Oblig 1 - fasit

Oblig 1 - fasit
8.1.21
Riktig:
1
n+1
1−
lim
n→∞
2n n
n+1
1
lim
lim 1 − lim
n→∞
n→∞ n
n→∞ 2n
1
1
lim
1+
(1 − 0)
n→∞
2
n 1
1
lim 1 + lim
·1
2
n→∞
n→∞ n
1
(1 + 0) · 1
2
lim an =
n→∞
=
=
=
=
=
1
2
(Du trenger ikke ha med fullt så mange mellomregninger, så lenge det er klart hva
du gjør og hvilke metoder du bruker.)
Feil:
an = . . . =
1
2
(Utelatelse av lim regnes som en seriøs feil!)
n→∞
8.1.23
Riktig:
r
2n
lim
n→∞
n+1
r
2n
=
lim
sn→∞ n + 1
2
=
lim
n→∞ 1 + 1
n
q
2
=
1+0
lim an =
n→∞
√
2
Feil:
an = . . . =
√
2
(Utelatelse av lim regnes som en seriøs feil!)
n→∞
1
8.1.25
Riktig:
−1 ≤ sin n ≤ 1
− n1 ≤ sinn n ≤ n1
Vi setter bn = − n1 og cn = n1 , og ser at bn ≤ an ≤ cn . Vi kjenner allerede grensene
for bn og cn :
lim bn = lim cn = 0
n→∞
n→∞
Skviseregelen gir oss da at lim an = =0.
n→∞
8.1.27
Riktig:
lim an
=
n→∞
l’Hopital
=
=
=
=
n
n→∞ 2n
1
lim n
n→∞ 2 ln 2
1
1
· lim
ln 2 n→∞ n
2
1
·
0
ln 2
0
lim
Feil:
an
=
=
=
=
=
l’Hopital
n
2n
1
2n ln 2
1
· 1
ln 2 2n
1
·0
ln 2
0
(Utelatelse av lim regnes som en svært seriøs feil når du bruker l’Hopital!)
n→∞
2
1. Finn summen av rekka: 8.3:9
Riktig: (Hopper her over å skrive ut termene)
∞ ∞
∞
X
X
X
5
5
1
1
=
To geometriske rekker
+ n
+
n
n
n
2
3
2
3
n=0
n=0
n=0
= 1−5 1 + 1−1 1
med hhv. a = 5, r = 21
2
= 10 +
= 10 32
3
3
2
og a = 1, r =
1
3
Feil:
∞ X
5
5
1
1
= lim
+
+
n→∞
2n 3n
2n 3n
n=0
= ...
(Å bytte ut
∞
X
med lim er så feil som feil kan bli. 0 poeng.)
n=0
n→∞
Feil:
∞ X
5
1
+ n
= 25n +
n
2
3
n=0
= ...
(Å utelate ut
∞
X
1
3n
er så feil som feil kan bli. 0 poeng.)
n=0
3
8.3:23
Riktig: (Hopper her over å regne ut summen)
∞
X
−2n
e
=
n=1
∞
X
1 · (e−2 )n
n=1
Dette er en geometrisk rekke med a = 1 og r = e−2 . Siden |r| < 1, konvergerer rekka,
og vi kan bruke formel for å regne ut summen.
Feil:
∞
X
−2n
e
=
n=1
∞
X
1 · (e−2 )n
n=1
Rekka konvergerer!
(Du må huske å fortelle hvilken test du bruker, og hvordan du bruker den, om du
vil ha full uttelling!)
Feil:
∞
X
e−2n = lim e−2n = . . . = 0
n→∞
n=1
Rekka konvergerer!
∞
X
med lim er så feil som feil kan bli, selv når konklusjonen tross feil
(Å bytte ut
n=1
n→∞
metode blir riktig. 0 poeng.)
4
8.4.1
Riktig: Vi kaller summen vår
∞
X
an , og bruker grensesammenligning mot
n=1
∞
X
∞
X
5
bn =
:
n
n=1
n=1
an
= 1 (Her må du også ta med utregning; utelatt i denne fasiten.)
n→∞ bn
P
P
P
(b) Bruker p-test på
bn = 5 n11 . p = 1 ≤ 1 ⇒
bn divergerer.
