Räkning med polynom

Sidor i boken
110-113, 68-69
Räkning med polynom
Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där
varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett heltal större än 1, som inte kan skrivas som produkten
av två heltal, båda större än 1.
Exempel 1. Här har vi de 10 första primtalen.
2, 3, 5, 7, 11 , 13 , 17 19, 23
Vilka är de 10:e och 11:e primtalen?
Svar: 29 och 31.
Exempel 2. Primtalsfaktorisera talen 420 och 900.
Svar:
420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7
900 = 3 · 3 · 5 · 5 · 2 · 2
Exempel 3. 71, 93, 133. Ett av dessa tre tal är primtal, vilket?
Svar: 71 är primtal. 93 = 3 · 31 och 133 = 7 · 19
När man ska √
ta reda på om ett heltal n är primtal eller inte behöver man inte testa divisioner av
primtal över n. Till exempel
h√ kani man komma fram till att 541 är ett primtal genom att ingen av
541 = 23 går jämnt upp.
divisionerna med primtal <
Polynom i en variabel är en summa av termer. De termer som innehåller bokstavsbeteckningar
(oftast x) kallas variabeltermer. Termer utan bokstav kallas konstanttermer. Variabeltermen är en
produkt av en koefficient och en potens av variabeln med positiv heltalsexponent, som bestämmer
termens grad. Poynomets grad avgörs av högsta graden hos polynomets termer.
Några exempel på polynom
x2 + 3x + 7
x10 − 1
3 − x3 + x − x2
Ett andragradspolynom
Ett tiogradspolynom
Ett tredjegradspolynom
Ett polynom kan innehålla flera variabler. 2ab3 + b2 − 3a är ett polynom i två variabler a och b.
Dess gradtal är 4, som bestäms av termen 2ab3 genom 1 + 3 = 4
Två polynom kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras med varandra.
Exempel 4. Utför i tur och ordning addition, subtraktion och multiplikation av två polynom
(3x + 2) + (1 + 4x) ≡ 7x + 3
(4x2 − 3x) − (3x2 − 3x) ≡ x2
(3a + 1)(2 + 4a) ≡ 6a + 12a2 + 2 + 4a ≡ 12a2 + 10a + 2
Vi hoppar över polynomdivision som just nu är lite för komplicerat!
Håkan Strömberg
1
KTH STH
Tre regler, som är ett måste att känna till, är de två kvadreringsreglerna och konjugatregeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Första kvadreringsregeln
Andra kvadreringsregeln
Konjugatregeln
Det räcker inte med att man kan utveckla till exempel (3x +2)2 = 9x2 +12x +4 eller (x +2)(x −2) =
x2 − 4. Ibland måste man också kunna gå ’bakvägen’. Man faktoriserar polynomet 4x2 + 12x + 9 till
(2x + 3)(2x + 3) ≡ (2x + 3)2 .
Ett annan situation kallar vi för att bryta ut. Polynomet 4x2 + 8x = 4x(x + 2) blir faktoriserat genom
att bryta ut 4x. Någon kanske nöjer sig med att enbart bryta ut 4 och få 4(x2 + 2x) eller enbart x
och få x(4x + 8).
En anledning till att man vill faktorisera ett polynom är att man vill förenkla ett uttryck, mest för att
den fortsatta beräkningen ska bli enklare och kunna göras snabbare.
Exempel 5. Förenkla uttrycket
(a2 − b2 ) + (a + b)2 + (a − b)2 ≡ a2 − b2 + a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 − 2ab ≡ 3a2 + b2
Det är förstås enklare att räkna vidare med 3a2 + b2 än med det ursprungliga uttrycket.
Exempel 6. Ser du mönstret för att skriva uttrycket som en ( + )2
9x2 + 24xy2 + 16y4
Först ser vi att 9x2 ≡ (3x)2 och sedan 16y4 ≡ (4y2 )2 . När vi sedan ser att 2 · 3x · 4y2 = 24xy2
förstår vi att 9x2 + 24xy2 + 16y4 ≡ (3x + 4y2 )
Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom till exempel
3x2 + 4y
2+x+y
Just detta uttryck kan man inte förenkla.
