtälö
8, 0 m 2  2, 5 


15 m2  x 
2
8, 0 m 2 6, 25
 2
x
15 m2
8, 0x 2  9 3, 75
x2 
: 8, 0
9 3, 7 5
8, 0
x 
93, 75
  3, 423...
8, 0
Koska x >0, niin x = 3,423… m ≈3,4 m
Vastaus 3,4 m
31
Monikulmiot
44. Huoneiston ala on 96 m 2  96  10 4 cm 2
Esitteessä vastaava ala oli 4 cm  6 cm  24 cm 2 .
Mittakaava k saadaan pintasuhteella
24
96  10 4
1
k2 
4  10 4
1
k
4  10 4
1
k
200
k2 
Koska k >0, niin k 
1
200
Merkitään keittiön alaa luonnossa kirjaimella x.
Ala luonnossa
(m2)
x
96
Ala esitteessä
(cm2)
3,0
24
Saadaan yhtälö
24 x  288
x
Vastaus: mittakaava
288
 12
24
1
, pinta-ala 12 m2
200
32
: 24
Monikulmiot
45. Talon alkuperäiset mitat ovat 13,5 m ja 8,5 m. Pohjapiirros on piirretty
mittakaavassa 1 : 50, joten talon mitat x ja y pohjapiirroksessa ovat:
Pituus
pohjapiirroksessa
(m)
x
1
Pituus
luonnossa
(m)
13,5
50
Saadaan verranto
x 13,5

1 50
x  0, 27 ( m )
Pituus
pohjapiirroksessa
(m)
y
1
Pituus
luonnossa
(m)
8,5
50
Saadaan verranto
y 8 ,5

1 50
y  0,17 ( m )
33
Monikulmiot
a) Pohjapiirroksen mittoja 0,27 m ja 0,17 m pienennetään vielä
kopiokoneella suhteessa 2 : 5. Pidemmän sivun (0,27 m) pituus
pienennetyssä kuvassa olkoon a. Saadaan verranto
2
a

0,27 5
5a  0,54 : 5
a  0,108 ( m )
Pidemmän sivun pituus on siis 0,108 m = 10,8 cm
b) Pienennetyn pohjapiirroksen mittakaava on
k
13,5
0,108
Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö eli
Aalkuperäinen
A pienennös
2
 13,5 

  15625
0
,
108


Saadaan siis Aalkuperäinen  15625  A pienennös . Kopiokoneella pienennetyn ja
1
alkuperäisen talon pinta-alojen suhde on siis
.
15625
34
Monikulmiot
46. 4,0 km = 400000 cm.
Mittakaava
k
15 cm
3

400000 cm 80000
47. a) Lasketaan lammen pituus x luonnossa.
Pituus kartalla
(cm)
1
2,6
Luonnossa
(cm)
10000
x
x  26000 cm  260 m
Lammen leveys l luonnossa:
Pituus
kartalla
(cm)
1
1,8
Luonnossa
(cm)
10000
l
l  18000 cm  180 m
35
Monikulmiot
b) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö eli
Atodellinen  10000 


Akartalla  1 
2
Atodellinen  10000 2  Akartalla
 10000 2  2,6  1,8 cm 2
 468000000 cm 2
 4 ,68 ha
Vastaus: a) Lammen mitat 260m ja 180 m
b) 4,68 ha
48. Kolmioiden kantakulmat ovat samankohtaisina kulmina yhtä suuret,
joten kolmiot ovat kk-lauseen nojalla yhdenmuotoiset. Kolmioiden
vastinsivujen suhde on
5 cm
5

5 cm  4 cm 9
Tällöin alojen suhde on mittakaavan neliö eli
A pienempi
Asuurempi
5
  
9
2
15,0 cm 2 25

Asuurempi
81
25  Asuurempi  1215 cm 2 : 25
Asuurempi  48,6 cm 2
Vastaus: 48,6 cm2
36
Monikulmiot
49. Pinta-ala esitteessä on
Aesite  40 mm  25 mm  1000 mm 2  10 cm 2
Muutetaan luonnossa oleva pinta-ala samaan yksikköön esitteen pintaalan kanssa. Aluonto  360 m 2  3600000 cm 2
Pintasuhteella saadaan yhtälö mittakaavalle k.
10
3600000
1
1

k
360000
600
k2 
Koska mittakaava k >0, niin k 
1
.
600
Mitat luonnossa ovat siis 600 -kertaiset.
40 mm  600  24000 mm  24 m
25 mm  600  15000 mm  15 m
Vastaus: Mittakaava on k 
1
ja mitat ovat 24 m ja 15 m.
600
37
Monikulmiot
1.5 Pythagoraan lause
50. a) Kolmio on suorakulmainen, joten voidaan käyttää Pythagoraan
lausetta.
x 2  6,2 2  15,0 2
x 2  225,0  38,44
x   186,56  13,658...
Koska x >0, niin x = 13,658…m ≈ 14 m.
b) Kolmio on tasakylkinen, joten korkeusjana puolittaa kannan. Kannan
1
puolikkaan pituus on x . Muodostuu kaksi samanlaista, suorakulmaista
2
kolmiota, joten voidaan käyttää Pythagoraan lausetta.
2
 1 x   4 ,32  5,7 2


2 
1 2
x  5,7 2  4 ,32  4
4
x 2  56
x   56  7,483...
Koska x >0, niin x  7,483... cm ≈7,5 cm
38
Monikulmiot
51. a) Kuvio on tasakylkinen puolisuunnikas. Kylkien pituus on
x. Erotetaan puolisuunnikkaasta suorakulmainen kolmio,
jonka hypotenuusan pituus on x. Kannan pituus on yhtä
suuri kuin puolisuunnikkaan korkeus eli 9,0 m. Merkitään
toista kannan pituutta kirjaimella y.
y
x
Koska alkuperäinen kuvio on tasakylkine puolisuunnikas,
niin
y
18,0  12,0 6,0

 3,0 .
2
2
Pythagoraan lauseella saadaan
x 2  9,0 2  3,0 2
x   90  9,4868...
Koska x >0, niin x = 9,4868… m ≈ 9,5 m.
b) Kuvio on neliö. Neliön lävistäjän pituus on 8,2 cm. Kun neliö jaetaan
kahteen osaan lävistäjän mukaisesti, saadaan kaksi suorakulmaista
kolmiota. Voidaan käyttää Pythagoraan lausetta.
x 2  x 2  8, 2 2
2 x 2  8, 2 2
x 2  33,62
x   33,62  5,798...
Koska x > 0, niin x = 5,798… cm ≈ 5,8 cm.
Vastaus: a) 9,5 m
b) 5,8 cm
39
9,0 m
Monikulmiot
52. Merkitään tasakylkisen kolmion kannan
puolikasta kirjaimella x. Koko kannan pituus on
siis 2x. muutetaan pituudet samoiksi yksiköiksi
(cm), joten 1,5 dm = 15 cm.
40 cm
40 cm
1,5 dm
Muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota.
Voidaan käyttää Pythagoraan lausetta.
x
x 2  15 2  40 2
x 2  40 2  15 2
x   1375
x  37,0809...
Koska x>0, niin x=37,0809… cm. Kannan pituus on siis
2 x  2  3 7, 0 8 0 9 . . .c m
 7 4,1 6 1 9 8 . . .c m  7 4 c m
Vastaus: Kanta on 74 cm.
40
Monikulmiot
53. Merkitään korkeutta kirjaimella h.
Koska kolmio on tasasivuinen, niin kanta on
myös 2,3 dm. Kannan puolikas x = 1,15 dm.
2,3 dm
h
Korkeusjana jakaa tasasivuisen kolmion
kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi.
Voidaan soveltaa Pythagoraan lausetta.
x
h 2  x 2  2,32
h 2  1,152 =2,32
h 2  2,32 -1,152
h   3, 9675   1, 9 9185...
Koska h > 0, niin h = 1,99185… dm ≈ 2,0 dm
Vastaus: Korkeus on 2,0 dm.
54. Merkitään tikkaiden pituutta kirjaimella x.
Muodostuu suorakulmainen kolmio, joten
voidaan käyttää Pythagoraan lausetta.
3,4 m
x
x 2  1,52 + 3,4 2
x 2  13,81
x   13,81=± 3,71618...
Koska x>0, niin x = 3,71618… m ≈ 3,7 m
Vastaus: Tikkaiden pituus on 3,7 m.
41
1,5 m
Monikulmiot
55. Piirretään tilannekuva. Merkitään
kysyttyä pituutta kirjaimella x.
Muodostuu suorakulmainen
kolmio, joten voidaan käyttää
Pythagoraan lausetta.
15,2 m – 6,1 m =9,1 m
6,1 m
x
x 2  6,12  9,12
x 2  9,12  6,12
x 2  45,6
x   45,6  6,752...
Koska x > 0, niin x = 6,752… m ≈6,8 m
Vastaus: 6,8 m
56. Piirretään tilannekuva.
6. porras
ramppi
x
17 cm
50 cm
1. porras
lattiataso
Merkitään osaa rampista kirjaimella x.
Koko rampin pituus on 6x.
42
Monikulmiot
Pituus x saadaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta.
x 2  50 2  17 2
x   2789  52,81...
Koska x >0, niin x = 52,81… cm.
Koko rampin pituus on siis
6x  6  5 2 , 8 1. . . c m
 3 1 6 , 8 6. . .c m  3 2 0 c m
Vastaus: Rampin pituus on 320 cm.
57. Merkitään polun pituutta kirjaimella x.
Sivujen pituudet on ensin muutettava
samoiksi yksiköiksi.
Kentän pituus on 0,27 km = 270 m
x
150m
0,27 km
Muodostuu suorakulmainen kolmio. Pythagoraan lauseen perusteella
saadaan
270 2  150 2  x 2
x 2  72900  22500
x 2  95400
x   95400  308,86...  310
Polun pituus on aina positiivinen, joten x = 310 m.
Vastaus: Polun pituus on 310 m.
43
Monikulmiot
58. Merkitään pidempää kateettia kirjaimella x.
Piirretään tilannekuva.
Koska kolmio on suorakulmainen,
9,3 cm
x - 3,0 cm
x
x 2  x  3,0 2  9,3 2
x 2  x  3,0 x  3,0   9,3 2
x 2  x 2  3,0 x  3,0 x  9,0  9,3 2
2 x 2  6,0 x  9,0  9,3 2  0
2x 2  6,0x  77,49  0
x
6, 0 
 6,0 2  4  2   77,49
22
6,0  655,92
4
6,0  655,92 6,0  25,61...

 7,9027...
x
4
4
tai

x
6,0  655,92
 4 ,9027...
4
Koska x > 0, niin x = 7,9027…cm ≈ 7,9 cm
Lyhyempi kateetti on
x – 3,0 cm = (7,9027…– 3,0) cm = 4,90273… cm ≈ 4,9 cm
Vastaus: Lyhyempi kateetti 4,9 cm, pidempi kateetti 7,9 cm
44
Monikulmiot
59. Koska kateettien pituuksien suhde on
2 : 3, niin merkitään kateetteja 2x ja 3x.
160 cm
2x
3x
2x 2  3x 2  160 2
4 x 2  9x 2  160 2
13x 2  25600
25600
x2 
13
25600
x 
 44 ,376...
13
Koska x > 0, niin x = 44,376… cm.
Tällöin kolmion kateettien pituudet ovat:
2 x  2  44 ,376... cm  88,752... cm
3x  3  44 ,376... cm  133,128... cm
Vastaus: Kateetit ovat 89 cm ja 133 cm.
45
Monikulmiot
mökki
60. Hahmotellaan tilannekuva. Merkitään mökin
kohtisuoraa etäisyyttä rannasta kirjaimella x.
x
Tilanteesta muodostuu tasasivuinen kolmio, koska
kaikki kulmat ovat 60º.( Kolmion kulmien summa 180º.)
Ratkaistaan x muodostuvasta suorakulmaisesta
kolmiosta Pythagoraan lauseella.
60°
60°
0,7 km
0,7 km
x
x 2  0,35 2  0,7 2
x 2  0,7 2  0,35 2
0,7 km
 0,35 km
2
x 2  0,3675
x   0,3675  0,6062...
Koska x>0, niin x = 0,6062… km ≈ 0,6 km.
Vastaus: Mökin etäisyys rannasta on 0,6 km.
46
Monikulmiot
61. Piirretään tilannekuva. Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella x.
katto
x
4,0 m
3,5 m
y
6,5 m
lattia
keskikohta
Lasketaan ensin pituus y lattiatasoon
muodostuvasta suorakulmaisesta
kolmiosta Pythagoraan lauseella.
6, 5 m
 3, 2 5 m
2
y
y 2  3,25 2  2,0 2
4,0 m
= 2 ,0 m
2
y   14 ,5625  3,816...
Koska y > 0, niin y = 3,816… m.
Kysytty etäisyys x saadaan toisesta suorakulmaisesta kolmiosta.
x 2  y 2  3,5 2
x 2  3,816...2  3,5 2
x   26,8125  5,178...
Koska x > 0, niin x = 5,178… m ≈ 5,2 m
Vastaus: Matka on 5,2 m.
47
Monikulmiot
183 cm= 1,83 m
76 cm = 0,76 m
2,75 m
x
5,5 m
Merkitään lammikon syvyyttä kirjaimella x.
Tangon koko pituus on siis 1,83 m + x.
Tangon taittuessa pohjasta siten, että se
ylettyy lammikon reunalle, muodostuu
suorakulmainen kolmio.
1,83+x -0,76
x
2,75
2,75 2  x 2  1,83  x  0,762
7,5625  x 2  1,07  x 2
7,5625  x 2  1,07  x 1,07  x 
7,50625  x 2  1,1449  1,07x  1,07x  x 2
7,50625  1,1449  2,14 x
2,14 x  6,4176
6,4176
x
 2,998...  3,0
2,14
Vastaus: Lammikon syvyys on 3,0 m
48
Monikulmiot
A
tie, 150 km
80 km
C
v juna  130
B
km
h
x
Lasketaan ensin puuttuva etäisyys eli etäisyys kaupungista C kaupunkiin
B. Merkitään tätä kirjaimella x. Tilanteesta muodostuu suorakulmainen
kolmio, koska pääilmansuunnat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
80 2  x 2  150 2
x 2  150 2  80 2
x 2  16100
x   16100  126,885...
Koska x >0, niin x = 126,885… km.
Aika, joka junalta kuluu kaupungista A kaupunkiin B on
80 km 126,885...km

 1,59142... h
km
km
130
130
h
h
49
aika 
matka
nopeus
Monikulmiot
Aika, joka autolta kuluu kaupungista A kaupunkiin B on
150 km
 1,5 h
km
100
h
Koska 1,5 h < 1,59142… h, niin auto on ensin perillä.
Vastaus: Auto on ensin perillä.
64. Merkitään koilliseen purjehdittua matkaa kirjaimella x.
Tilanteesta saadaan kuvio:
P
Ko
x
Lähtö
3,5x
L
I
Ka
18 km
E
Maali
50
Monikulmiot
Muodostuu suorakulmainen kolmio. Pythagoraan lauseella saadaan
x 2  3,5x 2  18 2
x 2  12, 25x 2  324
13, 25x 2  324
324
x2 
13, 25
x 
324
 4 ,94498...
13, 25
Koska x > 0, niin x = 4,94498… km.
Etappi kokonaisuudessaan on
x  3,5x  4 ,94498... km  3,5  4 ,94498... km  22, 2524... km  22 km
Vastaus: Etappi oli 22 km.
51
Monikulmiot
65. a) Sisällä olevan neliön kärki puolittaa ulomman neliön sivun.
Muodostuu suorakulmaisia kolmioita.
2
2
x  x 
   
2 2
x2 x2

4
4
2x 2
4
x2
2
x2
 3,5 2
3,5 cm
x
2
 12, 25
x
2
 12, 25
 12, 25
 24 ,5
x   24 ,5  4 ,9497...
Koska x > 0, niin x = 4,9497… cm ≈ 4,9 cm
b)Tasakylkisen kolmion korkeusjana (8 m) puolittaa kannan, jolloin
saadaan suorakulmainen kolmio:
x 2  8,0 2  6,0 2
8,0 m
x 2  100
x
x   100  10
12,0 m
 6, 0 m
2
Koska x > 0, niin x = 10 m.
Vastaus: a) 4,9 cm
b) 10 m
52
Monikulmiot
Merkitään lävistäjää kirjaimella x.
x
Suorakulmion sisälle muodostuu
suorakulmainen kolmio.
0,57 m = 57 cm
x 2  57 2  27 2
x 2  3978
x   3978  63,071...
Koska x > 0, niin x = 63,071… cm≈ 63 cm
Vastaus: 63 cm
53
27 cm
Monikulmiot
Merkitään kysyttyä pituutta
kirjaimella x.
18 m – 1,6 m =16,4 m
160 cm =1,6 m
x
Muodostuu suorakulmainen kolmio, joten voidaan käyttää Pythagoraan
lausetta.
x 2  1,6 2  16,4 2
x 2  16,4 2  1,6 2
x 2  266,4
x   266,4  16,3217...
Koska x > 0, niin x = 16,3217… m ≈16,3 m
Vastaus: 16,3 m
Merkitään lyhintä matkaa rannalta huipulle
kirjaimella x.
x
Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa
kannan.
Kannan puolikas on siis
0,6 km
1,2 km
 0,6 km
2
54
450 m = 0,45 km
Monikulmiot
Muodostuu suorakulmainen kolmio. Pythagoraan lauseella saadaan
x 2  0,6 2  0,45 2
x 2  0,5625
x   0,5625  0,75
Koska x >0, niin x = 0,75 km.
Tutkijan (kiipeilijän) keskinopeus on 0,8
0,75 km
 0,9375 h
km
0,8
h
0,9375 ·60 min=56,25 min ≈56 min
Vastaus: 56 min
55
km
, joten matka huipulle kestää
h
aika 
matka
nopeus
Monikulmiot
69. Piirretään tilannekuva rakennuslevyn palasta. Pala on tasakylkinen
puolisuunnikas.
Puolisuunnikkaan korkeus on 0,75 m, kyljet
ovat 5x ja muut sivut 6x ja 2x.
6x
5x
Suorakulmio muodostuu levyn keskelle
Suorakulmion kaksi yhdensuuntaista sivua
ovat yhtä suuret kuin puolisuunnikkaan sivu
2x.
5x
0,75 m
2x
Toiset keskenään yhtä suuret sivut ovat yhtä
suuret kuin puolisuunnikkaan korkeus 0,75 m.
Lävistäjä jakaa suorakulmion kahteen suorakulmaiseen kolmioon.
6x  2 x 4 x

 2x
2
2
0,75 2  2 x 2  5x 2
0,75 2  4 x 2  25x 2
0,75 2  25x 2  4 x 2
21x 2  0,75 2
0,75 2 0,5625
x 

21
21
0,5625
x 
 0,16366...
21
2
Koska x > 0, niin x = 0,16366… m.
Tällöin suorakulmion kahden sivun pituudet ovat
2 x  2  0,16366... m  0,3273... m  0,33 m
Vastaus: Sivut ovat 0,33 m ja 0,75 m.
56
5x
0,75 m
Monikulmiot
1.6 Suorakulmaisen kolmion trigonometriaa
7, 2
 2,360...
3,05
  67,04...  67
70. a) tan  
34
 0,641...
53
  39,904...  40
b) sin  
Vastaus: a) 67°
b) 40°
x
| 12,3
12,3
12,3  tan 39  x
x  9,960...
x  10 cm 
71. a)
tan 39 
57
Monikulmiot
b)
8,5
|x
x
x  cos 75  8,5 |: cos 75
8,5
x
cos 75
x  32,841
x  33 mm 
cos 75 
Vastaus: a) 10 cm
b) 33 mm
72. a)
2,1
 0,75
2,8
x  41,40...  41
cos x 
b)
2,5
x
x
x  tan 46  2,5 : tan 46
tan 46 
x
Vastaus: a) 41°
2,5
 2,414...  2,4
tan 46
b) 2,4 cm
58
Monikulmiot
73. Merkitään kolmion kulmia α ja β.
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
48 cm

25
 0,5208...
48
  27,51...  27,5
tan  
 25 cm
48
 1,92
25
  62,48...  62,5
tan  
Vastaus: Kulmat ovat 27,5°; 62,5° ja 90°.
74. a) Suunnikkaan sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta
saadaan
h
sin 62 
|11
11
11  sin 62  h
h  9,712...
h  9,7 cm 
59
Monikulmiot
b) Koska puolisuunnikas on tasakylkinen, san erisuuntaiset sivut ovat
yhtä pitkät. Puolisuunnikkaan sisään muodostuvasta suorakulmaisesta
kolmiosta saadaan
h
| 1,12
1,12
1,12  cos 35  h
h  0,9174...
h  0,92 m 
cos 35 
Vastaus: a) 9,7 cm
h
1,12 m
125° - 90° = 35°
b) 0,92 m
75. Kolmio on tasasivuinen, joten kaikki kulmat ovat 60°.
Merkitään kolmion sivua kirjaimella x.
Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
13 cm
13
|x
x
x  sin 60  13 |: sin 60
13
x
sin 60
x  15,011...  15 cm 
sin 60 
Vastaus: 15 cm
60
x
60°
Monikulmiot
76. Tarkastellaan ensin suurempaa suorakulmaista kolmiota.
x
| 18
18
x  18  tan 55
tan 55 
x
55°
18 mm
Ratkaistaan kulma α pienemmästä
suorakulmaisesta kolmiosta.
27 mm
x
sin  
27
18  tan 55

27
 0,952...
  72,19...  72
x
α
Vastaus: 72°
61
Monikulmiot
77. Tarkastellaan kolmion sisälle muodostuvia suorakulmaisia kolmioita
erikseen. Ratkaistaan molemmista kolmioista korkeus h.
h
| b
b
h  b  sin 
sin  
b
h
α
h
| a
a
h  a  sin 
sin  
b
a
β
Korkeus h on sama molemmissa kolmioissa, joten saadaan yhtälö
a  sin   b  sin  |: b
a  sin 
b
a  sin 
b
a  sin 
b  sin 
a
b

b  sin 
b
 sin  |: sin 
sin 
sin 
sin 

sin 

62
Monikulmiot
78.
a  sin   b  sin 
14  sin   8,4  sin 66 |: 14
8,4  sin 66
sin  
14
sin   0,548...
  33, 23...
  33
Vastaus: 33°
79.
a  sin   b  sin 
x  sin 54  2,35  sin 48 |: sin 54
2,35  sin 48
sin 54
x  2,1586...
x  2,16 m 
x
Vastaus: 2,16 m
63
Monikulmiot
80. a) Merkitään lyhyemmän kateetin pituutta x ja hypotenuusan pituutta 5x.
x
5x
1
sin 
5
  11,536...   11,5 
sin 

x
5x

Tällöin   ( 90  11,536...)  78,5 
b) Merkitään lyhyemmän kateetin pituutta 3x ja pidemmän kateetin
pituutta 4x.
3x
4x
3
tan 
4
  36,869...   36,9 
tan 
3x


4x
Tällöin   ( 90  36,869... )  53,1
64
Monikulmiot
81. Piirretään tilannekuva. Merkitään toisen kateetin pituutta kirjaimella y ja
hypotenuusan pituutta kirjaimella x.
1,2
x
1,2
x
 2,839...  2,8

sin25
sin25  
x
1,2 dm
25
y
1,2
y
1,2
y
 2,573...  2,6
tan25 
tan25  
Vastaus: Kateetin pituus on 2,6 dm, hypotenuusan pituus 2,8 dm.
82. Merkitään tasakylkisen kolmion kyljen
pituutta x ja kantakulmaa α. Korkeusjana
puolittaa huippukulman, joten
34
huippukulman puolikas on
 17.
2
Kantakulma on   90  17   73  .
65
17
x

9 mm
x

Monikulmiot
9
, josta
x
9
x
 30,78...  31 mm 

cos73
cos73  
Vastaus: kantakulmat 73°, kylkien pituudet 31 mm
83. Koska tasasivuisen kolmion piiri on 24,0 cm,
sivun pituus on 8,00 cm ja kaikki kulmat ovat
60.
Korkeusjana jakaa tasasivuisen kolmion kahteen
suorakulmaiseen kolmioon.
h
 8,00
8,00
h  8,00  sin 60
sin 60 
h  6,928...
h  6,93
Vastaus: 6,93 cm
66
8,00 cm
h
60
Monikulmiot
Merkitään puun korkeutta kirjaimella x.
x
23
tan23  
x
18 m
18 m
x  18 m  tan23   7,640...m  7,6 m
Vastaus: 7,6 m
85. Piirretään tilannekuva. Merkitään, että vesi nousee x metrin päähän
rantaviivasta tulvan vaikutuksesta.
mökki
1,60 m
x
1,60 m
1
1,60
x
1,60
x
sin1
x  91,677...
x  92 m 
sin1 
67
Monikulmiot
Koska mökki on vain 50 m päässä rannasta ja 92 m >50 m, tulva nousee
mökille asti.
Vastaus: Vesi nousee mökille asti.
Merkitään katon kaltevuuskulmaa α.
Korkeusjana puolittaa kannan, jolloin
kannan puolikas on siis
8,6 m
 4 ,3m
2
Muodostuu suorakulmainen kolmio, josta saadaan
1,8
4 ,3
  22,71...  23
tan  
Vastaus: 23°
68
1,8 m
α
8,6 m
4,3 m
Monikulmiot
87. Piirretään tilannekuva sillan puolikkaasta. Merkitään kallistuskulmaa α.
32m
Sillan puolikkaan pituus on
 16 m.
2
Nostettavan osan pituus on
0,3 16 m = 4,8 m.
4,8 m
(16 - 12) m = 4 m

11,2 m
Vaakatasoon jää sillan puolikkaasta
siis 16 m – 4,8 m= 11,2 m.
Sillan korkeus on 12 m ja avattuna sillan korkein kohta on 16 m
korkeudessa.
Muodostuu suorakulmainen kolmio, josta saadaan laskettua
kallistuskulma 
sin 
4
4 ,8
  56,44...   56 
Vastaus: 56°
69
Monikulmiot
88. Piirretään tilannekuva. Merkitään
huipulle kuljettavan matkan pituutta
x. Muodostuu suorakulmainen
kolmio, josta saadaan
160 m
160 m
x
160 m
 1505,68...m
x
sin6,1
sin6,1 
matka
nopeus
1,50568...km

 0,0684...h  4 min
km
22
h
aika 
Vastaus: 4 min
70
x

Monikulmiot
89. a) Piirretään tilannekuva.
Muodostuu tasakylkinen kolmio, jonka huippukulma on 110°.
Korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman, joten huippukulman
110
puolikas on
 55 .
2
x
Selkeyden kannalta merkitään laivojen
välistä etäisyyttä 2x, jolloin kolmion
kannan puolikas on siis x.
8,5 km
x
55
sin55  
x
8,5
x  8,5  sin55   6,9627...
eli etäisyys on 2x = 2  6,9627…km  14 km
b) 5 minuutin aikana laiva kulkee
5 min  65
km 5
km
 h  65
 5,4166... km
h
60
h
Uusi etäisyys majakkaan on (8,5 – 5,4166…)km = 3,08333…km.
71
8,5 km
Monikulmiot
Merkitään laivojen välistä etäisyyttä nyt 2y.
y
3,08333… km
y
55
Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan nyt
sin55 
y
3,08333...
x  3,08333  sin55
 2,5257...
Etäisyys siis on 2x = 2  2,5257…km  5,1 km
Vastaus: a) 14 km
b) 5,1 km
72
3,08333… km
Monikulmiot
Merkitään kallion ja tornin
yhteen laskettua korkeutta x ja
kallion korkeutta y.
x
2
y
14
Muodostuu kaksi suorakulmaista
kolmiota.
0,30 km= 300 m
Suuremmasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
x
300
x  300  tan16
tan16 
 86,023...
Pienemmästä suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
y
300
x  300  tan14 
 74 ,798...
tan14  
Tornin korkeus on tällöin
x – y = (86,023… – 74,798…)m  11 m.
Vastaus: 11m
73
Monikulmiot
91. Pisteet A ja B voivat sijaita joko samalla puolella tornia tai tornin eri
puolilla.
Tapaus 1 (samalla puolella):
Menkitään pisteiden
välimatkaa y ja pisteen B
etäisyyttä tornista kirjaimella
x.
100 m

