Bilder från föreläsning 10-11

SF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata
Lars Filipsson
Institutionen för matematik
KTH
23-27 november 2015
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Några förmaningar
Vi har nu kommit ungefär halvvägs i kursen. Påminnelse:
1. Ansvar. Det är ens eget ansvar att lära sig kursen.
2. Kursmål. Här står precis vad man ska kunna göra.
3. Tidsåtgång. Ett par timmar varje dag utöver undervisning.
4. Seminarier. Den som klarar seminarierna klarar nästan alltid
tentan. Den som inte klarar semin klarar nästan aldrig tentan.
5. Sikta på C+. Den som siktar på betyg E får alltid F.
6. Räkna och Förklara. Att bli bra på att räkna är nödvändigt
men inte tillräckligt. Se till att ni kan förklara!
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Översikt över några viktiga derivatatillämningar
1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
(men inte bara) hastighet.
2. Linjär approximation. Två exempel på nya användningar:
Newton-Raphson (ekvationslösning), L’Hopital (gränsvärden).
3. Max/min-problem. Derivata kan användas för hitta
funktioners största och minsta värden.
4. Kurvritning. Derivatan ger underlag för att rita grafen
y = f (x) och svara på en mängd frågor om f . Dessutom: vad
säger andraderivatan? och asymptoter.
5. Taylors formel. Som linjär approximation fast med polynom
av högre grad.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Förändringstakt
1. Harmonisk svängning. En massa är upphängd i en fjäder
enligt figur på tavlan. Avvikelsen från jämviktsläget (i meter) ges
vid tiden t sekunder av
π
.
y = 2 sin 3t −
3
Bestäm den maximala farten hos massan.
2. Vattenytan stiger. Ett tråg enligt figur på tavlan fylls med
vatten i en takt av 1 kubikmeter per minut. Hur snabbt stiger
vattenytan i det ögonblick då djupet är 1/2 meter?
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Tillämpningar av linjär approximation
Linjär approximation f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a) kan användas
för att lösa ekvationer. Om man vill lösa ekvationen f (x) = 0, så
kan man börja med att gissa ett startvärde x0 , göra linjär
approximation kring x0 och ta reda på när den linjära
approximationen blir 0. Med andra ord:
Man ersätter ekvationen f (x) = 0 med ekvationen
f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) = 0 och löser ut x. Man får
x = x0 −
f (x0 )
.
f 0 (x0 )
Sedan kan man upprepa proceduren få en följd av successiva
(och förhoppningsvis bättre och bättre) approximationer av
lösningen. Detta är Newton-Raphsons metod (se kapitel 4.2):
xn+1 = xn −
Lars Filipsson
f (xn )
.
f 0 (xn )
SF1625 Envariabelanalys
Tillämpningar av linjär approximation
Linjär approximation f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a) kan användas
för att räkna ut gränsvärden. Säg att f och g är två gånger
deriverbara och f (a) = g(a) = 0. Då får vi (efter felanalys):
f (a) + f 0 (a)(x − a)
f 0 (a)(x − a)
f 0 (a)
f (x)
= lim
=
lim
=
.
x→a g(a) + g 0 (a)(x − a)
x→a g 0 (a)(x − a)
x→a g(x)
g 0 (a)
lim
Det här är en tillämpning av Taylors formel (egentligen behövs
felanalys!). I bokens kapitel 4.3 står att läsa om l’Hopitals regel:
f (x)
f 0 (x)
0
lim
=
= lim 0
x→a g(x)
x→a g (x)
0
som gäller under vissa förutsättningar på f och g.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Arbete
1. Visa att ekvationen ex + 2x + 1 = 0 har exakt en lösning.
Approximera lösningen genom att utgå från startvärdet x0 = 0
och göra en iteration av Newton-Raphsons metod.
ln(1 + x)
ex − 1
och lim
.
x
x
x→0
x→0
2. Beräkna gränsvärdena lim
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Teori om max och min
Definition. Om f (a) ≥ f (x) för alla x i definitionsmängden så
sägs f (a) vara f :s största värde, eller globalt maximum.
