Modellprädiktive Regelung mit analytischer

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Knut Graichen
Institut für Mess-, Regel- und Mikrotechnik | Universität Ulm
Elgersburg Workshop 2013
11.-14. Februar 2013
Modellprädiktive Regelung mit
analytischer Vorverarbeitung von
Beschränkungen
Seite 3
Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013
Motivation
Modellprädiktive Regelung mit analytischer Vorverarbeitung von Beschränkungen
 MPC – Dynamische Optimierung auf bewegtem Horizont
 Anwendbarkeit von MPC
■ Nichtlineare Systeme
■ Mehrgrößensysteme
■ Stellgrößenbeschränkungen
■ Zustandsbeschränkungen
 Herausforderungen
■ Hoher numerischer Aufwand insbesondere bei Zustandsbeschränkungen
 Anwendbarkeit schwierig bei hochdynamischen / komplexen Systeme
Seite 4
Vortragsübersicht
 Effiziente Berechnung modellprädiktiver Regler
■ MPC-Formulierung & Optimalitätsbedingungen
■ Effiziente numerische Lösung
■ Stabilitätsaspekte
■ Beispiel 1: Chemischer Reaktor (Simulation)
■ Beispiel 2: Magnetschwebeversuch (Experiment)
 Analytische Vorverarbeitung von Zustandsbeschränkungen
■ Motivation & Ansatz im Eingrößenfall
■ Erweiterung auf Mehrgrößenfall
■ Beispiel 3: Brückenkran
 Zusammenfassung
Seite 5
MPC-Formulierung
 Dynamisches Optimierungsproblem
■ keine Zustandsbeschränkungen (zunächst)
■ keine Endbeschränkungen
 Lösung auf bewegtem Horizont
■ Prädizierte Trajektorien
■ Optimales Kostenfunktional
■ Stellgröße (optimales Regelgesetz)
■ Weiterschieben von Horizont
Seite 6
MPC-Formulierung: Optimalitätsbedingungen
 Pontryagin‘s Maximumprinzip mit Hamilton-Funktion
■
■
■
sei optimal. Dann existiert
so, dass gilt
erfüllen die kanonischen Gleichungen
minimiert die Hamilton-Funktion für alle
:
Num. Lösung z.B. mit
Gradientenverfahren
Seite 7
Gradientenverfahren: Algorithmus
 Gradientenschritt für
 Anmerkungen
■ Berücksichtigung von Stellgrößenbeschränkungen über Projektionsfunktion
■ Adaptive Liniensuche für Schrittweite
[Gr/Käpernick´12]
■ Feste Anzahl von Rechenoperationen  speicher-/rechenzeiteffizient ausführbar
■ Gradientenverfahren besitzt lineare Konvergenzrate [Dunn´96]
■ MPC-Stabilitätsuntersuchung in [Gr/Kugi´10, Gr/Käpernick´12]
Seite 8
Gradientenverfahren: Rechenzeiteffizienz
 Beispielsysteme
Quadrocopter
[Kä/Gr´12 einger.]
Rohrreaktor
Quelle: www.ardrone.com
[Rhein et al.´12 einger.]
Quelle: ANSYS CFX
Komplexität
nichtlineare Dynamik
9 Zustandsgrößen
4 Stellgrößen
nichtlineares PDGL-System
500 Zustandsgrößen (Semidiskr.)
2 Stellgrößen
MPC-Abtastzeit
1 ms
0.1 min
MPC-Horizontlänge
1s
5 min
MPC-Rechenzeit (ca.)
