Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter Kompendium

Transcription

Rød certificering
Finanssektorens Uddannelsescenter
Kompendium om Aktieoptioner
Version 1, opdateret den 19. marts 2015
KOMPENDIUM AKTIEOPTIONER
BAGGRUND ...................................................................................................................................................... 4
INDHOLD OG AFGRÆNSNING ........................................................................................................................... 4
1. INDLEDNING ................................................................................................................................................. 4
2. OPBYGNING OG STRUKTUR .......................................................................................................................... 5
2.1 DEFINITION PÅ EN OPTION .................................................................................................................................... 5
2.2 BØRSNOTERING .................................................................................................................................................. 7
2.3 TYPER AF OPTIONER ............................................................................................................................................. 8
2.3.1 Europæiske optioner ............................................................................................................................... 8
2.3.2 Amerikanske optioner ............................................................................................................................. 9
2.3.3 Bermuda optioner ................................................................................................................................... 9
2.3.4 Asiatisk option ...................................................................................................................................... 10
2.3.5 Himalaya option.................................................................................................................................... 10
2.4 DEFINITION PÅ EN WARRANT ............................................................................................................................... 11
3. AFKAST ....................................................................................................................................................... 12
3.1 AKTIEAFKAST .................................................................................................................................................... 12
3.2 AFKASTPROFIL PÅ OPTIONER................................................................................................................................ 13
3.3 OPTIONSSTRATEGIER ......................................................................................................................................... 15
3.3.1 Covered Call .......................................................................................................................................... 15
3.3.2 Protective Put ........................................................................................................................................ 15
3.3.3 Bull- og Bear spread .............................................................................................................................. 16
3.3.4 Straddle og Strangle ............................................................................................................................. 18
3.3.5 Butterfly spread .................................................................................................................................... 19
4. PRISFASTSÆTTELSE ..................................................................................................................................... 20
4.1 GENERELT OM PRISFASTSÆTTELSE......................................................................................................................... 20
4.2 BLACK-SCHOLES FORMEL .................................................................................................................................... 21
4.2.1 Betydningen af dividende ..................................................................................................................... 22
4.2.2 Implicit volatilitet .................................................................................................................................. 23
4.3 PUT-CALL PARITETEN ......................................................................................................................................... 23
4.4 KORT OM PRISFASTSÆTTELSE AF AKTIER OG AKTIENØGLETAL ...................................................................................... 24
4.4.1 P/E, K/I og ROE ...................................................................................................................................... 24
4.4.2 Gordons vækstformel ............................................................................................................................ 25
5. RISIKO ......................................................................................................................................................... 26
5.1 RISIKOMÅL FOR AKTIER....................................................................................................................................... 27
5.2 BEREGNING AF KONFIDENSINTERVAL ..................................................................................................................... 27
5.3 MODPARTSRISIKO PÅ OPTIONER ........................................................................................................................... 29
5.4 NØGLETAL FOR OPTIONER ................................................................................................................................... 30
5.4.1 Delta...................................................................................................................................................... 30
FINANSSEKTORENS UDDANNELSESCENTER©
Opdateret den 10. april 2013
SIDE 2 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
5.4.2 Gamma ................................................................................................................................................. 31
5.4.3 Theta ..................................................................................................................................................... 32
5.4.4 Vega ...................................................................................................................................................... 33
5.4.5 Rho ........................................................................................................................................................ 33
5.5 GEARINGSEFFEKT VED KØB AF OPTIONER ................................................................................................................ 33
6. OMKOSTNINGER ......................................................................................................................................... 34
7. RÅDGIVNING .............................................................................................................................................. 35
7.1 ANVENDELSE AF OPTIONER TIL RISIKOAFDÆKNING.................................................................................................... 35
7.1.1 Deltahedge ............................................................................................................................................ 35
7.1.2 Anvendelse af indeksoptioner ............................................................................................................... 36
7.2 DÆKKEDE OPTIONSUDSTEDELSER VED REBALANCERINGSSTRATEGIER ............................................................................ 36
8. BRUGEN AF KOMPENDIET ........................................................................................................................... 37
9. KILDEHENVISNING ...................................................................................................................................... 38
10. REGNEOPGAVER ....................................................................................................................................... 39
11. OPDATERINGER AF NÆRVÆRENDE DOKUMENT ....................................................................................... 52
12. LISTE OVER KOMPENDIER OM RØDE INVESTERINGSPRODUKTER ............................................................. 53
SIDE 3 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Ansatte, der yder investeringsrådgivning om investeringsprodukter omfattet af § 4, stk. 4, i
Bekendtgørelse om risikomærkning af investeringsprodukter, skal bestå en prøve, jf. § 5 i
Bekendtgørelse om kompetencekrav til personer, der yder rådgivning om visse
investeringsprodukter. En bestået prøve gælder i 3 år.
Indholdet i dette kompendium er målrettet - og afgrænset til - at afdække de principielle forhold
omkring produktet, som er relevante for de generelle kompetencekrav, der stilles via nye lovkrav
til ansatte, der yder investeringsrådgivning om investeringsprodukter omfattet af § 4, stk. 4, i
Bekendtgørelse om risikomærkning af investeringsprodukter.
Det er de kompetencekrav, som rådgiverne vil blive stillet spørgsmål i ved den røde
certificeringsprøve. De centrale elementer i kompendiet er:

