Parámetros cualimétricos de métodos analíticos que utilizan

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UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI
Departament de Química Analítica i Química Orgànica
PARÁMETROS CUALIMÉTRICOS DE MÉTODOS
ANALÍTICOS QUE UTILIZAN REGRESIÓN LINEAL
CON ERRORES EN LAS DOS VARIABLES
Tesis Doctoral
F RANCISCO J AVIER DEL R ÍO B OCIO
Tarragona, 2001
Parámetros Cualimétricos de Métodos Analíticos que
Utilizan Regresión Lineal con Errores en las Dos
Variables
Tesis Doctoral
U NIVERSITAT ROVIRA I V IRGILI
Àrea de Química Analítica
ANALÍTICOS QUE UTILIZAN REGRESIÓN LINEAL CON
ERRORES EN LAS DOS VARIABLES
Memoria presentada por
Francisco Javier del Río Bocio
para conseguir el grado de
Doctor en Química
Tarragona, 2001
Prof. FRANCESC XAVIER RIUS I FERRÚS, Catedrático del Departament de
Química Analítica i Química orgánica de la Facultat de Química de la Universitat
Rovira i Virgili, y el Dr. JORDI RIU I RUSELL, Becario post doctoral del mismo
Departamento,
CERTIFICAN: Que la presente memoria que tiene por título: “PARÁMETROS
CUALIMÉTRICOS DE MÉTODOS ANALÍTICOS QUE
UTILIZAN REGRESIÓN LINEAL CON ERRORES EN LAS
DOS VARIABLES”, ha sido realizada por FRANCISCO JAVIER
DEL RÍO BOCIO bajo nuestra dirección en el Área de Química
Analítica del Departament de Química Analítica i Química
Orgánica de esta Universidad y que todos los resultados
presentados son fruto de las experiencias realizadas por dicho
doctorando.
Tarragona, marzo de 2001
Prof. F. Xavier Rius i Ferrús
Dr. Jordi Riu i Rusell
AGRADECIMIENTOS
Soy consciente de que los siguientes párrafos van a ser los más leidos de la
Tesis. Por este motivo voy a aprovechar y mostrar mi gratitud hacia todas aquellas
personas que de una manera u otra me han ayudado a poder llegar a este momento
tan esperado.
En primer lugar me gustaría agradecer a F. Xavier Rius el empujón que
me dio en su día para entrar en este mundillo de la investigación cuando yo había
dejado de creer en la química. Muchas gracias por eso y por la ayuda que me has
prestado en todos estos años de trabajo.
También me gustaría darle las gracias a Jordi Riu. Muchas gracias por tu
ayuda, por tu colaboración pero, sobretodo, muchas gracias por ofrecerme tu
amistad. Espero que te vaya muy bien en el post-doc y que a tu vuelta triunfes
tanto como investigador como ... bueno, como en todo lo demás.
Muchas gracias a mis compañeros del grupo de Quimiometría. Quiero
empezar por los que me han acompañado en el labo 9 desde el primer día, y que me
han aguantado en mis buenos y en mis malos días. Muchas gracias a Jaume (los del
Burger echarán de menos al consumidor de Long Chicken, ¿eh?) y a Santi (siempre
disponible para ayudar y resolver dudas en cualquier momento ...). No quiero
olvidar al resto de compañeros del grupo, empezando por Ángel que es con el que he
trabajado más (¡aúpa BLS!). Alicia Pulido (... anda que no hemos pasado ratos
criticando a troche y moche en el pasillo, ¿eh?), a la otra Alicia (otra que tal, ¿eh?),
Enric (anímate y hazte merengue, que tendrás menos disgustos, ¡hombre!), a Mari,
a Toni, a Josep Lluís, a Floren, a Joan, a Ricard, a Pilar, a Marisol, a Iciar, y a todos
los que han pasado por el grupo y que ya no están. De estos me gustaría hacer
mención especial a Sara y Barbara; estuvisteis poco tiempo, pero habéis dejado
huella, ¿eh?.
No me quiero olvidar (porque no sería justo) de mis amigos. Dentro de
este apartado me gustaría mencionar muy especialmente a Noe (a pesar de haberme
viciado con los talladets y la carmanyola he disfrutado mucho de ellos en compañía
de una gran Amiga), a Pepe (esas comidas juntos no se olvidan fácilmente, ¿eh?.
Por cierto, mucha suerte en tu nueva vida) y a Fernando (¡vaya ratos hemos pasado
sentados en la escalera frente a orgánica!). Entre los tres habéis aguantado todos
mis malos momentos en Tarragona y me habéis ayudado a superarlos. Tampoco me
quiero olvidar de Juan Antonio, Jorge, Jordi, Merche, Eva, Núria y Olga (¡ese
equipazo de enólogas! que siempre me han ayudado cuando lo he necesitado), Joan
(¡firrrmes!) y Eva, ni tampoco de Vanessa y otros tantos que no enumeraré porque
necesitaría demasiado espacio para no dejarme a nadie. Muchas gracias a todos por
ser mis amigos.
No me quiero olvidar de los momentos buenos y de ocio que he pasado
durante este periodo de tiempo, así que también quiero agradecer los buenos ratos
que he pasado en los tres coros (el de la URV, el Mare Nostrum y el de los Paúles),
tocando la flauta o en el cine. Muchas gracias a los responsables de que me queden
estos buenos recuerdos: Mònica, Marisol, Arancha, Quim, Laura, ... y un muy
largo etcétera.
Por último quiero agradecer muchísimo el apoyo y la ayuda de toda mi
familia. Empezando por la más cercana: Papá, Mamá, Carlos, Inma, Marga y Yaya,
y siguiendo por los tíos y primos. Muchas gracias a todos por ser como sois, por
aguantarme y por ayudarme a llegar a esto. Sólo vosotros sabéis cuánto os
agradezco todo lo que me habéis dado.
A la hora de agradecer normalmente se piensa en toda la gente que te ha
ayudado. Sin embargo cinco años son muchos y mi memoria demasiado flaca como
para estar seguro de que no me he dejado a nadie. Por este motivo, quiero dar las
gracias a todos aquellos que en algún momento han pensado en mi o me han
querido ayudar.
Muchas gracias a todos
“Pedí a Dios de todo para disfrutar de la vida
y Él me dio la vida para disfrutar de todo”
A Papá, Mamá, Yaya, Carlos, Inma y Marga
Os quiero muchísimo
Índice
ÍNDICE
1
2
Introducción
1
1.1
Objetivos y justificación
3
1.2
Estructura de la Tesis
3
Fundamentos teóricos
2.1
7
Notación
2.1.1.1 Símbolos del alfabeto latino
9
10
2.1.1.2
12
Símbolos del alfabeto griego
2.2
Regresión lineal
12
2.2.1 Métodos que consideran los errores en una sola variable 15
2.2.1.1 Mínimos cuadrados ordinarios (OLS)
15
2.2.1.2 Mínimos cuadrados ponderados (WLS)
18
2.2.2 Métodos que consideran los errores en dos variables
19
2.2.2.1 Estimaciones por máxima verosimilitud
21
2.2.2.2 Estimaciones por mínimos cuadrados
25
2.2.2.3 Método de mínimos cuadrados bivariantes (bivariate
least squares, BLS).
26
2.2.3 Aplicaciones de la regresión lineal considerando los errores
en las variables predictora y respuesta
28
2.2.3.1 Calibración lineal
29
2.2.3.2 Comparación de métodos
29
2.3
Distribución de la población de una medida experimental
2.3.1 Distribución normal o Gaussiana
30
33
2.4
Tests estadísticos para la comprobación de la normalidad de
una distribución 34
2.4.1 Test de normalidad en Cetama
34
2.4.2 Test de Kolmogorov
36
2.4.3 Gráficos de probabilidad normal
37
2.5
Predicción en regresión lineal
39
XI
Índice
2.5.1 Intervalos de predicción considerando solamente los errores
en la variable respuesta
39
2.5.2 Intervalos de predicción considerando los errores en las
variables predictora y respuesta
44
3
2.6
Límites de detección
2.6.1 Test de hipótesis
2.6.2 Etapa de decisión
2.6.3 Etapa de detección
45
47
47
48
2.7
Regresión lineal en presencia de puntos discrepantes
2.7.1 Técnicas de detección de puntos discrepantes
2.7.2 Robustez en regresión lineal
51
52
53
2.8
Simulación de Monte Carlo
56
2.9
Referencias
57
Normalidad de los coeficientes de regresión
3.1
Introducción
3.2
Detecting proportional and constant bias in method
comparison studies by using linear regression with errors in both axes
4
65
67
69
3.3
Conclusiones
96
3.4
Referencias
96
Predicción en BLS
4.1
Introducción
99
101
4.2
Prediction intervals in linear regression taking into account
errors on both axes
104
5
4.3
Conclusiones
133
4.4
Referencias
134
Límite de detección en BLS
5.1
XII
Introducción
137
139
Índice
5.2
concentration
6
Limits of detection in linear regression with errors in the
142
5.3
Conclusiones
163
5.4
Referencias
164
6.1
Introducción
6.2
Detección de puntos discrepantes
6.2.1 Introducción
6.2.2 Outlier detection in linear regression taking into account
errors in both axes
6.2.3 Comprobación de la aplicación del criterio gráfico
165
167
169
169
172
190
6.3
Regresión robusta
195
6.3.1 Introducción
195
6.3.2 Robust linear regression taking into account errors in both
axes
6.3.3
BLMS
6.3.4
197
Comparación de diversos algoritmos de cálculo de la recta
213
Robustez de la recta BLS
214
6.4
Protocolo de actuación en regresión lineal en presencia de
puntos discrepantes
217
6.4.1 Introducción
217
6.4.2 Linear regression taking into account errors in both axes in
presence of outliers
218
7
6.5
Conclusiones
234
6.6
Referencias
236
Conclusiones
239
7.1
Conclusiones
241
7.2
Perspectivas futuras
244
XIII
Índice
8
Anexos
247
8.1
Anexo 1. Comparación de los métodos OLS, WLS y BLS 249
8.1.1 Comparación de las rectas de regresión obtenidas con los
métodos OLS, WLS y BLS
249
8.1.2 Comparación de los métodos OLS, WLS y BLS
250
8.1.3 Referencias
254
8.2
Anexo 2. Presentaciones en congresos
Índice temático
XIV
255
257
1
Capítulo
Introducción
1.1 Objetivos y justificación
1.1 Objetivos y justificación
En el presente trabajo se pretende ampliar el conocimiento existente
sobre la comparación de métodos analíticos y la calibración lineal, mediante la
utilización de la técnica de regresión de mínimos cuadrados bivariantes (BLS,
bivariate least squares) en la que se consideran los errores experimentales
individuales asociados a las variables predictora y respuesta, incidiendo
especialmente en las características cualimétricas de las metodologías que utilizan
la regresión lineal con errores en las dos variables. Con esta finalidad se han
planteado los siguientes objetivos principales:
1.- Estudio y caracterización de las distribuciones de los coeficientes de
regresión (ordenada en el origen y pendiente) encontrados mediante el método BLS
con el fin de conocer qué tipo de tests estadísticos derivados se deben aplicar en el
campo de la química analítica.
2.- Desarrollo de las expresiones para el cálculo de las varianzas
asociadas a la predicción tanto de la variable predictora como de la variable
respuesta utilizando los errores cometidos en ambas variables.
3.- Cálculo del límite de detección de una metodología analítica en que la
recta de calibración se construye mediante el método de BLS.
4.- Establecer el procedimiento que se ha de seguir ante la posible
presencia de puntos discrepantes en una recta de regresión considerando los errores
en las dos variables, desarrollando para ello un método de regresión robusto y un
criterio gráfico para la detección de puntos discrepantes.
1.2 Estructura de la Tesis
La presente Tesis Doctoral se estructura de la siguiente forma:
3
1. Introducción
• Capítulo 1. Este capítulo incluye una descripción de los objetivos
de la Tesis Doctoral, incluyendo una breve justificación de los mismos. Este
segundo apartado intenta clarificar la estructura de la Tesis.
• Capítulo 2. El segundo capítulo pretende recoger los fundamentos
teóricos que se han utilizado en el desarrollo de la presente Tesis Doctoral. En cada
caso se ha pretendido hacer una revisión bibliográfica de los precedentes, pasando
posteriormente a una descripción de los métodos más utilizados en cada uno de los
campos desarrollados.
Tras una introducción a la notación (sección 2.1) utilizada en el resto de
la Tesis Doctoral, los demás apartados de este capítulo pretenden ilustrar cada uno
de los temas que se tratan en ella. Así, por ejemplo, el siguiente apartado (2.2) es el
más general, pues incluye un estudio de los diversos métodos de regresión que se
han utilizado a lo largo del tiempo, tanto considerando los errores en una como en
dos variables. De estos últimos, el método de BLS se explica con más detenimiento
pues será el utilizado en el resto del trabajo. Los siguientes apartados explican el
estado actual de otros aspectos tratados en el presente trabajo, tales como la
normalidad de las distribuciones y los diversos tests existentes para su
determinación (apartados 2.3 y 2.4), una introducción a los diferentes métodos de
cálculo de los intervalos de predicción (apartado 2.5), un estudio de los diferentes
criterios utilizados para el cálculo de los límites de detección, incluyendo las
definiciones básicas necesarias para su comprensión (apartado 2.6) y una revisión
bibliográfica de los métodos de regresión robusta y de detección de puntos
discrepantes (apartado 2.7). El último apartado de este capítulo hace una breve
introducción al método de Monte Carlo que se utiliza en varios capítulos de esta
Tesis Doctoral.
• Capítulos 3-6. En estos capítulos se presenta el núcleo del trabajo
realizado en esta Tesis Doctoral. En todos los casos se presentan los resultados en
forma de artículos publicados en revistas científicas de difusión internacional. La
estructura de los capítulos empieza con una breve introducción a la investigación
incluida en el artículo con el fin de contextualizar su contenido. A continuación se
presenta cada uno de los artículos, para finalmente presentar las conclusiones a
4
1.2 Estructura de la Tesis
cada uno de los artículos destinadas a enlazar los contenidos presentados en cada
capítulo.
En el tercer capítulo se presenta un estudio realizado sobre las
distribuciones de los coeficientes de regresión, con el fin de comprobar si pueden
ser asimiladas a una distribución normal. El cuarto capítulo incluye el desarrollo de
las expresiones para el cálculo de los intervalos de predicción, mientras que en el
quinto se utilizan estos mismos intervalos para encontrar el límite de detección
cuando se consideran los errores experimentales en las variables predictora y
respuesta. El sexto capítulo presenta una discusión cuyo principal objetivo es la
búsqueda de la mejor recta de regresión cuando se consideran los errores en las dos
variables en presencia de puntos discrepantes.
• Capítulo 7. En este capítulo se enumeran las conclusiones extraídas
a partir de los objetivos que se han planteado inicialmente para la presente Tesis
Doctoral.
• Capítulo 8. Este capítulo incluye una serie de anexos. En ellos se
presentan algunos cálculos que por su longitud o complejidad se ha considerado
que no se debían incluir en los capítulos anteriores. En el último apartado de este
capítulo se citan las participaciones que se han presentado en congresos como
consecuencia del trabajo realizado en esta Tesis Doctoral.
Todas las simulaciones y programas definidos a lo largo de la presente
Tesis Doctoral se han llevado a cabo utilizando el programa Matlab1, que es un
entorno matemático destinado a simplificar el cálculo matricial.
5
2
Capítulo
2.1 Notación
Este segundo capítulo intenta dar una noción general de los aspectos
teóricos utilizados en el resto de la Tesis Doctoral. En primer lugar, y tras un
apartado dedicado a aclarar la notación utilizada, se dan unas nociones básicas
sobre la regresión lineal, para profundizar finalmente en la regresión lineal
considerando los errores en las dos variables, y más concretamente en el método de
los mínimos cuadrados bivariantes (bivariate least squares, BLS), que será
utilizado como base en todos los capítulos de la presente Tesis Doctoral. A
continuación se citarán las principales aplicaciones de la regresión lineal, con el fin
de introducir conceptos que a continuación se irán adaptando para el caso en que se
consideran los errores experimentales en las variables predictora y respuesta. En
concreto se explicarán brevemente los diferentes tests para el estudio de la
normalidad de distribuciones, el cálculo de los intervalos de predicción y del límite
de detección y las diferentes aplicaciones existentes para la regresión lineal en
presencia de puntos discrepantes cuando se tienen en cuenta los errores en las
variables predictora y respuesta.
2.1 Notación
En general, los valores verdaderos de las diferentes variables usadas a lo
largo de este trabajo se representan por caracteres griegos, mientras que sus
estimaciones se representan por caracteres latinos. De esta forma, los valores de los
coeficientes de regresión están representados por β0 (ordenada en el origen) y β1
(pendiente), mientras que sus respectivas estimaciones se representan por b0 y b1.
Por otra parte, las predicciones de las variables experimentales se definen con un
acento circunflejo ( ŷi ). Las matrices se representan por una letra mayúscula en
negrita (como por ejemplo la matriz de puntos experimentales de la variable
predictora X), los vectores por una letra minúscula en negrita (por ejemplo el
vector b de los coeficientes de la recta de regresión), y las variables y escalares por
una letra en cursiva (por ejemplo la estimación de la ordenada en el origen, b0). A
lo largo de la presente Tesis Doctoral la notación decimal sigue la norma
anglosajona de separar con puntos los números decimales. Se ha tomado esta
decisión para homogeneizar la presentación de los resultados, teniendo en cuenta
9
2. Fundamentos teóricos
que la mayoría de ellos se presentan en forma de artículos en publicaciones
internacionales, donde se exige la utilización de esta norma. A continuación se
enumeran los símbolos más utilizados a lo largo de la Tesis Doctoral.
2.1.1.1
Símbolos del alfabeto latino
ar
Momento adimensional centrado de orden r de una distribución
b0
Estimación de la ordenada en el origen de la recta de regresión
b1
Estimación de la pendiente de la recta de regresión
b
Vector de las estimaciones de los coeficientes de regresión
e
Vector de las estimaciones de los residuales de la variable respuesta
f dist Función de probabilidad de una distribución
Estimación del coeficiente i de Fisher (i=1,2)
fi
F(p,n-p,1-α) Valor aleatorio perteneciente a una distribución F
H0 Hipótesis nula
H1 Hipótesis alternativa
k xi Coeficiente de fiabilidad
L
Valor real en términos de concentración o señal neto
L̂
Cantidad estimada en términos de concentración o señal neto
LC
Valor crítico en términos de concentración o señal neto
LD Límite de detección en términos de concentración o señal neto
LR
Límite normativo en términos de concentración o señal neto
M
Función de probabilidad en regresión por máxima verosimilitud
m
m
Número de puntos que forman una distribución
0
r
Momento de orden r de una distribución
mr Momento centrado de orden r de una distribución
n
Número de puntos experimentales
p
Número de parámetros que deben ser estimados en un modelo
pi
Estimación del coeficiente i de Pearson (i=1,2)
q
Número de repeticiones del análisis de una muestra
S
Suma del cuadrado de los residuales de la recta de regresión
10
2.1 Notación
s2
Estimación del error experimental de la recta de regresión
s 02 Estimación de la varianza al nivel de concentración cero
sb20 Estimación de la varianza de la ordenada en el origen de la recta de regresión
sb21 Estimación de la varianza de la pendiente de la recta de regresión
2
s dist
Estimación de la varianza de una distribución
s D2 Estimación de la varianza al nivel de concentración del límite de detección
s δ2 Estimación de la varianza relacionada con el error de la variable predictora
s e2 Estimación de la varianza del error instrumental
se2i Estimación de la varianza del i-ésimo residual
s ε2 Estimación de la varianza relacionada con el error de la variable respuesta
s y2i Estimación de la varianza de la variable respuesta en el punto i
t α,ν Valor aleatorio perteneciente a una distribución t de Student
V
Matriz diagonal con las varianzas experimentales de la variable respuesta
W Matriz diagonal con los pesos (wi)
wi
Coeficiente de ponderación del punto i
X
Matriz de la variable predictora
xi
Valor medido de la variable predictora en el punto i
x̂i
Valor predicho de la variable predictora en el punto i
x
Valor medio de los valores experimentales de la variable predictora
x p Valor medio ponderado de los valores experimentales de la variable predictora
Y
Matriz de la variable respuesta
yi
Valor medido de la variable respuesta en el punto i
ŷi Valor predicho de la variable respuesta en el punto i
y
Valor medio de los valores experimentales de la variable respuesta
y p Valor medio ponderado de los valores experimentales de la variable respuesta
zα
Valor aleatorio perteneciente a una distribución normal
11
2.1.1.2
α
Nivel de significancia; Probabilidad de cometer un error de primera especie;
falso positivo
β
Probabilidad de cometer un error de segunda especie; falso negativo
β0
Valor verdadero de la ordenada en el origen de la recta de regresión
β1
Valor verdadero de la pendiente de la recta de regresión
δi
Error aleatorio asociado al punto i en la variable predictora
εi
Valor del residual en el punto i
γi
Error aleatorio asociado al punto i en la variable respuesta
ηi
Valor verdadero de la variable respuesta en el punto i
ϕi
Coeficiente i de Fisher (i=1,2)
λ
Relación de varianzas de las variables respuesta y predictora
µ dist Valor medio real de una distribución
ν
Número de grados de libertad
πi
Coeficiente i de Pearson (i=1,2)
σ
Valor verdadero del error experimental de la recta de regresión
2
σ 02 Varianza al nivel de concentración cero
σ 2D Varianza al nivel de concentración del límite de detección
2
σ dist
Varianza asociada a una distribución
σ 2xi Varianza de la variable predictora en el punto i
σ 2yi Varianza de la variable respuesta en el punto i
ξi
Valor verdadero de la variable predictora en el punto i
2.2 Regresión lineal
La regresión se considera como un conjunto de técnicas estadísticas
utilizadas para estudiar las relaciones existentes entre varias variables. La regresión
lineal es un caso particular de la regresión en que las relaciones entre las variables
pueden definirse mediante una línea recta o por generalizaciones de una línea recta
a diferentes dimensiones. Estas técnicas se utilizan en muchos campos, entre los
12
que se pueden citar las ciencias sociales, la física, la biología, la economía, la
tecnología o las humanidades. Un ejemplo de utilización en el campo de la química
es la absorción de una muestra coloreada a una determinada longitud de onda, cuya
relación con la concentración se mide a partir de la ley de Lambert-Beer.
Al tomar un conjunto de valores de una de las variables y hacer una
transformación sobre la otra variable, su dispersión aumenta, mientras que su valor
medio es más próximo a la media de la distribución, y lo hará en mayor o menor
medida dependiendo de la correlación entre las variables.2 Por este motivo se dice
que se produce un fenómeno de ”retroceso” o de “vuelta atrás”. De ahí se introduce
el concepto de “regresión”. El primero en utilizarlo fue Galton3 (1887) que observó
que los hijos de padres altos tienden a ser menos altos y los hijos de padres bajos a
ser menos bajos. Se producía una regresión hacia la media de la población. Hoy se
sigue manteniendo este término, aunque su significado original de “retroceso”
hacia algún promedio estacionario no está necesariamente implicado.
La regresión lineal univariante considera el caso particular en que se
pretende conocer la relación lineal entre dos variables, y postula que la relación
entre el valor i de la variable predictora (ξ) y el valor i de la variable respuesta (η)
se expresa:4-6
ηi = β 0 + β1ξ i
(2.1)
donde β 0 y β1 son la ordenada en el origen y la pendiente que definen la recta que
relaciona las variables predictora y respuesta reales.
Sin embargo, debido a que experimentalmente no pueden obtenerse
exactamente los valores de las variables reales ξi y ηi, únicamente se puede utilizar
una estimación de dichas variables (xi e yi respectivamente). La relación entre los
valores verdaderos y los experimentales de los coeficientes de regresión puede
expresarse de la siguiente manera:7
xi = ξ i + δ i
(2.2)
y i = ηi + γ i
(2.3)
13
donde δi y γi representan los errores aleatorios asociados a la medida de las
variables observables, de manera que: δ i ~ N(0, σ 2xi ) y γ i ~ N(0, σ 2yi ) ,5 donde N
indica que las variables siguen una distribución con las medias y varianzas
indicadas dentro del paréntesis, tal como se verá posteriormente en la sección 2.3.1.
Introduciendo estas ecuaciones en la ecuación 2.1, y aislando la variable yi se
obtiene la siguiente expresión:4,8,9
yi = β 0 + β1 xi + ε i
(2.4)
Esta ecuación representa la ecuación de la recta de regresión verdadera a
partir de los valores experimentales de las dos variables. El término εi es el error
residual verdadero del i-ésimo punto cumpliendo ε i ~ N(0, σ ε2i ) ,10 y que puede
expresarse como función de las variables γi, β1 y δi.5
ε i = γ i − β1δ i
(2.5)
De esta forma, las variables observadas se relacionan entre sí de la
siguiente forma:
yi = b0 + b1 xi + ei
(2.6)
donde ei es el error residual del punto i, mientras que b0 y b1 son la ordenada en
origen y la pendiente que definen la recta de regresión que relaciona entre sí las
variables observadas. Debido a la simplicidad de su utilización, la ecuación
anterior también puede presentarse en forma matricial:
y = Xb + e
2
1
y
n
14
X
n
1
1
b
=
(2.7)
2
+
e
n
donde el vector y, de dimensión n contiene los valores de la variable respuesta,
mientras que la matriz X, de dimensión nx2, la forman: una primera columna de
unos y una segunda con los valores de la variable predictora. El vector b, de
dimensión 2, representa los dos coeficientes de regresión, y e es un vector de
dimensión n que incluye los valores de los residuales de la variable respuesta. El
uso de matrices tiene una serie de ventajas, de forma que cuando un problema de
regresión se soluciona en forma matricial, la solución puede aplicarse a cualquier
problema de regresión sin tener en cuenta el número de términos que incluya.
Para encontrar las estimaciones de los coeficientes de la recta que
relaciona las variables reales, se han desarrollado una gran cantidad de métodos.
Algunos de ellos se describen a continuación.
2.2.1
Métodos que consideran los errores en una sola variable
La calibración es uno de los pasos que, generalmente, deben aplicarse en
un análisis químico, y suele asociar a la variable predictora la concentración de los
patrones de calibrado, y a la variable respuesta los valores de la medida
instrumental. Generalmente, el error asociado a la preparación de los patrones es
mucho menor que el asociado a la medida instrumental. Por este motivo, se suelen
utilizar técnicas de regresión lineal univariantes que únicamente consideran los
errores asociados a la variable respuesta. De los métodos de regresión que
consideran los errores en una sola variable hay que destacar los métodos de
mínimos cuadrados ordianarios (ordinary least squares, OLS) y mínimos
cuadrados ponderados (weighted least squares, WLS) que se explican a
continuación.
2.2.1.1
Mínimos cuadrados ordinarios (OLS)
Se considera que el método de mínimos cuadrados ordinarios se
descubrió independientemente por Carl Friedrich Gauss y Adrien Marie Legendre,
que Gauss lo utilizó antes de 1803 y que la primera publicación corresponde a
15
Legendre el año 1805. Por este motivo, el descubrimiento del método de OLS ha
llevado siempre asociada una dura controversia.11-14
Rigurosamente, para poder utilizar el método de OLS, deben cumplirse
las siguientes condiciones:15
- El error, expresado en términos de varianza, para cada valor de la
variable respuesta debe ser mucho mayor que el correspondiente a la varianza de la
variable predictora multiplicado por el cuadrado de la pendiente.
σ 2yi >> σ 2xi b12 ⇒ σ 2xi ≈ 0
(2.8)
- Las varianzas de los valores de la variable respuesta deben ser
constantes a lo largo de todo el intervalo de linealidad (homoscedasticidad).
σ 2yi = σ 2y j ∀i, j
(2.9)
- Los errores asociados a la variable respuesta deben ser mutuamente
independientes.
Si se cumplen estas condiciones, los valores de la ordenada en el origen y
la pendiente obtenidas mediante el método de OLS dan lugar a las estimaciones
más precisas no sesgadas de la ordenada en el origen y de la pendiente.4,16,17
Para encontrar las expresiones de la ordenada en el origen y la pendiente,
el método de OLS minimiza la suma de los cuadrados de los residuales de los
puntos experimentales a la recta de regresión:
n
S=
∑
i =1
ei2 =
n
n
i =1
i =1
∑ ( yi − yˆ i )2 = ∑ ( yi − b0 − b1 xi )2
(2.10)
El cálculo de los coeficientes de regresión, consistirá en igualar a cero las
derivadas parciales de S respecto a la ordenada y la pendiente:
n

∂ 
2
 ( yi − b0 − b1 xi )  = 0
∂b0  i =1

∑
16
(2.11)
n

∂ 
2
 ( yi − b0 − b1 xi )  = 0
∂b1  i =1

∑
(2.12)
Desarrollando las expresiones 2.11 y 2.12 se obtienen las estimaciones de
la ordenada en el origen y de la pendiente de la recta de regresión de OLS:
n
n
∑ ∑
xi2
b0 =
i =1
yi −
i =1
n
n
∑
i =1
b1 =
n
∑ ∑x y
xi
i
i =1

x − 

2
i
n
n
n
∑
n
∑
i =1
xi y i −
i =1
n
n
∑
i =1
= y − b1 x

xi 

n
∑ ∑y

x − 

(2.13)
n
xi
i =1
2
i
i
i =1
2
i
i =1
n
∑
i =1

xi 

(2.14)
2
donde x e y representan el valor medio de las variables predictora y respuesta
respectivamente y el punto ( x, y ) corresponde al centroide de la recta de regresión,
que tiene la propiedad de pertenecer a la recta OLS.
Mediante la expresión matricial (ecuación 2.15), OLS permite encontrar
los coeficientes de regresión:
b = ( X' X) −1 X' y
(2.15)
Si los errores son independientes y se cumple que ε i ~ N(0, σ ε2i ) , b es una
solución de máxima verosimilitud, es decir, que minimizar la suma del cuadrado de
los residuales es equivalente a maximizar la función de probabilidad:
n
M=
n
∏
i =1
−1 / 2 σ 2 ∑ ε i2
2
2
1
1
i =1
e −εi / 2 σ =
e
σ(2π)1 / 2
σ n ( 2 π) n / 2
(2.16)
17
2.2.1.2
Mínimos cuadrados ponderados (WLS)
En ciertos casos algunas de las observaciones instrumentales asociadas a
algunos puntos experimentales en regresión lineal son más fiables que otras. Esta
característica del conjunto de datos implica que los errores asociados a la variable
respuesta no son siempre iguales, o lo que es lo mismo, se debe considerar
heteroscedasticidad en la variable respuesta. El método de WLS permite la
existencia de heteroscedasticidad en la variable respuesta, si bien los errores entre
sus valores no pueden estar correlacionados.15,18
El método WLS minimiza la suma de los cuadrados de los residuales
ponderados expresados de la siguiente forma:
S=
n
∑
i =1
n
( yi − b0 − b1 xi )
ei2
=
wi i =1
wi
∑
2
(2.17)
donde wi (factor de ponderación) se corresponde con la varianza experimental
asociada a cada punto en la variable respuesta ( s 2yi ). De esta forma, tienen más
influencia sobre la recta aquellos puntos cuyos errores en la variable respuesta sean
menores.
Procediendo de la misma forma que en OLS, se obtienen las expresiones
de la ordenada en el origen y de la pendiente:
xi2
⋅
wi
n
b0 =
∑
i =1
n
∑
i =1
∑
i =1
i =1
n
∑
i =1
1
⋅
wi
n
∑
i =1
18
yi
−
wi
∑
1
⋅
wi
n
b1 =
n
n
∑
i =1
x 
−
wi 
2
i
n
∑
i =1
1
⋅
wi
xi
⋅
wi
n
∑
i =1
xi y i
−
wi
n
∑
i =1
n
i =1
xi
wi
n
∑
i =1
x 
−
wi 
2
i
yi
∑w
i



2
xi
⋅
wi
n
∑
i =1
= y p − b1 x p
n
∑
i =1
xi
wi



xi y i
wi
2
(2.18)
(2.19)
donde x p y y p son la media ponderada de las variables predictora y respuesta
respectivamente:
n
xp =
i =1
n
i
∑
1
wi
n
yi
i =1
yp =
xi
∑w
∑w
i =1
n
∑
i =1
i
1
wi
(2.20)
(2.21)
( x p , y p ) definen el centroide ponderado, punto por el que pasa la recta de
regresión obtenida mediante el método WLS. Utilizando la notación matricial, la
estimación de los coeficientes de regresión pueden encontrarse según la siguiente
ecuación:
b = ( X' V −1 X) −1 X' V −1y
(2.22)
donde V es una matriz diagonal de dimensión nxn, que incluye los valores de la
varianza experimental de la variable respuesta ( s y2i ).
2.2.2
Métodos que consideran los errores en dos variables
Las hipótesis necesarias para utilizar los métodos de OLS y WLS no
siempre se cumplen. Así, por ejemplo, debido a los avances tecnológicos, cada vez
es más fácil encontrar casos en que el error asociado a la medida instrumental ha
disminuido tanto que su valor no puede despreciarse frente al asociado a la
preparación de patrones. Esto ocurre, por ejemplo, en análisis que utilizan técnicas
de absorción o emisión atómica19 pues tienen asociado un error que en muchos
casos es al menos comparable al asociado a la preparación de los patrones. Existen
otras técnicas analíticas, como por ejemplo la fluorescencia de rayos X,20 donde
19
debido a la complejidad de las muestras reales (por ejemplo muestras geológicas),
la recta de calibración se suele construir utilizando materiales de referencia
certificados del analito de interés en vez de los patrones puros. En este caso, cada
material de referencia presenta un error asociado a la concentración,21-24 cuyo valor
normalmente no es despreciable frente a los errores asociados a la respuesta
instrumental. Otro caso similar son los análisis que se basan en las técnicas de
datación por radiocarbono,25,26 donde los errores asociados a la variable predictora
suelen ser grandes y, por tanto, difícilmente despreciables frente a los cometidos en
la variable respuesta. Esto mismo ocurre al utilizar la regresión lineal para realizar
una comparación de métodos analíticos a diferentes niveles de concentración, pues
al representar los resultados de analizar una serie de muestras con dos métodos
diferentes, los errores asociados a cada uno de ellos suelen ser de un orden de
magnitud similar. Por este motivo, en estos casos es necesario utilizar técnicas de
regresión que consideran los errores asociados a las dos variables.4,5
Si se utiliza el método de mínimos cuadrados para obtener la recta de
regresión sobre alguno de estos casos en que los errores en la variable predictora
son, al menos, del mismo orden de magnitud que en la variable respuesta, los
coeficientes de regresión se obtendrán sesgados. Este sesgo vendrá determinado
por el factor entre el valor verdadero y observado de la varianza de la variable
predictora. Este factor se llama coeficiente de fiabilidad y se define según la
siguiente expresión:
k xi =
σ 2xi
s x2i
(2.23)
Por este motivo se han desarrollado una serie de técnicas para encontrar
la recta de regresión teniendo en cuenta los errores cometidos en las dos variables.
Dichos métodos se han clasificado en dos grupos dependiendo del proceso seguido
para obtener sus coeficientes. El primero de ellos son métodos de máxima
verosimilitud, mientras que el segundo lo conformarán los métodos de mínimos
cuadrados.
20
2.2.2.1
Estimaciones por máxima verosimilitud
Una estimación por máxima verosimilitud pretende encontrar los
coeficientes de regresión con máxima probabilidad de ser iguales a los verdaderos.
Para ello estos estimadores maximizan la función de probabilidad de los
coeficientes. De esta forma, las predicciones de la variable respuesta serán aquellas
que presenten una máxima probabilidad de ser iguales a las verdaderas.
Los métodos de máxima verosimilitud asumen que las dos variables son
inobservables y que se pueden medir solo aquellas que están afectadas por errores
aleatorios. En este sentido, pueden distinguirse, básicamente, tres tipos de modelos
con errores en las medidas dependiendo de las asunciones realizadas sobre los
valores de la variable predictora:5,27
- Modelo funcional, que supone los valores de la variable predictora ( ξi )
como constantes desconocidas.
- Modelo estructural, que considera los valores de la variable predictora
como variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente e
independientes de sus errores experimentales.
- Modelo ultraestructural,5,28 que asume que los valores de la variable
predictora son variables aleatorias independientes (como en el modelo estructural),
pero no distribuidas idénticamente, además de tener la posibilidad de poseer
diferentes medias ( µ i ) y una varianza común ( σ 2 ).
De entre los modelos presentados, los funcionales son los más apropiados
para el caso del análisis químico, pues los valores de la variable predictora
(concentraciones en el caso de una calibración o resultados analíticos en el caso de
una comparación de métodos), suelen asociarse con valores desconocidos
correspondientes a los diversos niveles de concentración de los analitos. Por este
motivo, en adelante trataremos con detenimiento el caso del modelo funcional
dejando de lado los otros dos modelos descritos.
21
En la bibliografía se encuentran seis asunciones que pueden realizarse
con el fin de encontrar la recta de máxima verosimilitud en el caso de tener en
cuenta los errores en las dos variables. Estos son:
a) La relación de los errores de las varianzas ( λ =
σ 2xi
σ 2yi
) es conocida.
b) El coeficiente de fiabilidad ( k xi ) es conocido.
c)
σ 2xi son conocidas.
d) σ 2yi son conocidas.
e) Los valores de las varianzas de las dos variables σ 2xi y σ 2yi son
conocidas.
f) La ordenada en el origen ( β 0 ) es conocida.
Existe cierta confusión en la bibliografía acerca de la consistencia de las
estimaciones de máxima verosimilitud para el modelo funcional. En el caso en que
se conoce la relación de las varianzas (caso a), el estimador de los coeficientes de
regresión es consistente. Sin embargo, el estimador de una varianza desconocida no
lo es. En los casos c y d las estimaciones de máxima verosimilitud fallan en la
consistencia de los parámetros encontrados. El motivo principal es que las
estimaciones de máxima verosimilitud tienen problemas cuando el número de
parámetros de incidencia aumenta con el tamaño de muestra. Por este motivo, la
consistencia de los resultados se puede considerar como un efecto aleatorio en el
caso de conocer la relación de las varianzas en las dos variables.5 En el caso de
conocerse las varianzas asociadas a las dos variables (caso e) es equivalente al ya
comentado de conocerse la relación entre las mismas. La única diferencia
consistiría en que en el último caso no deberá estimarse ninguna de las varianzas
experimentales. El caso b en el que se supone conocido el factor de fiabilidad es un
caso que no tiene demasiado sentido en el caso del modelo funcional, pues la
fiabilidad no está bien definida para este tipo de modelo. Esta situación se resolvió
cuando Gleser29 introdujo una definición más general de la fiabilidad. El último
caso (caso f) en que se conoce la ordenada en el origen también conduce a
estimaciones no consistentes, que únicamente podrían serlo bajo el modelo
22
estructural, del que ya se ha comentado que queda fuera de los objetivos de la
presente Tesis Doctoral.
A continuación se estudia la regresión bajo las asunciones en que el
modelo funcional obtiene estimaciones consistentes de máxima verosimilitud, que
son aquellas en que se conoce la relación de las varianzas de las variables
predictora y respuesta, y cuyos resultados son equivalentes a utilizar el modelo
estructural. A esta regresión se la conoce como relación constante de varianzas.
Método de la relación constante de varianzas (constant variance ratio,
CVR). El problema de la regresión lineal cuando se consideran los errores en las
variables predictora y respuesta data de finales del siglo XIX, siendo Adcock30,31 la
primera persona que trató el problema de la regresión cuando se consideran los
errores en ambas variables. El método desarrollado por Adcock suponía que las
varianzas de las variables predictora y respuesta son iguales y es conocido como el
método de la regresión ortogonal (orthogonal regression, OR). Este método se ha
reinventado en varias ocasiones y en diversas disciplinas.32-35 Entre estos
redescubrimientos el método de la regresión ortogonal también se ha renombrado
de diversas maneras, tales como regresión de la distancia ortogonal (orthogonal
distance regression, ODR)36 o como método de mínimos cuadrados totales (total
least squares, TLS)37,38. Más adelante Kummel39 (1879) extendió los resultados de
Adcock al caso en que se conoce la relación entre las varianzas. Esta extensión se
conoce por el nombre de método de la relación constante de varianzas (constant
variance ratio, CVR). La relación entre las varianzas experimentales de las
variables respuesta ( s 2yi ) y predictora ( s x2i ) se representa por la siguiente expresión:
λ=
s y2i
s x2i
(2.24)
En el caso particular de la regresión ortogonal, la relación entre las
varianzas es la unidad, y por tanto se cumple que λ=1. Una de las principales
aplicaciones de la recta de regresión obtenida mediante el método de OR es que
ésta coincide con el primer componente principal en el análisis por componentes
principales (PCA, principal component analysis).17
23
Debido a que el método de CVR es un método de máxima verosimilitud
con los errores de la variable predictora siguiendo un modelo funcional, para
encontrar los coeficientes de la recta de regresión se deberá maximizar la función
de probabilidad M:
n
−
 −1
M ∝ λ 2 σ −x 2 n exp  2
 2σ x



n
∑ (x
i
− ξi ) 2 +
i =1
n
∑(y
i =1
i

− β 0 − β1ξ i ) 2 

(2.25)
donde el símbolo de proporcionalidad aparece debido a que se ha omitido la
constante de normalización. En el caso de la regresión ortogonal, a partir de las
ecuaciones 2.2 y 2.3 puede observarse cómo maximizar la función de probabilidad
es equivalente a minimizar la suma del cuadrado de las distancias ortogonales de
cada uno de los puntos a la recta de regresión. Las expresiones de la ordenada en el
origen y la pendiente (donde se asume que la correlación entre la variable
predictora y la variable respuesta es nula) obtenidas según la aproximación
desarrollada por Mandel40 son las siguientes:
b1 =
S yy − λ S xx +
(S yy − λ S xx )2 + 4 λ S xy2
2S xy
b0 = y − b1 x
(2.26)
(2.27)
donde Sxx, Sxy y Syy son sumatorios de los datos experimentales:
n
S xx =
∑ (x − x )
2
i
(2.28)
i =1
n
S yy =
∑ (y
− y)
2
i
(2.29)
i =1
n
S xy =
∑ (x − x)(y
i
i =1
24
i
− y)
(2.30)
2.2.2.2
Estimaciones por mínimos cuadrados
Algunos autores han desarrollado procedimientos para estimar los
coeficientes de la recta de regresión basados en una aproximación de máxima
verosimilitud cuando están presentes errores en las dos variables.4,6,41,42 En la
mayoría de los casos, estos métodos requieren modelar cuidadosamente la variable
predictora.41 Sin embargo, esta situación no suele ser posible en análisis químicos,
donde los valores verdaderos de la variable predictora ( ξi ) no se suelen distribuir
aleatoriamente (es decir, se asumen modelos funcionales5). Además, existen casos
en los que el comportamiento de los datos experimentales es heteroscedástico, y las
estimaciones de los errores de medida únicamente pueden obtenerse a partir de
réplicas en el análisis (es decir que la relación σ xi σ yi es no constante, o incluso
desconocida). Estas condiciones, comunes en los datos químicos, hacen muy
complicada la aplicación rigurosa del principio de máxima verosimilitud para
estimar los coeficientes de la recta de regresión. Por otra parte, Sprent10 presentó un
método para estimar los coeficientes de la recta de regresión utilizando una
aproximación de máxima verosimilitud, incluso considerando el modelo como
funcional. Sin embargo este método no es rigurosamente aplicable cuando se
consideran los errores heteroscedásticos individuales en cada punto experimental.
Además, puede comprobarse que cuando se asume σ xi = λσ yi para cada valor de i,
los métodos basados en la aproximación de mínimos cuadrados obtienen los
mismos resultados de los coeficientes de regresión que los basados en el principio
de máxima verosimilitud.43 Por todas estas razones, para llevar a cabo este trabajo,
se ha elegido un método iterativo basado en la aproximación de mínimos
cuadrados, ya que éstos métodos pueden utilizarse sobre cualquier conjunto de
datos sin hacer asunciones acerca de las distribuciones de probabilidad que tienen
asociados.43 Esto permite la aplicación de este método en casos químicos reales
cuando se consideran los errores individuales heteroscedásticos en las variables
predictora y respuesta.
De todos los métodos de regresión que consideran los errores
heteroscedásticos en las dos variables basados en el principio de mínimos
cuadrados44-52 el seleccionado para este trabajo es el método de Lisý, también
conocido como método BLS53,54, debido sobretodo a su rapidez en la correcta
25
obtención de los coeficientes de regresión (la matriz varianza-covarianza se obtiene
de una forma sencilla), así como a la simplicidad de la programación del algoritmo.
2.2.2.3
Método de mínimos cuadrados bivariantes (bivariate least
squares, BLS).
El método de BLS considera que las variables experimentales xi e yi se
expresan como función de las variables predictora y respuesta reales según las
ecuaciones 2.2 y 2.3.
El término ei es el valor residual que aparece en la ecuación 2.6 y se
define como el error individual asociado al punto i del conjunto de datos. La
varianza de ei es se2i y se considerará a partir de ahora como factor de ponderación
(wi). En el método BLS, este parámetro considera las varianzas de cada punto
individual en las dos variables ( s x2i y s 2yi ) obtenidas a partir de réplicas del análisis.
La covarianza entre las variables para cada punto (xi, yi), que normalmente se
asume que es nula, también se considera:
wi = se2i = s 2yi + b12 s x2i − 2b1 cov( xi , yi )
(2.31)
El método de regresión de BLS encuentra las estimaciones de los
coeficientes de regresión minimizando la suma de los residuales ponderados, S,
expresados en la ecuación 2.32:
S=
n
 ( xi − xˆ i ) 2 ( y i − yˆ i ) 2  n ei2
+
=
=
2
s y2i
 i =1 wi
 s xi
∑ 
i =1
∑
n
∑
i =1
( y i − yˆ i ) 2
=(n − 2) s 2 (2.32)
wi
donde n es el número de datos experimentales, x̂i e ŷi representan el valor
predicho para los valores xi e yi experimentales y s 2 es la estimación de la varianza
experimental. Minimizando la suma de los residuales ponderados, expresados en la
ecuación 2.32, con respecto a la ordenada en el origen y a la pendiente, e
incluyendo las derivadas parciales de los cuadrados de los residuales, se obtienen
dos ecuaciones no lineales, que se expresan:
26
 n