4
x
B
Pienemmästä suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
100
x
x
tan 4  x  100 : tan 4
tan4  
100
tan4 
x  1430,066... ( m)
x
Suuremmasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
tan3 
100
(x  y )
x y
tan3( x  y )  100 : tan3
100
tan3
x  y  1908,11... ( m)
x y
74
y
A
Monikulmiot
Siis pisteiden A ja B välimatka eli y on
y  1908,11... m  x  1908,11... m  1430,066... m  478,04...m  478 m
Tapaus 2 (eri puolilla):
Merkitään pisteen A etäisyyttä tornista y ja pisteen B etäisyyttä tornista x.
100 m
A

4
x
y
B
Muodostuvista suorakulmaisista kolmioista saadaan etäisyyksille x ja y
tan3 
100
y
y
tan 3  y  100 : tan 3
100
tan3
y  1908,11... ( m)
y
100
x
x
tan 4  x  100 : tan 4
tan4  
100
tan4 
x  1430,066... ( m)
x
75
Monikulmiot
Pisteiden välinen etäisyys on
x  y  1908,11...m  1430,066... m  3338,18... m  3340 m
Vastaus: 478 m tai 3340 m
92. Kolmion sisään muodostuvista
suorakulmaisista kolmioista saadaan
13,5 m
sin 

5,5
13,5
  24 ,042...  24 
sin 
5,5
7,5
  47,166...  47
Vastaus: α = 24°, β = 47°
76
5,5 m
7,5 m

Monikulmiot
Merkitään maston korkeutta x.
x
13
1400 m
x
1400
x  1400  tan13   323,215...  320 m 
tan13  
Vastaus: 320 m
94. Piirretään tilannekuva. Tornin korkeus on 55 m.
Olkoon torni kallistunut  astetta.
Kallistuma on 4,3 m.
4 ,3
55
  4 ,484...   4 ,5 
sin 
Vastaus: 4,5°
77
4,3 m

55 m
Monikulmiot
95. Piirretään tilannekuva. Kadun leveys on 15 m. Katu kulkee itälänsisuunnassa. Olkoon x korkeus, johon auringonsäteet osuvat. Aurinko
paistaa etelästä 40° kulmassa.
Länsi
40
18 m
Etelä
15 m
x
Itä
18  x
15
18  x  15  tan40 
tan40  
 x  18  15  tan40 
x  18  15  tan40 
x  5,413...
x  5,4 m 
Koska ikkuna on vain 4,0 m korkeudella, eivät auringonsäteet osu siihen.
(4,0 m < 5,4 m)
Vastaus: Eivät osu.
78
Monikulmiot
h
3
Merkitään majakan korkeutta
kirjaimella h.
x
Olkoon veneen etäisyys majakasta lopussa x ja alussa x + 250.
Muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota, joista voidaan ratkaista
korkeus h.
Suuremmasta kolmiosta saadaan
h
 ( x  250 )
x  250
h  x  250   tan 2
tan2  
Pienemmästä kolmiosta saadaan
h
x
x
h  x  tan3
tan3 
79
2
250 m
Monikulmiot
Majakan korkeus on yhtä suuri molemmissa tapauksissa, joten saadaan
yhtälö
x  250   tan2   x  tan3 
xtan2   250tan2   xtan3 
xtan2  - xtan3   250tan2 
x tan2  tan3    250tan2 
 250tan2 
x
tan2  tan3 
x  499,238...  500 m 
Majakan korkeus on siis
h  x  tan3  499, 238...  tan3  26,163...  26 m 
Vastaus: etäisyys 500m, majakan korkeus 26 m
80
Monikulmiot
1.7 Pinta-aloja
97. a) Lasketaan ensi suunnikkaan korkeus h.
h
 10,5
10,5
h  10,5  sin 42
sin 42 
10,5 cm
h
42º
h  7,025... ( cm)
Ala on
A  28,0 cm  7,025... cm  196,724 ... cm 2  197 cm 2
b) Lasketaan ensi suunnikkaan korkeus h.
h
 15,0
15,0
h  15,0  sin 55
sin 55 
h
15,0 cm
180º-125º=55º
h  12, 287... ( cm)
Ala on
A  8,0 cm  12, 287... cm  98,2982... cm 2  98 cm 2
Vastaus: a) 197 cm2
b) 98 cm2
81
Monikulmiot
98. a) Selvitetään ensi suorakulmaisen kolmion kanta.
Merkitään kantaa kirjaimella x.
x 2  4 ,12  8,3 2
x  8,3  4 ,1
2
2
8,3 cm
4,1 cm
2
x 2  52,08
x
x   52,08  7, 2166...
Koska x >0, niin x =7,2166… cm
Pinta-alaksi siis saadaan
A
7,2166...cm  4 ,1 cm
 14 ,7941... cm 2  15 cm 2
2
b) Lasketaan ensin kolmion korkeus h.
Kulma   180  110  70
Korkeus saadaan muodostuvasta
h
16 cm
α
110°
13 cm
h
sin 
16
h
sin70 
16
h  16  sin70
h  15,035... ( cm)
82
Monikulmiot
Kolmion ala on
A
13 cm  15,035... cm
 97,7280... cm 2  98 cm 2
2
Vastaus: a) 15 cm2
b) 98 cm2
99. a) Lasketaan ensin kolmion korkeus.
Merkitään korkeutta kirjaimella x.
Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa
kannan. Kannan puolikas on
14 mm
 7 mm .
2
12 mm
x
12 mm
14 mm
Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pythagoraan
lauseella
7 2  x 2  12 2
x 2  12 2  7 2
x 2  95
x   95
Koska x > 0, niin x  95  9,74679...
83
Monikulmiot
Pinta-alaksi saadaan
A
14 mm  9,74679... mm
 68,22756... mm 2  68 mm 2
2
b) Lasketaan ensin kolmion kannan pituus x + y.
Pituus x saadaan suorakulmaisesta kolmiosta.
15 m
62º
15
tan62 
x
x  tan62  15
x
x
x
: tan62
15
 7,9756...
tan62
Pituus y saadaan toisesta suorakulmaisesta kolmiosta.
tan75 
15
y
y  tan75  15
y
y
: tan75
15
 4 ,0192...
tan75
Koko kanta siis on
x  y  7,9756... m  4 ,0192...m  11,97565...m
84
75º
y
Monikulmiot
Pinta-alaksi saadaan
A
11,97565... m  15 m
 89,817... m 2  90 m 2
2
Vastaus: a) 68 mm2
b) 90 m2
100. Piirretään tilannekuva ojan poikkileikkauksesta.
2,5 m
Puolisuunnikkaan ala on
50 cm= 0,5 m
0,5 m  (2,5 m  0,8 m)
2
0,5 m  3,3 m

 0,825 m 2  0,83 m 2
2
A
Vastaus: 0,83 m2
85
80 cm= 0,8 m
Monikulmiot
101. Lasketaan kolmion korkeus h.
25 m
h
h 2  19 2  25 2
h 2  25 2  19 2
19 m
h 2  264
h   264
Koska h > 0, niin h  264 m=16,248… m
Kolmion ala on
A
16, 248... m  19 m
 154 ,3567... m 2  150 m 2
2
Vastaus: 150 m2
86
Monikulmiot
102. a) Lasketaan ensin puolisuunnikkaan korkeus h.
h
 28
28
h  28  sin55
sin55 
28 cm
55º
h  22,936... ( cm)
Ala on
A
22,936... cm  42 cm  17cm 
 676,619... cm 2  680 cm 2
2
b) Lasketaan ensin puolisuunnikkaan korkeus h.
h
h
 4 ,0
4 ,0
h  4 ,0  tan 55
tan55 
55º
h  5,7125... ( cm)
12,0 cm – 8,0 cm
=4,0 cm
Ala on
5,7125... cm  ( 8,0 cm  12,0 cm)
2
 57,1259... cm 2
A
 57 cm 2
Vastaus: a) 680 cm2
b) 57 cm2
87
h
Monikulmiot
103. Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan.
28 cm
Kanna puolikas on
 14 cm .
2
28 cm
Lasketaan kolmion korkeus muodostuvasta
suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella
h 2  14 2  28 2
h 2  28 2  14 2
h 2  588
h   588  24 ,2487...
Koska h >0, niin h  24 , 2487... cm.
Pinta-ala on
A
28 cm  24 , 2487... cm
 339,481958... cm 2  340 cm 2
2
Vastaus: 340 cm2
88
h
28 cm
28 cm
Monikulmiot
104. Tasakylkisen kolmion korkeusjana
puolittaa kannan ja huippukulman.
Merkitään kannan puolikkaan pituutta
kirjaimella x. Huippukulman puolikas
115
on
 57,5 .
2
Lasketaan aluksi kannan puolikas x
muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta.
115º
18 cm
57,5º
18 cm
x
x
18
x  18  tan57,5
tan57,5 
x  28,254... ( cm)
Koko kannan pituus on siis 2 x  2  28, 254... cm  56,508... cm .
Kolmion ala on
A
56,508... cm  18 cm
 508,578... cm 2  510 cm 2
2
Vastaus: 510 cm2
89
Monikulmiot
105. Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa
kannan.
5,0 cm
Kannan puolikas on
 2,5 cm .
2
45º
45º
5,0 cm
Merkitään korkeusjanan pituutta h.
Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
tan 45 
h
2 ,5
h
h  2,5  tan 45
h  2,5
45º
2,5 cm
Ala on siis
A
5,0 cm  2,5cm
 6, 25 cm 2  6,3 cm 2
2
Vastaus: 6,3 cm2
90
Monikulmiot
106. Merkitään tasakylkisen kolmion kantaa kirjaimella x.
Kannan pituus on yhtä suuri kuin neliön sivun pituus.
Tasakylkisen kolmion korkeusjanan pituus on yhtä
suuri kuin neliön sivun pituus.
12 m
x
x
Korkeusjana puolittaa kannan. Kannan
x
puolikkaan pituus on .
2
x
Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta
saadaan Pythagoraan lauseella
2
x 
x     12 2
2
x2
2
 144
x 
4
4 x 2  x 2  576
2
5x 2  576
4
:5
x 2  115, 2
x   115, 2  10,7331...
Koska x > 0, niin x  10,733... . m
91
12 m
x
2
Monikulmiot
Neliön ala on
A  10,733... m  10,733... m  115,2 m 2  120 m 2
Vastaus: 120 m2
107. Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa ja ne
puolittavat kulmat.
65º
23 dm
Muodostuu suorakulmainen kolmio, joka tunnettu
65
kulma on
 32,5 .
2
Merkitään neljäkkään toisen lävistäjän puolikasta kirjaimella x ja toisen
puolikasta kirjaimella h.
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan pituus x.
x
 23
23
x  23  sin 32,5
sin 32,5 
32,5º
23 dm
h
x  12,357...( dm)
x
92
Monikulmiot
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan pituus h.
h
 23
23
h  23  cos 32,5
cos 32,5 
h  19, 298... ( dm)
Lävistäjä jakaa neljäkkään (leijan) kahteen tasakylkiseen kolmioon.
Tasakylkisen kolmion korkeus h  19,398… dm ja
kannan pituus on 2 x  2  12,357... dm  24 ,715... dm.
Kolmion ala on
A
24 ,715... dm  19,398...dm
 239,7184... dm 2
2
Koska neljäkäs (leija) sisältää kaksi samanlaista kolmiota, on neljäkkään
ala
A  2  239,7184... dm 2  479,4368... dm 2  480 dm 2
Vastaus: Leijan ala on 480 dm2.
93
Monikulmiot
108. Kolmion ala
A
kanta  korkeus
2
Merkitään kysyttyä kannan pituutta kirjaimella x.
A  57 ( m 2 )
x  18
 57  2
2
18 x  114 : 18
x
114
 6,333...  6,3
18
Vastaus: Kanta on 6,3 m.
109. Kolmion ala A 
kanta  korkeus
2
Merkitään kolmion korkeutta kirjaimella x. Tällöin kannan pituus on 5x.
A  65 (dm 2 )
x  5x
 65
2
5x 2
 65  2
2
5x 2  130 : 5
x 2  26
x   26  5,099...
94
Monikulmiot
Koska x >0, niin x  26 dm  5,099... dm  5,1 dm .
Tällöin 5x  5  26 dm  25,495... dm  25 dm
Vastaus: Kanta on 25 dm ja korkeus 5,1 dm.
110. Merkitään korkeutta kirjaimella x.
Kannan pituus on tällöin x – 5,0
cm.
korkeus
eli kateetti
x
x – 5,0 cm
kanta eli kateetti
Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat samat kuin kolmion kanta ja
korkeus.
A  33 ( cm 2 )
x  5,0 x
 33  2
2
x 2  5,0x  66
x 2  5,0x  66  0
x
5,0 
 5,0 2  4  1   66
2
5,0  289
2
5,0  17

2

95
Monikulmiot
x
5,0  17
5,0  17
 11 tai x 
 6
2
2
Koska x > 0, niin x  11 (cm).
Tällöin lyhyempi kateetti on x  5,0  11  5,0  6,0 (cm).
Vastaus: Kateetit ovat 6,0 cm ja 11 cm.
111. Olkoot sivujen pituudet x ja y.
Piirin pituus on
2 x  2 y  26 (cm).
x
Ala on
y
xy  40 (cm2)
Ratkaistaan ensimmäisestä yhtälöstä toinen kirjan ja sijoitetaan se
jälkimmäiseen yhtälöön.
2 x  26  2 y
:2
x  13  y
Sijoitetaan tämä jälkimmäiseen yhtälöön, jolloin saadaan
96
Monikulmiot
13  y  y  40
13 y  y 2  40
 y 2  13 y  40  0
 13  132  4   1   40 
y
2
 13  9

2
y
 13  3
 13  3
8
 5 tai y 
2
2
Jos y = 5 (cm), niin x = 13 – y = 13 – 5 = 8 (cm)
Jos y = 8 (cm), niin x = 13 – 8 = 5 (cm).
Vastaus: Sivut ovat 5,0 cm ja 8,0 cm.
97
Monikulmiot
10,0 cm  7,0 cm
 1,5 cm
2
112. AB = 10,0 cm
DC = 7,0 cm
AD = BC = 4,1 cm
B
E
A
h
Merkitään puolisuunnikkaan
korkeutta kirjaimella h.
D
7,0 cm
C
Tasakylkisen puolisuunnikkaan korkeusjana rajaa puolisuunnikkaan
sisään suorakulmaisen kolmion, jonka kateettien pituudet ovat h ja 1,5
cm. Hypotenuusan pituus on puolisuunnikkaan kyljen pituus eli 4,1 cm.
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan ratkaistua h Pythagoraan lauseella
h 2  1,5 2  4 ,12
h 2  4 ,12  1,5 2
h 2  14 ,56
h   14 ,56  3,8157...
Koska h >0, niin h = 3,8157… (cm).
3,8157... cm  (10,0 cm  7,0 cm)
2
 32,43393... cm 2
A
 32,4 cm 2
Vastaus: 32,4 cm2
98
Monikulmiot
113. Merkitään puolisuunnikkaan toisen yhdensuuntaisen
sivun pituutta kirjaimella x.
x+2m
Toisen sivun pituus on tällöin x + 2 m
Puolisuunnikkaan korkeus on 6m.
x
Ala on 24 m2, joten saadaan yhtälö
6x  2  x 
 24
2
62 x  2   48
12x  12  48
12x  36
6m
2
: 12
x 3
Sivujen pituudet ovat siis x = 3 m ja x + 2 m=3 m + 2 m=5 m
Vastaus: Sivut ovat 3 m ja 5 m.
99
Monikulmiot
114. Lasketaan suunnikkaan korkeus h, kun tiedetään,
että ala on 96.
12h  96
10
h
: 12
96
12
h 8
h
12
Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta
saadaan
8
10
  36,869...
cos 
β 8
10
α
8
10
  53,130...
sin 
Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat aina yhtä suuret.
Kaksi suunnikkaan vastakkaista kulmaa ovat suuruudeltaan
α = 53,130…° ≈ 53°
Toiset kaksi vastakkaista kulmaa ovat
90    90  36,869...  126,869...  127
Vastaus: Kaksi vastakkaista kulmaa 53° ja toiset kaksi vastakkaista
kulmaa
127°.
100
Monikulmiot
D
a
x
C
4a
x
45°
A
a
B
x
E
Merkitään puolisuunnikkaan korkeutta kirjaimella x.
Koska kulma A on 90°, niin kulma D on 90°. Koska kulma B on 45°,
suorakulmainen kolmio EBC on tasakylkinen, joten jana EB = x.
x 2  a  x 2  4 a 2
x 2  a 2  2ax  x 2  16a 2
2 x 2  2ax  15a 2  0
x
 2a 
2a 2  4  2   15a 2 
22
 2a  4 a 2  120a 2

4
 2a  124 a 2
=
4
101
Monikulmiot
 2a  4 a 2  31
x
4
 2a  2a 31

4
2a  1  31 a  1  31


4
2
Koska x >0, niin x 
a  1  31 
31  1
a

2
2
Puolisuunnikkaan ala on nelikulmion AECD ala + kolmion EBC ala.
1
A  ax  x 2
2
2
 31  1 
1  31  1 
a  
a 
 a 
2
2
2




 31  1  2 1  31  2 31  1  2
a
a  
 
2
2
4




 2 ) 31  1  2  32  2 31 ( 2  2
a  
a
 
2 
8



 2 31  2  2  16  31  2
a  
a
 
4
4




2 31  2  16  31 2
a
4
14  31 2
a

4

Vastaus: Ala on
14  31 2
a  4 ,9a 2 .
4
102
Monikulmiot
116. Suuremman kolmion kateettien pituudet ovat 1,9 km ja 900 m = 0,9 km.
Koko maapalan (suuremman kolmion) ala on
Akoko 
1,9 km  0,9 km
 0,855 km 2 .
2
Väinön saama osuus on pienempi kolmio, jonka kateettien pituudet ovat
300 m = 0,3 km ja 500 m = 0,5 km.
Väinön saaman alueen ala on
A Väinö 
0,5 km  0,3 km
 0,075 km 2 .
2
Pekan ala on siis
Akoko  A Väinö  0,855 km 2  0,075km 2
 0,78 km 2
Väinön alan suhde Pekan alaan on
A Väinö 0,075 km 2

 0,09615...
A Pekka
0,78 km 2
Väinön osuus on siis pienempi
(100 – 9,615…) % = 90,3846…% ≈ 90 %.
Vastaus: 90 %
103
Monikulmiot
117. a) Suunnikkaan pinta-ala on A  7,0 cm  6,0 cm  42 cm 2
b) Puolisuunnikkaan pinta-ala on
4 ,0 cm(8,0 cm  10,0 cm)
2
4 ,0 cm  18,0 cm

2
 36 cm 2
A
Vastaus: a) 42 cm2
b) 36 cm2
118. Merkitään kolmion korkeutta
kirjaimella h.
2,6 cm
Lasketaan korkeus muodostuneesta
h
35º
5,8cm
h
 2 ,6
2,6
h  2,6  sin 35
h  1,491... ( cm)
sin 35 
Pinta-ala on siis
A
5,8 cm  1,419... cm
 4 ,3247... cm 2  4 ,3 cm 2
2
Vastaus: 4,3 cm2
104
Monikulmiot
119. Merkitään kolmion korkeutta kirjaimella x.
x
Tällöin kannan pituus on .
2
x
Kolmion ala on 27,0 cm2, joten saadaan
x
2
x
2  27,0
x
2
2
x
 54 ,0  2
2
x 2  108,0
x
x   108,0  10,3923...
Koska x >0, niin x = 10,3923… (cm)
Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan.
x
x
Kannan puolikas on 2  .
2 4
Korkeusjanan jakaa tasakylkisen kolmion kahteen
suorakulmaiseen kolmioon.
Jos x  108,0  10,3923... (cm) , niin
x
c
x
4
108,0
x

 2,598076... (cm)
4
4
Lasketaan kolmion hypotenuusa c, joka on sama kuin alkuperäisen
kolmion kyljen pituus.
105
Monikulmiot
Pythagoraan lauseella saadaan suorakulmaisesta kolmiosta
x 
c  x  
4
2
2
2
c 2  10,3923...2  2,598076...2
c 2  108  6,75
c   114 ,75  10,7121...
Koska c > 0, niin c = 10,7121… (cm)
Kylkien pituudet siis ovat c = 10,7121… cm ≈ 10,7 cm.
Kannan pituus on
108,0 cm
x

 5,19615... cm  5,20 cm .
2
2
Vastaus: Kanta on 5,20 cm ja kyljet 10,7 cm.
106
Monikulmiot
120. Merkitään korkeutta kirjaimella x (m).
Tällöin kantaa kuvaa lauseke x – 6,0 (m).
2
Suorakulmion pinta-ala on 216 m , joten saadaan yhtälö
( x  6,0 )x  216
x 2  6,0 x  216  0
x
x
x
x
6,0  ( 6,0 )2  4  1  ( 216 )

2
6,0  900

2
6,0  30

2
 18,0 tai x  12,0
Koska x > 0, niin x = 18 m
Jos x = 18,0 m, niin x – 6,0 m = 18,0 m – 6,0 m =12 m.
Vastaus: Sivut ovat 18 m ja 12 m.
107
x
x – 6,0
Monikulmiot
121. Olkoon neliön muotoisen tontin sivun pituus a.
a
a
Talon pidempi sivu on tällöin ja lyhyempi
2
3
Talon pohja pinta-ala (suorakulmion ala) on
a a a2
A   .
2 3 6
Pihan ala on tällöin
A piha  Akoko tontti  Atalo
a2 5 2
a   a
6 6
2
Pihan ala on 400 m2, joten
5 2
a  400  6
6
5a 2  2400 : 5
a 2  480
Koska neliön muotoisen tontin sivun pituus oli a, niin tontin ala on siis
a2=480 (m2)
Vastaus: Tontin ala on 480 m2.
108
Ympyrä
2.1 Kehän pituus ja ala
122. a) p  2  r  2  2,4 mm  15,0796...mm  15 mm
b) p    d    15 cm  47,12...cm  47 cm
c) p  2  r  2  4 x  8x
123. a) 2r  p
p
r
2
: 2
Kun p= 86 m, niin r 
b) r 
86 m
 13,687... m  14 m
2
p
2
Kun p = 1,5 cm, niin r 
1,5 cm
 0, 2387...cm  0,24 cm
2
109
Ympyrä
x
124. a) Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tämä
on sama kuin ympyrän halkaisija.
Pythagoraan lauseella
6,4 m
x 2  x 2  6, 4 2
2 x 2  40,96
:2
x 2  20,48
x   20,48  4 ,52548...
Koska x > 0, niin x=4,52548… (m)
Ympyrän kehän pituus on siis
p    4 ,52548... m  14 , 2... m  14 m
b) Koska kolmio on tasasivuinen, on sen
kulmat 60°. Korkeusjana puolittaa kannan ja
huippukulman.
12 cm
24 cm
r
110
Ympyrä
Merkitään ympyrän säteen pituutta kirjaimella r.
saadaan
r
 12
12
r  12  tan 30
r  6,928... ( cm)
tan 30 
Ympyrän kehän pituus on siis
p  2  6,928... cm  43,531... cm  44 cm
Vastaus: a) 14 m
b) 44 cm
111
12
30°
r
Ympyrä
125. Merkitään napakympin sädettä
kirjaimella x.
Napakympin halkaisija on siis 2x.
Tikkataulun säde on r  9  1,2  x .
Ulkoreunan pituus on 74,1 cm,
joten saadaan yhtälö
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2r  74 ,1
2 ( 9  1, 2  x )  74 ,1
2 (10,8  x )  74 ,1
21,6  2x  74 ,1
2x  74 ,1  21,6
2x 
74 ,1  21,6

:
 1,986...  2,0
Vastaus: Napakympin halkaisija on 2,0 cm.
112
Ympyrä
126. Päädyissä olevat puoliympyrät
muodostava yhdessä kokonaisen
ympyrän, jonka piirin pituus on p    d .
d
d
d
Keskellä oleva ”neliö” vie hihnaa 2d.
d
Koska hihnan pituus on 2,8 m, niin saadaan siis yhtälö
  d  2d  2,8
(  2 )d  2,8
d
: (  2 )
2,8
 0,544...  0,54 ( m)
 2
Vastaus: Telan pohjaympyrän halkaisija on 0,54 m.
127. Merkitään Satelliitti A:n radan
säteen pituutta kirjaimella x ja
satelliittien korkeuseroa
kirjaimella h.
Maa
Satelliitti B:n radan säteen pituus
on siis x + h.
Satelliitti A
Satelliitti B
Satelliitti B:n radan pituus on
p B  2 ( x  h ) .
Satelliitti A:n radan pituus on p A  2x
113
Ympyrä
Ratojen ero on 150 km, joten saadaan yhtälö
pB  p A  2 ( x  h )  2x  150
2x  2h  2x  150
2h  150 : 2
h
150
 23,87...  24 ( km)
2
Vastaus: Korkeusero on 24 km.
128. Merkitään ikkunan leveyttä eli ikkunan yllä olevan
puoliympyrän halkaisijan pituutta kirjaimella
x
x. Puoliympyrän säde on siis .
2
x
2
x
Ikkunan korkeus on kaksi kertaa niin suuri kuin
leveys eli 2x.
Ikkunan piirin pituus on 6,2 m, joten
x
 6, 2
2
x
5x 
 6, 2  2
2
10x  x  12,4
x  2x  2x   
(10   )x  12,4
x
114
: (10   )
12,4
 0,9435... ( m)
10  
Ympyrä
Ikkunan leveys on siis x = 0,9435… m ≈ 0,94 m.
Ikkunan korkeus on
2x 
0,9435... m
x
 2  0,9435... m 
 2,3589... m  2,4 m
2
2
Vastaus: Ikkunan leveys on 94 cm ja korkeus 2,4 m.
ylhäältä
sivulta
60 cm
60 cm
r
60 cm
r
Ympyrän kehän pituus on sama kuin vyötärön mitta 60 cm.
2r  60
r
: 2
60
 9,549... ( cm)
2
115
Ympyrä
Ulomman ympyrärenkaan säde on
r  60 cm  69,549... cm .
Ympyrärenkaan saa leikatuksi kankaasta, jonka leveys
on vähintään sama kuin ulomman ympyrän halkaisija
2  69,549... cm  139,098... cm  140 cm
Kankaan leveyden pitää olla siis vähintään 140 cm.
Vastaus: 140 cm
130. Ympyrän pinta-ala A  r 2 .
a) A    42 mm 2  5541,7... mm 2  5500 mm 2  55 cm 2
3,1 m
 1,55 m
2
A    1,55 m 2  7,547...m 2  7,5 m 2
b) r 
c) A    5a 2  25a 2  78,53...a 2 
Vastaus: a) 55 cm2
b) 7,5 m2
116
c) 25 a2
r
60 cm
Ympyrä
131. Ympyrän ala on A  r 2 .
12 m
 6m.
2
A    ( 6 m)2  113,097... m 2  110 m 2
a) Halkaisija d= 12 m eli säde r =
b) Kehän pituus p= 2r  150 cm, joten
2r  150 : 2
r
150
 23,873...
2
Pinta-ala A    ( 23,873... cm)2  1790,493... cm 2  0, 2 m 2
Vastaus: a) 110 m2
b) 0,2 m2
132. Lasketaan pinta-alan avulla säteen pituus. A  r 2
a) Pinta-ala on 144 mm2 eli
r 2  144 |: 
r2 
144

r 
144

r  6,770...  6,77 mm 
117
Ympyrä
b) 16 ha = 1600 a = 160000 m2
r 2  160000 |: 
r2 
160000
r 

