IF_BRAVO FELIX_FIME - Universidad Nacional del Callao.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
VICERRECTORADO DE INVESTIGACION
INSTITUTO DE INVESTIGACION DE LA FACULTAD DE INGENIERIA
MECANICA – ENERGIA
TEXTO: EL ELEMENTO FINITO EN RESISTENCIA DE MATERIALES
AUTOR:
ING. JUAN ADOLFO BRAVO FELIX
01-11-2009 AL 30-10-2011
RESOLUCION RECTORAL N ° 1273-09-R
BELLAVISTA - CALLAO
1
INDICE GENERAL
I.- INDICE
2
II.- RESUMEN
5
III.-INTRODUCCION
6
IV.- PARTE TEÓRICA Ó MARCO TEÓRICO
8
CAPITULO 1.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
9
INTRODUCCIÓN.
9
RESEÑA HISTÓRICA.
9
ESFUERZOS Y EQUILIBRIO
10
ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS
11
ESTADO DE DEFORMACION DEL SÓLIDO CONTÍNUO.
13
ESTADO BIAXIAL DE DEFORMACION
14
RELACION DE ESFUERZO DEFORMACION UNITARIA
14
ESFUERZOS PLANO
15
ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO
16
CAPITULO II.
PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES
17
INTRODUCCIÓN.
17
METODO MATRICIAL DE ANALISIS ESTRUCTURAL
23
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN RESORTE ELASTICO
24
2
CAPITULO III:
ARMADURAS
26
ARMADURAS PLANAS.
27
FORMULACIÓN EN ELEMENTO FINITO
28
ARMADURAS ESPACIALES
42
CAPITULO IV:
PROBLEMAS BIDIMENSIONALES
45
INTRODUCCIÓN
45
CONS TRUCCIÓN DEL MODELO DEL ELEMENTO FINITO.
46
TRIANGULO DE DEFORMACIÓN UNITARIA CONSTANTE.
49
CAPÍTULO V:
SÓLIDOS DE SIMETRÍA AXIAL CON CARGA AXIAL SIMETRICA
58
INTRODUCCIÓN.
58
FORMULACIÓN DE SIMETRÍA AXIAL
59
MODELADO POR ELEMENTO FINITO: ELEMENTO TRIANGULAR
61
CAPÍTULO VI:
VIGAS Y MARCOS
67
INTRODUCCIÓN
67
VIGAS
67
FORMULACIÓN DE VIGAS MEDIANTE ELEMENTO FINITO.
69
MARCOS PLANOS
73
3
FORMULACIÓN POR ELEMENTO FINITO DE MARCOS
74
V.- MATERIALES Y METODOS
77
VI.- RESULTADOS
78
VII.- DISCUSION
79
VIII.- REFERENCIALES
80
IX.- APENDICE
81
A.1 MATRIZ DE REACCIONES DE LA ARMADURA PLANA
81
ANEXOS.
82
A.1 MODELOS DE ELEMENTO FINITO DE UNA PLACA CON
AGUJERO CENTRAL
82
A.2 FUNCIONES DE FORMA DE LA VIGA ELEMENTAL
82
A.3 FUERZAS DEBIDO AL DESPLAZAMIENTO NODAL DE LA VIGA
83
A.4 CARGA NODAL EQUIVALENTE PARA LA VIGA ELEMENTAL
84
4
RESUMEN
El presente texto: el Elemento Finito en Resistencia de Materiales se ha desarrollado
teniendo como referencia el contenido de Resistencia de Materiales, el mismo que trata
de los siguientes puntos:
- Conceptos fundamentales: Análisis de fuerzas, esfuerzos y deformación unitaria, a
través de la ley generalizada de Hooke así como la relación ente la deformación
unitaria y los desplazamientos lineales y angulares.
- Problemas unidimensionales. Trata sobre elementos sometidos a carga axial las que
son discretizados para su evaluación por elementos finitos relaciona la matriz de
deformación unitaria con desplazamientos en coordenadas local ó global desarrollando
la matriz de rigidez ke del elemento así como el vector de fuerza de cuerpo fe como la
fuerza de tracción Te del elemento.
- Armaduras: se determina la matriz de rigidez del elemento ke para armaduras planas y
espaciales, luego la matriz de rigidez estructural K de ensamble desarrolla el conjunto.
- Problemas bidimensionales: mediante el triángulo de deformación unitaria constante
determina la matriz de rigidez del elemento, el vector de fuerza del cuerpo y de tracción
del elemento, con la matriz de ensamble calcula los esfuerzos generados.
- Sólidos de simetría axial sometidos a carga simétrica: trata de cuerpos generados por
rotación de una superficie en el plano rz alrededor del eje z como el cilindro de pared
gruesa sometido a presión interna, cuyos esfuerzos se determinan con la matriz de
rigidez del elemento.
- Vigas y marcos: se analiza el elemento viga y marco mediante la matriz de rigidez del
elemento de 4x4 y de 6x6 respectivamente.
5
INTRODUCCION
Este trabajo de investigación tiene por objetivo ofrecer al estudiante el TEXTO: EL
ELEMENTO FINITO EN RESISTENCIA DE MATERIALES, donde el elemento
finito es una técnica de cálculo que basado en el método de rigidez utiliza el álgebra
matricial, herramienta poderosa para aplicación computacional. Como el área de
aplicación del elemento finito es amplio, en este caso se desarrolla el concepto del
elemento finito que mediante la discretización convierte en matrices los problemas
complejos de desarrollo integral
y que son tratados sobre los contenidos de la
asignatura de Resistencia de Materiales de la FIME ó denominados en libros de reciente
publicación como Mecánica de Materiales, pero tratados de manera tradicional.
El tema de estudio está organizado en seis capítulos.
En el capítulo 1 se tratan conceptos fundamentales de Resistencia de Materiales domo
fuerza, esfuerzos, deformación unitaria, desplazamientos longitudinales, laterales y
rotaciones las que son presentadas en forma de matrices.
En el capítulo 2 se ven problemas unidimensionales es decir casos de elementos
sometidos a cargas axiales únicamente y se determina la matriz de rigidez del elemento
de dos nodos donde cada nodo tiene un grado de libertad (gdl) en conjunto 2 grados de
libertad generando una matriz de rigidez de 2x2.
En el capítulo 3 se analizan armaduras o sea elementos planos con cargas en el mismo
plano. En este caso el elemento en cada nodo tiene 2gdl y yn conjunto 4 gdl generando
una matriz de rigidez de 4x4..
En el capítulo 4 se resuelven problemas bidimensionales o sea cuerpos planos de
espesor constante sometidos a cargas en el mismo plano. En este caso el elemento es un
triángulo de 3 nodos donde cada nodo tiene 2 gdl y en conjunto 6 gdl generándose una
6
matriz elemental de 3x6. la matriz del elemento es el producto de la matriz deformación
unitaria por la matriz de propiedades del material y por el volumen del elemento.
El capítulo 5 Sólidos de simetría axial sometidos a carga axial simétrica trata de cuerpos
generados por la rotación de áreas en el plano rz. Como sería el cilindro de pared gruesa
sometido a presión interna. La matriz de deformación unitaria – desplazamiento del
cuerpo es de 4x6
En el capítulo 6 se analizan vigas y marcos. La viga elemental tiene 2 nodos con 2gdl
cada nodo generando una matriz de rigidez de 4x4 y matriz de vector de carga de 1x4 lo
que nos permite el planteamiento de la matriz global cuyas dimensiones depende de l
cuerpo considerado. El marco elemental consta de 2 nodos con 3gdl cada uno generando
una matriz de rigidez de 6x6 y matriz de fuerza elemental de 1x6.las que mediante la
conectividad y condiciones de frontera permiten el cálculo de desplazamientos y cargas
de reacción de la estructura.
.
Todos los temas considerados son importantes para el ingeniero mecánico porque le
permite la evaluación de los resultados obtenidos mediante el software de elementos
finitos tales como ANSYS, NASTRAN SAP 2000 y otros que se encuentran en el
mercado nacional y que la FIME no cuenta.
La fabricación, instalación o desmontaje de toda maquinaria conlleva la solución de
numerosos problemas de aplicación en base a las teorías de resistencia de materiales,
dinámica de máquinas y teoría de elasticidad a fin de darle resistencia, elasticidad,
estabilidad, poco peso y especialmente seguridad que son características de las
máquinas actuales por lo que la optimización mediante elementos finitos es ventajoso
por rapidez de la obtención de los resultados.
7
PARTE TEÓRICA Ó MARCO TEÓRICO
8
CAPITULO 1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
INTRODUCCIÓN.
El método del Elemento Finito es una herramienta poderosa para la solución de
problemas de Ingeniería en general y particularmente para el análisis de esfuerzo y
deformación de automóviles, aviones, barcos, edificios y estructuras de puentes en
el campo de análisis estructural así como de mecánica de fluidos, transferencia de
calor y otros campos de ingeniería. En este trabajo solamente se desarrollará los
temas de competencia de Resistencia de materiales
RESEÑA HISTÓRICA.
El método del elemento finito tiene su origen en el campo del análisis estructural de la
industria aeronáutica, donde los investigadores batallaban para diseñar la membrana
delgada del fuselaje y de las alas de un avión a reacción.
Hrenikoff en 1941 presenta una solución de problemas de elasticidad usando el
“método de trabajo del marco”.
Courant en 1943 desarrolla la técnica del elemento finito usando la interpolación
polinomial por partes sobre regiones triangulares para modelar la torsión de vigas.
Argyris en 1955 publica sobre teoremas de energía y métodos matriciales
Turner, Clough, Martin y Topp desarrollan matrices de rigidez para armaduras, vigas y
otros elementos, publicando en 1956 en la revista Aeronáutical Science dando con esto
el inicio del análisis de sistemas estructurales grandes y complejos.
9
En 1960, Ray Clough acuña el término "método del elemento finito" en un documento
que se publicó en las actas de la Segunda Conferencia sobre Cálculos en Electrónica,
auspiciada por la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles. A partir de esa fecha el
método tuvo un auge a la par con el desarrollo de la computación.
En 1967 aparece el primer libro sobre elementos finitos, publicado por Zienkiewicz
y Cheng.
. Las bases matemáticas se fijaron en la década de 1970.
ESFUERZOS Y EQUILIBRIO
Si consideramos un cuerpo de volumen V y superficie S sometido a un conjunto de
cargas, este sufrirá deformaciones. La posición de un punto P del cuerpo
determinamos mediante un sistema de coordenadas cartesianas (x,y z). La
deformación de un punto representamos por las componentes de su desplazamiento
(u,v,w)
Sobre un elemento de volumen dV actúan las siguientes fuerzas.
Las fuerzas de contacto superficial o de compresión originada por la presión
representamos por la fuerza de tensión superficial T de componentes
T  TX , TY , TZ 
(1.1)
Las cargas puntuales que actúan en un punto i representamos por
Pi  PX , PY , PZ 
(1.2)
Las fuerzas por unidad de volumen como el peso propio representamos por W:
w  wX , wY , wZ 
(1.3)
10
ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS
En un sólido (elástico o no) solicitado por un sistema arbitrario de fuerzas, en una
sección cualquiera, al pasar de un punto a otro, el estado de esfuerzos varía de
manera suficientemente lenta y si escogemos en la vecindad de un punto cualquiera
A (fig. 1.1) una zona suficientemente
Figura 1.1 Cuerpo tridimensional
pequeña donde se pueda considerar que el estado de esfuerzos es homogéneo[1].
Esto es posible si partimos de la hipótesis de continuidad del material, que permite
el paso a volúmenes muy pequeños [2]. como se ve en la figura 1.2.
Fig. 1.2 Equilibrio de un volumen elemental
11
Entonces el esfuerzo en un punto se define por las componentes que actúan en varias
direcciones en el espacio, se puede representar por los esfuerzos que actúan en un
diferencial de volumen que rodea al punto considerado. Este estado de esfuerzos, se
determina por seis magnitudes de esfuerzos denominado tensor de esfuerzos:
(1. 4)
Para determinar el esfuerzo sobre un plano de dirección cualquiera,
transformamos el volumen octaédrico en tetraedro (Fig. 1.3) y analizamos el
esfuerzo t en el plano que forman los puntos ABC y cuya normal es el vector
unitario n de cosenos directores nx, ny, y nz. [1].
Figura 1.3 Volumen elemental en la superficie
12
Aplicamos las ecuaciones de equilibrio estático: la suma de las fuerzas originadas
por los esfuerzos actuantes en las caras del tetraedro según los ejes x, y, z debe
ser igual a cero. Simplificando las áreas y despejando las componentes del
esfuerzo en el plano inclinado según los ejes coordenados obtenemos:
t x   x .n x   xy .n y   xz .n z .
t y   yx .n x   y .n y   yz .n z .
(1.5)
t z   z x .n x   zy .n y   z .n z .
Expresados en forma matricial será:
t x   x
t   
 y   yx
 t z   zx
 xy  xz   n x 