Exempel 7. Förenkla
3(4x + 5)
12x + 15
≡
≡ 4x + 5
3
3
Genom att bryta ut 3 kan vi därefter förkorta och vi får ett enklare uttryck
Exempel 8. Förenkla
3x2 + 6x
3x(x + 2)
≡
≡x+2
3x
3x
Exempel 9. Förenkla
4(a + 2b)
4a + 8b
≡
≡4
a + 2b
a + 2b
När vi bryter ut 4 i täljaren visar det sig att polynomet i täljaren överensstämmer med det i nämnaren
och vi kan förkorta
Exempel 10. Förenkla
2ab − 2a2 + b2 − ab − (a2 − 2ab + b2 )
(2a + b)(b − a) − (a − b)2
≡
≡
b−a
b−a
3ab − 3a2
3a(b − a)
≡
≡ 3a
b−a
b−a
Som genom trolleri har vi förenklat det ursprungliga uttrycket till 3a
Håkan Strömberg
2
KTH STH
Med insättning i ett polynom menas ersättning av en bokstavsbeteckning med ett tal eller en annan
bokstav. Ersätter man variabeln x med talet 2 i uttrycket x2 − 2x + 4 får man uttryckets värde för
x = 2. Normalt skriver man för p(x) = x2 − 2x + 4, p(2) = 22 − 2 · 2 + 4 och får att p(2) = 4.
Exempel 11. Bestäm p(x) = 3x2 + 4x − 10 för x = 1
p(1) = 3 · 12 + 4 · 1 − 10 ≡ p(1) = −3
Exempel 12. Bestäm f(2) − f(0) då f(x) = 3x2 + 5
f(2) − f(0) ≡ (3 · 22 + 5) − (3 · 02 + 5) = 12
Exempel 13. Givet polynomet f(x) = x3 + x2 + x + 1. Bestäm
f(3)
f(2)
Först bestämmer vi f(3) = 33 + 32 + 3 + 1 som ger f(3) = 40, sedan f(2) = 23 + 22 + 2 + 1 som ger
f(2) = 15. Vi får
5·8
8
40
≡
=
15
5·3
3
Problem 1. Beräkna 3(2 − 4) + (3 − 4)(2 + 1) + 100(3 − (4 − 1)) + (−2)(−4)
3(2 − 4) + (3 − 4)(2 + 1) + 100(3 − (4 − 1)) + (−2)(−4) ≡
3 · (−2) + (−1) · 3 + 100(3 − 3) + 8 ≡
−6 − 3 + 8 ≡
−1
Svar: −1
Problem 2. Bestäm exakt
2 3 5
7
+ + +
3 4 6 12
För att kunna addera bråk måste en gemensam nämnare bestämmas. Helst den minsta gemensamma
nämnare, MGN, (även om det inte det är nödvändigt).
Den som är van ser direkt att den MGN= 12. Det gäller att finna ett tal som samtliga nämnare går
jämnt upp i. Vi ser att så är fallet här.
När vi bestämt en gemensam nämnare ska vi förlänga varje bråk så att det antar
MGN.
Vi får
7·1
2·4 3·3 5·2
+
+
+
3 · 4 4 · 3 6 · 2 12 · 1
Vi kan nu skriva summan som
Problem 3. Bestäm exakt
34
17
8 + 9 + 10 + 7
≡
≡
12
12
6
1
1
1
1
+
+ +
36 45 8 30
Den här gången är det lite besvärligare att hitta MGN. Visserligen fungerar den långt ifrån minsta
gemensamma nämnaren 36 · 45 · 8 · 30 = 388800, men här ska vi verkligen försöka hitta MGN.
Håkan Strömberg
3
KTH STH
Vi startar med att primtalsfaktorisera nämnarna
36 = 2 · 2 · 3 · 3
45 = 3 · 3 · 5
8 =2·2·2
30 = 2 · 3 · 5
Endast tre faktorer förekommer: 2, 3, 5. Vi plockar nu ut så många faktorer av dem som det finns
i den faktorisering som innehåller flest. Detta ger
2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360
MGN=360, betydligt mindre än 388800. När vi nu ska förlänga de fyra bråken ’håller vi över’ De
faktorer som ingår i respektive nämnare och multiplicerar övriga faktorer. Detta tal förlänger vi så
bråket med
1·2·2·2
1·3·3·5
1·2·2·3
10 + 8 + 45 + 12
75
5
1·2·5
+
+
+
≡
≡
≡
36 · 2 · 5 45 · 2 · 2 · 2 8 · 3 · 3 · 5 30 · 2 · 2 · 3
360
360
24
Så jobbigt kan det vara! i sista steget faktoriserade vi 75 = 3 · 5 · 5 och fick
3·5·5
5
5
=
=
2·2·2·3·3·5
2·2·2·3
24
Problem 4. Bestäm
36
24
12
5
Detta kallas för dubbelbråk. Så här hanterar man det
a
b
c
d
a·d
b·c
≡
Man multiplicerar bråket i täljaren med det inverterade värdet av bråket i nämnaren. Vi får
36
24
12
5
≡
36 5
36 · 5
3·5
5
·
≡
≡
≡
24 12
24 · 12
24 · 1
8
Problem 5. Bestäm exakt
2
3
3
4
+
+
3
2
2
3
Vi behandlar täljare och nämnare för sig, så att vi får ett bråk i täljaren och ett i nämnaren.