 i =1
 n

 i =1
n
∑
1
wi
∑
∑
xi
wi
∑
i =1
n
i =1
2
 n 

 yi + 1  ei  ∂ wi  
xi 


 


wi  b0   i =1  wi 2  wi  ∂b0  


×
=
 
xi2   b1   n  x y 1  e  2 ∂ w 

i 
  i i +  i 
wi 
2  wi  ∂b1 
 i =1  wi

 
∑
(2.33)
∑
o en forma matricial:
R ⋅b = g
(2.34)
Aislando el vector b de la ecuación 2.34, se obtiene la ecuación 2.35 para
calcular los valores de la ordenada en el origen y la pendiente de la recta de
regresión que considera los errores individuales en las variables predictora y
respuesta:
b = R −1 ⋅ g
(2.35)
El término wi, correspondiente al factor de ponderación (que aparece en
las matrices g y R-1) incluye la pendiente de la recta de BLS. Por este motivo, con
el fin de calcular los coeficientes de regresión utilizando el método de BLS se
necesita resolver un proceso iterativo. Este proceso, tal como se ha indicado con
anterioridad es fácil de programar y converge rápidamente. Además, mediante la
multiplicación de la matriz R-1 por la estimación del error experimental ( s 2 en la
ecuación 2.32), se obtiene de forma sencilla la matriz varianza-covarianza de los
coeficientes de regresión. De esta forma, las desviaciones estándar de la ordenada
en el origen y la pendiente se calculan como se detalla en las ecuaciones 2.36 y
2.37 respectivamente:
n
sb20 =
∑
i =1
n
∑
i =1
1
⋅
wi
n
∑
i =1
xi2
wi

x
xi 
−

wi  i =1 wi 
2
i
n
∑
2
⋅ s2
(2.36)
27
n
sb21 =
1
∑w
i =1
n
∑
i =1
1
⋅
wi
n
∑
i =1
i

x
xi 
−

wi  i =1 wi 
2
i
n
∑
2
⋅ s2
(2.37)
Otra característica importante del método BLS es que la recta de
regresión no varía al hacer un intercambio entre los ejes. Este hecho tiene una
importancia particular en procesos de comparación de dos métodos analíticos
mediante regresión lineal, donde la decisión acerca de si los dos métodos
estudiados son o no comparables, no debería verse influida por el método analítico
que se asigna a cada eje. Por tanto, la invariabilidad respecto al intercambio de ejes
del método BLS, permite concluir que la asignación de uno u otro método como
variable respuesta o predictora carece de importancia, pues las conclusiones
extraídas tras el uso de la recta BLS coinciden exactamente en los dos casos.
En el Anexo 1 de la Tesis Doctoral está desarrollado el proceso de
transformación de las expresiones de cálculo de la ordenada en el origen y de la
pendiente de la recta BLS en las expresiones del cálculo de los coeficientes de
regresión de WLS y OLS. Para ello, en primer lugar se han supuesto nulos los
errores asociados a la variable predictora (condiciones WLS) y a continuación se
ha añadido la necesidad de homoscedasticidad en la variable respuesta
(condiciones OLS). De esta forma se comprueba que cuando el conjunto de datos
cumple las condiciones requeridas por WLS y OLS, los resultados de utilizar la
recta BLS son coincidentes con los obtenidos al utilizar los otros dos métodos.
2.2.3
Aplicaciones de la regresión lineal considerando los
errores en las variables predictora y respuesta
Existen una serie de aplicaciones dentro del campo de la química
analítica, que utilizan la regresión lineal como herramienta. A su vez hay una parte
de estas técnicas que requieren que la regresión lineal sea utilizada considerando
los errores experimentales cometidos en las variables predictora y respuesta (tal
como hace el método BLS). A continuación se presentan una serie de aplicaciones
28
donde deben considerarse los errores cometidos en ambas variables al utilizar la
regresión lineal.
2.2.3.1
Calibración lineal
La calibración metodológica es uno de los procesos más importantes en el
análisis químico. Unas buenas precisión y exactitud sólo pueden obtenerse si, entre
muchos otros procesos, se utiliza un buen procedimiento para llevar a cabo la
calibración. En una calibración, generalmente se busca la relación entre la
concentración de patrones (representada en el eje de abscisas) y la medida
instrumental (generalmente representada en el eje de ordenadas). Esta es quizás la
aplicación de la regresión lineal donde es menos necesario considerar los errores en
las dos variables, pues considerar únicamente los errores en la variable respuesta
supone considerar la concentración libre de error. Esta es una suposición
generalmente aceptada, pues los errores asociados a la medida experimental suelen
ser claramente superiores a los asociados a los patrones. Sin embargo hay una serie
de casos en los que esta suposición no se puede hacer dentro de los procesos de
calibración. Algunos de los casos ya se han especificado, y se corresponden, por
ejemplo, con aquellos análisis en los que la variable predictora la definen
materiales de referencia certificados (como por ejemplo en análisis de muestras de
origen geológico por medio de fluorescencia de rayos X)20, aquellos análisis en que
la respuesta instrumental tiene un error muy pequeño debido a los avances técnicos
en el proceso de medida, o aquellos procesos de datación por radiocarbono, en que
los patrones suelen ser bastante inestables con el tiempo.
2.2.3.2
Comparación de métodos
La comparación de métodos analíticos a diversos niveles de
concentración es otra de las aplicaciones de la regresión lineal más utilizadas. En
este caso se construye la recta de regresión entre los resultados de los dos métodos
analíticos en comparación, y comparando sus coeficientes de regresión con los
teóricos de ordenada en el origen cero y de pendiente unitaria, se concluye si los
métodos comparados son o no equivalentes. La comparación de métodos es la
29
aplicación de la regresión lineal donde la utilidad de considerar los errores en las
dos variables es más clara, pues generalmente los dos métodos en comparación
presentan errores que son, cuando menos, del mismo orden de magnitud.
2.3 Distribución de la población de una medida
experimental
La extracción de información de los datos generalmente empieza con una
descripción de los datos obtenidos experimentalmente.17 En muchas ocasiones
estos resultados forman parte de una población, y la razón de hacer las medidas
experimentales es intentar deducir alguna de las características de esta población,
ya sea la media o la desviación estándar, por ejemplo. En otras ocasiones se
pretende conocer si los datos siguen una distribución, ya sea la distribución normal
u otra distribución cualquiera. Otra aplicación de estudiar la población de los datos
es la detección de puntos discrepantes en los resultados experimentales.
Aquellos casos en que se desconocen los parámetros estadísticos que
definen la población de los datos forman parte de la estadística no paramétrica. En
muchas ocasiones, los tests realizados sobre un conjunto de datos experimentales
requieren del conocimiento de parámetros estadísticos referidos a la población de
los datos. De esta manera se justifica la necesidad de conocer la población a la que
pertenece un conjunto de medidas experimentales.
En una determinación analítica, debido al error aleatorio, se obtiene un
grado de dispersión de los resultados del análisis. Estos resultados pueden
considerarse como una población de datos. Como objetivo de los análisis,
normalmente se pretenden conocer el valor medio y la desviación estándar de la
población definida por los resultados. La media para conocer el valor real de una
muestra y la desviación estándar para conocer la precisión de la determinación.
Estos dos parámetros se consideran los parámetros de la muestra.
Para resumir las características de una distribución, pueden utilizarse los
momentos. El r-ésimo momento de un conjunto de datos (x1, ... , xn) se calcula de la
siguiente forma:
30
2.3 Distribución de la población de una medida experimental
n
∑x
mro =
r
i
i =1
(2.38)
n
El r-ésimo momento centrado o sobre la media del mismo conjunto de
datos se calcula de igual forma pero sustituyendo el valor xi por su resta respecto a
la media:
n
∑ (x − x )
r
i
mr =
i =1
n
(2.39)
El r-ésimo momento adimensional centrado se define como:
ar =
mr
m
= rr
r
sdist
m2
(2.40)
donde sdist es la desviación estándar de la distribución definida como la raíz
cuadrada del momento centrado de orden 2.
De esta forma, el primer momento de un conjunto de datos ( m1o ) es igual
a la media, mientras que el primer momento centrado (m1) es igual a cero.
El segundo momento centrado de cualquier distribución es la varianza de
la misma:
n
∑ (x − x )
2
i
m2 =
i =1
n
2
= s dist
(2.41)
El tercer momento centrado es una medida de la asimetría (skeewness) de
la distribución.16,17 El tercer momento centrado se utiliza en su forma adimensional;
por tanto, el coeficiente de asimetría se expresa de la siguiente forma:
31
 xi − x 


m3
i =1  s dist 
=
a3 =
n
m23
n
∑
3
(2.42)
Se dice que una distribución es simétrica si la media, la mediana y la
moda son iguales (a3=0). Una distribución con una cola más larga por la derecha
que por la izquierda hace que la media sea mayor que la mediana y ésta mayor que
la moda, entonces se dice que dicha distribución tiene un coeficiente de asimetría
positivo. En el caso en que la cola mayor esté a la izquierda, se dirá que la
distribución posee un coeficiente de asimetría negativo.16,17 Una gráfica en la que
se visualiza esta diferencia se representa en la figura 2.1.
Simétrica a3=0
Positiva
a3>0
Negativa
a3<0
Figura 2.1.- Visualización de una asimetría positiva (media menor que la moda) y negativa (media
mayor que la moda).
El cuarto momento centrado adimensional se usa como una medida del
aplastamiento de la distribución (kurtosis):
 xi − x 


m4
i =1  s dist 
a4 = 2 =
m2
n
n
∑
4
(2.43)
El aplastamiento da idea de la distribución de las observaciones alrededor
de la media y permite apreciar si la distribución estudiada es llana o con forma de
pico.16,17 Un ejemplo de la influencia del cuarto momento centrado adimensional de
32
2.3 Distribución de la población de una medida experimental
una distribución, sobre la altura de pico se encuentra en la figura 2.2, donde a4=3 se
corresponde con una distribución normal.
a4>3
a4=3
a4<3
Figura 2.2.- Influencia del cuarto momento centrado adimensional sobre el aplastamiento de la
distribución.
2.3.1
Distribución normal o Gaussiana
La distribución de probabilidad más conocida es la distribución normal.17
En notación corta se escribe:
2
)
x ~ N (µ dist , σ dist
(2.44)
Esto quiere decir que los valores de la población x se distribuyen según
2
. La función de la densidad
una distribución normal con media µdist y varianza σ dist
de probabilidad de una distribución normal es:
M ( x) =
1
σ dist
 1  x − µ
dist
exp − 
2
2π

 σ dist



2



(2.45)
El teorema del límite central es uno de los teoremas más importantes
dentro del campo de la matemática estadística. Este teorema nos dice que la suma
33
de n variables independientes de media µi y varianza σ i2 (donde i es un valor
comprendido entre 1 y n) sigue una distribución normal con media
varianza
∑σ
2
i
∑µ
i
y
, cuando n tiende a infinito.
Este resultado es importante para el campo de la química analítica pues
explica porqué las distribuciones de los errores suelen tender aproximadamente a la
distribución normal. Esto se debe a que, en general, el error total se puede expresar
como una función de muchas componentes de error. Una condición importante es
que todas las componentes de error tengan un peso de similar orden de magnitud
entre sí.
2.4 Tests estadísticos para la comprobación de la
normalidad de una distribución
La mayoría de los tests estadísticos utilizados en el campo de la química
se basan en la asunción de la normalidad en la distribución de los datos. Sin
embargo las distribuciones pueden no ser normales, en cuyo caso se dispone de
diversos tests que permiten detectar las desviaciones de la normalidad en una
distribución de datos. En la bibliografía se encuentran indicaciones sobre la
desviación de la normalidad de las distribuciones asociadas a la ordenada en el
origen y a la pendiente cuando se consideran los errores en las variables predictora
y respuesta,55 pero sin especificar el grado de desviación respecto a la normalidad.
Para estudiar la normalidad de las distribuciones asociadas a los coeficientes de
regresión de la recta BLS, así como su grado de desviación en el caso que su
comportamiento difiera de la normalidad, se utilizarán los tests estadísticos que se
explican a continuación.
2.4.1
Test de normalidad en Cetama
Este test de normalidad56 permite, no sólo decidir si una distribución es o
no normal, sino que permite encontrar parámetros de su distribución, tales como la
media, la mediana o la ecuación de su distribución. Para ello, este test utiliza los
34
2.4 Tests estadísticos para la comprobación de la normalidad
coeficientes de Pearson y Fisher, que son función de los momentos centrados de
orden dos, tres y cuatro (mi, i=2-4):
ϕ1 =
m3
m
= 3 3 = a3
3/ 2
m2
sdist
(2.46)
ϕ2 =
m4
− 3 = a4 − 3
m22
(2.47)
sdist es la desviación estándar de la distribución. Los coeficientes ϕ1 y ϕ2
son los coeficientes de Fisher. El primer coeficiente de Fisher es un coeficiente de
asimetría (skeewness). El segundo coeficiente de Fisher se llama coeficiente de
aplastamiento (kurtosis).
Los coeficientes de Fisher se pueden reemplazar por los coeficientes de
Pearson (π1 y π2) según las siguientes expresiones:
m32
= ϕ12
m23
(2.48)
m4
= ϕ2 + 3
m22
(2.49)
π1 =
π2 =
Según los valores de los coeficientes de Fisher o de Pearson pueden
caracterizarse todas las distribuciones posibles. Un caso concreto es la distribución
normal en la que se cumple que los coeficientes de Fisher son nulos.
Los coeficientes de Fisher ϕ1 y ϕ2 se estiman por medio de f1 y f2:
f1 =
f2 =
k3
k 23
k4
k 22
(2.50)
(2.51)
Los coeficientes de Pearson pueden estimarse por p1 y p2:
35
p1 = f12 =
k 32
(2.52)
k 23
p2 = f 2 + 3
(2.53)
donde los coeficientes k2, k3 y k4 se calculan de la siguiente forma:
k2
k3 =
m
∑ (x
=
− x)
2
i
∑ (x
− x)
3
i
(m − 1)(m − 2)
k4 =
=
(m − 1)
=
m2
∑ (x
m(m + 1)
m
∑ x − (∑ x )
2
2
i
m(m − 1)
∑x
3
i
− 3m
2
= s dist
∑x ∑x
2
i
i
+2
m(m − 1)(m − 2 )
(2.54)
(∑ x )
3
i
[∑ (x − x ) ]
− x ) − 3(m − 1)
4
i
i
(m − 1)(m − 2)(m − 3)
(2.55)
2 2
i
(2.56)
donde xi se refiere a cada uno de los m puntos de la distribución que se desea
estudiar, y sdist representa la estimación de la desviación estándar real de la
distribución de cada uno de los coeficientes de regresión ( σ dist ).
2.4.2
Test de Kolmogorov
Existen dos modalidades del test: la gráfica y la numérica.57 En este
trabajo se ha utilizado la segunda debido sobretodo a la sencillez a la hora de
programar su algoritmo.58 Además, ya se utiliza otro test de tipo gráfico (sección
2.4.3) y, aunque los tests gráficos son más sensibles a posibles desviaciones de la
normalidad, su información es menos concreta y más difícil de interpretar que la
obtenida por los tests numéricos.
El test evalúa la normalidad de una distribución, mediante la comparación
de los datos experimentales con unos datos teóricos tabulados que dependen del
número de datos y del nivel de significancia (α) que se acepta. Para realizar el test
de Kolmogorov hay que seguir los siguientes pasos:
36
- En primer lugar se ordenan de forma ascendente los datos que
conforman la distribución que se quiera estudiar en cada caso.
- A continuación se calcula el valor de Di para cada uno de los valores
experimentales a partir de la siguiente expresión:
Di = N ( xi ) −
i
m
(2.57)
donde i es el orden del valor estudiado dentro de la secuencia ordenada
(frecuencia), m es el número de puntos totales de la distribución, mientras que N(xi)
es el valor correspondiente a la distribución normal acumulativa.
- El siguiente paso es encontrar el valor máximo Dmáx de todos los Di, y
una vez obtenido Dmáx, se debe comparar con los valores de D tabulados para un
valor de α determinado. Si el valor Dmáx es mayor que el tabulado, se considera la
distribución como no normal con una probabilidad dada por el valor α
seleccionado.
2.4.3
Gráficos de probabilidad normal
Es interesante utilizar como mínimo un test gráfico para la comprobación
de la normalidad en los coeficientes de regresión de la recta BLS, ya que los tests
de tipo gráfico son más sensibles frente a posibles desviaciones de la normalidad
que los tests numéricos.59 Los gráficos de probabilidad normal (normal probability
plots o test de Rankit),18,59 están diseñados para detectar las desviaciones de la
normalidad de las distribuciones. En ellos se representan los residuales ordenados
frente al orden estadístico normal con el tamaño apropiado para la muestra. Este
orden lo forman los valores esperados de las observaciones ordenadas provenientes
de una distribución normal con media cero y desviación estándar unitaria.
Una línea recta en estos gráficos representa una distribución normal
(figura 2.3), mientras que una desviación de la línea recta esperada indica la
ausencia de normalidad en la distribución. Una distribución no simétrica (con
skeewness) se representa por una curva cuya dirección la determina el sentido de la
37
0.999
0.999
0.99
0.99
0.90
0.90
Probabilidad
Probabilidad
asimetría (figura 2.4). Una curva en forma de “S” da idea de una distribución de
grandes colas o de colas muy pequeñas (distribución con aplastamiento o kurtosis)
dependiendo de la dirección de la “S” (figura 2.5). Las distribuciones con grandes
colas tienen relativamente mayores frecuencias en las observaciones extremas que
la distribución normal, mientras que las distribuciones con colas pequeñas las
tienen relativamente menores. El hecho de tener una distribución con colas
pequeñas se puede deber a la aparición de algún punto discrepante o a la
heterogeneidad de los errores en las dos variables.
0.50
0.10
0.50
0.10
0.01
0.01
0.001
0.001
-2
0
2
4
0
Datos experimentales
4
8
12
Figura 2.3.- Representación del test de Rankit Figura 2.4.- Representación del test de Rankit
para una distribución normal.
para una distribución asimétrica.
0.999
0.99
Probabilidad
0.90
0.50
0.10
0.01
0.001
-1
-0.5
0
0.5
1
Figura 2.5.- Representación del test de Rankit para una distribución con colas grandes.
Un caso particular de los gráficos de distribución normal, la forman los
gráficos de percentiles de la distribución (quantile-quantile plots)59 útiles para la
caracterización de una distribución como una previamente conocida. El método
representa los residuales ordenados de las dos distribuciones (generalmente una
distribución problema y una de las teóricas), y por tanto, una línea recta en la
38
gráfica equivale a poder considerar la coincidencia entre las dos distribuciones
comparadas.
2.5 Predicción en regresión lineal
La etapa de predicción es una de las etapas más importantes dentro del
proceso de utilización de la recta de regresión. Su uso más generalizado se da en
procesos de calibración, donde la concentración de una muestra y su intervalo de
confianza asociado se predicen a partir de un valor de la respuesta y su error
experimental. Sin embargo, también se utilizan en procesos de comparación de
métodos analíticos. En estos casos los resultados, y su intervalo de confianza
asociado, que se obtendrían al analizar una muestra mediante un método ya
establecido en un laboratorio (por ejemplo considerado de referencia), se predicen
a partir de los obtenidos mediante un método de reciente implantación. De esta
manera se podría comprobar si los resultados a cada uno de los niveles de
concentración pueden considerarse como equivalentes o no utilizando los dos
métodos.
A continuación presentaremos las expresiones desarrolladas para el
cálculo de la predicción considerando los errores en la variable predictora, tanto
considerando la heteroscedasticidad en la variable respuesta como manteniendo la
hipótesis de homoscedasticidad.
2.5.1
Intervalos de predicción considerando solamente los
errores en la variable respuesta
La predicción de la variable predictora a partir de un valor dado de la
variable respuesta y viceversa, así como el cálculo de sus intervalos de predicción
están ampliamente desarrollados en la bibliografía para el método de regresión
OLS.15,60,61 El intervalo de predicción de la variable respuesta (y0) a partir de q
réplicas de la variable predictora (x0) utilizando el método de OLS se obtiene con la
39
y = y 0 ± t α / 2,n−2 ⋅ s
( x − x) 2
1 1
+ + n 0
q n
( xi − x ) 2
∑
(2.58)
i =1
La expresión del cálculo del intervalo de predicción para un valor
considerado como verdadero (realizando infinitas réplicas) de la variable respuesta
se correspondería con la misma expresión en la que se elimina el término 1/q
( q = ∞ ).62
y = y 0 ± t α / 2 ,n − 2 ⋅ s
( x − x) 2
1
+ n 0
n
( xi − x ) 2
(2.59)
∑
i =1
Estas expresiones se encuentran de igual manera en su forma matricial.15
La ecuación 2.60 representa el intervalo de predicción de una muestra obtenida a
partir de q réplicas de la variable predictora (x0), mientras que la ecuación 2.61
representa el intervalo de predicción de una muestra considerada como verdadera
( q = ∞ ):
1

−1
y = y 0 ± t α / 2 ,n − 2 ⋅ s + X′0 ⋅ (X′ ⋅ X ) ⋅ X 0 
q

(2.60)
(
(2.61)
y = y 0 ± t α / 2 ,n −2 ⋅ s X′0 ⋅ (X′ ⋅ X ) ⋅ X 0
−1
)
Los intervalos de predicción para la variable respuesta se representan por
medio de las clásicas hipérbolas de confianza, tal como se ve en el ejemplo
representado en la figura 2.6.
40
30
20
y
10
0
5
10
x
15
20
25
Figura 2.6.- Representación gráfica de los intervalos de predicción de la variable respuesta
encontrados según el método OLS.
La predicción de un valor de la variable predictora (x0) a partir de un
valor dado de la variable respuesta (y0) es la llamada predicción inversa. El
intervalo de predicción inversa se expresa de la siguiente forma:15
( x0 − x) ⋅ g ±
t α / 2,n −2 ⋅ s
⋅ (1 − g ) ⋅
b1
( x − x) 2
n / q +1
+ n 0
n
( xi − x ) 2
∑
i =1
x = x0 +
1− g
(2.62)
donde el parámetro g se corresponde con:
t α2 / 2,n − 2
g=
b12
n
s2 /
∑ (x
i
− x) 2
=
t α2 / 2,n −2
b12
sb21
(2.63)
i =1
Los intervalos de predicción encontrados a partir de la ecuación 2.62 no
siempre son simétricos. Su simetría dependerá del valor del coeficiente g. El
término g está relacionado con el test de significancia para la pendiente de la recta
de regresión. Si dicho test es significativo al nivel α escogido (es decir, si
b1 / sb1 > t α / 2,n − 2 ), se concluye que la pendiente es significativa y el parámetro g será
41
menor que 1. Si el test es altamente significativo (es decir g es suficientemente
pequeño), puede eliminarse el parámetro g de la ecuación 2.62, y ésta se reduce
a:15,63,64
x = x0 ±
t α / 2,n−2 ⋅ s
b1
⋅
( x − x) 2
1 1
+ + n 0
q n
( xi − x ) 2
∑
(2.64)
i =1
que proporciona unos intervalos de predicción simétricos alrededor del punto x0.
Los intervalos de predicción encontrados por medio de la regresión con el
método OLS no son invariables ante un intercambio de los ejes. Esta conclusión es
importante pues hay muchos casos en que la elección de la variable predictora y la
variable respuesta no es trivial, mientras que los resultados derivados de la recta de
regresión son diferentes según se haga la elección. Un ejemplo es la comparación
de métodos analíticos, donde debería ser indiferente cual de los métodos se elija
como variable respuesta y cual como variable predictora.
Los intervalos de predicción de la variable respuesta a partir de q réplicas
de una muestra de concentración x0, considerando heteroscedasticidad en la
variable respuesta se pueden calcular utilizando el método de WLS:
y = y 0 ± t α / 2,n−2 ⋅ s ⋅
w0
+
q
1
n
∑
i =1
1
wi
+
( x0 − x p ) 2
n
( xi − x p ) 2
wi
i =1
∑
(2.65)
Teniendo en cuenta los errores heteroscedásticos en la variable respuesta
se han desarrollado más métodos de cálculo de los intervalos de predicción de la
variable respuesta que de la variable predictora. El método de regresión WLS es el
más utilizado. La expresión del intervalo de predicción de la variable predictora
(x0) a partir de q réplicas sobre un valor conocido de la variable respuesta (y0)
utilizando el método de WLS es la siguiente:
42
x = x0 ±
t α / 2,n−2 ⋅ s
b1
w0
+
q
⋅
1
n
1
wi
∑
i =1
+
( x0 − x p ) 2
n
( xi − x p ) 2
wi
i =1
∑
(2.66)
Otros autores65,66 proponen métodos de cálculo alternativos que también
consideran la heteroscedasticidad en la variable respuesta. La siguiente ecuación es
un ejemplo:
x = x0 ±
t α / 2 , n + q −3 ⋅ s
b1
⋅
x0p
+
q
1
n
∑
i =1
1
wi
+
( x0 − x p ) 2
n
( xi − x p ) 2
wi
i =1
∑
(2.67)
donde p es la potencia del factor de ponderación (wi). En la bibliografía se definen
diversos factores de ponderación que pueden utilizarse.67 A este método para
calcular los intervalos de predicción se le conoce como método paramétrico
aproximado (aproximate parametric method, APM). Otra de las propuestas es una
solución paramétrica asimétrica, que se conoce como método exacto paramétrico
(exact parametric method, EPM). Este método encuentra el intervalo de predicción
de la variable predictora mediante un procedimiento iterativo en los extremos
superior e inferior del intervalo hasta minimizar las funciones de diferencias.
El método no paramétrico de bootstrap16,68,69 es una técnica de
computación intensiva que proporciona una estimación no paramétrica del error
estadístico de un modelo en términos de sesgo y varianza. El procedimiento imita
el proceso de seleccionar un número elevado de muestras del mismo tamaño a
partir de una población dada con el fin de calcular un intervalo de predicción. El
conjunto de datos compuesto por n observaciones no se considera una muestra de
la población, sino la misma población, a partir de la cual muestras de tamaño n,
llamadas muestras bootstrap, se seleccionan con sustitución. Esto se consigue
asignando un número a cada observación del conjunto de datos y después
generando muestras aleatorias emparejando los datos a los números
correspondientes a las observaciones. Mediante este método se obtienen unos
intervalos de predicción cuyo balance entre precisión y exactitud es aceptable
cuando el número de réplicas sobre la variable respuesta está comprendido entre 2
y 4.
43
2.5.2
Intervalos de predicción considerando los errores en las
Generalmente los errores en la variable predictora no se tienen en cuenta
a la hora de buscar los intervalos de predicción. Sin embargo hay una serie de casos
en que sí se consideran. Por ejemplo, Spiegelman y colaboradores19 desarrollaron
las expresiones para el cálculo de los intervalos de predicción en procesos de
calibración para la determinación de potasio por medio de espectrometría de
emisión de llama (FES), donde la respuesta instrumental (variable respuesta) suele
ser tan estable que difícilmente se pueden eliminar los errores cometidos en la
preparación de los patrones de calibración (variable predictora). Estos intervalos de
predicción se obtienen a partir de un ensanchamiento de los calculados utilizando
únicamente los errores cometidos en la respuesta instrumental. Dichas expresiones
se basan en un procedimiento desarrollado por Lwin y Spiegelman70 aplicable
cuando los errores en la variable predictora son muy bajos. Asumiendo un error
máximo (ϕi) asociado a los patrones de calibración del 0.5% del valor individual de
la concentración de cada patrón (ϕi = 0.5% · xi), los intervalos de predicción
aumentan en un valor ∆(x):
∆ ( xi ) = ϕ i
n
∑c
i
m( xi )
(2.68)
i =1
donde m(xi) es una función positiva dada y las constantes ci dependen de los
valores verdaderos de la concentración de los patrones.
La aproximación CVR también se ha utilizado para calcular los intervalos
de predicción de las variables respuesta y predictora:40
1
( x − x) 2  2
s y20 = b12 s δ2 +  + (1 + kb1 ) 2 ⋅ 0
 ⋅ se
S uu 
n
(2.69)
donde:
S uu =
n
∑
i =1
44
( xi − x ) 2 + 2k
n
∑
i =1
( xi − x)( y i − y ) + k 2
n
∑(y
i =1
i
− y) 2
(2.70)
 2
 b1
se = 
n
∑
( xi − x) 2 − 2b1
i =1
n
∑
( xi − x)( y i − y ) +
i =1
n
∑(y
i =1
n−2
sδ =
se
b + λ − 2b1θ
2
1
i

− y ) 2 

(2.71)
(2.72)
El parámetro k de las ecuaciones 2.69 y 2.70 se introduce en el proceso
de cálculo de los coeficientes de regresión y se corresponde con:40
k=
b1 − θ
λ − b1θ
(2.73)
donde λ es la relación entre las varianzas de las variables respuesta y predictora y θ
es la covarianza entre las varianzas de las dos variables multiplicada por el factor
λ .40 El valor sδ está relacionado con el error asociado a la variable predictora,
mientras que se está asociado a la estimación del error instrumental. La expresión
para el cálculo de la varianza asociada a la predicción del valor de la variable
predictora x0, a partir del punto y0 de la variable respuesta, viene dada por la
s x20 =
2
s ε2 1  1
2 ( y0 − y) 
2
(
1
)
kb
+
+
+
⋅
 ⋅ se

