Masterarbeit

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Masterarbeit

Masterarbeit
Nr.: AE/03/2007
Theoretische und experimentelle Analyse des Torsionsschwingungssystems
Dieselmotor auf einem Motorenprüfstand
eingereicht im Fachbereich Maschinenbau und Kraftfahrzeugtechnik der Westsächsischen
Hochschule Zwickau zur Erlangung des akademischen Grades eines
Master of Science (M.Sc.)
vorgelegt von:
Jörg Trautvetter
geb. am: 11.08.1973
Studiengang Automotive Engineering
Auftraggeber: Westsächsische Hochschule Zwickau
Autorenreferat
In
dieser
Arbeit
wurden
die
grundlegenden
Methoden
der
Ermittlung
von
Drehschwingungen an Kurbelwellen theoretisch und messtechnisch dargestellt. Dazu
wurde an einem Motorenprüfstand ein Fünfzylinder-Dieselmotor mit Messtechnik zur
Winkelgeschwindigkeits- und Zylinderdruckerfassung ausgerüstet. Die Amplituden der
Drehschwingungen wurden mit Hilfe des PAK-Messsystems der Fa. Müller BBM
aufgezeichnet und ausgewertet. Außerdem wurde an einem Vierzylinder-Dieselmotor das
Messsystem „Mehrkadreh“ appliziert und die Torsionsschwingungen der Elastikwelle vom
Motor zur Belastungseinrichtung des Prüfstandes untersucht. Mit Hilfe des Verfahrens der
Halbwertsbreite wurde der modale Dämpfungsgrad der Kurbelwelle des Versuchsmotors
ermittelt.
Abstract
In this work, the fundamental methods of the determination of torsional vibrations at
crankshafts were theoretically and meteorologically demonstrated. Thus, at an engine test
stand, a five-cylinder diesel engine was equipped with measuring technique for the angular
speed measuring and cylinder pressure registration. The magnitudes of the torsional
vibrations were noted and evaluated with a PAK measuring system of the company Müller
BBM. In addition, at a four-cylinder diesel engine the measuring system „Mehrkadreh “was
applied, and the torsion vibrations of the elastic shaft from the engine to the tensioning
device of the test stand was scrutinised. With the so called "half width procedure", the
modale attenuation constant of the crankshaft of the experimental engine was determined.
Nr.: AE/03/2007
Selbstständigkeitserklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Masterarbeit selbstständig, ohne fremde Hilfe
und nur unter Verwendung der angegebenen Literatur angefertigt habe. Weiterhin
versichere ich, dass diese Arbeit noch keiner anderen Prüfungskommission vorgelegen
hat.
Zwickau im August 2007
Jörg Trautvetter
Nr.: AE/03/2007
Inhaltsverzeichnis
Bilderverzeichnis .................................................................................................................. I
Tabellenverzeichnis .............................................................................................................V
Anlagenverzeichnis ............................................................................................................VI
Kurzzeichenverzeichnis .....................................................................................................VII
Vorwort ...............................................................................................................................XI
1 Einleitung.......................................................................................................................... 1
2 Stand der Forschung und Technik.................................................................................... 2
3 Präzisierung der Aufgabenstellung................................................................................... 5
4 Literaturstudium................................................................................................................ 7
4.1.1 Grundlagen.......................................................................................................... 7
4.1.2 Periodische Schwingungen ............................................................................... 10
4.1.3 Resonanz .......................................................................................................... 11
4.1.4 Dämpfung.......................................................................................................... 12
4.2 Software................................................................................................................... 17
4.2.1 MathCAD........................................................................................................... 17
4.2.2 Visual Basic ....................................................................................................... 17
4.2.3 AutoCAD ........................................................................................................... 17
4.2.4 Catia V5............................................................................................................. 18
4.3 Messsystem und Software ....................................................................................... 18
4.3.1 PAK- Prüfstand-Akustik-System ........................................................................ 18
4.3.2 Mehrkadreh ....................................................................................................... 19
5 Theoretische Ermittlung der Torsionsschwingformen und
Eigenfrequenzen der Kurbelwelle ........................................................................... 19
5.1 Anregung ................................................................................................................. 20
5.1.1 Massenkrafterregung......................................................................................... 21
5.1.2 Gaskrafterregung............................................................................................... 24
5.1.3 Tangentialkraft................................................................................................... 26
5.1.4 Ersatzerregerkräfte............................................................................................ 30
5.2 Torsionsschwingungsdämpfer ................................................................................. 34
5.3 Zweimassenschwungrad.......................................................................................... 37
5.4 Torsionseigenfrequenzen und Eigenschwingungen................................................. 42
5.4.1 Gümbel-Holzer-Tolle-Methode .......................................................................... 43
Nr.: AE/03/2007
5.4.2 Matrizen-Methode.............................................................................................. 47
5.5 Resonanzschaubilder der unterschiedlichen Bildwellen........................................... 53
5.6 Ermittlung von Dämpfungskennwerten .................................................................... 55
6 Prüfstandsaufbau ........................................................................................................... 56
7 Versuchsdurchführung.................................................................................................... 59
7.1 Messung Tilgermasse TSD...................................................................................... 68
7.2 Messung freies Ende KW......................................................................................... 71
7.3 Messung Primärmasse Schwungrad........................................................................ 74
7.4 Messung Sekundärmasse Schwungrad................................................................... 77
7.5 Messung Elastikwelle (Vierzylinder-Dieselmotor) .................................................... 79
8 Darstellung und Auswertung der Ergebnisse.................................................................. 86
9 Zusammenfassung ......................................................................................................... 94
Literaturverzeichnis ........................................................................................................... 96
Anlagen
Nr.: AE/03/2007
-I-
Bilderverzeichnis
Bild 1: Rotationsvibrometer Fa. Polytec [1].......................................................................... 4
Bild 2: Systemaufbau Rotationsvibrometer [1]..................................................................... 5
Bild 3: Einfacher Torsionsschwinger.................................................................................... 8
Bild 4: Periodische Schwingung [22] ................................................................................. 10
Bild 5: Sinusschwingung [22]............................................................................................. 10
Bild 6: Vergrößerungsfunktion V in Abhängigkeit des
Abstimmverhältnisses bei unterschiedlichen Dämpfungsgraden D....................... 11
Bild 7: Verlauf des Schwingwinkels über der Drehzahl unterschiedlicher
Ordnungen und Resonanzschaubild über der Drehzahl [9] .................................. 16
Bild 8: Torsionsbruch an einem Hubzapfen [9] .................................................................. 20
Bild 9: Bildwelle, Ausgangsmodell, Massenträgheitsmomente und
Torsionssteifigkeiten ............................................................................................. 20
Bild 10: Schematische Darstellung des ungeschränkten Kurbeltriebes [2]........................ 21
Bild 11: Darstellung der Kolbenbeschleunigung für einen Kolben in
Abhängigkeit vom Kurbelwinkel bei unterschiedlichen Drehzahlen,
λP=0,33 ................................................................................................................. 23
Bild 12: Darstellung der osz. Massenkraft eines Kolbens in Abhängigkeit
vom Kurbelwinkel bei unterschiedlichen Drehzahlen, λP=0,33 ............................. 23
Bild 13: Kurbelstern und Kurbelwelle (schematisch) des 2,5l-FünfzylinderDieselmotors ......................................................................................................... 24
Bild 14: Darstellung der Kolbenwege für alle Zylinder ....................................................... 25
Bild 15: Zylinderdruckverläufe für Zylinder 1 bei unterschiedlichen
Drehzahlen und Variation von Nulllast (NL) und Volllast (VL)............................... 26
Bild 16: Verlauf der Massentangentialkraft für eine Zylindereinheit bei
unterschiedlichen Drehzahlen............................................................................... 27
Bild 17: Harmonische Zerlegung des Massentangentialkraftverlaufes bei
unterschiedlichen Drehzahlen............................................................................... 28
Bild 18: Verlauf von Tangentialkräfte und Zylinderdruck über dem
Kurbelwinkel bei 2500 U/min (VL)......................................................................... 29
Bild 19: Zerlegung des Gastangentialkraftverlaufes bei 2500 U/min (VL) ......................... 30
Bild 20: Spezifische Ersatzerregerkräfte 2500 U/min (VL)................................................. 31
Nr.: AE/03/2007
- II -
Bild 21: Richtungssterne der erregenden harmonischen Drehkräfte [2] ............................ 32
Bild 22: Zeichnerische Ermittlung der resultierenden Vektorsummen Rax
für die zweite bis achte Eigenschwingform ........................................................... 33
Bild 23: Ersatzerregerkräfte Dx . Rax für die dritte bis achte
Eigenschwingform bei 2500 U/min (VL)............................................................... 34
Bild 24: Dreifadenpendel, Tischausführung [27] ................................................................ 35
Bild 25: Schnittmodell Torsionsschwingungsdämpfer, 3D-Modell Torsionsschwingungsdämpfer ............................................................................................ 35
Bild 26: Virtuell tordierte Gummispur des TSD .................................................................. 37
Bild 27: schematischer Aufbau des ZMS [10] .................................................................... 38
Bild 28: Systemskizze konventionelle Kupplung/Zweimassenschwungrad
[21]........................................................................................................................ 39
Bild 29: Drehzahländerung und relativer Verdrehwinkel zwischen Primärund Sekundärseite des ZMS aus [10] ................................................................... 40
Bild 30: Verlauf der gemessenen relativen Verdrehwinkel zwischen
Primär- und Sekundärseite des ZMS mit 30 Nm Belastung über
der Drehzahl ......................................................................................................... 41
Bild 31: Verlauf der gemessenen relativen Verdrehwinkel zwischen
Primär- und Sekundärseite des ZMS bei max. Drehmoment über
der Drehzahl ......................................................................................................... 41
Bild 32: Bildwelle, versteifte Wellenabschnitte................................................................... 44
Bild 33: Verlauf des Resterregermomentes R gemäß Ausgangsbildwelle......................... 46
Bild 34: Eigenschwingformen für die Ausgangsbildwelle ................................................... 47
Bild 35: Torsionsschwingerkette mit freigeschnittener i-ten Drehmasse............................ 48
Bild 36: Bildwelle, um TSD und ZMS erweitertes Modell ................................................... 50
Bild 37: Bildwelle, um TSD, ZMS, Elastikwelle und Bremse erweitertes
Modell ................................................................................................................... 51
Bild 38: Eigenschwingformen der Bildwelle mit ZMS, TSD und
Belastungseinheit.................................................................................................. 52
Bild 39: Modellierte Kurbelkröpfung in Anlehnung an die Ausgangsdaten
gemäß Anlage 1.................................................................................................... 53
Bild 40: Resonanzschaubild der Ausgangsbildwelle.......................................................... 54
Bild 41: Resonanzschaubild der Bildwelle mit ZMS und TSD............................................ 54
Nr.: AE/03/2007
- III -
Bild 42: Resonanzschaubild der Bildwelle mit ZMS, TSD und
Belastungseinrichtung........................................................................................... 55
Bild 43: Kenngrößen zur Ermittlung des Dämpfungsgrades mit dem
Verfahren der Halbwertsbreite [7] ......................................................................... 56
Bild 44: Motorenprüfstand, aufgebaut mit Motor und Belastungseinrichtung..................... 57
Bild 45: Messstellen Elastikwelle GKN 228.40 .................................................................. 57
Bild 46: Prinzipdarstellung Induktionssensor, kleine Drehzahl (violett) und
große Drehzahl (grün) [19].................................................................................... 59
Bild 47: Abtastung äquidistanter Winkelintervalle bei gleichförmiger und
ungleichförmiger Drehbewegung .......................................................................... 60
Bild 48: Maximale Winkelabweichung der Zahnscheibe TSD............................................ 62
Bild 49: Messeinstellung PAK-Messsystem....................................................................... 65
Bild 50: Karteikarte FFT-Parameter PAK-Messsystem...................................................... 67
Bild 51: Karteikarte Ordnungs-Parameter PAK-Messsystem............................................. 67
Bild 52: Verlauf der Ordnungen des Verdrehwinkels über der Drehzahl
(oben) und Resonanzschaubild (unten), TSD, NL ................................................ 69
(oben) und Resonanzschaubild (unten), TSD, VL................................................. 70
Bild 54: Drehwinkelgeber am freien Ende der Kurbelwelle................................................ 71
(oben) und Resonanzschaubild (unten), frEKW, NL ............................................. 72
(oben) und Resonanzschaubild (unten), frEKW, VL ............................................. 73
(oben) und Resonanzschaubild (unten), PSR, NL ................................................ 75
(oben) und Resonanzschaubild (unten), PSR, VL ................................................ 76
(oben) und Resonanzschaubild (unten), SSR, NL ................................................ 78
Bild 60: Darstellung der Drehzahl und des Wechseldrehmomentes bei
einem Drehzahlrunterlauf des Vierzylinder-Dieselmotors von n =
1000 U/min bis n = 0 U/min................................................................................... 82
Nr.: AE/03/2007
- IV -
Bild 61: Verlauf der Drehmomente mit überlagerten
Wechseldrehmomenten der Elastikwelle über fünf KWUmdrehungen bei VL, unterschiedliche Drehzahlen ............................................. 83
Bild 62: Startvorgang des Vierzylinder-Dieselmotors,
Wechseldrehmomente und Drehzahl des Motors ................................................. 84
(oben) und Resonanzschaubild (unten), AEla, 30 Nm Belastung ......................... 85
Bild 64: berechnetes Resonanzschaubild für das
Torsionsschwingungssystem Dieselmotor-Motorenprüfstand ............................... 86
Bild 65: aus Messergebnissen der Drehschwingungsmessungen
entwickeltes Resonanzschaubild .......................................................................... 87
Bild 66: Resonanzschaubild, gemessene Eigenkreisfrequenzen (rot) und
berechnete Eigenkreisfrequenzen (grau).............................................................. 88
Bild 67: Spezifische Ersatzerregerkräfte bei 2900 U/min (VL) ........................................... 89
Bild 69: Spezifische Ersatzerregerkräfte bei 3450 U/min (VL) ........................................... 90
Bild 71: Prüfstand Fünfzylinder-Dieselmotor mit PAK MKII Messsystem .......................... 91
Bild 72: Verlauf der Verdrehwinkel der Messstellen frEKW, TSD, PSR bei
n =2900 U/min (VL)............................................................................................... 93
Bild 73: Verlauf der Verdrehwinkel der Messstellen frEKW, TSD, PSR bei
n =3435 U/min (VL)............................................................................................... 93
Nr.: AE/03/2007
-V-
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Ausgewählte Software-Systeme zur Fahrzeugentwicklung ................................ 3
Tabelle 2: Kennwerte 2,5l-Fünfzylinder-Dieselmotor ........................................................... 6
Tabelle 3: Konstruktionsdaten des Kurbeltriebs .................................................................. 6
Tabelle 4: Elemente der Modelldarstellung von Schwingungssystemen ............................. 9
Tabelle 5: Methoden zur Ermittlung von Dämpfungskennwerten [6] ................................. 14
Tabelle 6: Dämpfungsgrade ausgewählter Materialien [6]................................................. 15
Tabelle 7: Relative Schwingungsamplituden der Kurbelkröpfungen und die
daraus ermittelten Beträge der resultierenden Vektorsumme Rax ......................... 32
Tabelle 8: Eigenschaften des Torsionsschwingungsdämpfers .......................................... 36
Tabelle 9: Messstellen Motor............................................................................................. 58
Tabelle 10: Messprogramm ............................................................................................... 63
Tabelle 11: Ermittelte Dämpfungsgrade D bei unterschiedlichen
Eigenkreisfrequenzen ω, Messstelle TSD............................................................. 71
Eigenkreisfrequenzen ω, Messstelle frEKW.......................................................... 74
Eigenkreisfrequenzen ω, Messstelle PSR............................................................. 74
Tabelle 14: Technische Daten Elastikwelle GKN 228.30................................................... 79
Tabelle 15: Ermittelte Eigenkreisfrequenzen und Dämpfungsgrade.................................. 92
Nr.: AE/03/2007
- VI -
Anlagenverzeichnis
Anlage 1: Ausgangsdaten 2,5l-Fünfzylinder-Dieselmotor
Anlage 2: Zeichnungen
Anlage 3: Makros, Visual Basic
Anlage 4: Harmonische Analyse des Verlaufes der Gastangentialkraft bei
unterschiedlichen Drehzahlen und unterschiedlichen
Lastzuständen, Darstellung der spezifischen Ersatzerregerkräfte
Anlage 5: Grenzwert nach Neuber und Eigenkreisfrequenzen nach
Gümbel-Holzer-Tolle-Mothode für die Ausgangsbildwelle,
Restwertdiagramm
Anlage 6: Ermittlung der Eigenkreisfrequenzen mit Matrizenmethode, für
die Ausgangsbildwelle
die Bildwelle gemäß Ausgangszustand, modifiziertes Modell, um
TSD, ZMS erweitert
die Bildwelle gemäß Ausgangszustand, modifiziertes Modell, um
TSD, ZMS und Elastikwelle erweitert
Anlage 9: Errechnete Dämpfungsgrade aus Drehschwingungsmessungen
mit dem PAK-Messsystem am Fünfzylinder-Dieselmotor
Anlage 10: Versuchsanleitung
Nr.: AE/03/2007
- VII -
Kurzzeichenverzeichnis
Formelzeichen
Einheit
Erläuterung
A
-
Amplitude
A
-
Koeffizient
A
m2
Fläche
a
m/s2
Beschleunigung
bT
Nms
Dämpfungskonstante
c
N/m
Federkonstante
cT
Nm/rad
Torsionsfedersteifigkeit
D
-
Dämpfungsgrad
F
N
Kraft
f
1/s
Frequenz
fAbtast
1/s
Abtastfrequenz
FD
N
Dämpfungskraft
FG
N
Gaskraft
FGt
N
Gastangentialkraft
fmax
1/s
max. Frequenz
Fmosz
N
oszillierende Massenkraft
Fmt
N
Massentangentialkraft
FR
N
Reibkraft
2
J
kgm
Massenträgheitsmoment
j
-
imaginäre Einheit
k
N/mm2
Dämpfungsbeiwert
K1
[-]
Betriebsfaktor der Kraftmaschine 2,5
(Vierzylinder-Dieselmotor)
K2
[-]
Betriebsfaktor der Arbeitsmaschine 3,5
(Motorenprüfsand)
lP
m
Pleuellänge
m
kg
Masse
Md
[Nm]
Motordrehmoment
Mk
Nm
Erregermoment
mK
kg
Kolbenmasse (komplett)
mmess
-
Anzahl Messstufen
Nr.: AE/03/2007
- VIII -
Formelzeichen
Einheit
Erläuterung
mosz
kg
oszillierende Masse
mP
kg
Pleuelmasse
mPosz
kg
oszillierender Anteil Pleuelmasse
mProt
kg
rotatorischer Anteil Pleuelmasse
Mt
Nm
Torsionsmoment
ngem
U/min
nmax
U/min
größte untersuchte Drehzahl
nmin
U/min
kleinste untersuchte Drehzahl
p
Pa
Druck
pZylinder
Pa
Zylinderdruck
q
-
q̂
-
Amplitude einer mechanischen Kenngröße
r
m
Radius
R
Nm
Resterregermoment
s
m
Weg
sK
m
Kolbenweg
T
s
Periodendauer
t
s
Zeit
Terf
[Nm]
erforderliches Nenndrehmoment der
im gemessenen Resonanzschaubild
ermittelte Resonanzdrehzahl
momentane Auslenkung einer mechanischen
Kenngröße; Elongation
Elastikwelle
theoretische Periodendauer für einen
tF
s
tmess
s
Messzeit für Rampenhochlauf
V
-
Vergrößerung
v
m/s
Geschwindigkeit
x
-
Ordnung
xH
-
hauptkritische Ordnung
Z
-
Zähnezahl
z
-
Zylinderzahl
ϕ&
rad/s
&&
ϕ
rad/s2
Zahnabstand
1. Ableitung des Winkels nach der Zeit,
Winkelgeschwindigkeit
2. Ableitung des Winkels nach der Zeit,
Winkelbeschleunigung
Nr.: AE/03/2007
- IX -
Formelzeichen
Einheit
Erläuterung
∆n
U/min
Drehzahlschrittweite
∆Ord
-
Ordnungsauflösung
∆tF
s
∆tZ20.
s
∆tZi
s
∆σz
rad
∆ω
rad/s
Ω
rad/s
α
rad
Nullphasenwinkel
α
°KW
Grad Kurbelwinkel
δ
1/s
Abklingkonstante
ϕ
rad
Winkel
λp
-
Pleuelstangenverhältnis
µ
Ns/m3
Dämpfungsbeiwert
σF
rad
mit max. Fehler behaftetes Winkelintervall
ω
rad/s
ωm
rad/s
ermittelte Eigenkreisfrequenz
ω0
rad/s
Eigenkreisfrequenz
absolute zeitliche Abweichung der
Periodendauer
theoretische Periodendauer für einen
Zahnabstand, 20. Ordnung der Drehzahl
Zeitdifferenz zwischen zwei Sensorimpulsen
äquidistantes Winkelintervall der
Zahnscheiben
absolute Abweichung der
Indizes
Erläuterung
A
Anfang
B
Ende
i
Zählindex
K
Kolben
k
Erreger
max
maximal
u
untere
z
Zahn
1,2
Zählgröße
Nr.: AE/03/2007
-X-
Abkürzungen
Bedeutung
dxf
data exchange format (Dateiformat)
FEM
Finite Element Methode
HF
Hochfrequenz
KW
Kurbelwelle
Laser
Light Amplification by Stimulated Emission of
Radiation
MTM
NL
Nulllast
NW
Nockenwelle
osz.
oszillierend
OT
oberer Totpunkt
RAM
Random Access Memory
TSD
Torsionsschwingungsdämpfer
UT
unterer Totpunkt
VL
Volllast
WHZ
Westsächsische Hochschule Zwickau
ZMS
Zweimassenschwungrad
Nr.: AE/03/2007
- XI -
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als Ingenieur in der
„GAF - Gesellschaft für Akustik und Fahrzeugmeßwesen mbH Zwickau“ und als Student
an der Westsächsischen Hochschule Zwickau (WHZ) im Studiengang „Master of Science
Automotive Engineering“.
Die Aufgabe „Theoretische und experimentelle Analyse des Torsionsschwingungssystems
Dieselmotor auf einem Motorprüfstand“ wurde im Rahmen eines Masterprojektes von der
WHZ ausgegeben und befasst sich mit der Untersuchung von Drehschwingungen an
Kurbelwellen und deren quantitativen Bewertung. Die Arbeit entstand von Anfang 2007 bis
Mitte 2007.
Meinen verehrten Lehrern, Herrn Prof. Dr.-Ing. W. Foken und Herrn Prof. Dr.-Ing. habil.
W. Hoffmann, danke ich besonders für die Förderung meiner wissenschaftlichen Tätigkeit,
für die konstruktiven Anregungen zu dieser Arbeit und das mir entgegengebrachte
Vertrauen. Herrn Dipl.-Ing. D. Grundke, Geschäftsführer der GAF mbH Zwickau, danke ich
für die kritische Durchsicht der Arbeit und die konstruktiven Hinweise.
Ausdrücklich bedanken möchte ich mich bei Herrn Dr.-Ing. H. Falke, GAF mbH Zwickau,
und allen Mitarbeitern des Instituts für Kraftfahrzeugtechnik an der WHZ für die stets gute
Zusammenarbeit.
Mein besonderer Dank gilt meinen Eltern.
Zwickau im Sommer 2007
Jörg Trautvetter
Nr.: AE/03/2007
-1-
Einleitung
1 Einleitung
Für
die
Kraftfahrzeuge
des
begonnenen
21.
Jahrhunderts
stellen
Verbrennungskraftmaschinen nach dem Otto- bzw. Dieselprinzip immer noch den
Hauptteil der Antriebe dar. Trotz des formal gleichen Prinzips der Gewinnung von
mechanischer Energie aus chemischer Energie sind die Entwicklungstendenzen im
Automobilbau
in
Richtung
Komfort,
Massereduzierung,
Sicherheit
und
Emissionsverringerung verschoben. Es werden die Bauteile nicht nur nach ihrer statischen
Belastbarkeit dimensioniert. Häufige Ursache für das Versagen einzelner Bauteile sind
Schwingungsvorgänge. Als in diesem Sinne hoch belastetes Bauteil gilt die Kurbelwelle
moderner, direkt einspritzender Dieselmotoren. Wegen der hohen Zylinderdrücke
einerseits und der infolge großer Drehzahlen entstehenden Massenkräfte andererseits
werden enorme Torsionsmomente in die Kurbelwelle eingetragen.
Um die entstehenden Belastungen beziffern zu können, wurden die theoretischen
Grundlagen erörtert und Versuche am Prüfstand durchgeführt. Abschließend wurden die
Ergebnisse der Prüfstandsmessungen mit den Rechenwerten verglichen. Aus den
Ergebnissen der Messungen konnte die Dämpfung der vorliegenden Kurbelwelle ermittelt
werden.
Diese Arbeit soll in Zukunft Grundlage für einen Praktikumsversuch „Drehschwingungen
an Kurbelwellen“ für Studenten der Kraftfahrzeugtechnik an der WHZ werden.
Nr.: AE/03/2007
-2-
Stand der Forschung und Technik
2 Stand der Forschung und Technik
Bei der Herstellung von Motoren für Pkw werden in erster Linie betriebswirtschaftliche
Aspekte zur Beurteilung der Konstruktion herangezogen. Doch selbst der Betriebswirt
erkennt, dass sich mittelfristig Kraftfahrzeuge mit berstenden Kurbelwellen nicht verkaufen
lassen. Deshalb werden umfangreiche theoretische und praktische Untersuchungen an
Kurbelwellen vorgenommen. Um Kosten und Zeitaufwand zu senken, werden seit ca. 20
Jahren Konstruktionsprogramme mit angeschlossenem Postprozessor zur Berechnung
von Torsion, Biegung und Dämpfung an Bauteilen eingesetzt. Die vorausgesagten
Eigenschaften müssen am Prüfstand nachgewiesen werden. Es werden die theoretisch
und praktisch gewonnenen Erkenntnisse verglichen und die theoretischen iterativ an die
Versuchsergebnisse angepasst. Der Erfolg der Konstruktion hängt maßgeblich von der
Qualität der Kommunikation der einzelnen Entwicklungsabteilungen ab. Im Ergebnis
wurden mit verbesserter Konstruktion, dem Einsatz hochfester Stähle und neuen
Fertigungsverfahren
die
Kurbelwellen
leichter
und
trotzdem
steifer.
Die
Massenträgheitsmomente des gesamten Triebwerks werden durch den Leichtbau
ebenfalls verringert.
Dem vordergründigen Aspekt der Verbrauchsreduzierung bei gleichzeitigem Steigern der
Leistung wird mit Hilfe von Reibungsverminderung, Prozessverbesserung und dem
Einsatz von Elektronik Rechnung getragen. Im Ergebnis dieser Maßnahmen werden die
Belastungen der einzelnen Bauteile vergrößert. So wird die Kurbelwelle durch
niedrigviskoses
Öl
(geringe
Dämpfung
an
Lagerstellen),
reibungsarme
Kolben/Zylinderpaarung, hohe Drücke im Brennraum, den großen Ungleichförmigkeitsgrad
des Verbrennungsmotors und das breite nutzbare Drehzahlband besonders hoch
belastetet.
