MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / 2022 Mallit / Loppuviikko

MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / 2022 Mallit / Loppuviikko

MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022
Turunen / Bergman
MS-A0002 Matriisilaskenta
Laskuharjoitus 2 / 2022
Mallit / Loppuviikko
Tehtävä 5 (L): Ratkaise yhtälöryhmä


x2 +x3 = 0
x1 +x2
=0

x1 +x2 +x3 = 1
käyttämällä Gaussin eliminaatiota tarpeellisin rivinvaihdoin. Mitä saamasi ratkaisu kertoo näistä
kolmesta avaruuden tasosta?
Ratkaisu:
Yhtälöryhmä voidaan esittää muodossa

  



0
0 1 1 0
0 1 1
x1
 1 1 0   x2  =  0  ⇔  1 1 0 0 
1
1 1 1
x3
1 1 1 1
Eliminoidaan:


0 1 1 0
 1 1 0 0 
1 1 1 1


1 1 1 1
V aihdetaan rivit 1. ja 3.
−−−−−−−−−−−−−−−→  1 1 0 0 
0 1 1 0


1 0 0 1
Rivi1 −Rivi3
−−−−
−−−→  1 1 0 0 
0 1 1 0


1 0 0 1
R −R1
 0 1 0 −1 
−−2−−→
0 1 1 0


1 0 0 1
R −R2
 0 1 0 −1 
−−3−−→
0 0 1 1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Viimeisestä muodosta huomataan, että tasot leikkaavat täsmälleen yhdessä pisteessä (x1 , x2 , x3 ) =
(1, −1, 1).
1
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022
Turunen / Bergman
Tehtävä 6 (L): Määritä sellaiset kertoimet a, b, c, d ∈ R, että
a(x3 − x2 + x − 1) + b(x3 + x2 + 3x − 2) + c(x2 + 3x + 1) + d(x3 + 2x2 − 2) + 7 = 0
kaikilla x ∈ R. Käytä Gaussin eliminaatiota.
Ratkaisu:
Kirjoitetaan yhtälö muotoon, jossa polynomin kertoimet erottuvat:
a(x3 − x2 + x − 1) + b(x3 + x2 + 3x − 2) + c(x2 + 3x + 1) + d(x3 + 2x2 − 2) + 7 = 0
⇔
3
2
x (a + b + d) + x (−a + b + c + 2d) + x(a + 3b + 3c) − a − 2b + c − 2d + 7 = 0
Polynomi saa arvon 0 kaikilla x ∈ R, jos ja vain jos sen kaikki kertoimet ovat 0.
Tarkastellaan summaa termeittän:
x3 :
a +b
+d
2
x :
−a +b +c +2d
x:
a +3b +3c
vakiot: −a −2b +c −2d +7
=0
=0
=0
=0
Kirjoittamalla viimeinen termi muodossa −a − 2b + c − 2d = −7, voidaan yhtälö kirjoittaa matriisimuodossa:

  



1
1 0 1
a
0
1
1 0 1
0
 −1 1 1 2   b   0 

0 

  = 

 ⇔  −1 1 1 2
 1
 1
3 3 0  c   0 
3 3 0
0 
−1 −2 1 −2
d
−7
−1 −2 1 −2 −7
Eliminoidaan:

1
1
 −1 1

 1
3
−1 −2
0
1
3
1


1
0
2
0 

0 
0
−2 −7
1 1 0
2 1
R2 +R1 ,
R3 −R1 , R4 +R1  0
−−−−−−−−−−−−−−−−→ 
 0 2 3
0 −1 1

1 1 0 1
R3 −R2 ,
R4 + 12 R2  0 2 1
3
−−−−−−−−−−−→ 
 0 0 2 −4
0 0 32 12
2

0
1
3
0 

−1 0 
−1 −7

0
0 

0 
−7
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022
Turunen / Bergman

1
3

R4 − R3
0
−−−−4−→ 
 0
0
1
2
0
0


0 1
0
1 3
0 

2 −4 0 
0 72 −7
1
R2 · 21 ,
R3 · 12 , R4 · 72  0
−−−−−−−−−−−−−→ 
 0
0

0
1 0 1
1 12 32
0 

0 1 −2 0 
0 0 1 −2
Takaisinsijoituksilla:


