Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet TER2

Försättsblad till skriftlig tentamen
vid Linköpings universitet
Datum för tentamen
2015-04-10
Sal (1)
TER2
Tid
8-12
TFYA12
TEN1
Termodynamik och statistisk mekanik
Skriftlig examination
IFM
Kurskod
Provkod
Kursnamn/benämning
Provnamn/benämning
Institution
Antal uppgifter som ingår i
tentamen
Jour/Kursansvarig
Ange vem som besöker salen
Telefon under skrivtiden
Besöker salen ca klockan
5
Peter Münger
013 - 28 5797
9:30 och 11:00
Lena Wide
Kursadministratör/kontaktperson
013 - 28 1229
(namn + tfnr + mailaddress)
[email protected]
Physics Handbook; Carl Nordling, Jonny Österman
Räknedosa (tömd på program och annan information)
Tillåtna hjälpmedel
Formelblad (utgörs av de sista bladet på tentan)
Matematiska tabeller, tex Beta, behövs dock ej
Betyg: 8-11 poäng 3, 12-15 poäng 4, 16-20 poäng 5
Övrigt
Antal exemplar i påsen
Lösningar anslås på anslagstavlan utanför
kursexpeditionen i fysikhuset och på kurshemsidan:
http://cms.ifm.liu.se/edu/coursescms/TFYA12
1. Två lika fasta kroppar, av samma material och storlek, har värmekapaciteter vid konstant volym som varierar linjärt med absoluta temperaturen T angiven i Kelvin, dvs
CV = bT där b är en (positiv) konstant med enheten [J/K2 ]. Kropparnas begynnelsetemperaturer är T` = 300 K respektive Th = 350 K.
(a) Kropparna sätts i termisk kontakt med varandra. Beräkna deras gemensamma
jämviktstemperatur.
(2p)
(b) Beräkna entropiändringen för båda kropparna sammantaget.
(2p)
2. Clausius Clapeyrons ekvation beskriver hur kokpunkten för en vätska beror av trycket.
Beräkna ett approximativt värde på kokpunkten för vatten om vi befinner oss i en
gruva där trycket är 5 % högre än normalt atomsfärstryck, dvs 1,05 atm.
Vid beräkningen av ∆v, som anger skillnaden i specifik volym (volym per molekyl),
mellan gas- och vätskefas är det tilllåtet att betrakta vattenångan som en ideal gas
samt att försumma vätskefasens specifika volym vid sidan av gasfasens. Ångbildningsvärmet (heat of vaporisation) för vatten är 2300 J/g i det aktuella temperatur- och
tryckintervallet. Observera att det L som finns i Clausius Clapeyrons ekvation anger
ångbildningsvärme per molekyl.
(4p)
3. I förbränningscykler av olika slag är gasexplosioner i kolvar av central betydelse, så vi
undersöker en sådan i detalj.
T0
A
m
a
b
c
N kB
T0
m
a
b
c
A
γ
=
=
=
=
=
=
=
=
1,00 J/K
300 K
1,62 kg
15,0 · 10−2 m
3,00 · 10−2 m
43,0 · 10−2 m
2,00 · 10−2 m2
Cp /CV = 7/5
En väl fastsatt kolv är delad i två delar av ett kolvlock med känd massa m och tvärsnitt
A. Den vänstra kammaren är fylld med kvävgas och den högra är tom. Vi släpper nu det
vilande kolvlocket fritt och kvävgasen expanderar adiabatiskt (isoentropt). Förloppet
är så pass saktmodigt, att processen kan betraktas som reversibel. (Kolvlockets rörelse
påverkas ej nämnvärt av friktionen mot väggarna.)
(a) Bestäm med vilken hastighet kolvlocket slår i högra kolvväggen.
(3p)
(b) Bestäm vilken temperatur gasen har vid denna dramatiska slutscen då kolvlocket
slår i högra kolvväggen.
(1p)
4. Tillståndssumman, Z1 , för en partikel i en tredimensionell låda med volym V = L3
kan, som vi vet, tecknas Z1 = nQ V där nQ =
mτ
2πh̄2
3/2
. (Jfr formelblad.)
Visa att du förstått beräkningen av detta uttryck genom att göra motsvarande beräkning i det tvådimensionella fallet, dvs där en partikel är instängd i en area A = L2 och
tillståndssumman för en partikel kan skrivas Z1 = nq A.
Uppgiften är alltså att härleda ett uttryck för nq som är kvantkoncentrationen i
det tvådimensionella
fallet. Partikelns möjliga energier ges i detta fall av εs =
2 π
h̄2
2
2
(4p)
nx + ny där kvanttalen nx och ny antar positiva heltalsvärden.
2m L
5. Figuren illustrerar på ett stiliserat sätt möjliga energitillstånd för elektroner i en halvledare. Det finns ND tillstånd vid ε = 0 och NL vid εg . (”D” kan tänkas ange donatortillstånd och ”L” ledningsband.) Storheten εg betecknar då det (lilla) energigap som
finns mellan dessa.)
NL
ND
0
εg
Systemet innehåller totalt N = ND elektroner. Vid τ = 0 kommer samtliga ND tillstånd
att vara fyllda medan alla NL är tomma. Vid en godtycklig temperatur skall systemet
fortfarande innehålla N elektroner.
(a) Beräkna, utgående från detta, ett uttryck för elektronernas kemiska potential. För
att göra uttrycket lite mer kompakt använder vi β = NL /ND och α = exp(εg /τ ).
Beräkna alltså ett uttryck för elektronernas kemiska potential uttryckt i α och β.
Vi förutsätter att β 1 och tillåter oss en liten approximation utifrån detta. (2p)
(b) Här söker vi ett approximativt uttryck för kemiska potentialen i två gränsfall.
Först tänker vi oss att temperaturen är så extremt låg att α β. Uttryck svaret
i de storheter som gavs inledningsvis (dvs ej i α och β). (Notera gärna att vi här
kan finna fermienergins (εF ) läge.)
Nu går vi till den andra extremen. Här är temperaturen i stället så hög att α
är liten i jämförelse med β. α kan dock inte helt försummas utan vi gör sådana approximationer att vi behåller termer av lägsta (icke försvinnande) ordning
i α/β. Beräkna under dessa förutsättningar elektronernas kemiska potential. Uttryck svaret i de storheter som gavs inledningsvis (dvs ej i α och β).
(2p)
Lycka till!
Formelblad till kursen Termodynamik och statistisk mekanik, TFYA12.
(Detta blad medföljer tentamen. Peter Münger, maj 2011.)
Multiplicitet g, Entropi
σ ≡ ln g
resp.∗
(U given)
σ≡
X
(− ln Ps )Ps
(τ given)
s
Def. av temperatur, tryck
och kemisk potential
1
τ
Konventionell entropi
och temperatur
S ≡ kB σ
Tillståndssumma
Z≡
X
Stor tillståndssumma
där λ = eµ/τ
ζ≡
X
Helmholtz fria energi
F ≡ U − τ σ,
Gibbs fria energi
G ≡ U − τ σ + pV
≡
∂σ
∂U
s
V,N
≡
∂σ
∂V
,
U,N
µ
τ
≡−
∂σ
∂N
U,V
T ≡ τ /kB
e−εs /τ


