MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / 2022 Mallit / Alkuviikko

Transcription

MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022
Turunen / Bergman
MS-A0002 Matriisilaskenta
Laskuharjoitus 6 / 2022
Mallit / Alkuviikko
Tehtävä 1 (L): Etsi unitaarinen matriisi U ∈ C2×2 siten, että D := U ∗ AU ∈ C2×2 on diagonaalinen, missä
−3 −3
A :=
∈ R2×2 .
−3 −3
Tarkista, että A = U DU ∗ .
Ratkaisu: Olkoon
−3 −3
A=
−3 −3
−3 −3 −3 −3
18 18
=
−3 −3 −3 −3
18 18
kummin päin tahansa kerrottuna, joten matriisi A voidaan diagonalisoida unitaarisesti eli se voidaan esittää muodossa A = U DU ∗ , missä D = U ∗ AU . Lasketaan ensin ominaisarvot:
det(A − λI) =
⇒ λ1 = 0,
−3 − λ
−3
−3
−3 − λ
λ2 = −6
Lasketaan ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit:
λ1 = 0 :
λ2 = −6 :
−t
−3 −3 0
⇒ v1 =
−3 −3 0
t
3 −3 0
t
⇒ v2 =
−3 3 0
t
missä t kuuluu reaalilukuihin. Vektorit v1 ja v2 ovat ortogonaaliset, kuten pitääkin. Löytääksemme
unitaarimatriisin U saadut ominaisvektorit täytyy normeerata ykkösen pituiseksi, joten tarvittavat
vektorit ovat:
1 −1
v1 = √
,
2 1
1
1 1
v2 = √
.
2 1
Turunen / Bergman
Näistä saadaan ratkaisuksi
1 −1 1
,
U=√
2 1 1
U
−1
1 −1 1
=U = √
.
2 1 1
∗
Tarkistuksessa matriisille A saadaan siis unitaarinen diagonalisointi
1 −1 1 0 0
1 −1 1
∗
√
A = U DU = √
.
2 1 1 0 −6
2 1 1
Tehtävä 2 (L): Näytä laskemalla, että matriisi A ∈ C2×2 ei riipu luvuista a, b, c, d ∈ C, kun
∗
u1 a σ 0 v1 c
A=
.
u2 b 0 0 v2 d
Ratkaisu: Huomioimatta kompleksiosan merkin vaihtoa (ei oleellista tehtävässä),
∗ v1 c
v1 v2
=
c d
v2 d
Nyt kertomalla matriisit yhteen saadaan lopputulokseksi
u1 · v1 · σ u1 · v2 · σ
u2 · v1 · σ u2 · v2 · σ
mistä nähdään, että luvuilla a, b, c, d ∈ C ei ole merkitystä.

λ1 0 · · ·
 0 λ2 · · ·

Tehtävä 3 (P): Tutkitaan diagonaalimatriisia Λ =  ..
.. . .
.
.
.
0 0 ···
λk ∈ C seuraavat ominaisuudet pätevät? Perustele!
(a) Λ on positiivinen.
(b) Λ on symmetrinen.
(c) Λ on normaali.
(d) Λ on unitaarinen.