1 1 0 0 2
R3 +2R4  0 1 1 0
R1 −R4 ,
R 2 − 3 R4 ,
3 
2

−−−−−−−−−−2−−−−−−−−→ 
 0 0 1 0 −4 
0 0 0 1 −2


1 1 0 0 2
R2 − 12 R3  0 1 0 0
5 

−−−−−−
−→ 
 0 0 1 0 −4 
0 0 0 1 −2


1 0 0 0 −3

R −R2 
 0 1 0 0 5 
−−−−1−−→
 0 0 1 0 −4 
0 0 0 1 −2
Josta voidaan lukea: a = −3, b = 5, c = −4, d = −2.
Tehtävä 7 (P): Tarkastellaan oheisen kuvan mukaista lämpötilaruudukkoa, jossa kukin lämpötiloista T1 , T2 , T3 , T4 on keskiarvo viereisten ruutujen lämpötiloista. Kirjoita yhtälöryhmä lämpötiloille Tk ja ratkaise se käyttämällä Gaussin eliminointimenetelmää.
10◦
20◦
5◦
T1
T2
30◦
10◦
T3
T4
50◦
20◦
45◦
Huom: Vierekkäisillä ruuduilla on yhteinen sivu. Ensimmäinen yhtälö on muotoa
T1 = (10 + T3 + T2 + 5)/4 eli 4T1 − T2 − T3 = 15.
Ratkaisu:
Kirjoitetaan kunkin ruudun lämpötilat yhtälöryhmäksi:
3
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022

T1



T
2

T
3



T4
=
=
=
=
Turunen / Bergman
10+5+T3 +T2
4
20+30+T1 +T4
4
10+20+T1 +T4
4
50+45+T2 +T3
4

4T1 − T2 − T3
= 15



−T + 4T
− T4 = 50
1
2
⇔

−T1
+ 4T3 − T4 = 30



−T2 − T3 + 4T4 = 95
Matriisimuodossa:

4 −1 −1 0 15
 −1 4
0 −1 50 


 −1 0
4 −1 30 
0 −1 −1 4 95

Järjestetään rivit uudelleen. Järjestys valittu siten, että laskeminen on jotenkin helpompaa.


−1 4
0 −1 50
 0 −1 −1 4 95 


 −1 0
4 −1 30 
4 −1 −1 0 15
Eliminoimalla:


−1 4
0 −1 50
−1 −1 4
95 
R3 −R1 ,R4 +4R1  0

−−−−−−−−−→ 
 0 −4 4
0 −20 
0 15 −1 −4 215


50
−1 4
0
−1
−1 −1
4
95 
R3 −4R2 ,R4 +15R2  0

−−−−−−−−−−→ 
 0
0
8 −16 −400 
0
0 −16 56 1640


−1 4
0 −1
50
0 −1 −1 4
95 
R4 +2R3 

−−
−−→ 
 0
0
8 −16 −400 
0
0
0
24
840


1 −4 0 1 −50
R1 ∗−1,R2 ∗−1,R3 ∗1/8,R4 ∗1/24  0
1 1 −4 −95 

−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 
 0 0 1 −2 −50 
0 0 0 1
35
Takaisinsijoituksilla saadaan:

