Pogled u knjigu

Transcription

Pogled u knjigu

1
BROJEVI
Upitate li nekoga, kome matematika i nije osobito
bliska, čime se matematičari bave, možete očekivati
odgovor: brojevima! I premda baš i nije točan, odgovor nije neobičan. Jer, prva iskustva s matematikom
u svakog su čovjeka vezana uz brojeve i računanje. A
još ne tako davno, prvoškolski su se udžbenici iz matematike zvali Računice. Kada su ljudi počeli rabiti
brojeve? Na ovo pitanje nemoguće je dati odgovor.
Brojevi i njihovo zapisivanje nastajali su i razvijali se
u dugotrajnom povijesnom procesu 1 .
U ovom poglavlju dat ćemo pregled skupova brojeva
koje smo do sada upoznali.
1.1. Prirodni i cijeli brojevi
Prirodni brojevi su brojevi 1, 2, 3, 4, 5. . . Njima se služimo pri brojenju ili
prebrajanju. Prirodnim brojem iskazujemo brojnost nekog skupa, odgovaramo
na pitanje koliko je u skupu članova.
Postoji najmanji prirodni broj, to je broj 1. Ne postoji najveći prirodni broj. Iza
ma kako velikog prirodnog broja n slijedi veći ( n + 1 ) što znači da je skup
prirodnih brojeva beskonačan.
Skup prirodnih brojeva
Skup prirodnih brojeva označavamo s N .
N = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , n . . .}.
Istražite
PROSTI BROJEVI
Prirodni broj koji osim samoga sebe i broja 1 nema drugih djelitelja zove se prost ili
primbroj. Evo svih prostih brojeva koji su manji od 100:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Nastavi ovaj niz ispisujući sve proste brojeve manje od 200. Što misliš, ima li tom ispisivanju
kraja? Je li skup prostih brojeva beskonačan?
Starogrčki matematičar i fizičar Eratosten “pronalazio” je proste brojeve postupkom prosijavanja. Istraži o kakvom je
postupku riječ. Posjeti u svrhu traganja za odgovorom http://element.hr/plus/autosieve/medium.
1
2
Vidjeti prezentaciju O podrijetlu brojeva, www.element.hr/plus (Matematika plus.
PRIRODNI I CIJELI BROJEVI
1.1
Povijesni kutak
KAKO SU BROJEVE ZAPISIVALI NAŠI PREDCI?
Tijekom ljudske povijesti u raznim društvenim zajednicama razvili su se različiti
zapisi prirodnih brojeva. Razlikujemo pozicijski i nepozicijski sustav zapisa.
U nepozicijskom svaka znamenka nosi istu brojevnu vrijednost bez obzira na njezino
mjesto (poziciju) u zapisu broja. Jedan je takav primjer i rimski zapis. Primjerice,
CCXXIX znači broj 100 + 100 + 10 + 10 + (10 − 1) = 229 . Znak C uvijek nosi
brojevnu vrijednost 100, a znak X vrijednost 10.
U pozicijskim sustavima, kakav je i ovaj naš suvremeni, upravo je obrnuto. Znamenke nose brojevne vrijednosti koje ovise o njihovu položaju (poziciji) u zapisu.
Tako primjerice, 333 znači 3 · 100 + 3 · 10 + 3 . Dakle, prva trojka znači 300, druga
30, a treća 3 jedinice.
Druga bitna karakteristika zapisa prirodnog broja jest njegova osnovica ili
baza. Danas se u cijelom svijetu rabi dekadski brojevni sustav kojemu je
osnovica 10. Vjerojatni razlog je taj što čovjek na obje ruke ima ukupno 10
prstiju. Postoje i brojevni sustavi s drugim osnovicama, primjerice binarni
na kojem počiva rad elektroničkih računala.
Pri zapisivanju brojeva nerijetko su se uzimala slova pisma. Tako je primjerice u rimskom i grčkom zapisivanju, ali i u staroslavenskoj glagoljici koja
se u hrvatskim krajevima zadržala gotovo 10 stoljeća.
Istražite:
1. Kako su brojeve zapisivali i s njima računali stari Rimljani?
2. Kako su naši predci zapisivali brojeve koristeći se glagoljicom?
3. Navedite još neki primjer nedekadskog brojevnog sustava. Možete li
opisati osnovne značajke binarnog brojevnog sustava?
Zbroj dvaju prirodnih brojeva uvijek je prirodan broj. Kažemo da je skup prirodnih brojeva zatvoren s obzirom na zbrajanje. A je li zatvoren s obzirom na
oduzimanje? Drugim riječima, je li razlika m − n dvaju prirodnih brojeva uvijek
prirodni broj? Ne, razlika dvaju prirodnih brojeva od kojih je prvi manji nije
prirodan broj. To je razlog za proširenje skupa N negativnim cijelim brojevima
i nulom.
Negativni cijeli brojevi su se “udomaćili” u našoj svakodnevnici. Njima zapisujemo temperaturu ispod ništice, visinu vodostaja rijeke koja je manja od one
iskazane nulom, dubinu mora, stanje na tekućem ili nekom drugom bankovnom
računu itd.
Prirodni brojevi zajedno s negativnim cijelim brojevima i nulom čine skup cijelih
brojeva.
Skup cijelih brojeva
Skup cijelih brojeva označavamo sa Z :
Z = {. . . − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . .}
3
1
BROJEVI
Zadatak 1.
Nadmorska visina
Mrtvo more je jezero površine 600 km 2 . Nadmorska visina njegove površine
iznosi −418 m. Dno jezera doseže −794 m. The Challenger Deep najniža je
točka na Zemlji, a nalazi se u Tihom oceanu na južnom dijelu Marijanske brazde
na nadmorskoj visini −10 971 m. Najviša točka iznad razine mora je Mount
Everest na granici Tibeta i Nepala. Njezina je nadmorska visina 8848 m.
Planinski vrh Chimborazo u Ekvadoru je najudaljenija točka od središta Zemlje.
Ta udaljenost iznosi 6384.4 km što je za oko 2 km udaljenije nego Mount Everest. Posljedica je činjenice da Zemlja nije sfera već je spljoštena na polovima,
a Chimborazo je u blizini ekvatora.
1) Kolika je najveća dubina Mrtvog mora?
- nadmorskih visina najniže i najviše točke na Zemlji?
2) Kolika je razlika izmedu
3) Kolika je udaljenost Mount Everesta od središta Zemlje?
Za radoznale
PRIČA O NULI
Nula, naoko ništa neobično, broj kao i svaki drugi!
Je li uistinu tako? Pogledajmo ove jednakosti:
a + 0 = a,
a · 0 = 0,
a − a = 0,
a0 = 1.
S nulom se ne smije dijeliti, učimo još u osnovnoj školi. A zašto? Iz
a
= b slijedi a = b · 0 ,
0
pa imamo ove dvije mogućnosti:
(1) ako je a = 0 , onda je 0 = b · 0 i ta je
jednakost ispunjena za svaki broj b . Dakle,
dijeljenje je tada neodredeno.
Rezultat dijeljenja
je bilo koji broj b ;
(2) ako je a = 0 , jednakost a = b · 0 nije ispunjena niti za jedan broj b . Naime, s
njezine lijeve strane je broj različit od nule, a s desne nula. U ovom slučaju dijeljenje
nije definirano, ono nije moguće.
Nula je cijeli broj. Ona nije prirodni broj po definiciji.
Prema nekim povjesničarima matematike nulu su uveli Kinezi. Neki drugi pripisuju
njezinu pojavu indijskim matematičarima iz 6. st., od kojih potječe i njezina suvremena
oznaka. Njezin je naziv latinskog podrijetla (lat. nullus = nijedan).
4
1.1
Kutak plus
GAUSSOVA DOSJETKA
Danas, kad gotovo u svakom džepu imamo kalkulator (ne zaboravite da ga imate
i na svojem mobilnom telefonu) manje je važno računanje “napamet”, ali su dosjetke i snalažljivost u računanju vještine koje će uvijek biti na cijeni. Jedna je
takva, osobito popularna dosjetka vezana uz ime njemačkog matematičara Carla
Friedricha Gaussa (1777. – 1855.), često nazivanog princeps mathematicorum (lat.
princem svih matematičara).
Kad je Gauss bio prvoškolac, njegov je učitelj zadao učenicima da izračunaju zbroj
prvih 100 prirodnih brojeva. Želio ih je zaposliti na neko vrijeme kako bi imao
malo mira, ali se nemalo iznenadio jer je već nakon minutu-dvije Gauss dojavio da
ima rješenje.
Dobio ga je združivši brojeve u parove, prvi s posljednjim ( 1 + 100 ), drugi s
pretposljednjim ( 2 + 99 ), treći s pretpretposljednjim ( 3 + 98 ) itd. Takvih parova
je 50, a zbroj dvaju pribrojnika u svakom paru je isti, iznosi 101. Konačan je
rezultat 50 · 101 = 5050 .
Opisani se Gaussov postupak može proširiti na zbroj ma koliko prvih prirodnih
brojeva te se tako dobije:
Gauss kao osmogodišnji
dječak
S(n) = 1 + 2 + 3 + . . . + n =
n(n + 1)
.
2
Provjeri ovu jednakost za neke brojeve n .
Na isti način možemo računati i zbroj prvih n parnih brojeva. No kad već imamo izvedenu formulu za zbroj prvih n
prirodnih brojeva, S(n) , možemo postupiti i na ovaj način:
2 + 4 + 6 + . . . + 2n = 2(1 + 2 + 3 + . . . + n) = 2 ·
n(n + 1)
= n(n + 1).
2
Riješi zadatke:
1.
2.
3.
4.
Izračunaj zbroj prvih n neparnih prirodnih brojeva.
Koliko je 1 + 4 + 7 + . . . + 100 ?
Koliki je zbroj svih troznamenkastih brojeva koji pri dijeljenju s 5 daju ostatak 3?
Zbroj prvih n prirodnih brojeva je 3003 . Koliki je n ?
n(n + 1)
je prirodan broj za svaki prirodni broj n . Zašto? Kojom znamenkom može taj broj završavati?
2
Postoji li takav n za koji je 1 + 2 + 3 + . . . + n = 5555 ?
5. Broj
Bez riječi
Sljedeće sličice ilustriraju Gaussovu dosjetku u
geometrijskoj izvedbi. Možete li je protumačiti?
Želite li se potanje pozabaviti ovom temom,
upućujemo vas na www.element.hr/plus.
5
1
BROJEVI
Zadatci 1.1.
1.
2.
Ispiši:
- cijelih brojeva
1) sve cijele brojeve koji su izmedu
k − 1 i k + 5;
2) sve neparne cijele brojeve koji su veći od 2k−1
i manji od 2k + 7, gdje je k cijeli broj;
3) sve parne cijele brojeve veće od 2k−5 i manje
od 2k + 1, gdje je k cijeli broj.
3.
Marko je dvostruko stariji od Filipa, a Filip je 3
godine stariji od Luke. Ako je Luki n godina,
koliko ukupno godina imaju sva trojica?
4.
Zamisli neki broj. Dodaj mu 1 pa zbroj pomnoži
s 4. Zatim oduzmi 4 pa dobiveni rezultat podijeli
s 4. Koji je broj rezultat?
Ponovi ovaj postupak nekoliko puta. Što primjećuješ? Obrazloži!
5.
Neka je d dan, a m mjesec rodenja
tvojeg prijatelja. Evo kako ćeš odrediti koji je dan njegov
rodendan.
Zadaj mu neka provede sljedeći račun:
— Podvostruči broj d.
— Pomnoži dobiveni rezultat s 10.
— Dodaj 73.
— Pomnoži s 5.
— Dodaj broj m.
Neka ti sada prijatelj kaže rezultat koji je dobio.
Oduzmi krišom od tog rezultata broj 365 i dobit
ćeš datum njegovog rodenja.
Obrazloži matematičku pozadinu ovog općeg rješenja.
6.
6
1) Zapiši prirodni broj koji neposredno slijedi iza
prirodnog broja n .
2) Zapiši prirodni broj koji neposredno prethodi
prirodnom broju n − 2 . Kad zadatak ima rješenje?
3) Zapiši broj koji je za 2 veći od zbroja brojeva
m i n.
4) Zapiši broj koji je dvostruko veći od razlike
brojeva a i b .
5) Zapiši broj koji je tri puta manji od umnoška
brojeva a i b .
Neka tvoj prijatelj broj svojih godina starosti pomnoži s 4. Tom broju neka doda 10 pa rezultat
pomnoži s 25. Neka potom od dobivenog rezultata oduzme broj dana u neprestupnoj godini.
Konačno, neka razlici doda iznos sitniša u lipama
koji ima u svojem džepu (svakako neka je manji
od 100). Nakon ovog računa zahtijevajte da vam
kaže rezultat. Dodat ćemo tom rezultatu 115 i
očitati: prve dvije znamenke su godine, a sljedeće dvije iznos sitniša u džepu vašeg prijatelja.
Možete li razobličiti ovu “čaroliju”?
7.
Na polici se nalazi šest svezaka Opće enciklopedije, poredanih slijeva u desno, jedan do drugog.
Svaki svezak ima 515 stranica ne računajući korice.
1) Koliko ukupno stranica ima Opća enciklopedija?
- 313. stranice dru2) Koliko stranica ima izmedu
gog sveska i 127. stranice petog?
3) Brojimo li stranice enciklopedije redom te izbrojimo 1784, u kojem svesku i na kojoj stranici
smo se zaustavili?
4) Brojimo li stranice enciklopedije redom, ali
otraga prema naprijed te se zaustavimo na broju
3000, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se
zaustavili?
8.
- brojevima 1, 2, 3, . . . , 9 odaberi dva meduMedu
sobno različita broja. Ispiši sve dvoznamenkaste
brojeve kojima su znamenke ti brojevi, te ih zbroji. Taj je zbroj uvijek djeljiv s 22. Zbog čega?
Obrazloži! Možeš li provesti analogno zaključivanje za tri odabrana broja?
Napomena: Dvoznamenkast broj xy zapisujemo u obliku 10x + y . Jednako je tako xyz =
100x + 10y + z .
9.
Broj 100 zapiši povezujući računskim operacijama
1) četiri jedinice; 2) četiri trojke;
3) četiri petice.
10. Ispiši redom brojeve 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Poveži te
brojeve znakovima + i − (koristeći ih ukupno
triput) tako da dobiješ 100.
11. Zapiši broj 100 uporabom svih 10 znamenki i
uporabom četiriju osnovnih računskih operacija.
12. Riješi rebus:
+
O
A
H
H
O
A
H
H
O
A
A
H
A
H
A
H
13. Odredi četiri uzastopna prirodna broja kojima je
zbroj jednak 1 258 .
14. Zbroj pet uzastopnih parnih prirodnih brojeva
jednak je 6 080 . Koji su to brojevi?
15. Zbroj sedam uzastopnih neparnih prirodnih bro-
jeva jednak je 581. Koliki je zbroj sedam narednih neparnih prirodnih brojeva?
16. Umnožak triju uzastopnih prirodnih brojeva jednak je 4080. Koliki je zbroj tih triju brojeva?
17. Koja je posljednja znamenka umnoška
1 · 3 · 5 · 7 · . . . · 99?