 y  yz   n y 
 zy  z   n z 
(1.6)
ESTADO DE DEFORMACION DEL SÓLIDO CONTÍNUO.
Cuando un elemento elástico está sometido a cargas externas, sufre deformaciones
que se manifiesta a través de los cambios de volumen y forma originadas por las
fuerzas internas distribuidas sobre todo el cuerpo. Si consideramos dos puntos A y
B del cuerpo elástico de longitud dL sin carga y luego aplicamos carga, los puntos
sufren incremento de longitud dL´. La deformación unitaria longitudinal se define
como el alargamiento o acortamiento del cuerpo sobre la longitud inicial o.

dL   dL
......
dL
(1.7)
13
Descomponiendo esta deformación unitaria según los ejes de coordenadas
cartesianas y considerando la deformación angular  debidos al cambio de forma y
por analogía con el tensor de esfuerzos, el tensor de deformaciones será de la forma
x

 yx
 zx

 xy
y
 zy
 xz 

 yz  ......
 z 
(1.8)
ESTADO BIAXIAL DE DEFORMACION
Si en el estado tensorial de deformaciones εx = 
xz
= 
yz
= 0 entonces estamos en
el estado de esfuerzos plano. La matriz de esfuerzos (1.4) queda de la siguiente
forma:
x

 yx
 0
 xy
y
0
0
0 ......
0
(1.9)
RELACION DE ESFUERZO DEFORMACION UNITARIA
Los esfuerzos se relacionan con las deformaciones mediante el principio de
superposición, la razón de Poisson εlat = -νεtransv y la ley generalizada de Hooke
ε=σ/E en dirección del eje x, y ,z tal como a continuación se indica:
x 
y 
z 
x
E
y
E
z
E




E

E

E
 Y   Z 
 x   z 

 xy 
14
x
 y 
 xy
G
(1.10)
 xz 
 yz 
 xz
G
 yz
G
Esta es la ley de Hooke generalizada. La relación entre E, ν y G se expresa
mediante la fórmula.
G
E
21   
(1.11)
Podemos representar los esfuerzos en función de deformaciones en su forma matricial:
  D
(1.12)
Donde D es de la forma:


1  
 
1


 
 1
E
D

0
0
1   1  2   0
 0
0
0

0
0
 0
0
0
0
0
0
0
0.5  
0
0
0.5  
0
0

0 
0 

0 
0 

0.5   
0
(1.13)
ESFUERZOS PLANO
Debido a que no existen esfuerzos según el eje z, σz = 0, las deformaciones de un
elemento cargado biaxialmente según los ejes x e y serán:
x 

1
   y
E x
y 


1
   x
E y
z  

E
xy = G.xy
15

y

x
(1.14)
ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO
En Resistencia de Materiales la determinación del desplazamiento u del cuerpo conduce
a la aplicación de las ecuaciones de equilibrio. Los esfuerzos están relacionados con las
deformaciones unitarias mediante la ley de Hooke y las deformaciones unitarias con los
desplazamientos del punto y esto nos genera a la resolución de ecuaciones diferenciales
parciales de segundo orden, cuya solución es exacta. Cuando los problemas son
complejos debido a su geometría, condición de frontera y cargas en general, cuya
solución es difícil. Es esos casos se recurre a soluciones aproximadas empleando
métodos de energía potencial.
La energía Potencial total V de un cuerpo elástico se define como la suma de la energía
de deformación unitaria total U y potencial de trabajo WP., es decir:
V = U + WP
(1.15)
La energía de deformación elástica unitaria para un cuerpo elástico lineal es:
U
1
 . .dV
2
(1.16)
El potencial de trabajo WP está dado por:
WP    u. f .dV   u.T .dS   u i .Pi
(1.17)
i
El potencial total de un cuerpo elástico general como el de la figura 1.1 es:
V 
1
 . .dV   u.T .dV   u.T .dS   u i .Pi
2
i
(1.18)
Para sistemas conservativos el potencial de trabajo es independiente de la trayectoria
16
CAPITULO 2
PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES
INTRODUCCIÓN.
Los problemas unidimensionales tratan de cuerpos solicitados a cargas en un solo
eje, es decir a cargas axiales en dirección del eje del cuerpo. Las cargas que actúan
son los puntuales de tensión y compresión, en el caso de cuerpos en posición
vertical los de
peso propio y cargas distribuidas por unidad de longitud en
dirección del eje del elemento.
En este tipo de problemas el esfuerzo, la deformación unitaria, el desplazamiento y
las cargas indicadas dependen de una sola variable x. por lo que los vectores σ, ε, u,
P, T, f, son funciones de x.
σ = σ(x), ε= ε(x),
u = u(x),
T=T(x),
f = f(x).
(2.1)
El esfuerzo lo relacionamos con el desplazamiento mediante la ley de Hooke, es
decir:
σ = E.ε

du
dx
(2.2)
el diferencial de volumen expresamos en la forma.
dV = A.dx
(2.3)
Para modelar un cuerpo unidimensional, se discretiza la región por tramos y
expresamos el campo de desplazamientos en términos de valores en puntos
discretos. Primero se presentan elementos lineales. Aplicando los conceptos de
rigidez y carga y las relaciones de energía potencial y con las condiciones de
frontera se determinan los parámetros de interés.
17
Figura 2.1 Barra unidimensional cargada
CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DEL ELEMENTO FINITO.
Para la construcción del elemento Finito [1] se siguen los siguientes pasos.
1. - División del elemento: primero modelamos una barra de sección transversal
variable (fig. 2.1) como un número de discreto de elementos de sección transversal
constante, en este caso mediante 4 elementos y cada elemento se conecta a 2 nodos.
El modelo resultante consiste de 4 elementos y 5 nodos como se muestra en la
figura 2.2.Cada elemento se reconoce mediante un número encerrado dentro del
círculo y los nodos mediante números consecutivos. Con el aumento del número de
elementos se obtienen mejor aproximación. Conviene definir un nodo en cada
punto de aplicación de la carga.
Figura 2.2 Formulación por elemento finito de una barra
18
2.- Esquema de numeración:
En un problema unidimensional cada nudo se debe desplazar un una sola dirección
± x, Cada nudo tiene un solo grado de libertad (gdl). El modelo del elemento finito
tiene 5 gdl. Los desplazamientos a lo largo de cada gdl denotamos mediante Q1,
Q2, Q3, Q4, Q5. El vector columna Q = [Q1, Q2, Q3, Q4, Q5] y se denomina vector
de desplazamiento global. El vector de carga global se denota por F = [F1, F2, F3,
F4, F5]. El desplazamiento Q y la carga F tienen valor positivo si actúan en la
dirección del eje + x, en caso contrario es negativo. Cada elemento tiene 2 nudos y
la conectividad de los elementos se representa en la figura 2.4. En la tabla de
conectividad los encabezados 1 y 2 son los números locales de los nodos de un
elemento y los números nodales sobre el cuerpo se llaman números globales. La
conectividad establece la correspondencia local-global.
Figura 2.3 Vectores Q y F
Figura 2.4 Conectividad de los elementos
19
LAS COORDENADAS Y LAS FUNCIONES DE FORMA
Consideremos un elemento finito típico de la figura 2.5.
Figura 2.5 Elemento típico en coordenadas x y ξ
Cada elemento debe ser referido con respecto a un punto fijo. El elemento 1 tiene
los nodos 1 y 2 y sus coordenadas serán x1 y x2. El sistema de coordenadas natural
o intrínseco ( ξ ) para un punto x cualquiera entre los nodos 1 y 2 determinamos
mediante :

2
x  x1   1
x2  x1
(2.4)
Donde ξ = -1 en el nodo 1 y ξ = 1 en el nodo 2, luego la longitud del elemento 1
se cubre cuando ξ cambia de +1 a 1. Con este sistema de coordenadas definimos las
funciones de forma ( N ) utilizado para interpolar el campo de desplazamiento en
forma lineal como:
N1   
1
2
(2.5)
N 2   
1 
2
(2.6)
20
Figura 2.6 Funciones de forma: a) N1, b) N1, c) interpolación lineal u
El campo de desplazamiento lineal dentro del elemento en función de los
desplazamientos nodales q1 y q2 será:
u  N1 q1  N 2 q 2
(2.7)
Y en forma matricial:
u  N q
(2.8)
Donde:
N  N1
N2 
q  q 1
q2 
(2.9)
Este último es el vector de desplazamiento del elemento.
La transformación de x a ξ en términos de N1 y N2 será:
x  N1 x1  N 2 x2
(2.10)
Se observa que la coordenada x y el desplazamiento u es interpolado dentro del
elemento usando las mismas funciones de forma N1, N2. a esto se denomina
formulación isoparamétrica. Las funciones de forma deben satisfacer: a) sus
primeras derivadas deben ser finitas dentro de un elemento, b) los desplazamientos
deben ser continuos a través de la frontera del elemento.
21
ENFOQUE DE LA ENERGÍA POTENCIAL
La expresión general de la energía potencial total de un cuerpo elástico es:
V 
1
 . . Adx   u. f . Adx   u.T .dx   u i .Pi
2
i
(2.11)
Donde Pi y ui representan la fuerza en el punto i y el desplazamiento del punto i
respectivamente.
Como el método del elemento finito discretiza un continuo entonces la expresión
anterior se escribe como:
V 
e
1
 . . Adx    u. f . Adx    u.Tdx   Qi .Pi
2 e
e e
e e
i
(2.12)
Esta ecuación se puede escribir en la forma:
V   U e    u. f . Adx    u.Tdx   Qi .Pi
e
e
e
e
(2.12’)
i
e
Donde:
1

