LUKU III: Laattarakenteet
Transcription
LUKU III: Laattarakenteet
Lujuusopin jatkokurssi III.1 III. LAATTARAKENTEET Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi 1 III.2 JOHDANTO Tasopintarakenteen kuormitus voidaan jakaa keskipinnan suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan kuormitukseen eli levy- ja laattakuormitukseen. Taipuman ollessa tarpeeksi pieni nämä kuormitustapaukset voidaan käsitellä erillisinä. Laatta on tasopintarakenne, jota kuormitetaan sen normaalin suunnassa. Tasopintarakenteen laskentamalli on sen keskipinta ja lisäksi tarvitaan rakenteen paksuus. Laatan keskipinta taipuu kuormituksen vaikutuksesta kaarevaksi pinnaksi ja taipumalla syntynyttä pintaa sanotaan laatan kimmopinnaksi. Laatta kantaa kuormituksensa pääasiassa taivutus- ja vääntörasitusten avulla, mutta siihen syntyy myös leikkausvoimarasituksia. Laattarakenteiden lujuuslaskentaan on kehitetty monia erilaisiin alkuoletuksiin perustuvia teorioita. Kuvassa 1.1 on esitetty laattaongelmien karkea jaottelu, joka on tehty niiden ratkaisemiseen soveltuvien menetelmien perusteella. Laatan paksuutta on kuvassa merkitty kirjaimella h, s tarkoittaa keskitason pienintä ulottuvuutta ja w taipuman itseisarvon maksimia. h > s/5 h / 5 < w < 5h von Kármán h ≤ s/5 w < h/5 Kuva 1.1 Laattaongelmien jaottelu. Kuvassa 1.1 annetut rajat ovat vain suuntaa antavia ohjeita, eivätkä teoriasta seuraavia täsmällisiä arvoja. Paksuilla laatoilla leikkausmuodonmuutoksilla on merkitystä samaan tapaan kuin korkeilla palkeilla (Timoshenkon palkkiteoria). Kohtuullisen paksuuden omaavan laatan tarkasteluun sopii Reissnerin laattateoria, joka ottaa leikkausmuodonmuutoksen likimääräisesti huomioon. Ohuen ja vähän taipuneen laatan tarkastelu voidaan suorittaa klassisen laattateorian eli Kirchhoff-Love laattateorian mukaisesti. Tämä teoria vastaa suoran palkin teknistä taivutusteoriaa ja on sen kaksiulotteinen yleistys. Ohut ja runsaasti taipunut laatta käyttäytyy epälineaarisesti, sillä sen kimmopinta venyy merkittävästi jäykistäen laattaa taipumisen suhteen. Von Kármánin laattateoria tarjoaa tällaiseen tapaukseen sopivan analyyttisen ratkaisumenetelmän. Kaikkien edellä mainittujen laattaongelmien numeerisessa ratkaisemisessa voidaan soveltaa elementtimenetelmää ja käytettävissä on laaja valikoima erityyppisiä laattaelementtejä. Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.3 Laatat voidaan luokitella materiaalin perusteella kuvassa 1.2 esitetyllä tavalla. Teräslaatta käyttäytyy isotrooppisesti. Epäisotrooppisuus on usein materiaalin tai rakenteen ortotrooppisuutta (puu, jäykisteillä kohtisuorasti ristiin vahvistettu laatta). Kerroslaatassa on kevyt sydän ja ohuet pintalevyt yhdistetty toisiinsa (styrox tai uretaani ja teräs tai vaneri). Komposiittilaatassa on perusaineeseen (muovi, betoni, lasi) sijoitettu hyvin vetoa kestäviä säikeitä (hiilikuidut, terästangot, langat). Kuva 1.2 Laattojen luokittelu materiaalin mukaan. Tässä käsitellään vain ohuita ja vähän taipuneita laattoja, joiden materiaali on isotrooppinen, homogeeninen ja käyttäytyy lineaarisesti kimmoisesti. 2 KLASSISEN LAATTATEORIAN PERUSYHTÄLÖT 2.1 Laatan kinemaattinen malli Seuraavassa tarkastellaan laatan teoriaa kuvan 2.1 xyz-koordinaatistossa, jonka xytaso on laatan keskitasossa ja z-akseli on keskitason normaalin suuntaan. Jos laatan paksuus h on vakio, on laatan alapinta taso z = + h / 2 ja yläpinta taso z = − h / 2 . Jos laatan ylä- ja alapinta ovat erisuuntaisia tasoja tai kaarevia pintoja, on laatan paksuus koordinaattien x ja y funktio. Paksuuden puolittavien pisteiden on tässäkin tapauksessa muodostettava taso, jotta rakennetta voitaisiin tarkastella laattateorialla. Laattaa rajoittavia z-akselin suuntaisia pintoja kutsutaan sen reunaksi. Siirtymäkentän komponentteja koordinaattiakseleiden suunnissa merkitään symboleilla u, v ja w lujuusopin käytännön mukaisesti. Siirtymäkomponenttia w sanotaan taipumaksi. Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.4 Klassinen laattateoria perustuu seuraaviin laatan käyttäytymistä koskeviin hypoteeseihin (Kirchhoff, Love). 1. Laatan keskipinta on neutraalipinta, jonka pientä venymistä ei oteta huomioon. 2. Keskitason normaalilla olevat laatan pisteet pysyvät tästä taipumalla syntyneen kimmopinnan normaalilla. 3. Keskitason normaalin suuntaisella venymällä ε z ei ole merkitystä. 4. Keskitason normaalin suuntainen jännityskomponentti σ z voidaan jättää huomioonottamatta keskitason suuntaisten komponenttien σ x , σ y ja τ xy rinnalla Hypoteesia 2 vastaa palkin teknisessä taivutusteoriassa Bernoullin hypoteesi. Kuva 2.1 Laatan koordinaatisto. Kuvassa 2.2 tarkastellaan laatan keskitason mielivaltaista pistettä P ja sen kautta kulkevalla keskitason normaalilla etäisyydellä z olevaa pistettä A. Kuvassa näkyvät pisteen A siirtymäkomponentit u ja w xz-tason suuntaisessa leikkauksessa. Siirtymät oletetaan pieniksi ( w < h / 5 ), mutta niitä on selvyyden vuoksi liioiteltu. Keskipinnan venymättömyysoletuksesta 1 seuraa, että piste P siirtyy vain z-akselin suunnassa tullen pisteeseen P’. Keskitason normaali kääntyy y-akselin ympäri kulman w,x , joka on sama kuin keskitason kääntymiskulma, sillä perushypoteesin 2 mukaan A’ on taipuneen kimmopinnan normaalilla. Perushypoteesin 3 mukaan on ε z = 0 , joten PA = P' A' eli normaali ei veny. Tarkastelemalla samalla tavalla pisteen P kautta kulkevaa yz-tason suuntaista leikkausta nähdään, että normaali PA kääntyy x-akselin ympäri kulman w, y . Pisteen A siirtymäkomponenteiksi saadaan näin ollen u = − z w, x v = − z w, y w = w ( x, y ) (2.1) Laatan muodonmuutoskomponenteiksi saadaan kinemaattisten yhtälöiden avulla ε x = u, x = − z w, xx = z κ x ε y = v, y = − z w, yy = z κ y γ xy = u, y + v, x = −2 z w, xy = 2 z κ xy ε z = γ xz = γ yz = 0 Laattarakenteet (2.2) © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.5 w,x w,x Kuva 2.2 Kinemaattinen malli. Kaavassa (2.2) κ x ja κ y ovat kimmopinnan kaarevuudet x- ja y-akseleiden suunnissa ja κ xy sen kierevyys xy-tasoon nähden tarkastelupisteessä P’. Laatan kaarevuussäteet ρ x ja ρ y ovat sen kaarevuuksien käänteislukuja sekä kierevyyssäde ρ xy sen kierevyyden käänteisluku eli 1/ ρ x = κ x = − w, xx 1/ ρ y = κ y = − w, yy 1/ ρ xy = κ xy = − w, xy (2.3) Kaavasta (2.2) näkyy, että laatan perushypoteesien 1, 2 ja 3 mukaan laatan kaikkiin pisteisiin tulee tasomuodonmuutostila. 