MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 / 2022 Mallit / Loppuviikko

Transcription

MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022
Turunen / Bergman
MS-A0002 Matriisilaskenta
Laskuharjoitus 5 / 2022
Mallit / Loppuviikko
Tehtävä 5 (L): Etsi unitaarinen diagonalisointi matriisille
4 0
1 −6
−1
A = SDS , kun D =
ja S =
.
0 5
3 2
(Huomaa, että matriisin S sarakkeet ovat ortogonaaliset.)
Ratkaisu:
Huomataan, että matriisin S sarakkeet, eli matriisin A ominaisvektorit ovat ortogonaaliset. Matriisi
A on siis normaali.
√ √
1/√10 −3/√ 10
′
Normeerataan nämä ominaisvektorit ja saadaan S =
3/ 10 1/ 10
√ √ √
√
1/√10 −3/√ 10 4 0
1/ √10 3/√10
′
′∗
Unitaarinen diagonalisointi saadaan siis A = S DS =
0 5 −3/ 10 1/ 10
3/ 10 1/ 10

1 1

Tehtävä 6 (L): Olkoon S = [S1 S2 S3 ] = 1 2
1 3
Laske Gram–Schmidt -algoritmilla unitaarinen U

1
4.
9
= [U1 U2 U3 ], jolle
span{S1 } = span{U1 },
span{S1 , S2 } = span{U1 , U2 },
span{S1 , S2 , S3 } = span{U1 , U2 , U3 }.
Ratkaisu:
 
 
 
1
1
1





S1 = 1 , S2 = 2 , S3 = 4
1
3
9
Jos halutaan, että span{S1 } = span{U1 } niin on U1 :n on oltava S1 :n lineaarikombinaatio. Lisäksi
U1 oltava pituudeltaan
 √  1.
1/√3
Siis, U1 = 1/√3
1/ 3
1
Turunen / Bergman
U2 ja U3 saadaan seuraavasti:
√ 

−1/ 2
S2 − (U1 · S2 )U1
S2 − projU1 S2
=
=  0√ 
U2 =
|S2 − projU1 S2 |
|S2 − (U1 · S2 )U1 |
1/ 2
√ 
1/ √6
S3 − (U1 · S3 )U1 − (U2 · S3 )U2
S3 − projU1 ,U2 S3
=
= −2/√ 6
U3 =
|S3 − projU1 ,U2 S3 |
|S3 − (U1 · S3 )U1 − (U2 · S3 )U2 |
1/ 6
√
√ 
 √
1/√3 −1/ 2 1/ √6
Siis, U = [U1 U2 U3 ] = 1/√3
0√
−2/√ 6
1/ 6
1/ 3 1/ 2