1
1 T
1 T  le
T
T
T
U e    . . Adx  q  B E.B. Adx q  q  Ae E e B .B  d  q
2e
2
2  2
1


U e 
1 T Ae E e
q
2
l e2

 1
1 T Ae E e
 1  1 1q  2 q l
 
e
 1  1
1 T e
 1 1  q  2 q k q


(2.13)
(2.13’)
Donde la matriz de rigidez del elemento es:
ke 
E e Ae
le
 1  1
 1 1 


(2.14)
Los términos de fuerza de un cuerpo elemental podemos expresar como:
 Ae f N 1 dx 
e
1

T
T 
T Ae


u
fAdx

A
f
N
q

N
q
dx

q
le f    q T f e

q
e 
1 1
2 2
e
2
1
e
 Ae f  N 2 dx 
e


22
(2.15)
Donde el vector fe de fuerza del cuerpo del elemento es:
fe 
Ae l e f
2
1

1
(2-16)
El término  u T Tdx de la fuerza de tracción del elemento es:
e
T N 1 dx 


T
T  e
T e


u
Tdx

N
q

N
q
Tdx

q

q T
e
e 1 1 2 2
T
N
dx
  2 
 e

(2.17)
Luego, el vector de fuerza de tracción del elemento es:
Te 
Tl e
2
1

1
(2.18)
La energía potencial total se puede escribir en la forma:
V 
1 T
Q .K .Q  Q T .F
2
(2.19)
Donde Q es el vector de desplazamiento global, K la matriz de rigidez global y F el
vector de carga global.
METODO MATRICIAL DE ANALISIS ESTRUCTURAL
Generalmente las estructuras elásticas están sujetas a las fuerzas ubicadas en los nodos
designadas por Fx,1, Ff,1, Fz,1, Fx,2, Ff,2, Fz,2 , Fx,3, Ff,3, Fz,3, . . . , Fx,n, Ff,n, Fz,n donde el 1er
subíndice indica la coordenada y el 2do subíndice el nodo; estos generan
desplazamientos u1, v1, w1, u2, v2, w3, . . . , un, vn, wn de los nodos 1, 2 ,3, …,n
respectivamente, los cuales se pueden escribir en forma de matriz de columna. En la
figura 2.7 se representa un elemento plano [2].
23
Figura 2.7.Sistema de coordenadas local y global para un miembro plano de 2 fuerzas
 Fx1 
F 
 Y1 
 Fz1 
 
 . 
F    . 
 
 . 
F 
 xn 
 Fyn 
F 
 zn 
 u1 
v 
 1
 w1 
 
 . 
    . 
 
 . 
u 
 n
 vn 
w 
 n
(2.20)
La relación de las fuerzas con los desplazamientos podemos escribir en la forma.
F   k  
(2.21)
Donde k  es una matriz simétrica de la forma:
 k11
k
K    21
 ...

k n1
k12
k 22
...
k n2
... k1n 
... k 2 n 
... ... 

... k nn 
(2.22)
El elemento kij se denomina coeficiente de influencia de rigidez.
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN RESORTE ELASTICO
Consideremos un resorte de rigidez k en dirección del eje x sometida a las fuerzas
Fx1 y FX2 en los nodos 1 y 2 que tienen desplazamientos u1 y u2 respectivamente, tal
como se indica en la figura 2.8 [2]. .
24
Figura 2.8. Determinación de matriz de rigidez de un resorte
Si el nodo 2 es fijo, entonces u1 = u1 y u2 = 0. Luego la fuerza en el resorte será:
FX 1  ku1
(2.23)
FX 2   FX 1  ku1
(2.24)
y por equilibrio
Si el nodo 1 es fijo, entonces u1 = 0 y u2 = u2. luego la fuerza en el resorte será:
FX 2  ku2   FX 1
(2.25)
Por superposición de las 2 condiciones cuando ambos nodos tiene los
correspondientes desplazamientos u1 y u2 respectivamente, las fuerzas en los nudos
serán:
Fx1  ku1  ku2
(2.26)
Fx 2   ku1  ku2
(2.27)
Escribiendo en forma matricial obtendremos:
 Fx1   k
 
 Fx 2   k
 k  u1 
 
k  u2 
(2.27)
Observamos que la la matriz de rigidez del resorte es una matriz simétrica del orden
2x2.
K   
k
 k
 k
k 
(2.28)
25
CAPITULO III
ARMADURAS
Las armaduras son estructuras de ingeniería formados por miembros rectos unidos
sus extremos por pernos, remaches o soldadura. Los materiales pueden ser
aluminio, acero y madera. Las armaduras se clasifican en planas y espaciales,. Las
primeras pueden ser simples, compuestas y complejas. En la figura 3.1 se muestran
armaduras: simple compuesta, compleja y espacial [4].
Figura 3.1 Armaduras simple, compuesta, compleja y espacial
26
ARMADURAS PLANAS.
Son aquellas donde todos sus miembros se encuentran en el mismo plano. Se usan
en la construcción de Puentes, hangares y grandes almacenes y centros comerciales.
E n la figura 3.2 se muestra una armadura plana con sus componentes [3]. .
Figura 3.2 Armadura simple sujeto a carga
Las armaduras pueden ser estáticamente determinadas y indeterminadas. En la
figura 3.3 se observa los dos tipos de armaduras.
27
Figura 3.3 Armaduras: isostática y hiperestática
La diferencia entre los 2 tipos de armaduras es respectivamente:
3 reacciones
4 reacciones
3 ecuaciones de equilibrio estático
F
x
F
y
3 ecuaciones de equilibrio estático
0
M  0
0
F
M  0
y
0
M  0
La armadura hiperestática mostrada es redundante de primer grado.
FORMULACIÓN EN ELEMENTO FINITO
Consideremos el desplazamiento de un solo elemento originado por la fuerza F
como el indicado en la figura 3.4.
28
Figura 3.4 Miembro de 2 fuerzas sujeto a la carga P
El esfuerzo promedio en una sección del elemento será:
 
F
A
(3.1)
La deformación unitaria del miembro se expresa como.

L
L
(3.2)
Relacionando ambos por la LEY DE Hooke tendremos:
  E.
(3.3)
Combinando las tres ecuaciones y simplificando obtendremos:
 A.E 
F 
L
 L 
(3.4)
Se observa que esta ecuación es similar a la ecuación del resorte, F=k.x.
De esta forma el miembro cargado centralmente y de sección transversal
constante puede ser modelado como un resorte con rigidez equivalente:
keq 
A.E
L
(3.5)
29
En la figura 3.5 se muestra una armadura balcón compuesta por 6 barras y 5
nudos. De aquí aislamos un miembro arbitrariamente orientado.
Figura 3.5 Armadura balcón indicando barras ( …) y nudos
En general dos sistemas de referencia son requeridos para describir problemas de
armaduras: el sistema de coordenadas globales y sistema de coordenadas locales [3]. .
Figura 3.6 Relación entre las coordenadas local y global de una barra
30
El desplazamiento global (Uix, Uiy en el nudo i y Ujx, Ujy en el nudo j) está relacionado
al desplazamiento local (uix, uiy en el nudo i y ujx, ujy en el nudo j) mediante las
relaciones:
U ix  uix cos  uiy sen
U iy  uix sen  uiy cos
(3.6)
U jx  u jx cos  u jy sen
U jy  u jx sen  u jy cos
Esta ecuación se puede escribir en forma matricial como.
U   T .u
(3.7)
Donde:
U ix 
U 
iy
U    ,
U jx 
U 
 jy 
cos  sen
 sen cos
T   
 0
0

0
 0
y

0 
 sen 

cos 
0
0
0
cos
sen
 uix 
u 
u   iy 
u jx 
u jy 
U y urepresentan
los desplazamientos de los nudos i y j con respecto a las
coordenadas de referencia global XY y local xy de la armadura, T  es la matriz de
transformación para pasar de la deformación local a global.
En forma similar las fueras locales y globales pueden ser relacionada por la ecuación:
31
Fix  f ix cos  f iy sen
Fiy  f ix sen  f iy cos
F jx  f jx cos  f jy sen
(3.8)
F jy  f jx sen  f jy cos
Y en forma de matriz,
F   T . f 
(3.9)
Donde:
 Fix 
F 
iy
F    ,
 F jx 
F 
 jy 
cos
 sen
T   
 0

 0
 sen
0
cos
0
0
0
cos
sen

0 
 sen 

cos 
0
y
 f ix 
f 
 f    iy 
 f jx 
 f jy 
Representan componentes de la fuerza local en los nudos i y j.
Debemos tener en cuenta que los desplazamientos y las fuerzas en dirección del eje y es
cero debido a que consideramos la barra como miembro de 2 fuerzas en dirección del
eje x, como se observa en la figura 3.7
32
Figura 3.7 Fuerzas internas sobre un elemento barra arbitrario
Las fuerzas locales relacionadas con los desplazamientos locales mediante la matriz de
rigidez es:
 f ix   k
f  
 iy   0
 ,
 f jx   k
 f   0
 jy 
0  uix 
 
0 0 0  uiy 
 
0 k 0 u jx 

0 0 0 u jy 
0 k
(3.10)
Donde k = keq = A.E/L, escribiendo en forma de matriz
 f   T .u
(3.11)
Sustituyendo  f  y uen términos de F  y U  obtendremos:
T 1F   K T 1U 
(3.12)
Donde T  es la inversa de la matriz T  y tiene la forma:
1
33
T 1
 cos
 sen