18. S koliko nula završava umnožak 1·2·3·4·. . .·33 ?
19. Koja je posljednja znamenka umnoška prvih stotinu prostih brojeva?
20. Umjesto kvadratića upiši broj tako da dobiješ točne jednakosti:
1) −11 +
2)
− (−45) = 13 ;
3) 23 +
4)
= −24 ;
= −1 ;
+ (−17) = −34 ;
5) 33 − (−44) =
6) −75 − 28 =
7) −61 +
8)
;
;
= 77 ;
− (−111) = −205 .
1.1
21. Izračunaj:
1)
2)
3)
4)
−5 · (2 − 11) − 4 · (3 − 12) ;
2 · (−3) − 4 · (−5) + (−6) · (−7) ;
(−12) · (−11) − (−10) · (−15) ;
−12 · (−3) − 5 · 14 − 11 .
22. Računamo: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + . . .
Ako imamo konačan broj pribrojnika, recimo n ,
koliki je rezultat ovog zbrajanja?
23. Najviša ikad izmjerena temperatura zraka na Zemlji zabilježena je u Libiji 13.9.1922. Iznosila je
57.8 ◦ C ili 136 ◦ F . Najniža je izmjerena na
Antarktici (Vostok Station) 12.1.1983., kada je
termometar pokazivao −89.2 ◦ C ili −128.6 ◦ F .
- najniže i najviše tempeKolika je razlika izmedu
rature ikad izmjerene na Zemlji?
U Hrvatskoj je do sada najviša izmjerena temperatura iznosila 42.8 ◦ C ili 109 ◦ F , a izmjerena je
5.8.1998. u Pločama. Najniža temperatura izmjerena je u Čakovcu 3.2.1929., a bilo je −35.5 ◦ C
ili −31.5 ◦ F .
- najviše i najniže izmjeKolika je razlika izmedu
rene temperature u Hrvatskoj?
24. Arhimed je živio od 287. g. pr. Kr. do 212. g. pr.
Kr. To bismo jednostavnije mogli zapisati: Arhimed je živio od − 287. do − 212. g. Koliko
je godina poživio Arhimemed? Odgovori na isto
pitanje za sljedeće matematičare:
Tales je živio od − 620. do − 540. godine.
Vitruvije je živio od − 75. do 15. godine.
Heron je živio od 10. do 70. godine.
Iz zabavne matematike
LEWIS CARROLL
Lewis Carroll, čuven po svojim knjigama o Alisi, pseudonim je Charlesa Dodgsona, engleskog matematičara, profesora na Christ Churchu, najvećem koledžu
Sveučilišta u Oxfordu. Carroll je rado zabavljao svoje prijatelje raznim igrama s
brojevima.
Evo jedne od njih:
Igru igraju dva igrača. Polazeći od broja 1 oni naizmjence dodaju prirodne brojeve
po volji, ali svaki puta ne veći od 10. Pobjednik je onaj koji prvi dosegne broj 100.
Kako treba igrati neki igrač kako bi pobijedio u ovoj igri?
7
1
BROJEVI
1.2. Djeljivost. Prosti brojevi
Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodan broj. Tako primjerice broj
54
221
nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj
jest prirodan, jer 221 jest
8
13
djeljiv s 13.
Djeljivost prirodnih brojeva
Kažemo da je prirodni broj b djeljiv prirodnim brojem a ako postoji
prirodni broj k takav da je
b = k · a.
Govorimo još da a dijeli b i pišemo
a | b.
Za broj a kažemo da je djelitelj ili mjera broja b . Broj b naziva se
višekratnikom broja a .
Primjer 1.
Neka je b = 15 . Mjere broja b su prirodni brojevi 1, 3, 5, 15. Broj 15
višekratnik je broja 3 . Skup svih višekratnika broja 3 je
{3, 6, 9 . . .} = {n : n = 3k, k ∈ N}.
Skup svih višekratnika broja 5 je
{5, 10, 15 . . .} = {n : n = 5k, k ∈ N}.
Pravila djeljivosti s nekoliko početnih prirodnih brojeva poznajemo iz osnovne
škole.
Pravila djeljivosti
Za prirodni broj N = an an−1 . . . a3 a2 a1 vrijedi:
1. N je djeljiv s 2 ako i samo ako je paran.
2. N je djeljiv s 3 ako i samo ako je zbroj njegovih znamenaka an +
an−1 + . . . + a2 + a1 djeljiv s 3.
3. N je djeljiv s 4 ako i samo ako je dvoznamenkasti završetak a2 a1
djeljiv s 4.
8
DJELJIVOST. PROSTI BROJEVI
1.2
4. N je djeljiv s 5 ako i samo ako je a1 = 0 ili 5.
5. N je djeljiv s 8 ako i samo ako je troznamenkasti završetak a3 a2 a1
djeljiv s 8.
6. N je djeljiv s 9 ako i samo ako je zbroj njegovih znamenaka an +
an−1 + . . . + a2 + a1 djeljiv s 9.
Zadatak 1.
S kojim brojevima manjim od 10 su djeljivi sljedeći prirodni brojevi: 1160, 1164,
1395, 1908, 13832?
Prosti brojevi
Svaki je prirodni broj djeljiv s 1 i sa samim sobom. Tako je primjerice broj 11
djeljiv s 1 i s 11. On nema nijednog drugog djelitelja u skupu prirodnih brojeva.
Za njega kažemo da je prost ili primbroj. Broj 6 djeljiv je s 1 i sa 6, ali isto tako
je djeljiv s 2 i s 3. On nije prost.
Prosti brojevi
Prirodni broj n > 1 je prost (ili prim) broj ako je djeljiv samo s 1 i sa
samim sobom. Inače je broj složen.
Broj 1 ne smatramo ni prostim ni složenim.
Neposrednom provjerom uvjerit ćemo se da su sljedeći brojevi prosti: 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19. Svi drugi brojevi manji od 20: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 su
složeni.
Kako ćemo utvrditi je li neki broj prost ili nije?
Primjer 2.
Je li broj 91 prost ili složen?
Ako je složen, onda je djeljiv nekim prirodnim brojem manjim od sebe.
Je li 91 djeljiv s 2? Nije, jer nije paran.
Je li 91 djeljiv s 3? Ne.
Je li 91 djeljiv sa 4? Nije, jer nije djeljiv s 2 , pa ne može biti djeljiv ni s 4.
Je li 91 djeljiv s 5? Ne.
Je li 91 djeljiv sa 6? Nije, jer nije djeljiv s 2 (ni s 3).
Je li 91 djeljiv sa 7? Jest! Vrijedi 91 = 7 · 13 , pa je on složen broj.
9
1
BROJEVI
Pogledamo li još jednom postupak proveden u prethodnom primjeru, primijetit
ćemo da je bilo dovoljno razmotriti je li 91 djeljiv prostim brojevima. Nije bilo
nužno provjeriti je li broj djeljiv s 4 ili 6, zato što otprije znamo da nije djeljiv s
2.
Primjer 3.
Je li 359 prost ili složen?
Da to utvrdimo, promotrit ćemo je li on djeljiv nekim prostim brojem.
Dijelimo ga redom s 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 i vidimo da nije djeljiv ni s
jednim od njih. Trebamo li dijeliti dalje? Ne!
Ako je prirodni broj n složen, tada za njega vrijedi
n = n1 · n2 ,
pri čemu su prirodni brojevi n1 i n2 djelitelji (faktori) broja n , različiti
od 1 i n . Možemo pretpostaviti da je n1 n2 . Onda vrijedi
pa mora biti√n1 premašuje n .
√
n21 n1 · n2 = n
n . Dakle, najveći djelitelj složenog broja n nikad ne
√
Ako je 359 složen, onda on ima djelitelja koji ne premašuje 359 =
18.94 . Zato je bilo dovoljno provjeriti je li taj broj djeljiv s prostim
brojevima od 2 do 17. Zaključak: 359 je prost.
Kriterij pronalaženja prostog broja
Prirodni broj n je prost ako i samo√ako nije djeljiv ni s jednim prostim
brojem koji je manji od ili jednak n .
Kutak plus
PROSTI BROJEVI
U knjizi Tablice i formule: matematika, fizika, astronomija, kemija dan je popis prvih 3480 prostih brojeva (od 2 do
32 423). Ako je π (n) broj prostih brojeva koji nisu veći od n , onda je π (1000) = 168 , π (10000) = 1 229 , π (105 ) =
9 592 , π (106 ) = 78 498 , π (107 ) = 664 579 , π (108 ) = 5 761 455 , π (109 ) = 50 847 534 , π (1010 ) = 455 052 512 .
Najveći danas poznati prosti brojevi su oblika 2m − 1 (Merssenovi brojevi), za m = 2 , 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89,
107, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, . . . , 756839 (227 832 znamenke), 859 433
(258 716 znamenaka), 1 257 787 (378 632 znamenke), 1 398 269 (420 921 znamenka), 2 976 221 (895 932 znamenke),
3 021 377 (909 526 znamenaka), 6 972 593 (2 098 960 znamenaka).
Na internetskoj stranici element.hr/plus/prvi-razred možete pronaći tablicu prvih 100 000 prostih brojeva (od 2 do
1 299 709) te linkove do stranica s najnovijim otkrićima u vezi s prostim brojevima.
10
1.2
Faktorizacija prirodnog broja
Broj 234 nije prost, jer je paran pa je djeljiv s 2:
234 = 2 · 117.
Je li 117 prost? Ne, jer mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3, pa je i broj djeljiv s 3.
Vrijedi 117 = 3 · 39 . Tako imamo
234 = 2 · 3 · 39.
Možemo li ovaj postupak nastaviti? Da, jer 39 nije prost, on je ponovo djeljiv s
3: 39 = 3 · 13 . Sad je
234 = 2 · 3 · 3 · 13.
U ovom smo trenutku broj 234 rastavili na umnožak prostih faktora. Kažemo da
smo ga faktorizirali.
Svaki se složeni prirodni broj može na ovaj način napisati kao umnožak nekoliko
prostih brojeva. Prosti broj ima samo jedan prosti faktor, jer je djeljiv samo s 1 i
sa samim sobom.
Kutak plus
NEKE ZANIMLJIVOSTI I NERIJEŠENI PROBLEMI IZ TEORIJE BROJEVA
Teorija brojeva uglavnom se smatra najljepšim dijelom matematike. Ni u jednom drugom području nije moguće
postaviti tako jednostavan i razumljiv problem na koji nitko ne zna odgovor!
Savršeni brojevi. Broj koji je jednak zbroju svih svojih djelitelja koji su manji od njega nazivamo savršenim. Tako je
primjerice 6 savršen broj jer je 6 = 1 + 2 + 3 . Savršen je i 28, jer je 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 .
Algoritam za nalaženje parnih savršenih brojeva dao je još Euklid prije 2500 godina: “Računamo sume 1+2+4+8+. . . .
Ako je zbroj prost, pomnožimo ga s posljednjim pribrojnikom i dobivamo savršeni broj. Tako su primjerice savršeni
sljedeći brojevi:
1 + 2 = 3,
1 + 2 + 4 = 7,
3·2 = 6
7 · 4 = 28
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31,
31 · 16 = 496
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127,
127 · 64 = 8 128
Oni su bili poznati još starim Grcima. Danas je poznato dvadesetak savršenih brojeva. Svi su oni parni i oblika
(2m − 1)2m−1 , pri čemu je 2m − 1 prost (Merssenov broj), kako je i Euklid sugerirao. Ne zna se postoji li ijedan
neparan savršen broj.
Goldbachova hipoteza. “Svaki paran broj veći od 2 može se prikazati kao zbroj dvaju prostih brojeva.” Ova je
tvrdnja dobila ime po njemačkom matematičaru S. Goldbachu (1690.–1764.). Do današnjeg dana nije dokazana ni
opovrgnuta.
Prosti brojevi blizanci. Dva uzastopna neparna broja koja su prosta nazivaju se blizancima. Tako su blizanci 3 i 5, 5 i
7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31 itd. Ne zna se ima li beskonačno mnogo takvih blizanaca.
11
1
BROJEVI
Faktorizacija prirodnog broja
Svaki se prirodni broj n > 1 može napisati u obliku
n = p1 · p2 · . . . · pk ,
pri čemu su p1 p2 . . . pk prosti brojevi.
Primjer 4.
Faktorizirajmo broj 5460.
Već na prvi pogled vidimo da je on djeljiv s 10, pa su 2 i 5 sigurno dva
njegova prosta faktora. Preostale ćemo potražiti na opisani način. Čitav
postupak pišemo u obliku tablice:
5460
1092
546
273
91
13
5
2
2
3
7
13
Dakle, vrijedi
S desne strane okomite crte izdvojeni su prepoznati prosti faktori zadanog broja. Primjerice, broj je djeljiv s 5 i 2 (jer je djeljiv s 10),
izdvajamo prosti faktor 5 i izvršimo dijeljenje.
S dobivenim količnikom nastavljamo faktorizaciju dok se u posljednjem koraku ne dobije
prost broj.
5460 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 13.
Eratostenovo sito
Sve proste brojeve manje od neke zadane granice možemo dobiti na učinkovitiji
način, korištenjem Eratostenova sita.
Napišimo redom sve prirodne brojeve, recimo do broja 100. Prvi je prosti broj 2.
Prekrižimo sada svaki sljedeći koji je djeljiv s 2 (oni nisu prosti, jer su djeljivi s
2). Prvi sljedeći koji nije prekrižen je prost, to je broj 3. Zatim prekrižimo sve
višekratnike od 3 (koji nisu prekriženi već prije toga). Nastavimo postupak na
isti način, sa sljedećim prostim brojem, 5.
Kad prekrižimo sve višekratnike broja 7, ostat će nam na papiru neprekriženi svi
prosti brojevi manji od 100 i postupak je već gotov!
Taj ćemo postupak prikazati u sljedećim tablicama. Radi bolje preglednosti
novoprekrižene brojeve označit ćemo i sivom bojom.
12
Višekratnici broja 2
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12
13 14
15 16
17 18
19 20
21 22
23 24
25 26
27 28
29 30
31 32
33 34
35 36
37 38
39 40
41 42
43 44
45 46
47 48
49 50
51 52
53 54
55 56
57 58
59 60
61 62
63 64
65 66
67 68
69 70
71 72
73 74
75 76
77 78
79 80
81 82
83 84
85 86
87 88
89 90
91 92
93 94
95 96
97 98
99 100
4 5 6 7 8 9 10
2 3 11 12
13 14
15
16
17 18
19 20
21
22
23 24
25 26
27
28
29 30
31 32
33
34
35 36
37 38
39
40
41 42
43 44
45
46
47 48
49 50
51
52
53 54
55 56
57
58
59 60
61 62
63
64
65 66
67 68
69
70
71 72
73 74
75
76
77 78
79 80
81
82
83 84
85 86
87
88
89 90
91 92
93
94
95 96
97 98
99
100
4 5 6 7 8 9 10
2 3 11 12
13 14
15
16
17 18
19 20
21
22
23 24
25
26
27
28
29 30
31 32
33
34
35
36
37 38
39
40
41 42
43 44
45
46
47 48
49 50
51
52
53 54
55
56
57
58
59 60
61 62
63
64
65
66
67 68
69
70
71 72
73 74
75
76
77 78
79 80
81
82
83 84
85
86
87
88
89 90
93
94
95
96
97 98
99
100
91 92
4 5 6 7 8 9 10
2 3 11 12
13 14
15
16
17 18
19 20
21
22
23 24
25
26
27
28
29 30
31 32
33
34
35
36
37 38
39
40
41 42
43 44
45
46
47 48
49
50
51
52
53 54
55
56
57
58
59 60
61 62
63
64
65
66
67 68
69
70
71 72
73 74
75
76
77
78
79 80
81
82
83 84
85
86
87
88
89 90
91
92
93
94
95
96
97 98
99
100
1.2
Brojevi koji su preostali u ovoj tablici su svi prosti brojevi manji od 100:
11
2
31
41
3
13
23
5
37
47
43
53
61
71
7
17
67
73
83
97
19
29
59
79
89
Kutak plus
TABLICA PROSTIH BROJEVA MANJIH OD 1000.
