MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 4 / 2022 Mallit / Loppuviikko

Transcription

MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022
Turunen / Bergman
MS-A0002 Matriisilaskenta
Laskuharjoitus 4 / 2022
Mallit / Loppuviikko
a) Tason kierto origon ympäri kulman t ∈ R verran voidaan esittää matriisina
cos(t) − sin(t)
A=
.
sin(t) cos(t)
Tehtävä 5 (L):
Vaikka tulos on geometrisesti selvä, laske det(A).
b) Laske det(B), kun




cos(ϕ) − sin(ϕ) 0
cos(θ) 0 sin(θ)
cos(ψ) − sin(ψ) 0
1
0   sin(ψ) cos(ψ) 0 ,
B =  sin(ϕ) cos(ϕ) 0  0
0
0
1 − sin(θ) 0 cos(θ)
0
0
1
missä 0 ≤ θ ≤ π ja 0 ≤ ϕ, ψ < 2π. Millaista avaruuden muunnosta tämä matriisi esittää?
Ratkaisu 5:
a)
det(A) =
cos(t) − sin(t)
= cos(t) cos(t) − (− sin(t) sin(t)) = cos2 (t) + sin2 (t) = 1
sin(t) cos(t)
Matriisin determinantti on pääteltävissä sen annetusta käyttötarkoituksesta. Mikäli tämä lineaarikuvaus vain kiertää pistejoukkoa tasossa, ei se skaalaa sitä millään tavalla, joten suurennussuhde on 1.
b) Koska det(AB) = det(A) det(B), saadaan
cos(ϕ) − sin(ϕ) 0
cos(θ) 0 sin(θ) cos(ψ) − sin(ψ) 0
0
1
0
· sin(ψ) cos(ψ) 0
det(B) = sin(ϕ) cos(ϕ) 0 ·
0
0
1
0
0
1 − sin(θ) 0 cos(θ)
= (1 ·
cos(ψ) − sin(ψ)
cos(ϕ) − sin(ϕ)
cos(θ) sin(θ)
) · (1 ·
) · (1 ·
)
sin(ϕ) cos(ϕ)
− sin(θ) cos(θ)
sin(ψ) cos(ψ)
= (cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ)) · (cos2 (θ) + sin2 (θ)) · (cos2 (ψ) + sin2 (ψ)) = 1 · 1 · 1 = 1.
Kaikki tulon matriisit ovat rotaatiomatriiseja. Matriisi B on yhdistetty kuvaus näistä matriiseista. Muunnos on siis kierto xy-tasossa ϕ verran vastapäivään (z-akselin ympäri), kierto
xz-tasossa θ verran myötäpäivään (y-akselin ympäri) ja kierto ψ verran vastapäivään xytasossa (taas z-akselin ympäri).
1
Turunen / Bergman
Tehtävä 6 (L):
a) Oletetaan, että λ ∈ C on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että
λ ̸= 0 ja että λ−1 on matriisin A−1 ominaisarvo.
b) Osoita, että jos matriisi A666 on nollamatriisi, niin matriisin A ainoa ominaisarvo on 0. (Tässä
siis Ak+1 = Ak A ja A1 = A.)
Ratkaisu 6: a) Koska neliömatriisi A on kääntyvä niin A−1 on olemassa. Osoittaaksemme että
λ ̸= 0 tehdään vastaoletus λ = 0. Tällöin voidaan ratkaista ominaisvektori x seuraavasti:
Ax = λx
| A−1 ja A−1 ∗ A = I
Ix = λA−1 x
x = 0 ∗ A−1 x
x = 0.
Määritelmän mukaan ominaisvektori ei kuitenkaan voi olla nollavektori. Koska x = 0 on yhtälön
ainoa ratkaisu, päätellään että λ ̸= 0. Olkoon nyt x ̸= 0 eräs matriisin A ominaisarvoa λ ̸= 0
vastaava ominaisvektori. Tällöin
A−1 x = A−1 (1x)
1
1
1
= A−1 ( λx)
| ∀λ ∈ C, λ ̸= 0, ∃
∈ C siten että λ = 1
λ
λ
λ
1 −1
= A (λx)
λ
1
= A−1 (Ax)
| määritelmä : Ax = λx
λ
1
= (A−1 A)x
λ
1
= Ix
λ
1
= x
λ
−1
Nyt matriisin A ominaisarvo on λ1 .
b) Olkoon λ mikä tahansa A:n ominaisarvo ja v jokin sitä vastaava ominaisvektori. Tällöin pätee:
Av = λv
Yhtälö voidaan kertoa puolittain 665 kertaa matriisilla A:
A666 v = A665 λv.
Tiedetään että A666 = 0:
0 ∗ v = λA665 v
2
Turunen / Bergman
Koska v on matriisin A ominaisvektori, sen kertominen A:lla vastaa ominaisarvolla λ kertomista.
Yhtälön oikea puoli saadaan näin ollen muotoon:
0 ∗ v = λ666 v
⇔ λ666 = 0
λ=0
Näin ollen λ = 0 on matriisin A ainoa ominaisarvo.
Tehtävä 7 (P): Olkoon A = S D S −1 , missä