 0

 0
sen
cos
0
0
0
cos
0
 sen
0 
0 
sen 

cos 
(3.13)
Multiplicando ambos miembros por T  y simplificando obtendremos:
F   T  K T 1U 
(3.14)
Reemplazando los valores T  , K  , T  y U  en la ecuación anterior y multiplicando,
1
obtendremos
 Fix 
 cos 2 
F 

sen . cos
 iy 
   k 
 cos 2 
 F jx 

F 
 sen . cos
 jy 
sen . cos
 cos 2 
sen 
 sen . cos
 sen . cos
cos 2 
 sen 2
sen . cos
2
 sen cos  U ix 
 
 sen 2  U iy 
 
sen . cos  U jx 

sen 2  U jy 
(3.15)
Esta ecuación expresa la relación entre las fuerzas aplicadas la matriz K 
(E)
deflexión de un nudo de un arbitrario elemento. La matriz de rigidez K 
(E)
y la
para un
miembro de la armadura es:
K (e)
 cos 2 

sen . cos
 k
  cos 2 

 sen . cos
sen . cos
 cos 2 
sen 
 sen . cos
 sen . cos
cos 2 
 sen 2
sen . cos
2
 sen cos 

 sen 2 
sen . cos 

sen 2 
(3.16)
En el siguiente paso se consideran el ensamble de matrices de elementos barra
aplicando las condiciones de borde y carga calculando desplazamientos y otras
informaciones como el esfuerzo, el que se resolverá mediante un ejemplo de aplicación.
34
Ejemplo
Consideremos una armadura tipo balcón indicado en la figura 3.5 con las dimensiones
indicadas. Determinar el desplazamiento de los nudos debido a las cargas indicadas. El
material es de madera con E =1,90X106 lb/pulg2. con sección transversal de 8 pulg2
se resolverá el problema manualmente para su mejor comprensión.
Las fases de procesamiento son:
1. discretización del problema en nudos y elementos.
Cada barra es un elemento y cada junta conector de unión es nudo. En este
problema modelaremos con 5 elementos.
Elemento
Nodo i
nodo j
θ
(1)
1
2
0
(2)
2
3
135
(3)
3
4
0
(4)
2
4
90
(5)
2
5
45
(6)
4
5
0
2. asumiendo una solución aproximada al comportamiento de un elemento.
Los elementos (1), (3), (4) y (6) tienen la misma longitud, luego:
keq 
A.E 8 x1,90 x106 

 4,22 x106 lb / pu lg
L
36
Los elementos (2) y (5) tienen la misma longitud, luego:
keq 
A.E 8 x1,90 x106 

 2,98 x105 lb / pu lg
L
50.9
35
3. desarrollo de las ecuaciones por elementos
Para los elementos (1), (3) y (6) el sistema de coordenadas global está alineada,
donde θ =0˚, usando la ecuación (…) encontramos que la matriz de rigidez es:
K (e)
 cos 2 

sen . cos
 k
  cos 2 

 sen . cos
sen . cos
 cos 2 
sen 
 sen . cos
 sen . cos
cos 2 
 sen 2
sen . cos
2
 sen cos 

 sen 2 
sen . cos 

sen 2 
K (1)

cos 2 (0)
sen(0). cos(0)
 cos 2 (0)
 sen(0) cos(0)


2
sen (0)
 sen(0). cos(0)
 sen 2 (0) 
5  sen(0). cos(0)
 4,22 X 10
  cos 2 (0)
 sen(0). cos(0)
cos 2 (0)
sen(0). cos(0) 


 sen 2 (0)
sen(0). cos(0)
sen 2 (0) 
 sen(0). cos(0)
K (1)
1

5 0
 4,22 x10
 1

0
0  1 0 U1 X 
0 0 0  U1Y 
0 1 0 U 2 X 


0 0 0 U 2Y 
La posición de LA MATRIZ DE RIGIDEZ del elemento (1) en la matriz global
es:
K (1)
 4.22
 0

 4.22

 0
 0
 105 
 0
 0

 0
 0

 0
0  4.22 0 0 0 0 0 0 0 U1 X
0
0
0 0 0 0 0 0 0 U1Y
0 4.22 0 0 0 0 0 0 0 U 2 X

0
0
0 0 0 0 0 0 0  U 2Y
0
0
0 0 0 0 0 0 0 U 3 X

0
0
0 0 0 0 0 0 0 U 3Y
0
0
0 0 0 0 0 0 0 U 4 X

0
0
0 0 0 0 0 0 0  U 4Y
0
0
0 0 0 0 0 0 0 U 5 X

0
0
0 0 0 0 0 0 0 U 5Y
36
Para el elemento (3) es :
K (3)
1

5 0
 4,22 x10
 1

0
0  1 0 U 3 X 
0 0 0 U 3Y 
0 1 0 U 3 X 


0 0 0 U 3Y 
su posición en la matriz global es :
K (3G )
0
0

0

0
0
 105 
0
0

0
0

0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
4.22
0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0  4.22 0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0 U1 X
0 0 0 U1Y
0
0 0 0 U 2 X

0
0 0 0  U 2Y
 4.22 0 0 0 U 3 X

0
0 0 0 U 3Y
4.22 0 0 0 U 4 X

0
0 0 0  U 4Y
0
0 0 0 U 5 X

0
0 0 0 U 5Y
0
0
La matriz de rigidez para el elemento (6) es:
K (6)
1

5 0
 4,22 x10
 1

0
0  1 0 U 4 X 
0 0 0 U 4Y 
0 1 0 U 5 X 


0 0 0 U 5Y 
y la posición en la matriz global es:
K (6G )
0
0

0

0
0
 105 
0
0

0
0

0
0 0 0 0 0
0
0
0 0 0 0 0
0
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
0
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
4.22
0
0
0 0 0 0 0
0
0
0 0 0 0 0  4.22 0
0 0 0 0 0
0
0
37
0 U1 X
0
0 U1Y
0
0 U 2 X

0
0  U 2Y
0
0 U 3 X

0
0 U 3Y
 4.22 0 U 4 X

0
0  U 4Y
4.22 0 U 5 X

0
0 U 5Y
0
Para el elemento (4), la orientación del sistema de coordenada local con respecto
al global es θ = 90˚, luego reemplazando en la matriz queda:
K ( 4)
0 0

1
5 0
 4,22 x10
0 0

0  1
0  U 2 X 
0  1 U 2Y 
0 0  U 4 X 


0 1  U 4Y 
0
Su posición global es :
K ( 4G )
0
0

0

0
0
 105 
0
0

0
0

0
0 0
0 0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0
4.22
0 0 0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0  4.22 0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0 U1 X
0 0 U1Y
0
0 0 U 2 X

 4.22 0 0 U 2Y
0
0 0 U 3 X

0
0 0 U 3Y
0
0 0 U 4 X

4.22 0 0 U 4Y
0
0 0 U 5 X

0
0 0 U 5Y
0
0
Para el elemento (2) cuya coordenada local esta a θ = 135˚ respecto a la
coordenada global, su matriz de rigidez será:
K ( 2)
 1  1  1 1  U 2 X 

1 1  1 U 2Y 
5  1
 1.49 x10
 1 1 1  1 U 3 X 



 1  1  1 1  U 3Y 
su posición en la matriz de rigidez global será:
38
K ( 4G )
0
0

0

0
0
 105 
0
0

0
0

0
0 0 0 0 U1 X
0 0 0 0 U1Y
0 0 0 0 U 2 X

0  1.49 1.49
1.49  1.49 0 0 0 0 U 2Y
0  1.49 1.49
1.49  1.49 0 0 0 0 U 3 X

0 1.49  1.49  1.49 1.49 0 0 0 0 U 3Y
0
0
0
0
0
0 0 0 0 U 4 X

0
0
0
0
0
0 0 0 0  U 4Y
0
0
0
0
0
0 0 0 0 U 5 X

0
0
0
0
0
0 0 0 0 U 5Y
0
0
0
0
0
1.49
0
0
0
0
 1.49  1.49
0
0
1.49
Para el elemento (5) cuya coordenada local se orienta respecto a la coordenada
global un θ = 45˚ su matriz de rigidez local es:
K (5)
 1 1  1  1 U 2 X 

1  1  1 U 2Y 
5 1
 1.49 x10
 1  1 1 1  U 5 X 



 1  1 1 1  U 5Y 
su posición en la matriz global es:
K (5G )
0
0

0

0
0
 105 
0
0

0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0  U1 X
0
0
0 0 0 0
0
0  U1Y
1.49
1.49 0 0 0 0  1.49  1.49 U 2 X

1.49
1.49 0 0 0 0  1.49  1.49 U 2Y
0
0
0 0 0 0
0
0 U3X

0
0
0 0 0 0
0
0  U 3Y
0
0
0 0 0 0
0
0 U 4 X

0
0
0 0 0 0
0
0  U 4Y
 1.49  1.49 0 0 0 0 1.49
1.49  U 5 X

 1.49  1.49 0 0 0 0 1.49
1.49  U 5Y
0
0
0 0 0 0
0
4. Ensamble de elementos
la matriz de rigidez global se obtiene al ensamblar todos los matrices
individuales:
K G   K 1G   K 2G   K 3G   K 4G   K 5G   K 6G 
39
Sumando y simplificando obtendremos:
K (5G)
 4.22
 0

 4.22

 0
 0
 105 
 0
 0

 0
 0

 0
0  4.22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0  U1X
0  U1Y
7.2
0
 1.49 1.49
0
0
 1.49 1.49 U2 X

0
7.2
1.49  1.49
0
 4.22  1.49  1.49 U2Y
 1.49 1.49
5.71  1.49  4.22
0
0
0 U3 X

1.49  1.49  1.49 1.49
0
0
0
0  U3Y
0
0
 4.22
0
8.44
0
 4.22
0 U4 X

0
 4.22
0
0
0
4.22
0
0  U4Y
 1.49  1.49
0
0
 4.22
0
5.71 1.49 U5 X

 1.49  1.49
0
0
0
0
1.49 1.49  U5Y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5. Aplicando las condiciones de borde y cargas:
Como los nudos 1 y 3 son fijos entonces: U1X = 0, U1Y =0, U3X = 0, U3Y = 0,
las cargas externas en los nudos 4 y 5 son:
F4Y= -500 lb, F5Y = -500 lb,
reemplazando en la matriz de rigidez global, tenemos:
 4.22
 0

 4.22

 0
 0
105 
 0
 0

 0
 0

 0
0  4.22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0  U1X   0 
 

0
0
0
0
0
0
0
0  
U1Y   0 
7.2
0
 1.49 1.49
0
0
 1.49 1.49  U 2 X   0 
 


0
7.2
1.49  1.49
0
 4.22  1.49  1.49 U 2Y   0 
 0 

 1.49 1.49
5.71  1.49  4.22
0
0
0 
U3 X 
 



1.49  1.49  1.49 1.49
0
0
0
0  U3Y   0 
0
0
 4.22
0
8.44
0
 4.22
0  U 4 X   0 

 

