לוגיקה ותורת הקבוצות ־ תרגול 10

‫לוגיקה ותורת הקבוצות ־ תרגול ‪10‬‬
‫משפט השלמות‬
‫משפט השלמות‪ :‬לכל קבוצת פסוקים ‪ Σ‬מתקיים‪ ,‬אם ‪ ,Σ |= α‬אז ‪.Σ ` α‬‬
‫בצרוף משפט הנאותות נקבל כי ‪.Σ α ⇔ Σ ` α‬‬
‫מסקנה ממשפט משלמות‪ :‬אם ‪ ,Σ 6` α‬אז ‪.Σ 6|= α‬‬
‫משפט ‪ :1‬לכל קבוצת פסוקים ‪ ,Σ‬אם ‪ Σ‬עקבית אז ‪ Σ‬ספיקה‪.‬‬
‫בצרוף משפט מתרגול קודם נקבל כי ‪ Σ‬עקבית אמ"מ ‪ Σ‬ספיקה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :1‬נגדיר מערכת הוכחה חדשה לתחשיב הפסוקים מעל }→‪.WFF{¬,‬‬
‫• קבוצת האקסיומות מכילה את הפסוקים מהצורה הבאה‪:‬‬
‫לכל }→‪,α, β, γ ∈ WFF{¬,‬‬
‫– ‪α → (β → α) : A1‬‬
‫– ‪(α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) :A2‬‬
‫• קבוצת כללי ההיסק‪:‬‬
‫– ‪M P (α, α → β) = β‬‬
‫– ‪MV‬‬
‫נסמן ב־‪ Σ `N α‬את הטענה שפסוק ‪ α‬יכיח מתוך ‪ Σ‬במערכת החדשה‪.‬‬
‫‪ .1‬נגדיר ‪.M V (α → (β → α)) = α‬‬
‫הוכיחו‪ /‬הפריכו‪ :‬המערכת החדשה שלמה‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל קבוצת פסוקים }→‪ Σ ⊆ WFF{¬,‬ולכל פסוק }→‪ ,α ∈ WFF{¬,‬אם ‪ Σ α‬אז ‪.Σ ` α‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ .2‬נגדיר )‪.M V (α → (β → α)) = ((¬α) → (¬β)) → (β → α‬‬
‫הוכיחו‪ /‬הפריכו‪ :‬המערכת החדשה שלמה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :2‬נגדיר מערכת הוכחה חדשה לתחשיב הפסוקים מעל }¬‪.WFF{∧,‬‬
‫• קבוצת האקסיומות מכילה את הפסוקים מהצורה הבאה‪:‬‬
‫– ‪¬ (α ∧ (β ∧ ¬α)) :A1‬‬
‫‪1‬‬
‫• קבוצת כללי ההיסק‪:‬‬
‫– ‪M1 (α, ¬(α ∧ β)) = ¬β‬‬
‫נסמן ב־‪ `N α‬את הטענה שפסוק ‪ α‬יכיח במערכת החדשה‪.‬‬
‫הוכיחו‪ /‬הפריכו‪ :‬אם ‪ ,|= α‬אז ‪.`N α‬‬
‫גדירות‬
‫הגדרה ‪ :1‬השמה המספקת קבוצת פסוקים ‪ Σ‬נקראת מודל של ‪.Σ‬‬
‫קבוצת המודלים של ‪ Σ‬היא הקבוצה‪M (Σ) = {z ∈ Ass | z |= Σ} :‬‬
‫)סימונים נוספים לקבוצת המודלים של ‪(Ass (Σ) , M od (Σ) , MΣ :Σ‬‬