160000

r  115,67...  230 m 
Vastaus: a) 6,77 mm
b) 230 m
133. Merkitään pöydän kannen sädettä kirjaimella r.
Levyn leveys on siis 2r ja pituus 4r.
Yhden kannen eli ympyrän ala on 2,0 m2 eli
r
2r
r 2  2,0 : 
r2 
2,0
4r

r 
2,0

 0,79788... ( m)
Koska r >0, niin r = 0,79788… m
118
Ympyrä
Pöydän kansien eli kahden ympyrän ala on
A pöydät  2  r 2  2  2 m 2  4 m 2 .
Levyn ala on
Alevy  4r  2r  8r 2  8  0,79788... m 2  5,0929... m 2
Hukkaan mennyt ala on
A  Alevy  A pöydät  5,0929... m 2  4 m 2  1,0929... m 2 ≈1,1 m2
Hukkaan mennyt ala prosentteina
1,0929... m 2
A

 0,2146...  21,46...%  21%
2
Alevy 5,0929... m
Vastaus: 1,1 m2 eli 21 %
119
Ympyrä
134. Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r.
r
Suorakulmion sivut ovat tällöin 2r ja 4r.
4r
Asuorakulmio  2r  4 r  8r 2
A ympyrät  2  r 2
Ympyröiden ala on suorakulmion alasta prosentteina
Aympyrät
Asuorakulmio

1
2r
2  

  0,785...  79 %
8r 2
8
4
2
4
Vastaus: Ympyröiden ala on 79 % suorakulmion alasta.
120
2r
Ympyrä
135. Hallin halkaisija d = 160 m, joten hallin säde r 
160 m
 80 m .
2
Koko hallin pinta-ala A    80 m 2  20106,19...m 2
10 % kuluu ajoreittiehin, joten pysäköintitilaa on 90 % hallin
pinta-alasta eli
Apysäköinti  0,9  A  0,9  20106,19... m 2  18095,57...m 2
Yksi auto vie tilaa 6,0 m2, joten halliin mahtuu autoja
A pysäköinti
6,0 m 2
18095,57...m 2

 3015,92...kpl 
2
6,0 m
Vastaus: Autoja mahtuu 3016 kpl.
121
Ympyrä
136. Ympyrän halkaisija on 12 cm, joten ympyrän säde r 
12 cm
 6 cm .
2
1
Apuoliympyrät  2  r 2    6 cm 2  113,097...cm 2
2
Aneliö  12 cm  12 cm  144 cm 2
Tapa 1:
Lasketaan kuinka monta prosenttia puoliympyröiden ala on neliön alasta.
Apuoliympyrät
Aneliö
113,097...cm 2

 0,7853...  78,53...%
144 cm 2
Väritetty ala on neliön alasta prosentteina
100 % – 78,53… % = 21,46…% ≈ 21 %
Tapa 2:
Lasketaan ensin väritetyn alueen pinta-ala.
A väritetty  Aneliö  A puoliympyrät
 144 cm 2  133,097...cm 2
 30,902...cm 2
122
Ympyrä
Väritetty ala on neliön alasta prosentteina
A väritetty
A neliö
30,902...cm 2

 0, 2146...  21 %
2
144 cm
Vastaus: 21%
137. Piirretään tilannekuva. Nosturin
saavuttama alue koostuu
suorakulmiosta ja sen päissä olevista
puoliympyröistä.
20 m
40 m
kiskot
30 m
Suorakulmion ala
A1  30 m  40 m  1200 m 2
Puoliympyröiden ala
1
A2  2    20 m 2    20 m 2  1256,63...m 2
2
Nosturin saavuttama alue
A1  A2  1200 m 2  1256,63...m 2  2456,6...m 2  2460 m 2
Vastaus: 2460 m2
123
20 m
Ympyrä
138. Merkitään ympyrän säteen pituutta kirjaimella r.
Säännöllinen viisikulmio voidaan jakaa viiteen tasakylkiseen kolmioon,
360
joiden huippukulman suuruus on
 72 . Kolmion korkeus on
5
ympyrän säde r. Korkeusjana puolittaa kolmion huippukulman ja kannan.
10 cm
72
Huippukulman puolikas on
 36 ja kannan puolikas
 5 cm .
2
2
72°
r
72°
5 cm
r
10 cm
10 cm
Korkeusjana r jakaa tasakylkisen kolmion kahteen suorakulmaiseen
kolmioon.
5
r
r
r  tan 36  5 : tan 36
tan 36 
r
r
36°
5 cm
5
 6,8819... ( cm)
tan 36
124
Ympyrä
a) Ympyrän kehän pituus on siis
p  2r  2  6,8819... cm  43, 240... cm  43 cm
b) Ympyrän pinta-ala on siis
A    r 2    ( 6,8819... cm)2  148,78... cm 2  1 dm 2
b) 1 dm2
Vastaus: a) 43 cm
139. a) Ympyrän säde r = 5,7 cm
Kehän pituus p  2r  2  5,7 cm  35,8141... cm  35,8 cm
Pinta-ala on A  r 2    ( 5,7 cm)2  102,070... cm 2  102 cm 2
b) Ympyrän halkaisija d = 18,3 cm, joten säde r 
18,3
cm  9,15 cm
2
Kehän pituus p  2r  2  9,15 cm  57,4911... cm  57,5 cm
Pinta-ala on A  r 2    ( 9,15 cm)2  263,021... cm 2  263 cm 2
Vastaus: a) 35,8 cm, 102 cm2
b) 57,5 cm, 263 cm2
125
Ympyrä
140. Merkitään lammen säteen pituutta kirjaimella r. Maikki ui matkan, joka
on lammen halkaisija d= 2r.
Lammen ympärysmitta on 6,4 km, joten saadaan
2r  6,4
2r 
:
6,4

2r  d  2,03718 ...( m)
Uintinopeus on 3,5 km/h, joten aikaa Maikilta kuluu
2,03718...
t
3,5 t  2,03718...
3,5 
t
t
nopeus 
: 3,5
2,03718...
 0,582052 ... ( h )
3,5
Aika minuutteina on
0,582052...  60 min  34,923... min  35 min
Vastaus: 35 min
126
matka
aika
Ympyrä
141. Neliön ala Aneliö  68 cm 2
Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella
x ja ympyrän sädettä kirjaimella r.
x
r
Ratkaistaan neliön sivun pituus neliön alan avulla.
x 2  68
x   68
x  8, 246... ( cm )
Kuvion mukaan ympyrän säde r on puolet neliön sivun pituudesta eli
r
x
68

 4 ,123... ( cm)
2
2
Ympyrän ala on siis
Aympyrä  r 2    4 ,123... cm 2  53,407... cm 2
Valkoiseksi jäävä pinta-ala saadaan, kun neliön pinta-alasta vähennetään
ympyrän pinta-ala.
A valkoinen  Aneliö  A ympyrä
 68 cm 2  53,407... cm 2
 14 ,592... cm 2
 15 cm 2
Vastaus: 15 cm2
127
Ympyrä
142. Piirretään mallikuva.
Konserttitalon pohja on
ympyrän muotoinen.
340 m
Ympyrän säde
r
125 m
125 m
125 m
 62,5 m
2
Suorakulmion eli tontin ala
Asuorakulmio  125 m  340 m  42500 m 2
Ympyrän eli konserttitalon pohjan ala
Aympyrä    62,5 m 2  12271,84...m 2
Tapa 1:
Lasketaan, paljonko ympyrän ala on suorakulmion alasta prosentteina.
Aympyrä
Asuorakulmio

  62,5 m 2
42500 m 2
 0,2887...  28,87...%
Käyttämättä jää 100 % – 28,87…% = 71,12 % ≈ 71 %
128
Ympyrä
Tapa 2:
Lasketaan, kuinka paljon tontista jää käyttämättä.
Akäyttämättä  Asuorakulmio  A ympyrä
 42500 m 2    62,5 m 2
 30228,153...m 2
Käyttämättä jäänyt ala koko tontin alasta prosentteina on
Akäyttämättä
Asuorakulmio
30228,153...m 2

 0,7112...  71,12...%  71%
42500 m 2
Vastaus: 71%
143. Puoliympyrän säde on x. Kentän pituus leveimmällä kohdalla on siis 6x.
Kentän suoran osuuden pituus on siis 6x – 2x = 4x.
Radan pituus on 357 m, joten saadaan yhtälö
2x  4 x  4 x  357
( 2  8 )x  357
x
357
 24 ,9944...( m)
( 2  8 )
129
Ympyrä
Suoran osuuden pituus on siis
4 x  4  24 ,9944... m  99,977... m  100 m
Vastaus: 100 m
130
Ympyrä
2.2 Sektori ja segmentti
144. a) b 
b) b 
52
 2  3,5 m  3,176... m  3,2 m
360
48
 2  1,3 cm  1,08908... cm  1,1 cm
360
145. a) A 
b) A 
58
   9,1 m 2  41,91... m 2  42 m 2
360
142
   78 mm 2  7539,19...mm 2  7500 mm 2  75 cm 2
360
146. Sektorin keskuskulma   130 . Ympyrän säde r  26 cm .
130
a) b 
 2  26 cm  58,9921... cm  59 cm
360
b) A 
130
   26 cm 2  766,897... cm 2  770 cm 2
360
131
Ympyrä
147. Kaaren pituus b = 114 mm. Sektorin kaaren pituus ja keskuskulma ovat
suoraan verrannolliset.
Keskuskulma (°)
Kaaren pituus (mm)
114
2  87

360
Saadaan yhtälö

114
360 2  87
  2  87  360  114

:2  87
360  114
2  87
  75,077...  75

Vastaus: 75°
148. Suotuisia sektoreita on neljä, joista kunkin keskuskulma on 15°.
Lasketaan 4· 15°= 60° keskuskulmaa vastaavan kaaren pituus, kun säde
1,5 m
on r 
 0,75 m .
2
Väritettyjen sektoreiden kaarien pituudet yhteensä ovat siis
b
60
 2  0,75 m  0,785... m  0,79 m
360
Vastaus: 79 cm
132
Ympyrä
149. Tapa 1: Lasketaan ensin ympyrän säde r.
Sektorin keskuskulma on   60 ja kaaren pituus b  125 mm .
60
 2  r  125  360
360
60  2  r  45000 : 60  2 
r
45000
 119,366...
60  2
Ympyrän kehän pituus on p  2  119,366... mm  750 mm
Tapa 2:
Koko kehää vastaava keskuskulma on 360°. Tiedetään, että 60°
keskuskulmaa vastaava kaari on 125 mm. Tämä on kuudesosa koko
ympyrästä, joten koko ympyrän kehän pituus siis on
p  6  125 mm  750 mm .
Vastaus: 750 mm
133
Ympyrä
150. Ympyrän sektorin kaaren pituus b  r . Merkitään kysyttyä
keskuskulman suuruutta  .

 2r  360
360
r  360    2r : 2r 
r
r  360 360


(  57,2957...  57 )
2r
2
Vastaus:  
360
 57
2
151. Sektorin alan kaava on
As 

360
 r 2 

360
 A ympyrä
Tapa 1:
Sektorin keskuskulma   14 ja ala As  10,6 m 2 .Sijoitetaan annetut
arvot sektorin alan laskukaavaan ja ratkaistaan ympyrän ala.

 Aympyrä  As
360
14
 Aympyrä  10,6 |360
360
14  Aympyrä  3816 |: 14
Aympyrä 
3816
 272,57...  273 m 2 
14
134
Ympyrä
Tapa 2:
Sektorin keskuskulma ja pinta-ala ovat suoraan verrannolliset.
Keskuskulma (°)
14°
360°
Pinta-ala (m2)
10,6
A
Saadaan verranto
14 10,6

A
360
14  A  10,6  360 |: 14
10,6  360
A
 272,57...  273 m 2 
14
Vastaus: koko ympyrän ala on 273 m2.
135
Ympyrä
152. Sektorin alan kaava on
As 

360

 r 2 
360
 A ympyrä
Tapa 1:
Sektorin pinta-ala on As  5,25 cm 2 ja ympyrän ala on Aympyrä  32 cm 2 .
Sijoitetaan annetut arvot sektorin alan kaavaan ja ratkaistaan
keskuskulma.

360
 Aympyrä  As

360
 32  5,25
|360
  32  1890 |: 32

1890
 59,06...  59
32
Tapa 2
Keskuskulma (°)
α
360°
Pinta-ala (cm2)
5,25
32
Saadaan verranto

5,25
360 32
32    5,25  360 |: 32
5,25  360

 59,06...  59
32

Vastaus: Keskuskulma on 59°.
136
Ympyrä
153. Ympyrän säde r  53 cm . Ympyrän sektorin kaaren pituus on
b  65 cm .
a) Merkitään sektorin keskuskulmaa kirjaimella  .
Sektorin kaaren pituus lasketaan kaavalla
b

360
 2r
Sijoitetaan annetut lähtöarvot kaavaan. (Säde ja kaaren pituus ovat
samassa yksikössä.)

 2  53  360
360
65  360    2  53 : 2  53
65 

65  360
 70, 268...  70
2  53
b) Sektorin ala lasketaan kaavalla
As 

360
 r 2
Sijoitetaan laskettu keskuskulman arvo   70,268... sekä ympyrän säde
r =65 cm kaavaan.
As 
Vastaus: a) 70°
70, 268...
  53 cm 2  1722,5 cm 2  1700 cm 2
360
b) 1700 cm2
137
Ympyrä
154. Koko ympyrän muotoisen kankaan ala on
A ympyrä    28 cm 2  2463,008...cm 2 .
Kankaasta valmistetaan 10 kpl sektorin muotoisia viuhkoja, jolloin
kangasta jää yli 68 cm2. Viuhkojen pinta-ala yhteensä on siis 68 cm2
pienempi kuin koko kankaan ala eli
A viuhkat  A ympyrä  68 cm 2
 2463,008 cm 2  68 cm 2
 2395,008... cm 2
Yhden viuhkan ala on
Aviuhkat 2395,008...cm 2
A

 239,5... cm 2  240 cm 2
10
10
”Viuhkasektorin” keskuskulma voidaan ratkaista kahdella tavalla.
138
Ympyrä
Tapa 1:
Ratkaistaan keskuskulma sektorin alan kaavan avulla.


360
360
 Aympyrä  As
 2463,008...  239,5...  360
  2463,008...  239,5...  360 : 2463,008...

239,5...  360
 35,00...  35
2463,008...
Tapa 2:
Keskuskulma (°)
α
360°
Pinta-ala (cm2)
239,5…
2463,008…
Saadaan verranto

239,5...
360 2463,008...
2463,008...    239,5...  360 |: 2463,008...
239,5...  360

 35,0...  35
2463,008...

Vastaus: Yhden viuhkan pinta-ala on 240 cm2. Yhden viuhkan
keskuskulma on 35°.
139
Ympyrä
155. Tikkataulu on ympyrä, jonka säde r = 22 cm. Numeron 20 osuma-alue
on sektori, jonka keskuskulma on 18°.
Koko sektorin pinta-ala on
Akoko sektori 
18
   ( 22cm)2  76,0265... cm 2
360
Tuplapisteet eli 40 pistettä saa tämän sektorin ulkokehältä, jonka leveys
on 1,2 cm.
Lasketaan sen sektorin osan ala, jonka säde on
r = 22 cm – 1,2 cm = 20,8 cm.
Aosa sektorista 
18
   ( 20,8 cm)2  67,9589... cm 2
360
Tuplapisteet eli 40 pistettä saa siis alueelta, jonka ala on
A40 pietettä  Akoko sektori  Aosa sektorista
 76,0265... cm 2  67,9589... cm 2
 8,0676... cm 2
 8,1 cm 2
Vastaus: 8,1 cm2
140
22 cm
21,8 cm
Ympyrä
156. Tehdään kuvaan apumerkintöjä.
Suorakulmaisesta kolmiosta ABC saadaan
r
1

2r 2
  26,565...  26,57
tan  
E
l
β
A
r
r
r
γ
α
B
D
r
Kolmio ADE on tasakylkinen, koska kylkinä ovat ympyrän säteet r, joten
  180  2   180  2  26,565...  126,869...
  180    180  126,869...  53,130...
Lävistäjä l jakaa ympyrän kehän keskuskulmien α ja γ suhteessa
 53,130...

 0,41877...  0,419
 126,869...
Vastaus: 0,419
141
C
Ympyrä
157. Piirretään kuvio tilanteesta.
k1
1
1
l1
k4
90
k2
1
30°
30°
90
1
1
360°-180°-30°=150°
1
l2
k3
Toimitsijan reitti koostuu seuraavista osista:
Jana l1, pituus 90,
2 
1
Kaari k1, pituus  2  1 
 ,
4
2
4
30

Kaari k2, pituus
 2  91  91  ,
360
6
Kaari k3, pituus sama kuin kaarella k1 eli
Jana l2, pituus 90,
5
150
Kaari k4, pituus
 2  1   .
6
360

2
,
Koko reitin pituus on siis
2  90  2 

2

91
5
91 5
    180  (1   )  180  17  233
6
6
6 6
Vastaus: Reitin pituus on 233 m.
142
Ympyrä
158. Kuvaan merkitty jänne ja ympyrän säteet rajaavat tasakylkisen kolmion.
Kolmion korkeusjana puolittaa huippukulman ja jänteen.
a) Merkitään jänteen pituutta 2x.

x
34
 17
2
x
64 mm
34°
α
64 mm
Lasketaan pituus x muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta.
x
64
x
 64
sin 17 
64
x  64  sin 17  18,7117...
sin  
Jänteen pituus on 2 x  2  18,7117... mm  37,4235... mm  37 mm
143
Ympyrä
b) Merkitään jänteen pituutta 2x.
Tasakylkisen kolmion huippukulma on
360  190  170 .
x
170°

6,0 cm
α
x
6,0 cm
170
 85
2
Lasketaan pituus x muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta.
x
6, 0
x
sin 85 
 6,0
6, 0
x  6,0  sin 85  5,9771...
sin  
Jänteen pituus on 2 x  2  5,9771... cm  11,954... cm  12 cm
Vastaus: a) 37 mm
b) 12 cm
144
Ympyrä
Lasketaan ensin kuinka suurta
keskuskulmaa α vastaa 68 m, että
tiedetään tarkkailijoiden (Veera ja Ville)
sijainti.
Veera
68 m
r
α
reitti suoraan
Ville
Sektorin keskuskulma ja kaaren pituus
ovat suoraan verrannolliset.
Keskuskulma (°)
α
360°
Kaari (m)
68
200
Saadaan verranto

68
360 200
200  24480


: 200
24480
 122,4
200
Merkitään luistinradan sädettä kirjaimella r. Tiedetään, että koko radan
ympärysmitta on 200 m. Lasketaan säteen pituus.
2r  200
r
: 2
200
 31,83... ( m)
2
145
Ympyrä
Suoraan menevä reitti on muodostuvan tasakylkisen kolmion kanta.
Kolmion kyljet ovat radan säteet r = 31,83… m ja huippukulma 122,4°.
Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman.
Merkitään kannan puolikasta kirjaimella x.
122,4
 61, 2
2
61,2°
31,83… m
x
Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan.
x
 31,83...
31,83...
x  sin 61, 2  31,83...
sin 61, 2 
 27,8937...
Suoran reitin pituus on siis 2 x  2  27,8937... m  55,787... m
Lasketaan, kuinka paljon suora reitti on lyhyempi.
68 m – 55,787… m = 12,213… m≈12 m
Vastaus: 12 m lyhyempi
146
Ympyrä
160. Lasketaan ensin tasasivuisen kolmion pinta-ala. Kolmion kaikki kulmat
ovat 60°. Jaetaan kolmio korkeusjanalla h kahdeksi suorakulmaiseksi
kolmioksi.
60°
6,2 cm
6,2 cm
h
60°
60°
h
6,2 cm
60°
6,2 cm
Ratkaistaan suorakulmaisesta kolmiosta korkeus h.
h
| 6,2
6,2
6,2  sin 60  h
sin 60 
h  6,2 sin 60
Lasketaan tasasivuisen kolmion ala.
Akolmio 
6,2 cm  6,2 cm  sin 60
 16,645... cm 2
2
147
Ympyrä
Lasketaan sektorin ala. Sektorin keskuskulmana on tasasivuisen kolmion
huippukulma, 60°.
Asektori 
60
   6,2 cm 2  20,127... cm 2
360
Koska sektorin keskuskulma on alle 180°, segmentin ala saadaan
vähennyslaskulla.
Asegmentti  Asektori  Akolmio
 20,127... cm 2  16,645... cm 2
 3,482... cm 2
 3,5 cm 2
Vastaus: 3,5 cm2
148
Ympyrä
161. Piirretään tilannekuva. Sektorin keskuskulma
on 100° ja säde 6,8 cm. Kaari ja jänne rajaavat
segmentin.
Asegmentti
100°
6,8 cm
Lasketaan ensin muodotuneiden sektorin ja tasakylkisen kolmion
kolmion pinta-alat.
Asektori 
100
   6,8 cm 2  40,352...cm 2
360
Tasakylkisen kolmion kyljet ovat ympyrän
säteet r = 6,8 cm.
Korkeusjana h puolittaa kannan ja
huippukulman. Merkitään kannan puolikasta
kirjaimella x.
100
 50 .
2
100°
6,8 cm
h
x
Kolmion pinta-alan laskemiseksi tarvitaan kanta ja korkeus.
Ratkaistaan x ja h suorakulmaisesta kolmiosta.
x
|6,8
6,8
x  6,8  sin 50 ( cm )
sin 50 
h
6,8 cm
50°
x
149
Ympyrä
h
|6,8
6,8
h  6,8  cos 50 ( cm)
cos 50 
Kolmion ala
xh
 xh
2
 6,8 cm  sin 50  6,8 cm  cos 50  22,768... cm 2
Akolmio  2 
Koska sektorin keskuskulma on alle 180°, saadaan segmentin pinta-ala
vähennyslaskulla.
 40,352... cm 2  22,768... cm 2
 17,583... cm 2
 18 cm 2
Vastaus: 18 cm2
150
Ympyrä
162. Tarkastellaan osaa kuviosta. Neliön sivun
pituus on 5,0 cm.
5,0 cm
A1
Lasketaan ensin kuinka suuri ala A1 jää neliöstä sektorin ulkopuolelle.
Aneliö  5,0 cm  5,0 cm  25 cm 2
Asektori 
90
   5,0 cm 2  19,63...cm 2
360
A1  Aneliö  Asektori  25 cm 2  19,63...cm 2  5,365...cm 2
Kysytty ala A saadaan, kun neliön alasta
vähennetään kaksi väritettyä aluetta.
A  Aneliö  2  A1
 25 cm 2  2  5,365... cm 2
 14 , 269... cm 2  14 cm 2
Vastaus: 14 cm2
151
A1
A
A1
Ympyrä
163. a) säde r = 5,0 cm, keskuskulma α = 32°
Sektorin ala on
As 
32
   5,0 cm 2  6,981...cm 2  7,0 cm 2
360
b) säde r = 6,0 cm, sektorin ala A =24,5 cm2
Sektorin keskuskulma saadaan sektorin pinta-alan kaavalla
A
24 ,5 

360

 r 2
   6 2 |360
360
24 ,5  360      36 |: 36 
24 ,5  360
36
  77,98...  78

152
Ympyrä
c) sektorin keskuskulma α = 132°, sektorin ala A = 30,0 cm2
Ympyrän säde r saadaan sektorin pinta-alan kaavalla
A

 r 2
360
132
30 
 r 2 |360
360
30  360  132  r 2 |: 132 
30  360
r2
132
10800
r2 
132
10800
r 
 5,103...
132
Koska r >0, niin r = 5,103… cm ≈ 5,1 cm.
Vastaus: a) 7,0 cm2
b) 78°
153
d) 5,1 cm
Ympyrä
164. Koska sektorin keskuskulma on 120°, niin se on kolmasosa täydestä
ympyrästä. Sektorin kaaren pituus on 7,8 cm.
a) Koko ympyrän kehän pituus siis on 3  7,8 cm  23,4 cm ≈ 23 cm
b) Ympyrän säde r saadaan kehän pituuden avulla
2r  23,4 cm
r
: 2
23,4 cm
 3,7242... cm  3,7 cm
2
Vastaus: a) 23 cm
b) 3,7 cm
165. Sektorin asteluku on yli 180°, joten segmentin
ala saadaan lisäämällä sektorin alaan kolmion
ala.
230°
Sekrorin ala on
Asektori 
8,0 cm
230
   8,0 cm 2  128,456...cm 2
360
154
Ympyrä
Muodostuva kolmio on tasakylkinen, koska säteet
ovat sen kylkinä.
8,0 cm
230°
360° - 230° = 130°
8,0 cm
8,0 cm
Jaetaan kolmio korkeusjanalla kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi.
Korkeusjana puolittaa huippukulman ja kannan. Huippukulman puolikas
130
on
 65
2
Lasketaan kolmion korkeus h ja kanta x.
h
|8,0
8,0
h  8,0  cos 65
cos 65 
h
8,0 cm
65°
x
x
| 8 , 0
8,0
x  8,0  sin 65
sin 65 
Koko tasakylkisen kolmion ala on
xh
 xh
2
 8,0 cm  sin 65  8,0 cm  cos 65
Akolmio  2 
 24 ,5134... cm 2
155
Ympyrä
Segmentin ala on
Asegmentti  Asektori  Akolmio
 128,456...cm 2  24 ,5134...cm 2
 152,969...cm 2
 150 cm 2
Vastaus: 150 cm2
166. a) Merkitään sektorin keskuskulmaa kirjaimella .
Kuvan mukaan sektorin sisälle muodostuu tasakylkinen kolmio, jonka
huippukulmana on sektorin keskuskulma, kylkinä sektorin säteet (28 cm)
ja kantana jänne.
Korkeusjana jakaa tasakylkisen kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi
kolmioksi, jolloin huippukulma ja kanta puolittuvat. Merkitään
50 cm
 25 cm .
huippukulman puolikasta β. Kanna puolikas on
2
28 cm
α
β
28 cm
25 cm
25 cm
156
Ympyrä
Ratkaistaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta kulma  sinin
avulla.
28 cm
β
25
sin 
28
25 cm
  63,23...
Keskuskulma  = 2 = 2  63,23...  126,468...  130
b) Lasketaan sektorin ala As
As 

r 2
360
126,468...