Opbygning og struktur

Afkast

Prisfastsættelse

Risiko

Omkostninger

Rådgivning
Aktieoptioner er en type finansielle kontrakter, der adskiller sig fra eksempelvis forwards og
futures ved deres asymmetriske afkast/risiko profil. Det er et marked, som siden starten af
1970’erne er vokset markant, og i dag anvendes optioner i stor udstrækning til både ren
spekulation og som afdækningsinstrument.
Udviklingen overordnet set på optionsmarkedet har bevæget sig fra primært at være
standardiserede børsnoterede optionskontrakter til i større grad at bestå af produkter, der handles
Over The Counter (OTC). Denne udvikling har medført mange nye optionstyper, da det er muligt at
skræddersy produktet til kundens behov. Denne udvikling har dog været knap så udpræget for
aktieoptioner, som stadig primært handles via børser. Den lette adgang til handel samt de mange
aktører er med til overordnet at sikre et meget likvidt marked.
SIDE 4 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Generelt set kan optioner defineres som rettigheder til at købe eller sælge et bestemt aktiv til en
på forhånd aftalt pris. Ved aktieoptioner kan aktivet således både være enkeltaktier, nærmere
definerede porteføljer eller aktieindeks såsom eksempelvis OMXC20, FTSE 100, Nikkei 225 eller
S&P 500. Den bestemte aktie eller aktieindeks kaldes det underliggende aktiv, mens den aftalte
kurs i en option kaldes strike eller aftalekurs, og den kan som navnet antyder frit aftales. Optioner
har en fast udløbsdato, og denne kan som udgangspunkt også frit aftales. Dette gælder dog ikke
for børsnoterede kontrakter – mere om det senere.
Køberen af en option kaldes ofte erhververen, og det er denne part, der opnår en rettighed til at
foretage køb eller salg på et bestemt niveau alt efter optionstypen. Bemærk, at erhververen ikke er
forpligtet af optionen, og kan derfor vælge
at udnytte sin ret, hvis det er ugunstigt. Vælger
erhververen at udnytte optionen, kaldes dette også at ”exercise”. Sælgeren af en option kan også
kaldes udstederen – eller alternativt at vedkommende har ”skrevet” en option. I modsætning til
erhververen er udsteder forpligtet af optionen. At det kun er en af parterne, der er forpligtet, kan
betragtes som den fundamentale forskel mellem forwards/futures og optioner. Da erhververen kan
vælge ikke at exercise optionen, er han pr. definition afskåret fra downside på den underliggende
aktie eller indeks. Omvendt er udstederen afskåret fra upside. Dette kræver udstederen betaling
for i form af en præmie på optionen, som betales i forbindelse med erhvervelsen (up front).
Retten til at købe et aktiv kaldes en call option. Da købskursen fastlåses, tjener erhververen derved
penge ved en stigning på kursen i det underliggende aktiv. Payoff kan dermed skrives som:
𝑐𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 = max⁡(𝑆𝑡 − 𝐾, 0)
hvor St er kursen på det underliggende aktiv på udnyttelsestidspunktet, og K er den aftalte
strikekurs. Dette kan illustreres grafisk - her for en option med strikekurs på 50 kr.:
SIDE 5 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Det ses, at payoff på en købt call option svarer til en lang position i det underliggende aktiv for
spotkurser højere end strikekursen. For at bestemme erhververens samlede profit ved at have
erhvervet optionen skal man trække den betalte præmie fra payoff. Er kursen på den
underliggende aktie lavere end strikekursen ved udnyttelse, ender kunden derfor med et tab
svarende til præmien.
Erhververen af en put option opnår retten til at sælge et aktiv på et bestemt niveau, og det er
derfor gunstigt, hvis det underliggende aktiv falder i værdi. Payoff kan her skrives og illustreres
som:
𝑝𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 = max⁡(𝐾 − 𝑆𝑡 , 0)
SIDE 6 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Det ses, at payoff på en købt put option svarer til en kort position i det underliggende aktiv for
spotkurser lavere end strikekursen. Igen kan kundens samlede profit beregnes ved at fratrække
den betalte præmie.
I forbindelse med optioner taler man ofte om, hvorvidt de er out-of-the-money, at-the-money eller
in-the-money. Dette relaterer sig til forholdet mellem den aktuelle spotkurs og den aftalte
strikekurs. Følgende gælder for henholdsvis call og put optioner:
Call option
Put option
In-the-money (ITM)
St > K
St < K
At-the-money (ATM)
St = K
St = K
Out-of-the-money (OTM)
St < K
St > K
Det ses her, at ved en option, der er udstedt at-the-money, vil strikekursen være den samme som
spotkursen på udstedelsestidspunktet. En forward at-the-money option er defineret som en option
med strikekurs lig med forward/terminsprisen på det underliggende aktiv. Der er dog ingen krav
til, at strikekursen skal være lig med spot- eller forwardkursen.
Der udstedes en option på Novo Nordisk aktien med seks måneder til udløb. Spotkursen er i
øjeblikket 690, mens markedsrenten vurderes at være 1% p.a. kontinuert tilskrevet. En at-themoney option vil have en strikekurs på 690, mens strikekursen på en forward at-the-money option
kan bestemmes som:
6⁄
12
690 ∗ 𝑒 0,01∗
= 693,46
Som nævnt gælder det stadig for aktieoptioner, at disse i udpræget grad handles som
børsnoterede finansielle kontrakter. På den nordiske børs NASDAQ OMX Nordic tilbydes
eksempelvis handel med optioner på svenske, danske, finske, islandske, norske, baltiske og
russiske enkeltaktier og aktieindeks. Globalt set er den største markedsplads for handel med
optioner den amerikanske Chicago Board Options Exchange (CBOE)
Børsnoterede aktieoptioner er standardiserede kontrakter for så vidt angår strikekurs,
udløbstidspunkt og kontraktstørrelse. Eksempelvis afregnes optioner på den nordiske børs altid
den 3. fredag i måneden for udløb. Der handles som regel både call og put optioner med
forskellige strikekurser og udløbsdatoer på den samme underliggende aktie.
SIDE 7 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Kontraktstørrelsen er typisk 100 stk. af den underliggende aktie, og i tilfælde af, at det
underliggende aktiv er et indeks, multipliceres indeksets værdi med 100. Præmierne på optionerne
er dog angivet for 1 stk. af den underliggende aktie. Det er muligt at handle blot 1 kontrakt, men
der handles ofte kontrakter i et antal deleligt med 10. Handles der 10 kontrakter, svarer det altså
til 1.000 stk. af den underliggende aktie.
En væsentlig ting ved handel med optioner via børser er kravet til sikkerhedsstillelse. Køberen af
en option kan som nævnt ikke tabe mere end den betalte præmie og skal derfor ikke stille
sikkerhed. Dette er dog ikke tilfældet for sælger. For løbende at sikre, at sælger kan bære et
eventuelt tab, opkræves der løbende margin. Dette kan ske enten via indbetaling på marginkonto
eller ved at stille værdipapirer som sikkerhed. Hvor stort et beløb, der kræves, afhænger blandt
andet af det underliggende aktivs volatilitet – altså hvor store udsving, der er i kursudviklingen.
Strukturen i optioner kan overordnet set variere på to punkter – retten til udnyttelse af optionen
(exercise right) og payoff strukturen ved udnyttelse. For så vidt angår retten til udnyttelse
betragtes europæisk og amerikansk som de mest almindelige. Nedenfor beskrives både de
klassiske europæiske og amerikanske optioner, som typisk er dem, der handles på børserne, og så
nogle få eksotiske optioner, der adskiller sig fra disse. Gennemgangen kan ikke betragtes som
udtømmende.
En europæisk option er umiddelbart den mest simple optionstype, og de handles eksempelvis på
OMX C20 indekset. En europæisk option er kendetegnet ved, at den kun kan udnyttes på et
bestemt tidspunkt, nemlig ved udløb. Køber du således en indeksoption med udløb den 3. fredag i
juni måned, er payoff alene afhængig af kursen på indekset denne ene dag, og så selvfølgelig den
aftalte strikekurs. Formelt kan payoff for europæiske call og put optioner skrives som:
𝑐𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓,𝑒𝑢𝑟𝑜𝑝æ𝑖𝑠𝑘 = max⁡(𝑆𝑇 − 𝐾, 0)
𝑝𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓,𝑒𝑢𝑟𝑜𝑝æ𝑖𝑠𝑘 = max⁡(𝐾 − 𝑆𝑇 , 0)
Her angiver ST, at der er tale om spotkursen på det underliggende indeks på udløbstidspunktet for
optionen. Ud fra dette ses det, at europæiske call optioner ikke er stiafhængige – det vil sige, at
det endelige payoff alene afhænger af værdien på udløbstidspunktet, og er derfor ikke afhængig
af, hvordan udviklingen i kursen på det underliggende aktiv har været op til den dag. Nedenfor er
vist et eksempel på to aktiver med vidt forskellig kursudvikling, men som vil give samme payoff
ved udløb.
SIDE 8 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Amerikanske optioner er også simple optioner i den forstand, at deres payoff bestemmes ud fra de
generelle formler i afsnit 2.1. Eneste forskel på europæiske og amerikanske optioner er, at
sidstnævnte kan udnyttes på et vilkårligt tidspunkt i optionens løbetid. Optioner på enkeltaktier,
der handles på NASDAQ OMX Nordic er eksempelvis amerikanske. Formelt kan payoff skrives som:
𝑐𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓,𝑎𝑚𝑒𝑟𝑖𝑘𝑎𝑛𝑠𝑘 = max(𝑆𝑡 − 𝐾, 0) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑓𝑜𝑟⁡𝑎𝑙𝑙𝑒⁡⁡𝑡⁡ ≤ 𝑇⁡
𝑝𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓,𝑎𝑚𝑒𝑟𝑖𝑘𝑎𝑛𝑠𝑘 = max(𝐾 − 𝑆𝑡 , 0) ⁡⁡⁡⁡𝑓𝑜𝑟⁡𝑎𝑙𝑙𝑒⁡⁡𝑡⁡ ≤ 𝑇
Selvom forskellen mellem en europæisk og en amerikansk option umiddelbart virker lille,
illustrerer figur 3 meget godt, hvorfor en amerikansk option ofte er mere værd end en tilsvarende
europæisk. Antag, at investor har købt en amerikansk call option med en strike på kurs 1.000. Ses
på aktiv A, ville investor altså have haft muligheden for at udnytte sin option, da kursen på den
underliggende aktie var 1.600 kr. og dermed have opnået et payoff på 600 kr. Det kan dog vises,
at det ikke er optimalt for erhververen at udnytte en amerikansk call option før udløb, såfremt det
er en likvid option på en aktie, der IKKE betaler udbytte. Optionen vil i dette tilfælde have en
positiv tidsværdi, og køberen vil derfor opnå et bedre afkast ved at sælge den i markedet.
Bermuda optioner kan betragtes som en mellemting mellem en europæisk option og en
amerikansk option. Payoff bestemmes stadig ud fra den generelle formel, men her har investor ret
til at udnytte optionen på en række bestemte tidspunkter i løbetiden og naturligvis også ved
udløb. Disse bestemte tidspunkter er aftalt ved indgåelse af kontrakten.
SIDE 9 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
En asiatisk option anvender et gennemsnit i stedet for slutkursen på det underliggende aktiv til at
bestemme payoff ud fra. På bestemte tidspunkter i optionens løbetid observeres kursen på det
underliggende aktiv. Det kunne eksempelvis være ultimo hver måned. Ved udløb beregnes
gennemsnittet af de observerede værdier, og dette gennemsnit anvendes derefter til at bestemme
payoff.
𝑐𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓,𝑎𝑠𝑖𝑎𝑡𝑖𝑠𝑘 = max⁡(𝑆𝑔𝑛𝑠. − 𝐾, 0)
𝑝𝑝𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓,𝑎𝑠𝑖𝑎𝑡𝑖𝑠𝑘 = max⁡(𝐾 − 𝑆𝑔𝑛𝑠. , 0)
Din kunde har investeret i asiatiske call optioner, hvor kursværdien observeres månedligt. Strike er
lig med startværdien for indekset, som er 1.100. De øvrige observerede kursværdier er givet som:
Kurs
1 måned
2 måneder 3 måneder 4 måneder 5 måneder 6 måneder
1.070
1.050
1.150
1.350
1.240
1.340
Gennemsnittet af disse observerede værdier er 1.200, og det endelige payoff kan derfor
bestemmes som:
𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓 = 𝑚𝑎𝑥(1.200 − 1.100; 0) = 100
Det ses her, at payoff i dette tilfælde er væsentligt lavere, end hvis man alternativt havde købt
europæiske optioner, da indekset falder i starten af perioden for derefter at stige hen imod udløb.
Omvendt er en asiatisk option en fordel, hvis det underliggende aktiv stiger markant i starten af
perioden for derefter at falde hen imod udløb. Som det er illustreret ovenfor, kan forskellen på det
beregnede afkast og afkastet på det underliggende aktiv være ganske markant.
Himalaya optioner er væsentligt mere komplicerede end både klassiske europæiske og
amerikanske samt asiatiske optioner og er kendetegnet ved, at de følger en kurv af forskellige
underliggende aktiver. Med faste intervaller bestemmes afkastet på de enkelte aktiver, hvorefter
det bedste afkast fastlåses, og aktivet fjernes herefter fra kurven af aktiver. Denne proces
fortsættes et givent antal gange. Typisk er der overensstemmelse mellem antallet af perioder og
antallet af aktiver, således at der i sidste periode kun er ét aktiv tilbage. Det endelige afkast
bestemmes herefter som gennemsnittet af de fastlåste afkast.
SIDE 10 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
En himalaya option følger tre forskellige aktieindeks. Afkastene bestemmes årligt. Udviklingen i de
enkelte aktieindeks er givet som:
100
90
130
100
100
130
110
180
100
