Oblig 1 STK1100

Oblig 1 STK1100
Oppgave 1
a) Hvert gang vi spinner hjulet kan vi enten vinne eller tape, det er altså bare
to mulige utfall. Det er like stor sannsynlighet for at kulen ender opp ved
ett av de 18 valgte feltene i hvert forsøk, forsøkene er altså uavhengige.
Sannsynligheten er antall gunstige utfall delt på antall mulige utfall, altså
. Vi snurrer hjulet n = 20 ganger. Dette er et såkalt binomisk
p = 18
37
forsøk. Og den stokastiske variablen som indikerer antall ganger forsøket
lykkes er binomisk fordelt.
Dette betyr:
20 · 18
360
=
≈ 9.73
37
37
√
p
3 38
18.5
SD(X) = np(1 − p) =
<
= 0.5
37
37
E(X) = np =
b) La Y være den samlede nettogevinsten. Den totale utgiften er 2000kr.
Bruttogevinsten er 100X 36
. Det betyr:
18
Y = 200X − 2000
E(Y ) = 200E(X) − 2000
2000
36
= 2000 − 2000 = −
≈ −54
37
37
SD(Y ) = 200SD(X)
√
600 38
=
< 100
37
P
c) Hvis Y = 200X−2000 ≥ 1000 må X ≥ 15. P (X ≥ 15) = 20
k=15
0.015.
1
20
k
k
p (1 − p)20−k ≈
Hvis Y = 200X−2000 ≤ −1000 må X ≤ 5. P (X ≤ 5) =
0.027.
P5
k=0
20
k
pk (1 − p)20−k ≈
d) La Y = 600X − 2000 være den stokastiske variablen som viser hvor mye
spilleren som satser på seks felt vinner på 20 runder.
P
20 k
20−k
≈
Y = 600X−2000 ≥ 1000 betyr at X ≥ 5. P (X ≥ 5) = 20
k=5 k p (1 − p)
0.21.
k
P
Y = 600X−2000 ≤ −1000 betyr at X ≤ 35 . P (X ≤ 1) = 1k=0 20
p (1 − p)20−k ≈
k
0.14.
36 z−1 1
e) Z er negativt binomsk fordelt. Med P (Z = z) = 37
.
37
f) La Y = 3600 − 100Z ≥ 1000. Det betyr at Z ≤ 26. Altså
k−1
26 X
36
1
P (Z ≤ 26) =
37
37
k=1
=
1 − (36/37)26
≈ 0.5095
37(1 − 36/37)
La Y = 3600 − 100Z ≤ −1000. Det betyr at Z ≥ 46. Altså:
P (Z ≥ 46) = 1 − P (Z ≤ 45)
k−1
45 X
36
1
=1−
37
37
k=1
=1−
1 − (36/37)45
≈ 0.2914
37(1 − 36/37)
Oppgave 2
a) Vi ser først på sannsynligheten for å bli minst 30 + x år. Vi vet at qk er
sannsynligheten for en k-åring dør i løpet av året. Det betyr at 1 − qk
er sannsynligheten for å overleve. For å bli mer enn minst x år må man
overleve hvert eneste år til og med x:
P (X > x) =
x
Y
y=0
2
1 − q30+y
Vi ser deretter på F (x), x ∈ {i}76
i=0 :
F (x) = 1 − S(x) = 1 − P (X > x)
=
=
76
X
k=0
x
X
P (X = k) −
76
X
P (X = k)
k=x+1
P (X = k) = P (X ≤ x)
k=0
Altså den kumulative fordelingsfunksjonen til X.
b) Vi ser på F (x) − F (x − 1) = P (X ≤ x) − P (X ≤ x − 1). På samme måte
som i a) blir dette P (X = x), altså punktsannsynligheten til X.