2·2
3·2
3·3
4·3
+
+
3·3
2·3
2·4
3·4
≡
4+9
6
9+8
12
≡
13
6
17
12
≡
26
13 · 12
≡
6 · 17
17
Problem 6. Skriv uttrycket som ett rationellt uttryck
1
1
+
x+1 x−1
Minsta gemensamma nämnaren är denna gång MGN= (x + 1)(x − 1) Precis som i aritmetiken
fortsätter vi:
1(x − 1)
1(x + 1)
x−1+x+1
2x
+
≡
= 2
(x + 1)(x − 1) (x + 1)(x − 1)
(x + 1)(x − 1)
x −1
Håkan Strömberg
4
KTH STH
Ett rationellt uttryck är alltså division av två polynom.
Problem 7. Är det någon skillnad på värdet mellan 3 · 4 + 5 och 5 + 3 · 4 ?
Svar: Nej eftersom multiplikation går före addition har båda uttrycken värdet 17. Observera att
det finns ’dåliga’ räknedosor som inte klarar detta.
Problem 8.
a)
b)
Man tänker multiplicera 12 stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet?
Man tänker multiplicera 15 stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet?
Svar: a) Resultatet blir positivt, > 0. b) Resultatet blir negativt, < 0.
Problem 9. Givet polynomet
f(x) = 10x3 − 12x2 + 5x + 101
Du ska beräkna ett av dessa värden: p(0), p(1) och p(2). Du får välja vilket som helst. Vad väljer
du (om du är lite lat) ?
Svar: Den som är latast väljer p(0) = 101. Den som inte är riktigt så lat väljer p(1) = 10 − 12 + 5 +
101 = 104. Den som gillar att räkna kanske väljer p(2) = 10 · 23 − 12 · 22 + 5 · 2 + 101 = 143.
Problem 10. Vad ska det stå istället för för att uttrycket ska kunna faktoriseras med en kvadreringsregel?
x2 + 8x + Svar: = 4
Problem 11. Faktorisera med kvadreringsreglerna
a) x2 − 6x + 9
b) 16x2 + 8x + 1
a)
Här måste det handla om andra kvadreringsregeln
x2 − 6x + 9 ≡ (x − 3)2
Om man är osäker på om det är rätt kan man utföra multiplikationen av termerna. Ett krav är att
två av termerna måste vara kvadrater. Det ser man ganska enkelt. Dubbla produkten ser man sedan
om den kommer stämma. Tecknet framför dubbla produkten avgör om det är första eller andra
kvadreringsregeln.
b)
16x2 + 8x + 1 = (4x + 1)2
Problem 12. Utveckla
(x + 1)3
Lösning:
(x + 1)3
(x + 1)(x + 1)2
(x + 1)(x2 + 2x + 1)
x3 + 3x2 + x + x2 + 2x + 1
x3 + 3x2 + 3x + 1
Håkan Strömberg
5
KTH STH
Problem 13. Med hjälp av konjugatregeln kan man ibland utföra en del multiplikationer i huvudet.
Hur kan man förenkla
42 · 38
Lösning:
38 · 42 ≡ (40 − 2)(40 + 2) ≡ 402 − 22 ≡ 1600 − 4 ≡ 1596
Problem 14. Använd första kvadreringsregeln på ett smart sätt för att bestämma
522
Lösning:
522 ≡ (50 + 2)2 ≡ 502 + 2 · 2 · 50 + 22 ≡ 2500 + 200 + 4 ≡ 2704
Problem 15. Förenkla
5t(t2 − 2t − 1) − t2 (t − 3) + 2t3
Lösning:
5t(t2 − 2t − 1) − t2 (t − 3) + 2t3
5t3 − 10t2 − 5t − (t3 − 3t2 ) + 2t3
5t3 − 10t2 − 5t − t3 + 3t2 + 2t3
6t3 − 7t2 − 5t
Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna framför parenteserna. Behåll parenteserna
då det finns ett minustecken strax framför. Utför inte fler steg på en gång än du klarar av!