Mit den vorangegangenen Überlegungen wäre der ideale Personenkraftwagen der Zukunft
ein Fahrzeug mit kleiner Masse, potentem Motor und dynamischem Fahrwerk. Doch
wegen des Komfortanspruches und dem Statussymboldenken des Käufers und den
verfehlten Entwicklungstendenzen im Automobilbau wird mittelfristig mit keiner deutlichen
Verringerung
des
Flottenverbrauches
zu
rechnen
sein.
Vielmehr
müssen
die
Zusatzmassen, entstanden infolge des Einsatzes schwerer Dämpfungsmaterialien in der
Fahrgastzelle, elektrischen Unterstützungen für den Fahrer und Multimediaanwendungen
Nr.: AE/03/2007
-3-
mit Hilfe von Leichtbau und intelligenten Systemlösungen kompensiert werden. In Bezug
auf die Entwicklung von Kurbelwellen ist der Einsatz von Zweimassenschwungrädern
(ZMS) und Torsionsschwingungsdämpfern (TSD) heute unabdingbar.
Der Ingenieur muss neben den unumgänglichen Office-Anwendungen unterschiedliche
Programmsysteme zur Berechnung/Konstruktion beherrschen, wobei deren theoretische
Hintergründe für ihn nicht tiefgründig bekannt sein müssen. Der Ingenieur muss den
Ergebnissen seiner Berechnung kritisch gegenüberstehen und diese mit Ergebnissen von
Prüfstandsversuchen
abgleichen
(Fitting).
Für
die
Problematik
der
Schwingungsberechnung und -messung existiert am Markt eine unüberschaubare Anzahl
an Fertiglösungen. Von der Weitsicht und dem dargelegten Investitionsgeschick hängt das
Gelingen der geforderten Lösungen für die Aufgaben ab. Einige Software-Systemlösungen
sind in Tabelle 1 dargestellt.
Tabelle 1: Ausgewählte Software-Systeme zur Fahrzeugentwicklung
Konstruktion
AutoCAD
I-DEAS
Catia
Pro/E
solid works
ironcad
Fa.
autodesk
Fa. UGS
Fa. Dassault
Systems
Fa. PTC
Fa. Dassault
Systems
Fa.
Warmuth
Berechnung
Prüfstand
ABAQUS
Fa. ABAQUS
PAK
Fa. Müller BBM
ANSYS
FA. CADFEM
PUMA
Fa. AVL
MathCAD
Fa. Mathsoft
ARTEMIS
Fa. HEADacoustics
SQO
Fa. GAF
Matlab
Fa.
The
MathWorks
SIMPACK
Fa. Intec
KISS
Fa. IAV
Sysnoise
Fa. LMS
Pulse
Fa. Brüel & Kjaer
Für die Untersuchung von Drehschwingungen werden z. Zt. sowohl invasive als auch
nichtinvasive Messtechniken angewandt. Bei den invasiven Methoden trägt das rotierende
Messobjekt eine Komponente des Messsystems. Die Signale werden mit Hilfe von HFFernmesstechniken oder Schleifringen in ein raumfestes Koordinatensystem überführt.
Vorteile ergeben sich durch den Einsatz auch in geschlossenen Gehäusen und in optisch
ungünstigen Medien (Ölnebel). Nachteilig wirken sich der große Aufwand für den
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-4-
Versuchsaufbau und die Störanfälligkeit dieser Systeme1 aus. Berührungslose Sensoren,
wie in Laser-Interferometern eingesetzt, können dagegen auch in räumlich beengten
Aufbauten montiert werden, lediglich die Zugänglichkeit des Lasermessstrahls muss
gewährleistet sein. Die interferometrische Messung ist kontinuierlich und daher in der
Winkelauflösung nicht beschränkt. Der variable Arbeitsabstand ermöglicht auch eine
schnelle Neuausrichtung des Sensors, so dass mehrere Positionen ohne Unterbrechung
mit guter Genauigkeit gemessen werden können.
Für die Drehschwingungsuntersuchung von Kurbelwellen ist derzeitig der Einsatz von
Rotationsvibrometern Stand der Technik. Das Rotationsvibrometer, Serie 4000 der Fa.
Polytec (Bild 1), besteht aus dem OFV-400 Messkopf und dem OFV-4000 Controller. Der
optische Messkopf enthält ein kompaktes Doppel-Interferometer mit großer optischer
Empfindlichkeit, das auch hochauflösende Messungen auf nicht vorbehandelten
Oberflächen ermöglicht.
Bild 1: Rotationsvibrometer Fa. Polytec [1]
Die vom Messkopf kommenden Signale werden im OFV-4000 Controller verarbeitet,
dessen Bandbreite groß genug ist, um auch schnelle transiente Vorgänge wie das
plötzliche
Beschleunigen
einer
Welle
bei
Lastwechseln
zu
erfassen.
Das
Rotationsvibrometer nutzt zwei parallele Laserstrahlen, die auf die rotierende Oberfläche
des Messobjektes treffen. Die reflektierten Strahlen sind in Abhängigkeit von der
1
System: „Unter System versteht man das Zusammenwirken von Komponenten zur Gewährleistung einer
definierten Funktion. Im Unterschied zu einem Modul sind diese Komponenten nicht zwangsläufig in einer
Baueinheit integriert. [MTZ/ATZ Special System Partners 6/2000 S. 12]
Nr.: AE/03/2007
Präzisierung der Aufgabenstellung
-5-
Oberflächengeschwindigkeit des Messobjektes um den aus dem Doppler-Effekt2
entstandenen Betrag frequenzverschoben. Mit Hilfe einer einfachen geometrischen
Beziehung lässt sich aus der Differenz der beiden Geschwindigkeitskomponenten die
Rotationsgeschwindigkeit des Messobjekts ableiten (Bild 2).
Bild 2: Systemaufbau Rotationsvibrometer [1]
Auf den Einsatz eines Rotationsvibrometers musste nach Anfrage an Fa. Polytec auf
Grund der geforderten Leihgebühr und der schwachen finanziellen Lage der WHZ
verzichtet werden.
3 Präzisierung der Aufgabenstellung
Ziel dieser Arbeit ist die Analyse der Torsionsschwingungsvorgänge der Kurbelwelle eines
Audi 2,5l-Fünfzylinder-Dieselmotors (Tabelle 2) in Verbindung mit der Belastungseinrichtung. Dazu werden geeignete Berechnungsgrundlagen und Messverfahren
erarbeitet. Anhand der theoretischen Vorbetrachtungen werden Methoden zur Ermittlung
der Schwingungseigenschaften der Kurbelwelle des oben genannten Motors erarbeitet. Es
sollen die Dämpfungseigenschaften der Kurbelwelle, des Torsionsschwingungsdämpfers
(TSD) und des Zweimassenschwungrades (ZMS) sowohl experimentell als auch
rechnerisch ermittelt werden.
2
Doppler-Effekt: Wenn sich Sender und Empfänger einer akustischen oder elektromagnetischen Welle
gegeneinander bewegen, so wird gegenüber der wahren Frequenz bei Annäherung eine größere und bei
Auseinanderbewegung eine kleinere Frequenz beobachtet.
Nr.: AE/03/2007
-6-
Präzisierung der Aufgabenstellung
Tabelle 2: Kennwerte 2,5l-Fünfzylinder-Dieselmotor
Eigenschaft
Bezeichnung/Wert
Motor/ Modell
2.5 TDI
Motor-Kennbuchstabe
AEL
Fertigungszeitraum
9.94 - 7.97
3
Hubraum cm
2460
Leistung kW bei U/min
103/4000
Drehmoment Nm bei U/min
290/1900
Betriebsdrehzahlbereich U/min
800 - 4200
Bohrung mm
81,0
Hub mm
95,5
Verdichtung
20,5
Kraftstoff
Dieselkraftstoff, handelsüblich
Einspritzung
Direkteinspritzung
Zündfolge
1-2-4-5-3
Die konstruktiven Daten liegen für den zu untersuchenden Kurbeltrieb nur teilweise vor
und sind in Tabelle 3 aufgeführt.
Tabelle 3: Konstruktionsdaten des Kurbeltriebs
Konstruktionsdetail
Wert
Pleuellänge lP [mm]
144
Pleuelmasse mP [g]
680
oszillierender Anteil Pleuelmasse mPosz [g]
195
rotatorischer Anteil Pleuelmasse mProt [g]
485
Kolbenmasse (komplett) mK [g]
826
oszillierende Masse mosz [g]
1021
Kurbelradius r [mm]
47,75
Nr.: AE/03/2007
-7-
Literaturstudium
Das Pleuelstangenverhältnis λP ist wie folgt definiert:
λP =
r
.
lP
(Gl. 1)
r
[mm] Kurbelradius
lp
[mm] Pleuellänge
Mit den Konstruktionsdaten wird das Pleuelstangenverhältnis zu λP = 0,33 berechnet.
4 Literaturstudium
An
Kurbelwellen
wurden
in
den
letzten
Jahren
umfangreiche
Untersuchungen
durchgeführt. Die gewonnenen Erkenntnisse sind in [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8] und [9]
angegeben. Da die physikalischen Grundlagen für das Problem „Drehschwingung“
bekannt sind, sind auch die Lösungen in den oben genannten Literaturstellen ähnlich,
lediglich die Verständlichkeit der unterschiedlichen Werke differiert. Für die zu
untersuchende Kurbelwelle wurde deshalb auf [2], [3], [6], [7], [8] und [9] zurückgegriffen
und die Herangehensweise auf den vorliegenden Fall übertragen.
4.1.1 Grundlagen
Die sich bewegenden Teile an realen Maschinen unterliegen in ihren mechanischen
Kenngrößen (Kräfte, Wege, Geschwindigkeiten) zeitlichen Änderungen. Diese werden als
Schwingung bezeichnet. Dabei wird in periodische Schwingungen (umlaufende Unwucht,
Massenkräfte
des
Kolbens
an
Tauchkolbenmaschinen)
und
nicht
periodische
Schwingungen (Stöße, Anregung des Fahrwerks z.B. infolge von Wegunebenheiten)
unterschieden
[22].
Für
die
Betrachtung
der
Torsionsschwingungsvorgänge
der
Kurbelwelle werden vornehmlich Schwingungsmodelle mit periodischen Änderungen der
mechanischen Kenngrößen zur Beschreibung benötigt.
Nr.: AE/03/2007
-8-
Literaturstudium
In Bild 3 ist das Modell eines einfachen, ungedämpften Torsionsschwingers dargestellt.
Bild 3: Einfacher Torsionsschwinger
Aus dem Momentengleichgewicht ergibt sich die Bewegungsgleichung:
&& + c T ⋅ ϕ = 0
J⋅ϕ
(Gl. 2)
J
[kgm2]
&&
ϕ
[rad/s2]
Winkelbeschleunigung
cT
[Nm/rad]
Torsionssteifigkeit
ϕ
[rad]
Winkel
Die Eigenkreisfrequenz ω0 für Torsionsschwinger ist:
ω0 =
cT
.
J
ω0
[rad/s]
(Gl. 3)
Eigenkreisfrequenz
Die Form der Bewegungsgleichung für einfache, ungedämpfte Schwinger lautet:
&& + ω02 ⋅ ϕ = 0 .
ϕ
(Gl. 4)
Die Form der Bewegungsgleichung für einfache, gedämpfte Schwinger lautet:
&& + δ ⋅ ϕ& + ω02 ⋅ ϕ = 0 .
ϕ
δ
[1/s]
(Gl. 5)
Abklingkonstante
Nr.: AE/03/2007
-9-
Literaturstudium
Dabei ist die Abklingkonstante δ:
δ=
bT ⋅ ω02
cT
bT
(Gl. 6)
[Nms]
Dämpfungskonstante
und
δ = 2 ⋅ D ⋅ ω0 .
D
[-]
(Gl. 7)
Dämpfungsgrad
Die Form der Bewegungsgleichung für einfache, gedämpfte Schwinger mit periodischer
Erregung lautet:
&& + 2Dω 0 ⋅ ϕ& + ω 02 ⋅ ϕ = q̂ ⋅ sin(Ωt ) .
ϕ
q̂
[-]
Amplitude
Ω
[rad/s]
Kreisfrequenz
t
[s]
Zeit
(Gl. 8)
Mit den o. g. Gleichungen und den mechanischen Eigenschaften des Systems lassen sich
die
Schwingungen
beschreiben.
Die
Modellbildung
von
mechanischen
Schwingungssystemen erfolgt mit den in Tabelle 4 dargestellten Elementen.
Tabelle 4: Elemente der Modelldarstellung von Schwingungssystemen
Element
Masse,
Feder
Dämpfer
Kräfte/ Momente
Art des Einflusses auf das System
Speicher für kinetische Energie
Speicher für potenzielle Energie
Umwandlung von mechanischer
Energie in Wärmeenergie
Mechanische Kenngrößen
m [kg]
J [kgm2]
c [N/m]
cT [Nm/rad]
k [Ns/m]
bT [Nms]
µ [Ns/m3]
Erregung/Energiezufuhr in das
F [N]
Schwingungssystem
Mt [Nm]
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- 10 -
Literaturstudium
4.1.2 Periodische Schwingungen
Bei periodischen Schwingungen besitzt die mechanische Schwingungsgröße q(t) nach der
Periodendauerdauer T die gleiche Amplitude.
q(t + T ) = q(t )
(Gl. 9)
q
[-]
momentane Elongation
T
[s]
Periodendauer
Bild 4: Periodische Schwingung [22]
Die Sinusschwingung stellt die einfachste periodische Schwingung dar. Sie kann als
Projektion eines mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω umlaufenden Zeigers der Länge
q̂ interpretiert werden [22].
Bild 5: Sinusschwingung [22]
Mit den in Bild 5 dargestellten Parametern lässt sich die Sinusschwingung wie folgt
beschreiben:
q( t ) = q̂ ⋅ sin(ωt + α )
α
[rad]
(Gl. 10)
Nullphasenwinkel
und gleichwertig gilt:
Nr.: AE/03/2007
- 11 -
Literaturstudium
q( t ) = A1 ⋅ cos(ωt ) + A 2 ⋅ sin(ωt ) .
A1, A2 [-]
(Gl. 11)
Koeffizienten
q̂ = A 12 + A 22
tan α =
(Gl. 12)
A1
A2
(Gl. 13)
4.1.3 Resonanz
Als Resonanz wird die Übereinstimmung von Eigenfrequenz eines Schwingungssystems
mit der Anregungsfrequenz dieses Systems bezeichnet. Bei kleiner Dämpfung kumuliert
die eingetragene Energie und führt zwangsläufig zum Versagen des Systems
(Resonanzkatastrophe). Die Resonanzüberhöhung ist umso größer, je größer die
Anregung bzw. je kleiner die Dämpfung ist.
10
D=0,01
D=0,05
D=0,1
D=0,5
D=0,7
Vergrößerung [-]
8
6
4
2
0
0
1
2
3
Abstimmverhältnis [-]
Bild 6: Vergrößerungsfunktion V in Abhängigkeit des Abstimmverhältnisses bei
unterschiedlichen Dämpfungsgraden D
Für
Kurbelwellen
von
Personenkraftfahrzeugen
wird
im
Allgemeinen
von
Dämpfungsgraden zwischen D = 0,05 und D = 0,1 ausgegangen. Es ergibt sich somit eine
Nr.: AE/03/2007
- 12 -
Literaturstudium
zu erwartende Resonanzüberhöhung von V ≈ 5….10. Der Zusammenhang von
Eigenkreisfrequenz ω0, Anregungsfrequenz Ω und Dämpfungsgrad D ist in folgender
Gleichung dargestellt:
V=
1
Ω
Ω 2
(1 − ( ) 2 + 4 ⋅ D 2 ⋅ (
)
ϖ0
ϖ0
.
(Gl. 14)
4.1.4 Dämpfung
Alle in der Natur vorkommenden dynamischen Vorgänge sind gedämpft. Dämpfung ist die
irreversible Umwandlung von mechanischer Energie des Schwingungssystems in andere
Energieformen. Dabei tritt hauptsächlich Reibung auf. Es wird in innere Reibung und
äußere Reibung unterschieden. Die innere Reibung entsteht in geschlossenen Systemen
(Dämpfungskraft und Reaktionskraft innerhalb der Systemgrenze). Äußere Reibung
(Reaktionskraft
außerhalb
der
Systemgrenze)
entsteht
durch
Interaktion
von
unterschiedlichen Körpern. Grundsätzlich wird der Bewegung Energie entzogen und
vornehmlich in Wärme umgewandelt. Die innere Dämpfung führt zu einer Vergrößerung
der Bauteiltemperatur und kann zu thermischen Schäden an Bauteilen führen.
Torsionsschwingungsdämpfer von Fahrzeugen besitzen oftmals Dämpfungselemente aus
Gummi. Bei fehlerhafter Auslegung führt die innere Dämpfung des Gummielementes
häufig zum thermischen Versagen des Torsionsschwingungsdämpfers und zwangsläufig
zum Bruch der Kurbelwelle.
Für die Dämpfungskraft sind die folgenden Ansätze gebräuchlich [5].
Coulomb´sche Reibung:
FD = FR
q&
q&
(Gl. 15)
Viskose Dämpfung:
FD = b ⋅ q&
(Gl. 16)
Komplexe Dämpfung:
FD = j ⋅ b * ⋅ q
(Gl. 17)
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- 13 -
Literaturstudium
Frequenzunabhängige Dämpfung:
b * ⋅ q&
FD =
Ω
(Gl. 18)
Hysterese-Dämpfung:
2
⎛ q⎞
FD = FR ⋅ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ sign(q& )
⎝ q̂ ⎠
(Gl. 19)
Wegen der guten Abbildung der Dämpfungsvorgänge und der mathematisch einfachen
Anwendung
des
viskosen
Dämpfungsansatzes
wird
dieser
am
häufigsten
zur
Beschreibung der Dämpfungskraft verwendet.
Die Ermittlung der Dämpfungsfaktoren kann messtechnisch und mit Hilfe von
theoretischen Ansätzen erfolgen. Bei technischen Systemen wird vorzugsweise auf die
Ermittlung der Dämpfungskennwerte mit Hilfe der in Tabelle 5 dargestellten Methoden
zurückgegriffen.
Nr.: AE/03/2007
Literaturstudium
- 14 -
Tabelle 5: Methoden zur Ermittlung von Dämpfungskennwerten [6]
Für die Dämpfung des Kurbeltriebes sind unterschiedliche Mechanismen verantwortlich. In
[8] wurden die Ursachen der Dämpfung der Torsionsschwingungen untersucht. Es wurde
Nr.: AE/03/2007
- 15 -
Literaturstudium
nachgewiesen, dass für diese die Ölverdrängung im Zwischenspalt der Lagerstellen
infolge der dynamischen Verlagerung der Zapfen verantwortlich ist. Die Dämpfungen der
Reibpaarung
Kolben/Zylinder
sind
von
untergeordneter
Bedeutung.
Das
ist
nachvollziehbar, denn die Torsionsschwingwege der Kurbelwelle sind klein. Auch die
riemengekoppelten Nebenantriebe und die innere Dämpfung des Materials der
Kurbelwelle haben kaum einen Einfluss auf die Gesamtdämpfung des Kurbeltriebes. Als
Anstoß für weitere Untersuchungen soll folgende Frage dienen: „Wie wirken sich
reibungsarme Rollenlager im Kurbeltrieb auf die Torsionsschwingungsamplituden aus?“.
Trotzdem
ist
es
hilfreich,
den
Dämpfungsgrad
einiger
Materialien
für
eine
Überschlagsrechnung abschätzen zu können (Tabelle 6). Erschwerend kommt hinzu, dass
die innere Dämpfung von technischen Stoffen praktisch nicht linear ist. Sie ist vielmehr von
der Größe der Belastung, Schwinggeschwindigkeit und der Temperatur abhängig.
Tabelle 6: Dämpfungsgrade ausgewählter Materialien [6]
Material
Dämpfungsgrad
Maschinenstahl
D=0,0008
hochfeste Stähle
D=0,0003…0,0015
Baustahl
D=0,0025
Grauguss
D=0,01…0,05
Antriebsstränge, Maschinengestelle
D=0,02…0,08
Beton
D=0,01…0,1
Gummifedern
D=0,08…0,12
Für die Abschätzung des Dämpfungsgrades eines Kurbeltriebes ist in [6] die folgende
Gleichung angegeben:
bT = µ ⋅ AK ⋅ r 2 .
(Gl. 20)
µ
[Ns/m3]
Dämpfungsbeiwert
AK
[m2]
Kolbenfläche
b T = 35000
Ns
⋅ 0,00515 m 2 ⋅ 0,0023 m 2
3
m
Damit wird die Dämpfungskonstante zu bT=0,41 Nms berechnet. Letztendlich kann der
Dämpfungsgrad D aus folgender Gleichung bestimmt werden:
Nr.: AE/03/2007
- 16 -
Literaturstudium
D=
b T ⋅ ω0
2 ⋅cT
(Gl. 21)
und mit cT aus:
1
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
+
.
c T c TSD / 1 c 1 / 2 c 2 / 3 c 3 / 4 c 4 / 5 c 5 / SR
Mit
der
Gesamttorsionsfedersteifigkeit
aus
(Gl. 22)
den
Einzelfedersteifigkeiten
(Bild
9)
cT = 76500 Nm/rad und mit der ersten Eigenkreisfrequenz ω0 = 1946 rad/s wird
D = 0,0053 berechnet. Der berechnete Wert ist mindestens eine Zehnerpotenz kleiner als
der zu erwartende Wert. Die Richtigkeit der Eingabedaten ist somit fraglich.
Aus [9] wurde der Verlauf des Schwingwinkels über der Motordrehzahl entnommen. Mit
Hilfe des Verfahrens der Halbwertsbreite wurde aus den Graphen der 4,5. und 6. Ordnung
in Bild 7 der Dämpfungsgrad D = 0,05 für die erste Eigenfrequenz ermittelt. Dieser
„Bilderbuch-Verlauf“ soll als Referenz für die Qualität der Prüfstandsmessungen an der
WHZ genutzt werden.
Bild 7: Verlauf des Schwingwinkels über der Drehzahl unterschiedlicher Ordnungen und
Resonanzschaubild über der Drehzahl [9]
Nr.: AE/03/2007
- 17 -
Literaturstudium
4.2 Software
Für die Bearbeitung der Aufgabe war es unumgänglich, sich mit Programmsystemen zur
Konstruktion,
Berechnung
und
Simulation
auseinanderzusetzen.
Es
wurde
auf
Ressourcen der WHZ zurückgegriffen.
4.2.1 MathCAD
MathCAD ist eine Industriestandard-Rechensoftware. Die Rechenfähigkeiten von
MathCAD reichen vom Addieren von Werten einer Zahlenspalte über die Berechnung von
Integralen und Ableitungen bis hin zur Lösung von Gleichungssystemen. Die
Eigenkreisfrequenzen und Eigenschwingformen der Kurbelwelle wurden mit MathCAD
berechnet.
4.2.2 Visual Basic
Visual
Basic
ist
ein
einfaches,
schnell
erlernbares
Ingenieurwerkzeug
zur
Datenvisualisierung und -auswertung. Mit Hilfe eines Visual Basic Makros3 werden die
übertragenen Daten aus dem Messsystem „Mehrkadreh“ als ASCII-Code in MS-Excel
eingelesen. Es wird die mit Hilfe von Messungen bestimmte Gastangentialkraft und die
berechnete Massentangentialkraft einer Fourier4-Analyse unterzogen.
4.2.3 AutoCAD
AutoCAD ist ein in der Automobilindustrie weit verbreitetes Programm zur 2DKonstruktion. Es wurden Hilfsmittel und Zahnscheiben konstruiert. Diese wurden per dxfExport an ein Fertigungsunternehmen übergeben und gefertigt. Die Zeichnungen sind in
Anlage 2 angefügt.
3
Makro: eigenständige Programme zum Anpassen von Windows- Anwendungsprogrammen an die
speziellen Anforderungen des Nutzers.
4
Jean Baptiste Joseph Fourier (* 21. März 1768 bei Auxerre; † 16. Mai 1830 in Paris) war ein französischer
Mathematiker und Physiker und Neffe zweiten Grades von Pierre-Simon Laplace.
Nr.: AE/03/2007
Literaturstudium
- 18 -
4.2.4 Catia V5
Catia V5 R12 wird in der Automobilindustrie vornehmlich zur 3D-Konstruktion verwendet.
Mit Hilfe des implementierten Postprozessors können Simulationen durchgeführt werden.
Mit Hilfe von Catia V5 wurde das Modell des Torsionsschwingungsdämpfers und einer
Kurbelkröpfung erstellt.
4.3 Messsystem und Software
4.3.1 PAK- Prüfstand-Akustik-System
PAK-Mobil MK II ist ein kompaktes, mobiles, mehrkanaliges Messsystem für
schwingungstechnische Untersuchungen und akustische Analysen. Es lässt sich universell
für alle gängigen Aufnehmer konfigurieren und leicht an die jeweilige Messaufgabe
anpassen. Ein Laptop kommuniziert mit dem Messfrontend über Standard-Ethernet (10
oder 100 Mbit/s). Dabei übernimmt dieser Rechner die Online-Anzeige der Messdaten, die
Kanalaussteuerung, die Synchronisation von Messungen zu Drehzahlen sowie die
Analyse und Auswertung der Messdaten. Die wichtigsten Eigenschaften im Überblick sind:
-
mobiler Einsatz: gekennzeichnet durch geringe Masse, kleine Leistungsaufnahme,
Robustheit, Flexibilität und Erweiterbarkeit - stets bei gleicher Bedienungsoberfläche sowie
vollständiger Datenkompatibilität zu bestehenden UNIX- und Windows- basierenden PAK
VXI-Systemen
-
hochauflösender Tachoeingang: 50 MHz-Zähler - ein wichtiger Aspekt bei der
Ordnungsanalyse und bei Drehschwingungsuntersuchungen
-
modulare Technik: Möglich sind 2-, 3-, 4-, 6- und 10-Slot-Ausführungen mit mehr
als 100 Messkanälen sowie der phasensynchrone Betrieb mehrerer Frontends zusammen.
Die synchronisierte Vernetzung von bis zu acht Systemen ist möglich.
-
Aufgrund der Konstruktion kann je nach Anzahl der Slots auf einen Lüfter, der
sensible Mikrofonaufnahmen beeinflussen könnte, verzichtet werden.
Nr.: AE/03/2007
- 19 -
Theoretische Ermittlung der Torsionsschwingformen und Eigenfrequenzen der Kurbelwelle
4.3.2 Mehrkadreh
Für Drehschwingungsmessungen von mehr als zwei Kanälen wurde an der WHZ das
Komplettsystem
„Mehrkadreh“
entwickelt.
Kernstück
des
Messsystems
ist
ein
Mikroprozessor C167 der Firma Infineon mit Capture-Compare-Einheit. Die Speicherung
der Zeitdaten geschieht im schnellen RAM des Mikroprozessors. Aufgrund der begrenzten
Speicherkapazität von 16 KB sind je nach Anzahl der Messstellen nur wenige
Umdrehungen des Drehschwingungsvorganges bis zum Speicherüberlauf zu erfassen.