0
0

n×n
..  ∈ C . Millä arvoilla

.
λn
Ratkaisu:
(a) Jos kaikki matriisin ominaisarvot ovat positiivisia ja matriisi on symmetrinen, matriisi on positiivinen. Siispä matriisi on positiivinen, kun kaikki sen ominaisarvot λk ∈ R ovat positiivisia.
(b) Symmetrinen matriisi on neliömatriisi, jonka konjugaattitranspoosi vastaa alkuperäistä matriisia. Lisäksi symmetrisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia. Niinpä annettu matriisi on
symmetrinen kaikilla λk ∈ R, koska kaikki diagonaalin ulkopuoliset alkiot ovat nollia.
(c) Normaalille matriisille A∗ A = AA∗ . Diagonaalimatriisille tämä pätee millä tahansa diagonaalin arvoilla, joten annettu matriisi on normaali kaikilla λk ∈ C.
(d) Matriisi on unitaarinen, jos sen kompleksikonjugaatti on sen käänteismatriisi. Diagonaalimatriisille näin on, jos sen ominaisarvot ovat itseisarvoltaan 1.
2
Turunen / Bergman
Tehtävä 4 (P): Todista seuraavat väitteet (a,b,c,d), jotka koskevat normaalia matriisia A ∈ Cn×n
ja sen kaikkia ominaisarvoja λ ∈ C:
(a) A∗ = A−1 (unitaarinen A) jos ja vain jos |λ| = 1.
(b) A∗ = A (symmetrinen A) jos ja vain jos λ ∈ R.
(c) ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 kaikille x ∈ Cn (positiivinen A) jos ja vain jos λ ≥ 0.
(d) A∗ = A = A2 (ortogonaaliprojektio A) jos ja vain jos λ ∈ {0, 1}.
Ratkaisu:
A ∈ Cn×n on normaali, joten sillä on ortogonaalidiagonalisointi muotoa A = U ΛU ∗ , missä U
on unitaarinen, (eli U ∗ = U −1 ) ja Λ on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat A:n ominaisarvot λi .
(a) A∗ = A−1 ⇔ |λi | = 1∀i.
Tämän voi osoittaa molempiin suuntiin saman kaltaisella laskulla. Olkoon v ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori.
"⇒"
⟨v, v⟩ = ⟨Iv, v⟩ = ⟨A∗ Av, v⟩ = ⟨Av, Av⟩ = ⟨λv, λv⟩
= λλ̄⟨v, v⟩ = |λ|2 ⟨v, v⟩.
p
Koska v on ominaisvektori, on ||v|| = ⟨v, v⟩ > 0. Nyt siis ⟨v, v⟩ = |λ|2 ⟨v, v⟩, eli 1 = |λ|2 , joten
|λ| = 1.
"⇐"
Vastaavasti, seuraamalla "⇒"osaa takaperin, voidaan kaikilla ominaisarvoilla ja -vektoreilla voidaan kirjoittaa:
⟨Iv, v⟩ = |λ|2 ⟨v, v⟩ = ⟨A∗ Av, v⟩.
Koska normaalin matriisin ominaisvektorit kantavat koko avaruuden Cn , ja normaalin matriisin
ominaisvektorit ovat ortogonaaliset, voidaan ominaisvektori v korvata millä tahansa vektorilla x:
⟨Ix, x⟩ = ⟨A∗ Ax, x⟩,
jolloin heikon muotoilun lauseen perusteella A∗ A = I, ja siten A∗ = A−1 .
(b) A∗ = A ⇔ λ ∈ R
"⇒"
Olkoon v ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori.
λ⟨v, v⟩ = ⟨λv, v⟩ = ⟨Av, v⟩ = ⟨v, A∗ v⟩ = ⟨v, Av⟩
= ⟨v, λv⟩ = λ̄⟨v, v⟩.
3
Turunen / Bergman
Taas, ⟨v, v⟩ > 0, joten λ = λ̄, jolloin on oltava λ ∈ R.
"⇐"
Muistetaan, että A:lla on oltava ortogonaalidiagonalisaatio. Kirjoitetaan A = U ΛU ∗ ja muistetaan, että Λ:n diagonaalilla on A:n ominaisarvot, jotka ovat oletuksen mukaan reaalisia. Nyt siis
konjugaattitranspoosin tulosäännön mukaan:
A∗ = (U ΛU ∗ )∗ = U Λ∗ U ∗ = U ΛU ∗ = A,
missä kolmas yhtäsuuruus seuraa Λ:n alkioiden reaalisuudesta.
(c) ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 ∀x ∈ Cn ⇔ λi ≥ 0
Tässä tehtävässä on huomioitava, että ehto λi ≥ 0 edellyttää myös λi ∈ R.
"⇒
Tehdään vastaoletus: A:lla on ominaisarvo λ < 0, jota vastaa ominaisvektori v.
Ominaisarvon määritelmän avulla:
⟨Av, v⟩ = ⟨λv, v⟩ = λ⟨v, v⟩ < 0,
missä epäyhtälö seuraa taas ominaisvektorin positiivisesta pituudesta, ja vastaoletuksesta λ < 0.
Saatiin ristiriita, joten vastaoletus on epätosi. On siis oltava λ ≥ 0.
"⇐"
Oletuksen mukaan λ ≥ 0, jolloin myös λ ∈ R. Tällöin kohdan (b) mukaan, tiedetään että A = A∗ .
Koska tehtävässä A on normaali, tiedetään myös sille olevan ortogonaalidiagonalisointi. Tällöin
∀x ∈ Cn :
⟨Ax, x⟩ = ⟨U ΛU ∗ x, x⟩ = ⟨ΛU ∗ x, U ∗ x⟩.
Koska U ∗ on unitaarinen, ja siten kääntyvä, tiedetään että kaikilla vektoreilla y ∈ Cn on olemassa
vastine x ∈ Cn , jolle pätee y = U ∗ x. (Ts. x = U y).
Koska lisäksi Λ on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalilla on A:n ominaisarvot, ja ominaisarvot
tiedetään ei-negatiivisiksi, voidaan kirjoittaa:
⟨Λy, y⟩ =
n
X
λi |yi |2 ≥ 0.
i=1
Koska tämä pätee kaikilla y, ja vastaavasti kaikilla x, saatiin siis ⟨Ax, x⟩ ≥ 0.
(d) A∗ = A = A2 ⇔ λi ∈ {0, 1}
"⇒"
Ominaisarvojen määritelmästä:
λv = Av = A2 v = Aλv = λAv = λ2 v.
Koska v on ominaisvektori ja siten v ei voi olla nollavektori, on oltava λ = λ2 , jolloin λ ∈ {0, 1}.
"⇐"
Kirjoitetaan A2 Hyödyntämällä A:n ortogonaalidiagonalisointia.
4
Turunen / Bergman
A2 = (U ΛU ∗ )2 = U ΛU ∗ U ΛU ∗ = U ΛΛU ∗ = U Λ2 U ∗ .
Koska Λ on diagonaalimatriisi, jonka alkiot ovat A:n ominaisarvoja, joiden tiedetään olevan λi ∈
{0, 1}, on oltava Λ2 = Λ. Tällöin:
A2 = U Λ2 U ∗ = U ΛU ∗ = A
Siis A2 = A. A∗ = A seuraa (b) kohdasta.
5

MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / 2022 Mallit / Alkuviikko

Transcription

Similar documents