MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / 2022 Mallit / Loppuviikko

MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / 2022 Mallit / Loppuviikko

MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022
Turunen / Bergman
MS-A0002 Matriisilaskenta
Laskuharjoitus 1 / 2022
Mallit / Loppuviikko
Tehtävä 5 (L):
a) Ovatko vektorit u = (1, −1, 2) ja v = (−2, 2, 1) kohtisuorassa toisiaan
vastaan? Jos eivät, mikä on niiden välinen kulma?
b) Olkoot u = (1, −1, −1) ja v = (1, 2, 2). Laske ristitulo u × v sekä vektoreiden u ja v
määräämän kolmion pinta-ala.
√
c) Anna napakoordinaatiston pisteet ( 2, π/3) ja (1, −π/6) karteesisissa koordinaateissa. Tarkista piirtämällä kuva.
Ratkaisu: a) Lasketaan pistetulo:
u · v = (1 ∗ (−2)) + ((−1) ∗ 2) + (2 ∗ 1) = −2
koska u · v ̸= 0, eivät vektorit ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Niiden välinen kulma saadaan
lausekkeesta:
u · v = |u||v| cos(θ)
−2
u·v
= arccos √
θ = arccos
|u||v|
3 6
◦
θ ≈ 1.85 ≈ 105.8 .
b)
i j
k
1 −1
−1 −1
1 −1
j+
k
i−
u × v = 1 −1 −1 =
1 2
1 2
2
2
1 2
2
= (−1 ∗ 2 − (−1) ∗ 2)i − (1 ∗ 2 − 1 ∗ (−1))j + (1 ∗ 2 − 1 ∗ (−1))k
= −3j + 3k
Ristitulovektorin pituus on yhtä suuri kuin vektorien u ja v määräämän suunnikkaan pinta-ala.
Vektorien määräämän kolmion ala on puolet tämän suunnikkaan alasta, eli
√
1
18
1√ 2
A = |u × v| =
3 + 32 =
2
2
2
c) Napakoordinaatiston piste (r, φ) karteesisissa koordinaateissa löytyy seuraavilla kaavoilla:
x = r cos(φ)
y = r sin(φ)
1
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022
Turunen / Bergman
√
Joten ( 2, π/3) on karteesisissa koordinaateissa
√
1
2 cos(π/3) = √
2
√
√
6
y = 2 sin(π/3) =
2
x=
ja (1, −π/6) on
√
3
2
1
y = sin(−π/6) = −
2
x = cos(−π/6) =
Tehtävä 6 (L): a) Laske (3 + 4i)(4 + 3i) ja päättele tämän avulla, että
arctan(4/3) + arctan(3/4) = π/2.
b) Etsi kaikki ne luvut z = a + bi ∈ C (missä a, b ∈ R), joilla
Im(z + 1/z) = 0,
missä Im(w) on luvun w ∈ C imaginaariosa.
Ratkaisu:
a)
Merkitään x = 3 + 4i ja y = 4 + 3i. Nyt arg(x) = arctan( 43 ) ja arg(y) = arctan( 43 ). Taas
toisaalta xy = (3 + 4i)(4 + 3i) = 25i. Koska 25i sijaitsee positiivisella imaginaariakselilla, saadaan arg(xy) = π2 . Kompleksiluvuille x ja y pätee: arg(x)+arg(y) = arg(xy), joten arctan( 43 ) +
arctan( 43 ) = π2 .
b)
Merkitään z = a + bi. Nyt, suoralla laskulla:
1
1
a − bi
0 = Im z +
= Im a + bi +
= Im a + bi +
z
a + bi
(a + bi) (a − bi)
a − bi
a
b
b
= Im a + bi + 2
= Im a + 2
+ i(b − 2
) =b− 2
,
2
2
2
a +b
a +b
a +b
a + b2
eli saadaan ehto
b−
a2
b
= 0.
+ b2
Ratkaisemalla yhtälö saadaan ratkaisut a2 + b2 = 1, tai b = 0, kun z ̸= 0 (eli a ̸= 0).
2
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022
Turunen / Bergman
Tehtävä 7 (P): Totea laskemalla, että vektoreille u, v ∈ Rn pätee
⟨u, v⟩ =
∥u + v∥2 − ∥u − v∥2
.
4
(1)
(Huom. Sisätulon voi siis tässä laskea normien avulla!)
Ratkaisu: Avaamalla ja uudelleenjärjestämällä:
∥u + v∥2 − ∥u − v∥2 (u1 + v1 )2 + . . . + (un + vn )2 − (u1 − v1 )2 − . . . − (un − vn )2
=
4
4
2
2
(u1 + v1 ) − (u1 − v1 ) + . . . + (un + vn )2 − (un − vn )2
=
4
2u1 v1 + 2u1 v1 + . . . + 2un vn + 2un vn
=
4
4u1 v1 + . . . + 4un vn
=
4
=u1 v1 + . . . + un vn = ⟨u, v⟩
Tehtävä 8 (P): Etsi kaikki vektorit v ∈ R3 , jotka ovat kohtisuorassa sekä vektoria (1, 2, 3) että
vektoria (3, 2, 1) vastaan.
Ratkaisu (A):
Vektorien ristitulo on kohtisuorassa tekijöitä vastaan, ja haetut vektorit saadaan tämän skaalauksina. Ensin lasketaan ristitulo vektorien (1, 2, 3), (3, 2, 1) välillä muodollisena determinanttina:


 
i j k
−4



det 1 2 3 = (2 − 6)i + (9 − 1)j + (2 − 6)k = −4i + 8j − 4k = 8  .
3 2 1
−4
Tämä toki vastaa vektoria (−4, 8, −4) = −4(1, −2, 1) ∈ R3 . Ja kaikki haetut vektorit v ovat nyt
muotoa
(t, −2t, t) ∈ R3 , kun t ∈ R.
Ratkaisu (B):
Toinen mahdollinen tapa ratkaista vektorit v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 on avulla yhtälöryhmästä
(
0 = (1, 2, 3) · (v1 , v2 , v3 ) = 1v1 + 2v2 + 3v3 ,
0 = (3, 2, 1) · (v1 , v2 , v3 ) = 3v1 + 2v2 + 1v3 .
Nämä yhtälöt summaamalla ja vähentämällä saadaan yhtäpitävät yhtälöt
(
0 = 4(v1 + v2 + v3 ),
0 = 2(v3 − v1 ).
Tästä saadaan t := v1 = v3 ja v2 = −2t. Lopputulos on toki sama kuin ratkaisussa (A).
3
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022
Turunen / Bergman
Huom! Myöhemmin opitaan yhtälöryhmän liittomatriisin Gauss-eliminointi (sivuutetaan yksityiskohdat):
1 2 3 | 0
1 2
3 | 0
1 0 −1 | 0
∼
∼
...
3 2 1 | 0
0 −4 −8 | 0
0 1 2 | 0
4