MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 2021 Mallit / Loppuviikko

MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 2021 Mallit / Loppuviikko

MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2021
Turunen / Bergman
MS-A0002 Matriisilaskenta
Laskuharjoitus 3 / 2021
Mallit / Loppuviikko
Tehtävä 5 (L): Etsi sellaisen lineaarikuvauksen matriisi, joka
a) Peilaa avaruuden R2 vektorit x-akselin suhteen ja venyttää ne kolminkertaisen pituisiksi.
b) Peilaa avaruuden R3 vektorit origon suhteen.
c) Projisoi avaruuden R3 vektorit y-akselin suunnassa xz-tasolle.
Ratkaisu 5: Lineaarikuvauksen matriisin muodostamiseksi riittää tutkia avaruuden kantavektorien
kuvautumista. Tämä voidaan todeta vaikka seuraavalla tavalla. Olkoon etsityn lineaarikuvauksen
matriisi A. Kootaan kantavektorit matriisin I sarakkeiksi ja niiden kuvat matriisin B sarakkeiksi.
Tällöin AI = B ja koska kantavektorit sisältävä matriisi on identiteettimatriisi, saadaan A = B.
3 0
a) A =
0 −3


−1 0
0
b) A =  0 −1 0 
0
0 −1


1 0 0
c) A = 0 0 0
0 0 1
Tehtävä 6 (L):
a) Etsi jotkin sellaiset matriisit A ja B, että AB = 0, vaikka kumpikaan matriiseista ei ole nollamatriisi.
b) Etsi jotkin sellaiset 3 × 3-matriisit C ja D , että CD ̸= DC.
Ratkaisu 6:
1
a) A =
0

1
b) C = 0
0
0
,
0
0 0
B=
.
0 1



1 1
1 0 0
0 0 , D = 1 0 0 ,
0 0
1 0 0


3 0 0
CD = 0 0 0 ,
0 0 0
1


1 1 1
DC = 1 1 1
1 1 1
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2021
Turunen / Bergman
Tehtävä 7 (P): Määritellään kompleksimuuttujan matriisiarvoinen funktio
a −b
2×2
f : C → R , f (a + ib) :=
.
b a
Näytä laskemalla, että f (λµ) = f (λ)f (µ) kaikilla λ, µ ∈ C.
Ratkaisu 7: Olkoot λ, µ ∈ C, missä λ = a + ib ja µ = c + id eräillä a, b, c, d ∈ R. Lasketaan:
λµ = (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) ∈ C.
(1)
Kaavan (1) avulla saadaan f (λµ) = f (λ) f (µ), koska
ac − bd −ad − bc
a −b c −d
(1)
f (λµ) − f (λ) f (µ) =
−
b a
d c
ad + bc ac − bd
ac − bd −ad − bc
ac − bd −ad − bc
=
−
ad + bc ac − bd
ad + bc ac − bd
0 0
=
.
0 0
a −b
Toisin sanoen tässä voidaan samaistaa kompleksiluku a + ib ∈ C matriisin
kanssa niin,
b a
että kompleksilukujen kertolasku vastaa tällaisten matriisien kertolaskua.


0 0 1
Tehtävä 8 (P): Laske Gauss-eliminaatiolla matriisin A = 0 1 2 käänteismatriisi A−1 . Tar1 2 3
−1
kista tuloksesi, siis että A A = I.
Ratkaisu 8: Kirjoitetaan liittomatriisi ja käsitellään Gauss-algoritmilla:




0 0 1 | 1 0 0
1 2 3 | 0 0 1
[A|I] = 0 1 2 | 0 1 0 ∼ 0 1 2 | 0 1 0
1 2 3 | 0 0 1
0 0 1 | 1 0 0




1 2 0 | −3 0 1
1 0 0 | 1 −2 1
∼ 0 1 0 | −2 1 0 ∼ 0 1 0 | −2 1 0
0 0 1 | 1 0 0
0 0 1 | 1
0 0
= I | X .


1 −2 1
Tässä X := −2 1 0 näyttäisi siis olevan matriisin A käänteismatriisi. Tarkistetaan, että
1
0 0
−1
X=A :


 

0 0 1
1 −2 1
1 0 0
AX = 0 1 2 −2 1 0 = 0 1 0 = I.
1 2 3
1
0 0
0 0 1
(Oltaisiin myös yhtäpitävästi voitu tarkistaa, että XA = ... = I.)
2