1
b12 b12  n
b12 S uu 
(2.74)
donde sε, que está relacionado con el error asociado a la variable respuesta, viene
dado por la siguiente expresión:
sε = sδ λ
(2.75)
2.6 Límites de detección
En el campo químico, durante los últimos años, se ha adquirido
conciencia de la importancia de establecer correctamente el límite de detección de
un método analítico. La capacidad de un método para detectar la presencia o
45
ausencia de un determinado analito en una muestra es uno de los posibles
parámetros a optimizar en el proceso de comprobar si una metodología se ajusta a
un propósito (fit for purpose).71,72 El desarrollo de técnicas de análisis más
sensibles, o la utilización de materiales de referencia certificados en lugar de
patrones en la variable predictora en el proceso de la calibración, han incrementado
la necesidad de examinar los actuales procedimientos para establecer los límites de
detección.
A lo largo de la historia se han propuesto multitud de técnicas destinadas
a calcular el límite de detección de una metodología. Una de las primeras la
propuso Kaiser73 (1947), quien relacionaba el límite de detección con la desviación
estándar del ruido de fondo. Sobre esta teoría se han ido haciendo modificaciones y
diferentes propuestas hasta llegar a la situación actual en que Currie74 hizo una
serie de recomendaciones para el cálculo del límite de detección.
Debido a los errores aleatorios (los errores sistemáticos deben haber sido
previamente detectados y eliminados) presentes en todo procedimiento analítico,
únicamente es posible obtener una estimación del límite de detección, y por tanto
se puede llegar a conclusiones erróneas al utilizar dicho límite de detección. Por
este motivo, siempre existirán unas determinadas probabilidades de cometer un
error de primera especie (también llamado falso positivo o error α), que se
corresponden con la situación en que se detecta un analito cuando en realidad este
no está presente en la muestra, o unas determinadas probabilidades de cometer un
error de segunda especie (también llamado falso negativo o error β), que se
corresponden con la situación en que no se detecta un analito que está presente en
la muestra.
Según las últimas recomendaciones de la IUPAC74 el cálculo del límite
de detección se desglosa en dos etapas. La primera de ellas es la etapa de decisión
(apartado 2.6.2), mientras que la segunda es la etapa de detección (apartado 2.6.3).
Previamente a la explicación de estas dos etapas en el apartado 2.6.1 se explican
brevemente los conceptos de test de hipótesis y de errores de primera y segunda
especie que son utilizados en el cálculo del límite de detección.
46
2.6.1
Test de hipótesis
En un test de hipótesis, las decisiones suelen estar basadas en muestras
que siguen un determinado tipo de distribución. En el caso concreto de una
distribución unidimensional, en algunos casos de interés práctico es necesario
verificar si la media y la desviación estándar (por ejemplo), tienen en realidad un
valor conocido de antemano. Mediante los tests de hipótesis se puede decidir si el
valor estimado ( θ̂ 0 ) es significativamente diferente del valor θ 0 de un parámetro
θ cualquiera.17
El procedimiento para llevar a cabo estos tests de hipótesis empieza por
fijar una hipótesis nula (H0).75 Al definir la hipótesis nula hay que fijar un nivel de
significancia (α), que representará la probabilidad de rechazar erróneamente H0.
Este error es conocido con el nombre de error de primera especie o error α. Para el
caso en que la hipótesis nula no sea cierta, habrá que definir una hipótesis
alternativa (H1)75, que se aceptará al rechazar la hipótesis nula. De igual forma que
para la hipótesis nula, habrá unas probabilidades de aceptar erróneamente la
hipótesis alternativa. A este error se le conoce con el nombre de error de segunda
especie o error β. Es decir, el hecho de aceptar una hipótesis no implica que se
haya probado que dicha hipótesis es cierta, sino que no se tienen evidencias para
rechazarla. La tabla 2.1 esquematiza las probabilidades de cometer errores de
primera o segunda especie.
Conclusión del test
Situación real
H0 cierta
H0 falsa
H0 cierta
Decisión correcta
Error α
H0 falsa
Error β
Decisión correcta
Tabla 2.1.- Representación de las diferente situaciones derivadas del uso de un test de hipótesis.
2.6.2
Etapa de decisión
El valor crítico (LC) se define como el valor mínimo de una señal neta (sin
la contribución del blanco) o de una concentración, que puede considerarse
47
significativamente diferente del blanco.
matemáticamente de la siguiente forma:
Esta
Pr (Lˆ > LC | L = 0 ) = α
definición
se
expresa
(2.76)
Si la cantidad estimada ( L̂ ) tanto en términos de concentración como de
señal neta, sigue una distribución normal, con una varianza conocida, la ecuación
2.76 se reduce a la siguiente expresión:
LC = z1−α σ 0
(2.77)
donde z1-α es el valor crítico de la distribución normal y σ0 es la desviación estándar
verdadera de la cantidad estimada. Si no se conoce el valor de la desviación
estándar y se estima su valor a partir de s0, con ν grados de libertad, entonces la
cantidad estimada sigue una distribución t de Student:
LC = t1−α ,ν s 0
(2.78)
Como conclusión, la decisión sobre si un analito es detectado o no se
produce mediante la comparación de la cantidad estimada en términos de señal neta
o de concentración ( L̂ ) con el valor crítico ( LC ) de la distribución respectiva, de
manera que la probabilidad de exceder este valor no sea mayor que α si el analito
no se encuentra en la muestra.
2.6.3
Etapa de detección
La IUPAC, en sus últimas recomendaciones,74 define el límite de
detección, con el nombre de valor mínimo detectable, como la capacidad de
detección inherente que tiene un proceso de medida químico. Desde el punto de
vista matemático, se define el límite de detección como el valor LD para el cual la
probabilidad de cometer un error de segunda especie es β, dado un LC (o α). Esta
definición se expresa de la siguiente forma:
Pr (Lˆ ≤ LC | L = LD ) = β
48
(2.79)
Si la cantidad estimada ( L̂ ) sigue una distribución normal, con una
varianza conocida, la ecuación 2.79 se reduce a la siguiente expresión:
LD = LC + z1−β σ D = z1−α σ 0 + z1−β σ D
(2.80)
donde z1-β es el valor crítico de la distribución normal y σD es la desviación estándar
verdadera de la cantidad estimada. Si no se conoce el valor de la desviación
estándar y se estima su valor a partir de sD, con ν grados de libertad, entonces la
cantidad estimada sigue una distribución t de Student:
LD = LC + t 1−β,ν s D = t1−α ,ν s 0 + t1−β,ν s D
(2.81)
Una vez definidos el valor crítico y el límite de detección, en la
bibliografía pueden encontrarse multitud de ejemplos de aplicación. Currie,76
presenta un ejemplo que clarifica el uso de estos dos conceptos. A continuación se
explica una adaptación de dicho ejemplo al campo de la química analítica.
Imaginemos que se pretende detectar la presencia de un contaminante en
agua de consumo, y supongamos un límite para dicho contaminante extraído de
una normativa (LR). Sobre este valor, la toxicidad puede ser peligrosa para la salud
de los consumidores. Evidentemente, el método analítico seleccionado debería
tener un límite de detección (LD) inferior al valor normativo (LR). Los límites
normativos se escogen teniendo en cuenta los riesgos que conlleva la comisión de
un error tanto de primera como de segunda especie.
En la figura 2.7 se representa un esquema del proceso. De tal manera que
en la parte superior podríamos encontrar una relación hipotética entre la
concentración del contaminante en el agua de consumo y el coste social que se
derivaría de su presencia. Lógicamente resulta imposible analíticamente suponer el
límite normativo como nulo (lo que implicaría un coste social también nulo). La
parte inferior de la figura representa el análisis químico en términos de
concentración. El límite de detección LD requerido por el método ha de estar por
debajo de LR y es función del valor crítico (LC) establecido y de la probabilidad β
prefijada de cometer un error de segunda especie.
49
Coste
social
Aceptable
0
Concentración de
contaminante
LR
σ0
σD
β
0
α
LC
LD
Concentración de
contaminante
Figura 2.7.- Representación del nivel crítico (LC), del límite de detección (LD) y del nivel
normativo (LR) y sus relaciones con las probabilidades de error α y β.
Hubaux y Vos77 fueron pioneros en la evaluación de los límites de
detección utilizando regresión lineal. Su aproximación sigue las propuestas de
Currie,78 y definen el límite de decisión en respuestas como la señal mínima que
puede distinguirse de la señal del blanco, y el límite de detección en
concentraciones como la señal mínima por debajo de la cual cualquier muestra
puede considerarse erróneamente como un blanco. Zorn y colaboradores79
realizaron una aproximación en la que se tiene en cuenta la posible
heteroscedasticidad de los datos en la respuesta. Esta propuesta se basa en la
descrita de Hubaux y Vos (representada en la figura 2.8), donde la variabilidad del
error en las respuestas se tiene en cuenta mediante un modelado de las varianzas
experimentales. Esta aproximación minimiza los límites de detección en un
proceso, debido a que utiliza información ignorada en las anteriores
aproximaciones, y que tienen una especial incidencia en los niveles de
concentración cercanos al límite de detección.
50
Respuesta
y = b0 + b1 x
α
yC
β
y0
0
LC
LD
Concentración
Figura 2.8.- Representación gráfica de la recta de regresión y de los intervalos de
predicción, así como de los límites de decisión y de detección según la aproximación de
Hubaux y Vos.
discrepantes
en
presencia
de
puntos
Desde siempre ha habido una preocupación por la presencia de
observaciones no representativas, aberrantes o alejadas de la media en un conjunto
de datos, pues estos puntos contaminan los datos reduciendo o distorsionando la
información que contienen. Por este motivo es comprensible la búsqueda de
mecanismos para interpretar y clasificar los puntos discrepantes, o de métodos que
consigan rechazar los puntos discrepantes con el fin de restablecer la información
que contienen los datos o, como mínimo, métodos que minimicen su impacto.80
Legendre, en 1805, en la primera publicación sobre el método de
mínimos cuadrados, hace referencia a los puntos discrepantes, diciendo: “Si entre
los errores hay algunos que son demasiado grandes para ser admisibles, las
observaciones que producen estos errores se deben eliminar, como si provinieran
de experimentos defectuosos, mientras que las observaciones desconocidas
deberán encontrarse a partir del resto de observaciones, que tienen asociados
errores mucho menores.” Más adelante, Peirce81 en una cita que data del año 1852
51
expresa la inquietud ante la presencia de observaciones discrepantes: “En casi
todas las series reales de observaciones, se encuentran observaciones que difieren
mucho de las demás indicando una fuente anormal de error no contemplada en las
discusiones teóricas, y cuya inclusión en las investigaciones únicamente pueden
servir ... para confundir y desconcertar al investigador.” Para solucionar este
problema existen dos posibilidades: la solución de rechazar los puntos
discrepantes, con lo que se corre el riesgo de perder información que puede llegar a
ser genuina y en algunos casos útil, o incluirlos en al análisis, lo que conlleva el
riesgo de contaminación de los datos.
Para remediar el problema surgido ante la presencia de puntos
discrepantes, se han desarrollado técnicas estadísticas que no se afectan fácilmente
por la presencia de estos puntos discrepantes. Estas son las llamadas técnicas
robustas, debido a que sus resultados son fiables a pesar de tener una cierta
cantidad de los datos contaminados. Además, pueden considerarse como técnicas
de detección de puntos discrepantes, pues hacen que estos puntos tengan los
mayores residuales. Una alternativa es la construcción de métodos para
diagnosticar la presencia de puntos discrepantes. Son dos soluciones con el mismo
fin pero que actúan de forma totalmente opuesta: una intentando localizar los
puntos discrepantes mientras que la otra pretende ignorar su presencia.82
2.7.1
Técnicas de detección de puntos discrepantes
Las técnicas de detección de puntos discrepantes se dividen básicamente
en dos grupos: las que se basan en los residuales a la recta de regresión (como por
ejemplo los residuales estandardizados) y los que se basan en ir eliminando puntos
del conjunto de datos inicial. De estos últimos el más conocido es el test de la
distancia al cuadrado de Cook,17,62,82,83,84 que pasa por ser la técnica más utilizada
en la actualidad para la detección de puntos discrepantes en regresión lineal.
El test de Cook mide los cambios que sufren los coeficientes de regresión
cuando se eliminan una o varias observaciones del conjunto de datos. Para ello
utiliza la conocida distancia al cuadrado de Cook, que es la distancia que existe
entre los coeficientes de regresión antes y después de eliminar los puntos
52
2.7 Regresión lineal en presencia de puntos discrepantes
sospechosos de ser discrepantes, de manera que un valor elevado de la distancia de
Cook indica que la observación eliminada (o las observaciones eliminadas en el
caso de tener múltiples observaciones sospechosas de ser puntos discrepantes),
tiene una considerable influencia en la determinación de los coeficientes de
regresión. Para llevar a cabo esta comparación, se representa el intervalo de
confianza conjunto de los coeficientes de regresión de la recta obtenida a partir del
conjunto de datos inicial, y se observa si los valores de los coeficientes de
regresión una vez eliminados los puntos sospechosos caen dentro de la elipse
representada. En el caso de pertenecer a la elipse de confianza, se diría que los
puntos eliminados no tienen una gran influencia sobre la recta y en el caso
contrario deberían ser considerados como puntos discrepantes.
De entre las aplicaciones desarrolladas para la detección de puntos
discrepantes cuando se consideran los errores en las variables predictora y
respuesta, cabe destacar la propuesta de Barnett85 (1985), que introduce un método
de detección basado en el modelo estructural, y cuya importancia se debe a que
dicho modelo presenta problemas de identificación para observaciones sin réplicas
y ante una estructura normal de errores.
2.7.2
Robustez en regresión lineal
La mayoría de los autores se decantan por las ventajas de la utilización de
las técnicas de regresión robusta frente a las técnicas de detección de puntos
discrepantes,86-88 de tal forma que entre ellos Huber89 destaca que la regresión
robusta es capaz de suavizar la transición entre aceptar y rechazar un punto
sospechoso de ser discrepante.
La primera aproximación a la robustez en regresión lineal corre a cargo
de Edgeworth90 el año 1887. Observó que el método de OLS se veía rápidamente
afectado por la presencia de puntos discrepantes y propuso encontrar la recta de
regresión minimizando la suma de los residuales absolutos, de igual forma que
había propuesto Laplace el 1812 para el caso unidimensional. La recta de regresión
resultó ser robusta ante puntos discrepantes en la dirección de las respuestas, pero
se ve inmediatamente afectado si los puntos discrepantes lo son en la dirección de
53
las x. Otra solución al problema es la de los estimadores basados en procesos de
máxima verosimilitud o estimadores-M (M-estimators) que se basan en sustituir el
cuadrado de los residuales por otra función de los residuales. Entre estos métodos
destacó el de Huber91 en 1973. Sin embargo estos métodos se caracterizan por ser
vulnerables ante la presencia de puntos influyentes, motivo por el que se
introdujeron los estimadores-M generalizados (GM-estimators), que intentan
superar la presencia de puntos discrepantes en el eje de abscisas mediante la
inclusión de una función de pesos. Entre las propuestas destacan las de Mallows92
del año 1975 o la de Schweppe93 del año 1977. Optimizando los pesos y la función
incluidos en los residuales a minimizar se obtuvieron aproximaciones óptimas de
los estimadores-GM.94-97 Desde entonces, a estos métodos se los conoce como
estimadores de influencia definida. A lo largo de la historia se han desarrollado,
básicamente, otros dos tipos de estimadores:98 los estimadores-L y los estimadoresR. Los primeros estimadores se obtienen a partir de combinaciones lineales de
órdenes estadísticos, obteniendo los mejores resultados la propuesta realizada por
Chernoff, Gastwirth y Johns99 datada el año 1967. Por su parte, los estimadores-R
se derivan a partir de tests de rangos. Las principales aproximaciones son las
propuestas por Chernoff y Savage100 (1958), Hodges y Lehmann101 (1963) y Hájek
y Šidák102 (1967).
Rousseeuw,103 el año 1984 desarrolló el conocido como método de la
mínima mediana de cuadrados (least median of squares, LMS), basándose en la
robustez intrínseca de la mediana frente a la suma de los residuales, minimizada en
OLS para encontrar la recta de regresión, y en una idea anterior de Hampel104 del
año 1975. LMS resultó ser un estimador robusto ante la presencia de puntos
discrepantes tanto en el eje de abscisas como en el eje de ordenadas. Su robustez se
demuestra pues su punto de ruptura (breakdown point)105,106 es del 50%.82 El
método de LMS es en la actualidad el método de regresión robusta más conocido y
extendido. Este método encuentra la recta de regresión minimizando la mediana de
los residuales a la recta de regresión, donde la mediana se encuentra como el
([n/2]+1)-ésimo valor de los residuales ordenados, donde [n/2] representa la parte
entera del valor n/2 y n es el número de puntos presentes en el conjunto de datos.
Para ello, encuentra las rectas que pasan por todos los pares de puntos del conjunto
de datos, y encuentra la mediana de los residuales de cada uno de los puntos a las
54
2.7 Regresión lineal en presencia de puntos discrepantes
rectas. La recta cuya mediana sea mínima se considera como la recta de regresión
robusta de LMS.
La profundidad (depth) de una recta de regresión107 se define como el
menor número de observaciones que se deben eliminar de un conjunto de datos
para convertir la recta en una recta no ajustada, donde por una recta no ajustada se
entiende aquella en la que para valores menores a uno determinado (v) todos los
residuales son positivos y para valores mayores a v los residuales de todos los
puntos son negativos (o viceversa). De una forma más gráfica, se define la
profundidad de una recta de regresión como el número mínimo de puntos que debe
cruzar la recta de regresión en su transformación, mediante una rotación, en una
línea vertical. Recientemente Rousseeuw y Hubert108 han desarrollado un método
de regresión llamado regresión profunda (deepest regression, DR) basado en este
concepto, y consistente en encontrar la recta de regresión con máxima profundidad.
Van Aelst y Rousseeuw109 estudiaron la robustez del método de la regresión
profunda concluyendo que su punto de ruptura es del 33.33%. De este resultado se
concluye que este método de regresión incluye bastante robustez, obteniéndose la
recta de regresión sin hacer suposiciones acerca de la distribución ni de la
magnitud de los residuales, pues únicamente considera la situación de los puntos y
el signo de sus residuales.
En la actualidad se han desarrollado un conjunto de técnicas de regresión
robusta que consideran los errores en las dos variables. La mayoría están basados
en métodos de regresión de máxima verosimilitud, teniendo como principal
inconveniente la necesidad de tener los datos distribuidos de alguna determinada
forma, según si se trata de un modelo funcional, estructural o ultraestructural.
Brown110 (1982) propone un método de regresión robusta basado en la
regresión ortogonal. Más adelante Hartmann111 (1996) hace una aplicación del
LMS ortogonal desarrollado según las ideas de Rousseeuw y Leroy82 y Hu112. En el
caso del modelo funcional, destacan también las propuestas realizadas por
Carroll113 (1982) y Abdullah114,115 (1989), pues desarrollaron estimadores robustos
de máxima verosimilitud. En el caso del modelo estructural aparecen problemas de
identificación del modelo robusto116 (1984). Sin embargo Nyquist117 (1987)
propone un método alternativo al método de los momentos para la obtención de la
55
recta de regresión robusta para el modelo estructural, donde estos problemas de
identificación se ven solventados. Más próxima en el tiempo está la estimación
propuesta por Feldmann118 (1992) que propone un método para el cálculo de la
recta de regresión robusta mediante una generalización del método LMS.
2.8 Simulación de Monte Carlo
Se trata de una técnica destinada a imitar el proceso de selección aleatoria
de muestras a partir de una población predefinida con el fin de obtener
estimaciones de los parámetros de la población. A partir de una fórmula
matemática que no se puede evaluar fácilmente, normalmente es posible encontrar
un proceso para generar variables estadísticas con distribuciones de frecuencia que
pueden relacionarse con la fórmula matemática. La simulación genera una muestra,
determina su distribución empírica y la usa en la evaluación numérica de la
fórmula.16,119-121
La simulación se utiliza en muchos casos para evaluar el comportamiento
de un método estadístico, para comparar varios métodos estadísticos similares o
para resolver problemas matemáticos. La ventaja de la utilización de la simulación
en vez de conjuntos de datos reales radica en que en el caso de los datos simulados
se conoce la distribución de su población. Una de las principales utilidades del
método de Monte Carlo en esta Tesis Doctoral, es la comprobación de diversas
expresiones encontradas empíricamente.
En el caso tratado más directamente en este trabajo, el método de Monte
Carlo es un método de simulación que permite encontrar m nuevos conjuntos de
datos a partir del inicial. A la hora de encontrar estos nuevos conjuntos de datos, el
método de Monte Carlo considera los errores asociados a las dos variables. Para
generar estos conjuntos de datos el método de Monte Carlo utiliza las siguientes
expresiones:
56
xin = xi + zs xi
(2.82)
yin = yi + zs yi
(2.83)
2.8 Simulación de Monte Carlo
donde xin e yin representan un nuevo punto generado por el método de Monte
Carlo, a partir del punto inicial (xi, yi) con desviaciones estándar s xi y s yi , mientras
que z es un valor aleatorio extraído a partir de una distribución normal con media 0
y desviación estándar unitaria. Este proceso se aplica a cada uno de los n puntos del
conjunto de datos experimentales. A modo de ejemplo, en la figura 2.9 se presenta
el esquema seguido a lo largo del capítulo tercero de la presente Tesis Doctoral al
utilizar la simulación de Monte Carlo:
Conjunto de datos
inicial: x i , y i
x in= x i ± zsxi
y in= y i ± zsyi
BLS
m
iteraciones
Coeficientes de
regresión, b0 y b1
Se encuentran m
b0 y b1 nuevas
Figura 2.9.- Esquema de la utilización de la simulación de Monte Carlo en el
capítulo 3 de la presente Tesis Doctoral.
2.9 Referencias
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98.- P.J. Huber, The Annals of Mathematical Statistics, 43 (1972) 1041-1067.
61
99.- H. Chernoff, J.L. Gastwirth, M.V. Johns, The Annals of Mathematical
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120.- O. Güell, J.A. Holcombe, Analytical Chemistry, John Wiley & Sons, New
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62
2.9 Referencias
121.- H.A. Meyer (editor), Symposium on Monte Carlo Methods, Willey,
Chichester, New York, 1956.
63
3
Capítulo
3.1 Introducción
3.1 Introducción
A pesar del reciente desarrollo de los intervalos de confianza conjuntos
de los coeficientes de la recta de regresión cuando se utiliza el método de regresión
de BLS,1 no existen tests paramétricos que aseguren de forma individual la
ausencia de sesgo en los coeficientes de regresión, cuando se tienen en cuenta los
errores experimentales heteroscedásticos en cada punto. Con el fin de obtener las
expresiones que permitan llevar a cabo dichos tests, es imprescindible conocer las
distribuciones de los coeficientes de regresión. Dicha importancia se acrecienta en
la regresión lineal considerando los errores en las dos variables pues en la
bibliografía se encuentran indicaciones de que los coeficientes de regresión se
distribuyen de una forma no Gaussiana2.
En estudios de comparación de métodos analíticos, en ocasiones es
interesante comprobar la existencia de errores sistemáticos proporcionales o
constantes. Para comprobarlo a lo largo de un intervalo de concentraciones, se
analizan una serie de muestras reales mediante el método que se tiene a prueba (lo
llamaremos método candidato) y mediante un método del que se tiene certeza que
da lugar a resultados exactos (por ejemplo un método de referencia), y se
representan los resultados obtenidos con ambos métodos. Si el nuevo método (o
método candidato) no presenta errores sistemáticos constantes, la ordenada en el
origen no debe diferir significativamente de cero. Si el método candidato no
presenta errores proporcionales sistemáticos, la pendiente de la recta no debe ser
significativamente diferente de la unidad. Ambas situaciones pueden comprobarse
mediante un test individual para la ordenada en el origen y la pendiente
respectivamente. Otras aplicaciones de los tests individuales para la ordenada en el
origen o la pendiente en calibración pueden ser la necesidad de efectuar
correcciones del blanco, la comprobación de efectos matriz o la aplicación de
constantes de recuperación. Sin embargo, si lo que se pretende es comparar dos
métodos de análisis, se deben comparar simultáneamente los dos coeficientes de
regresión. Para ello se debe utilizar el test conjunto para la ordenada en el origen y
la pendiente.3
67
3. Normalidad de los coeficientes de regresión
En el siguiente apartado de este capítulo se presenta el artículo:
“Detecting proportional and constant bias in method comparison studies by using
linear regression with errors in both axes”, que se ha publicado en la revista
Chemometrics and intelligent laboratory systems. La investigación que se presenta
en el artículo ha sido llevada a cabo en colaboración con Ángel Martínez, miembro
del Grupo de Quimiometria i Qualimetria de la Universitat Rovira i Virgili. Mi
contribución en el artículo se corresponde con el objetivo del presente capítulo y es
estudiar la normalidad de los coeficientes de regresión de la recta BLS. Además, en
el artículo se utiliza la información extraída del estudio de la normalidad de los
coeficientes de regresión, para poder detectar un sesgo constante o proporcional en
los procesos de comparación de métodos utilizando regresión lineal cuando se
consideran los errores experimentales en las variables predictora y respuesta.
También se han desarrollado las expresiones para el cálculo del tamaño de muestra
necesario para obtener unos errores α y β fijados en la predicción de ambos
coeficientes de regresión individualmente. Como dato de nomenclatura, hay que
destacar que el artículo de la siguiente sección presenta una notación ligeramente
diferente de la detallada en la sección 2.1. Esto es debido a que dicho artículo se
realizó con anterioridad a un perfeccionamiento de la notación llevado a cabo tras
una exhaustiva revisión bibliográfica sobre el tema.
Las siguientes secciones del capítulo presentan la bibliografía y las
conclusiones que se extraen al analizar el capítulo en el contexto de la Tesis
Doctoral.
68
3.2 Chemom. Intell. Lab. Sys. 49 (1999) 179-193
3.2 Detecting proportional and constant bias in
method comparison studies by using linear
regression with errors in both axes
Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems 49 (1999) 179-193
Ángel Martínez*, F. Javier del Río, Jordi Riu, F.Xavier Rius
Department of Analytical and Organic Chemistry. Universitat Rovira i Virgili.
Pl. Imperial Tarraco, 1. 43005-Tarragona. Spain.
Constant or proportional bias in method comparison studies using
linear regression can be detected by an individual test on the intercept or the
slope of the line regressed from the results of the two methods to be compared.
Since there are errors in both methods, a regression technique that takes into
account the individual errors in both axes (bivariate least squares, BLS)
should be used. In this paper we demonstrate that the errors made in
estimating the regression coefficients by the BLS method are fewer than with
the OLS or WLS regression techniques and that the coefficient can be
considered normally distributed. We also present expressions for calculating
the probability of committing a β error in individual tests under BLS
conditions and theoretical procedures for estimating the sample size in order
to obtain the desired probabilities of α and β errors made when testing each of
the BLS regression coefficients individually. Simulated data were used for the
validation process. Examples for the application of the theoretical expressions
developed are given using real data sets.
Keywords: Bivariate least-squares; Linear regression; Probability
Received 12 November 1998; received in revised form 10 June 1999; accepted 11 June 1999
69
1. Introduction
Linear regression is widely used in the validation of analytical
methodologies. In method comparison studies, for example, a set of samples of
different concentration levels are analysed by the two methods to be compared, and
the results are regressed on each other. Ordinary least-squares (OLS), or weighted
least-squares (WLS), which considers heteroscedasticity in the response variable,
are the most widely used regression techniques. However, these techniques have a
limited scope, since they consider the x-axis to be free of error. OLS and WLS
should not usually be applied, for instance, in method comparison studies, since the
uncertainties associated with the methods to be compared are usually of the same
order of magnitude. An alternative is the errors-in-variables regression [1], also
called CVR approach [2-4], which considers the errors in both axes. It does not
take into account the individual uncertainties of each experimental point but
considers the ratio of the variances of the response to predictor variables to be
constant for every experimental point (λ=sy2/sx2). A particular case of the CVR
approach is the orthogonal regression (OR) [5], in which the errors are of the same
order of magnitude in the response and predictor variable (i.e. λ=1). Another
option is a bivariate least squares (BLS) regression technique [6,7], which takes
into account individual non-constant errors in both axes to calculate the regression
coefficients.
Despite the recent development of a joint confidence interval test for the
BLS regression method [8], no statistical test to individually assess the presence of
bias in the regression coefficients which takes into account the individual
uncertainties in every experimental point has yet been described. For this reason,
we present expressions for the application of the individual tests which take into
account individual errors in both axes. Although the distributions of the BLS slope
and intercept have been reported to be nongaussian [9], in this paper we show that
the results of applying statistical tests based on the assumption of normality of the
BLS regression coefficients do not show significant errors and that these errors are
fewer than those obtained with the OLS or WLS regression techniques.
70
Of the two types of error associated with the statistical tests (α and β), the
β error, related to the probability of not detecting an existing proportional or
constant bias is seldom considered. However, the theoretical background and the
expressions which enable its calculation in the individual tests which use the OLS
method have already been developed [5]. In this paper we describe the expressions
for estimating the probability of β error when performing an individual test on one
of the regression coefficients to detect a set proportional or constant bias based on
the BLS regression technique. These expressions take into account the different
distributions that may be associated to the reference and to the selected biased
regression coefficient values. These estimates are compared with the ones from the
OLS and the WLS techniques for several real data sets. Finally, we describe the
procedure for estimating the sample size, i.e. the number of experimental data pairs
necessary for detecting the specific selected bias when performing an individual
test with set probabilities of making α and β errors when the BLS regression
method is used. Simulated data sets have been used to validate the theoretical
expressions.
2. Background and theory
2.1. Notation
In general, the true values of the different variables used in this work are
represented with greek characters, while their estimates are denoted with latin
letters. In this way, the true values of the BLS regression coefficients are
represented by β0 (intercept) and β1 (slope), while their respective estimates are
denoted as a and b. The estimates of the standard deviation of the slope and the
intercept for the BLS regression line, are symbolised as sb and sa respectively. The
experimental error, expressed in terms of variance for the n experimental data pairs
(xi,yi), is referred to as σ2, while its estimate is s2. By analogy, ŷi represents the
estimated value for the yi predicted. The estimated variance-covariance matrix of
the regression coefficients related to the BLS regression technique is denoted as B.
71
In the individual tests, the terms a H 0 , a H1 , bH 0 and bH1 represent the
values of the theoretical regression coefficients from which the null (H0) and the
alternative hypothesis (H1) are assumed. The distance between a H 0 and a H1 or
between bH 0 and bH1 , known as bias, is denoted by ∆ and represents the value of
the systematic error that the experimenter wants to check. By analogy, the values
of the standard deviations of the theoretical regression coefficients defining H0 and
H1 are denoted as saH (or sbH ) and saH (or sbH ).
0
0
1
1
2.2. BLS
BLS is the generic name given to a set of regression techniques applied to
data which contain errors in both axes. From all the different existing approaches
for calculating the regression coefficients, Lisý’s method [6] was found to be the
most suitable [7]. This technique assumes the true linear model to be:
ηi = β 0 + β1ξ i .
(1)
The true variables ξi and ηi are unobservable and instead, one can only
observe the experimental variables:
xi = ξ i + δ i and yi = ηi + γ i .
(2)
Variables δi and γi are random errors committed in the measurement of
variables xi and yi respectively, where δ i ~ N (0, σ x2i ) and γ i ~ N (0, σ y2i ) . In this
way, the observed variables xi and yi are related as follows:
yi = a + bxi + ε i ,
(3)
where εi is the ith residual error. The BLS regression method finds the estimates of
the regression line coefficients by minimising the sum of the weighted residuals, S,
expressed in Eq. (4):
72
( yi − yˆ i ) 2
= ( n − 2) s 2 .
2
s
i =1
εi
n
S=∑
(4)
The weighting factor sε2i is expressed as the variance of the ith residual
ε i and takes into consideration the variances of any individual point in both axes
( s x2i and s 2yi ) obtained from the replicate analysis of each sample by both methods.
The covariance between the variables for each (xi,yi) data pair, which is normally
assumed to be zero, is also taken into account:
var (ε i ) = var( yi − a − bxi ) = sε2i = s 2yi + b 2 s x2i − 2b cov( xi , yi ) .
(5)
For this reason, the BLS regression technique assigns higher weights to
those data pairs with larger s x2i and s 2yi values, i.e. the most imprecise data pairs.
By minimising the sum of the weighted residuals (Eq. (4)), two non-linear
equations are obtained, from which the regression coefficients a and b can be
estimated by an iterative process [8].
2.3. Characterisation of the distribution of the BLS regression
coefficients
The distribution functions of the regression coefficients a and b found by
the BLS regression technique have been reported to be nongaussian [9]. This
influences the individual tests on the regression coefficients, since they are usually
performed under the assumption of normality. To determine the degree of nonnormality of the distributions of the BLS coefficients, three different statistical tests
were used: Cetama [10] (which also allows the actual probability function to be
characterised), the Kolmogorov test [11] and the normal probability plot (or Rankit
test) [12]. These tests were applied to different types of real data sets to find a
relationship between their structure and the degree of non-normality. Furthermore,
to characterise their distribution, the real distributions and some theoretical
distributions were compared. These comparisons were carried out with the
quantile-quantile graphic method (Q-Q plot) [12].
73
2.4. β error in the individual tests for the BLS regression coefficients
According to the theory of hypothesis testing, when an individual test is
applied on a regression coefficient, the null hypothesis H0 is usually defined as the
one that considers the estimated regression coefficient to belong to the distribution
of a hypothetical regression coefficient ( a H 0 or bH 0 ) equal to the reference value,
or in other words, that there are no proportional or constant systematic errors in the
method being tested. On the other hand, the alternative hypothesis H1 considers
that the estimated regression coefficient belongs to the distribution of a
hypothetical regression coefficient ( a H1 or bH1 ) with a given value. This value,
which has to be set by the experimenter according to the systematic error one wants
to detect in the analytical method being tested, defines the distance between a H 0
(or bH 0 ) and a H1 (or bH1 ), or in other words the so-called bias [13]. The standard
deviations saH (or sbH ) and saH (or sbH ) can be calculated for a given data set
0
0
1
1
with the values of a H 0 (or bH 0 ) and a H1 (or bH1 ).
The expressions developed for estimating the probability of committing a
β error in the application of an individual test to one of the regression coefficients
calculated by using the OLS regression technique are established [5]. Analogous
expressions can be adapted for the BLS technique by considering the appropriate
standard deviation values:
∆ b = tα 2 ⋅ sbH 0 + t β ⋅ sbH1 Ö t β =
∆ a = tα 2 ⋅ saH 0 + t β ⋅ saH1 Ö t β =
∆ b − tα 2 ⋅ sbH 0
sbH
1
∆ a − tα 2 ⋅ saH 0
saH
(6)
.
(7)
1
The probability of committing a β error under the assumption of
normality is finally given by the Student’s t value for n-2 degrees of freedom for a
fixed level of significance α. The standard deviations saH (or sbH ) and saH (or
0
74
0
1
sbH ) can be estimated in a similar way to the standard deviations of the intercept
1
and the slope, and are easily obtained from the B variance-covariance matrix [8]
calculated while estimating the regression coefficients with the BLS technique:
xi2
∑ s2
i =1 ε i
n
sa =
sb =
2
×s
(8)
2
×s.
(9)
 n xi 
x
1
×
−
∑ s 2 ∑ s ∑ s 2 
i =1 ε i
i =1
 i =1 ε i 
n
2
i
2
εi
n
n
1
i =1
εi
∑ s2
x  x 
1
∑ s 2 × ∑ s − ∑ s 2i 
i =1 ε i
i =1
 i =1 εi 
n
2
i
2
εi
n
To calculate the values of saH
0
n
(or sbH ) and saH (or sbH ) it is only
0
1
1
necessary to recalculate the value of the weighting factor (Eq. (5)) according to the
new slope value. Due to the dependence of the weighting factor on the slope, the
values of saH
0
and saH will be equal to the standard deviation obtained for the
1
estimated regression coefficient ( sa = saH = saH ), which is not true for the slope.
0
1
2
The experimental error s remains unchanged.
2.5. Estimating the sample size
Relating Eqs. (8-9) with the number of data pairs n it is possible to
estimate the number of data pairs required to detect certain bias with set
probabilities of committing α and β errors. This can only be achieved if the
individual uncertainties, and hence the weighting factors are considered constant
for all the data pairs ( sε2a , sε2b
H0
H0
or sε2b = ct):
H1
75
n
saH =
0
sbH 0 =
sbH =
1
∑ xi2 ⋅ sε2
aH
i =1
0
n 
n a ⋅ ∑ x −  ∑ xi 
i =1
 i =1 
n
⋅s.
2
(10)
2
i
nb ⋅ sε2bH
⋅ s or
0
n 
n b ⋅ ∑ x −  ∑ xi 
i =1
 i =1 
n
2
2
i
nb ⋅ sε2bH
1
n 
nb ⋅ ∑ x −  ∑ xi 
i =1
 i =1 
n
2
⋅s .
(11)
2
i
Introducing these two expressions in Eq. (6-7) respectively it is possible
to isolate n in terms of the desired variables α, β and ∆:
na =
(tα / 2 + t β ) 2 ⋅ sε2a H
∆2a
0
n 
xi 
∑
i =1
2
⋅s + n 
∑ xi2
2
(12)
i =1
nb =
n 
∆ ⋅  ∑ xi 
 i =1 
2
2
b
n
∆2b ⋅ ∑ xi2 −(tα / 2 ⋅ sε bH + t β ⋅ sε bH ) 2 ⋅ s 2
0
i =1
Initial estimates of the terms sε2a
H0
.
(13)
1
or sε2b
H0
and sε2b , s2 and both sums
H1
involving x data coordinates can be set from an initial data set containing few data
pairs. After an iterative calculation (due to the dependence of the tα/2 and tβ values
on the number of data pairs) an estimate of na or nb is obtained. It is then important
to recalculate the sample size adding more data to the initial data set, as the
estimates of the terms mentioned in Eqs. (12-13) are likely to change. In this way a
76
new estimate of na or nb is obtained. The estimation process ends when the
differences between two consecutive na or nb values are below a set threshold
value.
2.6. Validation
The objective of the validation process is twofold. Firstly, to show that,
despite the non-normal distribution of the BLS regression line coefficients, the
confidence interval computed using the t-distribution can generally be accepted
without committing relevant errors. Secondly, to assess whether the theoretical
estimate of either the β error and the number of data pairs required to perform the
individual tests, based on BLS under defined statistical conditions, provides correct
results.
a1
b1
1
a2
Initial data set
Monte
Carlo
b2
2
3
n straight
lines
Tests of normality
a
b
a3
b3
n
··
·
··
·
an
bn
Figure 1. Scheme of the procedure followed to check the normality of the BLS regression
coefficients using the Monte Carlo simulation method and the three selected test for checking the
normality.
To show the degree of non-normality of the intercept and the slope
distributions under real regression conditions, six real data sets with errors in both
axes were studied. The Monte Carlo method [14] was applied to generate 200,000
data sets from each of the six initial ones (Figure 1). This method adds a random
error to every data pair based on the individual uncertainties in both axes. In this
way, 200,000 simulated data sets were randomly generated. This gave rise to
200,000 regression lines, to which the three selected tests for assessing the
77
normality of the distributions were applied. The error made in estimating the BLS
regression coefficients when their respective distributions were assumed to be
normal (when in fact they are not) was quantified and compared with the error
made in estimating the regression coefficients by OLS and WLS techniques. Figure
2 illustrates the comparison procedure. Once the distribution of the regression
coefficients corresponding to the real data set is obtained by the Cetama method,
we can determine its left (xlr) and right (xrr) limits for a chosen level of
significance α. The shaded areas in Figure 2 represent the errors made by
estimating the regression coefficients with each of the three regression techniques
studied.
Real distribution
xlr
xrr
BLS
xrbls
xlbls
WLS
xlwls
xrwls
OLS
xlols
xrols
Figure 2. Error made in estimating the BLS regression coefficients assuming normal distributions.
Comparison with errors made using OLS and WLS regression techniques.
78
To validate the expressions for the estimation of the probability of β
error, 24 initial simulated data sets were used with all the data pairs perfectly fit to
an straight line with either biased slope or intercept values. From each of these
initial data sets, 100,000 simulated new ones were randomly generated by adding a
random error to every individual data pair (xi,yi) in the initial data set with the
Monte Carlo method. An individual test was then applied on one of the regression
coefficients for every one of these 100,000 data sets to check whether H0 could be
accepted in each case for a fixed level of significance α. So every time H0 was
accepted, a β error was being committed because the data set had been generated
from an initial biased one, but due to the application of random errors by the Monte
Carlo method, however, the bias could not be detected. The value of the bias was
chosen to provide a probability of β error similar to the level of significance α in
each of the four cases. In this way, if the estimate of the probability of β error from
the theoretical expressions was similar to the one from the simulation process, we
may conclude that the stated expressions provide correct results.
Once the estimates of the probability of β error were proved to be correct,
the expressions to estimate the sample size were validated. The probabilities of β
error estimated for the different levels of significance α, the calculated standard
deviations and the experimental error from the iterative process (terms tβ , tα/2 ,
sε2a , sε b or sεb
H0
H0
H1
and s2 respectively) for each of the initial data sets in the
validation process were introduced in expressions 12 and 13. If the estimated
sample size required to achieve the chosen probabilities of α and β error was
similar to the number of data pairs in each data set, results were considered correct.
To show the applicability of the procedure, a real data set was used as a case study.
3. Experimental
3.1. Data sets and software
Six real data sets with different characteristics (such as number of data
pairs, heteroscedasticity or position within the experimental domain) were used to
check the distribution of the BLS regression coefficients. Twenty-four different
79
simulated data sets were considered to validate the expressions for the estimates of
the probability of β error (Eqs. (6-7)). Finally, one of the six former real data sets
was used to show the different estimates of the probability of β error between BLS,
OLS and WLS regression techniques and provide an example of the sample size
estimation procedure using data with errors in both axes.
Data Set 1 [15]. Data set obtained from the study of the supercritical fluid
extraction (SFE) recoveries of policyclic aromatic hydrocarbons (PAHs) from
railroad bed soil using two different modifiers; CO2 (on the x-axis) and a mixture
of CO2 with 10% of toluene (on the y-axis). The data set is composed of seven data
pairs. The standard deviations ( s xi and s yi ) were the result of a triplicate
supercritical fluid extraction at each level of concentration. The units are expressed
in terms of µg/g of soil. The data set and the regression lines obtained by the OLS,
WLS and BLS regression techniques are shown in Figure 3a.
Data Set 2 [16]. Comparative study of mercury determination using gas
chromatography coupled to a cold vapour atomic fluorescence spectrometer
following derivatization with sodium tetraethylborate. One (x-axis) and two (yaxis) amalgamation steps were used to obtain five data pairs with their respective
uncertainties ( s xi and s yi ) generated from six replicates performed at each point.
Units are expressed in terms of pg of recovered mercury. The data set and the
regression lines generated by the three regression techniques are shown in Figure
3b.
Data Set 3 [17]. Twenty-seven data pairs obtained from a method
comparison study which analysed Ca(II) in water by atomic absorption
spectroscopy (AAS), taken as the reference method (x-axis), and sequential
injection analysis (SIA), taken as the tested method (y-axis). The data set and the
regression lines generated by OLS, WLS and BLS regression techniques are shown
in Figure 3c. Units are expressed in mg/l. The uncertainties associated with the
AAS method were derived from the analytical procedure, including the linear
calibration step [18]. The uncertainties of the SIA results were calculated with a
multivariate regression model and the PLS technique using the Unscrambler
program (Unscrambler-Ext, ver. 4.0, Camo A/S, Trondheim, Norway).
80
Data Set 4 [19]. Comparative study for determining arsenic in natural
waters from two techniques: continuous selective reduction and atomic absorption
spectrometry (AAS) as the reference method (x-axis) and non-selective reduction,
cold trapping and atomic emission spectrometry (AES) as the tested method (yaxis). Thirty experimental data pairs were obtained with three replicates per data
pair. The units are expressed in terms of µg/l. The data set and the regression lines
obtained using all three regression techniques are shown in Figure 3d.
Data Set 5 [20]. Data set obtained by measuring the CO2 JouleThompson coefficient. The data was acquired from thermocouple-measured
voltage differences (∆mV, on the y-axis) as a function of pressure increments
(∆kPa, on the x-axis). Eleven equally-distributed data pairs were obtained with
estimated unity x-axis uncertainties. The y-axis uncertainties were estimated to be
between one and two units. The data set and the three regression lines found by
using the stated regression techniques are shown in Figure 3e.
Data Set 6 [21]. Comparative study of the average recoveries for
organochlorine pesticides present in solvent (on the x-axis) or in solvent/soil
suspension (on the y-axis) after microwave-assisted extraction (MAE) analysis.
Twenty-one data pairs were used in the analysis. The uncertainties were obtained
from triplicate MAE analysis at each point. The data set and the straight lines
regressed by the three regression techniques are shown in Figure 3f.
To validate the estimates of the probability of β error, twenty-four
different initial data sets showing different values of bias in the intercept or in the
slope were built to cover several analytical situations; different linear ranges,
number of data pairs and uncertainty patterns.
Linear Ranges: Two linear ranges were considered during validation, a
short one for values from 0 to 10 units, and a large one for values from 0 to 100
units.
Number of data pairs: Data sets containing five, fifteen, thirteen and a
hundred data pairs were selected. In all cases the data pairs were randomly
distributed throughout the two different linear ranges.
81
30
1000
(a)
25
800
140
(b)
120
(c)
100
15
600
80
SIA
2 amalgamations
CO2 / 10% toluene
20
400
60
10
200
5
0
40
0
0
5
10
15
20
25
30
20
-200
-200
0
CO2
(d)
60
800
30
0
20
10
40
15
AAS / selective reduction
20
25
10
40
60
80
100
120
AAS
200
(e)
(f)
150
40
5
5
20
solvent / soil
10
0
0
0
1000
50
∆ mV
AES / cold trapping
600
70
15
-5
-5
400
1 amalgamation
25
20
200
100
60
80
100
∆ kPa
120
140
160
50
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
solvent
Figure 3. OLS (dashed line), WLS (dotted line) and BLS (solid line) regression lines obtained for the
six real data sets.
Uncertainties: Homoscedastic and heteroscedastic data sets were
considered. The homoscedastic data sets were comprised of data pairs with
constant standard deviations on both x and y values. In the short linear ranges the
standard deviations presented half unity values, whereas in the large linear ranges
they showed unity values. The heteroscedastic data sets were divided into two
other different types. On one hand those with increasing standard deviations and on
the other hand, those which presented random standard deviations. In both cases
however, the standard deviation values were never higher than the 10% of each
individual xi and yi value.
For every one of the twenty four different simulated data sets, four levels
of significance α were considered: 10, 5, 1 and 0.1%. Depending on the regression
coefficient being tested and on the level of significance, the slope ( bH1 ) or the
intercept value ( a H1 ) of the selected bias changed in such a way that the
probabilities of β error from the iterative process were similar to the specified α
82
values. In this way the accuracy of estimates of different magnitudes from Eqs. (67) was also tested.
All the computational work was performed with home-made Matlab
subroutines (Matlab for Microsoft Windows ver. 4.0, The Mathworks, Inc.,
Natick, MA).
4. Results and discussion
4.1. Distribution of the regression coefficients
The results of studying the distributions of the slope (b) and the intercept
(a) using the three tests to check normality are summarised in Table 1. The
variation in the number of iterations needed to achieve non-normality can be used
to identify the degree of normality. The more iterations needed to achieve nonnormality (if finally achieved) the more normal the distribution is.
Data set 1 presents non-normal distributions mainly due to the high lack
of fit of the data pairs to the regression line. Data sets 2 and 5 present the best
goodness of fit of all the sets, which helps the distribution of the regression
coefficients to be normal. In data set 3, the data structure and the errors in both
axes make the regression line mainly change the intercept value, which leaves the
slope almost unmodified. In this way the intercept value shows a major uncertainty
which leads to a non-normal distribution, whereas a much lower uncertainty is
associated to the slope value. In data set 4, the slope of the regression line does not
follow a normal distribution since the remarkable heteroscedasticity along the
experimental range causes the regression line to move along a conical-shaped
region when considering errors in both axes. This varies the slope and leaves the
intercept almost unmodified. Finally, data set 5 has normal distributions and data
set 6 presents non-normal ones due to the irregular disposition of the points in the
space and the high heteroscedasticity. The more similar the error pattern to OLS
conditions (i.e. larger errors in the y axis than in the x axis, homoscedasticity) and
the better the goodness of fit, the more normal the distribution is. It has to be
83
pointed out that the Cetama method was the most sensitive in detecting deviations
from normality.
Cetama
data set
Iterations
1
10.000
30.000
50.000
100.000
200.000
10.000
30.000
50.000
100.000
200.000
10.000
30.000
50.000
100.000
200.000
10.000
30.000
50.000
100.000
200.000
10.000
30.000
50.000
100.000
200.000
10.000
30.000
50.000
100.000
200.000
2
3
4
5
6
a$
b$
NSNL NSLRL
NSNL NSNL
NSNL NSNL
NSNL NSNL
NSNL NSNL
N
NSNL
N
NSLRL
N
NSNL
NSNL NSNL
NSLRL NSLL
NSNL NSLRL
NSNL NSLRL
NSNL NSNL
NSLRL NSLRL
NSNL NSNL
N
NSNL
N
NSNL
N
NSNL
N
NSNL
N
NSNL
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
NSNL NSNL
NSNL NSNL
NSNL NSNL
NSNL NSNL
NSNL NSNL
α=1%
a$ b$
N NN
NN NN
NN NN
NN NN
NN NN
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
NN N
NN N
NN N
N
N
N NN
N NN
N NN
N NN
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N NN
N NN
NN NN
NN NN
NN NN
Kolmogorov
α=5%
a$ b$
NN NN
NN NN
NN NN
NN NN
NN NN
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
NN N
NN N
NN N
N
N
N NN
N NN
N NN
N NN
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N NN
NN NN
NN NN
NN NN
NN NN
α=10%
b$
NN NN
NN NN
NN NN
NN NN
NN NN
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
NN N
NN N
NN N
N
N
N NN
N NN
N NN
N NN
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N NN
NN NN
NN NN
NN NN
NN NN
a$
Rankit Plot
a$
b$
NN
NN
NN
NN
NN
NN
NN
NN
NN
NN
NN
NN
N
N
N
N
N
N
N
N
NN
NN
NN
N
NN
N
NN
N
NN
N
N
N
N
NN
N
NN
N
NN
N
NN
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
NN
NN
NN
NN
NN
NN
NN
NN
NN
NN
N: Normal distribution.
NN: Non-normal distribution.
NSNL: Non-symmetric and non-limited.
NSLRL: Non-symmetric and left and right limited.
NSLL: Non-symmetric and left limited.
Table 1. Normality study results for the BLS regression coefficients.
Table 2 shows the quantification of the error made in estimating the BLS
regression coefficients when normality in their distributions is assumed, and the
comparison with the analogous results from OLS and WLS regression techniques.
The error is calculated according to the shaded areas in Figure 2 (where the error is
considered to be the part that belongs to the OLS, WLS or BLS distribution for a
fixed α level and which does not belong to the real distribution, and the part that
84
does not belong to the OLS, WLS or BLS distribution for the same α level and
belongs to the real one). This table shows that the error made from assuming
normality for the BLS regression technique is low, and significantly lower than the
ones obtained for the OLS and WLS regression methods for all the data sets. The
data sets that present BLS regression coefficients as normally distributed have
errors equal to zero. We can also see that the error committed when using the WLS
method is usually lower than when using OLS.
% Error
data set
Coefficient
BLS
WLS
OLS
1
a$
b$
a$
b$
a$
b$
a$
b$
a$
b$
a$
b$
4.69
4.46
0
0
0.53
0.58
0
2.79
0
0
2.48
2.48
26.84
14.59
9.81
5.51
1.37
6.20
5.11
14.97
0.26
0.25
2.31
3.75
58.29
16.43
44.35
3.66
11.42
11.03
88.50
25.28
0.62
3.28
6.60
6.45
2
3
4
5
6
Table 2. Difference between the theoretical and estimated regression coefficients by the three
regression techniques (normal distributions assumed).
Once the BLS regression coefficients have been found, in most cases, to
be non-normally distributed, their distributions were compared with some
theoretical ones (beta, binomial, chi-squared, exponential, F, gamma, geometric,
hypergeometric, normal, Poisson, t-Student, uniform, uniform discrete and Weibull
distributions) using the quantile-quantile plot graphic method (Q-Q plot) [12]. As
the results provided by the Cetama method (Table 1) indicate that the regression
coefficients that do not follow a normal distribution are mainly non-symmetric and
non-limited, it seems reasonable to suppose that the regression coefficient
distributions follow some kind of constant pattern. However, the results given by
the Q-Q plot indicate that the theoretical distributions that are most similar to the
85
real ones are the chi-squared, normal and t-Student since their differences are very
difficult to appreciate.
4.2. β error and sample size validation
Tables 3 and 4 summarise the results from 100,000 iterations using the
Monte Carlo method for the four levels of significance in the twenty four simulated
data sets. Columns a H1 and bH1 show the regression coefficient values which
define the chosen bias (distance between H0 and H1). The values in the βexp column
are those from the simulation process, whereas the values shown in the βpred
column are the ones obtained with the theoretical expressions to be validated (Eqs.
(6-7)). Finally, the values in the column npred are the estimated sample sizes of the
different simulated data sets for the different levels of significance.
To detect significant differences between the estimated probabilities of β
error and the values from the simulation process, paired t-tests [22] (with α=1%)
were applied on the β error values obtained for the different number of data points
(since it is the most critical factor for achieving good predictions of probabilities of
β error) at the same level of significance. In this way significant differences
between the values in the βexp and βpred columns were found only in the data sets
with five data pairs for the slope and intercept at the four levels of significance.
The possible sources of error and some important observations concerning the
results from the simulation process can be summarised as follows:
(i) In most cases the predicted probabilities of β error from Eqs. (6-7) are
higher than the experimental values from the simulation process. This
overestimation may be due to a lack of information, since the overestimation is
higher in those data sets with fewer data pairs (where the experimental error, and
thus the uncertainty of the regression coefficient is higher [23]), and lower in those
data sets with a larger number of points. In this latter case however, small
disagreements still exist due to the assumption of the normality of the regression
coefficients. Figure 4 plots the differences between the experimentally-obtained
probabilities of β error (from the simulation process) and the predicted
probabilities against the number of data pairs of each data set for the slope and
intercept with a level of significance of 5%. Only the results corresponding to the
86
low range are shown in Figure 4 since the results for the high range where
identical.
(ii) Results for the intercept show a higher agreement than the ones for
the slope (Figure 4). This may be because estimating the slope is more complex
since two different distributions have to be considered for bH 0 and bH1 , whereas
only one is needed when the probabilities of β error are estimated for the intercept,
as saH = saH .
0
1
(iii) There is no clear relationship between the uncertainty patterns and
the error made in predicting the β error (in percent) for the different simulated data
sets. As Figure 4 shows, the three lines depicting the three patterns of uncertainty
do not maintain a constant relative position as they cross each other. Results for the
intercept seem to follow a steadier pattern for the different uncertainties. As
previously stated, the number of data pairs on the regression line is the key factor
for obtaining a better estimate of the β error.
(iv) Results from the predicting the probabilities of β error (Eqs. (6-7))
and sample size (Eqs. (12-13)) for data sets with a high linear range were identical
to the ones with a low linear range. Results shown in Tables 3 and 4 correspond to
the low linear range, while the ones from the high linear range have been omitted.
These results can be explained because the distribution of the data pairs in data sets
(for a given uncertainty and number of data pairs) with different linear ranges is
identical. So the only difference between data sets with different linear ranges is
that the values of the individual data pairs and their respective uncertainties (taken
as standard deviations) are ten times higher in the high linear range than in the low
linear range. Only the standard deviation values for the intercept were exactly ten
times higher in the high linear range than the ones in the low linear range. This is
due to the direct dependence of the standard deviation for the intercept on the sum
of the x-axis values (Eq. (8)).
87
180
%∆β
160
Slope
140
homoscedasticity
120
heteroscedasticity
random heteroscedasticity
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
Number of data pairs
100
%∆β
90
Intercept
80
homoscedasticity
70
heteroscedasticity
60
random heteroscedasticity
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
Number of data pairs
Figure 4. Difference between the experimentally-obtained probabilities (simulation process) and the
predicted probabilities of β error for the slope and the intercept (in percent) in relation to the number
of data pairs for each data set.
If we look at the results of estimating the sample size in Tables 3 and 4
(npred columns), we can see that the predicted results in all cases provide the correct
number of data pairs of the different initial data sets considered. From these results
we can conclude that the expressions for estimating the sample size provide correct
results for the three kinds of distribution of uncertainties considered.
88
n
Uncertainty α(%)
aH 1
saH
βexp.
βpred. npred.
5
homo.
10
5
1
0.1
2.4
3.2
5.2
10.5
0.641
9.97
5.02
2.22
0.13
12.91
8.39
5.38
2.03
5
5
5
5
hetero.
10
5
1
0.1
0.7
0.95
1.5
3
0.189
10.11
4.32
2.75
0.74
13.67
8.26
6.53
3.14
5
5
5
5
heter. rnd.
10
5
1
0.1
1
1.3
2.1
4.3
0.261
8.36
4.80
2.23
0.11
11.77
8.48
5.71
2.59
5
5
5
5
homo.
10
5
1
0.1
1
1.3
1.9
2.6
0.341
13.24
5.73
0.93
0.10
13.34
6.14
1.19
0.24
15
15
15
15
hetero.
10
5
1
0.1
5e-2 1.69e-2
6.5e-2
9.5e-2
0.125
12.02
4.98
0.57
0.10
12.99
4.9
1.11
0.28
15
15
15
15
heter. rnd.
10
5
1
0.1
2.5e-2 8.79e-3
3.4e-2
4.5e-2
6.4e-2
13.95
4.39
1.81
0.13
15.12
5.56
2.75
0.45
15
15
15
15
homo.
10
5
1
0.1
0.262
12.93
4.36
1.74
0.12
12.82
4.43
1.84
0.17
30
30
30
30
hetero.
10
5
1
0.1
5.5e-3 1.92e-3
7e-3
9.5e-3
1.2e-2
12.19
5.53
1.43
0.54
12.62
5.99
1.84
0.76
30
30
30
30
heter. rnd.
10
5
1
0.1
1.9e-2 6.48e-3
2.4e-2
3.2e-2
4.3e-2
11.07
4.97
1.50
0.16
11.46
5.47
1.92
0.31
30
30
30
30
homo.
10
5
1
0.1
0.142
12.78
6.61
1.77
0.35
12.68
6.51
1.70
0.32
100
100
100
100
hetero.
10
5
1
0.1
1.5e-5 5.37e-6
1.9e-5
2.6e-5
3.4e-5
12.89
6.02
1.41
0.19
12.98
6.16
1.45
0.20
100
100
100
100
heter. rnd.
10
5
1
0.1
1.9e-4 6.41e-5
2.4e-4
3e-4
4.2e-4
9.49
3.86
1.91
0.07
9.76
4.07
2.13
0.10
100
100
100
100
15
30
100
0.75
1
1.3
1.8
0.4
0.5
0.68
0.88
0
Table 3. Estimated and experimentally obtained probabilities of β error for individual tests on the
intercept. Predicted sample size to achieve the probabilities of α and β error for each data set.
89
n
Uncertainty
α (%)
bH1
s bH
sbH
βexp.
5
homo.
10
5
1
0.1
1.45
1.6
2
3.1
0.118
0.147
0.157
0.187
0.272
10.39
5.87
3.09
0.62
16.44
12.60
9.87
6.37
5
5
5
5
hetero.
10
5
1
0.1
1.27
1.36
1.65
2.3
7.48e-2
8.55e-2
9.02e-2
0.102
0.132
12.67
4.56
1.11
0.22
17.64
10.70
6.42
4.36
5
5
5
5
heter. rnd.
10
5
1
0.1
1.27
1.4
1.67
2.35
7.59e-2
9.07e-2
9.80e-2
0.113
0.153
14.41
3.76
1.19
0.26
19.44
10.24
6.99
4.78
5
5
5
5
homo.
10
5
1
0.1
0.8
0.75
0.68
0.55
6.92e-2
6.26e-2
6.11e-2
5.86e-2
5.58e-2
10.84
5.11
3.75
0.48
11.91
6.21
2.14
0.71
15
15
15
15
hetero.
10
5
1
0.1
0.93
0.91
0.87
0.83
2.49e-2
2.41e-2
2.39e-2
2.34e-2
2.29e-2
14.59
6.98
1.14
0.35
15.2
7.73
1.78
0.72
15
15
15
15
heter. rnd.
10
5
1
0.1
0.965
0.955
0.94
0.915
1.19e-2
1.16e-2
1.153e1.19e-2
1.12e-2
11.77
5.07
1.98
0.15
12.72
5.98
2.74
0.42
15
15
15
15
homo.
10
5
1
0.1
1.12
1.16
1.23
1.32
4.27e-2
4.53e-2
4.62e-2
4.78e-2
4.99e-2
14.92
5.44
0.99
0.10
15.22
6.38
1.32
0.14
30
30
30
30
hetero.
10
5
1
0.1
1.02
1.026
1.036
1.05
7.18e-3
7.25e-3
7.27e-3
7.31e-3
7.36e-3
14.22
5.92
1.29
0.082
14.61
6.59
1.77
0.17
30
30
30
30
heter. rnd.
10
5
1
0.1
1.037
1.047
1.065
1.085
1.26e-2
1.28e-2
1.29e-2
1.30e-2
1.31e-2
10.79
4.82
0.95
0.14
11.62
5.48
1.35
0.31
30
30
30
30
homo.
10
5
1
0.1
0.93
0.951
0.89
0.85
2.41e-2
2.32e-2
2.30e-2
2.28e-2
2.23e-2
10.39
5.81
2.35
0.16
9.94
5.47
2.13
0.14
100
100
100
100
hetero.
10
5
1
0.1
0.995
0.993
0.991
0.988
1.89e-3
1.88e-3
1.88e-3
1.87e-3
1.87e-3
15.92
4.17
1.56
0.16
16.16
4.31
1.68
0.18
100
100
100
100
heter. rnd.
10
5
1
0.1
0.986
0.983
0.979
0.972
4.85e-3
4.82e-3
4.81e-3
4.80e-3
4.79e-3
11.02
6.45
4.39
0.81
11.07
6.48
4.48
0.90
100
100
100
100
15
30
100
0
1
βpred. npred.
Table 4. Estimated and experimentally obtained probabilities of β error for individual tests on the
slope. Predicted sample size to achieve the probabilities of α and β error for each data set.
90
4.3.Procedure for β error and estimation of sample size in a real data set
Table 5 summarises the results of estimating the probabilities of
committing a β error in the individual tests for the BLS slope and intercept for a
level of significance of 5% (β column, in percent) for data set 3. Columns a H 0 − a
and bH 0 − b show the distance between the estimated regression coefficients and
the reference values ( a H 0 = 0
and
bH 0 = 1 ). The columns
t ⋅ saH and
0
t ⋅ sbH (α=5%) show the values of the confidence intervals associated to the
0
reference values. Columns a H1 and bH1 represent the bias that the experimenter
wants to check in the regression coefficient being tested. Bias is detected in the
regression coefficient whenever the difference a H 0 − a and bH 0 − b is higher
than its associated confidence interval. Probabilities of β error are not calculated if
bias is detected.
BLS
WLS
OLS
BLS
WLS
OLS
a H0 − a
t ⋅ saH
2.94
4.38
3.97
a H1
β
5.35
5.19
7.11
6
40.2
37.6
62.5
bH 0 − b
t ⋅ sbH 0
bH 1
β
0.0364
0.0571
0.0656
0.0991
0.100
0.110
1.2
2.77
2.60
5.30
0
Table 5. Results obtained in estimating the probability of β error in the individual tests for the
intercept and the slope in data set 3.
Table 5 shows that neither constant nor proportional bias are found in the
SIA methodology in the analysis of Ca(II) in water according to the results from
the three regression techniques. The highest probability of β error is estimated at
62.5% for the OLS technique, due to the highest standard deviation value. On the
other hand, the probabilities of β error for BLS and WLS are lower and similar to
each other although the WLS intercept value is nearer the upper confidence interval
limit. This means that the results are less reliable, although this is not reflected in
91
the estimated probabilities of β error. Results for the slope show that the estimated
probabilities of β error in the three cases are very similar, despite the differences in
the slope values from the three regression methods. However, if we look at the
slope values we can be more confident about the accuracy of the one estimated by
the BLS method as it is the closest to the reference value bH 0 .
iteration
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
nb0
sˆbH
5
9
13
18
22
24
25
26
0.0974
0.131
0.0753
0.0666
0.0609
0.0530
0.0511
0.0492
0
sˆbH
1
0.0992
0.134
0.0769
0.0678
0.0622
0.0542
0.0522
0.0502
nb f
na0
sˆ aH
<0
<0
18
22
24
25
26
26
5
9
11
13
16
18
20
22
23
24
25
26
27
6.369
3.694
3.511
3.728
3.403
3.391
3.199
3.103
3.103
2.954
2.887
2.838
2.657
0
na f
9
11
13
16
18
20
22
23
24
25
26
27
27
Table 6. Iterations during estimation of the sample size for the slope and the intercept performed in
data set 3.
The process for estimating the sample size to achieve the calculated
probabilities of β error in the slope (2.77%) and intercept (40.2%) for a level of
significance of 5% is shown in Table 6. For the intercept, starting with an initial
data set of five data pairs ( na0 column), thirteen iterations were needed to end up
with twenty-seven data pairs. For the slope, twenty-six data pairs were needed to
achieve convergence and there was no estimate of the data pairs until 13 had been
considered ( nb0 column) since, according to the denominator of Eq. (13), high
experimental errors may produce negative estimates of sample size for the slope
(denoted by <0 in Table 6).
92
5. Conclusions
The results of this work show that, in spite of the non-normality of the
distributions of the BLS regression coefficients, the errors made in the calculating
the confidence intervals for the BLS regression coefficients are lower than the ones
made with OLS or WLS techniques for data with uncertainties in both axes. Thus,
the probability of β error in the individual tests on the BLS regression coefficients
can be estimated under the hypothesis of normality.
We have also demonstrated that the expressions for estimating the
probability of committing a β error when testing an individual regression
coefficient with the BLS regression technique and considering different
distributions for the reference ( a H 0 or bH 0 ) and for the biased ( a H1 or bH1 )
regression coefficients, provide correct results. Some sources of error have also
been detected and identified to explain the disagreements produced in validating
the results. The number of data pairs of the regression line appear to be crucial for
better estimating the probability of β error. In addition, results in real data show
that in some cases it may be interesting to calculate the probability of β error not
with the set α threshold value, but with the maximum level of significance α for
which no bias is detected in the regression coefficient. One would be more
confident of the regression coefficient value being accurate than when it falls near
one of the boundaries of the confidence interval (in this way the probabilities of α
error would be higher but the probabilities of β error would be lower than in the
usual way).
Finally, we found that it is advisable to estimate the sample size, since it
allows the experimenter to control the probabilities of committing α and β errors
that they consider reasonable for the analytical problem in question. The iterative
process for estimating the sample size guaranteed the chosen probabilities of
making α and β errors when an individual test is applied to one of the estimated
BLS coefficients and produced correct results for those data sets with moderate
heteroscedasticity, but not for those with high heteroscedasticity. The experimenter
also has to weigh up the pros and cons of performing the discontinuous series of
experiments that this iterative procedure requires.
93
Acknowledgments
We would like to thank the DGICyT (project no. BP96-1008) for
financial support, and the Rovira i Virgili University for providing a doctoral
fellowship to A. Martínez and F. J. del Río.
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94
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Elsevier, Amsterdam, 1997.
[23] G.J. Hahn, W. Q. Meeker. Statistical Intervals, a guide for practitioners, John
Wiley & Sons, New York, 1991.
95
3.3 Conclusiones
Tras el estudio de los coeficientes de regresión de la recta que considera
los errores en las variables predictora y respuesta, se concluyó en primer lugar que
dichas distribuciones difieren de la distribución normal. Tras comparar las
distribuciones con otras distribuciones teóricas se pudo comprobar que tampoco se
asemejan a ellas, reforzándose la hipótesis de que la diferencia entre las
distribuciones reales y la normal es pequeña. Es por este motivo, que se intentó
cuantificar el error cometido al utilizar dichas distribuciones bajo la hipótesis de
normalidad. El error obtenido es pequeño y en cualquier caso menor que el
cometido utilizando otros métodos de regresión estudiados (OLS y WLS). Por lo
tanto el test individual sobre los coeficientes de regresión de la recta BLS puede
llevarse a cabo bajo la hipótesis de normalidad en los coeficientes de regresión.
Una vez comprobado que las distribuciones de los coeficientes de
regresión pueden asimilarse a una distribución Gaussiana, pueden utilizarse los
diferentes tests sobre la ordenada en el origen y la pendiente que requieren de esta
condición. A parte de los tests individuales que se explican en este capítulo,
también se utiliza el test conjunto de la ordenada en el origen y la pendiente,1,4 que
permite discernir si los resultados obtenidos mediante dos métodos analíticos no
difieren estadísticamente entre sí a lo largo de un intervalo de concentraciones.
Para ello se debe comprobar que la ordenada en el origen no difiera
estadísticamente de cero y que simultáneamente la pendiente no difiera
significativamente de la unidad. En el capítulo 6 de esta Tesis Doctoral, se presenta
una aplicación de los intervalos de confianza conjuntos. Estos intervalos se utilizan
para desarrollar un criterio gráfico para la detección de puntos discrepantes cuando
se tienen en cuenta los errores cometidos en las dos variables.
3.4 Referencias
1.- J. Riu, F.X. Rius, Analytical Chemistry, 68 (1996), 1851-1857.
2.- A.H. Kalantar, R.I. Gelb, J. S. Alper, Talanta, 42 (1995), 597-603.
96
3.4 Referencias
3.- D.L. Massart, B.G.M. Vandeginste, S.N. Deming, Y. Michotte, L. Kaufman,
Chemometrics: a textbook, Elsevier, Amsterdam (1988).
4.- J. Riu, F.X. Rius, Trends in Analytical Chemistry, 9 (1995) 343-363.
97
4
Capítulo
Predicción en BLS
4.1 Introducción
4.1 Introducción
Una vez desarrollados los tests individuales sobre la recta BLS, una
aplicación importante que se puede llevar a cabo sobre la recta de regresión es la
predicción. La etapa de predicción en calibración lineal, donde normalmente la
concentración de una muestra desconocida se calcula a partir del valor de la
respuesta instrumental de un análisis de dicha muestra, es una aplicación
ampliamente conocida y desarrollada en el campo de la química analítica. Sin
embargo, la predicción tiene otras aplicaciones en el campo de la regresión lineal.
Por ejemplo, en el ámbito de la comparación de métodos,1 donde en determinadas
ocasiones es útil conocer la concentración y el intervalo de predicción que tendría
una determinada muestra al ser analizada por un método analítico de referencia,
conociendo el valor de su concentración al ser analizada por un método analítico de
nueva implantación (generalmente más preciso y sencillo de utilizar).
Tanto en los procesos de comparación de métodos analíticos como en los
de calibración lineal en que el error asociado a la variable predictora no sea
despreciable frente al asociado a la variable respuesta, deberá aplicarse la regresión
lineal considerando los errores cometidos en ambas variables. Un ejemplo en el
que debería aplicarse la regresión lineal considerando los errores en ambas
variables lo constituye la fluorescencia por rayos X en la cual, debido a la
complejidad de las muestras reales (normalmente muestras geológicas), la recta de
regresión se encuentra utilizando como patrones de calibración materiales de
referencia certificados (CRM), cada uno de ellos con incertidumbres asociadas a su
valor de concentración.2 Otro ejemplo lo suponen las técnicas espectroscópicas,
donde la disminución del error de la variable respuesta hace que se deban
considerar los errores en la variable predictora.3
La utilización de los intervalos de predicción considerando únicamente
los errores experimentales cometidos en la variable respuesta tiene asociados una
serie de problemas. A parte de los problemas derivados directamente de no
considerar los errores experimentales asociados a la variable respuesta, tales como
el sesgo introducido en los coeficientes de la recta de regresión, se puede destacar
101
4. Predicción en BLS
el hecho de que los intervalos de predicción (y por consiguiente los resultados
derivados de su utilización) varían dependiendo de cuál de las variables es
considerada como predictora y cual como respuesta. En muchas ocasiones esta
asignación se hace de forma rutinaria, como en los procesos de calibración, donde
la concentración se asocia a la variable predictora y la respuesta instrumental a la
variable respuesta, o en comparaciones de metodologías de análisis, donde se suele
asociar como variable predictora al método considerado como de referencia y a la
variable respuesta un método de nueva implantación. Sin embargo, esta
clasificación no está clara en otros casos, como por ejemplo en la comparación de
los resultados obtenidos por dos laboratorios del mismo nivel metrológico o de
varios analistas dentro de un mismo laboratorio, y los resultados de utilizar una u
otra asignación no deberían variar.
Para solucionar todos estos problemas, en esta Tesis Doctoral se han
desarrollado las expresiones para el cálculo del error asociado a la predicción
cuando se consideran los errores en las dos variables. Para ello se han seguido dos
caminos paralelos. El primero de ellos está basado en las expresiones, ampliamente
descritas en la bibliografía1,4 para el cálculo de la varianza asociada a la predicción
(tanto de la variable respuesta como de la variable predictora) cuando se consideran
los errores cometidos únicamente en la variable respuesta mediante una regresión
por mínimos cuadrados (es decir utilizando OLS o WLS), y que han sido
introducidos en el apartado 2.5.1. Estas ecuaciones se han modificado para
adaptarlas a la situación en que se consideran los errores asociados a las variables
predictora y respuesta, mediante una ponderación debida a los errores individuales
experimentales cometidos en las dos variables. La segunda vía ha sido a partir de la
teoría de propagación de los errores5,6 sobre la ecuación de la recta de regresión
( y = b0 + b1 x ). Esta teoría permite calcular la varianza de una función matemática
(en nuestro caso la expresión de la recta de regresión), a partir de la serie de Taylor,
donde no se tienen en cuenta los términos de orden superior a dos.
En este capítulo se presenta el artículo: “Prediction intervals in linear
regression taking into account errors on both axes”, aceptado para su publicación
en la revista Journal of Chemometrics. En este artículo, se explica el proceso
seguido para obtener las expresiones para calcular los errores asociados a la
predicción tanto de la variable respuesta como de la variable predictora. En primer
102
4.1 Introducción
lugar se obtienen las expresiones del error asociado a la predicción de la variable
respuesta mediante cada uno de los dos procedimientos explicados. Tras comparar
sus resultados se concluye que dichas expresiones son equivalentes. La validación
de las mismas se lleva a cabo a partir de la comparación con los valores de la
varianza asociada a la predicción, obtenidos mediante una simulación por medio
del método de Monte Carlo,6-9 que son considerados como reales. La utilización de
un método de simulación se debe a la imposibilidad de conocer los valores reales
de las varianzas asociadas a los valores predichos. Una vez validadas estas
expresiones se siguió un proceso similar para desarrollar y validar una expresión
para el cálculo de la varianza asociada a la predicción de la variable predictora.
Tras obtener las expresiones del error al predecir cada una de las variables se
procedió a comprobar la invariabilidad de los resultados al hacer un intercambio
entre las variables (es decir al cambiar la asignación de las variables predictora y
respuesta).
En las siguientes secciones del capítulo se presentan las conclusiones que
se extraen del artículo que se presenta a continuación, así como algunas
perspectivas que se abren de los resultados obtenidos, para finalmente presentar
brevemente la bibliografía referida en este capítulo.
103
4.2 Prediction intervals in linear regression taking
into account errors on both axes
Journal of Chemometrics, aceptado para publicación
F. Javier del Río*, Jordi Riu, F.Xavier Rius
This study reports the expressions for the variances in the prediction
of the response and predictor variables calculated with the bivariate least
squares regression technique (BLS). This technique takes into account the
errors on both axes. Our results are compared to those of a simulation process
based on six different real data sets. The mean error in the results from the
new expressions is between 4 and 5%. With weighted least squares, ordinary
least squares, constant variance ratio approach and orthogonal regression, on
the other hand, mean errors can be as high as 85%, 277%, 637% and 1697%
respectively. An important property of the prediction intervals calculated with
BLS is that the results are not affected when the axes are switched.
Keywords: Prediction; linear regression; errors on both axes; confidence intervals; predictor intervals
Received 10 March 2000; accepted 30 October 2000
104
4.2 J. Chemometrics, en prensa
1. INTRODUCTION
The extraordinary mathematical properties of ordinary least squares,
OLS, together with its practical performance characteristics, are the main reasons
why this is the most commonly used regression technique among the analytical
chemistry community. However, OLS is based on a set of mathematical hypotheses
-the homoscedasticity on the y-axis or the absence of errors on the x-axis- that are
not always fulfilled. This may lead to biased regression coefficients of the straight
line and therefore to erroneous predictions [1,2]. Method comparison studies,
where the errors from each method are usually of the same order of magnitude, or
calibration lines where the errors on the instrumental responses are similar to those
from the concentration values [3-5], are situations in which OLS often provides
biased results. An improvement on the OLS technique is the weighted least squares
(WLS) technique [1,6], which takes into account heteroscedasticity in the y-axis.
However, WLS still considers the x-axis to be error free.
Errors-in-variables regression [7], also called the constant variance ratio
(CVR) approach [8-10], considers the errors on both axes. It does not take into
account the individual errors of each experimental point but considers the ratio of
the variances of the response to predictor variables to be constant for every
experimental point (λ=sy2/sx2=ct). A particular case of the CVR approach is
orthogonal regression (OR) [11], in which the errors are considered to be of the
same order of magnitude in the response and predictor variable (i.e. λ=1). In the
literature, this case is also called orthogonal distance regression (ODR) [2] or total
least squares regression (TLS) [12].
The bivariate least squares (BLS) method [13,14] is a linear regression
technique that can overcome the limitations of the previous methods i.e. the fact
that the individual errors on both variables are not considered. This technique
calculates the straight line regression coefficients by taking into account the
105
individual heteroscedastic errors on both axes (i.e. sy2 and sx2 for every
experimental point). BLS has been applied, for instance, in method validation
studies to detect bias in newly developed analytical methodologies [15], and in
calibration stages where the errors associated to the predictor variable are of the
same order of magnitude as the errors associated to the response variable [3]. This
is the situation, for instance, of some AAS or EAS analyses, where the response
variable has small errors, which are of the same order of magnitude as those
associated to the predictor variable.
Calculating predicted values in regression analysis by considering
individual heteroscedastic errors on both axes is an important issue in practical
instances that has been given little attention to date. Prediction intervals from linear
regression taking into account errors on both axes, should be considered, for
example, when calculating the results and confidence intervals of a new method
from historical values recorded by a previously established methodology, or when
evaluating the relationship between two dating methodologies, both of which
incorporate errors, in order to determine the chronology of archaeological samples.
Another situation in which BLS can be applied is the analysis of chemical elements
in rocks using X-ray fluorescence. Because of the complexity of the samples (i.e.
geological samples), certified reference materials (CRM) of the analyte of interest
are often used to build the calibration line. If this is so, each CRM has errors
associated to the concentration values and regression techniques which consider the
errors on both axes should be used.
This paper develops and validates new expressions for calculating the
confidence and prediction intervals for the response variable given a value of the
predictor variable, and for the predictor variable given a value of the response
variable, using the BLS regression technique, i.e. by considering the individual
errors of every experimental point. There are other procedures in the literature for
estimating the regression parameters (as well as their underlying uncertainties) in
linear regression taking into account heteroscedastic individual errors [7,14], but
106
we are not aware of the expressions for calculating the variances for the predictor
and response variables when this error structure is met.
The expressions for the intervals when considering errors on both axes
are derived from a generalisation of the existing OLS and WLS expressions. The
same results have also been found with the error propagation theory [16]. To
validate the suitability of the new confidence and prediction intervals, we used six
real data sets in which random errors based on the individual variances of each real
point were added to the data sets using the Monte Carlo method. The values
obtained with the new expressions based on BLS agree with the theoretical values
better than the results from the expressions based on OLS, WLS, OR or CVR. One
of the most important properties of the BLS prediction intervals is that they do not
vary when the axes are switched.
2. BACKGROUND AND THEORY
2.1. Bivariate least squares technique
From all the least squares approaches for calculating the regression
coefficients when there are errors on both axes, Lisý's method [13] (referred to as
BLS) is the most suitable [14]. This technique assumes the true linear model to be
ηi = β 0 + β1ξi
(1)
where β0 and β1 are the intercept and slope of the true linear model between the
true variables ξi and ηi. These variables cannot be observed. Instead, one can only
observe the experimental variables
xi = ξi + δ i
(2)
yi = ηi + γ i
(3)
107
where δi and γi are random errors made when measuring predictor and response
variables respectively, and δ i ~ N (0, σ 2xi ) and γ i ~ N (0, σ 2yi ) . In this way, by
introducing (2) and (3) into (1) and isolating yi, we obtain the following expression
yi = β 0 + β1 xi + ε i
(4)
where εi is the ith true residual error with ε i ~ N (0, σ 2εi ) [17] and can be expressed
as a function of δi, γi and β1:
ε i = γ i − β1 δ i
(5)
Many authors have developed procedures to estimate the regression line
coefficients based on a maximum likelihood approach whenever errors on both
variables are present [5, 18-20]. In most cases these methods need the true
predictor variable to be carefully modelled [18]. This is not usually possible in
chemical analysis, where the predictor variables are often constant values (i.e.
functional models are assumed). Moreover, there are cases in which the
experimental data is heteroscedastic and estimates of measurement errors are only
available through replicate measurements (i.e. the ratio σ xi σ yi is not constant or
is unknown). These conditions, which are common in chemical data, make it very
difficult to apply the principle of maximum likelihood rigorously to the estimation
of the regression line coefficients. On the other hand, Sprent [17] presented a
method for estimating the regression coefficients using a maximum likelihood
approach even when a functional model is assumed. This method is not rigorously
applicable when individual heteroscedastic measurement errors are considered.
Moreover, when assuming σ yi = λσ xi for any i, least squares methods provide the
same estimates for the regression coefficients as a maximum likelihood estimation
approach [21]. For these reasons, we have chosen an iterative least squares method
that can be used on any group of ordered pairs of observations with no assumptions
about the probability distributions [21]. This allows the method to be used on real
108
chemical data when individual heteroscedastic errors on both axes are considered.
The BLS regression method then relates variables xi and yi as follows [22]:
(6)
where b0 and b1 are the respective estimates of the intercept and the slope of the
true linear model and ei is the ith residual error. The variance of ei is s e2i and will be
referred to as the weighting factor (wi). This parameter considers the experimental
variances of any individual point on both axes ( s x2i and s 2yi ) obtained from replicate
analysis. It should be pointed out that it is very important to correctly estimate the
individual errors by means of replicates of the experimental measurements in timedifferent intermediate conditions. If the variances associated with the experimental
points are extremely low, the regression line will tend to fit these points perfectly.
However, very slight deviations from the regression line may cause lack of fit in
the data set, and hence the derived statistical test from the BLS regression
coefficients may be invalid. The covariance between the variables for each (xi, yi)
data pair, which is normally assumed to be zero, is also taken into account:
2
wi = se2i = s 2yi + b1 s x2i − 2b1 cov( xi yi )
(7)
The BLS regression method finds the estimates of the regression line
coefficients by minimising the sum of the weighted residuals, S, expressed as
S=
n
∑
i =1
( y i − yˆ i ) 2
= ( n − 2) s 2
wi
(8)
where the estimation of the experimental error, s2, corresponds to S/(n-2). By
minimising the sum of the weighted residuals (Equation (8)), two non-linear
equations are obtained and by putting in the partial derivatives of the squared
residuals the following can be written in matrix form:
109
Rb = g
n
n
∑
1
s e2i
∑
∑
xi
s e2i
∑
i =1
n
i =1
i =1
n
i =1
2

