Mathematik mit TKP – Konstruktion von Körpern

Norbert Neubauer
Mariengymnasium Jever
23. September 2001
Mathematik mit TKP – Konstruktion von Körpern
„TKP sind die - gerade im deutschsprachigen Raum - noch am meisten
unterschätzten Programme für den Mathematikunterricht.“
H.-G. Weigand in Diskrete Mathematik und Tabellenkalkulation,
in: Der Mathematikunterricht, Jahrgang 47, Heft 3 /Juni 2001.
Excel als typischer Vertreter von Tabellenkalkulationsprogrammen ist grundsätzlich einfach
in der Handhabung und erlaubt nach kurzer Einarbeitung bereits vorzeigbare Ergebnisse.
Grafiken in großer Variationsbreite können besonders einfach erzeugt werden. Die Grafiken
sind dynamisch, da Excel die Darstellung sofort aktualisiert, wenn die Bezugsdaten der Grafik
geändert werden. Besonders im Zusammenspiel mit Bildlaufleisten erweist sich diese
Dynamik als sehr überzeugend. Die Darstellung räumlicher Drehungen wird dadurch auf
elegante Weise ermöglicht.
Wegen der universellen Verwendbarkeit der Bildlaufleisten gebe ich eine kurze Beschreibung
der Handhabung:
Die Bildlaufleisten sind wie andere Active-X Elemente in Excel in der Werkzeugleiste
abgelegt. Diese kann im Menü „Ansicht Symbolleisten“ als „Steuerelement-Toolbox“
aktiviert werden. Das Symbol der Bildlaufleiste wird angeklickt und in der Tabelle an
gewünschter Stelle aufgezogen. Über den Knopf „Eigenschaften“ in der SteuerelementToolbox wird eine „linked cell“ im Eigenschaften - Inspektor angegeben, in der von der
Bildlaufleiste gesteuerte natürliche Zahlen abgelegt werden. Wird in der SteuerelementToolbox danach der Entwurfs-Modus verlassen, ist die Bildlaufleise sofort funktionsfähig.
Der Wert der „linked cell“ kann nun direkt oder indirekt durch Abbildung auf ein
gewünschtes Zahlenintervall zur Variation eines Parameters benutzt werden. Kurven-Plotter
sind auf diese Weise sehr einfach herzustellen.
Die hier vorgestellten Konstruktionen von Polyedern und anderen Körpern stellen durchaus
anspruchsvolle Anforderungen in Form von Anwendungen sowohl vektorieller als auch
algebraischer Methoden der Oberstufenmathematik. Eine genauere Aufstellung der
Anforderungen in Form von damit verbundenen Lernzielen findet sich am Ende des Textes.
OktaederKavalier.xls
ist eine einfache Konstruktion eines Oktaeders.
Bemerkenswert ist allenfalls die Einfachheit der Koordinaten des
Oktaeders, die sich ergibt, wenn man die Dualität zum Hexaeder
ausnutzt, indem man es in ein Hexaeder einbeschreibt und die
Diagonalenschnittpunkte der Begrenzungsflächen des Hexaeders
als Koordinaten wählt.
Die Drehbarkeit des Oktaeders um alle drei Raumachsen erhöht
den optischen Reiz und demonstriert, wie gering der
mathematische Aufwand dafür ist. Weiterhin kann der für die
Projektion relevante Divisor variiert werden.
Oktaeder in verschiedenen Projektionen.xls
zeigt ein Oktaeder in Kavielierprojektion im Vergleich zur
Isometrischen Projektion, zur Dimetrischen Projektion und zur
Militärprojektion. (s.a. Stachniss-Carp, Sibylle, und Weller,
Hubert). Alle vier Projektionen lassen sich räumlich drehen.
Das Goldene Dach.xls
stellt einen Bastelbogen zur Erzeugung von Walmdächern auf
quadratischem Grundriss dar. Die fünf Firste eines Walmdachs
haben die Eigenschaft, alle dieselbe Länge zu besitzen. Außerdem
stellen sie die Lösung mit den kürzest möglichen Firstlängen dar.