1 2 3
8 0 0
S = 4 5 6 ja D = 0 6 0 .
7 9 8
0 0 7
 
x1

Etsi yhtälön Ax = 7x kaikki ratkaisut x = x2 . (Huom. Tehtävän voi ratkaista lyhyesti laskex3
−1
matta matriiseja S ja A.
Voit toki laskea nämä matriisit, jos et keksi muuta ratkaisutapaa.)
Ratkaisu 7: Yhtälön saa hajotelman avulla muotoon
Ax = 7x
SDS x = 7x
DS −1 x = 7S −1 x.
−1
Määritellään y := S −1 x, jolloin

1
0
0
Dy = 7y
(D − 7I)y = 0

0 0
−1 0 y = 0,
0 0
T
eli selvästi y = 0 0 t , missä t ∈ R. y:n määrittelystä seuraa, että

 
 
1 2 3 0
3





x = Sy = 4 5 6 0 = t 6 ,
7 9 8
t
8
3
Turunen / Bergman
joka on kysytty ratkaisu.
Vaihtoehtoinen ratkaisu 1: Koska tiedämme että matriisilla A on olemassa diagonalisointi
A = SDS −1 ,
tiedämme että matriisi D sisältää A:n ominaisarvot diagonaali alkioilla, ja matriisi S sisältää ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit samassa järjestyksessä. Siispä, koska tehtävänanto on etsiä
matriisin A ominaisarvoa 7 vastaavat ominaisvektorit, voimme vain suoraan katsoa, missä ominaisarvo 7 esiintyy matriisissa D (kolmas sarake) ja lukea matriisista S vastaavalta sarakkeelta
(3) kysytyn ominaisvektorin. Koska kyse on kaikista ratkaisuista, mikä tahansa muukin kyseisen
ominaisvektorin suuntainen vektori on myös ratkaisu. Siispä parametrin t ∈ R avulla esitettynä
ratkaisuiksi saamme
 
3

x = t v3 = t 6 .
8
Vaihtoehtoinen ratkaisu 2: Esimerkiksi Matlab ohjelmistolla voimme ensin selvittää matriisin
S −1 , jonka jälkeen A = SDS −1 voidaan suoraviivaisesti laskea matriisitulona, ja yhtälöryhmä
Ax = 7x
ratkaista esimerkiksi Gaussin menetelmällä.
a b
Tehtävä 8 (P): Laske matriisin A =
∈ R2×2 ominaisarvot, kun a + d = 4 = det[A].
c d
Ratkaisu (A). Ratkaistaan ominaisarvot λ ∈ C karakteristisesta yhtälöstä:
0
=
=
=
=
tieto
=
=
det[A − λI]
a−λ
b
det
c
d−λ
(a − λ)(d − λ) − bc
λ2 − (a + d)λ + (ad − bc)
λ2 − 4λ + 4
(λ − 2)2 .
Tästä nähdään, että matriisin A ainoa ominaisarvo on λ = 2 (jonka algebrallinen kertaluku on 2).
Ratkaisu (B). Olkoot λ1 , λ2 ∈ C nyt tehtävän matriisin A ominaisarvot. Tiedetään, että neliömatriisilla jälki on sen ominaisarvojen summa, ja että determinantti on ominaisarvojen tulo. Huomaa, että tässä matriisin A jälki eli diagonaalialkioiden summa on a + d = 4. Yhtälöryhmästä
(
λ1 + λ2 = a + d = 4,
λ1 λ2 = det[A] = 4
4
Turunen / Bergman
saadaan λ2 = 4 − λ1 ja 4 = λ1 λ2 = λ1 (4 − λ1 ) = 4λ1 − λ21 eli
0 = λ21 − 4λ1 + 4 = (λ1 − 2)2 .
Tästä saadaan λ1 = 2 = λ2 .
5

MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 4 / 2022 Mallit / Loppuviikko

Transcription

Similar documents