  ∂s e2i 
 y i + 1  ei 

2
2 


2
b
∂
s
s
0 
i =1
e
b0
 ei 
 i

×
=
2
2
2
xi b1

n 
xi y i 1  ei  ∂s ei 

2
+
s ei
 s e2
2  s e2i  ∂b1 
i =1

 i
xi
s e2i
(9)
n
∑
(10)
∑
To determine the slope and the intercept, which are the components of
vector b in Equations (9) and (10), it is only necessary to carry out an iterative
process [13,14] on the following matrix form:
b = R −1g
(11)
With this method the variance-covariance matrix of the calibration
straight line coefficients are obtained without having to use additional expressions,
only by multiplying the final matrix R-1 by s2
Interestingly, whenever the variances of the predictor variable values are
zero and all the variances on the response variable are the same (i.e., all errors are
constant and only due to the experimental measurement in the y-axis), the results
are identical to those from the OLS method.
2.2. Variance for the response variable
In the OLS method, the well known expression for the variance of the
predicted observation of a future sample of the response variable y0, obtained as the
mean of q observations performed at x0, is given by [2].
110
s 2y0



2 
( x − x)  2
1 1
⋅s
= + + n 0
q n
2
( xi − x ) 

i =1


∑
(12)
where x is the mean value of the predictor variable and s2 is the estimate of the
true experimental error (σ2):
n
s2 =
∑( y
i
− yˆ i ) 2
i =1
n−2
(13)
Equation (12) can also be expressed in matrix form:
1

s 2y0 =  + X ′0 ⋅ ( X ′ ⋅ X ) −1 ⋅ X 0  ⋅ s 2
q

(14)
where X0 is a two-element column vector formed by a 1 in the first row and the
predictor variable (x0) in the second row, and X is an nx2 matrix in which the first
column is a column of ones and the second is formed by the n values of the
predictor variable corresponding to the experimental points.
For the WLS technique, which takes into account heteroscedastic errors
on the response variable, the variance for the predicted observation y0, calculated as
the mean of q observations performed at a selected value of x0 is given by [6]
1

s 2y0 =  + X ′0 ⋅ ( X ′ ⋅ V −1 ⋅ X ) −1 ⋅ X 0  ⋅ s 2
q

(15)
where V is an nxn diagonal matrix whose ith element corresponds to the variance
of yi ( s 2yi ), and s2, the estimate of the experimental error, now takes into account
the variances of the response variable as the weighting factor:
111
n
s2 =
∑
i =1
( y i − yˆ i ) 2
s 2yi
(16)
n−2
In the CVR approach, the expression for the variance in the prediction of
the response variable from a measured value of the predictor variable calculated as
the mean of infinite observations (i.e. q=∞), is [10]
s 2y0


1
= b12 s δ2 +  + (1 + kb1 ) 2
n




( x0 − x)
 ⋅ s 2 (17)
n
n
 e
( x i − x ) 2 + 2k ( x i − x )( y i − y ) + k 2 ( y i − y ) 2 
i =1
i =1

2
∑
∑
where k, s δ2 and s e2 are defined in the process of finding the regression coefficients
( s δ2 refers to the error for the predictor variable and s e2 is associated with the
estimate of the experimental error). If λ, which appears in the coefficients k and b1
in Equation (17), is chosen to be unity, results for the OR method are obtained.
Looking at the OLS and WLS expressions (Equations 14 and 15), we can
see that the only difference between them is the V matrix which takes into account
the errors on the response variable. Since BLS is also a least squares method and its
results are consistent with the OLS and WLS ones when the structure of the errors
is met (i.e. when there are no errors on the predictor variable and constant errors on
the response variable for OLS or non-constant errors on the response variable for
WLS) to find the BLS expressions it would only be necessary to introduce a term
taking into account the errors on both axes. By adapting the OLS and WLS
expressions, the variance in the prediction of the mean value of response variable
given a value of the predictor variable for the BLS regression technique is given by
s 2y0 = X ′0 ⋅ ( X ′ ⋅ W −1 ⋅ X ) −1 ⋅ X 0 ⋅ s 2
112
(18)
where W is an nxn diagonal matrix whose ith-diagonal element is the weighting
factor wi defined in (7). This weighting factor takes into account the errors on both
axes. The estimate for the experimental error is now
n
s2 =
∑
i =1
( y i − yˆ i ) 2
wi
n−2
(19)
However, in (18) there is still one term that needs to be considered to
obtain the variance associated with predicting a mean value: the error associated to
the predictor variable (x0) when its error is also taken into account (i.e. considering
the errors on both axes). This term is obviously neglected in the OLS or WLS
expressions. To correct the difference in ranges between the two axes, the square of
the slope must be introduced, because the slope can be considered as a quotient
between the value of the predictor and the response variable. The expression for the
variance of the response mean value at a given observation x0 is
(
)
s 2y0 = X ′0 ⋅ ( X ′ ⋅ W −1 ⋅ X ) −1 ⋅ X 0 + s x20 ⋅ b12 ⋅ s 2
(20)
In the previous equation and the following ones in which the variance of
x0 appears (i.e. s x20 ), this value is supposed to be known by replicate measurements
in x0. Another way of calculating it, although it is not considered in this paper, may
be by modelling the variances in the x-axis [23]. On the other hand, an independent
expression for the variance for the predicted mean value of the response variable
can be found by applying the error propagation theory [16] to the straight line
model. This expression is given in (21). The covariances between the regression
coefficients and x0 are assumed to be negligible.
113
s 2y0 = sb20 + x 02 sb21 + b12 s x20 + 2 x 0 cov(b0 , b1 )
(21)
where sb20 and sb21 are the estimates of the variances of the intercept and the slope
respectively, and cov(b0 , b1 ) is the covariance between the two regression
coefficients. They can be found directly from the variance-covariance matrix using
the BLS method (R-1·s2 in Equations (9)-(11)).13,14 Because of the two different
ways of obtaining expressions (20) and (21), which calculate the variance in the
prediction of the mean value of the response variable, the fact that their results
match seems to be an internal validation of the expressions.
The variance in the prediction of the response variable of a future sample
using the BLS technique must take into account the variances in the regression line
(Equations (20) or (21)) and the new observation. Equation (22) gives the final
matrix expression for calculating the variance of the response variable y0 as the
mean of q observations performed at x0:
1

s 2y0 =  + X ′0 ⋅ ( X ′ ⋅ W −1 ⋅ X ) −1 ⋅ X 0 + s x20 ⋅ b12  ⋅ s 2
q

(22)
2.3. Variance for the predictor variable
Studying of the variance for the predictor variable given a value of the
response variable is similar to studying of the prediction of the response variable.
Only the new expressions developed for the BLS method are presented here. When
errors on both axes are taken into account, and the same procedure as for the
prediction of the response variable is used, the resulting expression for the variance
of the predictor mean value at a given observation y0 is
114