‫ניתן לראות שלכל קבוצת פסוקים ‪ Σ‬מתאימה קבוצת מודלים )‪ M (Σ‬יחידה‪ ,‬כלומר ‪ Σ‬מגדירה את )‪.M (Σ‬‬
‫דוגמאות ללא הוכחה‪:‬‬
‫‪ Σ‬־ קבוצת פסוקים‬
‫)‪ M (Σ‬־ קבוצת המודלים של ‪Σ‬‬
‫}‪{pi | i ∈ N‬‬
‫} ‪{z1‬‬
‫קבוצת כל הטאוטולוגיות‪{p1 ∨ ¬p1 } ,∅ ,‬‬
‫‪) Ass‬קבוצת כל הההשמות(‬
‫קבוצת סתירות‪WFF ,‬‬
‫∅‬
‫}‪{pi | i > 0‬‬
‫}‪{z1 , 0111 . . .‬‬
‫} ‪{p15‬‬
‫}‪{z ∈ Ass | z(p15 ) = 1‬‬
‫} ‪{p15 , p1 ∨ p2‬‬
‫}‪z(p2 ) = 1‬‬
‫‪or‬‬
‫‪{z ∈ Ass | z(p15 ) = 1} ∩ {z ∈ Ass | z(p1 ) = 1‬‬
‫הגדרה ‪ :2‬קבוצת השמות ‪ K‬נקראת גדירה אם קיימת קבוצת פסוקים ‪ Σ‬כך ש־‪ .M (Σ) = K‬אחרת ‪ K‬נקראת לא‬
‫גדירה‪.‬‬
‫הוכחת גדירות‬
‫איך מוכיחים שקבוצת השמות ‪ K‬היא גדירה?‬
‫‪ .1‬מראים קבוצת פסוקים ‪ Σ‬מפורשת‪.‬‬
‫‪ .2‬מוכיחים כי ‪ M (Σ) = K‬על ידי הכלה דו־כיוונית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :3‬לכל ‪ j ∈ N‬נגדיר את קבוצת ההשמות ‪ z} :‬נותנת ‪ 1‬לכל היותר ל־‪ j‬אטומים | ‪.Kj = { z‬‬
‫הוכיחו כי לכל ‪ Kj ,j ∈ N‬גדירה‪.‬‬
‫הוכחת אי־גדירות‬
‫איך מוכיחים שקבוצת השמות ‪ K‬אינה גדירה?‬
‫‪ .1‬מניחים בשלילה ש־‪ K‬גדירה ו־‪ X‬היא קבוצת הפסוקים המגדירה אותה ‪.M (X) = K‬‬
‫)לשים לב‪ :‬לא ניתן להניח דבר על ‪ X‬פרט לכך שהיא מגדירה את ‪.(K‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬בוחרים קבוצת פסוקים מפורשת ‪ Y‬שעבורה ידוע )או שניתן להוכיח בקלות( מהו ) ‪) M (Y‬קבוצות שכדאי‬
‫לנסות‪.({¬pi | i ∈ N} ,{pi | i ∈ N} :‬‬
‫‪ .3‬מוכיחים ש־ ‪ X ∪Y‬איננה ספיקה על ידי כך שמראים ש־∅ = ) ‪.M (X ∪ Y ) = M (X)∩M (Y ) = K ∩M (Y‬‬
‫‪ .4‬מוכיחים ש־ ‪ X ∪ Y‬ספיקה על ידי שימוש במשפט הקומפקטיות‪.‬‬
‫)תזכורת מההרצאה‪ :‬לכל קבוצת פסוקים ‪ Σ‬מתקיים‪ Σ ,‬ספיקה אמ"מ כל תת־קבוצה סופית של ‪ Σ‬ספיקה(‪.‬‬
‫‪ .5‬מ־‪ 3+4‬מקבלים סתירה ולכן ‪ K‬אינה גדירה‪.‬‬
‫תרגיל ‪:4‬‬
‫הוכיחו כי }‪ z‬נותנת ‪ 1‬לאינסוף אטומים | ‪ Kinf = {z ∈ Ass‬אינה גדירה‪.‬‬
‫‪3‬‬