X

N
p
τ
,
X
e[N µ−εs(N ) ]/τ  =
λN e−εs(N ) /τ
ASN
s(N )
F = −τ ln Z
3/2
mτ
Ideal gas i klassisk region, ZN = Z1N /N ! där Z1 = nQ V och nQ ≡ 2πh̄
2
utan inre frihetsgrader
σ = N [ln (nQ /n) + 5/2] , µ = τ ln (n/nQ ) där n = N/V
med inre frihetsgrader
µ ≈ τ (ln (n/nQ ) − ln Zint )
där
X
Zint =
e−εint /τ
int
Arbete (vid konstant N ) d̄W = pdV . Med teckenkonventionen att d̄W > 0 då systemet utför ett arbete på omgivningen och d̄Q > 0 då omgivningen tillför värme till systemet ger
energiprincipen att d̄Q = dU + d̄W .
∂U
∂τ
Värmekapacitet
(värmekapacitivitet)
CV ≡
Clausius Clapeyrons
ekvation
L
dp
=
dτ
τ ∆v
Massverkans lag
Kemiska
rektionen
Besättningstal
!
∂U
∂τ
Cp ≡
,
V
X
νj Aj = 0
!
∂V
+p
∂τ
p
ger
j
X
!
,
γ=
p
Cp
CV
νj µ j = 0
j
Fermioner fF D =
1
e(ε−µ)/τ
+1
Bosoner
(µ = 0 för
fotoner)
fBE =
Stirlings formler, PH M-2, och integraler, PH M-6, kommer ofta till användning.
∗
Ensemblemedelvärde av en egenskap X: hXi =
X
Xs Ps , där s indicerar
s
kvanttillstånd och Ps är kvanttillståndets (absoluta) sannolikhet.
1
e(ε−µ)/τ
−1