P
P
(c) Case 0 < c < ∞:
bnP
divergerer ⇒
an divergerer,
så vi kan konkludere:
an divergerer
(a) c = lim
Riktig: Integraltest, riktig regnet, der du konkluderer at
Z ∞
∞
X
5
5
dx divergerer, så derfor divergerer
x+1
n+1
1
n=1
Feil:
∞
X
n=1
5
5
= lim
= ... = 0
n + 1 n→∞ n + 1
Rekka konvergerer!
∞
X
(Å bytte ut
med lim er så feil som feil kan bli, selv når konklusjonen tross feil
n=1
n→∞
metode blir riktig. 0 poeng.)
8.4.9
Riktig: Vi kaller summen vår
∞
X
∞
X
1
√ :
bn =
2 n
n=1
n=1
∞
X
an , og bruker grensesammenligning mot
n=1
an
=1
n→∞ bn
P
P 1
P
1
(b) Bruker p-test på
bn = 12
bn divergerer.
1 . Her: p = 2 ≤ 1 ⇒
n2
P
P
(c) Case 0 < c < ∞:
bnP
konvergerer ⇒
an konvergerer,
så vi kan konkludere:
an konvergerer
(a) c = lim
5
Feil:
∞
X
n=1
1
1
√
√
√ = ... = 0
= lim √
3
2 n + n n→∞ 2 n + 3 n
Rekka konvergerer!
∞
X
(Å bytte ut
med lim er så feil som feil kan bli, selv når konklusjonen tross feil
n=1
n→∞
metode blir riktig. 0 poeng.)
8.4.23
Riktig: Vi bruker forholdstesten. an = n!e−n og an+1 = (n + 1)!e−n−1 .
an+1
n→∞ an
(n + 1)!e−n−1
= lim
n→∞
n!e−n −n−1
(n + 1)! e
= lim
· −n
n→∞
n!
e
= lim (n + 1) · e−1
ρ =
lim
n→∞
= ∞
Siden ρ = ∞ > 1, divergerer rekka.
Feil:
ρ=
an+1
...
an
(Utelatelse av lim regnes som en seriøs feil!)
n→∞
Feil:
n + 1 e−n−1
(n + 1)! e−n−1
· −n = lim
· −n = . . .
n→∞
n→∞
n!
e
n
e
lim
(Feil forkortelse av fakultetstegnet ! regnes som en seriøs feil!)
Feil: Å unnlate å fortelle at du bruker forholdstesten er en feil, selv om feilen er
relativt liten siden forholdstesten er lett gjenkjennbar.
6
Feil: Å unnlate å fortelle at du konkluderer med divergens fordi ρ > 1 er feil.
8.4.29
Riktig: Vi bruker
ρ
=
=
=
l0 Hopital
=
√
n
-testen. an =
√
lim n an
n→∞ r
n
n (ln n)
lim
n→∞
nn
ln n
lim
n→∞ n
1
lim
(ln n)n
.
nn
n
1
1
lim = 0
n→∞ n
n→∞
=
Siden ρ = 0 < 1, konvergerer rekka.
Feil:
ρ=
√
n
an . . .
(Utelatelse av lim regnes som en seriøs feil!)
n→∞
√
Feil: Å unnlate å fortelle at du bruker n -testen er en feil, selv om feilen er relativt
√
liten siden n -testen er lett gjenkjennbar.
Feil: Å unnlate å fortelle at du konkluderer med konvergens fordi ρ < 1 er feil.
8.4.61
Riktig: Vi bruker forholdstesten.
ρ = lim
n→∞
1+sin n
an
n
an
1 + sin n
1
sin n
= lim + lim
=0
n→∞
n→∞ n
n→∞ n
n
= lim
sin n
- henvis til skviseregelen.
n→∞ n
Du må ha med utregning av grensa lim
8.5:5
Riktig: Vi bruker alternerende rekke-test for
∞
X
n=2
og vi må utføre 3 tester på den:
7
(−1)n+1
1
. Da er vår un =
ln n
1
,
ln n
(a) un ≥ 0: For x > 1 er ln x > 0, så un =
på n = 2.
1
ln n
> 0 siden vi starter summeringen
(b) un ≥ un+1 :
d
Alternativ 1: dx
ln x = x1 > 0 for x > 0, så ln er en stigende, positiv funksjon.
