Tværbelastede pæle

Notat om virkelighedsnære eksperimenter i matematik og fysik
Oplæg til STX og HTX lærere den 23. september
Emne: Trækforsøg med stålstang og bøjningsforsøg med træbjælke
Dette notat omhandler nogle af de emner vi arbejder med på 1. semester af bygningsingeniøruddannelsen i faget BF1MAT1 matematik, fysik og materialelære, der udgør 1/3 af arbejdsbelastningen på 1. semester. Specielt vil vi se på to forsøg med stål
og træ, der begge indeholder elementer af fysik og matematik. Ved forsøgene er formålet, at forstå baggrunden for de formler,
der benyttes til at beregne deformationer og bærevne af stål- og trækonstruktioner.
Der er tale om et trækforsøg med en stålstang samt et bøjningsforsøg med en træbjælke. I begge forsøg registreres de aktuelle
belastninger og tilhørende deformationer. De principelle forsøgsopstillinger, billeder af forsøgene samt typiske forsøgsresultater
er illustreret på bilag 1 og bilag 2.
I de to forsøg observeres en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng mellem kraft og deformation i starten af forsøgene. Dette
viser, at såvel stål som træ er elastiske materialer, om end der er stor forskel på elasticiteten af de to materialer. Ved større
belastninger iagttages en ikke lineær sammenhæng mellem kraft og deformation svarende til, at materialerne er deformeret i en
sådan grad, at der forekommer blivende deformationer som følge af flydning i materialerne. Her betegnes den ikke lineære del
som en plastisk tilstand i modsætning til den elastiske tilstand materialerne befandt sig i ved starten af forsøgene.
Trækforsøg med stålstang
Forlængelsen af stålstangen er – ud over trækkraften – afhængig af stålstangens diameter og længde samt naturligvis selve
stålets elastiske egenskab. For at belyse stålmaterialets elastiske egenskab (gælder generelt for byggematerialer) indføres to
𝐹
∆𝐿
begreber dels trækspænding 𝜎 = (MPa) og dels tøjning 𝜀 = (dim. løs), og ud fra disse og forsøgsresultaterne samt HOOK´s
𝐴
𝐿
lov defineres ståls elasticitetsmodul: 𝐸 ≈ 0,21 ∙ 106 (MPa), der er en materialekonstant for stål.
Bøjningsforsøg med træbjælke
Nedbøjning af træbjælken er en funktion af afstanden til understøtningerne samt understøtningens egenskaber, bjælketværsnittets form, bjælkens materiale samt naturligvis den last, der virker på bjælken.
Bjælketværsnittes form har stor indflydelse på nedbøjningens størrelse, og der indføres en så kaldt tværsnitskonstant, hvis
størrelse har indvirkning på tværsnittets evne til at modstå bøjning. Denne tværsnitskonstant benævnes tværsnittes inertimoment, men burde nok rettelig benævnes ”det 2. arealmoment” som er den norske betegnelse. Definitionen af et inertimoment
inden for statikkens tværsnitsanalyse er analogt med definitionen af et inertimoment inden for dynamikken idet, man anvender
areal i stedet for masse.
Eksempelvis er tværsnittets inertimoment om en vandret akse gennem tværsnittets tyngdepunkt defineret som: 𝐼𝑥 = ∬ 𝑦 2 𝑑𝐴
hvor vi integrerer over hele tværsnittet (og også med fordel benytter os af dobbeltintegraler).
I dynamikken er størrelsen af inertimomentet et udtryk for den træghed, som får et legeme, der roterer jævnt om en fast akse,
til at yde modstand mod en ydre påvirkning, som søger at ændre dets bevægelsestilstand. I bjælketeorien benyttes nærværende
inertimoment (”det 2. arealmoment”) som et udtryk for bjælkens stivhed (træghed) i forhold til en bøjningspåvirkning.
Et simpelt tankeeksperiment, der beskriver inertimomentets indflydelse på nedbøjningen af en bjælke, kunne være en planke,
som skal bruges som bro for at komme over en mindre bæk. To identiske planker er lagt over bækken, men på to forskellige
måder. Den første planke er placeret med sin brede side vandret, og den anden planke er placeret modsat således den brede
side er lodret. Det er lettest, at gå over den første planke, og noget sværere at ballancere på planken, som er anbragt på højkant.
Den første planke vil dog få en betragtelig større nedbøjning for den samme last end planken på højkant.
En bjælkes nedbøjning kan teoretisk beskrives som løsningen til en anden ordens differentialligning, hvor tværsnittes inertimomentet samt bjælkematerialets elasticitetsmodul indgår som konstanter. Desuden er begrebet krumning og krumningsradius
anvendt ved opstilling af differentialligningen. I undervisningen arbejdes med baggrunden for den teoretiske løsning. Ved den
efterfølgende behandling af nærværende forsøg anvender vi en løsning, som kan findes ved opslag. Den teoretisk beregnede
nedbøjning sammenlignes med den målte. Ved udregningen af den teoretiske nedbøjning forudsættes størrelsen af træets
elasticitetsmodul, idet der foretages en vurdering af om der skal anvendes en middelværdi eller karakteristisk værdi, hvor den
sidste er defineret ud fra en 5% fraktil. Herved er der således også mulighed for at inddrage begreber fra statistik.
Jeg håber, at du ved deltagelse i vores workshop, kan få et indblik i matematikkens og fysikkens anvendelse.
Klaus Bødker [email protected]
2015-06-15
side 1 a f 3
Notat om virkelighedsnære eksperimenter i matematik og fysik
Oplæg til STX og HTX lærere den 23. september
Emne: Trækforsøg med stålstang og bøjningsforsøg med træbjælke
BILAG 1. Trækforsøg med stålstang
𝐹 (kN)
∆𝐿 (mm)
Klaus Bødker [email protected]
2015-06-15
side 2 a f 3
Notat om virkelighedsnære eksperimenter i matematik og fysik
Oplæg til STX og HTX lærere den 23. september
Emne: Trækforsøg med stålstang og bøjningsforsøg med træbjælke
BILAG 2. Bøjningsforsøg med træbjælke
https://www.youtube.com/watch?v=ysRpUD3VWP0
Teoretisk beregnet værdi 𝑄(𝑢)
målte værdier
Klaus Bødker [email protected]
2015-06-15
side 3 a f 3