Kpl6ja7

6. Fourier-muunnos
Langattomien laitteiden matematiikka 1
1
6.1 Yleistä Fouriermuunnoksista



Fourier-sarjoja voidaan käyttää
jaksollisten funktioiden esittämiseen.
Jaksottomien funktioiden esittämiseen
käytetään Fourier-muunnosta.
Seuraavassa perustellaan, miksi Fourier-muunnosta käytetään sähkötekniikassa erittäin runsaasti.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
2

Esimerkki 1.
Tutkitaan aluksi, miten taajuuden 
pienentäminen vaikuttaa allaolevan
kaltaisen funktion spektriin
Langattomien laitteiden matematiikka 1
3


Taajuuden pienentyessä
- pulssin sakarat etääntyvät
toisistaan aika-alueessa
- taajuusalueessa spektriviivat
tihenevät
Rajatapauksena saadaan jaksoton
yksittäinen sakarapulssi.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
4


Jaksottoman funktion spektri on usein
jatkuva.(vrt. Fourier-sarjat…)
Tästä seuraa se, että matemaattiseen
kuvaamiseen tarvitaan summan sijasta
integraali (summa on diskreetti)!
Langattomien laitteiden matematiikka 1
5
6.2 Fourier-muunnos

Funktion f : R  K Fourier-muunnoksella tarkoitetaan integraalia
F 
F   


f t e
it
dt

Langattomien laitteiden matematiikka 1
6


Fourier-muunnos on olemassa, jos
integraali (F) suppenee.
Fourier-muunnokselle käytännön
tilanteissa riittävä ehto on, että seuraava
integraali suppenee



f t dt
Langattomien laitteiden matematiikka 1
7

Fourier-muunnoksen käänteismuunnos
määritellään asettamalla
F 
1
1
f t  
2


F  e d
it

Langattomien laitteiden matematiikka 1
8

Usein Fourier-muunnokselle ja käänteismuunnokselle käytetään merkintöjä:
F () = F [f (t )]
f (t ) = F -1 [F () ]
Langattomien laitteiden matematiikka 1
9


Fourier-muunnos on yleisessä tapauksessa kompleksiarvoinen funktio ja
määrittelee signaalin f (t ) jatkuvan
spektrin.
Muunnoksen itseisarvo |F ()| muodostaa amplitudispektrin ja vaihekulma
arg(F ()) vaihespektrin.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
10

Esimerkki 2.
Määritetään seuraavanlaisen sakarapulssin Fourier-muunnos.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
11

Esimerkki 3.
Muodostetaan seuraavanlaisen signaalin
määrittelemän funktion Fourier-muunnos.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
12

Esimerkki 4.
Tarkastellaan seuraavaa lineaarista
systeemiä. Olkoon tulosuure x (t ) ja
lähtösuure y (t ). Oletetaan edelleen, että
systeemiä kuvaa differentiaaliyhtälö
y' ' t   ay' t   byt   x' t   xt 
Langattomien laitteiden matematiikka 1
13
Parsevalin yhtälö





f
t

2


1
dt 
2


F   d
2

Jaksottoman signaalin tapauksessa
keskimääräisen tehon käsite on mielekäs
vain silloin, kun signaali häviää jonkin
äärellisen välin [a, b] ulkopuolella.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
14

Keskimääräisen tehon sijasta käytetään
signaalin energian käsitettä. Se
määritellään yhtälöllä
määr.
E 





f
t

2

1
dt 
2


F   d
2

Langattomien laitteiden matematiikka 1
15

Signaalin teho voidaan määrittää rajaarvona
1
P  lim
T  2T
T




f
t

2
T
T /2
1
2

dt  lim
f t  dt
T  T
T / 2
Langattomien laitteiden matematiikka 1

16

Jos 0 < P < ∞, sanotan signaalia
tehosignaaliksi.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
17

Esimerkki 5.
Määritä suorakaidepulssin f (t ) energia
ja teho, kun



A, kun   t 
f t   
2
2
0, muulloin
Langattomien laitteiden matematiikka 1
18
6.3 Erikoisfunktioiden Fmuunnoksia

Yksikköaskelfunktio määritellään
asettamalla
0, kun t  0
u t   
1, kun t  0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
19

Esimerkki 6.
Mielivaltaisesta funktiosta voidaan
yksikköaskelfunktiolla ottaa
tarkasteltavaksi mikä tahansa osa.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
20
Diracin deltafunktio

Määritellään apufunktio, jonka tutkimisella voidaan perustella Diracin deltafunktion muoto ja olemassaolo.
1
 , kun 0  t  
   
0, muulloin
Langattomien laitteiden matematiikka 1
21

Diracin deltafunktiolla tarkoitetaan
funktiota , joka toteuttaa seuraavat
ominaisuudet:
1. (t ) = 0, kun t  0
2. Jos f on pisteessä t0 jatkuva funktio,
niin


 t  t 0  f t dt  f t 0 

Langattomien laitteiden matematiikka 1
22



Suure (t ) on itse asiassa distribuutio eli
yleistetty funktio.
Se ei siis ole reaalifunktio.
Yksikköimpulssifunktion (t ) avulla
voidaan muodostaa myös muita impulssifunktioita.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
23