2.2 Materiaaliyhtälöt ja laattamomentit Laatan materiaalin oletetaan käyttäytyvän lineaarisesti kimmoisesti, jolloin materiaaliyhtälönä on yleistetty Hooken laki. Laattateorian perushypoteesin 2 mukaan liukumat γ xz ja γ yz ovat nollia, joten myös leikkausjännitykset τ xz ja τ yz ovat nollia. Koska hypoteesin 4 mukaan myös σ z oletetaan nollaksi, on laatan kaikissa pisteissä tasojännitystila. Perushypoteesien mukaan laatan pisteissä on siis samanaikaisesti sekä tasomuodonmuutostila että tasojännitystila, mikä tarkkaan ottaen on mahdotonta. Kysymys on nyt likimääräisistä lähtöoletuksista, jotka kokemuksen mukaan johtavat ohuilla ja vähän taipuneilla laatoilla käyttökelpoiseen teoriaan. Myöhemmin selviää, että tasojännitystilaoletuksesta pidetään kiinni vain niin kauan, kun saadaan lausekkeet keskitason suuntaisille jännityskomponenteille σ x , σ y ja τ xy . Tämän jälkeen saatuja lausekkeita hyväksi käyttäen johdetaan jännityskomponenttien tasapainoeh- Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.6 doista likikaavat z-akselin suuntaisille jännityskomponenteille σ z , τ xz ja τ yz . Keskitason suuntaisten jännityskomponenttien materiaaliyhtälöt ovat tasojännitystilassa εx = 1 ( σx − ν σy ) E εy = 1 ( σy − ν σx ) E 1 τ xy G γ xy = (2.4) Kun yhtälöt (2.4) ratkaistaan jännityskomponenttien suhteen, saadaan tulos σx = E (εx + ν εy ) 1− ν 2 σy = E (εy + ν εx ) 1− ν 2 τ xy = E γ xy 2 (1+ ν ) (2.5) Kun yhtälöihin (2.5) sijoitetaan muodonmuutoskomponentit yhtälöistä (2.2), saadaan jännityskomponentit lausuttua taipuman w tai kaarevuuksien ja kierevyyden avulla E E ( − w,xx − ν w,yy ) z = ( κx + ν κy )z 2 1− ν 1− ν2 E E σy = ( − w,yy − ν w,xx ) z = ( κy + ν κx )z 2 1− ν 1− ν2 E E τ xy = − w, xy z = κ xy z 1+ ν 1+ ν σx = (2.6) Kaavasta (2.6) näkyy, että jännitykset jakaantuvat laatan paksuuden suunnassa (zsuunta) lineaarisesti. Laattateoriassa kannattaa käyttää voimasuureina myös laattamomentteja M x , M y ja M xy , jotka määritellään yhtälöillä h/2 ∫ Mx = h/2 z σ x dz −h / 2 My = ∫ h/ 2 z σ y dz −h / 2 M xy = ∫ z τ xy dz (2.7) −h / 2 Integrointi määritelmissä (2.7) on laatan paksuuden yli. Laattamomentit M x ja M y ovat taivutusmomentin viivatiheydet laatan leikkauksissa x = vakio ja y = vakio vastaavasti. Laattamomentti M xy on vääntömomentin viivatiheys leikkauksessa x = vakio tai y = vakio . Kun jännityskomponentti σ x sijoitetaan yhtälöstä (2.6) momentin M x lausekkeeseen ja integroidaan, saadaan seuraavaa h/ 2 Mx = ∫ −h / 2 E ( − w, xx − ν w, yy ) z 2 dz 2 1− ν h/2 3 E z E h3 = ( − w , − ν w , ) = ( − w, xx − ν w, yy ) xx yy / 1− ν 2 12 ( 1 − ν 2 ) −h / 2 3 (2.8) Vastaavat yhtälöt voidaan johtaa myös laattamomenteille M y ja M xy , tulokset on koottu kaavaan (2.9). Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.7 M x = − D ( w, xx + ν w, yy ) = D ( κ x + ν κ y ) M y = − D ( w, yy + ν w, xx ) = D ( κ y + ν κ x ) D= E h3 (2.9) 12 ( 1 − ν 2 ) M xy = − D ( 1 − ν ) w, xy = D ( 1 − ν ) κ xy Suuretta D sanotaan laatan taivutusjäykkyydeksi. Kaavassa (2.9) on laattamomentit lausuttu taipuman w avulla. Jatkossa osoittautuu, että taipuma on klassisen laattateorian perussuure, jonka avulla pystytään lausumaan kaikki muut suureet ja perusongelmaksi tulee näin taipuman ratkaiseminen. Kaavasta (2.9) saadaan lausekkeet κ x + ν κ y = Mx / D κ y + ν κ x = My / D ( 1 − ν ) κ xy = M xy / D (2.10) Kun lausekkeet (2.10) sijoitetaan yhtälöihin (2.6), seuraa jännityskomponenteille σx = Mx z I σy = My I τ xy = z M xy I I = h 3 / 12 z (2.11) jossa suure I on ykkösen levyisen laattakaistan poikkileikkauksen neliömomentti sen paksuuden puolittavan suoran suhteen. Yhtälöt (2.11) antavat laattamomenttien ja laatan keskipinnan suuntaisten jännityskomponenttien väliset yhteydet. Jännityskomponentit saavat ääriarvonsa laatan ylä- ja alapinnalla, missä z = m h / 2 ja tällöin on σx = m 6 Mx σy = m h2 6 My τ xy = m h2 6 M xy (2.12) h2 σx τ xz σy Qx τ xy Mx τ yz Qy My τ yx = τ xy M xy Myx = Mxy Kuva 2.3 Laatan jännitysjakautumat. Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.8 Kuvassa 2.3 on esitetty jännityskomponenttien σ x , σ y ja τ xy jakaantuminen laatan paksuuden suunnassa leikkauksissa x = vakio ja y = vakio . Siinä on esitetty myös z-akselin suuntaisten leikkausjännityskomponenttien τ xz ja τ yz jakaantuminen, joka saadaan myöhemmin selville jännityskomponenttien tasapainoyhtälöistä. Tässä vaiheessa on vielä voimassa perushypoteesien mukainen oletus, jonka mukaan nämä jännityskomponentit ovat nollia. Voidaan todeta, että laatan leikkauksessa taivutuksesta ja väännöstä aiheutuvat jännitykset ovat paksuussuunnassa lineaarisesti jakaantuneita siten, että keskipinnan jännitykset ovat nollia. Tämä tulos on normaalijännitysten osalta vastaava kuin teknisessä taivutusteoriassa saadaan palkin normaalijännityksen jakaantumiselle palkin korkeussuunnassa. Palkin normaalijännitysjakautuma ei muutu taivutustason normaalin suunnassa, mutta laatan normaalijännitysjakautuma esimerkiksi leikkauksessa x = vakio on koordinaatin y funktio. Palkkiteoriassa käytetään voimasuureena poikkileikkauksen taivutusmomenttia, joka on palkin poikkileikkauksen normaalijännitysjakautuman aiheuttama momentti taivutusakselin suhteen. Tätä vastaa laattateoriassa tarkasteltavan koordinaattiakselin suuntaisen leikkauksen taivutusmomenttitiheys, joka on laatan paksuussuuntaan liittyvän normaalijännitysjakautuman aiheuttama momenttitiheys. Laatan vääntömomenttitiheydellä M xy ei ole palkkiteoriassa vastinetta. 