2
53
127
199
283
383
467
577
661
769
877
983
3
59
131
211
293
389
479
587
673
773
881
991
5
61
137
223
307
397
487
593
677
787
883
997
7
67
139
227
311
401
491
599
683
797
887
11
71
149
229
313
409
499
601
691
809
907
13
73
151
233
317
419
503
607
701
811
911
17
79
157
239
331
421
509
613
709
821
919
19
83
163
241
337
431
521
617
719
823
929
23
89
167
251
347
433
523
619
727
827
937
29
97
173
257
349
439
541
631
733
829
941
31
101
179
263
353
443
547
641
739
839
947
37
103
181
269
359
449
557
643
743
853
953
41
107
191
271
367
457
563
647
751
857
967
43
109
193
277
373
461
569
653
757
859
971
47
113
197
281
379
463
571
659
761
863
977
13
1
BROJEVI
Djeljivost u skupu cijelih brojeva
Na jednak način kao i u skupu prirodnih brojeva možemo definirati i djeljivost
u skupu cijelih brojeva: cijeli broj b djeljiv je cijelim brojem a (različitim od
nule) ako postoji cijeli broj k takav da je b = ka .
Primjer 5.
Broj 15 djeljiv je prirodnim brojevima 1, 3, 5 i 15. Isto tako, djeljiv je i s
−1 , −3 , −5 i −15 :
−5 | 15 jer 15 = (−3) · (−5).
Skup svih djelitelja broja 15 je
{±1, ±3, ±5, ±15}.
Ako tražimo sve djelitelje nekog prirodnog broja, vidimo da je dovoljno
pronaći one koji su prirodni brojevi.
Slično tome, skup svih djelitelja broja −18 je
{±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18}.
Prema definiciji djeljivosti, 0 je djeljiva svakim cijelim brojem različitim od nule.
Naime, za svaki cijeli broj a vrijedi
a|0
jer 0 = 0 · a.
U različitim zadatcima često moramo utvrditi je li zbroj ili razlika dvaju cijelih
brojeva djeljiva trećim brojem. O tome govori sljedeći poučak.
Djeljivost zbroja i razlike
1) Ako su cijeli brojevi a i b djeljivi cijelim brojem c , tada su s c
djeljivi i njihov zbroj a + b i njihova razlika a − b .
2) Ako je a djeljiv, a b nije djeljiv brojem c , onda zbroj a + b i razlika
a − b nisu djeljivi s c .
Dokažimo ovaj poučak. Pretpostavimo da su a i b djeljivi s c . Onda postoje
cijeli brojevi k i l takvi da je a = kc i b = lc . Sad je a + b = kc + lc = (k + l)c
- je a − b = (k − l)c pa je i a − b djeljiv s c .
pa je a + b djeljiv s c . Takoder
Time je prva tvrdnja dokazana.
Drugu ćemo tvrdnju dokazati tako da ćemo pretpostaviti da ona nije istinita. Pretpostavimo dakle da je a + b djeljivo s c . Sad napišimo: b = (a + b) − a . Prema
upravo dokazanoj tvrdnji, slijedilo bi da je broj b djeljiv s c , što je neistina. Zato
a + b nije djeljiv s c .
Na sličan način dokaži da ni a − b nije djeljivo s c .
14
Primjer 6.
1.2
1) Parni broj oblika 4k + 2 nije djeljiv s 4, jer je prvi pribrojnik djeljiv s
4, a drugi nije.
2) Napišimo pet uzastopnih prirodnih brojeva: 5k , 5k + 1 , 5k + 2 ,
5k + 3 , 5k + 4 . Samo jedan (prvi) djeljiv je s 5, preostali brojevi
nisu, jer drugi pribrojnik nije djeljiv s 5.
Dijeljenje s ostatkom
Ako cijeli broj b nije djeljiv cijelim brojem a , tada će se u postupku dijeljenja
pojaviti ostatak.
Podijelimo 233 s 5 . Dobivamo:
233 : 5 = 46
33
3
Rezultat dijeljenja zapisat ćemo ovako:
233 = 46 · 5 + 3.
Količnik pri dijeljenju je 46, a ostatak 3.
Navedimo još jedan primjer. Podijelimo −376 sa 7. Dobivamo:
376 : 7 = 53
26
5
Rezultat dijeljenja možemo zapisati ovako:
376 = 53 · 7 + 4
pa je
−376 = −53 · 7 − 4.
Količnik pri dijeljenju je −53 , a ostatak −4 . Želimo li da ostatak ne bude
negativan, onda rezultat ovog dijeljenja možemo napisati ovako:
−376 = −53 · 7 − 7 − 4 + 7 = −54 · 7 + 3
Dijeljenje cijelih brojeva
Rezultat dijeljenja cijelog broja b prirodnim brojem a možemo napisati u obliku:
b = qa + r.
Cijeli broj q je količnik (kvocijent) dijeljenja, a r ostatak dijeljenja.
Za ostatak r uvijek vrijedi 0 r < |a| .
Dokažimo ovaj važni poučak. Promotrimo niz cijelih brojeva
. . . , b−2a, b−a, b, b+a, b+2a, . . .
15
1
BROJEVI
- njima najmanji nenegativni broj. Neka je to b − qa i označimo
Izaberimo medu
ga s r . Time smo dobili
b − qa = r
i pritom je r < a . U suprotnom, kad bi bilo r > a , tada a − qb ne bi bio
najmanji nenegativni broj u gornjem nizu: b − qa − a = b − (q + 1)a bi još
uvijek bio nenegativan.
Time smo pokazali da brojevi q i r postoje. Dokažimo još i jedinstvenost ovog
prikaza.
Pretpostavimo da postoje dva medusobno
različita prikaza:
b = q1 a + r1 = q2 a + r2 .
Tada bi bilo
(q2 − q1 )a = r1 − r2 .
Odavde čitamo: a dijeli razliku r1 − r2 . Kako su i r1 i r2 manji od a , to je
moguće samo onda ako je r1 − r2 = 0 , tj. r1 = r2 . U tom slučaju dobivamo
q1 = q2 .
Uočimo: ako je ostatak r jednak nuli, onda je b = qa , pa je prema definiciji
djeljivosti b djeljiv s a .
Primjer 7.
Neka je primjerice a = 3 . Onda se svaki cijeli broj b može napisati u
obliku b = 3q , ili b = 3q + 1 , ili b = 3q + 2 . Time se skup cijelih
brojeva raspada na tri disjunktna podskupa
A0 = {. . . − 6, −3, 0, 3, 6, 9 . . .},
A1 = {. . . − 5, −2, 1, 4, 7 . . .},
A2 = {. . . − 4, −1, 2, 5, 8 . . .}.
U svaki podskup ulaze oni cijeli brojevi koji pri dijeljenju s 3 daju isti
ostatak. Očito je:
Z = A0 ∪ A1 ∪ A2 .
Kutak plus
DIJELJENJE CIJELIH BROJEVA
Kako s pomoću džepnog računala možemo odrediti količnik i ostatak u postupku dijeljenja cijelih brojeva? Pogledajmo
sljedeća dva primjera.
Kad se broj b = 2090 podijeli s a = 403 , dobije se rezultat 5.186 . . . To znači da je cjelobrojni količnik q ovih dvaju
brojeva jednak 5. Sad je dovoljno od 2090 oduzeti 5 · 403 da bi se dobio ostatak r = 75 . Dakle, 2090 = 5 · 403 + 75 .
Pri dijeljenju broja b = −3126 s a = 47 dobit ćemo rezultat −66.510 . . . Za količnik uzimamo prvi cijeli broj manji
od ovog decimalnog broja. To je broj q = −67 . Ostatak je onda r = b − qa = −3126 − (−67) · 47 = 23 .
16
Primjer 8.
1.2
Odredimo sve cijele brojeve koji su djeljivi s 3 , a pri dijeljenju s 5 daju
ostatak 1 .
Svi brojevi djeljivi s 3 čine skup
A = {3k : k ∈ Z} = {. . . − 6, −3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 . . .}.
Svi brojevi koji pri dijeljenju s 5 daju ostatak 1 čine skup
B = {5n + 1 : n ∈ Z} = {. . . − 9, −4, 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36 . . .}.
Treba odrediti A ∩ B . Tom presjeku pripada broj 6. Pripadaju mu i svi
brojevi koji su veći ili manji od 6 za višekratnik broja 15. Traženi je skup:
A ∩ B = {. . . − 9, 6, 21, 36 . . .} = {15m + 6 : m ∈ Z}.
Zadatak 2.
Primjer 9.
Odredi najmanji prirodni broj n koji pri dijeljenju s 2 daje ostatak 1, pri dijeljenju
s 3 ostatak 2, pri dijeljenju s 4 ostatak 3 i pri dijeljenju s 5 ostatak 4.
Od pet po volji odabranih prirodnih brojeva uvijek je razlika neka 2 broja
djeljiva s 4. Dokažimo!
Pri dijeljenju prirodnog broja s 4 mogući su ostatci 0, 1, 2 i 3. Kako
- njima moraju imati jednak ostatak pri
imamo pet brojeva, neka dva medu
dijeljenju s 4. Njihova je razlika broj djeljiv s 4.
Primjer 10.
Uzmimo komad papira i razrežimo ga na četiri dijela. Neke od tih dijelova
ponovno razrežimo na isti način. Postupak nastavljamo. Možemo li na
ovaj način dobiti 999 papirića?
Pri svakom rezanju nekog papirića na četiri dijela broj papirića
poveća se za 3. Tako u svakom
trenutku imamo ukupno 3k + 1
papirića. Je li broj 999 toga oblika? Postoji li takav cijeli broj k
da je 3k + 1 = 999 ? Očito ne,
jer broj 998 nije djeljiv s 3.
Zadatak 3.
Zamislimo da imamo veliku čokoladu koju smo izlomili na tri dijela. Zatim
neke od tih dijelova ponovno razlomimo na tri dijala. Nastavimo li isti postupak,
možemo li dobiti 101 komadić čokolade?
17
1
BROJEVI
Zadatci 1.2.
1.
Svi troznamenkasti brojevi kojima su sve znamenke jednake djeljivi su s 37 . Dokaži! Dokaži
da isto vrijedi i za šesteroznamenkaste brojeve
kojima su prve i posljednje tri znamenke jednake!
2.
Dokaži:
1) Zbroj bilo koja tri uzastopna cijela broja djeljiv
je s 3 .
2) Zbroj bilo kojih pet uzastopnih cijelih brojeva
djeljiv je s 5 .
3) Zbroj bilo koja četiri uzastopna prirodna broja
nikad nije djeljiv s 4.
Poopći ove tvrdnje!
13. Brojevi 23 i 29 su uzastopni prosti brojevi. Iz-
- njih je pet složenih brojeva. Odredi prva
medu
- kojih je sedam
dva uzastopna prosta broja izmedu
složenih brojeva.
14. Kojom znamenkom završava umnožak prvih 100
prostih brojeva?
15. Odredi proste brojeve a i b za koje je a+b = 91 .
16. Provjeri, pomoću tablice prostih brojeva manjih
od 100, da je Goldbachova hipoteza istinita za
- tim broparne brojeve manje od 100. Koji medu
jevima ima najviše različitih prikaza?
17. Može li zbroj četiriju uzastopnih prirodnih brojeva biti prost broj?
3.
Dokaži da je umnožak dvaju uzastopnih parnih
prirodnih brojeva djeljiv s 8.
4.
Dokaži da je umnožak triju uzastopnih prirodnih
brojeva koji su djeljivi s 3 djeljiv sa 162.
19. Koji prirodni brojevi imaju točno tri prirodna dje-
5.
Zamijeni zvjezdice znamenkama tako da broj
74 ∗ 3∗ bude djeljiv s 36.
20. Uvrštavamo li u izraz n2 + n + 17 umjesto n re-
6.
Koliko ima četveroznamenkastih brojeva djeljivih s 45, a čije su dvije srednje znamenke 41?
- najmanji prirodni broj djeljiv s 36 u čijem
Nadi
se zapisu nalazi svih 10 znamenki.
7.
8.
9.
Dokaži da je četveroznamenkasti broj oblika abba
djeljiv s 11.
Dokaži da su šesteroznamenkasti brojevi oblika
aabbcc , abaccb i abccba djeljivi s 11.
10. Dokaži da je šesteroznamenkasti broj oblika abcabc
djeljiv sa 7, 11 i 13.
11. Dokaži da je šesteroznamenkasti broj oblika ababab
djeljiv s 3, 7, 13 i 37.
18. Koji je najveći troznamenkasti prosti broj?
litelja?
dom prirodne brojeve, dobivat ćemo kao rezultat
proste brojeve. Provjeri! No ipak, ne vrijedi to
za sve prirodne brojeve. Odredi najmanji broj za
koji je n2 + n + 17 složen.
21. Zapiši općenito:
1) prirodni broj koji je višekratnik broja 5;
2) prirodni broj koji pri dijeljenju s 3 daje ostatak
2;
3) prirodni broj koji pri dijeljenju sa 7 daje ostatak
1.
22. Koji su prirodni brojevi dani sljedećim zapisima,
u kojima je n bilo koji prirodni broj:
1) 3n ; 2) 15n ; 3) 5n + 1 ; 4) 4n − 1 ?
23. Odredi najmanji troznamenkasti prirodni broj ko12. Provjeri koji je od sljedećih brojeva prost:
1) tvoj redni broj u imeniku;
2) godina tvojeg rodenja;
3) tvoj kućni broj;
4) telefonski broj tvoje obitelji.
18
ji pri dijeljenju s 8 daje ostatak 1.
24. Odredi najveći troznamenkasti broj koji pri dijeljenju s 5 daje ostatak 2.
MJERA I VIŠEKRATNIK. EUKLIDOV ALGORITAM
1.3
1.3. Mjera i višekratnik. Euklidov algoritam
Prisjetimo se načina na koji smo zbrajali razlomke:
5 3
5·4 3·3
20 + 9
29
+ =
+
=
=
.
6 8
24
24
24
24
Postupak se temeljio na tome da znamo zbrajati razlomke s istim nazivnikom.
Zato je trebalo razlomke svesti na njima jednake, a koji imaju isti nazivnik. Broj
24 je višekratnik i broja 6 i broja 8, dakle to je njihov zajednički višekratnik.
Primijetimo još da je to njihov najmanji zajednički višekratnik.
Najmanji zajednički višekratnik
Najmanji zajednički višekratnik brojeva n1 , n2 , . . . , nk jest prirodni
broj n koji ima svojstva:
1. n je višekratnik svakog od brojeva n1 , . . . , nk ;
2. n je najmanji broj s tim svojstvom.
Najmanji zajednički višekratnik označavamo s V(n1 , n2 , . . . , nk ) .