Problem 16. Bollens höjd y(x) över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln
y(x) = 2.15 + 2.1x − 0.41x2
där x m från utkastet räknat längs golvet. Beräkna och tolka y(2.5) − y(2.0)
Lösning: Givet y(x) = 2.15 + 2.1x − 0.41x2 Vi har fått i uppgift att bestämma y(2.5) − y(2.0).
y(2.5) = 2.15 + 2.1 · 2.5 − 0.41 · 2.52 = 4.8375
y(2) = 2 + 2.1 · 2 − 0.41 · 22 = 4.71
y(2.5) − y(2) = 4.8375 − 4.56 = 0.1275
Kommentarer: Sätt in (substituera) x med respektive 2.5 och 2 och låt räknedosan göra resten.
Som extra bonus får du här funktionen plottad. Eftersom det handlar om basket är det inte förvånande att det här visar sig vara en kastparabel, en andragradsfunktion med negativ x2 -term.
Figur 1:
Håkan Strömberg
6
KTH STH
Utkastet sker antagligen från x = 0. Det verkar ju troligt att då spelaren står med händerna över huvudet så befinner sig bollen mer än 2 meter över golvet (x-axeln). När bollen har nått x-koordinaten
2 har bollen nästan nått sin högsta punkt. Om x = 2.5 verkligen är det x-värde då bollen nått maximal höjd kommer vi att kunna avgöra senare i kursen. Det 0.1275 vi fått som svar anger hur mycket
bollen stigit från golvet sedan senaste avläsningen, x = 2.
Problem 17. En 279 meter lång väg ska var färdig efter 10 dagar. Under 6 dagar arbetar 5 man
och hinner med 135 meter. Hur många arbetare måste ytterligare anställas för att vägen skall bli bli
färdig i rätt tid?
Lösning: Antag att man behöver anställa ytterligare x arbetare. 5 man arbetar i 6 som ger 30 ’man9
dagar’. Detta betyder att 1 man klarar 135
30 = 2 meter/dag. Eftersom det återstår 279 − 135 = 144
meter kommer det att behövas
9
· (10 − 6) · (x + 5) = 144
2
som ger x = 3.
Svar: Det behövs 3 extra arbetare.
Problem 18. Förenkla
p+1
2
p+1
2
2
−
p−1
2
p−1
2
2
Lösning:
2
−
2
2
(p+1)2
− (p−1)
4
4
(p2 +2p+1)−(p2 −2p+1)
4
p2 +2p+1−p2 +2p−1
4
4p
4
p
Problem 19. Ett bilmärke ökade sin marknadsandel från 12.4% till 15.5%. Hur stor var ökningen i
a)
b)
procentenheter
procent
Lösning: a)
Antalet procentenheter är 15.5 − 12.4 = 3.1
b)
Antag att det såldes 1000 bilar ena året. Då var 1000 · 125
100 = 124 stycken av vårt märke. Nästa år
såldes det åter 1000 bilaroch då var 1000 · 155
=
155
av
vårt märke. Antag att tillväxtfaktorn är x.
100
x · 124 = 155, som ger x = 1.25, vilket betyder att andelen steg med 25%.
Svar: 3.1% respektive 25%.
Men du behöver mer träning ...
Läxa 1. Förenkla så långt möjligt
2(x + h) − 7(x + h)2 − (2x − 7x2 )
Håkan Strömberg
7
KTH STH
Läxa 2. Faktorisera med kvadreringsreglerna
a) 50a2 + 40a + 8
b) x2 − 12xy + 36y2
Läxa 3. Lös ekvationen
5x2 − (2x + 1)(x − 3) = 3(x + 4)(x − 4)
Läxa 4. Beräkna exakt
2 2
5
5
+ −
+
3 9 12 16
Läxa 5. Förenkla så långt möjligt
5x + 15 x2 − 3x
+
5
x
Läxa 6. Förenkla så långt möjligt
(3x + 3y)2
(2x − 2y)2
−
− (x + y)2
9
4
Läxa Lösning 1.
