MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / 2022 Mallit / Alkuviikko

Transcription

MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2021
Turunen / Bergman
MS-A0002 Matriisilaskenta
Laskuharjoitus 2 / 2022
Mallit / Alkuviikko
Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat
a) |z − 2i| = 2,
b) |z − 2i| < 2,
c) |1/z| < 1.
Ratkaisu:
Yleisesti: ehto |z| = R, z ∈ C muodostaa kompleksitasoon joukon kaikista niistä pisteistä, joiden
itseisarvo on R. Graafisesti tulkittuna tämä joukko muodostaa R-säteisen, origokeskisen ympyrän
kompleksitasoon.
Jos joukkoa siirretään tasossa (so. z → z − z0 ) siirtyy myös ympyrän keskipiste pisteestä z = 0
pisteeseen z − z0 = 0 → z = z0 .
Toisin sanoen ehto |z − z0 | = R kelpuuttaa pisteet z joiden etäisyys pisteestä z0 on R.
(a) |z − 2i| = 2: ympyrä kompleksitasossa, jonka origo on pisteessä z0 = 2i ja säde on 2.
(b) |z − 2i| < 2: kaikki pisteet ympyrän, jonka keskipiste z0 = 2i ja säde 2, sisällä. (Pisteet joiden
etäisyys pisteestä z0 = 2i on alle 2.)
(c) Joukkoon kuuluvat kaikki pisteet z ∈ C, z ̸= 0, joiden itseisarvo on suurempi kuin 1. Kun
z = 0 jakolaskua ei ole määritelty.
1
1
=
<1
z
|z|
1
⇒
<1
|z|
⇒ 1 < |z|
⇒ |z| > 1
|z| > 0, |z| =
̸ 0
Kyseessä on siis koko kompleksitaso yksisäteisen origokeskisen ympyrän ulkopuolella. Ympyrän reuna ei kuulu alueeseen.
Vaihtoehtoinen ratkaisu:
1
Turunen / Bergman
(a) Kompleksiluvun ẑ itseisarvo voidaan kirjoittaa Pythagoraan lauseen avulla |ẑ| =
p
|z − 2i| = Re(z − 2i)2 + Im(z − 2i)2
p
= Re(z)2 + (Im(z) − 2)2 = 2,
p
Re(ẑ)2 + Im(ẑ)2 .
jonka voi tulkita yhtälöksi ympyrälle, jonka keskipiste on kompleksitason pisteessä 2i, ja säde
on 2.
(b) Vastaavasti:
|z − 2i| =
p
Re(z − 2i)2 + Im(z − 2i)2
=
p
Re(z)2 + (Im(z) − 2)2 < 2,
joka havaitaan avoimeksi (="reunattomaksi") kiekoksi, jonka keskipiste on kompleksitason
pisteessä 2i, ja säde on 2.
(c) Kuten ensimämisessä ratkaisumallissa, kirjoitetana yhtälö muotoon |z| > 1, jolloin
p
|z| = Re(z)2 + Im(z)2 > 1,
joka voidaan tulkita yksisäteisen origokeskeisen kiekon komplementiksi kompleksitasossa.
Tehtävä 2 (L): Sanotaan, että kuvaus f : Rn → Rm on lineaarinen, jos
(
f (x + y) = f (x) + f (y) ja
f (tx) = tf (x)
jokaisella x, y ∈ Rn ja t ∈ R.
a) Näytä, että g : R3 → R on lineaarinen, kun määritellään g(x) = x · v, missä v = (9, 7, 5) ∈
R3 .
b) Olkoon h : R3 → R lineaarinen. Päättele, että on olemassa w = (w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 , jolle
