Document

Kap. 7 Logik och boolesk algebra
Satslogik
• Fem logiska konnektiv: ej, och, eller, om-så, omm
• Begrepp:
sats, sanningsvärde, sanningsvärdestabell
tautologi, kontradiktion
• Egenskaper:
Räkneregler för satslogik
(10 lagar, jämför räkneregler för mängder)
Omskrivningsregler för implikation och ekvivalens
Predikatlogik
•
Begrepp: kvantifikatorer och predikat
• Egenskaper:
Predikalogiska räkneregler
Bevisteknik
Boolesk algebra
• Begrepp:
boolesk algbra och boolesk funktion
disjunktiv och konjunktiv normalform, grindnät
• Egenskaper:
Räkneregler för operationerna i boolesk algebra
Rekommenderade uppgifter
7.24, 7.29, 7.38, 7.39, 7.40, 7.41, 7.42, 7.43, 7.44, 7.45, 7.53, 7.54, 7.58, 7.62,
7.71, 7.72, 7.73, 7.74, 7.75, 7.76, 7.77, 7.78, 7.79, 7.80, 7.81, 7.82, 7.83, 7.84,
7.85, 7.86, 7.87, 7.88, 7.89, 7.90.
Satslogik – simbolisk logik
Satser: uttalanden som är antingen sanna eller falska.
• En enkel eller atomär sats kan inte delas upp ytterligare.
• En sammansatt sats sammankopplas av fler enkla satser
med logiska konnektiven ¬, ∧, ∨, →, ↔
Fem logiska konnektiv
Antag att p och q är två satser. Man kan bildar nya satser
med hjälp av de logiska konnektiven.
• Negation
¬p
ej p
• Konjunktion
p∧q
p och q
• Disjunktion
p∨q
p eller q
• Implikation
p→q
om p så q
• Ekvivalens
p↔q
p omm q
Sanningsvärden:
• Varje enkel sats har ett sanningsvärde 1 (``True´´) eller 0
(``False´´).
• Sanningsvärdena av en sammansatta
rekursivt av en sanningsvärdestabell.
sats
bestäms
• En sats är en tautologi (resp. kontradiktion) om dessa
sanningsvärden alltid är 1 (resp. 0).
Sanningsvärdestabellen för konnektiven:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬p
1
1
0
0
p∧q
0
0
0
1
p∨q
0
1
1
1
p→q
1
1
0
1
Samband mellan olika satser:
• Logisk implikation:
p⇒q
dvs om p är sann så är q sann.
• Logisk ekvivalens:
p⇔q
dvs p är sann om och endast om q är sann.
p↔q
1
0
0
1
Räkneregler för satslogik (10 lagar):
I.
Associativa lagar
( p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r )
( p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r )
II.
Kommutativa lagar
p ∨ q ⇔ q ∨ p,
p∧q⇔q∧ p
III. Distributiva lagar
p ∨ (q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )
p ∧ (q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )
IV. Idempotenslagar
p ∨ p ⇔ p,
V.
DeMorgans lagar
¬( p ∨ q ) ⇔ ¬p ∧ ¬q
¬( p ∧ q ) ⇔ ¬p ∨ ¬q
p∧ p⇔ p
VI. Absorptionslagar
p ∨ ( p ∧ q) ⇔ p ,
p ∧ ( p ∨ q) ⇔ p
VII. Dubbel negation (involution)
¬(¬p ) ⇔ p
VIII.Inverslagar
p ∨ ¬p ⇔ 1 ,
p ∧ ¬p ⇔ 0
IX. Identitetslagar
p ∧1 ⇔ p,
X.
p∨0⇔ p
Dominationslagar
p ∧ 0 ⇔ 0,
p ∨1⇔ 1
Omgivningsregler för implikation och ekvivalens:
p→q
⇔
¬p ∨ q
p∨q
⇔
¬p → q
p↔q
⇔
( p → q ) ∧ (q → p )
p↔q
⇔
( p ∧ q ) ∨ (¬p ∧ ¬q )
Mer om implikation:
• Sats
p→q
• Kontrapositivet
¬ q → ¬p
• Konvers
q→ p
• Invers
¬ p → ¬q
• Sanningsvärdestabellen
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p→q
1
1
0
1
¬q → ¬p
1
1
0
1
q→ p
1
0
1
1
¬ p → ¬q
1
0
1
1
Predikatlogik
Kvantifikatorer och predikat:
• Universella kvantifikatoren
∀x
``för alla x´´
• Existentiella kvantifikatoren
∃x
``det finns x´´
• Enställigt predikat: en funktion från universum till de två
sanningsvärdena sant och falskt.