2.3 Laatan tasapainoyhtälöt Koska z-akselin suuntaan liittyvät liukumat γ xz ja γ yz ovat perushypoteesin 2 mukaan nollia, ovat myös niitä vastaavat leikkausjännityskomponentit τ xz ja τ yz materiaalimallina olevan yleistetyn Hooken lain mukaan nollia. Perushypoteesi 2 on kuitenkin likimääräinen vaikkakin käyttökelpoinen, joten todellisuudessa z-akselin suuntaiset leikkausjännitykset eivät ole tarkasti nollia. Niille voidaan johtaa likimääräiset kaavat jännityskomponenttien tasapainoyhtälöiden avulla samalla tavalla kuin palkkiteoriassa johdetaan palkin leikkausjännitykselle likilauseke (Jourawskin kaava). Määritellään aluksi laatan leikkausvoimatiheydet Q x ja Q y poikittaisten leikkausjännityskomponenttien τ xz ja τ yz resultantteina seuraavasti h/2 Qx = ∫ h/2 τ xz dz −h / 2 Qy = ∫ τ yz dz (2.13) −h / 2 Jännityskomponenttien tasapainoyhtälöt ovat laatalle σ x , x + τ xy , y + τ xz ,z = 0 τ xy , x + σ y , y + τ yz ,z = 0 τ xz , x + τ yz , y + σ z ,z + f z = 0 (2.14) jotka seuraavat yleisistä tasapainoyhtälöistä jättämällä pois levykuormituksiin kuuluvat tilavuusvoimakomponentit f x ja f y . Kertomalla ryhmän (2.14) ensimmäinen yhtälö koordinaatilla z ja integroimalla laatan paksuuden yli saadaan aluksi Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi h/2 ∫ h/2 ∫ z σ x , x dz + −h / 2 III.9 h/2 ∫ z τ xy ,y dz + −h / 2 z τ xz ,z dz = 0 (2.15) −h / 2 Vaihtamalla integroinnin ja derivoinnin järjestys ensimmäisessä ja toisessa integraalissa ja integroimalla kolmas osittain seuraa h/ 2 h/2 ⎛ h/ 2 ⎞ ⎛ h/ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ z σ x dz ,x + ∫ z τ xy dz ,y + / z τ xz − ∫ τ xz dz = 0 ⎜ ∫ ⎟ ⎜ ⎟ −h / 2 h / 2 − −h / 2 ⎝ ⎠ ⎝ −h / 2 ⎠ (2.16) Sijoitustermi on nolla, sillä pintakuormituksiin ei sisälly ylä- tai alapinnalla vaikuttavia keskitason suuntaisia kuormituksia eli τ xz ( x, y, ± h / 2 ) = 0 ja τ yz ( x, y, ± h / 2 ) = 0 . Kun otetaan huomioon määritelmät (2.7) ja (2.13), menee yhtälö (2.16) muotoon M x , x + M xy , y = Q x (2.17) Yhtälöryhmän (2.14) toisesta yhtälöstä voidaan vastaavalla tavalla johtaa tulos M xy , x + M y , y = Q y (2.18) Integroimalla ryhmän (2.14) kolmas yhtälö laatan paksuuden yli saadaan h/2 ∫ h/2 τ xz , x dz + −h / 2 ∫ h/2 τ yz , y dz + −h / 2 ∫ h/2 ∫ σ z ,z dz + −h / 2 f z dz = 0 (2.19) −h / 2 josta seuraa integroimalla sekä derivointi- ja integrointijärjestys vaihtamalla h/2 h/2 ⎞ ⎛ h/2 ⎞ ⎛ h/2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ dz , dz , τ τ + σ + + ∫ fz dz = 0 ⎜ ∫ xz ⎟ x ⎜ ∫ yz ⎟ y −h// 2 z −h / 2 ⎠ ⎝ −h / 2 ⎠ ⎝ −h / 2 (2.20) Kaksi viimeistä termiä voidaan tulkita laatan normaalin suuntaisen kuormituksen (poikittaiskuormituksen) laatan keskitasoon yhdistetyksi pintatiheydeksi p( x, y ) eli h/2 p( x, y ) = σ z ( x, y, h / 2) − σ z ( x, y,− h / 2) + ∫ f z ( x, y, z ) dz (2.21) −h / 2 Määritelmien (2.13) perusteella on siis voimassa yhtälö Q x ,x + Q y ,y = − p (2.22) Kun tulokset kootaan, saadaan kaavan (2.23) jännitysresultanttien tasapainoyhtälöt Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi M x , x + M xy , y = Q x M xy , x + M y , y = Q y III.10 Q x ,x + Q y ,y = − p (2.23) Ryhmää (2.23) vastaavat yhtälöt palkkiteoriassa ovat d Mt =Q dx dQ = −q dx (2.24) Kun ryhmän (2.23) kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä sijoitetaan leikkausvoimatiheydet kolmanteen yhtälöön, tulee kaavan (2.25) laattamomenttien tasapainoyhtälö M x , xx + 2 M xy , xy + M y , yy = − p (2.25) Laattateoriassa käytetään voimasuureina jännityskomponenttien σ x , σ y , τ xy , τ xz ja τ yz ohella niistä johdettuja jännitysresultantteja M x , M y , M xy , Q x ja Q y . Näiden Qy My Myx Qx Mx Mxy Mxy Mx Qx My Myx Qy Kuva 2.4 Laatan jännitysresultantit. positiiviset suunnat määräytyvät jännityskomponenteille sovituista positiivisista suunnista, kuten kuvasta 2.3 näkyy. Kuvassa 2.4 on laatan keskipinnan pintaelementti dxdy ja sen reunoilla vaikuttavat jännitysresultantit positiivisten suuntiensa mukaisina. Kuvassa 2.4 on laattamomenttien esittämiseen käytetty kaksoisnuolta, jolloin momentin kiertosuunta on nuolen kärjestä katsottuna vastapäivään. Leikkausvoimatiheydet Q x ja Q y voidaan lausua laatan taipuman w avulla sijoittamalla kaavan (2.23) kahteen ensimmäiseen yhtälöön laattamomentit kaavasta (2.9) Q x = M x , x + M xy , y = − D ( w, xx + ν w, yy ), x − D ( 1 − ν ) ( w, xy ), y Q y = M xy , x + M y , y = − D ( 1 − ν ) ( w, xy ), x − D ( w, yy + ν w, xx ), y (2.26) Edellä olevat yhtälöt sievenevät kaavassa (2.27) esitettyyn muotoon Q x = − D ( w,xx + w,yy ),x = − D ( ∇ 2 w ),x Q y = − D ( w,xx + w,yy ),y = − D ( ∇ 2 w ),y Laattarakenteet (2.27) © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.11 2.4 Poikittaissuuntaiset jännitykset Johdetaan z-akselin suuntaisten leikkausjännityskomponenttien τ xz ja τ yz lausekkeet. Jännityskomponenttien tasapainoyhtälöryhmän (2.14) ensimmäisestä yhtälöstä seuraa kaavojen (2.11) ja (2.23) avulla ja integroimalla z z τ xz ,z = − σ x , x − τ xy , y = − ( M x , x + M xy , y ) = − Q x I I ⇒ τ xz Q = x [ C( x, y ) − z 2 / 2 ] I (2.28) Funktio C( x, y ) voidaan ratkaista reunaehdosta τ xz ( x, y, ± h / 2 ) = 0 , josta tulee Qx [ C( x, y ) − ( ± h / 2 ) 2 / 2 ] = 0 I ⇒ C( x, y ) = ( h / 2 ) 2 / 2 (2.29) Leikkausjännityskomponentille τ yz voidaan johtaa samalla tavalla lauseke ryhmän (2.14) toisesta yhtälöstä. Lopputulokseksi saadaan kaavat τ xz = τ yz 2 Qx 3Qx ⎡ ⎛ z ⎞ ⎤ [ ( h / 2 )2 − z 2 ] = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ 2I 2 h ⎢⎣ ⎝ h / 2 ⎠ ⎥⎦ (2.30) 3 Qy ⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤ = [ ( h / 2 )2 − z 2 ] = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ 2I 2 h ⎢⎣ ⎝ h / 2 ⎠ ⎥⎦ Qy Kaavoista (2.30) nähdään, että leikkausjännitysten τ xz ja τ yz jakauma on laatan paksuussuunnassa parabolinen. Laatan ylä- ja alapinnalla τ xz ja τ yz ovat nollia, ääriarvon ne saavat keskipinnan kohdalla. Ääriarvon suuruus on 1,5-kertainen verrattuna arvoon, joka saadaan olettamalla leikkausjännitykset paksuussuunnassa tasan jakaantuneiksi. Kuvassa 2.3 on esitetty myös leikkausjännitysten τ xz ja τ yz jakautuminen laatan leikkauksissa x = vakio ja y = vakio . Perushypoteesin 4 mukaan σ z on keskipinnan suuntaisten jännityskomponenttien rinnalla merkityksetön. σ z ei kuitenkaan ole tarkasti nolla ja sille voidaan johtaa likikaava jännityskomponenttien tasapainoyhtälöistä. Tarkastellaan tapausta, jossa f z = 0 ja pintakuormitus p( x, y ) laatan yläpinnalla z = − h / 2 . Tällöin ryhmän (2.14) kolmannesta yhtälöstä ja kaavoista (2.30) ja (2.23) seuraa σ z ,z = − τ xz , x −τ yz , y = 3 ⎡ ⎛ z ⎞ = ⎢1 − ⎜ ⎟ 2 h ⎢⎣ ⎝ h / 2 ⎠ 2⎤ 3 ⎡ ⎛ z ⎞ ⎥ ( − Q x ,x − Q y ,y ) = ⎢1 − ⎜ ⎟ 2 h ⎢⎣ ⎝ h / 2 ⎠ ⎥⎦ 2⎤ ⎥ p( x, y ) ⎥⎦ (2.31) Kaavasta (2.31) saadaan integroimalla Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.12 ⎤ 3 ⎡ z3 σz = ⎢z − ⎥ p( x, y ) + C( x, y ) 2h ⎣ 3 ( h / 2 )2 ⎦ (2.32) Funktio C( x, y ) saadaan selville alapinnan reunaehdosta σ z ( x, y, h / 2 ) = 0 3 ⎡h 1 h ⎤ − ⋅ p( x, y ) + C( x, y ) = 0 2 h ⎢⎣ 2 3 2 ⎥⎦ ⇒ C( x, y ) = − p( x, y ) / 2 (2.33) Tulokseksi saadaan normaalijännitykselle σ z likikaava p( x, y ) ⎡ ⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞ σz = − ⎢2 − 3⎜ ⎟ ⎟+⎜ 4 ⎢⎣ ⎝h/2⎠ ⎝h/2⎠ 3⎤ ⎥ ⎥⎦ (2.34) Kaavasta (2.34) tulee laatan yläpinnalla σ z ( x, y, − h / 2 ) = − p( x, y ) , kuten pitääkin. 