Det ses, at indeks 2 klarer sig bedst det første år med et afkast på 15%. Da dette ekskluderes,
klarer indeks 1 sig bedst efter andet år med et afkast på 20%. Det sidste år er det kun indeks 3,
der er tilbage, og afkastet bestemmes som -5%. Herefter kan det endelige afkast bestemmes som:
𝐴𝑓𝑘𝑎𝑠𝑡 =
15% + 20% − 5%
= 10%
3
Himalaya optioner findes dog i mange forskellige varianter, og ovenstående er derfor blot et
eksempel på, hvordan en afkastberegning kan se ud.
En warrant minder på mange måder om en aktieoption, da payoff strukturen og retten til
udnyttelse ofte er som det kendes fra europæiske eller amerikanske optioner. Der er dog også en
række forskelle, herunder typisk løbetid og udsteder. En traditionel warrant er udstedt af selskaber
på deres egne aktier og ses ofte koblet til en obligation. Selskabet udsteder altså warrants som en
finansieringskilde. Hvis en warrant bliver udnyttet, vil selskabet udstede nye aktier, som så sælges
til den aftalte strike. Warrants kan godt være børsnoterede, men herhjemme ses de dog oftest som
OTC-produkter. Vilkårene for warrants er ikke standardiserede, og løbetiden er oftest længere end
på børsnoterede optioner. Derudover fastsættes conversion factor, der bestemmer, hvor mange
aktier hver warrant sikrer køberen i tilfælde af udnyttelse.
En anden variant af warrants er ”covered warrants”, hvor det er finansielle institutioner, der står
bag udstedelsen. Den finansielle institution kaldes i dette tilfælde emittenten. Det er stadig en
bestemt aktie, der er bagvedliggende aktiv, men ved udløb sker der som regel differenceafregning
frem for levering af aktierne. Afregningen sker også som oftest ud fra et gennemsnit af priser over
flere dage. Disse covered warrants findes som både call (købswarrant) og put (salgswarrant), og
kan også handles via børser. Et eksempel på dette er London Stock Exchange, hvor der er optaget
en lang række covered warrants til handel.
SIDE 11 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Afkastet på aktieoptioner afhænger dels af udviklingen i den underliggende aktie eller aktieindeks
og dels af den valgte optionstype, som beskrevet ovenfor. I følgende afsnit beskrives hvorledes
det forventede afkast på en aktie kan estimeres samt hvordan den ønskede afkastprofil kan
sammensættes ud fra forskellige optionsstrategier.
Captial Asset Pricing Model (CAPM) er en hyppigt anvendt model til at forklare sammenhængen
mellem risiko og afkast for finansielle aktiver. CAPM kan bruges til at estimere
egenkapitalomkostningerne for et aktiv, svarende til det teoretiske afkastkrav, en investor bør
stille til aktivet. Modellen beregner egenkapitalomkostningerne ud fra følgende formel:
Egenkapitalomkostninger = E[R 𝑖 ] = 𝑅𝑓 + β × (E[𝑅𝑚 ]⁡– 𝑅𝑓 )
hvor 𝑅𝑓 er den risikofri rente, β er aktivets betaværdi, og E[𝑅𝑚 ] er det forventede afkast på
markedsporteføljen.
Den generelle intuition bag CAPM er, at investorer skal kompenseres for henholdsvis tid og risiko.
I formlen ses tiden repræsenteret via den risikofri rente, som netop kompenserer investor for at
placere sine penge i en risikofri investering i en given periode. Anden halvdel af formlen
repræsenterer den risiko, som investor løber og dermed bør kompenseres for i form af højere
afkast. Denne del svarer til at multiplicere aktivets beta med markedets risikopræmie.
Forholdet mellem beta og det forventede afkast kan illustreres grafisk via The Security Market Line
(SML).
SIDE 12 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Ri
SML
Rm
M
Rf
β
1
Her betegner M markedsporteføljen med en betaværdi på 1 og et afkast på 𝑅𝑚 ,. Et aktiv med en
beta på nul er uden risiko og vil have et afkast svarende til den risikofri rente, 𝑅𝑓 .
Brugen af CAPM indebærer antagelsen af en række forudsætninger, der ikke alle afspejler den
virkelig verden. Der er blandt andet rejst tvivl om, hvorvidt beta, som eneste risikoparameter, kan
forklare aktivets afkast. Såfremt forudsætningerne alligevel antages at være opfyldt, kan
afkastkravet nemt beregnes ved hjælp af førnævnte formel, forudsat at de nødvendige oplysninger
er tilgængelige.
Det antages, at et givent selskab har en betaværdi på 1,7 Den risikofrie rente er på 5%, mens
afkastet på markedsporteføljen er 11%. Dette medfører, at selskabets egenkapitalomkostning kan
beregnes til følgende:
5% + 1,7 × (11% − 5%) = 15,2%⁡
Det ses tydeligt, at desto højere betaværdi, en aktie har, desto højere er det forventede afkast som
følge af den øgede risiko.
En af de vigtigste egenskaber ved optioner er den asymmetriske afkast/risiko profil. Uanset hvor
meget den underliggende aktie eller indeks falder/stiger, er tabet begrænset til den betalte
SIDE 13 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
præmie set fra købers synspunkt. En kundes profit/gevinst bestemmes derimod som forskellen
imellem spotkursen ved udnyttelse og den aftalte strikekurs minus præmiebetalingen.
Din kunde har købt 10 stk. call optioner på en given aktie med en strikekurs på 250 kr. og en
præmiebetaling på 5 kr. pr. option. Hver kontrakt er skrevet på 100 stk. af den underliggende
aktie Ved udløb er aktiekursen 258 kr., og den samlede gevinst for kunden kan bestemmes som:
(𝑚𝑎𝑥(258 − 250, 0) − 5) ∗ (10 ∗ 100) = ⁡⁡3.000⁡𝑘𝑟.
Havde aktiekursen ved udløb i stedet for været 240 kr., ville kunden have haft et tab på:
(𝑚𝑎𝑥(240 − 250, 0) − 5) ∗ (10 ∗ 100) = ⁡ −5.000⁡𝑘𝑟.
Ønsker man i stedet at beregne afkastet på optionen, skal payoff ved udnyttelse sættes i forhold
til den betalte præmie. Ved ovenstående eksempel ville afkastet være henholdsvis 60% og -100%.
Ønsker man at fastlåse en gevinst i løbet af en options løbetid, kan dette opnås ved at indgå en
modsatrettet forretning. Har man udstedt optioner, skal man altså købe optioner med samme
udløbsdato og strike for at fastlåse sin gevinst, og hvis man har købt optioner, skal man sælge
sine optioner.
Din kunde køber call optioner på 10.000 stk. aktier. Bid-offer er 12-14 kr. Kort tid efter indgåelsen
stiger kursen på de underliggende aktier markant, hvilket medfører en stigning i optionspræmien,
således at bid-offer nu er 21-23 kr. Kunden vælger at sælge alle sine optioner. Ses der bort fra
diskontering, vil gevinsten for kunden være:
Betalt præmie ved køb
= 10.000 stk. * 14 kr.
= 140.000 kr.
Modtaget præmie ved salg = 10.000 stk. * 21 kr.
= 210.000 kr.
Gevinst
= 70.000 kr.
= 210.000 – 140.000
Ved køb anvendes offer prisen, mens man ved salg anvender bid prisen. Har kunden oprindeligt
udstedt (solgt) optioner, og er optionspræmien i stedet for faldet, kan kunden købe optionerne til
en lavere pris og dermed dække den korte (solgte) position.
SIDE 14 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Der findes en lang række forskellige handelsstrategier, hvorigennem man kan skabe ens ønskede
afkastprofil. I dette afsnit beskrives kort en række af de mest almindelige strategier.
Denne strategi består i, at man køber det underliggende aktiv (alternativt ejer det i forvejen) og
sælger call optioner på samme antal underliggende og eventuelt med en strike lig med den
aktuelle spotkurs. Denne strategi kan bruges, hvis man som investor har forventning om uændret
eller en svagt stigende aktiekurs. Ved at udstede call optioner tjener man præmien, men giver
omvendt afkald på højere afkast. Profit kan illustreres på følgende måde:
Den samlede profit svarer til en solgt put option, men det kaldes en covered call, da
optionsudstedelsen er ”dækket” af positionen i det underliggende aktiv. Det ses også, at såfremt
kursen på den underliggende aktie stiger meget, ville investor have været bedre stillet, hvis han
havde undladt optionsudstedelsen.
Denne strategi sættes op ud fra en position i den underliggende aktie og køb af put optioner. Som
navnet antyder, beskytter denne strategi investors position. Hvis investor ejer en aktiebeholdning,
men frygter kursfald, kan han vælge at købe put optioner for at sikre sig mod dette. Alternativt
kunne han sælge sine aktier, men i tilfælde af stigende aktiekurser går man glip af en kursgevinst.
En protective put kan illustreres som vist nedenfor:
SIDE 15 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Ved fald i aktiekursen begrænses ens tab til præmien, mens man stadig har mulighed for at tjene
penge, hvis aktien stiger. Den samlede profit på en protective put er derfor lig med profitten på en
købt call option, og derfor kaldes denne strategi også en syntetisk call option.
I modsætning til covered call og protective put bygger disse strategier alene på optionspositioner
og IKKE på positioner i den underliggende aktie.
Et bull spread anvendes, hvis man som investor tror på moderat stigning i aktiekursen, og sættes
op ved at købe call optioner med én strikekurs og sælge call optioner med en højere strikekurs,
men med samme løbetid. Man finansierer således købet af call optioner delvist ved udstedelse af
billigere call optioner. Derved giver man afkald på høje afkast.
SIDE 16 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Det skal her bemærkes, at præmien på den solgte option altid vil være lavere end på den købte
option, således at man har en nettopræmieudgift, hvilket samtidig er ens maksimale tab. Den
maksimale gevinst vil være forskellen imellem de to strikekurser minus nettopræmien.
Et bear spread er det modsatte af et bull spread og kan derfor anvendes, hvis man tror på moderat
faldende priser. Det konstruereres ved at købe put optioner med en strike og så sælge put
optioner med en lavere strike, og gøres dette, kan profitten illustreres som nedenfor.
SIDE 17 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
For et bear spread gælder det også, at den maksimale gevinst er forskellen imellem strikekurser
minus nettopræmien, og maksimale tab er givet som nettopræmien. Det er også muligt at
kombinere et bull og et bear spread, hvilket benævnes et box spread. Dette gennemgås dog ikke
yderligere.
Straddle og strangle strategierne anvendes begge til at tjene på et forventet stort udsving i
aktiekursen – enten positivt eller negativt. Strategierne sættes op ved at købe både call og put
optioner med samme løbetid på en given aktie eller indeks. Købes optionerne med samme strike,
kaldes strategien en straddle.
Alternativt kan man vælge at købe call optioner med en højere strikekurs end på de købte put
optioner. Dette kaldes en strangle. Fordelen ved dette er en lavere præmiebetaling, men der
kræves omvendt et større kursfald eller kursstigning, før strategien giver en gevinst.
SIDE 18 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Et butterfly spread kan anvendes, hvis man som investor ikke forventer markante ændringer i
aktiekursen. Dette spread kan sættes op ved at købe to call optioner – en med en lav strike kurs
og en med en høj strikekurs, og så sælge to call optioner med strikekurser halvvejs imellem
strikekurserne på de købte optioner.
SIDE 19 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Helt generelt må det siges, at prisfastsættelse af optioner er ganske krævende og i stor grad
afhængig af hvilken model, der anvendes. Af samme grund vil det kunne argumenteres, at sådan
en prissætning er forbundet med en vis usikkerhed. Overordnet set er prisfastsættelsen af
optioner et spørgsmål om at tilbagediskontere et forventet fremtidigt payoff. Udfordringen består
dog i at bestemme dette forventede payoff. For en lang række optioner gælder det, at dette
bestemmes lettest eller udelukkende ved anvendelse af numeriske metoder. Dog findes der for
europæiske optioner en meget anerkendt prisfastsættelsesformel kaldet Black-Scholes, som
beskrives nærmere i et senere afsnit
Værdien af en option kan overordnet set betragtes som bestående af to dele – en indre værdi og
en tidsværdi. Den indre værdi er defineret som det payoff, investor ville opnå, hvis optionen blev
udnyttet nu og her, mens tidsværdien er et udtryk for, at den underliggende aktie eller indeks
muligvis udvikler sig gunstigt frem mod udløb af optionen. Udstedes en option ATM, vil den indre
værdi være lig med 0, og hele den betalte præmie vil i dette tilfælde udgøres af tidsværdien.
En call option på A.P. Møller aktien handles i øjeblikket til 2.400 kr. Den aftalte strikekurs er
43.000 kr., og den aktuelle spotkurs er 44.800 kr. Optionen udløber om 1 måned. Indre værdi og
tidsværdi kan i dette tilfælde bestemmes som:
Indre værdi
= (44.800-43.000) =
Tidsværdi
= (2.400-1.800)
Værdi af option
1.800 kr.
=
600 kr.
=
2.400 kr.
Figur 12 viser payoff og værdier for en call option ved forskellige spotkurser, og det er netop
forskellen mellem de to grafer, der angiver tidsværdien, som altså ses at være højest, når
spotkursen er lig med strikekursen. Den indre værdi kan pr. definition ikke være negativ. For
aktier eller indeks, der ikke udbetaler udbytte, vil tidsværdien på call optioner heller aldrig være
negativ.
SIDE 20 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
For at kunne bestemme optionspriser er det nødvendigt at gøre sig nogle antagelser om, hvordan
aktiekurser og aktieindeks vil udvikle sig. Black-Scholes formlen stammer fra starten af 1970’erne
og er siden hen blevet en af de mest anerkendte modeller til prisfastsættelse af optioner.
Forfatterne bag modellen blev bl.a. tildelt nobelprisen i økonomi i 1997 for deres arbejde. Det var
også i starten af 1970’erne, handel med finansielle optioner for alvor begyndte, bl.a. med
oprettelsen af CBOE. På trods af dens anerkendelse har modellen også mødt en del kritik som
følge af de antagelser, den bygger på - eksempelvis konstant og observerbar risikofri rente samt
konstant volatilitet. Der er lavet udvidelser af modellen, som håndterer nogle af disse
begrænsninger, men i dette afsnit præsenteres den originale model. Den giver en god forståelse af
principperne bag prisfastsættelse af optioner, og hvordan de enkelte inputparametre påvirker
prisen.
Black-Scholes formlen er et matematisk udtryk, der blandt andet bygger på en antagelse om, at
aktieafkast er normalfordelte. Den kan anvendes til at prisfastsætte både europæiske call og put
optioner. Formlerne er givet som:
𝑐 = ⁡ 𝑆0 𝑁(𝑑1 ) − 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(𝑑2 )
𝑝 = 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(−𝑑2 ) − 𝑆0 𝑁(−𝑑1 )
𝑆
𝜎2
𝑙𝑛 ( 0 ) + (𝑟 + ) 𝑇
𝐾
2
𝑑1 = ⁡
𝜎√𝑇
𝑑2 = ⁡ 𝑑1 − 𝜎√𝑇
SIDE 21 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
S0 er den aktuelle kurs på den underliggende aktie, K er den aftalte strikekurs, σ er volatiliteten, r
er den risikofrie rente og c og p er henholdsvis præmien for en call og en put option. N(.) er den
kumulative fordelingsfunktion for en standardnormalfordeling, så N(d1) og N(d2) er altså
sandsynligheder og vil derfor altid have en værdi mellem 0 og 1.
Af ovenstående formler er det tydeligt at se, hvordan forholdet mellem den aktuelle kurs og den
aftalte strikekurs påvirker prisen. En højere strikekurs vil øge værdien af en put og mindske
værdien af en call, mens det omvendte gør sig gældende for spotkursen. For de øvrige
inputparametre er det umiddelbart lidt sværere at vurdere effekten. Følgende sammenhænge
mellem pris og stigning i inputparametrene gælder:
Præmien stiger
Præmien falder
Præmien stiger
Præmien stiger
?
?
En stigende risikofri rente vil alt andet lige betyde, at man forventer en højere kurs på den
underliggende aktie eller indeks i fremtiden, hvilket er positivt for en call option og negativt for en
put option. Stigende volatilitet får derimod alt andet lige præmien til at stige på både call og put
optioner. Volatiliteten er et udtryk for den usikkerhed, der er knyttet til den forventede udvikling i
kursen. Jo større usikkerhed, jo højere en præmie vil udstederen af optionen kræve, da han
potentielt kan tabe stort på sådanne udsving. Erhververen derimod behøver ikke bekymre sig om
de store udsving, da han blot kan vælge ikke at ”exercise” optionen. Omvendt giver store udsving
ham muligheden for at opnå et højt afkast. For så vidt angår tid til udløb, vil det oftest være
sådan, at længere løbetid øger værdien af optionen – både for call og put optioner, men der er i
visse situationer, hvor det ikke er tilfældet. Eksempelvis kan udbetaling af dividende medføre, at
optioner med kort løbetid er mere værd end optioner med en lang løbetid. Betydningen af
dividende uddybes senere. Et andet eksempel kunne være en put option, der er dybt in-the-money.
Sammenhængen mellem pris og inputparametre er det samme for amerikanske optioner – dog kan
man her entydigt konkludere, at længere løbetid øger prisen på både call og put optioner. Da man
kan udnytte en amerikansk option på et hvilket som helst tidspunkt i løbetiden, vil erhververen af
en option med lang løbetid have de samme muligheder for at udnytte optionen, som erhververen
af en option med kortere løbetid.
En lang række selskaber udbetaler dividende/udbytte til deres aktionærer i løbet af året. Dette skal
der tages højde for, når man ønsker at prisfastsætte en aktieoption. Som optionskøber modtager
man ikke et eventuelt udbytte fra den underliggende aktie i løbetiden, men da udbetaling af
dividende påvirker den forventede kurs, vil optionsprisen blive påvirket. Dividende kan indarbejdes
SIDE 22 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
i den klassiske Black-Scholes ved at fratrække nutidsværdien af forventede dividende fra
spotkursen.
For europæiske optioner gælder det, at dividende medfører en lavere præmie for call optioner og
en højere præmie for put optioner. Udbetaling af dividende vil alt andet lige medføre en lavere
forventet kursværdi for den underliggende aktie, hvilket jf. payoff profilerne er gunstigt for put
optioner og ugunstigt for call optioner. Det samme gør sig gældende for amerikanske optioner.
Argumentet om, at det aldrig er optimalt at udnytte en amerikansk call option før udløb, holder
ikke nødvendigvis, når den underliggende aktie udbetaler dividende i løbetiden.
Volatiliteten er som udgangspunkt det eneste input i modellen, der ikke kan observeres direkte.
Man er nødt til at estimere den, hvilket eksempelvis kan gøres ved brug af historisk data. En anden
brug af Black-Scholes formlen er dog at anvende de faktiske markedspriser på likvide optioner til
at beregne volatiliteten for forskellige strikekurser og løbetider. Man kan dog også anvende andre
prisfastsættelsesmodeller end Black-Scholes til at bestemme den implicitte volatilitet. Gøres dette,
ses det, at markedspriserne som oftest ikke indikerer konstant volatilitet på tværs af forskellige
løbetider og strikekurser. Den implicitte volatilitet er altså ikke et udtryk for en historisk volatilitet
på den underliggende aktie eller indeks, men markedets forventning til volatiliteten på den
underliggende aktie eller indeks i optionens løbetid.
Put-call pariteten er en definition af sammenhængen mellem præmien på en call og en put option
med samme strike, udløbsdato og underliggende aktiv. Ses der bort fra dividende, kan put-call
pariteten skrives som:
𝑐 + 𝐾𝑒 −𝑟∗𝑇 = 𝑝 + 𝑆0
Hvor K er den aftalte strikekurs, S0 er spotkursen på det underliggende aktiv ved indgåelse af
aftalen og c og p er præmien på henholdsvis call og put optionen. Denne sammenhæng følger fra
det faktum, at hvis man har købt en call option og skrevet en put option, vil ens samlede payoff
svare til en forwardkontrakt. Det er også relativt simpelt at se, at hvis den aftalte strikekurs er lig
med forwardkursen for det underliggende aktiv, tilsiger put-call pariteten at præmien på de to
optioner bør være ens. Erstattes strikekursen (K) med forwardprisen (F), ses det, at denne skal
tilbagediskonteres. Den tilbagediskonterede forwardpris er pr. definition lig med spotprisen
𝑐 + 𝐹𝑒 −𝑟∗𝑇 = 𝑝 + 𝑆0
𝑐 + 𝑆0 = 𝑝 + 𝑆0
𝑐=𝑝
SIDE 23 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Det kan også ses, at hvis strikekursen er lavere end terminskursen, er call optionen dyrere end put
optionen og omvendt. Det skal dog understreges, at put call pariteten er en ren teoretisk
sammenhæng, som er baseret på visse antagelser, og man kan derfor godt observere priser i
markedet, som ikke opfylder put-call pariteten præcist.
Aktienøgletallet P/E er en forkortelse for Price/Earnings og udtrykker forholdet imellem indtjening
og pris på en aktie, og kan derfor fortolkes som prisen for 1 kr. overskud
𝑃 ⁄𝐸 = ⁡
𝐾𝑢𝑟𝑠⁡𝑝å⁡𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒
𝑃0
=
𝐼𝑛𝑑𝑡𝑗𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔⁡𝑝𝑟. 𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒 𝐸0
Som det ses beregnes P/E på historisk indtjening – altså resultatet fra seneste offentliggjorte
regnskab eller alternativt et gennemsnit af flere års indtjening. En høj P/E vil være et udtryk for, at
markedet forventer stigende indtjening i selskabet fremover.
Ofte beregnes der også et P/E nøgletal baseret på forventet indtjening for næste år. Dette kaldes
forward P/E
𝐹𝑜𝑟𝑤𝑎𝑟𝑑⁡ 𝑃 ⁄𝐸 =
𝑃0
=⁡
𝐹𝑜𝑟𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒𝑡⁡𝑓𝑟𝑒𝑚𝑡𝑖𝑑𝑖𝑔⁡𝑖𝑛𝑑𝑡𝑗𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔
𝐸1
K/I (K/IV) er en forkortelse for kurs/indre værdi, og kan fortolkes som prisen for 1 kr. egenkapital.
𝐾 ⁄𝐼 = ⁡
𝐼𝑛𝑑𝑟𝑒⁡𝑣æ𝑟𝑑𝑖⁡𝑝𝑟. 𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒
Indre værdi pr. aktie fås ved at dividere den bogførte egenkapital med antallet af aktier i selskabet.
Er K/I over 1 er investor således villig til at betale mere end den egentlige værdi af egenkapitalen.
Omvendt hvis K/I er under 1 vil investor end ikke betale den bogførte værdi af egenkapitalen. En
lav K/I er blandt andet et kendetegn ved value aktier.
ROE er udtryk for selskabets evne til at forrente egenkapitalen og er bestemt af forrentning af
aktivmassen og selskabets gearing. Den beregnes ved at sætte indtjening (pr. aktie) i forhold til
den indre værdi (pr. aktie)
𝑅𝑂𝐸 = ⁡
𝐼𝑛𝑑𝑡𝑗𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔⁡𝑝𝑟. 𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒
SIDE 24 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Som det ses ud fra ovenstående definitioner er der følgende sammenhæng mellem P/E, K/I og
ROE:
𝐼𝑛𝑑𝑡𝑗𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔⁡𝑝𝑟. 𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒
=⁡
∗
𝐼𝑛𝑑𝑡𝑗𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔⁡𝑝𝑟. 𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒 𝐼𝑛𝑑𝑟𝑒⁡𝑣æ𝑟𝑑𝑖⁡𝑝𝑟. 𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒
𝐾 ⁄𝐼 = 𝑃 ⁄𝐸 ∗ 𝑅𝑂𝐸
Heraf ses det, at en høj K/I enten kan skyldes en høj egenkapitalforrentning eller høj forventet
fremtidig indtjening.
Der findes en lang række metoder til at prisfastsætte aktier. En metode er tilbagediskontering af
fremtidig indtjening og den mest simple model er her Gordons vækstformel.
Gordons vækstmodel er en generalisering af en uendelig annuitetsrække med konstant vækst og
afkastkrav. Ifølge denne model er værdien af en aktie givet som følgende:
𝑃0 =
𝑑1
𝑅−𝑔
hvor 𝑑1 = 𝑑0 (1 + 𝑔), 𝑔 er den forventede vækst i dividenden, og 𝑅 er den konstante
diskonteringsrente (afkastkravet). Såfremt der antages en forventelig udbetaling af konstant
udbytte på 2,5% årligt, en diskonteringsrente på 5% samt en konstant vækst i udbyttebetalingen på
0%, i hele den belyste periode, kan værdien af aktien bestemmes som:
𝑃0 =
2,5
= 50
0,05 − 0
Havde der derimod været en forventet vækst på 3% i dividenden fremover ville værdien være:
𝑃0 =
2,5
= 125
0,05 − 0,03
Stiger afkastkravet til 7% vil værdien være:
𝑃0 =
2,5
= 62,5
0,07 − 0,03
SIDE 25 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Højere vækstforventning giver således alt andet lige højere aktiekurs, højere afkastkrav giver
lavere aktiekurs ligesom højere dividende giver en højere aktiekurs.
Alle nyheder, der påvirker aktiekursen, påvirker enten dividendebetalingen, afkastkravet eller den
forventede fremtidige vækst i dividendebetalingerne.
Ved en simpel omskrivning ses det, at det vækstkorrigerede afkastkrav, også kaldet dividend yield,
er givet som:
𝑑1
=𝑅−𝑔
𝑃
Flyttes der om fås:
𝑔=𝑅−
𝑑1
𝑃
Kender man således dividenden 𝑑1 og markedsprisen P på en aktie, kan man med et givet
afkastkrav beregne hvilken vækst, der skal være i dividenden i al fremtid, for at man opnår det
krævede afkast.
Aktiemarkedet har et afkastkrav på 12% til XX aktien. Aktien har et forventet udbytte på 5 kr. pr.
aktie og en aktiekurs i markedet på 200. Hvad skal den årlige vækst i al fremtid være i
virksomhedens dividendebetalinger, for at den kan leve op til markedets afkastkrav på 12%?
𝑔 = (0,12 −
5
) ∗ 100 = 9,5%
200
Risikoen på optioner består af mulige tab som følge af ændringer i markedsforholdene samt en
eventuel modpartsrisiko. Førstnævnte kan beskrives yderligere ud fra en række målbare nøgletal.
Derudover er et markant risikoelement det faktum, at optioner kan betragtes som en gearet
investering i den underliggende aktie eller indeks. Først og fremmest er det dog relevant at kende
til risikomål for aktier og aktieindeks.
SIDE 26 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
En akties risiko kvantificeres som oftest ved brug af to forskellige mål – standardafvigelsen og
beta. Standardafvigelsen kaldes også volatiliteten og er et udtryk for en akties totale risiko. Både
systematisk og usystematisk. Den systematiske risiko er et udtryk for den generelle risiko ved at
investere i aktier, mens den usystematiske risiko er forhold, der kobler sig specifikt til selskabet.
Standardafvigelsen kan eksempelvis bestemmes på baggrund af historisk markedsdata.
Beta er et udtryk for den systematiske risiko, og kan beregnes ud fra standardafvigelsen på den
pågældende aktie og markedsindekset den ønskes sammenlignet med samt korrelationen imellem
aktiekursen og kursen på markedsindekset.
𝛽 =⁡
𝜎𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒
∗ 𝜌𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒,𝑚𝑎𝑟𝑘𝑒𝑑
𝜎𝑚𝑎𝑟𝑘𝑒𝑑
En aktie har en standardafvigelse på 0,35. Markedet, som er approksimeret ved et bredt
aktieindeks, har en standardafvigelse på 0,18. Korrelationen imellem aktien og markedet er givet
som 0,80.
𝛽=
0,35
∗ 0,80 = 1,56
0,18
Beta for markedet er pr. definition 1, så betaværdier lavere end 1 betyder, at aktien er mindre
risikofyldt end markedet, mens beta over 1 betyder, at aktien er mere risikofyldt end markedet.
Beta stammer fra CAPM modellen, som bygger på en antagelse, om at en akties forventede afkast
alene bestemmes ud fra dens systematiske risiko.
𝐸[𝑅𝑖 ] = 𝜇 = ⁡ 𝑟𝑓 + 𝛽 ∗ (E[𝑅𝑚 ] − 𝑟𝑓 )
E[Ri] eller µ er det forventede afkast på aktien, imens rf er den risikofrie rente, og E[Rm] er det
forventede markedsafkast. Ud fra denne sammenhæng ses det, at jo højere den systematiske
risiko er, jo højere vil det forventede afkast også være, ligesom en rentestigning også resulterer i
et øget forventet afkast. Da det forventede afkast er udtryk for investors afkastkrav, vil en sådan
rentestigning eller højere beta alt andet lige medføre et fald i aktiekursen, da diskonteringsrenten
for fremtidige cashflows stiger.
Ud fra de forudsætninger som Blacks Scholes modellen bygger på er det muligt at opstille en øvre
og nedre grænse for den forventede kurs på en aktie. Antages det eksempelvis, at den forventede
SIDE 27 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
værdi på en aktie er lig med terminskursen1 kan konfidensintervallet tilnærmelsesvis bestemmes
som:
𝐾𝑜𝑛𝑓𝑖𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 = 𝑒 (ln(𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑠𝑘𝑢𝑟𝑠)±𝑧𝛼⁄2∗𝜎∗√𝑇)
Zα/2 er den inverse værdi i en standardnormalfordeling, hvor α er lig med 1 minus
konfidensintervallets sandsynlighed. Ved et 95% konfidensinterval er α = 0,05. σ er den årlige
standardafvigelse på aktiens afkast, mens T er tidshorisonten målt i år. LN er den naturlige
logaritme, og terminskursen bestemmes på baggrund af den kontinuert tilskrevne risikofrie
rente/afkast.
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑠𝑘𝑢𝑟𝑠 = 𝑆𝑝𝑜𝑡𝑘𝑢𝑟𝑠 ∗ 𝑒 𝑟∗𝑇
En aktie har en aktuel kurs på 200. Terminskursen på 1 års sigt er 210,25 svarende til en risikofri
rente på 5%. Volatiliteten på afkastet er 0,15, og du ønsker at bestemme et 95% konfidensinterval
for aktiens kurs om 1 år.
𝐾𝑜𝑛𝑓𝑖𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 = 𝑒 ln(210,25)±1,96∗0,15∗√1 = [156,69⁡; 282,11]
Aktiens forventede pris om 1 år ligger altså i intervallet 156,69-282,11med 95% sikkerhed.
Den inverse værdi i standardnormalfordelingen kan eksempelvis bestemmes i EXCEL ved brug af
funktionen STANDARDNORM.INV(1- α/2). Nedenfor er den inverse værdi givet for de mest gængse
konfidensniveauer:
α
90%
1,64
95%
1,96
99%
2,58
Konfidensintervallet (KI) er således en måde at benytte volatiliteten til at få et mål for risikoen
fremover. Jo længere ud i fremtiden, jo højere bliver risikoen for, at spotpriserne i fremtiden
afviger fra den indgåede terminskurs. På grafen nedenfor ses således et eksempel på
terminsprisen på en aktie, hvor fundingomkostningen overstiger den forventede udbyttebetaling,
med øvre og nedre KI over de næste 24 måneder.
Spotkursen er 100 kr., (rente – forventet udbytte) er 3 % p.a. og volatiliteten er 0,22.
1
Terminskursen vil være et udtryk for den forventede aktiekurs under det risikoneutrale sandsynlighedsmål
SIDE 28 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
250
200
150
100
50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Terminspris
KI øvre
KI nedre
Bemærk, at terminskurserne stiger over tiden, da der er tale om en aktie, hvor fundingrenten
overstiger det forventede udbytte. Bemærk ligeledes, at der er lige stor
afvigelse fra
terminskursen på nedre KI og øvre KI.
Volatiliteten kan måles på den historiske aktiekursudvikling, men er ingen garanti for, at
volatiliteten fremover er af samme størrelse. Volatiliteten kan hurtigt ændre sig meget, og
historisk volatilitet og KI-intervaller giver således ikke nogen garanti for hvad kunden kan tabe på
en aktieposition.
Ved modpartsrisiko er det nødvendigt at skelne imellem OTC-produkter og børshandlede
produkter. Modpartsrisikoen er risikoen for, at udsteder ikke er i stand til at opfylde sine
forpligtelser ved udnyttelse af optionen. Som tidligere nævnt er der ved de børshandlede
produkter klare retningslinjer omkring sikkerhedsstillelse, hvilket er med til at minimere
modpartsrisikoen betragteligt. Er der derimod tale om OTC-produkter, er der selvsagt ikke nogle
obligatoriske krav til sikkerhedsstillelse. Ønsker en kunde at udstede optioner, og kundens
pengeinstitut indgår som modpart vil den typisk se på elementer som eksempelvis volatiliteten på
det underliggende aktiv og positionens størrelse i forhold til kundens egenkapital, når de skal
fastsætte niveauet for sikkerhedsstillelse.
SIDE 29 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Da præmiebetalingen på optioner modtages ved aftalens indgåelse, har sælger/udsteder af
optioner ingen modpartsrisiko. Af samme grund vil købere af optioner ikke blive krævet at stille
sikkerhed, nøjagtig ligesom det var tilfældet ved de børshandlede optioner.
For warrants gælder det, at selvom disse er noteret til handel på en børs, er der ikke nødvendigvis
krav til marginindbetaling. Investor har derfor som udgangspunkt modpartsrisiko på
udstederen/emittenten på det fulde beløb, uanset om det er et børsnoteret produkt eller et OTCprodukt. Sammenholdt med det faktum, at løbetiden på warrants ofte er længere, medvirker til
større usikkerhed omkring en eventuel gevinst.
En options nøgletal beskriver dens følsomhed over for ændringer i forskellige parametre. Derfor er
nogle af disse af stor relevans, når man ønsker at beskrive risikoen på optioner, og kan bl.a.
anvendes til at afdække/mindske risikoen på positioner. Nedenfor gennemgås disse nøgletal.
Delta er et udtryk for, hvor meget prisen på en option ændrer sig, hvis prisen på det
underliggende aktiv ændrer sig:
𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎 = ⁡
ΔPræmie
ΔSpotpris
Da delta er udtrykt som en procentdel, vil den numeriske værdi altid være mellem 0 og 1. For call
optioner gælder det, at en stigning i det underliggende aktiv vil øge værdien af optionen, så delta
er positiv. Delta for en put option vil modsat have en værdi på mellem 0 og -1. Der er dog kun tale
om en approksimativ angivelse af ændringen i prisen på optionen, da denne ikke er en liniær
funktion af spotprisen. Delta ændrer sig således alt efter spotprisen på det underliggende aktiv og
er derfor mest præcis for små ændringer i det underliggende aktiv. Nedenfor er vist et eksempel
på deltaværdier på tværs af forskellige spotpriser for henholdsvis en europæisk call og put option.
Strike er i dette tilfælde 50
SIDE 30 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Figur 15
Det ses, at for optioner, der er dybt ITM, nærmer delta sig numerisk 1, mens optioner, der er dybt
OTM, vil have en delta omkring 0. Anvendes Black Scholes formlen til at prisfastsætte optioner,
kan delta aflæses direkte i beregningerne som:
𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎(𝑐𝑎𝑙𝑙) = 𝑁(𝑑1 )
𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎(𝑝𝑢𝑡) = 𝑁(𝑑1 ) − 1
En options delta bruges blandt andet til at afdække positioner – et såkaldt deltahedge. Dette
uddybes i afsnittet omkring rådgivning.
Som det blev illustreret ovenfor, er delta ikke konstant, og gamma måler netop ændringen i delta
ved ændringer i kursen på den underliggende aktie eller indeks.
𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 =
ΔDelta
ΔSpotpris
Gamma kan således fortolkes som en angivelse af, hvor stor fejl der er ved at estimere
optionspriser ud fra delta alene. Som nævnt er delta en relativ god approksimation for små
ændringer, men ved store ændringer i det underliggende aktiv kan fejlen være ganske markant.
SIDE 31 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Figur 14 illustrerer fejlen ved at anvende delta alene til at estimere prisen på en call option, hvis
den underliggende aktie stiger fra 50 til 60. Det kan også ses her, at jo mere ”kurvet” prisen for
optionen er, jo større vil gamma være. Gamma vil være det samme for en europæisk call og put
option med samme strike og løbetid og vil altid være positiv. Nedenfor ses det, at gamma er
højest ved spotkurser tæt på strikekursen (strike = 50), og ved optioner, der er dybt ITM eller
OTM, vil gamma nærme sig 0.
Theta angiver optionens følsomhed over for ændringen i restløbetid.
SIDE 32 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
𝑇ℎ𝑒𝑡𝑎 =
ΔPræmie
ΔTid⁡til⁡udløb
Oftest er theta negativ for europæiske call og put optioner. Dette betyder, at når restløbetiden
forkortes, mindskes værdien af optionen. Theta kan dog godt være positiv for optioner, der er
ITM. Hvis eventuel udbyttebetaling på en aktie er mindre end den risikofrie rente, vil man kunne se
positiv theta for put optioner der er ITM.
Selvom der er antaget konstant volatilitet, er det som nævnt ikke tilfældet i praksis, og vega er et
nøgletal, der angiver følsomheden i optionspræmien i forhold til ændringer i den implicitte
volatilitet.
𝑉𝑒𝑔𝑎 =
ΔPræmie
ΔVolatilitet
Et højt vega nøgletal indikerer, at optionsprisen vil ændre sig meget selv ved små ændringer i
volatiliteten. Vega er, ligesom det var tilfældet med gamma, det samme for call og put optioner
skrevet på samme underliggende aktie eller indeks og med samme strike og løbetid. Vega vil altid
være positiv for køberen af optionen, således at stigninger i volatiliteten på det underliggende
aktiv øger værdien af optionen. Vega vil generelt være højest for ATM optioner og gå mod 0 for
optioner der er dybt OTM eller ITM.
Det sidste nøgletal rho udtrykker, hvor meget optionsprisen ændrer sig, hvis den risikofrie rente
ændrer sig.
𝑅ℎ𝑜 =
ΔPræmie
ΔRisikofri⁡rente
Ligesom ved volatiliteten antages renten at være konstant, men i praksis er dette heller ikke
tilfældet. For købte optionspositioner gælder det, at rho er positiv for call optioner og negativ for
put optioner, og er højest ved optioner, der er dybt ITM.
Det er vigtigt at understrege, at optioner kan være en investering, der er gearet markant i forhold
til det underliggende aktiv, der bestemmer payoff for optionen. Ved køb af optioner binder man
mindre likviditet end ved en direkte investering i den underliggende aktie, men som vist tidligere
vil payoff være magen til en position i den underliggende aktie, såfremt udløbskursen er højere
SIDE 33 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
(lavere) end strikekursen for call (put) optioner. Så både optionsprisen i løbetiden samt det
endelige payoff er langt mere følsom end det underliggende aktiv.
En aktie handles til kurs 500. Anvendes en volatilitet på 12% og en risikofri rente på 3%, er prisen
på en 1-årig call option med strike på 500 givet som 31,69. Umiddelbart efter købet falder kursen
på aktien til 475, svarende til et tab på (475/500-1) = 5%. Optionsprisen derimod falder til 18,22
svarende til et tab på (18,22/31,69-1) = 42,5%
Var det i stedet for ved udløb, kursen var faldet til 475, ville optionen give et payoff på 0, svarende
til et tab på 100%.
Som det kendes fra handel med andre typer af værdipapirer, vil handel med optioner også
medføre omkostninger i form af blandt andet kurtage. Kurtagesatsen er ofte udtrykt som en
procentdel af den betalte præmie. Herudover kan man opleve eksempelvis et fast gebyr pr.
kontrakt, man handler, og eventuelt også et gebyr i forbindelse med exercise eller udløb af
kontrakten. Det vil typisk være dyrere at handle udenlandske optioner end optioner noteret på
NASDAQ OMX Nordic.
Ud over kurtagen skal man tage højde for spændet imellem købs- og salgspris, der stilles af
Market Maker. Antages det, at spændet er symmetrisk omkring optionens ”reelle” værdi, kan
halvdelen af spændet også betragtes som en omkostning, da man køber dyrere og sælger
billigere.
En call option på Novo Nordisk aktien med strike på 700 og løbetid på 1 måned handles i
øjeblikket til bud-udbud på 11-14 kr. Spændets størrelse er således 3 kurspoint. Antages det, at
optionens ”fair” værdi er 12,50 kr., vil det være en omkostning på 1,50 kr. for investor at købe til
14 kr. eller sælge til 11 kr.
SIDE 34 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Nøgletallet delta kan anvendes til at bestemme, hvor mange optioner man bør købe, hvis man
ønsker at afdække en portefølje fra dag til dag. Ønskes 100% afdækning, skal man sørge for, at
ens optionsposition giver en gevinst, der modsvarer tabet på ens aktier. Typisk vil der være tale
om en lang position i den underliggende aktie, som man ønsker at beskytte mod kursfald. I dette
tilfælde bør man købe put optioner. Antallet af optioner/kontrakter, man skal købe for at afdække
