Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet

Försättsblad till skriftlig tentamen
vid Linköpings universitet
Datum för tentamen
2015-10-21
Sal (2)
TER2 TERE
Tid
8-13
TFYA13
TEN1
Elektromagnetism
Skriftlig tentamen
IFM
Kurskod
Provkod
Kursnamn/benämning
Provnamn/benämning
Institution
Antal uppgifter som ingår i
tentamen
Jour/Kursansvarig
Ange vem som besöker salen
Telefon under skrivtiden
Besöker salen ca klockan
5
Peter Münger
013 - 28 5797
9:30 och 11:30
Lena Wide
Kursadministratör/kontaktperson
013 - 28 1229
(namn + tfnr + mailaddress)
[email protected]
Physics Handbook; Carl Nordling, Jonny Österman
Räknedosa (tömd på program och annan information)
Tillåtna hjälpmedel
Formelblad (utgörs av de sista bladen på tentan)
Matematiska tabeller, tex Beta, behövs dock ej
Betyg: 8-11 poäng 3, 12-15 poäng 4, 16-20 poäng 5
Övrigt
Elektromagnetism sommarkurs (TFYA61):
Bonuspoäng steg 1 ger 1 poäng på denna tentamen
Bonuspoäng steg 2 ger 2 poäng på denna tentamen
Lösningar anslås på anslagstavlan utanför
kursexpeditionen i fysikhuset och på kurshemsidan:
http://www.ifm.liu.se/courses/TFYA13
Antal exemplar i påsen
1. Antag att man vill mäta vattenflödet i ett ledningsrör av plast. Hur går du till
väga om du har tillgång till en hästskoformad permanentmagnet med ett luftgap
som precis passar utanpå plaströret? Förutom permanentmagneten har du tillgång
till en högohmig voltmeter. Dessutom råkar det sitta två kopparnitar mitt emot
varandra så som visas i figuren nedan. (Såväl plast som koppar är omagnetiskt.
Naturligt vatten innehåller alltid joner, lika många positiva som negativa.)
plaströr
kopparnit
a
(a) Redogör för hur du går tillväga och rita en tydlig figur. Härled ett analytiskt
uttryck för vattenflödet i röret. Med vattenflöde avses den volym vatten som
per tidsenhet passerar ett tvärsnitt av röret. Plastmaterialet i röret är tunt och
även nitarnas tjocklek kan försummas. Beteckna rörets radie a och den högohmiga voltmeterns utslag U0 . Antag att permanentmagneten ger en konstant
homogen magnetisk flödestäthet B över hela röret. Magnetfältets och vattenflödets riktningar samt spänningens polaritet ska tydligt framgå ur figuren.
(2p)
(b) Ge ett numeriskt värde på vattenflödet om permanentmagnetens magnetiska
egenskaper ges av tabellen nedan, dess medelväglängd är ` = 4,00 dm, rörets
radie är a = 1,00 cm och voltmetern visar U0 = 2,00 mV. Antag att tvärsnittsarean är densamma i permanentmagneten som den är i luftgapet där röret är
placerat.
0,0
0,3
0,4
0,5
B (T)
H (A/m) -5000 -4000 -3000 -2000
0,6
0
(2p)
2. En mycket lång rak tunn platt ledare är placerad parallellt med en mycket lång rak
trådformig ledare enligt tvärsnittet i figuren nedan.
I1
a
I2
b
Bredden på den tunna platta ledaren är a. Avståndet från den trådformade ledaren
till den platta ledarens närmaste långa kant är b och avståndet till den andra långa
kanten är a + b. Antag att strömmen i den platta ledare är I1 och att den är I2 i
den trådformade ledaren samt att strömmarna är motriktade. Strömmen I1 antas
vara jämtfördelad i den platta ledaren. Bestäm till storlek och riktning kraften per
längdsenhet mellan ledarna. Av lösningen skall det tydligt framgå varför kraften får
den framräknade riktningen.
(4p)
3. En kondensators belägg utgörs av två koaxiella metallcylindrar med längden L. Den
inre har ytterradie a och den yttre har innerradie b L. Mellanrummet är helt fyllt
med en elektret vars polarisation ges av P = ε0 χE + P0 R̂ i cylinderkoordinater där
χ och P0 är konstanter. Elektretens ledningsförmåga är σ = 0, det vill säga den är
en perfekt isolator. Beräkna kondensatorns differentiella kapacitans.
Ledning: differentiell kapacitans definieras som Cdiff ≡ dQ
vilket kan jämföras med
dU
Q
den vanliga definitionen av kapacitans C ≡ U .
(4p)
4. En lång homogen cylindrisk ledare med radien a beskrivs av relativa permeabiliteten
µr , ledningsförmågan σ och relativa dielektricitetskonstanten εr . Cylindern för en
harmoniskt tidsvarierande ström i(t) = I0 cos(ω t) i cylinderaxelns riktningen. Låt
z-axeln sammanfalla med cylinderaxeln och gör den komplexa ansatsen för strömtätheten, J = Jz ẑ med Jz = <e{Jc (R) · ejωt }, för att studera skinn-effekten. Härled
en differentialekvation för den komplexa strömtätheten Jc dvs härled ett samband
2
c
och ∂∂RJ2c med avsende på radien R. Det är
mellan Jc och dess partiella derivator ∂J
∂R
tillåtet att anta att ω ε0 εr /σ 1 för att göra en lämplig approximation.
(4p)
i(t)
a
5. Figuren illustrerar en volym för vilken vi skall beräkna resistansen mm. Volymen
definieras i sfäriska koordinater av a ≤ r ≤ b, θ0 ≤ θ ≤ π − θ0 , 0 ≤ φ ≤ 2π.