0
 4.22
0
0
0
4.22
0
0  U 4Y   500
 1.49  1.49
0
0
 4.22
0
5.71 1.49  U5 X   0 

 

 1.49  1.49
0
0
0
0
1.49
1.49  
 500

U5Y 
 
0
0
0
0
0
0
Debido a que U1X = 0, U1Y =0, U3X = 0, U3Y = 0, podemos eliminar el 1°, 2do
5to, y 6ta filas y columnas de nuestros cálculos de manera que quede la matriz 6x6,
sistema de ecuaciones algebraicas queda:
40
0
0
0
 1.49  1.49  U 2 X   0 
 7 .2
 0
7 .2
0
 4.22  1.49  1.49   U 2Y   0 

 0
0
8.44
0
 4.22
0  U 4 X   0 
10 5 


:
 4.22
0
4.22
0
0   U 4Y   500
 0
  1.49  1.49  4.22
0
5.71
1.49  U 5 X   0 


 

0
0
1.49
1.49  U 5Y   500
  1.49  1.49
Fase de solución
6.- Solución del sistema de ecuaciones simultáneas. la solución es el indicado:
0
U1 X  

U  

0
 1Y  

U 2 X   0.00355

 

U 2Y   0.01026
U 3 X  

0



0
U 3Y  

U 4 X   0.00118 

 

U 4Y    0.0114 
U   0.00240 
 5X  

U 5Y    0.0195 
7. Determinación de las reacciones:
las fuerzas de reacción se obtiene de la relación:
R   K G U   F 
de tal modo que:
 R1 X 
 4.22
R 
 0
 1Y 

 R2 X 
 4.22



 R2Y 
 0
 R3 X 
 0
5

  10 
 0
 R3Y 
 0
 R4 X 



 0
 R4Y 
 0
R 

 5X 
 R5Y 
 0
0  4.22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 
0
  0 


  0 
0
0
0
0
0
0
0
0 
0
 

7 .2
0
 1.49 1.49
0
0
 1.49 1.49   0.00355  0 

 

0
7 .2
1.49  1.49
0
 4.22  1.49  1.49  0.01026  0 
  0 
 1.49 1.49
5.71  1.49  4.22
0
0
0  
0



1.49  1.49  1.49 1.49
0
0
0
0 
0
  0 
0
0
 4.22
0
8.44
0
 4.22
0   0.00118   0 

 

0
 4.22
0
0
0
4.22
0
0    0.0114   500
 1.49  1.49
0
0
 4.22
0
5.71
1.49   0.00240   0 

 

 1.49  1.49
0
0
0
0
1.49
1.49    0.0195   500
0
0
0
41
0
0
0
Los resultados de la operación son:
 R1 X   1500 
R   0 
 1Y  

 R2 X   0 

 

 R2Y   0 
 R3 X   1500



R
3
Y

  100 
 R4 X   0 

 

 R4Y   0 
R   0 
 5X  

 R5Y   0 
En la figura 3.8 se observa el sistema de coordenadas global para cada
nudo de la armadura [5].
Figura 3.8 Armadura plana en sistema de coordenadas global
ARMADURAS ESPACIALES
La armadura en 3 dimensiones se denomina armadura espacial. Una armadura espacial
simple tiene 6 barras todos unidos en sus extremos formando un tetraedro tal como se
indica en la figura 3.9. Agregando 3 barras y 1 nudo podemos formar armaduras
complejas. Las barras son miembros de 2 fuerzas [3]. .
42
Figura 3.9 Armadura espacial simple y compleja
.La formulación por elementos finitos de la armadura espacial es una extensión del
análisis de armadura plana. El desplazamiento global de un elemento está representado
por UiX, UiY , UjX UiZ, UJy y UJz debido a que cada nudo puede desplazarse en 3
direcciones. Sin embargo los ángulos θX, θy y θz definen la orientación de cada barra
con respecto al sistema de coordenadas global, tal como se indica en la figura 3.10.
Figura 3.10 Los ángulos formado por el miembro con los ejes X, Y y Z
43
Los cosenos directores se pueden escribir en términos de diferencia entre las
coordenadas de nodos j e i de un miembro y la longitud del miembro de acuerdo a las
relaciones:
X j  Xi
cos  X 
cos  Y 
(3.17)
L
Y j  Yi
(3.18)
L
Z j  Zi
cos  Z 
(3.19)
L
Donde:
L
X
 X i   Y j  Yi   Z j  Z i 
2
j
2
La matriz de rigidez K 
(E)
2
 cos
x

x cos
y
cos
cos
 cos

K(e) k x 2 z
 cos
cos
 cos
y
 x
x cos
y
cos
2
(3.20)
para un miembro de la armadura en 3 D es:
2
cos
x cos
y cos
x cos
z cos
x cos
x cos
y cos
x cos
z

2
2
cos
y cos
y cos
z cos
x cos
y
cos

cos
x cos
y 
2
2
cos
x cos
y cos
z cos
x cos
z cos
x cos
y
cos
 
 (3.21)
2
cos
x cos
y cos
x cos
y
cos
x
cos
x cos
y cos
x cos
y 
2
2
cos
 cos
x cos
y cos
x cos
y
cos
y
cos
x cos
y 

2
2
cos
x cos
y
cos

cos
x cos
y cos
x cos
y
cos
z 
el procedimiento para el ensamble de matrices individuales para armaduras espaciales
es idéntico que para las armaduras planas.
44
CAPITULO IV
PROBLEMAS BIDIMENSIONALES
INTRODUCCIÓN
Los problemas bidimensionales formulados mediante elemento finito son similares al
unidimensional. Los desplazamientos, las fuerzas puntuales y las distribuidas son
funciones de la posición indicada por (x,y). El vector desplazamiento u está dado por:
u  u , v 
T
(4.1)
Donde u, v son funciones de x e y , componentes de u .
Los esfuerzos y deformaciones unitarias están expresadas por.
   X
Y
   X
Y
 Z T
(4.2)
 Z T
(4.3)
En la figura 4.1 se muestra un cuerpo bidimensional [1] con la fuerza del cuerpo por
unidad de volumen y el vector tensión y el volumen elemental expresamos como.

f  fx,
fy

T

T  Tx , T y

T
dV  t.dA
(4.4)
Donde t es el espesor a lo largo del eje z. la fuerza del cuerpo f tiene unidades de fuerza
por unidad de volumen y T fuerza por unidad de área.
45
Figura 4.1 Cuerpo bidimensional
Las relaciones deformación unitaria desplazamiento podemos expresar como.
 du
 
 dx
dv
dy
 du dv 

 
 dy dx 
T
(4.5)
Los esfuerzos y las deformaciones unitarias están relacionadas por la ley generalizada
de Hooke que expresada en forma vectorial es:
  D
(4.5)
La región se discretiza para expresar los desplazamientos en términos de valores en
puntos discretos mediante elementos triangulares. Luego aplicamos los conceptos de
rigidez y carga mediante enfoques de energía y Galerkin.
CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DEL ELEMENTO FINITO.
La región bidimensional se divide en triángulos de lados rectos. El cuerpo de la figura
3.2 ha sido discretizado mediante triangulación típica. Los puntos donde están los
vértices de los triángulos se llaman nodos y cada triángulo formado por 3 lados y 3
nudos se llama elemento. En el anexo A-1 se representa una placa con agujero mediante
mallas elementales con aproximación gruesa y fina [6].
46
Figura 4.2 Discretización del cuerpo mediante elemento finito
Los elementos llenan toda la región excepto una pequeña región en la frontera. Esta
región no cubierta está en fronteras curvas y puede reducirse escogiendo elementos mas
pequeños o elementos con fronteras curvas. Con elemento finito resolvemos en forma
aproximada un problema continuo. Para una triangulación, los números de los nodos
están en los vértices y los números de los elementos están encerrados en un círculo.
En problemas bidimensionales a cada nodo se permite que se desplace en 2 direcciones:
x e y, luego cada nodo tiene 2 grados de libertad (gdl).
El vector desplazamiento global lo denotamos como:
Q  Q1 , Q2 , ... Q N 
T
(4.7)
Donde N es el número de grados de libertad. La información sobre la triangulación se
presenta en forma de coordenadas nodales y conectividades. Las coordenadas nodales se
almacenan en un arreglo bidimensional que representan el número total de nodos y las 2
47
coordenadas por nodo. La conectividad puede verse aislando un elemento típico, tal
como se muestra en la figura 4.3 [1]
Figura 4.3 Elemento triangular
La mayoría de los códigos estándar del elemento finito usan la convención de circular
alrededor del elemento en sentido antihorario para evitar un área negativa. La tabla 4.1
indica la correspondencia entre los números de nodos local y global y los
correspondientes grados de libertad. Las componentes de desplazamiento de un nodo
local de un nodo local j en la fig 4.3 están representadas por q2j-1 y q2j en las direcciones
x e y respectivamente, El vector de desplazamiento del elemento denotamos como:
q  q1 , q 2 , q,..., q 6 
T
(4.8)
48
Tabla 4.1 elemento de conectividad
Tres nodos
Número del elemento e
1
2
3
1
1
2
4
2
4
2
7
6
7
10
13
16
15
…
11
…
20
Las coordenadas nodales designadas por (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) tienen la
correspondencia global establecida en la tabla 4.1
TRIANGULO DE DEFORMACIÓN UNITARIA CONSTANTE.
Los desplazamientos en puntos dentro del elemento deben ser representados en
desplazamientos nodales del elemento. El método el elemento finito usa el concepto de
funciones de forma para crear sistemáticamente esas interpolaciones.
Para el triángulo de deformación unitaria las funciones de forma son lineales sobre el
elemento. Las 3 funciones de forma N1 , N2 , N3 correspondientes a los nodos 1, 2, y 3
respectivamente. En la fig 4.4 se muestra la función de forma N1 es 1 en el nodo 1 y se
reduce a 0 en los nodos 2 y 3. los valores de la función de forma N1 definen entonces
una superficie plana sombreada, N2 , N3 son representadas por superficies similares con
valores 1 en los nodos 2 y 3 respectivamente y de 0 en los bordes opuestos. Cualquier
combinación de esas funciones representa también una superficie plana, en particular
49
N1 + N2 + N3, representan un plano de altura 1 en los nodos 1, 2 y 3 y entonces es
paralelo al triángulo 123. en consecuencia para toda N1 , N2 , N3 ,
N1 + N2 + N3 = 1
(4.9)
Figura 4.4 Funciones de forma.
Por lo que N1, N2, N3 no son linealmente independientes, siendo solo dos de ellas. Las
funciones independientes podemos representar por El par  , , como sigue.
N1  
N2  
(4.10)
N3  1    
Donde  , , son coordenadas naturales. Las coordenadas x,y son mapeadas en las
coordenadas  , y las funciones de forma se definen como funciones de  .y.
50
Las funciones de forma pueden representarse físicamente por áreas coordenadas. Un
punto (x,y) en un triángulo divide a éste en 3 áreas A1, A2 y A3 como se ve en la figura
4.5. Las funciones N1 , N2 y N3 se representan por:
Figura 4.5 Áreas coordenadas.
A1
A
A
N2  2
A
A
N3  3
A
N1 
(4.11)
Donde A es el área del elemento
En todo punto dentro del triángulo se cumple: N 1  N 2  N 3  1 .
Representación isoparamétrica.
Los desplazamientos dentro Del elemento se escriben ahora usando las funciones de
forma y los valores nodales del campo de desplazamiento desconocido.
u  N1q1  N 2 q3  N 3q5
(4.11)
v  N1q2  N 2 q4  N 3q6
O empleando las relaciones (4.10).
51
u  q1  q5   q3  q5   q5
(4.11’)
v  q 2  q 6   q 4  q 6   q 6
Las relaciones (4.11) pueden expresarse en forma matricial definiendo una matriz N de
función de forma.
N
N 1
0
0
N1
N2
0
0
N2
N3
0
0
N 3 
(4.12)
Y
u  N .q
(4.14)
Para el elemento triangular, las coordenadas x,y también pueden representarse en
términos de coordenadas nodales usando las mismas funciones de forma. Esta se llama
representación isoparamétrica.
x  N1 x1  N 2 x2  N 3 x3
(4.14)
y  N1 y1  N 2 y2  N 3 y3
Ó
x   x1  x3    x 2  x3   x3
y   y1  y 3    y 2  y 3   y 3
(4.14’)
Utilizando la notación xij = xj – xi e yij = yj – yi escribimos como:
x  x13  x 23  x3
(4.14’’)
y  y13  y 23  y 3
Energía potencial
La energía Potencial  del sistema está dada por :
 