Die Maßzahl der Firstlänge steht dann zur Kantenlänge des
Grundquadrats im Verhältnis des Goldenen Schnitts.
Sechs derartige Dächer, richtig orientiert auf ein Hexaeder
aufgeklebt, erzeugen ein Dodekaeder. Ein Foto eines aus Papier
gebastelten Dodekaeders ist in Dodekaeder3.xls zu sehen.
Die Idee dazu wird vorgestellt z. B. bei
http://www.bezregduessedorf.nrw.de/schule/mathe/abitur/lkgeo/lkgeo7.htm .
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Dodekaeder1.xls
zeigt ein Dodekaeder auf Grundlage dieser Konstruktion mit
einbeschriebenem Hexaeder. Die Größe dieses Hexaeders ist
skalierbar. Gesehen werden kann auch, dass das Dodekaeder
wiederum in ein Hexaeder einbeschreibbar ist. Hier ist ein
Papiermodell allerdings von größerem Nutzen.
Eine Drehung um jede der drei Raumachsen kann mit einem
Regler erzeugt werden.
Eine Multidrehung um die drei Raumachsen wird mit Mausklick
gestartet.
Dodekaeder2.xls
In dieser Datei sind die unterteilenden „Dachgrenzen“ in den
Fünfecken des Dodekaeders weggelassen worden. Das
Dodekaeder wird nun über die zentrischen Streckungen erzeugt
und ist daher nur zu sehen, wenn ein Streckfaktor größer Null
eingestellt ist.
Hinzu kommt die Möglichkeit, die Größe des gesamten
Dodekaeders zu verändern. Interessant ist die Invertierung, die
durch Vorgabe von negativen (!) Maßzahlen für die Kantenlänge
des einbeschriebenen Hexaeders erzeugt werden. Ein schönes
regelmäßiges Gebilde entsteht, wenn der obere Regler nach links
gezogen wird.
Dodekaeder3.xls
Hier sind die Ecken der zwölf Fünfecke des Dodekaeders
miteinander verbunden. Diese Verbindungen sind dann zu sehen,
wenn der Streckfaktor kleiner 1 ist. Es entstehen gleichseitige
Dreiecke zwischen den Ecken und Rechtecke zwischen den
Seiten der Fünfecke. Zieht man am senkrechten Regler,
verwandelt sich das Dodekaeder in ein Ikosaeder.
Diese Verwandlung läuft gleichzeitig mit der Multidrehung
automatisch ab, wenn man sie startet. Schön ist es, wenn vor dem
Start die letzten drei waagerechten Regler ganz nach links
gezogen sind. Auch bei der invertierten Figur läuft der Vorgang
ab.
Ikosaeder.xls
Das Dodekaeder ist mit einbeschriebenen dualem Ikosaeder zu sehen. Das Ikosaeder wird
über eine zentrische Streckung erzeugt. Streckzentren sind die
Mittelpunkte der Dodekaederfünfecke. Die Streckung ist auf
jeweils fünf benachbarte Fünfeckmittelpunkte gerichtet. Durch
den linken senkrechten Regler kann das umschreibende
Dodekaeder, auf dem die Ecken des Ikosaeders liegen, in genau
dieses Ikosaeder verwandelt werden. Durch Start der
Multidrehung wird diese Eigenschaft gut sichtbar. Dazu sollten
beide senkrechten Regler nach oben gezogen sein.
Der rechte Regler demonstriert die Entstehung des inneren
Ikosaeders durch zentrische Streckung. Beim Streckfaktor
k ≈ 0,333 (warum?) taucht die Schrift Buckyball auf, um einen Rückbezug aus der nächsten
Datei zu ermöglichen.
Buckyball.xls
zeigt ein Ikosaeder, bei dem durch zentrische Streckung von allen
Eckpunkten aus regelmäßige Fünfecke erzeugt werden. Die
Verbindungen zwischen den Ecken dieser Fünfecke ergeben
Sechsecke, die für den Streckfaktor k ≈ 0,333 zu regelmäßigen
Sechsecken werden. Diese Form entspricht dem Buckminster
Fulleren C60 und einer verbreiteten Ausführung von Lederfußbällen. Ein Foto eines
Kantenmodells für C60 ist eingebunden, außerdem ein vergrößerbarer Bastelbogen (Albrecht
Beutelsbacher: In Mathe war ich immer schlecht, S.73) für einen Fußball. Die regelmäßigen
Fünfecke entstehen dabei als Aussparungen zwischen den Sechsecken. Die Handhabung beim
Basteln ist sehr einfach.
Buckyball.xls bietet die Möglichkeit der automatischen Demonstration der
Buckyballentstehung aus einem Ikosaeder bei gleichzeitiger Rotation um die drei
Raumachsen.
Die unteren drei waagerechten Regler sollten dazu ganz links, der senkrechte Regler ganz
oben oder unten stehen.
Kleines Sterndodekaeder.xls
zeigt eine weitere Variante des Dodekaeders. Im Dodekaeder
werden jeweils die 5 Ecken der Begrenzungsflächen zu einem
Pentagramm verbunden. Diese Pentagramme erscheinen "aus dem
Nichts", wenn man den senkrechten Regler von unten nach oben
schiebt. (Der untere waagerechte Regler sollte dabei ganz rechts
stehen. In der Stellung ganz links wird eine Invertierung erzeugt.)
Beim Streckfaktor 0,5 berühren sich die Ecken der Pentagramme
in den Ecken eines Dodekaeders. Beim Streckfaktor 1 ergibt sich
das kleine Sterndodekaeder.
Fermat.xls
ist eine Datei, die sich mit dem Körper des Buch-Covers von Simon Singh, "Fermats letzter
Satz", befasst. Grundidee ist es, diesen Körper mit Excel räumlich drehbar und skalierbar
darzustellen. Der Körper ist ein Hexaeder mit 6 aufgesetzten
senkrechten, quadratischen Pyramiden aus vier gleichseitigen
Dreiecken (halbe Oktaeder). An den 8 Ecken des Hexaeders
werden 8 so bemessene kleine Hexaeder herausgenommen, dass
es möglich ist, 8 gleichseitige Dreiecke mit derselben
Kantenlänge wie bei den Pyramiden einzusetzen. Die Datei
erfasst diese Situation als Spezialfall "g = a". Mit dem linken der
beiden senkrechten Regler können alle Zustände von einem
Ausgangshexaeder ohne aufgesetzte Pyramiden mit vollständigen
Ecken bis zu einer Figur, die nur aus den abgeschnittenen Ecken
besteht (Oktaeder), erzeugt werden. Diese Vorgang läuft über "Multidrehung hier starten" mit
zusätzlicher räumlicher Drehung automatisch ab. Mit dem untersten waagerechten Regler
kann stets das Ausgangshexaeder eingeblendet werden.
Der Rauminhalt des Körpers ist nicht konstant, sondern hat bei einer bestimmtem Länge der
Pyramidengrundkante ein Maximum. Dieses wird auf dem dritten Tabellenblatt der Datei
untersucht. Der Rauminhalt wird als Funktion der Pyramidenhöhe dargestellt. Über einen
"tracer" kann der Hochpunkt der Kurve ermittelt werden.
Das letzte Tabellenblatt gibt ein skalier- und für das Drucken kalibriertes Netz des Körpers
für den Titelspezialfall "g = a" wieder. Zum Basteln benötigt man zwei gleiche Ausdrucke,
die zu einer punktsymmetrischen Figur zusammen geklebt werden. Bastelhinweise und ein
Klebelaschenplan finden sich weiter unten auf diesem Tabellenblatt. Insbesondere ist durch
die Angabe des Bastelbogens gezeigt, dass es prinzipiell möglich ist, den Körper vollständig
plan abzuwickeln.
Weitere Programmideen
Geringerer Schwierigkeitsgrad (nach Fortschritten steigerbar)
♦ Gitternetze für Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Rhombendodekaeder.
♦ Gitternetze für einfache halbreguläre Polyeder, z. B. abgestumpfte und entkantete
Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder.
♦ Gitternetze für ebene Parkettierungen.
Höherer Schwierigkeitsgrad
♦ Räumliche Darstellungen für Tetraeder, Rhombendodekaeder, abgestumpfte und
entkantete Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder.
♦ Noch schwieriger: Gitternetze und räumliche Darstellungen für Kuboktaeder,
Ikosidodekaeder, Rhombentriakontaeder, Kleine und große Sterndodekaeder, Großes
Ikosaeder, Großes Dodekaeder.
♦ Drehung von Körpern um beliebige Figurenachsen.
♦ Erzeugung von räumlichen Körperdarstellungen aus ihren Gitternetzen durch
räumliche Drehungen mit den Gitterkanten als Drehachsen.
♦ Räumliche Parkettierungen.
Literatur:
Behr, Reinhart: Drehsymmetrische Parkettierungen – neue Erkenntnisse zu einem alten
Thema, in PM, Heft 6/41, Dezember 1999, Aulis Verlag Köln
Bender, Peter: Die Geometrie des Leder-Fußballs – ein Optimierungsproblem, in Istron:
Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht, Band 2, Verlag Franzbecker ,
Bad Salzdetfurt, ISBN 3-88120-231-5
Beutelsbacher, Albrecht: In Mathe war ich immer schlecht, Vieweg Verlag 1996, ISBN 3528-06783-7)
Heinrich, Frank: Eine induzierte Parkettfolge als Unterrichtsgegenstand, in PM, Heft 3/42,
Juni 2000, Aulis Verlag Köln
Singh, Simon: Fermats letzter Satz, dtv 33052, München, 2000
Stachnis-Carp, Sibylle, und Weller, Hubert: Lineare Algebra Analytische Geometrie, T³
EUROPE
Zeitler, Herbert et al.: Themenheft Mathematik zum Begreifen in: MU, Jahrgang 47, Heft 2,
April 2001, Friedrich Verlag, Velber
Internet:
http://www.bezreg-duesseldorf.nrw.de/schule/mathe/abitur/lkgeo/lkgeo7.htm
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/pent.html
http://www.minet.uni-jena.de/~schmitzm/test1/doku/
Lernzielkatalog
zur Erstellung der beschriebenen Dateien
Innermathematische Lernziele
Aufstellen von Geradengleichungen, algebraisch und vektoriell
Aufstellen von Betragsfunktionen
Aufstellen von problemlösenden Termen
Wahl zweckmäßiger Bezeichnungssysteme
Zielgerichtete Termumformungen
Rechnen mit Wurzeln, Beträgen
Eigenschaften von gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken
Eigenschaften von Parallelogrammen
Satz des Pythagoras
Goldener Schnitt
Quadratische Gleichungen
Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus
Anwendung von Dreh- und Projektionsmatrizen, Matrizenmultiplikation
Koordinatendarstellungen im Raum
Projektionen im Raum
Summen, Differenzen und Vielfache von Vektoren
Beträge von Vektoren
Zentrische Streckung mit Vektoren
Skalarprodukt von Vektoren
Boolesche Entscheidungslogik
Excel – Lernziele
Relative und absolute Zellbezüge
Ausfüllen und Kopieren von Zellen
Einfügen, Löschen und Verstecken von Zeilen und Spalten
Diverse Formatierungen von Zellen
Erstellen und Formatieren von Diagrammen mit vielen Einzelfertigkeiten
Algebraische und logische Excel – Syntax
Umgang mit dem Funktionsassistenten
Zielgerichteter Umgang mit dem Hilfe-System zu Excel und Visual Basic
Grundkenntnisse in Visual Basic
Boolesche Abfragen
Übergeordnete Lernziele
Globales und lokales Ordnen und Strukturieren von einfachen und komplexen algebraischen
und geometrischen Situationen
Ausprägung räumlichen Vorstellungsvermögens
Entwicklung heuristischer Startegien, Reflexion von Lösungsstrategien
Mathematische und textliche Dokumentationen von Lösungswegen
Übersetzung von der Problemstellung in die mathematische Sprache, dann in die "ExcelWelt".
Kritische Bewertung der Lösung, Formulierung neuer Problemstellungen.