Esimerkki 7.
Tutkitaan lauseketta
2 t  1  5 t  3
Langattomien laitteiden matematiikka 1
24

Mikäli sovitaan, että
0, kun t  0
 t dt  
1
,
kun
t

0


t

havaitaan yksikköaskelfunktion ja yksikköimpulssifunktion yhteys:
Langattomien laitteiden matematiikka 1
25
t

u t    t dt


Ilman täsmällistä määrittelyä otetaan
käyttöön distribuutioderivaatta
d
u t    t 
dt
Langattomien laitteiden matematiikka 1
26
6.4 Konvoluutio ja korrelaatio


Konvoluutio on erittäin keskeinen
käsite signaalin- ja kuvankäsittelyssä.
Sen avulla on mahdollista laskea
systeemin vaste, kun impulssivaste on
tiedossa.

f *g 

f  g t   d

Langattomien laitteiden matematiikka 1
27

Konvoluution yksi parhaista
ominaisuuksista on, että se muuntuu
Fourier-muunnoksessa kertolaskuksi
taajuusalueessa.
F  f * g   F  G  

Käydään läpi oppikirjan esimerkit.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
28

Korrelaatiointegraali on hyvin paljon
samankaltainen konvoluutiointegraalin
kanssa:

fcg 

f  g   t d

Langattomien laitteiden matematiikka 1
29

Ja Fourier-muunnos muuntaa
korrelaation aikatasossa taajuustason
kertolaskuksi
F  fcg   F  G   
Langattomien laitteiden matematiikka 1
30
7. Diskreetti Fouriermuunnos
ja - sarja
Langattomien laitteiden matematiikka 1
31
7.1 Johdantoa


Tiedon digitalisointi johtaa
matematiikan osalta lukujonojen
käsittelytekniikoiden painottamiseen.
Digitaalisessa signaalinkäsittelyssä
näytteenotto tuottaa diskreettejä
funktioita eli lukujonoja, joita
prosessoidaan esim. spektrin avulla.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
32

Palautetaan mieleen, että diskreetillä
funktiolla eli lukujonolla tarkoitetaan
funktiota, joka on määritelty vain
erillisissä eli diskreeteissä pisteissä.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
33
7.2 Diskreetin F-sarjan
määrittely


Oletetaan, että diskreetti funktio x on
N-jaksoinen ja x : Z  K.
N-jaksoisen funktion x Fourier-sarja on
N
xn  

c e
nk2π
i
N
k
k 0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
34

Kertoimet ck saadaan määritettyä
kaavasta
1
ck 
N
N 1

xn e
nk2π
i
N
n 0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
35
7.3 Diskreetti F-muunnos
(DFT)

N-jaksoisen funktion x : Z  K diskreetillä Fourier-muunnoksella tarkoitetaan kompleksilukujonoa
1
X k   ck 
N
N 1

xn e
nk2π
i
N
n 0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
36

Esimerkki 1.
Laske jonon {1, 2, -5, 3} DFT.

Esimerkki 2.
Suorita edellisen esimerkin
käänteismuunnos.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
37


Huomataan, että kompleksiluvut X (k)
ovat täsmälleen samat kuin funktion
x(n) diskreetin F-sarjan kertoimet.
Fourier-muunnokselle käytetään
merkintää
X (k) =DFT{x(n)}
Langattomien laitteiden matematiikka 1
38


Diskreetille Fourier-muunnokselle voidaan määritellä myös käänteismuunnos.
N-jaksoisen funktion x : Z  K diskreetillä Fourier-käänteismuunnoksella
tarkoitetaan kompleksilukujonoa
Langattomien laitteiden matematiikka 1
39
X
1
N 1
 n  x  n   X  k  e
i
nk2π
N
k 0

Käänteismuunnokselle voidaan
käyttää merkintää
IDFT{X (k)} = X -1 (n)
Langattomien laitteiden matematiikka 1
40
7.4 DFT:n soveltaminen
käytäntöön


Diskreetillä Fourier-muunnoksella on
kätevää laskea konvoluutiota ja
korrelaatiota.
Täydennetään hieman teoriatietoja ja
lasketaan muutamia esimerkkejä.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
41
7.5 Jonon Fourier-muunnos


Eräänlainen välimuoto jatkuvan funktion Fourier-muunnoksen ja jaksollisen
jonon diskreetin N pisteen muunnoksen rinnalla on jonon Fourier-muunnos.
Se saadaan x:n diskreetin F-muunnoksen ja käänteismuunnoksen avulla.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
42

Jonon x : Z  K Fourier-muunnos
määritellään asettamalla
X   


xn e
inω
n  
Langattomien laitteiden matematiikka 1
43


Muunnos on kuvaus R  C. Se on
olemassa, jos sarjan summa on
äärellinen.
Esimerkki.
Määritä jonon x(n) Fourier-muunnos
1

 n , kun n  0
1
xn     u n    2
2

 0, muulloin
n
Langattomien laitteiden matematiikka 1
44

Esimerkki.
Määritä jonon x(n) Fourier-muunnos
 9n
 n , kun n  0
3
xn     u n   16
4
 0, muulloin
2n
Langattomien laitteiden matematiikka 1
45