1 T
 .D. .t.dA   u T . f .t.dA   u T .T .t.d   u T I .Pi

2
52
(4.15)
El último término de la ecuación anterior, i indica el punto de aplicación de la carga


puntual Pi y Pi  Px , Py . La sumatoria sobre i da la energía potencial debida a todas
T
las cargas puntuales.
Usando la triangulación mostrada, la energía potencial total puede escribirse en la
forma:
1 T
 .D. .t.dA  
2
 
u
T
. f .t.dA   u T .T .t.d   u T I .Pi
   U e    u T . f .t.dA   u T Ttdl   u iT Pi
e
Donde U e 
e
e
(4.16)
(4.16’)
i
L
1 T
 D. .t.dA es la energía de deformación unitaria del elemento.
2
RIGIDEZ DEL ELEMENTO
Expresando la energía de deformación unitaria en la forma:
Ue 
1 T
1
 D. .t.dA   q T B T D.B.q.t.dA

2
2
(4.17)
Considerando que el espesor del elemento t como constante sobre el elemento, así como
todos los términos de las matrices D y B son constantes, tenemos.
Ue 


1 T T
1
1
q B D.B.t e   dA q  q T .t e Ae B T D.B.q  q T k e q
2
2
2
e 
(4.17’)
Donde ke es la matriz de rigidez del elemento, dado por:
k e  te Ae BT D.B
(4.18)
La conectividad del elemento se se utiliza para sumar los valores de la rigidez del
elemento en ke en localizaciones globales correspondientes de la matriz de rigidez
global K, luego:
1
1
U   q T k e q  Q T K .Q
2
e 2
(4.19)
53
La matriz de rigidez K es simétrica y en banda o dispersa. La rigidez global K está en
una forma donde todos los grados de libertad Q están libres y necesita ser modificada
para tomar en cuenta las condiciones de frontera.
TERMINOS DE FUERZA
El término de fuerza de cuerpo se expresa como:
u
T
f .t.dA  te  uf x  vf y dA
(4.20)
Utilizando las relaciones de interpolación, obtenemos:
u
T




f .t.dA q1  t e f x  N 1 dA   q 2  t e f x  N 1 dA  
e
e








.................  q3  t e f x  N 2 dA   q 4  t e f x  N 2 dA 
e
e




(4.20’)




.................  q5  t e f x  N 3 dA   q 6  t e f x  N 3 dA 
e
e




La
 N dA
1
representa el volumen de un tetraedro con área Ae en su base y altura en el
e
vértice igual a 1, como se ve en la figura 4.6.
Luego.
1
 N dA  3 A
1
e
e
De manera similar
N
e
2
1
dA   N 3 dA  Ae .
3
e
54
(4.21)
Figura 4.6 Integral de una función de forma
Luego la ec (4.20) queda como:
u
T
f .t.dA q T . f e
(4.22)
Donde fe es el vector de fuerza del elemento de la forma:
fe 

te Ae
fx,
3
fy,
fx,
fy,
fx,
fy

T
(4.23)
Estas fuerzas nodales del elemento contribuyen al vector de carga global F. Mediante la
tabla 4.1 de conectividad se debe usar nuevamente para agregar fe de dimensión (6x1)
al vector global de fuerza F de dimensión (Nx1). Este procedimiento de ensamble visto
anteriormente se expresa simbólicamente como:
F  fe .
(4.24)
e
La fuerza de tracción es una fuerza distribuida que actúa sobre la superficie del cuerpo.
Esta fuerza actúa sobre los bordes que conectan los nodos de frontera. Una fuerza de
tracción que actúa sobre el borde de un elemento contribuye al vector global de carga F.
Considerando un borde l1-2 donde actúa una tracción Tx, Ty en unidad de fuerza por
unidad de superficie de área mostrado en la figura 4.7, tenemos:
55
u
T
T .t.dl 
L
 uT
x
 vT y dl
(4.25)
l1 2
Mediante relaciones de interpolación que contienen las funciones de forma:
Figura 4.6 Carga de tracción
u  N 1 q1  N 2 q3
v  N1q 2  N 2 q 4
(4.26)
Tx  N 1Tx1  N 2Tx 2
T y  N 1T y1  N 2T y 2
Considerando que.
N
l1 2
2
1
1
dl  l1 2 ,
3
l1 2 
N
l1 2
2
2
1
dl  l1 2 ,
3
N
l1 2
2
3
1
dl  l1 2 ,
3
x 2  x1 2   y 2  y1 2
(4.27)
Se obtiene:
u
T
T .t.dl  q1 , q 2 , q3 , q 4 T e
l1 2
56
(4.28)
Donde Se te expresa como:
Te 
tel1 2
2Tx1,TX 2
6
, 2TY 1  TY 2 , TX 1  2TX 2  T , Tx , TY 1  2TY 2  (4.29)
T
Si p1 y p2 son presiones que actúan normalmente en la línea dirigida hacia la derecha
cuando nos movemos de 1 a 2, como se muestra en la figura 4.6. Luego:
Tx1  cp1 ,
s
x1  x2 
l1 2
Tx 2  cp 2 ,
y
c
T y1   sp1 ,
T y 2   sp1
 y 2  y1 
l1 2
Las contribuciones de la carga de tracción deben agregarse al vector global de fuerza F.
57
CAPÍTULO V
SÓLIDOS DE SIMETRÍA AXIAL CON CARGA AXIAL SIMÉTRICA.
INTRODUCCIÓN.
Los sólidos tridimensionales de simetría axial (o sólidos de revolución) sometidas a
carga axial se reducen a problemas bidimensionales. por su simetría respecto al eje z,
todos los esfuerzos y deformaciones son independientes del ángulo de rotación θ y se
convierte en problema bidimensional en rz definido sobre el área revolvente. Las
fuerzas gravitatorias se consideran si actúan en dirección del eje z. La figura 5.1 muestra
las carga sobre el plano rz. [1]
Figura 5.1 Problema de simetría axial
58
FORMULACIÓN DE SIMETRÍA AXIAL
Si consideramos un volumen elemental como el de la figura 5.2.
Figura 5.2 Volumen elemental
La energía potencial se escribe en la forma:

1
2
2
T
    .rdAd 
0 A
2

0
T
 u f .r.dAd 
2
 u
T
.T .r.dd   u T I .Pi
(5.1)
0
Donde rdldθ es el área de la superficie elemental, y la carga puntual Pi representa una
carga lineal distribuida alrededor de un círculo, como se ve en la figura 5.1
Como todas las variables son independientes de θ la ec. Anterior se puede escribir
como.
1

  2    T rdA   u T frdA   u T Trdl    u iT Pi
A
L
2 A
 i
(5.2)
Donde.
u  u , w
T
f   fr , fz 
T
(5.3)
T  Tr , Tz 
T
59
Figura 5.3 Deformación de un volumen elemental
La relación de la deformación unitaria ε y los desplazamientos u escribimos a partir de
la figura 5.3 como:
   r ,  z ,  rz ,   
T
 u w u w u 
 ,
, 
, 
 r z z r r 
T
(5.4)
El vector esfuerzo se define como:
   r ,  z , rz ,   
(5.5)
La relación de esfuerzo deformación unitaria se da en la forma indicada:
  D.
(5.6)
Donde la matriz D de (4x4) puede escribirse como:

 1
 

E 1    1  
D
1   1  2   0

 

1  

1 
0
1
0
0
1  2
21   

1 
0
60
 
1  
 

1  
0 

1 

(5.7)
MODELADO POR ELEMENTO FINITO: ELEMENTO TRIANGULAR
La región bidimensional definida por el área de revolución dividida en elementos
triangulares se indica en la figura 5.4.[1]
Figura 5.4 Triangulación del área de revolución
El área representada en el plano rz, es un sólido de revolución en forma de anillo
que se obtiene al girar el triángulo alrededor del eje z. Un elemento típico se muestra
en la figura 5.5.
Figura 5.5 Elemento triangular de simetría axial
61
Utilizando las 3 funciones de forma N1, N2 y N3, definimos:
u  N .q
(5.8)
Donde:
N
N  1
0
0
N2
0
N3
N1
0
N2
0
0
N 3 
q  q1 , q 2 , q3 , q 4 , q5 , q 6 
T
(5.9)
(5.10)
Sean N1   , N 2   y N 3  1     , luego la ecuación 5.8 queda:
u  q1  q3  1     q5
w  q 2  q 4  1     q 6
(5.11)
Mediante la representación isoparamétrica tenemos:
u  r1  r2  1     r3
(5.12)
w  z1  z 2  1     z 3
La regla de la cadena de la diferenciación da:
 u 
  
 u  
 
  
 w 
 u 
  
 
J  r  y   
u
w
 
 
  
 z 
 w 
 
J  r 
w
 
 z 
(5.13)
Donde el jacobiano J está dado por:
r
J   13
 23
z13 
z 23 
(5.14)
En donde: rij = ri –rj y zij = zi – zj.. E l determinante de J es:
det J  r13 .z 23  r23 .z13
El det J  2 Ae . Las relaciones inversas de las ecuaciones (5.13) son:
62
(5.15)
 u 
 w 
 u 
 w 


 
 r 
 r 
1   
1   
 u   J  u  y  w   J  w 
 
 
 
