Föreläsning 12

Endimensionell analys (FMAA005)
Anders Källén
Föreläsning 11
Innehåll: Gränsvärden och kontinuitet
Gränsvärde i en punkt
Kapitel 9.2–9.3
Att
1. Vad växer snabbast: exp, potenser eller logaritmer?
2. Gränsvärdesdefinitionen och de grundläggande satserna
3. Kontinuerliga funktioner
- Kunna standardgränsvärdena
lim
x→a
då
(alternativt: lim f ( x ) = A)
x→a
betyder att om vi bara specificerar hur nära A vi vill vara, så ska vi
vara där om x bara är tillräckligt nära a. Om A = ∞ betyder nära
att f ( x ) > X för något stort tal X, om A är ett tal betyder det att
| f ( x ) − A| < e för något litet e. Notera ordningen: vi specificerar hur
nära vi ska vara A med f ( x ) och vi ska visa att det går om bara x är
tillräckligt nära a.
Efter dagens föreläsning måste du
x →∞
f (x) → A
ax
xα
= lim a
= ∞.
α
x
→
∞
x
log x
- kunna härleda standardgränsvärdet lim x α ln x = 0 där α > 0.
x →0+
Definition Att limx→ a f ( x ) = A betyder att det till varje e > 0 finns
ett δ = δ(e) sådant att
- kunna de grundläggande satserna om kontinuerliga funktioner
0 < | x − a| < δ,
Vad växer snabbast: exp, potenser eller logaritmer?
Exempel Beräkna
x → ∞?
x100 /1.01x
x ∈ Df
⇒
| f ( x ) − A| < e.
Exempel Beräkna
lim
x →2
för olika stora x. Vad tror du händer när
x−2
.
x2 + x − 6
Exempel Vi har redan sett (F 5) att
1. Från F9 vet vi att
lim
x →0
ex
→∞
x
då x → ∞?
x/e x
2. ur 1 följer att limx→∞
= 0. Skriv nu y =
y → ∞ då x → ∞ och vi har
0 = lim
sin x
= 1.
x
x
= lim
x →∞ e x
y→∞
ex .
Då gäller att
Exempel Tänk igenom följande:
ln y
.
y
3. För att undersöka vad som händer med
α > 0, logaritmerar vi:
a x /x α
Anmärkning Det finns också ensidiga gränsvärden, då man bara låter
x närma sig från ena hållet. De betecknas som x → a+ om det är från
höger och x → a− om det är från vänster.
lim
x →0+
då a > 1 och
α ln x
ax
) → ∞ då x → ∞
ln α = x ln a − α ln x = ( x ln a)(1 −
x
ln a x
1
= ∞,
x
lim
x →0−
1
= −∞.
x
Vad gäller räkneregler så är de samma som i fallet x → ∞ med de
uppenbara modifikationerna i formulering (se boken).
Exempel Visa att
eftersom ln a > 0 (tecknet på α spelar ingen roll för resultatet).
Vi ser alltså att (om a > 1)
ax
→∞
xα
√
√
x + 8 − 8x + 1
7
√
lim √
=
.
12
x →1
5 − x − 7x − 3
x → ∞.
då
Exempel Följande är ett standardgränsvärde:
4. ur 3 följer som ovan att
x
→∞
( alog x )α
lim x α ln x = lim t−α ln(1/t) = − lim
x→∞
då
x →0+
t→∞
t→∞
ln t
= 0.
tα
Kontinuitet
och ur det (hur?) att
xα
→∞
a log x
då
x→∞
Löst uttryckt gäller att en funktion är kontinuerlig i en punkt om dess
graf “hänger ihop” i den punkten.
Definition En funktion f är kontinuerlig i en punkt a om det gäller
att
om α > 0.
f ( x ) → f ( a)
då x → a.
Sammanfattning: a x >> x α >> a log x för stora x om a > 1, α > 0.
Exempel Beräkna gränsvärdet
lim
x →∞
2x + x4 + ln x
.
3x + x3 ln x
Notera att vi har två villkor: (1) f har ett gränsvärde då x → a och (2)
detta gränsvärde är värdet av funktionen i punkten!
Alla våra elementära funktioner är kontinuerliga så länge de är definierade, och därmed alla sammansättningar av dem.
Viktiga satser om kontinuerliga funktioner
Ett intervall a ≤ x ≤ b där a, b är reella tal (ej oändligheter) kallas
ett kompakt intervall. (Kompakt = slutet + begränsat.) Följande sats är
sann, men dess bevis kräver djupare insikt om de reella talen än vad
vi har här.
Sats Om f är kontinuerlig på ett kompakt intervall I = [ a, b], så gäller att
(A) f antar varje värde mellan f ( a) och f (b)
(B) f antar ett största och ett minsta värde på I.
(A)-delen kallas satsen om mellanliggande värden.
Exempel Ekvationen 3x3 − x + 1 = 0 har (minst) en lösning i [−1, 1],
ty polynomet är en kontinuerlig funktion sådan att dess värde i −1 är
−1 och dess värde i 1 är 3. Eftersom −1 < 0 < 3 antas värdet 0 enligt
satsen om mellanliggande värden.
Exempel För funktionen f ( x ) = 1/x gäller att f (−1) = −1 och
f (1) = 1. Trots det finns inget a sådant att f ( a) = 0. Borde det inte det?
En titt in i flerdim
Vi har sett att ett gränsvärde finns precis då de två ensidiga gränsvärdena finns i punkten och är lika. Ett sätt att visa att ett gränsvärde inte
finns blir därför att se om höger- och vänstergränsvärdena skiljer sig
åt.
För funktioner av två variabler fungerar våra definitioner av gränsvärden och kontinuitet utan andra ändringar än att vi måste tänka
på absolutbelopp som avstånd (vilket vi ändå ska göra). Även satserna om kontinuerliga funktioner blir i allt väsentligt samma. Det vi
måste göra är bara att tydliggöra vad vi ska mena med en kompakt
delmängd av t.ex. planet. Satserna blir lika viktiga i flerdim!
Gränsvärdesberäkningar blir lite krångligare. För funktioner av två
variabler så finns ett gränsvärde lim( x,y)→(0,0) f ( x, y) = A om alla
vägar mot (0, 0) leder till att f antar samma värde. I endim finns två
vägar in mot en punkt, men i flerdim hur många som helst!
Att fundera på till nästa gång
1. Den funktion som definieras av
∞
f (x) =
∑
k =1
x2
,
(1 + x 2 ) k
är den kontinuerlig? Om inte, kan vi göra den kontinuerlig (med
små medel)?
2. Betrakta funktionen
f (x) =
x2 − sin(πx ) − 2
,
x
x > 0.
(a) Visa att den har minst ett nollställe
(b) Har den något största eller minsta värde då (i) x > 0, (ii)
1 ≤ x ≤ 2, (iii) 1 ≤ x < 2?