Operasjonsanalytiske emner

Transcription

Operasjonsanalytiske
emner
Del 17
Nettverksmodeller
Prosjektledelse
CPM – Critical Path Method
LP og Project Crashing
BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER
Rasmus Rasmussen
1
Innledning
Prosjektplanlegging kan være alt fra enkle oppgaver som
å planlegge en picnic for et lite foretak, til oppskyting av
en romferge.
En suksessfull prosjektgjennomføring krever:
Kunnskap om alle oppgaver som er involvert,
Nøyaktige estimat på ressurs- og tids -bruk for hver oppgave,
Oversikt over fysiske og logiske relasjoner mellom de ulike oppgavene.
To alternative teknikker for prosjektplanlegging:
Critical Path Method (CPM)
Program Evaluation and Reveiw Technique (PERT)
Regneark kan benyttes, men programvare for
prosjektstyring er langt mer effektivt å bruke.
Rasmus Rasmussen
2
Et husbyggingsprosjekt
Byggmester Solnes skal lede et nytt byggeprosjekt
som skal planlegges, overvåkes og kontrolleres.
Prosjektet er delt inn i 13 ulike aktiviteter, og de fleste
er avhengig av at andre aktiviteter er fullført før de
kan påbegynnes.
Ulike håndverkere utfører de ulike aktivitetene, og
trenger et gitt antall dager på å utføre sitt arbeid.
Rasmus Rasmussen
3
Aktiviteter i husbyggingsprosjektet
Aktivitet
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
Beskrivelse
Grave tomt
Støpe grunnmur
Legge avløp
Reisverk
Utvendig vegger, tak
Installere VVS
Legge el. kabler
Tak og veggplater
Skap, hyller, etc.
Innvendig maling
Sluttmontere VVS
Sluttføre el.utstyr
Gulvbelegg, etc.
Tidsbruk (dager) Forutgående aktiviteter
3
4
A
3
B
10
B
8
D
4
D
6
D
8
C, E, F, G
5
H
5
H
4
I
2
J
4
K, L
Rasmus Rasmussen
4
Activity-On-Node (AON) nettverk
C
Avløp
Grave
A
Interiør
I
K
Slutt VVS
Tak, vegg ute
B
E
Grunnmur
H
Tak, vegg, gulv inne
Gulvbelegg
M
VVS
F
Maling
Reisverk D
J
L
Slutt El.utstyr
Kabling
G
Rasmus Rasmussen
5
Prosjektnettverk: AON eller AOA
Prosjektnettverk der aktivitetene er representert med noder,
kalles AON (Activity On Node).
Greinene i AON representerer sekvensrelasjonene mellom
aktivitetene.
Prosjektnettverk kan også presenteres slik at greinene
representerer aktivitetene, dvs. AOA (Activity On Arc).
Nodene i AOA representerer start og stop punktene for
aktivitetene.
Fordi en aktivitet ikke kan ha flere start eller stop noder, må en ty
til «imaginære» aktiviteter/greiner for aktiviteter som må
etterfølge umiddelbart flere tidligere aktiviteter. Å beskrive
prosjektnettverk med AOA blir da litt mer komplisert enn AON.
Rasmus Rasmussen
6
Activity-On-Arc (AOA) nettverk
3
10
C:Avløp
B:Grunnmur
K:Slutt VVS
I:Interiør
1
5
A: 2
Grave
E:Tak, vegg
ute
D:Reisverk
8
9
H:
Tak,
vegg,
gulv inne
12
J:Maling
M: 13
Gulvbelegg
L:Slutt El.utstyr
6
4
11
F:VVS
G:Kabling
7
Rasmus Rasmussen
7
Start og stopp punkt
AON nettverk må ha unike start og stopp punkt.
A
D
C
B
E
A
D
start
B
stop
C
E
Rasmus Rasmussen
8
Critical Path Method – CPM
Et Forward Pass gjennom et nettverk beregner de
tidligste tidspunkt hver aktivitet kan starte og avslutte.