Das
Messsystem
eignet
sich
also
zur
Erfassung
von
stationären
Vorgängen
(z.B. konstante Drehzahl). Die Übergabe der Messdaten zum Computer erfolgt mit der
Übertragungssoftware „datra“ der Firma GAF mbH. Die übertragenen Zeitrohdaten werden
mit der Microsoft Anwendung „Excel“ und dem Makro „Auswertung“ ausgewertet.
5 Theoretische Ermittlung der Torsionsschwingformen und
Eigenfrequenzen der Kurbelwelle
Das Triebwerk eines Pkw bildet mit Kurbeltrieb, Nockentrieb und angetriebenen
Nebenaggregaten
unterschiedliche
(Kurbelwelle),
ein
kompliziertes
Schwingungsarten
Biegeschwingungen
schwingfähiges
auf,
zum
System.
Beispiel
(Kurbelwelle)
und
Es
treten
dabei
Torsionsschwingungen
Längsschwingungen
(Antriebsriemen), auch Kombinationen der unterschiedlichen Schwingungsarten sind
möglich (Taumelbewegung des Schwungrades).
In den Anfangsjahren der Automobilentwicklung gehörten Kurbelwellenbrüche zu den
alltäglichen Schadensereignissen im Fahrzeug. Wegen der großen Lagerabstände bei
Kurbelwellen kam es zu Biege- und Torsionsschwingungen in der Kurbelwelle. So besaß
ein 2l-Achtzylinder-Reihenmotor (Bugatti Typ 35A Rennwagen) Ende der 1920er Jahre
eine nur dreifach gelagerte Kurbelwelle.
Kurbelwellen von Fahrzeugmotoren sind in der Regel statisch unbestimmt gelagert. Die
Freiheitsgrade des Gesamtsystems sind im Allgemeinen so groß, dass eine Berechnung
von Hand für das System nicht möglich ist. Abschätzungen und Vereinfachungen setzten
die langjährige Erfahrung des Konstrukteurs voraus. Deshalb stehen heute für die
Bearbeitung von Schwingungsproblemen vielfältige Rechenprogramme zur Verfügung. Die
Konstruktion kann somit vor der Versuchsphase schwingungstechnisch optimiert werden.
Nr.: AE/03/2007
- 20 -
In Bild 8 ist der Verlauf der Bruchkante an einem Hubzapfen dargestellt. Die 45°
Ausrichtung der Bruchkante zur Achse lässt keinen Zweifel an einem Torsionsbruch
aufkommen.
Bild 8: Torsionsbruch an einem Hubzapfen [9]
Für die zu untersuchende Kurbelwelle wurden die Angaben aus Anlage 1 entnommen.
Daraus wurde die folgende Bildwelle mit den nebenstehenden Parametern entwickelt.
⎛ 0.012 kgm2 ⎞
TSD ⎞
⎟ ⎜
⎟
J ⎟ ⎜ 0.0107 kgm2 ⎟
1
⎟ ⎜
⎟
J ⎟ ⎜ 0.0107kgm2 ⎟
2
⎟ ⎜
⎟
2
J ⎟ := ⎜
3
0.0107kgm ⎟
⎟
⎟
⎜
J
2
4 ⎟ ⎜ 0.0107kgm ⎟
⎟
J ⎟ ⎜
2
5 ⎟ ⎜ 0.0107kgm ⎟
⎟ ⎜
⎟
J
SR ⎠ ⎝ 0.2136kgm2 ⎠
⎛J
c TS D/ 1
J TS D
c 1/2 c 2/3 c 3/4 c 4/5 c 5/S R
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ 208000 Nm ⎞
⎟
⎜
rad
⎟
⎜
Nm ⎟
⎛ cTSD/1⎞ ⎜
605000
⎟
⎜
rad ⎟
⎜ c1/2 ⎟ ⎜⎜
⎟ ⎜ 605000 Nm ⎟⎟
⎜
⎜ c2/3 ⎟ ⎜
rad ⎟
⎟ := ⎜
⎜
⎜ c3/4 ⎟ ⎜ 605000 Nm ⎟⎟
rad
⎜ c ⎟ ⎜
⎟
⎜ 4/5 ⎟ ⎜
Nm ⎟
605000
⎟
⎜ c
rad ⎟
⎝ 5/SR ⎠ ⎜
⎜
Nm ⎟
⎟
⎜ 605000
rad ⎠
⎝
J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 J SR
Bild 9: Bildwelle, Ausgangsmodell, Massenträgheitsmomente und Torsionssteifigkeiten
5.1 Anregung
Für die Entstehung von Kurbelwellenschwingungen sind dynamische Kräfte, die in die
Struktur eingeleitet werden, verantwortlich. Dazu gehören Unwuchten (Massenkräfte)
Nr.: AE/03/2007
- 21 -
einerseits und andererseits Kräfte infolge des ungleichförmigen Druckverlaufes im Zylinder
(Gaskräfte). Die bei dem Beschleunigen der Kolben und Pleuel entstehenden
Massenkräfte sind periodisch. Auch die beim Verdichten, Verbrennen und Entspannen
entstehenden Gaskräfte können mit hinreichender Genauigkeit als periodisch angesehen
werden. Die vorangegangenen Feststellungen gelten nur bei konstanter Drehzahl und
Last. Für die weiteren Betrachtungen gelten die in Bild 10 dargestellten Vereinbarungen.
Bild 10: Schematische Darstellung des ungeschränkten Kurbeltriebes [2]
5.1.1 Massenkrafterregung
Die Massenkräfte werden infolge der Bewegung von Kolben, Pleuel und Kurbelwelle
hervorgerufen, sie werden in eine rotatorische und eine oszillierende Komponente
unterteilt. Die Kräfte belasten die Grundlager, die Pleuellager und die Kolbenbolzen.
Verursacht werden die Kräfte infolge des Umlaufens der Kurbelwelle und der damit
erzwungenen Bewegung der Komponenten. Allgemein gilt:
2
s K = r ⋅ (1 − cos α ) + lP ⋅ (1 − 1 − λ P ⋅ sin 2 α ) .
Mit dem mathematisch schwierig handhabbaren Ausdruck
(Gl. 23)
2
1 − λ P ⋅ sin 2 α wird durch eine
Potenzreihenentwicklung nach MacLaurin eine Vereinfachung in folgender Form
vorgenommen:
Nr.: AE/03/2007
- 22 -
y( x ) = y(0) + y ′(0) ⋅
x
+ ...
1!
(Gl. 24)
2
2
und mit λ P ⋅ sin α = x und
2
weiterhin ist sin 2 α =
2
1 − λ P ⋅ sin α = y wird
2
1− λP
2
λ
⋅ sin α ≈ 1 − P ⋅ sin 2 α ,
2
2
1
(1 − cos( 2α )) . Daraus wird die bekannte Näherungsgleichung für
2
den Kolbenweg sK.
λ
⎡
⎤
s K = r ⎢(1 − cos α ) + P (1 − cos(2α ))⎥
4
⎣
⎦
(Gl. 25)
Nach dem Differenzieren nach der Zeit folgen die Gleichungen für Kolbengeschwindigkeit
und Kolbenbeschleunigung.
λ
⎡
⎤
s& = rω⎢sin α + P ⋅ sin(2α )⎥
2
⎣
⎦
(Gl. 26)
&s& = rω2 [cos α + λ P ⋅ cos(2α )]
(Gl. 27)
Grundlegend ist:
F = m⋅a.
(Gl. 28)
Mit den Massen für den kompletten Kolben und dem Massenanteil für die oszillierende
Bewegung des Pleuels wird die oszillierende Massenkraft Fmosz zu
Fmosz = −(m K +m Posz ) ⋅ rϖ 2 [cos α + λ P cos( 2α )]
(Gl. 29)
berechnet.
Nr.: AE/03/2007
- 23 -
16000
n=1500 U/min
n=3000 U/min
n=4500 U/min
n=4500 U/min 1. Ord.
n=4500 U/min 2. Ord.
12000
8000
2
a [m/s ]
4000
0
-4000
720
600
480
360
240
120
-12000
0
-8000
α [°KW]
Bild 11: Darstellung der Kolbenbeschleunigung für einen Kolben in Abhängigkeit vom
Kurbelwinkel bei unterschiedlichen Drehzahlen, λP=0,33
12000
8000
Fmosz [N]
4000
0
-4000
-8000
n = 1500 U/min
-12000
n = 3000 U/min
n = 4500 U/min
720
600
480
360
240
120
0
-16000
α [°KW]
Bild 12: Darstellung der osz. Massenkraft eines Kolbens in Abhängigkeit vom Kurbelwinkel
bei unterschiedlichen Drehzahlen, λP=0,33
Nr.: AE/03/2007
- 24 -
Für den 2,5l-Fünfzylinder-Dieselmotor beträgt die oszillierende Masse (Anlage 1) für eine
Zylindereinheit
mosz
=
1,021kg.
Es
ist
deutlich
zu
erkennen,
dass
die
Kolbenbeschleunigung/oszillierende Massenkraft quadratisch mit der Drehzahl anwächst.
Bei Motoren mit symmetrischen Kurbelsternen heben sich die summierten Massenkräfte
auf. Für die Auslegung der Bauteile dürfen diese jedoch nicht vernachlässigt werden. Die
Kurbelkröpfungen des 2,5l-Fünfzylinder-Dieselmotors sind symmetrisch angeordnet. Die
Zündfolge (rot), Zylinderreihenfolge (schwarz) und Darstellung des Kurbelsterns können
Bild 13 entnommen werden.
Bild 13: Kurbelstern und Kurbelwelle (schematisch) des 2,5l-Fünfzylinder-Dieselmotors
5.1.2 Gaskrafterregung
Die Gaskraft lässt sich im Allgemeinen nicht analytisch ermitteln. Sie liegt aus Messungen
des Zylinderdruckes vor. Der Zylinderdruck wird mit Hilfe eines piezoelektrischen
Druckaufnehmers in Abhängigkeit vom Kurbelwinkel aufgezeichnet. Daraus wird die
Gaskraft berechnet:
FG = p(α ) ⋅ A K .
(Gl. 30)
In Bild 14 sind die Kolbenwege für alle fünf Zylinder dargestellt. Der gleiche Zündabstand
von 144° ist an Hand der gezeichneten „Blitze“ zu erkennen. Die oftmals symmetrische
Aufteilung der Kröpfungen von Serienkurbelwellen und Zündfolgen darf nicht dazu
verleiten, dies als die einzig richtige Konstruktion anzusehen. Für Wettbewerbsfahrzeuge
mit großer Leistung werden oft Kurbelwellen mit „Big Bang“ Zündfolgen konstruiert. Diese
Motoren zünden nacheinander nur wenige Grad Kurbelwinkel versetzt. So ist es dem
Nr.: AE/03/2007
- 25 -
Reifen möglich, in ca. eineinhalb Kurbelwellenumdrehungen (ohne Zündung) wieder
Haftung aufzubauen.
720
680
640
600
560
520
480
440
400
360
320
280
240
200
160
120
80
40
0
α [°KW]
0
6
12
18
24
30
sK [mm]
36
42
48
54
60
66
1.Zyl
2.Zyl
3.Zyl
4.Zyl
5.Zyl
72
78
84
90
96
Bild 14: Darstellung der Kolbenwege für alle Zylinder
Der
Zylinderdruck
wurde
während
der
Drehschwingungsmessungen
stets
mit
aufgezeichnet. Einerseits konnte somit die Gaskraft ermittelt und andererseits die Lage
des oberen Totpunktes (OT) für Zylinder 1 den Drehwinkeln zugeordnet werden.
Nachfolgend
ist
unterschiedliche
der
gemessene
Lastzustände
und
Zylinderdruckverlauf
Drehzahlen
des
dargestellt.
ersten
Die
Zylinders
Darstellung
für
des
Verdichtungsbeginns wurde zur besseren Übersichtlichkeit in die Diagrammmitte gelegt.
Nr.: AE/03/2007
- 26 -
1,6E+07
VL n = 4000 U/min
VL n = 2500 U/min
VL n = 1000 U/min
NL n = 2500 U/min
NL n = 800 U/min
1,4E+07
pZylinder1 [Pa]
1,2E+07
1,0E+07
8,0E+06
6,0E+06
4,0E+06
2,0E+06
0,0E+00
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
α [°KW]
Bild 15: Zylinderdruckverläufe für Zylinder 1 bei unterschiedlichen Drehzahlen und
Variation von Nulllast (NL) und Volllast (VL)
Mit dem Wirksamwerden des Turboladers bei n = 1650 U/min ist der Zylinderdruckverlauf
bei Volllast bis zur Abregeldrehzahl n = 4500 U/min nahezu gleich.
5.1.3 Tangentialkraft
Für die Bewegung der Kurbelwelle ist die am Umfang angreifende Kraft verantwortlich.
Diese
entsteht
infolge
der
Wirkung
der
Gaskraft
und
der
Massenkraft.
Die
Massentangentialkraft Fmt wird für eine Zylindereinheit wie folgt berechnet:
F mt = −(mK + mPosz ) ⋅ rω2 (cos α + λ P cos(2α )) ⋅
sin(α + β)
.
cos β
(Gl. 31)
Der Verlauf der berechneten Massentangentialkraft einer Zylindereinheit über dem
Kurbelwinkel bei unterschiedlichen Drehzahlen ist in Bild 16 dargestellt.
Nr.: AE/03/2007
- 27 -
8000
n = 4000 U/min
n = 2500 U/min
n = 1000 U/min
n = 800 U/min
6000
4000
Fmt [N]
2000
0
-2000
-4000
-6000
-8000
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
α [°KW]
Bild 16: Verlauf der Massentangentialkraft für eine Zylindereinheit bei unterschiedlichen
Drehzahlen
Mit Hilfe der Fourier-Analyse wurde der Massentangentialkraftverlauf in Harmonische
zerlegt, das Ergebnis ist in Bild 17 dargestellt. Die Harmonischen sind Vielfache der
Kurbelwellendrehzahl und werden Ordnung x genannt.
Nr.: AE/03/2007
- 28 -
4500
n = 4000 U/min
n = 2500 U/min
n = 1000 U/min
n = 800 U/min
4000
3500
Fmtx [N]
3000
2500
2000
1500
1000
10,0
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
6,5
6,0
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0
0,0
500
x [-]
Bild 17: Harmonische Zerlegung des Massentangentialkraftverlaufes bei unterschiedlichen
Drehzahlen
Das
nutzbare
Drehmoment
entsteht
infolge
der
am
Hubzapfen
angreifenden
Gastangentialkraft FGt
FGt = FG ⋅
sin(α + β)
.
cos β
(Gl. 32)
Der Gastangentialkraftverlauf ist in Bild 18 exemplarisch für n = 2500 U/min (VL)
dargestellt.
Nr.: AE/03/2007
- 29 -
90000
1,8E+07
Massentangentialkraft
Gastangentialkraft
Gesamttangentialkraft
Zylinderdruck
F [N]
70000
1,6E+07
1,4E+07
60000
1,2E+07
50000
1,0E+07
40000
8,0E+06
30000
6,0E+06
20000
4,0E+06
10000
2,0E+06
0
0,0E+00
-10000
p über [Pa]
80000
-2,0E+06
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
α [°KW]
Bild 18: Verlauf von Tangentialkräfte und Zylinderdruck über dem Kurbelwinkel bei
2500 U/min (VL)
Die Ursache der Drehschwingungen stellt einzig die Tangentialkraft dar, für die
Biegeschwingungen der Kurbelwelle ist hingegen die Pleuelstangenkraft maßgebend.
Wegen der steifen Kurbelwellen und der kleinen Grundlagerabstände ergibt sich eine
große Biegeeigenfrequenz der KW. Die Biegeschwingungen der KW stehen in ihrer
Schädlichkeit meist hinter der der Torsionsschwingungen zurück. Die Zerlegung des
Gastangentialkraftverlaufes gemäß Bild 18 in Harmonische erfolgt mit Hilfe der FourierAnalyse. Es wurde der gemessene Zylinderdruckverlauf aus dem PAK-Messsystem
exportiert und in MS-Excel die harmonische Analyse durchgeführt. Die Zerlegung des
Gastangentialkraftverlaufes
in
Harmonische
ist
in
Bild
19
dargestellt.
Die
Gastangentialkraft regt den Kurbeltrieb breitbandig an.
Nr.: AE/03/2007
- 30 -
10000
FGtx [N]
8000
6000
4000
10,0
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
6,5
6,0
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0
0
0,5
2000
x [-]
Bild 19: Zerlegung des Gastangentialkraftverlaufes bei 2500 U/min (VL)
5.1.4 Ersatzerregerkräfte
Die
spezifischen
Ersatzerregerkräfte
sind
die
Harmonischen
des
zerlegten
Tangentialkraftverlaufes bezogen auf die Kolbenfläche und werden wie folgt berechnet:
Dx =
Dx
FGtx + Fmtx
AK
.
[Pa]
(Gl. 33)
spezifische Ersatzerregerkraft
Diese sind für VL 2500 U/min in Bild 20 dargestellt. Mit größer werdenden Ordnungen
werden die spezifischen Ersatzerregerkräfte kleiner. Die einzelnen Erregerordnungen sind
hinsichtlich ihrer Bedeutung für die Anregbarkeit der KW zu Drehschwingungen
unterschiedlich „gefährlich“ einzustufen. Bei Mehrzylindermotoren mit z Zylindern addieren
sich die Wirkungen der folgenden hauptkritischen Ordnungen xH:
-
Viertaktmotor: xH = 0,5z; 1z; 1,5z; 2z...
-
Zweitaktmotor: xH = 1z; 2z; 3z; 4z...
Für den Fünfzylindermotor-Viertaktmotor sind die 2,5.; die 5.; die 7,5.; die 10. Ordnung die
Hauptkritischen. Die Nebenkritischen müssen auf ihre „Gefährlichkeit“ untersucht werden,
da sie sich gegenseitig teilweise auslöschen [2].
Nr.: AE/03/2007
- 31 -
0,25
0,20
Dx [MPa]
0,15
0,10
10,0
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
6,5
6,0
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0
0,00
0,5
0,05
x [-]
Bild 20: Spezifische Ersatzerregerkräfte 2500 U/min (VL)
Aus den an den einzelnen Kröpfungen angreifenden spezifischen Ersatzerregerkräften ist
die für das Schwingungssystem resultierende Gesamterregerkraft zu bilden. Dazu werden
die
berechneten
relativen
Eigenschwingform
Schwingungsamplituden
verwendet.
Mehrzylindermaschinen
ergibt
Die
die
Energiebilanz
folgende
bei
für
Resonanz
für
jede
Kurbeltriebe
von
Berechnungsgleichung
für
die
Drehschwingungsamplitude am freien Wellenende:
A frEKW =
D x ⋅ R ax
z
ϖ m ⋅ µ ⋅ ∑ (a )
.
(Gl. 34)
(i) 2
i =1
AfrEKW [m]
Rax
[-]
(a(i))2 [-]
ωm
Schwingungsamplitude am freien Wellenende
resultierende Vektorsumme der relativen Schwingungsamplituden a(i)
quadrierte relative Winkelamplituden der i-ten Kurbelkröpfung
[rad/s] m-te Eigenkreisfrequenz
Der Zähler repräsentiert die Erregung und der Nenner die Dämpfung. Die Größe Rax ist die
resultierende
Vektorsumme
der
relativen
a(i)
über
alle
Kurbelkröpfungen i und für die Ordnung x. Die Ermittlung der Größe Rax geschieht auf
zeichnerischem
Weg
mit
Hilfe
der
Richtungssterndarstellungen
nach
Bild
21.
Weiterführend sei hier auf [2] verwiesen.
Nr.: AE/03/2007
- 32 -
Bild 21: Richtungssterne der erregenden harmonischen Drehkräfte [2]
Tabelle 7: Relative Schwingungsamplituden der Kurbelkröpfungen und die daraus
ermittelten Beträge der resultierenden Vektorsumme Rax
Zyl 1
Zyl 2
Zyl 3
Zyl 4
Zyl 5
3.
4.
0,0799
0,0798
0,0797
0,0795
0,0794
-0,0710
-0,0718
-0,0726
-0,0733
-0,0739
-0,0116
-0,0116
-0,0116
-0,0116
-0,0115
Rax
z*0,5 Hauptord.
0,5*ZW
0,5; 3; 5,5
1*ZW
1; 3,5; 6
1,5*ZW
1,5; 4; 6,5
2*ZW
2; 4,5; 7
2,5*ZW
2,5; 5; 7,5
Schwingform
5.
6.
2.
0,3982
0,0007
0,0002
0,0002
0,0007
0,3982
Rax
0,3626
0,0036
0,0035
0,0035
0,0036
0,3626
Rax
0,0580
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0580
7.
8.
-0,5031 -0,3982 0,2033 0,9322
-0,4327 0,0479 0,3733 -0,1966
-0,3183 0,4652 0,0958 -0,9473
-0,1715 0,6031 -0,2966 0,1242
-0,0072 0,3787 -0,3334 0,9568
Rax
1,4327
0,6253
0,1020
0,1020
0,6253
1,4327
Rax
1,0967
1,0680
0,6860
0,6860
1,0680
1,0967
Rax
0,0424
0,9360
0,3930
0,3930
0,9360
0,0424
Rax
0,8693
0,3711
2,5146
2,5146
0,3711
0,8693
Bis einschließlich der 4. Ordnung treten gemäß Tabelle 7 keine Nebenkritischen in
Erscheinung. Die zeichnerisch ermittelten resultierenden Vektorsummen Rax sind in
Bild 22 dargestellt.
Nr.: AE/03/2007
- 33 -
a
(2)
a
(4)
Schwingform 2
a(5)
a(3)
a
a(3)
a
(1)
a
a
a
(5)
(4)
a
a(1)
(1)
(2)
a(4)
(3)
(2)
a
(5)
a
a
a a(1)(4)
a
(5)
a
(2)
a
a
a
(5)
(3)
a(1)
(4)
a
(2)
(2)
a
(4)
a
(5)
a
Schwingform 3
(3)
a
a
(1)
(3)
a
a
a
(5)
(3)
(2)
a
(4)
(2)
a
(3)
a(4)
a(2) (5) (1)
a a
a(3)
(5)
a
a(4)
(1)
a(2)
Schwingform 4
Schwingform 5
(2)
a (4)
a(5)
a (3)
a(1)
a
a (4)
a
a(5)(3)
a(1)
a
a
(4) a a
a
(1)
a a(5)
(1)
a(2)(4)
a
a(5)(3)
a(1)
a
(2)
a
(3)
(4)
(3)
(2)
a a a a(5)
(1)
a
a
(4)
a
a
a
(3)
a(3)
a(1)
(5)
a(4)(2)
a
a
(5)
(2)
(3)
(5)
(3)
a a(5)
(1)
(4)
a a(2)
a
a
a
(1)
a
(2)
Schwingform 6
(4) (5)
(3)
a a
a
(1)
a
a
a(1)
(3)
a (5) (4)
a a
(2)
a (2)
a (4)
a
(5)
(1)
a
a
a
(3)
a
(1)
(2)
a(4)(5)
a a(3)a
(4)
a
(1)
(5)
a a(3) a
(1)
Schwingform 8
a(1)
a
a
a(2) (4)
a
(3)
a a(5)
a(1)
a(5) (3)
(4) a (2)
a
a
a(1)
Schwingform 7
(2)
a a(4)a(2)
a
a(3)
(3)
(5)
a
(4) a
a (2)
(2)
a a(4) a
(1)
a
(5)
a
(2)
a
(4)
a
a(1)(3)
a(5)
a (4)
a
(2)
a(1)
a(3)
(5)
Bild 22: Zeichnerische Ermittlung der resultierenden Vektorsummen Rax für die zweite bis
achte Eigenschwingform
Nr.: AE/03/2007
- 34 -
0,025
Schwingform 3
Schwingform 4
0,020
Schwingform 5
Schwingform 7
0,015
Schwingform 8
.
Dx Rax [MPa]
Schwingform 6
0,010
0,005
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
9
10
8
7
6
5
4
3
2
1
0,000
x [-]
Bild 23: Ersatzerregerkräfte Dx
.
Rax für die dritte bis achte Eigenschwingform bei
2500 U/min (VL)
Mit den berechneten spezifischen Erregerkräften Dx, den resultierenden Vektorsummen
Rax aus den Eigenschwingformen in Bild 38 konnten die Ersatzerregerkräfte für die
Kurbelwelle ermittelt werden. Die größten Erregerkräfte treten in der 5. Eigenschwingform
auf. Diese sollten messtechnisch nachzuweisen sein.
5.2 Torsionsschwingungsdämpfer
Der am Motor vorhandene Torsionsschwingungsdämpfer wurde im Rahmen der
Überholung des Steuertriebes demontiert. Dabei bot es sich an, das MTM des
ausgebauten Torsionsschwingungsdämpfers zu ermitteln. Es wurde ein Dreifadenpendel
konstruiert ([27] und Bild 24). Unter der Maßgabe, auch Probekörper mit kleinem
Massenträgheitsmoment untersuchen zu können, wurde der Teller aus einer 2 mm dicken
Aluminiumplatte hergestellt. Für die Aufhängung kamen biegeschlaffe, reißfeste, multifile
Angelschnüre zum Einsatz.
Nr.: AE/03/2007
- 35 -
Bild 24: Dreifadenpendel, Tischausführung [27]
Aus einem baugleichen TSD wurde ein Schnittmodell gefertigt, mit diesem als Grundlage
konnte ein 3D-Computermodell erstellt werden. Aus dem ausgeschnittenen Segment
konnten drei Funktionsgruppen separiert werden: Nabe der Riemenscheibe mit
Dämpfergummi und Riemenscheibe, Nabe des Torsionsschwingungsdämpfers mit
Dämpfergummi und Tilgermasse, Gleitring.
Bild
25:
Schnittmodell
Torsionsschwingungsdämpfer,
3D-Modell
Torsions-
schwingungsdämpfer
Mit dem 3D-Modell (Bild 25) wurden die Massenträgheitsmomente und Einzelmassen der
Komponenten des TSD berechnet. Die Ergebnisse der Messung und der Berechnung sind
in Tabelle 8 dargestellt. Die gute Übereinstimmung von Messung und Simulation ist
offensichtlich.
Nr.: AE/03/2007
- 36 -
Tabelle 8: Eigenschaften des Torsionsschwingungsdämpfers
MTM kgm2
Masse kg
Bauteil
berechnet
gemessen
berechnet
gemessen
0,0035
-
0,0005
-
Nabe
1,39
Dämpfergummi, Tilger
0,10
Tilgermasse
1,95
0,0120
-
Nabe Riementrieb
0,16
0,0002
-
Dämpfergummi, Riementrieb
0,10
0,0003
-
Riemenscheibe
0,72
0,0045
-
Gleitring
0,21
0,19
0,0016
-
Summe
4,63
4,99
0,0266
0,0258
3,65
1,15
Die Nabe des Torsionsschwingungsdämpfers und die Nabe der Riemenscheibe sind im
Betrieb fest mit dem freien Ende der Kurbelwelle verbunden. Nur aus Fertigungsgründen
mussten diese als Einzelteile hergestellt werden. Deshalb sind die beiden Naben für die
Berechnungen als ein Bauteil zu betrachten.
