Diagramas de Bode

DIAGRAMA DE BODE
Consta de dos trazados:
• Diagrama del logaritmo del módulo de una función de transferencia
sinusoidal.
• Diagrama del ángulo de fase.
Ambos representados en función de la frecuencia en escala logarítmica.
Representación de la amplitud logarítmica de G(jω) o logaritmo de la
magnitud de G(jω)
Lm = 20 log 10 |G(jω)|
< dB >
Ventajas de usar diagrama logarítmico:
- Multiplicación de amplitudes → adición
- Se dispone de un método simple para trazar una curva aproximada del log
de la amplitud
Forma general de una función de transferencia:
G ( jω) =
K (Ta jω + 1)(Tb jω + 1)...e − jωt
⎡
⎤
2ζ
1
2
( jω) n (T1 jω + 1) ⎢1 +
jω +
(
j
)
ω
⎥
2
ω
ω
n
⎣⎢
⎦⎥
n
Magnitud
20 log 10 G ( jω) = 20 log K + 20 log Ta jω + 1 + 20 log Tb jω + 1 + ...
⎡ 2ζ
⎤
1
... − 20 n log ( jω) − 20 log T1 jω + 1 − 20 log ⎢1 +
jω + 2 ( jω) 2 ⎥
ωn
⎢⎣ ω n
⎥⎦
Angulo de fase
∠G ( jω) = ∠K + ∠(Ta jω + 1) + ∠(Tb jω + 1)... − n∠jω − ∠(T1 jω + 1) −
⎛
⎞
2ζ
1
− ∠⎜1 +
jω + 2 ( jω) 2 ⎟ + ∠ − ωT
⎜ ωn
⎟
ωn
⎝
⎠
Dibujo del Diagrama de Bode
a) Ganancia K
Magnitud = Lm K = 20 log K dB
No varía con la frecuencia. Línea recta horizontal.
Al variar K en la FT, sube o baja la curva de log.
Ángulo de fase = 0
20 log K db
0.1
0.5
1
2
5
10
- 180°
0.1
0.5
1
2
5
10
0°
- 90°
Frecuencia ( rad/seg )
b) Factores integral y derivativo (jω) ± 1
⎛ 1 ⎞
Factor integral ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ jω ⎠
Magnitud = Lm( jω) −1 = 20 log10
Para ω = 0.1
Para ω = 1
1
= −20 log ω dB
jω
-20 log 0.1 = -20 log 10 –1 = 20 log 10 = 20 db
-20 log 1 = 0 db
⇒ Línea recta de pendiente negativa de –20 dB/década o –6 dB/octava
Angulo de fase = φ = cte = -90º
∠ 1 jω = tg −1
0
ω
− tg −1 = 0 − 90º = −90º
0
0
20
0 dB
-20
0.1
0.5
1
2
5
10
0º
-90º
-180º
0.1
0.5
1
2
Frecuencia ( rad/seg )
5
10
Factor derivativo
( jω )
Magnitud = Lm (jω) = 20 log |jω| = 20 log ω dB
⇒ Línea recta de pendiente positiva de 20 dB/década o 6 dB/octava
Angulo de fase = cte = 90º.
20
Lm
(dB)
0
-20
0.1
0.5
1
2
5
10
1
2
5
10
Frecuencia ( rad/seg )
90ª
0º
0.1
0.5
Frecuencia (rad/seg)
c) Factores de primer orden (1+jωT)± n
⎡ 1 ⎤
1
= 20 log10
= −20 log 1 + ω 2 T 2
Magnitud = Lm⎢
⎥
1 + jωT
⎣1 + jωT ⎦
Cálculo de las asíntotas:
⎡ 1 ⎤
Para ω << 1/T Lm⎢
⎥ ≅ −20 log 1 = 0
⎣1 + jωT ⎦
dB
⇒ curva de log amplitud a bajas frecuencias es una línea constante en 0 dB.
