Föreläsning 20

Sidor i boken
148-151
Andragradsfunktioner
Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs
f(x) = ax2 + bx + c
där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 6= 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax2 + bx + c
kallas parabel.
Här följer ett antal exempel kopplade till polynom av andra graden. Oftast handlar det om funktionen
f(x) = x2 + b · x + c
men ibland är koefficienten framför x2 termen a 6= 1.
f(x) = a · x2 + b · x + c
I flera av uppgifterna handlar det om att läsa ut värden ur en graf. Detta är förstås, ett icke
matematiskt sätt att närma sig ett problem. Trots det påstår vi att, när det verkar som en kurva går
genom en viss punkt, så gör den det!
Exempel 1.
Figuren visar grafen till funktionen
f(x) = x2 − x − 6
För att bestämma nollställena löser man ekvationen f(x) = 0.
x2 − x − 6 =
0
=
1
2
x
x =
x =
x1 = 3
Håkan Strömberg
1
±
q
1
q4
+6
25
1
2 ±
4
5
1
2 ± 2
x2 = −2
KTH STH
x-värdet för vertex ligger mitt emellan nollställena
x1 + x2
2
I detta exempel
3 + (−2)
1
=
2
2
f(x) har av allt att döma ett minimum då x =
f
1
2
2
1
1
1
25
=
− −6≡−
2
2
2
4
Minpunkten är ( 21 , 25
4 ).
Symmetrilinjen är x = 12 . Observera att detta är en rät linje parallell med y-axeln!
Exempel 2. Bestäm nollställena hos
a) f(x) = x2 − x − 6
b) g(x) = 2x2 − 2x − 12
Nollställena till f(x) vet vi redan x1 = 3 och x2 = −2. Vi löser ekvationen g(x) = 0 och får
2x2 − 2x − 12 =
x2 − x − 6 =
0
0
x =
1
2
x =
x =
x1 = 3
±
q
1
q4
+6
25
1
2 ±
4
1
5
2 ± 2
x2 = −2
Samma nollställen. Men observera graferna till f(x) och g(x)
Vi ser att nollställena är desamma och därmed att symmetrilinjen är densamma, men i övrigt skiljer
sig graferna åt. y-värdet för minimipunkten är nu
2
1
1
25
1
=2
− 2 − 12 ≡ −
g
2
2
2
2
Håkan Strömberg
2
KTH STH
Här är de fakta man normalt vill ha reda på när det gäller en andragradsfunktion.
• Vilka nollställen funktionen har
• Vilka koordinater funktionens vertex (max- eller min-punkt) har
• Var grafen skär y-axeln
• Symmetrilinjens ekvation
8
6
4
2
-3
1
-1
3
Figur 1:
Exempel 3. Här ser vi, i figur 1, andragradsfunktionen på sin enklaste form där koefficienten till
x2 -termen är 1. Vilken är funktionen?
Lösning: Visst ser du, att det handlar om f(x) = x2 . Antingen ser man bara det, eller så förstår
man att det bara finns en ekvation som har rötterna x1,2 = 0 nämligen x2 = 0, med motsvarande
funktion f(x) = x2
Hur är det då med funktionen g(x) = 2x2 ? Den har ju också det dubbla nollstället x1,2 = 0, men
då med x2 -koefficienten 2. Kan det vara den som syns i grafen?
Normalt behöver vi tre punkter på andragradskurvan för att kunna bestämma funktionen. Så här
går det till:
Vi får våra tre punkter (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) och (x3 , y3 ) och söker nu a, b, c i f(x) = ax2 + bx2 + c.
Vår punkter leder till ett ekvationssystem:



a · x21 + b · x1 + c = y1


a · x22 + b · x2 + c = y2



 a · x2 + b · x + c = y
3
3
3
Ett så linjärt system med tre ekvationer och tre obekanta, a, b, c.
a=−
−x2 y1 + x3 y1 + x1 y2 − x3 y2 − x1 y3 + x2 y3
(x2 − x3 )(x21 − x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 )
b=−
x22 y1 − x23 y1 − x21 y2 + x23 y2 + x21 y3 − x22 y3
(x1 − x2 )(x1 − x3 )(x2 − x3 )
c=−
−x22 x3 y1 + x2 x23 y1 + x21 x3 y2 − x1 x23 y2 − x21 x2 y3 + x1 x22 y3
(x2 − x3 )(x21 − x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 )
Här är systemet löst en gång för alla. Knappast formler man kommer att lära sig utantill. Men om
man ska lösa hundratals problem av den här typen är det idé att skriva ett datorprogram med
utgångspunkt från dessa formler.
Håkan Strömberg
3
KTH STH
Innan vi lämnar dem ska vi bara konstatera ett de fungerar för tre punkter från vår kurva ovan:
(x1 , y1 ) = (−1, 1), (x2 , y2 ) = (0, 0) och (x3 , y3 ) = (1, 1). I alla fall om man ska tro våra avläsningar.
I första steget ser vi att alla termer som innehåller (x2 , y2 ) = (0, 0) försvinner. Återstår
a=−
b=−
c=−
x3 y1 − x1 y3
1 · 1 − (−1) · 1
=1
=−
2
(−1)((−1)2 − (−1) · 1)
(−x3 )(x1 − x1 x3 )
−x23 y1 + x21 y3
−12 · 1 + (−1)2 · 1
=−
=0
(x1 )(x1 − x3 )(−x3 )
(−1)((−1)2 − (−1) · 1)
0
=0
(−x3 )(x21 − x1 x3 )
20
15
10
5
-5
-3
-1
-5
1
3
5
Figur 2:
Exempel 4. Bestäm a och b till funktionen f(x) = x2 + bx + c genom att i grafen, figur 2, avläsa
nollställena.
Lösning: Nollställena är x1 = −2 och x2 = 3. Vi får
f(x) = (x + 2)(x − 3) = x2 − 3x + 2x − 6 = x2 − x − 6
4
2
2
-2
1
-1
2
3
-2
-2
1
-1
2
3
-2
-4
figur I
figur II
Exempel 5.
a) Bestäm a och b till funktionen f(x) = x2 +bx+c genom att i grafen, figur I, avläsa nollställena.
b) Bestäm a och b till funktionen f(x) = x2 +bx+c genom att i grafen, figur II, avläsa nollställena.
Lösning: a)
Nollställena är x1 = −1 och x2 = 2. Vi får
f(x) = (x + 1)(x − 2) ≡ x2 − 2x + x − 2 ≡ x2 − x − 2
Stopp lite, är det verkligen riktigt? Nej den funktion vi fått fram har ett minimum och den i figuren
ett maximum. Det finns tydligen två andragradspolynom som går genom två givna nollställen.
f1 (x) = ax2 + bx + c
f2 (x) = −ax2 − bx − c
Håkan Strömberg
4
KTH STH
Detta styrker vårt resonemang från uppgift 1 där vi påstod att inte förrän vi har tre givna punkter
på kurvan kan vi bestämma funktionen. Men i detta problem fanns dessutom grafen given och vi
kan då bestämma att det är f(x) = −x2 + x + 2 vi är ute efter.
Svar: f(x) = −x2 + x + 2
b)
Har inte funktion, med grafen i figur figur 4, samma nollställen som den i figur 3? Vad är det i så
fall som skiljer den från den tidigare? Jovisst, det har vi ju redan sagt. Svaret på denna uppgift är
f(x) = x2 − x − 2
Svar: f(x) = x2 − x − 2
Regel: Givet funktionen
f(x) = ax2 + bx + c
Då a > 0
Minimum
Glad gubbe
Då a < 0
Maximum
Ledsen gubbe
6
C
4
B
2
A
-2
1
-1
2
3
Figur 3:
Exempel 6. Här har vi plottat, figur 3, funktionerna p1 (x) = x2 , p2 (x) = 3x2 och p3 (x) = x2 /3.
Vilken är vilken?
Lösning: Ju större koefficient, desto snabbare växer funktionen:
A) p3 (x) = x2 /3
B) p1 (x) = x2
C) p2 (x) = 3x2
Håkan Strömberg
5
KTH STH
25
20
B
15
A
10
C
5
-3
-1
-5
1
3
5
Figur 4:
Exempel 7. Återigen tre plottade funktioner: p1 (x) = −x2 + 2x + 8, p2 (x) = x2 + 3 och
p3 (x) = x2 − 4. Identifiera dem.
Lösning: Vi har nu lärt oss att då x2 -termen har en negativ koefficient har funktionen ett
maximum. En annan har nollställen i x1 = −2 och x2 = 2 och bör då tillhöra funktionen
p(x) = (x + 2)(x − 2) = x2 − 4. Kvar
√ blir den som saknar nollställen, vilket vi förstår då vi försöker
lösa ekvationen x2 + 3 = 0; x = ± −3. Ekvationen saknar reella rötter.
A) p1 (x) = −x2 + 2x + 8
B) p2 (x) = x2 + 3
C) p3 (x) = x2 − 4
10
5
-2
1
-1
2
3
-5
Figur 5:
Exempel 8. Här har vi plottat funktionerna p1 (x) = x2 + 3x − 4 och p2 = −x2 + 4x + 2. Bestäm
skärningspunkterna.
Lösning: Vi söker två punkter som finns på båda kurvorna.
x2 + 3x − 4
2x2 − x − 6
x2 − x2 − 3
=
=
=
x
x
x1 = 2
=
=
p1 (2) = 22 + 3 · 2 − 4 = 6 och p1 (− 32 ) = − 32
(− 23 , 25
4 )
Håkan Strömberg
2
−x2 + 4x + 2
0
0 q
1
1
4 ±
16
1
7
4 ± 4
x2 = − 23
+3
+ 3 · − 23 − 4 =
6
25
4
ger de två punkterna (2, 6) och
KTH STH
10
5
-5
-3
1
-1
3
-5
Figur 6:
Exempel 9. Ett andragradsfunktionen har antingen ett maximum eller minimum. Betrakta nu grafen ovan där vi kan se båda nollställena. På vilken x-koordinat ligger alltid extrempunkten?
Lösning: Vi har inte den teori som krävs för att klara detta! Men här är svaret:
Om vi utgår från f(x) = x2 + px + q, så är y-koordinaten för extrempunkten
p2
+q
y extrempunkt = −
4
och x-koordinaten
p
x extrempunkt = −
2
Så här kommer det att se ut i nästa kurs: Vi startar med att derivera vår funktion
f ′ (x) = 2x + p
f ′ (x) = 0 då 2x + p = 0; x = − p2 . Vi bevisar också y-koordinaten för extrempunkten.
p
p 2
p
f −
=
−
+q
+p· −
2
2
2
p
2
2
p
p
=
−
+q
f −
2
4
2
p
2
p
f −
+q
= −
2
4
p p2
Svar: Extrempunkten har koordinaterna − , −
+q
2
4
6
5
4
3
2
1
1
3
5
Figur 7:
Exempel 10. Vilka nollställen har denna funktion?
Lösning: Av allt att döma en dubbelrot för x = 3. Funktionen blir då f(x) = (x − 3)2
Håkan Strömberg
7
KTH STH
5
1
-1
3
Figur 8:
Exempel 11. Vilka nollställen har funktionerna och var skär de varandra då båda är av typen
f(x) = x2 + px + q
Lösning: Den ena kurvan motsvarar funktionen f(x) = x2 med nollställena x1,2 = 0 och den andra
är g(x) = (x − 2)2 med nollställena x3,4 = 2. Kurvorna skär varandra i
x2
x2
x
=
=
=
(x − 2)2
x2 − 4x + 4
1
Exempel 12. Vi söker nu p och q i f(x) = x2 + px + q så att andragradsfunktionen går genom
punkterna (1, 2) och (3, 9).
Lösning: Eftersom en koefficient den som tillhör x2 termen redan är given behövs bara två
ekvationer för att finna de två obekanta p och q.
2
1 +p·1+q = 2
32 + p · 3 + q = 9
p = − 21 och q =
p+q
3p + q
= 1
= 0
3
2
Svar: f(x) = x2 −
x 3
+
2 2
14
12
10
8
6
4
2
1
-1
3
Figur 9:
Exempel 13. Plottar vi funktionen vi fick som svar i förra exemplet får vi detta resultat. Vad kan
vi säga om funktionens nollställen?
Lösning: Den saknar nollställen. Om vi löser motsvarande ekvation får vi
x2 −
x 3
+
2 2
=
x =
Håkan Strömberg
8
0
1
±
4
r
1
3
−
16 2
KTH STH
diskriminanten (uttrycket under rottecknet) är < 0.
Exempel 14. En andragradsfunktion, av typen f(x) = x2 + px + q, har ett dubbelt nollställe i 5.
Vilken är funktionen?
Lösning: f(x) = (x − 5)2
Exempel 15. För vilka värden på a har funktionen p(x) = x2 − 8x + a
• Ett dubbelt nollställe
• Två olika nollställen
• Inget reellt nollställe
Lösning: Återigen gäller det att lösa en andragradsekvation
x2 − 8x + a
x
=
=
0 √
4 ± 16 − a
• Om 16 − a = 0; a = 16 finns det en dubbelrot i x = 4
• Om 16 − a < 0; a > 16 saknas reella nollställen
• Om 16 − a > 0; a < 16 finns två reella olika nollställen
25
20
B
15
C
10
A
5
-3
1
-1
3
Figur 10:
Exempel 16. Här har vi plottat funktionerna: p1 (x) = x2 + 2x + 2, p2 (x) = x2 + 2x − 3 och
p3 (x) = x2 + 2x + 5. Vilken är vilken och vad händer då vi ökar q i p(x) = x2 + px + q?
Lösning: Skillnaden mellan f(x) = ax2 + bx + c och g(x) = ax2 + bx + (c + ∆c), är förstås
g(x) − f(x) = ∆c. Med hjälp av detta kan vi snabbt avgöra vilken funktion som är vilken
A)
B)
C)
Håkan Strömberg
p3 (x) = x2 + 2x + 5
p1 (x) = x2 + 2x + 2
p2 (x) = x2 + 2x − 3
9
KTH STH
Exempel 17. Vad kan man säga om andragradsfunktioner, där p = 0 i p(x) = x2 + px + q, alltså
p(x) = x2 + q? Vad krävs för att funktionen ska ha två nollställen? Kan den ha ett dubbelt nollställe?
I så fall för vilka q?
Om vi löser ekvationen
x2 + q
x1,2
= 0
√
= ± −q
ser vi att q ≤ 0 är nödvändigt för att det ska finnas nollställen och att då q = 0 är det frågan om ett
dubbelt nollställe.
Exempel 18. Vi önskar två andragradsfunktioner på formen p1 (x) = −x2 + ax + b och p2 (x) =
x2 + cx + d, som skär varandra i (−3, 4) och (3, 4). Bestäm värden på a, b, c och d. Kan vi utnyttja
något vi diskuterat ovan som gör problemet enklare?
Lösning: Funktionerna f1 (x) = (x + 3)(x − 3) och g1 (x) = −(x + 3)(x − 3) har båda nollställen
i x = −3 och x = 3. f1 (x) har ett minimum och g2 (x) har ett maximum och de skär varandra i
(−3, 0) och (3, 0). Om vi adderar konstanten 4 till båda funktionerna får vi f2 (x) = (x + 3)(x − 3) + 4
och g2 (x) = −(x + 3)(x − 3) + 4, efter vad som diskuterades i problem 15.
Svar: f2 (x) = x2 − 5 och g2 (x) = 13 − x2
Exempel 19. Så några andragradsekvationer. Bestäm direkt i huvudet dess rötter:
a)
b)
c)
d)
e)
x2 − 2x − 8 = 0
x2 − 3x + 2 = 0
x2 − 4 = 0
x2 − 9x + 20 = 0
x2 + 3x − 70 = 0
Du kan räkna med att alla rötter är heltal!
Hur beror rötterna x1 och x2 till ekvationen på koefficienterna p och q i x2 + px + q = 0? Från
formeln får vi

r

p2
p

 x1 = − +
−q
2 r 4
2


 x2 = − p − p − q
2
4
Löser vi detta ekvationssystem med avseende på p och q får vi q = x1 · x2 och p = −(x1 + x2 ).
Med andra ord, koefficienten q är lika med produkten av rötterna och p är lika med summan av
rötter med ombytt tecken. Tillämpar vi detta på de 5 ekvationerna får vi ganska snabbt
a)
b)
c)
d)
e)
Håkan Strömberg
x1
x1
x1
x1
x1
=4
=2
=2
=5
=7
10
x2
x2
x2
x2
x2
= −2
=1
= −2
=4
= −10
KTH STH
-5
-6
-7
-8
1
-1
3
Figur 11:
Exempel 20. I den här grafen ser vi inte origo och heller inte nollställena. Kan du med hjälp av
grafen bestämma funktionen och därefter nollställena?
Lösning: Vi använder resultatet från exempel 9 som ger oss extrempunkten utifrån funktionen
f(x) = x2 + px + q.
p p2
− ,−
+q
2
4
Nu använder vi den i andra riktningen för att få p och q när vi känner extrempunkten, (1, −9).

p


= 1
−
2
2
p

 −
+ q = −9
4
p = −2 och q = −8. Vi får funktionen f(x) = x2 − 2x − 8, vars heltalsrötter vi snabbt kan räkna ut,
x1 = −2 och x2 = 4
Läxa 1. Punkterna (0, 5) och (6, 5) ligger på en andragradskurva. Ange symmetrilinjens ekvation.
Läxa 2. Ange symmetrilinjens ekvation till kurvan
a) f(x) = x(x − 12) + 8
b) f(x) = 13 + 2x(l4 − x)
Läxa 3. En andragradskurva har symmetrilinjen x = 4. Punkten P(0, 6) ligger på kurvan. Ange
koordinaterna för spegelbilden till P.
Läxa 4. Funktionen f(x) = x2 + 8x + 3 är given.
a) Har kurvan en maximi- eller minimipunkt?
b) Ange grafens symmetrilinje.
c) Vilka koordinater har vertex?
d) Rita grafen som kontroll.
Håkan Strömberg
11
KTH STH
Läxa 5. Figuren visar grafen till andragradskurvan y = 2 + 4x − x2 Ange koordinaterna för
a)P b)Q c)M
Läxa 6. Förklara först med ett eget exempel hur du finner koordinaterna för maximi- eller minimipunkten till en andragradskurva och använd sedan din metod på andragradskurvorna
a)
b)
c)
d)
f(x) = x2 + 4x + 8
f(x) = 10x − x2
f(x) = −5x2 + 15x − 3
f(x) = 6x2 − 24x + 5
Läxa 7. En andragradskurva har symmetrilinjen x = 1. Punkterna (0, 8) och (4, 24) ligger på kurvan.
Ange koordinaterna för ytterligare två punkter på kurvan.
Läxa 8. Bestäm koordinaterna för vertex till andragradskurvan
a) f(x) = 0.1x2 − 0.02x − 1
b) f(x) =
x2
2
+
x
4
−
3
8
Läxa 9. Skär andragradskurvan x-axeln, om den har en
a) maximipunkt med koordinaterna (2, 6) ?
b) minimipunkt med koordinaterna (4, 6) ?
Läxa 10. Ange ekvationen för en parabel som har en maximipunkt i andra kvadranten
Läxa 11. Finn ekvationen för en parabel som har vertex i (−2, 0) och som skär y-axeln i (0, 4)
Läxa 12. En andragradskurva har symmetrilinjen x = 5 och skär y-axeln i punkten (0, 6). Kurvans
vertex har y-koordinaten 1. Finn kurvans ekvation.
Läxa 13. Finns det några värden som inte antas av vare sig funktionen f(x) = x2 − 3x + 6 eller
funktionen g(x) = −2x2 + 8x − 6? Ange i så fall vilka.
Läxa 14. För vilket värde på c har kurvan y = x2 − 8x + c sin minimipunkt på x-axeln?
Håkan Strömberg
12
KTH STH
Läxa Lösning 1. Svaret finner vi enkelt då punkterna har samma y-koordinat. Symmetrilinjen ligger
mitt emellan x = 0 och x = 6, alltså x = 3.
Svar: Symmetrilinjens ekvation är x = 3
Läxa Lösning 2. a)
En möjlighet att finna två punkter som har samma y-koordinater är att lösa ekvationen f(x) = 0.
Detta fungerar så länge ekvationen har reella rötter.
x(x − 12) + 8
x2 − 12x + 8
√ x
x1 = 6 + √28
x2 = 6 − 28
=
=
=
0
0 √
6 ± 36 − 8
Symmetrilinjen får vi genom
√
√
28 + 6 − 28
≡6
x=
2
Vi drar oss till minnes från exempel 9 att vi direkt kunna få svaret genom
6+
−
p
−12
=−
≡6
2
2
b)
Vi använder direkt den enkla metoden
13 + 2x(l4 − x)
13 + 28x − 2x2
13
2
2 + 14x − x
13
2
x − 14x − 2
=
=
=
=
0
0
0
0
Nu har vi fått fram p = −14 och kan bestämma symmetrilinjen
−
p
−14
=−
≡7
2
2
Svar: a) x = 6 b) x = 7
Läxa Lösning 3. Punkten P ligger på y-axeln. 4 enheter från symmetrilinjen. Spegelbilden ligger
också 4 enheter från symmetrilinjen, fast på ’andra sidan’, alltså x = 8.
Svar: (8, 6).
Läxa Lösning 4.
b) x =
− p2
≡
− 82
a) Minimipunkt. a = 1 > 0. ’Glad gubbe’
= −4
c) x-koordinaten är samma som symmetrilinjen. När vi vet det kan vi bestämma f(−4) = (−4)2 +
8(−4) + 3 ≡ −13. Vertex ligger i (−4, −13)
d)
Håkan Strömberg
13
KTH STH
Läxa Lösning 5. P är den punkt där kurvan skär y-axeln.
y = 2 + 4 · 0 − 02 ≡ 2
som ger P(0, 2).
2
M ligger på symmetrilinjen x = − −4
2 ≡ 2. y-koordinaten får vi genom 2 + 4 · 2 − 2 = 6, som ger
M(2, 6)
Q är spegelbild av P och ligger lika långt från symmetrilinjen som Q men på andra sidan, alltså
x = 4, ger punkten Q(4, 2)
Läxa Lösning 6. Jag skriver ned f(x) = 0 och ser till att den får uttrycket x2 + px + q = 0. Nu kan
jag läsa ut p som jag använder för att bestämma
x=−
p
2
Nu har jag x-koordinaten, som jag sätter in i funktionen och bestämmer y-koordinaten.
a) Jag får x2 + 4x + 8 = 0. p = 4 som ger x = − 42 ≡ −2. y-koordinaten får jag genom
f(−2) = (−1)2 + 4(−2) + 8 ≡ 1.
Svar: Minimum i (−2, 1)
b) Jag får −x2 + 10x = 0. Dividerar båda sidor med −1 och får x2 − 10x = 0. p = −10 som ger
2
x = − −10
2 ≡ 5. y-koordinaten får jag genom f(5) = −5 + 10 · 5 ≡ 25.
Svar: Maximum i (5, 25)
c) Jag får −5x2 + 15x − 3 = 0. Dividerar båda sidor med −5 och får x2 − 3x + 35 = 0. p = −3
3
3
3 2
+ 15 · 23 − 3 ≡ 33
som ger x = − −3
2 ≡ 2 . y-koordinaten får jag genom f( 2 ) = −5 2
4 .
3 33
Svar: Maximum i ( 2 , 4 ).
d) Jag får 6x2 − 24x + 5 = 0. Dividerar båda sidor med 6 och får x2 − 4x + 56 = 0. p = −4 som
2
ger x = − −4
2 ≡ 2. y-koordinaten får jag genom f(2) = 6 · 2 − 24 · 2 + 5 ≡ −19
Svar: Minimum i (2, 19)
Läxa Lösning 7. De två punkter som ligger närmast till hands är (x1 , 8) och (x2 , 24) som är
spegelbilder av de två givna punkterna. x1 = 2 och x2 = −2. Det gäller att hålla reda på vilken sida
av symmetrilinjen de ska ligga.
Det finns förstås oändligt många svar att ge, men då måste man räkna lite mer.
Svar: (2, 8) och (−2, 24)
Läxa Lösning 8. Liknar tidigare problem. Vi ’städar upp’ ekvationen f(x) = 0 så att koefficienten
framför x2 blir 1. Sedan kan vi läsa av p i x2 + px + q = 0. Vi använder p för att bestämma xkoordinaten i vertex. Sedan bestämmer vi f(x) för detta x och har y-koordinaten och därmed vertex
(extrempunkten).
Givet 0.1x2 − 0.02x − 1 = 0. Dividera båda sidor med 0.1 ger x2 − 0.2x − 10 = 0 och vi har p = −0.2
som ger symmetrilinjen
p
−0.2
x=− ≡−
≡ 0.1
2
2
sedan får vi
f(0.1) = 0.1 · (0.1)2 − 0.02 · 0.1 − 1 ≡ −1.001
Svar: Vertex (0.1, −1.001)
Läxa Lösning 9. a) Ja
b) Nej
Läxa Lösning 10. a)
Det finns förstås oändligt många sådana funktioner. Punkten (−1, 1) ligger i andra kvadranten och
Håkan Strömberg
14
KTH STH
ska alltså vara en maximipunkt. Vi bestämmer att f(x) = −x2 +px+q. f(x) = 0 ger −x2 +px+q = 0
eller x2 − px − q = 0. Symmetrilinjen är x = −1.
Då kan vi bestämma p med ekvationen
−1 = −
−p
2
ger p = −2. Så här långt har vi bestämt f(x) = −x2 − 2x + c. Nu ska vi bestämma c så att f(−1) = 1.
Vi får −(−1)2 − 2(−1) + c = 1 som ger c = 0. Vi plottar f(x) = −x2 − 2x
Läxa Lösning 11. Vi vet att det finns oändligt många sådana ekvationer. Speciellt en då f(x) =
x2 + bx + c. Den skär y axeln då 02 + b · 0 + c = 4, ger c = 4. Då vertex är (−2, 0) är symmetrilinjen
x = −2. Vi bestämmer f(−2) = 0 och får
(−2)2 + b(−2) + 4 = 0
som ger b = 4. Vi har då funktionen
f(x) = x2 + 4x + 4
Som vi plottar och ser att det stämmer stämmer.
Läxa Lösning 12. Vi startar med f(x) = ax2 +bx+c. Symmetrilinjen x = 5. Vi har då ax2 +bx+c =
c
0 eller x2 + bx
a + a = 0 ger oss b genom
b
5=−a
2
b = −10a. Vi har nu f(x) = ax2 − 10ax + c. Skärningen med y-axeln ger f(0) = 6
a · 02 − 10 · 0 +
c
=6
a
ger c = 6. Nu har vi f(x) = ax2 − 10ax + 6 Till sist vet vi att f(5) = 1 som ger ekvationen
a · 52 − 10a · 5 + 6 = 0
ger a = 15 . Nu har vi funktionen
f(x) =
Håkan Strömberg
x2
− 2x + 6
5
15
KTH STH
som vi plottar och ser att det stämmer
Läxa Lösning 13.
Det ser ut som det skulle kunna finnas värden som inte antas av någon av funktionerna. För att
kunna svara på frågan måste vi ta reda på maximipunkten hos g(x) och minimipunkten för f(x)
Vi startar med minimipunkten för f(x) och använder formeln
−
p2
+q
4
som ger
−
15
(−3)2
+6≡
≡ 3.75
4
4
Innan vi kan bestämma maximipunkten för g(x) måste vi starta med −2x2 + 8x − 6 = 0 och dividera
båda sidor med −2 som ger x2 − 4x + 3 = 0. Nu har vi p och q. och kan bestämma y-värdet för
vertex med samma formel
(−4)2
+3≡2
−
4
Svar: Ingen av funktionerna antar värden i intervallet (2, 3.75).
Läxa Lösning 14. Först bestämmer vi symmetrilinjen genom
x=−
Vi får
x=−
p
2
−8
2
ger x = 4
Det betyder att vi ska fixa till ett vertex i (4, 0) genom att hitta lämpligt c.
Det betyder att f(4) = 0 ger
42 − 8 · 4 + c = 0
ger c = −16
Håkan Strömberg
16
KTH STH