Die Torsionsfedersteifigkeit cT des Dämpfergummis wurde mit Hilfe der Methode der finiten
Elemente (FEM) berechnet. Es wurde die Gummispur des 3D-Modells des TSD mit
Tetraederelementen vernetzt und virtuell tordiert. Die Vektoren der relativen Verschiebung
der Flächen der Gummispur sind in Bild 26 dargestellt. Mit dem virtuellen Drehmoment
von 100 Nm und dem Betrag des relativen Verschiebungsvektors von max. 0,7 mm wird
die Torsionsfedersteifigkeit der Gummispur zu cT = 11500 Nm/rad berechnet. Dieser Wert
findet sich in den entwickelten Bildwellen wieder.
Nr.: AE/03/2007
- 37 -
Bild 26: Virtuell tordierte Gummispur des TSD
5.3 Zweimassenschwungrad
Die Masse des herkömmlichen Schwungrades wird in zwei Massen aufgeteilt und zu
einem Teil dem Motor und zum anderen Teil dem Getriebe zugeordnet. Die
Massenträgheitsmomente von Primär- zu Sekundärseite verhalten sich 1,1 zu 1. Die
Primärmasse ist fest mit der Kurbelwelle verbunden. Die Sekundärmasse ist mit Hilfe
eines Rillenkugellagers drehbar auf der Nabe der Primärseite angebracht. Die Kopplung
der beiden Massen wird mit Hilfe von radial angeordneten Schraubenfedern realisiert
(cT=300 Nm/rad). Diese liegen bogenförmig zwischen Primär- und Sekundärseite des ZMS
und reiben an den Begrenzungsflächen. Das ZMS verhält sich hinsichtlich seiner
Schwingungseigenschaften stark nichtlinear. In [10] wird die Entwicklung eines linearen
Modells mit jeweils individuellen Gültigkeitsbereichen dargestellt. Den Algorithmus für die
Generierung einer solchen Modellstruktur zur Approximation nichtlinearer Modelle durch
mehrere lineare Teilmodelle bezeichnet man in der Literatur häufig als LoLiMoTAlgorithmus (Local Linear Model Tree). Die Anzahl der linearen Einzelmodelle hängt dabei
im Wesentlichen von der Komplexität des ZMS sowie der zu gewährleistenden geforderten
Approximationsgüte ab. Bei ZMS-Modellen für Mittelklasse-Fahrzeuge wurden in [10] mit
zwölf Einzelmodellen gute Ergebnisse erzielt.
Nr.: AE/03/2007
- 38 -
Bild 27: schematischer Aufbau des ZMS [10]
Die
Eigenfrequenz
des
Zweimassenschwungrades
liegt
unter
der
kleinsten
Anregungsfrequenz (Drehfrequenz bei Leerlaufdrehzahl) des Verbrennungsmotors.
Lediglich beim Anlassen und Abstellen kommt es zu Resonanzdurchläufen. Um die
Amplituden zu begrenzen, ist ein zusätzlicher Reibdämpfer zwischen Primär- und
Sekundärmasse installiert. Im Motorbetrieb ist dieser Reibdämpfer außer Funktion und die
Drehungleichförmigkeiten werden durch die zyklische Energieaufnahme bzw. –abgabe der
Federn
vom
Getriebe
isoliert.
Die
Gegenüberstellung
von
herkömmlichem
Einmassenschwungrad und Zweimassenschwungrad ist in Bild 28 dargestellt.
Nr.: AE/03/2007
- 39 -
Bild 28: Systemskizze konventionelle Kupplung/Zweimassenschwungrad [21]
Die relativen Verdrehwinkelamplituden von Primär- und Sekundärmasse des ZMS hängen
von der Drehzahl und dem zu übertragenden Drehmoment ab. In Bild 29 ist der Verlauf
des relativen Verdrehwinkels über der Zeit bei Leerlaufdrehzahl n = 800 U/min dargestellt.
Die aus dem Bild 29 abgelesene Amplitude beträgt 2°.
Nr.: AE/03/2007
Bild
29:
Drehzahländerung
und
relativer
Verdrehwinkel
zwischen
- 40 -
Primär-
und
Sekundärseite des ZMS aus [10]
In Bild 30 ist der gemessene Verlauf des Verdrehwinkels zwischen Primär- und
Sekundärseite des ZMS bei einer konstanten Belastung von 30 Nm dargestellt. Die
Amplituden des relativen Verdrehwinkels des ZMS nehmen zu großen Frequenzen ab,
Gleichlauf beider Massen kann über den gesamten Betriebsdrehzahlbereich nicht
beobachtet werden. Die Verdrehwinkelamplitude bei 800 U/min beträgt 3°, dies korreliert
mit den Ergebnissen aus [10], siehe Bild 29. Die Symmetrie der Verdrehwinkelamplituden
zur Abszisse ist der Messeinstellung geschuldet, der Verdrehwinkel infolge der Wirkung
des statischen Momentes wurde mit Hilfe eines Hochpassfilters ausgeblendet. Der
qualitative Verlauf des relativen Verdrehwinkels bei Volllast ist in Bild 31 dargestellt. Die
„Ausreißer“ der Verdrehwinkelamplituden bei kleinen Drehzahlen entstehen infolge der
unsicheren Erfassung der Drehzahl an der Sekundärseite des ZMS.
Nr.: AE/03/2007
- 41 -
Grad
5
30Nm_800-4000_PSR_SSR_01
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
1000
1500
2000
2500
3000
3500
1/min
Bild 30: Verlauf der gemessenen relativen Verdrehwinkel zwischen Primär- und
Sekundärseite des ZMS mit 30 Nm Belastung über der Drehzahl
Grad
5
VL_800-4000_PSR_SSR_01
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
1000
1500
2000
2500
3000
3500
1/min
Bild 31: Verlauf der gemessenen relativen Verdrehwinkel zwischen Primär- und
Sekundärseite des ZMS bei max. Drehmoment über der Drehzahl
Nr.: AE/03/2007
- 42 -
5.4 Torsionseigenfrequenzen und Eigenschwingungen
Die
Eigenschwingung
(Mode)
ist
ein
charakteristisches
Verformungsbild
des
Schwingungssystems. Jede Mode wird durch die Modal-Parameter Eigenfrequenz,
Dämpfungsgrad und Eigenschwingungsform bestimmt. Ein Schwingungssystem liegt
dabei stets im Original vor. Für dieses können die kennzeichnenden Größen mit Hilfe von
Messungen bestimmt werden. Im Gegensatz dazu können Berechnungen nur an
Ersatzsystemen durchgeführt werden. Daher muss bei unterschiedlichen Ergebnissen,
ordnungsgemäße Messung und Rechnung vorausgesetzt, der Fehler auf der Modell- bzw.
Rechenseite liegen. Für das Ersatzsystem ergeben sich genau so viele Moden, wie
Freiheitsgrade (Variablen) vergeben werden. Es folgt, dass ein reales System unendlich
viele Freiheitsgrade und somit unendlich viele Moden besitzt. Für das Ersatzsystem sind
deshalb die Freiheitsgrade „mit Verstand“ zu vergeben. Werden die Messstellen am realen
Objekt im Modell abgebildet, so ist es möglich, mit Hilfe der gemessenen und der
berechneten Werte auf die inneren, nicht zugänglichen Abschnitte des Messobjektes zu
schließen.
Zur Berechnung der Eigenfrequenzen sind unterschiedliche Verfahren bekannt.
Stellvertretend für diese werden die Torsionseigenfrequenzen mit Hilfe der GümbelHolzer-Tolle-Methode und der Matrizenmethode berechnet. Für alle Methoden ist es
unabdingbar, die mechanischen Eigenschaften der Kurbelwelle zu kennen. Bei der
Untersuchung von Torsionssystemen sind diese hinsichtlich der Einspannbedingungen zu
unterscheiden.
Gefesselte
Torsionssysteme
liegen
dann
vor,
wenn
die
Bewegung
des
Schwingungssystems an mindestens einem Ende vorgegeben ist, d. h. eine beliebige freie
Starrkörperdrehung des Systems ohne elastische Verformung unmöglich ist. Dies ist dann
gegeben, wenn ein Ende entweder fest eingespannt oder mit einer so großen Drehmasse
verbunden ist, dass die Rückwirkung der Torsionsschwingung auf die Bewegung der
Drehmasse vernachlässigt werden kann.
Nr.: AE/03/2007
- 43 -
Mathematisch
entspricht
einem
gefesselten
Schwingungssystem
eine
reguläre
Steifigkeitsmatrix.
det C ≠ 0, C regulär
Freie bzw. ungefesselte Systeme sind dadurch charakterisiert, dass jede beliebige
Starrkörperdrehung eine Lösung der Bewegungsgleichung darstellt. Die Enden des
Torsionsschwingungssystems können sich frei bewegen. Kennzeichnend für ungefesselte
Systeme ist eine singuläre Steifigkeitsmatrix.
det C = 0, C singulär
Die Starrkörperdrehung wird im Prüfstandsbetrieb nicht behindert, das Gesamtsystem
Motor-Prüfstand ist ungefesselt.
5.4.1 Gümbel-Holzer-Tolle-Methode
Zur Abschätzung der kleinsten Eigenkreisfrequenz ωu wird der Neubersche Grenzwert
gebildet. Dazu werden die einzelnen Wellenabschnitte gedanklich nacheinander versteift
und jeweils nur ein Zweimassensystem untersucht. Die nachstehende Skizze (Bild 32)
verdeutlicht dies.
Nr.: AE/03/2007
- 44 -
c
ω 1 :=
1
J
c
+
1
2
c
ω 2 :=
+
J + J
2
c
3
4
+
2
3
3
4
6
5
4
5
2
3
5
J + J
6
4
5
rad
ω 3 = 4536
rad
ω 4 = 4036
rad
ω 5 = 3706
rad
ω 6 = 3474
rad
7
c
6
J + J + J + J + J + J
1
7
c
3
ω 2 = 5386
4
6
+
rad
7
J + J + J
5
c
ω 6 :=
+
ω 1 = 4256
7
3
5
J + J + J + J + J
2
6
c
2
7
2
5
4
4
c
1
6
J + J + J + J
J + J + J + J
1
5
c
3
c
ω 5 :=
4
J + J + J + J + J
J + J + J
1
ω 4 :=
3
c
2
1
ω 3 :=
1
J + J + J + J + J + J
+
6
J
6
7
s
s
s
s
s
s
Bild 32: Bildwelle, versteifte Wellenabschnitte
Nr.: AE/03/2007
- 45 -
Mit den oben dargestellten Ergebnissen wird nach Neuber [2]
ϖu =
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2
2
ϖ 1 ϖ 2 ϖ3 ϖ4 ϖ5 ϖ6
(Gl. 35)
,
die untere Eigenkreisfrequenz des Systems zu ωu = 1678 rad/s berechnet. Die berechnete
Eigenkreisfrequenz ist stets kleiner als die erste Eigenkreisfrequenz ω1 des Systems. Mit
Hilfe
der
Gümbel-Holzer-Tolle-Methode
können
die
Eigenkreisfrequenzen
und
Eigenschwingformen des Systems ermittelt werden. Für den Lösungsansatz gilt: Am Ende
des Systems greift ein harmonisches Erregermoment Mk mit der Kreisfrequenz Ω an.
Dieses verursacht an der Angriffsstelle eine Winkelamplitude mit dem Betrag α1 = 1.
Wenn die Winkelamplitude α für die erste Drehmasse bekannt ist, so können die
folgenden Winkelamplituden αi mit Hilfe der folgenden Gleichungen nacheinander
berechnet werden.
α1 = 1
α 2 = α1 −
α 1 ⋅ J1
⋅ Ω2
c T1
α3 = α2 −
α 1 ⋅ J1 + α 2 ⋅ J2
⋅ Ω2
c T2
α 4 = α3 −
α 1 ⋅ J1 + α 2 ⋅ J2 + α 3 ⋅ J3
⋅ Ω2
c T3
α5 = α4 −
α 1 ⋅ J1 + α 2 ⋅ J2 + α 3 ⋅ J3 + α 4 ⋅ J 4
⋅ Ω2
c T4
α6 = α5 −
α 1 ⋅ J1 + α 2 ⋅ J2 + α 3 ⋅ J3 + α 4 ⋅ J 4 + α 5 ⋅ J5
⋅ Ω2
c T5
α7 = α6 −
α 1 ⋅ J1 + α 2 ⋅ J2 + α 3 ⋅ J3 + α 4 ⋅ J 4 + α 5 ⋅ J5 + α 6 ⋅ J6
⋅ Ω2
c T6
(Gl. 36)
Für die Schwingungsamplituden verschwindet das Erregermoment Mk wenn die gewählte
Kreisfrequenz Ω mit einer Eigenkreisfrequenz ω des Systems zusammenfällt. Es wird das
Resterregermoment
R
über
der
Kreisfrequenz
Ω
aufgetragen
und
die
Eigenkreisfrequenzen des Systems können abgelesen werden (schwarze Punkte in
Bild 33).
Nr.: AE/03/2007
- 46 -
R = α 1 ⋅ J1 ⋅ Ω 2 + α 2 ⋅ J 2 ⋅ Ω 2 + α 3 ⋅ J3 ⋅ Ω 2 + α 4 ⋅ J 4 ⋅ Ω 2 + α 5 ⋅ J5 ⋅ Ω 2
+ α 6 ⋅ J 6 ⋅ Ω 2 + α 7 ⋅ J7 ⋅ Ω 2
(Gl. 37)
Bild 33: Verlauf des Resterregermomentes R gemäß Ausgangsbildwelle
Es wird deutlich, dass die kleinste Eigenfrequenz eines Systems ω0 = 0 ist, denn ohne
äußere Kraft bleibt das System in Ruhe oder bewegt sich gleichförmig. Mit dieser Aussage
lässt sich der Anstieg der Drehwinkelamplituden zu kleinen Drehzahlen als Resonanz bei
Eigenfrequenz ω0 = 0 interpretieren (z. B. Ordnungsverläufe in Bild 52). Die
charakteristische Eigenfrequenz eines Systems ist die erste von Null abweichende, in
diesem Fall ω1 = 1946 rad/s. Werden die Schwingungsamplituden für die gefundenen
Eigenfrequenzen berechnet, so sind die Eigenschwingformen für das System darstellbar
(siehe Bild 34). Die Eigenkreisfrequenzen sind:
ω0 = 0 rad/s, ω1 = 1946 rad/s, ω2 = 4453 rad/s, ω3 = 7038 rad/s, ω4 = 10160 rad/s,
ω5 = 12771 rad/s, ω6 = 14458 rad/s.
Nr.: AE/03/2007
- 47 -
Bild 34: Eigenschwingformen für die Ausgangsbildwelle
5.4.2 Matrizen-Methode
Zum gleichen Ergebnis gelangt man, wenn man anstatt der Gümbel-Holzer-Tolle-Methode
auf die Matrizen-Methode zurückgreift. Dieser ist wegen der heutigen Möglichkeiten der
Rechentechnik der Vorrang zu geben. Mit dem in Bild 3 dargestellten Einfachschwinger
wird für ungedämpfte Torsionsschwingerketten ein Differentialgleichungssystem in
folgender Form aufgestellt:
&& + C ⋅ ϕ = 0 .
M⋅ ϕ
(Gl. 38)
&& , die Steifigkeitsmatrix
Dieses beinhaltet die Massenmatrix M, die Winkelbeschleunigung ϕ
C und den Schwingwinkel ϕ. Für die i-te Einzeldrehmasse ergibt sich nach dem
Freischneiden gemäß nachfolgendem Bild 35 die Bewegungsgleichung zu:
Nr.: AE/03/2007
- 48 -
Mi−1,i = c i−1,i ⋅ (ϕ i−1 − ϕi )
Mi,i+1 = c i,i+1 ⋅ (ϕ i − ϕ i+1 )
.
(Gl. 39)
&& i = c i−1,i ⋅ (ϕi−1 − ϕ i ) − c i,i+1 ⋅ (ϕi − ϕi+1 )
Ji ⋅ ϕ
ϕi-1
ϕi
ci-1,i
c1,2
Ji-1
J1
ϕi+1
ci,i+1
Ji
Mi-1,i
cn-1,n
Ji+1
Jn
Mi,i+1
Ji
Bild 35: Torsionsschwingerkette mit freigeschnittener i-ten Drehmasse
Das vollständige Differentialgleichungssystem ergibt sich nach Umformung von obiger
Gleichung zu:
&& i − c i−1,i ⋅ ϕ i−1 + (c i−1,i + c i,i+1 ) ⋅ ϕ i − c i,i+1 ⋅ ϕ i+1 = 0 .
Ji ⋅ ϕ
(Gl. 40)
Mit dem komplexen Lösungsansatz:
ϕ
i
= ϕˆ
i
⋅e
jω t
(Gl. 41)
wird obige Gleichung in das folgende homogene, lineare Gleichungssystem überführt.
⎡c 1,2 − J1ϖ 2
⎢
⎢ − c 1,2
⎢
0
⎢
⋅
⎢
⎢
0
⎣
c 1,2
− c 1,2
+ c 2,3 − J2 ϖ 2
− c 2,3
⋅
0
c 1,2
0
− c 2,3
+ c 2,3 − J2 ϖ 2
⋅
0
0
0
− c 3,4
⋅
− c n−1,n
c n−1,n
⎤ ⎧ ϕˆ 1 ⎫
0
⎥ ⎪ ⎪
0
⎥ ⎪ϕˆ 2 ⎪
⎥ ⋅ ⎪⎨ϕˆ 3 ⎪⎬ = 0
0
⎥ ⎪ ⎪
⋅
⎥ ⎪ ⋅ ⎪
− Jn ϖ 2 ⎥⎦ ⎪⎩ϕˆ n ⎪⎭
(Gl. 42)
Mit dem dargestellten Gleichungssystem wird ein typisches Eigenwertproblem definiert,
unbekannt
sind
die
ϕi
der
Drehmassen
und
die
Eigenkreisfrequenzen ωi. Da das homogene Gleichungssystem keine rechte Seite besitzt,
ist das Verschwinden der Determinante der Systemmatrix eine notwendige Bedingung für
die Existenz einer Lösung. Zur Ermittlung der Eigenkreisfrequenzen sieht die Gleichung
wie folgt aus [7]:
Nr.: AE/03/2007
- 49 -
c 1,2 − J1ϖ 2
− c 1,2
DET =
0
⋅
0
c 1,2
− c 1,2
+ c 2,3 − J2 ϖ 2
− c 2,3
⋅
0
c 1,2
0
− c 2,3
+ c 2,3 − J2 ϖ 2
⋅
0
0
0
− c 3,4
⋅
− c n−1,n
c n−1,n
0
0
=0.
0
⋅
− Jn ϖ 2
(Gl. 43)
Für die Ausgangsbildwelle ist die Matrix folgend und in Anlage 6 dargestellt. Die Lösungen
der Determinantengleichung wurden mit Hilfe von „MathCAD“ numerisch ermittelt.
⎛ c − J ⋅ω 2
⎞
0
0
0
−c
0
0
⎜ 1 1
1
⎜
⎟
2
⎜ −c
⎟
0
−c
0
0
c + c − J ⋅ω
0
1
1
2
2
2
⎜
⎟
⎜
2
⎟
−c
−c
0
0
c + c − J ⋅ω
0
0
⎜
2
2
3
3
3
⎟
⎜
⎟
2
M ( ω ) := ⎜
−c
−c
0
c + c − J ⋅ω
0
0
0
⎟
3
3
4
4
4
⎜
⎟
2
⎜
⎟
−c
−c
0
c + c − J ⋅ω
0
0
0
4
4
5
5
5
⎜
⎟
⎜
⎟
2
−c
−c
0
c + c − J ⋅ω
0
0
0
⎜
⎟
5
5
6
6
6
⎜
⎟
2
⎜
−c
0
c − J ⋅ω
0
0
0
0
6
6
7
⎝
⎠
(Gl. 44)
Mit der Normierung der 1. Schwingungsamplitude ϕ1 = 1 erhält die obige Matrix eine
rechte Seite und die relativen Schwingwinkel sind gemäß folgender Gleichung zu
ermitteln.
0
0
0
0
−c
⎛
1
⎜
⎜
2
0
0
0
−c
⎜ c1 + c2 − J2⋅ ω
2
⎜
2
0
0
c + c − J ⋅ω
⎜
−c
−c
2
2
3
3
3
⎜
2
⎜
0
0
c + c − J ⋅ω
−c
−c
3
3
4
4
4
⎜
⎜
2
0
0
c + c − J ⋅ω
−c
−c
⎜
4
4
5
5
5
⎜
2
⎜
0
0
0
c + c − J ⋅ω
−c
5
5
6
6
⎝
0
⎞
⎟
2⎞
⎛
⎟ ⎛⎜ φ2 ⎞ ⎜ −c1 + J1⋅ ω
⎟ ⎜ φ3 ⎟ ⎜
⎟
c
0 ⎟
⎜
⎟
1
⎟ ⋅ ⎜⎜ φ4 ⎟⎟ := ⎜
⎟
0
⎟
0 ⎟ ⎜ φ5 ⎟ ⎜
0
⎟⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎜ φ6
⎜
⎟
0
0 ⎟ ⎝ φ7 ⎠ ⎜
0
⎝
⎠
⎟
0
−c
6⎠
(Gl. 45)
Die Ergebnisse der Berechnungen sind mit denen der Gümbel-Holzer-Tolle-Methode
identisch und werden deshalb an dieser Stelle nicht ausgeführt, sie sind in Anlage 6
dargestellt.
Nr.: AE/03/2007
- 50 -
An
der
Ausgangsbildwelle
wurden
in
Bezug
auf
Detailtreue
gegenüber
dem
Prüfstandsaufbau Unzulänglichkeiten festgestellt. So ist am Prüfstand ein ZMS verbaut
und der TSD ist am freien Ende der Kurbelwelle angebracht. Die Nabe des TSD ist mit der
Tilgermasse des TSD mit einer Gummispur verbunden. Diese Parameter flossen in
folgenden Ansatz ein.
⎛ JT ⎞ ⎛⎜ 0.012⋅ kg ⋅ m2 ⎞⎟
⎟
⎜
2⎟
⋅ ⋅m
⎜ J N ⎟ ⎜⎜ 0.0037kg
⎟
⎟
⎜
2
⋅ ⋅m ⎟
⎜ J1 ⎟ ⎜⎜ 0.0107kg
⎟
⎜ J ⎟ ⎜
2
⋅ ⋅m ⎟
⎜ 2 ⎟ ⎜ 0.0107kg
⎟
⎜ J ⎟ := ⎜
2
⎟
3
⋅
0.0107kg
⋅
m
⎟ ⎜
⎜
⎟
⎜ J4 ⎟ ⎜ 0.0107kg
2
⋅ ⋅m ⎟
⎟
⎜
⎟
2
⎜ J5 ⎟ ⎜⎜ 0.0107kg
⋅ ⋅m ⎟
⎟
⎜
⎜ JPSR ⎟ ⎜⎜ 0.11⋅ kg ⋅ m2 ⎟⎟
⎜J ⎟ ⎜
⎟
JSSR ⎝ SSR ⎠ ⎝ 0.095⋅ kg⋅ m2 ⎠
cT/N cN/1 c1/2 c2/3 c3/4 c4/5c5/PSR cPSR/SSR
JT JN J1 J2 J3 J4 J5 JPSR
⎛ 11500⋅ N⋅ m ⎞
⎜
rad ⎟
⎜
⎟
N⋅ m ⎟
⎜
⋅
208000
c
⎛⎜ TN ⎞⎟ ⎜
rad ⎟
⎟ ⎜
⎜ c
N
⋅m ⎟
⎟
⎜ N1 ⎟ ⎜ 605000⋅
rad
⎟
⎜ c12 ⎟ ⎜
⎟ ⎜ 605000⋅ N⋅ m ⎟
⎜
⎜ c23 ⎟ ⎜
rad ⎟
⎟ := ⎜
⎟
⎜
⎜ c34 ⎟ ⎜ 605000⋅ N⋅ m ⎟
rad ⎟
⎟ ⎜
⎜ c
⎜ 45 ⎟ ⎜
N⋅ m ⎟
⎟ ⎜ 605000⋅ rad ⎟
⎜ c
⎟
⎜ 5PSR ⎟ ⎜
⎜ cPSRSSR ⎟ ⎜ 605000⋅ N⋅ m ⎟
⎠ ⎜
⎝
rad ⎟
⎜
⎟
N⋅ m
⎜ 270⋅
⎟
rad ⎠
⎝
Bild 36: Bildwelle, um TSD und ZMS erweitertes Modell
Mit Hilfe der Matrizenmethode wurden die Eigenkreisfrequenzen ermittelt. Diese stellen
nur ein Zwischenergebnis dar und werden deshalb an dieser Stelle nicht aufgeführt, sehr
wohl können diese in Anlage 7 betrachtet werden.
Letztendlich wurde die Torsionsschwingerkette um die Glieder Elastikwelle und
Wirbelstrombremse erweitert. Mit diesen entsteht ein Modell mit elf Freiheitsgraden
(Bild 37).
Nr.: AE/03/2007
- 51 -
cSSR/Ela
cT/N cN/1 c1/2 c2/3 c3/4 c4/5c5/PSR cPSR/SSR
cEla/Bremse
2
⎛ JT ⎞ ⎛⎜ 0.012⋅ kg ⋅ m ⎞⎟
⎟ ⎜
⎜
2⎟
⎜ J N ⎟ ⎜ 0.0037kg
⋅ ⋅m ⎟
⎟ ⎜
⎜
2⎟
⎜ J1 ⎟ ⎜ 0.0107kg
⋅ ⋅m
⎟
⎟ ⎜
⎜
2
⋅ ⋅m ⎟
⎜ J2 ⎟ ⎜ 0.0107kg
⎟
⎜ J ⎟ ⎜
2⎟
⋅
0.0107kg
⋅
m
3
⎟
⎜
⎟
⎜ J ⎟ := ⎜⎜
2
4
⋅ ⋅m ⎟
⎟ ⎜ 0.0107kg
⎜
⎟
⎜ J5 ⎟ ⎜ 0.0107kg
2
⋅ ⋅m ⎟
⎟ ⎜
⎜
⎜ JPSR ⎟ ⎜ 0.11⋅ kg ⋅ m2 ⎟⎟
⎟
⎜
⎜ JSSR ⎟ ⎜⎜ 0.095⋅ kg ⋅ m2 ⎟⎟
⎟
⎜ J
2⎟
⎜ Ela ⎟ ⎜⎜ 0.0955kg
⋅ ⋅m ⎟
⎟ ⎜
⎜J
⎝ Bremse ⎠ ⎝ 0.237⋅ kg ⋅ m2 ⎟⎠
JT JN J1 J2 J3 J4 J5 JPSR JSSR JEla JBremse
⎛ 11500⋅ N⋅ m ⎞
⎜
rad ⎟
⎟
⎜
⎜ 208000⋅ N⋅ m ⎟
rad ⎟
⎛ cTN ⎞ ⎜
⎟ ⎜
⎜
N⋅ m ⎟
⎜ c N1 ⎟ ⎜ 605000⋅ rad ⎟
⎟
⎟ ⎜
⎜
⎜ c12 ⎟ ⎜ 605000⋅ N⋅ m ⎟
⎟ ⎜
⎜ c
rad ⎟
23
⎟
⎟ ⎜
⎜
N⋅ m
⎟
⎟ ⎜ 605000⋅
⎜ c
34
rad ⎟
⎟ := ⎜
⎜
⎜ c45 ⎟ ⎜
N⋅ m ⎟
⎟ ⎜ 605000⋅ rad ⎟
⎜
⎟
⎜ c5PSR ⎟ ⎜
⎟ ⎜ 605000⋅ N⋅ m ⎟
⎜
rad ⎟
⎜ cPSRSSR ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎜ c
N⋅ m ⎟
⎟
⎜ SSREla ⎟ ⎜ 270⋅
rad
⎟
⎟ ⎜
⎜c
⎝ ElaBremse ⎠ ⎜
N⋅ m ⎟
2800⋅
⎜
rad ⎟
⎟
⎜
⎜ 2800⋅ N⋅ m ⎟
rad ⎠
⎝
Bild 37: Bildwelle, um TSD, ZMS, Elastikwelle und Bremse erweitertes Modell
Dieses Modell kann nicht mehr mit „MathCAD“ berechnet werden, es wurde auf das
Programm
„Mathematica“
zurückgegriffen.