200 μs
200 ms
 Ziel: weitere Reduktion von
■ algorithmischer Komplexität
■ Rechenaufwand
Fixpunktschema
Seite 9
MPC-Formulierung für Fixpunktschema
 Beschränkung auf eingangsaffine Struktur
■ Systemdynamik
■ Integralkostenfunktion
Seite 10
MPC-Formulierung: Optimalitätsbedingungen
 Pontryagin‘s Maximumprinzip mit Hamilton-Funktion
■
■
■
sei optimal. Dann existiert
so, dass gilt
erfüllen die kanonischen Gleichungen
minimiert die Hamilton-Funktion für alle
:
Ziel: Reduktion
der Optimalitätsbedingungen
Seite 11
Reduktion der Optimalitätsbedingungen
 Eingangsaffine Hamilton-Funktion
 Separiertes Minimierungsproblem
 Steuerfunktion mit
 Kanonische RWA
 Numerische Lösung mit Fixpunktschema
Seite 12
Fixpunktschema
 Fixpunktiteration
Integration in Vorwärtszeit
Integration in Rückwärtszeit
■
Initialisierung mit
■
Stop, falls
oder Konvergenzkriterium erfüllt
 Erweiterung: Dämpfung der Fixpunktiterationen
■ Dämpfungsfaktor
■ Temporäre Trajektorien
Seite 13
Fixpunktschema
 Fixpunktiteration
Integration in Vorwärtszeit
Integration in Rückwärtszeit
■
Initialisierung mit
■
Stop, falls
oder Konvergenzkriterium erfüllt
 Erweiterung: Dämpfung der Fixpunktiterationen
■ Temporäre Trajektorien
Seite 14
Vortragsübersicht
 Zusammenfassung
Seite 15
Fixpunktschema & MPC: Konvergenz & Stabilität
 Annahmen für Konvergenz-/Stabilitätsbetrachtung
■ Betrachtung von Ruhelage
■
ist CLF auf
 Satz (Stabilität bei optimaler Lösung):
Für alle
mit dem Einzugsbereich
ist der Ursprung des MPC-geregelten Systems
asymptotisch stabil.
Seite 16
Fixpunktschema & MPC: Konvergenz & Stabilität
[Gr´12]
 Satz (Konvergenz des Fixpunktschemas):
Es existiert ein maximaler Horizont
so, dass das Fixpunktschema für
alle
und alle
mit einer Konvergenzrate
konvergiert:
 Satz (Stabilität bei suboptimaler Lösung):
Das Fixpunktschema besitze die Konvergenzrate
. Dann existieren
eine Mindestiterationsanzahl
und ein max. initialer Optimierungsfehler
so, dass der Ursprung des MPC-geregelten Systems
asymptotisch stabil ist und der Optimierungsfehler
exp. abnimmt.
 Anmerkungen
■
 Kompromiss zwischen Konvergenzrate
■ In der Praxis deutliche Vergrößerung von
und Größe von
durch Dämpfung der Fixpunktiterationen
Seite 17
Vortragsübersicht
 Zusammenfassung
Seite 18
Beispiel 1: Chemischer Reaktor (CSTR)
 Klatt-Engell-Reaktormodell
■ Zustandsgrößen
■ Stellgrößen
■ Ausgangsgrößen
■ Nichtlineare Ansätze für Reaktionskinetik & -enthalpie
 Stellgrößenbeschränkungen
■
■
Seite 19
CSTR: MPC-Formulierung
 Arbeitspunktwechsel AP1  AP2
[Utz et al.´07]
■
■
 Kostenfunktional
■ Abweichungen von AP2 :
■ Keine Endgewichtung ( „hinreichend langer“ Horizont)
 Fixpunktschema
■ Heun-Integrationsverfahren mit fester Schrittweite
■ C-Implementierung mit Matlab/Cmex-Interface
■ Abtastzeit für MPC
■ Prädiktionshorizont
Seite 20
CSTR: Dämpfung / Prädiktionshorizont
 Gewichtungen in Kostenfunktional
 Maximal zulässiger Horizont
■ Notwendig für Konvergenz
der Fixpunktiterationen
■ Dämpfung der Fixpunktiterationen
erhöht
deutlich !
■ Wert von
abhängig von
Gewichtungen
 Gewählte Einstellungen:
■
■
Seite 21
CSTR: Simulationsergebnisse (N = 2)
 Sehr gute Ergebnisse bereits für N = 2 Fixpunktiterationen pro MPC-Schritt
Seite 22
CSTR: Rechenzeitvergleich
 Testrechner
■ Intel Core i7 (M620, 2.67 GHz), 4 GB
■ Windows 7 / Matlab 2010b (64 bit)
 Rechenzeitvergleich mit
■ Gradientenverfahren [Gr. et al. 2010]
■ ACADO-Toolkit [Houska et al. 2011]
 Fazit
■ Faktisch optimales Verhalten
bereits für N = 2 Fixpunktiterationen
 Fixpunktschema benötigt minimalen
Rechenaufwand & Speicherbedarf
Fixpunktschema (30 Stützstellen für Horizont)
Fixpunktiter.