Uvijek je moguće pronaći zajednički višekratnik zadanih brojeva. Tako primjerice za brojeve 6, 9 i 15 zajednički višekratnik je sigurno broj
6 · 9 · 15 = 810
jer je djeljiv sa svakim od njih. Medutim,
to nije najmanji višekratnik tih brojeva.
Kako se pronalazi najmanji zajednički višekratnik? Za to nam je potrebno rastaviti svaki od brojeva na proste faktore:
6 = 2 · 3,
9 = 3 · 3,
15 = 3 · 5.
Najmanji zajednički višekratnik mora biti djeljiv s prostim faktorima svakog pojedinog broja, a faktore koji se ponavljaju moramo uzeti onoliko puta koliko se
najviše nalaze u nekom od brojeva:
V(6, 9, 15) = 2 · 3 · 3 · 5 = 90.
Prisjetimo se kako smo zapisivali ovaj postupak.
6
3
1
1
9
9
3
1
15
15
5
5
2
3
3
5
S desne strane okomite crte izdvojeni su prepoznati prosti faktori nekog od zadanih brojeva. Ako je broj djeljiv
s tim faktorom, podijelimo ga. Ako nije djeljiv, tada ga
prepišemo i nastavljamo postupak u sljedećem retku.
Primjerice, samo je broj 6 djeljiv s 2, ostala dva broja prepišemo. Sva su tri broja
djeljiva s 3, pa ćemo ih podijeliti. Postupak je gotov kad izdvojimo sve proste
faktore.
Najmanji zajednički višekratnik jednak je umnošku prostih brojeva s desne strane
crte.
19
1
BROJEVI
Najveća zajednička mjera
Brojevi 36, 48 i 54 su parni, pa su djeljivi s 2. Zato je 2 njihova zajednička mjera
(zajednički djelitelj). Postoji li još koja zajednička mjera tih brojeva? Da, oni su
djeljivi i s 3. Vidimo onda da su ovi brojevi djeljivi i s umnoškom 6 = 2 · 3 .
- njihove zajedničke mjere. Medutim,
Dakle, 3 i 6 su takoder
6 je ujedno najveća
zajednička mjera tih brojeva. Kako to znamo? Možemo ispisati skupove svih
mjera ovih brojeva:
36 :
48 :
54 :
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36},
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48},
{1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}
pa pregledom možemo potvrditi da je 6 najveći zajednički element. Medutim,
postoji i lakši način.
Pogledajmo faktorizacije ovih brojeva:
36 = 2 · 2 · 3 · 3,
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3,
54 = 2 · 3 · 3 · 3.
Zajednička mjera sastoji se od zajedničkih faktora ovih brojeva. Najveću ćemo
dobiti ako odaberemo faktore 2 i 3 koji su zajednički svakom od tih brojeva.
Prisjetimo se kako smo zapisivali ovaj postupak:
36
18
6
48
24
8
54
27
9
2
3
Postupak završava onda kad brojevi u retku nemaju zajedničke mjere veće od 1.
Najveća zajednička mjera jednaka je umnošku prostih brojeva s desne strane ove
tablice. Pišemo
M(36, 48, 54) = 6.
Najveća zajednička mjera
Najveća zajednička mjera brojeva n1 , n2 , . . . , nk jest broj m koji
ima svojstva:
1. m je djelitelj svakog od brojeva n1 , . . . , nk ;
2. m je najveći broj s tim svojstvom.
Najveću zajedničku mjeru označavamo s M(n1 , n2 , . . . , nk ) .
Euklidov algoritam
U ovim smo primjerima najveću zajedničku mjeru odredivali
iz faktorizacije brojeva. Kad su u pitanju dva broja, tada se ta mjera može odrediti i na jednostavniji
način, koristeći se samo postupkom dijeljenja prirodnih brojeva.
20
1.3
Znamo da je prirodni broj a djeljiv prirodnim brojem b ako postoji prirodni broj
q takav da je
a = q · b.
Ako a nije djeljiv s b , tada ćemo pri dijeljenju dobiti ostatak:
a = q · b + r.
Za ostatak r općenito vrijedi: 0 r < b .
Sljedeći nam poučak pomaže pri odredivanju
najveće zajedničke mjere.
Svojstvo najveće zajedničke mjere
U postupku dijeljenja prirodnih brojeva
a= q·b+r
vrijedi
M(a, b) = M(b, r).
Korist od ovog poučka je u tome što je broj r manji od broja b pa je lakše odrediti
najveću zajedničku mjeru brojeva b i r .
Primjer 1.
Odredimo najveću zajedničku mjeru brojeva 120 i 36.
Dovoljno je napisati:
120 = 3 · 36 + 12.
Onda je, prema poučku
M(120, 36) = M(36, 12) = 12.
Ako ne znamo odrediti mjeru brojeva b i r , tada možemo nastaviti istovjetan
postupak dijeljenjem tih brojeva!
Primjer 2.
Odredimo M(924, 756) .
Napišimo postupak dijeljenja
924 = 1 · 756 + 168
756 = 4 · 168 + 84
168 = 2 · 84.
Sada zaključujemo:
84 = M(168, 84) = M(756, 168) = M(924, 756).
Dakle, tražena mjera je 84.
21
1
BROJEVI
Primjer 3.
Odredimo M(2093, 403) .
2093 = 5 · 403 + 78
403 = 5 · 78 + 13
78 = 6 · 13
Najveća zajednička mjera ovih brojeva je 13.
Relativno (medusobno)
prosti brojevi
Za prirodne brojeve a i b kažemo da su relativno (ili medusobno)
prosti ako je njihova najveća zajednička mjera 1.
Primjer 4.
Odredimo M(616, 585) .
616 = 1 · 585 + 31
585 = 18 · 31 + 27
31 = 1 · 27 + 4
27 = 6 · 4 + 3
4=1·3+1
3=3·1
Najveća zajednička mjera ovih brojeva je 1, oni su dakle relativno prosti.
To smo mogli utvrditi još iz trećeg retka. Brojevi 31 i 27 su relativno prosti
pa je
1 = M(31, 27) = M(585, 31) = M(616, 585).
Primjer 5.
Dva uzastopna broja uvijek su relativno prosta. Dokažimo tu tvrdnju.
Neka su to brojevi n i n + 1 . Ako je d njihov zajednički djelitelj, onda
vrijedi n = k1 d , n + 1 = k2 d pa oduzimanjem dobivamo
(n + 1) − n = k2 d − k1 d, tj 1 = (k2 − k1 )d.
Vidimo da d dijeli broj 1, pa mora biti d = 1 .
22
1.3
Isti zaključak možemo odmah izvesti iz Euklidova algoritma:
n+1=1·n+1
n=n·1
pa je M(n, n + 1) = 1 .
Primjer 6.
Dokažimo da su za svaki prirodni broj n brojevi 21n + 4 i 14n + 3
relativno prosti.
Primijenimo Euklidov algoritam:
21n + 4 = 1 · (14n + 3) + 7n + 1
14n + 3 = 2(7n + 1) + 1.
Brojevi 7n + 1 i 1 su relativno prosti, pa su onda relativno prosti i brojevi
14n + 3 i 21n + 4 .
Kutak plus
FIBONACCIJEV NIZ
Koliko koraka trebamo učiniti da bismo dovršili Euklidov algoritam? Unaprijed se o tome ne može ništa reći. Veličina
brojeva sigurno je povezana s brojem koraka, no i u slučaju relativno velikih brojeva možemo brzo doći do rezultata.
Moguća je i obratna situacija. Evo primjera dvaju nevelikih brojeva kod kojih Euklidov algoritam zahtijeva velik broj
koraka. Izaberimo brojeve a = 89 , b = 55 . Euklidov postupak glasi
89 = 1 · 55 + 34
55 = 1 · 34 + 21
34 = 1 · 21 + 13
21 = 1 · 13 + 8
13 = 1 · 8 + 5
8 = 1·5+3
5 = 1·3+2
3 = 1·2+1
2 = 1·1+1
1 = 1 · 1.
Da su brojevi 89 i 55 relativno prosti, otkrivamo u 10 koraka! Pritom se javljaju brojevi
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .
od kojih je svaki jednak zbroju prethodnih dvaju:
an+1 = an + an−1 .
Zato se pri dijeljenju broja an+1 s an dobiva kvocijent 1 i ostatak an−1 . Ovaj se niz naziva Fibonaccijev niz. Svaka
dva uzastopna broja u njemu su relativno prosta.
23
1
BROJEVI
Zadatci 1.3.
1.
2.
Odredi najmanji zajednički višekratnik:
9.
1) V(18, 24) ;
3) V(154, 165) ;
5) V(66, 819);
10. Ako se ne može skratiti razlomak
Odredi najmanji zajednički višekratnik:
1) V(9, 20, 36) ;
3) V(63, 231, 165) ;
5) V(165, 231, 132);
3.
4.
2) V(42, 30) ;
4) V(165, 390);
6) V(168, 396).
2) V(12, 210, 308) ;
4) V(42, 105, 56);
6) V(363, 429, 546).
ni za koji cijeli broj n .
2n + 3
ne može skratiti
5n + 7
2n − 3
nije skrativ ni
− 3n + 2
za koji prirodni broj n , n 3 .
1) M(120, 135) ;
3) M(1188, 1089) ;
5) M(924, 858) ;
13. Zdravko i Darko dežuraju u bolnici. Zdravko de-
2) M(546, 585) ;
4) M(390, 2415) ;
6) M(1092, 3003) .
Odredi najveću zajedničku mjeru:
Dokaži da je najveća zajednička mjera dvaju
uzastopnih parnih brojeva jednaka 2.
6.
Za najmanji zajednički višekratnik V i najveću
zajedničku mjeru M dvaju brojeva a i b vrijedi M(a, b)V(a, b) = ab . Koristeći se ovom
jednakošću odredi brojeve a i b ako je:
1) M(a, b) = 6 , V(a, b) = 72 ;
2) M(a, b) = 3 , V(a, b) = 60 .
Odredi broj x u jednakostima:
1) M(x, 6) = x ;
2) V(x, 13) = x .
Dokaži da je za sve prirodne brojeve n :
1) M(n + 1, 2n + 1) = 1 ;
2) M(n, 2n + 1) = 1 ;
3) M(5n, 5n + 5) = 5 .
24
11. Dokaži da se razlomak
12. Dokaži da razlomak
5.
8.
a
, dokaži da
b
a+b
se ne može skratiti ni razlomak
.
b
Odredi najveću zajedničku mjeru:
1) M(70, 198, 238) ; 2) M(88, 495, 143) ;
3) M(104, 119, 55) ; 4) M(220, 165, 2365) ;
5) M(154, 168, 252) ; 6) M(462, 1155, 8085) .
7.
Ako je M(a, c) = M(b, c) = 1 , dokaži da je
onda M(ab, c) = 1 .
n2
žura svaku šestu, a Darko svaku devetu noć. Ako
su obojica bila na dežurstvu 1. rujna, koji će se
sljedeći dan opet naći na dežurstvu?
14. Martin i Borna voze bicikle po kružnoj stazi. Kre-
ću u istom trenutku s istog mjesta i u istom smjeru.
- puni krug za 3 minute, a Borna za
Martin obide
2 minute i 42 sekunde. Koliko će vremena pro- na početnoj
ći dok se ponovno obojica ne nadu
poziciji?
15. S polazne autobusne postaje u 6 sati ujutro kreću tri autobusa. Prvom autobusu do odredišta i
povratka na polaznu stanicu treba 30 minuta, drugom 45 minuta, a trećem 1 sat. Kada će se sva tri
autobusa ponovno naći u isto vrijeme na polaznoj postaji? Koliko se to puta dogodi u jednom
danu ako autobusi voze od 6 sati ujutro do 22 sata
uvečer?
16. Mirko, Marko i mala Mira koračaju zajedno uli-
com održavajući stalno svi istu ravninu. Duljina
Mirkova koraka je 64 cm, Markova 72 cm, a Mirina 48 cm. Ako zakorače zajedno, nakon kolikog
će prijedenog
puta opet istovremeno zakoračiti?
Koliko je tko do tada načinio koraka?
RACIONALNI BROJEVI
1.4
1.4. Racionalni brojevi
Zbroj i razlika svakih dvaju cijelih brojeva cijeli je broj. I umnožak svakih dvaju
cijelih brojeva je cijeli broj. No količnik dvaju cijelih brojeva općenito nije cijeli
broj. Skup cijelih brojeva nije zatvoren s obzirom na dijeljenje. Ta činjenica nameće potrebu za proširenjem skupa cijelih brojeva. Tako dobivamo skup
racionalnih brojeva.
Racionalni su brojevi količnici cijelih brojeva. Možemo ih zapisivati u obliku
razlomaka. Evo nekoliko primjera racionalnih brojeva:
1:2=
1
,
2
−3 : 4 =
−3
,
4
111 : 25 =
111
,
25
7 : (−33) =
7
.
−33
Dijeljenje s nulom nije izvedivo pa u nazivniku razlomka ne smije biti nula.
Svaki je cijeli broj ujedno i racionalan. Obrazloži!
Skup racionalnih brojeva
Količnik m : n dvaju cijelih brojeva m i n ( n = 0 ) jest racionalan
m
. Broj
broj. Racionalan broj m : n zapisujemo u obliku razlomka
n
m je brojnik, a broj n nazivnik razlomka.
Skup racionalnih brojeva označavamo s Q .
Provedemo li razlomkom zadano dijeljenje cijelih brojeva, dobit ćemo racionalan
broj zapisan u decimalnom obliku. Tako je primjerice
3
−17
315
17
= 0.3,
= −2.125,
= 9.84375,
= −0.68.
10
8
32
−25
Svi navedeni primjeri konačni su decimalni brojevi. Postoje i beskonačni decimalni racionalni brojevi:
3
= 3 : 7 = 0.428571428571428571428571 . . .
7
1
= 1 : 3 = 0.3333333333333333333333333333333333 . . .
3
10
= −10 : 11 = −0.90909090909090909090909090 . . .
−
11
Valja uočiti kako se u decimalnom zapisu svakog od triju navedenih brojeva uzastopce ponavlja skupina znamenki. U prvom primjeru to su znamenke 428571, u
drugom je to znamenka 3, a u trećem su to znamenke 90. Kažemo da su ovakvi
brojevi periodički. Skupinu znamenki koja se uzastopce ponavlja zovemo period. Ovakve brojeve zapisujemo tako da navedemo sve znamenke jednog perioda,
a nad prvu i posljednju znamenku stavimo točku. To je, naravno, više načelno
25
1
BROJEVI
nego praktično izvedivo rješenje jer period može ponekad biti toliko velik da ga
nema smisla navoditi. Brojeve koji su odabrani za primjere zapisujemo:
0.4̇28571̇,
0.3̇,
−0.9̇0̇.
Zbog čega pri decimalnom zapisu racionalnog broja dolazi do ponavljanja skupine znamenki? Odgovor na ovo pitanje bit će sasvim jasan provedete li pisano
dijeljenje (ne dijeljenje džepnim računalom ili bilo kakvim sličnim pomagalom)
brojnika i nazivnika u danom razlomku:
26 : 111 = 0.234
260
380
470
26
U ovom trenutku došli smo do početne pozicije. Ako nastavimo dijeljenje, u
količniku će se ponavljati niz znamenki 234.
Bez obzira je li decimalni zapis nekog racionalnog broja konačan ili beskonačan,
taj je zapis potpuno poznat i može se odrediti bilo koja njegova znamenka.
Primjer 1.
