Inlämningsuppgifterna

Inlämningsuppgifter i Funktionsteori, vt 2016
För att man ska bli godkänd på kursen krävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och
laborationer är godkända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatoriska. Enligt kursplanen ska
inlämningsuppgifterna och datorövningar vara godkända
innan
den skriftliga tentamen. En
vecka före varje omtentamenstillfälle tar vi emot missade inlämningsuppgifter. I dessa fall ska
samtliga uppgifter lämnas in. Det kan därför vara klokt att spara det man hunnit göra med
inlämningsuppgifterna under kursens gång.
När alla obligatoriska inlämningsuppgifter är godkända och datorövningarna fullgjorda förs
detta in i Ladok (under rubriken: Datorlaborationer av historiska skäl). Slutbetyg på kursen förs in när såväl den skriftliga tentamen som de obligatoriska momenten är avklarade.
Resultatet på den skriftliga tentamen avgör slutbetyget.
I år kommer vi inte speciellt att examinera laborationerna. Det är dock nödvändigt att göra
dem, för att kunna lösa vissa av inlämningsuppgifterna.
Varför har vi inlämningsuppgifter?
Kursens mål är, förutom faktakunskaper om kursinnehållet, att ge:
ˆ
förmåga att läsa och bedöma de matematiska resultaten i andras arbeten,
ˆ
färdighet i egen problemlösning,
ˆ
träning i att för andra redovisa matematiska överläggningar,
ˆ
träning i att använda matematiska datorprogram.
Detta är svårt att göra enbart under lektioner och ännu svårare att testa vid en femtimmarstentamen. Därför har vi inlämningsuppgifter. Eftersom uppgifterna inte enbart är till för
att träna problemlösning läggs en hel del vikt även vid presentationen.
Sikta på att att skriva lösningarna på ett sådant sätt att att du själv och dina kurskamrater
skall kunna läsa och förstå dem även efter några månader (innan kursen blivit helt bortglömd).
Rättning av uppgifterna
Dina inlämningsuppgifter rättas av någon av lärarna som är inblandade i kursen. Eventuellt
får vi hjälp av ytterligare någon.
Se information på kurshemsidan för vem du ska lämna in dina lösningar till.
Vi använder skalan G/U vid rättningen. Om du får U på någon uppgift, måste du lämna
in en komplettering av denna. Se till att bli helt godkänd på den första omgången inlämningsuppgifter innan det är dags för den andra omgången!
Vi rättar inlämningsuppgifterna ganska hårt hårdare än vi brukar rätta tentor. Det ger dig
en möjlighet att träna på att presentera
goda
lösningar, och inte bara nätt och jämt acceptabla
sådana.
Se det inte som ett misslyckande om du inte blir godkänd i första försöket (det brukar bara
vara ett fåtal som blir det). Se det i stället som en möjlighet att få personlig feedback som gör
att dina lösningar blir bättre!
Några regler för utförandet
ˆ
Arbetet får gärna göras i samarbete. Ange i så fall med vem. Om ni samarbetar två och
två, så vill vi att ni lämnar in en
enda gemensam
med bådas namn och personnummer.
1
lösning. Märk försättsbladet tydligt
ˆ Om du kör fast eller är osäker så använd alla tillgängliga hjälpmedel, läroboken, övnings-
samlingen, dina lärare, kamrater, . . . för att komma vidare. (Det betyder dock inte att
det är tillåtet att någon annan förser dig med en fullständig lösning! Det är heller inte
tillåtet att fråga efter fullständiga lösningar på onlineforum. Om du ändå ställer frågor om inlämningsuppgifter, var noga med att ange att det handlar om obligatoriska och
examinerande uppgifter.)
ˆ
Redogörelserna ska vara
prydligt handskrivna. Riv bort eventuella fransar från margina-
lerna.
ˆ
Inled redogörelsen med ett försättsblad. Du kan ladda hem ett förtryck sådant på kurshemsidan.
ˆ
Sortera uppgifterna i nummerordning.
ˆ
Redogörelserna skall vara läsbart uppställda och utskrivna.
ˆ Se till att svara på alla frågor som som ställs i uppgiften!
Det händer ofta att man får U
på någon uppgift, just för att man inte besvarat frågorna.
ˆ
Alla räkningar skall vara inskrivna.
ˆ
Räkningarna kan vara utförda för hand. Använd gärna Maple eller Matlab för att kontrollera dina beräkningar och på så sätt undvika onödiga slarvfel.
ˆ
Förklara de beteckningar som du inför.
ˆ
Förklara de olika stegen och ge logiska motiveringar till dem.
Skriv text,
helst fullstän-
diga meningar, och namnge om möjligt de resultat du använder (geometrisk summa,
teleskopserie, CauchyRiemanns ekvationer . . . ).
ˆ
Börja om möjligt med en kort presentation av det problem du löser och sluta om det
passar med en sammanfattning av resultaten. Du behöver förstås inte göra det överdrivet
detaljerat utan får förutsätta att läsaren har problemtexten tillgänglig.
ˆ
Rita gurer varje gång det kan förbättra förståelsen!
ˆ
Alla körningar i Matlab eller Maple redovisas genom att en körjournal bifogas - om inget
Kommentera resultaten av datorräkningarna, försök att förklara
eventuella överraskningar!
annat sägs i uppgiften.
Checklista för bedömning av inlämningsuppgifter
Ni skall också själva pröva att bedöma lösningar, för att träna era av kursmålen ovan. Det
kan då vara bra att ha en liten checklista:
ˆ
Går lösningen att läsa?
ˆ
Förklarar författaren sina beteckningar?
ˆ
Är räkningarna ordentligt uppställda i logisk ordning?
ˆ
Talar författaren om vilka (inte självklara) formler och satser som används?
ˆ
Svarar författaren på den fråga som ställs i uppgiften?
ˆ
Är framställningen språkligt korrekt?
ˆ
Är resultatet rimligt (använd sunt förnuft)?
ˆ
Är resultatet riktigt?
2
Inlämningsuppgift 1, Funktionsteori, vt 2016
Inlämning:
Lösningarna ska lämnas in senast kl 15 måndagen den 8 februari 2016 i speci-
ella fack på våning 3 i Mattehuset. Kontrollera att du har skrivit namn, personnummer och
kursprogram på dina lösningar.
Hämtning:
De rättade uppgifterna kan hämtas i ett fack invid inlämningsfacket. Uppgifterna
bör vara rättade senast en vecka efter deadline. Om du har någon deluppgift, som är U-märkt,
rekommenderas du att omgående rätta den och därefter lämna in den för ny bedömning. Alla
deluppgifterna ska alltså vara godkända för att inlämningsuppgiften i sin helhet ska betraktas
som godkänd.
1.1.
Bestäm den reella konstanten
a
så att
v (x; y ) = x3 + axy 2
blir imaginärdelen av en holomorf funktion
en funktion av
z,
där
z
=
x + iy .
f
2
3x
y + y3
sådan att
f (0) = 1. Uttryck också f (z ) som
Utnyttja det du lärt dig på laboration 1: använd Maple för att kontrollera att du räknat
rätt. Lämna in resultatet av dina Maplekörningar.
1.2.
Bestäm alla lösningar till ekvationen sin z = 2i. Vilka lösningar hittar Maple? Om du bara
_EnvAllSolutions:=true: Lös sedan ekvationen
evalc på lösningen. Kommandot convert(..., expln) kan också vara
får fram en lösning så skriv i Maple:
igen och använd
användbart.
Fick Maple samma lösning som du ck vid handräkning?
Tolka alla konstiga
symboler som eventuellt nns med i Maples svar. Glöm inte att lämna in en utskrift av
dina Mapleräkningar. Glöm heller inte att
1.3.
i
heter
I
i Maple.
Med följande Matlab-kommandon:
t = 0:pi/100:pi/2;
r = 0.5:0.1:1;
x = r' * cos(t);
y = r' * sin(t);
z = x + i*y;
w = log(z.^12);
surfc(x, y, imag(w))
x
ritas grafen till funktionen
y
w
0:5
1
= Im(log(z 12 )) om denitionsområdet är den fjärdedels
cirkelring, som är avbildad ovan. Matlabgrafen tycks göra tre språng. Vad är värdet på
t
i respektive språng? Motivera ditt svar matematiskt och jämför dessutom med den gur,
som du får fram med Matlab. Försök att vara så tydlig (och korrekt) som möjligt!
Tänk på att Matlab använder logaritmfunktionens principalgren. (Vad blir
reit ?)
1.4.
z
=
och
z2
om
Glöm inte att lämna in resultatet av Matlab-körningen.
Låt Log betyda logaritmfunktionens principalgren. Ge
konkreta
exempel på tal
6
z1
sådana att Log z1 ; Log z2 och Log(z1 =z2 ) är denierade men där Log(z1 =z2 ) = Log z1
Log z2 .
1.5.
z 12
Beräkna kurvintegralerna
Z
a)
där kurvan
jzj=3 (z 3
i b) är ellipsen
sin z
30)(z 2 + 10)
x2 + 4y 2
= 100 (där
3
Z
dz
b)
z
=
x + iy ).
ez
z2 + 4
dz;
1.6.
1.7.
Lös rekursionsekvationen
xn+2 8xn+1 + 16xn
x0 = 0; x1 = 0:
= 9n + 3;
n = 0; 1; 2; : : :
Lös rekursionsekvationen
xn 10xn
x0 = 0; x1
1
+ 50xn 2 = 0;
= 10:
n = 2; 3; : : :
Skriv svaret på reell form (dvs. inga i:n i svaret). Använd
beräknat för hand och bestäm
meningen
x32
formeln
för
xn
som du har
dels med Matlab, dels med Maple. Det är alltså
att du ska lösa ekvationen med hjälp av datorprogrammen. Beräkna även
inte
x32
för hand (med din formel) så att du kan jämföra med resultaten du ck från Maple och
Matlab. Är de samma?
Eftersom det inte är säkert att de båda programmen kommer fram till samma svar är
det bra om du beskriver hur du har gjort då du använt programmen. Lämna också in
en utskrift av vad du gjort med Maple respektive Matlab. Försök att förklara eventuella
skillnader.
