Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 / Syksy 2015

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 / Syksy 2015

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 / Syksy 2015
Harjoitus 2 / viikko 38 / alkuviikon kirjalliset
Ratkaisuehdotuksia / MS-A0103, MS-A0105
AK 1:
Kirjoita essee aiheesta kompleksiluku ja sen napakordinaattimuoto. Pyri vastaamaan seuraaviin kysymyksiin:
• Miten kompleksiluvut "laajentavat"tavallisia tason pisteitä?
• Miten edellä mainittu laajennus korostuu napakoordinaattimuodossa?
Vastaus
• Yleinen kompleksiluku esitys on
a + bi,
missä a, b ∈ R.
Kompleksilukua voidaan merkitä koordinaatipisteenä (a, b), missä a on reaaliosa ja b
on imaginääriosa. Tällä tavalla voidaan luodan näille tason pisteille laskutoimuksia
kuten kerto- ja jakolaskua.
• Kompleksiluku a + bi saadaan napakoordinaattimuotoon z = reiϕ kaavoilla


arctan( ab )



b


arctan( a ) + π
ϕ = arctan( ab ) − π


π


2


− π
2
jos
jos
jos
jos
jos
r=
a>0
a<0
a<0
a=0
a=0
√
a2 + b 2
ja
ja
ja
ja
b≥0
b<0
a>0
b<0
• Napakordinaatistomuodossa kerto ja jakolasku saa muodon
z1 z2 = r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 ) ,
r1
z1 /z2 = ei(ϕ1 −ϕ2 )
r2
Tason laajennus näkyy näissä kaavoissa aika hyvin, sillä kertolasku on kuin reaaliluvuilla, niiden keskinäinen tulo ja jakolasku niiden osamäärä. Kulmna huomioon
ottaminen saa tulot yksikäsitteisiksi. Tämä siis vaikuttaa hyvältä ja yksikäsitteiseltä algebralta tason pisteille, jolloin on perusteltua sanoa kompleksiluku esitystä
laajennetuksi tason pisteiksi.
1
AK 2:
Esimerkkinä edelliseen:
√
√
a) Esitä kompleksiluvut z1 = 3 + i 3 ja z2 = −1 + i 3 napakordinaattimuodossa.
b) Käyttäen a-kohdan tuloksia laske z1 z2 ja z1 /z2 .
c) Piirrä kuva, jossa näkyvät z1 , z2 , z1 z2 ja z1 /z2 .
Vastaus
a) Kompleksiluku a + bi saadaan napakoordinaattimuotoon z = reiϕ kaavoilla


arctan( ab )



b


arctan( a ) + π
ϕ = arctan( ab ) − π


π


2


− π
2
jos
jos
jos
jos
jos
r=
a>0
a<0
a<0
a=0
a=0
√
a2 + b 2
ja
ja
ja
ja
b≥0
b<0
a>0
b<0
Näin ollen saamme:
q
√ 2 √
√
√
r1 =
32 + 3 = 9 + 3 = 12 = 2 3,
√
1
π
3
= arctan √ = ,
ϕ1 = arctan
3
6
3
q
√ 2 √
√
r2 =
(−1)2 + 3 = 1 + 3 = 4 = 2,
√
√
π
2π
3
+ π = arctan(− 3) + π = − + π =
ϕ2 = arctan
−1
3
3
Näin ollen kompleksilukujen napakordinaattiesitykset ovat
√ π
z1 = 2 3ei 6
2π
z2 = 2ei 3
b) Napakordinaatistomuodossa kerto ja jakolasku saa muodon
z1 z2 = r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 ) ,
r1
z1 /z2 = ei(ϕ1 −ϕ2 )
r2
Näin ollen tässä kyseisessä tehtävässä saamme kompleksilukujen tuloksi ja osamääräksi
√ 5π
√
π
2π
z1 z2 = 2 3 · 2ei( 6 + 3 = 4 3ei 6
√
2 3 i( π − 2π √ −i π
z1 /z2 =
e 6 3 = 3e 2
2
c)
2
3