 
  
 z 
 z 
  
(5.16)
Donde:
j 1 
1
det J
 z 23
 r
 23
 z13 
r13 
(5.17)
Reemplazando en le la ecuación de deformación unitaria – desplazamiento queda:
z 23 q1  q5   z13 q3  q5 




det J


 r23 q 2  q 6   r13 q 4  q 6 




det J
 
 r q  q5   r13 q3  q5   z 23 q 2  q 6   z13 q 4  q 6  
 23 1

det J


N 1 q1  N 2 q3  N 3 q5




r
Se puede escribir como.
  B.q
(5.18)
Donde la matriz B de deformación unitaria-desplazamiento de elemento de
dimensión (4x6) es:
 z 23
 det J

 0
B
 r32
 det J
 N
 1
 r
0
r32
det J
z 23
det J
0
z 31
det J
0
r13
det J
z 31
det J
0
r13
det J
N2
r
0
z12
det J
0
r21
det J
N3
r

0 
r21 

det J 
z12 
det J 

0 

(5.19)
La energía de deformación unitaria Ue del elemento es:
Ue 

1 T
q  2  B T DBrdA q
2  e

La cantidad entre paréntesis se denomina matriz de rigidez del elemento:
63
(5.20)
k e  2  B T DBr.dA  2r B T DB  dA  2r Ae B T DB
e
(5.21)
e
Donde r es el radio del centroide y B es la matriz B de deformación unitariadesplazamiento del elemento evaluado en el centroide.
Debido a que 2r Ae es el volumen del elemento anular de la figura 5.5 donde
Ae 
1
det J 
2
Términos de la fuerza del cuerpo considerado en la fórmula de energía es:
2  u T fr.dA  2  uf r  wf z rdA 
e
e
(5.22)
...  2   N 1 q1  N 2 q3  N 3 q5  f r   N 1 q 2  N 2 q 4  N 3 q 6  f z rdA  q T f e
e
Donde el vector fe de fuerza de cuerpo del elemento et{a dado por:
fe 
2r Ae
 fr ,
3
fz,
fr ,
fz,
fr ,
fz 
T
(5.23)
Donde las barras sobre los términos f indican que ellos se evalúan sobre el centroide.
Tracción superficial.
Para una carga uniformemente distribuida con componentes Tr , Tz, mostradas en la
figura 5.6 sobre el borde que conecta los nodos 1 y 2, obtenemos:
Figura 5.6 Tracción superficial
64
2  u T T .rdl  q T .T e
(5.24)
e
Donde:
q  q1 , q 2 , q3 , q 4 
T
(5.25)
T e  2l1 2 aTr , aTz , bTr , bTz 
T
a
2r1  r2
r  2r2
, b 1
,
6
6
l1 2 
(5.26)
(5.27)
r2  r1 2  z 2  z1 2
(5.28)
PROBLEMA.
Se muestra un cuerpo de simetría axial con una carga linealmente distribuida sobre
la superficie cónica. Determine las cargas puntuales equivalentes en los nodos 2, 4 y
6.
Solución:
Consideremos los 2 bordes 6-4 y 4-2 por separado y luego juntamos.
Para el borde 6-4.
. p = 0.35 MPa, r1 = 60 mm, z1 = 40 mm, r2= 40 mm, y z2 = 55 mm.
l1 2 
r2  r1 2  z 2  z1 2
= 25 mm
65
c
z1  z 2
r r
 0.6 , s  1 2  0.8
l1 2
l1 2
Tr   pc  0.21 , Tz   ps  0.28
T e  2l1 2 aTr , aTz , bTr , bTz 
T
.....   879.65  1172.9  769.69  1026.25 ..N
T
Estas cargas se suman a F11, F12, F7 y F8 respectivamente.
Para el borde 4-2:
. p = 0.25 MPa, r1 = 40 mm, z1 = 55 mm, r2= 20 mm, y z2 = 70 mm.
l1 2 
c
r2  r1 2  z 2  z1 2
= 25 mm
z1  z 2
r r
 0.6 , s  1 2  0.8
l1 2
l1 2
Tr   pc  0.15 , Tz   ps  0.2
T e  2l1 2 aTr , aTz , bTr , bTz 
T
.....   392.7  523.6  314.16  418.88 ..N
T
Estas cargas se suman a F7, F8, F3 y F4 , respectivamente. Entonces:
F3
F4 F7 F8 F11 F12314
.2 418
.9 1162
.4 1696
.5 879
.7 1172
.9..N
66
CAPÍTULO VI
VIGAS Y MARCOS
INTRODUCCIÓN
Las vigas son miembros esbeltos utilizados para soportar cargas transversales. Las
estructuras complejas con miembros rígidamente conectados se denominan
marcos. Primero se analizaran las vigas y luego los marcos.
VIGAS
Las vigas juegan un papel muy importante en muchas aplicaciones de ingeniería
tales como la estructura de: edificios, puentes, automóviles y aviones. Una viga se
define como un miembro estructural cuya sección transversal es pequeña en
comparación de su longitud. La viga comúnmente está sujeta a cargas transversales
a su eje y estas originan la flexión de la misma. En la figura 6.1 mostramos una
viga sujeta a una carga uniformemente distribuida [3].
Figura 6.1 Viga con carga uniformemente distribuida
67
La deflexión del eje neutro de una viga a una distancia x es representado por la
variable v.
Para pequeñas deflexiones, la relación entre el esfuerzo normal σ en una sección,
el momento flector M, y el momento de inercia I está dada por la fórmula de
flexión que se indica a continuación.
 
My
.
I
(6.1)
Donde y es la posición del punto en la sección transversal de la viga y representa la
distancia lateral desde el eje neutro al punto. La deflexión del eje neutral v está
referida al momento interno M(x), la carga cortante V(x), y la carga distribuida
w(x), de acuerdo a las ecuaciones.
d 2v
EI 2  M ( x)
dx
EI
EI
(6.2)
d 3 v dM ( x)

 V ( x)
dx
dx 3
(6.3)
d 4 v dV ( x)

 w( x)
dx
dx 4
(6.4)
Los momentos positivos y negativos [3].y las correspondientes curvaturas están
representadas en la figura 6.2. Para mayor referencia de las deflexiones de vigas se dan
en el anexo A-3 [5] se dan desplazamientos y giros en un nudo del elemento y en A-4.
[6] matriz de cargas y momentos en los nudos para las cargas: uniformemente
distribuida, distribución lineal y puntual respectivamente.
68
Figura 6.2 Deflexión de la viga con curvatura positiva y negativa
FORMULACIÓN DE VIGAS MEDIANTE ELEMENTO FINITO.
Una viga elemental consiste de 2 nodos. Cada nodo tiene 2 grados de libertad, un
desplazamiento vertical y un giro como se muestra en la figura 6.3.
Figura 6.3 Grados de libertad en los nodos3
Existen 4 valores nodales asociados con cada viga elemental. Podemos emplear un
polinomio de tercer orden con 4 coeficientes desconocidos para representar el campo de
desplazamientos. Es conveniente que la primera derivada de la función forma sea
continua. La función forma está referida al de la función de forma de Hermite.
Planteamos un polinomio de tercer orden.
v  c1  c 2 x  c3 x 2  c 4 x 3
(6.5)
Las condiciones de borde del elemento están dadas por los siguientes valores nodales:
Para el nodo i:
69
- el desplazamiento vertical para x = 0 v = c1 = Ui1
- la pendiente para x = 0
dv
 c2  U i 2
dx
Para el nodo j:
- el desplazamiento vertical para x = L v = c1+c2L+c3L2+c4L3= Uj1
- la pendiente para x = L
dv
 c 2  2c3 L  c3 L2  c 4 L3  U j 2
dx
Ahora tenemos 4 ecuaciones con 4 parámetros desconocidos. Determinando para c1, c2,
c3 y c4 , sustituyendo en la ec. (6.5) y reagrupando los términos Ui1, Ui2, Uj1, Uj2 resulta
la ecuación.
v  S i1U i1  S i 2U i 2  S j1U j1  S j 2U j 2
(6.6)
Donde las funciones de forma (ver anexo A-2 [7]) están dados por:
3x 2 2 x 3
 3
L2
L
(6.7)
2x 2 x3
Si2  x 
 2
L
L
(6.8)
S i1  1 
S j1 
3x 2 2 x 3
 3
L2
L
S j2  
(6.9)
x2 x3

L L2
(6.10)
70
La energía de deformación para una viga elemental arbitrario está dado por.
e 


V
2

Ee 2
E 
d 2v 
EI
dV  
dV     y 2  dV 
2
2
2V
2
dx 
V
2
 d 2v 
0  dx 2  dx (6.11)
L
Sustituyendo el v en términos de función de forma y valores nodales, obtendremos:

d 2v d 2

S i1
dx 2 dx 2
Si2
S j1
S j2
 U i1 
U 
 i2 


U j1 
U j 2 

(6.12)
Reemplazando las derivadas segundas en términos de función de forma.
d 2 S i1
Di1 
dx 2 ,
D j1 
d 2 Si2
Di 2 
dx 2 ,
d 2 S j1
D j2 
dx 2
d 2 S j2
dx 2
La ecuación (6.12) toma la forma de matriz:
d 2v
 D U 
dx 2
(6.13)
2
 d 2v 
 2   U T D T D U 
 dx 
(6.14)
Luego la energía potencial tendrá la forma:
e 
EI
2
L
 U  D DU dx
T
T
0
(6.15)
La energía de potencial total para un cuerpo es la diferencia entre la energía total y el
trabajo realizado por las fuerzas externas:
   e    FU
(6.16)
Derivando con respecto a los grados de libertad de los nodos, obtenemos:
71



U k U k

    U  FU  0... para..k  1,2,3,4
e
k
(6-17)
Desarrollando la derivada de la energía de deformación
6 L  12 6 L   U i1 
 12



2
 6 L 2 L2  U i 2 
e 
EI  6 L 4 L
T
 EI  D  D dxU   3


U k
L  12  6 L 12  6 L  U j1  (6.18)
0


2
 6 L 4 L2  U j 2 
 6L 2L
L
La matriz de rigidez para una viga elemental con 2 grados de libertad en cada nodo, el
desplazamiento vertical y la rotación es.
K e 
6 L  12 6 L 
 12
 6 L 4 L2  6 L 2 L2 
EI