1
 0

 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
4
0
0
0
1

15
25 
,
20 
35
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022
Turunen / Bergman
jolloin tuloksiksi saadaan: T1 = 15, T2 = 25, T3 = 20, T4 = 35.
Tehtävä 8 (P): Etsi Gaussin eliminaatiomenetelmän avulla virrat I1 , . . . , I5 , kun vastukset ovat
suuruudeltaan Rk = 2k Ω, kun k = 1, . . . , 5 ja E = 5V . Tarvittavat yhtälöt saat Kirchhoffin virtaja jännitelakien avulla.
-
+
#
R1
-
I1
R3
R2
E
-
I3
I5
R4
R5
"!
−
?I
?I
2
4
Ratkaisu:
Kirchhoffin lait:
• K1: Virtapiirin risteykseen tulevien ja siitä lähtevien virtojen summa on nolla.
• K2: Potentiaalin muutos virtapiirin suljetun kierroksen yli on nolla.
Kuva 1: Kuvaan on merkitty käytettyjen yhtälöiden vaatimat risteykset ja kierrokset
Virtapiirissä on 5 tuntematonta, joten tarvitaan 5 yhtälöä.

I1 − I2 − I3 = 0




I3 − I4 − I5 = 0

E − I1 R1 − I2 R2 = 0


E − I1 R1 − I3 R3 − I4 R4 = 0



E − I1 R1 − I3 R3 − I5 R5 = 0
Missä Ii ∀i ovat tuntemattomia, E = 5V ja Rk = 2kΩ ∀k. Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa:


  


1 −1 −1 0
0
I1
0
1 −1 −1 0
0 0

 0 0
 0 0
  
1 −1 −1 0 
1 −1 −1 
  I2   0 








.
 2 4

5
2
4
0
0
0
5
0
0
0
I
=
⇔
3




  
 2 0
 2 0
6
8
0   I4   5 
6
8
0 5 
2 0
6
0 10
I5
5
2 0
6
0 10 5
5
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022
Turunen / Bergman
Jaetaan rivit 3, 4 ja 5 kahdella ja vaihdetaan rivien 2 ja 3 paikkoja:


0
1 −1 −1 0
0
 1 2
0
0
0 5/2 


 0 0
,
0
1
−1
−1


 1 0
3
4
0 5/2 
1 0
3
0
5 5/2
jolloin eliminoimalla:

0
1 −1 −1 0
0
 0 3
1
0
0 5/2 

R2 −R1 ,
R4 −R1 ,
R5 −R1 

0
0
1
−1
−1
0
−−−−−−−−−−−−−−−−→ 


 0 1
4
4
0 5/2 
0 1
4
0
5 5/2


1 −1 −1 0
0
0
 0 3
1
0
0 5/2 

R5 − 31 R2 
R4 − 31 R2 ,

0
0
0
1
−1
−1
−−−−−−−−−−−−→ 


11
 0 0
4
0 5/3 
3
11
0 0
0
5 5/3
3


0
1 −1 −1 0
0
 0 3
1
0
0 5/2 

R4 − 11
R3 ,
R5 − 11
R3 
3
3

1 −1 −1 0 
−−−−−−−−−−−−−→  0 0

11
23

 0 0
0
5/3
3
3
26
11
5/3
0 0
0
3
3


0
1 −1 −1 0
0
 0 3
1
0
0
5/2 
11

R5 − 23
R4 

0
0
1
−1
−1
0
−−−−−→ 


23
11
 0 0
0
5/3 
3
3
0 0
0
0 159
20/23
23




−−−−−−−−−−−−−−→ 


R2 · 31 ,
3
R4 · 23
,
23
R5 · 159
josta takaisinsijoituksilla saadaan:






1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1 −1 −1 0
0
0
1
0
0
5/6
0 1
3
0 0
1 −1 −1
0
11
0 0
0
1
5/23
23
0 0
0
0
1 20/159
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0

0 325/318
0 235/318 

0 45/159 
,
0 25/159 
1 20/159
6



,


(6)
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022
eli ratkaisu on: I1 =
325
,I
318 2
=
235
,I
318 3
I=
Turunen / Bergman
=
45
,I
159 4
=
25
,I
159 5
=
20
,
159
eli
1
(325, 235, 90, 50, 40).
318
7