   28 cm 2  865, 261...cm 2  870 cm 2
360
b) 870 cm2
Vastaus: a) 130
157
Ympyrä
Pöydän ala on väritetyn segmentin ala.
Lasketaan ensin sektorin keskuskulma α.
4,0 m
toimiston pöytä
1,8 m
α
1,8 m
Sektorin kaaren pituus b = 4,0 m ja säde r = 1,8 m, joten keskuskulma
saadaan sektorin kaaren pituuden kaavalla
b

360
 2r

 2  1,8  360
360
4 ,0  360    2  1,8 : 2  1,8 
4 ,0 

4 ,0  360
 127,323...
2  1,8
Pöytä on siis osa sektoria, jonka keskuskulma on 127,323…°.
Lasketaan ensin sektorin ala
As 
127,323...
   (1,8 m )2  3,6 m 2
360
158
Ympyrä
Jänne erottaa sektorista tasakylkisen kolmion, jonka kyljet ovat ympyrän
säteitä r =1,8 m ja huippukulma on α =127,323…°.
Korkeusjana h puolittaa tasakylkisen kolmion kannan ja huippukulman.
127,323...
 63,661... . Merkitään kannan
2
puolikasta x.
voidaan laskea x ja h, joiden avulla saadaan
tasakylkisen kolmion ala.
x
h
1,8 m
63,661…°
x
 1,8
1,8
x  1,8  sin 63,661...
sin 63,661... 
h
 1,8
1,8
h  1,8  sin 63,661...
cos 63,661... 
Tasakylkisen kolmion ala on
xh
 xh
2
 1,8 m  sin 63,661...  1,8 m  cos 63,661...
Akolmio  2 
 1,28825... m 2
159
Ympyrä
Segmentin eli pöydän ala on
 3,6 m 2  1,28825...m 2
 2,3117...m 2
 2,3 m 2
Vastaus: 2,3 m2
160
Ympyrä
2.3 Ympyrän tangentti
168. a) Koska nelikulmion kulmien summa on 360°, niin
  54   180 
  180   54 
54

  126
b) Olkoon  keskuskulman puolikas.
Muodostuvasta suorakulmaisesta
kolmiosta saadaan
13,0 m
6,0 m

tan 
13,0
6,0
6,0 m
13,0 m
  65, 224... 
Keskuskulma on
  2   2  65,224...   130 
Vastaus: a) 126°
b) 130°
161
Ympyrä
169. a) Merkitään kuvaan apukulma  
Lasketaan kulman β suuruus
muodostuneesta suorakulmaisesta
kolmiosta.

2
.
4,3 km


5,6 km
4 ,3
5,6  4 ,3
4 ,3
sin  
9,9
  25,743...  26
sin  
  2   2  25,743...  51,487...  51
b) Merkitään kuvioon apukulma β.
Muodostuneesta suorakulmaisesta
kolmiosta saadaan
25 m
12 m
β
25
tan  
12
  64 ,358...
Koko ympyrän keskuskulman suuruus on 360°, joten
2     360
2  64 ,358...    360
  360  128,717...
  231, 282...  231
Vastaus: a) 51°
b) 231°
162

Ympyrä
170. Ulkopuolisen pisteen etäisyys ympyrän
kehästä on 2 · 3,5 m = 7,0 m.
Piirretään tilannekuva. Merkitään kuvaan
apukulma α, joka on puolet tangenttikulmasta
(tangenttien väliin muodostuva kulma).
7,0 m
α
3,5 m
Ympyrän säde on kohtisuorassa tangenttia vastaan, joten muodostuu
suorakulmainen kolmio, josta saadaan
3,5
3,5  7,0
3,5
sin  
10,5
  19,4712...
sin  
Tangenttikulma on siis 2  2  19,4712...  38,942...  39 .
Vastaus: 39°
163
Ympyrä
171. Symbolin halkaisija on 3,0 m, joten säde on
katsellaan 5,0 m etäisyydeltä.
Piirretään tilannekuva. Merkitään
kuvioon apukulma .
Kulma  on puolet siitä kulmasta,
jossa taideteos näkyy.
3,0 m
 1,5 m. Teosta
2
1,5 m

5,0 m
1,5
5,0  1,5
1,5
sin 
6,5
sin 
  13,342...
Tangenttikulma eli kulma, josta teosta katsellaan on
2  2  13,342...  26,684...  27
Vastaus: 27°
164
Ympyrä
172. Ympyrän säde on 5,0 cm. Ulkopuolisen pisteen etäisyys ympyrän
kehästä on 4,0 cm. Piirretään tilannekuva.
Merkitään apukulma  , joka on puolet
tangentti-kulmasta (tangenttien välinen
kulma).
5,0 cm
5,0 cm
α
5,0
5,0  4 ,0
5,0
sin 
9,0
sin 
  33,748...
Tangenttikulma on siis 2  2  33,748...  67,497...  67
Vastaus: 67°
165
4,0 cm
Ympyrä
173. Etäisyys maan pinnalta kuun pinnalle on
384400 km – 6378 km – 1738 km= 376284 km
Merkitään kuvaan apukulma , joka on
puolet kysytystä tangenttikulmasta.
6378 km
α 376284 km
kolmiosta saadaan
1738 km
6378
6378  376284
6378
sin 
382662
  0,9550...
sin 
Kysytty kulma on siis 2  2  0,9550...  1,9100...  1,91
Vastaus: 1,91°
166
Ympyrä
Merkitään ympyrän keskipisteen ja
pisteen P välistä etäisyyttä x.
Merkitään kuvaa apukulma α, joka on
puolet tangenttikulmasta eli
48

 24
2
4,0 cm
4,0 cm
x
α
4 ,0
x
4 ,0
sin 24  
x
4 ,0
 9,834...
x
sin 24 
sin 
Pisteen P etäisyys ympyrän kehästä on siis
9,834…cm – 4,0 cm = 5,834…cm  5,8 cm.
Vastaus: 5,8 cm
167
P
Ympyrä
175. a) R = 6370 km
x
R
10 km
kolmiosta saadaan Pythagoraan lauseella
x 2  6370 2  6370  10 2
x 2  127500
x   1227500  357,07...
Koska x > 0, niin x = 357,07… km ≈ 360 km.
b) R = 6370 km
Merkitään kuvaan etäisyys y = x + R.
Tällöin muodostuneesta
suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
R
y
y 2  6000 2  6370 2
x
y   76576900
y  8750,822...
Koska y > 0, niin y = 8750,822… km.
168
6000 km
Ympyrä
Etäisyys x on siis
y – R = 8750,822… km – 6370 km =2380,82… km  2380 km.
Vastaus: a) 360 km
b) 2380 km
176. Ympyrän säde r = 2,4 m. Merkitään kuvioon apukulma α, joka on kaarta
b vastaavan sektorin keskuskulma.
Sektorin keskuskulma on
α = 180– 38 =142
2,4 m
α
2,4 m
b
Kaaren pituus on
38°
142 
b
 2    2,4 m  5,948... m  5,9 m
360 
Vastaus: 5,9 m
169
Ympyrä
177. Piirretään tilannekuva. Maapallon säde on 6380 km ja henkilön pituus on
170 cm = 0,0017 km.
Henkilö näkee matkan, joka vastaa kuvan
keskuskulmaa  vastaavan sektorin kaaren
pituutta b.
6380 km
α
b
0,0017 km
Lasketaan ensin kulma α.
saadaan
6380
6380  0,0017
6380
cos 
6380,0017
cos 
  0,0418... 
Tätä keskuskulmaa vastaava kaaren pituus b on
0,0418...
b
 2    6380 km  4,657... km  4,66 km
360
Vastaus: 4,66 km
170
Ympyrä
Maapallon säde on 6380 km.
Lintutornien korkeus on
12,4 m= 0,0124 km.
0,0124 km
b
β
6380 km
0,0124 km
α
Kaisa ja Juuso näkevät toisensa, jos
kaaren b pituus on suurempi tai
yhtä suuri kuin 15 km.
Merkitään kuvaan kaarta b vastaava keskuskulma α sekä keskuskulman
puolikas β.
Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta voidaan laskea ensin kulma
β.
6380
6380  0,0124
  0,1129...
cos  
Keskuskulma   2   2  0,1129...  0, 2259... .
Tätä keskuskulmaa vastaava kaaren pituus b on
b
0, 2259...
 2  6380 km  25,157... km
360
171
Ympyrä
Koska b = 25,157… km > 15 km, niin torneista nähdään siis pidemmälle
kuin 15 km päähän. Juuso ja Kaisa siis näkevät toisensa (kiikareilla
katsottaessa).
Vastaus: kyllä
179. Piirretään tilannekuva. Maapallon säde on 6370
km.
0,017 km
Kotikaupungin ensimmäiset valot ovat
17 m = 0,017 km korkeudella.
Santerin ajomatkan pituus on kaaren pituus b.
Sen laskemiseen tarvitaan keskuskulma .
km
km
saadaan
6370
6370  0,017
6370
cos 
6370,017
cos 
  0,1323... 
Ajomatkan pituus siis on
0,1323...
b
 2    6370 km  14,7166... km  15 km
360 
Vastaus: 15 km
172
Ympyrä
Satelliitti lentää 48,0 km korkeudessa.

R
b
48,0 km
Maapallon ympärysmitta on 40000 km, joten säteeksi R saadaan
2 πR  40000 : 2π 
R
40000
 6366,19...
2π
Merkitään kuvaan apukulma α ja maapallon säde R =6366,19… km.
Satelliitista nähdään keskuskulmaa 2 vastaava ympyräsektorin kaaren
pituus b.
Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta voidaan ensin ratkaista
kulma α.
6366,19...
6366,19...  48,0
6366,19...
cos 
6414 ,19...
cos 
  7,0138...
2  2  7,0138...  14 ,0277...
173
Ympyrä
Kaaren pituus b on
2  7,01172...
b
 2    6366,19...km  1558,639... km  1560 km

360
Vastaus: 1560 km
181. Piirretään tilannekuva. Suomen pituutta
vastaa kaaren pituus b =1160 km.
Merkitään tätä kaarta vastaavaa
keskuskulmaa 2β.
6370 km
β
Merkitään kysyttyä korkeutta kirjaimella x
ja kirjaimella y ympyrän keskipisteen ja
pisteen P välistä etäisyyttä.
Kaaren pituus b ja keskuskulman suuruus
ovat suoraan verrannollisiasuureita
2
1160

360  2    6370
2    6370  2   1160  360
  5, 216... 
6370
y
6370
y
 6396,49...
cos 5, 216...
cos 5, 216... 
174
y
b
x
P
Ympyrä
Kysytyksi korkeudeksi x saadaan
x  y  6370 km  6396,49...km - 6370 km  26,49...km  26,5 km
Vastaus: 26,5 km
Tapa 1:
Suurin mahdollinen ympyrä sivuaa tasasivuisen
kolmion sivuja niiden keskipisteessä. Kolmion
sivut ovat siis ympyrän tangentteja.
Tasasivuisen kolmion sivun pituus on 15 cm,
15 cm
joten sivun puolikas on
 7,5 cm .
2
Tasasivuisen kolmion jokainen kulma on 60°. Nämä kulmat ovat
60
ympyrän tangenttikulmia, joten tangenttikulman puolikas  
 30 .
2
Ympyrän säde r saadaan määritettyä muodostuvasta suorakulmaisesta
kolmiosta
tan 30  
r
7,5
|7,5
r  7,5  tan 30
r  4 ,330... ( cm)
175
Ympyrä
Kun säde tunnetaan, saadaan ympyrän kehän pituus
p  2    r  2    4 ,330... cm  27, 206... cm  27 cm .
Vastaus: 27 cm
Tapa 2:
C
Tilanteeseen muodostuu yhdenmuotoiset kolmiot
ABC ja CDE kk-lauseen mukaan.
Vastinsivujen suhteiden avulla saadaan ratkaistua
säde r verrannolla, kuten myöhemmin tehtävässä
209 on ratkaistu vastaavassa tapauksessa.
D
E
A
176
B
Ympyrä
183. Piirretään tilannekuva. Tasasivuisen
kolmion kulmat ovat 60.
Suurin mahdollinen ympyrä sivuaa
tasasivuisen kolmion sivuja niiden
keskipisteessä. Ympyrän säde on 2,2 cm.
Merkitään ympyrän tangentin (kolmion
sivun) pituutta 2x ja kolmion korkeutta h.
x
30
h
2,2 cm
60°
Korkeusjan puolittaa huippukulman. Huippukulman puolikas on siis
60
 30
2
Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan pituudet x ja h.
2, 2
x
2, 2
x
 3,8105...
tan 30 
tan 30  
3,8105...
h
3,8105...
h
 6,6
tan 30 
tan 30  
Kolmion ala on Akolmio 
2 xh
 xh  3,8105...cm  6,6 cm  25,149...cm 2 .
2
Ympyrän ala on Aympyrä    2, 2 cm 2  15, 205...cm 2 .
177
Ympyrä
Verrataan vielä alojen erotusta ympyrän alaan
Akolmio  Aympyrä
Aympyrä
25,149...cm 2  15, 205...cm 2

15,205...cm 2
 0,6539...
 65%
Vastaus: 65 %
184. a)Piirretään tilannekuva. Merkitään kuvaan

apukulma β = .
2
6370 km
6370
6370  10
  86,7916...  87
sin  
  2   2  86,7916...  173,583...  174
178
10 km
β
α
Ympyrä
b) Piirretään tilannekuva. Merkitään
kuvioon apukulma α.
Kysytty kaaren pituus on keskuskulmaa 2α
vastaavan kaaren pituus.
b
7,8 m
7,8
3,7
  64 ,622...
tan  
Keskuskulma 2  2  64 ,622...  129, 244...
Kaaren pituus on siis
b
129, 244...
 2  3,7 m  8,346... m  8,3 m

360
Vastaus: a) 174°
b) 8,3 m
179


3,7 m
3,7 m
Ympyrä
185. Piirretään tilannekuva. Ympyrän muotoisen tornin halkaisija on 34,8 m,
34 ,8 m
joten säde on
 17,4 m. Tornia katsellaan 16,0 m etäisyydeltä.
2
Piirretään tilannekuva. Merkitään
kuvioon apukulma .
Kulma  on puolet siitä kulmasta,
jossa torni näkyy.
17,4 m

16,0 m
17,4
16,0  17,4
17,4
sin 
33,4
sin 
  31,396...
Tangenttikulma eli kulma, josta teosta katsellaan on
2  2  31,396...  62,793...  63
Vastaus: 63°
180
Ympyrä
Tähystyskori on 32 m = 0,032 km
korkeudessa.
Korista nähdään kaaren b pituus.
Kulma  on tätä kaarta vastaavan sektorin
keskuskulma.
6370 km
α
b
0,032 km
6370
6370  0,032
6370
cos 
6370,032
cos 
  0,1816... 
Kaaren pituus b on
0,1816...
b
 2    6370 km  20,191... km  20 km
360 
Vastaus: 20 km
181
Ympyrä
187. Maapallon säde R saadaan kehän pituuden
avulla
R
40000 km
 6366,19... km
2 
6366,19…km
α
Lentokone lentää 10 km korkeudella.
Lentokoneesta nähdään sektorin kaari, jonka
keskuskulman puolikas on .
6366,19...
6366,19...  10
6366,19...
cos 
6376,19..
cos 
  3, 209... 
Kysyttyä kaaren pituutta vastaavan keskuskulman suuruus on
2  2  3, 209...  6,4186...
Päiväntasaajaa vastaava keskuskulma on 360.
Päiväntasaajasta näkyy siis
6,4186...
 0,0178...  1,8 %
360 
Vastaus: 1,8 %
182
10 km
Ympyrä
188. Piirretään tilannekuva. Mainospylvään läpimitta on
2,0 m
2,0 m, joten säde on siis
 1,0 m .
2
Merkitään pisteellä P sitä kohtaa, jossa henkilö seisoo
nähdessään koko mainoksen. Merkitään kirjaimella x
tämän pisteen ja ympyrän keskipisteen välistä
etäisyyttä. Mainosta kuvaa tummennettu sektorin
kaaren pituus 2,5 m.
1,0 m
α
x
2,5 m
P
Merkitään kuvaan apukulma α. Kulmaa  vastaa tällöin puolikas kaari
2,5 m : 2 = 1,25 m.
Kaaren pituus ja vastaava keskuskulma ovat suoraan verrannolliset, joten
saadaan

360 

1,25
2    1,0
2  450 
  71,61...
cos 71,61... 
1,0
x
1,0
cos71,61...
x  3,171...
x
Tällöin pylvään etäisyys katsojasta on
x – 1,0 m= 3,171...m - 1,0 m  2,171...m  2,2 m
Vastaus: 2,2 m
183
Avaruuskappaleita
3.1 Lieriö
189. Piirretään kuva. Kuution särmän pituus on 4,0 cm. Merkitään pohjan
lävistäjää x ja avaruuslävistäjää l.
x
x 2  4 ,0 2  4 ,0 2
l
4,0 cm
x 2  32
x   32
Koska x >0, niin x  32  5,656... cm.
l 2  x 2  4 ,0 2
l 2  5,656...2  16
l   48  6,928...
Koska l >0, niin l = 6,928… cm ≈ 6,9 cm.
Vastaus: Avaruuslävistäjän pituus on 6,9 cm.
184
4,0 cm
4,0 cm
Avaruuskappaleita
190. Särmiön pohjana on suorakulmio, jonka mitat ovat 1,4 dm ja 2,4 dm.
Särmiön korkeus on 1,8 dm.
Merkitään pohjan lävistäjää x ja
avaruuslävistäjää l.
l
x
1,8 dm
1,4 dm
2,4 dm
Pohjaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
x 2  2,4 2  1,4 2
x 2  7,72
x   7,72  2,778...
Koska x >0, niin x= 2,778… dm.
Avaruuslävistäjä saadaan toisesta muodostuvasta suorakulmaisesta
kolmiosta
l 2  x 2  1,8 2
l 2  2,778...2  1,8 2
l 2  10,96
l   10,96  3,310...
Koska l >0, niin l  3,310... dm  3,3 dm
Vastaus: 3,3 dm
185
Avaruuskappaleita
191. Suoran särmiön pohjana on neliö, jonka sivun pituus on 25 cm. Särmiön
korkeus on 45 cm.
Merkitään pohjan lävistäjää kirjaimella x ja
l
45 cm
a) Pohjaan muodostuvasta suorakulmaisesta
kolmiosta saadaan
x
x 2  25 2  25 2

25 cm
x  1250
2
x   1250  35,355...
Koska x >0, niin x =35,355… cm.
Toisesta muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
l 2  x 2  45 2
l 2  35,355...2  45 2
l   3275  57, 227...
Koska l >0, niin l = 57,227… cm ≈ 57 cm.
186
25 cm
Avaruuskappaleita
b) Merkitään kysyttyä kulmaa α. Muodostuneesta suorakulmaisesta
kolmiosta saadaan
45
57,227...
  51,844...  52
sin  
Vastaus: a) 57 cm
b) 52°
192. Kuution särmän pituus on 15 cm. Lieriön korkeus on myös 15 cm.
Ympyräpohjaisen lieriön pohjaympyrän kehän
pituus on 63 cm, joten säteeksi r saadaan
15 cm
r
15 cm
2r  63 : 2
r
63
 10,026...
2
Koska lieriön pohjan säde r = 10,026… cm , niin halkaisija on
d = 2 · 10,026… cm=20,053… cm.
Koska d > 15 cm, niin lieriön pohja ei sovi kuution pohjalle, joten lieriö
ei mahdu kuutioon, vaikka lieriön korkeus onkin yhtä suuri kuin kuution.
Vastaus: ei mahdu
187
Avaruuskappaleita
193. Rautatanko on suora särmiö, jonka pohjana on neliö, jonka sivun pituus
on 2,8 cm. Tangon poikkileikkaus on siis neliö. Piirretään tilannekuva.
Merkitään putken halkaisijaa kirjaimella d.
Putken halkaisijan on oltava yhtä suuri tai
suurempi kuin tangon pohjan lävistäjä d.
d 2  2,8 2  2,8 2
2,8 cm
d 2  15,68
d   15,68  3,959...
Koska d >0, niin d = 3,959… cm ≈4,0 cm.
Vastaus: 4,0 cm
194. a) Tilavuus on
d
V  3,0 cm  4,5 cm  6,2 cm
 83,7 cm 3
 84 cm 3
188
2,8 cm
Avaruuskappaleita
b) Tilavuus on
V  8,0 m  8,0 m  2,0 m
 128 m 3
 130 m 3
c) Tilavuus on
V  Apohja  korkeus
 5,5 m 2  1,6 m
 8,8 m 3
Vastaus: a) 84 cm3
b) 130 m3
c) 8,8 m3
195. a) Tilavuus on
Vlieriö    4 , 2 cm 2  7,8 cm  432,25...cm 3  430 cm 3
b) Pohjaympyrän säde on 4,00 m, joten
Vlieriö    4,00 m 2  2,00 m  100,53...m 3  101 m 3
Vastaus: a) 430 cm3
b) 101 m3
189
Avaruuskappaleita
196. a)Suoran särmiön kokonaispinta-ala on
Asärmiö  2  5,0 cm  12,0 cm   2  7,0 cm  12,0 cm   2  5,0 cm  7,0 cm 
 358 cm 2
 360 cm 2
b) Ympyräpohjaisen lieriön kokonaispinta-ala on
Alieriö  2  Apohja  Avaippa
 2    ( 3,0 cm)2  2  3,0 cm  5,0 cm
 150,796... cm 2
 1,5 dm 2
Vastaus: a) 360 cm2
b) 1,5 dm2
190
Avaruuskappaleita
197. Pohjana olevan tasakylkisen kolmion kyljet
ovat 6 cm ja kanta on 4,5 cm. Paketin korkeus
on 11 cm.
h
11 cm
6 cm
4,5 cm
6 cm
a) Lasketaan kolmion pinta-ala. Määritetään ensin tasakylkisen kolmion
korkeus h.
Korkeusjana puolittaa kannan. Kanna puolikas
4 ,5 cm
on
 2,25 cm .
2
6 cm
h
2,25 cm
Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pythagoraan
lauseella
2, 25 2  h 2  6 2
h 2  36  5,0625
h   30,9375
h  5,56214...
Koska h >0, niin h = 5,56214… cm
191
Avaruuskappaleita
Paketin pohjakolmioiden pinta-ala on siis
Apohjat  2 
4 ,5 cm  5,56214... cm
 25,029... cm 2
2
Paketin tahkot ovat suorakulmioita, joiden pinta-ala on
Atahkot  2  6 cm  11 cm  4,5 cm  11 cm  181,5 cm 2
Kokonaispinta-ala on siis
A  Apohjat  Atahkot
 25,029... cm 2  181,5 cm 2
 206,529... cm 2
 210 cm 2
b) Tilavuus on V  Apohja  korkeus .
V
4 ,5 cm  5,56214... cm
 11 cm  137,663 cm 3  140 cm 3
2
Vastaus: a) 210 cm2
b) 140 cm3
192
Avaruuskappaleita
198. Pakkauksen pinta-ala muodostuu tahkoista ja
kahdesta pohjasta.
18,6 cm
6,0 cm
10,2 cm
Asärmiö  2  6,0 cm  18,6 cm  2  10,2 cm  18,6 cm  2  6,0 cm  10,2 cm
 725,04 cm 2
 730 cm 2
199. Jääpala on kuution muotoinen. Sen tilavuus on
V  2,0 cm 3  8,0 cm 3  0,0080 dm 3  0,0080 l
Boolimaljassa on 3,0 l nestettä. Maljan tilavuus on 4,0 l, joten sinne
voidaan lisätä 1,0 l lisää, jolloin jääpaloja siis mahtuu
1,0 l
 125 kappaletta.
0,0080 l
Vastaus: 125 kpl
193
Avaruuskappaleita
200. Ympyräpohjaisen lieriön muotoisen pylvään halkaisija
d = 95 cm = 0,95 m ja korkeus h = 4,0 m.
Pylvään vaipan ala on A p  d  h    0,95 m  4,0 m  11,938... m 2 .
a) Julisteen leveys on 1,0 m ja korkeus on 75 cm = 0,75 m.
Julisteen ala on A j  1,0 m  0,75 m  0,75 m 2 .
Aj
0,75 m 2

 0,0628...  6,28... %  6,3%
A p 11,938... m 2
b) Yhden pylvään tilavuus on V  Apohja  h .
d 0,95 m
 0,475 m .
Pohja on ympyrä, jonka säde on r  
2
2
V  r 2  h    0,475 m 2  4 ,0 m  2,8352... m 3
Pylväitä on 6 kpl, joten niiden tilavuus on
Vpylväät  6  2,8352... m 3  17,0117... m 3  17 m 3 .
b) 17 m3
Vastaus: a) 6,3 %
194
Avaruuskappaleita
25 cm
 12,5 cm .
2
Suoran ympyrälieriön muotoisen kakun korkeus h = 9 cm.
Kakun tilavuus on siis
201. a) Pohjaympyrän halkaisija d = 25 cm, joten säde r 
Vlieriö  r 2  h
   12,5 cm 2  9 cm
 4417,86...cm 3
 4 ,4 dm 3
Kakun tilavuus on siis 4,4 litraa.
1
1
, joten jäljelle jäi . Tästä otto söi puolet ,
2
2
1 1 1
joten Otto söi kakusta   . Oton ja vieraiden jälkeen kakusta on
2 2 4
1 1 1
siis jäljellä   . Kun Liisa ottaa tästä kolmasosan eli loppupalasta
2 4 4
2 1 1
jää jäljelle kaksi kolmasosaa   . Litroina tämä on
3 4 6
b) Vieraat söivät kakusta
1
 4 ,4178...l  0,7 l .
6
Vastaus: a) 4,4 l
b) 0,7 l (kuudesosa kakusta)
195
Avaruuskappaleita
202. a) Purkki 1 on ympyrälieriö, jonka pohjan säde on r 
ja korkeus 13 cm.
7,5 cm
 3,75 cm
2
Purkin 1 tilavuus on
V1    3,75 cm 2  13 cm
 574,32...cm 3
 570 cm 3
Purkki 2 on ympyrälieriö, jonka pohjan säde on
korkeus on
13 cm
 6,5 cm.
2
Purkin 2 tilavuus on
V2    5,0 cm 2  6,5 cm
 510,50...cm 3
 510 cm 3
196
7,5  2,5
cm  5,0 cm ja
2
Avaruuskappaleita
b) Kuinka paljon enemmän isommassa purkissa on hilloa enemmän kuin
pienemmässä purkissa? Verrataan siis tilavuuksien erotusta pienemmän
purkin tilavuuteen:
574 ,32...cm 3  510,50... cm 3
 0,125  12,5%  13%
3
510,50... cm
Vastaus: a) 570 cm3, 510 cm3
b) 13%
203. Hahmotellaan kuva kappaleesta.
4,5 cm
12 cm
Lieriön pohja on säännöllinen kuusikulmio,
jonka sivun pituus on 4,5 cm.
Pohja voidaan jakaa kuuteen yhtäsuureen
kolmioon, joiden huippukulma on
360
 60 .
6
197
h
2,25 cm
30
60
Avaruuskappaleita
Koska kolmiot ovat tasakylkisiä, niiden kantakulmatkin ovat 60°, joten
kolmiot ovat siis tasasivuisia.
Lasketaan ensin pohjan ala. Tarkastellaan yhden tasasivuisen kolmion
alaa. Merkitään kolmion korkeutta kirjaimella h. Korkeusjana puolittaa
60
huippukulman. Huippukulman puolikas on
 30 . Muodostuvasta
2
2,25
h
h
h  tan 30  2, 25 : tan 30
tan30  
h
2,25
 3,897... ( cm )
tan30 
Pohja muodostuu kuudesta kolmiosta, joten pohjan ala on
 4 ,5 cm  3,897... cm 
2
A pohja  6  
  52,61... cm .
2


Sivutahko on suorakulmio, joten sen ala on
Asivutahko  4 ,5 cm  12 cm  54 cm 2
198
Avaruuskappaleita
Sivutahkoja on kuusi samanlaista, joten koko särmiön pinta-ala on
Asärmiö  2  Apohja  6  Asivutahko
 2  52,61... cm 2  6  54 cm 2
 429,22... cm 2
 430 cm 2
Särmiön tilavuus on
V  A pohja  korkeus
 52,61...cm 2  12 cm
 631,33...cm 3
 630 cm 3
Vastaus: Särmiön kokonaispinta-ala on 430 cm2 ja tilavuus 630 cm3.
199
Avaruuskappaleita
204. Olkoon kuution sivun pituus x. Tällöin kuution kokonaispinta-ala on
6  x2. Toisaalta tiedetään, että kokonaispinta-ala on 4,86 cm2. Saadaan
siis yhtälö
6x 2  4 ,86 : 6
x 2  0,81
x  0,90
Koska sivu x >0, joten x = 0,90 cm.
Kuution tilavuus on
Vkuutio  x 3  0,90 cm 3  0,729 cm 3 .
Vastaus: 0,729 cm3
200
Avaruuskappaleita
205. Jos lieriön korkeus on 40 cm, pohjaympyrän kehä
on 30 cm, jolloin pohjaympyrän säde on
40 cm
r1 
30
cm  4,774...cm .
2
30 cm
Lieriön tilavuus on
V1    4 ,774... cm 2  40 cm
 2864,78...cm 3
 2800 cm 3
Jos korkeus on 30 cm, pohjaympyrän kehä on 40
cm, jolloin säde
r2 
40
cm  6,366...cm
2
30 cm
40 cm
V 2    6,366... cm 2  30 cm
 3819,71...cm 3
 3800 cm 3
Koska V2 > V1, niin jälkimmäisen lieriön tilavuus on siis suurempi.
201
Avaruuskappaleita
Tilavuuksien suhde on
3
V1 2864 ,78... cm 3
eli
.