1
1
Da må ln x være en avtagende, positiv funksjon. Derfor er ln1n > ln(n+1)
d 1
Alternativ 2: dx
= (ln−xx)2 < 0 når x > 1, så ln1x er en avtagende funksjon for
ln x
1
de n vi ser på. Derfor er ln1n > ln(n+1)
1
=0
n→∞ ln n
(c) lim un = 0: Siden lim ln n = ∞ er lim un = lim
n→∞
n→∞
n→∞
Siden un passerte alle tre testene, konkluderer alternerende rekke-test med at
Rekka konvergerer.
Feil:
∞
X
(−1)n+1
n=2
1
1
= lim
= ... = 0
ln n n→∞ ln n
Vi ser at rekka konvergerer mot 0
∞
X
med lim er så feil som feil kan bli, selv når konklusjonen tross feil
(Å bytte ut
n=1
n→∞
metode blir riktig. 0 poeng.)
Feil: I punkt 3: un =
alvorlig feil!
1
ln n
= 0 Å utelate lim i utregningen av en grense er en
n→∞
8
8.5:11
Riktig: Vi bruker alternerende rekke-test for
(0.1)n , og vi må utføre 3 tester på den:
∞
X
(−1)n+1 (0.1)n . Da er vår un =
n=1
(a) un ≥ 0: un er et positivt tall, 0.1, opphøyd i en potens, og derfor alltid positiv.
(b) un ≥ un+1 : un+1 = (0.1)n+1 = 0.1 · (0.1)n = 0.1un < un
(c) lim un = 0: lim un = lim (0.1)n = 0
n→∞
n→∞
n→∞
Siden un passerte alle tre testene, konkluderer alternerende rekke-test med at
Rekka konvergerer.
Riktig: Vi bruker geometrisk rekke-test for
∞
X
n+1
(−1)
n=1
n
(0.1) =
∞
X
(−1) · (−0.1)n .
n=1
Her er a = −1 og r = −0.1, så |r| = 0.1 < 1, og vi kan konkludere at rekka konvergerer.
Feil:
∞
X
(−1)n+1 (0.1)n = lim (−1)n+1 (0.1)n = . . . = 0
n→∞
n=1
Vi ser at rekka konvergerer mot 0
∞
X
med lim er så feil som feil kan bli, selv når konklusjonen tross feil
(Å bytte ut
n=1
n→∞
metode blir riktig. 0 poeng.)
9
8.5:27
Riktig: Vi prøver alternerende rekke-test for
∞
X
n=1
(−1)n
n
. Da er vår un =
n+1
n
,
n+1
og vi må utføre 3 tester på den:
(a) un ≥ 0: un er en brøk av to positive tall når n ≥ 2, og derfor selv alltid positiv.
(b) un ≥ un+1 : Moteksempel - u2 =
2
3
>
1
2
= u1 . un feiler denne testen!
n
1
(c) lim un = 0: lim un = lim
= lim
= 1 6= 0. un feiler denne
n→∞
n→∞
n→∞ n + 1
n→∞ 1 + 1
n
testen!
Siden un feilet (minst) en test, konkluderer ikke alternerende rekke-test med noe
som helst. Vi må prøve en annen test.
Feil: Siden un feilet (minst) en test, divergerer rekka.
(Alternerende rekke-test kan ikke konkludere med divergens når testene feiler; kun
med konvergens hvis alle tre testene slår til.)
Riktig: Den eneste testen som vil hjelpe oss her er n’te-terms-testen. Rekka vår
∞
∞
X
X
n
n
(−1)n
an =
, så an = (−1)n n+1
er
. n’te-terms-testen går ut på at vi
n+1
n=1
n=1
regner ut
lim an = lim (−1)n
n→∞
n→∞
n
= udef inert
n+1
Grensa eksisterer ikke, men vil gå stadig nærmere å hoppe mellom −1 og 1. n’te
terms-testen sier:
Hvis ikke lim an = 0, divergerer
n→∞
noen konklusjon.
P
an . Hvis lim an = 0, har ikke n’te-terms-testen
n→∞
Vi konkluderer: Rekka divergerer
10
8.3:37
Riktig:
∞
X
n n
2 x =
n=0
∞
X
1 · (2x)n er ei geometrisk rekke med a = 1 og r = 2x.
n=0
Geometriske rekker konvergerer når |r| < 1, og divergerer ellers. For vår rekke
betyr det at vi har konvergens når (og kun når)
|2x| < 1
m
−1 < 2x < 1
m
x ∈< −1, 1 >
10
X
1
1968329
Math 1
=
2
i
1270080
i=1
Math 2
∞
X
π2
1
=
i2
6
i=1
11