Rechenzeit [μs]
Kostenfktl.
2
3
5
10
39
50
80
133
0.683
0.682
0.682
0.682
Gradientenverfahren
[Gr. et al. 2010]
Gradienteniter.
Rechenzeit [μs]
Kostenfktl.
2
3
5
10
62
85
129
243
0.740
0.721
0.707
0.696
ACADO-Toolkit
[Houska et al. 2011]
Steuerintervalle
Rechenzeit [μs]
Kostenfktl.
5
10
15
20
125
192
339
625
0.699
0.685
0.682
0.681
Seite 23
Vortragsübersicht
 Zusammenfassung
Seite 24
Beispiel 2: Magnetschwebeversuch
 Versuchsaufbau
Spule 2
■ 2 Spulen (je 2000 Windungen) mit Eisenkern
■ Schwebekörper (Hohlkörper) mit
Spule 1
■ dSPACE MicroAutoBox I (800 MHz)
 Sensorik
■ Abstand (Laser)
■ Ströme
■ Temperatur
 Charakteristik
Spulenträger
Spulenkern
■ Spannung 60 V, max. Strom 6 A je Spule
■ Stellgröße: PWM-Tastgrad
■ Maximaler Hub
Schwebekörper
Seite 25
Schwebekörper: Modellbildung
 Stromdynamik
■ Problematik: Induktionsströme,
Sättigung von Induktivitäten, Temperatur
■ Ansatz von nichtlinearem Modell
■ Bereichsweise Identifikation und
Interpolation von
 Mechanisches Subsystem
■ Impulserhaltungssatz
■ Identifikation von magnetischer
Kraftkennlinie
Seite 26
Schwebekörper: Experimentelle Ergebnisse
 MPC-Fixpunktschema
■ Cmex-Code
■ UKF für Zustandsschätzung
 MPC-Parameter
■ Horizontlänge
■ Abtastzeit
■ Fixpunktiterationen
■ Dämpfung
 MPC-Rechenzeit
■ Intel Core i7: 60 μs
■ dSPACE:
378 μs
 ca. Faktor 2 schneller als
Gradientenverfahren
Seite 27
Schwebekörper: Video
Seite 28
Vergleich mit linearem MPC
 Stabilisierung versch. Schwebehöhen
 Regelgüte NMPC vs. lin. MPC
Schwebehöhe -40 mm
Gesamt-Kostenfktl.
Anfangszustand
Nichtlin. MPC
Lineares MPC
-45 mm
-50 mm
-55 mm
0.012
0.053
0.132
0.012
0.109
failed
Schwebehöhe -55 mm
Gesamt-Kostenfktl.
Anfangszustand
Nichtlin. MPC
Lineares MPC
-60 mm
-65 mm
-70 mm
0.013
0.055
0.150
0.014
0.078
failed
Schwebehöhe -70 mm
Zeit [s]
Gesamt-Kostenfktl.
Anfangszustand
Nichtlin. MPC
Lineares MPC
-55 mm
-60 mm
-65 mm
0.132
0.056
0.012
failed
failed
0.012
Seite 29
Vortragsübersicht
 Zusammenfassung
Seite 30
Motivation
Zustandsbeschränktes
dynamisches
Optimierungsproblem
Analytische
Vorverarbeitung
Schritt 1: Transformation
auf Normalform
Standardvorgehen
Schritt 2: Einarbeiten
der Beschränkungen
Neues unbeschränktes
dynamisches
Optimierungsproblem
Analytik
Numerik
Verfahren der
beschränkten
Optimierung (SQP, IP)
Verfahren der
unbeschränkten
Optimierung
Seite 31
Schritt 1: Transformation auf Normalform
 Dynamisches Optimierungsproblem (Eingrößenfall:
)
 Annahme: wohldefinierter relativer Grad der Zustandsbeschränkung
 Zustandstransformation mit „linearisierendem Ausgang“
Seite 32
 Byrnes-Isidori-Normalform
„Beschränkungsdynamik“
„interne Dynamik“ bzgl.