Die
aufgestellte
Matrix
ist
mit
den
Eingabeparametern und errechneten Eigenkreisfrequenzen Anlage 8 zu entnehmen. Die
Eigenkreisfrequenzen lauten:
ω0 = 0 rad/s, ω1 = 44 rad/s, ω2 = 139 rad/s, ω3 = 280 rad/s, ω4 = 955 rad/s, ω5 = 2478 rad/s,
ω6 = 5896 rad/s, ω7 = 8319 rad/s, ω8 = 10445 rad/s ω9 = 12830 rad/s, ω10 = 14468 rad/s.
Die
dazu
gehörenden
Haupteigenschwingform
Eigenschwingformen
der
Kurbelwelle
stellt
sind
nachfolgend
dabei
die
dargestellt.
Die
Eigenschwingform
bei
ω5 = 2478 rad/s dar.
Nr.: AE/03/2007
- 52 -
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Bild 38: Eigenschwingformen der Bildwelle mit ZMS, TSD und Belastungseinheit
Wegen der Nichtlinearitäten des ZMS und des TSD und der nicht validierten MTM und
Torsionssteifigkeiten der Kurbelwelle sind die Ergebnisse der Berechnungen nicht als
„absolut gültige“ Werte anzusehen. Vielmehr muss mit Hilfe der Messung das Modell
angepasst werden. Die Zahl der Freiheitsgrade weiter zu erhöhen, ist infolge der
Nr.: AE/03/2007
- 53 -
Leistungsfähigkeit der Rechentechnik kein Problem. Das Kennen der mechanischen
Größen des Systems stellt die Herausforderung dar. Mit Hilfe der Rechentechnik können
die mechanischen Kenngrößen aus den Konstruktionsdaten gewonnnen werden. Es
wurde versucht, die Torsionssteifigkeit einer Kurbelkröpfung (Bild 39) mit Hilfe eines FEMModells in Catia V5 zu ermitteln. Die Differenzen aus den Ergebnissen der Rechnung und
den Daten aus Anlage 1 konnten infolge des nicht genau bekannten Aufbaus der KW nicht
bewertet werden. Zukünftig muss der Weg der FEM-Modellierung zur Ermittlung der
Torsionssteifigkeiten und Massenträgheitsmomente der KW beschritten werden.
Bild 39: Modellierte Kurbelkröpfung in Anlehnung an die Ausgangsdaten gemäß Anlage 1
5.5 Resonanzschaubilder der unterschiedlichen Bildwellen
Für die entwickelten Bildwellen wurden die Resonanzschaubilder erarbeitet. Dabei stellen
die waagerechten Linien (rot) die Eigenkreisfrequenzen und das Strahlenbüschel (blau)
die Ordnungen über der Drehzahl dar. An Schnittpunkten der Linien kommt es im
Betriebsdrehzahlbereich zu Resonanz. Je nach Intensität der Anregung führen diese zu
detektierbaren Resonanzüberhöhungen, mit denen die modale Dämpfung des Systems
ermittelt werden kann. Mit Hilfe dieser Resonanzschaubilder können die kritischen
Drehzahlen auf der Abszisse abgelesen werden. In den folgenden Bildern sind diese
dargestellt.
Nr.: AE/03/2007
- 54 -
30.
14000
27,5.
12000
25.
22,5.
10000
ω [rad/s]
20.
17,5.
8000
15.
6000
12,5.
10.
4000
7,5.
5.
2000
2,5.
2.
1.
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
n [U/min]
Bild 40: Resonanzschaubild der Ausgangsbildwelle
30.
14000
27,5.
12000
25.
22,5.
10000
ω [rad/s]
20.
17,5.
8000
15.
6000
12,5.
10.
4000
7,5.
5.
2000
2,5.
2.
1.
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
n [U/min]
Bild 41: Resonanzschaubild der Bildwelle mit ZMS und TSD
Mit Einsatz des TSD wird die Eigenkreisfrequenz ω = 1946 rad/s der Ausgangsbildwelle in
eine größere (ω = 2431 rad/s) und eine kleinere Eigenkreisfrequenz (ω = 939 rad/s)
aufgespaltet (Bild 41).
Nr.: AE/03/2007
- 55 -
30.
14000
27,5.
12000
25.
Untersuchungsbereich
22,5.
10000
ω [rad/s]
20.
17,5.
8000
15.
6000
12,5.
10.
4000
7,5.
5.
2000
2,5.
2.
1.
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
n [U/min]
Bild 42: Resonanzschaubild der Bildwelle mit ZMS, TSD und Belastungseinrichtung
Bild 42 zeigt die Verschiebung der Eigenkreisfrequenzen nach ω = 956 rad/s und
ω = 2478 rad/s. Letztendlich sollten diese im gemessenen Resonanzschaubild gefunden
werden. Es ist zu erkennen, dass eine Resonanzfrequenz von der 2,5. Ordnung bei ca.
3600 U/min erregt wird. Hingegen erreicht die 5. Ordnung im Betriebsbereich die
Eigenkreisfrequenz ω = 2478 rad/s nicht. Für die Untersuchung der KW wurde der
Drehzahlbereich des Motors von nmin = 800 U/min bis nmax = 4000 U/min vom
Verantwortlichen der WHZ freigegeben.
5.6 Ermittlung von Dämpfungskennwerten
Die
Dämpfung
des
Gesamtsystems
Torsionsschwingungsdämpfer,
Kurbelwelle,
Zweimassenschwungrad, Elastikwelle und Belastungseinheit wird mit Hilfe des Verfahrens
der
Halbwertsbreite
ermittelt.
Dafür
werden
die
Dämpfungskennwerte
im
Resonanzzustand aus den Graphen der einzelnen Ordnungen ermittelt. Es werden die im
gemessenen Resonanzschaubild ermittelten Verdrehwinkelamplituden der Ordnungen am
Bildschirm ausgewertet. Die Größe der Verdrehwinkelamplitude ϕmax bei der zugehörigen
Drehzahl wird in eine MS-Excel-Datei eingetragen, es wird der Wert
1
2
⋅ ϕmax
ausgewiesen, am Bildschirm werden die zugehörigen Winkelgeschwindigkeiten ΩA und ΩB
Nr.: AE/03/2007
- 56 -
Prüfstandsaufbau
gemäß Bild 43 mit Hilfe des PAK-Cursors ermittelt und ebenfalls in die MS-Excel-Datei
eingefügt.
Die
im
MS-Excel
mit
Hilfe
der
folgenden
Gleichung
errechneten
Dämpfungsgrade sind modale Größen und in Anlage 9 dargestellt.
D=
ΩB − Ω A
2⋅ϖ
(Gl. 46)
ΩA
[rad/s]
untere Schranke Winkelgeschwindigkeit
ΩB
[rad/s]
obere Schranke Winkelgeschwindigkeit
Bild 43: Kenngrößen zur Ermittlung des Dämpfungsgrades mit dem Verfahren der
Halbwertsbreite [7]
6 Prüfstandsaufbau
Der zu untersuchende Motor wurde auf dem Motorenprüfstand der WHZ aufgebaut. Im
Vorfeld der Untersuchungen wurde der Steuertrieb des Audi-Fünfzylindermotors überholt,
dabei wurde der Torsionsschwingungsdämpfer demontiert und mit einem Dreifadenpendel
das Massenträgheitsmoment bestimmt. Die Belastungseinrichtung des Prüfstandes
(siehe Bild 44) wird mit Hilfe einer Elastikwelle mit dem Motor verbunden.
Nr.: AE/03/2007
Prüfstandsaufbau
- 57 -
Bild 44: Motorenprüfstand, aufgebaut mit Motor und Belastungseinrichtung
Für den Betriebsbereich des Motors muss sichergestellt sein, dass sich die Elastikwelle
nicht im Resonanzzustand befindet. Dieser kann sonst zur Zerstörung der Elastikwelle
infolge unzulässig großer Drehwinkelamplituden führen. Gemäß der Aufgabenstellung
wurden die Eingangsseite und die Ausgangsseite der Elastikwelle mit jeweils einer
Messstelle zur Drehschwingungsmessung versehen (siehe Bild 45).
Bild 45: Messstellen Elastikwelle GKN 228.40
Die Medien Wasser und Kraftstoff werden von der Konditioniereinrichtung des Prüfstandes
bereitgestellt und zusätzlich u. a. Öldruck, Öl- und Lufttemperatur mit dem Rechner am
Bedienpult überwacht. Am Bedienpult erfolgt die manuelle Steuerung der BelastungsTheoretische und experimentelle Analyse des Torsionsschwingungssystems
Nr.: AE/03/2007
- 58 -
Prüfstandsaufbau
einrichtung. Die konstruktive Ausführung der Belastungseinrichtung ermöglicht keinen
Schleppbetrieb des Motors. Für Drehschwingungsmessungen wäre dieses jedoch
wünschenswert. Mit der angeschlossenen Wirbelstrombremse wird die Drehbewegung
des Motors mit einem regelbaren elektromagnetischen Feld beeinflusst. Die entstehende
Wärme wird mit Hilfe einer Wasserkühlung abgeführt. Eine Umwandlung von elektrischer
Energie in mechanische Energie ist nicht möglich. Die Wirbelstrombremsen sind heute aus
modernen Motorenprüfständen völlig verdrängt und mit regelbaren Motor-GeneratorBelastungseinheiten besetzt.
Mit einem am Fahrpedalpotenziometer angeordneten Scheibenwischermotor wird über
einen Seilzug die Fahrpedalstellung nachgebildet. Ungeeignet ist die konstruktive
Ausführung, da sich je nach relativer Winkelstellung zwischen Scheibenwischerarm und
Fahrpedalausleger die Übersetzung ändert. Mit den genannten Unwegsamkeiten sind
keine definierten Rampenhochläufe mit diesem Prüfstand möglich. Mit der Routine und
dem Geschick des Prüfstandsbedieners konnten dennoch Rampenhochläufe manuell
dargestellt und mit dem PAK-Messsystem aufgezeichnet werden.
Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit ϖ wurden Zahnscheiben für die jeweilige
Messstelle konstruiert und am Prüfstand adaptiert (Anlage 2: Zeichnungen). An der
Primärmasse der Schwungscheibe wurde auf den Zahnkranz des Anlassers als
Impulsgeber und für das freie Ende der Kurbelwelle auf einen inkrementalen
Drehwinkelgeber zurückgegriffen.
Tabelle 9: Messstellen Motor
Messstelle
Abkürzung im
Messsystem
Zähnezahl
Bemerkung/ Zeichnungsnummer
60
Zahnscheibe 05_1140_ADS_201-0001(4)
60-2
TSD
freies Ende Kurbelwelle
EImp
1
inkrementaler Geber
freies Ende Kurbelwelle
frEKW
360
inkrementaler Geber
Primärmasse Schwungrad
PSR
135
Zahnkranz Anlasser
60
60-2
60
60-2
Sekundärmasse Schwungrad/
Eingang Elastikwelle
Ausgang Elastikwelle
SSR
AEla
Nr.: AE/03/2007
- 59 -
Versuchsdurchführung
Mit diesen äquidistanten Drehwinkelgebern und den applizierten Induktionssensoren ist es
möglich, die Zeitdifferenz von Zahn zu Zahn zu messen. Daraus kann mit Hilfe der
folgenden Gleichung die Drehzahl berechnet werden.
n=
1U
⋅
z
∑ ∆t
i =1
60 s
1min
(Gl. 47)
Zi
Z
[-]
Zähnezahl
∆tZi
[s]
Zeitdifferenz zwischen zwei Sensorimpulsen
Aufgrund des Messprinzips der Induktionssensoren sind Drehzahlen n > 500 U/min
erfassbar. Kleinere Drehzahlen können wegen dem kleinen Verhältnis von Nutzsignal zu
Störsignal nicht erfasst werden. Es wurden zur Auswertung der Zeitdifferenzen von Zahn
zu Zahn die Nulldurchgänge der Sensorspannung herangezogen. Die Amplitude der
Sensorspannung wurde nicht ausgewertet.
Bild 46: Prinzipdarstellung Induktionssensor, kleine Drehzahl (violett) und große Drehzahl
(grün) [19]
7 Versuchsdurchführung
Die Drehschwingungsmessung beruht auf der digitalen Messung eines sich einstellenden
relativen Verdrehwinkels einer Schwingkette unter Rotation. Digitale Messung bedeutet
hierbei die Aufzeichnung diskreter und äquidistanter Winkelintervalle bzw. unter Rotation
die Aufzeichnung des Zeitabstandes von zwei aufeinanderfolgenden Impulsen bei festem
Winkelintervall. Für jede Ebene (z.B. An- und Abtriebsseite der Kupplung) entstehen
Impulsfolgen mit Zeitabständen in Relation zur Winkeländerung. Eine gleichförmige
Nr.: AE/03/2007
- 60 -
Drehbewegung erzeugt eine Impulsfolge mit zeitlich konstanten Abständen. Ist der
gleichförmigen Drehbewegung jedoch eine periodische Winkeländerung überlagert, stellt
sich eine ungleichförmige Drehbewegung ein und damit eine Impulsfolge mit ungleichen
Zeitabständen (Bild 47).
tZi
tZi=tZi+1
tZi
tZi=tZi+2
tZi=tZi+1 tZi=tZi+2
tZi=tZi+3
Bild 47: Abtastung äquidistanter Winkelintervalle bei gleichförmiger und ungleichförmiger
Drehbewegung
Es lässt sich mit Hilfe der folgenden Formel die momentane Winkelgeschwindigkeit
berechnen.
ω=
∆σ Z
∆σ Z
∆t Zi
(Gl. 48)
[rad] äquidistantes Winkelintervall der Zahnscheiben
Der max. auftretende Fehler hängt dabei maßgeblich von der Winkelgenauigkeit der
äquidistanten Drehwinkelgeber, der Anzahl der Zähne, dem Radius der Zahnscheiben und
der Zählfrequenz ab. Für die hergestellten Zahnscheiben wurde die max. Form- bzw.
Lageabweichung der Zähne mit 0,1 mm vom Zulieferer angegeben. Im ungünstigsten Fall
(ein Zahn 0,1 mm schmaler und der nächste Zahn 0,1 mm breiter) ergibt sich eine
Winkelabweichung von σF = 0,00166 rad (Bild 48). Mit dieser und der kritischsten
Annahme max. Betriebsdrehzahl nmax = 4000 U/min (entspricht nmax = 67 U/s) kann der
maximale Fehler abgeschätzt werden. Die Periodendauer T einer Kurbelwellenumdrehung
Nr.: AE/03/2007
- 61 -
beträgt (bei n = 67 U/s) T = 0,015 s. Es wird das Zeitintervall zwischen zwei Impulsen
gemäß der folgenden Gleichung bestimmt.
∆t Zi =
T
z
(Gl. 49)
∆tzi = 0,00025 s
Mit Hilfe der folgenden einfachen Verhältnisgleichung kann der absolute Fehler der
Winkelgeschwindigkeit berechnet werden.
tF =
(σ z + σ F ) ⋅ ∆t Zi
σz
∆t F = t F − ∆t Zi
(Gl. 50)
∆t F = 0,000004s
tF
[s]
theoretische Periodendauer für einen Zahnabstand mit max. Fehler
∆tF
[s]
absolute zeitliche Abweichung von theoretischer Periodendauer für einen
Zahnabstand
∆ω = ±2 ⋅ π ⋅ n −
σF
∆t F
(Gl. 51)
rad
∆ϖ = ±3,9
s
σF
[rad] mit max. Fehler behaftetes Winkelintervall
∆ω
[rad/s] absolute Abweichung der Winkelgeschwindigkeit
Die Ungenauigkeiten infolge des Digitalisierungsfehlers können wegen der großen
Zählfrequenz
von
50
MHz
vernachlässigt
werden.
Der
absolute
Fehler
der
Winkelgeschwindigkeit beträgt ± 3,9 rad/s und der prozentuale Fehler beträgt ±1%. Der
Fehler vergrößert sich mit steigender Ordnung, dies erschließt sich, denn die
Periodendauer wird kleiner. Bei n = 67 U/min beträgt ∆tz = 0,00025 s, für die 20. Ordnung
gilt:
∆t Z
.
20
= 0,0000125 s
∆t Z20. =
∆t Z20.
∆tZ20. [s]
(Gl. 52)
theoretische Periodendauer für einen Zahnabstand, 20. Ordnung der
Drehzahl
Nr.: AE/03/2007
- 62 -
Der absolute Wert ∆tF = 0,000004 s bleibt infolge der unveränderten Zahngeometrie
gleich. Doch der prozentuale Fehler für die 20. Ordnung beträgt somit ±30%! Die Anzahl
der Zähne bestimmt die darstellbare Ordnungsauflösung und beeinflusst die Güte der
Messergebnisse. Für die Messstellen am Prüfstand wurden 60 Zähne gewählt, damit ist
die Drehzahl der KW bis zur 23. Ordnung beschreibbar. Eine Vergrößerung der Zähnezahl
steigert die Ordnungsauflösung aber die Güte der Messwerte sinkt. Mit Verringerung der
Zähnezahl steigt die Güte der Messwerte doch die Ordnungsauflösung sinkt. Die gewählte
Zähnezahl stellt einen guten Kompromiss von Ordnungsauflösung und Güte der
Messwerte dar. Diese Betrachtungen zeigen die Möglichkeiten und Grenzen der
Messdatenerfassung mit Zahnscheiben. Die Herstellung der Zahnscheiben mit Hilfe der
Laserschneidtechnik bleibt das genaueste und dabei finanzierbare Verfahren.
Bild 48: Maximale Winkelabweichung der Zahnscheibe TSD
Um der Vielzahl der Messungen gemäß der Aufgabenstellung gerecht zu werden, wurde
das Messprogramm gemäß Tabelle 10 erstellt. Die Abkürzungen der Messpunkte haben
die Bedeutung gemäß Tabelle 9 und lassen sich in den PAK-Messdateien als Dateiname
wiederfinden. Zur Abschätzung der Qualität der Messungen wurde jeder Versuch
wiederholt. Während der Wiederholungsmessung wurde der erste Versuch der OnlineAnzeige hinterlegt. Bei deckungsgleichen Graphen wurde die zweite Messung nicht
gespeichert und die erste Messung zur Analyse herangezogen.
Nr.: AE/03/2007
- 63 -
Tabelle 10: Messprogramm
Messprogramm
Nulllastbeschleunigung 800U/min-4000U/min
Volllastbeschleunigung 800U/min-4000U/min
Messung 1
EImp
TSD
Messung 6
EImp
TSD
Messung 2
EImp
frEKW
Messung 7
EImp
frEKW
Messung 3
EImp
PSR
Messung 8
EImp
PSR
Messung 4
EImp
SSR
Messung 9
EImp
SSR
Messung 5
EImp
AEla
Messung 10
EImp
AEla
Das PAK MKII wurde im Motorenprüfstand aufgestellt und mit einem Netzwerkkabel mit
dem PAK-Rechner am Bedienpult verbunden. Am PAK MKII wurden die Kanäle 13
(Zylinderdruck), 15 und 16 (Drehzahleingänge) verwendet. Die Kanäle 15 und 16 sind
Tachokanäle, welche mit 50 MHz abgetastet werden.
Die gesamten digitalen Messdaten der Drehschwingungsvorgänge werden rationell
während eines Rampenhochlaufes über den Betriebsdrehzahlbereich gewonnen.
Theoretisch wäre dazu eine unendlich große Zeitspanne vonnöten. Praktisch gelten die
folgenden Zusammenhänge.
Die Wahl der geeigneten Anzahl von diskreten Stützstellen (digitale Messwerte, sog.
Samples) setzt Erfahrung voraus. Notwendige Bedingung für das Gelingen der Messung
ist
das
Einhalten
des
Abtasttheorems.
Das
Abtasttheorem
besagt,
dass
ein
kontinuierliches, bandbegrenztes Signal mit einer Minimalfrequenz von 0 Hz und einer
Maximalfrequenz fmax, mit einer Frequenz größer als 2⋅fmax abgetastet werden muss, damit
man
aus
dem
so
erhaltenen
zeitdiskreten
Signal
das
Ursprungssignal
ohne
Informationsverlust (aber mit unendlich großem Aufwand) rekonstruieren bzw. (mit
endlichem
Aufwand)
beliebig
genau
approximieren
kann.
Eventuell
enthaltene
Signalanteile mit einer Frequenz größer der halben Abtastfrequenz müssen vor der
Abtastung mit einem (analogen) Tiefpass-Filter aus dem Signal entfernt werden, da es
sonst zu Artefakten kommt. Die Entfernung dieser Anteile führt zu einer Veränderung des
Signals und sollte nur angewendet werden, wenn diese Änderung unwesentlich ist oder
eine Erhöhung der Abtastfrequenz nicht in Frage kommt. Die Artefakte sind Alias-Signale
(Störsignale, Pseudosignale), die sich als störende Frequenzanteile bemerkbar machen.
Wird zum Beispiel ein Sinussignal, das eine Frequenz von 1600 Hz hat, mit einer
Nr.: AE/03/2007
- 64 -
Abtastfrequenz von 2000 Hz digitalisiert, erhält man ein 400 Hz Alias-Signal (2000 Hz bis
1600 Hz). Bei einer Abtastfrequenz über 3200 Hz entsteht dagegen kein Alias-Signal. Eine
Abtastfrequenz von zum Beispiel 3300 Hz führt zu einem Differenzsignal von 1700 Hz
(3300 Hz bis 1600 Hz). Dieses ist jedoch größer als die halbe Abtastrate und wird
demnach bei der Rekonstruktion durch einen Tiefpass entfernt. In der Praxis gibt es
(prinzipiell aus Gründen der Kausalität) keinen idealen Tiefpass. Er hat immer einen
gewissen Übergangsbereich zwischen praktisch keiner Dämpfung im Durchlassbereich
und praktisch vollständiger Dämpfung im Sperrbereich. Daher verwendet man in der
Praxis größere Faktoren des Abtasttheorems. Der verwendete Faktor ist abhängig vom
verwendeten Tiefpassfilter und von der benötigten Dämpfung der Alias-Signale.
Gebräuchliche Faktoren sind 2,4 (DAT, DVD) und 2,56 (FFT-Analysatoren). Wenn man
eine höhere Abtastfrequenz wählt, erhält man keine zusätzlichen Informationen. Der
Aufwand für Verarbeitung, Speicherung und Übertragung steigt jedoch. Trotzdem wird
Überabtastung (oversampling) häufig angewendet [24].
Für die Drehschwingungsmessungen am Prüfstand sind aus der Erfahrung des Verfassers
keine größeren Frequenzen als fmax ≤ 4 kHz interessant, daraus folgt, dass die Abtastrate
fAbtast = 10,24 kHz betragen sollte. In der Praxis wird bei sensiblen Messungen dennoch
überabgetastet, da so auch eventuelle Nachauswertungen von Zeitrohdaten mit größerer
Abtastfrequenz möglich sind. Für die Messung ist im Allg. die Drehzahlspanne für die
Untersuchung der Drehschwingungsvorgänge (Betriebsdrehzahlbereich) vorgegeben. Mit
dieser Drehzahlspanne und der zu parametrierenden Drehzahlschrittweite ∆n wird die Zeit
für einen idealen Rampenhochlauf vorgegeben. Gemäß den Einstellwerten in Bild 49
ergibt sich folgende Anzahl der Messstufen mMess:
m Mess =
n max − n min
.
∆n
(Gl. 53)
mMess [-]
Anzahl der Messstufen
∆n
Drehzahlschrittweite
[U/min]
m Mess =
4000 U / min− 800 U / min
10 U / min
m Mess = 320
Nr.: AE/03/2007
- 65 -
Bild 49: Messeinstellung PAK-Messsystem
Die einzuhaltende Dauer für die Erfassung der Messstufen ist von der geforderten
Frequenz- bzw. Ordnungsauflösung abhängig. Die eingestellte Abtastrate hat keinen
Einfluss auf die einzuhaltende Dauer des Rampenhochlaufes, sie bestimmt lediglich die
auswertbare Maximalfrequenz fmax und den Speicherbedarf der Messdatendatei. Dies ist
erklärbar, weil im gleichen Maß wie die Abtastung auch die Blockgröße steigt. Bei zu
kleiner Messdauer für eine Messstufe wird diese nicht bzw. nicht richtig ermittelt, im Allg.
wird die Amplitude des Messkanals falsch dargestellt. Die darstellbare Zeit- bzw.
Drehzahlauflösung wird kleiner.
Mit den errechneten Messstufen mMess und der eingestellten Frequenzauflösung ∆f = 2 Hz
gemäß Bild 50 wird die Zeit tMess für einen Drehzahlhochlauf wie folgt berechnet:
t Mess = m Mess ⋅
1
.
∆f
(Gl. 54)
Für das Beispiel beträgt die Zeit tMess = 160 s. Zur Erfassung aller Messstufen muss der
Drehzahlhochlauf linear erfolgen. Die eingestellte Schrittweite ∆n ist die für die
Datenauswertung max. darstellbare Drehzahlauflösung. Die gewählte Frequenzauflösung
∆f stellt die für die Datenauswertung max. darstellbare Frequenzauflösung dar. Die
Entschärfung des Konfliktes Messdauer zu darstellbarer Genauigkeit obliegt dem
Messdurchführenden.
Nr.: AE/03/2007
- 66 -
Gemäß der Aufgabenstellung sollte ein Drehzahlrunterlauf von 4000 U/min bis zum
Stillstand (ohne Kraftstoffeinspritzung) des Fünfzylinder-Dieselmotors untersucht werden.
Die Dauer eines solchen Drehzahlrunterlaufes beträgt tMess ≈ 25 s. Aus den obigen
Gleichungen ist damit eine Frequenzauflösung von ∆f = 160 Hz darstellbar. Deshalb
wurden diese Messungen nicht durchgeführt.