1 
s x20 =  Y0′ ⋅ ( Y ′ ⋅ W −1 ⋅ Y ) −1 ⋅ Y0 + s 2y0 ⋅ 2  ⋅ s ′ 2
b1 

(23)
where Y0 is a two-element column vector with a 1 in the first row and the response
variable y0 in the second row, Y is an nx2 matrix whose first column is a column of
ones and whose second column is made up of the n values corresponding to the
response variables of the experimental points, W is an nxn diagonal matrix whose
ith-diagonal element is the weighting factor wi′ , and s ′2 is the experimental error
associated with the predictions on the x-axis and corresponds to
n
s ′2 =
∑
i =1
( y i − yˆ i ) 2
wi′
n−2
(24)
The weighting factor wi′ is now defined as
wi′ = s x2i +
1 2
1
s − 2 cov( xi , y i )
2 yi
b1
b1
(25)
The variance of the prediction of the predictor variable of a future sample
at y0, obtained as a mean of q observations, is found from
1
1 
s x20 =  + Y0′ ⋅ ( Y ′ ⋅ W −1 ⋅ Y ) −1 ⋅ Y0 + s 2y0 ⋅ 2  ⋅ s ′ 2
b1 
q
(26)
2.4. Prediction intervals
When linear regression with errors on both axes is used, the distributions
of both the intercept and the slope can be assumed to be normal [24] without any
significant error being made. Furthermore, three methods for testing the normality
of a given variable (Kolmogorov test [25], normal probability plots [16] and the
Cetama method [26], in order to assure that conclusions are correct) were applied
115
to a group of simulated values of the response and predictor variables generated by
the Monte Carlo simulation method. The results (not shown) indicate that, although
the response and predictor variables may be non-normally distributed, in most
cases they are normal or very close to normality. The hypothesis that their
distribution is normal is therefore acceptable. The expressions of the confidence
and prediction intervals for the response and predictor variables are then defined by
y 0 ± t α , n − 2 s y0
(27)
x 0 ± t α , n − 2 s x0
(28)
where tα,n-2 is the t-value for a given level of significance α and n-2
degrees of freedom. The expressions validated in this paper are those for the
prediction intervals for the predictor and response variables (where the future
sample is obtained as a mean of infinite analyses, i.e. q=∞) [27], since no
information is provided in the original data sets about prediction for a future
sample or, hence, its associated replicates (i.e. there is no information about q, s x20
nor s 2y0 ). For example, the BLS prediction interval of the response variable for
Data set 3 in the Experimental Section is shown in Figure 1, where the future
sample is considered to be a consequence of infinite analysis (i.e. q=∞). In the
linear regression in which errors on both axes are taken into account, the pattern of
the prediction intervals is very irregular. This is due to the dependence between the
prediction interval and the variance of the point in which the prediction is made
(i.e. the final term in brackets in (22) or (26)). If these terms were constant
throughout the regression interval, the prediction interval would be the classic
hyperbola of the OLS regression technique. However, since both variables are
usual to be heteroscedastic, these variances are not constant and the pattern for the
prediction intervals which take into account errors on both axes can only be strictly
calculated at points in which the individual experimental error is known. The
continuous line for the prediction interval along the regression line is drawn by
116
interpolating between contiguous points. Another way to obtain the pattern of the
prediction intervals is to model the variances associated to both variables [23], but
this solution may not be totally rigorous, since it forces the variances to follow a
selected pattern. In this paper we have preferred to take the first option.
35
y
25
15
5
0
10
20
30
x
Figure 1 Experimental points for Data set 3, BLS regression line and prediction intervals for the
response variable. A significance level of α = 5% was selected. The vertical and horizontal lines at
any experimental point are twice the standard deviation on each axis.
3. EXPERIMENTAL
3.1. Data sets and software
Six real data sets were used to validate the expressions for calculating the
variance for the response variable given a value of the predictor variable and for
the predictor variable given a value of the response variable. In the data sets used,
mainly in method comparison studies, the established method is normally placed
on the x-axis while the new method is placed on the y-axis. Data sets 3 and 6 were
introduced to show the usefulness of the new expressions in other fields. These six
data sets are plotted in Figure 2. For the sake of clarity, only the BLS, OLS and
WLS regression lines have been drawn in Figure 2. In most of the data sets studied
117
in this section the variances associated to the errors of the experimental points are
found using a few replicates (for instance only three). In this paper we have
preferred to take into account the individual errors (i.e. using the BLS expressions),
although their estimation in some cases is far from optimal, rather than not take
into account the individual errors even though they exist (i.e. using the OLS or
WLS expressions).
Data Set 1: Concentrations of polycyclic aromatic hydrocarbons (PAHs)
recovered from railroad bed soil after supercritical fluid extraction (SFE) with CO2
as the modifier on the x-axis, and CO2/10% toluene as the modifier on the y-axis
[28]. The standard deviations are obtained from three determinations at each of the
7 experimental points. The data set ranges from 1.4 to 26.9 µg/g of soil. The
standard deviations for all experimental points are similar in both methods.
Data Set 2: A method comparison study for analyzing Mg2+ in natural
waters with atomic absorption spectrometry (AAS) on the x-axis, and sequential
injection analysis (SIA) on the y-axis [29]. The errors on AAS are derived from
four replicates in the analysis. The errors on the SIA method are calculated from
the multivariate regression model developed using the partial least squares (PLS)
technique. The comparison consists of 26 data pairs within the range 0.4 and 46.3
mg/l. In all cases, the errors from the SIA method are larger than those from AAS.
Data Set 3: The composition of a set of archaeological samples of
unknown origin (on the x-axis) is compared to a reference set of known origin (on
the y-axis) with neutron activation analysis (NAA). Concentrations of six metal
ions (Ce, Co, Cr, Fe, La and Sc) expressed in ppm (except for Fe which is in
percent) are determined for a number of pottery jar handles found in Tell enNasbeh [30]. In this way the concentration of the six metal ions is placed in the x
and y axes in an attempt to compare the origins of the two sets of samples based on
these chemical analysis.
118
25
20
50
140
Undefined origin (ppm; Fe in %)
60
(1)
SIA (µg/l)
CO2/10% toluene (µg/g)
30
(2)
40
30
15
20
10
10
120
5
10
15
WLS:dotted line
OLS:dashed line
BLS:solid line
20
25
CO2 (µg/g)
-20
-20
0
20
WLS:dotted line
OLS:dashed line
BLS:solid line
40
60
AAS (µg/l)
150
100
50
80
90
100
130
La
Sc
Co
Fe
0
0
WLS:dotted line
OLS:dashed line
BLS:solid line
50
100
Reference group (ppm; Fe in %)
150
70
(5)
(6)
20
60
15
50
10
40
5
30
0
WLS:dotted line
OLS:dashed line
BLS:solid line
110
120
Solvent (%)
Ce
40
-20
-50
80
25
(4)
60
∆µV
200
80
20
-10
30
AES (mg/l)
Solvent and soil (%)
0
0
Cr
100
0
5
(3)
-5
-5
20
0
5
WLS:dotted line
OLS:dashed line
BLS:solid line
10
15
20
AAS (mg/l)
25
10
40
60
80
WLS:dotted line
OLS:dashed line
BLS:solid line
100
120
140
∆kPa
160
Figure 2 BLS (solid line), OLS (dashed line) and WLS (dotted line) regression lines for the six real
data sets. The experimental points are shown with their associated errors.
Data Set 4: The percentage of recovery for several organochlorine
pesticides after microwave-assisted extraction (MAE) with solvent (hexane/acetone
1:1) on the x-axis, and solvent/soil suspensions spiked with the target compounds
on the y-axis [31]. The standard deviations are obtained from three determinations
at each point. The experiment consists of 20 points with recoveries ranging from 83
to 169%. The variances on both axes are quite large, and there is a possible outlier
at high recovery values.
Data Set 5: A method comparison study for determining arsenic in
natural water using continuous selective reduction and atomic absorption
spectrometry (AAS) on the x-axis, and reduction, cold trapping and atomic
emission spectrometry (AES) on the y-axis [32]. The study consists of 30 points
ranging from 0 to 19.3 µg/l. The errors are proportional to the concentration
determined by both methods.
119
Data Set 6: Data from the measurement of the CO2 Joule-Thompson
coefficient [33]. The data correspond to thermocouple measured voltage
differences (∆ µV) on the y-axis, as a function of pressure increments (∆ kPa) on
the x-axis. There were 11 equally distributed data pairs with estimated x-axis
variances of one. The y-axis variances were estimated to range between one and
two units.
3.2. Validation process
A first step in validating the expressions to calculate the variances
associated with the mean value of the response variable when considering errors on
both axes (Equations (20) and (21)) is to compare the results from the two
expressions. To check the expression obtained for calculating the variance of the
predictor variable (Equation (23)), we compared the results from this expression
with those from equations for calculating the variance of the response variable
(Equations (20) and (21)) after switching the variables on the axes. This
comparison can also be used to check the reversibility of the axes with the
expressions for calculating the variances for both predictor and response variables.
BLS straight line
Obtention of y1
BLS straight line
Obtention of y2
1
Initial data set
Monte
Carlo
2
Variance
of the
response
3
BLS straight line
q
··
·
Obtention of y3
··
·
BLS straight line
··
·
Obtention of yq
Figure 3 Scheme of the simulation using the Monte Carlo method followed to obtain the real variance
of the response for a value of the predictor variable.
Once the results from Equations (20) or (21) and (23), when the axes
were switched, have been proved to be coincide, the Monte Carlo simulation
120
technique [34] was used to check their validity in real cases. The Monte Carlo
method was used to generate a value for the predicted variable from a value of the
response variable and vice versa at two different random points for each of the six
initial real data sets taking into account the individual variances of each
experimental point on both axes. The process was repeated 10,000 times for each
one of the two different points in each data set. For each of the 10,000 times, the
BLS regression line was calculated and used to predict a value of the response or
predictor variable, so we finally had 10,000 'replicates' and hence q=10,000 (Figure
3). The individual uncertainties on both axes were considered to be equal to the
uncertainties of the real data pairs. This ensured that possible errors on estimating
the variances for the response and predictor variables could only be due to the
theoretical expressions and not due to inaccurately estimating the individual
uncertainties on both axes. Finally, the variance of these 10,000 values for each
real data set was calculated and compared with the predicted variance given by the
theoretical expressions. The same simulation process was repeated for the other
regression methods. Again the individual errors on both axes were considered
(since the errors on both axes exist, although some regression methods ignore
them) and the regression lines were calculated for the 10,000 'replicates' with the
different regression methods. Again, the variance of these 10,000 values was
calculated and compared with the predicted variance given by the theoretical
expressions for each regression method. In the CVR approach, λ was chosen to be
the ratio between the average of the variances of the response variable and the
average of the variances of the predictor variable for each data set.
All calculations were performed with customized software with
MATLAB (The Mathworks, Inc., Natik, MA, USA). (The MATLAB code is
available on request from the authors.)
121
4. RESULTS AND DISCUSSION
4.1. Variance for the prediction of the response variable
Table I shows the variance of the response variable calculated from the
BLS expressions at two randomly selected values for the six data sets described in
the Experimental Section. In order to have known variances of the predicted value,
only the points of the real data set have been considered as candidates for the
predicted value since we had no information nor replicates of points other than the
ones used in the calibration line. All the results from (20) and (21) match up to the
eighth decimal place. The two expressions must, therefore, be considered the same.
This is an important step in the validation process because the fact that the results
are identical can be considered an internal validation of the expressions.
Table I.- Expressions 20 and 21 for calculating of the variance for the prediction of the response
variable and the differences between them.
Data Set
122
x0
sy20
sy20
Predicted
Equation (20)
Equation (21)
1
16.80
6.40655210
6.40655210
1
7.10
1.71674460
1.71674460
2
29.30
8.01060550
8.01060550
2
13.00
5.69862276
5.69862276
3
11.70
0.57148232
0.57148232
3
23.40
0.03850903
0.03850903
4
81.90
7.63379592
7.63379592
4
123.00
7.06714730
7.06714730
5
7.92
4.17691152
4.17691152
5
4.66
1.88624149
1.88624149
6
57.00
0.14971572
0.14971572
6
21.00
0.21554948
0.21554948
4.2. Reversibility of axes. Variance for the predictor and response
variables
An interesting feature of the BLS regression technique is that it is
invariant when the axes are switched. OLS or WLS regression techniques do not
have this feature, since only homoscedastic or heteroscedastic errors are taken into
account on the y-axis, and two different regression lines with different confidence
intervals are obtained according to the variable placed on each axis. The CVR and
OR approaches, are also invariant when the axes are switched. To check the
reversibility of the axes, the variance corresponding to the prediction of the
response variable on the y-axis (e.g. for a new method in a method comparison
study or the response variable in a calibration process) was calculated (from (20) or
(21)) for a fixed value of the predictor variable on the x-axis (corresponding to an
established method or to the concentration variable). The axes were then switched
and the variance of the variable on the x-axis (formerly the so-called new method
or the response variable) was the same as for the predictor variable (the established
sy0
70
(a)
Established Method
New Method
80
60
40
(b)
60
50
40
30
20
20
0
10
-20
0
10
20
30
40
50
60
Established Method
70
0
-20
0
20
40
sx0
60
80
New Method
Figure 4 The process of exchanging the axes in a method comparison analysis is presented in a
generic case, where predictor intervals (broken lines) are plotted for an α value of 5% a) Standard
deviation for the predicted value of a new method (response variable) at a given value of an
established method (predictor variable) b) Predicted values upon switching axes. In this case the
standard deviation is for the predicted value of the new method (predictor variable) at a given value of
the established method (response variable).
123
Table II.- Expressions for calculating the variances of the predictor and response variables when their
axes are switched and the differences between them.
Data Set
x0 / y0
sx20
s y20
Predicted Equations (20) and (21) Equation (23)
1
17.80
3.45781347
3.45781347
1
4.60
4.95883603
4.95883603
2
32.10
20.99017650
20.99017650
2
0.30
100.63858697
100.63858697
3
14.00
0.53514345
0.53514345
3
23.80
0.07533935
0.07533935
4
103.00
79.88020685
79.88020685
4
107.00
881.92789365
881.92789365
5
7.01
7.90043654
7.90043654
5
5.66
1.92173104
1.92173104
6
140.00
1.67904956
1.67904956
6
60.00
5.84275834
5.84275834
method on the y-axis or the concentration variable) using (23). This process can be
seen in Figure 4. The reversibility of the axes was tested for two random points in
each of the six data sets. Table II shows that placing the methods on either of the
two axes does not change the results for the variances of the predicted value. Table
2 also shows the agreement between the expressions for calculating the variance of
the predictor and response variables when the axes are switched, since the results
are identical. These results show that (23) is also internally validated.
4.3. Validation of the results with the Monte Carlo simulation method
The expressions for calculating the variance of the true mean of the
predicted variables were validated by comparing the calculated variance values
with those of the Monte Carlo simulations, which we considered were the correct
ones. The values obtained from the simulation process were also compared with
124
those from the expressions for OLS, WLS, CVR and OR. The differences may be
significant if the techniques are used in situations in which there are
heteroscedastic errors on both axes. Table III shows the results for the variance in
the prediction of the true mean of the response variable, and Table IV shows the
results for the variance in the true mean of the predictor variable. In all the
individual cases (except two for the response variable and one for the predictor
variable), the agreement between the simulated and calculated variances in the
response and predictor variables obtained with BLS is significantly better than the
agreement with the other four regression methods. The mean errors for the
variances of the response and predictor variables found with BLS, WLS, OLS,
CVR and OR are 4-5%, 57-85%, 277-205%, 444-637% and 1697-462%,
respectively. The agreement between the simulated and the BLS results is not
surprising since the BLS assumptions are always consistent (provided that
estimates of the individual errors are good) with the structure of the data sets. If,
for instance, the structure of the data sets had been of very small errors on the
predictor variable and non-constant errors on the response variable, then the BLS
and the WLS expressions would have given results which were very near to the
simulated values for these hypothetical data sets.
Table III.- Variance values of the new method (response variable), calculated from (20) and (21),
with the experimental values from the simulation process on the six real data sets, and the results from
OLS, WLS, CVR and OR regression methods.
Data
Set
x0
s y20
s y20
Pred.
Simul.
BLS
Error
(%)
s y20
Error
(%)
OLS
s y20
Error
(%)
WLS
s y20
Error
(%)
CVR
s y20
Error
(%)
OR
1
17.80
6.9337
6.4066
7.60
0.8715
87.43
3.1740
54.22
1.9556
71.80
2.4708
64.37
1
4.60
1.7601
1.7167
2.47
0.6510
63.01
0.2547
85.53
1.7330
1.54
2.2459
27.60
2
32.10
8.0788
8.0106
0.84
2.9733
63.20
2.0940
74.08
5.0474
37.52
30.1071
272.67
2
0.30
6.4005
5.6986
10.97
5.5663
13.03
6.2511
2.33
7.6424
19.40
32.9836
415.33
3
14.00
0.5568
0.5715
2.64
0.7833
40.68
0.0366
93.43
1.1714
110.38
2.3364
319.61
3
23.80
0.0387
0.0385
0.52
1.0131
2517.83
0.0143
63.05
1.4007
3519.38
2.5659
6530.23
4
103.00
7.7837
7.6338
1.93
20.3506
161.45
5.0557
35.05
59.8349
668.72
976.4771
12445.15
4
107.00
7.3417
7.0671
3.74
17.0338
132.01
5.8768
19.95
56.3773
667.91
9.5010
29.41
5
7.01
4.4771
4.1769
6.71
0.0610
98.64
0.0289
99.35
0.4397
90.18
0.5412
87.91
5
5.66
2.0327
1.8862
7.21
0.0383
98.12
0.1176
94.21
0.4165
79.51
0.5178
74.53
6
140.00
0.1486
0.1497
0.74
0.1633
9.89
0.0832
44.01
0.2218
49.26
0.2873
93.34
6
60.00
0.2153
0.2186
1.53
0.1193
44.59
0.1622
24.66
0.1778
17.42
0.2433
Mean error (%):
3.91
277.49
57.49
444.42
13.01
1697.76
125
Table IV.- Variance values of the reference method (predictor variable), calculated from (23), with
the experimental values from the simulation process on the six real data sets, and the results from
OLS, WLS, CVR and OR regression methods.
Data
Set
y0
sx20
sx20
Pred.
Simul.
BLS
Error
(%)
sx20
Error
(%)
OLS
sx20
Error
(%)
WLS
sx20
Error
(%)
CVR
sx20
Error
(%)
OR
1
16.80
3.6885
3.4578
6.25
0.7942
78.47
2.4092
34.68
3.6207
1.84
2.7991
24.11
1
7.10
5.0595
4.9588
1.99
0.6060
88.02
0.6077
87.99
3.3658
33.48
2.6145
48.32
105.20
2
29.30
21.3897
20.9902
1.87
4.2472
80.14
2.3623
88.96
87.7860
310.41
43.8907
2
13.00
103.0027
100.6386
2.30
7.8508
92.38
7.1846
93.02
91.7295
10.94
47.1192
54.25
3
11.70
0.5340
0.5351
0.21
0.9533
78.52
0.0289
94.59
4.3668
717.75
3.0540
471.91
3
23.40
0.0740
0.0753
1.76
1.1956
1515.68
0.0148
80.00
4.6337
6161.76
3.2965
4354.73
4
81.90
91.1230
77.2692
15.20
11.0476
87.88
5.2274
94.26
69.8071
23.39
4.5703
94.98
4
123.00
994.3954
870.0950
12.50
6.7616
99.32
23.7078
97.62
69.0507
93.06
3.2380
99.67
5
7.92
8.4438
7.9004
6.44
0.1242
98.53
0.4586
94.57
1.0325
87.77
0.9325
88.96
5
4.66
2.0086
1.9217
4.33
0.0510
97.46
0.1108
94.48
1.0018
50.12
0.8615
57.11
6
57.00
1.7145
1.6790
2.07
0.7621
55.55
0.3849
77.55
3.6430
112.48
3.3568
95.79
6
21.00
5.8198
5.8428
0.40
0.5833
89.98
0.7755
86.67
3.4417
40.86
3.1780
45.39
Mean error (%):
4.61
205.16
85.37
636.99
461.70
The lowest errors using the BLS expressions are obtained with Data sets
3 and 6. These seem to have the best goodness of fit for the experimental points to
the regression line, which seems to confirm that the closeness of the experimental
points to the regression line is an important factor for predicting the correct
variances. On the other hand, the errors are highest for Data sets 2 and 4
(maximum around 15% for the predictor variable). The variance for the response
variable in Data set 2 using the BLS expressions is overestimated by up to 11%
whereas the error with the WLS expression was unusually low (2.3%). With Data
set 4 we can examine the behaviour of the BLS technique to be examined in the
presence of data sets with a low correlation between the variables, and with two
possible outliers with very different variances at the limits of the regression range.
Since the BLS technique weights the influence of points with high errors
negatively, the point at the far end of the range affects the regression coefficients
relatively. This feature is partially present in WLS but absent in the other methods
because they do not take into account the individual errors. Therefore, the resulting
regression coefficients and associated variances of the five techniques are quite
different, and again, the variances corresponding to the variables predicted with
126
BLS are closer to the simulated results than those calculated with the other
methods. Data sets 1 and 5 give errors ranging from 1% to 7% for the response and
predictor variables.
5. CONCLUSIONS
We have developed and validated the new expressions for calculating the
variance of the predicted values in the x and y axes taking into account
heteroscedastic individual errors on both axes. This structure of errors
(heteroscedastic individual errors on both axes) is common in some fields of
chemical analysis, e.g. method comparison studies and some calibration
procedures, so it is important to have expressions for calculating the variance in the
predictor and response variables that take it into account. The validation has been
made by comparing the results of the two expressions (Equations (20) and (21)) in
the prediction of the response variable, and comparing the variance from (23) with
those from (20) and (21) after switching the axes in the prediction of the predictor
variable. Another more complete validation is made by comparing the results of
these equations with an estimate of the real variance from the Monte Carlo
simulation method applied to six real data sets.
The comparison with the variance from the Monte Carlo simulation
method applied to six real data sets confirms that these expressions are valid in real
cases when errors on both axes are taken into account. These expressions are of a
general nature and can be used to predict values and any kind of associated error,
such as measurements from two different methods, analytical techniques, observers
or laboratories.
BLS-based calculations can be done rapidly with an iterative process. The
main limitation of this technique is that the errors on both axes of each
experimental point in the regression analysis need to be known. However, this will
127
probably not be unusual in the future, since the international standards recommend
stating the errors for every measurement result [35]. One has to be aware of the
importance of having correct estimates of the variances associated with the
experimental points (which estimates are usually obtained by replicate analysis,
preferably in time-different intermediate conditions, not in repeatability conditions,
which tend to give rise to low variance estimators), since unusually low variances
(for instance, from a low number of replicates) make the regression line fit these
experimental points perfectly. Although in some of the real data sets used the
number of replicates was very low (only three), this study has assumed that a
comparison approach that accounts for approximate estimates of the individual
heteroscedastic uncertainties is better than one that does not consider them at all
when they really exist. Nevertheless, it is important to note that, when only the
errors on one variable are considered, BLS gives results which are identical to
those from OLS or WLS regression techniques.
CVR and OR appear to produce acceptable results when the data
structure meet their requirements, but as the individual errors are not taken into
account, their results may be far different from the real ones. It should be pointed
out that the high mean errors shown by CVR and OR methods in Tables 3a and 3b
are mainly due to their application to Data set 3. If this data set had not been taken
into account, the results from CVR and OR methods would have been more similar
to those from the WLS and OLS expressions.
A feature of the BLS method is that it provides results that are invariant
when the axes are switched. This property is of practical importance since, in
method comparison studies for instance which axis is used to represent the method
to be compared should not be significant as long as all the errors on both axes are
considered. Further studies based on these results are in progress. The development
of estimators for detection and quantification limits may be of particular interest.
128
ACKNOWLEDGMENTS
The authors thank the Spanish Ministry of Education and Science
(DGICyT project no. BP96-1008) for their financial support.
REFERENCES
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not to be taken Seriously. Accred. Qual. Assur. 2, 269 (Editorial) (1997).
132
4.3 Conclusiones
4.3 Conclusiones
En el artículo de la sección anterior se ha presentado el desarrollo de las
expresiones para el cálculo de las varianzas asociadas a la predicción de la variable
predictora a partir de un valor conocido de la variable respuesta y viceversa,
cuando se consideran los errores asociados a ambas variables. Estas expresiones se
han utilizado sobre una serie de conjuntos de datos reales sobre los que se han
encontrado los intervalos de predicción, con el fin de probar su aplicabilidad en el
Analizando las expresiones que se han desarrollado para el cálculo de la
varianza asociada a la predicción, tanto de la variable respuesta como de la variable
predictora, cuando se tienen en cuenta los errores en ambas variables, se observa
que su principal inconveniente es que dichas varianzas únicamente pueden
calcularse para aquellos puntos cuyo error experimental sea perfectamente
conocido. Aunque esta suposición limita el uso de dichas expresiones, hay diversas
soluciones al problema que se plantea. Una de ellas consiste en el modelado de las
varianzas a lo largo de todo el intervalo de la variable predictora y de la variable
respuesta (concentraciones y respuestas en una calibración o resultados de analizar
utilizando un método de nueva implantación y un método de referencia en una
comparación de métodos) a partir de los resultados experimentales. De esta forma,
el valor de la varianza experimental se conoce para todo el intervalo de cada una de
las dos variables, y por tanto puede calcularse la varianza asociada a la predicción
de la variable respuesta partiendo de cualquier punto de la variable predictora (o
viceversa). Esta solución se aplicará en el siguiente capítulo, donde se utilizan los
intervalos de predicción para calcular el límite de detección en regresión lineal
considerando los errores en las variables predictora y respuesta. Una solución
menos rigurosa al problema descrito es utilizar la experiencia para fijar los valores
de las varianzas a cada nivel de concentración. Sin embargo, esta solución suele
llevar asociado un importante error pues se añade la incertidumbre del analista a la
propia de los análisis, si bien sigue sin aportar información en aquellos lugares de
los que no se tiene suficiente información.
133
En el presente capítulo también se ha tratado la representación de los
intervalos de predicción en el campo de la comparación de métodos analíticos. Sin
embargo, su principal aplicación es la correspondiente a los procesos de
calibración, donde la concentración de los patrones se representa frente a su
respuesta instrumental. A lo largo de esta Tesis Doctoral se han presentado una
serie de conjuntos de datos en los que deben considerarse los errores cometidos en
las dos variables, siendo un buen número de ellos calibraciones llevadas a cabo en
el ámbito de la química analítica.
Una aplicación de los intervalos de predicción, tal como se ha introducido
con anterioridad, es el cálculo del límite de detección de una metodología, donde
dicho límite se extrae a partir de los intervalos de predicción fijados a los niveles
de confianza α y β. En el próximo capítulo se explicará el proceso seguido para
encontrar las expresiones para su cálculo, si bien su aplicación se plasmará,
básicamente, sobre procesos de calibración (es decir, se representan
concentraciones frente a respuestas instrumentales).
4.4 Referencias
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134
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135
5
Capítulo
5.1 Introducción
5.1 Introducción
Los resultados de los análisis químicos han adquirido una gran
importancia debido a las demandas de la sociedad actual. Recientemente, en toda la
Europa occidental ha surgido una grave problemática acerca del riesgo derivado
del consumo de carne procedente del ganado vacuno que padezca la encefalopatía
espongiforme bovina (EEB) (conocida popularmente como “mal de las vacas
locas”). En estadísticas oficiales realizadas en España, y concretamente en el
barómetro de noviembre de 2000 (estudio 2402) del Centro de Investigaciones
Sociológicas (CIS), esta enfermedad se sitúa como una de las veinte mayores
preocupaciones de la sociedad, a pesar de que en esas fechas era un problema
incipiente y no excesivamente conocido por el conjunto de la población. En las
citadas estadísticas, se demuestra que el problema afecta tanto a los individuos
como a la sociedad en general, y que su repercusión se puede ver tanto desde el
punto de vista económico como de política internacional. Por este motivo, los
resultados de los análisis llevados a cabo sobre los animales sospechosos de poseer
la enfermedad son portada diariamente en los periódicos de toda Europa. Existen
algunos estudios económicos con un carácter más general que revelan que la
generación de información analítica comporta hasta un 5% del producto interior
bruto mundial. Conocer si un alimento está adulterado, la presencia de un
contaminante en el aire, o incluso conocer el contenido de colesterol en la sangre
son otros ejemplos en que se consideran importantes los resultados de los análisis
químicos, en los que frecuentemente se necesita poder detectar un analito a
concentraciones extremadamente bajas.
Los químicos son conscientes desde hace muchos años de la importancia
de establecer límites de detección a las metodologías analíticas.1 Sin embargo, el
desarrollo de técnicas de análisis más sensibles y la reciente promulgación de leyes
que regulan la exposición de los seres humanos a niveles bajos de elementos
químicos que pueden ser dañinos, han servido para acentuar la necesidad de
calcular dichos límites. En el apartado 2.6 de la presente Tesis Doctoral, se
presentan una serie de técnicas desarrolladas para calcular el límite de detección a
lo largo de los años. Cada una de ellas introduce sutiles cambios en la terminología
139
5. Límites de detección en BLS
y en los conceptos, o diferencias en el cuidado y la atención que merecen las
asunciones necesarias para calcular el límite de detección. Durante mucho tiempo
muchos analistas no han tenido conciencia de estas sutiles diferencias, pero estas se
han hecho patentes cuando se han realizado intercomparaciones entre laboratorios a
niveles de trazas.2 Un ejemplo ocurrió en un proceso de intercomparación llevado a
cabo por la Agencia Internacional de Energía Atómica,3 donde se analizó el
contenido de As en un riñón de caballo (medido en niveles de µg/g). Varios
laboratorios obtuvieron resultados no cuantificables (por debajo del límite de
detección), a pesar de que los límites de detección que presentaron eran claramente
menores que resultados cuantitativos presentados por otros laboratorios. Como
consecuencia, el rango de los resultados presentados por todos los laboratorios se
extendía hasta cerca de cinco órdenes de magnitud.
Una aplicación con amplia repercusión social del límite de detección es la
comprobación de si determinado contaminante está o no presente en unas aguas de
consumo, o en un alimento determinado, o incluso conocer en qué concentraciones
se encuentra. Otra aplicación es el estudio de elementos traza en la atmósfera.
Además de las aplicaciones que se verán en este trabajo, el límite de detección
tiene aplicabilidad en múltiples situaciones en otros campos de la ciencia. Sin
embargo, en otros campos de la ciencia también se utiliza el límite de detección en
multitud de situaciones.
En algunos métodos analíticos en los que se necesita calcular el límite de
detección deben considerarse los errores experimentales cometidos en las variables
predictora y respuesta. Este es el caso de algunos procesos de calibración lineal
donde la respuesta instrumental es tan estable que sus errores experimentales son
comparables a los errores que llevan asociadas las concentraciones (tal como
ocurre con los análisis radioquímicos),4,5 o aquellos casos en que, debido a la
complejidad de las muestras, se deben utilizar materiales de referencia certificados
en la variable predictora (tal como ocurre con el análisis de muestras geológicas
utilizando fluorescencia de rayos X).6 En todos estos casos debe utilizarse el límite
de detección calculado utilizando un método de regresión que considere los errores
en las variables predictora y respuesta.
140
5.1 Introducción
En este capítulo se presentan las expresiones desarrolladas para el cálculo
de los límites de detección cuando se tienen en cuenta los errores experimentales
cometidos en las variables predictora y respuesta. Para explicar el proceso, en la
sección 5.2 se incluye el artículo: “Limits of detection in linear regression with
errors in the concentration”, enviado para su publicación en la revista Analytical
Chemistry, donde se desarrolla el cálculo de los límites de detección en los casos
en que deben considerarse los errores en la concentración además de los asociados
a las respuestas instrumentales. Dichos límites de detección se aplican sobre dos
conjuntos de datos reales en que los límites de detección basados en los métodos de
OLS y WLS son claramente sesgados por el hecho de no considerar los errores en
las dos variables.
Para el cálculo de los límites de detección se han utilizado las expresiones
para el cálculo de los intervalos de predicción desarrollados en el capítulo anterior.
Sin embargo, el cálculo del límite de detección involucra un proceso iterativo, de
manera que deben conocerse los intervalos de predicción para diferentes valores de
la concentración en los que la experimentación no se ha llevado a cabo. Para
solucionar este problema, se ha propuesto modelar las varianzas experimentales
asociadas a cada una de las variables. De esta forma se obtiene una aproximación
al valor de dichas varianzas a lo ancho de todo el intervalo de concentraciones y
puede calcularse el límite de detección. Este modelado se ha introducido de una
manera similar a como se hace al calcular el límite de detección utilizando la recta
de WLS, donde únicamente se consideran los errores heteroscedásticos en la
variable respuesta.7
En las siguientes secciones de este capítulo se presentan las conclusiones
que se extraen del artículo presentado, así como las referencias que se han citado a
lo largo del capítulo.
141
5.2 Limits of detection in linear regression with
errors in the concentration
Analytical Chemistry. Enviado para publicación
F. Javier del Río*, Jordi Riu, R. Boqué, F.Xavier Rius
This paper discusses a method for calculating the limit of detection
using linear regression. This method takes into account the heteroscedastic
individual errors in both axes, i.e. it uses the bivariate least squares (BLS)
regression method. The expressions were applied to X-ray fluorescence (XRF)
and capillary electrophoresis (CE) determinations to calculate the limits of
detection of nine elements in solid rocks and three anions in water,
respectively. The geological samples are habitually complex, so the calibration
is usually performed using certified reference materials of the analyte of
interest, all of which have uncertainties associated to the concentration values.
When determining anions using capillary electrophoresis, errors in both axes
are justified because of the small errors in measurement. The limits of
detection with these expressions have been compared with those obtained with
Ordinary Least Squares (OLS) and Weighted Least Squares (WLS). The
results show that the limits of detection when the BLS procedure is used are
smaller than when the other techniques are used.
142
5.2 Anal. Chem., enviado
INTRODUCTION
Chemists have long been aware of the importance of establishing the
limits of detection of analytical methods. The ability of a method to detect the
presence or absence of analytes in samples is one of the parameters that need to be
verified when checking whether it is 'fit for purpose'.1 However, the development
of more sensitive analytical techniques and the promulgation of statutory
regulations on human or environmental exposure to low levels of chemical health
hazards have increased the need to further examine the procedures used to establish
these limits.
In most laboratories, limits of detection are currently calculated from the
standard deviation of replicate analyses using blank samples. There are, however,
other good techniques for calculating the limits based on repetitions of analyses at
different levels of concentration, and normally using linear regression.2
One of the most common techniques using different levels of
concentration is based on the ordinary least squares (OLS)3 regression technique.
This is based on a set of mathematical hypotheses, such as the presence of random
errors with constant variance (homoscedasticity) on the y axis (normally the
instrumental response) or the absence of errors on the x axis (normally the
concentration level), that are sometimes not fulfilled in the chemical field.4,5 If
these hypotheses are not fulfilled, there may be biased regression coefficients of
the OLS straight line and, therefore, erroneous results. An improvement of the use
of OLS is the weighted least squares (WLS) regression technique,4,6 which takes
into account the presence of random errors with non-constant variance
(heteroscedasticity) in the y axis. However, WLS still considers the x axis to be
error-free. Procedures based on this latter regression technique7,8 have been
developed to obtain a better approximation of the limits of detection when
homoscedasticity in the instrumental responses cannot be assured.
There are analytical methods using straight lines in the calibration stage
whose errors in the instrumental responses are similar or even lower to the errors in
the concentration values.9 These are situations in which OLS or WLS often provide
biased results for the regression coefficients and therefore for parameters like the
143
limit of detection, because the mathematical hypotheses are not satisfied. In such
cases, regression techniques that consider the errors in both axes, i.e. the errors in
the instrumental responses and the concentration values, are recommended.10,11
Of the numerous regression techniques that consider the errors in both
axes, we have chosen bivariate least squares (BLS) because it easily provides the
coefficients of the regression line and their associated variance-covariance matrix,
and because of the simplicity of programming its algorithm. The BLS regression
technique12,13 can overcome the limitations of the OLS and WLS regression
methods, i.e. the fact that the individual errors in both variables are not considered.
This technique calculates the straight line regression coefficients by taking into
account the heteroscedastic errors in both axes for every experimental point.
In this paper we present a new method for calculating the limit of
detection when errors in the concentration are present, i.e. using the BLS
regression method. It is based on the prediction intervals developed for BLS,14 and
adapts the procedures for calculating the limits of detection in OLS3 and WLS8.
To demonstrate its applicability, the derived estimator has been used in
the determination of nine elements in solid rocks using X-ray fluorescence (XRF).
Due to the complexity of the real samples (i.e. geological samples), the calibration
is usually performed using CRMs of the analyte of interest.15 The estimator has
also been used in the analysis of three anions in waters using capillary
electrophoresis (CE).
BACKGROUND AND THEORY
Notation. In general, the true values of the variables used in this paper
are represented by Greek characters, while their estimates are represented by Latin
characters. In this way, the true values of the straight line regression coefficients
are represented by β0 (intercept) and β1 (slope), while their respective estimates are
represented by b0 and b1. The estimates for the standard deviation of the intercept
and the slope of the regression line are sb0 and sb1 respectively. The experimental
data pairs of a data set are (xi, yi) and their respective errors in each axis are
144
expressed in terms of variance as s x2i for the concentration and s 2yi for the response
variable. The experimental error, also expressed in terms of variance for the n
experimental data pairs, is σ2, while its estimate is s2. ŷi represents the estimated
value for the yi predicted. Some expressions have the subscript 'OLS', 'WLS' or
'BLS' to denote the regression method from which they are calculated.
σ 02 and σ 2D are the true errors, in terms of variance, associated with the
prediction of the estimated quantity (net response or concentration) at zero
concentration (under the null hypothesis, true value = 0) and at the level of the limit
of detection, respectively, while s02 and s D2 are their estimates.2 In the calculation
of the limit of detection, LC is the critical value of the estimated quantity in terms of
net response or concentration, XC is the critical value in terms of concentration, and
yC is the value of the response at the level of XC. LD is the limit of detection of the
estimated quantity, XD is the limit of detection in terms of concentration and yD is
the value of the response at the level of XD. In all cases m is the number of
replicates performed on a future sample. Finally, z1-α represents the percentage
point or critical value of the standard normal distribution for a significant level α,
while t1-α is its equivalent for a one sided t-Student distribution.
Bivariate least squares regression. The straight line model found with
this regression technique is expressed in eq. 1:
(1)
where ei is the residual for the i-th point in the data set of the regression line. In this
form, the predicted value for the observed yi is:
ŷi = b0 + b1 xi
(2)
The method consists of minimizing the squared sum of the weighted
residuals of the experimental points to the regression straight line:
S=
n
∑
i =1
ei2
=
wi
n
∑
i =1
( y i − yˆ i ) 2
= s 2 ⋅ ( n − 2)
wi
(3)
145
where s2 is the estimation of the experimental error and wi is the weighting factor
that corresponds to the variance of the ith-residual:
2
wi = s e2i = s 2yi + b1 s x2i − 2b1 cov( x i , y i )
(4)
cov(xi, yi) is the covariance between the predictor and the response
variable for every experimental point, which is normally set to zero. Minimizing
the sum of the weighted residuals in relation to the slope and the intercept gives eq.
5.
Rb = g
(5)
Eq. 6 is obtained from eq. 5 by including the partial derivatives of the
squared residuals:
n
1
∑s
i =1
n
∑
i =1
2
ei
xi
s e2i
n
∑
i =1
n
∑
i =1
2