risikoen på en given position, bestemmes som:
𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙⁡𝑜𝑝𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 = ⁡
𝐾𝑢𝑟𝑠𝑣æ𝑟𝑑𝑖⁡𝑎𝑓𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛
𝑆𝑝𝑜𝑡𝑘𝑢𝑟𝑠⁡𝑝å⁡𝑑𝑒𝑛⁡𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒⁡𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒 ∗ 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 ∗ 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑘𝑡𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒
En kunde ejer 5.000 stk. aktier, og den aktuelle kurs er 600 svarende til en samlet værdi på
3.000.000 kr. Kunden ønsker at sikre sig mod kursfald ved køb af put optioner. En put option med
strike på 630 har en delta på -0,40 og handles til en præmie på 20 kr. pr. aktie. Kontraktstørrelsen
er 100 stk. af den underliggende aktie. For at afdække porteføljen 100% skal kunden købe:
3.000.000
= 125⁡𝑠𝑡𝑘.
600 ∗ 0,40 ∗ 100
Aktiekursen falder nu til 590, hvilket jf. delta medfører en stigning i optionsprisen på 4 kr. (-10 *0,40). Effekten på kundens samlede position kan beregnes som:
Tab på aktieportefølje: 5.000 stk. * -10 kr.
=
-50.000 kr.
Gevinst på optioner:
125 stk. * 100 * 4 kr. =
50.000 kr.
Samlede gevinst/tab
=
0 kr.
Denne beregning er naturligvis kun tilnærmelsesvis korrekt, da brugen af delta til at beregne
optionsprisen kun er en approksimation af den sande pris, ligesom den kun fungerer for små
kursændringer. Man kan forbedre sit hedge ved eventuelt at foretage dynamisk delta hedging,
hvor man løbende rebalancerer antallet af optioner ud fra den aktuelle delta. Jo oftere man
rebalancere, jo bedre bør ens afdækning blive. Ulempen ved dynamisk hedging er ekstra
omkostninger ved rebalanceringen.
SIDE 35 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Ønsker man kun at afdække ens risiko på en bestemt dato, og er denne dag lig med udløbsdatoen
på optionen, behøver man ikke anvende delta til at beregne antallet af optioner. Her skal antallet
af optioner blot være lig med antal stk. der ejes af det underliggende aktiv. Ved udløbstid er delta
for en in-the-money put option nemlig -1.
Ønsker man at afdække en aktieportefølje fra dag til dag ved brug af indeksoptioner i stedet for
optioner på de enkelte aktier, kan dette gøres ved at anvende beta relationen imellem indekset og
porteføljen, hvis man antager at CAPM relationen mellem indeks og portefølje holder. Her kan
antallet af put optioner, der skal købes for at afdække en lang position, beregnes som:
𝐾𝑢𝑟𝑠𝑣æ𝑟𝑑𝑖⁡𝑎𝑓𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 ∗ 𝑏𝑒𝑡𝑎
𝑆𝑝𝑜𝑡𝑘𝑢𝑟𝑠⁡𝑝å⁡𝑑𝑒𝑡⁡𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒⁡𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 ∗ 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 ∗ 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑘𝑡𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒
Det ses, at for stigende betaværdier skal der købes flere put optioner, og her bør man altså både
løbende rebalancere ved ændring i delta og ændring i beta, hvis man ønsker at opretholde den
ønskede afdækning.
Ønsker man igen kun at afdække sin risiko på udløbsdatoen for optionen, kan antallet af optioner
bestemmes som:
𝐾𝑢𝑟𝑠𝑣æ𝑟𝑑𝑖⁡𝑎𝑓⁡𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒𝑓ø𝑙𝑗𝑒𝑛 ∗ 𝑏𝑒𝑡𝑎
𝑆𝑝𝑜𝑡𝑘𝑢𝑟𝑠⁡𝑝å⁡𝑑𝑒𝑡⁡𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒⁡𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 ∗ 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑘𝑡𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒
Ejer man som investor en aktieportefølje, og har man en helt klar rebalanceringsstrategi, kan man
anvende udstedelse af aktieoptioner til at ”profitere” på dette. Dette gøres ved, at man udsteder
call optioner, hvor strike er lig med den kurs, man ønsker at sælge til, og sælger put optioner,
hvor strike er lig med den kurs, man ønsker at købe til. Man opnår således præmieindtægt på
begge optionspositioner.
Din kunde ejer 2.000 stk. Coloplast B aktier, som aktuelt har en kurs på 880 kr. Kunden har en
klar strategi om, at han ønsker at sælge halvdelen af sin beholdning, hvis kursen kommer op på
1.200 kr., og han ønsker at købe yderligere 1.000 stk., til en kurs på 500 kr. Derfor udsteder han
put optioner på 1.000 stk. med en strike på 500 og call optioner på 1.000 stk. med en strike på
1.200.
SIDE 36 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Er kursen ved udløb af optionen over 1.200 kr., vil køber af optionerne udnytte disse, og kunden
er dermed forpligtet til at sælge 1.000 stk. til 1.200 kr. Ender kursen under 500, vil køber af put
optionerne udnytte disse, hvorved kunden er forpligtet til at købe 1.000 stk. Coloplast B aktier til
500 kr. Dette er i overensstemmelse med den strategi, kunden havde. Er kursen mellem 500 kr. og
1.200 kr., vil ingen af køberne udnytte deres optioner, og din kunde har dermed tjent præmien og
har stadig en beholdning på 2.000 stk. Coloplast B aktier.
Rent teknisk kan ovenstående strategi betragtes som en strangle, hvilket blev beskrevet i afsnit
3.2. I stedet for at købe en strangle er dette blot et eksempel på en solgt strangle, og da udsteder
rent faktisk ejer aktierne er det en ”covered” strangle.
Indholdet i kompendiet er udarbejdet til brug som en del af forberedelsen til rød
certificeringsprøve. Vi tilstræber, at indholdet er korrekt og udtryk for gældende ret, men
eventuelle fejl kan ikke medføre ansvar for Finanssektorens Uddannelsescenter, og indholdet kan
ikke erstatte juridisk rådgivning. Der henvises til Finanssektorens Uddannelsescenters Almindelige
Betingelser pkt. A.7.
Det er ikke tilladt at kopiere og/eller videredistribuere kompendiet eller dele af kompendiet til
tredje part uden forudgående tilladelse fra Finanssektorens Uddannelsescenter.
Copyright Finanssektorens Uddannelsescenter.
SIDE 37 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Christensen, M. (2009): Aktieinvestering – Teori og praktisk anvendelse. 3. udgave, Jurist- og
Økonomforbundets Forlag
Elton, E.J. m.fl. (2011): Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. 8. udgave, John Wiley &
Sons
Hull, J. (2009): Options, Futures and Other Derivatives. Pearson Prentice Hall
Wilmott, P (2007): Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance, 2.udgave, Wiley
www.cboe.com
www.nasdaqomxnordic.com
www.rbs.com
SIDE 38 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Beregning af afkastkravet på aktier – CAPM
Den risikofrie rente er givet til at være 3% p.a., og den generelle risikopræmie på aktiemarkedet er
5% p.a.. Beregn afkastkravet for en aktie med en estimeret beta på 1,30 ved brug af CAPM.
En af dine kunder henvender sig og spørger til en af jeres aktieanalyser, hvor han undrer sig over
begrebet afkastkrav til egenkapitalen, og ikke mindst hvordan den beregnes. Du fortæller, at en
simpel model til at estimere aktionærernes afkastkrav er Capital Asset Pricing Modellen (CAPM).
Du giver kunden følgende eksempel:
Risikofri rente: 2,5% p.a.
Forventet afkast på aktiemarkedet generelt: 9% p.a.
Udsvingene på aktien i forhold til markedet er dobbelt så store. Beregn afkastkravet til
egenkapitalen ud fra dette eksempel.
Afkastkravet på en aktie med en beta på 1,50 er beregnet via CAPM til at være 10,5% p.a.. Nu
falder den risikofrie rente fra 3,00% til 2,50%. Beregn afkastkravet ifølge CAPM efter rentefaldet,
hvis det forudsættes at beta og risikopræmien på aktiemarkedet generelt forbliver uændret.
Beregning af gevinst/tab ved udløb
En kunde ønsker at sikre sig imod et kursfald, og har derfor købt en put option på en given aktie
med en aftalekurs på 125 kr. Kontrakten er skrevet på 100 stk. af den underliggende aktie, og
præmiebetalingen udgør 4,75 kr. pr. aktie. Såfremt aktiekursen ved udløb er 90 kr., hvad er da
kundens gevinst/tab?
En virksomhed har solgt call optioner på en given aktie, med følgende karakteristika:
Aftalt strikekurs: 40 kr.
Præmie: 0,70 kr. pr. enhed underliggende
Kontraktstørrelse i alt: 50.000 stk.
Hvis aktiekursen ved udløb er 45 kr., hvad er virksomhedens samlet tab/gevinst da?
SIDE 39 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Beregning af gevinst/tab før udløb
En kunde har købt call optioner på en bestemt aktie, i hvilken forbindelse optionsprisen på
købstidspunktet er 2,30-2,40 kr. (bid-offer). Den underliggende position er på i alt 10.000 stk. af
den pågældende aktie. Efterfølgende oplever aktien et fald, som betyder at optionspræmien falder
til 1,90-2,00 kr. (bid-offer). Kunden vælger herefter at lukke sin position.
Såfremt kunden vælger at sælge sine optioner efter aktiefaldet, hvad bliver da hans gevinst/tab?
Din kunde sælger put optioner med en kontraktstørrelse på 10 stk. put optioner, som hver er
skrevet på 100 stk. af en underliggende aktie. Optionspræmien er 66-68 kr. (bid-offer). Som følge
at et stort prisfald i den underliggende aktie, stiger præmien efterfølgende på put optionen og er
nu 92-94 kr. (bid-offer). Kunden vælger at købe en modsatrettet option. Hvilket tab/gevinst opnår
kundens som følge heraf?
Kendskab til sammenhæng mellem P/E, K/I og ROE
Du er blevet gjort opmærksom på følgende af en kunde:
I det seneste regnskab fremgik det, at en given virksomheds forrentning af egenkapitalen var på
17%. Målt på den aktuelle kurs og det seneste regnskab havde virksomhedens aktier en K/I på 4,8.
Kunden ønsker nu forklaret hvad dette indebærer for virksomhedens P/E?
Målt på den aktuelle kurs og det seneste regnskab er følgende oplysninger om en aktie
tilgængelige:
P/E:
13
K/I:
0,9
Hvad kan virksomhedens forrentning af egenkapitalen beregnes til ud fra disse oplysninger?
Gordons vækstformel
En investor har fulgt en given virksomhed i en længere periode, og overvejer nu at investere i
virksomhedens aktie. Virksomheden forventes at udbetale et udbytte på 7 kr. pr. aktie samt at
præstere en årlig vækst i udbetalingen af udbytte på 5% i al fremtid. Såfremt investoren har et
afkastkrav til aktien på 10%, hvilken pris bør han da betale for aktien?
SIDE 40 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Din kunde overvejer at investere i en aktie og har i den forbindelse et afkastkrav til aktien på 8%.
Aktiens dividend yield er beregnet til 5,7% på baggrund af den nuværende kurs og førstkommende
udbyttebetaling. Hvor meget skal virksomhedens dividendebetaling årligt vækste i al fremtid for at
leve op til investorens afkastkrav?
Din kunde ønsker at købe en aktie, som han mener, er lavt prisfastsat. Aktien handles til en pris,
der er 8 gange større end det forventede udbytte. Beregn på baggrund af forholdet mellem
aktieprisen og udbyttet hvor meget virksomhedens dividendebetaling årligt skal vækste i al
fremtid, såfremt kunden har et afkastkrav til aktien på 10%.
Beregning intervaller
En kunde har en lang position i en aktie og overvejer i den forbindelse at afdække sig mod
kursfald inden for det næste halve år ved køb af put optioner med udløb om 6 måneder. Kunden
vil i den forbindelse gerne vide, hvor store udsving der kan forventes i kursen på 6 måneders sigt.
Du for oplyst at den aktuelle aktiekurs er 110 og at terminskursen på 6 måneders sigt er 112,1,
svarende til en risikofri rente på 3,75% p.a. Den historiske volatilitet på afkastet er 10% p.a. I
hvilket interval ligger aktiekursen med 95% sandsynlighed om 6 måneder under antagelse af, at
logafkastet er normalfordelt og at terminsprisen er lig med den forventede fremtidige spotpris på
aktien?
En kunde ønsker at få oplyst kursintervallet for en given akties kurs med 90% sikkerhed om 1 år.
Du har oplyst, at aktiekursen er 320 og at volatiliteten på afkastet årligt er 14%. Såfremt den
risikofrie rente er 5% p.a., hvad er da dit bedste bud på aktiekursen om 1 år?
(Antag at logafkastet er normalfordelt, og at terminsprisen er lig med den forventede fremtidige
spotpris på aktien.)
Gearingseffekt
En af dine kunder tror at prisen på en aktie vil falde over de næste 6 måneder og ønsker at udnytte
denne forventning. Aktiekursen er i dag 310 kr., og en ATM put option handles til en præmie på
12 kr. Beregn det procentvise afkast ved køb af optioner sammenholdt med en kort position i den
SIDE 41 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
underliggende aktie i tilfælde af, at kursen efter 6 måneder er henholdsvis steget til 340 kr. eller
faldet til 280 kr.
En kunde ønsker at geare en investering i en aktie. Kursen på aktien er 65 kr. og kunden har
90.000 kr. til formålet. Antag at kunden har følgende to muligheder:
A. Kunden kan låne 300.000 kr. i banken til en rente på 5% p.a. og dermed investere for i alt
390.000 i aktien.
B. Kunden kan alternativt investere de 90.000 kr. i ATM call optioner med en løbetid på 6
måneder og en præmie på 7,75 kr.
Beregn henholdsvis gevinst/tab for de to alternativer efter 6 måneder såfremt:
1. Aktien er faldet med 30 %