Tehtävä 7 (P): Matriisien luokkien määritelmistä käsin todista seuraavat väitteet:
(a) P ositiivinen ⇒ Symmetrinen.
(b) Symmetrinen ⇒ N ormaali.
(c) U nitaarinen ⇒ N ormaali.
Anna lisäksi esimerkit matriiseista, jotka osoittavat, että
(a’) N ormaali ̸⇒ Symmetrinen,
(b’) Symmetrinen ̸⇒ P ositiivinen,
(c’) N ormaali ̸⇒ U nitaarinen.
Ratkaisu:
(a) Kurssimonisteessa positiivinen (positive) matriisi on määritelty seuraavasti:
Matriisi P ∈ Cn×n on positiivinen, jos ⟨P x, x⟩ ≥ 0 kaikilla x ∈ Cn . Sisätulolta edellytetään siis
positiivisuutta, ja täten erityisesti reaalisuutta.
Tällöin, heikon muotoilun lauseen (weak formulation theorem) perusteella riittää osoittaa, että
⟨P x, x⟩ = ⟨P ∗ x, x⟩.
Oletetaan että A on positiivinen matriisi ja kirjoitetaan:
⟨Ax, x⟩ = x∗ (Ax)
= ((Ax)∗ x)∗
= (Ax)∗ x
= ⟨x, Ax⟩
= ⟨A∗ x, x⟩,
2
Turunen / Bergman
missä kolmas yhtäsuuruus seuraa itseisarvon reaalisuudesta, ja viimeinen yhtäsuuruus sisätulon
adjungoinnista (adjoint). Nyt siis ⟨Ax, x⟩ = ⟨A∗ x, x⟩, jolloin heikon muotoilun lauseen perusteella
A = A∗ .
(b) Symmetrisyyden määritelmä: S ∗ = S. Kirjoitetaan
SS = SS ∗ = S ∗ S.
Koska SS ∗ = S ∗ S, on S normaali.
(c) U on unitaarinen, jolloin voidaan kirjoittaa:
U U ∗ = U U −1 = I = U −1 U = U ∗ U,
jolloin U U ∗ = U ∗ U , eli U on normaali.
(a’) 1 −1
A=
1 1
2 0
∗
∗
AA = A A =
, eli A on normaali mutta ei symmetrinen koska A∗ ̸= A
0 2
−1 −1
(b’) Matriisi A =
, on symmetrinen, mutta ei positiivinen koska Ax · x ei ole aina
−1 −1
1
−2
1
positiivinen. Esim kun x =
niin Ax · x =
·
= −4
1
−2
1
1 −1
(c’) Kuten äsken a’-kohdassa todettiin matriisi A =
on normaali koska AA∗ = A∗ A =
1
1
2 0
0 2
Se ei kuitenkaan ole unitaarinen koska AA∗ ̸= I.
Tehtävä 8 (P): (a) Näytä, että kaikki kaikki reaaliset unitaariset matriisit U ∈ R2×2 ovat muotoa
cos(t) − sin(t)
U=
.
sin(t) cos(t)
(b) Olkoon P ∈ R2×2 positiivinen matriisi, joille pätee P 2 = P , mutta joka ei ole identiteetti- eikä
nollamatriisi. Näytä, että P on muotoa
cos(t) cos(t) sin(t) .
P =
sin(t)
Ratkaisu:
(a) Unitaariset matriisit ovat sellaisia, joiden sarakevektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa ja
normiltaan 1. Tällainen reaalinen 2 × 2-matriisi on siis muotoa
a b
U=
,
c d
3
Turunen / Bergman
missä a2 + c2 = 1, b2 + d2 = 1 ja ab + cd = 0. Noista kolmesta yhtälöstä kaksi ensimmäistä sanoo,
että
cos(α) − sin(β)
U=
sin(α) cos(β)
joillakin α, β ∈ R. Sarakkeiden kohtisuoruudesta eli ehdosta ab + cd = 0 seuraa silloin
0 = cos(α)(− sin(β)) + sin(α) cos(β) = sin(α − β).
Tästä saamme yhtälön
sin(α − β) = 0,
josta seuraa, että α = β tai α = β + π. Ensimmäinen ratkaisu α = β antaa meille tehtävän väitteen
mukaisen matriisin. Tapaus α = β + π antaa meille matriisin
cos(t) − sin(t + π)
cos(t) sin(t)
U2 =
=
.
sin(t) cos(t + π)
sin(t) − cos(t)
Unitaarinen reaalinen 2x2 matriisi on siis joko tehtävänannon muotoa tai matriisin U2 muotoa.
(Vaihtoehtoinen ratkaisu myös suoraviivaisilla laskuilla I = U ∗ U = ...)
(b) Normaalien matriisien unitaarisen diagonalisoinnin tulos kertoo meille muun muassa seuraavaa:
• Unitaariset matriisit ovat niitä normaaleja matriiseja, joiden kaikki ominaisarvot ovat kompleksilukuja itseisarvoltaan 1.
• Positiiviset matriisit ovat niitä symmetrisiä matriiseja, joiden ominaisarvot ovat ei-negatiivisia
reaalilukuja.
• Normaali matriisi P ∈ C2×2 on muotoa P = U DU ∗ , missä U ∈ C2×2 on unitaarinen ja D
diagonaalinen (diagonaalilla matriisin P ominaisarvot).
Jos nyt sitten normaalin matriisin P ominaisarvo λ ∈ C toteuttaa |λ| = 1 ja λ ≥ 0, on oltava
λ ∈ {0, 1}.
1 0
Jos λ = 1 on ainoa ominaisarvo, on P identiteettimatriisi
.
0
1
0 0
Jos λ = 0 on ainoa ominaisarvo, on P nollamatriisi
.
0 0
Muutoin sekä 0 että 1 ovat matriisin tehtävän matriisin P ominaisarvoja.
Jos sekä 0 että 1 ovat tässä tehtävässä P :n ominaisarvoja, on oltava
1 0 ∗
P =U
U ,
0 0
a b
missä U =
on unitaarinen 2 × 2-matriisi. Saadaan
c d
∗
a b 1 0 a∗ c ∗
a b a∗ c ∗
aa ac∗
a ∗ ∗
a c .
P =
=
∗
∗ =
∗
∗ =
c d 0 0 b d
c d 0 0
ca cc
c
Koska tämän pitää olla reaalinen, voidaan valita unitaarinen matriisi U ∈ C2×2 tässä reaaliarvoiseksi! (luku ac∗ on reaalinen, joten myös a ja c ovat reaalisia) Nyt lopputulos seuraa a-kohdan
ratkaisusta: aseta a = cos(t) ja c = sin(t).
4
Turunen / Bergman
Huom! Tällöin P olisi projektio 1-dimensioiselle suoralle, eli kyseessä olisi lineaarikuvaus P :
R2 → R2 muotoa P u = ⟨u, v⟩v, missä suoran virittävä vektori v ∈ R2 on normalisoitu eli
∥v∥ = 1. Jos tässä v = (a, c) ∈ R2 , niin matriisiksi saadaan todellakin
2
a a ac
a c =
P =
.
c
ca c2
5

MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 / 2022 Mallit / Loppuviikko

Transcription

Similar documents