Vektorrum og Lineære afbildninger

HJEMMEOPGAVESÆT 3
1
Hjemmeopgavesæt 3
Vektorrum og Lineære afbildninger
I vurderingen af dette sæt vil der blive lagt særlig vægt på at du
• kan afgøre om en given mængde er et underrum af et vektorrum
• kan afgøre om en given mængde af vektorer er en basis for et givet rum
• kan operere med koordinater, vektorer og afbildningsmatricer
• kan skifte koordinater
• kan afgøre om en given afbildning er lineær
• kan bestemme kernen og billedrummet for en lineær afbildning
• kan anvende dimensionssætningen og struktursætningen
• skriver sammenhængende og præcist og kan udføre simple matematiske ræsonnementer
Deadline for upload: 15. november kl. 24:00. Husk af din besvarelse skal være en pdf.
Opgave 1
Talrummet R3
Lad e = (e1 , e2 , e3 ) betegne standardbasis for R3 . En lineær afbildning f : R3 → R3
er fastlagt ved
f (e1 ) = (0, 2, −4), f (e2 ) = (−4, 9, −16) og f (e3 ) = (−2, 4, −7) .
(1)
a) Opskriv afbildningsmatricen for f med hensyn til basis e .
b) Bestem en basis for kernen for f , og angiv dimensionen af billedrummet f (R3 ) .
c) Givet vektorerne a1 = (2, −1, 1) , a2 = (−2, 2, −3) og a3 = (−1, 1, −2) . Gør rede
for at sættet a = (a1 , a2 , a3 ) er en basis for R3 .
Opgavesættet fortsætter 7−→
HJEMMEOPGAVESÆT 3
2
d) Angiv afbildningsmatricen for f med hensyn til basis a.
e) Vis at vektoren u = a1 + a2 + a3 er en basis for kernen for f .
f) Givet vektoren v = a1 + a2 + 2a3 . Opskriv f (v) som en linearkombination af
basisvektorerne i basis e .
Opgave 2
I mængden R2×2 betragtes delmængden
a b U=
a, b ∈ R .
−b 2a
a) Vis at U er et underrum af R2×2 .
b) Bestem en basis for U og angiv dimensionen af U.
1 −1 1
0
En lineær afbildning f :
→
har afbildningsmatricen F =
med
0
1 1 −1
hensyn til standardbasis i R2×2 og standardbasis i R2 .
1
c) Angiv to forskellige 2 × 2-matricer som er løsninger til ligningen f (x) =
.
1
R2 × 2
R2
d) Find en lineær afbildning g : R2×2 → R2 som har U som kerne.
Opgave 3
Komplekse funktionsrum
Mængden af komplekse funktioner z : R → C som kan differentieres et vilkårligt antal
gange, udgør et vektorrum som betegnes (C ∞ (R), C) . Et underrum
W ⊂ (C ∞ (R), C) er udspændt af det lineært uafhængige vektorsæt a = (et , eit , e−it ) .
a) Vis at 5 et + cos(t) ∈ W .
Betragt afbildningen f : W → W givet ved f (z(t)) = z00 (t) − z(t) .
b) Vis at f er lineær.
c) Angiv dimensionen af billedrummet f (W ) , og bestem kernen for f . Findes der
vektorer i W som hverken tilhører kernen eller billedrummet for f ?
d) Betragt ligningen f (z(t)) = sin(t) . Vis at zo (t) = − 12 sin(t) er en løsning til
ligningen, og find samtlige løsninger til ligningen.
Opgavesættet er slut