2.5 Perusdifferentiaaliyhtälö Sijoittamalla laattamomenttien tasapainoyhtälöön (2.25) momenttien lausekkeet kaavoista (2.9) seuraa − D ( w, xx + ν w, yy ),xx −2 D ( 1 − ν ) ( w, xy ),xy − D ( w, yy + ν w, xx ),yy = − p( x, y ) (2.35) josta saadaan sieventämällä klassisen laattateorian perusdifferentiaaliyhtälö w, xxxx + 2 w, xxyy + w, yyyy = p( x, y ) / D (2.36) Yhtälö (2.36) voidaan vielä esittää tiiviimmin muodossa ∇ 4 w = p( x, y ) / D (2.37) Klassisen laattateorian perusongelma on kaavan (2.37) biharmonisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen annetuilla reunaehdoilla. Osittaisdifferentiaaliyhtälö (2.37) on neljättä kertalukua, joten sen analyyttinen ratkaiseminen ei onnistu helposti. Säännöllisten tapausten ratkaisuja tunnetaan melko runsaasti. Esimerkiksi suorakulmio- ja ympyrä(rengas)laatalle tunnetaan tavallisten kuormitus- ja tuentatapausten analyyttiset ratkaisut. Kun laatan perustuntematon w on ratkaistu annetuilla reunaehdoilla yhtälöstä (2.37), voidaan muut suureet määrittää niille edellä esitetyistä kaavoista. Laattamomentit saadaan kaavoista (2.9) ja leikkausvoimatiheydet kaavoista (2.27) sekä jännitykset vastaavasti kaavoista (2.11) ja (2.30). Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.13 3 SUORAKULMIOLAATTA 3.1 Puhdas taivutus Tarkastellaan ensin erityistapausta, jossa laatan pintakuormitus p( x, y ) = 0 , jolloin kuormituksia on vain laatan reunalla. Laatan perusyhtälö on tässä tapauksessa w, xxxx + 2 w, xxyy + w, yyyy = 0 (3.1) ja sillä on esimerkiksi polynomiratkaisu (kertoimet C1 LC 6 ovat vakioita) w( x, y ) = C1 + C 2 x + C 3 y + C 4 x 2 + C 5 xy + C 6 y 2 (3.2) kuten yhtälöön (3.1) sijoittamalla voi helposti todeta. Jännitysresultanttien lausekkeiksi saadaan kaavojen (2.9) ja (2.27) perusteella M x = −2 D ( C 4 + ν C 6 ) M y = −2 D ( C 6 + ν C 4 ) M xy = − ( 1 − ν ) D C 5 (3.3) Qx = Qy = 0 joista näkyy, että kyseessä on tasainen momenttikenttä ja leikkausvoimia ei ole. Taipuman lausekkeen lineaarinen alkuosa C1 + C 2 x + C 3 y edustaa keskitason jäykän kappaleen liikettä eikä vaikuta momentteihin, joten se voidaan jättää pois jatkotarkasteluista. Tällöin taipumat mitataan kimmopinnan origoon sijoitetusta tangenttitasosta lähtien. Kun kertoimet C 4 , C 5 ja C 6 ratkaistaan momenttien lausekkeista ja sijoitetaan taipuman lausekkeeseen, saadaan tulokseksi w( x, y ) = − 1 2 ( 1− ν 2 )D [( M x − ν M y ) x 2 + 2 ( 1 + ν ) M xy xy + ( − ν M x + M y ) y 2 ] (3.4) Kun tarkastellaan vain taivuttavaa reunakuormitusta, on M xy = 0 ja kimmopinnan lausekkeeksi tulee tällöin w( x, y ) = − 1 2(1− ν 2 [( M )D x − ν My ) x 2 + ( − ν Mx + My ) y 2 ] (3.5) Tarkastellaan seuraavaksi taivuttavia reunakuormituksia neliölaatan tapauksessa. 1. Kun M x = M y = M , tulee kimmopinnan lausekkeeksi w( x, y ) = − Laattarakenteet M ( x2 + y2 ) 2 ( 1+ ν )D (3.6) © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.14 joka on pyörähdysparaboloidin yhtälö. Kyseessä on isotrooppinen ja homogeeninen momenttikenttä, jolloin taivutusmomentit ovat yhtä suuria kaikissa laatan leikkauksissa ja vääntömomenttia ei esiinny missään leikkauksessa. Kuvassa 3.1 (b) on esitetty tätä kuormitustapausta vastaava kimmopinta. My Mx Mx My Mx = M y = M Mx = M My = ν M Mx = M My = 0 Mx = − My = M Kuva 3.1 Neliölaatan reunamomenttikuormitus. 2. Tapauksessa M x = M ja M y = 0 kimmopinnan lauseke on w( x, y ) = − Laattarakenteet M ( x2 − ν y2 ) 2 2 ( 1− ν )D (3.7) © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.15 ja vastaavat kaarevuudet ovat κ x = M / [( 1 − ν 2 ) D] ja κ y = − νκ x . Kyseessä on hyperbolinen paraboloidi eli satulapinta, jonka kuvaaja on esitetty kuvassa 3.1 (c). Kun laattaa taivutetaan tietyssä suunnassa, muodostaa se ν -vaikutuksen takia myös taivutussuuntaa vastaan kohtisuorassa suunnassa vastakkaismerkkisen kaarevuuden. 3. Kun kuormituksena ovat M x = M ja M y = ν M , ovat kimmopinta ja kaarevuudet w( x, y ) = − M 2 x 2D κx = M/D κy = 0 (3.8) Kimmopinnan lauseke on parabolinen sylinteri, ja sen kuvaaja on kuvassa 3.1 (d). 4. Kuormitusten ollessa M x = M ja M y = − M saadaan ratkaisuksi w( x, y ) = − M ( x2 − y2 ) 2 ( 1− ν )D κ x = − κ y = M / [( 1 − ν ) D] (3.9) Kimmopinta on tasasivuinen hyperbolinen paraboloidi, joka on kuvassa 3.1 (e). xakselin suuntainen suora y = vakio taipuu ylöspäin aukeavaksi paraabeliksi ja yakselin suuntainen suora x = vakio alaspäin aukeavaksi paraabeliksi. Suorat y = ± x eli koordinaattiakseleiden välisten suorien kulmien puolittajat pysyvät paikallaan. 3.2 Suorakulmiolaatan reunaehdot Kuten kohdassa 2.5 tuli esille, on klassisen laattateorian perusongelma taipuman w ratkaiseminen biharmonisesta differentiaaliyhtälöstä (2.37) laatan tuennasta seuraavilla reunaehdoilla. Yleisesti ottaen laatan reunaviiva voi olla yleinen xy-tason käyrä ja reunaehdot liittyvät sen tangentin ja normaalin suuntiin. Tässä tarkastellaan kuitenkin vain koordinaattiakseleiden suuntaisia reunaviivoja eli rajoitutaan suorakulmiolaattaan. Tuennan oletetaan seuraavassa sijaitsevan laatan y-akselin suuntaisella reunalla x = a . Muilla reunoilla olevat tuennat voidaan käsitellä analogisesti. 1. Jäykkä tuenta (kuva 3.2). Kun laatan reuna x = a on jäykästi kiinnitetty, ovat taipuma ja kimmopinnan kaltevuuskulma x-suunnassa nollia reunan kaikissa pisteissä. Reunaehdoiksi tulevat näin ollen w (a, y ) = 0 Kuva 3.2 Jäykkä tuenta. Laattarakenteet w,x (a, y ) = 0 (3.10) Kumpikin reunaehto on luonteeltaan kinemaattinen eli koskee taipumaa. Kaavan (3.10) jäl© Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.16 kimmäisestä ehdosta ja kaavasta (2.9) seuraa, että jäykälle tuelle on lisäksi voimassa M xy (a, y ) = 0 . 