Koja je znamenka na 1001. mjestu iza decimalne točke u decimalnom
3
zapisu broja ?
7
3
Vidjeli smo da je = 0.4̇28571̇ , tj. uzastopce se ponavlja skupina od 6
7
znamenki.
Podijelimo li 1001 sa 6, dobit ćemo količnik 166 i ostatak 5. Stoga će se
skupina od 6 navedenih znamenki izredati 166 puta i potom će slijediti još
pet znamenki. Zaključujemo da je 1001. po redu znamenka 7.
Zadatak 1.
Koja je znamenka u broju
0.123456789101112131415 . . .
na 77. mjestu iza decimalne točke? Je li taj broj racionalan? Obrazloži!
26
RACIONALNI BROJEVI
1.4
Jednakost racionalnih brojeva
Prirodno se nameće pitanje: Kad su dva racionalna broja (razlomka) jednaka?
Jednakost racionalnih brojeva
a
c
Racionalni brojevi (razlomci)
i
jednaki su ako i samo ako je
b
d
umnožak a · d jednak umnošku b · c :
c
a
=
⇐⇒ a · d = b · c
b
d
Primjer 2.
Zadatak 2.
Obrazložimo jednakosti:
−45
5
=
;
−108
12
1)
2
6
= ;
3
9
1)
2
6
= , jer je 2 · 9 = 3 · 6 .
3
9
2)
−45
5
=
, jer je −45 · 12 = 5 · (−108).
−108
12
3)
−20
−4
=
jer je (−4) · 35 = (−20) · 7 .
7
35
2)
3)
−4
−20
=
.
7
35
Odredi broj x tako da vrijedi:
1)
15
35
=
;
x
42
2)
5
20
=
;
12
x+1
3) −
3
12
=
.
8
x
−2
2
=
jer je (−2) · (−5) = 5 · 2 . Za oba ova
5
−5
razlomka prihvaćen je zapis
Primijetimo da vrijedi
2
2
−2
=
=− .
5
−5
5
27
1
BROJEVI
Kraćenje i proširivanje razlomaka
Za svaki racionalni broj
a
i svaki broj m različit od nule vrijedi:
b
a·m
a
= .
b·m
b
Ovu jednakost lako je provjeriti. Ona izravno slijedi iz definicije jednakosti
razlomaka i svojstava množenja cijelih brojeva:
(a · m) · b = a · (b · m).
Proširivanje i kraćenje razlomka
proširivanje
←
a
a·m
=
b·m
b
→
kraćenje
Istaknutu jednakost možemo čitati dvostrano. Čitamo li je zdesna u
lijevo, tada je riječ o proširivanju razlomka, a čitamo li je slijeva u
desno, tada govorimo o kraćenju razlomka.
Primjer 3.
Svaki se racionalni broj može kraćenjem dovesti na oblik u kojem brojnik
i nazivnik nemaju zajedničkih djelitelja.
4
2·2
2
=
= ,
6
3·2
3
−
21
3·7
3
=−
=− .
28
4·7
4
Od dvaju razlomaka, čiji su nazivnici jednaki prirodni brojevi, veći je onaj koji
ima veći brojnik. Tako se proširivanje razlomaka može koristiti i za usporedbu
razlomaka.
Primjer 4.
Koji je broj veći, x =
3
4
ili y =
?
8
11
Da bismo ih mogli usporediti, brojeve svodimo na zajednički nazivnik:
3
3 · 11
33
4
4·8
32
x= =
=
,
y=
=
=
.
8
8 · 11
88
11
11 · 8
88
Vidimo da je x > y .
Zadatak 3.
28
Poredaj po veličini brojeve:
4 14 5 2 7 23
,
, , ,
,
.
5 15 6 3 10 30
RACIONALNI BROJEVI
1.4
Operacije s racionalnim brojevima
Pri zbrajanju racionalnih brojeva razlomke svodimo na zajednički nazivnik. U tu
svrhu možemo uzeti umnožak nazivnika kao zajednički nazivnik:
a c
a·d
b·c
ad + bc
+ =
+
=
.
b d
b·d b·d
bd
Računajući ovako uvijek ćemo dobiti ispravan rezultat, ali brojnik i nazivnik
dobivenog razlomka vrlo često će se moći skratiti:
5 3
5·8+3·6
58
29
+ =
=
=
.
6 8
6·8
48
24
Jednostavniji se račun dobiva ako za zajednički nazivnik odaberemo najmanji zajednički višekratnik nazivnika. U ovom primjeru za zajednički nazivnik možemo
uzeti V(6, 8) = 24 :
5 3
5·4+3·3
29
+ =
=
.
6 8
24
24
Oduzimanje racionalnih brojeva vršimo na analogan način.
Zbrajanje i oduzimanje racionalnih brojeva
a c
ad + bc
+ =
,
b d
bd
a c
ad − bc
− =
b d
bd
Prisjetimo se još definicije umnoška i količnika racionalnih brojeva:
a c
ac
· =
.
b d
bd
Posebno, primijetimo da vrijedi
a b
a·b
· =
= 1.
b a
b·a
b
a
Broj
nazivamo recipročnim brojem broja
i označavamo s
a
b
−1
b
a
.
=
a
b
Dakle, recipročni broj zadanog racionalnog broja ima zamijenjen brojnik i nazivnik. Primijetimo da je
b
a
=1: .
a
b
Dijeljenje racionalnih brojeva zato se svodi na množenje recipročnim brojem:
a c
a d
ad
: = · =
.
b d
b c
bc
29
1
BROJEVI
Množenje i dijeljenje racionalnih brojeva
a c
ac
· =
,
b d
bd
a c
a d
ad
: = · =
b d
b c
bc
Količnik dvaju razlomaka može se zapisati u obliku dvojnog razlomka:
a
a c
ad
b
: = c =
.
b d
bc
d
Pritom a i d nazivamo vanjskim, a b i c unutarnjim članovima dvojnog razlomka. Ovo pamtimo kao pravilo: razlomci se dijele tako da se prvi razlomak
pomnoži recipročnim razlomkom drugog.
Povijesni kutak
ARITHMETIKA HORVATSZKA – prvi udžbenik matematike na hrvatskom jeziku
- pod
Arithmetika horvatszka, svećenika Mihalja Šiloboda-Bolšića (Podgrade
Okićem 1724. – Sv. Nedelja 1787.) mali je priručnik pisan kajkavskim narječjem i tiskan u Zagrebu 1758. g. Od četiriju većih dijelova, prva tri se bave
brojevima i operacijama s njima dok četvrti sadrži praktične račune vezane uz
trgovinu, dugovanja, troškove i sl. Knjižica je u puku bila vrlo popularna pa
se u ono doba nevježi u računanju govorilo “neka se primi Šiloboda”, a ako je
netko bio vješt u računu pohvalili bi ga da “računa kao Šilobod”.
Knjižica je sadržavala i nekoliko zagonetki. Jednu od njih, u izvornom obliku
vidite na slici dolje. Tu je odmah dano i rješenje. Pokušajte ovu zagonetku
pročitati s razumijevanjem.
Dodajmo još kako je godine 1766. franjevac Mate Zoričić, objavio svoju Aritmetiku, knjižicu vrlo sličnu Šilobodovoj.
Obje aritmetike namijenjene su širokom puku koji je u računu bio potpuno neuk što je, kako piše Zoričić, glavno zlo i
uzrok siromaštva i bijede u narodu.
30
RACIONALNI BROJEVI
1.4
Zadatci 1.4.
1.
2.
3.
5 5 3 15
prikaži u obliku deciRazlomke , , ,
2 4 8 16
malnog broja.
Brojeve 0.5 , 0.25 , 0.125 , 0.75 , 0.625 prikaži
u obliku razlomka.
Poredaj po veličini brojeve:
0.6̇ .
2
, 66 % , 0.666 ,
3
1
1
= 0.3̇, koliko je
?
3
30
6
2
Ako je = 0.2̇85714̇, koliko je 2 ?
7
7
15. Za koji cijeli broj x vrijedi:
1)
x
1
=
;
5
20
2)
x
1
x
5
= − ; 3) −
= ?
6
3
24
6
16. Za koji je broj x ispunjena jednakost
9+x 2
= ?
15+x 3
17. Za koji je broj x ispunjena jednakost
123−x 5
= ?
101+x 9
15
oduz32
4
memo isti broj x , dobit ćemo razlomak
. Ko21
liki je x ?
4.
Ako je
18. Ako od brojnika i nazivnika razlomka
5.
Odredi period u decimalnom zapisu racionalnog
broja:
5
3
5
6
1) ;
2)
;
3)
;
4) .
6
11
13
7
19. Ako brojniku razlomka
6.
Koja se znamenka nalazi na 101. mjestu iza decimalne točke u decimalnom zapisu svakog od
četiriju brojeva iz prethodnog zadatka?
7.
Odredi 303. znamenku u dec. zapisu broja
15
.
37
8.
Odredi 777. znamenku u dec. zapisu broja −
111
.
11
9.
Odredi 1500. znamenku u dec. zapisu broja
3
.
13
10. Za koje su cijele brojeve a brojevi
a
a+2
, 2
racionalni?
2a − 10 a − 4
a+2
1
,
,
a a(a − 3)
11. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak
6
cijeli broj.
n+1
12. Za koje je cijele brojeve n razlomak
broj?
6
cijeli
n−1
13. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak
n+2
cijeli broj.
n−2
2
x
= ;
12
3
2)
20. Skrati razlomke:
1155
105
;
2)
;
168
5775
135 135
3 333 333
; 5)
.
4)
5 555 555
234 234
1)
4
2
= ;
x
5
3)
3
x
=
.
7
21
3)
6 930
;
12 870
21. Poredaj po veličini brojeve:
3 11 19 17 67
,
,
,
,
;
4 12 24 18 72
3
13
29
2)
, 0.7̇ ,
, 0.7 ,
;
4
16
32
3
11
19
17
67
3) − , − , − , − , − .
4
12
24
18
72
1)
22. Ako je a = 0.3̇ , b = 0.25 , koliko je
a + b, a · b,
a
?
b
1
, a2 ,
a
1
1
1
1
1
1
+ = 1, + = 2, + = 3,
a
b
b
c
c
a
koliko je a + b + c ?
23. Ako je
1
n
24. Primjenjujući jednakost −
14. Odredi prirodni broj x tako da vrijede jednakosti:
1)
113
dodamo neki broj, a
212
isti taj broj oduzmemo od nazivnika, dobit ćemo
2
razlomak . O kojem se broju radi?
3
1
1
=
n+1
n · (n + 1)
izračunaj:
1
1
1
1
+
+
+ ...+
.
1·2 2·3 3·4
99 · 100
31
1
BROJEVI
25. Izračunaj:
4
3 1
· −2
− 0.2 : − ;
1.6 −
5
4
5
4
5
4
− 1.8 : −1
+ 0.1 · − ;
2)
5
5
9
3 2
2
2
3)
−
1+
: 0.75 −
: 1.25 − 1 ;
2 3
3
3
1
3
2 7
− 1.2 1 + 1
4)
: 2.5 −
: −3 .
5
2
5
8
1)
29. Ako je a : b : c = 1 : 2 : 4 , koliko je
a + 2b − 3c
?
3a − 2b + c
26. Izračunaj:
4
3 + 0.59
25
1) ;
3
− 0.15 : 4
4
27. Izračunaj:
⎛
5
8 = 1;
10)
1
8
−2
0.625 ·
25
5 (145−24x):5
11)
+24 : 5 = 5 ;
29
4
3
3
15
12)
− 1 = 5.625 .
3
8
(5.5 + x) : 21
7
(x − 11.875) :
7
: 0.125 + 3.5
24
2)
.
2
− 0.25
3
⎞
1 1
1
−
⎜ 0.75
⎟ 2 3
2
1) ⎝
·
:
;
⎠
1 1
2
1.4
−
1 − 1.2
3
3 4
⎞
⎛
1
3
1−
3+
⎟
⎜ 0.875
3.
4
2) ⎝
:
⎠·
1
1
1.2
3.2 − 1
1+
3
4
3+1
30. Broj 135 podijeli na dva dijela koji su u omjeru
7 : 8.
31. Ako je 3x : 5y = 7 : 11 , koliko je x : y ?
32. Ako su veličine kutova u trokutu u omjeru
1 : 3 : 4 , koliki je najveći kut trokuta?
33. Mjere unutarnjih kutova četverokuta u omjeru su
1 : 2 : 3 : 4 . Kolika je mjera najmanjeg kuta
ovog četverokuta?
34. Ako su a , b i c duljine stranica trokuta i ako je
a : b = 5 : 4 , a : c = 3 : 5 , a opseg trokuta
iznosi 156 cm, kolika je duljina najkraće stranice
ovog trokuta?
35. Broj 2 400 podijeli na tri dijela koji su u omjeru
3 : 5 : 8.
36. Broj 697 podijeli na tri dijela, a, b i c tako da je
28. Izračunaj x iz sljedećih jednakosti, primjenjujući
32
a : b = 3 : 4 i b : c = 3 : 5.
svojstva osnovnih računskih operacija s racionalnim brojevima:
37. Opseg oranice iznosi 2 800 metara. Kolike su
1) (5 − 0.2) : (3.3 − x) = 12 ;
32
= (2x−48):2.4 ;
2) (184+x):
5
4
3) 1 : 3 − 0.8x = 55 : (x + 4) ;
5
4) 1.2 − (0.8 + x) = −3.6 ;
5) 1.1 − (5x + 5.5) = 11.1 ;
6) 12 · (0.22 − x) = −1.44 ;
7) −1.2 · (0.3 + x) = −3.6 ;
10
= 1;
8)
[(8x + 24) : 5] : 4 + 6
(100−3x)·4
9) 208 : 112−
= 2;
23
38. Za 1.5 sat napuni se 0.3 obujma bazena. Koli-
duljina i širina oranice ako su u omjeru 5 : 9 ?
ko treba vremena da bi se napunilo 0.9 obujma
bazena?
39. Nakon 12 minuta gorenja duljina svijeće smanji
se s 30 cm na 25 cm. Nakon koliko će vremena
svijeća dogorjeti?
40. Ako su od 70 proizvoda 3 s greškom, koliko se
proizvoda s greškom može očekivati u 840?
41. U jednom razredu na pismenom ispitu iz matematike 1/ 3 učenika nije riješila jedan zadatak, 1/ 4
nije riješila po dva zadatka, 1/ 6 po po tri zadatka,
a 1/ 8 sva četiri zadatka. Koliko je učenika točno
riješilo sve zadatke ako je u razredu manje od 30
učenika?
RACIONALNI BROJEVI
1.4
Točno-netočno pitalice
Koje su od sljedećih tvrdnji točne, a koje netočne? Odgovori i odgovor obrazloži.
1. Za bilo koji cijeli broj n brojevi n + 2 , n + 4 i n + 6 su tri uzastopna
parna cijela broja.
2. Zbroj neparno mnogo neparnih cijelih brojeva je neparan broj, a zbroj
parno mnogo neparnih cijelih brojeva je paran broj.
3. Broj n omjer je dvostrukog zbroja i umnoška brojeva a i b . To možemo
zapisati u obliku n =
2(a + b)
.
ab
4. Postoji ukupno 10 cijelih brojeva za koje je razlomak
15
cijeli broj.
n+1
5. Za svaki broj a = 0 broj 0 : a nije definiran, a vrijedi a : 0 = 0 .
6. Brojevi a =
4
i b = −0.3̇6̇ suprotni su brojevi.
