Delelighet med 3

Comments

Transcription

Delelighet med 3
Undervisningsopplegg
9
Kapittel 1
B o kmål
U.9.1.1 Delelighet
1 av 2
Delelighet med 3
Hvis tverrsummen, eller siffersummen er delelig med 3, så er
hele tallet delelig med 3.
Eksempel
Sjekk om 21 054 er delelig med 3.
Løsningsforslag
Siffersummen er 2 + 1 + 0 + 5 + 4 = 12.
12 er delelig med 3. Da er 21 054 delelig med 3.
21 054 : 3 = 7018
Hvorfor er regelen riktig?
Vi skal se hvordan dette kan forklares ved å se på et eksempel.
Tallet 21 054 kan skrives på utvidet form, slik:
21 054 = 2 · 10000 + 1 · 1000 + 0 + 5 · 10 + 4
Dette kan igjen skrives om til:
2 · (9999 + 1) + 1 · (999+1) + 0 + 5 · (9+1)+4 =
2 · 9999 + 2 + 1 · 999 + 1 + 0 + 5 · 9 + 5 + 4 =
(2 · 9999 + 1 · 999 + 5 · 9) + (2 + 1 + 0 + 5 + 4) =
9 · (2 · 1111 + 1 · 111 + 5 · 1) + (2 + 1 + 0 + 5 + 4)
Det første leddet er delelig med 3, siden 9 er delelig med 3. Det
andre leddet er delelig med 3, siden 2 + 1 + 0 + 5 + 4 = 12 er
delelig med 3. Det andre leddet er nettopp siffersummen til tallet
21 054.
Undervisningsopplegg. Maximum 9. Kapittel 1 © Gyldendal Norsk Forlag AS
U.9.1.1 Delelighet
2 av 2
Vi skriver et algebraisk bevis for tresifret tall
Tresifret tall: abc
Skrevet på utvidet form: a · 100 + b · 10 + c
Vi omformer uttrykket:
a · 100 + b · 10 + c =
a · (99 + 1) + b · (9 + 1) + c =
99a + a + 9b + b + c =
(99a + 9b) + (a + b + c) =
9(11a + b) + (a + b + c)
Vi ser at første ledd har en faktor lik 9, og derfor er delelig med 3.
Da er hele tallet delelig med 3 hvis (a + b + c) er delelig med 3.
Beviset kan utvides til så mangesifret tall som en vil. Beviset kan
også forklare at et tall er delelig med 9 hvis siffersummen er 9.
Delelighet med 3
1a Hvilke av følgende tall er delelig med 3:
23, 41, 42, 459, 114, 2391, 556 677, 123 456 789, 1332,
10 332, 10 303 020
bHvilke av tallene i oppgave a er delelig med både 2 og 3?
Hvilket annet tall kan vi si at tallet helt sikkert er delelig med
hvis det er delelig med både 2 og 3?
c Lag en regel for delbarhet for tallet du fant som svar
på oppgave b.
Undervisningsopplegg. Maximum 9. Kapittel 1 © Gyldendal Norsk Forlag AS