0
,
75
3
4
V2 3819,71... cm
Vastaus: Lieriön, jonka korkeus on 30 cm, tilavuus on suurempi.
3
Tilavuuksien suhde on .
4
Matemaattisempi tapa olisi kirjoittaa lauseke ilman laskimen antamia
välituloksia:
2
 30 
     40
V1
900  40 3
2
  2

 .
V2
1600
30
4

40
     30
 2 
Tällaisten lausekkeiden sieventäminen voi kuitenkin olla opiskelijoille
erittäin vaikeaa.
202
Avaruuskappaleita
206. Hahmotellaan tilannekuva.
Merkitään kuution sivun pituutta 2x, jolloin lieriön pohjaympyrän
säde r = x
tilanne ylhäältä katsottuna:
x
2x
Kuution korkeus on yhtä suuri kuin sivun pituus eli 2x, joten lieriönkin
korkeus on oltava sama.
Kuution tilavuus on
Vkuutio  2 x 3  8 x 3 .
Vlieriö  Apohja  korkeus
 x 2  2x
 2x 3
203
Avaruuskappaleita
Lieriön tilavuuden suhde kuution tilavuuteen on
2 x 3 
  0,7853...  78,53...%  79%
3
4
8 x
4
Vastaus: 79 %
207. a) Pohjana olevan tasasivuisen kolmion sivun
pituus on 6,0 cm. Olkoon pohjana olevan
tasasivuisen kolmion korkeus t. Korkeusjana
puolittaa huippukulman ja kannan.
60
 30 . ja
2
6,0 cm
kannan puolikas
 3,0 cm .
2
30
t
9,0 cm
6,0 cm
3,0
t
t
t  tan 30  3,0
tan30  
t
3,0
 5,196... ( cm)
tan30 
204
Avaruuskappaleita
Särmiön tilavuus on
6,0 cm  5,196...cm 
 
  9,0 cm
2


 140,296...cm 3
 140 cm 3
b) Särmiön korkeus on 7,0 cm. Pohja on
säännöllinen kuusikulmio, jonka sivun pituus on
4,0 cm. Pohja koostuu kuudesta identtisestä
kolmiosta, joiden kantana on 4,0 cm.
4,0 cm
7,0 cm
2,0 cm
Kolmiot ovat tasakylkisiä ja niiden huippukulma
360
on
 60 . Tällöin muutkin kulmat ovat 60 °
6
(kantakulmat yhtäsuuret), joten kolmiot ovat
tasasivuisia.
Merkitään kolmion korkeutta kirjaimellan t.
Korkeusjan puolittaa huippukulman ja
kannan. Huippukulman puolikas on
60
 30 ja kannan puolikas
2
4 ,0 cm
 2,0 cm .
2
t
30
t 30°
2,0 cm
Pohjan alan laskemiseen tarvitaan kolmion korkeus t: Muodostuvasta
205
Avaruuskappaleita
2,0
t
t
t  tan 30  2,0 : tan 30
tan30  
t
2,0
 3,464... ( cm)
tan30 
Lieriön tilavuus on siis
 6  Akolmio  korkeus
4 ,0 cm  3,464...cm 
 6  
  7,0 cm
2


 290,98..cm 3
 290 cm 3
Vastaus: a) 140 cm3
b) 290 cm3
208. Merkitään kuution sivun pituutta kirjaimella x. Kuution tilavuus on 512
cm3, joten saadaan yhtälö
x 3  512
x  3 512  8
Kuution sivun pituus on siis 8 cm.
206
Avaruuskappaleita
a) Kuution pinta-ala koostuu kuudesta neliöstä, joiden ala yhteensä on
A  6x2
 6  8 cm 2
 384 cm 2
t
b) Kuution sivun pituus on 8 cm. Merkitään
kuution pohjan lävistäjää kirjaimella t ja
avaruuslävistäjää kirjaimella l.
8 cm
l
8 cm
8 cm
Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta voidaan ensin laskea pohjan
lävistäjä t Pythagoraan lauseella
t 2  82  82
t 2  128
t   128
t  11,3137...
Koska t >0, niin t = 11,3137… cm.
Toisesta muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta voidaan laskea
avaruuslävistäjä l myös Pythagoraan lauseella
207
Avaruuskappaleita
l 2  t 2  82
l 2  11,3137...2  8 2
l 2  192
l   192
l  13,856...
Koska l >0, niin l = 13,856… cm ≈ 13,9 cm
Vastaus: a) 384 cm2
b) 13,9 cm
209. Pakkauksen pohja on tasasivuinen
kolmio, jonka sivun pituus on 14 cm.
Pakkauksen korkeus on 10 cm.
h
10 cm
14 cm
Tasasivuisen kolmion kulmat ovat 60°.
Kolmion korkeusjana puolittaa kannan ja
14 cm
huippukulman. Kannan puolikas on
 7 cm ja
2
60
huippukulman puolikas
 30 .
2
30°
h
7 cm
Kakku on suora, ympyräpohjainen lieriö. Merkitään kakun sädettä
kirjaimella r.
208
Avaruuskappaleita
Tapa 1:
Kolmiot ABC ja CDE ovat yhdenmuotoisia
kk- lauseen mukaan. Vastinsivujen suhde
pitää s
iis olla sama eli
C
30°
D
r
AB AC

DE CE
7 14

r h r
E
A
B
7 cm
Ratkaistaan pohjakolmion korkeus h muodostuvasta suorakulmaisesta
kolmiosta
30°
h
7
tan 30   h
h
h  tan 30  7 : tan 30
h
7 cm
7
 12,124... ( cm)
tan 30
209
Avaruuskappaleita
Vastinsivujen suhteilla muodostetusta verrannosta voidaan nyt ratkaista
säde r
7 14

r h r
7
14

r 12,124...  r
14r  712,124...  r 
14r  84 ,870...  7r
21r  84 ,870 : 21
r
84 ,870...
 4 ,041... ( cm )
21
Kakun ympärysmitta on
p  2r  2  4 ,041... cm  25,393... cm  25 cm
Tapa 2:
Suurin mahdollinen ympyrä sivuaa
tasasivuisen kolmion sivuja niiden
keskipisteessä. Ympyrän säde on
kohtisuorassa kolmion sivuja vastaan.
(Ympyrän tangentti on kohtisuorassa
sädettä vastaan.)
7 cm
7 cm
r
7
7
r  7  tan 30
r  4 ,041... ( cm)
tan 30 
210
30°
r
Avaruuskappaleita
Kakun ympärysmitta on
p  2r  2  4 ,041... cm  25,393... cm  25 cm
Vastaus: 25 cm
210. Lasketaan ensin särmiön tilavuus.
Vsärmiö  0,8 m  2,10 m  0,32 m
80 cm=0,8 m
 0,5376 m 3
tiheys 
massa
eli
tilavuus
2,10 m
32 cm=0,32 m
massa  tiheys  tilavuus
Hautakivi painaa siis
2,7  10 3
kg
3

0
,
5376
m
 1451,52 kg  1500 kg
m3
Kiven voi nostaa nosturilla, koska 1500 kg < 2000 kg.
Vastaus: Voidaan nostaa.
211
Avaruuskappaleita
11,0 cm
 5,50 cm
2
ja korkeus h = 10,5 cm. Juuston tilavuus on
211. a) Lieriön pohjaympyrän säde on r 
V  r 2  h    5,50 cm 2  10,5 cm  997,84...cm 3  998 cm 3
b) Ympyräpohjaisen lieriön (Oltermannin) vaippana on suorakulmio,
jonka kanta on pohjaympyrän kehä ja korkeus h =10,5 cm. Juuston päällä
on muovia joka pinnalla. Alaan lasketaan vaipan lisäksi siis mukaan myös
pohjat.
A  Avaippa  2  Apohja
 2r  h  2  r 2
 2    5,50 cm  10,5 cm  2    5,50 cm 2
 552,92...cm 3
 553 cm 3
Vastaus: a)998 cm3
b) 553 cm3
212
Avaruuskappaleita
212. a) Tynnyrin(ympyrälieriön) pohjan halkaisijan ja
korkeuden suhde on 4 : 7. Olkoon siis lieriön
pohjaympyrän halkaisijan pituus 4x, jolloin lieriön
korkeus on 7x. Pohjan säde on 2x.
4x
7x
Lieriön tilavuuden lauseke on näin ollen
2x
V    2 x 2  7x
Tiedetään, että tynnyrin tilavuus on 140 l = 140 dm3, joten saadaan
yhtälö
  2x 2  7x  140
28x 3  140 : 28
140
28
140
x 3
 1,167...( dm)
28
x3 
Tynnyrin halkaisija on siis 4  1,167...dm  4,7 dm .
213
Avaruuskappaleita
b) Tynnyrin vaippa on suorakulmio, jonka kantana on pohjaympyrän
kehä ja korkeus 7x. Kokonaispinta-alaan tarvitaan lisäksi 2 pohjaa.
Peltiä tarvitaan siis
A  Avaippa  2  Apohja
 2    2 x   7x  2    2 x 2
 2    2  1,167...dm   7  1,167...dm  2    2  1,167...dm 2
 154 ,16...dm 2
 1,5 m 2
b) 1,5 m2
Vastaus: a) 4,7 dm
214
Avaruuskappaleita
3.2 Kartio
213. Pyramidin sivutahkoina on neljä tasakylkistä kolmiota.
Yhden sivutahkon ala on
Akolmio 
6,2 m  10,4 m
2
Vaipan ala on
Av  4  Akolmio  4 
6, 2 m  10,4 m
 128,96 m 2 .
2
Pohjana on neliö, jonka ala on
Apohja  6, 2 m 2  38,44 m 2 .
Kokonaispinta-ala on
Akoko  128,96 m 2  38,44 m 2  167,4 m 2  170 m 2 .
Vastaus: 170 m2
215
Avaruuskappaleita
214. a) Pohja on säännöllinen kuusikulmio, joka koostuu kuudesta
tasasivuisesta kolmiosta. Kolmioiden kaikki kulmat ovat siis 60°.
Lasketaan ensin kolmion korkeus h. Koskeusjana puolittaa tasasivuisen
kolmion kannan.
h
|7
7
h  7  tan 60
h  12,124...
tan 60 
60°
14 cm : 2 = 7 cm
Yhden kolmion ala
Akolmio 
h
14 cm  12,124... cm
 84 ,870... cm 2
2
Pohjan ala on siis
Apohja  6  Akolmio
 6  84 ,870... cm 2
 509, 22... cm 2
 5,0922... dm 2  5,1 dm 2
216
Avaruuskappaleita
b) Lasketaan ensin yhden sivutahkon pinta-ala.
Sivutahkot ovat tasakylkisiä kolmioita.
Korkeusjana puolittaa kolmion kannan.
Kolmion korkeus h saadaan Pythagoraan
lauseella.
32 2  h 2  7 2
h  32  7
2
2
32 cm
h
14 cm : 2 = 7 cm
2
h 2  975
h   975  31, 224...
Yhden kolmion ala on
Akolmio 
14 cm  31, 224... cm
=218,574… cm2
2
Vaippa muodostuu kuudesta tasakylkisestä kolmiosta, joten vaipan ala on
Avaippa  6  Akolmio
 6  218,574... cm 2
 1311,44... cm 2
 13,1144... dm 2
 13 dm 2
Vastaus: a) 5,1 dm2
b) 13 dm2
217
Avaruuskappaleita
215. Suoran ympyräkartion vaipan ala on
Av  rs    5,1 mm  12 mm  192,26... mm 2 .
Pohjan ala on
A p    r 2    5,1 mm 2  81,712... mm 2 .
Kokonaispinta-ala on
Akoko  Av  A p
 192, 26... mm 2  81,712...mm 2
 273,978... mm 2
 270 mm 2
Vastaus: 270 mm2
218
Avaruuskappaleita
216. Lasketaan ensin sivutahkoina olevien
tasakylkisten kolmioiden korkeus h.
h
0,5 m
h 2  0,5 2  12
h 2  1,25
2,0 m
h   1,25  1,118...
Koska h >0, niin h = 1,118… m
h
0,5 m
Yhden kolmion ala on
Ak 
2,0 m  1,118... m
 1,118... m 2
2
Vaippa koostuu neljästä kolmiosta, joten vaipan ala on
Av  4  Ak
 4  1,118... m 2
 4 ,472... m 2
 4 ,5 m 2
Vastaus: Lasia tarvitaan 4,5 m2
219
2,0 m
 1,0 m
2
Avaruuskappaleita
217. Säännöllisen tetraedrin kaikki neljä tahkoa ovat
tasasivuisia kolmioita.
Lasketaan ensin yhden kolmion pinta-ala.
h
|8,2
8, 2
h  8, 2  sin 60  7,101...
sin 60 
8,2 cm
h
Kolmion ala
Ak 
8,2 cm
8, 2 cm  7,101... cm
 29,115... cm 2
2
Koko tetraedrin ala on
A  4  Ak
 4  29,115... cm 2
 116,46... cm 2
 120 cm 2
Vastaus: 120 cm2
220
60°
Avaruuskappaleita
218. Hahmotellaan kuva wigwamista. Pohjaympyrän
2 ,6 m
 1,3 m .
säde r 
2
Lasketaan sivujanan s pituus kartion sisälle
muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta.
s  3,5  1,3
2
2
s
3,5 m
r
2
s 2  13,94
s   13,94
s  3,733...
Koska s >0, niin s = 3,733… m
Puhvelinnahkaa kuluu kartion vaipan alan verran. Vaipan ala on
Av  rs
   1,3 m  3,733...m
 15,248...m 2
 15 m 2
Vastaus: 15 m2
221
Avaruuskappaleita
219. Merkitään sangon pohjan sädettä kirjaimella r.
Kartion sisälle muodostuu kartion korkeusjanan
avulla kaksi kolmiota.
Kolmioissa ABE ja CDE on kummassakin 90°
kulma sekä kulma E, joten kolmiot ovat
yhdenmuotoisia (kk-lause).
42 cm : 2= 21 cm
A
B
55 cm
C
r
D
35 cm
E
Vastiosat ovat nerrannolliset, jolloin saadaan
21 55  35

r
35
90r  735
|: 90
c m 
r  8,1666...
Sangon pohjaan kuluu peltiä
Apohja  r 2    8,166...cm 2  209,526... cm 2 .
Sangon vaipan ala saadaan, kun ison kartion vaipan alasta vähennetään
pienen kartion vaipan ala.
Lasketaan kummankin kartion vaippojen alat.
Avaippa/iso    21 cm  90 cm  5937,61... cm 2
Avaippa/pieni    8,166... cm  35 cm  897,97... cm 2
222
Avaruuskappaleita
Sangon vaipan ala on siis
Av  Aiso  Apieni
 5937,61...cm 2  897,97...cm 2
 5039,63...cm 2
Sankoon kuluu peltiä
Apohja  Avaippa  209,526...cm 2  5039,63...cm 2
 5249,16...cm 2
 52,4916... dm 2
 52 dm 2
Vastaus: 52 dm2
223
Avaruuskappaleita
220. Ympyrän säde on 62 cm. Sektorin keskuskulma on 110°. Sektorin kaaren
pituus on
b
110
 2  62 cm  119,031... cm
360
Merkitään kartion pohjaympyrän sädettä kirjaimella
r ja kartion korkeutta h.
Koska sektorin kaaren pituus on yhtäsuuri kuin
pohjaympyrän kehän pituus, saadaan yhtälö
62 cm
h
r
2r  119,031... |: 2 
r  18,9444... cm 
Kartion vaipan ala on
Av  rs
   18,944... cm  62 cm
 3689,97... cm 2
 36,8997... dm 2
 37 dm 2
224
Avaruuskappaleita
Kartion korkeus h saadaan Pythagoraan lauseella
h 2  r 2  62 2
h 2  18,944...2  62 2
h 2  62 2  18,944...2
h 2  3485,108...
h   3485,108...
h  59,034...
Koska h >0, niin h =59,034… cm≈59 cm.
Vastaus: Vaipan ala 37 dm2, korkeus 59 cm
221. a) Kartion pohja on ympyrä. Ympyräkartion tilavuus
V
Ap h
3
r 2h

3
  34 cm 2  52 cm

3
 62949,13... cm 3
 62,94... dm 3
 63 dm 3
225
Avaruuskappaleita
b) Pyramidin pohja on neliö. Pyramidin tilavuus
V
Ap h
3
2,6 m  2,6 m  3,1 m

3
 6,985...m 3
 7,0 m 3
Vastaus: a) 63 dm3
b) 7,0 m3
222. Sivujanan pituus on 15 cm ja korkeus 7,4 cm.
Hahmotellaan kuva kartiosta. Merkitään
pohjaympyrän sädettä r.
r  7,4  15
2
2
15 cm
7,4 cm
r
2
r 2  170, 24
r   170,24
r  13,047...
Koska r >0, niin r = 13,047… cm
226
Avaruuskappaleita
Kartion tilavuus on
V
Ap h
3
 r 2 h

3
  13,047... cm 2  7,4 cm

3
 1319, 234... cm 3
 1,3 dm 3
Vastaus: 1,3 dm3
223. a) Kuution särmä, kartion korkeus ja pohjaympyrän halkaisija ovat
yhtäsuuret.
Kartion korkeus h = 16 cm
16 cm
 8 cm .
Pohjaympyrän säde r 
2
Kartion tilavuus on
V
r 2h
3

  8 cm 2  16 cm
3
227
 1072,33...cm 3  1,1 dm 3
Avaruuskappaleita
b) Lasketaan kuution tilavuus.
V kuutio  16 cm  16 cm  16 cm  4096 cm 3
Verrataan kuution tilavuutta kartion tilavuuteen.
4096 cm 3
Vkuutio

 3,819...  381,9...%
Vkartio 1072,33...cm 3
Kuution tilavuus on 381,9… % – 100 % = 281,9… % ≈280 %
suurempi.
Vastaus: 280 %
224. Särmiön pohja on neliö, jonka sivun pituus on 7,0 cm ja korkeus
h= 20,0 cm. Tilavuus on
Vsärmiö  A p  h  7,0 cm  7,0 cm  20,0 cm  980 cm 3 .
228
Avaruuskappaleita
Särmiön päällä olevan kartion pohjana on neliö, jonka sivun pituus on
7,0 cm ja korkeus h = 2,0 cm. Tilavuus on
Vkartio 
Ap h
3

7,0 cm  2 2,0 cm

3
 32,666...cm 3
Karkkirasian tilavuus on
V  Vsärmiö  Vkartio
 980 cm 3  32,666...cm 3
 1012,66...cm 3
 1000 cm 3
 1,0 dm 3
Vastaus: 1,0 dm3
229
Avaruuskappaleita
225. Alussa:
Korkeus h = 14 m
Läpimitta d = 24 cm
24 cm
 12 cm  0,12 m
Säde r 
2
Puun tilavuus
Valussa 
  0,12 m 2  14 m
3
 0,2111... m 3
5 vuoden kuluttua:
Korkeus h = 14 m + 5 · 0,3 m = 15,5 m
Läpimitta d = 24 cm + 5 · 0,4 m = 26 cm
26 cm
 13 cm  0,13 m
Säde r 
2
Puun tilavuus
V5 v kuluttua 
  0,13 m 2  15,5 m
3
 0, 2743... m 3
Tilavuus on kasvanut
V5 v kuluttua Valussa  0, 2743...m 3  0, 2111...m 3
 0,0631...m 3
 63,1...dm 3
 63 dm 3
Vastaus: Tilavuus on kasvanut 63 dm3.
230
Avaruuskappaleita
226. Merkitään pohjaympyrän sädettä kirjaimella r. Korkeus on tällöin 3r.
Koska kartion tilavuus on 1200 cm3, saadaan yhtälö
r 2  3 r
3
3r
 1200
r 3  1200 |: 
r3 
r
1200
r 3

1200

 7, 2556...  7,3 cm 
Korkeus on siis
h  3r  3  7, 22556... cm  21,76... cm ≈ 22 cm.
Vastaus: Korkeus 22 cm, pohjan säde 7,3 cm.
231
Avaruuskappaleita
227. Merkitään kartion sivujanaa kirjaimella s. Tällöin
pohjan säde r = s – 2,5.
s
a) Koska vaipan ala on 547 cm2, saadaan yhtälö
h
rs  547
  s  2,5  s  547
r
s  2,5s  547
2
s 2  2,5s  547  0
s
  2,5  
 2,5 2  4     547
2
2,5  6935,48...
s
2
2,5  83, 279...
s
2
s
2,5  83, 279...
 14 ,504...
2
tai
s
2,5  83, 279...
 12,004...
2
Koska sivujana on positiivinen, niin s = 14,504… cm ≈ 14,5 cm.
Säde r = s – 2,5 cm = 14,504… cm – 2,5 cm = 12,004… cm ≈ 12 cm.
232
Avaruuskappaleita
b) Tilavuutta varten tarvitaan kartion korkeus h.
Kartion sisään muodotusvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
h2  r 2  s2
h2  s2 r 2
h   s2 r2
h   14 ,504... 2  12,004... 2
h  8,140...
Koska h >0, niin h = 8,140… cm.
Kartion tilavuus on
V
r 2h
3
  12,004... cm 2  8,140... cm

3
 1228,487... cm 3
 1,228487... dm 3
 1,2 dm 3
Vastaus: a) sivujana 14,5 cm, säde 12 cm
233
b) 1,2 dm3
Avaruuskappaleita
228. Piirretään pyramidin poikkileikkauskuva.
143,5 m
136 m
a) Khafren pyramidin tilavuus tällä hetkellä saadaan, kun vähennetään
alkuperäisen pyramidin tilavuudesta ”pudonneen osan” tilavuus. Tällaista
kappaletta kutsutaan katkaistuksi kartioksi.
Khafren alkuperäinen tilavuus
Valku 
A ph
3

214 ,5m  214 ,5m  143,5m
 2200823,625 m 3 .
3
234
Avaruuskappaleita
Pudonneen osan korkeus on 143,5 m – 136 m = 7,5 m.
Pohjaneliön sivun pituus saadaan
poikkileikkauskuvan suorakulmaisten
kolmioiden avulla.
Kummallakin suorakulmaisella kolmiolla on
sama huippukulma, joten kk-lauseen mukaan
kolmiot ovat yhdenmuotoiset.
7,5 m
x
143,5 m
107,25 m
Tällöin niiden vastinosien suhde on sama eli
x
7,5

107,25 143,5
143,5x  7,5  107, 25 | :143,5
804 ,375
x
 5,605...
143,5
Pudonneen osan tilavuus on siis
Vpudonnut 
A ph
3

(2  5,605...m)2  7,5 m
 314, 205...m 3
3
Khafren tilavuus tällä hetkellä on
V  Valku  Vpudonnut
 2200823,625 m 3  314, 205... m 3
 2200509, 41... m 3
 2200000 m 3
235
Avaruuskappaleita
b) Tilavuuden pieneneminen prosentteina saadaan, kun verrataan
pudonneen osan tilavuutta pyramidin alkuperäiseen tilavuuteen.
Vpudonnut
Valkuperäinen
314, 205...m 3

 0,01427... %  0,014 %
2200823,625 m 3
a) Khafren nykyinen tilavuus on 2200000 m3.
b) Tilavuus on pienentynyt 0,014 %.
Vastaus
229. Jos säde on neljäsosa korkeudesta, niin
1
r  h | 4
4
4r  h
h  4r
Koska ympyräkartion tilavuus on 660 cm3, saadaan yhtälö
Ap h
 660
3
r 2  4r
 660 |3
3
4r 3  1980 |: 4 
r 3  157,56...
r  3 157,56...  5,401...
236
Avaruuskappaleita
Korkeus h  4 r  4  5,401...  21,604... cm 
Vaipan alan laskemiseksi tarvitaan vielä sivujana s.
s h r
2
2
s
2
s   h r
2
4r
2
s   21,604... 2  5,401... 2
s   495,928...
s  22,269.... cm 
Koska s >0, niin s = 22,269… cm.
Vaipan ala on
Av  rs
   5,401... cm  22,269... cm
 377,87... cm 2
 3,7787... dm 2
 3,8 dm 2
Vastaus: Vaipan ala on 3,8 dm2.
237
r
Avaruuskappaleita
230. a) Pohjana on ympyrä, jonka säde r = 42 cm. Kartion korkeus
h = 60 cm, joten tilavuus on
V
Ap h
3
r 2  h