2. Aktien er steget med 30 %
3. Aktiekursen er uændret
Deltahedge
Din kunde har investeret 1.200.000 kr. i en aktie til kurs 280. Kunden ønsker at afdække sin
position, således at han er sikret mod mindre kursfald i aktien. Den aktuelle kurs er 300 og
kundens bank tilbyder, at han kan afdække risikoen ved at købe ATM put optioner til en præmie
på 10 kr. Deltaværdien for en sådan option oplyses at være -0,50 og handles i en kontraktstørrelse
på 100 stk. at den underliggende aktie.
Bergen antallet af put optioner kunden skal købe, for at afdække sig mod mindre kursfald i aktien.
En kunde har solgt 20 call optioner med en kontraktstørrelse på 10 stk. af en underliggende aktie
pr. option. Optionens deltaværdi er fastsat til 0,30. Beregn hvor mange stk. af den underliggende
aktie kundens skal købe eller sælge for at hedge sin position bedst muligt.
Brug af indeksoptioner til afdækning
En virksomhed ønsker at afdække en aktieportefølje med en kursværdi på 7.000.000 kr. ved brug
af indeksoptioner. Deltaværdien for en put option på et indeks med strikekurs 480 er -0,6 og den
aktuelle markedskurs på indekset er 500. Kontraktstørrelsen er fastsat således at 1 option svarer
SIDE 42 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
til 100 andele i indekset. Beregn hvor mange put optioner på indekset virksomheden skal købe for
at afdække sig mod kursfald, såfremt porteføljen har en beta på henholdsvis 0,8 og 1,8.
En virksomhed ønsker at halvere markedsrisikoen på en aktieportefølje i den kommende periode
ved brug af indeksoptioner. Følgende oplysninger er tilgængelige:
Kursværdi på aktieportefølje: EUR 11.000.000
Porteføljens betaværdi: 1,4
Type af option: Put option på DAX indekset
Optionens deltaværdi: -0,8
Aftalt strike: EUR 6.400
Aktuel markedskurs på DAX indekset: EUR 7.000
Kontraktstørrelse: 1 option = 10 andele i indekset
Beregn hvor mange put optioner virksomheden skal købe for at opnå den ønskede afdækning?
SIDE 43 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Løsninger til regneopgaver
Formlen for CAPM er:
E[R 𝑖 ] = 𝑅𝑓 + β𝑖 × (E[𝑅𝑚 ]⁡– 𝑅𝑓 )
Leddet E[𝑅𝑚 ]⁡– 𝑅𝑓 er lig med risikopræmien på markedet. Derfor kan aktionærernes afkastkrav
beregnes til at være:
E[R 𝑖 ] = 3% + 1,30 × 5% = 9,5%
Igen anvendes formlen for CAPM:
E[R 𝑖 ] = 𝑅𝑓 + β𝑖 × (E[𝑅𝑚 ]⁡– 𝑅𝑓 )
Da udsvingene på aktien er dobbelt så store som markedets betyder det, at kovariansen mellem
selskabets aktier og markedet er dobbelt så høj som variansen på markedet og beta er derfor
2,00. Afkastkravet til egenkapitalen er derfor ifølge CAPM:
E[R 𝑖 ] = 2,50% + 2,00 × (9,00%⁡– 2,50%) = 15,50%
Følgende formel er udgangspunktet:
E[R 𝑖 ] = 𝑅𝑓 + β𝑖 × (E[𝑅𝑚 ]⁡– 𝑅𝑓 )
I dette tilfælde er der to måder at løse opgaven på. Den første går ud på at bestemme E[𝑅𝑚 ] for at
fastslå risikopræmien for markedet E[𝑅𝑚 ]⁡– 𝑅𝑓 .
E[R 𝑚 ] = 𝑅𝑓 +
E[R 𝑚 ] = 3,00% +
(E[𝑅𝑖 ]⁡– 𝑅𝑓 )
β𝑖
(10,50%⁡– 3,00%)
= 8,00%
1,5
SIDE 44 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Risikopræmien er derfor 5,00%, og da den antages uændret efter rentefaldet må E[R 𝑚 ] falde
tilsvarende – altså med 0,5 procentpoint. Det nye afkastkrav kan derfor beregnes som:
E[R 𝑖 ] = 2,50% + 1,50 × (7,50%⁡– 2,50%) = 10,00%
Denne metode kan også anvendes, hvis der samtidig med renteændringen sker en ændring i beta.
I dette tilfælde får man dog oplyst, at beta (og risikopræmien E[𝑅𝑚 ]⁡– 𝑅𝑓 ) er uændret så leddet
β𝑖 × (E[𝑅𝑚 ]⁡– 𝑅𝑓 ) har samme værdi efter renteændringen. Man har derfor hverken behov for at
kende risikopræmien eksplicit, og dermed heller ikke markedsporteføljens forventede afkast.
Ændringen i afkastkravet på den givne aktie vil blot være lig med ændringen i den risikofrie rente:
E[R 𝑖 ] = 10,50% + (2,50% − 3,00%) = 10,00%
Da kunden har købt en put option, er afkastet ved udløb givet som:
𝐺𝑒𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡 ⁄𝑡𝑎𝑏 = (maks⁡(𝐾 − 𝑆𝑇 , 0) − 𝑝) ∗ ⁡𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑘𝑡𝑠𝑡ø𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒,
hvor 𝑆𝑇⁡ er spotkursen på udløbstidspunktet, K er den aftalte strike, og 𝑝 er den betalte præmie pr.
enhed underliggende.
𝐺𝑒𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡 ⁄𝑡𝑎𝑏 = (maks⁡(125 − 90, 0) − 4,75) ∗ 100 = 3.025⁡𝑘𝑟.
Gevinst/tab ved udløb kan for køberne af de oplyste call optioner beregnes som:
𝐺𝑒𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡 ⁄𝑡𝑎𝑏 ⁡𝑝𝑟. 𝑒𝑛ℎ𝑒𝑑 = maks⁡(𝑆𝑇 − 𝐾, 0) − 𝑐,
Hvor 𝑐 er den betalte præmie pr. enhed underliggende.
𝐺𝑒𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡 ⁄𝑡𝑎𝑏⁡𝑝𝑟. 𝑒𝑛ℎ𝑒𝑑 = maks(45 − 40, 0) − 0,70 = 4,30⁡𝑘𝑟.
Da virksomheden har solgt call optioner vedrørende i alt 50.000 stk. af den underliggende aktie,
taber virksomhedens samlet således: 50.000 ∗ 4,30⁡𝑘𝑟. = 215.000⁡𝑘𝑟.
SIDE 45 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Til beregning af kundens gevinst/tab på investeringen skal offer-prisen anvendes til
præmiebetalingen på købstidspunktet, imens bid-prisen benyttes til at beregne indtægten på
salgstidspunktet.
𝐺𝑒𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡/𝑡𝑎𝑏 = (1,90 − 2,40) ∗ 10.000⁡ = −5.000⁡𝑘𝑟.
Da optionen er solgt, anvendes bid-prisen til at beregne kundens indtægt på salgstidspunktet,
hvorimod offer-prisen angiver kundens udgift på købstidspunktet.
𝐺𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡/𝑡𝑎𝑏⁡ = (66 − 94) ∗ 1.000⁡ = −28.000⁡𝑘𝑟.
P/E kan beregnes ud fra nedenstående sammenhæng mellem de tre nøgletal:
𝐾 ⁄𝐼 = 𝑃 ⁄𝐸 ∗ 𝑅𝑂𝐸⁡ ⇒
𝑃 ⁄𝐸 =
4,8
= 28,24
0,17
Baseret på seneste regnskab indikerer en P/E på 28,24 således en forventning om relativ høj
indtjeningsvækst fremover.
Ud fra de givne oplysninger kan ROE kan beregnes til:
𝐾 ⁄𝐼 = 𝑃 ⁄𝐸 ∗ 𝑅𝑂𝐸⁡ ⇒
𝑅𝑂𝐸 =
0,9
= 0,0692
13
Virksomhedens forrentning af egenkapitalen har i seneste regnskabs periode dermed været 6,92%.
Med
udgangspunkt
i
Gordons
vækstformel
kan
prisen
på
aktien
bestemmes
ud
fra
dividendebetalingen og den forventede vækst samt investorernes afkastkrav:
𝑃0 =
𝑑1
𝑅−𝑔
SIDE 46 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
𝑃0 =
7
= 140,00⁡𝑘𝑟.
10% − 5%
På baggrund af de givne oplysninger kan den implicitte vækst beregnes til:
𝑔=𝑅−
𝑑1
𝑃
𝑔 = 8% − 5,7% = 2,3%
En pris på 8 gange udbyttet, svarer til en dividend yield på
𝑑1
𝑃
1
= = 12,5%.
8
Med et afkastkrav på 10% kan væksten i fremtidige dividendebetalinger dermed beregnes til:
𝑔=𝑅−
𝑑1
𝑃
𝑔 = 10% − 12,5% = ⁡ −2,5%
Forventningerne til virksomheden er altså relativt beskedne, og dividendebetalingen må falde med
2,5% årligt for at levere et afkastkrav på 10% til kunden.
Med udgangspunkt i terminsprisen, kan aktiens forventede pris om 6 måneder med 95% sikkerhed
bestemmes som:
I𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 = 𝑒 ln(112,1)±1,96∗0,10∗√0,5 = [97,59; 128,76]
Terminskursen som intervallet tager udgangspunkt i kan bestemmes som:
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑠𝑘𝑢𝑟𝑠 = 𝑆𝑝𝑜𝑡𝑘𝑢𝑟𝑠 ∗ 𝑒 𝑟∗𝑇
= 320 ∗ 𝑒 0,05∗(360/360) = 336,41
Med 90% sikkerhed ligger aktiekursen om 1 år derfor i intervallet:
SIDE 47 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
I𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 = 𝑒 ln(336,41)±1,64∗0,14∗√1 = [267,40; 423,24]
I begge tilfælde kan afkastet beregnes ved blot at sætte ”gevinst/tab” i forhold til det investerede
beløb.
For den
gælder det at (bemærk: ganges med -1
pga. kort position):
𝐴𝑓𝑘𝑎𝑠𝑡 = (
𝑆𝑇
− 1) ∗ −1
𝑆0
280
𝐴𝑓𝑘𝑎𝑠𝑡⁡𝑣𝑒𝑑⁡𝑓𝑎𝑙𝑑⁡𝑖⁡𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒 = ⁡ (
− 1) ∗ −1 = 9,7%
310
340
𝐴𝑓𝑘𝑎𝑠𝑡⁡𝑣𝑒𝑑⁡𝑠𝑡𝑖𝑔𝑛𝑖𝑛𝑔⁡𝑖⁡𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒 = ⁡ (
− 1) ∗ −1 = −9,7%
310
For
skal afkastet ved udløb sættes i forhold til den betalte præmie:
𝐴𝑓𝑘𝑎𝑠𝑡⁡𝑝𝑢𝑡⁡𝑜𝑝𝑡𝑖𝑜𝑛 =
𝐴𝑓𝑘𝑎𝑠𝑡⁡𝑣𝑒𝑑⁡𝑓𝑎𝑙𝑑⁡𝑖⁡𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒⁡ =
maks⁡(310 − 280, 0)
30
−1=
− 1 = 150,0%
12
12
𝐴𝑓𝑘𝑎𝑠𝑡⁡𝑣𝑒𝑑⁡𝑠𝑡𝑖𝑔𝑛𝑖𝑛𝑔⁡𝑖⁡𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒 =
For
maks⁡(𝐾 − 𝑆𝑇 , 0)
−1
𝑝
maks⁡(310 − 340, 0)
0
−1=
− 1 = −100,0%
12
12
kan afkastet ved henholdsvis fald/stigning på 30% beregnes som:
𝐺𝑒𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡 ⁄𝑡𝑎𝑏 = 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛⁡𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟⁡6⁡𝑚å𝑛𝑒𝑑𝑒𝑟 − (𝑙å𝑛𝑒𝑡𝑠⁡ℎ𝑜𝑣𝑒𝑑𝑠𝑡𝑜𝑙 ∗ (1 +
𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
)) − 𝑒𝑔𝑒𝑛⁡𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔
2
𝑇𝑎𝑏⁡𝑣𝑒𝑑⁡𝑓𝑎𝑙𝑑⁡𝑝å⁡30% = 390.000⁡𝑘𝑟.⁡⁡ ∗ 0,7 − (300.000⁡𝑘𝑟.⁡⁡ ∗ (1 +
5%
)) − 90.000⁡𝑘𝑟.
2
= 273.000⁡𝑘𝑟. −⁡307.500⁡𝑘𝑟. −⁡90.000⁡𝑘𝑟.⁡⁡ = ⁡ −124.500⁡𝑘𝑟.
SIDE 48 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
𝐺𝑒𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡⁡𝑣𝑒𝑑⁡𝑠𝑡𝑖𝑔𝑛𝑖𝑛𝑔⁡𝑝å⁡30% = 390.000⁡𝑘𝑟.⁡⁡ ∗ 1,3 − (300.000⁡𝑘𝑟.⁡⁡ ∗ (1 +
5%
)) − 90.000⁡𝑘𝑟.
2
= 507.000⁡𝑘𝑟. −307.500⁡𝑘𝑟. −90.000⁡𝑘𝑟.⁡⁡ = 109.500⁡𝑘𝑟.
Ved uændret aktiekurs taber kunden renteudgiften:
𝑇𝑎𝑏⁡𝑣𝑒𝑑⁡𝑢æ𝑛𝑑𝑟𝑒𝑡⁡𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒𝑘𝑢𝑟𝑠 = −300.000⁡𝑘𝑟.⁡⁡ ∗ ⁡
For
5%
= ⁡ −7.500⁡𝑘𝑟.
2
kan afkastet på en call option bestemmes som:
𝐴𝑓𝑘𝑎𝑠𝑡⁡𝑐𝑎𝑙𝑙⁡𝑜𝑝𝑡𝑖𝑜𝑛 =
maks⁡(𝑆𝑇 − 𝐾, 0)
−1
𝑐
Ved både et fald på 30% samt uændret aktiekurs ses det at 𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑆𝑇 − 𝐾, 0) = 0, hvorfor afkastet
bliver:
𝐴𝑓𝑘𝑎𝑠𝑡⁡𝑣𝑒𝑑⁡𝑓𝑎𝑙𝑑⁡𝑝å⁡30%⁡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟⁡𝑢æ𝑛𝑑𝑟𝑒⁡𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒𝑘𝑢𝑟𝑠 =
0
− 1 = −100%
7,75
Dvs. hele det investerede beløb tabes svarende til præmiebetalingen på 90.000 kr.
Ved en stigning på 30% kan afkastet beregnes som:
𝐴𝑓𝑘𝑎𝑠𝑡⁡𝑣𝑒𝑑⁡𝑠𝑡𝑖𝑔𝑛𝑖𝑛𝑔⁡𝑝å⁡30% =
maks⁡(84,5 − 65,0)
− 1 = 151,6⁡%
7,75
Ved en investering på 90.000 kr. er gevinsten således: (151,6%⁡ ∗ 90.000⁡𝑘𝑟. ) ⁡ = 136.452⁡𝑘𝑟.
Resultaterne er gengivet i nedenstående tabel:
A (Lån i bank)
B (Optionsinvestering)
1 (30% fald)
2 (30% stigning)
3 (uændret aktiekurs)
-124.500 kr.
109.500 kr.
-7.500 kr.
-90.000 kr.
136.452 kr.
-90.000 kr.
SIDE 49 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Såfremt aktiekursen falder på kort sigt, vil kunden approksimativt være afdækket ved køb af 80
put optioner ud fra følgende beregning:
𝐾𝑢𝑟𝑠𝑣æ𝑟𝑑𝑖⁡𝑎𝑓𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛
𝑆𝑝𝑜𝑡𝑘𝑢𝑟𝑠⁡𝑝å⁡𝑑𝑒𝑛⁡𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒⁡𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒 ∗ 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 ∗ 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑘𝑡𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒
1.200.000
= 80⁡𝑠𝑡𝑘.
300 ∗ 0,50 ∗ 100
Ved salg af call optioner taber kunden penge, såfremt den underliggende aktie stiger i værdi. For
at afdække risikoen for kursstigninger, bør kunden således tage en lang position i aktien samtidig.
Antallet af aktier som skal købes, kan beregnes til:
𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙⁡𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒𝑟 = ⁡𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 ∗ 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙⁡𝑜𝑝𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 ∗ 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑘𝑡𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒𝑛
= ⁡0,30 ∗ 20 ∗ 10 = 60⁡𝑠𝑡𝑘
I tilfælde af at aktiekursen stiger med 1 kr. vil kundens gevinst/tab være lig 0:
1. Gevinst på aktiepositionen: 60 ∗ 1⁡𝑘𝑟. = 60⁡𝑘𝑟.
2. Tab som følge af stigning i optionspris: −(0,30 ∗ 1⁡𝑘𝑟. ) ⁡ = −0,30⁡𝑘𝑟. 𝑝𝑟. 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒,
svarende til et samlet tab på -0,30⁡𝑘𝑟.∗ 200⁡𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒𝑟 = −60⁡𝑘𝑟.
I tilfælde af at aktiekursen falder med 1 kr. vil kundens gevinst/tab være lig 0:
1. Tab på aktieposition: 60 ∗ −1⁡𝑘𝑟. = −60⁡𝑘𝑟.
2. Gevinst som følge af fald i optionspris: 0,30 ∗ 1⁡𝑘𝑟. = 0,30⁡𝑘𝑟. 𝑝𝑟. 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒,
svarende til en samlet gevinst på 0,30⁡𝑘𝑟.∗ 200⁡𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒𝑟 = 60⁡𝑘𝑟.
Antallet af optioner til afdækning kan beregnes ud fra nedenstående formel:
𝐾𝑢𝑟𝑠𝑣æ𝑟𝑑𝑖⁡𝑎𝑓𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 ∗ 𝑏𝑒𝑡𝑎
𝑆𝑝𝑜𝑡𝑘𝑢𝑟𝑠⁡𝑝å⁡𝑑𝑒𝑡⁡𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒⁡𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 ∗ 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 ∗ 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑘𝑡𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒
SIDE 50 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Såfremt porteføljen har en betaværdi på 0,8, bliver resultatet:
7.000.000 ∗ 0,8
= 187⁡𝑠𝑡𝑘.⁡
500 ∗ 0,6 ∗ 100
Har porteføljen derimod en betaværdi på 1,8, bliver resultatet:
7.000.000 ∗ 1,8
= 420⁡𝑠𝑡𝑘.⁡
500 ∗ 0,6 ∗ 100
For at halvere markedsrisikoen på aktieporteføljen skal virksomheden købe:
11.000.000 ∗ 1,4 ∗ 0,5
= 138⁡𝑠𝑡𝑘.⁡
7.000 ∗ 0,8 ∗ 10
SIDE 51 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Version 1: Dateret den 17. februar 2012
Opdateret den 21. februar 2012