 3 
L  12  6 L 12  6 L 


2
 6 L 4 L2 
 6L 2L
(6.19)
Matriz de carga
Existen 2 caminos que nos permiten formular las matrices de carga nodal: (1)
minimizando el trabajo desarrollado por las cargas como se establece arriba y (2)
mediante el cálculo de las fuerzas de reacción de la viga. Considerando una viga con
carga uniformemente distribuida y las fuerzas de reacción en los extremos se observa en
la figura.6.4 [3]
Figura 6.4 Reacciones en los apoyos
72
Utilizando el primero calcularemos
EI
d 4 v dV ( x)

 w( x)
dx
dx 4
EI
d 3v
  wx  c1
dx 3
Para x =0 obtenemos c1 =R1
EI
d 2v
wx

 R1 x  c 2
2
2
dx
Para x = 0, M(x) = -M1, de donde c2 = -M1
wx 4 R1 x 3 M 1 x 2
EIv  


 c4
24
6
2
Para x = 0 v = 0 obtenemos c4 = 0
Aplicando las condiciones de desplazamiento y pendiente para x = L obtenemos:
wL4 R1 L3 M 1 L2
EIvL   


0
24
6
2
EI
dv
dx

X l
wL3 R1 L2

 M1L  0
6
2
Tenemos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, resolviendo obtenemos:
R1 
wl
2
,
M1 
wL2
12
MARCOS PLANOS
Los marcos planos son estructuras planas con miembros conectados rígidamente. Son
similares a las vigas, considerando ahora las cargas axiales y las deformaciones axiales,
es decir cada nodo tiene 3 grados de libertad 2 de desplazamiento y 1 de rotación.
73
FORMULACIÓN POR ELEMENTO FINITO DE MARCOS
Los marcos son miembros estructurales conectadas rígidamente a otros mediante
soldadura o pernos. En la figura 6.5 se observa un marco elemental de 2 nodos, cada
nodo tiene 3 grados de libertad: un desplazamiento longitudinal, un desplazamiento
lateral y una rotación [3].
Figura 6.5 Marco elemental
En el nodo i, el desplazamiento longitudinal ui1, el desplazamiento lateral ui2 y la
rotación ui3, en el nodo j son uj1, uj2, y uj3 respectivamente. En general 2 coordenadas de
referencia son necesarias para describir el elemento marco. Un sistema de coordenadas
global y un sistema local de referencia. La relación entre las coordenadas global (X, Y)
y la coordenada local (x,y) se da en la figura 6.5. La matriz de rigidez para un marco
elemental es una matriz de 6x6. Los grados de libertad de la coordenada local esta
relacionado con la coordenada global mediante la matriz de transformación, de acuerdo
a la relación.
u   T U 
(6.20)
74
Donde la matriz de transformación es:
 cos 
  sen


0
T   0
0


0

0

sen
cos 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 cos 
0  sen
0
0
0
sen
cos 
0
0
0
0
0

0
0

1
(6.21)
La matriz de rigidez atribuida a flexión del marco elemental, para desplazamiento
lateral y flexión es:
K xye 
0
0 0
0 12
6L

2
EI 0 6 L 4 L
 3 
0
L 0 0
0  12  6 L

2
0 6 L 2 L
0
0
0
0
0
0
0  u i1
 12 6 L  u i 2
 6 L 2 L2  u i 3

0
0  u j1
12  6 L  u j 2

 6 L 4 L2  u j 3
0
(6.22)
La matriz de rigidez del miembro debido a la carga axial es.
e
K axial
 AE
 L
 0

0
  AE

 L
 0

 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
AE
L
0
0
AE
L
0
0

0 0 u i1
0 0 u i 2

0 0 u i 3

0 0  u j1
u
0 0 j 2
u
0 0 j 3
(6.23)
Sumando las 2 matrices, la matriz de rigidez resultante para un marco elemental con
respecto al sistema de coordenadas local es:
75
K xye 
 AE
 L

 0

 0


AE

 L
 0


 0

0
0
12 EI
L3
6 EI
L2
6 EI
L2
4 EI
L
0
0

12 EI
L3
6 EI
L2
6 EI
L2
2 EI
L

AE
L
0
0
AE
L
0
0
0
12 EI
L3
6 EI
 2
L

0
12 EI
L3
6 EI
 2
L


6 EI 

L2 
2 EI 
L 

0 

6 EI 
 2
L 
4 EI 

L 
0
(6.24)
Para expresar la matriz de rigidez [k](e) en el sistema de coordenadas global X,Y
denotamos.
K e   T T K xye  T 
(6.25)
En la figura 6.6 se observa las coordenadas globales de un marco [2]
Figura 6.6 Marco plano en coordenadas global
En la figura 6.7 se muestra la simulación de un puente por elementos finitos [8].
Figura 6.7 Estructura puente reprensado por elemento finito bidimensional.
76
MATERIALES Y METODOS
La técnica utilizada es la recopilación de datos de diferentes textos cuando se tiene
planteado el problema de estudio de acuerdo al contenido de los capítulos. Es decir que
se tienen los objetivos y cuando se evalúa su relevancia y factibilidad, el paso siguiente
es la sustentación teórica, que comprende dos etapas a seguir.
La revisión de la literatura que consiste en detectar, obtener y consultar la bibliografía y
otros materiales de interés para los propósitos del estudio, así como extraer y recopilar
la información relevante y necesaria que corresponda a los temas a estudiar, analizando
a cada una de las actividades que se realizan como parte de la revisión de la literatura
técnica.
Desarrollo de la parte teórica. Para el desarrollo de esta parte, se revisa la literatura,
analiza y discierne sobre si la teoría existente y el análisis anterior es una respuesta a la
interrogación o está respondiendo en forma parcial y la existencia de una teoría
completamente desarrollada con abundante evidencia empírica. La teoría debe ser
lógicamente consistente, es decir la evidencia empírica se refiere a los datos de la
realidad que apoya o dan testimonio de una o varias afirmaciones.
Teniendo en cuenta estas consideraciones se ha desarrollado este libro.
77
RESULTADOS
Los resultados obtenidos en este trabajo de investigación se consideran satisfactorios
porque se cumple con el objetivo deseado de desarrollar las técnicas modernas del
Elemento Finito referentes a los temas del Syllabus de Resistencia de Materiales I y II
en un libro que en nuestro medio es escaso y se publican generalmente en inglés por lo
que se recurrió en muchos casos a su traducción, por lo que será de mucha utilidad para
el proceso de enseñanza aprendizaje en el tiempo mas breve.
El País se encuentra en proceso desarrollo debido a la gran minería y debe priorizar la
industrialización inmediata para salir del subdesarrollo y la dependencia tecnológica.
Para esto se necesita personal técnico bien capacitado e incentivado y el área metal
mecánica juega un papel muy importante para la instalación de fábricas, centros
comerciales, por la que el dominio de Elemento Finito es vital durante el diseño tanto
para el ingeniero Mecánico y otras especialidades. Ese objetivo se trata de cumplir con
este libro.
78
DISCUSION
Dada la escasa información existente en las bibliotecas de las universidades públicas del
país sobre el Elemento Finito y la carencia de programas de estudio sobre el tema y la
importancia del mismo en los países desarrollados en la era digital que vivimos, me ha
obligado a realizar este trabajo de investigación, con el propósito de reunir las
informaciones más relevantes y significativas en un libro con temas de la especialidad
de Resistencia de Materiales.
Así mismo, el proceso de globalización que se vive con presencia de empresas de
transnacionales han comprado activos nacionales, el mercado de trabajo obliga a que los
profesionales del medio adquieran diversos conocimientos donde el elemento finito
juega una importancia fundamental en la aceleración de los cálculos y la simulación de
casos reales, optimizando los programas de trabajo de las empresas, siendo un plus
gravitante para los profesionales que dominan este campo.
La falta de software aplicativo es una desventaja para la difusión de esta técnica en las
universidades públicas aunque con la promoción de algunas firmas como ANSYS ha
introducido en el mercado educativo nacional, el dominio del mismo será realidad
dentro de un periodo corto.
Los contenidos de este libro son importantes para el área de diseño del sector metal
mecánico y la industria en general cuyas instalaciones y equipos son de origen
mecánico.
79
REFERENCIALES
1) TIRUPATHI R. CHANDRUPATLA ASHOK D. BELEGUNDU. Introducción al
estudio del Elemento Finito en Ingeniería. México: Pearson Education, 2da edición,
1999.
2) MEGSON, T.G.H. Aircraft structures for engineering students. London: Edward
Arnold, first published,1980
3) MOAVENI, SAEED. Finite Element Analysis Theory and Application with
ANSYS, New Jersey: Prentice Hall, 2nd edition, 2003.
4) HIBBELER R.C. Análisis Estructural. México: Prentice Hall, 3ra edición, 1997
5) MC CORMAN, NELSON. Structural Analysis a Classical and Matrix Approach,
New York: Wiley, 2nd edition, 1996..
6) BORESI A.P. SCHMIDT R.J., SIDEBOTTOM O.M. Advanced Mechanics of
Materials, New York: John Wiley & Sons, Inc, fifth edition, 1993
7) LAIBLE, JEFFREY P. ANÁLISIS. Estructural. Bogotá: Mc Graw Hill, 1ra edición,
1995.
8) SMITH,J.W. Vibration of Structures Application in civil engineering design.
London: Chapman and Hall, 1st edition, 1988.
80
APENDICE
A.1
MATRIZ DE REACCIONES DE LA ARMADURA PLANA
 R1 X 
 4.22
R 
 0
 1Y 

 R2 X 
  4.22



R
 2Y 
 0
 R3 X 
 0
5

  10 
 0
 R3Y 
 0
 R4 X 



 0
 R4 Y 
 0
R 

 5X 
 R5Y 
 0
0  4.22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7 .2
0
 1.49
1.49
0
0
 1.49
0
0
7 .2
1.49
 1.49
0
 4.22
 1.49
0
0
 1.49
1.49
1.49
 1.49
5.71
 1.49
 1.49
1.49
 4.22
0
0
0
0
0
0
0
0
 4.22
0
8.44
0
 4.22
0
0
 4.22
0
0
0
4.22
0
0
 1.49
 1.49
0
0
 4.22
0
5.71
0
 1.49
 1.49
0
0
0
0
1.49
81
0 
0
  0 
  0 
0  
0
 

1.49    0.00355   0 

 

 1.49   0.01026   0 
  0 
0  
0



0 
0
  0 
0   0.00118   0 

 

0    0.0114   500 
1.49   0.00240   0 

 

1.49    0.0195   500 
ANEXOS.
A.1 MODELOS DE ELEMENTO FINITO DE UNA PLACA CON AGUJERO
CENTRAL
A.2 FUNCIONES DE FORMA DE LA VIGA ELEMENTAL
82
A.3 FUERZAS DEBIDO AL DESPLAZAMIENTO DEL NODO DE LA VIGA
83
A.4 CARGA NODAL EQUIVALENTE PARA LA VIGA ELEMENTAL
84