Värdet på konstanten θ0 ligger strikt mellan 0 och π/2. Materialet har en konstant
ledningsförmåga σ. De skuggade ytorna är metalliserade, dessa definieras av att φ
är godtycklig, radien ligger mellan a och b och att θ är fixerad till θ0 , i den övre
ytan, och π − θ0 i den nedre.
r̂
σ
θ0
a
J
θ
r
θ̂
b
(a) Vi förutsätter att strömtätheten J kan skrivas J = J(r,θ)θ̂. Vidare förutsätts
stationärt tillstånd dvs ∇ · J = 0. Hur beror J av θ? Motivera tydligt! (2p)
(b) Beräkna resistansen mellan de netalliserade (skuggade) ytorna. För att slututtrycket skall bli kompakt specialiserar vi till θ0 = π/3.
(2p)
Ledning:
Någon
integraler kan
vara användbar.
av
nedanstående
R dx
R dx
R dx
x 1 cos x
1
x =
ln
tan
,
=
−
cot
x,
=
−
+
ln
tan
.
2
3
2
sin x
2
2 sin x
2
2
sin x
sin x
Lycka till!
FORMELBLAD TILL Y-LINJENS KURS I
ELEKTROMAGNETISM.
Maxwells ekvationer:
∇·D=ρ,
∇×E=−
∇ · P = −ρp ,
D = ε0 E + P ,
∂B
,
∂t
P · n̂ = ρsp ,
∇ × M = Jm ,
B = µ0 H + M ,
∇·B=0,
∇×H=J+
Poyntingvektor: P = E × H
M × n̂ = Jsm
Potential och E-fält från elektriskt dipolmoment.
V =
p cos θ
,
4πε0 r2
E=
p
2
cos
θ
r̂
+
sin
θ
θ̂
4πε0 r3
Vektorpotential och B-fält från magnetiskt dipolmoment.
A=
µ0 m × r̂
,
4πr2
B=
µ0 m 2
cos
θ
r̂
+
sin
θ
θ̂
4πr3
Kraftmoment: T = r × F ,
T=m×B
!
∂B
dΦ
−
Elektromotorisk spänning: ε =
v × B · dl +
· dS = −
∂t
dt
C
S
I
∂D
∂t
Z
Några vanliga integraler:
Z
dx
= ln(x + (x2 + a2 )1/2 )
2
(x + a2 )1/2
;
Z
(x2
dx
x
= 2 2
2
3/2
+a )
a (x + a2 )1/2
Z
Z
x2 dx
a2
dx
x
x 2
1
2 1/2
2
2 1/2
(x
+
a
)
−
ln(x
+
(x
+
a
)
)
;
=
= arctan( )
2
2
1/2
2
2
(x + a )
2
2
x +a
a
a
Z
x2 dx
−x
= 2
+ ln(x + (x2 + a2 )1/2 )
2
2
3/2
2
1/2
(x + a )
(x + a )
Z
x3 dx
x2
2
2 1/2
=
2
(x
+
a
)
−
(x2 + a2 )3/2
(x2 + a2 )1/2
;
Z
x2 dx
x
= x − a arctan( )
2
2
x +a
a
Några användbara vektoridentiteter (V och f är skalära funktioner):
A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)
A × (B × C) = B (A · C) − C (A · B)
∇(f V ) = f ∇V + V ∇f
∇ · (f A) = f ∇ · A + A · ∇f
∇ × (f A) = f ∇ × A + ∇f × A
∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)
∇ · (∇V ) = ∇2 V
∇ × (∇V ) = 0
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A
∇ · (∇ × A) = 0
Gradient, divergens, rotation och Laplace-operator i olika koordinatsystem (V är en skalär funktion).
Cartesiska koordinater (x,y,z):
∇V =
∂V
∂V
∂V
x̂ +
ŷ +
ẑ
∂x
∂y
∂z
∇·A=
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
"
#
"
#
"
#
∂Az ∂Ay
∂Ax ∂Az
∂Ay ∂Ax
∇×A=
−
x̂ +
−
ŷ +
−
ẑ
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∇2 V =
∂ 2V
∂ 2V
∂ 2V
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
Cylindriska koordinater (R,φ,z):
∇V =
∂V
∂V
1 ∂V
φ̂ +
ẑ
R̂ +
∂R
R ∂φ
∂z
∇·A=
1 ∂
1 ∂Aφ ∂Az
(R AR ) +
+
R ∂R
R ∂φ
∂z
"
#
"
#
1 ∂Az ∂Aφ
∂AR ∂Az
1
∇×A=
−
R̂ +
−
φ̂ +
R ∂φ
∂z
∂z
∂R
R
∂V
1 ∂
R
∇V =
R ∂R
∂R
!
2
+
"
#
∂
∂AR
(R Aφ ) −
ẑ
∂R
∂φ
1 ∂ 2V
∂ 2V
+
R2 ∂φ2
∂z 2
Sfäriska koordinater (r,θ,φ):
∇V =
1 ∂V
1 ∂V
∂V
r̂ +
θ̂ +
φ̂
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
∇·A=
1
∂
1 ∂Aφ
1 ∂ 2 r Ar +
(sin θ Aθ ) +
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
1
∇×A =
r sin θ
1
r
"
"
"
#
∂
1 ∂Ar
−
(r Aφ ) θ̂ +
sin θ ∂φ
∂r
#
∂Ar
∂
(r Aθ ) −
φ̂
∂r
∂θ
1 ∂
∂V
∇V = 2
r2
r ∂r
∂r
2
#
∂Aθ
1
∂
(sin θ Aφ ) −
r̂ +
∂θ
∂φ
r
!
1
∂
∂V
+ 2
sin θ
r sin θ ∂θ
∂θ
!
+
1
∂ 2V
r2 sin2 θ ∂φ2