 ei  ∂s e2i 
y
1
i


 +

 s e2 2  s e2  ∂b0 
i
1
=
b0
 i
 i

=
2 ×
2
2 
xi b1
n 
xi y i 1  ei  ∂s ei 

2
+
s ei
 s e2
2  s e2i  ∂b1 
i =1

 i
xi
s e2i
n
∑
(6)
∑
The slope and the intercept, which are the components of vector b in eq.
5 and eq. 6, can be found by inverting matrix R and solving eq. 7:
b = R −1g
(7)
An iterative process must be carried out to solve eq. 7, due to the
weighting factor (including the slope) in every term of matrix R. With this method,
and assuming that the straight line model is correct, the variance-covariance matrix
of the calibration straight line coefficients is obtained by multiplying the final
matrix R-1 by the estimate of experimental error, s2 (eq. 3).
146
Whenever the variances of the concentration values are zero, the WLS
solution is obtained. Furthermore, if the errors on the response variable are constant
and the concentration is considered free of error, the OLS solution is obtained.
Detection limit. The decision about whether an analyte is present in a
sample or not is taken by comparing its estimated net response or concentration
with the critical value (LC). The critical value is the minimum significant value of
an estimated net signal or concentration. The probability of exceeding the critical
value is no greater than the selected α level of significance if the analyte is absent.2
If data at zero concentration are normally distributed with known
variance, the critical value can be expressed as follows,
LC = z1−α σ 0
(8)
where σ0 is defined from a sum of variances, one of which is due to the
measurement of the sample ( σ 2y ) and the other to the uncertainty of the blank
( σ 2blank ):
σ 02 = σ 2y + σ 2blank
(9)
The detection limit (LD) is the minimum value for which the false
negative error is β, given LC (or α).2 These terms are shown in Figure 1.
σ0
σD
α
β
0
LC
LD
Figure 1.- Graphical representation of the critical level (LC) and the detection limit (LD). The two
distributions plotted represent the normal distribution at zero concentration and at the level of the
limit of detection.
147
For data with a known variance structure, LD can be expressed as:
LD = LC + z1−β σ D = z1−α σ 0 + z1−β σ D
(10)
Estimating limits of detection in linear regression.
Response
Ordinary least squares estimator. Figure 2 shows the relationship
between the value of the response at the critical value (yC) and the limit of detection
in terms of concentration (XD) according to Hubaux and Vos3.
y=b0+b1x
α
yC
β
y0
XC
XD
Concentration
Figure 2.- The Hubaux and Vos approach for calculating the limit of detection.
The blank signal (y0) is obtained as the intercept (b0) of the OLS
regression line, and the standard deviation of the blank is subsequently assumed to
be sb0 . The value of the response in the critical value is the intersection between
the upper prediction interval (for a fixed α) and the y-axis. Following the Hubaux
and Vos development, the response at the critical value can be calculated from eq.
11:
y C = b0OLS + t1−α s 0 = b0OLS + t (1−α,n −2 ) sOLS
1 1
+ +
m n
x OLS
∑ (x
n
i =1
148
i
2
− x OLS
)
2
(11)
where sOLS is the estimate of the experimental error and x OLS is the mean value of
the concentration, and where the z-values in equation 8 are substituted by t-values.
XC =
y C − b0OLS
(12)
b1OLS
This value is equivalent to the XC level given by Currie. The detection
limit XD is obtained by projecting yC onto the lowest prediction interval of the
regression line chosen for a fixed β probability of error, and is equivalent to the LD
level defined by Currie. The limit of detection is calculated as follows:
X D = t (1− α,n − 2 ) s0OLS + t (1−β,n − 2 ) s DOLS =
=
t (1− α,n − 2 ) sOLS
b1OLS
1 1
+ +
m n
2
x OLS
n
∑ (x
i =1
− x OLS )
2
i
+
t (1−β,n − 2 ) sOLS
b1OLS
1 1
+ +
m n
( X D − xOLS )2
n
∑ (x
(13)
− x OLS )
2
i
i =1
s0OLS and s DOLS represent the standard deviation at zero concentration
level and at the level of the limit of detection.4,5 Eq. 13 has an exact mathematical
solution16 and can also be solved by an iterative process.
Weighted least squares estimator. Oppenheimer et al.7 generalized the
procedure to find the limit of detection when heterostedasticity in the response
variable is allowed. The main difference from the OLS estimator is the inclusion of
a weighting factor to take into account the heteroscedasticity in the response. The
variances for the response variable can be found by modeling the experimental
individual variance values versus the concentration level8 (i.e. the known s 2yi of the
experimental points). The limit of detection in WLS regression can then be
expressed as:
149
X D = t (1−α,n −2 ) s0WLS + t (1−β,n −2 ) s D WLS =
=
t (1−α,n −2 ) s WLS
s 2y0
b1WLS
m
+
n
∑
i =1
+
t (1−β,n −2 ) s WLS
s 2yD
b1WLS
m
2
1
+
+
1
s 2yi
∑
∑
i =1
(x
i
i =1
− x WLS
s 2yi
+
)
2
(14)
(X − x )
(x − x )
2
1
n
n
x WLS
1
s 2yi
+
WLS
D
n
∑
i =1
2
i
WLS
2
s yi
where s 2y0 and s 2yD are the variances in the response variable, associated with zero
concentration and with the concentration at the limit of detection, respectively. Eq.
14 is solved by an iterative process, due to the limit of detection in both terms of
the equation and the need to recalculate the experimental standard deviation at the
level of yD. Due to the weighting factor, which includes the individual errors, the
analytical solution is difficult to find. s WLS is the estimate of the experimental error
(eq. 15) and x WLS is the mean weighted value of the concentration calculated from
eq. 16.
n
s WLS =
∑
i =1
( y i − yˆ i ) 2
s 2yi
n−2
n
x WLS =
xi
∑s
i =1
n
∑
i =1
(15)
2
yi
1
s 2yi
(16)
It must be pointed out that if the errors in the instrumental response are
homoscedastic (i.e. s 2yi =ct.), the limit of detection is the same with OLS (eq. 13)
and WLS (eq. 14).
Bivariate least squares estimator. To find the limit of detection by
considering heteroscedastic individual errors in both axes, we use the prediction
intervals based on the BLS regression method,14 which takes into account the errors
150
in both axes. These expressions are similar to the ones for OLS and WLS but
include the uncertainty in the concentration.
Using these expressions and the scheme in Figure 2, from eq. 17 we
obtain the estimate of the response at the critical value (yC) as follows:
y C = b0 + t1− α s0 = b0BLS + t (1−α,n − 2 ) s BLS
w0
+
m
1
n
∑
i =1
1
wi
+
x BLS
n
∑
i =1
(x
i
2
− x BLS
wi
)
2
(17)
where w0 is the weight associated with the signal at zero concentration and
calculated using eq. 4. The variances of both the concentration and the instrumental
response are calculated modeling the errors in both axes, as with the WLS
expressions (see next section). s BLS is the estimate of the experimental error (eq.
18) and x BLS is the mean weighted value of the concentration calculated from eq.
19.
n
s BLS =
∑
i =1
( y i − yˆ i ) 2
wi
n−2
n
x BLS =
xi
∑w
i =1
n
∑
i =1
(18)
i
1
wi
(19)
Following the scheme in Figure 2, the critical value can be expressed in
terms of concentrations, using eq. 12 with the regression coefficients of the BLS
regression line. The limit of detection is obtained from eq. 10, where the real
values of the standard deviations are substituted by their estimates and the z-values
are replaced by t-values:
151
X D = t (1−α,n −2 ) s0BLS + t (1−β,n −2 ) s D BLS =
=
t (1−α,n −2 ) s BLS
b1BLS
w0
+
m
n
∑
i =1
+
t (1−β,n −2 ) s BLS
b1BLS
2
1
wD
+
m
1
wi
+
1
n
∑
i =1
1
wi
n
∑
(x
x BLS
i
i =1
− x BLS
wi
+
)
2
(20)
(X − x )
(x − x )
2
+
BLS
D
n
∑
i =1
2
i
BLS
wi
where wD is the weight associated with the signal at the limit of detection, and is
calculated from eq. 4. Eq. 20 has no analytical solution because XD appears in both
sides of the equation. For this reason, the limit of detection is found using an
iterative process. In this process, XD and wD are recalculated in each iteration until
XD converges to the criterion set by the analyst (depending on the number of
significant digits used to express the limit of detection).
Modeling the errors. The errors associated to instrumental responses
and concentrations in a calibration process normally increase as the concentration
increases. We need to know the errors in the predictor and response variables (or
just the errors associated with the response variable for the WLS limit of detection)
at the levels of concentration and responses around the limit of detection (i.e. to
calculate wD and w0 from eq. 4, we need the standard deviation of both variables at
zero concentration level and the limit of detection). However, these are normally
unknown. A way to get these values is by modeling the uncertainties in the
response and the concentration.8 To model these standard deviations we propose
some typical expressions:
Lineal model (L):
sv = a 0 + a1v
Quadratic model (Q): s v = a 0 + a1v + a 2 v 2
Exponential model (E):
s v = a 0 e a1v
Squared quadratic model (S): sv = a 0 + a1v + a 2 v 2
where v represents both the predictor and response variables.
152
(21)
(22)
(23)
(24)
After trying to fit all the models to the experimental standard deviations
of both the concentration and the response, the simplest model that provides
positive values and the lowest residual errors to the regression model is chosen.
EXPERIMENTAL SECTION
To show how useful these expressions are we used them to calculate the
limits of detection of nine elements in geological samples analyzed using X-ray
fluorescence (XRF), and to the calculate the limits of detection of three anions in
water determined using capillary electrophoresis (CE).
Instrumentation. XRF was conducted using an X-ray sequential
spectrophotometer Philips PW2400 (equipped with the program UniQuant®
v2.53), which simultaneously detects each element of the periodic table whose
atomic weights is greater or equal to that for Fluor. It is equipped with a filtered
Rh-target X-ray guide with an aperture for analysing samples of about 40mm in
diameter. The X-ray fluorimeter works at 60kV and 50 mA for all elements except
Na2O (40kV and 75 mA) and Nb (60 kV and 30 mA).
The capillary electrophoresis was performed using a Waters CIA
(Capillary Ion Analyzer) system with a fused silica capillary of 75 µm x 60 cm.
The detector was a UV set at 254 nm. The electrolyte was 5 mM cromate / 0.5 mM
OFM (Osmotic Flow Modifier). Samples were injected hydrostatically (indirect
detection mode) by applying 50 mbar for 10 s. The separation was performed at 20
kV (negative voltage supply) and 25 ºC.
Samples. The calibration samples for the XRF determination were
geological certified reference materials (CRM), supplied by the IGGE (Institute of
Geophysical and Geochemical Prospection, Ministry of Geology, Beijing, China);
their references were: GSD-2 to GSD-12 and GSR-1 to GSR-4. Nb, Zr, Y, Sr, Rb,
Pb, Na2O, Ga and Ni were analyzed in each of the 15 CRMs to obtain 15 data pairs
for every element. The errors in the CRMs were calculated from a worldwide
certification interlaboratory trial, and the final results were presented by Xie et
al.17,18. The error in the instrumental response was obtained from seven replicate
153
measurements of each CRM in different days performed in the SCT of the
University of Barcelona (Barcelona, Spain). Interferences was taken into account
and possible matrix effects were corrected with the incoherent radiation (Compton)
of the sample.
The samples used in the analysis of anions in waters were obtained from
dilutions of CRMs; these were 3181, 3182 and 3185 from the National Institute of
Standards & Technology (NIST). The uncertainty of these standards was calculated
from the error propagation theory, taking into account the dilutions made. The
uncertainty of the CRMs is based on the “combined uncertainty” calculated
according with the ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement19.
The anions were chloride, sulfate and nitrate. Forty replicates of each standard
were obtained at time-intermediate conditions in the Public Health Laboratories of
Valencian Autonomous Government (Albal, Valencia, Spain).
Calculations. All calculations were made with customized software
using MATLAB ver. 4.2 for Microsoft Windows20. Matlab files are available on
request.
RESULTS AND DISCUSSION
Table 1 shows the results of the straight lines using the BLS regression
technique for the XRF determination. The results for the OLS and WLS regression
lines (which do not consider the uncertainties in the CRMs) are also given for
comparison purposes. The table also shows the models chosen for the errors in the
predictor and response variable according to eqs. 21-24 (the model for the errors in
the x axis is used to calculate the BLS limits of detection; the model for the errors
in the y axis is used in the BLS and WLS limits of detection). In every case, we
chose the model that gives positive values and the lowest residual error to the
regression model. Table 2 shows the same parameters for analysing anions with
CE.
154
Table 1.- Straight line regression coefficients for the nine analytes by XRF obtained with OLS, WLS
and BLS regression techniques, and model regression coefficients of the standard deviations for the
response and concentrations. See text for the meanings of the letters E, Q and S.
OLS
WLS
BLS
b0
b1
b0
b1
b0
b1
Ga
0.0219 0.0026 0.0197 0.0027 0.0163 0.0029
Na2O -0.3243 8.0820 -0.2607 7.9900 -0.1041 8.1178
Nb
0.0998 0.0013 0.0986 0.0013 0.0996 0.0013
Ni
0.0266 0.0020 0.0276 0.0020 0.0283 0.0020
Pb
0.0073 0.0001 0.0072 0.0001 0.0068 0.0001
Rb
0.0013 0.0034 0.0099 0.0033 0.0051 0.0033
Sr
0.1965 0.0043 0.2066 0.0042 0.2253 0.0041
Y
-0.1162 0.0050 -0.1161 0.0049 -0.1127 0.0048
Zr
0.2685 0.0050 0.2346 0.0052 0.2096 0.0053
E
E
E
Q
E
Q
Q
E
Q
Standard deviation of x
a0
a1
a2
0.5321 0.0601
0.0012 0.0680
4.0448 0.0399
0.0000 0.2809 0.0043
3.3962 0.0634
12.3770 -0.0363 0.0049
379.1300 -3.9932 0.0111
2.9696 0.0561
484.2100 -4.8771 0.0197
Standard deviation of y
a0
a1
a2
S 0.0000
9E-12 0.0000
Q 5E-04
-1E-04 6E-06
S 0.0000
3E-11 0.0000
S 2E-15
2E-13 5E-13
E 5E-07
2.3082
S 0.0000 6.00E-10 0.0000
S 0.0000 7.00E-11 0.0000
Q 2E-06
-3E-06 5E-05
S 7E-11
-7E-11 6E-11
Table 2.- Straight line regression coefficients for the three anions by capillary electrophoresis with
OLS, WLS and BLS regression techniques, and model regression coefficients of the standard
deviations for the response and concentrations. See text for the meanings of the letters E, Q and S.
OLS
b0
Cl-
WLS
b1
b0
BLS
b1
b0
b1
Standard deviation of x
a0
a1
a2
Standard deviation of y
a0
a1
a2
212.8475 58.1534 186.3113 56.6524 141.8163 59.1845 Q
0.0138 -0.0004 3E-06 S 0.0000
NO3-
129.4625 30.4011
80.0630 31.1234
68.4495 31.2399 E
0.0270
Q 12.005
0.041 2E-06
SO42-
53.6780 31.1182
32.4993 31.2777
31.8384 31.2883 Q
0.0419 -0.0038 0.0001 S 2279.2
1.4942 0.0015
0.0320
-
2E-05 5E-09
XRF data sets: Table 3 shows the limits of detection of the nine elements
(expressed in ppm and calculated with α and β fixed at 5%) for the three regression
methods.
Table 3.- Detection limits for the nine analytes studied by XRF when α and β errors are 5%. All
results are expressed in ppm.
α=5/β=5
Ga
Na2O
Nb
Ni
Pb
Rb
Sr
Y
Zr
Range of
LOD(OLS)
concentrations
5.4 - 27.4
7.8
0.04 - 3.85
0.49
7 - 95
11.5
2.5 - 139
7.5
7.8 - 636
13.5
9.4 - 470
28.5
24.4 - 1107
31.5
9.4 - 67
3.1
70.4 - 490
56.8
LOD(WLS)
6.1
0.48
11.4
8.1
11.4
11.6
16.7
4.6
41.6
LOD(BLS)
5.2
0.24
4.8
2.6
4.7
11.8
24.5
2.0
31.8
The limits of detection of the three methods are different mainly because
of the difference in the regression coefficients and experimental variances in
predictor and response variables. As the limit of detection is based on the
expressions of the prediction intervals, when the slope and intercept of BLS are
155
similar to those of OLS and WLS, the smallest limits of detection are those whose
prediction intervals are smaller at levels of concentration near the limit of
detection. The classical prediction intervals in OLS increase at small levels of
concentration because they correspond to a branch of the hyperbola; this means
that the limit of detection is also higher than in BLS. WLS normally provides lower
detection limits than OLS because when the individual errors are modeled near the
detection limit, the lower branch of the confidence interval (i.e. the branch of the
hyperbola near the limit of detection) is lower than in OLS. In calibration the
experimental errors in both variables are usually smaller when the level of
concentration decreases. So, when errors in both axes are taken into account (i.e.
with BLS), the prediction intervals around zero concentration are also usually
smaller than at higher levels of concentration.14 Consequently, the limits of
detection with BLS are expected to be smaller than with WLS and much smaller
than with OLS.
6
5
XRF Response
4
3
2
1
0
WLS:
OLS:
BLS:
0
500
1000
Concentration (ppm)
1500
Figure 3.- Data pairs and their respective standard deviations (the half of the vertical and horizontal
lines that crosses the data pairs) and the OLS, WLS and BLS straight lines for Sr.
As we can see in Table 3, the detection limits calculated when errors in
both axes are considered, are lower than when only the errors in the y axis. This is
to be expected. Only with Sr (Figure 3) is the limit of detection with BLS higher
156
than with WLS. Even so, this difference is considered small, due to the range of
concentrations of the samples: the concentration ranges from 24.4 to 1107 ppm and
the limit of detection ranges only from 16.7 ppm (WLS) to 24.5 ppm (BLS). These
results can be explained because the straight lines obtained with OLS, WLS and
BLS are quite different, and because the variances fit poorly to the model at low
levels of concentration, which can cause the prediction intervals at the levels of
concentration near the limit of detection in the BLS straight line to increase. This
makes the limit of detection with BLS higher than with the WLS straight line.
35
30
XRF Response
25
20
15
10
5
0
WLS:
OLS:
BLS:
0
1
2
3
Concentration (ppm)
4
5
lines that crosses the data pairs) and the OLS, WLS and BLS straight lines for Na2O.
The analysis of Na2O (see Figure 4) is an example of when the three
straight lines are very similar and their limits of detection vary according to the
regression method.
If the straight lines from OLS, WLS and BLS are not similar, the limits of
detection will not necessarily follow the order: LOD(BLS) < LOD(WLS) <
LOD(OLS) because they are greatly affected by the position of the straight line.
With Ga (Figure 5), the OLS limit of detection is smaller than with WLS because
157
the straight lines are different. In any case, for this example the limit of detection is
smaller with BLS than with OLS or WLS.
0.1
XRF Response
0.08
0.06
0.04
0.02
WLS:
OLS:
BLS:
0
5
10
15
20
Concentration (ppm)
25
30
lines that crosses the data pairs) and the OLS, WLS and BLS straight lines for Ga.
Due to the characteristics of the XRF data sets (uncertainties in the
concentration are clearly higher than in the response), an inverse regression (i.e.
concentrations in the y axis and responses in the x axis) using WLS would provide
similar limits of detection to those with BLS. The comparison was therefore made
with BLS and WLS inverse regressions, and the limits of detection were
considered to be comparable. These results appear to prove that the new method is
suitable.
Figure 6 shows the characteristic curve of detection21 for a fixed α
significance level of 5% for Pb. The limits of detection using the curves from the
expressions that consider the errors in both axes are usually different than those
from expressions that considering only the errors in the y axis, although the shape
of the curves is the same for all the interval. As we have previously stated, the
experience confirms that the values obtained with the BLS technique are usually
smaller than those obtained with the OLS and WLS techniques. Figure 6 shows
158
that, as expected, the values corresponding to the three curves tend to be most
similar when β is increased
100
β-error
80
60
OLS
40
BLS
WLS
20
0
0
5
10
15
Limit of detection (ppm)
20
25
Figure 6.- Characteristic curves of detection for α fixed at 5% using the estimates based on BLS,
WLS and OLS regression methods for analyzing Pb.
Figure 7 shows the BLS characteristic curves of detection for Pb when a
sample is analyzed m times. We can see that the higher the number of repetitions,
the smaller the detection limit. Figure 7 also shows that the main decrease in the
limit of detection is achieved when most replicates are performed when m is low
(for example, from m=1 to m=2), but this effect is not significant when m is high.
100
β-error
80
60
m=1,2,3
40
m=∞
20
0
0
2
4
6
8
10
Limit of detection (ppm)
Figure 7.- Characteristic curves of detection for α fixed at 5% and for different number of replicates
(m=1,2,3 and m=∞) when analyzing Pb.
159
CE data sets: Table 4 shows the limits of detection for the three anions
analyzed using CE. The limits of detection are expressed in ppm and are calculated
with α and β fixed at 5%. The limits of detection with BLS are always smaller than
with WLS, and are much smaller than with OLS, as we concluded for the data sets
analyzed using XRF.
Table 4.- Detection limits for the three anions analysed by CE when α and β errors are 5%. All
results are expressed in ppm.
α=5/β=5
-
Cl
NO3SO4 2-
Range of
LOD(OLS)
concentrations
10 - 150
11.5
10 - 150
24.3
10 - 400
6.7
LOD(WLS)
4.6
10.3
4.3
LOD(BLS)
4.4
8.2
2.6
This data set is a genuine application in which the limit of detection
should be calculated from the BLS expressions, because the structure of the data
set does not allow us to perform inverse regression like the data sets from XRF did.
In this case the errors in the two axes may be considered to be of the same order of
magnitude, although the errors in the response are higher than those in the
concentration.
From eq. 20 with α and β fixed, the limit of detection can be decreased
by minimizing the prediction intervals near the zero concentration level and around
the level of the limit of detection, which are directly affected by the errors in the
two variables. These intervals can be decreased by obtaining better approaches of
the concentration and instrumental response values (and their associated errors)
around the limit of detection. This usually implies more replicates in the laboratory
(a minimum of ten replicates is recommended) to obtain good models for the
experimental errors in both axes.
CONCLUSIONS
We have developed expressions for calculating the limit of detection in
linear regression when the experimental errors in the concentration are taken into
account. To show their applicability, the limits of detection have been calculated
for a method of analysing nine elements in rocks using XRF and one for analysing
160
three anions in water using capillary electrophoresis. We have compared the limits
of detection of the XRF method (due to the structure of the data sets) with those
from inverse regression and WLS. Results were identical. The determination of
three anions using capillary electrophoresis is given as an example of the
applicability of the new expressions when the errors in both variables are of the
same order of magnitude.
The limits of detection with the BLS method are usually smaller than
with the methods developed for the OLS and WLS regression techniques.
The process for calculating the limit of detection does not increase
calculation time. The only thing that complicates the process is the need to model
the errors in both variables. However, an iterative calculation is also needed when
the WLS expressions are used, and in this case the calculation time is not
significantly smaller than with the BLS expressions. One potential drawback is the
fact that replicates in the instrumental responses and concentration are needed.
However, when CRMs are used to obtain the calibration curves, the errors in the
concentrations of these materials are generally published and known.
This method also needs good estimates of the variances in the different
levels of concentration of the CRMs (or in the concentration generally), and in the
different levels of the variances in the response variable. This is because the
variances in both axes are modeled according to generic models. Good estimates of
these variances (so more replicates in the instrumental response) are needed for the
model to have a good fit.
ACKNOWLEDGEMENTS
The authors would like to thank Montserrat Baucells of the SCT of the
University of Barcelona and the Public Health Laboratories of Valencian
Autonomous Government for providing the XRF and CE data, respectively. The
Spanish Ministry of Education and Science (DGICyT project no. BP96-1008) is
also acknowledged for its financial support.
161
REFERENCES
1.- Sargent M. Anal. Proc., 1995, 32, 201-2.
2.- Currie, L.A. (IUPAC Recomendations 1995) Pure & Appl. Chem., 1995, 67,
1699-723.
3.- Hubaux, A.; Vos, G. Anal. Chem., 1970, 42, 849-55.
4.- Draper, N.; Smith, H. Applied Regression Analysis, 2nd ed.; John Wiley &
Sons: New York, 1981; pp 8-70, 108-17.
5.- Massart, D.L.; Vandeginste, B.G.M.; Buydens, L.M.C.; de Jong, S.; Lewis, P.J.;
Smeyers-Verbeke, J. Handbook of Chemometrics and Qualimetrics: Part A;
Elsevier: Amsterdam, 1997; pp 75-8, 422-35.
6.- Rawlings, J.O. Applied Regression Analysis; Wadsworth & Brooks/Cole:
Belmont, 1988; pp 315-8.
7.- Oppenheimer, L.; Capizzi, T. P.; Weppelman, R.M.; Mehta, H. Anal. Chem.,
1983, 55, 638-43.
8.- Zorn, M. E.; Gibbons, R.D.; Sonzogni, W. C. Anal. Chem., 1997, 69, 3069-75.
9.- Watters, R.L.; Carroll, R.J.; Spiegelman, C.H. Anal. Chem., 1987, 59, 1639-43.
10.- Clark, R.M. J. R. Statist. Soc. A, 1979, 142, 47-62.
11.- Clark, R.M. J. R. Statist. Soc. A, 1980, 143, 177-94.
12.- Lisý, J.M.; Cholvadová, A.; Kutej, J. Computers Chem., 1990, 14, 189-92.
13.- Riu, J.; Rius, F.X. J. Chemom., 1995, 9, 343-62.
14.- del Río, F.J.; Riu, J.; Rius, F.X. J. Chemom., In press.
15.- Bennett, H.; Oliver, G. XRF Analysis of Ceramics, Minerals and Allied
Materials; John Willey & Sons: Chichester, 1992.
16.- Garner, F.C.; Robertson, G.L. Chemom. Intell. Lab. Syst., 1998, 3, 53-9.
17.- Xie, X.; Yan, M.; Li, L.; Shen, H. Geostandards Newsletter, 1985, 9, 83-159.
18.-Xie, X.; Yan, M.; Wang, Ch.; Li, L.; Shen, H. Geostandards Newsletter, 1989,
13, 83-179.
19.- BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML Guide to the expression of
uncertainty in measurement. ISO, Geneva, 1993.
20.- Mathworks Inc., Natick, Massachussets, USA.
21.- Liteanu, C.; Rica, I. Statistical Theory and Methodology of Trace Analysis;
Ellis Horwood: Chichester, 1980; p 208.
162
5.3 Conclusiones
5.3 Conclusiones
Mediante el desarrollo de las expresiones para el cálculo del límite de
detección cuando se tienen en cuenta los errores en la concentración, se produce un
importante avance en la finalidad de estudiar los parámetros de calidad que se
deben estudiar sobre una recta de regresión. De esta forma, se permite avanzar en
la validación de metodologías en las que esté involucrado el método de regresión
BLS.
En este capítulo se ha perfeccionado la aplicabilidad de las expresiones
desarrolladas para el cálculo de los intervalos de predicción presentadas en el
capítulo anterior, pues se ha introducido la posibilidad de modelar las varianzas de
las variables predictora y respuesta. De esta forma, se obtienen unos intervalos de
predicción continuos a lo largo de todo el intervalo de concentraciones, en vez de
unos intervalos discretos tal como se concluye en el capítulo 4 de esta Tesis
Doctoral. Esta ampliación y perfeccionamiento permitirá el uso de los intervalos de
predicción, no solo para predecir el valor de una muestra desconocida y su error
asociado, sino también para otros procesos que requieren de los intervalos de
predicción, como es el presentado en este capítulo, que es el cálculo de los límites
de detección.
Una vez obtenido el límite de detección, una perspectiva que queda
abierta en el estudio de los parámetros cualimétricos de la regresión BLS es el
tratamiento de puntos discrepantes, ya que su presencia conduce a resultados
erróneos al utilizar la recta BLS, así como tests asociados a la misma. De esta
forma, en el próximo capítulo, se tratará la regresión lineal considerando los errores
en las variables predictora y respuesta cuando el conjunto de datos inicial presenta
puntos discrepantes o sospechosos de serlo.
163
5.4 Referencias
1.- C.A. Clayton, J.W. Hines, P.D. Elkins, Analytical Chemistry¸59 (1987) 25062514.
2.- L.A. Currie, Analytica Chimica Acta, 391 (1999) 127-134.
3.- L.A. Currie, Ed., Detection in Analytical Chemistry: Importance, Theory, and
Practice, cap.9, ACS Sympos. Serie 361, American Chemical Society,
Washington (1988).
4.- R.M. Clark, Journal of the Royal Statististical Society, Series A, 142 (1979) 4762.
5.- R.M. Clark, Journal of the Royal Statististical Society, Series A, 143 (1980),
177-194.
6.- H. Bennett, G. Olivier, XRF Analysis of Ceramics, Minerals and Allied
Materials, John Wiley & Sons, New York (1992).
7.- M.E. Zorn, R.D. Gibbons, W.C. Sonzogni, Analytical Chemistry 69 (1997)
3069-3075.
164
6
Capítulo
Regresión lineal en presencia de puntos
discrepantes
6.1 Introducción
6.1 Introducción
La regresión lineal es una herramienta estadística ampliamente utilizada
en muchos campos de la ciencia. Sin embargo, existe una permanente
preocupación por el peligro de llevar a cabo la regresión lineal en presencia de
puntos discrepantes. Estos puntos discrepantes pueden ser consecuencia de errores
en la medida, en la transcripción de los resultados, errores debido a fenómenos
excepcionales, o errores debidos a considerar de la distribución alguna muestra
extraviada perteneciente a una distribución diferente. En los análisis reales es muy
frecuente la presencia de puntos discrepantes, que pueden fácilmente pasar
inadvertidos debido a que los datos se tratan generalmente por ordenadores
evitando la inspección visual de los mismos.1 En el contexto de la presente Tesis
Doctoral, por el hecho de tener puntos discrepantes en el conjunto de datos, se
puede llegar a cometer errores en la aplicación de los tests individuales sobre la
ordenada en el origen o la pendiente, en la predicción o en el cálculo del límite de
detección.
A pesar de que BLS tiene cierto grado de robustez ante puntos
discrepantes, debido principalmente a la propia naturaleza del algoritmo de dar más
peso a aquellos puntos que tienen menores errores experimentales, hay una serie de
puntos discrepantes que BLS es incapaz de detectar y, por tanto, de ignorar. Por
este motivo, es importante tratar el tema de la regresión lineal, considerando los
errores experimentales individuales cometidos en las variables predictora y
respuesta, cuando puntos discrepantes (o sospechosos de serlo) están presentes en
el conjunto de datos inicial.
Este capítulo se ha dividido en tres partes. La primera de ellas trata del
desarrollo de una nueva técnica para la detección de puntos discrepantes en
regresión lineal (sección 6.2). En la sección 6.3 se presentará un método de
regresión robusta basado en la regresión lineal considerando los errores
experimentales cometidos en ambas variables. Por último, la sección 6.4 presenta
un trabajo de síntesis en el que se pretende plasmar las diferentes pautas de uso de
cada una de las técnicas desarrolladas en este capítulo, con el fin de encontrar la
167
6. Regresión lineal en presencia de puntos discrepantes
recta de regresión correcta cuando se consideran los errores cometidos en las dos
variables y el conjunto de datos incluye algún punto sospechoso de ser considerado
como discrepante. Una vez se encuentra la recta de regresión correcta se tiene más
seguridad acerca de la idoneidad de utilizar la recta BLS para realizar tests
individuales sobre sus coeficientes de regresión, para realizar predicciones de
muestras futuras o para calcular el límite de detección, que son los objetivos
propuestos en esta Tesis Doctoral.
Siguiendo el esquema de los capítulos previos, las secciones 6.5 y 6.6
incluyen las conclusiones que se extraen de este capítulo y las referencias citadas a
lo largo del mismo, respectivamente.
168
6.2 Detección de puntos discrepantes
6.2.1
Introducción
Una solución ante la problemática debida a la presencia de puntos
discrepantes es la utilización de alguna técnica estadística para la detección de los
mismos. En el caso de considerar los errores heteroscedásticos individuales
cometidos en las variables predictora y respuesta, no existe ningún test estadístico
para discernir si un punto sospechoso de ser discrepante se debe considerar como
tal o no. Por este motivo se pensó en la posibilidad de generalizar el conocido test
de Cook1-5 al caso en que se tienen en cuenta los errores heteroscedásticos
individuales cometidos en las variables predictora y respuesta.
Con el fin de desarrollar una técnica para la detección de puntos
discrepantes en el campo de la regresión lineal considerando los errores en las
variables predictora y respuesta, una primera aproximación fue la generalización
del test de Cook.
El test de Cook está basado en la comparación de los coeficientes de las
rectas de regresión obtenidas a partir de un conjunto de datos inicial y el mismo
conjunto de datos eliminando los puntos sospechosos de ser considerados como
discrepantes, tal como se ve en el apartado 2.7.1 de la presente Tesis Doctoral. Con
el fin de generalizar este método al caso en que se tienen en cuenta los errores
experimentales cometidos en las dos variables, se introdujo un término de
ponderación en la expresión de la distancia al cuadrado de Cook. De esta forma, la
expresión de la distancia de Cook, donde se elimina la i-ésima observación, se
expresa de la siguiente forma:
DiBLS =
(b BLS − b iBLS )' ⋅ (X ′ ⋅ W ⋅ X ) ⋅ (b BLS − b iBLS )
2
ps BLS
(6.1)
169
donde p es el número de parámetros que deben estimarse (en el caso general de la
regresión lineal p=2), bBLS es la matriz que incluye los coeficientes de regresión de
la recta BLS y biBLS es la matriz que incluye los coeficientes de regresión una vez se
ha eliminado el i-ésimo punto. DiBLS se compara con el valor F(p,n-p,1-α) para un valor
definido de α; un valor mayor de DiBLS denota que la i-ésima observación se debe
considerar como un punto discrepante.
En el caso de tener más de un punto sospechoso de ser discrepante, la
anterior expresión se generaliza únicamente eliminando el conjunto de
observaciones (I) sospechosas en lugar de eliminar una única observación (i).
Sin embargo, un estudio en profundidad de la interpretación gráfica de
este test generalizado permitió concluir que la comparación que se lleva a cabo se
da entre un intervalo de confianza conjunto de la ordenada en el origen y de la
pendiente y unos valores (considerados exactos) de los coeficientes de regresión
una vez los puntos sospechosos de ser discrepantes son eliminados. Con el fin de
superar esta limitación se desarrolló el criterio gráfico que se presenta en el
apartado 6.2.2 de esta Tesis Doctoral. En él se presenta el artículo: “ A graphical
criterion for the detection of outliers in linear regression taking into account errors
in both axes”, que ha sido aceptado para su publicación en la revista Analitica
Chimica Acta, donde se presenta un nuevo método de detección de puntos
discrepantes cuando se tienen en cuenta los errores en las dos variables. El criterio
presentado en el artículo sigue la filosofía propuesta por Cook de comparar los
coeficientes de las rectas de regresión obtenidas con y sin los puntos sospechosos
de ser discrepantes. Se trata de un criterio gráfico en el que la decisión de
considerar algún punto como discrepante o no está basada en la comparación de las
elipses de confianza conjuntas de la ordenada en el origen y la pendiente de la recta
BLS,6 obtenidas a partir del conjunto de datos inicial y del conjunto de datos una
vez eliminados los puntos sospechosos de ser puntos discrepantes. Unas elipses de
confianza de tamaño comparable (es decir, con varianzas de los coeficientes de
regresión comparables) y con el centro (sus respectivas ordenadas en el origen y
pendientes) en lugares cercanos, darían a entender que las dos rectas son
comparables y por tanto los puntos eliminados no deben considerarse discrepantes.
Sin embargo, en el caso contrario, en que las dos elipses tienen tamaños diferentes
o sus centros están alejados, las dos rectas en comparación deberían considerarse
170
como diferentes y, por lo tanto, la recta de regresión se ve claramente afectada por
los puntos inicialmente considerados como sospechosos. En este caso dichos
puntos deben considerarse discrepantes.
En el apartado 6.2.3 se pretende demostrar la aplicabilidad del criterio
gráfico. Para ello se ha partido de un conjunto de datos real extraído de la
bibliografía en el que no hay ningún punto discrepante y se han variado los valores
experimentales (variables predictora y respuesta, así como sus respectivas
varianzas experimentales) en uno de los puntos, con el fin de observar las
conclusiones que se extraen mediante el criterio gráfico para la detección de puntos
discrepantes desarrollado en el artículo del apartado 6.2.2.
171
6.2.2
Outlier detection in linear regression taking into account
errors in both axes
Analytica Chimica Acta. Aceptado para publicación
Over the past few years linear regression taking into account the
errors in both axes has become increasingly important in chemical analysis. It
can be applied for instance in method comparison studies at several levels of
concentration (where each of the two methods normally present errors of the
same order of magnitude) or at calibration straight lines using reference
materials as calibration standards, such as in X-ray fluorescence for analysing
geological samples. However, the results obtained by using a regression line
may be biased due to one or more outlying points in the experimental data set.
These situations can be overcome by robust regression methods or techniques
for detecting outliers.
This paper presents a graphical criterion for detecting outliers using
the bivariate least squares (BLS) regression method, which takes into account
the heteroscedastic individual errors in both axes. This graphical criterion is
based on a modification of Cook's well-known test for detecting outliers. This
new technique has been checked using two simulated data sets where an
outlier is added, and one real data set corresponding to a method comparison
analysis.
Keywords: Outliers; linear regression; errors in both axes; Cook’s test; confidence intervals
172
6.2.2 Analytica Chimica Acta, en prensa
INTRODUCTION
Linear calibration is widely used in analytical chemistry. It is used, for
example, in relating the instrumental response with the analyte of interest and in
method comparison studies at several levels of concentration [1]. The most widely
used method for finding the coefficients of the straight line is ordinary least squares
(OLS), but this considers that the predictor variable (x axis) is error-free and allows
constant random errors only in the response variable (y axis). If the random errors
in the predictor variable are not constant throughout the regression interval,
weighted least squares (WLS) may be used, but this still considers the predictor
variable to be error-free. Not taking into account the errors in the predictor variable
may in some cases lead to biased results in the coefficients of the straight line. For
instance, the instrumental responses may be so stable that the errors in the predictor
variable cannot be neglected [2] or when the results of two methods at different
concentration levels are compared using linear regression; both methods have
associated errors and neglecting the errors in one of them (i.e. using the OLS or
WLS regression methods) leads to biased results of the regression line. There are
also a number of analytical techniques, e.g. X-ray fluorescence, in which, due to
the complexity of the real samples, the calibration line is often built with certified
reference materials (CRM), each of which has known errors associated to the
predictor variable [3,4]. Here, one should use regression methods that take into
account the errors in both axes. The bivariate least square (BLS) method [5,6]
calculates the coefficients of the straight line by taking into account the individual
heteroscedastic errors in both axes. BLS has been used in method validation
studies, for instance, to detect bias in newly developed analytical methods. [1]
Once the straight line has been found by any of the regression methods,
the results may be biased due to one or more outlying points in the experimental
data set. These points may result in poor estimates of the regression coefficients or
a high experimental error of the data set (which also increases the variances of the
regression coefficients [7]). Outliers can also cause significant bias in a new
method in a method comparison study to remain undetected, i.e. they can increase
the probability of committing a β error. These situations can be overcome by using
techniques for detecting outliers or robust regression methods. In the literature,
173
there are several techniques for outlier detection (e.g. Cook’s test [8]) or robust
regression techniques (e.g., the least median of squares, LMS [9,10]) that deal with
regression considering errors only in the response variable, and other methods of
robust regression in which the errors in both axes are considered under some
restrictions [11,12]. However, there are no tests for detecting outliers and there are
no robust regression methods that consider the individual heteroscedastic errors in
both axes.
In this paper we present a graphical criterion for detecting outliers using
the BLS regression method. It is based on the same theoretical basis as Cook’s test,
which compares two regression lines: one using the overall data set and the other
using the data set without the suspected point. The main difference between the
graphical criterion in this paper and Cook’s test is that the former compares the
straight lines, not only by considering the regression coefficients, but also by
considering their variances. We have used this graphical criterion on two simulated
data sets in order to prove its suitability in the presence of outliers, and to two real
data set to prove its suitability in chemical situations.
Bivariate least squares. Of the several regression techniques that
consider errors in both axes [6], we chose bivariate least squares (BLS) because it
can readily provide the regression coefficients as well as their associated variances
and covariances, and because programming its algorithm is very simple. This
technique assumes that true linear model is:
ηi = β 0 + β1ξi
(1)
where β0 and β1 are the true intercept and slope of the regression line that relates
the true predictor (ξi) and response (ηi) variables. The true variables are
unobservable and instead, one can only observe the experimental variables:
xi = ξ i + δ i
174
(2)
yi = ηi + γ i
(3)
Variables δi and γi are random errors committed when measuring the
predictor and response variables respectively; where
δ i ~ N (0, σ 2xi )
and
γ i ~ N (0, σ 2yi ) . If we introduce eqs. 2 and 3 into eq. 1, the relationship between xi
and yi is:
y i = β 0 + β1 x i + ε i
(4)
where εi is the ith true residual error [13]. It can be expressed as a function of δi, γi
and β1:
ε i = γ i − β1 δ i
(5)
The BLS regression method relates the observed variables xi and yi as
follows [14]:
(6)
where ei is the observed ith residual error. The BLS regression method finds the
estimates of the regression line coefficients by minimising the sum of the weighted
residuals, S, expressed in eq. 7:
S=
n
∑
i =1
( y i − yˆ i ) 2
=
wi
n
∑
i =1
( y i − b0 − b1 xi ) 2
= ( n − 2) s 2
wi
(7)
where n is the number of experimental data pairs, ŷi is the prediction of the
experimental variable yi, and wi is the weighting factor that corresponds to the
variance of the ith-residual (ei):
wi = s e2i = s 2yi + b12 s x2i − 2b1 cov( xi y i )
(8)
where s x2i and s 2yi are, respectively, the experimental variances of the ith point for
the predictor and response variables of the straight line expressed in eq. 6, and
175
cov(xi yi) is the covariance between the predictor and the response variable in the
ith point, which is normally set to zero. Whenever the variances of the predictor
variable are zero and all the variances on the response variable are equal (i.e., all
the errors are constant and only due to the experimental measurement in the y axis),
the results are identical to those with the ordinary least squares (OLS) method.
Since BLS takes into account the errors in both axes and attaches greater
importance to the points with small variances (i.e. the regression line fits closer to
them), it may be considered to have a certain robustness. However, BLS may have
some limitations for obtaining the correct regression line when the data set contains
outliers with small variances or when they are placed at the end of the calibration
interval (i.e. at points with high leverage).
A graphical criterion for detecting outliers by considering errors in
both axes. One of the most widely used tests for detecting influential and outlying
points in linear regression is Cook’s test [7-9]. Although this test is originally
presented in a numerical form, a graphical interpretation checks whether the data
pair defined by the intercept and the slope of the regression line once the suspicious
points have been removed (b0',b1') falls inside the joint confidence interval of the
intercept and the slope (b0,b1) of the overall data set [15] (Figure 1), since the
distance of Cook corresponds to the joint confidence interval for the intercept and
the slope of the regression line. In the example in Figure 1, no outliers would be
detected since the point (b0',b1') falls inside the joint confidence region for the
intercept and the slope of the initial data set (i.e., no significant differences would
be found between the two regression lines). The drawback of this test is that it
looks at the position of the new intercept and slope relative to the initial ones and
their confidence interval, but does not take into account the variances of the new
regression coefficients once the suspicious points have been removed. While the
new regression coefficients may be similar to the initial ones, their variances may
be very different. This may provide in similar regression lines but very different
results once statistical tests have been applied to the regression line, because these
tests normally depend heavily on the variances of the regression coefficients.
176
α=5%
Slope
(b0 ' , b1 ' )
(b0 , b1 )
Intercept
Figure 1.- Example of an application of Cook’s test. The point (b0,b1) corresponds to the intercept
and the slope of the overall data set, and the ellipse is their joint confidence interval for an α level of
significance. The point (b0',b1') corresponds to the intercept and the slope of the regression line once
the suspicious point have been removed from the initial data set.
The method proposed in this paper consists of comparing the joint
confidence intervals for the intercept and the slope of two regression lines by
considering the errors in both axes; the first one using the overall data set and the
second one after removing the suspicious point. The joint confidence interval for
the intercept and the slope of the overall data set, which is ellipse in shape, is
calculated using the BLS regression method, and its expression is shown in eq. 9
[1]:
n
∑
i =1
n
1
(b0 − B0 )2 + 2 xi (b0 − B0 )(b1 − B1 ) +
wi
i =1 wi
∑
n
∑
i =1
x i2
(b1 − B1 )2 = 2 s 2 F1−α (2,n −2 )
wi
(9)
where F1-α(2,n-2) is the tabulated F-value at a significance level of α with 2 and n-2
degrees of freedom, and B0 and B1 represent the values of the intercept and the
slope that define the bounds of the ellipse. The expression for the joint confidence
interval for the intercept and the slope once the suspected point has been removed
is:
n'
1
∑ w (b'
i =1
i
0 − B0
n'
n'
2
)2 + 2∑ xi (b' 0 − B0 )(b'1 − B1 ) + ∑ xi (b'1 − B1 )2
i =1
wi
i =1
wi
= 2 s' 2 F1−α (2,n ' −2 ) (10)
177
where n' and s'2 are, respectively, the number of points and the estimate of the
experimental error of the regression line once the suspicious point has been
removed. The two joint confidence intervals (eqs. 9 and 10) are then compared in
terms of the degree of overlapping between their areas. This criterion was chosen
because the overlapped area can be seen as a measure of the similarity of the two
joint confidence intervals and, consequently, of the regression coefficients and their
associated variances at the same time. To find the coincident area between the two
ellipses, we compute the ratio between the double of the intersected area (since this
area belongs to both ellipses) and the sum of the area of the two ellipses:
Coincidence (%) =
2 * Intersected area
* 100
Area ellipse 1 + Area ellipse 2
(11)
Slope
Joint confidence intervals
Data set
without
suspicious
points
A
Overall
data set
A
(b0',b1')
(b0,b1)
Intercept
Figure 2.- The two confidence intervals for the intercept and the slope of the regression line obtained
using the BLS regression method, one for the overall data set and the other after removing the
suspicious point. A represents the area of intersection of the two ellipses. The figure shows a
projection of the ellipse corresponding to the overall data set in order to make it clearer that the area
A is doubled.
This process is shown in Figure 2, in which one of the ellipses is
projected in order to clarify how the double of the intersected area in Equation 11is
used. The limit in overlapping for considering that the two straight lines as similar
(and therefore that the suspicious point is not an outlier for the chosen α level of
significance) is 2/3. This limit is chosen because it means that half of the largest
178
ellipse is completely intersected by the smallest one. This assures that the centre of
each ellipse (the intercept and the slope of each straight line) is within the other
joint confidence interval, and that the area of the smallest is at least half that of the
largest. In this way, if two straight lines are considered coincident, the areas of the
ellipses and the regression coefficients of the two straight lines are definitely
similar at the same time. This criterion has been checked in several simulated and
real data sets with encouraging results.
The main advantages of this method are that it uses all the information
about the straight line, and that the experimental points that can be detected as
outliers are not only the ones that affect the regression coefficients, but also the
ones that influence their variances (e.g. experimental points with high errors or
ones that are outside the domain of the data set).
Data sets. One simulated data set (data set 1) and two real data sets (data
sets 2 and 3) were used to check the graphical criterion for detecting outliers we
have developed in this paper. The simulated data set is one with quasi perfect fit of
the points to the straight line and in which an outlier is introduced at two different
locations. One of the two real data sets deals with method comparison studies using
linear regression, while the other one is extracted from a calibration line.
Data Set 1: This is a simulated data set made up of six data pairs obtained
by assuming that five points have a good fit to a straight line, and that the sixth
point is an outlier. The five points with good fit to the regression line range from 1
to 5 units in both axes following a straight line with unity slope and zero intercept
and whose standard deviations are assumed to be 1 in both axes. The sixth data pair
is placed in two different positions with standard deviations in both axes varying
from 0.1 to 10 times those for the other five points in the data set. The straight lines
resulting from the addition of these suspicious points in each case are shown in
Figures 3a and 4a.
179
Data Set 2: [16] This data derives from comparing the analysis of a
certified reference soil using a wet matrix (containing 20% water) and a dry matrix.
The certified reference material is SRS 103-100 soil from Fisher Scientific (Fair
Lawn, NJ), spiked with PAHs. PAHs were analysed using micro wave-assisted
extraction (MAE) to six 5g portions of the reference material extracted
simultaneously for 10 min at 115ºC. The extracted recoveries using both matrices
were obtained after six determinations of any sample. These ranged from 79.0 to
150. The data set is plotted in Figure 5 where we can see the BLS regression line,
and that the horizontal and vertical lines in each point are the double of the
experimental standard deviation.
160
Wet matrix
140
120
100
80
60
100
Dry matrix
140
180
Figure 5.- Plot of data set 2 and the BLS regression line. The vertical and horizontal lines in every
data pair represent the double of the standard deviations in both axes.
Data Set 3: [17] This data set is obtained from the comparison of resist
thickness measured using a nanospectometer/AFT (x axis) and an IRRAS spectra
(infrared reflection absorption spectroscopy) (y axis) used to determine nine films
of commercially available photoresists and silicon dioxide. Three replicates of
IRRAS data were collected varying the location on the surface of the wafer, and
the resulting thicknesses were averaged. As it is difficult to determine the absolute
accuracy of the commercial instruments, uncertainties for all measurements
represent the variations in film thickness over the surface of the wafer. The results
range from 0.873 to 2.213 µm. The data set is plotted in Figure 6. The horizontal
180
and vertical lines in each data pair are the double of the experimental standard
deviation and the regression line is calculated using the BLS regression method.
10
2.2
9
IRRAS
1.8
8
7
5
1.4
3
6
4
1
2
1
0.6
1
1.5
Nanospectometer/AFT
2
Figure 6.- Plot of data set 3 and the BLS regression line. The vertical and horizontal lines in every
data pair represent the double of the standard deviations in both axes.
All calculations were performed with customized software using
MATLAB [18].
Data Set 1: The aim of the simulated data sets is to study the influence of
the position and the errors associated with an outlier in the data set, and to prove
the suitability of this new graphical criterion for detecting the outlying points.
Figures 3a and 4a show the effect of adding a sixth point to a five-point data set of
good fit to a straight line of unity slope and zero intercept. In figure 3a, this
suspicious point is outside the limits of the interval defined for the other five data
pairs, while figure 4a shows the suspicious point in the middle of the interval of the
predictor variable with a wrong value in the response variable.
181
a)
(b‘0,b‘1)
Slope
Response variable
1
4
0.6
2
(b0,b1)
0.1
0.5
1
0.2
5
10
0
1.4
-2
0
2
Predictor variable
4
0
37.22%
d)
1.4
(b‘0,b‘1)
Slope
Slope
1
(b0,b1)
0.6
(b0,b1)
0.6
sxi = 0.5
-2
sxi = 1
0.2
0
2
4
-2
0
2
Intercept
82.92%
e)
1.4
(b‘0,b‘1)
1
(b0,b1)
96.03%
f)
(b‘0,b‘1)
1
(b0,b1)
0.6
0.6
sxi = 10
sxi = 5
0.2
-2
4
Intercept
Slope
Slope
1.4
2
Intercept
(b‘0,b‘1)
1
sxi = 0.1
-2
6
24.27%
c)
0.2
11.97%
b)
1.4
6
0
2
0.2
-2
Intercept
0
2
Intercept
Figure 3.- a) Effect of adding a point with high leverage to the limits of the interval defined for the
other five data pairs in the simulated data set defined in data set 1. The standard deviations of the
suspicious point vary from 0.1 to 10 times the value of the standard deviation of the other data pairs. b
to f) Application of the graphical criterion for detecting outliers in the different cases presented in
Figure 3a. In each case the standard deviation of the leverage point,
coincidence between two ellipses are presented.
182
s xi ,
and the percentage of
8
6
a)
11.97%
4
Slope
4
Response variable
b)
10
5
1
0
(b0,b1)
2
(b‘0,b‘1)
0.5
0
-4
sxi = 0.1
0.1
0
3
2
Predictor variable
4
-2
6
-10
0
10
Intercept
c)
3
24.27%
37.22%
d)
2
(b0,b1)
(b‘0,b‘1)
1
0
Slope
Slope
2
0
sxi = 0.5
-8
-4
0
Intercept
1.8
4
-4
-2
0
2
4
Intercept
1.8
1.4
f)
96.03%
1.4
(b0,b1)
1
Slope
Slope
(b‘0,b‘1)
sxi = 1
-6
82.92%
e)
(b0,b1)
1
(b‘0,b‘1)
0.6
(b0,b1)
1
(b‘0,b‘1)
0.6
sxi = 10
sxi = 5
0.2
-2
0
Intercept
2
-2
-1
0
1
2
3
Intercept
Figure 4.- a) Effect of adding an outlier in the middle of the data with an error in the response in the
simulated data set defined in data set 1. The standard deviations of the suspicious point vary from 0.1
to 10 times the value of the standard deviation in the other data pairs. b to f) Application of the
graphical criterion for detecting outliers in the different cases presented in Figure 4a. In each case the
standard deviation of the outlier,
s xi , and the percentage of coincidence between two ellipses are
presented.
183
Figures 3b-3f and 4b-4f show the two confidence ellipses corresponding
to the two straight lines being compared; one without the added point (b0', b1'), and
one with the overall data set (b0, b1). Figures 3b-3d clearly detects the influential
point, while in Figures 3e and 3f the variances of the influential point are high
enough not to significantly affect the resulting BLS straight line. The same
conclusion can be drawn from Figure 4, where the outlier is detected in the three
cases with the smallest variances and is not detected in the other two cases. In
conclusion, the graphical test for detecting outliers when errors in both axes are
taken into account detects the sixth point as an outlier except when the standard
deviation of the suspicious point is clearly higher than those of the other data pairs,
so it does not significantly affect the regression line and there is therefore no need
for the point to be removed.
In the first situation (Figures 3b-3f), the outlier basically influences the
uncertainties of the regression coefficients of the resulting straight line. For this
reason the centres of the two ellipses rapidly get nearer, but there is a small degree
of overlapping because of the differences in the uncertainties of the regression
coefficients (which clearly affect the area of the two ellipses). The second situation
(Figures 4b-4f) is one in which the area and the shape of the two ellipses rapidly
converge, but there are different values for the regression coefficients.
Data set 2: In this data set, the average recovery of pentachlorophenol
(the first data pair) is clearly suspected as an outlier. The effect of this point on the
straight line is considerable, and the graphical criterion detects it as an outlier
because the coincidence (eq. 11) is 27.25%. This percentage is so small because of
the influence of this point on the regression coefficients of the straight line (i.e. all
the other points are good aligned, so this point forces the line to deviate from
them). This is an example of a real data set with a data pair that clearly influences
the straight line due to the closeness of the point to the straight line. When classical
tests for detecting outliers (like Cook’s test) are applied to the data set, no outlier is
detected in the data.
Data set 3: Table 1 shows the results of using the graphical criterion to
detect outliers in data set 3. The second and the sixth point are detected as outliers
using the graphical criterion. Figure 6 shows that the second point can be
184
considered an influential point since its experimental variances are so much smaller
than those of the other points. The sixth data pair may be also considered an
outlier, although it also has small variances too, because its alignment is different
from that of the other points in the data set. If we had used Cook’s test to detect the
outliers, the conclusion for a 5% α level of significance would be that there was no
outlier in the data set. This is because these two points greatly influence the
variances of the coefficients of the regression line (not only the coefficients)
mainly due to their errors in both axes, which are not detected by traditional tests.
1
Slope
0.96
Overall data set
0.92
0.88
-0.05
Data set
without the
second point
0
0.05
Intercept
0.1
0.15
Figure 7.- Result of the graphical criterion for detecting outliers over the second point in data set 3.
As we have already mentioned, the second data pair is detected using the
graphical criterion (Figure 7), but as the percentage of coincidence of the two
regression lines for this point (see Table 1) is very close to the threshold level of
66.67%, it may or may not be detected as an outlier, depending on the α level of
significance chosen. This is because the significance level affects the size of the
joint confidence intervals, and therefore the percentage of coincidence. Figure 7
shows how eliminating this data pair basically affects the variances of the
regression coefficients (i.e. the area of the joint confidence interval), as we stated
previously. Figure 8 shows the results of using the graphical criterion on the sixth
data pair. We may conclude that the main effect of this point being over the
regression line is that it also affects the variances of the regression coefficients. The
main difference between this figure and Figure 7 is that when the sixth data pair is
eliminated, the regression coefficients are also affected (not only their variances).
This is because this point is located far from the tendency of the other data pairs.
185
Table 1.- Percentage of coincidence of all data pairs after applying the graphical criterion to data set 3
with a level of significance of 5%.
Data Pair % of coincidence
1
71.66
2
63.91
3
90.92
4
91.60
5
90.10
6
14.11
7
92.12
8
90.71
9
90.70
10
92.79
As this data set has two points that can be considered outliers, we can use
multiple case diagnostics to detect both at the same time. Figure 9 compares the
initial data set and the data set without the two suspected points. When the number
of data pairs in the data set is small, the analyst should consider whether the small
coincidence between the ellipses is due to how the number of points affects the
variances of the regression coefficients. In this case, however, the small
coincidence between the two ellipses (10.46%) is mainly due to the suspected
outliers rather than to the smaller number of points in the data set. Figure 9 shows
that the regression coefficients are clearly affected by the two suspected points.
Therefore, by using the graphical criterion for the multiple case diagnostic, the
conclusions are the same as for the single case diagnostic. This is mainly because
the number of data pairs (ten data pairs reduced to eight by deleting the outliers)
cannot be considered small.
1.1
1.05
1
Slope
Overall data set
0.95
0.9
-0.05
Data set
without the
sixth point
0
0.05
Intercept
0.1
0.15
Figure 8.- Result of the graphical criterion for detecting outliers over the sixth point in data set 3.
186
1.05
Slope
1
Overall data set
0.95
Data set
without
points 2 and 6
0.9
-0.05
0
0.05
Intercept
0.1
0.15
Figure 9.- Result of the graphical criterion for detecting outliers as multiple case diagnostic technique
over the second and sixth point in data set 3.
Another consequence of having more than one suspected point may be
the masking effect between the suspected points. To see the masking effect in this
data set, we can check the drop in coincidence when both outliers are detected at
the same time (10.46% in the multiple case against 63.31% when the second point
is deleted and 14.25% when the sixth one is deleted).
CONCLUSIONS
In this paper we have developed a graphical criterion for detecting
outliers based on the BLS regression method, which takes into account the
individual experimental errors in both axes. This new technique has been checked
with three data sets (a simulated one and two real data sets taken from the
literature) for detecting suspected points in different positions in the data set (with
different degrees of leverage). When the α significance level decreases the
probability of detecting a point as an outlier increases.
If some data pairs have smaller individual experimental variances than
the others, they will probably be detected as outliers by the graphical criterion (or
in most cases as influential points), even though they were almost perfectly fitted
with the other data pairs. In these cases, the causes of the small variances must be
carefully studied. If they are due to especially careful measurement, the points
187
cannot be deleted from the data set. Otherwise, if the variances are extremely low
because of an error in measuring or because the number of replicates is small, the
points should be deleted from the data set, because the uncertainties of the
regression coefficients may then be underestimated. This limitation of the graphical
criterion must be overcome by studying of the suspected data pair by means of the
analyst. In most cases, this allows us to detect outliers or influential points that
would not be detected by classical detection techniques like Cook’s test.
Another situation is when a data pair with high uncertainties is far from
alignment with the other points of the data set. The graphical criterion may not
detect this point, because it does not influence the BLS straight line, which
considers those points with higher uncertainties to have minor weight. Otherwise,
the graphical criterion is more sensitive to detecting points that are different very
much from the other data pairs than the classical tests (especially when the
suspected point has small variances).
The main limitation of the graphical criterion its use in data sets with a
small number of points (i.e. less than four or five data pairs). This is because the
straight line is heavily affected (especially the variances of the regression
coefficients) after a data pair has been removed, since a small number of data
points provides little information, and an experimental point may be detected as an
outlier when really it is not.
Using the graphical criterion to detect more than one outlier is equivalent
to the single case diagnostic. In this case, the analyst must be careful with the
influence of the number of points in the data set. If a data set has many data pairs,
more than one outlier can be detected by using the graphical criterion for the
multiple case, because the difference between the number of points in the initial
data set and the number of points in the final one is small. If the data set has a small
number of data pairs, the multiple case diagnostic increases the risk of considering
points as outliers when they are not.
188
ACKNOWLEDGEMENTS
REFERENCES
[1].- J. Riu, F.X. Rius, Anal. Chem. 68 (1996) 1851.
[2].- R.L. Watters, R.J. Carroll, C.H. Spiegelman, Anal. Chem. 59 (1987) 1639.
[3].- K. Govindaraju, I. Roelandts, Geostandards Newsletter 13 (1989) 5.
[4].- X. Xie, M. Yan, L. Li, H. Shen, Geostandards Newsletter 9 (1985) 83.
[5].- J.M. Lisý, A. Cholvadová, J. Kutej, Computers Chem. 14 (1990) 189.
[6].- J. Riu, F.X. Rius, J. Chemom. 9 (1995) 343.
[7].- S. Weisberg, Applied Linear Regression, John Wiley & Sons, 2nd edition,
1985, New York, p 119.
[8].- R.D. Cook, Technometrics 19 (1977) 15.
[9].- D.L. Massart, B.G.M. Vandeginste, L.M.C. Buydens, S. de Jong, P.J. Lewi, J.
Elsevier, Amsterdam, 1997, p 203, 300.
[10].- P.J. Rousseeuw, A.M. Leroy, Robust Regression & Outlier Detection, John
Willey & Sons, New York, 1987.
[11].- C. Hartmann, P. Vankeerberghen, J. Smeyers-Verbeke, D.L. Massart, Anal.
Chim. Acta 344 (1997) 17.
[12].- M.L. Brown, Journal of the American Statistical Association 377 (1982) 71.
[13].- P. Sprent, Models in Regression and Related Topics, Methuen & Co. Ltd.,
London, 1969.
[14].- G.A.F. Seber, Linear Regression Analysis, John Wiley & Sons, New York,
1977 p 160.
[15].- J. Mandel, F.J. Linnig Anal. Chem. 29 (1957) 743.
[16].- V. Lopez-Avila, R. Young, W.F. Beckert, Anal. Chem. 29 (1994) 1097.
[17].- C.J. Gamski, G.R. Howes, J.W. Taylor Anal. Chem. 66 (1994) 1015.
[18].- Mathworks Inc., Natick, Massachussets, USA.
189
6.2.3
Comprobación de la aplicación del criterio gráfico
Con el fin de comprobar la aplicabilidad del criterio gráfico presentado en
el apartado anterior, se planteó la posibilidad de estudiar cómo varían las
conclusiones que se extraen del mismo al variar ligeramente las condiciones de un
conjunto de datos.
Para llevar a cabo este estudio, se partió de un conjunto de datos obtenido
de la comparación del contenido de aminas biogénicas en anchoas frescas antes
(eje de abscisas) y después de almacenarlas congeladas durante dos días (eje de
ordenadas).7 Para llevar a cabo esta comparación se analizó la concentración de
diez aminas en el músculo del pescado, una vez eliminadas la cabeza, las espinas y
las tripas, utilizando como técnica analítica la cromatografía líquida. Los resultados
están expresados en mg/kg y sus valores están comprendidos entre los 0.10 y los
6.55 mg/kg. Una representación de este conjunto de datos, así como la recta de
regresión de BLS, se presenta en la figura 6.1, donde las líneas verticales y
horizontales representan el doble de la desviación estándar experimental en cada
punto.
8
Dos días de almacén
6
4
2
Punto estudiado
0
0
4
Antes de almacenar
8
Figura 6.1.- Representación del conjunto de datos utilizado para la comprobación de la aplicabilidad
del criterio gráfico para la detección de puntos discrepantes.
190
Este conjunto de datos se escogió de entre los presentes en la bibliografía
debido a la aparente ausencia de puntos que puedan considerarse discrepantes.
Sobre él se escogió el quinto punto (el más próximo a poder ser considerado como
sospechoso de ser discrepante), y se variaron sus valores con el fin de simular
errores en la medida o en la toma de resultados. De esta forma, se variaron sus
valores de la variable predictora y respuesta así como de sus respectivas varianzas
experimentales. En la figura 6.2 se representa la variación de la coincidencia
obtenida mediante el criterio gráfico para la detección de puntos discrepantes
(cuando se considera un nivel de significancia del 5%) presentado en el apartado
anterior. Se observa como al aumentar su valor rápidamente se debería considerar
dicho punto como discrepante. Sin embargo, al disminuir su valor, la resistencia
del punto a ser considerado como discrepante aumenta. Esta conclusión es lógica si
se observa que inicialmente el punto está a la derecha de la recta de regresión.
% coincidencia
100
90
80
Punto no discrepante
70
60
50
40
30
20
10
0
Punto discrepante
Valor inicial
-3
-2
-1
0
1
x5
2
3
4
5
Figura 6.2.- Representación del porcentaje de coincidencia al variar el valor de la variable predictora.
100
90
80
% coincidencia
70
60
50
Punto discrepante
40
30
20
Valor inicial
10
0
-4
-2
0
2
4
y5
6
8
10
12
Figura 6.3.- Representación del porcentaje de coincidencia al variar el valor de la variable respuesta.
191
En la figura 6.3 se observa que al modificar la variable respuesta las
conclusiones son idénticas a las obtenidas al variar la variable predictora. En
ambos casos el porcentaje de coincidencia entre las dos elipses aumenta a medida
que el punto se cerca a la recta de regresión, excepto en el momento en que el
punto pasa de estar de un lado al otro de la recta. En este momento, la coincidencia
presenta una ligera disminución (que en ningún caso afecta a las conclusiones del
criterio gráfico), debida a un ligero descenso del área de la elipse que no considera
el punto sospechoso de ser discrepante, que a su vez se debe, principalmente, al
efecto de la covarianza entre los coeficientes de la recta de regresión. Esta
disminución se observa en los mínimos relativos de las figuras 6.2 y 6.3.
100
90
80
% coincidencia
70
60
Punto discrepante
50
40
30
20
Valor inicial
10
0
0
0.5
1
var(x5)
1.5
2
2.5
Figura 6.4.- Representación del porcentaje de coincidencia al variar el valor de la varianza de la
variable predictora.
100
90
80
% coincidencia
70
60
50
40
30
20
Valor inicial
10
0
0
0.2
0.4
0.6
var(y5)
0.8
1
1.2
Figura 6.5.- Representación del porcentaje de coincidencia al variar el valor de la varianza de la
variable respuesta.
192
Las siguientes figuras 6.4 y 6.5 representan el mismo estudio en que se
varían las varianzas de la variable predictora y respuesta respectivamente. El efecto
de variar las varianzas es mucho menor pues, si bien al disminuir la varianza de la
variable predictora, el punto se acaba considerando como discrepante, al variar la
varianza de la variable respuesta el criterio gráfico siempre detecta el punto
sospechoso como no discrepante. La principal conclusión extraída de las figuras
6.4 y 6.5 es que la probabilidad de un punto de ser considerado como discrepante
aumenta cuando disminuyen las varianzas experimentales (tanto de la variable
predictora como de la variable respuesta). Es por este motivo que hay que tener un
especial cuidado con aquellos puntos cuyas varianzas experimentales son
extremadamente pequeñas. Sin embargo, la importancia de este análisis radica en
que haciendo el mismo estudio de puntos discrepantes mediante el test de Cook, el
punto en cuestión se considera no discrepante en todos los casos estudiados. De
esta manera se comprueba la mayor sensibilidad del criterio gráfico ante la
presencia de puntos discrepantes.
Nº punto % de coincidencia
1
71.66
2
63.91
3
90.92
4
91.60
5
90.10
6
14.11
7
92.12
8
90.71
9
90.70
10
92.79
Tabla 6.1.- Porcentaje de coincidencia para todos los puntos pertenecientes al tercer conjunto de
datos de la sección 6.2.2, utilizando un nivel de significancia del 5%.
Sobre el tercer conjunto de datos de los presentados en el apartado 6.2.2,8
se ha realizado un estudio correspondiente a la variación de la coincidencia al
variar el nivel de significancia (α) en el criterio gráfico. Para ello, en la tabla 6.1,
están representadas las coincidencias, entre las dos elipses comparadas por el
criterio gráfico, obtenidas para cada uno de los puntos del conjunto de datos
cuando el nivel de significancia se supone del 5%. Se observa que el segundo y el
sexto puntos tienen una coincidencia que hacen que la conclusión del criterio
gráfico es considerarlos como puntos discrepantes. Por este motivo se seleccionó el
193
segundo de ellos para representar la coincidencia frente al nivel de significancia, tal
como se puede observar en la figura 6.6.
En la figura 6.6 se observa como el porcentaje de coincidencia entre las
dos elipses comparadas disminuye cuando aumenta el nivel de significancia, tal
como cabía esperar. En el caso estudiado, se puede comprobar que las
probabilidades de considerar el segundo punto como discrepante aumentan cuando
lo hace el nivel de significancia, dejando de ser considerado como un punto
discrepante cuando el nivel de significancia disminuye del 3.5% aproximadamente.
Estos resultados se pueden considerar como una prueba más de la bondad del
funcionamiento del criterio gráfico presentado en la sección 6.2.2, pues sus
resultados concuerdan con el comportamiento esperado de que las probabilidades
de considerar un punto como discrepante aumenten al hacerlo el nivel de
significancia (α).
80
% de coincidencia
75
Valor umbral
70
65
60
55
0
2
4
6
8
Nivel de significancia (%)
10
Figura 6.6.- Efecto de variar el nivel de significancia α en el proceso de detección de puntos
discrepantes mediante el criterio gráfico sobre el segundo punto del tercer conjunto de datos de la
sección 6.2.2. .
194
6.3 Regresión robusta
6.3 Regresión robusta
6.3.1
Introducción
A lo largo de los años, muchos autores han criticado las técnicas de
detección de puntos discrepantes,9-12 pues con su uso se corre el riesgo de eliminar
puntos que contienen información debida a la singularidad de los resultados
analíticos implicados, si bien admiten que estos puntos no deben influir en la recta
de regresión.1
Para superar esta limitación, se han desarrollado las técnicas de regresión
robusta. Estas técnicas encuentran una recta de regresión que minimiza el efecto de
los puntos discrepantes, pero sin eliminarlos. De esta forma la limitación
anteriormente mencionada de estos tests de detección de puntos discrepantes queda
subsanada. Sin embargo, estos métodos de regresión robusta incluyen una serie de
inconvenientes derivados del algoritmo de cálculo, tales como la propia
complicación de los algoritmos, como la dificultad de utilizar tests asociados a la
recta de regresión robusta, que en muchos casos no se han podido desarrollar.
En el siguiente apartado de esta Tesis Doctoral, se presenta el artículo:
“Robust linear regression taking into account errors in both axes”, que se ha
enviado para su publicación en la revista Analyst en el que se presenta una
aproximación robusta de la recta de regresión que considera los errores cometidos
en las dos variables. Esta técnica de regresión robusta, llamada regresión bivariante
por mínima mediana de los cuadrados (bivariate least median of squares, BLMS),
es una generalización de la regresión por mínima mediana de los cuadrados (least
median of squares, LMS) desarrollada por Rousseeuw y Leroy,13 donde se ha
añadido un proceso de simulación, con el fin de salvar la limitación de LMS que
impone que la recta de regresión robusta pase exactamente por dos puntos del
conjunto de datos inicial.
195
En el apartado 6.3.3 se presenta la comparación de los dos métodos de
simulación propuestos en el algoritmo de cálculo de la recta de regresión robusta,
mientras que el apartado 6.3.4 presenta un estudio de la robustez de BLS.
196
6.3.2 Analyst, enviado
6.3.2
Robust linear regression taking into account errors in
both axes
Analyst. Enviado para publicación
In this paper we have developed a robust regression technique. It is a
generalization of the LMS technique to the field in which the errors in both
axes are taken into account. This simple generalization is limited in the sense
that the resulting straight line is found by using only two points from the
initial data set. In this way a simulation step is added by using the Monte
Carlo method to generate the best robust regression line. We have called this
new technique “bivariate least median of squares” (BLMS), following the
notation of the LMS method. We checked the robustness of our new
regression technique by calculating its breakdown point, which was 50%. This
confirms the robustness of the BLMS regression line. In order to show its
applicability to the chemical field we tested it on simulated data sets and real
data sets with outliers. The BLMS robust regression line was not affected by
many types of outlying points in the data sets.
Keywords: Outliers; linear regression; errors in both axes; robust regression; least median squares
197
INTRODUCTION
Linear calibration is widely used in analytical chemistry, for instance, for
relating the instrumental response with the analyte of interest, or in method
comparison studies at several levels of concentration.1 The method that is widely
used for finding the coefficients of the straight line is ordinary least squares (OLS),
but this considers that the predictor variable (x axis) is error-free and only allows
constant random errors in the response variable (y axis). If the random errors in the
predictor variable are not constant throughout the regression interval, weighted
least squares (WLS) may be used, but this still considers that the predictor variable
is error-free.
Not taking into account the errors in the predictor variable may
sometimes lead to biased results in the coefficients of the straight line. For
instance, the instrumental responses are sometimes so stable that the errors in the
predictor variable cannot be neglected.2 Similarly, when the results of two methods
at different concentration levels are compared by linear regression3 and both
methods have associated errors, neglecting the errors in one of them (i.e. using the