Definition. Om det finns en omgivning I till a sådan att
f (a) ≥ f (x) för alla x ∈ I som tillhör definitionsmängden till f , så
sägs f (a) vara ett lokalt maximum till f . Och a sägs då vara en
lokal maxpunkt.
Motsvarande definitioner med ≤ ger betydelserna av globalt
och lokalt minimum.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Lokala extrempunkter
Definition. En global extrempunkt är en punkt som antingen
är en global maxpunkt eller en global minpunkt.
Definition. En lokal extrempunkt är en punkt som antingen
är en lokal maxpunkt eller en lokal minpunkt.
Motsvarande definitioner görs för extremvärden.
(Obs: terasspunkter är inte extrempunkter.)
Definition. Om f 0 (a) = 0 så sägs a vara en kritisk eller
stationär punkt till f .
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Gör så här!
Hitta max och min: De enda punkter där f kan anta
lokala/globala max/min är kritiska punkter, ändpunkter och
punkter där derivata saknas.
Obs. Det finns ingen garanti för att f har max/min! Det krävs
alltid ett argument för detta!
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Arbete
Uppgift 1. Avgör om g(x) = xe−2x , −1 < x < 1, antar något
största respektive minsta värde. Vad är de i så fall?
Uppgift 2. Avgör om h(x) = x − arccos x antar något största
respektive minsta värde. Vad är de i så fall?
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
En gammal tentauppgift
Dagens tentaproblem.
Låt f (x) = e−x sin x.
A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f .
B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som är lokala
maxpunkter.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Kurvritning
Låt f vara given av f (x) =
ln x
. Skissa grafen y = f (x).
x
(Skissa grafen betyder: bestäm definitionsmängden för f , finn
f 0 (x) och ange var f är deriverbar. Hitta derivatans nollställen
och gör ett teckenschema för derivatan. Bestäm med hjälp av
detta var f är strängt växande resp strängt avtagande och hitta
alla lokala och globala extrempunkter. Beräkna ev intressanta
gränsvärden, i det här fallet gränsvärdena när x går mot ±∞.
Kontrollera var grafen skär koordinataxlarna. Rita kurvan.)
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Svarar på massor av frågor
ln x
. Med hjälp av det arbete
x
vi gjorde då kan vi nu svara på massor av frågor om f :
Nyss skissade vi grafen till f (x) =
Vad är f :s största resp minsta värde?
Vad är värdemängden till f ?
Är det sant att f (x) ≤ 1 för alla x?
Hur många lösningar har ekvationen f (x) = 1/10?
Hur många lösningar har ekvationen f (x) = −1/10?
För denna typ av frågor krävs oftast en komplett
derivataundersökning av funktionen.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Andraderivatans betydelse
Konvexitet. Om man tar två punkter på funktionsgrafen och
drar en linje genom dem – ligger då grafen mellan punkterna
alltid över eller under linjen, oavsett vilka punkter man väljer?
Under: konvex. Över: konkav.
Andraderivatan.
Om f 00 (x) > 0 för alla x i ett intervall I så är f konvex i I.
Om f 00 (x) < 0 för alla x i ett intervall I så är f konkav i I.
Uppgift: Undersök om f (x) = ex , g(x) = ln x och h(x) = x 2 är
konvexa eller konkava.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Arbete
Uppgift: Hur lång tid tar det att hoppa från 10 meter på
Eriksdalsbadet?
(Tips: vad är accelerationen? Gör antaganden om verkligheten,
ställ upp en matematisk modell och räkna ut svaret på frågan.)
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Asymptoter
En asymptot är en linje som funktionsgrafen kommer hur nära
som helst. Det finns tre fall:
1. Lodrät. Om limx→a± f (x) = ±∞ så är linjen x = a en lodrät
asymptot.
2. Vågrät. Om limx→±∞ f (x) = L så är linjen y = L en vågrät
asymptot.