2. Niveltuenta (kuva 3.3). Laatan reunan x = a ollessa niveltuettu on taipuma estetty reunan kaikissa pisteissä, mutta reuna pääsee vapaasti kiertymään tukisuoran ympäri, joten tämän suoran ympäri taivuttavan taivutusmomenttitiheyden M x (a, y ) tulee olla nolla. Reunaehdoiksi tulevat näin ollen w (a, y ) = 0 M x (a, y ) = 0 (3.11) Momenttitiheyttä M x koskeva reunaehto on luonteeltaan kineettinen eli koskee voimasuuretta. Kaavan (3.11) toinen reunaehto voidaan lausua taipuman w avulla käyttämällä hyväksi yhtälöä (2.9), josta seuraa ehto w, xx (a, y ) + ν w, yy (a, y ) = 0 . Koska Kuva 3.3 Niveltuenta. w(a, y ) = 0 , on myös w, y (a, y ) = w, yy (a, y ) = 0 . Reunaehdot (3.11) voidaan siis antaa myös muodossa w (a, y ) = 0 w, xx (a, y ) = 0 (3.12) Niveltuella laatan kaltevuuskulma w , x (a, y ) ≠ 0 , joten voi olla myös w, xy (a, y ) ≠ 0 . Kaavasta (2.9) seuraa, että niveltuennan vääntömomenttitiheys M xy (a, y ) ei ole identtisesti nolla. Yleensä kuitenkin ajatellaan niveltuennan olevan sellainen, että se ei ota vastaan vääntömomenttitiheyttä. Mahdollinen nollasta poikkeava vääntömomenttitiheys M xy (a, y ) yhdistetään tällöin leikkausvoimatiheyden Q x (a, y ) kanssa ns. korvikeleikkausvoimatiheydeksi, kuten jatkossa tulee esille. Samalla ratkeaa niveltuentaan tuleva tukivoimatiheys. 3. Vapaa reuna (kuva 3.4). Tässä tapauksessa reunalle tulee vain kineettisiä reunaehtoja. Esimerkiksi kuvan 2.3 perusteella voisi helposti ajatella, että vapaalla reunalla x = a on kolme kineettistä reunaehtoa eli taivutusmomenttitiheys Mx (a, y ) = 0 , vääntömomenttitiheys M xy (a, y ) = 0 ja leikkausvoimatiheys Q x (a, y ) = 0 . Näin ei kuitenkaan voi olla, sillä perusdifferentiaaliyhtälö (2.37) on taipuman neljännen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla voi olla vain kaksi reunaehtoa reunan pisteissä. Ristiriita johtuu käyttöön Kuva 3.4 Vapaa reuna. otetusta likimääräisestä kinemaattisesta mallista, joka ei ota huomioon leikkausmuodonmuutosta eikä siis tunne laatan leikkausvoimia. Tämän ristiriidan selvitti ensimmäisenä KirchLaattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.17 hoff v. 1850 osoittamalla, että kinemaattinen malli vaatii vääntömomentti- ja leikkausvoimatiheyden korvaamista reunalla ns. Mxy dx (Mxy + Mxy ,x dx )dx korvikeleikkausvoimax tiheyden yhdellä reu(a) naehdolla. dx dx x (b) Mxy dx Mxy + Mxy ,x dx x (c) Mxy ,x dx x (d) q = Mxy ,x Kuva 3.5 Reunan y = b vääntömomentin korvike. Mxy (0, b) Mxy ,x ( x, b) Mxy (a, b) Kuva 3.6 Vääntömomentin korvike. Korvikeleikkausvoimatiheyden lausekkeen johtamiseksi tarkastellaan laatan vapaata reunaa y = b (AB kuvassa 3.4). Siinä vaikuttaa vääntömomenttitiheys M xy ( x, b) , joka muodostuu keskitason suuntaisista leikkausjännityksistä τ xy kuvan 3.5 (a) mukaisesti. Kuvassa 3.5 (b) on staattisesti samanarvoinen systeemi, joka muodostuu keskitasoa vastaan kohtisuorista voimapareista. Kuvien 3.5 (a) ja (b) rasitusten aiheuttamat jännitystilakentät eroavat toisistaan vain reunan välittömässä läheisyydessä Saint Venantin periaatteen mukaisesti. Kuvan 3.5 (b) voimapariketjusta jää resultantiksi kuvan 3.5 (c) pistevoimaketju, joka voidaan tulkita kuvan 3.5 (d) mukaisesti jatkuvaksi poikittaiseksi reunavoimatiheydeksi q = M xy , x . Reunan alkupäässä x = 0 ja loppupäässä x = a ei kuvan 3.5 (b) voimapareilla ole viereistä voimaparia, jotka osittain kumoaisivat niitä. Nurkkiin jäävät näin ollen kuvan 3.6 pistevoimat M xy (0, b) ja M xy (a, b) . Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi 2 Mxy (0,0) Mxy ,x ( x,0) 2 Mxy (a,0) Mxy ,y (0, y ) Mxy ,y (a, y ) Mxy ,x ( x, b) 2 Mxy (0, b) 2 Mxy (a, b) III.18 Edellä esitetty vääntömomenttitiheyden korvaus voidaan tehdä laatan kaikilla reunoilla. Tällöin saadaan kuvan 3.7 staattisesti samanarvoinen korvaussysteemi, jossa on reunavoimatiheydet M xy , x ( x,0) , M xy , x ( x, b) , M xy , y (0, y ) ja M xy , y (a, y ) nurkkavoimat Kuva 3.7 Korvaussysteemi. 2 M xy (0, b) , sekä lisäksi 2 M xy (0,0) , 2 M xy (a,0) ja 2 M xy (a, b) . Kun tavallinen leikkausvoimatiheys Q x tai Q y ja vääntömomenttitiheydestä saatu korvaava leikkausvoimatiheys lasketaan yhteen, saadaan laatan reunan korvikeleikkausvoimatiheydet Vx tai Vy . Korvikeleikkausvoimatiheydet suorakulmiolaatan reunoilla ovat näin ollen x = 0: Vx (0, y ) = Q x (0, y ) + M xy , y (0, y ) x = a: Vx (a, y ) = Q x (a, y ) + M xy , y (a, y ) y = 0: Vy ( x,0) = Q y ( x,0) + M xy , x ( x,0) y =b: Vy ( x, b) = Q y ( x, b) + M xy , x ( x, b) (3.13) Korvikeleikkausvoimatiheyksillä on tavallisten leikkausvoimatiheyksien merkkisopimukset. Nurkkavoimien positiiviset suunnat ovat kuvan 3.7 mukaiset. Jos kuvan 3.4 laatan reuna x = a on vapaa, ovat korvikeleikkausvoima- ja taivutusmomenttitiheys nollia tällä reunalla ja reunaehdot ovat näin ollen Vx (a, y ) = 0 M x (a, y ) = 0 (3.14) Kineettiset reunaehdot (3.14) voidaan kirjoittaa taipuman w avulla kaavoja (2.9) ja (2.27) hyödyntämällä, jolloin saadaan reunaehdot w, xx (a, y ) + ν w, yy (a, y ) = 0 w, xxx (a, y ) + ( 2 − ν ) w, xyy (a, y ) = 0 (3.15) Jos molemmilla suorakulmiolaatan nurkkaan liittyvillä sivuilla on niveltuenta tai toisella on niveltuenta ja toinen on vapaa, syntyy edellä kuvattu nurkkavoima. Kun molemmat nurkkaan liittyvät sivut ovat vapaita ja nurkka kuormittamaton, on nurkkavoiman oltava nolla. Tästä seuraa kaavan (2.9) perusteella, että taipuman on toteutettava lisäehto w, xy = 0 eli vapaassa kuormittamattomassa nurkassa kierevyys on nolla. Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.19 4. Luistituenta. Kun reunalla x = a on luistituenta, on kimmopinnan kaltevuuskulma w , x (a, y ) nolla. Koska reuna pääsee vapaasti siirtymään z-suunnassa, on korvike- leikkausvoimatiheyden Vx (a, y ) Reunaehdoiksi tulevat siis w, x (a, y ) = 0 oltava nolla. Vx (a, y ) = 0 (3.16) Koska w,x (a, y ) = 0 , on myös w, xy (a, y ) = 0 , joten kaavan (2.9) mukaan vääntömomenttitiheys M xy (a, y ) = 0 , joten toinen reunaehto on Kuva 3.8 Luistituenta. w, x (a, y ) = 0 itse asiassa Q x (a, y ) = 0 . Kaltevuuskulmaa koskeva reunaehto on kinemaattinen ja (korvike)leikkausvoimatiheyttä koskeva kineettinen. Kun kineettinen reunaehto lausutaan taipuman w avulla kaavaa (2.27) käyttäen, saadaan reunaehdot w, xxx (a, y ) = 0 (3.17) Edellä kohdissa 1-4 tutkitut reunaehdot ovat homogeenisia reunaehtoja, koska niissä oletettiin reunan suureiden tunnetut arvot nolliksi. Epähomogeenisissa reunaehdoissa niiden tunnetut arvot eivät ole nollia, jolloin tarkastellaan tunnettuja tukisiirtymiä tai reunakuormituksia. Reunaehdot ovat kuitenkin periaatteessa samat kuin edellä, yhtälöissä korvataan vain oikeiden puolien nollat vastaavilla tunnetuilla arvoilla. 