11
7. Brojevi m = 40 i n = 0.25 medusobno
su recipročni.
8. Zbroj svih znamenki u jednom periodu decimalnog zapisa broja
jednak je 2.
1
11
9. U decimalnom zapisu razlomak
1
1+
1
1+
1
1+
1
2
je konačan decimalni broj.
10. Zbroj triju uzastopnih prirodnih brojeva djeljivih s 3 je 333. Najveći od
tih brojeva je 111.
11. Umnožak triju uzastopnih prirodnih brojeva je 1320. Zbroj tih brojeva
je 33.
12. Broj n pri dijeljenju sa 7 daje količnik 21 i ostatak 3. Zbroj znamenki
broja n je 6.
33
1
BROJEVI
1.5. Iracionalni brojevi
Postoje brojevi koji nisu racionalni, koje nije moguće predočiti kao količnik
√ dvaju
√
cijelih
brojeva.
Takvi
se
brojevi
zovu
iracionalni
brojevi.
Brojevi
2, 3,
√
5 i π primjeri su iracionalnih brojeva.
Povijest iracionalnih brojeva seže do pred kraj staroga vijeka. Pitagora i njegovi
učenici suočili su se s činjenicom da racionalni brojevi ne mogu dati odgovor
na neka pitanja što se pojavljuju u geometrijskim problemima. Tako primjerice
nisu imali odgovor na jednostavno pitanje: kolika je točno duljina dijagonale
kvadrata sa stranicom duljine 1?
√
Danas znamo odgovor. Zapisujemo ga kao 2 i zovemo drugi korijen od 2.
Sama pomisao da postoje brojevi koji nisu racionalni u ono bi doba bila bogohulna i uzdrmala bi temelje Pitagorina učenja. Legenda kaže da je jednog Pitagorina
učenika samo naslućivanje kako postoje neracionalni brojevi koštalo glave jer su
ga bogovi kaznili morskom olujom tijekom koje je potonuo zajedno sa svojom
barkom i svojom idejom.
U praktičnim računima iracionalne brojeve mijenjamo njihovim približnim vrijednostima, dakle racionalnim brojevima. Kolika
bi bila duljina dijagonale kvadrata
√
s prethodne slike? Najčešće uzimamo 2 ≈ 1.41 , a mogli bismo po potrebi
odrediti i veći broj decimala.
√
2 ≈ 1.41421356237309504880168872420969807856967
18753769480731766797379907324784621070388
50387534327641572735013846230912297024 . . .
Osobito je zanimljiv iracionalan broj π . O njemu
će još biti podosta govora, a sada samo spomenimo kako pri računanju opsega ( o = 2rπ ) ili površine ( P = r2 π ) kruga s polumjerom r uzimamo π = 3.14 , a zapravo bi bilo ispravnije pisati
π ≈ 3.14 , jer se radi o približnoj vrijednost tog broja. Džepna računala pružaju znatno precizniju vrijednost.
Matematičarima je poseban izazov pronaći razlomak
koji je što bliži ovom čudesnom broju. Vrlo je poznato
jednostavno rješenje koje se pripisuje Arhimedu:
22
= 3.142857 . . .
7
34
IRACIONALNI BROJEVI
1.5
U tom prikazu prve dvije su decimale iste kao prve dvije decimale broja π . Evo još
jednog rješenja koje bi nakon dijeljenja brojeva u brojniku i nazivniku dalo decimalni
broj u kojem se prvih 25 decimala podudara s prvih 25 decimala broja π
1 019 514 486 099 146
= 3.1415926535897932384626433787996 . . .
324 521 540 032 945
Kutak plus
KORIJEN IZ 2 NIJE RACIONALAN BROJ
Broj
√
2 nije racionalan. Dokažimo ovu tvrdnju.
√
Kad bi 2 bio racionalan broj, mogli bismo ga zapisati u obliku količnika dvaju prirodnih brojeva. Pa uzmimo da
√
m
on to jest, da ga možemo zapisati u obliku razlomka
, gdje su m i n prirodni brojevi (jer je 2 pozitivan broj).
n
- možemo pretpostaviti da m i n nisu oba parna. Kad bi oni bili takvi, kratili bismo ih sve dok to možemo, dok
Takoder
barem jedan od njih ne bude neparan.
√
m
m2
Kvadriramo jednakost
= 2 i dobijemo 2 = 2 , odnosno m2 = 2n2 . Zaključujemo da je m2 paran broj. No,
n
n
onda je i m paran. (Zašto?) Dakle, n je neparan.
Zapišimo m = 2k pa je 4k2 = 2n2 , odnosno n2 = 2k2 . Slijedi n2 je paran broj, pa je time i n paran.
No prirodni je broj √
n ili paran ili neparan; ne može biti jedno i drugo. Do√ovog proturječnog zaključka dovela nas je
pretpostavka da je 2 racionalan broj. Stoga je ta pretpostavka kriva, tj. 2 nije racionalan broj.
Zadatci 1.5.
1.
2.
3.
Koji su od sljedećih √
brojeva racionalni:
5
π
2
11 √
, 5 , √ , −444 ?
− , 17 , , −
15
2
2
5
Izmedu kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva
nalaze sljedeći brojevi:
√
√
√
√
5π
, − 77 , 777 , −15π ?
117 , − 515 ,
3
22
355
, π,
,
Poredaj po veličini brojeve: 3.14 ,
7
113
√
9.9 .
4.
Je li broj 0.3333 . . . racionalan ili iracionalan?
Obrazloži!
5.
Postupajući
kao u “Kutku plus” dokaži da broj
√
3 nije racionalan broj.
√
Dokaži da je broj 1 + 2 iracionalan.
√
√
Dokaži√da je broj
2
+
3 iracionalan. Uputa:
√
zapiši 2 + 3 = a , gdje je a racionalan broj
pa zaključi kao u prethodnom zadatku.
6.
7.
35
1
BROJEVI
1.6. Realni brojevi
Svaki je prirodni broj ujedno i cijeli broj. Kažemo da je skup prirodnih brojeva
podskup skupa cijelih brojeva.
Svaki je cijeli broj racionalan pa kažemo da je skup cijelih brojeva podskup skupa
racionalnih brojeva. Dakako, i svaki je prirodni broj (jer je cijeli) racionalan.
Udruženi u jedan skup, racionalni i iracionalni brojevi čine skup realnih brojeva. Skup
realnih brojeva označavamo s R .
R
Q
I
Z
N
Medusobni
odnosi skupova brojeva mogu se zorno
prikazati dijagramom u kojem je skup zapisan na
nižoj razini podskup skupa što je na višoj razini i s
kojim je povezan crtom. Pozorno razmotrite sliku
i protumačite je.
Skup realnih brojeva
Skup realnih brojeva R sastoji se od racionalnih i iracionalnih brojeva.
Svaki realni broj a možemo prikazati u (konačnom ili beskonačnom)
decimalnom prikazu:
a = a0 .a1 a2 a3 . . .
pri čemu je a0 cijeli broj, a a1 , a2 , a3 . . . neke od znamenki 0, 1,
2, . . . , 9.
Operacije s realnim brojevima
Četiri su temeljne operacije s realnim brojevima: zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Opišimo osnovna svojstva koja imaju te operacije. Posebno
ćemo obratiti pozornost na svojstva operacija zbrajanja i množenja.
Prvo svojstvo, komutativnost, kaže da se dva broja mogu zbrojiti ili pomnožiti
u bilo kojem poretku. Za bilo koja dva realna broja a i b vrijedi
a + b = b + a,
36
ab = ba.
REALNI BROJEVI
1.6
Svojstvo asocijativnosti govori o zbrajanju ili množenju triju brojeva. Tri se
broja mogu zbrojiti ili pomnožiti, ne mijenjajući im poredak, na dva različita
načina. Rezultat će biti isti. Dakle, za bilo koja tri realna broja a , b i c vrijedi
(a + b) + c = a + (b + c),
Primjer 1.
(ab)c = a(bc).
Zbog svojstava asocijativnosti i komutativnosti dozvoljeno je zbrojeve i
umnoške od triju (ili više) članova pisati bez zagrada i računati bilo kojim
poretkom! Utvrdi koja smo svojstva i koji poredak koristili u ovom računu:
117 + 149 + 13 = 117 + 13 + 149 = 130 + 149 = 279;
144 + 373 + 156 = 144 + 156 + 373 = 300 + 373 = 673;
45 · 7 · 2 = 45 · 2 · 7 = 90 · 7 = 630.
Sljedeća svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva tiču se dvaju istaknutih
brojeva, 0 (nule) i 1 (jedinice).
Za bilo koji realan broj a vrijedi
a + 0 = a,
a · 1 = a.
Kažemo da je 0 neutralni element za zbrajanje, a jedinica je neutralni element
za množenje.
Zbroj brojeva 2 i −2 je nula. Općenito, za svaki broj a postoji realni broj, koji
označavamo s −a , takav da zbrojen s a daje nulu:
a + (−a) = 0.
Broj −a nazivamo suprotni broj broju a .
Suprotan broj broju 0 je opet 0, dakle −0 = 0 . 0 je jedini broj s tim svojstvom:
ako za neki realni broj a vrijedi a = −a , onda mora biti a = 0 .
Za radoznale
Je li broj −a pozitivan ili negativan?
Ovo pitanje povlači novo pitanje: reci mi kakav je a pa ću ti odgovoriti kakav je −a .
Ako je a pozitivan, −a je negativan, a ako je a negativan, onda je −a pozitivan
37
1
BROJEVI
Ne smijemo brkati suprotni broj s negativnim brojem! Ako je a negativan realni
broj, onda je njemu suprotan broj −a pozitivan! Primjerice, ako je a = −3 ,
onda je −a = −(−3) = 3 . Općenito je za bilo koji broj a ispunjeno
−(−a) = a.
Oduzimanje realnih brojeva je isto što i zbrajanje sa suprotnim brojem:
a − b = a + (−b).
Primjer 2.
Vrijedi −(a + b) = −a − b . U to ćemo se uvjeriti tako da zbrojimo broj
a + b s −a − b :
a + b + (−a − b) = a + (−a) + b + (−b) = 0.
Dakle, −a − b je suprotni broj za a + b , pa vrijedi
−(a + b) = −a − b.
Za svaki broj a različit od nule postoji realni broj, koji ćemo označiti s a−1 , za
koji vrijedi
a · a−1 = 1.
Broj a−1 nazivamo inverzni ili recipročni broj broju a , a = 0 . Kako je
1
a · = 1 , zaključujemo da je recipročni broj jednak
a
1
a−1 = .
a
Dijeljenje realnih brojeva svodi se na množenje recipročnim brojem. Ako su a i
b realni brojevi, b = 0 , onda je
a:b=a·
1
.
b
Svojstvo distributivnosti povezuje operacije zbrajanja i množenja. Za sve realne
brojeve a , b i c vrijedi:
a(b + c) = ab + ac.
38
REALNI BROJEVI
1.6
Svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva
Operacije zbrajanja i množenja realnih brojeva imaju sljedeća svojstva:
1. Komutativnost:
a + b = b + a,
a · b = b · a.
2. Asocijativnost:
(a + b) + c = a + (b + c) ,
(a · b) · c = a · (b · c) .
3. Distributivnost (obostrana) množenja prema zbrajanju:
a · (b + c) = a · b + a · c ,
(a + b) · c = a · c + b · c .
4. Postojanje neutralnih elemenata, 0 (nule) za zbrajanje i 1 (jedinice) za množenje:
x + 0 = x,
x · 1 = x.
5. Postojanje suprotnog broja i inverznog broja:
1
a + (−a) = 0 ,
a· =1
a
Primjer 3.
(a = 0) .
U sljedećim jednakostima koristili smo svojstvo distributivnosti:
29 · 17 + 71 · 17 = (29 + 71) · 17 = 100 · 17 = 1700,
42 · 37 + 33 · 37 + 25 · 37 = (42 + 33 + 25) · 37 = 100 · 37 = 3700.
Računanje s realnim brojevima
Govorili smo o svojstvima računskih operacija s realnim brojevima. No ako su
realni brojevi beskonačni decimalni brojevi, osobito ako su iracionalni, kako s
njima računati? Evo jednog primjera:
Primjer 4.
Kolika je površina kružnog odsječka ako je duljina polumjera kruga 6 cm,
a središnji kut iznosi 120◦ ?
Površina odsječka jednaka je razlici površina kružnog isječka i površine trokuta
ABS .
Isječku pripada središnji kut od 120◦ ,
pa je njegova površina jednaka trećini
površine kruga:
Pi = 12π cm2 .
S
60
A
B
39
1
BROJEVI
A površina trokuta ABS jednaka je površini jednakostraničnog trokuta sa
stranicom duljine r = 6 cm:
√
P = 9 3 cm2 .
Tada je površina odsječka jednaka
√
Po = Pi − P = (12π − 9 3) cm2 .
I zadatak je riješen.
No rezultat, premda sasvim točan, ne daje √
jasnu sliku o veličini površine
kružnog odsječka. Zato ćemo brojeve π i 3 zamijeniti njihovim približnim vrijednostima. Te približne vrijednosti ovise o tome koliku točnost
želimo postići. U ovom primjeru razumno je procijeniti
da je dovoljno
√
računati s približnim vrijednostima π ≈ 3.14 i 3 ≈ 1.73 . Tada je
√
Po = 12π − 9 3 ≈ 37.68 − 15.57 = 22.11 cm2 .
Pri računanju s realnim brojevima u pravilu računamo s njihovim približnim vrijednostima. Valja biti svjestan da tako radimo i kad pri računu rabimo džepno
računalo, samo što se onda brojevi uzimaju s boljim približnim vrijednostima.
Uzmimo naš prethodni primjer. Uz pomoć džepnog računala račun bi izgledao
ovako:
√
Po = 12π − 9 3 ≈ 12 · 3.141592654 − 9 · 1.732050808
= 37.69911184 − 15.58845727
= 22.11065457 cm2 .
Usporedimo li ovaj s prethodno dobivenim rezultatom, vidimo da i nema velike
razlike.
Brojevni pravac
Cijele brojeve možemo slikovito prikazati na brojevnom pravcu. Taj prikaz nalikuje na prikaz ljestvice termometra. Povucimo horizontalni pravac i odaberimo
na njemu jednu istaknutu točku O kojoj pridružimo broj 0. Nekoj točki E desno
od nje pridružimo broj 1. Dužina OE naziva se jedinična dužina, njezina je
duljina jedinica mjere. Nanošenjem jedinične dužine desno od točke E odredit
ćemo položaj prirodnih brojeva. Ako tu istu dužinu nanosimo lijevo od točke
O , odredit ćemo položaj negativnih cijelih brojeva. Tako je udaljenost izmedu
svakih dvaju uzastopnih cijelih brojeva jednaka jediničnoj duljini.
-2
40
-1
O
E
0
1
2
3
REALNI BROJEVI
1.6
Ako je temperatura u nekom trenutku bila 0 ◦ C , pa je narasla na 1 ◦ C , tada
- točaka
je živa u termometru u meduvremenu
poprimila sve vrijednosti izmedu
označenih s 0 i 1. Kojim brojevima odgovaraju te točke?
Pokušajmo odgovoriti na ovo pitanje. Tako se, npr., na polovini udaljenosti izme- 0 i 1 nalazi broj 1 . Podijelimo li jediničnu dužinu na pet jednakih dijelova,
du
2
1 2 3 4
tada djelišnim točkama odgovaraju brojevi , ,
i .