OLS or WLS regression methods) may lead to biased results in the regression line.
Also there are some analytical techniques, e.g. X-ray fluorescence,4 in which due to
the complexity of the real samples to be analyzed, the calibration line is often built
with certified reference materials (CRM) of the analyte of interest, each one of
which has known errors associated to the predictor variable.5,6
In these cases, one should use regression methods that take into account
the errors in both axes. The bivariate least square (BLS) method7,8 calculates the
coefficients of the straight line by taking into account the individual
heteroscedastic errors in both axes. BLS has been used, for example, in method
validation studies to detect bias in new analytical methods.1
Once the straight line is found by any regression method that considers
errors in both axes, the results derived may be biased because of one or more
outlying points in the experimental data set. These points may cause, for example,
a shift in the regression coefficients or a high experimental error associated with
the regression line (which also increases the variances in the regression
198
coefficients9). Any significant bias in a new method may therefore not be detected
in a method comparison study, i.e. the probability of committing a β error may
increase. These problems may be overcome by techniques for detecting outliers or
robust regression methods.
The literature contains several techniques for detecting outliers (e.g.,
Cook’s test10) and some robust regression techniques (e.g., least median of squares,
LMS3,11), that consider only errors in the response variable, and others methods of
robust regression that consider errors in both axes are under some restrictions.12,13
Most authors recommend robust techniques rather than techniques for detecting
outliers.14-16 In particular, Huber17 emphasizes that robust regression can smooth
the transition from accepting to rejecting a suspected point in a data set.
Furthermore, the advantage of using robust regression techniques when there is
more than one outlier has been proved, because the one outlier can be hidden by
another. Moreover, by rejecting a suspected point that is not an outlier, other points
which were not initially suspected may appear as outliers.
In this paper we present a new robust regression technique (BLMS,
bivariate least median of squares), that follows the principles of the LMS technique
and takes into account the individual experimental errors in both axes. We have
calculated the breakdown point for BLMS to prove its robustness, and compared
the result with the breakdown point of BLS, calculated over the same simulated
data set. To check the goodness and applicability of the new robust regression
technique, we used it on a simulated data set containing a point with high leverage
and uncertainties values and on a real data set from the bibliography.
Bivariate least squares (BLS). Of the several regression techniques that
consider errors in both axes,8 we chose BLS because it can readily provide the
regression coefficients and their associated variances and covariances, and because
programming its algorithm is simple. This technique assumes that the true linear
model:
199
ηi = β 0 + β1ξi
(1)
where β0 and β1 are the true intercept and slope of the regression line that relates
the true predictor (ξi) and response (ηi) variables. The true variables are
unobservable; one can only observe the experimental variables:
xi = ξ i + δ i
(2)
yi = ηi + γ i
(3)
where variables δi and γi are random errors made when measuring the predictor
variable and response variable, respectively, where
δ i ~ N (0, σ 2xi )
and
γ i ~ N (0, σ 2yi ) . So, if we introduce eqs. 2 and 3 into eq. 1, variables xi and yi are
related as follows:
y i = β 0 + β1 x i + ε i
(4)
where β0 and β1 are the true values of the intercept and the slope, respectively, and
εi is the ith true residual error,18 which can be expressed as a function of δi, γi and
β1:
ε i = γ i − β1 δ i
(5)
The BLS regression method relates the observed variables xi and yi as
follows:
(6)
S=
n
∑
i =1
200
( y i − yˆ i ) 2
= ( n − 2) s 2
wi
(7)
where s2 is the estimate of the experimental error, n is the number of experimental
data pairs, ŷi is the prediction of the experimental variable yi and wi is the
weighting factor that corresponds to the variance of the ith-residual (ei):
(8)
the predictor and response variables of the straight line expressed in the eq. 1, and
ith point, which is normally set to zero. It is interesting that whenever the variances
of the predictor variables are zero and all the variances on the response variable are
equal (i.e., all the errors are constant and only due to the experimental
measurement in the y axis), the results are identical to those of the ordinary least
squares method (OLS).
Since BLS takes into account the errors in both axes and attaches a
greater importance to the points with small variance (i.e. the regression line fits
them more closely), it can be considered to have some degree of robustness.
However, BLS may have some limitations in obtaining the correct regression line
when the data set contains outliers with small variances, or when they are located
at the limits of the calibration interval (i.e. they have high leverage).
Least median of squares (LMS).11 For a more robust regression
technique than OLS, the Least Median of Squares technique replaces the “sum of
squares” with the “median of squares” in the minimization process. In this way, the
LMS regression line is found by minimizing the median of the sum of the squared
residuals of the experimental data pairs to the robust regression line. This estimator
is very robust with respect to outliers in x and y.
Breakdown Point. Depending on how robust it is, an outlier can affect
an estimator in several ways. The concept of the breakdown point was introduced
by Hodges19 and generalized by Hampel20. It is a criterion for classifying the
estimators according to their robustness. Donoho and Huber21 define it as the
minimum percentage of the initial data set that can be contaminated (i.e. the
minimum percentage of points that can be outliers) without the regression
201
coefficients being greatly affected. An estimator with a breakdown point of around
50% is considered robust, and an estimator whose breakdown point is around 0% is
non robust. Rousseeuw and Leroy11 calculated the breakdown point for a series of
estimators in linear regression methods, and concluded that OLS estimators are
immediately affected when an outlier is introduced. The breakdown point for OLS
depends on the number of points in the data set and is equal to 1/n.21 A breakdown
point above this value is possible when systematic errors affect the data pairs. If
there are a lot of data pairs, the breakdown point in OLS will be around 0%. LMS
may be considered a robust regression technique because its breakdown point is
50%.
Bivariate Least Median Squares (BLMS). To find a robust regression
method that takes into account the errors in both variables, we followed the robust
strategy when only the errors in the response variable were considered (i.e. the
LMS method), and applied it to the BLS case. In this way, the straight lines
between all the combinations of two data pairs of the initial data set were
calculated using the BLS regression method: using a data set with n points, n(n1)/2 regression lines and therefore n(n-1)/2 estimates for the slope and intercept are
found. For each of these regression lines, the median† of the n weighted residuals
of the experimental points to the regression line is calculated, and the straight line
with the minimum median of the weighted residuals is chosen. This regression line
may be considered a robust regression line. So far, this technique is the analogue of
LMS when the individual errors in both axes are considered.
This strategy’s main limitation is that it (the same as LMS) forces the
regression line to fit two points of the initial data set exactly. One way to solve this
problem is to use a simulation method like Monte Carlo simulation method.22 With
a simulation method, new data sets based on the initial one are generated by adding
a random error based on the individual errors in both axes to each experimental
point. In this way, and starting from the initial data set, m new data sets are
generated. For each of these (m) new data sets, the straight lines between all the
†
where the median is defined as the ([n/2]+1)nth ranked value and [n/2] denotes the integer
part of n/2
202
combinations of two data pairs of the initial data set are calculated by the BLS
regression method. We therefore obtain n(n-1)/2 regression lines for each new data
set. From each of these m sets of n(n-1)/2 regression lines, the regression line with
minimum median of the squared weighted residuals is selected. Finally, of all these
m robust regression lines, the one whose median of weighted residuals is the
minimum is considered to be the BLMS regression line (this does not need to fit
two points of the initial data set exactly).
Figure 1 shows a scheme of this procedure for obtaining the robust
regression straight line with the BLMS technique. In further calculations, the
BLMS straight line was found with 100 iterations for the Monte Carlo simulation
stage (i.e. m=100). We chose this number because we noticed that a higher number
of iterations did not significantly improve the coefficients of the regression line for
all the tested data sets, and may significantly increase the calculation time.
n(n-1)/2 straight lines
1
1st robust
straight line
n(n-1)/2 straight lines
2nd robust
straight line
Initial data set
Monte
Carlo
Minimum
weighted
residual
2
3
m
n(n-1)/2
straight
lines
BLMS robust
straight line
3rd robust
straight line
··
·
n(n-1)/2
straight lines
··
·
mth robust
straight line
Figure 1 Steps followed to obtain the robust regression line using the BLMS regression technique.
From the initial data set, m new data sets are generated using the Monte Carlo simulation method and
varying all the initial experimental points. For each one of these new m data sets, the n(n-1)/2 straight
lines through all the combinations of two points are found, and is chosen for each one the regression
line with minimum median of the squared weighted residuals. Of these m BLMS straight lines, the
one with the minimum median of weighted residuals is chosen as the correct robust regression line.
We must point out that, depending on how the regression line is used in
future, this robust method may have some disadvantages, since information about
the variances of the regression coefficients is difficult to find and is not normally
accurate (which means that developing future statistical tests over the regression
coefficients may be difficult or inexact). This lost of information is due to the
203
algorithm of the method, which only uses two points to find the final straight line.
With LMS an approximate value of the variances and covariances of both the
intercept and the slope may be obtained using a sophisticate algorithm,11 but their
values are never mathematically exact. Logically, there may be a similar with
BLMS because the straight line is also obtained by using only two points, and
because BLS is also a least squares technique.
Data sets. We used extensive calculations on two simulated data sets to
check the usefulness of the BLMS regression technique and to calculate its
breakdown point and check its robustness. A real data set, from a method
comparison study using linear regression, is also used as an example.
Simulated data set 1: This simulated data set was obtained following the
instructions of Rousseeuw and Leroy11 to check the breakdown point of several
estimators. A data set of ninety data pairs was generated; thirty had a predictor
variable from 1 to 3.9 at equally spaced 0.1 units, and their response variable
followed the straight line:
yi = 1xi + 2 + ri
(9)
where ri is obtained as a random number between -0.2 and 0.2. The uncertainties of
these 30 data pairs (expressed as variances) are taken as a random number between
0 and 0.1 multiplied by the value of the predictor variable at each point. The other
sixty data pairs were considered to be outlier points generated with a predictor
variable of 7 and a response variable of 2, both of which had a random error of
between –1 and +1. The experimental simulated variances were generated by
multiplying a random value of between –0.1 and 0.1 with the value of the predictor
or the response variable, respectively. All random values introduced to generate of
the simulated data set were considered to be from a normal distribution so that the
real conditions of a data set could be reproduced better. A plot of the data set is
shown in Figure 2.
204
6
y axis
Data pairs generated
with quasi-perfect fit
4
Outliers
2
0
0
2
4
x axis
6
8
Figure 2 The first simulated data set. The crosses represent twice the standard deviations in both the x
and y axes.
Simulated data set 2: This data set is made up of six points. Five of these
data pairs are generated along a straight line, with added random errors, and the
sixth pair is generated to be an outlier. The variances in both axes were considered
constant and equal to one in the first five data pairs, and the variances of the sixth
point changed from almost zero to ten times the value of the variances of the other
points in the data set. The aim of this data set is to check the applicability of the
robust regression technique when there is an outlier in the data set, and to check
how an outlier with small and high variances affects the regression line. A plot of
this data set is shown in Figure 3.
205
6
y axis
4
2
BLS
0
BLMS
-2
0
x axis
2
4
6
Figure 3 The second simulated data set. The lines at each point represent twice the standard deviation
in both the x and y axes. The BLS and the BLMS straight lines are also plotted.
Real data set: This is a method comparison study for determining As3+ in
natural water using continuous selective reduction and atomic absorption
spectrometry (AAS) on the x axis, and reduction, cold trapping and atomic
emission spectrometry (AES) on the y axis.23 It consisted of 30 points ranging
between 0 and 19.3 mg/l. The errors were proportional to the concentration in both
methods. A plot of this data set is shown in Figure 4.
25
BLS
20
OLS
LMS
15
AES
BLMS
10
5
0
0
5
10
AAS
15
20
25
Figure 4 The OLS, LMS, BLS and BLMS regression lines for data set 2. The vertical and horizontal
lines that cross every experimental point represent twice of the standard deviation in each
experimental point.
206
All calculations were made using customized software with MATLAB
4.0 for Microsoft Windows.24
We must point out that another method, which is in fact a slight
modification of the initial one, can also be followed to find the BLMS regression
line. It consists of applying the Monte Carlo simulation method to the two
experimental points that define the first robust regression line to obtain m new
regression lines. Of these m new regression lines, the one whose median of
weighted residuals is minimum will be the correct regression line. The only change
from the first method is that the Monte Carlo simulation process is applied at a
further stage, when the first robust regression line has been chosen, but the method
remains the same (i.e. it is only a matter of calculation). Other approaches, such as
sweeping the slope and intercept to find which straight line has the minimum
median of residuals, would need considerable calculation time, and the resulting
straight line would be no better than those from the two above methods.
We compared the results obtained with the method outlined in the
'Background and Theory' section with those obtained with the second method,
alongside with their calculation time, using the real data set. To summarize, both
straight lines were similar and the time spent in calculating them (with a PC
Pentium II with a 450 MHz processor) was of the same order of magnitude. In
further calculations in this paper, we will therefore use the method in the
Background and Theory section.
Calculating the breakdown point: The first simulated data set was used to
calculate the breakdown point. The results are shown in Figure 5, which plots the
slope of the BLS and BLMS methods against the percentage of contamination with
outlying points in the simulated data set. The Figure shows that adding an outlier to
the BLS straight line affects the slope almost immediately. In fact, the BLS
breakdown point is around 4.75% contamination (this is found from the inflexion
point in the graph). Sometimes (e.g. when the uncertainties of outliers are similar to
those of the other data pairs), we assume that the theoretical value of the
207
breakdown point for BLS is similar to that for OLS (1/n=3.33%), because BLS is
also a least squares method. This value can be slightly higher when the data set is
corrupted, i.e. when a systematic error is added21 as in this example. We may
therefore conclude that the BLS regression technique is not robust for the simulated
data set used in this paper. However, BLS has sometimes proved to be more robust,
as when the outlying points have higher experimental variances than the other data
pairs. The BLMS regression technique can be considered robust because its
breakdown point is exactly 50%, as we can see in Figure 5, in which the BLMS
straight line is not affected by outliers until contamination reaches 50% of the
experimental points, as happens with the LMS straight line.
BREAKDOWN POINT
1.5
BLMS
1
Slope
0.5
0
BLS
-0.5
-1
-1.5
0
10
20
30
40
50
60
% of contamination
Figure 5 Breakdown point of the BLS and BLMS regression techniques calculated over the first
simulated data set.
BLMS in a simulated data set: We used second simulated data set to
check the applicability of the new robust regression technique when there is an
outlier with different associated errors in both axes. In Figure 6 the slopes of the
regression lines from BLS and BLMS are plotted when the variance of the outlier
is varied from almost 0 to 10 times the variance of the other data pairs. The slope
of the robust straight line is roughly constant when the variance of the outlier is
varied (the small variations are due to the iterative process for finding the final
regression line). This is important because it proves that the robust regression line
is not affected by the outlier or the size of the variances in the variables. The BLS
208
straight line is affected by the outlier but, depending on the variance of the outlier,
this effect is minimised. Figure 3 plots the BLS and BLMS straight lines when the
variances of the outliers are the same as those of the other pairs.
1.2
1
BLMS
Slope
0.8
BLS
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
Variance of the outlier
8
10
Figure 6 The change in the slope of the BLS and BLMS straight lines when the variances of the
outlier in the second simulated data set are varied.
BLMS in a real data set: Figure 4 shows the straight lines obtained when
the OLS, BLS, LMS and BLMS regression techniques are used. The BLS straight
line is mainly affected by the first data pair in the data set because their
experimental errors are extremely small (the variances are over a thousand times
lower than the smallest variances of the other data pairs), while the robust
regression line (BLMS) tends not to fit this data pair or the others at the end of the
experimental domain so closely, but to fit the other data pairs better. Extremely
small variances must be treated with caution, because although they may be
obtained by very accurate measurement on the part of the analyst, they may also be
obtained if the sample is very close to the detection limit, when an instrumental
error is made when measuring the sample or if other mistakes are made when
handling the data. In any case, analysts should pay attention to these points because
normally robust regression techniques tend not to consider them (due to the
uniqueness of their information) concentrating instead on the other points to find
the robust regression line. Therefore, if these special points are the result of some
mistake, the robust regression line is the correct one, but if they have some
chemical meaning, a robust regression method may not be the best option. The
OLS and LMS straight lines are different to those that consider the errors in both
axes because they do not consider the associated experimental errors.
209
CONCLUSIONS
In this paper we have adapted the LMS regression technique to find a
new way of obtaining a robust regression straight line when individual
experimental errors in both axes are taken into account. This new technique
includes a simulation step by the Monte Carlo method that increases the generality
of the BLMS straight line since the final straight line does not fit two points of the
initial data set exactly, as LMS does. We have used the breakdown point (50%) to
check the robustness of the regression line obtained with the BLMS technique.
Robust regression techniques are usually recommended above techniques
for detecting outliers, which can present problems if there is more than one
suspected point in the data set; this is because one outlier can hide the effect of
another. On the other hand, the disadvantage of robust techniques is that the
uncertainties of the regression coefficients are unknown or difficult to find (e.g.
with LMS11) This makes it more difficult to use statistical tests on the regression
coefficients.
We also applied the BLMS technique to two data sets: a simulated one to
show the behaviour of the robust straight line when there is an outlier in the data
set, and a real one to check its applicability in the chemical field. Although BLS is
fairly robust, there are cases when it is not (e.g. the example given in this paper). In
conclusion, when BLS does not detect the outliers, the robust BLMS straight line
does.
The analyst must be wary of correct experimental points with extremely
small variances, since the robust regression line will normally detect them as
influential points. If the very small uncertainties are due to accurate measurement,
this point must be considered highly relevant to the straight line, and the robust
regression technique is not appropriate. On the other hand, if they are due to other
reasons, such as a measurement near the detection limit, an small replicate
measurement or an error in the measurement, the point should not be considered,
and the robust regression line is a good solution.
210
ACKNOWLEDGEMENTS
REFERENCES
1.- J. Riu and F. X. Rius, Anal. Chem., 1996, 68, 1851.
2.- R. L. Watters, R. J. Carroll and C. H. Spiegelman, Anal. Chem., 1987, 59, 1639.
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Materials, Wiley, New York, 1992.
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10.- R. D. Cook, Technometrics, 1977, 19, 15.
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19.- J. L. Hodges Jr., Proc. Fifth Berkeley Symp. Math. Stat. Probab., 1967, 1, 163.
211
20.- F. R. Hampel, Ann. Math. Stat., 1971, 42, 1887.
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for Erich Lehmann, edited by P. Bickel, K. Doksum and J. L. Hodges Jr.,
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22.- P.C. Meier and R.E. Zünd, Statistical Methods in Analytical Chemistry, Wiley,
New York, 1993, pp. 145-150.
23.- B. D. Ripley and M. Thompson, Analyst, 1987, 112, 377.
24.- Mathworks Inc., Natick, Massachussets, USA.
212
6.3.3 Comparación de diversos algoritmos de cálculo de la recta BLMS
6.3.3
BLMS
Tal como se ha explicado a lo largo del apartado anterior, el algoritmo de
cálculo de la recta de BLMS incluye un proceso de simulación. Concretamente, en
el artículo se citan dos propuestas de simulaciones orientadas a superar la
limitación del método de LMS que fuerza a la recta de regresión a pasar por dos de
los puntos del conjunto de datos (lo que implica una pérdida de generalidad de la
recta de regresión). Las dos propuestas se basan en la simulación por el método de
Monte Carlo,14-17 que se ha explicado en la sección 2.8 de la presente Tesis
Doctoral, y consisten en generar m conjuntos de datos a partir de los valores
experimentales y sus respectivas varianzas. La primera de ellas obtiene estos m
conjuntos de datos a partir de variar los n puntos del conjunto de datos inicial, y
encontrar las rectas de regresión robusta sobre cada uno de ellos, mientras que la
segunda propone hacerlo variando únicamente aquellos dos puntos que definen la
recta de regresión robusta en la primera iteración del algoritmo.
Con el fin de seleccionar una de las dos técnicas basadas en la simulación
utilizando el método de Monte Carlo, se llevó a cabo una comparación de los
residuales obtenidos mediante cada una de ellas y del tiempo de cálculo utilizado
por un ordenador con un procesador Pentium II a 350 MHz. En la tabla 6.2 se
representan los resultados de aplicar las dos técnicas sobre un conjunto de datos
real extraído de la bibliografía.18
BLMS (variando todos los puntos) BLMS (variando sólo un punto)
Número de iteraciones
Residual mínimo
Tiempo (s)
Residual mínimo
Tiempo (s)
10
100
100
100
200
0.0682
0.0595
0.0559
0.0551
0.0568
18.40
121.05
119.74
119.35
265.68
0.0612
0.0568
0.0587
0.0559
0.0557
19.55
119.90
118.36
126.50
230.74
Tabla 6.2.- Comparación de los resultados de calcular la recta BLMS utilizando los dos algoritmos
propuestos.
213
En la tabla 6.2 se observa que los resultados obtenidos mediante las dos
propuestas pueden considerarse del mismo orden, tanto en lo que se refiere al valor
de los residuales como en lo referente al tiempo de cálculo. Por este motivo la
elección de uno u otro método de simulación es indiferente. En el artículo
presentado en la sección anterior se ha utilizado el primero de los métodos
propuestos, donde se ha considerado suficiente hacer 100 iteraciones, debido a que
aumentando el número de iteraciones, se minimizan muy sensiblemente los
residuales de la recta de regresión aumentando notablemente el tiempo de cálculo.
Estas propuestas son una particularización de la metodología de hacer un
barrido para generar pares de ordenadas en el origen y pendientes y seleccionar el
que minimice los residuales de los puntos experimentales a la recta de regresión.
Sin embargo, esta última técnica incluiría una disminución de la robustez de la
recta de regresión, además de aumentar la complejidad del algoritmo y el tiempo de
cálculo.
6.3.4
A lo largo del capítulo se ha mencionado que el método de regresión de
BLS tiene cierto grado de robustez debido a que ignora aquellos puntos con errores
experimentales elevados. Sin embargo, el punto de ruptura de BLS para el conjunto
de datos utilizado en el artículo presentado en el apartado 6.3.2 es del orden del
4.75%, por lo que se deduce la falta de robustez del método. Sin embargo, este
valor del punto de ruptura puede cambiar drásticamente cuando los errores
experimentales asociados a cada uno de los puntos o la distribución de los mismos
varía. Para comprobar esta hipótesis, en la figura 6.7 se presentan cuatro curvas
para el cálculo del punto de ruptura en BLS. Una de estas cuatro curvas coincide
con la aparecida en el artículo anteriormente mencionado y las otras tres son las
curvas obtenidas al modificar las varianzas experimentales del conjunto de datos.
Estas modificaciones suponen, en el primero de los casos disminuir su valor diez
veces y en los otros dos casos multiplicar su valor por diez y cien unidades
respectivamente.
214
6.3.4 Robustez de la recta BLS
1.5
Pendiente
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
*0.1
*1
20
*10
40
60
% de contaminación
*100
80
100
Figura 6.7.- Variación del punto de ruptura del método BLS al modificar las varianzas
experimentales de los puntos discrepantes.
Observando los puntos de inflexión de la figura se pueden calcular los
puntos de ruptura para todos los casos presentados. De esta forma se observa como
para el caso en que las varianzas han sido disminuidas el punto de ruptura obtenido
es del 1.6%, mientras que al aumentar las varianzas de los puntos discrepantes, el
punto de ruptura aumenta hasta el 32.5% en el caso de multiplicar por un factor de
10 e incluso superar el 50% (llegando al 84.45%) al multiplicar las varianzas por
un factor de 100. De esta manera se comprueba que el método BLS tiene cierto
carácter robusto, que se ve acentuado cuando las varianzas de los puntos
discrepantes son grandes. Por otro lado se comprueba que pierde sentido fijar el
máximo teórico del punto de ruptura en el 50% al considerar los errores
individuales en las variables predictora y respuesta, a pesar de que este valor es
efectivamente un máximo en aquellos métodos que no incorporan la ponderación
de los puntos experimentales en su algoritmo.
En la figura 6.7 también se observa que si los puntos discrepantes tienen
varianzas pequeñas, la pendiente vuelve a cambiar drásticamente cuando el
porcentaje de contaminación se acerca al 90%. Esto se debe a que el método BLS
tiende a ajustar en ese momento a los puntos discrepantes sin tener en cuenta los
puntos inicialmente alineados. Es de suponer que en el resto de situaciones (con
varianzas mayores) esta situación se repita cuando el punto de ruptura se acerque al
215
100%. Sin embargo no ha sido posible observarlo debido a las limitaciones del
software utilizado.
216
6.4 Protocolo de actuación en regresión lineal en presencia de puntos discrepantes
6.4 Protocolo de actuación en regresión lineal en
presencia de puntos discrepantes
6.4.1
Introducción
En los apartados 6.2 y 6.3 de la presente Tesis Doctoral se han
desarrollado sendas técnicas para detectar y discriminar los puntos discrepantes en
regresión lineal considerando los errores en ambas variables. Además se ha
mostrado que el método BLS tiene cierto grado de robustez cuando los puntos
discrepantes tienen unas determinadas características. Por todos estos motivos se
presenta la necesidad de desarrollar un protocolo para la obtención de la mejor
recta de regresión cuando en el conjunto de datos inicial hay algún punto
sospechoso de ser discrepante.
En la sección 6.4.2 se presenta el artículo titulado: “Linear regression
taking into account errors in both axes in presence of outliers”, enviado para su
publicación en la revista Analytical Letters. En este artículo se dan una serie de
pautas para obtener la recta de regresión correcta, a partir de los datos
experimentales obtenidos. En cada caso se explica cuál de las técnicas
desarrolladas en los apartados anteriores debe utilizarse.
En el proceso de búsqueda de la recta de regresión correcta cuando se
tienen en cuenta los errores cometidos en las dos variables, surge la necesidad de
hacer un análisis previo de los datos. Por este motivo, en el artículo citado se
introduce una nueva técnica, necesaria para el estudio de los puntos discrepantes,
que es el gráfico de residuales ponderados. Este método gráfico se ha adaptado a la
situación en que se tienen en cuenta los errores cometidos en las variables
predictora y respuesta, de manera que pueda utilizarse como etapa previa al cálculo
de la recta de regresión.
217
6.4.2
Linear regression taking into account errors in both axes
in presence of outliers
Analytical Letters. Enviado para publicación
This paper presents guidelines for obtaining the correct regression
line by taking into account the errors in both axes when there are outliers in
the data set. We have adapted the weighted residual plots to take into account
the experimental errors in both axes, and we have combined it with robust
regression methods and methods for detecting outliers. The protocol has been
checked with real data sets from the literature to show how it can be used to
find the best regression line when there are outliers in the data set. In all cases
the errors in both axes are taken into account.
Keywords: Outliers; linear regression; errors in both axes; robust regression; weighted residual plot
218
6.4.2 Analytical Letters, enviado
1. INTRODUCTION
Linear regression is widely used in analytical chemistry, for example in
calibration stages and when comparing two analytical methods at several
concentrations (1). To find the coefficients of the regression straight line, the
ordinary least squares (OLS) method is normally used. The disadvantage of this
method is that it considers the predictor variable (the x variable, which is normally
the concentration in calibration stages or the reference method in method
comparison studies) to be error free and only allows constant random errors in the
response variable (the y variable, which is normally the instrumental response in
calibration stages or the method being tested in method comparison studies). An
improvement on OLS is the weighted least squares method (WLS). This allows
non-constant random errors in the response variable, but still considers the
predictor variable to be error-free. Sometimes the errors in the response variable
should not be neglected; for example in method comparison studies, where the two
methods normally have errors of the same order of magnitude, or in calibration
stages when certified reference materials (CRM) are used, each with uncertainties
in the concentration of the analyte of interest. In such cases, one should use
regression methods that take into account the errors in both axes, like the bivariate
least square (BLS) method (2,3), which calculates the coefficients of the straight
line by taking into account the individual heteroscedastic random errors in both
axes.
When the straight line is found by any of the regression methods, the
results, due to the presence of one or more outlying points in the experimental data
set, may be biased. This may cause a shift in the regression coefficients or a high
experimental error associated to the regression line (which also increases the
variances in the regression coefficients (4)). These effects may significantly affect
further statistical tests over the regression coefficients leading to incorrect results.
These problems can be overcome with techniques for detecting outliers or with
robust regression methods. In the literature there are several methods of detecting
outliers (e.g. Cook’s test (5)) or robust regression techniques (e.g. the least median
of squares, LMS (6,7)). These deal with regression by considering only errors in
the response variable. Other robust regression methods consider errors in both axes
219
under some restrictions (8,9). In the last few months, however a robust regression
technique (10) and a graphical criterion for detecting outliers (11) have been
developed. Both are based on the BLS method and therefore take into account the
individual experimental errors in both axes.
Several authors recommended using robust regression techniques rather
than tests for detecting outliers (12-15) because with such tests, points with a great
deal of information may be deleted. However, robust regression techniques also
have their limitations. These derive from the difficulty in finding the variances
associated to the regression coefficients (and hence the difficulty in deriving
statistical tests based on the robust regression line). For this reason, in this paper
we present guidelines for finding the correct regression line when there are one or
more outliers in the data set in a regression procedure that should take into account
errors in both axes. We have also used the plot of the weighted residuals taking into
account the errors in both axes, and we have combined this with the robust
regression technique and graphical criterion for detecting outliers to find the
correct regression line. We have applied these guidelines to several real data sets
from the literature that illustrate situations that analysts may find in their laboratory
work.
2. BACKGROUND AND THEORY
2.1.- Bivariate Least Squares
Of the regression techniques that consider errors in both axes (3),
bivariate least squares (BLS) more readily provides the regression coefficients, as
well as their associated variances and covariances. The BLS regression method
relates the observed variables xi and yi as follows:
220
(1)
S=
n
∑
i =1
( yi − yˆ i ) 2
= ( n − 2) s 2
wi
(2)
where n is the number of experimental data pairs, ŷi is the prediction of the
experimental variable yi, s2 is the estimate of the experimental error and wi is the
weighting factor that corresponds to the variance of the ith-residual:
(3)
the predictor and response variables of the straight line expressed in eq. 1, and
ith point, which is normally set at zero.
Since BLS takes into account the errors in both axes and, through the
weighting factor, attaches greater importance to the points with small variance (i.e.
the regression line fits them closer), it may be considered to have a certain degree
of robustness. However, BLS may not obtain the correct regression line when the
data set contains outliers with small variances or when they are outside the
calibration interval.
2.2.- Detection of Outliers
A graphical criterion for detecting outliers and influential points and
taking into account the errors in both axes was developed by del Río et al. (11).
This compares two joint confidence intervals associated to the regression
coefficients: one that corresponds to the regression coefficients of the regression
line of the overall data set and one that corresponds to the regression coefficients of
the regression line without the suspected point(s). The comparison is made to find
221
out whether the suspected point(s) have a strong effect on the regression straight
line. When comparing the confidence intervals (both of which are elliptical) two
important aspects needs to be checked: whether the areas of the ellipses are similar
(which would imply that the variances of the regression coefficients were the same
size), and how close the centres of the ellipses are to each other (which indicates
the coincidence of the regression coefficients of the straight lines). The criterion for
deciding whether one or more data pairs are considered as outliers is whether the
coincidence (expressed in percentage of area) between the ellipses is less than
66.67%.
2.3.- Bivariate Least Median Squares (BLMS)
An alternative techniques for detecting outlying points are robust
regression methods. Following the same strategy as when considering only errors
in the response variable (i.e. the least median of squares method, LMS (7)), the
BLMS robust technique (10) obtains a robust straight line by taking into account
the individual experimental errors in both axes. In this method an iterative process
is performed with the Monte Carlo simulation method (16) to obtain the BLMS
straight line as the best line of a group of robust straight lines generated by taking
into account the errors in both axes. In further calculations in this paper, 100
iterations were chosen for the Monte Carlo simulation stage to attain the BLMS
robust regression line (i.e. m=100).
Depending on how the regression line will be used, the BLMS method
may have disadvantages because information about the variances of the regression
coefficients is difficult to find and is usually non exact (so future statistical tests
associated to the regression coefficients may be difficult to find or inexact). This
loss of information is due to the method’s algorithm, which uses only two points to
find the final straight line. With LMS the variances and covariances of both the
intercept and the slope may be estimated using a complicated algorithm (7), but
their values are not exact in any case. It is normal to suppose that BLMS has a
similar problem because the straight line is also obtained with only two points and
the BLS method is also a least squares method.
222
2.4.- Weighted Residual Plots
The graphical analysis of residuals obtained by taking into account the
errors in both axes may help the analyst to decide which is the correct regression
line to use. This plots the weighted residuals (ei, eq. 1) against the experimental
value of the predictor or response variable. The advise and warning levels are
fixed, respectively at distances equal to two and three times the standard deviation
of the weighted residuals ( se ) above and below the mean. Many problems can be
detected by analysing the shape of the points.
When there are outliers in a data set, an abnormal situation is usually
detected when the weighted residual plot is used on the BLS straight line. Usually,
however, we cannot deduce which points in the initial data set are the outliers. This
is because the BLS straight line fits the points with the lowest variances more
closely. In this way, two situations may be especially important. First, if the
outliers have small variances, their weighted residuals will also be small because
the straight line is close to this point. Second, if the outliers have large variances,
their weighted residuals will probably be small because their values are divided by
the weighting factor (proportional to the variances).
The main advantage of the weighted residual plot that takes into account
the errors in both axes appears when it is used on a robust straight line (e.g. with
BLMS), where the point with the largest weighted residual has the greatest
probability of being an outlier. This is because the robust regression method
obtains the straight line without considering the outliers, and these will probably be
away from the regression line (although their variances are small). If any weighted
residual is greater than the advise level of the weighted residual plot using BLMS
regression, the point is suspected as being an outlier. However, if any weighted
residual is higher than the warning level of the weighted residual plot, this point
should usually be considered to be an outlier. This interpretation is similar to when
the straight line is obtained using OLS. A data set in which the points fit the
straight line well will show a pattern in which the points are equally and randomly
distributed up and down the mean, as in Figure 1a. A U-shaped weighted residuals
223
plot results from fitting a straight line to a data set that would be better fitted by a
curve (Figure 1b). Figure 1c plots a data set in which the weighted residuals vary
according to the predictor variable. This technique should only be used as a
preliminary criterion for ascertaining whether there is a suspected point in the data.
+3se
+3se
a)
+2se
+2se
Mean
Mean
-2se
-2se
-3se
-3se
+3se
b)
c)
+2se
Mean
-2se
-3se
Figure 1 Three examples of residual patterns, in which the weighted residuals that take into account
the errors in both axes are plotted against the predictor or response variable: a) the experimental
points have a good fit to the straight line, b) the experimental points do not fit to a straight line and c)
the weighted residuals vary according to the predictor variable.
2.5.- Protocol to Obtain the Correct Regression Line in the Presence of
Outliers
The first step is a preliminary visual study of the experimental data set in
the plot of the predictor and responses variables. One can find a data pair in a data
set far from the tendency of the other points, or a data pair with their experimental
variances very different from the others. These data pairs are suspected outliers. If
some suspected points in the data set have been detected by visual analysis, the
next step is to use the weighted residual plot taking into account the errors in both
axes over the robust regression line (BLMS). If there are no suspected points
224
outside the advise and warning levels (the plot is equivalent to those that fit the
straight line well, as we can see in Figures 1a and 1c), the BLS regression line
should be used as the best straight line
INITIAL
DATA SET
Visual
No suspected
BLS CORRECT
analysis for
points
REGRESSION LINE
suspected
points
Suspected
points
Weighted
residual plot
over BLMS
No suspected
points
Suspected
points
No statistical
tests
FUTURE USE
BLMS CORRECT
REGRESSION LINE
Statistical tests
(i.e. prediction,
checking bias ...)
Outliers
detection
No
Outliers
BLS CORRECT
REGRESSION LINE
Outliers
REMOVE
OUTLIERS
Figure 2 Protocol for finding the correct regression line.
If the user detects potential outliers with the weighted residual plot (or
data pairs near the limit are suspected outliers), there are two possible solutions,
depending on how the straight line will be used in future. If no information about
the variances of the regression coefficients is needed, the robust regression line,
which minimizes the effect of having outliers in the data set should be used.
However, if information about the variances of the regression coefficients is
225
needed (e.g. for future tests over the straight line), the graphical criterion for
detecting outliers together with the BLS regression method should be used. If after
the graphical criterion has been used to detect outliers, some outlier must be
deleted, the protocol should begin again to determine whether there are any others.
After this protocol, the straight line is considered to be the best that can
be obtained by taking into account the errors in both axes. These guidelines are
summarized in Figure 2.
3. EXPERIMENTAL SECTION
3.1.- Data Sets
The above protocol was applied to three real data sets to clarify how it
can be used when some points are suspected as outliers in the data set. These data
sets are concerned with method comparison studies using linear regression.
3.1.1.- Data sets 1 and 2 (17)
These data sets were from the comparison of the analysis of organic
compounds in two certified reference soils using a wet matrix (20% water) and a
dry matrix, plotted on the x and y axis, respectively. The SRS 103-100 certified
reference soil was analysed in the first data set (Figure 3a). The 15 organic
compounds were analysed by microwave-assisted extraction (MAE) with six
replicates of 5-g portions extracted simultaneously for 10 min at 115ºC from the
reference material for each experimental point. The recoveries were obtained after
six determinations of each sample, and ranged from 79.0 to 150%. The second data
set (Figure 5a) was obtained from an equivalent comparison study that analysed 20
organic compounds in the certified reference material with lot number 321 from the
Environmental Resource Associates (ERA). The number of replicates was six for
the dry matrix and five for the wet matrix. All were extracted simultaneously for 10
minutes at 115ºC. The recoveries varied from 17.7 to 117%.
226
3.1.2.- Data set 3 (18)
This data set was from the analysis, using a liquid chromatographic
method (Figure 6a), of ten biogenic amines in fresh fish. The predictor and
response variables were the recoveries for determining the ten biogenic amines
using the standard addition procedure, in which two levels of addition were
performed for each amine. The recoveries that used the smallest level of addition
were assigned as the predictor variable and are plotted on the x axis, while
recoveries that used the highest level are plotted on the y axis. The measurements
are expressed in mg/kg and their values ranged from 14.54 to 320.67 mg/kg for the
smallest level of addition and from 28.71 to 444.38 mg/kg for the highest level of
addition.
3.2.- Results and Discussion
3.2.1.- Data set 1
Figure 3a shows a clearly suspected outlier. According to our proposed
protocol, the first step is to use the weighted residual plot taking into account the
errors in both axes over the BLMS robust straight line. This is shown in Figure 3b,
which shows that the suspected point is clearly detected as an outlier. If future tests
have to be used over the straight line, the next step should be to use the graphical
criterion to detect outliers. Figure 3c shows the results of this graphical criterion.
The coincidence between the ellipses is 27.54% when the α level of significance is
1%. As this coincidence is smaller than the proposed 66.67% limit, the suspected
point should is considered to be an outlier. Once this point has been detected as an
outlier, the next step is to use the BLS straight line without the outlier (Figure 4a).
On the other hand, if information about the variances of the regression coefficients
is not needed, the BLMS regression line should be used without the graphical
criterion.
227
(a)
160
(b)
2
140
Residuals
Wet matrix
1
120
0
-1
100
-2
80
60
100
Dry matrix
140
80
100
120
Recovery (%)
140
180
(c)
Slope
1.2
1
0.8
-40
-20
0
Intercept
20
Figure 3 a) Regression line found using the BLS method for the first data set. The crosses on the
experimental points are the associated errors (twice the standard deviations) in each axis b) weighted
residual plot for the first data set and c) joint confidence interval for the intercept and the slope for the
initial data set (solid line) and for the initial data set once the suspected points have been removed
(dashed line).
If the graphical criterion is used once the first outlier has been removed,
we must check whether there is another outlier in the data set. This data set does
not seem to have any other outlier (Figure 4a). However, we repeated the study to
show the situation when there are no outliers. The weighted residual plot of the
new data set (data set 1 without the previously detected outlier) is shown in Figure
4b. Although no outlier is detected using the weighted residual plot, there is one
point whose weighted residual is almost detected as an outlier. This is why it is
important to continue to consider whether this point is an outlier. To do this, we
use the graphical criterion for detecting outliers. The result are shown in Figure 4c.
The coincidence is 67.60% (α=1%), so we can conclude that this point is not an
outlier. In any case, the difference between the coincidence and the proposed limit
is so small that these conclusions may be different if a different level of
significance is chosen. If this point is finally considered not to be an outlier, the
BLS straight line (Figure 4a) should be used.
228
(a)
160
(b)
0.4
0.2
Residuals
Wet matrix
140
120
0
-0.2
100
-0.4
80
80
60
100
1.15
Dry matrix
140
160
100
120
Recovery (%)
140
180
(c)
1.1
Slope
1.05
1
0.95
0.9
-20
-10
Intercept
0
10
Figure 4 a) Regression line found using the BLS method for the first data set without the previously
detected outlier. The crosses on the experimental points are the associated errors (twice the standard
deviations) in each axis b) weighted residual plot for this data set and c) comparison of the two joint
confidence intervals for the slope and the intercept using the overall data set (solid line) and the same
data without the suspected point (third point of the data set, dashed line).
3.2.2.- Data set 2
This data set (Figure 5a) appears similar to the previous one. However,
there is a big difference: the variances of the suspected outlier are higher than those
in the first data set. If we look at the weighted residual plot over the BLMS robust
regression line (Figure 5b), we can see that no points are suspected outliers. This is
due to the high variances of the initially suspected point. However, if it were
considered as an outlier, its influence on the BLS straight line would be minimum.
We ought to conclude that the BLS straight line (Figure 5a) should be used. To
show that this is correct we have plotted the result of using the graphical criterion
for detecting outliers when the most suspected point in the data set is deleted
(Figure 5c). We can see that the ellipses are practically identical, and that the
coincidence is 93.92% when the significance level is 1%.
229
(a)
2
120
(b)
Residuals
Wet matrix
1
80
0
-1
40
-2
0
0
40
80
Dry matrix
20
40
60
80
Recovery (%)
100
120
120
(c)
1.4
Slope
1.3
1.2
1.1
-25
-20
-15
-10
Intercept
-5
0
Figure 5 a) Regression line found using the BLS method for the second data set. The crosses on the
residual plot for the second data set and c) result of the comparison of the two joint confidence
intervals for the slope and the intercept using the overall data set (solid line) and the same data
without the suspected point (dashed line).
3.2.3.- Data set 3
This data set (Figure 6a) also presents a suspected point, but now the
number of points is clearly smaller than in the other two data sets. After the
weighted residual plot has been applied over the BLMS robust straight line (Figure
6b), we can see that there is one point near the advise level. This must be studied
carefully. Figure 6c shows the plot of the graphical criterion detecting outliers,
which must be applied if further statistical test are to be done over the regression
line. The coincidence is 28.48% when the α level of significance is 1%. In this case
the suspected point should be deleted because it is considered as an outlier (its
coincidence is clearly smaller than the fixed limit of 66.67%). If we had used the
graphical criterion, the next step would be to make sure that no more outliers were
present in the data set. This study is not shown, but the data set was found to have
230
only one outlier. In conclusion, the BLS straight line (after deleting the detected
outlier) or the BLMS straight line (Figure 6d) can be used in this case, depending
on how the straight line will be used in the future.
500
(a)
15
400
(b)
10
5
Residuals
Highest level
300
200
0
-5
100
-10
0
-15
0
100
200
Smallest level
300
100
200
Recovery (mg/kg)
300
400
500
(d)
400
(c)
1.5
300
Highest level
Slope
0
1.4
200
100
1.3
0
-10
0
10
Intercept
20
0
100
200
Smallest level
300
Figure 6 a) Regression line found using the BLS method for the third data set. The crosses on the
residual plot for the third data set c) comparison of the two joint confidence intervals for the slope and
the intercept using the overall data set (solid line) and the same data without the suspected point (first
point of the data set, dashed line) and d) regression line found using the robust regression method
(BLMS) for the third data set after 100 iterations of Monte Carlo.
4. CONCLUSIONS
In this paper we have presented guidelines for obtaining the correct
regression line when taking into account the errors in both axes and when there
may be outlying points in the experimental data set. Several situations that may be
found in real data analysis are discussed by applying the protocol to three real data
sets from the literature. In all cases, the best regression straight line has been found.
231
In obtaining the best straight line, we have explained the weighted
residual plot, which takes into account the errors in both axes. Since no tests are
involved, some experience may be needed to interpret the plots. We have explained
how to interpret these plots when the BLS and the BLMS robust regression lines
are used, although their main use is with the BLMS robust regression line. In order
for it to work in the presence of points that are suspected outliers, we propose the
BLMS robust straight line and a graphical criterion for detecting outliers.
Experimental points with extremely small variances in the data set must
be carefully studied, because they tend to be considered outliers if they are not very
close to the regression line. If these extremely small variances are due to an
accurate analysis, they should not be considered as outliers, and the BLS straight
line should be used. If they are due, for instance, to errors in measurement, a small
number of replicates, or a measurement near the detection limit, these points should
be considered as outliers and should be deleted from the data set.
5. ACKNOWLEDGEMENTS
The authors would like to thank the DGICyT (project num. BQU20001256) for financial support.
6. REFERENCES
1.- Riu, J.; Rius, F.X. Univariate regression models with errors in both axes. J.
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analysis with uncertainties in all variables. Computers Chem. 1990, 14, 189192.
3.- Riu, J.; Rius, F.X. Assessing the accuracy of analytical methods using linear
regression with errors in both axes. Anal. Chem. 1996, 68, 1851-1857.
4.- Weisberg, S. Applied linear regression, 2nd Ed.; John Willey & Sons: Toronto,
1985, 114-118.
232
5.- Cook, R.D. Detection of Influential Observation in Linear Regression.
Technometrics 1977, 19, 15-18.
6.- Massart, D.L.; Vandeginste, B.G.M.; Buydens, L.M.C.; de Jong, S.; Lewis, P.J.;
Smeyers-Verbeke, J. Handbook of Chemometrics and Qualimetrics: Part A,
Elsevier: Amsterdam, 1997, 339-377.
7.- Rousseeuw, P.J.; Leroy, A.M. Robust regression & outlier detection, Willey:
New York, 1987, 1-18, 112-143.
8.- Hartmann, C.; Vankeerberghen, P.; Smeyers-Verbeke, J.; Massart, D.L. Robust
orthogonal regression for the outlier detection when comparing two series of
measurement results. Anal. Chim. Acta 1997, 344, 17-28.
9.- Brown, M.L. Robust line equation with errors in both variables. Journal of the
American Statistical Association 1982, 377, 71-79.
10.- del Río, F.J.; Riu, J.; Rius, F.X. Robust Linear Regression Taking into
Account Errors in Both Axes. Submitted for publication
11.- del Río, F.J.; Riu, J.; Rius, F.X. A Graphical Criterion for the Detection of
Outliers in Linear Regression Taking into Account Errors in Both Axes.
Analytica Chimica Acta. In Press
12.- Cheng, C.L.; Van Ness, J.W. Robust Calibration. Technometrics 1997, 39,
401-411.
13.- Cummings, D.J.; Andrews, C.W. Iteratively Reweighted partial Least Squares:
a Performance Analysis by Monte Carlo Simulation. Journal of
Chemometrics 1995, 9, 489-507.
14.- Hampel, F.R.; Ronchetti, E.M.; Rousseeuw, P.J.; Stahel, W.A. Robust
Statistics: the Approach Based on Influence Functions, John Willey & Sons:
New York, 1986.
15.- Huber, P.J. Robust Statistics, John Willey & Sons: New York, 1981.
16.- Meier, P.C.; Zünd, R.E. Statistical Methods in Analytical Chemistry, John
Wiley & Sons: New York, 1993, 145-50.
17.- Lopez-Avila, V.; Young, R.; Beckert, W.F. Microwave-assisted extraction of
organic compounds from standard reference soils and sediments. Anal.
Chem. 1994, 29, 1097-1106.
18.- Veciana, M.T.; Hernández, T.; Marine, A.; Vidal, M.C. Liquid
Chromatographic Method for Determination of Biogenic Amines in Fish and
Fish Products. Journal Of AOAC International 1995, 78, 1045-1050.
233
6.5 Conclusiones
En este capítulo se han desarrollado una nueva técnica para la detección
de puntos discrepantes y un método de regresión robusta donde se consideran los
errores experimentales cometidos en las variables predictora y respuesta.
En el apartado 6.2.2 se presenta una técnica para la detección de puntos
discrepantes. Se trata de un criterio gráfico que compara las rectas de regresión
obtenidas antes y después de eliminar del conjunto de datos inicial los puntos
sospechosos de ser discrepantes. Para ello considera las incertidumbres asociadas a
la ordenada en el origen y la pendiente de las dos rectas de regresión (la obtenida a
partir del conjunto de datos inicial y a partir del mismo conjunto de datos sin los
puntos sospechosos de ser discrepantes).
Mediante la utilización del criterio gráfico para la detección de puntos
discrepantes, presentado en la sección 6.2.2, se garantiza que cuando un punto se
considera discrepante es porque éste afecta, no solo a los coeficientes de regresión,
sino también a sus varianzas y covarianzas asociadas, tal como se concluye de la
sección 6.2.3. Además se ha comprobado que la sensibilidad del criterio gráfico
supera la que ofrecen técnicas de detección de puntos discrepantes clásicas como el
test de Cook, pues permite detectar puntos discrepantes que utilizando el test de
Cook no se detectan. También se observa que la sensibilidad del criterio gráfico
aumenta cuando disminuye la varianza experimental de los puntos sospechosos de
ser discrepantes. Por este motivo hay que tener un especial cuidado al tratar puntos
con varianzas experimentales extremadamente pequeñas, intentando conocer el
motivo de estas varianzas. Así, por ejemplo, unas varianzas extremadamente
pequeñas debidas a un exhaustivo proceso de análisis o a un elevado número de
réplicas, hacen pensar que el punto no debe considerarse discrepante debido a la
gran cantidad de información que contiene. Sin embargo, si estas varianzas
extremadamente pequeñas se deben a un análisis con pocas réplicas, a un análisis
cercano al límite de detección, o a algún error en la transcripción de los resultados,
el punto deberá considerarse discrepante.
234
6.5 Conclusiones
En el apartado 6.3.2 se ha presentado el método de regresión robusta de
BLMS. Este método robusto está basado en el de LMS desarrollado por
Rousseeuw y Leroy, adaptado para la situación en que se consideran los errores
cometidos en las dos variables. Para ello se introduce un factor de ponderación que
depende de las varianzas experimentales en cada una de las variables. Se ha
utilizado un proceso iterativo mediante el método de Monte Carlo para generalizar
la metodología y encontrar una mejor recta de regresión robusta, de manera que se
evite la necesidad de que la recta de regresión robusta resultante pase exactamente
por dos puntos del conjunto de datos inicial. Esta técnica de regresión se ha
validado y probado sobre una serie de conjuntos tanto reales como simulados
donde se sospecha de la presencia de puntos discrepantes. Se observa en todos ellos
como la recta de regresión ajusta a la mayor parte de puntos dando menor
importancia a los puntos discrepantes.
La utilización del método de regresión de BLMS tiene asociada una serie
de inconvenientes. Entre ellos cabe destacar el aumento de la complejidad en el
algoritmo de cálculo de la recta de regresión, con respecto a la recta BLS, y la
dificultad (si no imposibilidad) de conocer las varianzas asociadas a los
coeficientes de regresión de la recta de regresión robusta (lo que impide la
utilización de tests sobre los coeficientes de la recta de regresión robusta).
En este capítulo se ha propuesto, además, una nueva técnica para el
estudio de los datos, previa a la obtención de la recta de regresión. Se trata de una
generalización del gráfico de residuales ponderados al caso en que se consideran
los errores individuales cometidos en las variables predictora y respuesta. En el
apartado 6.4.2 se explica su funcionamiento, tanto sobre la recta de regresión
robusta (BLMS) como sobre la recta BLS. Una vez presentada esta nueva técnica,
en el mismo apartado se propone un protocolo de actuación en el caso de tener
puntos discrepantes en el conjunto de datos. Para ello se han utilizado una serie de
casos reales extraídos de la bibliografía que representan cada uno de los supuestos
realizados en el protocolo. En cada caso se ha obtenido la mejor de las rectas de
regresión que se puede conseguir a partir de los datos experimentales y teniendo en
cuenta los errores cometidos en las dos variables.
235
El principal problema presentado a lo largo de este capítulo se
corresponde con la situación en que el conjunto de datos contiene puntos con
varianzas experimentales extremadamente pequeñas. Estos puntos son los que
incluyen una mayor información en regresión lineal considerando los errores
cometidos en las dos variables. El problema de estos puntos es que los tests y
técnicas desarrollados tienden fácilmente a considerarlos como puntos discrepantes
cuando en realidad pueden no serlo (únicamente si se encuentran muy próximos a
la recta de regresión no serán considerados como puntos discrepantes). Por este
motivo, el analista deberá tener un especial cuidado con este tipo de observaciones,
debiendo analizar en profundidad la causa de estas varianzas experimentales
extremadamente pequeñas. Así, por ejemplo, si se concluye que dichas varianzas se
deben a un minucioso proceso de análisis, a múltiples réplicas o a análisis a
concentraciones pequeñas, estos puntos no deben considerarse discrepantes. Sin
embargo, si el origen de que las varianzas sean extremadamente pequeñas es un
análisis cerca del límite de detección, errores en el proceso de medida, análisis con
un número de réplicas muy bajo, o errores de transcripción en cualquier momento
del proceso, estos puntos deberán considerarse puntos discrepantes.
6.6 Referencias
1.- P.J. Rousseeuw, A.M. Leroy, Robust Regression & Outlier Detection, John
Willey & Sons, New York (1987).
2.- R.D. Cook, Technometrics, 19 (1977) 15-18.
3.- F.X. Rius, J. Smeyers-Verbeke, D.L. Massart, Trends in Analytical Chemistry,
8 (1989) 8-11.
5.- S. Weisberg, Applied Linear Regression, 2nd Ed., John Wiley & Sons, New
York (1985).
6.- J. Riu, F.X. Rius, Analytical Chemistry, 68 (1996) 1851-1857.
7.- M.T. Veciana, T. Hernández, A. Marine, M.C. Vidal, Journal Of AOAC
International, 78 (1995) 1045-1050.
8.- C.J. Gamski, G.R. Howes, J.W. Taylor, Anal. Chem., 66 (1994) 1015-1020.
236
6.6 Referencias
9.- C.L.Cheng, J.W. Van Ness, Technometrics, 39 (1997) 401-411.
10.- D.J. Cummings, C.W. Andrews, Journal of Chemometrics, 9 (1995) 489-507.
11.- F.R. Hampel, E.M. Ronchetti, P.J. Rousseeuw, W.A. Stahel, Robust Statistics,
John Willey & Sons, New York (1986).
12.- P.J. Huber, Robust Statistics, John Willey & Sons, New York (1981).
13.- P.J. Rousseeuw, J. Am. Stat. Assoc., 79 (1984) 871-880.
(1994).
15.- P.C. Meier, R.E. Zünd, Statistical Methods in Analytical Chemistry, John
16.- O. Güell, J.A. Holcombe, Analytical Chemistry, John Wiley & Sons, New
York (1993).
17.- H.A. Meyer (editor), Symposium on Monte Carlo Methods, Willey,
Chichester, New York, 1956.
18.- B.D. Ripley, M. Thompson, Analyst, 112 (1987) 377-383.
237
7
Capítulo
Conclusiones
7.1 Conclusiones
7.1 Conclusiones
A lo largo de la presente Tesis Doctoral se han presentado varias
aportaciones a la regresión lineal considerando los errores cometidos en las dos
variables, y concretamente sobre el método de regresión de BLS. De esta forma, se
consigue aumentar la aplicabilidad de este método de regresión en el campo de la
química analítica.
Una de las principales conclusiones que se extraen de la utilización de
estas técnicas sobre el método de BLS, es la necesidad de conocer los errores
experimentales asociados a cada punto experimental. El proceso seguido para
encontrar una buena estimación de estos errores suele añadir laboriosidad al
proceso de análisis de las dos variables (si bien hay muchos casos en que el error
experimental en las dos variables se obtiene directamente del análisis), ya que una
buena estimación de estos errores se suele basar en un aumento del número de
réplicas.
A continuación se presentan las conclusiones que se extraen de analizar
esta Tesis a partir de los objetivos propuestos en la sección 1.1:
1.- Estudio y caracterización de las distribuciones de los coeficientes de
regresión (ordenada en el origen y pendiente) encontrados mediante el método BLS
con el fin de conocer qué tipo de tests estadísticos derivados se deben aplicar en el
Se ha conseguido concluir que los coeficientes de regresión de BLS
siguen una distribución que difiere estadísticamente de la distribución normal. Sin
embargo esta diferencia se ha comprobado que es suficientemente pequeña, de
manera que el error que se comete al utilizar la hipótesis de normalidad en los
coeficientes de regresión puede considerarse despreciable. Este error se ha
comparado con el cometido al utilizar los métodos de regresión que consideran los
errores cometidos únicamente en la variable respuesta (es decir OLS y WLS)
llegándose a la conclusión de que, a pesar de cometer un error debido a la asunción
errónea de normalidad en las distribuciones de los coeficientes de regresión de
241
7. Conclusiones
BLS, se produce una sustancial mejora en la determinación de los coeficientes de
regresión.
2.- Desarrollo de las expresiones para el cálculo de las varianzas
asociadas a la predicción tanto de la variable predictora como de la variable
respuesta utilizando los errores cometidos en ambas variables.
Se han desarrollado las expresiones para el cálculo de la varianza
asociada a la predicción de la variable respuesta a partir de una valor dado de la
variable predictora y viceversa, cuando se consideran los errores en las dos
variables. La validación de las mismas se ha llevado a cabo a partir de una
comparación interna y utilizando la simulación de la predicción sobre varios
conjuntos de datos reales extraídos de la bibliografía.
Estas expresiones se han utilizado para representar los intervalos de
predicción tanto de la variable respuesta como de la variable predictora. A su vez,
estos intervalos de predicción han permitido comprobar la invariabilidad del
método de BLS ante un intercambio de ejes. Esta afirmación es muy importante
pues permite concluir que es indiferente cual de las variables sea considerada como
variable predictora y cual como variable respuesta. Un ejemplo donde este efecto
es importante es la comparación de métodos analíticos en la que debería ser
indiferente la ubicación de los resultados de utilizar cada uno de los dos métodos
pues sus errores experimentales son generalmente del mismo orden de magnitud.
3.- Cálculo del límite de detección de una metodología analítica en que la
recta de calibración se construye mediante el método de BLS.
Se han desarrollado las expresiones para el cálculo del límite de detección
en regresión lineal considerando los errores cometidos en las variables predictora y
respuesta. Para ello se han utilizado los intervalos de predicción del capítulo
anterior, sobre los que se añade el modelado de los errores de las dos variables, con
el fin de subsanar la limitación de no conocer el intervalo de predicción en aquellos
valores de la concentración de los que no se dispone de valores experimentales.
Si bien el límite de detección se ha utilizado, básicamente, sobre casos de
calibración, en otros campos de la ciencia hay otras aplicaciones en que su utilidad
242
7.1 Conclusiones
está fuera de dudas y en las cuales deben considerarse los errores en las dos
variables. En todos estos casos se puede calcular el límite de detección sin variar
las expresiones presentadas en el capítulo 5.
4.- Establecer el procedimiento que se ha de seguir ante la posible
presencia de puntos discrepantes en una recta de regresión considerando los errores
en las variables predictora y respuesta, desarrollando para ello un método de
regresión robusto y un criterio gráfico para la detección de puntos discrepantes.
Con el fin de tratar los posibles puntos discrepantes que contiene un
conjunto de datos a la hora de hacer una regresión lineal considerando los errores
cometidos en las dos variables, se han desarrollado una serie de técnicas de
detección y tratamiento de los mismos. Estas técnicas son:
•
Un criterio gráfico para la detección de puntos discrepantes basado en la
comparación de las dos elipses de confianza conjunta de los coeficientes de
regresión, de las rectas obtenidas a partir del conjunto de datos inicial con y
sin los puntos sospechosos de ser discrepantes. Este criterio gráfico se ha
probado sobre varios conjuntos de datos reales extraídos de la bibliografía,
verificándose la bondad de sus resultados. Su principal aportación es que
considera las varianzas y covarianzas asociadas a los coeficientes de
regresión, con lo que se puede considerar como punto discrepante uno que
varíe significativamente las varianzas de los coeficientes de regresión aunque
no lo haga sobre el valor medio de los coeficientes de regresión.
•
Un método de regresión robusta (BLMS) que considera los errores
experimentales individuales cometidos en las dos variables. Este método de
regresión se ha probado sobre una serie de conjuntos de datos reales y
simulados, y se ha comprobado su robustez mediante el cálculo del punto de
ruptura (breakdown point).
•
Una generalización del gráfico de residuales al caso en que se consideran los
errores en las variables predictora y respuesta, explicando su aplicación sobre
la recta de regresión robusta (BLMS) y sobre la recta BLS. Este gráfico de
residuales ponderados se utiliza como una técnica de estudio previo de los
datos, antes de utilizar las técnicas descritas anteriormente.
243
7. Conclusiones
Como última aportación de este apartado, se ha propuesto un protocolo
de actuación en presencia de puntos discrepantes. Este protocolo se ha probado
sobre una serie de conjuntos de datos reales del campo de la química analítica,
sobre los que se ha encontrado la mejor recta de regresión, con los datos
experimentales disponibles, teniendo en cuenta los errores en las variables
predictora y respuesta y la posible presencia de puntos discrepantes.
7.2 Perspectivas futuras
Una vez presentados los resultados y las conclusiones, se introducen una
serie de temas sobre los que se podría profundizar, o incluso nuevas líneas de
investigación que quedan abiertas. A continuación se citan algunas de ellas:
•
Cálculo de los límites de cuantificación en regresión lineal considerando los
errores cometidos en la concentración, lo que supondría una ampliación en el
campo del cálculo de los límites de detección.
•
Desarrollar las expresiones para el cálculo de las varianzas de los coeficientes
de regresión de la recta obtenida a partir el método BLMS, y estudiar la
distribución que tienen asociada dichos coeficientes. De esta forma se
solventaría la limitación descrita a lo largo de la Tesis Doctoral derivada de la
dificultad (o en muchos casos imposibilidad) de realizar tests tanto
individuales como conjuntos sobre los coeficientes de regresión de la recta de
regresión robusta.
•
Desarrollo del uso del criterio gráfico para la detección de puntos
discrepantes, propuesto en el capítulo sexto de esta Tesis Doctoral, en el caso
en que se utilizan otros métodos de regresión tales como OLS, WLS o CVR,
por ejemplo. Este desarrollo tiene una gran importancia pues utilizando estos
métodos de regresión no existe ningún criterio de detección de puntos
discrepantes que utilice la información derivada de las varianzas y covarianzas
de la recta de regresión. Una segunda aplicación de este criterio gráfico es la
comparación de dos rectas, donde se quieran tener en cuenta las varianzas y
covarianzas de los coeficientes de regresión, habiéndose encontrado dichas
244
7.2 Perspectivas futuras
rectas de regresión a partir de cualquiera de los métodos propuestos a lo largo
de esta Tesis Doctoral (OLS, WLS, BLS, etc.).
•
Estudio de la regresión no lineal considerando los errores en las variables
predictora y respuesta. En este campo se deberían desarrollar los intervalos de
predicción, los límites de detección y el tratamiento de puntos discrepantes
entre otras aplicaciones.
•
Mejora del algoritmo del método BLS en su extensión al campo multivariante,
en el método de mínimos cuadrados multivariantes (multivariate least
squares, MLS), que considera los errores cometidos en todas las variables, con
el fin de asegurar la obtención de un mínimo global en el cálculo del
hiperplano de regresión. Sobre dicho hiperplano de regresión se deberían
desarrollar los intervalos de predicción, los límites de detección y la detección
de puntos discrepantes, de igual forma a como se ha llevado a cabo en esta
Tesis Doctoral en el campo de la regresión lineal univariante con errores en
las dos variables.
Otra de las actuaciones que quedan abiertas es el desarrollo y divulgación
de un programario donde se incluyan las aplicaciones y tests que se han presentado
a lo largo de la presente Tesis Doctoral.
245
8
Capítulo
Anexos
8.1 Anexo 1. Comparación de los métodos OLS, WLS y BLS
8.1 Anexo 1. Comparación de los métodos OLS,
WLS y BLS
8.1.1
Comparación de las rectas de regresión obtenidas con los
Tal como se ha explicado a lo largo de la presente Tesis Doctoral, la recta
obtenida mediante el método de OLS minimiza los residuales de todos los puntos
experimentales respecto a la recta, pero no tiene en cuenta los errores
experimentales individuales asociados a la variable predictora ni los errores
experimentales individuales asociados a la variable respuesta. Por otro lado, la
recta obtenida a partir del método de WLS considera los errores individuales
asociados a la variable respuesta, aunque sigue sin considerar los errores asociados
a la variable predictora, y otorga un mayor peso en la regresión a los puntos
experimentales cuyo error en la variable respuesta es menor, con lo que la recta
WLS tenderá a acercarse más a estos puntos, independientemente de cómo sean los
errores en la variable predictora. El método BLS, por el hecho de considerar los
errores individuales en las variables predictora y respuesta, da una mayor
importancia a aquellos puntos cuyas varianzas en ambas variables son menores.
Un ejemplo de comparación de las rectas obtenidas a partir de los tres
métodos descritos se encuentra en la figura 8.1, donde se representan los resultados
de analizar la composición en seis elementos químicos de dos grupos diferentes de
restos arqueológicos encontrados en Israel.1 En la figura se representan, además de
los puntos experimentales (xi, yi), las desviaciones estándar asociadas a cada uno de
ellos. Concretamente las líneas verticales y horizontales en cada punto
experimental representan el doble de la desviación estándar en cada una de las dos
variables. En la figura 2.4 se observa que en la recta obtenida mediante el método
de OLS todos los puntos experimentales tienen igual importancia. La recta WLS
pondera en la variable respuesta, por lo que se ajustan mejor los puntos del inicio,
cuyos errores asociados son menores. De entre los puntos más influyentes para la
249
8. Anexos
recta WLS se destaca el tercer punto experimental (correspondiente al análisis del
Sc) pues es el punto con menor error asociado a la variable respuesta. Sin embargo,
al representar la recta BLS, y por el hecho de considerar los errores en las dos
variables, el tercer punto experimental pierde importancia pues su error asociado a
la variable predictora es grande en relación a los puntos experimentales que le
rodean. También se observa como el último punto (correspondiente al análisis del
Cr), que es el que tiene mayores errores asociados tanto a la variable respuesta
como a la variable predictora, por lo que la recta BLS prácticamente no tiene en
cuenta este punto a la hora de ajustar los puntos experimentales y de calcular los
coeficientes de regresión, de igual forma que ocurría con el método de WLS, si
bien por la estructura del resto del conjunto de datos la recta BLS se ajusta mejor a
este punto que la recta WLS.
Variable respuesta
160
BLS
120
OLS
WLS
80
40
0
0
40
80
Variable predictora
120
Figura 8.1.- Comparación de las rectas de regresión de los métodos de OLS, WLS y BLS. Las líneas
horizontales y verticales representan el doble de la desviación estándar experimental de cada punto.
8.1.2
Comparación de los métodos OLS, WLS y BLS
Una de las principales características del método de BLS, es que engloba
tanto a OLS como a WLS, es decir: al considerar las varianzas asociadas a la
variable predictora nulas y las varianzas asociadas a la variable respuesta como
250
constante, la expresión para el cálculo de la recta de regresión utilizando BLS
coincide con la obtenida por el método de OLS, mientras que al considerar la
heteroscedasticidad en la variable respuesta, la recta de BLS (incluyendo las
varianzas de los coeficientes de regresión) coincide con la obtenida con el método
de WLS. Para demostrar esta afirmación, a continuación se presenta la
transformación de las expresiones de cálculo de la recta BLS en las utilizadas por
WLS y OLS, al suponer, en primer lugar, varianzas nulas en la variable predictora
y a continuación imponiendo que varianzas en la variable respuesta sean
constantes.
Para ello se parte de la ecuación para el cálculo de los coeficientes de
regresión de la recta BLS (ecuaciones 2.33 y 2.34), ahora renombradas como 8.1 y
8.2 respectivamente, y de la definición del factor de ponderación (ecuación 2.31),
ahora renombrada como 8.3:
 n