c) Vi plotter p(x) på en logaritmisk skala:
−1
10
−2
Sannsynlighet
10
−3
10
−4
10
30
40
50
60
3
70
Alder
80
90
100
110
Ved hjelp av dette scriptet:
f i d = f o p e n ( ’ d o d e l i g h e t −o b l i g 1 . txt ’ , ’ r ’ ) ;
fgetl ( fid );
A = t e x t s c a n ( f i d , ’%d %f ’ ) ;
qx
Sx
Fx
px
=
=
=
=
r e s h a p e (A{ 2 } ( 3 1 : 1 0 7 ) / 1 e3 , [ 1 7 7 ] ) ;
cumprod ( 1 − qx ) ;
1 − Sx ;
Fx − [ 0 Fx ( 1 : 7 6 ) ] ;
s e m i l o g y ( ( 3 0 : 1 0 6 ) , px )
x l a b e l ( ’ Alder ’ )
ylabel ( ’ Sannsynlighet ’ )
d) Nåverdien A til en sum B som blir betalt om X år er slik at A·1.03X = B.
106
B
Dvs. at A = 1.03
X . I vårt tilfelle vil dermed h(X) = 1.03X når X ≤ 34 og
h(X) = 0 når X ≥ 35, siden utbetalingen bare skjer hvis kvinnen dør før
hun fyller 75.
P
e) Generelt er E(f (X)) = x∈D f (x)p(x). I vårt tilfelle blir dette:
E[h(X)] =
=
76
X
x=0
34
X
x=0
h(x)p(x)
76
X
106
0p(x)
p(x) +
1.03x
x=35
34
X
p(x)
= 10
1.03x
x=0
6
f) Vi regner ut E[h(x)] ved hjelp av MatLab:
Eh = sum ( 1 e6 ∗px ( 1 : 3 5 ) . / ( 1 . 0 3 . ˆ ( 0 : 3 4 ) ) )
Og får 45574.
K
g) Nåverdien til premieinnbetaling gjort på den 30 + x’te bursdagen er 1.03
x.
Det vil si at vi må summere disse leddene fra x = 0 til og med kvinnen
4
dør, altså X, eller fyller 74, altså x = 34.
min(X,34)
X
x=0
K
1 − (1/1.03)min(X,34)+1
=K
1.03x
1 − 1/1.03
= K · g(X)
Der den første likheten kommer av at vi summerer en geometrisk rekke.
h) Vi ser på E[g(X)]:
E[g(x)] =
=
=
=
=
=
=
76
X
g(x)p(x)
x=0
P76
x=0
p(x) 1 − (1/1.03)min(x,34)+1
1 − 1/1.03
P76
P76
min(x,34)+1
x=0 p(x)(1/1.03)
x=0 p(x) −
1 − 1/1.03
P
P33
min(x,34)+1
1 − x=0 p(x)(1/1.03)min(x,34)+1 − 76
x=34 p(x)(1/1.03)
1 − 1/1.03
P
P33
34+1
x+1
− 76
1 − x=0 p(x)(1/1.03)
x=34 p(x)(1/1.03)
1 − 1/1.03
P
P33
1 − x=0 p(x)(1/1.03)x+1 − (1/1.03)35 76
x=34 p(x)
1 − 1/1.03
P33
1 − x=0 p(x)(1/1.03)x+1 − (1/1.03)35 P (X ≥ 34)
1 − 1/1.03
i) Vi regner ut E[g(x)] ved hjelp av MatLab:
Eg = ( 1 − sum ( 1 . / 1 . 0 3 . ˆ ( 1 : 3 4 ) . ∗ px ( 1 : 3 4 ) ) − . . .
sum ( 1 / 1 . 0 3 ˆ 3 5 ∗ sum ( px ( 3 5 : 7 7 ) ) ) ) . / ( 1 − 1 / 1 . 0 3 )
Og får 21.7344.
5
j) Vi ser på K · E[g(X)] = E[h(X)]:
P
34
x+1
X
1 − 33
− (1/1.03)35 P (X ≥ 34)
p(x)
x=0 p(x)(1/1.03)
10
⇒
=
K
x
1.03
1
−
1/1.03
x=0
P
p(x)
106 (1 − 1/1.03) 34
x=0 1.03x
K=
P
x+1 − (1/1.03)35 P (X ≥ 34)
1 − 33
x=0 p(x)(1/1.03)
6
Når vi regner ut dette i MatLab, altså Eh/Eg, får vi K = 2096.9.
6