5 5 5 5
O
2
3
-1
1
5
0
4
5
3
5
2
5
E
2
1
1
2
Gdje se na brojevnom pravcu nalaze racionalni brojevi? Ako su brojevi m i
m
n prirodni, onda ćemo
smjestiti ovako: jediničnu dužinu podijelimo na n
n
jednakih dijelova, i zatim nanesemo m takvih dužina udesno, počevši od broja
0. Ako je m negativan, onda dužine nanosimo lijevo od broja 0.
m
5
3
0
-1
1
n
m
n
1
n
Hoćemo li racionalnim brojevima ispuniti cijeli brojevni pravac?
√
√
Konstruirajmo dužine s duljinama 2 i 3 . Nanesemo li te dužine na√brojevni
√
pravac, dobit ćemo točke koje ne odgovaraju racionalnom broju, jer 2 i 3
nisu racionalni.
Na slici vidimo √
jednu praktičnu konstrukciju kojom na brojevni pravac smještamo
brojeve oblika n , n ∈ N .
1
0
1
2
3
2
5
Svakom realnom broju odgovara jedna točka na brojevnom pravcu. Isto tako,
svakoj točki brojevnog pravca odgovara jedan realni broj. Zato možemo poistovjetiti točke brojevnog pravca s realnim brojevima. Tako i cijeli brojevni pravac
nazivamo još realni pravac ili realna os.
41
1
BROJEVI
Povijesni kutak
BROJEVI
Prirodni brojevi nastali su iz praktične potrebe za prebrajanjem
– količinskom opisivanjem i vrednovanjem konačnih skupova.
Taj je proces trajao tisućljećima, gotovo tijekom čitave ljudske
povijesti. U davno doba prebrajanje se provodilo pridruživanjem i usporedivanjem
broja elemenata nekog skupa sa skupom
kamenčića ili sitnih predmeta izradenih
od gline. Zanimljivo
je primijetiti kako se viša matematika, ona koja se uči na prvim godinama studija, u engleskom govornom području zove
Calculus, što potječe od latinskog calculus – kamenčić.
Sustav “zapisivanja” količina tijekom vremena se unaprjedivao
pa su se primjerice nekoliko tisućljeća prije Krista na
Bliskom istoku u tu svrhu rabili mali glineni predmeti raznih oblika i veličine. Koliko je ovaj sustav bio složen govori
i podatak da se krajem 4. tisućljeća pr. Kr. rabilo 300 različitih figurica.
Još se jedan način prebrajanja razvijao tijekom povijesti, a sastojao se u pridruživanju elemenata nekog skupa i ureza na životinjskoj kosti ili drvenom
prutu.
Najstariji arheološki nalazi koji to potkrepljuju jesu majmunske kosti nadene u jami Border Cave u planini Lemombo na granici Svazija i Južnoafričke
Republike. Što je na njima bilježeno, danas nije moguće znati. Vjeruje se
da su te kosti stare približno 37 000 godina. Slične kosti stare oko 30 000
godina našao je 1937. godine u srednjoj Češkoj arheolog Karl Absolom.
Spomenimo još i kosti (na slici) koje je u Ishangu na granici Ugande i
Konga, svega petnaestak kilometara od ekvatora 1960. godine pronašao
belgijski istraživač De Braucourt, a starost im je 20 000 godina.
Primijetimo kako se ovakvo zapisivanje rabi još i dandanas pa se takve
zabilješke provode pri nekim kartaškim igrama, glasovanjima i sl. Kako to
izgleda, vidimo na zidu jedne pivnice.
U odnosu na dug put do prirodnih brojeva cijeli, racionalni i
iracionalni brojevi relativno su brzo nastali. Čini se kako su
negativne cijele brojeve i nulu uveli Kinezi i to iz praktične
potrebe trgovačkog poslovanja. No njihovo sustavno uvodenje
u matematiku uslijedilo je znatno kasnije, tek na početku 17.
stoljeća.
Pratilo ih je ponekad i žestoko osporavanje, čak i tako velikih
matematičara kao što su bili Descartes i Pascal (Ne postoji ma- kojima Leibniz i Newton,
nje od nule). Mnogi drugi, medu
spremno su ih prihvaćali.
Racionalni brojevi su znatno stariji od cijelih. Tako je računanje s razlomcima bilo vrlo sustavno razradeno
još u
Egiptu, u 4. tisućljeću prije Krista. Da postoje brojevi koji nisu racionalni, spoznali su pitagorejci i to je otkriće za njih
bilo vrlo neugodno jer se nije uklapalo u njihovo učenje o savršenosti brojeva. Legenda kaže kako su bogovi jednog
Pitagorina sljedbenika koji se drznuo i pomisliti da postoje još neki brojevi, ne samo racionalni, kaznili stradavanjem
u velikoj oluji na moru.
42
REALNI BROJEVI
1.6
Aritmetička sredina
Primjer 5.
Marina je na kraju školske godine iz 8 predmeta imala zaključenu ocjenu
odličan, iz 5 predmeta vrlo dobar te iz 2 predmeta dobar. S kojim općim
uspjehom je Marina završila razred? Mogla je imati i bolji uspjeh. Kako?
Da bismo odredili Marinin opći uspjeh moramo izračunati srednju ocjenu
svih 15 predmeta. Zbrojit ćemo sve ocjene pa zbroj podijeliti s brojem
predmeta:
8·5+5·4+2·3
66
=
= 4.4.
15
15
Rezultat 4.4 znači da je Marinin opći uspjeh vrlo dobar. Da bi prošla
s odličnim, potreban je najmanji prosjek 4.5, a to znači da ukupan zbroj
njezinih ocjena mora biti jednak najmanje 15·4.5 = 67.5 , odnosno barem
68. Kako je to Marina mogla postići?
Aritmetička sredina
Prosjek ili aritmetička sredina skupa brojeva a1 , a2 , a3 , . . . , an je
broj
a1 + a2 + a3 + . . . + an
A=
.
n
Dakle, ako je dan neki skup brojčanih podataka, tada je njegova aritmetička
sredina broj koji dobijemo dijeljenjem zbroja svih podataka s brojem podataka.
Zadatak 1.
U nekoj nogometnoj momčadi od 11 igrača
petorica imaju po 25 godina, trojica po 23,
dvojica po 19 i jedan igrač ima 18 godina.
1) Kolika je prosječna starost igrača ove
momčadi?
2) Ako se tijekom igre umjesto jednog devetnaestogodišnjeg igrača uvede zamjena,
prosječna starost momčadi je tada 23 godine. Koliko godina ima igrač uveden u
igru?
43
1
BROJEVI
Postotak i promil
U svakodnevnom životu vrlo se često susrećemo s postotcima. Postotcima se izražava
povećanje životnih troškova, popust u trgovini, kamate na kredite ili štednju, nagib
ceste, stopa gospodarskog rasta itd. Dopunite ovaj niz s još nekoliko svojih primjera.
A što je postotak?
Postotak
Postotak je razlomak s nazivnikom 100. Pišemo
p
= p%.
100
Ako je dan neki iznos x , tada je p% od x jednako x ·
Primjer 6.
p
.
100
Količina krvi u ljudskom tijelu iznosi 7% tjelesne mase.
1) Izračunaj količinu krvi u svojem tijelu.
2) Ako je masa krvi u tijelu tvojeg prijatelja jednaka 3.64 kg, kolika je
njegova tjelesna masa?
3) Pretpostavimo da tvoja tjelesna masa poraste za 1 kg. Za koliko se
poveća količina krvi u tvojem tijelu? Izrazi to povećanje i u postotcima.
Što znači podatak da je količina krvi u ljudskom tijelu 7% tjelesne mase?
To znači da na svakih 100 jedinica tjelesne mase imamo 7 jedinica krvi
(sedam po sto ili sedam posto ili 7 %). U tijelu mase m (kg) količina krvi
(izražena u kg) jednaka je
7
m·
= 0.07m kg.
100
7
Dakle, radi se o proporcionalnosti s koeficijentom
= 0.07 .
100
Ako je tjelesna masa neke osobe 60 kg, u njezinom organizmu je količina
7
= 60 · 0.07 = 4.2 kg . Količina krvi osobe čija je
krvi jednaka 60 ·
100
tjelesna masa 48 kg iznosi 48 · 0.07 = 3.36 kg .
44
REALNI BROJEVI
1.6
Riječ postotak sama za sebe govori o čemu je riječ. Ona je doslovan prijevod
strane riječi procent koja se i u hrvatskom jeziku povremeno rabi. No, uz postotke
često se može čuti i za promile.
Promil
Promil je razlomak s nazivnikom 1000.
p
=p‰
1000
Ako je dan neki iznos x , tada je p ‰ od x jednako x ·
p
.
1000
Obrazložite sljedeći niz jednakosti:
1‰=
Primjer 7.
1
= 0.001 = 0.1 %.
1000
Jedno od važnih svojstava morske vode jest slanost ili salinitet. Iskazuje
se u promilima mase pa tako salinitet od 1 ‰ znači da je u 1 kg morske vode sadržan 1 gram soli. Prosječna slanost svjetskih mora jednaka
je 35 ‰ . Crveno more ima slanost 40 ‰ , Baltičko more jedva 6 ‰ .
Slanost Jadranskog mora veća je od prosjeka i jednaka je 38 ‰ .
Sol se iz morske vode dobiva prirodnim putem, isparavanjem u velikim i plitkim bazenima. Proces
započinje u proljeće, a završava u
jesen berbom soli. U Hrvatskoj su
solane na otoku Pagu, u Stonu te u
Ninu.
Solana na Pagu zauzima površinu od 258 ha i godišnje proizvede
20 000 t soli što je 80 % ukupne
domaće proizvodnje soli.
Odgovori na sljedeća pitanja:
1) Koliko je soli u 10 litara vode u Jadranskom moru?
2) Koliko nam litara jadranske morske vode treba za 1 gram soli?
3) Kolika je ukupna proizvodnja soli u trima hrvatskim solanama?
45
1
BROJEVI
Zadatci 1.6.
1.
Odredi šest brojeva čija je aritmetička sredina
jednaka 3, a svaki je sljedeći od prethodnog veći
za 0.4.
12. Odredi aritmetičku sredinu brojeva
2.
Srednja vrijednost 15 uzastopnih prirodnih brojeva jednaka je 14. Koji je najmanji, a koji je
najveći od tih brojeva?
13. Koristeći se svojstvom aritmetičke sredine odredi
Prosječna težina dječaka u razredu je 55 kg, a prosječna težina djevojčica 47 kg. Koliki je omjer
broja djevojčica i broja dječaka ako je prosječna
težina svih učenika tog razreda 49 kg?
14. Za neku je gradnju potrebno 200 000 komada
4.
Koji je od brojeva 28, 30, 26, 37 i 29 aritmetička
sredina ostalih četiriju?
15. Kava pri prženju gubi 12% mase. Koliko tre-
5.
Odredi sedam brojeva čija je aritmetička sredina
6.6, a svaki je sljedeći broj od prethodnog manji
za 0.2.
16. Netko za prijevoz robe plati 600 kn što čini 1.5%
3.
6.
7.
8.
9.
Prosječna starost igrača jedne nogometne momčadi, njih jedanaestorice, je 25.5 godina. Ako je
iz igre isključen igrač star 20.5 godina, kolika je
prosječna starost igrača koji su ostali u igri?
U nekom razredu s 30 učenika prosječna ocjena
općeg uspjeha je 3.85. S prosjekom 5.0 razred
je završilo 6 učenika. Kolika je prosječna ocjena
ostalih 24 učenika?
1
U nekoj je školi svih učenika završila razred s
6
2
1
odličnim uspjehom,
s vrlo dobrim,
s dob3
8
rim. S dovoljnim nije završio niti jedan učenik, a
13 učenika upućeno je na popravni ispit. Kolika
je srednja ocjena učenika koji su uspješno završili
školsku godinu?
Prosječna visina djevojčica u nekom razredu je
164 cm, a dječaka 172 cm. Ako je prosječna visina svih u razredu 167 cm, koliki je omjer broja
djevojčica i broja dječaka u tom razredu?
10. Prosječna visina 25 učenika u nekom razredu iz-
nosi 168 cm. Kad se Jura izdvoji, prosječna visina ostalih iznosi 167.5 cm. Koliko je visok Jura?
11. Hotel Plavi Jadran, čiji je kapacitet 180 postelja, u 7. i 8. mjesecu bio je popunjen 95 % , u
6. i 9. popunjenost je bila 75 % . U trima zimskim mjesecima hotel je bio zatvoren, a u ostalim
mjesecima popunjenost je bila 45 % . Koliki je
bio prosječan mjesečni broj gostiju tog hotela u
vremenu kada je hotel bio otvoren?
46
7
5
i
.
12
15
Uvjeri se da je taj broj veći od manjeg, a manji
od većeg od tih dvaju brojeva.
pet brojeva koji su veći od
8
5
, a manji od .
6
9
opeke. Ako je otpad zbog loma 4.5% koliko
komada treba nabaviti?
ba sirove kave da bi se prženjem dobilo 10 kg
pržene?
njezine vrijednosti. Koliko vrijedi roba?
17. U nekoj školi 55% svih učenika su djevojčice.
Ostalo su dječaci i njih je za 60 manje nego djevojčica. Koliko je učenika u toj školi?
18. Učenici triju razreda skupljali su stari papir. Raz-
red A skupio je za 20% veću količinu od razreda
B, a razred B za 20% manje od razreda C. Ako je
ukupno skupljeno 759 kg papira, koliko je skupio
pojedini razred?
19. U predizbornoj kampanji jedan je političar obe-
ćao kako će za vrijeme svojeg četverogodišnjeg
mandata ukinuti PDV na knjige koji sada iznosi
20% i to tako da će ga svake godine umanjiti za
5% u odnosu na prethodnu godinu. Može li taj
političar, bude li izabran, ispuniti svoje obećanje
?
20. Novine obavještavaju kako je porast cijene auto-
mobilskog goriva tijekom posljednje 3 godine bio
redom za 4%, 5% i 8% Tako je u te 3 godine cijena porasla za ukupno 17%, zaključuje novinar.
No ta je računica pogrešna. Izračunajte koliko je
porasla cijena goriva u posljednje tri godine.
21. Odgovori na sljedeća pitanja:
1) Koliko je učenika u tvojem razredu završilo
osmi razred s općim uspjehom vrlo dobar? Izrazi
taj broj u postotcima.
2) Na pismenom ispitu iz matematike u tvojem
razredu 32% učenika ocijenjeno je odličnom ocjenom. Koliki je to broj učenika?
REALNI BROJEVI
22. U morskoj je vodi 0.3 % soli. Koliko kilograma
soli ima u jednom hektolitru morske vode?
23. Od neke svote odbije se 8 % na troškove, a os-
tatak se podijeli na 5 osoba. Koliko je iznosila
cijela svota ako je svaka osoba dobila po 930 kn?
24. Cijena neke knjige poraste za 20 % a nakon ne-
kog vremena ta se nova cijena umanji za 25 % .
Kolika je konačna cijena u odnosu na početnu
izrazeno u postotcima?
25. U nekom gradu je prije tri godine bilo 45 000 sta-
novnika. Ako je godišnji priraštaj 2 % koliko je
stanovnika u tom gradu danas?