Afsnit 2.3.1 og 2.3.2: I afsnittene omkring europæiske og amerikanske optioner er teksten
omformuleret, så det fremgår, at optioner på enkeltaktier på NASDAQ OMX NORDIC er
amerikanske, imens indeksoptionerne er europæiske.

Afsnit 3.2.1: Illustration af Covered Call er tilrettet, således den er korrekt og i
overensstemmelse med teksten.

Afsnit 4.4 tilføjet
Opdateret den 12. marts 2012

Afsnit 5.2: Afsnit omkring udregning af konfidensintervaller er ændret, herunder
beregningsmetoden.
Opdateret den 17. april 2012 (med mindre sproglige justeringer)
Opdateret den 14. september 2012

Afsnit 4.4.2: Beregningen af den implicitte vækst er præciseret.

Afsnit 3: Underafsnit om aktieafkast (via CAPM) tilføjet

Afsnittet om konfidensintervaller: Grafik med terminskurser og KI over de næste 24
måneder er tilføjet

Afsnit 4.4.2 Gordons vækstformel: forenklet til dividendemodel

Nyt afsnit med regneopgaver er tilføjet sidst i kompendiet
SIDE 52 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
Opdateret den 19. marts 2015

Regneopgaver med deltahedge tilrettet, så der bruges markedskurs på underliggende til
udregning af antal kontrakter.

Aktieterminskontrakter/futures

Aktieoptioner/warrants

Alternative investeringsfonde (indeholder appendix om ETN)

Anparter

CoCos og unoterede virksomhedsobigationer

Obligationsterminskontrakter/futures

Renteoptioner/renteswaptioner

Renteswaps

Repo

Råvareterminskontrakter/futures

Strukturerede obligationer

Unoterede aktier

Valutaoptioner

Valutaswap

Valutaterminskontrakter/futures
SIDE 53 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING
SIDE 54 AF 54
NYESTE VIDEN
BEDSTE FORMIDLING

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter Kompendium

Transcription

Similar documents

Moffes går online Moffes.com og bliver en lovlig forretning. Et rent og

Sporting Cup Nordjylland

Efterårssemesteret 2015 Master i offentlig ledelse – bogkøb Denne

Fagplan for Fysik på bjergmarkskolen Udarbejdet af NJ, PE, PH, IC

Århus Kommune Bestil og betal mælk, frugt og

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter Kompendium

Velkommen

96204 Acriflex Incolore Mat Klarlak - Baden