Für die Ermittlung von Ordnungsspektren ist die zur richtigen Erfassung der Messstufen
einzuhaltende
Messdauer
nicht
konstant.
Wegen
der
konstanten
Blockdauer
(Umdrehungen) ist für kleine Drehzahlen eine größere Messdauer als für große
Drehzahlen notwendig. Üblicherweise wird dennoch ein linearer Drehzahlhochlauf an der
Prüfstandssteuerung eingestellt. Die Messdauer wird gemäß folgender Gleichung
errechnet:
t Mess = m Mess ⋅
n min
∆Ord [-]
60 s
.
U
⋅ ∆Ord
min
(Gl. 55)
Ordnungsauflösung
Für das Beispiel beträgt die Zeit tMess = 240 s. Die maximal auswertbare Ordnung ist
genauso groß wie die Zähnezahl Z der Zahnscheibe geteilt durch 2,56.
Kann die erforderliche Messzeit bzw. der lineare Drehzahlhochlauf nicht gewährleistet
werden, so kann mit Hilfe der Überlappung versucht werden, die Qualität der Messung zu
verbessern. Die Messstufen werden dabei nicht nacheinander ermittelt, sondern die
Messstufen werden zeitlich ineinander verschachtelt aufgezeichnet und analysiert. Die
Spektren dürfen nicht gemittelt werden!
Nr.: AE/03/2007
- 67 -
Bild 50: Karteikarte FFT-Parameter PAK-Messsystem
Bild 51: Karteikarte Ordnungs-Parameter PAK-Messsystem
Versuche, die relative Lage der Zahnscheiben zueinander mit Hilfe einer definierten
Fehlstelle zu ermitteln, schlugen fehl. Prinzipiell sollten aus dem „fehlerhaften“ Signal mit
Hilfe der PAK-Funktion „Pulseditor“ die Zahnlücke geschlossen und ein neuer Kanal mit
einem Einzelimpuls generiert werden (siehe Anlage 2).
Nr.: AE/03/2007
- 68 -
Die Messungen sollten mit Hilfe der PAK-Funktion „Zusammenfassung von Messungen“
zusammengesetzt werden. So wären alle Drehwinkel der Messpunkte in einer Messdatei
winkelrichtig vorhanden. Diese prinzipielle Vorgehensweise konnte trotz mannigfaltiger
Versuche nicht dargestellt werden. Da kein Triggersignal zur OT-Markierung vorhanden
war, mussten mit Hilfe der jeweils gemessenen Zylinderdruckmaxima die Graphen der
Winkelgeschwindigkeit justiert werden. Die Graphen der unterschiedlichen Messungen
wurden solange auf der Abszisse verschoben, bis die gemessenen Zylinderdruckverläufe
zeitgleich ihr Maximum erreichten.
Wegen der kleinen Eigenfrequenz der Elastikwelle und den damit verbundenen Problemen
bei der Erfassung von kleinen Drehzahlen wurden die Messungen ersatzweise an einem
Vierzylinder-Dieselmotor vorgenommen. An diesem wurde das Messsystem „Mehrkadreh“
mit Zahnscheiben und Gabellichtschranken appliziert.
Die Auswertung der Messungen und die grafische Darstellung erfolgten mit der PAKGrafik-Definition. Die Gesamtheit der erzeugten Diagramme in dieser Arbeit darzustellen,
gelingt beim besten Willen nicht, da weit über eintausend dieser Diagramme entstanden
sind. Die ausgewählten Diagramme wurden als Grafiken exportiert und in die Arbeit
eingepflegt.
7.1 Messung Tilgermasse TSD
Die Messergebnisse des Drehzahlhochlaufes für den Drehzahlbereich von n = 800 U/min
bis n = 4000 U/min für NL und VL sind in den folgenden Bildern dargestellt. Dabei stellt
das jeweilige obere Diagramm die Graphen der betrachteten Ordnungen über der
Drehzahl dar. Aus diesen wurde mit Hilfe des Verfahrens der Halbwertsbreite der modale
Dämpfungsgrad
ermittelt.
Das
untere
Diagramm
zeigt
das
gemessene
Resonanzschaubild. Daraus können die Resonanzfrequenzen an der linken Ordinate
abgelesen werden. Zur besseren Verständlichkeit ist in Bild 52 die prinzipielle
Vorgehensweise angegeben. Die relevanten Punkte zur Ermittlung des modalen
Dämpfungsgrades und die Eigenfrequenzen sind dargestellt. Außerdem wird der Einfluss
eines Fehlers (n ≈ 3600 U/min) bei der Drehzahlerfassung sichtbar.
Nr.: AE/03/2007
- 69 -
0.20
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
5.50
6.00
6.50
7.00
7.50
8.00
8.50
10.00
15.00
Grad
0.15
0.10
Ma_NL_800-4000_TSD
0.05
0.00
1000
1500
2000
2500
500
3000
10
35001/min 4000
7.5
0.10
Hz
0.09
Grad
0.08
400
5 0.07
0.06
300
0.05
200
0.04
2.5
0.03
100
0.02
0.01
0.00
0
1000
1500
2000
2500
3000
35001/min 4000
Bild 52: Verlauf der Ordnungen des Verdrehwinkels über der Drehzahl (oben) und
Resonanzschaubild (unten), TSD, NL
Es werden die Eigenfrequenzen 261 Hz, 310 Hz und 400 Hz aus dem Resonanzschaubild
abgelesen.
Nr.: AE/03/2007
- 70 -
0.20
2.50
4.50
5.00
5.50
6.00
6.50
7.00
7.50
8.00
8.50
10.00
15.00
Grad
0.15
0.10
Ma_VL_800-4000_frEKW_TSD
0.05
0.00
1000
1500
2000
2500
500
3000
10
35001/min 4000
7.5
0.10
Hz
0.09
Grad
0.08
400
5 0.07
0.06
300
0.05
200
0.04
2.5
0.03
100
0.02
0.01
0.00
0
1000
1500
2000
2500
3000
35001/min 4000
Resonanzschaubild (unten), TSD, VL
In dem Resonanzschaubild Bild 53 können die Resonanzfrequenzen 265 Hz, 310 Hz und
401
Hz
abgelesen
werden.
Die
berechneten
und
die
Dämpfungsgrade sind detailliert in Anlage 9 aufgeführt und die Ergebnisse folgend in
Tabelle 11 dargestellt.
Nr.: AE/03/2007
- 71 -
Tabelle 11: Ermittelte Dämpfungsgrade D bei unterschiedlichen Eigenkreisfrequenzen ω,
Messstelle TSD
ω [rad/s]
D [-]
ω [rad/s]
D [-]
NL
1642
0,083
2523
0,010
VL
1663
0,072
2528
0,014
Mittelwert
1653
0,078
2526
0,012
Lastzustand
Der Zusammenhang zwischen Eigenkreisfrequenz, Drehzahl und Ordnung wird gemäß
der folgenden Gleichung hergestellt:
ϖm =
ngem
2 ⋅ π ⋅ n gem ⋅ x
60
[U/min]
.
(Gl. 56)
im gemessenen Resonanzschaubild ermittelte Resonanzdrehzahl
7.2 Messung freies Ende KW
Die Messungen am freien Ende der Kurbelwelle wurden analog Abschnitt 7.1
durchgeführt. An der Nabe des TSD wurde ein inkrementaler Drehwinkelgeber der Fa.
COM appliziert. Die Messergebnisse sind in Bild 55 (NL) und Bild 56 (VL) dargestellt.
Bild 54: Drehwinkelgeber am freien Ende der Kurbelwelle
Nr.: AE/03/2007
- 72 -
0.20
2.50
4.00
4.50
5.00
5.50
6.00
6.50
7.00
7.50
8.00
8.50
10.00
15.00
Grad
0.15
0.10
Ma_NL_800-4000_frEKW_overlap
0.05
0.00
1000
1500
2000
2500
500
3000
10
35001/min 4000
7.5
0.10
Hz
0.09
Grad
0.08
400
5 0.07
0.06
300
0.05
200
0.04
2.5
0.03
100
0.02
0.01
0.00
0
1000
1500
2000
2500
3000
35001/min 4000
Resonanzschaubild (unten), frEKW, NL
Nr.: AE/03/2007
- 73 -
0.20
2.50
4.50
5.00
5.50
6.00
6.50
7.00
7.50
8.00
8.50
10.00
15.00
Grad
0.15
0.10
Ma_VL_800-4000_frEKW_TSD
0.05
0.00
1000
1500
2000
2500
500
3000
10
35001/min 4000
7.5
0.10
Hz
0.09
Grad
0.08
400
5 0.07
0.06
300
0.05
200
0.04
2.5
0.03
100
0.02
0.01
0.00
0
1000
1500
2000
2500
3000
35001/min 4000
Resonanzschaubild (unten), frEKW, VL
Nr.: AE/03/2007
- 74 -
Messstelle frEKW
ω [rad/s]
D [-]
ω [rad/s]
D [-]
ω [rad/s]
D [-]
NL
1642
0,071
-
-
2523
0,010
VL
1666
0,071
1924
0,022
-
-
Mittelwert
1654
0,071
1924
0,022
2523
0,010
Lastzustand
In Bild 55 zeigt der Graph der 5. Ordnung die Aufspaltung der Eigenkreisfrequenz der
Kurbelwelle in eine kleinere ω = 1653 rad/s und eine größere ω = 2526 rad/s. Die von der
5.
Ordnung
angeregte
Eigenkreisfrequenz
ω
=
1924
rad/s
wird
infolge
des
Vorhandenseins des TSD deutlich verkleinert.
7.3 Messung Primärmasse Schwungrad
An der Primärmasse des Schwungrades wurden die Zähne des Anlasserzahnkranzes als
äquidistante Drehwinkelgeber genutzt. Die Ergebnisse der Messungen sind in Bild 57 und
Bild 58 sowie die ermittelten Eigenkreisfrequenzen und Dämpfungsgrade in Tabelle 13
dargestellt.
Messstelle PSR
ω [rad/s]
D [-]
ω [rad/s]
D [-]
NL
1628
0,076
3221
0,046
Mittelwert
1628
0,076
3221
0,046
Lastzustand
Nr.: AE/03/2007
- 75 -
0.20
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
5.50
6.00
6.50
7.00
7.50
8.00
8.50
10.00
15.00
Grad
0.15
0.10
Ma_NL_800-4000_PSR
0.05
0.00
1000
1500
2000
2500
500
3000
10
35001/min 4000
7.5
0.10
Hz
0.09
Grad
0.08
400
5 0.07
0.06
300
0.05
200
0.04
2.5
0.03
100
0.02
0.01
0.00
0
1000
1500
2000
2500
3000
35001/min 4000
Resonanzschaubild (unten), PSR, NL
Nr.: AE/03/2007
- 76 -
0.20
2.50
4.50
5.00
5.50
6.00
6.50
7.00
7.50
8.00
8.50
10.00
15.00
Grad
0.15
0.10
Ma_VL_800-4000_PSR_SSR
0.05
0.00
1000
1500
2000
2500
500
3000
10
35001/min 4000
7.5
0.10
Hz
0.09
Grad
0.08
400
5 0.07
0.06
300
0.05
200
0.04
2.5
0.03
100
0.02
0.01
0.00
0
1000
1500
2000
2500
3000
35001/min 4000
Resonanzschaubild (unten), PSR, VL
Nr.: AE/03/2007
- 77 -
7.4 Messung Sekundärmasse Schwungrad
Die Messungen an der Sekundärmasse des Schwungrades erbrachten keine gesicherten
Aussagen zu Eigenfrequenz und Dämpfung. Exemplarisch ist das Resonanzschaubild
(NL) in Bild 59 dargestellt. Auf weitere Untersuchungen an der Sekundärmasse der
Schwungscheibe musste aus o.g. Gründen verzichtet werden.
Nr.: AE/03/2007
- 78 -
0.20
Ma_NL_800-4000_SSR
Grad
0.15
0.10
0.05
0.00
1000
1500
2000
2500
500
3000
10
35001/min 4000
7.5
0.10
Hz
0.09
Grad
0.08
400
5 0.07
0.06
300
0.05
200
0.04
2.5
0.03
100
0.02
0.01
0.00
0
1000
1500
2000
2500
3000
35001/min 4000
Resonanzschaubild (unten), SSR, NL
Nr.: AE/03/2007
- 79 -
7.5 Messung Elastikwelle (Vierzylinder-Dieselmotor)
Die Messungen an der Elastikwelle am Fünfzylinder-Dieselmotor verliefen nicht
erfolgreich, die Ergebnisse der Messungen waren nicht interpretierbar. Die Ursache ist in
der ungleichen Lagerung des Motors und der Belastungseinrichtung zu suchen. Der Motor
kann in den elastischen Motorlagern Relativbewegungen zum Fundament ausführen. Die
Belastungseinrichtung ist fest mit dem Fundament verbunden. Die Taumelbewegungen
des Motors (infolge des Vorhandenseins der Massenkraftmomente) beeinflussen das
Messsystem, deshalb konnten die Drehschwingungen am Eingang der Elastikwelle nicht
sicher detektiert werden. Die Drehschwingungsamplituden am Eingang der Elastikwelle
sind außerdem vernachlässigbar, denn als Tiefpassfilter wirken vor allem das ZMS und die
Elastikwelle selbst.
Zeitgleich musste auf einem anderen Motorenprüfstand der WHZ für die Elastikwelle der
Festigkeitsnachweis geführt werden. Dazu dürfen die vom Hersteller angegebenen max.
zulässigen Drehmomente im Betrieb nicht überschritten werden. Bei dem Prüfling handelt
es sich um den Typ 228.30 der Fa. GKN. Die technischen Daten sind auszugsweise in
Tabelle 14 dargestellt.
Tabelle 14: Technische Daten Elastikwelle GKN 228.30
Eigenschaft
Wert
max. zulässiges Drehmoment [Nm]
680 (kurzzeitig 816)
Masse [kg]
13,1
2
MTM der gesamten Welle [kgm ]
0,0354
2
MTM des Schaftes [kgm ]
0,0034
Torsionssteifigkeit der Gesamtwelle [Nm/rad]
900
Dämpfungsgrad [-]
0,065
Die Elastikwelle wird überkritisch betrieben. Im Betriebsdrehzahlbereich sollte die
Resonanzfrequenz
der
Startens/Stillsetzens
Drehmomente
aus
des
Elastikwelle
nicht
Prüfstandes
quasistatischer
angeregt
kommt
es
Belastung
werden.
zu
Nur
während
des
Resonanzdurchläufen.
Die
(Motordrehmoment)
und
Wechseldrehmoment (Drehschwingung) überlagern sich. Mit Hilfe der Messung des
relativen Verdrehwinkels der Elastikwelle lässt sich das Torsionsmoment der Elastikwelle
darstellen. Dazu wurden am prüfstandsfesten Wellenschutz der Elastikwelle zwei
Messstellen angebracht. Mit Hilfe der adaptierten Zahnscheiben und der angebrachten
Nr.: AE/03/2007
- 80 -
Gabellichtschranken konnten die Zeitdifferenzen zwischen den Impulsen mit dem
Messsystem „Mehrkadreh“ aufgezeichnet werden. Das Messsystem „Mehrkadreh“ kann
Drehzahlen ab nmin = 10 U/min aufzeichnen. Die Zählfrequenz beträgt 2,5 MHz, damit
können auch Drehzahlen von nmax = 2500 U/min bis zur 20. Ordnung ausgewertet werden.
Die Gabellichtschranken konnten am Wellenschutz verschoben und so zueinender mit
Hilfe eines Oszilloskopes justiert werden.
Für die Auslegung der Elastikwelle wird von der Fa. GKN die folgende Gleichung
angegeben:
M d ⋅ (K1 + K 2)
1,2
350Nm ⋅ (2,5 + 3,5)
.
=
1,2
= 1750 Nm
Terf =
Terf
Terf
(Gl. 57)
Terf
[Nm] erforderliches Nenndrehmoment der Elastikwelle
Md
[Nm] Motordrehmoment
K1
[-]
Betriebsfaktor der Kraftmaschine 2,5 (Vierzylinder-Dieselmotor)
K2
[-]
Betriebsfaktor der Arbeitsmaschine 3,5 (Motorenprüfsand)
Die Größe des errechneten erforderlichen Nenndrehmomentes der Elastikwelle bereitet
Anlass zur Sorge, denn dieses ist ca. 2,5-mal größer als das Nenndrehmoment der
eingebauten Elastikwelle GKN 228.30. Mit den Drehschwingungsmessungen an der
Elastikwelle sollten die Zweifel zerstreut werden.
Die Eigenkreisfrequenz der Elastikwelle wurde mit Hilfe des Programms „MathCAD“ zu
ω1 = 55 rad/s berechnet. Daraus lässt sich mit folgender Gleichung die Resonanzdrehzahl
berechnen.
n gem =
ϖ m ⋅ 60
2 ⋅ π ⋅ xH
Mit der hauptkritischen Ordnung xH = 2 für Vierzylinder-Viertaktmotoren und der
berechneten Eigenfrequenz der Elastikwelle wird die Drehzahl zu ngem = 260 U/min
berechnet. Mit den Messungen an der Elastikwelle sollte diese nachgewiesen werden.
Nr.: AE/03/2007
- 81 -
Die entstehenden Torsionsmomente infolge der Drehungleichförmigkeit des VierzylinderDieselmotors lassen sich wie folgt berechnen:
⎛
∆σ Z ⋅ ∆t Z1 ⎞
⎟ ⋅ c TEla .
M dW = ⎜⎜ ∆σ Z −
∆t Z 2 ⎟⎠
⎝
(Gl. 58)
MdW
[Nm]
Wechseldrehmoment
cTEla
[Nm/rad]
Torsionssteifigkeit der Elastikwelle
Es wird die Zeit für das Überstreichen eines Winkelintervalls am Motor mit der Zeit des
Überstreichens des korrespondierenden Winkelintervalls an der Bremse im Verhältnis
betrachtet. Es entstehen „Momentaufnahmen“ der Verdrehwinkel, die multipliziert mit der
Verdrehsteifigkeit der Elastikwelle das momentane Wechseldrehmoment darstellen. Zur
Probe
werden
nach
60
Intervallen
(eine
volle
Umdrehung)
die
mittleren
Winkelgeschwindigkeiten am Motor und an der Bremse berechnet, beide sind stets gleich.
Die Vorgehensweise zur Ermittlung der relativen Verdrehwinkel/Wechseldrehmomente ist
somit richtig. Die Größe der statischen Verdrehung infolge des Motordrehmomentes kann
hingegen nicht ausgewertet werden. Dazu sind Einzelimpulse an jeder Zahnscheibe
vonnöten. In Bild 60 ist das Wechseldrehmoment während eines Drehzahlrunterlaufes
dargestellt. Nach ca. zwölf der dargestellten Umdrehungen wird die Kraftstoffzufuhr des
Motors unterbrochen und nach weiteren 25 Umdrehungen ist der Motor zum Stillstand
gekommen. Bei Umdrehung 35 tritt Resonanz auf.
Nr.: AE/03/2007
- 82 -
800
Drehzahl Motor
Drehzahl Bremse
Wechseldrehmoment
700
600
Drehzahl [1/min]
800
500
600
400
300
400
200
Wechseldrehmoment [Nm]
1000
200
100
0
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Umdrehungen [-]
Bild 60: Darstellung der Drehzahl und des Wechseldrehmomentes bei einem
Drehzahlrunterlauf des Vierzylinder-Dieselmotors von n = 1000 U/min bis n = 0 U/min
Die max. Amplitude des Wechseldrehmomentes beträgt 320 Nm bei einer Motordrehzahl
von ca. 270 U/min. Die rechte Ordinate ist bis 800 Nm skaliert, das entspricht dem max.
zulässigen Wechseldrehmoment der Elastikwelle. Das Ergebnis der Messung bestätigt die
Werte der Resonanzdrehzahl-Rechnung und zeigt die Einhaltung des max. zulässigen
Wertes des Drehmomentes der Elastikwelle an.
Bei der max. zulässigen Belastung der Elastikwelle beträgt die relative Verdrehung ca. 50°!
Für die Messung der Drehschwingung bei Volllast wurden unterschiedliche stationäre
Drehzahlen untersucht. Das gemessene Wechseldrehmoment wird dem quasistatischen
Motordrehmoment überlagert. Die Ergebnisse der Messungen sind in Bild 61 dargestellt.
Nr.: AE/03/2007
- 83 -
Drehmoment_800_U/min_100Nm
600
Drehmoment [Nm]
500
400
300
200
100
0
0
60
120
180
240
300
Zähne (60 Zähne entsprechen 1 Umdrehung) [-]
Bild 61: Verlauf der Drehmomente mit überlagerten Wechseldrehmomenten der
Elastikwelle über fünf KW-Umdrehungen bei VL, unterschiedliche Drehzahlen
Auch hier wird die Einhaltung des max. zulässigen Drehmomentes deutlich. Da es sich um
Dauerbelastungen der Elastikwelle handelt, wurde die Ordinate auf den max. zulässigen
Wert des Dauerdrehmomentes von 680 Nm skaliert.
In Bild 62 ist der Startvorgang mit Hilfe des am Motor angebrachten Starters dargestellt.
Auch hier werden die max. zulässigen Werte des Wechseldrehmomentes deutlich
unterschritten.
Nr.: AE/03/2007
- 84 -
1000
150
900
100
700
50
600
500
0
400
-50
Drehzahl [U/min]
Wechseldrehmoment [Nm]
800
300
Wechseldrehmoment_Anlassen_ohne_Kraftstoff
-100
Wechseldrehmoment_Anlassen_warm
200
100
Drehzahl_Motor_Anlassen_warm
-150
0
300
600
900
0
1200
Zähne (60 Zähne entsprechen 1 Umdrehung) [-]
Bild 62: Startvorgang des Vierzylinder-Dieselmotors, Wechseldrehmomente und Drehzahl
des Motors
Der Betrieb der Elastikwelle GKN 228.30 in Verbindung mit dem VierzylinderDieselmotor auf dem untersuchten Motorenprüfstand ist unkritisch.
Nachfolgend ist in Bild 63 der Verlauf der Ordnungen des Verdrehwinkels über der
Drehzahl und das Resonanzschaubild dargestellt. Es wurde an der Belastungseinrichtung
ein konstantes Belastungsmoment von 30 Nm eingestellt. Mit der Resonanz der 0,5.
Ordnung bei ngem = 1177 U/min wird die Eigenkreisfrequenz zu ω1 = 61,5 rad/s berechnet.
Die theoretischen und die mit Hilfe von Messungen gewonnenen Werte stimmen sehr gut
überein.
Nr.: AE/03/2007
- 85 -
0.5
HL_800Umin-2400Umin_30Nm_2
Grad
0.50
1.00
2.00
4.00
6.00
8.00
9.00
10.00
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
1/min
500
0.10
Hz
0.09
Grad
0.08
400
0.07
0.06
300
0.05
0.04
200
0.03
0.02
100
0.01
0
800
0.00
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
1/min
Resonanzschaubild (unten), AEla, 30 Nm Belastung
Mit der Resonanz der 0,5. Ordnung (roter Graph) wurde der Dämpfungsgrad mit Hilfe des
Verfahrens der Halbwertsbreite zu D = 0,09 bestimmt.
Nr.: AE/03/2007
- 86 -
Darstellung und Auswertung der Ergebnisse
8 Darstellung und Auswertung der Ergebnisse
Gemäß der Aufgabenstellung wurden die theoretischen Grundlagen für die Berechnung
der Torsionsschwingungen erarbeitet. Es konnte das Torsionsschwingungssystem
Dieselmotor-Motorenprüfstand als Modell erfasst und dargestellt werden. Mit Hilfe der
Matrizenmethode wurden die Eigenkreisfrequenzen und Eigenschwingformen des
Torsionsschwingungssystems ermittelt. Die Resonanzschaubilder konnten für die
unterschiedlichen
Bildwellen
entwickelt
werden.
Nachfolgend
sind
die
Resonanzschaubilder der Rechnung und der Messung gegenüber gestellt.
30.
14000
27,5.
12000
25.
Untersuchungsbereich
22,5.
10000
ω [rad/s]
20.
17,5.
8000
15.
6000
12,5.
10.
4000
7,5.
5.
2000
2,5.
2.
1.
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
n [U/min]
Bild
64:
berechnetes
Resonanzschaubild
für
das
Torsionsschwingungssystem
Dieselmotor-Motorenprüfstand
Nr.: AE/03/2007
- 87 -
30.
14000
27,5.
12000
25.
22,5.
10000
ω [rad/s]
20.
17,5.
8000
15.
6000
12,5.
10.
4000
7,5.
5,5.
5.
2000
4,5.
2,5.
2.
1.
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
n [U/min]
Bild
65:
aus
Messergebnissen
der
entwickeltes
Resonanzschaubild
Der Vergleich der beiden Resonanzschaubilder zeigt deutliche Unterschiede auf. Diese
ergeben sich infolge der stark nichtlinearen Funktionsgruppen TSD, ZMS und der
Elastikwelle, die nicht in den theoretischen Ansatz einflossen und der nicht validierten
Eingangskennwerte cT und MTM der Bildwelle. Eine weitere Erklärung dafür wäre ein
„gefittetes“ Modell der Ausgangsbildwelle aus Drehschwingungsmessungen. So würden
sich auch die Unterschiede von gemessenen Eigenkreisfrequenzen zu berechneten
erklären, es sollten mit Verfeinerung des Modells bessere und nicht schlechtere
Ergebnisse erzielt werden.
Für die Gegenüberstellung von theoretischen und praktischen Erkenntnissen aus
Grundsatzuntersuchungen sollte besser ein Prüfling ohne TSD und ZMS eingesetzt
werden.
Der
Vierzylinder-Dieselmotor
hat
dieses
Potenzial,
vorausgesetzt
die
mechanischen Kennwerte können ermittelt werden.
Nr.: AE/03/2007
- 88 -
4000
7,5.
3000
ω [rad/s]
5,5.
5.
4,5.
2000
2,5.
1000
2.
1.
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
n [U/min]
Bild 66: Resonanzschaubild, gemessene Eigenkreisfrequenzen (rot) und berechnete
Eigenkreisfrequenzen (grau)
In Bild 66 sind die gemessenen (rote Graphen) und die berechneten (graue Graphen)
Eigenkreisfrequenzen in ein Resonanzschaubild eingezeichnet. Die gestrichelten Graphen
zeigen
eine
sehr
gute
Übereinstimmung.
Doch
entstammt
die
berechnete
Eigenkreisfrequenz einem Modell ohne TSD. Die gemessene Eigenkreisfrequenz ist nur
am frEKW zu detektieren, daraus kann geschlossen werden, dass diese eine
Eigenkreisfrequenz der KW ist. Die Eigenkreisfrequenzen bei ca. 2500 rad/s (gemessene
und berechnete Werte ähnlich), bei ca. 1000 rad/s (berechnet) und bei ca. 1650 rad/s
(gemessen) sind auf das Vorhandensein des TSD zurückzuführen.
Gemäß der Aufgabenstellung wurden die Ersatzerregerkräfte für die Resonanzdrehzahlen
berechnet.