Et Backward Pass gjennom et nettverk beregner de
seneste tidspunkt hver aktivitet kan starte og avslutte
uten å forsinke fullførelsen av prosjektet.
Den lengste veien gjennom et nettverk kalles kritisk
vei.
Rasmus Rasmussen
9
Informasjon for hver node (AON)
ti Varighet for å utføre aktivitet i
ESTi Tidligste starttidspunkt for aktivitet i
EFTi Tidligste sluttidspunkt for aktivitet i
LSTi Seneste starttidspunkt for aktivitet i
LFTi Seneste sluttidspunkt for aktivitet i
ESTi
LSTi
i
ti
EFTi
LFTi
Rasmus Rasmussen
10
The Forward Pass
EST (tidligste starttidspunkt) for første aktivitet i et
prosjekt er «tidspunkt 0».
EST for alle andre aktiviteter er lik siste (maksimum)
tidligste sluttid (EFT) for aktivitetene som er direkte
forutgående:
EST = Max { EFT direkte forutgående aktiviteter }
EFT (tidligste sluttidspunkt) for en aktivitet er lik EST
pluss aktivitetens varighet:
EFTi = ESTi + ti
Rasmus Rasmussen
11
Forward Pass - Resultater
7 C 10
3
0 A 3
3
ESTi
i
EFTi
LSTi
ti
LFTi
33 I 38
5
3 B 7
4
17 E 25
8
7 D 17
10
17 F 21
4
38 K 42
4
25 H 33
8
42 M 46
4
33 J 38
5
38 L 40
2
17 G 23
6
Rasmus Rasmussen
12
The Backward Pass
LFT (seneste sluttidspunkt) for siste aktivitet i et
prosjekt er lik EFT beregnet i Forward Pass.
LFT for alle andre aktivitet er lik tidligste (minste)
seneste sluttid (LST) for aktivitetene som er direkte
påfølgende:
LFT = Min { LST direkte påfølgende aktiviteter }
LST (tidligste starttidspunkt) for en aktivitet er lik LFT
minus aktivitetens varighet:
LSTi = LFTi  ti
Rasmus Rasmussen
13
Backward Pass - Resultater
7 C 10
22 3 25
0 A 3
0 3 3
ESTi
i
EFTi
LSTi
ti
LFTi
33 I 38
33 5 38
3 B 7
3 4 7
17 E 25
17 8 25
7 D 17
7 10 17
17 F 21
21 4 25
38 K 42
38 4 42
25 H 33
25 8 33
42 M 46
42 4 46
33 J 38
35 5 40
38 L 40
40 2 42
17 G 23
19 6 25
Rasmus Rasmussen
14
Critical Path Method – CPM
Kritisk vei gjennom nettverket består av de aktiviteter
som hvis de blir forsinket, vil forsinke hele prosjektet.
De aktiviteter der seneste starttidspunkt er lik tidligste
starttidspunkt (LST = EST) utgjør den kritiske vei.
(Alternativt LFT = EFT).
Aktiviteter som ikke inngår i kritisk sti har slakk:
Slakki = LSTi  ESTi
= LFTi  EFTi
Slakk angir hvor mye aktiviteten kan forsinkes, uten å
påvirke fullføringstidspunktet for prosjektet.
Kritiske aktiviteter har null slakk.
Rasmus Rasmussen
15
Kritisk vei
Slakk = 15
7 C 10
22 3 25
0 A 3
0 3 3
33 I 38
33 5 38
3 B 7
3 4 7
17 E 25
17 8 25
38 K 42
38 4 42
25 H 33
25 8 33
42 M 46
42 4 46
Slakk = 4
7 D 17
7 10 17
17 F 21
21 4 25
33 J 38
35 5 40
38 L 40
40 2 42
Slakk = 2
Slakk = 2
Slakk = 2
ESTi
i
EFTi
LSTi
ti
LFTi
17 G 23
19 6 25
Rasmus Rasmussen
16
Prosjektledelse (CPM) i regneark
EST, EFT, LST og LFT for prosjektaktiviteter kan
beregnes i regneark ved bruk av array (vektor)
formler og sirkulære referanser.