• Tvåställigt predikat: en funktion från mängden av ordnade
par i universum till sanningsvärdena.
• Prenexform: ett predikatlogiskt uttryck som börjar med
kvantifikator.
Predikalogiska räkneregler:
• Negation
¬∀x P( x) ⇔ ∃x ¬P ( x) ,
¬∃x P( x) ⇔ ∀x ¬P ( x)
• Omkastning av kvantifikatorer av samma sort
∀x∀y P ( x, y ) ⇔ ∀y∀x P ( x, y )
∃x∃y P ( x, y ) ⇔ ∃y∃x P ( x, y )
• Namnbyte
∀x P( x) ⇔ ∀y P ( y ) ,
∃x P( x) ⇔ ∃y P ( y )
• Utvidgning och inskränkning av kvantifikators räckvid
(∀xP( x) ) ∧ Q
⇔ ∀x(P ( x ) ∧ Q )
(∃xP( x) ) ∧ Q ⇔
(∀xP( x) ) ∨ Q
∃x ( P ( x ) ∧ Q )
⇔ ∀x(P ( x ) ∨ Q )
(∃xP( x) ) ∨ Q ⇔
∃x ( P ( x ) ∨ Q )
Bevisteknik:
• Direkt bevis eller indirekt bevis: att visa att en sats
genom ett direkt argument, eller genom motsägelse.
• Bevisstrategier, inklusive implikationer, för-alla-påståenden,
existens-påståenden, konjunktioner, disjunktioner, ekvivalenser.
• Tumregler vid översättning:
För-alla-påståenden är nästan alltid implikationer.
Existens-uttryck är i stort sett aldrig implikationer.
Boolesk algebra
Boolesk algbra:
En boolesk algebra är en icke-tom mängd med 1 och 0,
tillsammans med tre operationer, dvs addition, multiplikation
och negation som uppfyller räkneregler nedan.
Räkneregler för operationerna i boolesk algebra:
I. Associativa lagar
( p + q) + r = p + (q + r ) ,
II.
( p ⋅ q) ⋅ r = p ⋅ (q ⋅ r )
Kommutativa lagar
p + q = q + p,
p⋅q = q⋅ p
III. Distributiva lagar
p + q ⋅ r = ( p + q) ⋅ ( p + r )
p ⋅ (q + r ) = p ⋅ q + p ⋅ r
IV. Idempotenslagar
p + p = p,
p⋅ p = p
V.
DeMorgans lagar
p + q = p⋅q,
p⋅q = p + q
VI. Absorptionslagar
p + p⋅q = p,
p ⋅ ( p + q) = p
VII. Dubbel negation (involution)
p= p
VIII.Inverslagar
p + p = 1,
p⋅ p =0
IX. Identitetslagar
p ⋅1 = p ,
X.
p+0= p
Dominationslagar
p ⋅ 0 = 0,
p +1 =1
Boolesk funktion:
• En boolesk funktion är en funktion som tar ett antal
booleska variabler som indata och ger ett booleskt värde.
• Varje boolesk funktion kan uttryckas på en disjunktiv
normalform (en summa av produkter), eller en konjunktiv
normalform (en produkt av summor), där varje deluttryck
innehåller samtliga variabler, eventuellt med en negation.
Grindnät:
• Tre logiska grindar:
OR-grindar, AND-grindarr, NOT-grindar.
• Samband mellan logiska kretsar och booleska funktioner:
Varje logisk krets motsvarar en boolesk funktion.
Varje boolesk funktion på disjunktiv normalform bestäms
av en logisk krets genom
1) att konstruera en grindar till varje minterm,
2) att kombinera de samliga grindarerna i 1).