h(x) = x · w (sisätulo) jokaisella x ∈ R3 .
Ratkaisu:
(a) Merkitään x = (x1 , x2 , x3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) = (9, 7, 5) ja y = (y1 , y2 , y3 ). Tarkastetaan lineaarisuuden ehdot.
2
Turunen / Bergman
g(x + y) = (x + y) · v = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) · (v1 , v2 , v3 )
= v1 · (x1 + y1 ) + v2 · (x2 + y2 ) + v3 · (x3 + y3 )
= (v1 · x1 + v2 · x2 + v3 · x3 ) + (v1 · y1 + v2 · y2 + v3 · y3 )
=x·v+y·v
= g(x) + g(y)
g(tx) = (tx) · v = (tx1 , tx2 , tx3 ) · (v1 , v2 , v3 )
= v1 tx1 + v2 tx2 + v3 tx3
= t(x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 )
= t(x · v)
= tg(x)
Huomataan, että molemmat lineaarisuuden ehdot täyttyvät, jolloin ollaan näytetty, että g on
lineaarinen.
(b) Olkoon δk avaruuden R3 standardikannan k:s vektori eli δ1 = (1, 0, 0), δ2 = (0, 1, 0), δ3 =
(0, 0, 1). Funktion h : R3 → R lineaarisuuden nojalla kaikille x ∈ R3 pätee
h(x) =
=
=
=
=
h((x1 , x2 , x3 ))
h(x1 δ1 + x2 δ2 + x3 δ3 )
x1 h(δ1 ) + x2 h(δ2 ) + x3 h(δ3 )
x1 w1 + x2 w2 + x3 w3
x · w,
kun vektori w = (w1 , w2 , w3 ) määritellään wk := h(δk ).
3
Turunen / Bergman
Tehtävä 3 (P): Olkoon A : R3 → R2 lineaarinen. Tiedetään, että A(1, 0, 0) = (−4, −1), A(0, 1, 0) =
(0, 2) ja A(0, 0, 1) = (3, 5). Laske A(8, 7, 6).
Ratkaisu:
Koska A on lineaarinen, niin A(8, 7, 6) = A(8, 0, 0) + A(0, 7, 0) + A(0, 0, 6). Toisaalta lineaarisuuden vuoksi saadaan myös
A(8, 0, 0) = 8 · A(1, 0, 0) = 8 · (−4, −1) = (−32, −8)
A(0, 7, 0) = 7 · A(0, 1, 0)
= 7 · (0, 2) = (0, 14)
A(0, 0, 6) = 6 · A(0, 0, 1)
= 6 · (3, 5) = (18, 30)
Tällöin A(8, 7, 6) = (−32, −8) + (0, 14) + (18, 30) = (−32 + 0 + 18, −8 + 14 + 30) = (−14, 36).
Tehtävä 4 (P): Todista vektorien u, v ∈ Cn suunnikasidentiteetti
∥u + v∥2 + ∥u − v∥2 = 2 ∥u∥2 + 2 ∥v∥2 .
Piirrä tason suunnikas, jonka kärkinä ovat O, u, v, u + v ∈ R2 .
Miten ∥u + v∥, ∥u − v∥, ∥u∥, ∥v∥ liittyvät suunnikkaan kärkien välisiin etäisyyksiin?
Ratkaisu: Todistus:
n
n
X
X
∥u + v∥ + ∥u − v∥ =
(ui + vi )(ui + vi ) +
(ui − vi )(ui − vi )
2
2
=
=
i=1
n
X
i=1
(ui ui + ui vi + vi ui + vi v i ) +
n
X
i=1
i=1
n
X
(2ui ui + 2vi v i )
i=1
=2∥u∥2 + 2∥v∥2
∥u + v∥ vastaa origon ja kärjen u+v etäisyyttä.
∥u − v∥ vastaa kärkien u ja v välistä etäisyyttä.
∥u∥ vastaa origon ja kärjen u välistä etäisyyttä.
∥v∥ vastaa origon ja kärjen v välistä etäisyyttä.
4
(ui ui − ui vi − vi ui + vi v i )
(1)

MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / 2022 Mallit / Alkuviikko

Transcription

Similar documents