En array formel utfører flere beregninger og
returnerer enten én verdi eller en vektor av verdier.
En array formel lages på samme måte som alle andre
formler, men avsluttes med å trykke [Ctrl] + [Shift] +
[Enter] samtidig, for å fullføre formelen.
Rasmus Rasmussen
17
Eksempler på array formler
Standard
=SUMPRODUCT(E5:E17;F5:F17)
=SUMIF(E5:E17;">10“;F5:F17)
Array
=SUM(E5:E17*F5:F17)
=SUM(IF(E5:E17>10;F5:F17))
=COUNTIF(E5:E17;">0")
=SUMXMY2(E5:E17;F5:F17)
=VARP(E5:E17)
-
=SUM(IF(E5:E17>0;1))
=SUM((E5:E17-F5:F17)^2)
=AVERAGE((E5:E17-AVERAGE(E5:E17))^2)
=MAX(IF(E5:E17<20;F5:F17))
-
MIN(IF(E5:E17>20;F5:F17))
Tips!
Bruk Formulas, Evaluate Formula kommandoen for å trinnvis
evaluere array formlene for EST og LFT.
Rasmus Rasmussen
18
Sirkulære referanser
En sirkulær referanse oppstår når en verdi i en celle
avhenger av en verdi i en annen celle, som i sin tur er
avhengig av verdien i den opprinnelige cellen.
Excel gir advarsler ved sirkulære referanser, siden de
ofte er utilsiktet.
For å angi i Excel at du ønsker å benytte sirkulære
referanser må du:
Klikk File, Options
Klikk Formulas og velg «Enable iterative calculation»
Rasmus Rasmussen
19
Tillat sirkulære referanser i Excel
Rasmus Rasmussen
20
Viktig ved implementering i Excel
Det er nødvendig å benytte etiketter/navn/nummer for
aktivitetene som er unike og som ikke opptrer som
deler i andre aktivitetsnavn.
«A1» og «A11» vil ikke fungere, men «A01» og «A11».
Brukes mer enn ett siffer, må alle tall ha like mange
siffer.
Om en bare bruker tall må en anvende Tekst format for
alle celler som benyttes til aktivitetsnavn.
Rasmus Rasmussen
21
CPM i regneark
Celle
Formel
Kopieres til
F3
{=MAX(IF(ISERR(FIND($B$3:$B$15;D3));0;$G$3:$G$15))}
F4:F15
G3
=F3+E3
G4:G15
H3
=I3-E3
H4:H15
I3
{=MIN(IF(ISERR(FIND(B3;$D$3:$D$15));MAX($G$3:$G$15);$H$3:$H$15))}
I4:I15
J3
=I3-G3
J4:J15
Rasmus Rasmussen
22
Grafisk CPM
Gantt plott
Aktivitet
M
L
K
J
I
H
G
Symboler
F
Aktivitetstid
E
Slakk
D
C
B
A
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Tidspunkt (dager)
Rasmus Rasmussen
23
Prosjekt forsering (crashing)
Ofte er det mulig å fullføre aktiviteter raskere enn
normalt ved bruk av ekstra ressurser (overtid, utstyr, o.l.)
Dette kalles «crashing» eller forsering av prosjektet.
Vi ønsker å finne den optimale måten å forsere
prosjektet, for å:
Fullføre prosjektet raskere enn opprinnelig prosjektert,
Følge tidsplanen hvis kritiske aktiviteter er blitt forsinket.
Rasmus Rasmussen
24
Tidsbruk og kostnader ved crashing
Celle
Formel
Kopieres til
G4
=C4-E4
G5:G16
H4
=(F4-D4)/G4
H5:H16
Rasmus Rasmussen
25
Manuell crashing
Hvis et prosjekt skal crashes med et gitt antall perioder,
kan prosedyren deles opp i følgende steg:
1. Finn kritisk(e) vei(er) for prosjektnettverket.
2. Hvis bare én kritisk vei, velg den aktivitet som har lavest
crashkostnad pr. periode.
Dersom flere kritiske veier, finn den billigste crash på
hver kritisk vei. Om en aktivitet ligger på flere kritiske
veier, vil den ofte være billigst alternativ.
Crash valgt(e) aktivitet(er) med én periode.
3. Oppdater prosjektnettverket. Hvis varigheten fortsatt
overstiger ønsket tid, gå tilbake til trinn 1.
Rasmus Rasmussen
26
Eksempel på crashing - Forsinkelser
Anta at byggeprosjektet er startet, og aktivitet A, B, C,
D, F og G alle har gått som planlagt, men E er
forsinket med 2 dager.
En ønsker å forsere resten av prosjektet, slik at det
kan fullføres på beregnet tid, dvs. ferdig på dag 46.
Vi må nå finne ny kritisk vei, og velge den billigste
aktivitet som kan crashes. Merk at etter en slik
forsering kan flere veier bli kritisk vei.
Rasmus Rasmussen
27
Forward Pass - Forsinkelse
7 C 10
3
0 A 3
3
ESTi
i
EFTi
LSTi
ti
LFTi
35 I 40
5
3 B 7
4
17 E 27
10
7 D 17
10
17 F 21
4
40 K 44
4
27 H 35
8
44 M 48
4
35 J 40
5
40 L 42
2
17 G 23
6
Rasmus Rasmussen
28
Backward Pass - Forsinkelse
35 I 40
35 5 40
40 K 44
40 4 44
27 H 35
27 8 35
44 M 48
44 4 48
35 J 40
37 5 42
ESTi
i
EFTi
LSTi
ti
LFTi
40 L 42
42 2 44
Rasmus Rasmussen
29
Kritisk vei - Forsinkelse
• Billigste crash langs kritisk sti
(H-I-K-M) er kr. 500,- for aktivitet
H, som kan crashes inntil 3 dager.
• Vi ser at slack for aktivitet J
(LST – EST) = 2.
Det tilsvarer mertiden for I og K i
forhold til J og L.
• Uansett hvor mye vi forserer H så
vil kritisk sti derfor forbli uendret
H-I-K-M.
• Vi kan således crashe H med 2
dager og bli ferdig med hele
prosjektet innen fastsatt tid.
ESTi
i
EFTi
LSTi
ti
LFTi
Max 2
750,-
Max 2
750,-
35 I 40
35 5 40
40 K 44
40 4 44
Max 3
500,27 H 35
27 8 35
Max 2 44 M 48
1000,- 44 4 48
35 J 40
37 5 42
40 L 42
42 2 44
Max 3
500,-
Max 1
500,-
Rasmus Rasmussen
30
Finne tidligste forserte ferdigstilling
Vi kan finne tidligste forserte ferdigstillingstid for et
prosjekt ved å formulere en LP modell.
Parametere:
a
M
G
ti
ci
ki
Mengden aktiviteter, listet i kronologisk rekkefølge
Siste aktivitet i mengden a, ferdigstilling
Mengden av greiner i nettverket
Normal varighet aktivitet i
Maksimal forsering/crashing aktivitet i
Kostnad pr tidsenhet forsering aktivitet i
i, j  {a}; der j er avhengig av i.
i  {a}
i  {a}
i  {a}
Beslutningsvariabler:
Ti
Starttidspunkt for aktivitet i
i  {a}
Ci
Antall perioder forsering av aktivitet i
i  {a}
Rasmus Rasmussen
31
Prosjektstyring – Forsering
Målfunksjon:
min TM  tM  CM 
Minimer sluttidspunktet for prosjekt M, det
siste prosjektet.
Vi ønsker å bli ferdig med hele prosjektet så tidlig som mulig, dvs. avslutte siste aktivitet M
på tidligst mulig tidspunkt.
Starttid for siste aktivitet + aktivitetens varighet – antall perioder forsert = ferdigtidspunkt.
