Reglerteori, TSRT09 - Föreläsning 11: Exakt linjärisering och
Transcription
Reglerteori, TSRT09 - Föreläsning 11: Exakt linjärisering och
Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 11: Exakt linjärisering och prestandagränser Torkel Glad Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Sammanfattning av föreläsning 10. Fasplan 2(33) Fasplan: figur som visar tillståndens banor i tillståndsrummet (främst i 2D). t=10s 10 8 6 4 2 x2 ”Starta systemet från ett gäng initialtillstånd och rita hur tillstånden varierar i x1 -x2 -planet”. 0 −2 −4 −6 −8 −10 −10 −5 0 x1 5 10 Givet ett linjärt system ẋ = Ax och matrisen A:s egenvektorer och egenvärden så kan systemets fasplan skissas, utan att faktiskt starta systemet från ett antal initialtillstånd. Kan ofta användas för att beskriva ett olinjärt systems beteende ”tillräckligt nära” en jämviktspunkt. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Olika typer av jämviktspunkter 3(33) Tvåtangentnod Entangentnod och stjärnnod (två reella e.v. lika tecken) (sammanfallande e.v.) Sadelpunkt Fokus och centrum (två reella e.v. olika tecken) (komplexa egenvärden) Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Samband linjärt – olinjärt: nära jämviktspunkt Om det linjära systemet ẋ = Ax har en jämviktspunkt av typen en/tvåtangentnod, fokus eller sadelpunkt för x = 0 så har det olinjära systemet ẋ = Ax + g(x), |g(x)|/|x| → 0, x → 0 samma kvalitativa uppförande nära origo (så snart lösningen befinner sig ”tillräckligt nära”). Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET 4(33) Föreläsning 11 5(33) Syntes för olinjära system. Exakt linjärisering. Begränsningar och konflikter. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Syntes för olinjära system 6(33) Linjär design, olinjär verifikation. Olinjär IMC. Prediktionsreglering. Optimal styrning. Exakt linjärisering. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Linjär design, olinjär verifikation 7(33) Bestäm en jämviktspunkt. Gör linjärisering kring jämviktspunkten. Använd linjära metoder (t.ex. LQG) för att ta fram en linjär regulator för det linjäriserade systemet. Simulera det olinjära systemet med den linjära regulatorn. Verifiera att det fungerar tillfredsställande. Använd eventuellt analysmetoder (t.ex. beskrivande funktion) för att kontrollera att olinjäriteterna inte ger problem. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Prediktionsreglering: MPC 8(33) För många tillämpningar vore det naturligt att lösa ett modifierat linjärkvadratiskt problem Z ∞ min 0 (xT Q1 x + uT Q2 u) dt ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) |ui (t)| ≤ ai , |xj (t)| ≤ bj I MPC införs två förenklingar av problemet: Gör optimeringen över ett ändligt rullande intervall. Gör problemet tidsdiskret genom att använda en styckvis konstant styrsignal (även tidskont. MPC förekommer dock). Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Prediktionsreglering: MPC 8(33) För många tillämpningar vore det naturligt att lösa ett modifierat linjärkvadratiskt problem min Z T 0 (xT Q1 x + uT Q2 u) dt ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) |ui (t)| ≤ ai , |xj (t)| ≤ bj I MPC införs två förenklingar av problemet: Gör optimeringen över ett ändligt rullande intervall. Gör problemet tidsdiskret genom att använda en styckvis konstant styrsignal (även tidskont. MPC förekommer dock). Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Prediktionsreglering: MPC 8(33) För många tillämpningar vore det naturligt att lösa ett modifierat linjärkvadratiskt problem T min ∑(xT Q1 x + uT Q2 u) dt 0 x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) |ui (t)| ≤ ai , |xj (t)| ≤ bj I MPC införs två förenklingar av problemet: Gör optimeringen över ett ändligt rullande intervall. Gör problemet tidsdiskret genom att använda en styckvis konstant styrsignal (även tidskont. MPC förekommer dock). Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Prediktionsreglering: MPC 8(33) För många tillämpningar vore det naturligt att lösa ett modifierat linjärkvadratiskt problem T min ∑(xT Q1 x + uT Q2 u) dt 0 x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) |ui (t)| ≤ ai , |xj (t)| ≤ bj Insignal- och tillståndsbivillkor möjliga. Principen fungerar även för olinjära system. Det är förhållandevis svårt att beräkna en explicit återkoppling, redan i det linjära fallet. Se även kurserna ”Industriell reglerteknik” och ”Optimal styrning”. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Optimal styrning Minimera 9(33) Z ∞ L(x, u)dt 0 för systemet ẋ = f (x, u) Mycket kraftfull metod för att beräkna regulatorer. I vissa (special-) fall analytisk lösning, i andra fall numerisk. Extremt beräkningstungt. MPC kan ses som ett approximativt sätt att lösa optimalstyrningsproblem på. Goddards raketproblem Se kursen ”Optimal styrning”. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Exakt linjärisering: Mekanik x1 läge, x2 hastighet: ẋ1 = x2 10(33) x2 m=1 u x1 ẋ2 = −k(x1 ) − b(x2 ) + u där k(x1 ) är en olinjär lägesberoende kraft (”fjäder”, gravitation, mm). b(x2 ) är en olinjär hastighetsberoende kraft (”dämpning”, friktion). u insignal. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Exakt linjärisering: Mekanik 10(33) x2 x1 läge, x2 hastighet: m=1 u x1 ẋ1 = x2 ẋ2 = −k(x1 ) − b(x2 ) + u Testa med u = ū + k(x1 ) + b(x2 ) Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Exakt linjärisering: Mekanik 10(33) x2 u = ū + k(x1 ) + b(x2 ) m=1 u x1 ger ett linjärt system ẋ1 = x2 ẋ2 = ū med en ny ”virtuell” insignal ū. Systemet är ”exakt linjäriserat”! Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Exakt linjärisering: Farthållning i flygplan 11(33) x1 hastighet, x2 motordragkraft: ẋ1 = −D(x1 ) + x2 ẋ2 = −x2 + u där D(x1 ) är kraften från luftmotståndet. u är motorpådraget. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Exakt linjärisering: Farthållning i flygplan 11(33) x1 hastighet, x2 motordragkraft: ẋ1 = −D(x1 ) + x2 ẋ2 = −x2 + u Hur ska man här välja u för att ”exakt linjärisera” systemet? Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Exakt linjärisering: Farthållning i flygplan 11(33) x1 hastighet, x2 motordragkraft: ẋ1 = −D(x1 ) + x2 ẋ2 = −x2 + u Hur ska man här välja u för att ”exakt linjärisera” systemet? Inte lika rättframt... En mer generell teori behövs! Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Två ”nivåer” av exakt linjärisering 12(33) Exakt insignal-utsignal-linjärisering: Återkoppla så att sambandet mellan referens/insignal och y blir exakt linjärt. Exakt tillståndslinjärisering: Återkoppla så att hela tillståndsbeskrivningen blir exakt linjär (eventuellt i transformerade variabler). Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Styrsignalaffin form 13(33) Ett olinjärt system på formen ẋ = f (x) + ug(x) y = h(x) där f , g och h antas vara (potentiellt olinjära) oändligt många gånger deriverbara funktioner. u och y antas (här) vara skalärer. Vi kräver alltså en viss förenklande struktur på hur u kommer in i systemet. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Hur beror y på u? 14(33) ẋ = f (x) + ug(x) y = h(x) För att kunna linjärisera relationen mellan u och y vill vi få ett explicit uttryck för den. y = h(x) innehåller det inte. Derivera! ẏ = hx f + uhx g Hittat relationen om hx g 6≡ 0. ÿ = (hx f )x f + u(hx f )x g y(3) Hittat relationen om (hx f )x g 6≡ 0. = ((hx f )x f )x f + u((hx f )x f )x g Hittat relationen om ((hx f )x f )x g 6≡ 0. y(4) = . . . Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Relativt gradtal 15(33) ẋ = f (x) + ug(x) y = h(x) Derivera utsignalen y m.a.p. tiden. Då är relativt gradtal antalet gånger utsignalen måste deriveras innan ett direkt beroende av insignalen uppkommer. minsta ν för vilket y(ν) = rν (x) + usν (x) med sν (x) 6≡ 0. Starkt relativt gradtal, om dessutom sν (x) 6= 0, ∀x. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Lie-derivator och relativt gradtal 16(33) En kompaktare notation kan fås genom att införa L f = f1 ∂ ∂ + . . . + fn ∂x1 ∂xn där Lf kallas för Lie-derivatan i riktningen f . Definition: Det relativa gradtalet är det minsta heltalet ν sådant att Lg Lfν−1 h 6≡ 0. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Exakt insignal-utsignal-linjärisering 17(33) Betrakta ett system med starkt relativt gradtal ν. Då gäller y(ν) = Lfν h + uLg Lfν−1 h, där Lg Lfν−1 h 6= 0 Sambandet mellan en ny ”virtuell” insignal ū och utsignalen y kan göras linjärt genom att välja u= 1 (ū − Lfν h) Lg Lfν−1 h Det linjära sambandet blir y(ν) = ū Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Exakt tillståndslinjärisering 18(33) Linjärisera inte bara insignal-utsignal-relationen, utan hela tillståndsbeskrivningen. Sats: Om systemet ẋ = f (x) + ug(x) y = h(x) har starkt relativt gradtal = n =dim(x) så finns en (olinjär) tillståndsåterkoppling som gör systemet exakt linjärt i tillstånden z1 = y, z2 = ẏ, . . . zn = y(n−1) Bevis... Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Det finns ett ”men”... 19(33) ...och det uppstår om det relativa gradtalet ν < n. ż1 = z2 ż2 = z3 .. . żν = ū żν+1 = ψ1 (z, (ū − ξ )/η ) .. . żn = ψn−ν (z, (ū − ξ )/η ) y = z1 Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Det finns ett ”men”... 19(33) ...och det uppstår om det relativa gradtalet ν < n. ż1 = z2 ż2 = z3 .. . żν = ū żν+1 = ψ1 (z, (ū − ξ )/η ) .. . żn = ψn−ν (z, (ū − ξ )/η ) y = z1 ”Nolldynamik”... Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Nolldynamik 20(33) ż1 = z2 ż2 = z3 . . . żν = ū żν+1 = ψ1 (z, (ū − ξ )/η ) . . . żn = ψn−ν (z, (ū − ξ )/η ) y = z1 Olinjär dynamik som inte syns i utsignalen. Potentiellt problem: instabilitet Ibland kan man bli av med nolldynamiken genom att välja en annan utsignal. Linjärt: nolldynamikens egenvärden är överföringsfunktionens nollställen. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Undvik nolldynamik 21(33) Om y = h(x) kan väljas kan man undvika nolldynamik genom att se till att relativa gradtalet = antalet tillståndsvariabler. Kriterium: 2 tillstånd: Lg h = 0 3 tillstånd: Lg h = 0, Lg Lf h = 0 osv. Partiella differentialekvationer ⇒ Svårt. (Men ibland görbart) Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Exakt linjärisering: Farthållning i flygplan 22(33) x1 hastighet, x2 motordragkraft: ẋ1 = −D(x1 ) + x2 ẋ2 = −x2 + u Hur ska man här välja u för att ”exakt linjärisera” systemet? Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Slutligen 23(33) Bara möjlig för vissa klasser av system. Ofta komplicerade beräkningar. Styrsignalbegränsning en svårighet. Robusthet svår att analysera (olinjär teori...). Trots det åtskilliga framgångsrika tillämpningar. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Slut på Olinjära delen Åter till Begränsningar och konflikter för linjära system (Kap 7) Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET DEL II: LINJÄR REGLERTEORI 25(33) Föreläsning 4: Det slutna systemet Föreläsning 5: Regulatorstrukturer Föreläsning 6: LQ-reglering Föreläsning 7: Att forma kretsförstärkningen Föreläsning 11-12: Specifikationer och begränsningar Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Begränsningar och konflikter 26(33) Kompromiss mellan S och T, Bodes relation. Hur liten kan S bli? Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Kompromiss mellan S och T 27(33) S+T = 1 S och T är entydigt bestämda av kretsförstärkningen GFy . För ett litet tal ε gäller approximativt 1 ε |T | < ε ⇔ |GFy | < ε |S| < ε ⇔ |GFy | > d.v.s. |S| och |T | kan inte vara ”små” samtidigt. Typiskt önskemål: S liten vid låga frekvenser och T liten vid höga frekvenser. Hur snabbt kan man gå från ”litet S” till ”litet T”? Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Hur snabbt kan |GFy | ändras? 28(33) |GFy | 1 ǫ 1 ǫ ω0 ωc ω1 ω Hur litet kan ω1 − ω0 bli? Ett samband mellan amplitud och fas hos överföringsfunktioner (t.ex. GFy ) förhindrar oss att göra en godtyckligt brant övergång... Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Bodes relation 29(33) Sats: Låt f (x) = log |G(iex )|. Under antagandena i Sats 7.1 (sid 200) gäller att arg G(iω ) ≤ 1 π Z ∞ d −∞ dx f (x) · ψ(x − log ω )dx där viktsfunktionen ψ ges av ψ(x) = log ex + 1 | ex − 1 | Olikheten håller med likhet om G(s) saknar nollställen i HHP. Notera att satsen ger en övre gräns på fasen, som beror på amplitudkurvans derivata. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Bodes relation mellan tummen och pekfingret 30(33) Approximativt kan Bodes relation skrivas som < arg G(iω )F(iω ) ≈ d π · log |G(iω )F(iω )| 2 d log ω {z } | ”Lutningen” i bodediagrammet. för överföringsfunktionen G(iω )F(iω ) (kretsförstärkningen). Konsekvens: Snabbt avtagande |G(iω )F(iω )| ger dålig fas. Fasen kring ωc måste enl. nyquistkriteriet vara bättre än −180◦ , d.v.s. amplitudkurvan får inte falla snabbare än ”lutning −2” kring ωc om systemet ska vara stabilt. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Begränsningar på S, Bodes integral 31(33) Antag att kretsförstärkningen GFy har M poler i höger halvplan: pi ; i = 1, . . . , M och att |GFy | avtar åtminstone som |s|−2 då |s| → ∞. Då gäller skalärt Z ∞ 0 M log |S(iω )|dω = π ∑ Re(pi ) i=1 Flervariabelt: Z ∞ 0 M log | det S(iω )| dω = π ∑ Re(pi ) i=1 där | det S| = σ1 · · · σm . Konsekvens för största singulära värdet: Z ∞ 0 Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 log σ̄(S(iω ))dω ≥ π M Re(pi ) m i∑ =1 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Invariansegenskap hos S 32(33) Bodes integralsats 1 S 10 0 10 −1 10 0 1 2 3 4 5 w 6 7 8 9 10 Känslighet |S(iω )| < 1 vid vissa frekvenser måste betalas igen med |S(iω )| > 1 vid andra. Är GFy instabil blir situationen värre. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Konsekvenser av Bodes integral 33(33) Stabila system: Känsligheten kan inte vara < 1 vid alla frekvenser. Poler till GFy i höger halvplan försämrar känsligheten. Återbetalning av log |S(iω )| måste ske inom tillgänglig bandbredd! Obs! Vi förutsätter att GFy avtar minst som |s|−2 för stora s. Ren LQ-återkoppling åstadkommer |S| < 1 vid alla frekvenser men där avtar GFy bara som |s|−1 . (Man antar ideal mätning) Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 11 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET