Systemidentifikation und Regelung in der Medizin 1 7

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Systemidentifikation und Regelung in der Medizin
7. Modellbasierte prädiktive Regelung
7.1 Allgemeine Grundlagen
7.1.1 Bestandteile einer prädiktiven Regelung
1. Modell des zu regelnden Systems → Nutzung zur Vorhersage des
Systemverhaltens in Abhängigkeit von der Stellgröße und beobachteten oder
bekannten Störungen
2. Referenztrajektorie für den Systemausgang
3. Gütefunktional, das minimiert wird, um die optimale Stellgrößensequenz zu
finden
4. Methode zur Minimierung des Gütefunktionals
7.1.2 Idee
Berechnung der zukünftigen Stellgrößentrajektorie so, dass der Systemausgang
nahe an dem gewünschten Referenzverlauf ist unter Berücksichtigung des
Stellaufwands und Beschränkungen z.B. bei der Stellgröße.
1
Receding Horizon Principle:
• Nur das erste Element u(k) der zukünftigen Stellgrößentrajektorie wird im
Zeitschritt k auf die Strecke angewandt.
• Die komplette Optimierung wird dann für den Zeitschritt k + 1 wiederholt.
7.1.3 Modell
• Beschreibung von deterministischen Verhalten (Beziehung von Stellgröße und
Ausgang) als auch Störverhalten (deterministisch und/oder stochastisch)
• Möglicher Modellansatz: BJ-Modell - stochastische Modellierungsansatz für
alle Störungen
• Beobachtung und Schätzung von Störungen über den Prädiktor (ständiger
Vergleich vom gemessenen Ausgang und der Prädiktion)
2
3
7.1.4 Gütefunktional
2

Hp −d 
Hp
X
−1

X
Q
(q
)
n


2
J=
u(k
+
i)
(ŷ(k + i) − w(k + i)) + ρ


−1 )
Q
(q


d
i=0
i=Hs
{z
}
|
{z
}
|
(1)
u∗ (k+i)
Tracking
|
{z
Stellaufwand
}
Zum Zeitpunkt k ergeben sich:
• Hs : minimaler Gütefunktionalshorizont, Hs ≥ d (d - Totzeit)
• Hp : Prädiktionshorizont (Die Wahl von Hp ist nach oben begrenzt durch die
Modellqualität. Hp sollte aber mindestens so groß gewählt werden, dass die
Anstiegszeit erfasst wird.)
• Hc : Stellhorizont (Dimension des Optimierungsproblems), Hc ≤ Hp − d
Man beachte: u(k + Hp − d) ist die letzte Stellgröße, welche noch einen
Einfluss auf ŷ(k + Hp ) hat.
• w(k) : Referenz
4
• y(k) : gemessener Systemausgang
• y(t) : wahrer kontinuierlicher Systemausgang
• ŷ(k + i|k): zum Zeitpunkt k prädiktierter Systemausgang i Schritte im Voraus
• u(k − i): bereits angewandte Stellgröße zum Zeitpunkt k − i, i ≥ 1
• û(k + i): zukünftige Stellgröße zum Zeitpunkt k + i, i ≥ 0
Bestrafung von zu großen Sprüngen in der Stellgröße:
Qd (q −1 ) = 1,
Qn (q −1 ) = 1 − q −1 = ∆,
ρ>0
(2)
Nebenbedingungen:
Optimiert werden die Hc zukünftigen Stellgrößen û(k) bis û(k + Hc − 1). Für die
restlichen Stellgrößen û(k + Hc ) bis û(k + Hp − d) nimmt man an
û(k + i) = û(k + Hc − 1), Hc ≤ i ≤ Hp − d
(3)
û(k + i) = 0, Hc ≤ i ≤ Hp − d.
(4)
oder
5
(moving horizon)
desired
trajectory
w(k)
y(t)
OLD
ŷ(k + i|k)
NEW
y(k)
(sampled output
plus noise)
û(k + i)
u
k + Hp
k + Hs
k
k + Hc − 1
k + Hp − d
Abbildung: Prinzip der prädiktiven Regelung
6
7.1.5 Optimierung
Umschreibung des Gütefunktionals in Vektorschreibweise:
T
J = (ŷ − w) (ŷ − w) + ρu∗T u∗
(5)
mit
ŷ
w
u∗
û
=
h
=
h
ŷ(k + Hs ) · · ·
w(k + Hs ) · · ·
ŷ(k + Hp )
iT
iT
w(k + Hp )
h
iT
= u∗ (k) · · · u∗ (k + Hp − d)
h
iT
= û(k) · · · û(k + Hp − d)
(6)
(7)
(8)
(9)
Minimierung des Gütefunktionals bezüglich des kompletten Vektors zukünftiger
Stellgrößen unter Berücksichtigung der oben genannten Nebenbedingungen (3)-(4)
und Stellgrößenbeschränkungen.
Stellgrößenbeschränkungen:
ulb ≤ û ≤ uub .
(10)
Umformulierung der Nebenbedingungen (3) in Matrixschreibweise:


û(k)


..




.




û(k
+
H
−
2)


c




0 · · · 0 1 −1 0 0 · · · 0 0  û(k + Hc − 1) 







0 · · · 0 1 0 −1 0 · · · 0 0  
û(k + Hc )



 =
..
..



  û(k + Hc + 1) 
.
.





0 ··· 0 1 0
0 0 · · · 0 −1  û(k + Hc + 2) 


{z
}
|
..


.


S


û(k + Hp − d − 1)


û(k + Hp − d)
{z
}
|
û
S û =
7
 
0
 
 
0
 
 .. 
.
 
0
|{z}
t
t
(11)
(12)
8
Drückt man ŷ als lineare Vektorfunktion von û aus (für lineare Modelle immer
möglich) und schreibt auch u∗ als lineare Vektorfunktion von û, so lässt sich nach
Umformungen das Gütefunktional schreiben als:
1 T
J = û Qû + cT û + d˜
(13)
2
Es ergibt sich dann folgendes Optimierungsproblem (Quadratic Programming):
ûopt = arg min J
û
ulb ≤ û ≤ uub
(14)
S û = t
(16)
In Scilab existiert bereits eine Funktion zur Lösung dieses Problems (siehe
nachfolgende Erläuterungen).
(15)
Scilab-Implementierung für Quadratic Programming
// Q u a d r a t i c programming :
// minimize J= 1/2
u_hat ’ ∗Q∗ u_hat + c ’ ∗ u_hat+d _ t i l d e
// s u b j e c t t o S∗ u_hat = t , U∗ u_hat <= v ,
// u_lb <= u_hat <= u_ub ,
// where Q = symmetric s q u a r e m a t r i x .
//
//Q: dimension (H_p−d+1) x (H_p−d+1)
// c ’ : dimension 1 x (H_p−d+1)
//S : dimension ns x (H_p−d+1)
//U: dimension nu x (H_p−d+1)
// t : dimension ns x 1
// v : dimension nu x 1
// u_lb dimension dimension (H_p−d+1) x1
//u_ub dimension dimension (H_p−d+1) x1
// Q u a d r a t i c programming s o l u t i o n
[ u_hat_opt , l a g r , Jopt ] = quapro (Q, c , [ S ;U ] , [ t ; v ] , u_lb , u_ub , ns ) ;
u_hat_opt
9
10
Gütefunktional bei Beschränkung der Stellgröße
4
3
û(k + 1)
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−3
−2
−1
0
û(k)
1
2
3
11
7.2 Prädiktive Regelung bei einem BJ-Modellansatz
Formulierung der Stellgrößenbestrafung (2) in Vektor/Matrix-Darstellung:


  


∗
û(k)
u (k)
1
0
0 ···
0 0
−1


  



 u∗ (k + 1) 
−1 1
 

0 ···
0 0  û(k + 1) 


 0



  



 u∗ (k + 2)  =  0 −1 1 · · ·
 

0 0  û(k + 2) 


 +  0  u(k − 1)



 .
  . 

..
..
..
.. 
..
..
.



  .. 


.
.
.
.
.
. 

 .
  

u∗ (k + Hp − d)
0
0
0
0 · · · −1 1 û(k + Hp − d)
{z
}
{z
}|
{z
} | {z }
|
|
u∗
û
Φ
Ω
u∗ = Φû + Ωu(k − 1)
y(k) =
q −d B(q −1 )
A(q −1 )
u(k) +
C(q −1 )
D(q −1 )
e(k)
(17)
12
−1
−1
)
F
(q
H
(q
)
i
i
−1
u(k − 1) +
(y(k) − ŷ(k)) (18)
ŷ(k + i|k) = Gi (q )û(k + i − d) +
A(q −1 )
C(q −1 )
y(k)
u(k − 1)
1
A(q −1 )
p(k) u(k − d)
1
C(q −1 )
B(q −1 )
A(q −1 )
o(k)
ŷ(k)
Abbildung: Filter
ŷ(k + i|k) = Gi (q −1 )û(k + i − d) + Hi (q −1 )p(k) + Fi (q −1 )o(k)
(19)
13
Für die Prädiktor-Gleichung müssen die folgenden diophantischen Gleichungen
gelöst werden:
−1
)
−i+d−1 Hi (q
q
A(q −1 )
B(q −1 )
A(q −1 )
= Gi (q
C(q −1 )
D(q −1 )
−1
F
(q
)
i
−1
−i
= Ei (q ) + q
.
D(q −1 )
−1
)+
(20)
(21)
Für die Lösung der diophantischen Gleichungen wurde eine Scilab-Routine in der
Übung erstellt. Die Polynome Gi , Hi , Ei und Fi werden für alle zukünftigen
Schritte (i = Hs · · · Hp ) berechnet.
Gradabschätzungen für Hi , Fi und Gi :
deg Gi
deg Hi
deg Fi
= i − d,
i = Hs . . . Hp
= i − d,
i = max(deg C − i, deg(D) − 1)
= i − d,
i = max(deg B − (i − d + 1), deg(A) − 1)
14
Gi , Hi und Fi werden in Matrizen gespeichert. Somit haben wir eine Dreiecksmatrix
G mit Dimension Hp − Hs × Hp − d + 1, eine Matrix H mit Dimension
Hp − Hs × (deg(A(q −1 )) − 1) und F mit Dimension Hp − Hs × (deg(D(q −1 )) − 1),
die dann für die Prädiktion des Ausgangs des Systems in (22) eingesetzt werden.
Die Vektor/Matrix-Schreibweise für den Prädiktor lautet:
ŷ = Gû + H p̂ + F ô,
wobei p̂ und ô die Ausgänge der beiden Filter auf der Abbildung Filter sind.
15
Folglich hat man die folgende Darstellung für die Prädiktion bis in Hp -Schritten.

ŷ(k + Hs |k)


gHs ,0

 
ŷ(k + H + 1|k)  g
s

  Hs +1,0

 
..
..
 

=



.
.

 

 
ŷ(k + Hp − 1|k) gH −1,0

  p
|
ŷ(k + Hp |k)
{z
ŷ
gHp ,0
}
0
0
···
0
gHs +1,1
0
···
..
.
0
..
.
..
.
gHp −1,1
gHp −1,2
···
gHp −1,Hp −1−d
gHp ,1
gHp ,2
···
{z
G
gHp ,Hp −d−1
|

0

p(k)




p(k − 1)


 +F
+H
..




.


p(k − deg(A) − 1)
{z
}
|
p̂

o(k)




û(k)



0

  û(k + 1) 

..



..

.



.


0
 û(k + H − d)
p
gHp ,Hp −d |
{z
}
}
û










o(k − 1)


..


.

o(k − deg(D) − 1)
{z
}
|
ô
Einsetzen von (17) und (22) in das Gütefunktional (5):
J = (Gû + H p̂ + F ô − w)T (Gû + H p̂ + F ô − w) +
ρ(Φû + Ωu(k − 1))T (Φû + Ωu(k − 1))
(22)
16
Ausgehend von der Gleichung (22) berechnet sich die folgende Formel für das
Gütefunktioal:
J =(Gû + H p̂ + F ô − w)T (Gû + H p̂ + F ô − w)+
+ ρ(Φû + Ωu(k − 1))T (Φû + Ωu(k − 1))
=(ûT GT + p̂T H T + ôT F T − wT )(Gû + H p̂ + F ô − w)+
+ ρ(ûT ΦT + u(k − 1)T ΩT )(Φû + Ωu(k − 1))
mit u(k − 1)T = u(k − 1), da u(k − 1) ein Skalar ist ergibt sich dann:
J =ûT (GT G + ρΦT Φ)û + (ûT GT )(H p̂ + F ô − w) + (p̂T H T + ôT F T − wT )(Gû)
|
{z
}
x
+ (p̂T H T + ôT F T − wT )(H p̂ + F ô − w) +ρûT ΦT Ωu(k − 1) + ρu(k − 1)ΩT Φû
{z
}
|
{z
} |
const.
+ u(k − 1)ΩT Ωu(k − 1)
|
{z
}
const.
z
17
Da x = xT = (H p̂ + F ô − w)T Gû und z = z T = ρu(k − 1)ΩT Φû:
J =ûT (GT G + ρΦT Φ)û + 2(H p̂ + F ô − w)T Gû + 2ρu(k − 1)ΩT Φû + d˜
T
T
T
T
T
d˜
=û G G + ρΦ Φ û + 2 (H p̂ + F ô − w) G + ρu(k − 1)Ω Φ û + |{z}
{z
}
{z
}
|
|
const.
T
1
c
2Q
Nun haben wir die erforderliche Form für das Gütefunktional entsprechend
Gleichung (13), um das quadratische Problem in Scilab lösen zu können.

Systemidentifikation und Regelung in der Medizin 1 7

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