Merk at denne formuleringen ikke tar hensyn til kostnader. Vi får en løsning som kun gir
oss tidligst mulig ferdigstilling, uten hensyn til kostnader.
Vi må derfor løse et nytt problem for å finne billigste måte å ferdigstille prosjektet innen
det tidligste tidspunktet denne formuleringen gir oss.
Rasmus Rasmussen
32
Restriksjoner:
T j  Ti  ti  Ci for alle i, j  a
For hver grein i prosjektnettverket fra aktivitet i
til j må starttidspunktet for prosjekt j være minst
like stor som sluttidspunktet for aktivitet i.
Ci  ci for alle i  a
kan ikke overstige maksimalt antall perioder
aktiviteten kan forseres.
Rasmus Rasmussen
33
Hurtigst mulig ferdigstilling - crashing
Celle
Formel
Kopieres til
G4
=C4-E4
G5:G16
H4
=(F4-D4)/G4
H5:H16
D17
=SUM(D4:D16)
-
H17
=SUMPRODUCT(H4:H16;J4:J16)
-
I17
=I16+C16-J16
-
Celle
Formel
Kopieres til
N4
=VLOOKUP(L4;$B$4:$I$16;8)
+VLOOKUP(L4;$B$4:$C$16;2)
-VLOOKUP(L4;$B$4:$J$16;9)
N5:N19
O4
=VLOOKUP(M4;$B$4:$I$16;8)
O5:O19
Rasmus Rasmussen
34
Prosjektstyring – Billigst forsering
Målfunksjon:
min  ki  Ci
ia
Minimer sum kostnad crashing
for alle aktiviteter.
Vi ønsker å forsere prosjektet på billigste måte.
Rasmus Rasmussen
35
Restriksjoner:
T j  Ti  ti  Ci for alle i, j  a
For hver grein i prosjektnettverket fra aktivitet i
til j må starttidspunktet for prosjekt j være minst
like stor som sluttidspunktet for aktivitet i.
Ci  ci for alle i  a
kan ikke overstige maksimalt antall perioder
aktiviteten kan forseres.
TM  tM  CM   T *
Ferdigstillingstidspunkt for siste aktivitet
må ikke være senere enn
tidligst mulig ferdigstillingstidspunkt T*.
Tidligst mulig ferdigstillingstidspunkt T* er beregnet i forrige LP-modell, og er her dag 28.
Rasmus Rasmussen
36
Hurtigst & billigst ferdigstilling
Rasmus Rasmussen
37
Kostnadsavveiinger og forsering
Celle
Formel
Kopieres til
D22
=PsiOptValue($H$17;B22)
I18
=PsiOptParam(C22:C40)
D23:D40
Rasmus Rasmussen
-
38
LP og CPM
Vi kan modifisere LP modellen for crashing til
prosjektstyring uten crashing, ved å sette tillatt
crashtid for hver aktivitet lik 0.
Finn EST: Sett målfunksjonen til min 𝑖∈𝑎 𝑇𝑖 , dvs.
minimer summen av alle starttidspunkter.
Finn LST: Sett målfunksjonen til 𝑚𝑎𝑥 𝑖∈𝑎 𝑇𝑖 , dvs.
maksimer summen av alle starttidspunkter.
Legg til som restriksjon at TM = ESTM funnet i forrige
trinn, dvs. siste aktivitet må starte på sitt tidligst
mulige tidspunkt.
Rasmus Rasmussen
39
PERT
CPM antar at aktivitetenes varighet er kjent med sikkerhet og
kan estimeres nøyaktig.
PERT inkluderer usikkerhet i aktivitetenes varighet ved tre
estimater:
ai = kortest varighet for aktivitet i
bi = lengst varighet for aktivitet i
mi = mest sannsynlig varighet for aktivitet i
PERT estimerer så forventet varighet ti :
og variansen vi til hver aktivitet slik:
𝑡𝑖 =
𝑎𝑖 +4𝑚𝑖 +𝑏𝑖
6
𝑣𝑖 =
𝑏𝑖 −𝑎𝑖 2
36
Rasmus Rasmussen
40
PERT
Forventet (eller gjennomsnittlig) tid for å fullføre en vei i
nettverket er lik summen av forventet tid (ti) til
aktivitetene på veien.