2(x + h) − 7(x + h)2 − (2x − 7x2 )
(2x + 2h) − 7(x2 + h2 + 2hx) − (2x − 7x2 )
2x + 2h − (7x2 + 7h2 + 14hx) − 2x + 7x2
2x + 2h − 7x2 − 7h2 − 14hx − 2x + 7x2
2h − 7h2 − 14hx
Kommentarer: Vilka bokstäver man använder spelar förstås ingen roll. Det går lika bra om man
byter ut y mot h, som när man på lågstadiet byter äpplen mot päron. Kom nu ihåg att det är bäst
att behålla parenteserna så länge! Har man flera bokstavsfaktorer i en term brukar det vara vanligt
att ordna dem i bokstavsordning – skriv hellre 4hx än 4xh.
Läxa Lösning 2. a)
Vi ska alltså använda kvadreringsreglerna baklänges.
50a2 + 40a + 8
2(25a2 + 20a + 4)
2(5a + 2)2
Kommentarer: Varken 50 eller 8 är heltalskvadrater. Därför kan vi inte tillämpa någon av reglerna
direkt. Men om vi bryter ut 2 ser det bättre ut. Det är alltså första kvadreringsregeln som kommer
till användning här.
b)
x2 − 12xy + 36y2
x2 − 12xy + (6y)2
(x − 6y)2
Minustecknet framför dubbla produkten anger att det handlar om andra kvadreringsregeln.
Håkan Strömberg
8
KTH STH
Läxa Lösning 3. Här dyker det plötsligt upp en ekvation, trots att vi ännu inte pratat om det!
5x2 − (2x + 1)(x − 3)
5x − (2x2 − 6x + x − 3)
5x2 − 2x2 + 5x + 3
5x2 − 2x2 − 3x2 + 5x
=
=
=
=
x
=
2
3(x + 4)(x − 4)
3(x2 − 4x + 4x − 16)
3x2 − 48
−48 − 3
51
−
5
Kommentarer: Starta med att utveckla parenteserna, men behåll dem. I andra steget tar vi bort
parentesen på vänster sida och observerar samtidigt att det finns en minustecken framför den på
vänstra sidan. På högra sidan kan vi multiplicera in 3 och samtidigt ta bort parentesen. Samla nu
alla x och x2 -termer på vänster sida. Vilken tur att x2 -termerna försvann – vi har ju inte talat om
andragradsekvationer ännu! Resultatet −51/5 är lika med −10.2.
Läxa Lösning 4.
2 2
5
5
+ −
+
3 9 12 16
Först måste vi bestämma en gemensam nämnare och vi siktar in oss på
3
9
12
16
MGN=
=
=
=
=
MGN.
3
3·3
2·2·3
2·2·2·2
2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 144 Nu är det dags att förlänga
5 · 12
5·9
2 · 48 2 · 16
+
−
+
3 · 48 9 · 16 12 · 12 16 · 9
I nästa steg får vi
133
96 + 32 − 60 + 45
≡
144
144
Svar: Summan är
133
144
Läxa Lösning 5.
5x + 15 x2 − 3x
+
5
x
5(x + 3) x(x − 3)
+
5
x
(x + 3) + (x − 3)
2x
Läxa Lösning 6.
2
(3x+3y)2
− (2x−2y)
− (x + y)2
9
4
2
2
2
2
9x +18xy+9y
− 4x −8xy+4y
− (x2 + 2xy + y2 )
9
4
2
2
)
9(x2 +2xy+y2 )
− 4(x −2xy+y
− x2 − 2xy − y2
9
4
x2 + 2xy + y2 − (x2 − 2xy + y2 ) − x2 − 2xy − y2
x2 + 2xy + y2 − x2 + 2xy − y2 − x2 − 2xy − y2
−x2 + 2xy − y2
−(x2 − 2xy + y2 )
−(x − y)2
Håkan Strömberg
9
KTH STH
I varje uppgift du kommer att lösa under denna kurs ingår mer eller mindre manipulerande av
uttryck, kallat algebra. Därför är det speciellt viktigt att du kan hantera denna disciplin.
Problem 20. Förenkla
3x2 − 2x2 + 5x + 3x2 + 4x3 + x − 6x2 − 2x3 − 3x
Svar: 2x3 − 2x2 + 3x
Problem 21. Förenkla
x + 2y + 3z + (2x − y − 2z) − (y − 3x + 2x) − (2x + 3y − x)
Svar: 3x − 3y + z
Problem 22. Förenkla
(x + 1)(x + 3) − (x + 2)(x + 3) + 2(x − 2)(x − 1)
Svar: 2x2 − 7x + 1
Problem 23. Förenkla
(x3 + x)2 − (x3 − x)2 + (x3 + x)(x3 − x)
Svar: x6 + 4x− x2
Håkan Strömberg
10
KTH STH