Da
die
berechneten
und
damit
auch
Eigenschwingformen nicht genau mit denen der gemessenen übereinstimmen, werden
auch die berechneten Ersatzerregerkräfte nicht genau den realen Ersatzerregerkräften
gleichen. Die prinzipielle Vorgehensweise ist richtig. Nach Auswertung der Messungen,
Abschnitte 7.1und 7.2, wurden die Drehzahlen n = 2900 U/min und n =3450 U/min als
hauptkritische Resonanzdrehzahlen bestimmt. Es sind die Ersatzerregerkräfte in Bild 67,
Bild 68, Bild 69 und Bild 70 dargestellt.
Nr.: AE/03/2007
- 89 -
0,25
0,20
Dx [MPa]
0,15
0,10
10,0
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
6,5
6,0
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,00
0
0,05
x [-]
Bild 67: Spezifische Ersatzerregerkräfte bei 2900 U/min (VL)
Schwingform 3
0,025
Schwingform 4
Schwingform 5
Schwingform 6
Schwingform 7
Schwingform 8
0,015
.
Dx Rax [MPa]
0,020
0,010
0,005
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0,000
x [-]
.
2900 U/min (VL)
Nr.: AE/03/2007
- 90 -
0,25
0,20
Dx [MPa]
0,15
0,10
10,0
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
6,5
6,0
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,00
0
0,05
x [-]
Bild 69: Spezifische Ersatzerregerkräfte bei 3450 U/min (VL)
Schwingform 3
0,025
Schwingform 4
Schwingform 5
Schwingform 6
Schwingform 7
Schwingform 8
0,015
.
Dx Rax [MPa]
0,020
0,010
0,005
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0,000
x [-]
.
3450 U/min (VL)
Nr.: AE/03/2007
- 91 -
Es wurden einzelne Funktionsgruppen des Torsionsschwingungssystems untersucht.
Dazu wurden die Schwingungsparameter eines TSD real mit Hilfe eines Dreifadenpendels
und im Modell mit Hilfe der FEM untersucht. Es wurden gute Ergebnisse von Berechnung
mit FEM und Messung am Fadenpendel erzielt. Die Funktionsweise und Darstellung des
ZMS als Modell wurde gezeigt. Eine modellierte Kurbelkröpfung wurde mit Hilfe der FEM
auf mechanische Eigenschaften untersucht.
Auf einem Motorenprüfstand der WHZ wurde die Messtechnik PAK MKII der Fa. Müller
BBM zur Drehschwingungsmessung und die Messtechnik zur Zylinderdruckmessung der
Fa. COM an einem Fünfzylinder-Dieselmotor appliziert.
Bild 71: Prüfstand Fünfzylinder-Dieselmotor mit PAK MKII Messsystem
Nachteilig wirkte sich das Anbringen des Sensors der Messstelle SSR am Wellenschutz
der Elastikwelle aus. Im Betrieb kam es zu Relativbewegungen des gesamten Motors zum
Wellenschutz. Die Messstelle SSR muss motorfest appliziert werden. Wegen der
Tiefpassfilter ZMS und Elastikwelle verliert die Messstelle AEla ihre Berechtigung. Die
Auswertung und Visualisierung der Messdaten erfolgte mit dem PAK-Programmsystem.
Dieses lässt eine große Anzahl unterschiedlicher Analysen zu, leider bleibt dabei die
Einfachheit der Bedienung auf der Strecke.
Aus den Drehschwingungsmessungen mit dem PAK-Messsystem konnte die Dämpfung
der KW ermittelt werden. Die ermittelten Dämpfungsgrade sind modale Größen und für
jede Eigenkreisfrequenz unterschiedlich. Die Dämpfungsgrade nehmen zu größeren
Nr.: AE/03/2007
- 92 -
Eigenkreisfrequenzen ab. Eine mögliche Interpretation ist die mit Verringerung der
Amplituden bei größeren Eigenkreisfrequenzen einhergehende kleinere Ölverdrängung in
den Lagerstellen der KW. Der Einfluss der Dämpfung des Gummis bei ω = 1645 rad/s ist
deutlich sichtbar. Der Hersteller der Elastikwellen gibt für diese eine Dämpfungsgrad
D = 0,065 an. Die Richtigkeit der Messung wird damit noch untermauert. Die Ergebnisse
der Ermittlung des Dämpfungsgrades bei ω = 3221 rad/s sind bei weitem nicht so sicher
wie dies bei den anderen Messungen der Fall ist, da nur eine Messung zur Beurteilung
herangezogen werden konnte. Die aus den Messdaten ermittelten Eigenkreisfrequenzen
und Dämpfungsgrade sind in Tabelle 15 dargestellt.
Tabelle 15: Ermittelte Eigenkreisfrequenzen und Dämpfungsgrade
Messtelle
ω [rad/s]
D [-]
ω [rad/s]
D [-]
ω [rad/s]
D [-]
ω [rad/s]
D [-]
TSD
1652
0,079
-
-
2525
0,012
-
-
frEKW
1654
0,071
1924
0,022
2523
0,010
-
-
PSR
1628
0,076
-
-
-
-
3221
0,046
1645
0,075
1924
0,022
2524
0,011
3221
0,046
Mittelwert
Gemäß der Aufgabenstellung zeigt Bild 72 die Verdrehwinkelamplituden an den
Messstellen frEKW, TSD und PSR bei n = 2900 U/min. Die Einteilung der Abszisse von
∆t = 0,04s entspricht ∆α = 720° KW. Der Verlauf des Drehwinkels an der Messstelle PSR
ist deutlich von der 2,5. Ordnung geprägt. Der Verlauf der Verdrehwinkel an den
Messstellen frEKW, TSD und PSR bei n = 3435 U/min wird in Bild 73 dargestellt.
Nr.: AE/03/2007
- 93 -
Grad
Tilgermasse TSD Drehzahl 2900 1/min
freies Ende KW Drehzahl 2900 1/min
PSR Drehzahl 2900 1/min
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.02
Bild
72:
Verlauf
0.03
der
0.04
Verdrehwinkel
0.05
der
Messstellen
0.06s
frEKW,
TSD,
PSR
TSD,
PSR
bei n =2900 U/min (VL)
Grad
Tilgermasse TSD Drehzahl 3435 1/min
freies Ende KW Drehzahl 3435 1/min
PSR Drehzahl 3435 1/min
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.02
Bild
73:
Verlauf
0.03
der
Verdrehwinkel
0.04
der
0.05
Messstellen
frEKW,
s
bei n =3435 U/min (VL)
Nr.: AE/03/2007
- 94 -
Zusammenfassung
9 Zusammenfassung
Das grundlegende Ziel der Arbeit war die Ermittlung der Dämpfung für das
Torsionsschwingungssystem Dieselmotor-Motorenprüfstand. Es wurden die theoretischen
Grundlagen
für
die
Berechnung
und
der
Eigenschwingformen
des
erarbeitet.
Die
Torsionsschwingungssystems
wurden mit Hilfe der Software „MathCAD“ und „mathematica“ berechnet. Der
Detaillierungsgrad der Modelle wurde sukzessive bis zum vollständigen Modell
„Dieselmotor-Motorenprüfstand“ vergrößert.
Für die Ermittlung der Dämpfung des Torsionsschwingungssystems wurde ein
Fünfzylinder-Dieselmotor mit der erforderlichen Messtechnik bestückt. Da vor den
Messungen
der
Steuertrieb
des
Motors
überholt
wurde,
konnte
der
Torsionsschwingungsdämpfer demontiert werden. Das Massenträgheitsmoment des
Torsionsschwingungsdämpfers konnte mit Hilfe eines Dreifadenpendels gemessen
werden.
Für
die
wurden
für
die
Messstellen
Torsionsschwingungsdämpfer, freies Ende Kurbelwelle und Sekundärmasse Schwungrad
Zahnscheiben konstruiert und lasergeschnitten. Die Messwerte wurden während sog.
Drehzahlhochläufe über den Betriebsdrehzahlbereich mit dem Messsystem PAK der Fa.
Müller BBM aufgezeichnet und analysiert.
Die
modalen
Dämpfungsgrade
des
Torsionsschwingungssystems
Dieselmotor-
Motorenprüfstand konnten aus den Ordnungsverläufen der Verdrehwinkel gewonnen
werden.
Die
Drehschwingungsamplituden
am
Eingang
der
Elastikwelle
sind
vernachlässigbar, denn als Tiefpassfilter wirken vor allem das Zweimassenschwungrad
und die Elastikwelle selbst.
Auf einem anderen Motorenprüfstand der Westsächsischen Hochschule Zwickau musste
für die Elastikwelle der Festigkeitsnachweis geführt werden. Bei dem Prüfling handelte es
sich um den Typ 228.30 der Fa. GKN. Es wurden Messstellen an der Elastikwelle mit Hilfe
von Zahnscheiben und Induktionssensoren angebracht und an das Messsystem
„Mehrkadreh“ angeschlossen. Es wurden Messungen bei unterschiedlichen Belastungen
und
Drehzahlen
durchgeführt.
Ebenso
wurden
Messdaten,
die
mit
Hilfe
sog.
Nr.: AE/03/2007
Zusammenfassung
- 95 -
Drehzahlhoch- bzw. Drehzahlrunterläufen gewonnen wurden, ausgewertet. Es wurden
Drehschwingungsmessungen während des Startvorganges untersucht.
Ein wesentliches Ergebnis der Auswertung lautet: Der Betrieb der Elastikwelle GKN
228.30 in Verbindung mit dem Vierzylinder-Dieselmotor auf dem untersuchten
Motorenprüfstand ist unkritisch.
Es wurde eine Versuchsanleitung zur Durchführung eines Praktikums im Rahmen der
Ingenieursausbildung der Westsächsischen Hochschule Zwickau „Drehschwingungsmessung am Fünfzylinder-Dieselmotor“ erstellt.
Für die Gegenüberstellung von theoretischen und praktischen Erkenntnissen aus
Grundsatzuntersuchungen sollte besser ein Prüfling ohne Torsionsschwingungsdämpfer
und Zweimassenschwungrad eingesetzt werden. Mit den hier verwendeten Messtechniken
an den zugänglichen Messstellen einerseits und invasiven Messtechniken andererseits
sollten die Eigenschwingformen der Kurbelwelle gemessen werden können.
Die Bedienung des PAK-Messsystems muss vertieft und die Auswertemöglichkeiten
besser ausgeschöpft werden.
Nr.: AE/03/2007
Literaturverzeichnis
[1]
Produktinformation Fa. Polytec. http://www.polytec.com/ger/_files/
LM_AN_VIB-C-04_2005_11_D.pdf. Stand 09.04.2007
[2]
KÜNTSCHER, V.; HOFFMANN, W. (Hrsg.): Kraftfahrzeugmotoren. Auslegung und
Konstruktion. 4., völlig neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Würzburg:
Vogel-Buchverlag, 2006.
[3]
GROHE, H.: Otto- und Dieselmotoren. 8. Auflage. Würzburg: Vogel-Buchverlag,
1987.
[4]
DRESIG, H; HOLZWEIßIG, F.: Arbeitsbuch Maschinendynamik/ Schwingungslehre.
1. Auflage. Leipzig: VEB Fachbuchverlag, 1983.
[5]
DRESIG,
H;
HOLZWEIßIG,
F.:
Lehrbuch
der
Maschinendynamik.
4.,
neubearbeitete Auflage. Leipzig, Köln: Fachbuchverlag, 1994.
[6]
DRESIG, H; HOLZWEIßIG, F.: Maschinendynamik. Berlin, Heidelberg, New York:
Springer-Verlag, 2005.
[7]
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Wien, New York: Springer-Verlag, 1984.
[8]
HAFNER, K.E.; MAASS, H.:
in
der
Verbrennungs-
kraftmaschine. Die Verbrennungskraftmaschine Neue Folge. Band 4. Wien,
New York: Springer-Verlag, 1985.
[9]
VAN
BASSHUYSEN, R.; SCHÄFER, F. (Hrsg.): Handbuch Verbrennungsmotoren. 3.,
vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. Wiesbaden: Friedr. Vieweg &
Sohn Verlag, 2005.
[10]
Das Zweimassenschwungrad als virtueller Sensor. MTZ 06/2007 S. 486 bis
493.
[11]
SCHIRMER, W. (Hrsg.): Lärmbekämpfung. 1. Auflage. Berlin: Verlag Tribüne,
1989.
[12]
KOHLDORFER, W.: Finite-Elemente-Methoden mit Catia V5. München, Wien: Carl
Hanser Verlag, 2004.
[13]
ZIETHEN, R.:
Catia
V5
–
Konstruktionsmethodik
zur
Modellierung
von
Volumenkörpern. München, Wien: Carl Hanser Verlag, 2004.
Nr.: AE/03/2007
[14]
BRONSTEIN, I.N., SEMENDJAJEW, K. A.: Taschenbuch der Mathematik. 22.
Auflage. Leipzig, Moskau: BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1979.
[15]
PAPULA, L.:
Mathematische
Formelsammlung.
4.
verbesserte
Auflage.
Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn Verlag, 1994.
[16]
FISCHER, K.-F. (Hrsg.): Taschenbuch der technischen Formeln. München, Wien:
Fachbuchverlag Leipzig im Hanser Verlag, 1996.
[17]
VDI-Richtlinie 3830 Blatt 1: Werkstoff- und Bauteildämpfung. Einteilung und
Übersicht. 08/2004.
[18]
VDI-Richtlinie
3830
Blatt
5:
Werkstoff-
und
Bauteildämpfung.
Versuchstechniken zur Ermittlung von Dämpfungskenngrößen. 11/2005.
[19]
DIN 1311 Teil 1: Schwingungen und schwingungsfähige Systeme - Teil 1:
Grundbegriffe, Einteilung, 02/2000.
[20]
THEIN, M.: Sensoren. Intranet www.fh-zwickau.de
[21]
Produktinformation Fa. LuK: LuK Zweimassenschwungrad.
[22]
FISCHER, K.-F.: Technische Mechanik. 1. Auflage. Leipzig, Stuttgart: Deutscher
Verlag für Grundstoffindustrie, 1994.
[23]
mathsoft. MathCAD11-Benutzerhandbuch. http://www.mathsoft.com
[24]
http://de.wikipedia.org/wiki/Nyquist-Shannon-Abtasttheorem, Stand 31.3.2007.
[25]
STAN, C.: Alternative Antriebe. Westsächsische Hochschule Zwickau, private
Vorlesungsmitschriften, J. Trautvetter, 2006.
[26]
FISCHER, K.-F.: Technische Mechanik. Westsächsische Hochschule Zwickau,
private Vorlesungsmitschriften, J. Trautvetter, 2005.
[27]
SEYFERT,
E.:
Untersuchung
schwingungsdämpfers
von
der
einem
Masseeigenschaften
2,5
l-TDI-Motor
und
eines
Dreh-
Schaffung
der
Vorraussetzungen für die Untersuchung der Drehschwingungseigenschaften
der Kurbelwelle. Westsächsische Hochschule Zwickau, Studienarbeit, 2006.
Nr.: AE/03/2007
Anlage 1: Ausgangsdaten 2,5l-Fünfzylinder-Dieselmotor
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Massenträgheitsmomente, Torsionsfedersteifigkeiten Kurbelwelle
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Anlage 2: Zeichnungen
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Anlage 3: Makros, Visual Basic
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Sub ft()
Dim pi As Double
Dim a0 As Double
Dim am As Double
Dim ak As Double
Dim bk As Double
Dim ck As Double
Dim arg As Double
m = 360
pi = 3.14159265358979
a0 = 0
am = 0
ak = 0
bk = 0
ck = 0
For k = 1 To m - 1
For i = 0 To 2 * m - 1
a0 = a0 + Cells(i + 6, 3)
am = am + Cells(i + 6, 3) * Cos(Cells(6 + i, 1) * pi)
ak = ak + Cells(i + 6, 3) * (Cos(k * i * pi / m))
bk = bk + Cells(i + 6, 3) * (Sin(k * i * pi / m))
Next i
a0 = a0 / (2 * m)
am = am / (2 * m)
ak = ak / m
bk = bk / m
ck = Sqr(ak ^ 2 + bk ^ 2)
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Cells(6, 26) = a0
Cells(7, 26) = am
Cells(12 + k, 26) = ak 'Spalte Z
Cells(12 + k, 27) = bk 'Spalte AA
Cells(12 + k, 28) = ck 'Spalte AB
Cells(12 + k, 29) = ak / ck 'Spalte AC
ak = 0
bk = 0
ck = 0
Next k
yges = 0
yges1 = 0
k=0
o=1
For v = 1 To 2 * m - 1
For k = 1 To m - 1
arg = (Cells(12 + k, 26)) / (Cells(12 + k, 28))
arcsin = (Atn(arg / (Sqr(-arg * arg + 1))))
If Cos(arcsin) < 0 Then arcsin = pi - arcsin Else arcsin = arcsin
yges = yges + (Cells(12 + k, 26) * Cos(k * 2 * pi * Cells(6 + v, 1) / 720) + (Cells(12 + k, 27)
* Sin(k * 2 * pi * Cells(6 + v, 1) / 720)))
'yges1 = yges1 + (Cells(12 + k, 28) * (Sin(k * pi * 2 * Cells(6 + v, 1) / 720 + arcsin)))
Do While o < 21
For l = 1 To 2 * m - 1
Cells(5 + l, 3 + o) = (Cells(12 + o, 26) * Cos(o * 2 * pi * Cells(6 + l, 1) / 720) + (Cells(12 + o,
27) * Sin(o * 2 * pi * Cells(6 + l, 1) / 720)))
Next l
o=o+1
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Loop
Next k
ysynth = a0 + yges
Cells(6 + v, 24) = ysynth
yges = 0
'ysynth1 = a0 + yges1
'Cells(6 + v, 25) = ysynth1
yges1 = 0
Next v
End Sub
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Private Sub CommandButton1_Click()'Auswertung
Dim zaehler As Double
Dim datei As String
datei = Application.GetOpenFilename
If datei = "Falsch" Then Exit Sub
shname = Dir$(datei)
'ChDir "F:\masterarbeit\Stavus_26_04_07"
Workbooks.OpenText Filename:=datei _
, Origin:=xlMSDOS, StartRow:=1, DataType:=xlDelimited, TextQualifier:= _
xlDoubleQuote, ConsecutiveDelimiter:=False, Tab:=True, Semicolon:=False, _
Comma:=False, Space:=False, Other:=False, FieldInfo:=Array(1, 2), _
TrailingMinusNumbers:=True
'motor
Range("A2:A4038").Select
Selection.Copy
'Workbooks(datei).Close
Windows("Auswertung_Stavus.xls").Activate
Sheets("Messprogramm").Select
Sheets.Add
Range("a2").Select
Selection.PasteSpecial Paste:=xlPasteValues
'bremse
'Windows(datei).Activate
Range("A2039:A4038").Select
Selection.Copy
'Windows("Auswertung_Stavus.xls").Activate
Range("b2").Select
Selection.PasteSpecial Paste:=xlPasteValues
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Range("a2001:i6000").Clear
ActiveSheet.Name = shname
i=1
k=0
zaehler = 1
zaehler1 = 1
Do While Cells(zaehler + 1, 1) <> Empty 'Or Cells(zaehler + 1, 1) <> Empty
zaehler = zaehler + 1
'If Cells(zaehler, 2) > Cells(zaehler + 1, 2) Then
'k = k + 1
'End If
Loop
'erste reihe motor
For i = 2 To zaehler
Cells(i, 3) = "=HEXINDEZ(RC[-2])"
Next i
Do While Cells(zaehler1 + 1, 1) <> Empty
zaehler1 = zaehler1 + 1
Loop
For i = 2 To zaehler1
If Cells(i + 1, 3) > Cells(i, 3) Then
Cells(i, 4) = Cells(i + 1, 3) - Cells(i, 3)
Else
Cells(i, 4) = Cells(i + 1, 3) - Cells(i, 3) + 65535
End If
Next i
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
'Cells(i, 5) = 1 / (Cells(i, 4) * 0.0000064) 'alte messung kleine drehzahl
Cells(i, 5) = 1 / (Cells(i, 4) * 0.0000004)
Next i
'zweite reihe bremse
For i = 2 To zaehler
Cells(i, 6) = "=HEXINDEZ(RC[-4])"
Next i
If Cells(i + 1, 6) > Cells(i, 6) Then
Cells(i, 7) = Cells(i + 1, 6) - Cells(i, 6)
Else
Cells(i, 7) = Cells(i + 1, 6) - Cells(i, 6) + 65535
End If
Next i
'Cells(i, 8) = 1 / (Cells(i, 7) * 0.0000064) 'messung kleine dz
Cells(i, 8) = 1 / (Cells(i, 7) * 0.0000004)
Next i
'differenz
Cells(i, 9) = Cells(i, 5) - Cells(i, 8)
Next i
Columns("C:I").Select
Selection.NumberFormat = "0"
Selection.HorizontalAlignment = xlCenter
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Sheets(shname).Activate
Range("i2:i2000").Select
Selection.Copy
Sheets("Diff_Drehz_S").Select
ActiveChart.PlotArea.Select
ActiveChart.SeriesCollection.Paste rowcol:=xlColumns
'ActiveChart.SetSourceData Source:=Sheets(shname).Range("i2:i2000"), _
PlotBy:=xlColumns
'ActiveChart.SeriesCollection.Name = shname
End Sub
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Sub aus1mach5()
zaehler = 0
For i = 0 To 719
For k = 1 To 5
zaehler = (6 + i + (k - 1) * 144)
If zaehler > 725 Then zaehler = zaehler - 720 Else zaehler = zaehler
summe = summe + Cells(zaehler, 8)
summe1 = summe1 + Cells(zaehler, 10)
Next k
Cells(6 + i, 23) = summe 'Spalte W
Cells(6 + i, 25) = summe1 'Spalte Y
Cells(6 + i, 27) = summe2 'Spalte AA
Cells(6 + i, 30) = summe3 'Spalte AD
summe = 0
summe1 = 0
summe2 = 0
summe3 = 0
Next i
End Sub
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Anlage
4:
Harmonische
Analyse
des
Verlaufes
der
Gastangentialkraft
bei
unterschiedlichen Drehzahlen und unterschiedlichen Lastzuständen, Darstellung der
spezifischen Ersatzerregerkräfte
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
90000
VL n = 4000 U/min
VL n = 2500 U/min
VL n = 1000 U/min
NL = 2500 U/min
NL = 800 U/min
80000
70000
60000
FGt [N]
50000
40000
30000
20000
10000
0
-10000
0
60
120
180
240
300
360
α [°KW]
420
480
540
600
660
720
Gastangentialkraftverlauf über dem Kurbelwinkel, Variation Lastzustand und Drehzahl
0,25
0,20
Dx [MPa]
0,15
0,10
10,0
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
6,5
6,0
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,00
0
0,05
x [-]
spezifische Ersatzerregerkräfte Dx n = 800 U/min, NL
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
0,25
0,20
Dx [MPa]
0,15
0,10
8,5
8,5
10,0
8,0
8,0
9,5
7,5
7,5
9,5
7,0
7,0
9,0
6,5
6,5
9,0
6,0
6,0
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,00
0
0,05
x [-]
spezifische Ersatzerregerkräfte Dx n = 2500 U/min, NL
0,25
0,20
Dx [MPa]
0,15
0,10
10,0
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,00
0
0,05
x [-]
spezifische Ersatzerregerkräfte Dx n = 1000 U/min, VL
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
0,25
0,20
Dx [MPa]
0,15
0,10
8,5
8,5
10,0
8,0
8,0
9,5
7,5
7,5
9,5
7,0
7,0
9,0
6,5
6,5
9,0
6,0
6,0
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,00
0
0,05
x [-]
0,25
0,20
Dx [MPa]
0,15
0,10
10,0
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,00
0
0,05
x [-]
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
80000
0,5. Ordnung
60000
1. Ordnung
1,5. Ordnung
40000
F [N]
2. Ordnung
2,5. Ordnung
3. Ordnung
20000
5. Ordnung
7,5. Ordnung
0
Synthese
Tangentialkraft,
Ausgangsdaten
-20000
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
α [°KW]
Darstellung der Harmonischen und
80000
Tangentialkraft,
Ausgangsdaten
k=180 Ordnungen
70000
k=10 Ordnungen
60000
FGt [N]
50000
40000
30000
20000
10000
0
-10000
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
α [°KW]
Vergleich des gemessenen Gastangentialkraftverlaufes (rot), der Synthese k = 180
Ordnungen (blau) und der Synthese k = 10 Ordnungen (grün) bei n = 2500 U/min, VL
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
1,5E+07
1. Zyl
2. Zyl
4. Zyl
5. Zyl
3. Zyl
1,3E+07
1,1E+07
PZylinder [Pa]
9,0E+06
7,0E+06
5,0E+06
3,0E+06
1,0E+06
-1,0E+06
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
α [°KW]
Zylinderdruckverläufe für alle fünf Zylinder, aus einem Zylinderdruckverlauf mit Hilfe des
Makros „aus1mach5“ erstellt, 2500 U/min, VL
80000
Masse Tangentialkraft
Gas Tangentialkraft
Gesamttangentialkraft
70000
60000
F [N]
50000
40000
30000
20000
10000
0
-10000
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
KW [°]
Tangentialkraftverlauf für alle fünf Zylinder, 2500 U/min, VL
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Anlage 5: Grenzwert nach Neuber und Eigenkreisfrequenzen nach Gümbel-Holzer-TolleMothode für die Ausgangsbildwelle, Restwertdiagramm
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
c
ω 1 :=
1
J
c
+
J +J +J +J +J +J
1
2
c
ω 2 :=
3
J +J
+
2
c
3
4
2
+
3
2
3
4
+
6