3
  42 cm 2  60 cm

3
 110835,38... cm 3
 110,83538... dm 3
 110 dm 3
Vaipan alaa varten tarvitaan sivujanan s pituus. Se saadaan kartion sisään
muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella.
s 2  60 2  42 2
60 cm
s 2  5364
s   5364
s  73, 239...
s
42 cm
238
Avaruuskappaleita
Vaipan ala on siis
Av  rs
   42 cm  73, 239... cm
 9663,702... cm 2
 96,63702...dm 2
 97 dm 2
b) Pohjana on suorakulmio, jonka ala on
A p  10,4 cm  8,4 cm  87,36 cm 2
Tilavuuden laskemiseksi tarvitaan pyramidin korkeus h.
h
Pyramidin sisälle syntyvästä suorakulmaisesta
kolmiosta saadaan
h 2  5,2 2  112
h 2  112  5,2 2
h 2  93,96
h   93,96  9,693... cm 
Koska h >0, niin h = 9,693… cm.
239
11 cm
10,4 cm : 2 =5,2 cm
Avaruuskappaleita
Tilavuus on
V
Ap h
3
87,36 cm 2  9,693...cm

 282,26...cm 3  280 cm 3 .
3
Vaippa koostuu pohjasta ja neljästä sivutahkosta, jotka ovat tasakylkisiä
kolmioita. Pohjan ala on A p  87,36 cm 2 .
Sivutahkoista kaksi on tasakylkisiä kolmioita, joiden
kanta on 2 · 4,2 cm = 8,4 cm ja korkeus 11 cm. Näiden
ala on
11 cm
Akolmiot  2 
11 cm  8,4 cm
 92,4 cm 2 .
2
8,4 cm
Toiset kaksi sivutahkoa ovat tasakylkisiä kolmioita, joiden kanta on 10,4
cm. Lasketaan näiden kolmioiden korkeus t.
Pyramidin sisälle syntyvästä suorakulmaisesta
kolmiosta saadaan
t  9,693...  4 , 2
2
2
h =9,693… cm
2
t 2  111,6
t
4,2 cm
t   111,6
t  10,564...
Koska t >0, niin t = 10,564… cm.
240
Avaruuskappaleita
Kahden viimeisen sivutahkokolmion ala on siis
Akolmiot  2 
10,564... cm  10,4 cm
 109,866... cm 2
2
10,564… cm
10,4 cm
Koko vaipan ala on kaikkien kolmioiden ala yhteensä eli
Av  92,4 cm 2  109,866... cm 2  202,266... cm 2  202 cm 2 .
Vastaus: a) 97 dm2, 110 dm3
b) 202 cm2, 280 cm3
241
Avaruuskappaleita
231. Piirretään jäävuoren poikkileikkauskuva.
Merkitään meren yläpuolisen
pikkukartion pohjaympyrän sädettä
kirjaimella r ja korkeutta kirjaimella h.
a) Koska ympärysmitta on 345 m saadaan yhtälö
2 r  345 : 2
345
2
r  54 ,908...
r
Ympyräpohjaisen kartion pohjan säde on siis r = 54,908… m ja
sivujanan pituus s = 63 m. Vaipan ala on
Av  rs
   54 ,908... m  63 m
 10867,5 m 2
 109 a
242
Avaruuskappaleita
b) Kartion sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
Pythagoraan lauseen mukaan
r2+h2=632
h2=632-r2
h2= 632  54 ,908...2
h=  954 ,061...
h =  30,887...
Koska h >0, niin h=30,887… m
Jos jäävuoren todellinen korkeus on x, niin 30 % tästä siis näkyy meren
pinnan yläpuolella eli
0,3x=30,887… m : 0,3
x = 102,959…m
Vastaus: a) 109 a
b) Jäävuoren todellinen korkeus on 103 m.
243
Avaruuskappaleita
232. Ympyräkartion korkeus h = 20,4 cm. Tilavuutta varten tarvitaan pohjan
säde r.
Koska sivujanan pituus on 28,5 cm, kartion
sisään muodostuvasta suorakulmaisesta
kolmiosta saadaan
28,5 cm
r 2  20,4 2  28,5 2
r 2  396,09
r   396,09
r  19,902...
Koska r >0, niin r = 19,902… cm.
Kartion tilavuus on
V
Ap h
3
r 2h

3
  19,902... cm 2  20,4 cm

3
 8461,60... cm 3
 8,46160... dm 3
 8,46 l
Vastaus: 8,46 l
244
20,4 cm
r
Avaruuskappaleita
233. Merkitään pyramidin pohjan sivun pituutta kirjaimella a ja korkeutta h.
Pohjan ala on
A pohja  a 2 .
Koska pyramidin tilavuus on 3500 m3, saadaan yhtälö
Ap oh j a  h
3
V
a 2  25
 3500
3
25a 2  10500
| 3
|: 25
a 2  420
a   420
a   20, 49...
m
Koska a > 0, niin a = 20,49… m ≈ 20 m.
Vastaus: Sivun pituus on 20 m.
245
Avaruuskappaleita
234. Tötteröon kartio, jonka suuaukon halkaisija on 7,5 cm, joten sen säde
7,5 cm
r
 3,75 cm .
2
Merkitään kartion sivujanaa kirjaimella s. Koska
tötterön vaipan ala on 145 cm2, saadaan yhtälö
rs  Av
r = 3,75 cm
h
  3,75  s  145 |: 3,75 
145
3,75
s  12,307... cm 
s
Tötterön korkeus saadaan Pythagoraan lauseella tötterön sisään
muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta.
h2  r 2  s2
h 2  3,75 2  12,307... 2
h 2  12,307... 2  3,75 2
h 2  137,423...
h   137,423...
h  11,722... cm 
Koska h >0, niin h= 11,722… cm ≈ 12 cm.
Vastaus: Korkeus on 12 cm.
246
s
Avaruuskappaleita
3.3 Pallo
235. Pallon säde r = 2,4 m, joten tilavuus on
4r 3 4  2,4 m 3
V

 57,90...m 3  58 m 3
3
3
Pallon pinta-ala on
A  4r 2  4  2,4 m 2  72,38...m 2  72 m 2
Vastaus: tilavuus 58 m3, pinta-ala 72 m2
236. Puolipallon säde r 
6,5 cm
 3, 25 cm .
2
Kauhan tilavuus on puolet vastaavan pallon tilavuudesta eli
Vkauha
1 4  3, 25 cm 3
 
 0,07189...dm 3  0,07189... l
2
3
0,072 l = 0,72 dl
Vastaus: 0,72 dl
247
Avaruuskappaleita
237. a) Rantapallon säde r 
5,2 m
 2,6 m . Tilavuus on
2
4  2,6 d m 3
V
 73,62...dm 3  74 l
3
b) Pallon pinta-ala on
A  4  2,6 dm 2  84 ,94...dm 2  85 dm 2
Muovia kuluu siis 85 dm2.
b) 85 dm2
Vastaus: a) 74 l
238. Kuulan säde r 
Tilavuus on
12,16 cm
 6,08 cm  0,0608 m
2
4  0,0608 m 3
V 
 0,0009414...m 3
3
248
Avaruuskappaleita
kg
 0,0009414...m 3
3
m
 7, 2567...kg
 7257 g
 7708
Vastaus: 7257 g
239. Hahmotellaan tilannekuva pakkauksesta.
3,5 cm
21 cm
Pallolla ja lieriöllä on sama säde r = 3,5 cm.
Pallojen tilavuus yhteensä on siis
V pallot
4  3,5 cm 3
 3
 538,783...cm 3
3
249
Avaruuskappaleita
Lieriön korkeus on 21 cm, joten tilavuus on
V lieriö    3,5 cm 2  21 cm  808,174...cm 3
Tyhjän tilan osuus on siis
V lieriö  V pallot
V lieriö
808,174...cm 3  538,783...cm 3

808,174...cm 3
 0,33333...
 33 %
Vastaus: 33 %
240. Juustokupu on puolipallo, jonka säde r 
Puolipallon ala on
19,0 cm
 9,50 cm
2
9,50 cm
4  9,50 cm 2
A
2
 567,05...cm 2
 567 cm 2
Muovia tarvitaan siis 567 cm2.
Vastaus: 567 cm2
250
Avaruuskappaleita
241. Saippuakuplan säde r  3,0 cm .
Kokonaisen kuplan eli pallon tilavuus on
4  3,0 cm 3
 113,09...cm 3
V 
3
Kupla putoaa lattialle, jolloin muodostuu puolipallo.
Merkitään puolipallon sädettä x. Kokonaisella kuplalla ja muodostuvalla
puolipallolla on sama tilavuus, joten saadaan yhtälö
1 4x 3

 113,09...
2 3
4x 3
 113,09...  6
6
4x 3  678,58... : 4
x 3  54
x  3,779...
x  3,8
Puolipallon säde x = 3,8 cm.
Vastaus: 3,8 cm
251
Avaruuskappaleita
242. Merkitään kuution sivun pituutta kirjaimella x. Kuution tilavuus on 160
cm3, joten saadaan
x 3  160
x  3 160
x  5,428...
Kuution sivun pituus on siis x = 5,428… cm, joten yhden tahkon pintaala on x2. Koska kuutiossa on kuusi tahkoa, niin kokonaispinta-ala on
A  6x2
 6  5,428... cm 2
 176,833... cm 2
Merkitään pallon sädettä kirjaimella r. Pallon tilavuus on myös 160 cm3,
joten saadaan
4 3
r  160  3
3
4r 3  480 : 4
480
4
480
r 3
 3,367...
4
r3 
252
Avaruuskappaleita
Pallon säde r = 3,367… cm, joten pallon pinta-ala on
A  4r 2
 4    3,367... cm 2
 142,527... cm 2
Verrataan pallon pinta-alaa kuution pinta-alaan
Apallo
Akuutio
142,527... cm 2

 0,8059...  80,59... %  81 %
2
176,833... cm
Vastaus: 81 %
253
Avaruuskappaleita
243. Merkitään lieriön pohjan sädettä r ja korkeutta h. Koska lieriöllä ja
pallolla on sama halkaisija, pallon säde on myös r.
V lieriö  r 2 h
r
4r 3

3
r
V pallo
Tilavuudet ovat yhtäsuuret eli
V lieriö  V pallo
4 r 3
:r 2
r h 
3
4 r 3 4 r
h

3 r 2
3
2
Muovin menekki riippuu kappaleiden pinta-aloista.
A pallo  4r 2
Alieriö  Apohjat  Avaippa
 2r 2  2rh
 2r 2  2r 
8r 2
 2r 
3
2
254
4r
3
h
Avaruuskappaleita
Verrataan lieriön pinta-alaa pallon pinta-alaan
Alieriö
Apallo
8r 2
2r 
3

2
4r
2
   8 r 2
2

3 


4r 2
  8 
 2

3 


4
 1,1666...
Lieriön ala on 1,1666…-kertainen, joten muovia tarvitaan siihen 16,66…
% ≈ 17 % enemmän.
Vastaus: 17 %
255
Avaruuskappaleita
244. Muovin menekki riippuu kappaleen pinta-alasta. Hahmotellaan kuva
poijusta. Kartion korkeus on 65 cm ja puolipallon
70 cm
 35 cm .
halkaisija 70 cm, joten säde r 
s
2
65 cm
Kartion pinta-alaa varten tarvitaan sivujanan pituus.
Merkitään kartion sivujanaa s.
35 cm
s 2  65 2  35 2
s 2  5450
s   5450
s  73,824...
Kartion vaipan ala on
A vaippa    35 cm  73,824...cm  8117,38...cm 2
Puolipallon ala on
Apuolipallo
4  35 cm 2

 7696,90...cm 2
2
256
Avaruuskappaleita
Kartion ja puolipallon yhteispinta-ala on
8117,38...cm 2  7696,90...cm 2  15814 ,287... cm 2
 1,5814287... m 2
 1,6 m 2
Vastaus: 1,6 m2
245. a) Olkoon pallon alkuperäinen säde r, jolloin kasvanut säde on 1,2r.
Pallon pinta-alat alussa ja lopussa ovat
Aalussa  4r 2
Alopussa  4 1,2r 2  5,76r 2
Verrataan pinta-aloja keskenään
Alopussa
Aalussaa
5,76r 2

 1,44
2
4r
Pallon ala 1,44-kertaistuu eli se kasvaa 44%.
257
Avaruuskappaleita
b) Olkoon alkuperäinen säde r, jolloin kasvanut säde on 1,5r.
Pallon pinta-alat alussa ja lopussa ovat
Aalussa  4r 2
Alopussa  4 1,5r 2  9r 2
Verrataan pinta-aloja keskenään
Alopussa
Aalussa
9r 2

 2, 25
2
4r
Pallon ala 2,25-kertaistuu eli se kasvaa 125%.
Vastaus: a) 44 %
b) 125 %
258
Avaruuskappaleita
246. Hahmotellaan tilannekuva. Kartion
pohjan säde on 15 cm ja korkeus 24
cm. Merkitään kartion sisällä olevan
suurimman mahdollisen pallon
sädettä r ja kartion sivujanaa s.
24 - r
s
24
r
15
Kuvassa on kaksi kolmiota, jotka ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla
(huippukulmat samat sekä molemmissa suorakulma).
Vastinsivujen suhteista saadaan verranto
r
24  r

s
15
Sivujana s saadaan Pythagoraan lauseella sisälle muodostuvasta
suorakulmaisesta kolmiosta
s 2  15 2  24 2
s 2  801
s   801
s  28,301...
259
Avaruuskappaleita
Sijoitetaan s  28,301... verrantoyhtälöön
24  r
r

15 28,301...
28,301... r  360  15r
43,301...r  360 : 43,301...
r
360
 8,3137...
43,301...
Pallon tilavuus on siis
4  8,3137... cm 3
V
3
 2406,98...cm 3
 2,40698... dm 3
 2,4 dm 3
Vastaus: 2,4 dm3
260
Avaruuskappaleita
Kysytty etäisyys on muodostuvan
sektorin kaaren pituus b.
6370 km
23,5
23,5
 2    6370 km
b
360 
 2612,67...km
päiväntasaaja
b
Kauriin
kääntöpiiri
 2610 km
Vastaus: 2610 km
Maapallon säde R = 6370 km.
22° N143°W
R
8
22
R
8° E143°W
Tarkastellaan kuvaan muodostunutta punaista sektoria. Sen kaaren pituus
b1 on lentotukialuksen kulkema matka.
Sektorin keskuskulma on 22° + 8°= 30°.
261
Avaruuskappaleita
30
 2R
360
1
  2  6370 km
12
 3335,324... km
b1 
R
b1
30°
R
Sukellusvene seuraa laivaa 1,5 km syvyydessä. Tarkastellaan sektoria,
jonka kaaren pituus b2 on sukellusveneen kulkema matka.
30
 2 R  1,5 km 
360
1
  2 6370 km  1,5 km 
12
1
  2  6368,5 km
12
 3334,538... km
b2 
b2
R – 1,5
30°
Matkojen ero on
b1  b2  3335,324... km - 3334,538... km
 0,785... km
 0,8 km
Vastaus: 0,8 km
262
R – 1,5
Avaruuskappaleita
N
Satelliitti on 30000 km korkeudessa
suoraan päiväntasaajan yläpuolella.
W
6370 km

Näkyvyysalue muodostuu tangenttien
väliin. Pohjoisen leveysasteen määrää
kulma α.
Lasketaan kulma α muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta.
cos 
6370 km
30000 km  6370 km
cos 
6370 km
36370 km
  80,012...
Vastaus: Kysytty leveyspiiri on 80 pohjoista leveyttä.
263
E
S
30000 km
Avaruuskappaleita
250. Laiva lähtee Agadirista, joka sijaitsee 30° pohjoista leveyttä ja 10° läntistä
pituutta. Laiva kulkee pitkin samaa 30. leveyspiiriä, kunnes saapuu
Jacksonvilleen, joka sijaitsee 83° läntistä pituutta. Molemmat pituuspiirit
ovat läntistä pituutta, joten pituuspiirien ero on siis 83  10  73 .
Tämä kulma on maapallon sisään muodostuvan sektorin keskuskulma.
Sektorin kaaren pituus on laivan kulkema matka b.
r
r
73°
Jacksonville:
30°N83°W
b
30°
R
30°
R
Agadir:
30°N10°W
Lasketaan ensin pikkuympyrän eli 30° leveyspiirin säde r. Maapallon
sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
cos 30 
r
R
r
 6370
6370
r  6370  cos 30
cos 30 
r  5516,58... ( km)
264
Avaruuskappaleita
Laivan kulkema matka on siis sen sektorin kaaren pituus, jonka
keskuskulma on 73° ja säde r = 5516,58… km. Sektorin kaaren pituus b
on
73
 2  5516,58... km
360
 7028,623... km
b
 7029 km
Vastaus: 7029 km
251. Viljami liikkuu vuorokaudessa matkan,
jonka vastaa r-säteisen ympyrän kehää.
Hahmotellaan kuva maapallosta.
Maapallon säde on 6370 km. Oulu
sijaitsee 65. leveysasteella.
r
6370 km
Oulu
25
65
6370 km
kolmiosta saadaan
r
 6370
6370
r  6370  sin25  2692,07...
sin25 
Vuorokaudessa (24 h) kuljettu matka on siis
2    2692,07... km  16914,82...km .
265
Avaruuskappaleita
Nopeus on
v
km
km
16914 ,82...km
 704 ,78...
 705
h
h
24 h
Vastaus: 705
km
h
252. Kurpitsan halkaisija on 43,0 cm, joten säde r 
a) Kuoren pinta-ala on
43,0 cm
 21,5 cm
2
Apallo  4  21,5 cm 2  5808,80...cm 2  58,1 dm 2
b) Kurpitsan tilavuus on
4  21,5 cm 3
V
 41,629...dm 3  41,6 dm 3
3
Vastaus: a) 58,1 dm2
b) 41,6 dm3
266
Avaruuskappaleita
5,0 cm
 2,5 cm .
2
Annos sisältää kaksi palloa, joten annoksen tilavuus on
253. Pallon halkaisija on 5,0 cm, joten säde r 
Vpallot
4  2,5 cm 3
 2
 130,89...cm 3  0,13089... dm 3  0,13089... l
3
Annoksen hinta on 2,00 €, joten litrahinta on
2,00 €
€
€
 15, 27...  15
0,13089...l
l
l
Vastaus: 15 €/l
254. Merkitään pallon sädettä r. Pallon tilavuus on 125 cm3, joten saadaan
4r 3
 125  3
3
4r 3  375 : 4
375
4
375
r 3
 3,1017...  3,10
4
r3 
Pallon säde on siis r ≈ 3,10 cm.
Vastaus: 3,10 cm.
267
Avaruuskappaleita
255. Hahmotellaan kuva. Helsinki sijaitsee 60.
leveyspiirillä. Kun kuljetaan suoraan itään,
kuljetaan 60. leveyspiirillä.
Merkitään tämän leveyspiirin sädettä
kirjaimella r. Lasketaan tämän leveyspiirin
pituus eli r – säteisen ympyrän kehän pituus.
r
30
Helsinki
R
60
R
Maapallon sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
r
6370
r  6370  sin30 
r  3185
sin30  
Kuljettu matka on näin ollen
2r  2    3185 km  20011,94...km  20000 km .
Vastaus: 20000 km
268
Avaruuskappaleita
256. Ilmapallon säde r = 1,6 m = 16 dm. Pallon tilavuus on
4r 3 4  16 dm 3

 17157, 28...dm 3 .
V
3
3
Ilman tiheys on 1, 29
g
.
dm 3
g
3
 1,29

17157
,
28
...
dm
dm 3
 22132,8...g
 22,1 kg
Vastaus: 22,1 kg
269
Kertausosan ratkaisut
Kertausosa
1.
Kulma α on 37° suurempi kuin kulma  eli     37 .
Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180° eli

  37  
2

 180
 180
 143 |: 2
 71,5
Siis     37  71,5  37  108,5
Vastaus:   108,5,   71,5
2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t
ovat yhdensuuntaisia, samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuria eli
3x  24  104  5x
3x  5x  104  24
8x  128 |: 8
x  16
270
3. Merkitään kolmion lyhintä sivua kirjaimella x.
Pisin sivu on siis 3x ja toiseksi pisin sivu x + 15 cm.
Kolmion piiri on 120 cm eli
x  3x  x  15  120
5x  105
:5
x  21
Pisin sivu on siis 3x  3  21 cm  63 cm .
Toiseksi pisin x  15 cm  21 cm  15 cm  36 cm .
Lyhin sivu x = 21 cm.
Vastaus: 63 cm, 36 cm , 21 cm
4. Suunnikkaan kahden kulman suhde on 2 : 5. Merkitään kulmien
suuruuksia 2x ja 5x.
Suunnikkaan kulmien summa on 360° ja vastakkaiset kulmat ovat
yhtäsuuret, joten saadaan yhtälö
2 x  2 x  5x  5x  360
14 x  360
x
271
: 14
360
 25,714... 
14
Kulmien suuruudet siis ovat
2 x  2  25,714...   51,4285...   51
5x  5  25,714...   128,571...   129
Vastaus: Kulmat ovat 51° ja 129° (2 kpl kumpaakin).
5. Suorakulmion kulmat ovat kaikki suoria, joten
3    90
4  90 : 4
  22,5
Suorakulmion lävistäjät ovat yhtäpitkät. Lisäksi lävistäjät puolittavat
toisensa. Tarkastellaan suorakulmiosta tiettyä kohtaa, joka on
tasakylkinen kolmio.
3
Kolmion kolmas kulma on  ristikulmana.
3
3  3  
6  
6  22,5  
135  
 180
 180
 180
 180
  45
Vastaus:   22,5,   45
272

6.
Janat AB ja DE ovat yhdensuuntaisia.
D
E
52 cm
72 cm
C
x
A
61,2 cm
B
Kolmiot ABC ja ECD ovat yhdenmuotoiset (kk-lause), koska

kulmat C ristikulmina yhtäsuuret,

kulmat E ja A samankohtaisina kulmina yhtäsuuret.
Merkitään pisteen C korkeutta kirjaimella x.
Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan vastinsivujen suhteena verranto
52 72

x 61,2
72 x  3182,4 |: 72
x  44 ,2
Pöydän korkeus on siis
52 cm + 44,2 cm = 96,2 cm ≈ 96 cm.
Vastaus: 96 cm
273
7. Hahmotellaan tilannekuva. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet
ovat 5,0 m ja 4,0 m.
Merkitään sisään piirretyn neliön sivua kirjaimella x.
C
x
E
4,0 m
x
A
B
D
5,0 m
Kolmiot ABC ja DBE ovat yhdenmuotoiset (kk-lause), koska

molemmissa 90° kulma,

kulma B yhteinen.
Vastinsivut ovat siis verrannolliset, joten saadaan
5
5x
5x
5x
9x
x
4
x
 4  5  x 
 20  4 x
 20 |: 9
 2,222...  2,2

Vastaus: 2,2 m
274
m 
8. Koska AD : DC =1 : 3, niin merkitään sivun AD pituutta kirjaimella a.
Tällöin sivun DC pituus on 3a. Janojen AB ja DE etäisyys on 18 cm.
Merkitään pisteen C etäisyyttä (kolmion DEC korkeus) janasta DE
kirjaimella x.
C
3a
x
E
D
a
18 cm
A
62 cm
B
Kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset (kk-lause), koska

kulmat A ja D ovat samankohtaisina kulmina yhtäsuuret,

molemmissa kolmioissa on kulma C.
Vastinsivut ovat verrannolliset eli
x
x  18
x
x  18
x
x  18
4x
4x
x
3a
3a  a
3a
 
4 a
3

4
 3x  18 
 3x  54
 54

275
Kolmion ABC korkeus on x + 18 cm = 54 cm + 18 cm = 72 cm.
Kolmion ala on
62 c m  72 c m
2
 2232 c m 2
A
 22, 32 dm 2
 0, 22 m 
 22 dm 2
2
Vastaus: 0,22 m2
9. Kootaan annetut tiedot taulukkoon. Merkitään vaimon pituutta
luonnollisessa koossa kirjaimella x.
Pituus kuvassa
(cm)
8,8
7,8
Pituus luonnossa
(cm)
187
x
Pituudet kuvassa ja luonnossa ovat suoraan verrannolliset (vastinsivujen
suhteet ovat samat) eli
8,8 187

7,8
x
8,8x  1458,6 : 8,8
x  165,75  166 ( cm )
Vastaus: Vaimon todellinen pituus on 166 cm.
276
10. Urheilukentän ala kartalla on 20 cm2. Olkoon ala luonnossa (todellinen
ala) A.
Kartan mittakaava k 
1
. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö eli
2000
2
20  1 


A  2000 
20
1

A 4000000
A  80000000
Ala on A =80 000 000 cm2 = 0,8 ha.
Vastaus: 0,8 ha
2
11. Kahden yhdenmuotoisen kuvion mittakaava k  . Merkitään
5
pienemmän kuvion alaa A1 ja suuremman ala A2. Koska pinta-alojen
suhde on mittakaavan neliö, niin saadaan
A1  2 
 
A2  5 
A1
4

A 2 25
277
2
Pienempi kuvio on suuremmasta kuviosta
4
16

 16%
25 100
Vastaus: 16 %
12. Olkoon esimerkiksi kuvan leveys ennen suurennusta s, jolloin leveys
suurennuksen jälkeen on 1,25s. Merkitään kuvan pinta-alaa alussa A1 ja
lopussa A2. Kootaan tiedot taulukkoon.
Leveys
s
1,25s
Ala
A1
A2
Valokuvat ovat yhdenmuotoisia, joten mittakaavan neliö on pinta-alojen
suhde eli
2
A
 s 

  1
A2
 1, 25s 
2
A
 1 

  1
A2
 1, 25 
A
1
 1
1,5625 A 2
A 2  1,5625 A1
278
Suurennuksen jälkeen kuva on 1,5625-kertainen vanhaan nähden eli sen
koko kasvaa 56,25 %  56 %.
Vastaus: 56 %
13. Kuvan suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pythagoraan lauseella
12 cm
x 2  9,5 2  12 2
x
x 2  53,75
x   53,75  7,331...
Koska x >0, niin x = 7,331… cm ≈ 7,3 cm.
Vastaus: 7,3 cm
279
9,5 cm
14. Merkitään suorakulmaisen kolmion toista kateettia kirjaimella x.
Toinen kateetti on tällöin x – 3,0 cm. Hypotenuusan pituus on 22 cm,
joten Pythagoraan lauseella saadaan
x 2  x  3,0 2  22 2
x 2  x  3,0 x  3,0   484
x 2  x 2  3,0 x  3,0x  9,0  484
2 x 2  6,0x  475  0
6,0  ( 6,0 ) 2  4  2  ( 475 )
x
4
6,0  3836