4
Inlämningsuppgift 2, Funktionsteori, vt 2016
Inlämning:
Lösningarna ska lämnas in senast kl 15 onsdagen den 24 februari 2016 i speciella
fack på våning 3 i Mattehuset. Kontrollera att du har skrivit namn och kursprogram på dina
lösningar.
Hämtning:
De rättade uppgifterna kan hämtas i ett fack invid inlämningsfacket. Uppgifterna
bör vara rättade senast en vecka efter deadlinen. Om du har någon deluppgift som är U-märkt
rekommenderas du att omgående rätta den och därefter lämna in den för ny bedömning. Alla
deluppgifterna ska alltså vara godkända för att inlämningsuppgiften i sin helhet ska betraktas
som godkänd.
2.1.
Vilka av serierna
a)
+1
X
k=0
e)
+1
X
5
k+1
e ik
+1
X
b)
k=2
3
(k
+1
X
f)
k=0
k=1
c)
1)2
+1
X
(
k=1
1
g)
k 1+1=k
+1
X
k=1
känner Maple igen och kan ange en summa eller
kan du i Maple skriva
k
p1)
d)
k
k=1
1)k
(
h)
arctan k
3k
+1
X
(
k=1
1)k sin k
k2 + 1
1 1=k2
1? För att t ex summera serien P+k=1
sum(1/k^2,k=1..infinity);.
Avgör utan att använda Maple vil-
ka av serierna som är konvergenta respektive divergenta.
motiveringar.
+1 3
X
k
Ge noggranna och fullständiga
Detta är den uppgift som brukar orsaka est U:n. Vi rättar den stenhårt
för att ni verkligen ska träna på att ge ordentliga motiveringar.
P+1 (
Varning: Om man med Maple försöker beräkna ett närmevärde för en divergent serie kan
man få vilseledande resultat. Exempelvis är serien
Maple ger kommandot
k=0
1)k givetvis divergent men i
evalf(sum((-1)^k,k=0..infinity));
ändå värdet
2.2.
0.5000000000.
Testa både med och utan
evalf
när du kör Maple.
Skriv i Matlab
K = 1:100;
t = -10:0.05:10;
cnoll = 3*pi/4;
akoeff = 1/pi * ((-1).^K - 1) ./ (K.^2);
bkoeff = 1./K;
ymin = -0.5;
ymax = 4;
Använd Matlab-funktionen
till Fourierserien
visaserie.m från laboration 2 för åskådliggöra delsummorna
3
4
+
+1
X
(
k=1
1)k
k
1
2
cos kt +
1
k
sin kt
Använd Matlabillustrationen som underlag för att gissa vilken sträckvis linjär funktion
som Fourierserieutvecklas. Visa att du har gissat rätt genom att räkna ut
rierkoecienterna för den funktion du gissar på.
5
för hand
Fou-
2.3.
Den 2 -periodiska funktionen
f
är jämn och uppfyller
8
<
f (t) =
:
då
0
då 0
t = 0;
< t 2;
2 < t :
då
Funktionens trigonometriska Fourierserie är 2 + 2
+1
X
k sin 2k cos kt.
( 1)
k
k=1
(Det behöver du
inte kontrollera.)
S (t)
a)
Bestäm seriens summa
b)
Rita en tydlig gur med grafen till
grafen till
c)
y
=
S (t),
2
dels då
t = 0,
dels då
t=2
.
Motivera noggrant!
y = f (t), 2 t 2 i ett koordinatsystem och
t 2 i ett annat koordinatsystem.
Bestäm seriesummorna
+1
X
sin 2k
k
k=1
+1
2
X
sin 2k
och
k2
k=1
:
(Använd Parseval för att beräkna den andra seriesumman.)
d)
Konvergerar den trigonometriska Fourierserien likformigt på intervallet 0
< t < 2 ?
Motivera noggrant!
2.4.
Det är känt (bl a från Maclaurinutvecklingar ) att
ln(1 + x) =
+1
X
(
1)k 1
k
k=1
xk ;
1
då
< x 1:
(1)
P+1 ( 1)k 1 : Uppskatta felets absolutbelopp då ln 2
k=1
P10k ( 1)k 1 .
approximeras med partialsumman
x
a)
Då
b)
Observera att
= 1 ger det att ln 2 =
k=1
ln
1+x
1
x
k
= ln(1 + x)
ln(1
x):
Utnyttja serien i (1) att för att bestämma Maclaurinserien för
f (x) = ln
c)
Bestäm ett värde på
x,
sådant att
f (x)
1+x
1
x
:
= ln 2. Uppskatta felet då ln 2 uppskattas
med partialsumman av grad högst 10 för serien i b) (med motsvarande värde på
d)
x).
Kontrollera dina uppskattningar genom att låta Maple beräkna det verkliga felet:
evalf(sum(...,
(där
...
k=11..infinity));
byts ut mot lämpligt uttryck). Gör detta både för resultatet i a) och c).
Vilket tal är större? Din uppskattning eller det verkliga felet? Är det som förväntat?
6