3.3 Navierin ratkaisu Navierin ratkaisumenetelmä sopii mielivaltaisesti kuormitetun suorakulmiolaatan käsittelyyn, kun se on kaikilta reunoiltaan niveltuettu kuvan 3.9 mukaisesti. Laatan reunaehdot ovat tällöin Kuva 3.9 Niveltuettu laatta. Laattarakenteet DA : w( x , 0 ) = 0 w, yy ( x , 0 ) = 0 BC : w( x , b ) = 0 w, yy ( x , b ) = 0 CD : w( 0 , y ) = 0 w, xx ( 0 , y ) = 0 AB : w( a , y ) = 0 w, xx ( a , y ) = 0 (3.18) Taipumaa w( x, y ) etsitään äärettömän Fourier-kaksoissinisarjan muodossa, jolloin sen lauseke on muotoa © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi w( x, y ) = ∞ ∞ ∑ ∑ w mn sin( α m x ) sin(β n y ) m=1 n=1 III.20 α m = mπ / a β n = nπ / b (3.19) jossa taipuman Fourier-kertoimet w mn ovat tuntemattomia vakioita. On selvää, että muotoa (3.19) oleva ratkaisu toteuttaa reunaehdot (3.18) automaattisesti, sillä sen jokainen termi toteuttaa ne erikseen. Taipuman Fourier-kertoimet w mn riippuvat laatan kuormitusjakaumasta p( x, y ) . Kertoimien w mn määrittämiseksi kehitetään myös kuormitus Fourier-kaksoissinisarjaksi. Kuormituksen Fourier-kertoimille käytetään seuraavassa merkintää p mn ja sen sarjakehitelmä on muotoa p( x, y ) = ∞ ∞ ∑ ∑ m=1 n=1 p mn sin(α m x ) sin(β n y ) (3.20) Kun yhtälön (3.20) molemmat puolet kerrotaan tekijällä sin(α j x ) sin(β k y ) ja integroidaan laatan keskitason yli, termejä järjestelemällä seuraa tulos a b ∫ ∫ p( x, y ) sin(α j x ) sin(β k y ) dx dy = 0 0 ∞ ∞ ∑ ∑ m =1 n=1 a p mn ∫ sin(α m x ) sin(α j x ) dx 0 (3.21) b ∫ sin(β n y ) sin(β k y ) dy 0 Sinifunktioiden ortogonaalisuusominaisuuden ⎧0 a ∫ sin(α m x ) (sin α j x) dx = ⎨⎩ a / 2 0 ,m ≠ j (3.22) ,m = j nojalla edellä olevasta kaksoissummasta tulee tulokseksi p jk ⋅ ab / 4 , joten Fourierkertoimen p mn lausekkeeksi tulee a b p mn = 4 ab ∫0 ∫ p( x, y) sin(α m x) sin(β n y ) dx dy (3.23) 0 Kun sarjat (3.20) ja (3.22) sijoitetaan laatan perusdifferentiaaliyhtälöön (2.37), tulee ∞ ∞ ∑ ∑ D w mn ( α m4 + 2 α m2 β n2 + β n4 ) sin(α m x ) sin(β n y ) = m=1 n=1 ∞ ∞ ∑ ∑ m=1 n=1 (3.24) p mn sin( α m x ) sin(β n y ) Yhtälön (3.24) pitää toteutua termeittäin, josta seuraa Fourier-kertoimille w mn kaava Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi w mn = p mn 2 D( αm + β n2 )2 III.21 p mn = (3.25) ⎡ ⎛ m ⎞2 ⎛ n ⎞2 ⎤ Dπ4 ⎢ ⎜ a ⎟ + ⎜ b ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎠ 2 Kun annetun kuormituksen p( x, y ) sinisarjan kertoimet (3.23) on laskettu, saadaan taipuman w( x, y ) sinisarjan (3.19) kertoimet kaavasta (3.25). Kun taipuman sarja tunnetaan, voidaan muiden laatan suureiden sarjat laskea siitä laattateorian peruskaavoilla. Käytännössä ei suureita sarjoista laskettaessa voida ottaa mukaan ääretöntä määrää termejä. Sarjat suppenevat kuitenkin melko nopeasti ja yleensä laskentatarkkuuden kannalta riittää, kun otetaan sarjojen alkupäästä muutamia termejä. 3.3.1 Tasaisen kuormituksen Navierin ratkaisu Kun kaikilta reunoiltaan niveltuetulla suorakulmiolaatalla on tasainen kuormitus p( x, y ) = p 0 , seuraa kaavasta (3.23) kuormituksen sinisarjan kertoimiksi p mn = 4 p0 ab ⇒ ⎡a 1 ⎤ cos(α m x )⎥ ⎢ ⎢⎣ 0 α m ⎥⎦ / ⎧ 16 p 0 ⎪ = ⎨ π 2mn ⎪0 ⎩ p mn [ ][ ⎡b 1 ⎤ 4p cos(β n y )⎥ = 2 0 1 − ( −1)m 1 − ( −1)n ⎢ ⎢⎣ 0 β n ⎥⎦ π mn / , kun m ja n ovat parittomia ] (3.26) , muulloin Laatan taipuman kaksoissinisarjaksi (2.48) tulee näin ollen w ( x, y ) = 16 p 0 π6 D ∞ ∑ ∞ ∑ m = 1, 3, L n = 1, 3, L 1 mn [ ( m / a ) 2 + ( n / b ) 2 ] 2 sin nπ y mπ x sin (3.27) a b Tasaisesti kuormitetun ja niveltuetun suorakulmiolaatan kimmopinta on symmetrinen laatan symmetria-akseleiden suhteen. Tästä johtuu, että taipuman ratkaisussa (3.27) ovat mukana vain kaksoissymmetriset sinikuplat (m ja n pariton). Laatan suurin taipuma on sen keskipisteessä x = a / 2 , y = b / 2 , jolle kaavasta (3.27) seuraa lauseke w max = 16 p 0 π6 D ∞ ∑ ∞ ∑ m = 1, 3, L n = 1, 3, L ( − 1)( m + n ) / 2 − 1 mn [ ( m / a ) 2 + ( n / b ) 2 ] 2 (3.28) mπ = ( − 1)( m − 1 ) / 2 . Laattamomenttien sarjat saadaan sijoittamalla taipuman 2 sarja kaavaan (2.9), josta seuraa tulokset sillä sin Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi M x ( x, y ) = 16 p 0 M y ( x, y ) = 16 p 0 π 4 ∞ ∑ ∑ ∞ ∞ m = 1, 3, L n = 1, 3, L π4 M xy ( x, y ) = − ∞ ∑ ∑ m = 1, 3, L n = 1, 3, L 16 ( 1 − ν ) p 0 π ab 4 ∞ ∑ III.22 ( m / a )2 + ν ( n / b )2 mn [ ( m / a ) + ( n / b ) ] 2 2 2 ν ( m / a )2 + ( n / b )2 mn [ ( m / a ) 2 + ( n / b ) 2 ] 2 ∞ ∑ m = 1, 3, L n = 1, 3, L sin mπx nπy sin a b sin mπx nπy sin a b 1 [(m / a ) + (n / b ) ] 2 2 2 cos mπx nπy cos a b (3.29) Laatan leikkausvoimatiheyksien sarjoiksi tulee kaavasta (2.27) Q x ( x, y ) = 16 p 0 Q y ( x, y ) = 16 p 0 π3 a π3 b ∞ ∞ ∑ ∑ ∞ ∞ m = 1, 3, L n = 1, 3, L ∑ ∑ m = 1, 3, L n = 1, 3, L ( m / a )2 + ( n / b )2 n [ ( m / a )2 + ( n / b )2 ] 2 cos mπx nπy sin a b ( m / a )2 + ( n / b )2 mπx nπy sin cos 2 2 2 a b m[ ( m / a ) + ( n / b ) ] (3.30) Tuloksesta (3.29) nähdään, että M x ja M y ovat nollia laatan reunoilla x = 0 , x = a ja y = 0 , y = b , mutta M xy ei ole nolla laatan reunoilla eikä kulmissa. Koska niveltuenta ei ota vastaan vääntöä, on M xy yhdistettävä reunaan liittyvän leikkausvoiman ( Q x tai Q y ) kanssa korvikeleikkausvoimaksi ( Vx tai Vy ). x-akselin suuntaisilla reunoilla korvikeleikkausvoiman lauseke on Vx = Q x + M xy , y , josta tulee reunalla x = a Vx (a, y ) = − 16 p 0 π a 3 ∞ ∑ m=1, 3,L ∞ ∑ n=1, 3,L ( m / a )2 + ( 2 − ν ) ( n / b )2 n[ ( m / a ) + ( n / b ) ] 2 2 2 sin nπ y b (3.31) Korvikeleikkausvoimien lausekkeet muilla reunoilla voidaan johtaa vastaavasti. Korvikeleikkausvoimien lisäksi momentista M xy syntyvät kuvan 3.7 mukaiset nurkkavoimat. Tuloksen (3.29) mukaan M xy on negatiivinen nurkissa B ja D sekä positiivinen nurkissa A ja C, joten kuvan 3.7 perusteella kaikki nurkkavoimat ovat alaspäin eli zakselin positiiviseen suuntaan. Nurkkavoiman suuruudeksi tulee R= 32 ( 1 − ν ) p 0 π ab 4 ∞ ∑ m=1, 3,L ∞ ∑ n=1, 3,L 1 [ ( m / a ) + ( n / b )2 ] 2 2 (3.32) Niveltuentoihin liittyvät z-suuntaiset tukivoimatiheydet saadaan sivujen korvikeleikkausvoimatiheyksistä ja lisäksi on otettava huomioon nurkkavoimat. Korvikeleikkausvoimaan perustuva likiratkaisu ei anna aivan ideaalista niveltuentaa vastaavaa tulosta, mutta Saint Venantin periaatteen mukaan virhe rajoittuu reunan läheisyyteen kapealle alueelle. Laattamomenteista aiheutuville keskitason suuntaisille jännityksille saadaan sarjat kaavasta (2.11) ja laatan leikkausvoimista aiheutuville poikittaisille leikkausjännityksille sarjat kaavasta (2.30). Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.23 4 YMPYRÄ- JA RENGASLAATTA 4.1 Perusyhtälöt napakoordinaatistossa θ dθ Kuva 4.1 Ympyrälaatta. Qθ Ympyrälaatalla tarkoitetaan laattaa, jonka keskipinnan reunaviiva on ympyrä. Ympyrärengaslaatan keskipinnan reunaviivoina ovat kaksi samankeskistä ympyrää. Geometriansa takia näitä on paras käsitellä sylinterikoordinaatistossa (napakoordinaatisto ja z-akseli). Tämä edellyttää laattasuureiden määrittelemistä sylinterikoordinaatistossa ja perusyhtälöiden muuntamista tähän koordinaatistoon. Kun xyz- ja rθz koordinaatiston origo sijoitetaan laatan keskipisteeseen kuvan 4.1 mukaisesti, on koordinaattien välinen yhteys x = r cos θ , y = r sin θ . Kuvassa 4.1 on myös keskipinnan drdθ -differentiaalielementti ja kuvassa 4.2 on siihen liittyvät laattamomentit Mr , Mθ ja Mrθ sekä laatan leikkausvoimatiheydet Q r ja Q θ . Mθ Mrθ Qr Qr dθ Mrθ Mr Mr Qθ dθ Mrθ Mθ Mrθ Kuva 4.2 Laattaelementin jännitysresultantit. Napakoordinaatistossa operaattori ∇ 2 on muotoa 1 1 ∇ 2 w = w,rr + w,r + 2 w,θθ r r (4.1) joten perusdifferentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa sylinterikoordinaatistossa muotoon 1 1 1 1 ⎡ ⎤⎛ ⎞ ∇ 4 w = ⎢ ( ),rr + ( ),r + 2 ( ),θθ ⎥ ⎜ w,rr + w,r + 2 w,θθ ⎟ = p( r, θ) / D r r r r ⎣ ⎦⎝ ⎠ Laattarakenteet (4.2) © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.24 Laattamomenteille, leikkausvoima- ja korvikeleikkausvoimatiheyksille tulee taipuman w avulla esitetyt lausekkeet ⎡ 1 ⎛1 Mr = D ( κ r + ν κ θ ) = − D ⎢ w,rr + ν ⎜ w,r + 2 w,θθ r ⎝r ⎣ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ ⎡ 1 ⎛1 Mθ = D ( ν κ r + κ θ ) = − D ⎢ν w,rr + ⎜ w,r + 2 w,θθ r ⎝r ⎣ ⎛1 ⎞ Mrθ = D ( 1 − ν ) κ rθ = − D ( 1 − ν ) ⎜ w,θ ⎟,r ⎠ ⎝r ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ Q r = − D ( ∇ 2 w ),r Q θ = − D ( ∇ 2 w ),θ 1 Vr = Q r + Mrθ ,θ = − D r ⎡ 2 1⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎢( ∇ w ),r +( 1 − ν ) r ⎜ r w,θ ⎟,rθ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ D= E h3 12 ( 1 − ν 2 ) ⎡1 ⎛1 ⎞ ⎤ Vθ = Q θ + Mrθ ,r = − D ⎢ ( ∇ 2 w ),θ +( 1 − ν ) ⎜ w,θ ⎟,rr ⎥ ⎝r ⎠ ⎦ ⎣r (4.3) (4.4) (4.5) Laatan jännitysresultanttien tasapainoehdoiksi tulee ( r Mr ),r + Mrθ ,θ − Mθ = r Q r Mθ ,θ + ( r Mrθ ),r + Mrθ = r Q θ (4.6) ( r Q r ),r + Q θ ,θ = − r p( r, θ ) ( r Mr ),rr + 2 1 ( r Mrθ ),rθ − M θ ,r + M θ ,θθ = − r p( r, θ ) r r (4.7) Jännityskomponenttien lausekkeet ovat Mθ z I 2 3 Qr ⎡ ⎛ z ⎞ ⎤ 1 = − ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ 2 h ⎢⎣ ⎝ h / 2 ⎠ ⎥⎦ σr = τ rz Mr z I Laattarakenteet σθ = Mrθ z I = h 3 / 12 I 2 3 Qθ ⎡ ⎛ z ⎞ ⎤ 1 = − ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ 2 h ⎢⎣ ⎝ h / 2 ⎠ ⎥⎦ τ rθ = τ θz (4.8) © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.25 4.2 Laattayhtälön ratkaiseminen Laattateorian perusongelmana on taipuman w ratkaiseminen. Se saadaan perusyhtälöstä (4.2) ja reunaehdoista, jonka jälkeen muut suureet voidaan laskea kaavoista (4.3), (4.4), (4.5) ja (4.8). Perusyhtälön ratkaisu on homogeenisen differentiaaliyhtälön ∇ 4 w = 0 yleisen ratkaisun w h ( r, θ ) ja täydellisen yhtälön ∇ 4 w = p / D yksityisratkaisun w y ( r, θ) summa eli w( r, θ) = w h ( r, θ) + w y ( r, θ) . Homogeenisen yhtälön ratkaisut ovat biharmonisia funktioita. Homogeenisen yhtälön ratkaisuja voidaan etsiä esimerkiksi muuttujien erottamiskeinolla (vrt. jännitysfunktio φ levyteoriassa) muodossa ⎧ sin(nθ) w hn = R n (r ) ⎨ n = 0,1, 2,K ⎩ cos(nθ) ⇒ (4.9) w h0 ( r ) = a 0 + b 0 ln r + c 0 r 2 + d0 r 2 ln r ⎧ sin θ w h1( r, θ) = ( a1 r + b1 / r + c 1 r 3 + d1 r ln r ) ⎨ ⎩ cos θ (4.10) ⎧ sin(nθ) w hn ( r, θ) = ( a n r n + b n r −n + c n r 2+n + dn r 2−n ) ⎨ ,n ≥ 2 ⎩ cos(nθ) Kertoimille a n , b n , c n , ja dn saadaan arvot laatan reunaehdoista. Rengaslaatalla ehtoja on kaksi kummallakin reunaympyrällä. Ympyrälaatalla ei ole sisäreunaa ja sille toinen reunaehtopari tulee vaatimuksista w(0) ≠ ∞ Mr (0) ≠ ∞ , josta seuraa b n = dn = 0 n = 0,1, 2,K . Reunan r = a tavallisimmat tukimallit ovat kulmasta θ riippumattomia ja niihin liittyvät reunaehdot ovat a) b) c) d) Jäykkä kiinnitys: Nivelkiinnitys: Luistikiinnitys: Vapaa reuna: w(a) = 0 ja w,r (a) = 0 w(a) = 0 ja Mr (a) = 0 w,r (a) = 0 ja Vr (a) = 0 Mr (a) = 0 ja Vr (a) = 0 Edellä olevissa reunaehdoissa laattamomentin Mr ja korvikeleikkausvoiman Vr ehdot voidaan lausua taipuman w avulla kaavoja (4.3) ja (4.5) käyttäen. 4.3 Rotaatiosymmetrinen ratkaisu Kun kuormitus ja tuenta ovat rotaatiosymmetrisiä, eivät laattasuureet riipu kulmasta θ , jolloin kaikki derivaatat muuttujan θ suhteen ovat nollia. Tällöin on voimassa 1 1 ∇ 2 w = w,rr + w,r = ( r w,r ),r r r Laattarakenteet ∇ 4 w = w,rrrr + 2 1 1 w,rrr − 2 w,rr + 3 w,r r r r (4.11) © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.26 Laatan perusdifferentiaaliyhtälö menee muotoon 1⎧ ⎡ 1 ⎤ ⎫ ∇ 4 w = ⎨ r ⎢ ( r w,r ),r ⎥,r ⎬,r = p( r ) / D r⎩ ⎣r ⎦ ⎭ (4.12) josta seuraa peräkkäisillä integroinneilla rp ⎡1 ⎤ r ⎢ ( r w,r ),r ⎥,r = c 1 + ∫ dr D ⎣r ⎦ 1 ( r w,r ),r = c 2 + c 1 ln r + ∫ ⎛⎜ 1 ∫ r p dr ⎞⎟ dr r ⎝r D ⎠ r w,r = c 3 + ⎛ r2 ⎡ ⎛1 rp ⎞ ⎤ 1 r2 ⎞ c 2r 2 + c 1 ⎜⎜ ln r − ⎟⎟ + ∫ ⎢r ∫ ⎜ ∫ dr ⎟ dr ⎥ dr 2 4⎠ ⎣ ⎝r D ⎠ ⎦ ⎝ 2 w = c 4 + c 3 ln r + ⎛ r2 ⎧1 ⎡ ⎛ 1 r p ⎞ ⎤ ⎫ 1 r2 ⎞ c 2 r 2 + c 1 ⎜⎜ ln r − ⎟⎟ + ∫ ⎨ ∫ ⎢r ∫ ⎜ ∫ dr ⎟ dr ⎥ dr ⎬ dr 4⎠ 4 ⎩r ⎣ ⎝ r D ⎠ ⎦ ⎭ ⎝ 4 Ympyrä- ja rengaslaatan perusdifferentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu rotaatiosymmetrisen