4
x
6,0  3836
 16,983...
4
x
tai
6,0  3836
 13,983...
4
Koska x > 0, niin x = 16,983… cm.
Kateetit ovat siis
x = 16,983… cm ≈ 17 cm ja
x – 3,0 cm = 16,983… cm – 3,0 cm = 13,983… cm ≈ 14 cm
Vastaus: 17 cm, 14 cm
280
15. Hahmotellaan kuva. Sisäänkäynnissä on portaikon päälle suunniteltu
luiska, jonka pituus on 2,4 m. Luiskan pää on 2,3 m päässä ovesta.
Merkitään portaikon korkeutta kirjaimella x.
2,4 m
saadaan Pythagoraan lauseella
x
x 2  2,3 2  2,4 2
x 2  0,47
x   0,47  0,685...
Koska x >0, niin x = 0,685… m ≈0,69 m
Vastaus: 0,69 m
16. a) Kolmio on suorakulmainen, joten
17 cm
25 cm
  47,156...  47
cos  
281
2,3 m
b) Kolmio on suorakulmainen, joten
5, 4 m
x
x  sin 35  5,4 m
sin 35 
x
x
: sin35
5, 4 m
 9,4146... m  9,4 m
sin 35
Vastaus: a) 47°
b) 9,4 m
17. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 12 cm ja 18 cm.
Merkitään kolmion kulmia α,  ja 90°. Hahmotellaan kuva kolmiosta.
12 cm
18 cm
tan  
12 cm
  56,3099...  56
12 cm
18 cm
  33,690...  34
tan  
Suorakulmaisen kolmion kolmas kulma on 90°.
Vastaus: Suoran kulman lisäksi kulmat 56° ja 34°.
282
α
β
18 cm
18. Majakan huippu on 15 m korkeudessa. Laivat ovat vastakkaisilla puolilla
siten, että toisesta laivasta huippu näkyy 12° kulmassa ja toisesta 8,5°
kulmassa. Hahmotellaan tilannekuva.
15 m
12°
8,5°
y
x
Merkitään toisen laivan etäisyyttä majakasta kirjaimella x ja toisen
etäisyyttä y.
Laivojen välinen etäisyys on tällöin x + y.
Muodostuvista suorakulmaisista kolmiosta saadaan
15 m
x
x
x  tan 8,5  15 m
15 m
 100,367... m
x
tan8,5
tan 8,5 
15 m
y
y
y  tan 12  15 m
15 m
y
 70,569... m
tan12
tan 12 
Etäisyys x + y = 100,367… m + 70,569… m = 170,9367… m ≈ 170 m
Vastaus: 170 m
283
19. Tasakylkisen kolmion huippukulma on 42° ja korkeus 11 cm.
Korkeusjana puolittaa huippukulman ja kannan. Huippukulman puolikas
42
on
 21 . Merkitään kannan pituutta 2x ja kyljen pituutta y.
2
y
42°
11 cm
11 cm
21°
y
x
2x
t an 21  
x
11
 11
x  11  tan 21   4, 2225...
Koska korkeusjana puolitti kannan, niin koko kannan pituus on siis
2x  2  4 , 2225... cm  8,445... cm  8,4 cm .
Tasakylkisen kolmion kyljen pituus y saadaan myös suorakulmaisesta
kolmiosta
cos 21 
11
y
y  cos 21  11
y
y
: cos 21
11
 11,7825...
cos 21
284
Kyljen pituus on siis y = 11,7825… cm ≈ 12 cm.
Vastaus: Kylkien pituus 12 cm ja kanta 8,4 cm
20. Piirretään mallikuva. Merkitään puun pituutta kirjaimella x.
x
8,5°
2,5 m
Tilanteesta muodostuu suorakulmainen kolmio, jossa
α = 90°-8,5°=81,5°.
2,5
x
x  cos 81,5  2,5
cos 81,5 
x
α
x
: cos 81,5
2,5
 16,91367...
cos 81,5
Puun pituus on x=16,91367… m ≈ 17 m.
Vastaus 17 m
285
x
2,5 m
21. a) Lasketaan ensi kolmion korkeus x.
3,4m
x 2  3,4 2  5,3 2
x
5,3 m
x 2  16,53
x   16,53  4 ,0657...
Koska x >0, niin x =4,0657… m
Kolmion ala on siis
A
3,4 m  4,0657... m
 6,9117... m 2  6,9 m 2
2
b)
77 mm
118°
h
α
85 mm
Kuviossa oleva kulma   180  118  62 . Lasketaan ensin kolmion
korkeus h.
286
h
 77
77
77  sin 62  h
h  67,98696...
sin 62 
Kysytyn kolmion ala on
A
85 mm  67,98696... mm
 2889,4... mm 2  28,894... cm 2  29 cm 2
2
Vastaus: a) 6,9 m2
b) 29 cm2
22. Tasasivuisen kolmion korkeus on 12,0 cm. Kaikki
kulmat ovat 60°.
Merkitään kolmion kantaa lausekkeella 2x.
Koska korkeusjana puolittaa kannan, on kannan
puolikas x.
12,0 cm
60°
2x
12,0
x
x
x  tan 60  12,0
12,0
x
 6,9282...
tan 60
tan 60 
287
12,0 cm
60°
x
Kolmion kanta on siis
2 x  2  6,9282... cm  13,856... cm .
Kolmion ala on
A
13,856... cm  12,0 cm
 83,1384... cm 2  83,1 cm 2
2
Vastaus: 83,1 cm2
23. Merkitään suorakulmaisen kolmion toista kateettia kirjaimella x.
Kateettien pituusero on 5,0 cm, joten toinen kateetti on esimerkiksi
x – 5,0 cm.
Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat samat kuin kolmion kanta ja
korkeus. Koska kolmion ala A = 38 cm2, niin saadaan
A  38
x x  5,0 
 38
2
x 2  5,0x
 38
2
x 2  5,0 x  76
x 2  5,0x  76  0
288
2
5,0  ( 5,0 )2  4  1  ( 76 )
x
2
5,0  329
x
2
5,0  329
5,0  329
 11,569... tai x 
 6,569...
x
2
2
Koska x>0, niin x = 11,569… cm.
Kateetit ovat siis
x = 11,569… cm ≈ 12 cm
x – 5,0 cm = 11, 569… cm – 5,0 cm =6,569… cm ≈ 6,6 cm.
Vastaus: Kateetit ovat 12 cm ja 6,6 cm.
24. Merkitään kolmion kantaa kirjaimella x ja korkeutta kirjaimella h. Kannan
ja korkeuden summa on 23 cm eli
x + h = 23
h = 23 – x
289
Koska kolmion ala on 45 cm2, niin saadaan yhtälö
x 23  x 
 45
2
 x 2  23x  90
2
 x 2  23x  90  0
 23  232  4  ( 1)  ( 90 )
x
2
 23  169

2
 23  13

2
x
 23  13
 23  13
 18 tai x 
5
2
2
Kolmion kanta x = 5,0 cm tai x = 18 cm
Vastaus: 5,0 cm tai 18 cm
290
25. Merkitään tasakylkisen kolmion korkeutta
kirjaimella h. Huippukulma on 28° ja kanta 44 cm.
28°
h
Korkeusjana puolittaa huippukulman ja kannan.
28
 14 ja kannan
2
44 cm
puolikas on
 22 cm .
2
44 cm
14°
Muodostuu suorakulmainen kolmio, josta saadaan
h
22
h
h
h  tan 14  22
22
h
 88, 237...
tan 14
tan 14 
Kolmion pinta-ala on
A
44 cm  88,237... cm
 1941, 2... cm 2  19 dm 2
2
Vastaus: 19 dm2
291
22 cm
26. a) Lasketaan suunnikkaan korkeus h muodostuvasta suorakulmaisesta
kolmiosta.
h
3,2 dm
Kolmion kulma   180  135  45 .
135°
α
4,9 dm
h
 3,2
3, 2
h  3, 2  sin 45  2, 2627...
sin 45 
Nelikulmion ala on
A  4 ,9 dm  2,2627... dm  11,087... dm 2  11 dm 2
b) Kyseessä on tasakylkinen puolisuunnikas, koska kantakulmat ovat
yhtäsuuret.
Tilanteesta muodostuu suorakulmainen kolmio,
josta voidaan laskea puolisuunnikkaan korkeus h.
h
t an 65  
 16, 5
16, 5
h  tan 65   16, 5  35, 384...
292
115 cm - 82 cm
 16,5 cm
2
65°
h
Puolisuunnikkaan pinta-ala on
35,384... cm 82 cm  115 cm 
2
35,384... cm  197 cm

2
 3485,35... cm 2
A
 35 dm 2
Vastaus: a) 11 dm2
b) 35 dm2
27. Merkitään suorakulmion (huoneen) leveyttä kirjaimella x.
Pituus on tällöin x – 5,0 m.
Suorakulmion (huoneen) ala on 84 m3 eli
x x  5,0   84
x 2  5,0 x  84  0
5,0  ( 5,0 )2  4  1  ( 84 )
x
2
5,0  361 5,0  19
x

2
2
x
5,0  19
 12 tai
2
Koska x >0, niin x = 12 m
293
x
5,0  19
 7
2
Tällöin pituus on x – 5,0 m= 12 m – 5,0 m= 7,0 m.
Vastaus: Mitat ovat 12 m ja 7,0 m.
28. Hahmotellaan puolisuunnikkaan kuva. Merkitään
yhdensuuntaisista sivuista lyhyempää kirjaimella x.
Erisuuntaisista sivuista toinen on kohtisuorassa
yhdensuuntaisia sivuja vastaan. Tämän sivun pituus
on myös x (puolisuunnikkaan korkeus).
Yhdensuuntaisten sivujen pituusero on 3,0 m, joten
toisen pituus on x + 3,0m.
x
x
x
3,0 m
Pinta-ala on 162 m2, joten saadaan
x x  x  3,0 
 162
2
x 2 x  3,0   324
2 x 2  3,0 x  324  0
2
:2
x 2  1,5x  162  0
 1,5  1,5 2  4  1  ( 162 )
x
2
 1,5  650, 25
x
2
 1,5  25,5
 1,5  25,5
x
 12 tai x 
 13,5
2
2
294
12 m
Koska x >0, niin x = 12 m.
y
Tällöin toinen yhdensuuntainen sivu on
x + 3,0 m=15 m.
Merkitään puolisuunnikkaan viimeistä sivua
kirjaimella y.
12 m
12 m
3,0 m
Sivu y saadaan muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan
lauseella
y 2  12 2  3,0 2
y 2  153
y   153  12,369...
Koska y >0, niin y = 12,369… m ≈ 12,4 m.
Vastaus: Sivut ovat 12 m, 12 m, 12,4 m ja 15 m.
295
29. Sormuksen halkaisija d = 1,8 cm =18 mm, joten sen kehän pituus on
p  d  18 mm    56,548...mm
Kehälle mahtuu 2,0 mm timantteja
56,548...mm
 28,27...  28 kappaletta.
2,0 mm
Vastaus: 28 kpl
30. Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r. Ympyrän ala on 36 cm2, joten
r 2  36 : 
r2 
36

r 
36

 3,385... cm 
Kehän pituus p on
p  2  3, 385...c m  21,26...cm  21c m
Vastaus: 21 cm
296
31. Kolmio on tasasivuinen. Tasasivuisen kolmion
sisään piirretty ympyrä sivuaa kolmion sivuja
niiden puolessavälissä. Kolmion sivun pituus on
12 cm ja kaikki kulmat ovat 60°.
Kolmion huippukulma on siis myös 60.
Korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman.
12 cm
 6 cm ja
Kannan puolikas on
2
60
huippukulman puolikas
 30 .
2
6 cm
12 cm
r
r
6
r  6  t an 30
 3, 464...
tan30 
Ympyrän ala on
A  r 2    3,464... cm 2  37,69...cm 2  38 cm 2
Vastaus: 38 cm2
297
32. Olkoon ympyrän säde r, jolloin sen ala A = r 2 . Tätä alaa vastaa 360
asteen keskuskulma. Ympyrän sektorin alaa 250 cm2 vastaa 30 asteen
keskuskulma. Keskuskulma ja vastaava sektorin ala ovat suoraan
verrannollisia, joten
30 250
 2
360 r
30r 2  90000 : 30
r2 
3000
r 

3000

 30,90...
Ympyrän säde r >0, joten r = 30,90…cm ≈ 31 cm.
Vastaus: 31 cm
298
33. Koko ympyrän kehää p vastaa 360 asteen keskuskulma ja 4,2 dm sektorin
kaaren pituutta vastaa 15 asteen keskuskulma.
Kaaren pituus ja kaarta vastaavan sektorin keskuskulman suuruus ovat
suoraan verrannolliset.
4 , 2 dm
15 

p
360 
15 p  1512 dm : 15
p  100,8 dm
p  100 dm
Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r, jolloin
p  2r
100,8 dm  2r : ( 2 )
r
100,8 dm
 16,04... dm  16 dm
2
Vastaus: säde 16 dm, kehän pituus 100 dm
299
34. Sektorin kaaren pituus on sama kuin ympyrän säde r = 75 cm. Sektorin
keskuskulmaa  vastaa siis kaari, jonka pituus on 75 cm. 360 asteen
keskuskulmaa vastaa koko ympyrän kehä p
p  2  75 cm  471,23...cm
Koska keskuskulma ja vastaava kaaren pituus ovat suoraan verrannolliset,
niin saadaan

360 

75
471,23...
471, 23...  27000 
:471,23...
  57,29... 
  57 
Vastaus: 57°
35. Ympyrän säde r = 25 mm. Sektorin keskuskulma on
100°. Koska sektorin keskuskulma on alle 180°,
segmentin ala saadaan vähentämällä sektorin alasta
keskuskolmion ala.
Sektorin ala
Asektori 
100
   25 2  545,415...mm 2 
360
300
100°
25 mm
Keskuskolmio on tasakylkinen. Korkeusjana puolittaa huippukulman
(sektorin keskuskulman) ja kannan. Huippukulman puolikas on
100
 50 .
2
50°
Lasketaan ensin keskuskolmion
korkeus h ja kannan puolikas a.
25 mm
h
h
|25
25
h  25  cos 50
 16,069... mm 
cos 50 
a
|25
25
a  25  sin 50
a  19,1511... mm 
sin 50 
Keskuskolmion kanta on 2a, joten ala on
2ah
 ah
2
 19,1511... mm  16,069... mm
Akolmio 
 307,75... mm 2
301
a
Segmentin ala on
 545,415... mm 2  307,75... mm 2
 237,662...mm 2
 240 mm 2
Vastaus: 240 mm2
36. Ympyrän säde r = 13 m. Merkitään
pisteen P etäisyyttä ympyrän
keskipisteestä kirjaimella x. Jana x
puolittaa tangenttikulman.
Tangenttikulman puolikas on
35
 17,5 .
2
13 m
17,5°
P
kolmiosta saadaan
13
|x
x
x sin 17,5  13 |: sin 17,5
13
x
 43, 23...m 
sin 17,5
sin 17,5 
Pisteen P etäisyys kehästä on
x – r = 42,23… m – 13 m = 30,23… m ≈ 30 m
Vastaus: 30 m
302
x
37. Hahmotellaan tilannekuva. Merkitään
lähetysalueen ulottuvuutta yhteensuuntaan
kirjaimella b ja radiomaston korkeutta kirjaimella
h = 35 m = 0,035 km. Maapallon säde R = 6370
km.
Merkitään lähetysaöueen ulottuvuutta (kaaren
pituutta) vastaavan keskuskulman suuruutta α.
h
6370 km
b
α
6370 km
6370
6370  0,035
cos   0,999...
cos  
  0,1899...
Lähetysalue ulottuu kaaren b päähän.
b
0,1899...
 2  6370 km  21,116... km  21 km
360
Vastaus: 21 km
303
38. Hahmotellaan tilannekuva. Maapallon säde 6370 km. Sukkula on 350 km
korkeudella. Merkitään näkyvyysaluetta eli kaaren pituutta b ja tätä
vastaavaa keskuskulmaa 2α.
Lasketaan keskuskulman
puolikas α muodostuvasta
6370 km
350 km
α
b
6370
6370  350
6370
cos  
6720
cos   0,9479...
  18,573...
cos  
Koko näkyvyysaluetta vastaava keskuskulma 2α on koko maapallon
keskuskulmasta (360°) prosentteina
2
2  18,573...

 0,103...  10 %
360
360
Vastaus 10 %
304
39. Hahmotellaan tilannekuva. Teatterin
halkaisija on 62 m, joten säde
62 m
r
 31 m .
2
x
31 m
b
150 m
β
Ville
α
x
Ville seisoo 150 m päässä teatterista
Lyhin reitti teatterin ympäri koostuu kahdesta suorasta x ja ympyrän
kaaresta b.
Kaaren pituuden b laskemiseksi tarvitaan ensin keskuskulmat α ja .
Suorien osien pituus saadaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta.
150 m + 31 m = 181 m
x  31  181
2
2
2
x 2  1812  312
α
x  31800
2
x
31 m
x   31800
x  178,325... m 
Lasketaan kulman α suuruus muodostuneesta suorakulmaisesta
kolmiosta.
31
181
cos   0,1712...
cos  
  80,138...
Ympyrän kehää pitkin kuljettavaa matkaa vastaa keskuskulma
  360  2  360  2  80,138...  199,723...
305
Kaaren b pituus on
b
199,723...
 2  31 m  108,06... m
360
Koko matkan pituus on
b  2 x  108,06...m  2  178,325...m  464,711...m  460 m
Vastaus: 460 m
40. Piirretään tilannekuva. Pallon halkaisija on 38 cm, joten säde
38 cm
r
 19 cm . Hyttysen (pisteen) etäisyys pallon kehästä on 35 cm.
2
Hyttynen näkee pallosta kaaren b verran.
19 cm
hyttynen
35 cm
α
b
306
Lasketaan ensin kaaren puolikasta vastaavan keskuskulman α suuruus
muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta.
19
35  19
19
cos  
54
cos   0,3518...
cos  
  69,39...
Koko hyttysen näkökenttää vastaava keskuskulma on
2α = 2 · 69,39…° = 138,79…°.
Näkökentän keskuskulma on koko ympyrän keskuskulmasta (360°)
prosentteina
138,79...
 0,385...  39 %
360
Vastaus: 39 %
307
41. Merkitään purkin (lieriön) pohjaympyrän sädettä x. Purkin korkeus h on
yhtä suuri kuin pohjan säde eli h = x .
Tilavuus on
x
x
V  Ap h
 x 2  x
 x 3
Koska purkkiin mahtuu 1,2 dl = 0,12 l kalaa, sen tilavuus
V= 0,12 dm3 = 120 cm3.
V  120
x 3  120 : 
x3 
120
x 3

120

 3,367...cm 
Pohjan halkaisija on siis
2r  2  3,367...cm  6,7355... cm  6,7 cm
Vastaus: 6,7 cm
308
42. Hahmotellaan kuva. Särmiön pohja on neliö,jonka sivun pituus on 3,0
dm. Särmiön korkeus on 5,0 dm. Merkitään pohjaneliön lävistäjää x ja
Pohjaan muodostuvasta suorakulmaisesta
kolmiosta saadaan
x 2  3,0 2  3,0 2
l
x
x 2  18
3,0 dm
x   18
x  4 , 242...
Koska x >0, niin x= 4,242… dm.
Toisesta muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
l 2  x 2  5,0 2
l 2  4 , 242...2  25
l 2  43
l   43  6,557...
Koska l >0, niin l = 6,557… dm ≈ 6,6 dm.
Vastaus: 6,6 dm
309
5,0 dm
3,0 dm
43. Merkitään jääkuution särmää kirjaimella x. Kuutio painaa 16,1 g. Jään
tiheys on 0,917 kg/l.
Koska tiheys 
massa
massa
, tilavuus 
.
tiheys
tilavuus
Jääkuution tilavuus on siis
16,1 g
0,0161 k g

 0,01755...dm 3  17,55...cm 3
kg
kg
0,917
0,917
dm 3
dm 3
Jos särmän pituus on x, niin kuution tilavuus on x3 eli
x 3  17,55...
x  2,599...
x  2,60
Särmä x ≈ 2,60 cm.
Vastaus: 2,60 cm
310
44. Hahmotellaan kuva. Merkitään kuution sivun
pituutta 2x, jolloin lieriön säde on x.
Kuution ja lieriön korkeudet ovat samat eli
2x.
2x
x
Vlieriö  x 2  2x  2x 3 .
2x
Kuution tilavuus on
Vkuutio  2 x 3  8 x 3
Lieriön tilavuus kuution tilavuudesta on
V lieriä
2x 3 2


 0,7853...  79%
3
8
V lkuutio
8x
Vastaus: 79 %
311
45. Pohjana oleva säännöllinen 8-kulmio voidaan jakaa 8 samanlaiseen,
360
tasakylkiseen kolmioon. Kolmion huippukulma on
 45 .
8
Säännöllisen 8- kulmion sivun pituus on 3,4 cm,
joka on sama kuin tasakylkisen kolmion kanta.
Kolmion korkeusjana puolittaa kannan ja
huippukulman. Kannan puolikas on
3,4 cm
 1,7 cm ja huippukulman puolikas on
2
45
 22,5 .
2
22,5 22,5
x
1,7 cm
Merkitään kolmion korkeutta x. Muodostuvasta suorakulmaisesta
kolmiosta saadaan
1,7 cm
x
1,7 cm
x
 4 ,104...cm

tan22,5
tan22,5  
Kolmion ala on
Akolmio 
3,4 cm  4 ,104... cm
 6,9770... cm 2 .
2
Pohjan ala on tällöin
A  8  Akolmio  8  6,9770... cm 2  55,8166... cm 2
312
1,7 cm
Koska vaippa muodostuu kahdeksasta suorakulmiosta, joiden kanta on
3,4 cm ja korkeus 10,2 cm, on kokonaispinta-ala
Akoko  2  Apohja  8  Asuorakulmio
 2  55,8166...cm 2  8  3,4 cm  10,2 cm
 389,07...cm 2
 390 cm 2
Vastaus: 390 cm2
46. Ympyräkartion korkeus h = 12 dm
Pohjaympyrän halkaisija on 8,0 dm, joten säde
8,0 dm
r
 4 ,0 dm .
2
s
h
Tilavuus on
V
r h
2
3

  4 ,0 dm   12 dm
2
3
r
 201,06... dm 3  200 dm 3
Vaipan alan laskemiseksi tarvitaan sivujanan s pituus. Muodostuvasta
s2  h2  r 2
s 2  12 2  4 2
s 2  160
s   160  12,64... dm 
313
Vaipan ala on
Av  rs    4 ,0 dm  12,64... dm  158,95..dm 2  160 dm 2
Vastaus: Tilavuus on 200 dm3 ja vaipan ala 160 dm2.
47. Kartion pohja on säännöllinen viisikulmio, jonka
sivun pituus on 4,1 m. Korkeus h = 6,4 m.
Hahmotellaan kuva kartiosta.
Vaipan pinta-alaa varten tarvitaan sivutahkoina
olevien tasakylkisten kolmioiden korkeus.
Merkitään tätä kirjaimella s.
Merkitään pyramidin sisälle muodostuvan
suorakulmaisen kolmion toista kateettia
kirjaimella x.
Pohja voidaan jakaa viideksi keskenään
samanlaiseksi kolmioksi. Tällöin jokaisen
360
kolmion huippukulma on
 72 .
5
Kolmion korkeusjana x puolittaa huippukulman
ja kannan. Huippukulman puolikas on
72

 36 .
2
314
s
h
x
4,1 m
x
α
4,1 m : 2= 2,05 m
Ratkaistaan ensin kateetin x pituus. Pohjalle muodostuvasta
2,05
| x
x
x tan 36  2,05 |: tan 36
tan 36 
x
2,05
 2,821... m 
tan 36
Sivutahkon korkeus s saadaan Pythagoraan lauseella toisesta
suorakulmaisesta kolmiosta
s2  h2  x 2
s 2  6,4 2  2,821... 2
s 2  48,921...
s   48,921...  6,994... m 
Sivutahkokolmion ala on
Ak 
4 ,1 m  6,994...m
 14 ,338... m 2
2
Pyramidin vaippa koostuu viidestä kolmiosta, joten ala on
Av  5  Ak  5  14 ,338... m 2  71,692... m 2  72 m 2
Vastaus: 72 m2
315
48. Ympyrän säde r = 5,4 dm. Sektorin keskuskulma on 170°. Lasketaan
ensin sektorin kaaren pituus eli ympyräkartion pohjan kehän pituus.
b
170
 2  5,4 dm  16,0221...dm
360
Merkitään pohjaympyrän sädettä kirjaimella x. Tällöin
2 πx  16,0221... :( 2π)
16,0221...
2π
x  2,55 ( dm)
x
Kartion sivujana ja alkuperäisen ympyräsektorin säde
ovat yhtä suuret. Kartion korkeus h saadaan kartion
sisälle muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta
Pythagoraan lauseella.
5,4 dm
h
2,55 dm
h 2  2,55 2  5,4 2
h 2  5,4 2  2,55 2
h 2  22,6575
h   22,6575  4 ,759... dm 
Koska h >0, niin h = 4,759… dm.
Kartion tilavuus on
V
r 2h
3

  2,55 dm 2  4 ,759... dm
3
Vastaus: 32 dm3
316
 32,412... dm 3  32 dm 3
49. Samppanjalasin suuaukon säde r 
6,1 cm
 3,05 cm .
2
Lasin tilavuus on 12 cl. Muutetaan tilavuus kuutiosenttimetreiksi.
12 cl = 1,2 dl = 0,12 l = 0,12 dm3 = 120 cm3
Lasi on ympyräpohjainen kartio, jonka tilavuus on siis 120 cm3.
Saadaan yhtälö
r 2 h
V
3
  3,05 2  h
 120 | 3
3
  3,05 2  h  360 |: 3,05 2  
360
h
3,05 2 
h  12,318... cm 
Koko lasin korkeus on siis
12,318… cm + 6,8 cm = 19,111… cm≈ 19 cm
Vastaus: 19 cm
317
50. Ympyräkartion pohjan halkaisijan ja korkeuden suhde on 2 : 3. Merkitään
kartion pohjan halkaisijaa merkinnällä 2a. Kartion korkeus on tällöin 3a.
Pohjan säde r =
2a
a
2
s
Kartion vaipan alaa varten tarvitaan sivujanan s
pituus.
a
Kartion tilavuus on
V 
3a
r 2 h
3

a 2  3 a
3
 a 3
Koska tilavuus on 1200 cm3, saadaan yhtälö
a 3  1200 |: 
a3 
1200
a 3

1200

a  3 381,97...
a  7, 255... cm 
318
Kartion sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
Pythagoraan lauseella sivujanan s pituus.
s 2  a 2  3a 2
s  a  9a
2
2
s  10a
2
s
2
3a
2
s   10a 2
a
s   10  7,255... 2
s   526,44...
s  22,944...
Vaipan ala on
Av  rs    7, 255... cm  22,944... cm  523,002...cm 2  520 cm 2
Vastaus: 520 cm2
319
51. Rantapallon tilavuus on 33,0 l = 33,0 dm3. Merkitään pallon sädettä
kirjaimella r. Saadaan yhtälö
V  33, 0 dm 3
4 r 3
 33, 0
3
4 r 3  99, 0
3
: 4
9 9, 0
4
99, 0
r3
 1, 9897...
4
r3 
Pallon säde on siis r= 1,9897… dm.
Muovin menekki riippuu pallon alasta. Pallon ala on
A  4r 2  4  1,9897... dm 2  49,7538... dm 2  49,8 dm 2
Muovia siis tarvitaan 49,8 dm2.
Vastaus: 49,8 dm2
320
52. Kuution sisällä on suurin mahdollinen pallo
Merkitään kuution sivua kirjaimella x, joten
x
pallon säde r 
2
Kuution ja pallon pinta-alat ovat
Akuutio  6  x 2
2
A pallo
x
x2

 4      4
 x 2
4
2
Pallon alan suhde kuution pinta-alaan on
A pallo
Akuutio
Vastaus:

6

x 2
6x 2


6
 0,52
321
 0,52
x
r
2
x
53. Valaisimen sisäsäde on 16 cm ja ulkosäde on
siis 16 cm + 0,2 cm =16,2 cm
2,0 mm
Valaisimen tilavuus on
Vvalaisin  Vulko  Vsisä
4  16, 2 cm 3 4 16 cm 3


3
3
4  4251,528 cm 3  4  4096 cm 3

3
3
 651,4741... cm
 0,6514741... dm 3
Lasin tiheys on 2,5 kg/dm3 , joten valaisin painaa siis
2 ,5
kg
3

0
,
6514741
...
dm
 1,6286... kg  1,6 kg
dm 3
Vastaus: 1,6 kg
322
16 cm
54. Maapallon säde on 6370 km. Kysytty
etäisyys on kuvaan muodostuneen
sektorin (keskuskulma 23,5°+23,5°=47°)
kaaren pituus b.
Kravun
kääntöpiiri
b
6370 km
23,5
23,5
47
 2  6370 km
360
 5225,34... km
 5230 km
Kauriin
kääntöpiiri
b
Vastaus: 5230 km
55. Lasketaan kannateltavan aineksen tilavuus.
Tanko on ympyrälieriö, jonka pituus on 1,5 m=150 cm ja halkaisija 1,9
1,9 cm
 0,95 cm .
cm. Tangon säde on
2
Tangon tilavuus on siis
V tanko    0,95 cm 2  150 cm  425,293... cm 3 .
Tangon päissä olevien pallojen säde on 14 cm, joten pallojen tilavuus on
V pallot
4  14 cm 3
 2
 22988,08... cm 3
3
323
Yhteistilavuus on siis
V  Vtanko  Vpallot
 425, 293... cm 3  22988,08... cm 3
 23413,37... cm 3
 23,41337... dm 3
Metallin tiheys on 7,8 kg/dm3, joten tanko painaa
23,41337... dm 3  7,8
kg
 182,624... kg  180 kg
dm 3
Vastaus: 180 kg
56. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r.
Tällöin lieriön pohjan halkaisija on 2r eli pallon halkaisija. Lieriön
pohjaympyrän säde ja pallon säde ovat siis r. Lieriön korkeus h = 2r.
Pallo siis juuri mahtuu lieriöön.
2r
Vlieriö  Apohja  h    r 2  2r  2r 3
324
2r
r
Pallon tilavuus on
Vpallo
4r 3

.
3
Pallon tilavuuden suhde lieriön tilavuuteen on
Vpallo
Vlieriö
Vastaus:
4r 3
4r 3 1
4 2
3





3
3
3 2r
6 3
2r
2
3
325
Harjoituskoe 1
1.
a) Kulma β ja 80°:een kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat l
ja m ovat yhdensuuntaisia, β = 80°.
35  80    180
  180  35  80
  65
Kulmat α ja γ ovat vieruskulmia.
 