Hvis de individuelle aktivitetenes varighet i et prosjekt er
uavhengige, så kan vi også beregne variansen for
fullføringstiden for enhver vei i nettverket ved å summere
variansene (vi) til aktivitetene på veien.
PERT betrakter veien med den lengste forventede
fullføringstid som kritisk vei i prosjektnettverket.
PERT sitt resonnement kan være feilaktig….
Rasmus Rasmussen
41
PERT Eksempel
B
A
a=2 A
m=4 t=4
b=6 v=0,44
a=8
B
m=9 t=9
b=10 v=0,11
D
a=2
C
m=8 t=8
b=14 v=4
a=3 D
m=5 t=5
b=7 v=0,44
C
Vei
Forventet tid
Varians
A–B–D
4 + 9 + 5 = 18
1,00
A–C–D
4 + 8 + 5 = 17
4,89
Rasmus Rasmussen
42
Sannsynlighetsfordeling fullføringstid
A–B–D
A–C–D
Om en ønsker å fullføre prosjektet innen 21 dager, hvilken vei er den mest kritiske?
Vei A – B – D har forventet tid 18, men bare 0,5% sjanse for å bruke mer enn 21 dager.
Vei A – C – D har forventet tid 17, men hele 6,8% sjanse for å bruke mer enn 21 dager.
Rasmus Rasmussen
43
Simulering av et prosjektnettverk
For å unngå svakheten ved PERT, kan en benytte
simulering.
Aktivitetenes varighet er en stokastisk variabel, med
en triangulær fordeling:
Sannsynlighet,
tetthet
a = Best case
m = Mest sannsynlig case
b = Verste case
a
0
1
m
2
3
4
Varighet
b
5
Rasmus Rasmussen
6
44
Stokastisk varighet for aktivitetene
Aktivitet
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
Beskrivelse
Grave tomt
Støpe grunnmur
Legge avløp
Reisverk
Utvendig vegger, tak
Installere VVS
Legge el. kabler
Tak og veggplater
Skap, hyller, etc.
Innvendig maling
Sluttmontere VVS
Sluttføre el.utstyr
Gulvbelegg, etc.
Forutgående
A
B
B
D
D
D
C,E,F,G
H
H
I
J
K,L
Best
a
2
3
2
8
6
3
4
7
4
3
3
1
3
Tid
Sannsynlig
m
3
4
3
10
8
4
6
8
5
5
4
2
4
Verst
b
5
6
7
14
10
5
8
10
7
9
6
4
6
Rasmus Rasmussen
45
Stokastisk tid - Prosjektnettverk
Celle
H3
Formel
=PsiTriangular(E3;F3;G3)
Kopieres til
H4:H15
Rasmus Rasmussen
46
Formlene i regnearket
Merk at formlene for EST og LFT ikke lenger er generelle formler, som medfører simultane iterasjoner.
Disse formlene må nå legges inn individuelt for hver aktivitet. (Øvrige formler kopieres fra linje 3.)
Rasmus Rasmussen
47
Simuleringsresultater
Forventet
gjennomføringstid
= 48,81 dager.
Minste tid = 41,96.
Lengste tid = 55,44.
Det er 71,2% sjanse
for at prosjektet er
ferdig innen 50
dager.
(Dermed 28,8%
sjanse for at det tar
mer enn 50 dager.)
Simuleringsresultatene vil variere litt fra simulering til simulering, da andre tilfeldige tall trekkes
hver gang en ny simulering kjøres.
Rasmus Rasmussen
48

Operasjonsanalytiske emner

Transcription

Similar documents

Prisliste 2016 | DN Digital

CASA® R3 Smart