 Signalflussbild
Seite 33
 Interpretation als „Ausgangsbeschränkungen“
■
■
 Ausgangsbeschränkungen am Anfang und Ende der Integratorkette
Seite 34
Schritt 2: Einarbeiten der Beschränkungen
 Sättigungsfunktion für
■
■
neue unbeschränkte Variable
 Sukzessives Differenzieren & Einführen neuer Koordinaten
■ Beispiel
■ Allgemeiner Fall:
 Resultat: Ersetzen von
durch neue unbeschränkte Koordinaten
Seite 35
Step 2: Incorporation of constraints
 Letztmaliges Differenzieren
führt zu
𝛷+
 Zweite Sättigungsfunktion
■
■ Neue Variable
 neue Stellgröße
 Einhalten der Beschränkungen
 Zustandsabhängige Sättigungsschranken
𝛷−
bedeutet
Seite 36
Zusammenfassung der Transformation
 Beschränkungen
 Sättigungsfunktion
 Neues unbeschr. System
int. Dyn.
 Signalflussbild
int. Dyn.
Seite 37
Erweiterung auf Mehrgrößenfall
 Dynamisches Optimierungsproblem (Mehrgrößenfall:
 Bedingungen für Zustandsbeschränkungsfunktionen
■ Anzahl
 Dimension der Stellgröße
■ Wohldefinierter vektorieller relativer Grad
 Zustandstransformation mit „linearisierendem Ausgang“
■
■
■
)
Seite 38
Erweiterung auf Mehrgrößenfall (Skizze)
 Beschränkungen
 Sättigungsfunktionen
 Neues unbeschr. System
int. Dyn.
 Kopplungsmatrix und Sättigungsschranken [Gr/Petit´09]
int. Dyn.
Seite 39
Unbeschränktes Optimalsteuerungsproblem
 Zustands-/Eingangstransf. auf offenen Intervallen
 Neues unbeschränktes Optimierungsproblem
 Regularisierungsterm mit Parameter
■ Aktive Beschränkungen  singuläre Bereiche in neuem OCP
■ Entspricht Barrierefunktion in Originalvariablen
■ Konvergenz für
unter Annahme von Konvexität [Gr/Petit´09]
 MPC: asympt. Stabilität wenn
„hinreichend klein“ [Käpernick/Gr´12 einger.]
Seite 40
Vortragsübersicht
 Zusammenfassung
Seite 41
Beispiel: Brückenkran
 Bewegungsgleichungen
 Beschränkungen (Wagen & Seil)
■
■
 Unbeschränkte MPC-Formulierung
■ 4 Sättigungsfunktionen für Zustands-/Stellgrößenbeschränkungen
■ Symbolische Berechnungen mit Mathematica
■ Abtastzeit
, Prädiktionshorizont
■ Implementierung mit Gradientenverfahren  Matlab/Cmex-Demo
Seite 42
Experimentelle Ergebnisse (Arbeitspunktwechsel)
 Implementierung unter dSPACE (Rechenzeit: 508 μs)
Abweichung durch
PI-Geschw.regler
 Insgesamt sehr gute Regelgüte und Einhaltung der Beschränkungen!
Seite 43
Zusammenfassung
 Effiziente MPC-Berechnung mittels Gradienten-/Fixpunktschema
■ Basierend auf MPC-Formulierung ohne Endbeschränkungen
■ Stabilität gewährleistet für Mindestanzahl an Iterationen / Abtastschritt
■ Minimierung des Rechenaufwands durch Fixpunktiterationen
 Handhabung von Zustandsbeschränkungen
■ wohl definierter (vektorieller) relativer Grad
■ Anzahl Zustandsbeschränkungen  Anzahl Stellgrößen
■ Herleitung von unbeschränkten System in neuen Variablen
■ „analytische Vorverarbeitung“ mit Computer-Algebra
■ Verwendung für MPC mit Gradientenverfahren / Fixpunktschema
 Vielen Dank an Bartosz Käpernick!

Modellprädiktive Regelung mit analytischer

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