6
3
4
5
+
1
ω 0 :=
fu :=
2
3
7
5
J +J
6
4
5
rad
ω 3 = 4536
rad
ω 4 = 4036
rad
ω 5 = 3706
rad
ω 6 = 3474
rad
7
c
6
J +J +J +J +J +J
ω 2 = 5386
4
c
5
rad
7
J +J +J
5
ω 1 = 4256
7
3
5
J +J +J +J +J
2
6
c
c
ω 6 :=
2
5
4
4
c
1
7
J +J +J +J
J +J +J +J
1
6
c
3
c
ω 5 :=
5
J +J +J +J +J
J +J +J
1
ω 4 :=
4
c
2
1
ω 3 :=
1
+
6
6
J
7
s
s
s
s
s
s
1
⎡⎢ 1 ⎤⎥ + ⎡⎢ 1 ⎤⎥ + ⎡⎢ 1 ⎤⎥ + ⎡⎢ 1 ⎤⎥ + ⎡⎢ 1 ⎤⎥ + ⎡⎢ 1 ⎤⎥
⎢⎣ ( ω 1) 2 ⎥⎦ ⎢⎣ ( ω 2) 2 ⎥⎦ ⎢⎣ ( ω 3) 2 ⎥⎦ ⎢⎣ ( ω 4) 2 ⎥⎦ ⎢⎣ ( ω 5) 2 ⎥⎦ ⎢⎣ ( ω 6) 2 ⎥⎦
ω0
2⋅ π
ω 0 = 1678
rad
s
fu = 267Hz
Abschätzung der unteren Eigenkreisfrequenz nach Neuber
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
α1 := 1
α1⋅ J ⋅ ω
α2ω := α1 −
α3ω := α2ω −
α4ω := α3ω −
α5ω := α4ω −
α6ω := α5ω −
α7ω := α6ω −
c
⎝
1
1
α1⋅ J + α2ω ⋅ J
1
2
c
⋅ω
2
2
α1⋅ J + α2ω ⋅ J + α3ω ⋅ J
1
2
c
3
⋅ω
2
3
α1⋅ J + α2ω ⋅ J + α3ω ⋅ J + α4ω ⋅ J
1
2
3
c
4
⋅ω
2
4
α1⋅ J + α2ω ⋅ J + α3ω ⋅ J + α4ω ⋅ J + α5ω ⋅ J
1
2
3
c
4
5 2
ω
5
α1⋅ J + α2ω ⋅ J + α3ω ⋅ J + α4ω ⋅ J + α5ω ⋅ J + α6ω ⋅ J
R := ⎛ α1⋅ J ⋅ ω
ω
2
1
1
2
3
4
c
2⎞
⎠
+ ⎛ α2ω ⋅ J ⋅ ω
⎝
1 ⋅ 10
2⎞
⎠
2
8
6 2
ω
6
+ ⎛ α3ω ⋅ J ⋅ ω
⎝
5
3
2⎞
⎠
+ ⎛ α4ω ⋅ J ⋅ ω
⎝
4
2⎞
⎠
+ ⎛ α5ω ⋅ J ⋅ ω
⎝
5
2⎞
⎠
+ ⎛ α6ω ⋅ J ⋅ ω
⎝
6
2⎞
⎠
+ ⎛ α7ω ⋅ J ⋅ ω
⎝
7
2⎞
⎠
8
1 . 10
7
5 . 10
Rω
0
7
5 . 10
− 1 ⋅ 10
8
8
1 . 10
2000
10
2
4000
6000
8000
ω
4
1 . 10
4
1.2 . 10
4
1.4 . 10
15000
Verlauf des Restwertmomentes über der Kreisfrequenz, Ausgangsbildwelle, mit den
Eigenkreisfrequenzen: ω0 = 0 rad/s, ω1 = 1946 rad/s, ω2 = 4453 rad/s, ω3 = 7038 rad/s,
ω4 = 10160 rad/s, ω5 = 12771 rad/s, ω6 = 14458 rad/s
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Anlage 6: Ermittlung der Eigenkreisfrequenzen mit Matrizenmethode, für die
Ausgangsbildwelle
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
⎛ J1 ⎞
⎜
⎜ J ⎟ ⎛ 0.012 ⎞
2
⎜
⎜ ⎟ ⎜ 0.0107⎟
⎜ J3 ⎟ ⎜ 0.0107⎟
⎜ ⎟
⎜ J4 ⎟ := ⎜ 0.0107⎟
⎜ ⎟ ⎜ 0.0107⎟
J
⎜
⎟
⎜ 5⎟ ⎜
⎟
0.0107
⎜J ⎟
⎜
6
⎜ ⎟ ⎝ 0.2136⎠
⎜J
⎝ 7⎠
⎛ c1 ⎞
⎜
208000⎞
⎜ c2 ⎟ ⎛⎜
⎜ ⎟ ⎜ 605000⎟
⎜ c3 ⎟
605000⎟
⎜ ⎟ := ⎜
⎜
605000⎟
c
⎜ 4⎟
⎜ 605000⎟
⎜c ⎟ ⎜
⎜ 5 ⎟ ⎝ 605000⎠
⎜c
⎝ 6⎠
ω := 1 .. 20000
⎛ c − J ⋅ω 2
⎞
−c
0
0
0
0
0
⎜ 1 1
1
⎜
⎟
2
⎜ −c
⎟
−c
c + c − J ⋅ω
0
0
0
0
1
1
2
2
2
⎜
⎟
2
⎜
⎟
0
c + c − J ⋅ω
−c
−c
0
0
0
2
2
3
3
3
⎜
⎟
⎜
⎟
2
M( ω ) := ⎜
0
−c
−c
0
c + c − J ⋅ω
0
0
⎟
3
3
4
4
4
⎜
⎟
2
⎜
⎟
0
−c
−c
0
c + c − J ⋅ω
0
0
4
4
5
5
5
⎜
⎟
⎜
⎟
2
0
−c
−c
0
c + c − J ⋅ω
0
0
⎜
⎟
5
5
6
6
6
⎜
⎟
2
⎜
0
−c
0
c − J ⋅ω
0
0
0
6
6
7
⎝
⎠
ω := 0
ns := wurzel( f( ω ) , ω )
ns = 0
ω := 2000
ns = 1946
ω := 4500
ns = 4453
ω := 7000
ns = 7038
ω := 10000
ns = 10160
ω := 12000
ns = 12771
ω := 14000
ns = 14458
Matrix aus „MathCAD“ mit berechneten Eigenkreisfrequenzen für die Ausgangsbildwelle
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Anlage 7: Ermittlung der Eigenkreisfrequenzen mit Matrizenmethode, für die Bildwelle
gemäß Ausgangszustand, modifiziertes Modell, um TSD, ZMS erweitert
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
⎛ J1 ⎞
⎜
⎜ J2 ⎟ ⎛ 0.012 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ 0.0037
⎜
⎟
⎜ J3 ⎟
⎜ 0.0107⎟
⎜J ⎟
⎜
⎟
⎜ 4⎟
0.0107
⎜
⎟
⎜ J ⎟ := 0.0107
⎟
⎜ 5⎟ ⎜
⎜ 0.0107⎟
⎜ J6 ⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ 0.0107⎟
⎜ J7 ⎟
⎜ 0.11 ⎟
⎜ ⎟
⎜ J8 ⎟ ⎜⎝ 0.095 ⎠
⎜J
⎝ 9⎠
⎛ c1 ⎞
⎜
⎜ c ⎟ ⎛ 11500 ⎞
⎜ 2 ⎟ ⎜ 208000
⎜ c3 ⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜ 605000⎟
c
⎜ 4 ⎟ ⎜ 605000⎟
⎜ ⎟ := ⎜
⎟
⎜ c5 ⎟ ⎜ 605000⎟
⎜ c ⎟ ⎜ 605000⎟
⎜ 6 ⎟ ⎜ 605000⎟
⎜c ⎟ ⎜
⎜ 7 ⎟ ⎝ 270 ⎠
⎜ c8
⎝ ⎠
ω := 1 .. 15000
⎛⎜ c − J ⋅ ω 2
0
0
0
0
−c
1
1
1
⎜
2
⎜ −c
0
0
0
−c
c + c − J ⋅ω
1
1
2
2
2
⎜
⎜
2
0
0
−c
−c
0
c + c − J ⋅ω
⎜
2
2
3
3
3
⎜
2
⎜
0
−c
−c
0
c + c − J ⋅ω
0
3
3
4
4
4
⎜
2
M ( ω ) := ⎜
−c
−c
0
c + c − J ⋅ω
0
0
4
4
5
5
5
⎜
⎜
2
−c
0
c + c − J ⋅ω
0
0
0
⎜
5
5
6
6
⎜
⎜
−c
0
c +
0
0
0
0
6
6
⎜
⎜
0
0
0
0
0
0
⎜
⎜
0
0
0
0
0
0
⎜
⎝
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−c
0
0
0
0
−c
0
−c
5
6
c − J ⋅ω
7
−c
2
7
7
0
7
c + c − J ⋅ω
7
8
−c
2
−c
8
8
8
c − J ⋅ω
8
8
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
⎠
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
ω := 10
ns = 50
ω := 1200
ns = 939
ω := 2400
ns = 2431
ω := 5000
ns = 5396
ω := 8000
ns = 8420
ω := 11000
ns = 11183
ω := 13000
ns = 13068
ω := 14000
ns = 13975
Matrix aus „MathCAD“ mit berechneten Eigenkreisfrequenzen für Bildwelle gemäß
Ausgangszustand, modifiziertes Modell, um TSD, ZMS erweitert
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Anlage 8: Ermittlung der Eigenkreisfrequenzen mit Matrizenmethode, für die Bildwelle
gemäß Ausgangszustand, modifiziertes Modell, um TSD, ZMS und Elastikwelle erweitert
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
8J1, J2, J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11< = 80.012, 0.0037, 0.0107, 0.0107, 0.0107, 0.0107, 0.0107, 0.11, 0.11, 0.0955, 0.237<;
8c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7, c8, c9, c10< = 811500, 208000, 605000, 605000, 605000, 605000, 605000, 270, 2800, 2800<;
A= 8
8c1 − J1 ∗ a, −c1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0<,
8−c1, c1 + c2 − J2 ∗ a, −c2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0<,
80, −c2, c2 + c3 − J3 ∗ a, −c4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0<,
80, 0, −c3, c3 + c4 − J4 ∗ a, −c4, 0, 0, 0, 0, 0, 0<,
80, 0, 0, −c4, c4 + c5 − J5 ∗ a, −c5, 0, 0, 0, 0, 0<,
80, 0, 0, 0, −c5, c5 + c6 − J6 ∗ a, −c6, 0, 0, 0, 0<,
80, 0, 0, 0, 0, −c6, c6 + c7 − J7 ∗ a, −c7, 0, 0, 0<,
80, 0, 0, 0, 0, 0, −c7, c7 + c8 − J8 ∗ a, −c8, 0, 0<,
80, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −c8, c8 + c9 − J9 ∗ a, −c9, 0<,
80, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −c9, c9 + c10 − J10 ∗ a, −c10<,
80, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −c10, c10 − J11 ∗ a<<;
MatrixForm@AD
f = Det@AD;
Solve@f 0, aD;
c = a ê. %;
ω = Sqrt@cD;
ω
− 11500
0
0
0
0
0
0
i 11500 − 0.012 a
j
j
j
− 11500
219500 − 0.0037 a
− 208000
0
0
0
0
0
j
j
j
j
− 208000
813000 − 0.0107 a
− 605000
0
0
0
0
0
j
j
j
j
− 605000
1210000 − 0.0107 a
− 605000
0
0
0
0
0
j
j
j
j
− 605000
1210000 − 0.0107 a
− 605000
0
0
0
0
0
j
j
j
j
− 605000
1210000 − 0.0107 a
− 605000
0
0
0
0
0
j
j
j
j
− 605000
1210000 − 0.0107 a
− 605000
0
0
0
0
0
j
j
j
j
0
0
0
0
0
0
− 605000
605270 − 0.1
j
j
j
j
0
0
0
0
0
0
0
− 270
j
j
j
j
0
0
0
0
0
0
0
0
j
j
0
0
0
0
0
0
0
0
k
80., 44.0328, 139.128, 280.307, 955.492, 2478.47, 5895.86, 8319.44, 10445.5, 12830.7, 14468.4<
Matrix aus „Mathematica“ mit berechneten Eigenkreisfrequenzen für Bildwelle gemäß
Ausgangszustand, modifiziertes Modell, um TSD, ZMS und Elastikwelle erweitert
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Anlage
9:
Errechnete
Dämpfungsgrade
aus
mit
dem PAK-Messsystem am Fünfzylinder-Dieselmotor
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
Errechnete Dämpfungsgrade aus Messungen am TSD
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
1497
0,065
w
D
0,079
1597
254
61
52
56
3675
3140
0,1955
0,2765
3389
4,5
54
64
261
1639
0,083
f2
f
w
D
n2
f1
3810
n1
58
3230
min
fmax
0,1010
0,0714
max
3478
nmax
4,5
Ma_NL_ 800-4000_TSD
238
f
Messung:
65
f2
3876
n2
57
3408
n1
f1
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min
60
0,0415
max
fmax
3575
4,0
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nmax
Messung:
0,080
1698
270
60
51
54
3580
3063
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0,0589
3243
5,0
0,063
1696
270
58
51
54
3461
3050
0,0849
0,1200
3239
5,0
0,072
1719
274
54
47
50
3240
2810
0,0383
0,0542
2984
5,5
0,067
1653
263
51
45
48
3072
2686
0,1361
0,1925
2870
5,5
0
6,0
0,006
2516
401
62
61
62
3715
3669
0,0269
0,0380
3697
6,5
0,075
1670
266
41
35
38
2453
211 3
0,0562
0,0794
2278
7,0
0,007
2529
403
62
61
62
3737
3685
0,0086
0,0122
3716
6,5
0,109
1632
260
41
33
37
2460
1973
0,0126
0,0179
2227
7,0
D = 0,088
ω = 1663 rad/s
f = 265 Hz
0,019
1918
305
52
50
51
3128
3010
0,0092
0,0130
3053
6,0
D = 0,072
ω = 1642 rad/s
f = 261 Hz
0,000
0
0
0
0
1
0
0
0,0000
0,0000
TSD
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0
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0
0
0
0
0
0
0
7,5
8,0
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1629
259
35
28
32
2082
1708
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0,0130
1944
8,0
0,068
1683
268
36
32
33
2169
1894
0,0481
2009
Ordnung
0,077
1696
270
39
34
36
2354
2020
0,0348
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2160
7,5
Ordnung
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0
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1
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0,0000
0
8,5
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7,5
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2516
401
54
53
53
3247
3178
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3204
8,0
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2523
402
51
50
50
3031
2994
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3012
0
0
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0,0000
8,0
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0,020
2528
402
59
57
57
3555
3415
0,0106
0,0150
3448
7,0
D = 0,010
ω = 2523 rad/s
f = 402 Hz
0,012
2527
402
58
57
57
3497
3417
0,0339
0,0479
3447
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0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
8,5
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2531
403
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47
47
2890
2810
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2844
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0
0
0
0
1
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0
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0,0000
10,0
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0
0
0
0
1
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11,0
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0
0
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1
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0
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0
0
0
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0
0,0000
0,0000
15,0
0,000
0
0
0
0
1
0
0
0,0000
0,0000
0
15,0
Errechnete Dämpfungsgrade aus Messungen am frEKW
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
368 6
n2
w
D
65
238
149 7
0,065
f2
f
w
D
387 6
n2
57
340 8
n1
f1
0,029 3
min
60
0,041 5
max
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357 5
nmax
4,0
0,079
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52
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367 5
314 0
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161 6
0,077
f
Messu ng:
61
257
f2
57
316 0
n1
53
0,138 4
min
f1
0,195 7
max
fma x
343 0
4,5
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nmax
Messu ng:
0,063
169 6
270
58
51
54
346 1
305 0
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323 9
5,0
0,000
0
0
0
0
1
0
0
0,000 0
0,000 0
0
5,0
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165 3
263
51
45
48
307 2
268 6
0,136 1
0,192 5
287 0
5,5
0,076
165 3
263
52
45
48
310 9
267 5
0,11 00
0,155 6
287 0
5,5
0,012
207 1
330
51
50
51
308 4
3011
0,077 6
0,109 8
304 3
6,5
0,064
168 3
268
41
36
38
243 0
213 7
0,038 3
0,054 1
229 6
7,0
0,006
251 6
401
62
61
62
371 5
366 9
0,026 9
0,038 0
369 7
6,5
0,075
167 0
266
41
35
38
245 3
2113
0,056 2
0,079 4
227 8
7,0
D = 0,071
ω = 1642 rad/s
f = 261 Hz
0,037
192 5
306
53
49
51
317 5
295 0
0,021 2
0,030 0
306 3
6,0
D = 0,071
ω = 1666 rad/s
f = 265 Hz
0,027
176 1
280
47
45
47
282 8
267 4
0,036 3
0,051 3
280 2
6,0
frEKW
7,5
0,077
169 6
270
39
34
36
235 4
202 0
0,034 8
0,049 3
216 0
8,0
0,068
168 3
268
36
32
33
216 9
189 4
0,048 1
200 9
8,0
0,076
168 9
269
37
31
34
219 3
188 8
0,028 4
0,040 2
201 6
Ord nung
0,064
169 1
269
38
34
36
230 6
203 0
0,021 5
0,030 4
215 3
7,5
Ord nung
0,000
0
0
0
0
1
0
0
0,000 0
0,000 0
0
8,5
0,000
0
0
0
0
1
0
0
0,000 0
0,000 0
0
8,5
7,0
7,5
0,012
192 0
306
41
40
41
248 5
242 4
0,058 9
0,083 3
244 4
8,0
0,033
196 5
313
41
38
39
244 8
229 2
0,012 2
0,017 3
234 6
7,5
0,011
251 6
401
54
53
53
324 7
317 8
0,041 0
0,058 0
320 4
8,0
0,006
252 3
402
51
50
50
303 1
299 4
0,025 5
0,036 0
301 2
D = 0,010
ω = 2523 rad/s
f = 402 Hz
0,012
252 7
402
58
57
57
349 7
341 7
0,033 9
0,047 9
344 7
7,0
D = 0,022
ω = 1924 rad/s
f = 306 Hz
0,016
192 1
306
45
43
44
268 6
260 0
0,027 8
0,039 3
262 0
8,5
0,014
253 1
403
48
47
47
289 0
281 0
0,008 5
0,012 0
284 4
8,5
0,013
190 8
304
36
35
36
217 8
212 3
0,023 6
0,033 4
214 4
0,000
0
0
0
0
1
0,000 0
11,0
0,000
0
0
0
0
1
0,000 0
11,0
0,000
0
0
0
0
1
0,000 0
11,5
0,000
0
0
0
0
1
0,000 0
11,5
0,000
0
0
0
0
1
0
0
0,000 0
0,000 0
0
15,0
0,000
0
0
0
0
1
0
0
0,000 0
0,000 0
0
15,0
Errechnete Dämpfungsgrade aus Messungen an der Messstelle PSR
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
65
252
1583
0,052
f2
f
w
D
3916
n2
59
3524
n1
f1
0,0032
min
63
0,0045
max
fmax
3778
4,0
0,077
1624
259
62
53
57
3700
3170
0,0159
0,0225
3447
4,5
Ma_NL_800-4 000_PSR
nmax
Messung:
0,090
1573
250
54
45
50
3250
2710
0,0000
0,0000
3005
5,0
0,066
1709
272
52
46
49
3130
2737
0,0083
0,0118
2968
5,5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6,0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6,5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7,0
D = 0,076
ω = 1628 rad/s
f=
259 Hz
PSR
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7,5
8,0
0,093
1648
262
34
28
33
2060
1695
0,0029
0,0041
1967
Ordn ung
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8,5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7,5
8,0
0,045
3196
509
66
60
64
3947
3600
0,0025
0,0035
3815
D = 0,046
ω = 3221 rad/s
f=
513 Hz
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7,0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8,5
10,0
0,046
3246
517
54
49
52
3215
2930
0,0017
0,0025
3100
0,000
0
0
0
0
1
0,0000
11 ,5
0,000
0
0
0
0
1
0
0
0,0000
0,0000
0
15,0
Anlage 10: Versuchsanleitung
Nr.: AE/03/2007
Anlagen
-1-
Westsächsische Hochschule Zwickau (FH)
Zwickau, den 11.08.2007
Fachbereich Maschinenbau und
Kraftfahrzeugtechnik
FG Kraftfahrzeugtechnik
Praktikum Verbrennungsmotoren
Versuch: Drehschwingungsmessung am Fünfzylinder-Dieselmotor
Versuchsziele:
- Erlangen von Grundkenntnissen im Umgang mit dem PAKMesssystem
- Ermittlung der Schwingungsamplituden am TSD und am freien
Ende der KW
- Ermitteln von Systemresonanzen der KW aus dem Resonanzschaubild
- Ermitteln des modalen Dämpfungsgrades der KW
Versuchsvorbereitung:
1. Welche Bauformen von KW sind Ihnen bekannt, nennen Sie Vor- und Nachteile!
2. In welchem Zusammenhang stehen Kreisfrequenz ω, Frequenz f und Drehzahl n?
3. Welche mechanischen Kenngrößen beeinflussen die Eigenkreisfrequenz eines
schwingfähigen Systems?
4. Was versteht man unter Fourier-Analyse?
5. Welche Kräfte bewirken Drehschwingungen an KW?
6. Welche Maßnahmen zur Verringerung von Drehschwingungen an KW sind
denkbar?
7. Welche Maßnahmen zur Verringerung von Drehschwingungen der KW werden in
z. Zt. ausgeführten Motoren angewandt?
8. Nennen Sie Verfahren zur Ermittlung von Drehschwingungen!
-2-
Versuchsaufbau
Versuchsmotor AUDI TDI
Hubvolumen: 2,5 l
Zylinderzahl: 5
Hub: 95,5 mm
Bohrung: 81 mm
Verdichtungsverhältnis: 20,5
H/B = 0,85
mK = 0,826 kg
mPlrot = 0,195 kg
lPl = 144 mm
verwendeter Kraftstoff:
Diesel, handelsüblich
Belastungseinrichtung:
Wirbelstrombremse-Pendelmaschine Fa. Zöllner, Typ B 220 AD; Pmax = 160 kW,
nmax = 6000 U/min
Drehmomentübertragung:
Elastikwelle GKN 228.40
Messtechnik:
- Drehmoment: Abstützung des pendelnd gelagerten Stators der Leistungsbremse mit
einem Hebelarm auf eine Kraftmesseinheit, Darstellung des Drehmomentes an der
Stelleinrichtung der Belastungseinheit
- Temperaturen: Thermoelemente
- Drehzahl: inkrementaler Drehwinkelgeber, Zahnscheibe
- Zylinderdruck::
Quarz-Drucksensor Kistler Typ 6121
Ladungsverstärker:
PCA; Typ630; Fa. COM
Kurbelwinkelgeber:
CAM; Typ 611A1; Fa.COM
- Datenerfassung/Auswertung: PAK MKII Fa. Müller BBM und Laptop
-3-
a) Aufgaben:
1. Aufzeichnen des Zylinderdruckes mit PAK-Messsystem
2. Ermittlung der Gastangentialkraft aus den Druckverläufen bei NL 800 U/min,
NL 2500 U/min, VL 2500 U/min und VL 4000 U/min (Messdaten werden aus PAK in
MS-Excel exportiert)
3. Aufzeichnen des Schwingwinkels über der Drehzahl für TSD und frEKW
4. Erstellen der Resonanzschaubilder TSD und frEKW (PAK-Messsystem)
5. Erstellen von emf-Dateien
b) Ablauf:
1. Warmlaufvorgang bei mittlerer Last und n = 2000 U/min
2. Drehzahl auf ca. 800 U/min und Last auf Md = 5 Nm einstellen (NL)
3. Messung am PAK Rechner starten
4. Drehzahlhochlauf in 120s von 800 U/min auf 4000 U/min (Verstellung der Drehzahl
am Stellpult der Belastungseinrichtung)
5. Aufnahme der Messgrößen:
Drehmoment (Ablesen an der Stelleinrichtung der Belastungseinheit)
Drehzahl PAK
Druckverlauf PAK
FFT und Ordnungsanalyse PAK
6. Messung Drehzahl auf ca. 800 U/min und Last auf Mdmax einstellen (VL)
7. Messung am PAK Rechner starten
8. Drehzahlhochlauf in 120s von 800 U/min auf 4000 U/min (Verstellung der Drehzahl
am Stellpult der Belastungseinrichtung)
9. Aufnahme der Messgrößen:
Drehmoment (Ablesen an der Stelleinrichtung der Belastungseinheit)
Drehzahl PAK
Druckverlauf PAK
FFT und Ordnungsanalyse PAK
10. Einspritzung
abschalten
und
Drehzahl
Leistungsbremsanlage außer Betrieb setzen
am
Bedienpult
auf
Null
stellen,
-4-
Auswertung
- Darstellung des Zylinderdruckes über dem Kurbelwinkel bei NL 800 U/min, NL 2500
U/min, VL 2500 U/min und VL 4000 U/min
- Berechnen der Tangentialkräfte Masse/Gas und deren grafische Darstellung
- Berechnung des Drehmomentes aus der errechneten Tangentialkraft
- Grafische Darstellung der unterschiedlichen Resonanzschaubilder, Einzeichnen der
ermittelten Resonanzfrequenzen
- Darstellung der Vorgehensweise zur Ermittlung des modalen Dämpfungsgrades mit Hilfe
des Verfahrens der Halbwertsbreite (VL und NL)
- Diskussion der Ergebnisse
Literaturhinweise
- DRESIG, H; HOLZWEIßIG, F.: Maschinendynamik. Berlin, Heidelberg, New York: SpringerVerlag, 2005.
-
HAFNER,
K.E.;
MAASS,
H.:
Theorie
der
Triebwerksschwingungen
der
Verbrennungskraftmaschine. Die Verbrennungskraftmaschine Neue Folge. Band 3. Wien,
New York: Springer-Verlag, 1984.
- KÜNTSCHER, V.; HOFFMANN, W. (Hrsg.): Kraftfahrzeugmotoren. Auslegung und
Konstruktion. 4., völlig neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Würzburg: VogelBuchverlag, 2006.
- GROHE, H.: Otto- und Dieselmotoren. 8. Auflage. Würzburg: Vogel-Buchverlag, 1987.
Kurzzeichenverzeichnis
KW
Kurbelwelle
NL
Nulllast
VL
Volllast
lPl
[m]
Länge Pleuel
Md
[Nm]
Drehmoment
mk
[kg]
Kolbenmasse, komplett
mPlrot
[kg]
rotatorischer Anteil Pleuelmasse
n
[U/min] Drehzahl
Lösungsvorschläge zu den Aufgaben
1. Welche Bauformen von KW sind Ihnen bekannt, nennen Sie Vor- und Nachteile!
gebaute (Hirthverzahnung), gegossene, geschmiedete, aus dem Vollen gearbeitete KW
2. In welchem Zusammenhang stehen Kreisfrequenz ω, Frequenz f und Drehzahl n?
ϖ = 2⋅ π ⋅n
n=f
3. Welche mechanischen Kenngrößen beeinflussen die Eigenkreisfrequenz eines
schwingfähigen Systems?
ω0 =
cT
J
Steifigkeit, Massenträgheit, Masse
4. Was versteht man unter Fourier-Analyse?
Transformieren einer Funktion vom Zeitbereich in den Frequenzbereich
5. Welche Kräfte verursachen Drehschwingungen an KW?
Massentangentialkraft, Gastangentialkraft
6. Welche Maßnahmen zur Verringerung von Drehschwingungen sind denkbar?
Betriebsdrehzahlbereich
ändern,
Schwingungsdämpfer
(Gummi,
Viskose),
Tilger,
Steifigkeit KW ändern, MTM KW ändern, Lagerauslegung ändern, Lagerart ändern
7. Welche Maßnahmen zur Verringerung von Drehschwingungen der KW werden in
z. Zt. ausgeführten Motoren angewandt?
(Gummi),
Viskoseschwingungsdämpfer
(NKW),
Kurbelwellenschwingungsdämpfer (an der Gegenmasse der Kurbelkröpfung angebracht)
8. Nennen Sie Verfahren zur Ermittlung von Drehschwingungen!
invasive: Dehnmessstreifen (Funk- oder Schleifringübertragung der Messwerte in das
raumfeste Koordinatensystem)
nicht invasive: Rotationsvibrometer, Zahnscheiben, inkrementale Winkelgeber

Masterarbeit

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