26. Broj stanovnika nekog grada povećao se za godi-
nu dana od 10 500 na 11 250. Izrazi u postotcima
to povećanje.
27. U jednom razredu 60% učenika uči njemački je-
zik, 80% uči engleski. Svaki učenik uči barem
jedan od ovih dvaju stranih jezika. Koliki postotak učenika ovog razreda uči oba ova jezika?
28. Ivica posudi knjigu i prvoga dana pročita 15 %
njezinih stranica. Sljedećeg dana pročita 20 %
od ostatkod novog ostatka a, a trećega dana još
25 % . Tada mu ostanu za čitanje još 102 stranice.
Koliko stranica ima knjiga?
a+b
zadana algebarska ope2
racija čiji je rezultat aritmetička sredina danih
realnih brojeva a i b .
Je li ta operacija komutativna?
Izračunaj (11 ∗ 12) ∗ 13 te 11 ∗ (12 ∗ 13) . Što
zaključuješ?
29. Neka je s a ∗ b =
1.6
Točno-netočno pitalice
Koje su od sljedećih tvrdnji točne, a koje netočne?
Odgovori, a odgovor obrazloži.
1. Svaki je iracionalan broj ujedno i realan.
2. Svaki je racionalan broj ujedno i cijeli
broj.
3. Broj 0.10100100010000100000 . . . je racionalan broj.
4. Broj 3.14159 je iracionalan broj.
5. Zbroj svaka dva iracionalna broja iracionalan je broj.
6. Umnožak dvaju iracionalnih brojeva iracionalan je broj.
7. Ako je x−2y=3 , onda je 3x−6y+3=12 .
8. Ako je 5% nekog broja jednako 75, tada
je 80% tog istog broja jednako 1250.
9. Ako je 1 ‰ od x jednako 11, onda je 1%
od x jednako 110.
10. Ako je 2% od y jednako 22, onda je 2 ‰
od y jednako 2.2.
11. Aritmetička sredina 15 uzastopnih prirodnih brojeva jednaka je 20. Najmanji od tih
brojeva je broj 13.
12. Broj a aritmetička je sredina n brojeva
čiji je zbroj jednak S . Tada je a · n = S .
30. Za dva realna broja a i b definirana je računska
operacija a ∗ b = a + ab + b . Je li ta operacija
komutativna?
A je li asocijativna?
a+b
provjeri jednakosti:
ab
1 1
1 1
1) ∗ = ∗ ;
3 4
4 3
1 1
1
1 1
1
2) ∗
∗
∗
=
∗ .
3
4 5
3 4
5
Je li ova operacija komutativna? A asocijativna?
31. Ako je a ∗ b =
47
1
BROJEVI
Istražite
ALKOHOL U KRVI VOZAČA
Alkohol u krvi vozača najčešći je uzrok pogubnih prometnih nesreća. Prometna policija osobito je stroga u provjerama
alkoholiziranosti vozača uz blagdane kakav je primjerice Martinje. Godine 2010. na taj je dan samo na jednoj kontrolnoj točki kod Duge Rese 31 vozač ostao bez vozačke dozvole. Rekorder pri toj provjeri bio je vozač u čijoj je krvi
izmjereno 3.41 ‰ alkohola. Što znači taj podatak?
Koncentracija alkohola, iskazana u promilima, u krvi vozača računa se prema formuli:
A · p · 0.79
C=
100 m · k
U toj je formuli A količina popijenog alkohola izražena u ml, p jakost alkohola izražena u postotcima, 0.79 je specifična težina etilnog alkhola, m tjelesna masa osobe (u kg), a k je koeficijent redukcije koji je za muškarce 0.68, za
žene 0.61.
Primjerice, ako muškarac mase 70 kg popije litru piva jačine 6 %, koncentracija alkohola u njegovoj krvi iznosit će
1000 · 6 · 0.79
C=
≈ 1 ‰.
100 · 70 · 0.68
Tolika količina alkohola u krvi neke osobe izaziva osjećaj zbunjenosti i slabije orijentacije.
Istražite podrobnije kako alkohol utječe na sposobnost vozača.
Proučite propise o dopuštenoj količini alkohola u krvi vozača.
48
OPERACIJE SA SKUPOVIMA
1.7
1.7. Operacije sa skupovima
Pojam skupa
Govorili smo o skupu prirodnih brojeva, skupu racionalnih brojeva. . . Što je to
skup? Poput drugih temeljnih pojmova (npr., broja, točke, pravca i sl.) taj se pojam ne definira, jer ga je teško raščlaniti na jednostavnije pojmove, pa to nećemo
- ako je dobro
ni pokušavati. Zadovoljit ćemo se dogovorom da je skup odreden
definiran zakon prema kojem odredujemo njegove elemente. Tako je, npr., skup
“svih učenika u vašem razredu” dobro definiran. Medutim,
skup “svih visokih
učenika u vašem razredu” nije dobro definiran, jer nam je nepoznat kriterij “biti
visok”. Skupove zorno predočavamo Euler-Vennovim dijagramima.
ili na ovaj način:
Označimo s A skup neparnih prirodnih brojeva manjih od 10. Taj je skup dobro definiran,
jer za svaki zadani broj znamo odrediti pripada
li mu ili ne. Zapisujemo ga unutar vitičaste
zagrade, navodeći njegove elemente:
A = {1, 3, 5, 7, 9},
A = {n : n ∈ N je neparan, n < 10}.
Broj 7 pripada ovom skupu; pišemo 7 ∈ A . ( Čitaj: 7 je element skupa A , ili 7
pripada skupu A .) Broj 6 mu ne pripada. Pišemo 6 ∈
/ A.
Neka je B = {3, 5, 9} . Svaki element skupa
B pripada skupu A . Kažemo onda da je B
podskup skupa A i pišemo B ⊆ A . Ako skup
A sadrži barem jedan element koji ne pripada
skupu B , onda kažemo da je B pravi podskup
skupa A i pišemo B ⊂ A . Dakle, u ovom je
primjeru B ⊂ A .
Tako je, primjerice, (obrazloži!)
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Primjer 1.
U skupu A svih četverokuta u ravnini
izdvojimo podskupove:
B = { skup svih paralelograma } ,
C = { skup svih pravokutnika } ,
A
B
C
D
D = { skup svih kvadrata } .
Obrazloži: D ⊂ C ⊂ B ⊂ A .
49
1
BROJEVI
Neka je sada
A = {n ∈ N : n je paran} = {2, 4, 6, 8, 10, 12 . . .},
B = {n ∈ N : n je djeljiv s 3} = {3, 6, 9, 12, 15 . . .}.
Za ove skupove ne vrijedi ni A ⊆ B ni B ⊆ A . Medutim,
ovi skupovi ipak imaju
neke zajedničke elemente, a to su brojevi 6, 12, 18 itd, tj. brojevi djeljivi sa 6.
Presjek skupova
Presjek skupova A i B je skup A ∩ B , koji sadrži zajedničke elemente
ovih dvaju skupova:
A ∩ B = {x : x ∈ A i x ∈ B}.
Za prije navedene skupove je presjek:
A ∩ B = {n ∈ N : n je djeljiv s 2 i s 3}
= {n ∈ N : n je djeljiv sa 6}
= {6, 12, 18, 24 . . .}.
Zadatak 1.
Ako je Vn skup višekratnika prirodnog broja n , odredi skupove
1) V2 ∩ V3 ;
2) V5 ∩ V10 ;
3) V12 ∩ V18 .
Svaki se parni broj može napisati u obliku 2k , gdje je k cijeli broj. Skup svih
parnih cijelih brojeva možemo zapisati u obliku
A = {n : n = 2k, k ∈ Z}.
Oduzmemo li parnom broju 1 , dobit ćemo neparan broj. Svaki neparni broj je
oblika 2k − 1 . Skup svih neparnih cijelih brojeva je:
B = {n : n = 2k − 1, k ∈ Z}.
Skupovi A i B nemaju zajedničkih elemenata. Za njih kažemo da su disjunktni.
Njihov presjek A ∩ B je prazan. Pišemo: A ∩ B = ∅ . ∅ je oznaka za prazan
skup, skup koji nema nijednog elementa.
S druge strane, svaki je cijeli broj bilo paran
bilo neparan. To znači da se svaki cijeli broj
nalazi ili u skupu A ili u skupu B . Kažemo da
je unija skupova A i B jednaka skupu cijelih
brojeva. Općenitije, definiramo:
Unija skupova
Unija skupova A i B je skup A ∪ B , koji sadrži one elemente koji se
nalaze u barem jednom od ovih dvaju skupova:
A ∪ B = {x : x ∈ A ili x ∈ B}.
50
OPERACIJE SA SKUPOVIMA
Primjer 2.
1.7
Za skupove brojeva vrijedi: Q ∩ I = ∅ , Q ∪ I = R .
Zadatak 2.
Ako je Dn skup djelitelja prirodnog broja n , odredi skupove:
1) D12 ∪ D18 ;
2) D15 ∪ D30 ;
3) D23 ∪ D41 .
Zadatak 3.
Euler-Vennovim dijagramima uvjeri se u istinitost sljedećih jednakosti:
1) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ;
2) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) .
Kutak plus
KOLIKO JE ELEMENATA U SKUPU?
Od 25 učenika nekog razreda njih 20 uči engleski jezik, a 18 njemački jezik. Koliko učenika uči oba jezika ako svaki
učenik uči barem jedan od njih?
Očito, kako je 20 + 18 > 25 , onda sigurno ima učenika koji uče oba strana jezika. Označimo s k(E) broj učenika koji
uče engleski, a s k(G) broj učenika koji uče njemački jezik. Neka je n = k(E ∩ G) broj učenika koji uče oba jezika.
Prikažimo dijagramom te skupove:
Očito je k(E ∪ G) = k(E) + k(G) − k(E ∩ G) pa imamo
jednadžbu 25 = 20 + 18 − n . Odatle slijedi n = 13 .
E
G
Dakle, oba jezika uči svega 13 učenika, samo engleski uči
njih 7, a samo njemački 5.
Riješi zadatke:
1. U nekom je razredu 28 učenika. U razne sportske aktivnosti uključeno ih je 15, a 16 učenika pjeva u pjevačkom
- sportašima, niti su članovi pjevačkog zbora. Koliko je učenika
zboru škole. Sedam učenika tog razreda niti su medu
ovog razreda uključeno u obje aktivnosti?
2. Učenici nekog razreda uče dva jezika, engleski i njemački. Engleski uče 23 učenika, njemački 19, a oba jezika uči
12 učenika. Koliko je učenika u tom razredu ako svaki uči barem jedan od ova dva jezika?
3. U nekoj udruzi umirovljenika
3
2
4 muških članova nosi naočale, a 3 ih je ćelavo. U toj je udruzi 48 muških članova
- njima takvih koji su ćelavi, a nose i naočale?
i svaki je ili ćelav ili nosi naočale. Ima li medu
4. Maturalna zadaća iz matematike sastojala se od triju zadataka. Prvi je riješilo 82 % učenika koji su pristupili ispitu,
5.
drugi i treći po 78 %. Prvi i drugi zadatak riješilo je 62 % maturanata, prvi i treći 66 %, a drugi i treći 60 %. Sva
tri zadatka točno je riješilo 75 učenika. Koliko je učenika rješavalo ovu zadaću?
- oči, 15 svijetlu kosu, 17 ih je težih od 20 kg, a 18 viših od 1.60 m. Dokaži da su
Od 20 dječaka 14 ih ima smede
- njima barem četvorica koji imaju sve četiri navedene osobine.
medu
51
1
BROJEVI
Zadatci 1.7.
1.
2.
Ispiši sve elemente ovih skupova:
1) skup svih djelitelja broja 48;
2) skup svih zajedničkih višekratnika brojeva 6 i
9 manjih od 150;
3) skup prostih brojeva manjih od 100;
4) skup svih dvoznamenkastih brojeva čije su znamenke 1, 2 ili 3.
Dan je skup
π 0.7
1
S = − √ , 0.11, 3.14159, −101, ,
.
4 1.23
2
Napiši podskup ovog skupa čiji su elementi iracionalni brojevi.
3.
Za prirodni broj n definiramo skup Sn = {x ∈
N : x < n} . Odredi skupove S1 , S10 i S1000 .
4.
Odredi sve skupove X za koje vrijedi
X ⊆ {a, b, c} .
5.
Neka je A ⊆ B . Čemu su jednaki skupovi A∩B ,
A ∪ B?
U kojem su medusobnom
odnosu sljedeći skupovi:
1) A = {n ∈ N : n=3k} , B = {n ∈ N : n=6k} ;
2) A={n∈N : n=4k−1} , B={n∈N : n=2k+4} ?
6.
7.
Odredi neki skup A tako da vrijedi:
1) {1, 2, 3} ∩ A = {1, 2} ;
2) {1, 2, 3} ∩ A = ∅ ;
3) {1, 2, 3} ∩ A = {3, 4} .
8.
Odredi neki skup B tako da vrijedi:
1) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} ;
2) {1, 2, 3} ∪ B = {1, 2, 3} .
9.
Elementi skupova A , B i C neki su od prirodnih
brojeva koji su manji od 10. Pritom je: A ∩ B =
{3, 8} , A ∩ C = {8, 9} , B ∩ C = {8} , A ∪ B =
{1, 2, 3, 4, 8, 9} , A ∪ C = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} ,
B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . Odredi skupove A ,
B i C.
10. Elementi skupova A , B i C neki su od prirodnih brojeva koji su manji od 10. Pritom
je: A ∩ B = A ∩ C = B ∩ C = {3, 4} ,
52
A∪B = {1, 2, 3, 4, 6, 7} , A∪C = {1, 2, 3, 4, 5} ,
B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7} . Odredi skupove A , B i
C.
11. Skupovi A , B i C podskupovi su skupa prirodnih brojeva: A = {n : n = 2k − 1, k ∈ N} , B =
{n : n = 3k, k ∈ N} , C = {n : n = 4k, k ∈ N} .
Odredi skupove A ∪ B , A ∪ C , B ∪ C , A ∩ B ,
A ∩C, B∩C.
12. Što se može reći o skupovima A , B , C za koje
vrijedi:
1) A ∪ B = A ,
2) A ∪ B = A ∩ B ,
3) A ∩ B ∩ C = A ,
4) A ∪ B ∪ C = A ?
13. Odredi A ∪ B i A ∩ B ako je:
A = {x ∈ N : 2 < x < 11} ,
B = {x ∈ N : 7 x 17} .
A = {x ∈ Z : −12 < x < −1} ,
B = {x ∈ Z : −2 x 5} .
1
A= x∈Q:0<x
,
2
1
1
.
B= x∈Q:− x
2
4
3
<x
8
4
B= x∈Q:− x
9
A=
x∈Q:−
5
,
7
7
.
9
17. Obrazloži:
1) A ∩ B ⊆ A i A ∩ B ⊆ B ;
2) A ⊆ A ∪ B i B ⊆ A ∪ B ;
3) A ∩ B ⊂ A ∪ B .
18. Odredi skup X tako da vrijedi:
{1, 2, 3} ⊆ X ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}.

Pogled u knjigu

Transcription

Similar documents

PDF 37 - beton

Zeljoteka 2012.indd - OSNOVNA ŠKOLA KOPRIVNIČKI BREGI

Seminarski rad: Mašinsko ucenje, inteligentni agenti

matematika 2

ludus149 - Udruženje dramskih umetnika Srbije