3. Sned. Om limx→±∞ (f (x) − ax − b) = 0 så är linjen
y = ax + b en sned asymptot.
Uppgift: Finn alla asymptoter till y = x +
Lars Filipsson
x
x2 − 1
SF1625 Envariabelanalys
Dagens tentaproblem
1. Betrakta funktionen f som ges av f (x) = xe1/x .
A. Bestäm definitionsmängden till f .
B. Beräkna de fyra gränsvärdena
limx→±∞ f (x) och limx→0± f (x)
C. Bestäm alla lokala extrempunkter till f .
D. Skissa med hjälp av ovanstående kurvan y = f (x)
2. Visa olikheten ln (cos x) + x tan x ≥ x 2 /2, då
−π/2 < x < π/2 , till exempel genom att studera funktionen f
given av f (x) = ln (cos x) + x tan x − x 2 /2.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Feltermen i linjär approximation
Linjär approximation. Om f är deriverbar i a så gäller att
f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a),
för x nära a.
Nu ska vi undersöka vad ”nära” egentligen betyder!
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Feltermen i linjär approximation
Sats. Om f är 2 gånger deriverbar i ett intervall som innehåller
a och x så gäller för något c mellan a och x att
f 00 (c)
(x − a)2 .
2!
Alltså: Felet i den linjära approximationen, dvs skillnaden
mellan f (x) och f (a) + f 0 (a)(x − a), är precis
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (c)
(x − a)2 .
2!
för något tal c mellan x och a.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Upp till Bevis!
Bevis av feltermen i linjär approximation. Vi söker felet i
approximationen f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a). Nu är alltså x
fixerat. Vi hittar på en ny funktion g som beror på t och ges av
g(t) = f (t)−f (a)−f 0 (a)(t −a)−
f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a)
(t −a)2 .
(x − a)2
Man kollar lätt att g(a) = 0 och g(x) = 0. Då finns enligt
medelvärdessatsen en punkt b mellan a och x sådan g 0 (b) = 0.
Nu kan vi upprepa samma resonemang för funktionen g 0 , dvs
g 0 (a) = 0 och g 0 (b) = 0, så det måste finnas en punkt c mellan
a och b sådan att g 00 (c) = 0. Men om vi deriverar g två gånger
ser vi att
f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a)
.
(x − a)2
Att detta är noll ger oss precis vad vi skulle bevisa.
g 00 (c) = f 00 (c) − 2
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Taylors formel
Taylors formel. Om f är n + 1 gånger deriverbar i ett intervall
som innehåller a och x så gäller att
f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f (n) (a)
f 00 (a)
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n .
2!
n!
Felet i approximationen ges av
f (n+1) (c)
(x − a)n+1
(n + 1)!
för något c mellan a och x. Det approximerande polynomet
kallas Taylorpolynomet av grad n till f kring punkten a. Om
a = 0 så talar man ofta om Maclaurinpolynom.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Exempel på Taylors formel
Taylors formel. Om f är n + 1 gånger deriverbar i ett intervall
som innehåller a och x så gäller att
f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f (n) (a)
f 00 (a)
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n .
2!
n!
Felet i approximationen ges av
f (n+1) (c)
(x − a)n+1
(n + 1)!
för något c mellan x och a
√
Uppgift: Bestäm TP av grad 2 till f (x) = x kring punkten
√
x = 100 och använd det för att hitta ett närmevärde till 104.
Analysera felet!
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Exempel på Taylors formel
Några standardutvecklingar. För x nära 0 gäller att
ex ≈ 1 +
x
x2 x3
+
+
+ ...
1!
2!
3!
ln(1 + x) ≈ x −
x2 x3 x4
+
−
+ ...
2
3
4
sin x ≈ x −
x3 x5 x7
+
−
+ ...
3!
5!
7!
cos x ≈ 1 −
x2 x4 x6
+
−
+ ...
2!
4!
6!
(1 + x)α ≈ 1 + αx +
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
x +
x + ...
2!
3!
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys