Linjär Algebra, Föreläsning 15

Linjär Algebra, Föreläsning 15
Tomas Sjödin
Linköpings Universitet
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 15
Nollrum, Värderum och Dimensionssatsen
Sats
Låt
F :U→V
vara linjär.
N(F ) := {u ∈ U : F (u) = 0}
är ett delrum till
U,
kallat
nollrum,
V (F ) := {F (u) : u ∈ U}
är ett delrum till
V,
kallat
värderum.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 15
F :s
F :s
Exempel 1
Exempel 1: Låt E vara ett Euklidiskt rum och låt W vara ett
delrum till E. Låt vidare F vara ortogonal projektion på W. Beskriv
F :s nollrum N(F ) och värderum V (F ).
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 15
Exempel 2
Exempel 2: För sträckning vridning och spegling i ett Euklidiskt
rum E gäller att N(F ) = {0̄} och V (F ) = E.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 15
Vi har också följande resultat:
U = [u 1 , u 2 , . . . , u m ] ⇒ V (F ) = [F (u 1 ), F (u 2 ), . . . , F (u m )].
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 15
Exempel 3
Exempel 3: Avbildningen F : R3 → R3 har (i standardbasen)
matris


1 2 3
A = 1 0 1 .
0 1 1
Bestäm baser till F :s nollrum N(F ) och värderum V (F ). Skriv även
V (F ) som ett lösningsrum.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 15
Sats (Dimensionssatsen)
Låt
F :U→V
vara linjär. Då gäller att
dimN(F ) + dimV (F ) = dimU.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 15
Sammansatta avbildningar
Antag att vi fått tre vektorrum U, V, W och F : U → V,
G : V → W är linjära.
Vi denierar då den sammansatta avbildningen G ◦ F : U → W via
(G ◦ F )(u) = G (F (u)).
Det är lätt att visa att detta är en linjär avbildning, vidare om
u, v , w är baser där F respektive G har matriser A respektive B då
har G ◦ F matris BA relativt u, w .
(Man kan säga att matrismultiplikationen är denierad precis så att
detta ska gälla).
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 15
Exempel 4
Exempel 4: Antag att F : R2 → R2 ges av F (x1 , x2 ) = (x2 , 2x1 )
och G : R2 → R ges av G (x1 , x2 ) = x1 + 2x2 . Bestäm matrisen till
den sammansatta avbildningen G ◦ F .
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 15
Inversa Avbildningar
Låt F : U → V vara en linjär avbildning. Vi säger då att F är
inverterbar om det nns en linjär avbildning F −1 : V → U, kallad
F :s invers, sådan att
F ◦F −1 (v ) = v
för alla v ∈ V,
F −1 ◦F (u) = u
för alla u ∈ U.
Om U, V är ändligdimensionella, då har F en invers om och endast
om dimU = dimV och N(F ) = {0}.
Vi har också (som förväntat) följande resultat:
Sats
u respektive v , där dimU = dimV. Den linjära
avbildningen F : U → V har då en invers om och endast om dess
−1 har då matris A−1
matris A i dessa baser är inverterbar, och F
Låt
U, V
ha baser
relativt dessa.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 15
Exempel 5
Exempel 5: Avgör om F : R2 → R2 är inverterbar och bestäm i så
fall dess invers, om
F (x1 , x2 ) = (2x1 + x2 , x1 + 4x2 ).
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 15
Exempel 6
Exempel 6: Låt F : R2 → R2 via F (x1 , x2 ) = (x1 − x2 , x1 − x2 ).
Bestäm baser till F :s nollrum och värderum samt avgör om F är
inverterbar.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 15