tuennan ja kuormituksen tapauksessa on siis muotoa ⎧1 ⎡ ⎛ 1 r p ⎞ ⎤ ⎫ w( r ) = a 0 + b 0 ln r + c 0 r 2 + d0 r 2 ln r + ∫ ⎨ ∫ ⎢r ∫ ⎜ ∫ dr ⎟ dr ⎥ dr ⎬ dr ⎩r ⎣ ⎝ r D ⎠ ⎦ ⎭ (4.13) Kaavassa (4.13) ratkaisun osa w h0 = a 0 + b0 ln r + c 0 r 2 + d0 r 2 ln r on homogeenisen ⎧1 ⎡ ⎛ 1 r p ⎞ ⎤ ⎫ yhtälön yleinen ratkaisu ja osa w y = ∫ ⎨ ∫ ⎢r ∫ ⎜ ∫ dr ⎟ dr ⎥ dr ⎬ dr täydellisen yhtälön ⎩r ⎣ ⎝ r D ⎠ ⎦ ⎭ yksityisratkaisu. Vakiot a 0 , b 0 , c 0 , d0 saadaan määritettyä laatan reunaehdoista. Laa- tan jännitysresultanteille tulee edelleen kaavoista (4.3), (4.4) ja (4.5) sieventämällä seuraavat lausekkeet ⎛ Mr = − D ⎜ w,rr + ⎝ ⎛ Q r = − D ⎜ w,rr + ⎝ Laattarakenteet ν ⎞ w,r ⎟ r ⎠ 1 ⎞ w,r ⎟,r r ⎠ 1 ⎞ ⎛ Mθ = − D ⎜ ν w,rr + w,r ⎟ r ⎝ ⎠ Qθ = 0 Vr = Q r Mrθ = 0 (4.14) Vθ = 0 © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.27 4.3.1 Tasaisesti kuormitettu ja jäykästi tuettu ympyrälaatta Tarkastellaan kuvan 4.3 tasaisesti kuormitettua ja reunaltaan jäykästi tuettua ympyrälaattaa. Etsitään aluksi yksityisratkaisu kaavan (4.13) integraalin avulla, kun p = p 0 1 r p0 1 r 2 p0 r p0 = dr = ⋅ r∫ D r 2D 2D r 2 p0 r 3 p0 r p0 = dr = r ⋅ r∫ 4D 4D 2D 1 r 3 p0 1 r 4 p0 r 3 p0 = ⋅ = dr r ∫ 4D r 16 D 16 D (4.15) r 4 p0 r 3 p0 = dr ∫ 16 D 64 D Taipuman w lauseke on kaavan (4.13) mukaan p0 w = a0 + c 0 r 2 + p0 4 r 64 D (4.16) sillä ehtojen w(0) ≠ ∞ ja Mr (0) ≠ ∞ perusteella on b 0 = d0 = 0 . Kaltevuuskulman w,r lausekkeeksi saadaan derivoimalla Kuva 4.3 Jäykästi tuettu ympyrälaatta. w,r = 2 c 0 r + p0 3 r 16 D (4.17) Reunan r = a ehdoista w(a) = 0 ja w,r (a) = 0 seuraa vakioille a 0 ja c 0 yhtälöpari p0 4 ⎧ 2 ⎪ a 0 + c 0 a + 64 D a = 0 ⎪ ⎨ ⎪ 2 c a + p0 a3 = 0 0 ⎪⎩ 16 D ⇒ a0 = p0 a 4 64 D c0 = − 2p0 a2 64 D (4.18) Taipuman lausekkeeksi tulee vakioiden sijoittamisen jälkeen p a4 w( r ) = 0 64 D 2 4 2 4 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ ⎤ p0 a ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ ⎢ 1− 2 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ 64 D ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 (4.19) Maksimi taipuma on laatan keskipisteessä ja sen arvo on w max p0 a 4 = w (0 ) = 64 D (4.20) Jännitysresultanttien kaavoissa (4.14) tarvittavat derivaatat ovat Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi w,r = p0 a2 16 D ⎛ r3 ⎞ ⎜ −r + ⎟ ⎜ a 2 ⎟⎠ ⎝ w,rr = p0 a2 16 D III.28 ⎛ 3r 2 ⎞ ⎜ −1+ ⎟ ⎜ a 2 ⎟⎠ ⎝ (4.21) Sijoittamalla lausekkeet (4.21) kaavoihin (4.14) saadaan tulokset p0 a2 Mr = − 16 2 ⎛ 3r 2 r 2 ⎞ p0 a2 ⎡ ⎛r⎞ ⎤ ⎜ −1 + ⎟ −ν+ν 2 ⎟= ⎢ (1+ ν) − ( 3 + ν) ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ 16 ⎢⎣ a2 a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎦⎥ ⎝ p0 a2 Mθ = − 16 2 ⎛ 3r 2 r 2 ⎞ p0 a2 ⎡ ⎛r⎞ ⎤ ⎜ −ν + ν ⎟ − 1+ 2 ⎟ = ⎢ ( 1 + ν ) − ( 1 + 3ν ) ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ 16 ⎢⎣ a2 a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎦⎥ ⎝ p0 a2 16 Qr = − (4.22) ⎛ p r 3r 2 r2 ⎞ ⎜ −1 + ⎟,r = − 0 1 − + 2 2 ⎜ 2 a a ⎟⎠ ⎝ Laatan keskipisteessä r = 0 laattamomenteilla Mr ja Mθ on sama arvo Mr (0) = Mθ (0) = ( 1 + ν ) p 0 a 2 / 16 (4.23) Laatan reunalla r = a laattamomenttien Mr ja Mθ arvot ovat Mr (a) = − 2 p 0 a 2 / 16 Mθ (a) = − 2 ν p 0 a 2 / 16 (4.24) Suurin laattamomentin itseisarvo on siis reunan säteittäismomentin itseisarvo Mr max = p 0 a 2 / 8 , josta seuraa suurimmaksi normaalijännityksen itseisarvoksi σr max = 6 h p a2 / 8 = 2 0 2 3⎛a⎞ ⎜ ⎟ p0 4⎝h⎠ (4.25) 4.3.2 Tasaisesti kuormitettu ja niveltuettu ympyrälaatta p0 Tutkitaan kuvan 4.4 tasaisesti kuormitettua ja reunaltaan niveltuettua ympyrälaattaa. Edellisen kohdan yksityisratkaisu kelpaa tässäkin ja keskipisteen reunaehdot ovat myös samat, joten taipuma ja sen derivaatat ovat w = a0 + c 0 r 2 + Kuva 4.4 Niveltuettu ympyrälaatta. Laattarakenteet p0 4 r 64 D 3 p0 2 w,rr = 2 c 0 + r 16 D w,r = 2 c 0 r + p0 3 r 16 D (4.26) © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.29 Laattamomentin Mr lausekkeeksi tulee kaavasta (4.14) Mr = − 2 D ( 1 + ν ) c 0 − ( 3 + ν ) p 0 r 2 / 16 (4.27) Reunan r = a ehdoista w(a) = 0 ja Mr (a) = 0 seuraa yhtälöpari vakioille a 0 ja c 0 p0 4 ⎧ 2 ⎪⎪ a 0 + c 0 a + 64 D a = 0 ⎨ ⎪ − 2D (1+ ν ) c − ( 3 + ν ) p0 a2 = 0 0 ⎪⎩ 16 ⇒ 5 + ν p0 a 4 a0 = 1 + ν 64 D 3 + ν p0 a 2 c0 = − 1 + ν 32 D (4.28) Taipumaksi tulee vakioiden a 0 ja c 0 sijoittamisen jälkeen p a4 w( r ) = 0 64 D 2 4 ⎡ 5+ν 3 + ν ⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ ⎤ p0 a 4 −2 ⎢ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ = 1 + ν ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ 64 D ⎢⎣ 1 + ν ⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ ⎡ 5 + ν ⎛ r ⎞2 ⎤ −⎜ ⎟ ⎥ ⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 1 + ν ⎝ a ⎠ ⎥⎦ (4.29) Maksimi taipuma on laatan keskipisteessä ja sen arvo on w max = w(0) = 5 + ν p0 a 4 1 + ν 64 D (4.30) joka on ( 5 + ν ) /( 1 + ν ) -kertainen verrattuna jäykästi tuetun laatan suurimpaan taipumaan verrattuna. Kun ν = 0,3 , kerroin on noin 4,08. Kaltevuuskulmaksi w,r laatan reunalla r = a tulee kaavasta (4.26) w,r (a ) = − p0 a3 8 ( 1 + ν )D (4.31) Jännitysresultanteille saadaan kaavasta (4.14) seuraavat lausekkeet Mr = ( 3 + ν )p0 a2 16 p a2 Mθ = 0 16 ⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ ⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ Qr = − p0 r 2 (4.32) 2 ⎡ ⎛r⎞ ⎤ + − + ( 3 ν ) ( 1 3 ν ) ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ Laatan keskipisteessä r = 0 laattamomenteilla Mr ja Mθ on sama arvo Mr (0) = Mθ (0) = ( 3 + ν ) p 0 a 2 / 16 Laattarakenteet (4.33) © Matti Lähteenmäki Lujuusopin jatkokurssi III.30 joka on samalla kummankin laattamomentin itseisarvon maksimi. Suurimmaksi normaalijännityksen itseisarvoksi tulee näin ollen σr max = σθ max = 6 h ( 3 + ν ) p 0 a 2 / 16 = 2 2 3( 3 + ν ) ⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ p0 8 ⎝h⎠ (4.34) joka on ( 3 + ν ) / 2 -kertainen verrattuna jäykästi tuetun laatan suurimpaan normaalijännityksen itseisarvoon verrattuna. Kun ν = 0,3 , kerroin on 1,65. Edellä olevia tuloksia sovellettaessa on syytä muistaa, että todellisissa rakenteissa tuenta on harvoin täysin jäykkä tai ideaalinen nivel, vaan todellinen tuenta on tavallisesti niiden välimuoto. Laattarakenteet © Matti Lähteenmäki