 180
 180  
 180  65
 115
b) Kulma γ ja 20°:een kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat l
ja m ovat yhdensuuntaisia, γ = 20°.
Kulmat γ ja α muodostavat yhdessä 90°:een kulman.
 



 90
 90  
 90  20
 70
Kulmat α ja β ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat l ja m ovat
yhdensuuntaisia, β = 70°.
Vastaus: a) α = 115°, β = 80°
b) α = 70°, β = 70°
326
Harjoituskokeiden ratkaisut
2. a) Merkitään lyhintä matkaa rannalta saareen kirjaimella x.
x
2 x  20  100
2x  80 |: 2
x  40 m 
100 m
20 m
x
650 m
b) Saaren säteen pituus on r 
Reijon kodin etäisyys
saaren keskipisteestä
on
20 m
 10 m .
2
r
10 m
40 m
10 m + 40 m + 50 m = 100 m.
50 m
Reijo
Merkitään kysytyn
kulman puolikasta
kirjaimella α.
10 m
10
 0,1
100
  5,739...
100 m
sin  
Tangenttikulma on 2  11,47...  11 .
327
α
c) Kun sataa 8 mm, veden pinta järvessä nousee siis
h =8 mm = 0,8 cm = 0,08 dm = 0,008 m.
Järven pinta-ala on suorakulmion ala, josta on poistettu saaren pinta-ala
eli ympyrän ala.
Suorakulmion ala on
Asuorakulmio  650 m  100 m  65000m 2
Ympyrän ala
Aympyrä  r 2    10 m 2  314 ,15...m 2
Järven pinta-ala on siis
A  Asuorakulmio  Aympyrä  65000 m 2  314 ,15... m 2  64685,84... m 2
Tilavuus kasvaa siis
V  Ah  64685,84...m 2  0,008 m  517,486...m 3  520 m 3
Muutetaan tilavuus litroiksi.
520 m3 = 520 000dm3 = 520 000 l
Vastaus: a) 40 m
b) 11°
c) 520000 l
328
3.
a) Pizza jaetaan ikävuosien suhteessa 15:7. Ympyrän (pizzan)
keskuskulma jakautuu siis tässä suhteessa. Merkitään Susannan saaman
palan keskuskulmaa merkinnällä 15x. Lassin palan keskuskulma on
tällöin 7x.
15x  7x  360
22 x  360 |: 22
x  16,36...
15x  15  16,36...  245,45...  245
7x  7  16,36...  114 ,54...  115
b) Säde r = 15 cm
Susannan palan reunan pituus on
245,45...
 2  15 cm  64,259...cm  64 cm
360
Vastaus: a) Susanna 245°, Lassi 115°
329
b) 64 cm
4.
Merkitään laivan etäisyyttä vuoresta alussa kirjaimella x ja lopussa
kirjaimella y. Hahmotellaan tilannekuva.
730 m
v
u
o
r
i
20°
42°
x
y
laiva alussa
laiva lopussa
Etäisyys alussa saadaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta.
730
| x
x
x tan 20  730 |: tan 20
tan 20 
730
tan 20
x  2005,658... m 
x
Etäisyys lopussa saadaan toisesta muodostuvasta suorakulmaisesta
kolmiosta.
730
| y
y
y tan 42  730 |: tan 42
730
y
tan 42
y  810,74... m 
tan 42 
330
Laivan on kuljettava matka on x – y.
x  y  2005,658... m  810,74... m
 1194,911...m
 1,2 km
Vastaus: 1,2 km
5.
Vohvelikartion korkeus h = 12,5 cm ja suuaukon säde
5,0 cm
r
 2,5 cm .
2
Merkitään kartion sivujanan pituutta kirjaimella s.
a) Tilavuus on
V 
r 2 h
  2,5 cm 2  12,5 cm

3
 81,812... cm 3
 82 cm 3
82 cm3 = 0,082 dm3= 0,082 l =0,82 dl
331
3
r = 2,5 cm
s
h = 12,5 cm
b) Vaipan alan laskemiseksi tarvitaan kartion sivujanan pituus s.
Kartion sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
s2  h2  r 2
s 2  12,5 cm 2  2,5 cm 2
s 2  162,5 cm 2
s   162,5 cm
s  12,747...cm
Koska s > 0, niin s = 12,747… cm.
Vaipan ala on
A  rs    2,5 cm  12,747... cm
 100,119...cm 2
 100 cm 2
b) 100 cm3
Vastaus: a) 0,82 dl
332
6.
Kirjan 1. painoksen tehtävänannossa on virheitä. Rakennuksen mittojen
esitteessä pitäisi olla 40 mm × 25 mm ja rakennuksen pohjapinta-alan
luonnossa 10 m2.
a) Rakennus on suorakulmio, jonka mitat esitteessä ovat 40 mm ×
25 mm. Lasketaan rakennuksen pinta-ala esitteessä.
Aesite  40 mm  25 mm
 1000 mm 2
 10 cm 2
Muutetaan rakennuksen todellinen pinta-ala samaan yksikköön (cm2).
Aluonto  10 m 2  1000 dm 2  100000 cm 2 .
Merkitään mittakaavaa kirjaimella k. Pinta-alojen suhde on yhtä suuri
kuin mittakaavan neliö eli
k2 
Aesite
Aluonto
10 cm 2
k 
100000 cm 2
2
1
10000
1
k
10000
k  0,01
k2 
Koska mittakaava on positiivinen luku, k = 0,01 =
333
1
= 1 : 100
100
b) Mitat luonnossa ovat
40 mm · 100 = 4000 mm = 4,0 m
25 mm · 100 = 2500 mm = 2,5 m
Vastaus: a) Mittakaava on 1 : 100
7.
b) Mitat ovat 4,0 m × 2,5 m.
a) Merkitään suoraa matkaa kirjaimella x.
koulu
1 km
x 2  2 2  12
x2  5
2 km
x   5  2,236...
Koska x >0, niin x = 2,236… km ≈ 2,2 km.
Suoraan metsän läpi kulkeva matka on 2,2 km.
b) Pidempi matka s =2 km+ 1 km = 3 km.
Aikaa matkaan kuluu t = 30 min = 0,5 h.
Nopeus v 
x
s 3 km
km

6
t 0,5 h
h
334
koti
Polkua pitkin (metsän poikki, samalla nopeudella) aikaa kuluu
s 2, 236... km
t 
 0,3726...km  22,36...min  22 min
km
v
6
h
Vastaus: a) 2,2 km
b) 22 min
satelliitti
8. Piirretään tilannekuva. Maapallon säde on
6370 km. Merkitään satelliitin etäisyyttä
maanpinnasta kirjaimella x, ja etäisyyttä
maan keskipisteestä kirjaimella y.
Maapallo näkyy 86° kulmassa
(tangenttikulma). Merkitään
tangenttikulman puolikasta α.

86°
x
y
6370 km
6370 km
86
 43
2
Ratkaistaan etäisyys y muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta.
6370
| y
y
y sin 43  6370 |: sin 43
sin 43 
6370
sin 43
y  9340,19... km 
α
y
y
335
6370
Satelliitin etäisyys maanpinnasta on
x  y  6370 km
 9340,19... km  6370 km
 2970,19... km
 2970 km
b) Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella b.
Ratkaistaan ensin kaarta b vastaava keskuskulma .
satelliitti
Koska kolmion kulmien summa on 180°, saadaan
yhtälö
43°
b
43  90    180

  180  133
  47
6370 km
Kaaren b pituus on siis
47
 2  6370 km
360
 5225,34... km
b
 5230 km
Vastaus: a) 2970 km
b) 5230 km
336
Harjoituskoe 2
1.
a) Kolmio on suorakulmainen, joten
sin30  
x
6,5 cm
x  6,5 cm  sin30 
x  3,25 cm
 3,3 cm
b) Sisäkkäin olevat kolmiot ovat yhdenmuotoisia (kk-lause): yksi yhteinen
kulma ja samankohtaiset kulmat, jotka ovat kuvaan merkittynä, ovat yhtä
suuret. Yhdenmuotoisuuden nojalla saadaan siis vastinsivujen suhteena
x
7, 0

x  5,0 10,0
10,0 x  7,0 x  35
3,0 x  35
x  11,66...
x  12 cm 
Vastaus: a) 3,3 cm
b) 12 cm
337
2.
a) Koska mittakaava on 1:50000, on kartalla 2,8 cm pituus luonnossa
50000  2,8 cm  14000 cm  1,4 km
b) Suon pinta-ala kartalla on 1,0 cm2. Olkoon suon ala luonnossa A.
Koska yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan
neliö, saadaan
2
1,0  1 


A  50000 
1,0
1

A 50000 2
A  2500000000 cm 2 
Ala on siis luonnossa 2500000000 cm2 = 25 ha.
3.
Hahmotellaan tilannekuva.
torni
x
26,3
ikkuna
12,2
8,20 m
y
Merkitään tornin etäisyyttä ikkunasta kirjaimella y ja tornin korkeutta
ikkunan tasosta yläreunaan kirjaimella x.
338
Muodostuvista suorakulmaisista kolmioista saadaan
8, 20
y
8,20
y
 37,926...

tan12,2
tan12,2  
tan26,3  
x
37,926...
x  37,926...  tan26,3   18,744...
Tornin korkeus on siis
x  8, 20 m  18,744... m  8,20 m  26,944... m  26,9 m
Vastaus: 26,9 m
339
4.
Hahmotellaan tilannekuva.
Tuulilasin pyyhkimen leveys on
350 mm – 100 mm = 250 mmm.
350 mm
100 mm
Tummennettu ala on yhden pyyhkijän
puhdistama ala.
Aiso sektori 
125
125
   35 cm 2  1336, 26...cm 2
360
Apieni sektori 
125
   10 cm 2  109,08...cm 2
360
Kysytty ala on tällöin
Aiso sektori  Apieni sektori  1336, 26...cm 2  109,08...cm 2
 1227,184... cm 2
 12 dm 2
Vastaus: 12 dm2
340
5.
Maapallon säde on 6370 km. Merkitään
kysyttyä satelliitin korkeutta kirjaimella x.
Helsingin ja Lontoon etäisyys 1900 km, on
kuvaan merkitty kaaren pituus.
6370 km
Tätä kaaren pitutta vastaa ympyrän
keskuskulma .
α
x
Keskuskulma ja vastaava kaaren pituus ovat suoraan verrannollisia
suureita. Koska 360 astetta vastaa koko ympyrän kehän pituus, niin
verrannolla saadaan

1900
360  2    6370
12740  684000 

  17,089... 
Kuvaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
6370
x  6370
6370
x  6370 
cos17,089... 
6370
x
 6370
cos17,089... 
x  294 , 25...
x  290
cos17,089...  
Satelliitin on oltava 290 km korkeudessa.
Vastaus 290 km
341
1900 km
6. Puolipallon halkaisija on 100 cm, joten säde r 
Puolipallon tilavuus on
100 cm
 50 cm .
2
1 4  50 cm 
V  
 261,79...dm 3
2
3
3
dm 3
l
Jos virtausnopeus on 0,35  0,35
, padan täyttymiseen kuluu
s
s
261,79... dm 3
 747,99...s
dm 3
0,35
s
 12,5 min 12 min 28 s 
Vastaus: 12,5 min
7.
Hahmotellaan tilannekuva. Teltta on neliöpohjainen pyramidi, jonka
pohjan sivun pituus on 3,2 m ja sivusärman pituus 2,7 m.
Pyramidin sivutahko on siis tasakylkinen kolmio, jonka korkeus olkoon
x. Merkitään pyramidin eli teltan korkeutta kirjaimella h.
2,7 m
h
x
1,6 m
3,2 m
342
Pyramidin sivutahkoon muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta
saadaan
x 2  1,6 2  2,7 2
x 2  4 ,73
x   4 ,73  2,174...
Koska x >0, niin x = 2,174… m.
Pyramidin sisälle muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
h 2  1,6 2  x 2
h 2  1,6 2  2,174...2
h 2  2,17
h   2,17  1,473...
Koska h >0, niin h = 1,473… m
Pyramidin (teltan) tilavuus on
V 
A pohja  h
3
3,2 m 2  1,473...m

3
 5,028...m 3
 5,0 m 3
Vastaus: 5,0 m3
343
Harjoituskoe 3
1.
a) Kartan mittakaava on 1 : 50000. Lenkin pituus kartalla oli 28 cm.
Merkitään lenkin pituutta luonnossa kirjaimella x. Kootaan annetut
tiedot taulukkoon.
Pituus kartalla
(cm)
1
28
Pituus luonnossa
(cm)
50 000
x
Yhdenmuotoisuuden perusteella pituudet ovat suoraan verrannollisia
(vastinosien suhde on sama kuin mittakaava) eli
1 50000

28
x
x  28  50000
x  1400000
x =1 400 000 cm = 14 000 m = 14 km
b) Hiihtonopeus oli v  5,0
t
km
, joten aika
h
s 14 km

 2,8 h  2 h 48 min
v 5 km/h
Vastaus: a) 14 km
b) 2 h 48 min
344
2.
a) Merkitään tasakylkisen kolmion korkeutta
kirjaimella h. Korkeusjana puolittaa kannan.
6,0 m
Kanna puolikas on
 3,0 m .
2
5,0 m
5,0 m
h
saadaan
6,0 m
h 2  32  52
h 2  52  32
h 2  16
h  4
Koska h >0, niin h = 4 m
Kolmion ala on
A
6,0 m  4 ,0 m
 12,0 m 2 .
2
b) Merkitään puolisuunnikkaan
korkeutta kirjaimella h.
12,3 cm
kolmiosta voidaan laskea
korkeus h.
6,4 cm
h
52°
16,7 cm
h
|6,4
6,4
h  6,4  sin 52
sin 52 
h  5,0432...
345
A
16,7 cm  12,3 cm
 5,0432... cm  73,127... cm 2  73 cm 2
2
Vastaus: a) 12 m2
3.
b) 73 cm2
Ympyrän muotoisen piirakan halkaisija on 22,8 cm, joten säde
22,8 cm
r
 11,4 cm .
2
a) Piirakan ala on
A  r 2    11,4 cm 2  408, 28...cm 2  408 cm 2
b) Palan keskuskulma on 15°, joten palan pinta-ala (sektorin ala) on
A1 
15
   11,4 cm 2  17,011... cm 2 .
360
Taikinareunan leveys on 1,8 cm, joten marjaosan säde
r2 = 11,4 cm – 1,8 cm = 9,6 cm. Marjaosan pinta-ala on siis
A2 
15
   9,6 cm 2  12,063... cm 2 .
360
346
Marjaosan osuus prosentteina koko palan alasta on
A 2 12,063...

 0,709...  71 %
A1 17,011...
Vastaus: a) 408 cm2
4.
b) 71%
a) Hahmotellaan tilannekuva. Merkitään lipputangon pituutta kirjaimella
x.
kolmiosta saadaan
x
55°
x
|7,0
7,0
7,0  tan 55  x
x  9,997...
x  10 (m)
7,0 m
tan 55 
347
b) Suorakulmion sivujen pituuksien suhde on 1 : 3. Merkitään lyhyempää
sivua kirjaimella x. Pidempi sivu on tällöin 3x.
3x
Koska suorakulmion piiri on 25 cm, saadaan
yhtälö
x
x
3x
x  3x  x  3x  25
8x  25 |: 8
25
x
 3,125
8
Lyhyempi sivu on siis x= 3,125 cm ≈ 3,1 cm, joten pidempi sivu on
3x  3  3,125 cm  9,375 cm  9,4 cm .
Vastaus: a) 10 m
b) 3,1 cm ja 9,4 cm
348
5.
Merkitään kolmion hypotenuusaa
kirjaimella y ja pidempää kateettia
kirjaimella x. Lyhyempi kateetti on tällöin
x – 6,5 cm.
y
x – 6,5 cm
Koska kolmion pinta-ala on 55,8 cm2,
niin saadaan
x
x x  6,5 
 55,8 | 2
2
x x  6,5   111,6
x 2  6,5x  111,6  0
6,5  6,5 2  4  1   111,6 
x
2 1
6,5  488,65
x
2
x  14 ,302.... tai x  10,79...
Koska sivunpituus x > 0, niin x = 14,302… cm ≈ 14 cm.
Toinen kateetti on tällöin
x –6,5 cm = 14,302… cm – 6,5 cm =7,802… cm ≈7,8 cm.
349
Hypotenuusa saadaan Pythagoraan lauseella
y 2  14 ,302...2  7,802...2
y   14 ,302...2  7,802...2
y   265,45
y  16,29...
Koska y >0, niin y = 16,29… cm ≈ 16 cm.
Vastaus: Kateetit ovat 14 cm, 7,8 cm ja hypotenuusa 16 cm.
6.
Piirretään mallikuva. Maapallon säde on 6370 km. Lentäjä näkee
lentokoneesta kaaren b.
Lasketaan ensin kaarta b vastaava
keskuskulma α. Muodostuvasta
6370
6370  10,5
6370
cos  
6380,5
  3,287...
cos  
350
6370 km
α
b
10,5 km
Kaaren b pituus on
b
3,287...
 2    3670 km  210,57... km .
360
Kaaren pituuden suhde koko maapallon kehään on
210,57... km
 0,0091...  0,913%
2  3670 km
Vastaus: 0,913 %
7.
Piirretään mallikuva. Lauran pituus on 160 cm = 1,6 m. Merkitään
kysyttyä etäisyyttä puun juurelta lintutornille kirjaimella x.
E
C
Laura
160 cm
13,9 m
A
B
38,0 m
25,5 m
D
x
Kolmiot ABC ja ADE yhdenmuotoiset (kk-lause), koska kummassakin
suora kulma ja kulma A on yhteinen.
351
Yhdenmuotoisissa kuvioissa vastinosat ovat verrannolliset, joten
13,9  1,6
38

25,5  1,6 38  x
12,3
38

23,9 38  x
12,338  x   38  23,9
467,4  12,3x  908,2
12,3x  440,8
x  35,837...
Etäisyys x= 35,837… m ≈ 35,8 m.
Vastaus: 35,8 m
8.
Merkitään pyramidin pohjaneliön sivua kirjaimella x. Pyramidin korkeus
h = 4,5 cm. Merkitään sivutahkon (kolmion) korkeutta kirjaimella y
h
x
352
y
x
a) Lasketaan pohjaneliön sivun pituus. Lävistäjä on 2,0 cm, joten
x 2  x 2  2,0 2
2,0 cm
x
2 x  4 ,0 |: 2
2
x 2  2 ,0
x
x   2,0
x  1,414...
Koska x >0, niin x = 1,414… cm.
Tilavuus on
1
1
1
V   x  x  h  x 2h   1,414... cm 2  4 ,5 cm  3 cm 3
3
3
3
a) Pohjan pinta-ala Apohja  x 2  1,414... cm 2  2,0 cm2.
Pyramidin sivutahkot (4kpl) ovat tasakylkisiä kolmioita.
y
x
353
Lasketaan sivutahkokolmion korkeus y kartion sisään muodostuvasta
suorakulmaisesta kolmiosta. Pythagoraan lauseella saadaan
1,414... 
y  4 ,5  

 2 
y 2  20,75
y  4 ,55...
2
2
2
y
h
x
2
Koska y >0, niin y = 4,55… cm.
Yhden sivutahkokolmion ala
A
xy 1,414... cm  4 ,55... cm

 3,221... cm 2 .
2
2
Kartion kokonaispinta-ala
Akoko  Apohja  4  A
 2 cm 2  4  3, 221...cm 2
 14 ,884...cm 2
 15 cm 2
Vastaus: a) 3,0 cm3
b) 15 cm2
354
9.
Koska lieriön poikkileikkaus (pystysuunnassa) on
neliö, ovat pohjan halkaisija ja lieriön korkeus yhtä
suuret. Merkitään pohjan halkaisijaa ja korkeutta 2r ,
joten lieriön pohjaympyrän säde on r.
2r
2r
Lieriön tilavuus on 57,0 l = 57,0 dm3, joten saadaan
A ph  V
r 2h  57
r 2  2r  57
2r 3  57 |: 2
57
r3 
2
57
r 3
 2,085...
2
Pohjan säde on r = 2,085… dm =20,85… dm ≈ 20,9 dm.
Korkeus on siis
2r  2  2,085...dm  4 ,171... dm  41,71... cm  41,7 cm
Vastaus: pohjan säde 20,9 cm, korkeus 41,7 cm
355
Extrat
Säännölliset monikulmiot
1.
a) Koska kolmio on säännöllinen, sen kaikki kulmat ovat yhtä suuria (ja
sivut yhtä pitkiä). Kolmion kulmien suuruus on siis 60°.
Kolmion kärjistä piirretyt janat puolittavat aina
vastaisen sivun. Koska kolmio on säännöllinen, janat
puolittavat tällöin myös kulmat eli
β
α
β

60
 30 .
2
Säännöllisen kolmion sisälle muodostuu pienempi kolmio. Koska
kolmion kulmien summa on 180°, saadaan yhtälö
      180
  2  30  180
  180  60
  120
356
Extrat
b) Viisikulmion (n =5) kulmien summa on
n  2   180  5  2   180  540 .
Viisikulmion yhden kulman suuruus on siis
540
 108 .
5
Koska viisikulmio on säännöllinen, sen kaikki sivut ovat yhtä pitkät.
Tällöin viisikulmion sisään muodostuva
kolmio on tasakylkinen, joten sen kantakulmat
108°
α ovat yhtä suuret.
α
Kolmion kulmien summa on 180°, joten viisikulmion sisään
muodostuvasta kolmiosta saadaan
    108  180
2  180  108
2  72 |: 2
  36
357
α
Extrat
c) Säännöllinen kuusikulmio muodostuu
kuudesta samanlaisesta kolmiosta.
α
Kolmioiden huiput ovat samassa pisteessä ja
ne muodostavat yhdessä täysikulman eli
6  360 |: 6
  60
Vastaus: a) 120°
2.
b) 36°
c) 60°
Kuusikulmion (n =6) kulmien summa on
n  2   180  6  2   180  720 .
Säännöllisen kuusikulmion kulmat ovat kaikki yhtä suuria, joten yhden
720
kulman suuruus on
 120 .
6
Koska säännöllisen kuusikulmion kaikki
sivut ovat yhtä pitkiä, kolmio BDC on
tasakylkinen. Tällöin kolmion
kantakulmat ovat yhtä suuret.
β
A
C
β
α
120°
D
358
B
Extrat
Kolmion kulmien summa on 180°, joten saadaan
2    120  180
2   180  120
2   60 |: 2
  30
A
Jana AB puolittaa kuusikulmion, joten
 
120
 60 ,
2
C
γ

sillä kulma B on 120 °
D
Tällöin       60  30  30 .
Vastaus: α = 30°
359
α
B
Extrat
Yksikkömuunnokset
3.
a) 0,567 m = 5,67 dm =56,7 cm
b) 1 m = 0,1 dam = 0,01 hm = 0,001 km
c) 1,07 dm = 10,7 cm
d) 1,07 dm = 0,107 m
4.
a) 1,5 m2 = 0,015 a
b) 11 m2 = 0,11 a =0,0011 ha
c) 1,73265 km2 = 173,265 ha = 17326,5 a
d) 1,73265 m2 = 173,265 dm2 = 17 326,5 cm2 = 1 732 650 mm2
360
Extrat
5.
a) 1,7 m3 = 1 700 dm3
b) 1,73 m3 = 1730 dm3 = 1 730 000 cm3
c) 5,6002 m3 = 0,005 6002 dam3
= 0,000 005 6002 hm3
= 5,6002  10-6 hm3
= 5,6002  10-9 km3
d) 0,056 m3 = 56 dm3 = 56 000 cm3 = 56 000 000 mm3
6.
a) 6 dl = 0,6 l
b) 7,96 l = 79,6 dl
c) 17 ml = 1,7 dl = 0,17 dl
d) 0,37 dl = 3,7 cl
361
Extrat
7.
a) 27 m3 = 27000 dm3 = 27000 l
b) 0,54 dm3 = 0,54 l = 5,4 dl
c) 17 ml = 1,7 cl = 0,17 dl = 0,017 l = 0,017 dm3 = 17 cm3
d) 38 l = 38 dm3 = 0,038 m3 = 0,000 038 dam3
8.
a) 4 hm = 400 m
b) 5 a = 500 m2 = 50 000 dm2
c) 450 cl = 45 dl = 4,5 l
d) 46,7 dm3 = 0,0467 m3
362

Sigma 2 Tehtävien ratkaisut

Transcription

Similar documents

(6) tehtävää - Oulun Suomalaisen Yhteiskoulun lukio

Tehtävät

Pistetehtävät - kurssi 8 (1)

Sivu 1/5 α 50° 60° s1 s2 Oulun Suomalaisen Yhteiskoulun lukio 31.1

Tehtävät

MAA6.1 koe ja ratkaisut välivaiheineen (PDF

MAA3.3 2012 ratkaisut (pdf-tiedosto)

Sotapäällikkö ja geometria