⎡ 1 ⎤
Para ω >> 1/T Lm⎢
⎥ ≅ −20 log ωT
⎣1 + jωT ⎦
ω = 1/T
ω = 10/T
Lm = 0 dB
Lm = -20 dB
dB
(El valor de –20log ωT dB disminuye en
20 dB por década de ω)
⇒ curva de log amplitud para frecuencias altas es una línea recta con
pendiente –20 dB/dec
20
Lm 0
(dB)
-20
0.1/T
1/T
10/T
Frecuencia de cruce o transición: frecuencia en la cual se cortan ambas
asíntotas.
ω << 1/T bajas frecuencias
ω >> 1/T altas frecuencias
Error en la curva de amplitud producido por el uso de asíntotas:
- Error máximo en la frecuencia de transición (ω = 1/T)
− 20 log 1 + ω2 T 2 = −20 log 2
(exacta )
− 20 log 1
(Asíntota )
Error = −20 log 2 + 20 log1 = −3,03dB
En resumen
- Frecuencia de transición ωc = 1/T
- Asíntota de baja frecuencia → línea horizontal a 0 dB
- Asíntota en alta frecuencia → línea de pendiente +/- 20 dB/dec
- El error resultante de las expresiones asíntóticas es n veces el de (1+jωT)±1
en cada punto de frecuencia
Angulo de fase = φ = - tan –1 ωT
ω=0
φ=0
ω = ωc = 1/T
φ = - tan –1
ω=∝
φ = - 90º
1
= - tan –1 1 = - 45º
T
0º
-45º
-90º
0.1/T
1/T
Frecuencia ( rad/seg )
10/T
d) Factores cuadráticos
Magnitud =
2
2
⎡
⎡
ω ⎤
ω2 ⎤
Lm[ ] = 20 log
= −20 log ⎢1 −
⎥ + ⎢ 2ζ
⎥
2
2 2
⎢⎣ ω n ⎥⎦
⎣ ωn ⎦
ω ω j
1 + 2ζ j
+
ωn
ωn 2
1
Cálculo de las asíntotas:
Para ω << ω n
− 20 log 1 = 0 dB
⇒ curva de log amplitud a bajas frecuencias es una línea constante en 0 dB.
Para ω >> ω n
ω = 1/ ω n
ω = 10/ ω n
− 20 log
ω2
ωn 2
= −40 log
ω
ωn
Lm = 0 dB
Lm = -40 dB
⇒ curva de log Amplitud para frecuencias altas es una línea recta con
pendiente –40 dB/dec
20
10
ξ = -0.15
0 dB
-10
-20
0.1
1
Frecuencia (rad/seg)
10
ω/ωn
Ambas asíntotas se cortan en ω = ωn que es la frecuencia de corte o transición
y son independientes de ξ.
En ω = ωn se produce un pico de resonancia, donde ξ determina la magnitud
del mismo.
Angulo de fase = φ = en función de ω y ξ
φ=∠
1
⎛ ω
1 + 2ζ⎜⎜ j
⎝ ωn
ω=0
ω = ωn
ω=∞
⎞ ⎛ ω
⎟⎟ + ⎜⎜ j
⎠ ⎝ ωn
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎤
⎡
⎢ 2ζ ω ⎥
⎢
ωn ⎥
= − tan −1 ⎢
2⎥
⎢ ⎛ ω ⎞ ⎥
⎢1 − ⎜⎜ ω ⎟⎟ ⎥
⎣ ⎝ n⎠ ⎦
φ = − tan −1 0 = 0º
⎛ 2ζ ⎞
φ = − tan −1 ⎜ ⎟ = − tan −1 ∞ = −90º
⎝ 0 ⎠
φ = −180º
0º
-90º
-180º
0.1
1
Frecuencia ( rad/seg )
10
e) Retardo de transporte e − jωT
Magnitud = e − jωT = cos ω T − j sen ω T = 1
Lm = 20 log 1 = 0 dB
Angulo de fase = φ = - ω T
rad/seg
φº = - ω T x 57,3 º
0º
-90º
-180º
0.1
1
10
ω/ωn