 i =1
 n

 i =1
n
∑
1
wi
∑
∑
xi
wi
∑
i =1
n
i =1
2
 n 

 yi + 1  ei  ∂ wi  
xi 


 


wi  b0   i =1  wi 2  wi  ∂b0  


×  =
xi2   b1   n  x y 1  e  2 ∂ w 

i 
  i i +  i 
wi 
2  wi  ∂b1 
 i =1  wi

 
∑
(8.1)
∑
R ⋅b = g
wi = se2i = s 2yi + b12 s x2i − 2b1 cov( xi , yi )
(8.2)
(8.3)
Al considerar las varianzas en la variable predictora nulas, y suponiendo
nula la covarianza entre las variables respuesta y predictora, la ecuación 8.3 queda
de la siguiente forma:
wi = s e2i = s y2i
(8.4)
Estas condiciones son las requeridas por el método WLS para obtener la
recta de regresión. De la expresión 8.4 se observa que las derivadas parciales del
factor de ponderación respecto a cada uno de los coeficientes de regresión son
nulas. De esta forma, la ecuación 8.1 se ve reducida a la siguiente:
251
8. Anexos
 n

 i =n1


 i =1
xi 
 n yi 
b0   i =1 wi 
i 

=
2 ×
xi   b1   n xi y i 
 i =1 w 
wi 
i 

n
1
∑w ∑w 
∑
i =1
n
i
xi
wi
∑
(8.5)
∑
∑
i =1
Para encontrar los coeficientes de regresión se debe invertir la matriz R
de la ecuación 8.2, tal como se observa en la ecuación 8.6:
b = R −1 ⋅ g
(8.6)
Introduciendo la matriz invertida, los coeficientes de regresión se
obtienen a partir de la siguiente ecuación:





b0  
b  = 
 1 




n
∑
i =1
n
1
xi2
wi
−
x
2
i
∑w ∑w
i =1
i
n
xi 
i =1
i
2
n
n
1
x
1
wi
n
∑ ∑
i =1
i =1
xi2 
−
wi 
2
i
∑ w  ∑ w ∑ w
i =1
i =1
i
i
n
∑
n
xi
∑w
i =1

− 
i =1
i

n
xi
−
i =1 wi
n
n
∑
i =1
n
∑
i =1
xi
wi



2
n
n
1
wi
∑ ∑
i =1
i =1
i

− 

1
wi
xi2 
−
wi 
n
xi
∑w
i =1
i



2
   n yi 
  

  ×  i =1 wi  (8.7)
n
  xi y i 
 

  i =1 wi 
2
 

 
∑
∑
n
xi
∑w
i =1
i
Multiplicando las dos matrices se obtiene:
n
∑
i =1
n
b0 
b  =
 1
∑
i =1
n
∑
i =1
xi2
⋅
wi
n
∑
i =1
n
yi
wi
x 
xi
− 
i =1 wi
 i =1 wi
n
xi n xi y i
−
⋅
i =1 wi
i =1 wi



∑
∑
n
xi2 
−
wi 



1
⋅
wi
1
⋅
wi
n
∑
∑
i =1
2
i
n
∑
n
∑
i =1
xi
wi
2
−
∑
i =1
n
∑
i =1
2
+
xi
⋅
wi
∑
i =1
yi
∑w
i =1
i
x 
xi 

− 
i =1 wi
 i =1 wi 
n
1 n xi y i
⋅
i =1 wi
i =1 wi
2



2
1
⋅
wi
n
∑
∑
n
n
1
⋅
wi
2
i
n
∑
(8.8)
∑
n
∑
i =1
xi2 
−
wi 
n
∑
i =1
xi
wi
Agrupando los valores de la segunda matriz se obtienen las expresiones
de la ordenada en el origen y la pendiente obtenidas mediante el método WLS:
252
xi2
n
i =1
b0 =
n
yi
n
∑
i =1
i =1
i
n
∑
1
⋅
wi
1
⋅
wi
n
i =1
b1 =
n
n
xi
yi
∑ w ⋅∑ w − ∑ w ⋅∑ w
n
i =1
∑
i =1
∑
i =1
n
∑
i =1
i =1
i
x 
−
wi 
2
i
n
∑
i =1
n
xi y i
−
wi
1
⋅
wi
∑
i =1
i
n
∑
i =1
x 
−
wi 
2
i
n
n
∑
i =1



xi
wi
∑
i =1



xi
wi
xi
⋅
wi
i
(8.9)
2
xi y i
wi
(8.10)
2
que coinciden con las ecuaciones 2.18 y 2.19 que definen los coeficientes de
regresión obtenidos mediante el método de WLS.
En el caso de considerar homoscedasticidad en la variable respuesta
(condiciones de trabajo del método OLS), la ecuación 8.4 se transforma en un valor
constante (w) y, por tanto, las ecuaciones 8.9 y 8.10 se expresan de la siguiente
forma:
b0 =
b1 =
1
w
n
∑x
⋅
i =1
1
w
1
w
2
i
n
∑
1
w
∑y
1
1⋅
w
i =1
∑
1
w
i
1
w
−
i =1
n
1⋅
i =1
n
1
w
n
∑
n
∑
i =1
n
1
1⋅
w
i =1
∑
n
∑
i =1
i =1
n
1
w
n
1
i
1
xi2 − 
w
xi y i −
i =1
n
∑x ⋅ w∑ y
∑
n
∑
i =1
xi ⋅
i =1
1
x − 
w
2
i
n
i =1
(8.11)

xi 

1
w
∑
i
i =1
2
n
∑x y
i
i =1
2

xi 

i
(8.12)
de donde se obtienen las expresiones de la ordenada en el origen y la pendiente de
la recta de regresión de OLS, y que coinciden con las ecuaciones 2.13 y 2.14:
n
n
2
i
b0 =
n
n
∑x ∑y −∑x ∑x y
i =1
i
i =1
n
n
∑
i =1
i
i =1

xi2 − 

n
∑
i =1
i
i =1
2

xi 

i
(8.13)
253
8. Anexos
n
n
b1 =
n
i
i =1
i
i
i =1
n
n
∑
i =1
8.1.3
n
∑x y −∑x ∑y

xi2 − 

i
i =1
n
∑
i =1

xi 

2
Referencias
1.- J. Yellin, Trends in Analytical Chemistry, 14 (1995), 37-44.
254
(8.14)
8.2 Anexo 2. Presentaciones en congresos
8.2 Anexo 2. Presentaciones en congresos
En esta sección se presentan diferentes colaboraciones, surgidas
directamente del trabajo realizado en esta Tesis Doctoral, en diferentes congresos.
El primero de ellos es una colaboración en forma de póster en el IV
Colloquium Chimiometricum Mediterraneum, que se celebró en Burgos (España)
entre el 8 y el 11 de junio de 1998. Esta colaboración trata sobre el desarrollo de
los tests individuales para los dos coeficientes de regresión de la recta BLS. Dentro
de este póster, se incluye el estudio y la evaluación de las distribuciones de los
coeficientes de regresión de la recta BLS, que se han desarrollado en el capítulo 3
de esta Tesis Doctoral.
A continuación se presentaron dos pósters presentados en el VII congreso
internacional Chemometrics in Analytical Chemistry, celebrado en Amberes
(Bélgica) entre el 16 y el 20 de octubre de 2000. El primero de ellos trata sobre el
desarrollo de las expresiones para el cálculo de los límites de detección mediante el
método BLS (desarrollado en el capítulo 5 de la presente Tesis Doctoral), mientras
que el segundo consiste en el desarrollo del criterio gráfico para la detección de
puntos discrepantes, desarrollado en el apartado 6.2 de la presente Tesis Doctoral.
Además de las aportaciones en Congresos en forma de pósters, en el IV
Colloquium Chimiometricum Mediterraneum, se participó con una presentación
oral (Intervalos de confianza en regresión lineal considerando los errores en dos
ejes) y una conferencia plenaria (Uncertainty and bias, two faces of the same
analytical result) extraídas total o parcialmente del trabajo llevado a cabo en esta
Tesis Doctoral.
255
Índice temático
Índice temático
A
Análisis químicos
APM
139
44
B
BLMS
167, 195–214, 217, 234,
235, 243, 244
BLS 3, 4, 9, 26–28, 29, 67, 96, 163,
167, 170, 235, 241, 244, 249–254,
255
Bootstrap
44
C
Calibración lineal
29, 40, 67, 101,
133, 134, 140
Coeficiente de aplastamiento
33, 35, 38
Coeficiente de asimetría 32, 35, 38
Coeficiente de fiabilidad 20, 22, 23
Coeficientes de Fisher
35, 36
Coeficientes de Pearson
35, 36
Comparación de métodos 28, 29–30,
40, 43, 67, 68, 96, 101, 133, 134
Covarianza
26, 27, 192
Criterio gráfico para la detección de
puntos discrepantes
170, 171,
189–194, 234, 243, 255
CVR
23, 24, 45
D
3, 4, 53, 54, 167, 169–194
Distribución de una población
Distribución normal
96, 241
DR
34, 36, 38, 58,
56
E
EPM
44
Errores α y β
48, 68, 134
Estimaciones por máxima
verosimilitud
25, 55, 57
Estimaciones por mínimos cuadrados
26
F
Función de probabilidad
24, 34
G
Gráfico de residuales ponderados
217, 235, 244
Gráficos de probabilidad normal
38–39
H
Hipótesis alternativa
Hipótesis nula
48
48
I
Intervalo de confianza conjunto para
la ordenada y la pendiente 54, 170
Intervalos de predicción
101, 102,
133, 134, 141, 163, 167, 242, 255
K
3
Kurtosis
Ver Coeficiente de
aplastamiento
259
Índice temático
L
Límite de detección 3, 5, 47–52, 167
Límite de detección en BLS 9, 133,
137–164, 242, 243, 255
4
LMS
56, 57, 195, 213, 235
M
Modelado de las varianzas
experimentales
133, 141
Modelo estructural
21, 57
Modelo funcional
21, 22, 57
Modelo ultraestructural
21, 57
Momento
31
Momento centrado
31, 32, 35
Momento centrado adimensional
31, 33
Monte Carlo
4, 57–59, 103, 195,
213, 235
N
Nivel de significancia
193, 194
Normalidad de los coeficientes de la
recta BLS
4, 5, 9, 65–97, 241
O
ODR
23
OLS 16–18, 28, 40, 42, 43, 53, 55,
96, 102, 141, 241, 249–254
OR
23
P
Predicción en BLS 4, 5, 9, 99–135,
242
3, 39–46
Profundidad
56
260
Punto de ruptura
Puntos discrepantes
217–233, 234, 243
56
5, 163, 167,
R
Regresión
13
Regresión lineal
9, 12–30, 51, 167
Regresión robusta
3, 4, 53, 55–57,
195
Robustez de BLS 167, 214–216, 217
S
Skeewness
asimetría
Ver Coeficiente de
T
Teoría de propagación de los errores
102
Test conjunto para la ordenada y la
pendiente
68, 96
Test de Cook
169
Test de Kolmogorov
37–38
Test en Cetama
35–37
Tests individuales para la ordenada y
la pendiente
67, 167, 255
TLS
23
V
Validación de metodologías
163
Valor crítico
49, 50, 51
W
WLS
18–19, 28, 43, 96, 102, 141,
241, 249–254
Índice
ÍNDICE
1
2
Introducción
1
1.1
Objetivos y justificación
3
1.2
Estructura de la Tesis
3
2.1
7
Notación
2.1.1.1 Símbolos del alfabeto latino
9
10
2.1.1.2
12
2.2
Regresión lineal
12
2.2.1 Métodos que consideran los errores en una sola variable 15
2.2.1.1 Mínimos cuadrados ordinarios (OLS)
15
2.2.1.2 Mínimos cuadrados ponderados (WLS)
18
2.2.2 Métodos que consideran los errores en dos variables
19
2.2.2.1 Estimaciones por máxima verosimilitud
21
2.2.2.2 Estimaciones por mínimos cuadrados
25
2.2.2.3 Método de mínimos cuadrados bivariantes (bivariate
least squares, BLS).
26
2.2.3 Aplicaciones de la regresión lineal considerando los errores
en las variables predictora y respuesta
28
2.2.3.1 Calibración lineal
29
2.2.3.2 Comparación de métodos
29
2.3
Distribución de la población de una medida experimental
2.3.1 Distribución normal o Gaussiana
30
33
2.4
Tests estadísticos para la comprobación de la normalidad de
una distribución 34
2.4.1 Test de normalidad en Cetama
34
2.4.2 Test de Kolmogorov
36
2.4.3 Gráficos de probabilidad normal
37
2.5
39
XI
Índice
2.5.1 Intervalos de predicción considerando solamente los errores
en la variable respuesta
39
2.5.2 Intervalos de predicción considerando los errores en las
44
3
2.6
2.6.1 Test de hipótesis
2.6.2 Etapa de decisión
2.6.3 Etapa de detección
45
47
47
48
2.7
2.7.1 Técnicas de detección de puntos discrepantes
2.7.2 Robustez en regresión lineal
51
52
53
2.8
Simulación de Monte Carlo
56
2.9
Referencias
57
3.1
Introducción
3.2
Detecting proportional and constant bias in method
comparison studies by using linear regression with errors in both axes
4
65
67
69
3.3
Conclusiones
96
3.4
Referencias
96
Predicción en BLS
4.1
Introducción
99
101
4.2
Prediction intervals in linear regression taking into account
errors on both axes
104
5
4.3
Conclusiones
133
4.4
Referencias
134
5.1
XII
Introducción
137
139
Índice
5.2
concentration
6
Limits of detection in linear regression with errors in the
142
5.3
Conclusiones
163
5.4
Referencias
164
6.1
Introducción
6.2
6.2.1 Introducción
6.2.2 Outlier detection in linear regression taking into account
errors in both axes
165
167
169
169
172
190
6.3
Regresión robusta
195
6.3.1 Introducción
195
6.3.2 Robust linear regression taking into account errors in both
axes
6.3.3
BLMS
6.3.4
197
213
214
6.4
Protocolo de actuación en regresión lineal en presencia de
puntos discrepantes
217
6.4.1 Introducción
217
6.4.2 Linear regression taking into account errors in both axes in
presence of outliers
218
7
6.5
Conclusiones
234
6.6
Referencias
236
Conclusiones
239
7.1
Conclusiones
241
7.2
Perspectivas futuras
244
XIII
Índice
8
Anexos
247
8.1
Anexo 1. Comparación de los métodos OLS, WLS y BLS 249
8.1.1 Comparación de las rectas de regresión obtenidas con los
249
8.1.2 Comparación de los métodos OLS, WLS y BLS
250
8.1.3 Referencias
254
8.2
Anexo 2. Presentaciones en congresos
Índice temático
XIV
255
257
ANALÍTICOS QUE UTILIZAN REGRESIÓN LINEAL
CON ERRORES EN LAS DOS VARIABLES
Tesis Doctoral
F RANCISCO J AVIER DEL R ÍO B OCIO
Tarragona, 2001
Parámetros Cualimétricos de Métodos Analíticos que
Utilizan Regresión Lineal con Errores en las Dos
Variables
Tesis Doctoral
U NIVERSITAT ROVIRA I V IRGILI
Àrea de Química Analítica
ANALÍTICOS QUE UTILIZAN REGRESIÓN LINEAL CON
ERRORES EN LAS DOS VARIABLES
Memoria presentada por
Francisco Javier del Río Bocio
para conseguir el grado de
Doctor en Química
Tarragona, 2001
Prof. FRANCESC XAVIER RIUS I FERRÚS, Catedrático del Departament de
Química Analítica i Química orgánica de la Facultat de Química de la Universitat
Rovira i Virgili, y el Dr. JORDI RIU I RUSELL, Becario post doctoral del mismo
Departamento,
CERTIFICAN: Que la presente memoria que tiene por título: “PARÁMETROS
CUALIMÉTRICOS DE MÉTODOS ANALÍTICOS QUE
UTILIZAN REGRESIÓN LINEAL CON ERRORES EN LAS
DOS VARIABLES”, ha sido realizada por FRANCISCO JAVIER
DEL RÍO BOCIO bajo nuestra dirección en el Área de Química
Analítica del Departament de Química Analítica i Química
Orgánica de esta Universidad y que todos los resultados
presentados son fruto de las experiencias realizadas por dicho
doctorando.
Tarragona, marzo de 2001
Prof. F. Xavier Rius i Ferrús
Dr. Jordi Riu i Rusell
AGRADECIMIENTOS
Soy consciente de que los siguientes párrafos van a ser los más leidos de la
Tesis. Por este motivo voy a aprovechar y mostrar mi gratitud hacia todas aquellas
personas que de una manera u otra me han ayudado a poder llegar a este momento
tan esperado.
En primer lugar me gustaría agradecer a F. Xavier Rius el empujón que
me dio en su día para entrar en este mundillo de la investigación cuando yo había
dejado de creer en la química. Muchas gracias por eso y por la ayuda que me has
prestado en todos estos años de trabajo.
También me gustaría darle las gracias a Jordi Riu. Muchas gracias por tu
ayuda, por tu colaboración pero, sobretodo, muchas gracias por ofrecerme tu
amistad. Espero que te vaya muy bien en el post-doc y que a tu vuelta triunfes
tanto como investigador como ... bueno, como en todo lo demás.
Muchas gracias a mis compañeros del grupo de Quimiometría. Quiero
empezar por los que me han acompañado en el labo 9 desde el primer día, y que me
han aguantado en mis buenos y en mis malos días. Muchas gracias a Jaume (los del
Burger echarán de menos al consumidor de Long Chicken, ¿eh?) y a Santi (siempre
disponible para ayudar y resolver dudas en cualquier momento ...). No quiero
olvidar al resto de compañeros del grupo, empezando por Ángel que es con el que he
trabajado más (¡aúpa BLS!). Alicia Pulido (... anda que no hemos pasado ratos
criticando a troche y moche en el pasillo, ¿eh?), a la otra Alicia (otra que tal, ¿eh?),
Enric (anímate y hazte merengue, que tendrás menos disgustos, ¡hombre!), a Mari,
a Toni, a Josep Lluís, a Floren, a Joan, a Ricard, a Pilar, a Marisol, a Iciar, y a todos
los que han pasado por el grupo y que ya no están. De estos me gustaría hacer
mención especial a Sara y Barbara; estuvisteis poco tiempo, pero habéis dejado
huella, ¿eh?.
No me quiero olvidar (porque no sería justo) de mis amigos. Dentro de
este apartado me gustaría mencionar muy especialmente a Noe (a pesar de haberme
viciado con los talladets y la carmanyola he disfrutado mucho de ellos en compañía
de una gran Amiga), a Pepe (esas comidas juntos no se olvidan fácilmente, ¿eh?.
Por cierto, mucha suerte en tu nueva vida) y a Fernando (¡vaya ratos hemos pasado
sentados en la escalera frente a orgánica!). Entre los tres habéis aguantado todos
mis malos momentos en Tarragona y me habéis ayudado a superarlos. Tampoco me
quiero olvidar de Juan Antonio, Jorge, Jordi, Merche, Eva, Núria y Olga (¡ese
equipazo de enólogas! que siempre me han ayudado cuando lo he necesitado), Joan
(¡firrrmes!) y Eva, ni tampoco de Vanessa y otros tantos que no enumeraré porque
necesitaría demasiado espacio para no dejarme a nadie. Muchas gracias a todos por
ser mis amigos.
No me quiero olvidar de los momentos buenos y de ocio que he pasado
durante este periodo de tiempo, así que también quiero agradecer los buenos ratos
que he pasado en los tres coros (el de la URV, el Mare Nostrum y el de los Paúles),
tocando la flauta o en el cine. Muchas gracias a los responsables de que me queden
estos buenos recuerdos: Mònica, Marisol, Arancha, Quim, Laura, ... y un muy
largo etcétera.
Por último quiero agradecer muchísimo el apoyo y la ayuda de toda mi
familia. Empezando por la más cercana: Papá, Mamá, Carlos, Inma, Marga y Yaya,
y siguiendo por los tíos y primos. Muchas gracias a todos por ser como sois, por
aguantarme y por ayudarme a llegar a esto. Sólo vosotros sabéis cuánto os
agradezco todo lo que me habéis dado.
A la hora de agradecer normalmente se piensa en toda la gente que te ha
ayudado. Sin embargo cinco años son muchos y mi memoria demasiado flaca como
para estar seguro de que no me he dejado a nadie. Por este motivo, quiero dar las
gracias a todos aquellos que en algún momento han pensado en mi o me han
querido ayudar.
Muchas gracias a todos
“Pedí a Dios de todo para disfrutar de la vida
y Él me dio la vida para disfrutar de todo”
A Papá, Mamá, Yaya, Carlos, Inma y Marga
Os quiero muchísimo

Parámetros cualimétricos de métodos analíticos que utilizan

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